fx1+x2+……+xkk≤fx1+fx2+……+fxkk
此式表示（13）對n=k成立。
1定義113定義112 顯然
定理212 若fx連續，則定義111、112、113等價
證明1（定義111定義112、113）在定義1中令λ=12，則由式（11）得
fx1+x22=f[λx1+（1-λ）x2]
≤λfx1+1-λfx2
=fx1+fx22x1，x2∈I
此式表明（12）式成立，所以定義111蘊涵定義112，而定義112、113等價，故定義111也蘊涵定義113
2（定義112、113定義111）設x1，x2∈I為任意兩點，為了證明式（11）對於任意實數λ∈0，1成立，我們先來證明：式（11）當λ為有理數時則λ=mn∈0，1，（m<；n為自然數）時成立，則：
fλx1+1-λx2=fmnx1+1-mnx2
=fmx1+n-mx2n
=fx1+x1+…+x1mn+x2+x2+…x2n-mn、
≤f（x1）+fx1+…fx1mn+fx2+fx2+…+fx2n-mn
=mfx1+n-mfx2n
=λfx1+1-λfx2
λ為有理數的情況獲證。
若λ∈0，1為無理數，則存在有理數λn∈0，1，n=1，2，…使得λn→λ（當n→∞時）
從而由fx的連續性
fλx1+1-λx2=flimn→∞λnx1+1-λnx2
=limn→∞fλnx1+1-λnfx2
對於有理數λn∈0，1，n=1，2，…，上麵已證明有
fλnx1+1-λnx2≤λnfx1+1-λnfx2
此式中令n→∞取極限，聯係上式，有
fλx1+1-λx2≤λfx1+1-λfx2
即式（11）對任意無理數也成立λ∈0，1也成立。
這就證明了定義112、113蘊涵定義111。
注 上述證明裏可以看到從定義111定義112、113無需連續性，定義112、113定義111才需要連續性，可見定義111強於定義112、113。
定理123 若fx處處可導，則定義111，定義112，定義113，定義114等價。（作者單位：西安汽車科技職業學院）
參考文獻：
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