數學成就 9.
創建垛積術與招差術
垛積術源於北宋科學家沈括首創的“隙積術”，用來研究某種物品按一定規律堆積起來求其總數問題，即高階等差級數的研究。後世數學家豐富和發展了這一成果。
宋元時期，天文學與數學的關係進一步密切了。招差術的創立、發展和應用，是我國古代數學史和天文學史上具有世界意義的重大成就。
北宋真宗時，有一年皇宮失火，很多建築被燒毀，修複工作需要大量土方。當時因城外取土太遠，遂采用沈括的方案：
就近在大街取土，將大街挖成巨塹，然後引汴水入塹成河，使運料的船隻可以沿河直抵宮門。竣工後，將廢料充塞巨塹複為大街。
沈括提出的方案，一舉解決了取土、運料、廢料處理問題。此外，沈括還有“因糧於敵”、“高超合龍”，“引水補堤”等，也都是使用運籌學思想的例子。
沈括是北宋時期的大科學家，博學多識，在天文、方誌、律曆、音樂、醫藥、卜算等方麵皆有所論著。沈括注意數學的應用，把它應用於天文、曆法、工程、軍事等領域，得出許多重要的成果。
沈括的數學成就主要是提出了隙積術、測算、度量、運糧對策等。其中的“隙積術”是高階等差級數求和的一種方法，為後來南宋楊輝的“垛積術”、元代郭守敬和朱世傑的“招差術”開辟了道路。
垛積，即堆垛求積的意思。由於許多堆垛現象呈高階等差數列，因此垛積術在我國古代數學中就成了專門研究高階等差數列求和的方法。
沈括在《夢溪筆談》中說：算術中求各種幾何體積的方法，例如長方棱台、兩底麵為直角三角形的正柱體、三角錐體、四棱錐等都已具備，唯獨沒有隙積這種算法。
所謂隙積，就是有空隙的堆垛體，像壘起來的棋子，以及酒店裏疊置的酒壇一類的東西。它們的形狀雖像覆鬥，4個測麵也都是斜的，但由於內部有內隙之處，如果用長方棱台方法來計算，得出的結果往往比實際為少。
沈括所言把隙積與體積之間的關係講得一清二楚。同樣是求積，但“隙積”是內部有空隙的，像壘棋，層層堆積壇罐一樣。
而酒家積壇之類的隙積問題，不能套用長方棱台體積公式。但也不是不可類比，有空隙的堆垛體畢竟很像長方棱台，因此在算法上應該有一些聯係。
沈括是用什麼方法求得這一正確公式的，《夢溪筆談》沒有詳細說明。現有多種猜測，有人認為是對不同長、寬、高的垛積進行多次實驗，用歸納方法得出的；還有人認為可能是用“損廣補狹”辦法，割補幾何體得出的。
沈括所創造的將級數與體積比類，從而求和的方法，為後人研究級數求和問題提供了一條思路。首先是南宋末年的數學家楊輝在這條思路中獲得了成就。