取整，故知每輛車最多可能裝98箱.
四、預測試題測試
［知識掌握］
了解切比雪夫不等式；了解切比雪夫大數定理、伯努利大數定理和辛欽大數定理(獨立同分布隨機變量的大數定理)成立的條件及結論
了解列維—林德伯格定理(獨立同分布的中心極限定理)和棣莫弗—拉普拉斯定理(二項分布以正態分布為極限分布)的應用條件和結論，並會用相關定理近似計算有關隨機事件的概率習題4
一、填空題
1設隨機變量X的數學期望EX=μ，方差DX=σ2，則由切比雪夫不等式，有P｛｜X-μ｜≥3σ｝≤
2設X1，X2，…，X10為相互獨立的隨機變量，且均服從［0，1］上的均勻分布，則P∑10i=1Xi＞6≈
3某工廠生產的產品的廢品率為001，則任取5 000件產品中廢品數不超過50件的概率p為
4已知隨機變量X的數學期望EX=100，方差DX=10，應用切比雪夫不等式估計X落在(80，120)內的概率P｛80＜X＜120｝=
二、選擇題
1設隨機變量X1，X2，…，X9相互獨立同分布，EXi=1，DXi=1，i=1，2，…，9，令S9=∑9i=1Xi，則對任意ε＞0，從切比雪夫不等式直接可得()
(A)P｛｜S9-1｜＜ε｝≥1-1ε2(B)P｛｜S9-9｜＜ε｝≥1-9ε2
(C)P｛｜S9-9｜＜ε｝≥1-1ε2(D)P｛｜19S9-1｜＜ε｝≥1-1ε2
2設ξ1，ξ2，…為獨立同分布序列，且ξi(i=1，2，…)服從參數為λ的指數分布，則()
(A)limn→∞Pλ∑ni=1ξi-nn≤x=Φ(x)
(B)limn→∞P∑ni=1ξi-nn≤x=Φ(x)
(C)limn→∞P∑ni=1ξi-λnλ≤x=Φ(x)
(D)limn→∞P∑ni=1ξi-λnλ≤x=Φ(x)，其中Φ(x)=∫x-∞e-t222πdt
3從發芽率為095的一批種子裏隨機取400粒，則不發芽的種子不多於25粒的概率為()
(A)0.874 8(B)0.874 9(C)0.875 0(D)0.875 1
［能力提高］
三、計算題
1隨機地擲6顆骰子，利用切比雪夫不等式估計6顆骰子出現的點數之和在15到27之間的概率
2某大型商場每天接待顧客10 000人，設每位顧客的消費額(元)服從［100，1 000］上的均勻分布，且顧客的消費額是相互獨立的試求商場的銷售額上、下浮動不超過20 000(元)的概率
3有一大批電子元件裝箱運往外地，正品率為08，以095的概率使箱內正品數多於1 000隻問箱內至少要裝多少隻元件?
4設X1，X2，…，Xn，…為一個相互獨立的隨機變量序列：
P｛Xn=±2n｝=122n+1，P｛Xn=0｝=1-122n，n=1，2，…
證明：｛Xn｝服從大數定律
［真題演練］
四、(1999年)在天平上重複稱量一重為a的物品.假設各次稱量結果相互獨立且服從正態分布N(a,0.22).若以Xn表示n次稱量結果的算術平均值，則為使
P｛｜Xm-a｜＜0.1｝≥0.95
n的最小值應不小於自然數.
答案與提示
一、填空題
1192013630540975
二、選擇題
1(B)2(A)3(B)
三、計算題
1考點：切比雪夫不等式
設X為6顆骰子所出現的點數之和，Xi為第i顆骰子出現的點數，i=1，2，…，6
則X=∑6i=1Xi，且｛Xi｝獨立同分布，分布律為
Xi12…6P(Xi)161616
於是EXi=∑6i=1i·16=72
DXi=E(Xi)2-(EXi)2=3512，(i=1，2，…，6)，則
EX=6·72=21，DX=6·3512=352
∴P｛15≤X≤27｝=P｛14＜X＜28｝=P｛｜X-21｜＜7｝
=1-P｛｜X-EX｜≥7｝≥1-DX72=914
2考點：林德伯格—列維定理
設Xk為第k位顧客的消費額(k=1，2，…，10 000)
Xk服從［100，1 000］上的均勻分布，
∴EXk=100+1 0002=550，DXk=(1 000-100)212
X為商場的日銷售額，則X=∑10 000k=1Xk，
則EX=∑10 000k=1EXk=55×105
由林德伯格—列維定理
P｛｜X-EX｜≤20 000｝=P-20 000100×900/12＜X-55×105100×900/12≤20 000100×900/12
=2Φ(0.77)-1≈0.56
3考點：棣莫佛—拉普拉斯定理
設正品數為X，p=0.8，至少裝n隻
P｛1000＜X≤n｝=P1000-0.8nn×0.8×0.2＜X-0.8nn×0.8×0.2＜n-0.8nn×0.8×0.2
≈Φn2-Φ1000-0.8n0.4n
當n足夠大時，Φn2≈Φ(+∞)=1
∴要求n，使1-Φ1000-0.8n0.4n=0.95
查表得0.8n-10000.4n≈1.645，則n=1 279(隻)
4考點：大數定律、切比雪夫不等式
欲證limn→∞1n∑ni=1Xi-1n∑ni=1EXi≥ε=0，而切比雪夫不等式給出了估計式
P｛｜Y-EY｜≥ε｝≤DYε2，
因此計算Y=1n∑ni=1Xi的數學期望和方差
事實上，
EXi=2n·122n+1+(-2n)·122n+1+0·1-122n=0，
DXi=EX2i-(EXi)2=1
令Yn=1n∑ni=1Xi，
則EYn=E1n∑ni=1Xi=0，
DYn=D1n∑ni=1Xi=1n2D(∑nn=1Xi)=1n2·n=1n
由切比雪夫不等式0≤P｛｜Yn-EYn｜≥ε｝≤DYnε2=1nε2，
∴limn→∞1n∑ni=1Xi-1n∑ni=1EXi≥ε=0
四、應填16