直線與圓錐曲線位置關係高考綜合題初探
考試研究
作者：柏文峰
前言引入：直線與圓錐曲線的位置關係，由於集中交彙了高中解析幾何中直線，圓錐曲線兩章的知識內容，還涉及函數、方程、不等式、三角函數、平麵向量，平麵幾何等許多知識，形成了軌跡、最值、弦長、對稱、範圍、參係數等多種問題，對於考查學生的數學思維能力、計算能力、推理能力等是一個很好的平台，因而成為解析幾何中綜合性最強、能力要求最高的內容，也成為高考的重點和熱點.
高考目標：掌握直線與圓錐曲線的位置關係，運用函數與方程、等價轉化、分類討論等思想方法，解決有關定點、定值、最值、參數範圍等簡單的實際問題等.
高考重點：直線與圓錐曲線中的弦長，麵積，角度，最值、值域、參數範圍問題，定點、定值，以及探究性問題等.
高考難點：圓錐曲線與三角、函數與方程、不等式、數列、平麵向量等知識的綜合應用.
要點梳理：
1.直線與圓錐曲線的位置關係
（1）直線與橢圓的位置關係的判定方法：
將直線方程與橢圓方程聯立，消去一個未知數，得到一個一元二次方程ax+bx+c=0（或ay+by+c=0）.若Δ>0，則直線與橢圓相交；若Δ=0，則直線與橢圓相切；若Δ
（2）直線與雙曲線的位置關係的判定方法：
將直線方程與雙曲線方程聯立，消去y（或x），得到一個一元方程ax+bx+c=0（或ay+by+c=0）.
①若a≠0，當Δ>0時，直線與雙曲線相交；當Δ=0時，直線與雙曲線相切；當Δ
②若a=0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有一個交點.
（3）直線與拋物線的位置關係的判定方法：
將直線方程與拋物線方程聯立，消去y（或x），得到一個一元方程ax+bx+c=0（或ay+by+c=0）.
①當a≠0時，用Δ判定，方法同上.
②當a=0時，直線與拋物線的對稱軸平行，隻有一個交點.
2.有關弦長問題
有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與係數的關係，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，簡化運算.
（1）斜率為k的直線與圓錐曲線交於兩點p（x，y），p（x，y），則所得弦長|pp|=|x-x|或|PP|=|y-y|，其中求 |x-x|與|y-y|時通常使用根與係數的關係，即作如下變形：
|x-x|=，
|y-y|=.
（2）當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算（利用兩點間距離公式）.
3.弦的中點問題
有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，韋達定理，中點坐標公式“設而不求法”簡化運算.
題型一：直線與圓錐曲線的位置關係
【例1】若曲線y=ax與直線y=（a+1）x-1恰有一個公共點，求實數a的值.
解：聯立方程y=（a+1）x-1y=ax.
（1）當a=0時，此方程組恰有一組解為x=1y=0.
（2）當a≠0時，消去x，得y-y-1=0.
①若=0，即a=-1，方程變為一元一次方程-y-1=0.
方程組恰有一組解x=-1y=-1，②若≠0，即a≠1.
令△=0，得1+=0，可解得a=-，
這時直線與曲線相切，隻有一個公共點.
綜合上述可知，當a=0，-1，-時，直線與曲線y=ax恰有一個公共點.
探究提高：本題設計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項係數=0，即a=-1的可能性，從而漏掉兩解.
本題用代數方法解完後，應從幾何上驗證：
①a=時，曲線y=ax即為直線y=0，此時已知直線y=x-1恰有一個交點（1，0）；②當a=-1時，直線y=-1與拋物線y=-x的對稱軸平行，恰有一個交點（代數特證）.
題型二：圓錐曲線的弦長問題
【例2】已知△ABC的頂點A，B在橢圓x+3y=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l.