令Y=1n∑nk=1Xk，
EXk=lnk·12+(-lnk)·12=0，
DXk=EX2k-(EXk)2=(lnk)2·12+(-lnk)2·12=lnk
∴EY=E1n∑nk=1Xk=1n∑nk=1EXk=0
DY=D1n∑nk=1Xk=1n2∑nk=1DXk=1n2(ln1+ln2+…+lnn)≤
1n2·nlnn=lnnn
由切比雪夫不等式P｛｜Y-EY｜≥ε｝≤DYε2≤1ε2nlnn，
∴limn→∞P1n∑nk=1Xk-1n∑nk=1EXk≥ε=0
即｛Xk｝服從大數定律
題型(二)中心極限定理的應用
例4一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk(k=1，2，…，20)，設它們是相互獨立的隨機變量，且都在(0，10)內服從均勻分布，記V=∑20k=1Vk求P｛V＞105｝的近似值
解由題意知：E(Vk)=5，D(Vk)=10012(k=1，2，…，20)
依林德伯格—列維定理，當n很大時隨機變量X=∑nk=1Vk-nμσn～N(0，1)
視n=20為很大，即有X=∑20k=1Vk-20×5100/12·20近似服從N(0，1)
∴P｛V＞105｝=PV-20×5100/12·20＞105-20×5100/12·20
=PV-100(10/12)·20＞0.387
=1-PV-100(10/12)·20≤0.387
≈1-Φ(0.387)=0.348
例5設一個係統由100個互相獨立起作用的部件組成，每個部件損壞的概率為01，必須有84個以上的部件工作才能使整個係統工作求整個係統工作的概率
解以X表示整個係統中處於工作狀態的部件數
由題設，X服從二項分布B(100，09)
依棣莫弗—拉普拉斯定理，當n很大時有
PX-npnp(1-p)≤x≈∫x-∞e-t222πdt
∴P｛X＞84｝=1-P｛X≤84｝
=1-PX-100×0.9100×0.9×0.1≤84-100×0.9100×0.9×0.1
≈1-Φ(-2)=Φ(2)=0.977
即整個係統工作的概率為977%
例6假設某種型號的元件的重量是隨機變量，期望值為50g，標準差為5g，若100隻元件裝成1袋，求：
(1)該元件一袋的重量超過51kg的概率；
(2)500袋中最多有4%的袋數重量超過51kg的概率
解(1)設Xi表示袋中第i個元件的重量，i=1，2，…，100
則Xi獨立同分布，EXi=50，DXi=52.
記一袋元件的重量為S100，則S100=∑100i=1Xi，ES100=5 000，DS100=2 500
應用林德柏格—列維中心極限定理，S100近似服從正態分布
∴P｛S100＞5 100｝=1-P｛S100≤5 100｝
=1-PS100-nμσn≤5 100-nμσn=1-PS100-5 00050≤2
≈1-Φ(2)=0.02275
(2)設500袋中重量超過51kg的袋數為Y，則Y～B(500，0.022 75)，EY=11.375，DY=11.116
應用棣莫弗—拉普拉斯定理，可知Y近似服從參數μ=11.375，σ2=11.116的正態分布
PY500≤0.04=P｛Y≤20｝=PY-11.37511.116≤20-11.37511.116
≈Φ(2.59)=0.995
［解法總結］應用中心極限定理解題的指導思想是將求解問題化為標準正態分布函數後再解決
解題步驟：
①判斷隨機變量是屬於貝努利分布還是獨立同分布，並求得期望EX=μ，方差DX=σ2
②若Xn服從貝努利分布，則應用棣莫弗—拉普拉斯定理Xn-npnp(1-p)～N(0，1)(當n較大時)；
若Xn獨立同分布，則應用林德伯格-列維定理當n較大時，∑nk=1Xi-nμnσ～N(0，1)
如例6所給出的解題過程是典型例子
例7(2001年)設隨機變量X和Y的數學期望都是2，方差分別為1和4，而相關係數為0.5，則根據切比雪夫不等式有P｛｜X-Y｜≥6｝≤.
應填112
解若記ξ＝X-Y,則Eξ＝EX-EY＝2-2＝0
而Dξ＝D(X-Y)＝DX+DY-2cov(X,Y)
＝DX+DY-2×ρ(X,Y)·DX·DY＝1+4-2×0.5×1·4＝3
由切比雪不等式得
P｛｜X-Y｜≥6｝＝P｛｜ξ－Eξ｜≥6｝≤Dξ62＝336＝112
例8(2001年)一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的.假設每箱平均重50千克，標準差為5千克.若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大於0.977，(Φ(x)是標準正態分布函數.)
分析原題無隨機變量記號出現，若要使用，當然要自己設記號，賦於其背景含義.
解記Xi為第i箱的重量，i＝1,2,….
由題意知，X1,…,Xn(n≥1)獨立同分布，且EXi＝50，DXi＝5(i≥t).又設汽車可裝k箱符合要求，由題意應有：
P｛∑ki=1Xi≤5 000｝≥0.977(*)
而E(∑ki＝1Xi)＝∑ki＝1XiEXi＝50k,D(∑ki＝1Xi)＝∑ki＝1DXi＝25k
由中心極限定理知
∑ki＝1Xi-50k25k近似N(0，1)(k充分大)
故P｛∑ki＝1Xi≤5 000｝＝P∑ki＝1Xi-50k5k≤5 000-50k5k≈Φ5 000-50k5k
又由(*)式得Φ1 000-10k5k≥0.977，故1 000-10kk≥2
若令k＝x,得10x2+2x-1 000≤0
化為x--1-10 00110≤0
∴－-1+10 00110≤x≤-1+10 00110
由x≥0，得0≤x≤-1+10 00110
故0≤x2＝k≤-1+10 001102＝98.079 9