這個模型在理論的層麵是有一定意義的。因為如果人力資源管理效能（HPWP）是透過員工的認同來影響員工的表現，那麼隻要管理者可以找到增加員工認同的其他方法，就算不用人力資源管理的方法，也可以增加員工的表現。現在我們回到先前的理論模型。這個中介模型有一點特別，就是自變量人力資源管理效能是一個在“企業層麵”的變量。因為在一般的情形下，每一個企業隻有一套人力資源管理係統。“效能”這個變量有一個下標j，代表我們有j個企業。但是，每一個企業中卻有很多不同的員工，每一個員工對企業的認同也表現都不一樣。因此，我們看見“認同”和“表現”的下標是ij，代表第j個企業的第i位員工。“認同”和“表現”是“個人層麵”的變量。Zhang，Zyphur和Preacher（2009）把這樣的中介模型稱為“211”模型，代表x，M與y分別是第二層階、第一層階和第一層階的變量（因此，我們以前討論的簡單單一層麵的中介就是“111”模型了）。我們應該如何來驗證這個跨層麵的中介的模型呢？我們很自然會想到，可不可以把Baron和Kenny驗證中介的邏輯加上多層回歸分析（HLM）呢？根據Baron和Kenny中介驗證的原則，我們要驗證幾個不同的模型。①隻有x來估計y；②x估計M；③x加上M來估計y。因此，這裏就會牽涉幾個多層回歸模型（HLM）。第一組方程是隻有“效能”（xj）影響“表現”（yij）。因為效能是企業層麵，也就是第二層的，故x的下標隻有j。員工表現是個人層麵的，故y的下標是ij，代表第j個企業的第i個員工。我們得到下麵的第一個多層線性模型代表xj影響yij，即yij=β0j+rij
β0j=γ00+γ01xj+u0j這裏跟我們以前講的HLM不同，沒有估計yij的xij。因為我們不像一般的HLM模型，我們沒有第一層估計yij的變量。相反，我們估計yij的自變量（員工表現）是在第二層階的xj（人力資源管理效能）。因此，估計yij的xj就變成是估計β0j的第二層階變量了。同時，因為沒有第一層階的變量，自然也沒有調節第一層階斜率係數β1j的方程了。在這裏我們依從Zhang，Zyphur和Preacher（2009）的習慣，在上麵方程的參數的右上角加上“（1)”，代表這是我們的“第一組HLM方程”。
故上麵的方程就變成了下麵的兩條方程了［注：上麵的方程與下麵的方程是一模一樣的，我們隻是依從作者的習慣，改變了符號而已。同時，rij不是估計我們有興趣的估計參數，所以我們沒有加上上標］，即yij=β（1)0j+rij（1)
β（1)0j=γ（1)00+γ（1)01xj+u（1)0j（2)根據Baron和Kenny的驗證中介的邏輯，第二組方程是“效能”（xj）影響中介變量“認同”（Mij）的多層模型。因為每個員工對企業的認同都不同，員工認同是個人層麵的，故M的下標是ij。因為是跨層階的估計，我們還是要應用HLM模型。因為這是我們的“第二組HLM方程”，我們就在參數的右上角加上“（2)”的記號。因此我們得到下麵的第二個多層線性模型，代表xj影響Mij，即Mij=β（2)0j+r（2)ij（3)
β（2)0j=γ（2)00+γ（2)01xj+u（2)0j（4)方程（1)和方程（2)與方程（3)和方程（4)是完全一樣的。唯一的分別是前者是xj影響因變量yij；後者是xj影響中介變量Mij。Baron和Kenny驗證的“第三組HLM方程”（我們用右上標“（3)”表示）是“效能”（xj）同時影響中介變量“認同”（Mij）和“表現”（yij）的多層模型，即yij=β（3)0j+β（3)1jMij+r（3)ij（5)
β（3)0j=γ（3)00+γ（3)01xj+u（3)0j（6)
β（3)1j=γ（3)10（7)注意：·這裏我們有Mij（一個第一層階的變量）來估計yij，故我們有β1j；·M·j是中介變量在小組中的平均值。每個小組都有不同的平均M值。下標j代表每個組的M平均都不同；M前麵的一點代表它是一個平均的M值。·方程（7)沒有誤差項（u1j），隻是為了表示的方便而已。如果要加上去，也不影響我們的討論。根據Baron和Kenny驗證中介變量的概念，我們應該看見β（3)1j顯著，就是中介變量Mij影響yij的。而xj對yij的影響從γ（2)01的顯著變成γ（3)01的不顯著。但是，Zhang，Zyphur和Preacher（2009）指出以上的分析方法雖然直覺上與Baron和Kenny驗證中介變量的在概念上是相同，卻是有一點問題的。原因如下。如果把方程（6)與方程（7)代入方程（5)，我們得yij=γ（3)00+γ（3)01xj+γ（3)10M·j+u（3)0j+γ（3)10（Mij－M·j)+r（3)ij從上麵的最後一個方程可知，γ（3)01也就是加上了中介變量後x對y的影響，其實可拆成兩個部分：就是M·j對yij的影響和（Mij-M·j）對yij的影響。前麵一個是Mij的平均值對yij的影響；後麵一個是個別員工的認同（Mij）與該員工與自己組內的平均認同（M·j）的差對yij的影響。用統計的術語來說，前者可以稱為員工認同的“組間的中介作用（betweengroupmediation）”，後者是員工認同的“組內的中介作用（withingroupmediation）”。
上麵的分析方法是強迫這個“組間”和“組內”的中介作用的值等同，兩者都一定要是γ（3)01了。為了正確估計在“211”模型的多層中介作用，並把“組間”和“組內”的中介分別出來，Zhang，Zyphur和Preacher（2009）建議我們用以下的模型來進行分析。第一組方程與上麵的相同，即yij=β（1)0j+rij（1)
β（1)0j=γ（1)00+γ（1)01xj+u（1)0j（2)第二組方程也是與上麵的相同，即Mij=β（2)0j+r（2)ij（3)
β（2)0j=γ（2)00+γ（2)01xj+u（2)0j（4)但是在第三組中，作者建議兩項改變。第一，中介變量Mij用“小組均值中心化（groupmeancentering）”。
第二，在第二層中加入每個小組的平均認同值（M·j）作為一個新的小組變量。新的模型為yij=β（4)0j+β（4)1j（Mij－M·j)+r（4)ij（8)
β（4)0j=γ（4)00+γ（4)01xj+γ（4)02M·j+u（4)0j（9)
β（4)1j=γ（4)10（10)為什麼要這樣做？這樣做有什麼好處呢？我們把方程（9)和方程（10)代入方程（8)後，再重新組合變量得到方程為yij=γ（4)00+γ（4)01xj+γ（4)02M·j+u（4)0j+γ（4)10（Mij－M·j)+r（4)ij比較這個“改善模型”的方程與“原來模型”的方程，我們就明顯地看見，現在我們已經可以把“組間”和“組內”的中介作用分別估計出來了。方程（9)的M·j的參數γ（4)02就是“組間中介”作用。方程（10)中的參數γ（4)10就是“組內中介”作用。但是，如果細心想想我們的模型，我們的假設是企業層麵的“人力資源管理效能”（xj）影響個人層麵的“員工表現”（yij），而影響的機製是透過個人層麵的“員工對企業的認同感”（Mij）。如果這個理論是對的話，既然一個企業內的“人力資源管理效能”都是相同的，在同一個企業中，相同的“人力資源管理效能”影響的員工“認同感”應該都是一樣的。為什麼呢？因為我們的模型定義了，影響員工“認同感”隻有一個因素，就是企業的“人力資源管理效能”。
如果A企業的“人力資源管理效能”是3分，因為員工“認同感”隻受“效能”影響，所有A企業內的員工都是受同樣的“人力資源管理效能”影響，A企業內的所有員工的“認同感”就一定是一樣的。但是，讀者可能會說，同樣的“人力資源管理效能”可以對不同的員工產生不同的“認同感”啊！本來這可以是對的。但是，我們的模型卻沒有一個對員工“認同感”影響的“個人”因素。既然隻有企業因素影響“認同感”，那同一個企業內的員工的“認同感”就該是一樣的了。更麻煩的是，“認同感”是影響“員工表現”的唯一因素。因此，同一個企業內的所有員工的表現都應該是一樣的了。雖然事實上這是不可能的。但是根據我們的理論，同一個企業中的員工表現的不同，在模型中都應該被視為隨機“誤差”的。同樣的，當中的機製變量“員工對企業的認同感”，在同一個企業中的方差也應該被視為“誤差”。
這就好比在方差分析（ANOVA）中，理論上唯一影響因變量yij的就是實驗處理xj。實驗組中的所有被試的因變量分數都應該相同，控製組內所有被試的分數也應該相同。我們做實驗時，觀察到的組內被試分數的不同，都會被視為“隨機誤差”一樣。明白了這個概念，我們就會知道，上麵這個“211”的中介模型裏，因為因變量（xj）是組間變量，它隻能影響組的平均分數，組內的差異是誤差。因此“組內的中介（Mij-M·j）”作用在我們的模型中是不重要的。我們真正有興趣的應該是“組間的中介”作用（M·j）。因此，我們最後要驗證的假設為H0：γ（2)01×γ（4)02虛無假設乘積中前麵的項γ（2)01是方程（4)中，企業層麵的“人力資源管理效能（xj）”對企業層麵的平均“員工認同感（M·j）”的影響［注：因為γ（2)01是xj影響β（2)0j的參數，而β（2)0j是Mij的小組截距，所以是小組的平均Mij］。後麵的項γ（4)02是方程（9)中，企業層麵的“平均員工認同感（M·j）”對企業層麵的平均“員工工作表現（yij）”的影響［注：因為γ（4)02是M.j影響β（4)0j的參數，理由同上］。兩個組間的效應的乘積，也就是我們講的所謂“組間的中介”作用。14.4.2“221”模型上麵討論的當中介變量是在個人層麵時的情形。那麼，當中介變量是在企業層麵時會如何呢？這個模型與上麵的分別是中介變量是企業的效能文化（performanceculture，以下簡稱“企業文化”，或者是“文化”），一個企業的效能文化越高，代表企業中充滿著提高效益的氣氛。
企業文化是一個企業層麵的變量。理論上，一個企業一般應該有同一個文化。因此，“文化”的下標是j，代表每一個企業的文化都一樣。不過，當我們測量企業文化的時候，往往要利用個體員工作為一個媒介。例如，我們在每一個企業中訪問了30位員工，邀請他們填寫一份企業文化的問卷，那麼代表該企業的文化的變量，就是用這30位員工的問卷的平均得分為代表。自然，不同員工的評分是可能有差異的。一般我們有兩個對策：第一，我們可以計算每個企業的員工的Rwg值和ICC（1)，ICC（2)值，以驗證他們的評分是否在統計上是一致的。第二，在企業文化的研究中，也有人同時把不同員工的企業文化評分的“均值”和“方差”同時放進模型中。前者稱為“文化水平（culturelevel）”，均值越大，企業中提高效益的氣氛就越濃厚。後者稱為“文化強度（cultureintensity）”，員工評分的方差越少，文化的強度就越強。為了簡化起見，以下我假設Rwg和ICC值滿意，而且我們隻對“文化水平”有興趣。現在雖然企業文化是一個企業層麵的構念，但是測量時卻是采用了幾十位員工的評分。因此，每個企業的文化（強度）都是一個平均值。因為文化是中介變量，我們把它稱為Mj。要驗證這樣一個企業層麵的中介變量，我們用以下3組方程：第一組方程是第二層階的“管理效能”影響第一層階的“員工表現”，即yij=β（1)0j+rij（11)
β（1)0j=γ（1)00+γ（1)01xj+u（1)0j（12)第二組方程是第二層階的“管理效能”影響第二層階的“企業文化”。
因為兩個變量都是同一層階的，所以簡單的回歸分析就可以了，即M0j=γ（2)00+γ（2)01xj+u（2)0j（13)第三組是第二層階的“管理效能”與第二層階的“企業文化”同時影響第一層階的“員工表現”。
因為沒有組內與組間中介的問題，故“小組均值中心化（groupmeancentering）”或是“數據均值中心化（grandmeancentering）”都是可以的，即yij=β（3)0j+r（3)ij（14)
β（3)0j=γ（3)00+γ（3)01xj+γ（3)02Mj+u（3)0j（15)在上麵3組方程中，我們最後要驗證的假設為H0：γ（2)01*γ（3)02假設乘積前麵的項γ（2)01是方程（13)中，企業層麵的“人力資源管理效能（xj）”對企業層麵的“企業文化（M0j）”的影響。後麵的項γ（3)02是方程（13)中，企業層麵的“企業文化（M0j）”對企業層麵的平均“員工工作表現”的影響。14.5跨層階調節變量的分析14.5.1高層階調節低層階變量我們在HLM那一章裏已經解釋了，HLM本來的模型就包括了一個第二層階調節第一層階的作用。例如：yij=β0j+β1jxij+rij
β0j=γ00+γ01Moj+u0j
β1j=γ10+γ11Moj+u1j
這一組基本的HLM公式，就有γ01和γ11是Mo（第二層階變量）調節兩個第一層階變量（xij與yij）的關係在裏麵。因此，跨層階的調節已經是我們的老朋友了。14.5.2低層階調節高層階變量HLM中隻允許“高層階”變量在第二層階調節第一層階的低層階變量的關係。那有沒有可能是“低層階”的變量去調節“高層階”的關係呢？我們的看法是不可能的。第一種情形是x是高層階的，y是低層階的，Mo是低層階的。讓我們來舉一個例子。x是高層階，如企業的文化；y是低層階的，如員工表現。如果企業的文化（x）影響員工表現（y）的話，一個企業隻有一個企業文化（假設沒有次文化）。在同一個企業中，所有的員工都是麵對同一個文化。這個同一的企業文化對不同的員工的影響（主效應）是一樣的。如果不一樣，那就是交互作用，而不是主效應了。如前所述，這就好像我們做實驗時一樣，實驗組內的被試因為麵對同樣的實驗處理，反應應該是一樣的。如果不同，那就是隨機的誤差（我們暫時不考慮交互作用）。既然在同一個企業內的員工表現是一樣的（因為企業文化一樣，不考慮交互作用），那麼企業文化應該隻會影響“平均的員工表現”。
個別員工的不同是隨機誤差。如果你現在試圖去提出一個解釋的機製，去解釋為什麼企業文化（x）會影響“平均員工表現”，那麼這個中介的機製就一定是一個“企業層麵”的機製。換句話說，x（企業層麵變量）影響y（個人層麵變量），一定隻可以發生在企業層麵，中介的解釋機製也一定隻可以發生在企業層麵。同樣的，調節機製也隻可以發生在企業層麵。也就是說x是高層階的，y是低層階的，Mo是“不可能”是低層階的。同樣原理，如果x是高層階的，y是高層階的，Mo就更不可能是低層階的了。因此，我們有一個結論，一個高階變量是不可以對一個比它低層階的變量產生“主效應”的。如果有影響，那這個高階變量隻會影響低層階的組平均值。如果我們隻考慮主效應，不考慮交互作用，那麼組內的所有差異都會被看成是隨機誤差。這個其實就是基本的方差分析的原理。既然“主效應”是在組間發生，這個“主效應”的中介和調節作用自然也是發生在組間（第二層階），而不可能發生在組內（第一層階）了。14.6跨層階的“調節中介”與“中介調節”作用其實，如果我們用的是一些處理跨層階問題比較強的統計軟件（如Mplus），那麼跨層階的“中介調節”或是“調節中介”與單一層階的“中介調節”或是“調節中介”是沒有很大的區別的。其中，唯一的區別就是在寫程序的時候，說明哪些變量是低層階的，哪些變量是高層階的。除了這個以外，我們用的邏輯還是上麵所討論的邏輯。因此，下麵的討論主要是概念上的討論。14.6.1跨層階的“調節中介”MeMo作用：第一型如上麵所說，當一個高層階的變量影響一個低層階的變量，它的中介和調節機製都應該是在高層階（組間）發生，而不會在低層階（組內）發生的。這個道理也自然會帶到中介調節裏。當一個中介變量在“中介”一個調節關係時，如果調節變量是高層階的，那麼中介變量也會是高層階的。因為當調節作用是影響“組間方差”時，調節中介也自然是在“中介”這個“組間方差”的關係了。同樣的，當調節變量在低層階調節兩個低層階的x與y時，我們也不會說這個調節作用被一個高層階的Me中介了的。簡單來說，“中介調節”不應該有跨過不同層階的效應。跨層階的分析軟件（如Mplus）唯一會做的就是把方差拆成“組內方差”與“組間方差”，然後在對應變量的正確層階進行模擬分析。舉個例子，如x是“人力資源管理效能”，y是“員工表現”，Mo是“產業”，Me是“人力資本”，則企業的人力資源管理效能會影響員工的表現。但是，影響的大小要看產業，因為有些產業更看重人力資源。產業之所以調節x→y的作用，是因為人力資本在不同的產業扮演的角色不同。如果我們說Me中介了“Mo對x→y的調節作用”，如果x是在第二層階，我們上麵談過了，xj是不能影響yij的，x·j隻能影響yij中的y·j（組間方差）部分。餘下的組內方差（y·j-yij），x.j是不能影響的。所以我們把yij拆成兩個部分，分別是y·j和（y·j-yij）。那如果Mo是調節了x→y的作用，Mo也必然是一個第二層階的變量（因為xj與y·j都是第二層階的變量，調節不可能是第一層階的）。既然第二層階的Moj調節了第二層階的xj對第二層階的y·j的影響，而Me中介了這個調節作用，那麼這個中介變量Mej也一定是第二層階的。我們在附錄4中摘錄了Liu，Zhang和Mo（2012）的Mplus程序，並加以解釋。
14.6.2跨層階的“調節中介”MeMo作用：第二型讀者可能還記得，Liu，Zhang和Mo（2012）提出了兩種類型的“調節中介”作用。我們上麵隻談了第一型，就是一個調節作用給另外一個變量（Me）中介了。他們還提出了第二類型的“調節中介”作用，就是Mo調節了x→y的作用；Me也調節了x→y的作用，而Mo→Me。其實在傳統的定義裏，應該稱為間接效應。不過，如果我們采用寬鬆的中介定義，就是凡是x→m→y都稱為中介，第二類型的“調節中介”就可以看成是“Me這個對x→y的調節作用”，中介了“Mo這個對x→y的調節作用”了。如果這個“調節中介”是跨層次的，最合理的情形就是Mo和Me都是在第二層階，x和y都是在第一層階了。
舉個例子，如xij是“主管與下屬的關係”，y是“員工表現”，Mo是“企業文化”，Me是“主管的權力”，主管與下屬的關係會影響員工的表現。但是影響的大小要看企業的文化（企業的官僚程度，Moj），也要看主管的權利有多大（Mej）。企業越是官僚，主管的影響就越小。主管的權力越大，主管的影響就越大。而“主管的權力”（Mej）很大程度是受企業的官僚程度（Moj）影響的。越是官僚的企業，層層疊疊的規章製度就會限製主管的權利。在分析這個跨層次的模型的時候，其實與單一層次沒有很大的區別。我們隻要在編寫Mplus分析程序時把“組內方差”與“組間方差”分開，而分別根據理論，假設什麼變量影響中介作用的“組內方差”，什麼變量影響中介作用的“組間方差”就可以了。不過讀者要注意，Moj是二階變量，分析它對x→y的調節時，不可以簡單地用xij×Moj。因為這兩個變量是在不同階層的。我們一定要用HLM的模型來分析，即yij=β0j+β1j（xij－x·j)+rij
β0j=γ00+γ01Moj+u0j
β1j=γ10+γ11Moj+u1j如果大家還記得HLM的概念的話，Moj對x→y的調節作用，其實是體驗在γ11這個參數上，也就是Moj對x→y在每一個小組的斜率的影響上。如果我們有n個小組，在每一組中x→y的斜率都不同，而每一組的Moj值就影響了該組的x→y的斜率了。同樣的，每一組的Mej值也影響了該組的x→y的斜率。因此，我們的數據在小組的層麵，應該是這樣的（表中的數字隻是例子而已）：（1）（2）（3）小組Moj值Mej值x→y的斜率第1組321.28第2組562.04第n組431.12第一個調節效應，是Moj對x→y的調節，也就是第（1）行和第（3）行的相關。第二個調節效應，是Mej對x→y的調節，也就是第（2）行和第（3）行的相關。中介的作用前半部（參數a），是由Moj對Mej的影響，也就是第（2）行和第（3）行的相關。中介的作用後半部（參數b），是由Mej對x→y的調節表示，也就是第（2）行和第（3）行的相關。整個“調節中介”的效應，就是（Moj→Mej）×（Mej調節x→y），也就是a×b了。14.6.3跨層階的“中介調節”作用“中介調節”與“調節中介”在這個問題上有點不同。因為一個不同層階的變量，理論上不可能“中介”一個不同層階的變量或關係。例如，一個第一層階的關係，是不可能被一個第二層階的變量中介的，反之亦然。但是，高層階的變量卻隨時可以調節比它低的層階的關係。例如，HLM的分析就是一個高層階的變量（組間變量）在調節不同組的組內（低層階變量）關係了，即yij=β0j+β1j(xij－x·j)+rij
β0j=γ00+γ01Moj+u0j
β1j=γ10+γ11Moj+u1j舉個例子，如xij是“下屬的能力（ability）”，yij是“員工的精力耗盡（burnout）”，Meij是“員工承受的工作量（jobdemand）”，Moj是“領導是否自私（leaders’selforientation）”，我們的理論可能是，越是有能力的員工，領導使用該員工去完成領導的目標的機會就越大。因為這些員工所承受的工作量很高，所以就容易精力耗盡。但是，這個情形隻會在一個隻顧自己利益的主管下發生的。因此，主管的自我傾向（一個小組或是主管層階的變量）就會是一個調節變量。在這個基本的HLM模型中，Mo（高層階變量）就是在調節不同組內的x與y關係，而x與y都是低層階變量。
既然Mo是第二階層的變量去調節兩個第一層階的變量（x與Me）的關係，這個調節就要用HLM來分析了。如果在每一組中xij→Meij的截距是β0j，斜率是β1j的話（下標j代表第j組），則Meij=β0j+β1j(xij－x·j)+rij
β0j=γ00+γ01Moj+u0j
β1j=γ10+γ11Moj+u1j根據上麵的HLM方程組，Mo對xij→Meij的影響是（γ10+γ11Mo）。如果Meij→yij的效用值是b的話，“跨層次的調節中介作用”的效用值就是根據一般中介作用效用值的定義，就是(xij→Meij的效用值)×(Meij→yij的效用值)，也就是(γ10+γ11Mo)×b。但是，這個“跨層次調節中介作用”的效用值，現在不是一個常數，是一個包括了Mo的函數。那我們在什麼情形下才會說這個效用值顯著呢？在這裏，我們就采用Edwards和Lambert（2007）在單一層次的“調節中介”時所使用的標準，就是如果當Mo是高於一個標準差時，相對於當Mo是低於一個標準差時，如果這個“跨層次的調節中介作用”的效用值(γ10+γ11Mo)×b是不同的，我們就說這個“跨層次的調節中介作用”是顯著的。因此，“跨層次的調節中介作用”的效用值（θ）的定義為θ=［(γ10+γ11MoH)×b］-［(γ10+γ11MoL)×b］［注：MoH是當Mo為一個標準差高於均值的數值；MoL是當Mo為一個標準差低於均值的數值。例如，如果Mo這個變量的均值是2.5，標準差是0.21的話，MoH是就是2.71，MoH是就是2.29了。］關於跨層階的調節中介，Liu，Zhang和Mo（2012）詳細地提出了很多個不同的可能性，也討論了不同可能性的模型的分析和程序編寫，我們在這裏就不再重複了。我們隻是把兩層階的“前期中介調節”的Mplus程序附在附錄4中，供讀者參考。如前所說，調節中介或者是中介調節作用的參數估計，一般都是非常複雜的。對於這些複雜的參數，我們根本不知道它們的抽樣分布。所以要知道參數估計在總體中是否為零，就要用bootstrapping的方法了。但是跨層次的研究的bootstrapping，又多了一層困難。例如，如果隻有一個層麵的話，bootstrapping隻需要把樣本看作是總體，然後使用重置抽樣法，隨機抽出1000個重置樣本，就可以估計參數的抽樣分布了。但是如果是跨層次的研究，重置抽樣時，到底應該是“在整個樣本中隨機重置抽樣”，還是“按著每一層的樣本中隨機重置抽樣”呢？這已經是一個不簡單的問題了。基於種種的複雜性，當我們寫這一章書的時候，現存的Mplus程序是不允許在跨層次的調節中介，或者是中介調節做bootstapping的。那麼如果不做樣本的重置抽樣的話，我們如何知道估計的參數，在總體中是否顯著呢？Liu，Zhang和Mo（2012）建議了使用“參數bootstrapping（parametricbootstrapping）”的方法來解決這個問題。所謂的“參數bootstrapping”，是相對於我們以前所說的“樣本bootstrapping”而言的。以前當我們講bootstrapping時，我們是說把樣本看成是總體，然後在“樣本中”重置抽樣。這是“樣本bootstrapping”。
“參數bootstrapping”卻不是在樣本中重置抽樣，而是用“估計出來的參數和它們的相應抽樣分布”來進行重置抽樣。例如，我們在講中介作用時，估計中介作用的參數估計是“前期效應值（x→Me的效應，a）乘後期效應值（Me→y的效應，b）”。
因為不知道a×b的抽樣分布，所以要使用bootstrapping的技巧。“樣本bootstrapping”是在樣本中不停地重置抽樣，在每一個重置抽樣樣本中估計a×b值。在1000個樣本重置抽樣後，我們就有1000個a×b值了。然後我們就把這1000個a×b值的分布看成是a×b的抽樣分布。“參數bootstrapping”的邏輯稍微不一樣。雖然我們不知道a×b的抽樣分布，但是a與b都是簡單的回歸係數。它們各自獨立的抽樣分布都是t分布來的。因此，另外一個可能的bootstrapping的方法，就是用參數a的t分布，隨機地按t分布的幾率產生1000個隨機的a值。同樣的，我們也可以隨機地按b的t分布的幾率產生1000個隨機的b值。把這1000個a值對應地乘以隨機產生的b值，我們就會有1000個a×b的值。這1000個a×b值的分布也可以看成是a×b的抽樣分布。這樣的方法稱為“參數bootstrapping”。
因為Mplus等強大的跨層階軟件，目前不允許在跨層階分析中做“樣本bootstrapping”。
因此，目前研究人員用的都是比較簡單的“參數bootstrapping”。
14.7非線性的中介和調節作用
14.7.1一般非線性關係上麵討論的中介和調節作用都是假設自變量與因變量的關係是線性的。但是，如果關係是非線性的話，中介和調節作用應該如何驗證呢？在回答這個問題之前，我們要談談什麼叫“非線性”關係。所謂線性關係，就是自變量x與應變量y符合線性方程，也就是x與y的關係是一次方的方程，即y=a0+a1x（a0與a1是常數）在這個情形下，我們說x對y的效用值（effectsize）是a1（a1是每一個單位x的值改變時y的改變）。在幾何上，a0是這條直線的截距，a1是這條直線的斜率。所謂的非線性關係，就是x與y的關係是任何高於一次方的方程。在數學上，非線性的關係有無數的可能性。但是在管理學上，絕大部分的所謂非線性關係，都是最簡單的二次方的方程，即y=a0+a1x+a2x2（a0，a1與a2是常數）因此，我們以下的討論都假設了x與y是簡單的二次方程的關係。大家都知道一次方程的幾何表現是直線，而二次方程的幾何表現是一條拋物線。一般我們就簡單地稱為U形的關係。例如，工作壓力（x）和工作表現（y）的關係就是一個典型的U形關係。壓力很低時，員工會鬆散，工作表現不會高。但是壓力過大時，也明顯影響工作表現的。因此，適當（中度）的工作壓力，工作表現是最高的。故工作表現（y）與工作壓力（x）的關係是一個倒U形的關係。
一般的情形下，如果x與y的關係是二次方程的關係，則y=ax2+bx+c(a，b，c是常數)x的二次方係數a是反映了這個U形關係的U字的“開口”是如何的。a反映了這個U形的“開口”有多寬，a越大，U形的“口”越窄。係數a的符號決定了這個“開口”是向上的還是向下的。如果a是負數的話，x與y就有“倒U形”的關係。如果a是正數的話，x與y就有“U形”的關係（U的開口向上）。如果要求不很嚴格，我們可以說係數b大致表現了U形的左右位置。當a是正數時，b越大，U形就往左移。當a是負數時，b越大，U形就往右移。最後，係數c反映了U形高低。係數c越大，U形就越往上移。對這個問題有興趣的讀者，可以到以下網頁看看。該網頁可以讓讀者了解當a，b，c改變時，拋物線（U形）是如何改變的：http：//www.livephysics.com/simulations/mathematicssim/quadraticequationgraph/。14.7.2非線性關係的調節作用當我們說“非線性關係的調節作用”時，我們的意思是x與y的關係是非線性的。但我們仍假設調節變量M對x與y的關係還是簡單的線性調節。也就是說，調節變量Mo越大時，x與y的非線性關係會越強（或是越弱），而這個增強（或是減弱）是線性的，也就是一個簡單的倍數。可是這裏有一個問題。當x對y的影響是線性時y=a0+a1x，我們說調節變量有增強的作用，那是很好理解的。就是當Mo越大時，a1就越大（或越小）。但是如果x與y的關係是非線性時，y=a0+a1x+a2x2，我們說調節變量有增強的作用的話，那是什麼意思呢？當Mo越大時，到底是a1越大，a2越大，還是a1和a2都越大呢？Hayes和Preacher(2010）在討論非線性的中介作用（我們將會在下麵討論）時，介紹了其中一個理解的方法。其實無論是x與y的關係是一次方或者是二次方，當我們說x對y的影響時，我們都是在說“每一個單位x改變時，y改變的速率（rateofchangeofywithrespecttox）”。
用數學上微積分的語言，就是當x改變一個單位時，y改變了多少？這個關係在微積分的用語是yx。當y=a0+a1x時，yx=a1，是一個常數。當y=a0+a1x+a2x2時，yx=a1+2a2x，是x的一個函數。因此，我們用同樣的邏輯，當我們說Mo調節x與y的關係時，我們的意思其實是當Mo改變時，a1+2a2x會隨著而改變。因此，不是a1改變，或是a2改變，或是a1和a2都改變，而是一個包含了a1，a2和x函數在改變！讀者可能覺得奇怪，當Mo調節這個U形關係時，a1和a2改變是很可以理解的。但是為什麼函數中會有x在裏麵呢？
但是如果我們把x2看成是兩個x相乘的話（x×x），x2對y的影響其實可以看成是一個x對y的影響，但是被x自己調節了。我想大概會是y=a0+a1x+a2x+a3x×x吧。但是，這個方程隻要稍微整理一下，就是U形關係方程y=a0+(a1+a2)x+a3x2。因此，可把二次方的關係看成是一次方的自我調節的關係。如果是這樣，那麼二次方的調節關係，自然就可看成是一次方的三階調節的關係了。其實，隻要把調節的方程寫出來，這個關係就更顯而易見了。二次方的調節關係的方程為y=a0+a1x+a2x2+a3Mo+a4xMo+a5x2Mo因此，三階的調節項就是x×x×Mo或者是x2Mo了。用模型的方式可得這個三階的調節表現出來。
因為U形的關係有x和x2對y的影響的項，所以調節變量Mo就同時調節這兩個關係了。根據公式y=a0+a1x+a2x2+a3Mo+a4xMo+a5x2Mox對y的影響為xy=a1+2a2x+a4Mo+2a5xMox對y的影響隨著Mo的改變為Moyx=a4+2a5x因此，非線性的調節除了要看調節變量Mo的大小以外，還要看自變量x值的大小。以下就是一個典型的非線性調節作用的可能結果：Mo的值x的值y的值置信區間（p=0.05）低-0.01高0.250.17~0.32中0.330.25~0.45低0.310.23~0.35高1.01高0.150.09~0.18中0.390.31~0.48低0.180.13~0.24注：Mo的高、低值，我們用Mo這個變量正負一個標準差來代表，Mo±σMo
x的高、中、低值，我們用xm+σx，xm和xm－σx來代表。上麵的結果說明當調節變量是低（低於平均數）時，3個x值（高、中、低）對應的y值的0.05可信區間是重疊的。也就是說它們在統計上來說，在總體中可能是一樣的。但是當調節變量是高（高於平均數）時，3個x值（高、中、低）對應的y值的可信區間的中間點是高於另外兩點的，所以是一個倒U形的關係。簡單來說，x與y的倒U形關係，隻有當調節變量Mo是高時才出現。這就驗證了調節的二次方關係了。我們把對應的Mplus程序寫在附錄5中，供讀者參考。14.7.3非線性關係的中介作用當我們說“非線性關係的中介作用”時，我們的意思可能有3種情況：一是x與中介變量Me的關係是非線性的，而中介變量與因變量的關係仍是線性的，這是“前期的非線性中介作用”；二是x與中介變量Me的關係是線性的，而中介變量與因變量的關係是非線性的，這是“後期的非線性中介作用”。