第一章 隨機事件與概率

一、熟知考綱考點

了解樣本空間(基本事件空間)的概念,理解隨機事件的概念,掌握事件的關係及運算.

理解概率、條件概率的概念,掌握概率的基本性質,會計算古典型和型概率,掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯公式等基本公式.

理解事件的獨立性的概念,掌握用事件獨立性進行概率計算:理解獨立重複試驗的概念.

二、本章知識串講

(一)隨機事件的概念

1隨機試驗和隨機事件

(1)隨機試驗具有多種可能的結果,並且事先無法確切知道試驗會出現何種結果(僅可明確所有可能的結果),而在相同條件下能夠重複進行的試驗,稱作隨機試驗,一般用E表示

(2)隨機事件在一次試驗中可能出現、也可能不出現的結果稱為隨機事件,簡稱為事件,用大寫字母A,B,C,D等表示

(3)基本事件(樣本點)在一次試驗中,每一個可能出現且不可再分解的基本結果稱為試驗的一個基本事件(或稱樣本點),一般用ω表示

(4)必然事件在試驗條件下必然會發生的結果叫必然事件,記作Ω

(5)不可能事件在試驗條件下不可能發生的結果叫不可能事件,記作

2隨機事件的集合定義

隨機試驗E的所有可能出現的基本結果組成的集合稱作E的基本事件空間或稱樣本空間,記作Ω

顯然,基本事件空間就是必然事件;基本事件是僅包含Ω中一個元素的單點集合;隨機事件是Ω的一個子集;不可能事件是不包含Ω中任何元素的空集

(二)隨機事件間的關係與運算

1事件的關係

表1

概率論中的含義事件的關係及表示法事件B發生,必然導致事件A發生事件A包含事件B,記作AB事件A發生,B一定發生,反之亦然事件A和B相等,記作A=B事件A與B至少有一個發生

推廣:事件A1,A2,…,An至少有一個發生

事件A1,A2,…,An,…至少有一個發生事件A與B之和(並),記作A∪B

事件A1,A2,…,An之和(並),記作∪ni=1Ai

事件A1,A2,…,An…之和(並),記作∪∞i=1Ai事件A與B同時發生

推廣:事件A1,A2,…,An同時發生

事件A1,A2,…,An…同時發生事件A與B之積(交),記作A∩B或AB

事件A1,A2,…,An之積(交),記作∩ni=1Ai

事件A1,A2,…,An…之積(交),記作∩∞i=1Ai事件A發生而事件B不發生事件A與B的差,記作A-B事件A與B不能同時發生,(即A∩B=)事件A,B稱為互斥事件(或稱事件A與B互不相容)

推廣:A1,A2,…,An任意兩個都互斥,稱該事件組為互斥事件組事件A不發生事件A的逆事件(或對立事件),記作A

2事件的運算律

(1)交換律:A∪B=B∪A;AB=BA

(2)結合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(3)分配律:(A∪B)C=(AC)∪(BC);A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)

(4)德摩根定律:A∪B=A∩B;AB=A∪B

∪ni=1Ai=∩ni=1Ai;∩ni=1Ai=∪ni=1Ai

∪∞i=1Ai=∩∞i=1Ai;∩∞i=1Ai=∪∞i=1Ai

(三)隨機事件的概率

1概率的公理化定義

設隨機試驗E的樣本空間為Ω,對於E的每一個隨機事件A賦予一個實數P(A),如果它滿足下列條件:

(1)對於每一個事件A,有0≤P(A)≤1;

(2)P(Ω)=1;

(3)對於兩兩互斥事件Ai(i=1,2,…),有

P(A1∪A2∪…∪An∪…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…;

則稱P(A)為事件A的概率

2概率的性質

(1)設A是A的對立事件,則P(A)=1-P(A)

(2)P()=0

(3)設A,B為二事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 設A1,A2,…,An是n個事件,則

P(∪ni=1Ai)=∑ni=1P(Ai)-∑ni<j=2P(AiAj)+∑ni<j<k=3P(AiAjAk)+…+(-1)n-1P(A1A2…An)

(4)設A,B為二事件,若AB,則

P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A)

3古典概率定義

設試驗E的樣本空間中所含基本事件總數為有限個,且每個基本事件的發生具有等可能性,則隨機事件A的概率定義為

P(A)=A中所含基本事件的個數m試驗的基本事件總數n

這樣定義的概率稱為古典概率,符合上述假定的概率模型稱為古典概型

4幾何概率

設Ω是Rn(n=1,2,3)中任何一個可度量的區域,在Ω內隨機擲一點,假設該點落在Ω內任一點處都是等可能的,而事件A是Ω中任何一個可度量的子集,則

P(A)=A的測度Ω的測度

這樣定義的概率稱為幾何概率,符合上述假定的概率模型稱為幾何模型,其中測度是指長度、麵積、體積等

(四)條件概率、乘法公式、事件的獨立性

1條件概率

設A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,則稱在已知事件A發生的條件下,事件B發生的概率為條件概率,記作P(B|A),且定義為

P(B|A)=P(AB)P(A)

2乘法公式

設A,B為任意二個事件,若P(A)>0,則有P(AB)=P(A)P(B|A);若P(B)>0,則有P(AB)=P(B)P(A|B)

設A1,A2,…,An(n>2)為一組事件,若P(A1A2…An-1)>0,則有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)

3事件的獨立性

(1)如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與B是相互獨立的

(2)如果三個事件A,B,C滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),

P(AC)=P(A)P(C),

則稱三個事件A,B,C兩兩相互獨立

(3)如果三個事件A,B,C兩兩相互獨立,並且P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱三個事件A,B,C是相互獨立的

(4)如果n個事件A1,A2,…,An,對於任意k(2≤k≤n),任意1≤i1<i2<…<ik≤n,滿足等式P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),則稱A1,A2,…,An為相互獨立事件

4獨立重複試驗(貝努利概型)

如果n次試驗相互獨立,每次試驗中隻有A發生與A發生兩種結果,並且每次試驗中事件A發生的概率都相等,即P(A)=p(0<p<1),這樣的試驗模型稱為n重貝努利概型

在n重貝努利概型中,A發生k次的概率為:

Pn(k)=Cknpkqn-k(0≤k≤n)

其中0<p<1,q=1-p

(五)全概率公式、貝葉斯公式

1全概率公式

如果事件組A1,A2,…,An滿足:

(1)A1,A2,…,An兩兩互斥,且P(Ai)>0(i=1,2,…,n);

(2)A1∪A2∪…∪An=Ω;

則對任一事件B,有P(B)=∑ni=1P(Ai)·P(B|Ai)

滿足條件(1)、(2)的事件組A1,A2,…,An稱為完備事件組

2貝葉斯公式

設A1,A2,…,An為一完備事件組,則對任一事件B,有

P(Aj|B)=P(AjB)P(B)

=P(Aj)P(B|Aj)∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)(j=1,2,…,n)

三、能力、思維、方法

[能力素質]

題型(一)隨機事件間的關係與運算:

隨機事件間的關係與運算這一部分的題型,一般為填空題與選擇題欲迅速、準確地寫出答案,務必牢固掌握有關概念與運算關係

例1設A,B為某一樣本空間的隨機事件,則(A∪B)∩(A∪B)化簡後的式子為

解(A∪B)∩(A∪B)=(A∪B)A∪(A∪B)B=A∪AB∪A B∪BB=A

最後一步是由於AAB,AAB,BB=,因此A∪AB∪AB∪BB=A

例2如果隨機事件A與B是對立事件,則事件A與B的關係為

解由於A與B是對立事件,有A+B=Ω,AB=

而A∪B=AB==Ω,A B=A∪B=Ω=,

∴A與B為相互對立的關係

例3設A1,A2,A3是三個事件,則A1,A2,A3中至少發生兩個事件是()

(A)A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3;

(B)A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3;

(C)Ω-(A1∪A2∪A3);

(D)A1A2∪A1A3∪A2A3

分析“A1,A2,A3中至少發生兩個事件”的含義是三個事件中有兩件發生或三個事件都發生,因此(A)、(D)不對同時題目中並沒有說明三個事件A1,A2,A3與基本事件空間Ω有何關係,故(C)不對,所以,正確答案應選(B)