β1j=γ10+γ11Wj+u1j在這個基本模型中，每個參數的含義如下：①β0j是在第j組中，員工的平均“互助”行為。②β1j是在第j組中，當“心情”改變一個單位時，員工的“互助”行為會改變多少。③rjk是在每一組中，用“心情”來估計“互助”行為時的估計誤差。④第二層模型告訴我們，β0j和β1j是在“組與組之間”不停地改變的，而這個改變的程度是可用“部門距離”（Wj）來估計的。⑤γ00是“部門距離”對“組內平均互助行為”的平均影響。⑥γ01是當“部門距離”改變一個單位時，“組內平均互助行為”改變多少。⑦u0j是用“距離”來估計“組內平均互助行為”行為時的估計誤差。⑧γ10是“部門距離”對“組內‘心情’對‘互助’的影響”的平均影響。⑨γ11是當“部門距離”改變一個單位時，“組內‘心情’對‘互助’的影響”會改變多少。因此，這就代表了“部門距離”對“心情”→“互助”的調節效應。因為“部門距離”是第二層階的變量，“心情”與“互助”都是第一層階的變量，因此這是一個“跨層階的調節效應”。
⑩u1j是用“距離”來估計“組內‘心情’對‘互助’的影響”時的估計誤差。13.4HLM的基本二層線性模型最基本的二層線性模型為Yij=β0j+β1jXij+rij
β0j=γ00+γ01Wj+u0j
β1j=γ10+γ11Wj+u1j假設E(rij)=0Var(rij)=σ2
Eu0ju1j=00Varu0ju1j=τ00τ01τ10τ11=T
Cov(u0j，rij)=Cov(u1j，rij)=0這個基本的“二層線性模型”可以有不同的變化模型。下麵介紹4個簡單的變化模型。1)“基本的二層線性模型”的第一個變化模型Yij=β0j+β1jXij+rij
β0j=γ00+γ01Wj+u0j
β1j=γ10+γ11Wj+u1j［注：上麵的模型有下畫線的是“基本二層線性模型”不要的部分，後同］模型簡化為Yij=β0j+rij
β0j=γ00+u0jYij受以下3個因素影響：①一個總平均（γ00）。②一個隨機的第二層（如小組）效應（u0j）。③一個隨機的第一層誤差（rij）。因為有一個第二層階的效應在影響每一組的平均，這個模型其實就等於我們一般的方差分析ANOVA。2)“基本的二層線性模型”的第二個變化模型Yij=β0j+β1jXij+rij
β0j=γ00+γ01Wj+u0j
β1j=γ10+γ11Wj+u1j模型簡化為Yij=β0j+β1jXij+rij
β0j=γ00+u0j
β1j=γ10Yij受以下4個因素影響：①一個總平均（γ00）。②一個隨機的第二層效應（u0j）。③一個第三變數（Xij）的效應（γ10）。④一個隨機的誤差（rij）。這個模型其實就等於我們的協方差分析（AnalysisofCovariance，ANCOVA），是一般的方差分析中允許控製住一個協方差變量Xij。3)“基本的二層線性模型”的第三個變化模型Yij=β0j+β1jXij+rij
β0j=γ00+γ01Wj+u0j
β1j=γ10+γ11Wj+u1j模型簡化為Yij=β0j+β1jXij+rij
β0j=γ00
β1j=γ10Yij受以下3個因素影響：①一個總平均（γ00）。②一個第三變數（Xij）的效應（γ10）。③一個隨機的誤差（rij）。因為所有的第二層階參數都是參數，這個模型其實就等於一個單層階的模型，也就是簡單的回歸分析SimpleRegression。回歸分析中的自變量是Xij［注意，在這個模型中沒有第二層的效應，隻有第一層的效應］。4)“基本的二層線性模型”的第四個變化模型Yij=β0j+β1jXij+rij
β0j=γ00+γ01Wj+u0j
β1j=γ10+γ11Wj+u1j模型簡化為Yij=β0j+β1jXij+rij
β0j=γ00+u0j
β1j=γ10+u1jYij受以下5個因素影響：①一個總平均（γ00）。②一個隨機的第二層效應（u0j）。③一個第三變數（Xij）的效應（γ10）。④一個隨機的第一層效應（u1j）。⑤一個隨機的誤差（rij）。這個模型在上麵已經討論過。它是一個簡單的回歸分析，但是卻可讓回歸係數在不同層階有機會改變的模型。在統計學上，這樣的模型稱為隨機係數回歸分析（randomcoefficientregression）。13.5HLM的重要問題13.5.1HLM的統計驗證HLM是一個跨層階的分析工具。它其實是一個牽涉多層階的嵌套回歸分析模型。因此與其他的回歸分析一樣，HLM也牽涉利用樣本統計量來估計總體參數的問題。現在讓我們來看看如何在HLM內做統計的驗證。我們還是用HLM最基本的模型來開始探討。這個模型為yij=β0j+β1jxij+rij
β0j=γ00+γ01Wj+u0j
β1j=γ10+γ11Wj+u1j①第一個我們有興趣驗證的是H0：u0j=0？這個問題意在探討Wj是否有足夠能力去解釋組間的截距的差異。如果u0j=0，那就代表Wj可以解釋組間的截距的所有差異。統計學家告訴我們，u0j的統計抽樣分布是一個χ2分布。②知道了Wj能夠很大程度解釋β0j後，接下來的問題就是Wj與β0j到底有什麼關係？那就要看β0j=γ00+γ01Wj+u0j中的γ00與γ01。很明顯γ00與γ01都是一個簡單回歸的回歸係數。要驗證H0：γ00=0和H0：γ01=0，自然都是采用驗證回歸係數的t檢驗了。③u0j，γ00與γ01都是與組間的截距有關的驗證。如果我們有興趣的是組間的斜率，對應的統計量就是u1j，γ10與γ11了。H0：u0j=0是驗證Wj是否有足夠能力去解釋組間的斜率的差異。同樣u0j的抽樣分布是一個χ2分布。H0：γ10=0是驗證Wj是否影響組間的Yij的均值。H0：γ11=0是驗證Wj是否影響“Xij對Yij的影響”。
換句話說，Wj是否調節“Xij與Yij的關係”。
因為γ00與γ01都是回歸係數，它們的抽樣分布也都是t分布。13.5.2HLM的參數估計程序這個部分牽涉複雜的統計估計問題，內容非常數學化。對於不熟悉統計學的讀者來說，我們建議隻要大概明白它的意思即可，不一定要求每字每句都完全理解。HLM的模型牽涉兩重交叉折疊的估計，頗為複雜，即yij=β0j+β1jxij+rij
β0j=γ00+γ01Wj+u0j
β1j=γ10+γ11Wj+u1j在上麵的估計中，首先第一層是在每組中，利用Xij來估計Yij的方程yij=β0j+β1jxij+rij。
這個估計其實是一個簡單的回歸分析。在回歸分析的一章中已經介紹過，如果回歸隨機項rij的固定方差是σ2，截距回歸係數β0j的抽樣方差（υ0j）和斜率回歸係數β1j的抽樣方差（υ1j）分別是（nj是小組j的人數），即ν0j=σ2nj和ν1j=σ2x2ij在HLM的模型中，第二層的估計是在組與組之間利用Wj來估計β0j和β1j的方程β0j=γ00+γ01Wj+u0j和β1j=γ10+γ11Wj+u1j。其中，估計的誤差是u0j和u1j，誤差的方差是τ00和τ11。
這兩個估計都是簡單的回歸分析。但是合起來用的時候，就有點衝突了。為什麼呢？我們再看看HLM的基本模型：yij=β0j+β1jxij+rij
β0j=γ00+γ01Wj+u0j
β1j=γ10+γ11Wj+u1j基於這個模型，可首先在每一組內做一個回歸分析，用xij來估計yij。這樣就可有j個不同的β∧0j和β∧1j的估計。第一組的稱為β∧01和β∧11，第二組的稱為β∧02和β∧12……如此類推，然後，可在組與組之間再做一個回歸分析，用Wj來估計這些β∧0j和β∧1j，並得到γ00，γ01，γ10，γ11這4個參數的估計。但是，有了這4個參數後，又可利用Wj與γ00，γ01，γ10，γ11，再重新估計出一組新的β∧0j和β∧1j的估計（為了避免混亂，我們將這一組新的估計稱為β~0j和β~1j）。這樣問題就出來了。我們應該用xij估計出來的β∧0j和β∧1j，還是用Wj估計出來的β~0j和β~1j呢？換句話說，我們應該相信用第一層階估計出來的參數β∧0j和β∧1j，還是用第二層階估計出來的參數β~0j和β~1j呢？要回答這個問題，最簡單的結論就是兩個都用，因為第一層階的數據和第二層階的數據都是數據的一部分，兩者不分輕重。但是，應用一個加權的平均估計，而加權的權數就是該層階的估計的誤差的倒數。換句話說，哪一層階的估計的誤差比較小，利用它來估計β0j與β1j的比重就比較重。用數學的符號來表達這個加權的平均參數估計的公式為（Λ0就是給β0j的權數；Λ1就是給β1j的權數）最優的(βj)=λjβj∧+(I－λj)Wjγ∧那兩個層階的估計誤差是什麼呢？我們在上麵已經談過了。在第一層階，β∧0j和β∧1j的估計誤差方差為ν0j=σ2nj和ν1j=σ2x2ij在第二層階，β~0j和β~1j的估計誤差方差是τ00和γ11。因此，在第j組中，兩個層階的參數估計的比重為λ0j=τ00τ00+ν0jλ1j=τ11τ11+ν1j13.5.3HLM的模型R2的問題當我們做回歸分析時，模型的R平方（ModelR2）是一個非常有用的指標。它告訴我們模型中所有自變量到底能夠解釋因變量的多少方差。但是，如果同一個觀念用在HLM時，就不好理解。我們說過，HLM的模型涉及兩重交叉折疊的估計。層階一是一個回歸分析、層階二是一個交叉在層階一參數中的另一個回歸分析。因此，當我們說自變量解釋了多少因變量（yij）的方差時，我們的意思是什麼呢？嚴格來說，HLM是沒有模型的R平方。因為它不是一個簡單的估計模型。但是，研究人員往往希望知道，起碼在第一層階中，自變量解釋了因變量的方差的百分之幾？在第二層階中，自變量又解釋了因變量的方差的百分之幾？這些資料在理解研究結果時是非常重要的。因此，我們就產生了HLM模型的R平方的估計了。但是讀者要知道，無論如何我們在這一節講的，隻是一個粗略的估計。因為不同層階的解釋能力不是完全獨立的，而是互為影響。因此，一般在HLM的領域裏，我們都將這些R平方的估計稱為“偽R平方”（pseudoRsquare）。一般估計HLM模型的“偽R平方”時，我們可以采用一個類似層階回歸的概念。層階回歸是首先用一個最簡單的模型估計因變量y。這樣我們就有一個“底線的模型R平方”（Rsquareforbaselinemodel）。然後，我們每多增加一個自變量，模型的R平方都會增加。計算這兩個模型R平方的差數，就知道多增加了自變量後，我們多解釋了y的方差的多少。同樣可從一個最簡單的HLM模型開始：基本模型（baselinemodel，M1）為yij=β0j+rij
β0j=γ00+u0j然後增加一個第二層的自變量，成為模型二（M2）。這個第二層階的自變量其實就是第一層階的自變量的小組平均數（x.j，這個符號的“.”是代表平均，j是第j組，所以這符號的意思是第j組的x值的小組平均），即yij=β0j+rij
β0j=γ00+γ01x.j+u0j然後從基本模型中增加一個第一層的自變量［注：我們依照習慣把x小組中心化了］，成為模型三（M3），即yij=β0j+β1j(xij－x.j)+rij
β0j=γ00+u0j
β1j=γ10+u1j最後，我們把第一層階的xij和第二層階的x.j同時放進模型中。這個模型稱為模型四（M4），即yij=β0j+β1j(xij－x.j)+rij
β0j=γ00+γ01x.j+u0j
β1j=γ10+γ11x.j+u1j假設4個模型的分析結果如下：變量方差M1M2M3M4rijσ239.1539.1636.7136.71u0jτ008.622.648.682.65u1jτ110.680.66當比較基本模型（baselinemodel，M1）的τ00時，則比率一=τ00(M1)τ00(M1)+σ2(M1)=8.628.62+39.15=0.1804這代表y的方差中，有18%是由第二層（小組）產生的，有82%是由第一層（個人）產生的。如果比較模型一（M1）和模型三（M3）的σ2，則比率二=σ2(M1)－σ2(M3)σ2(M1)=39.15－36.7139.15=0.0623這代表y的方差中，自變量x解釋了6%。如果比較模型一（M1）和模型二（M3）的τ00，則比率三=τ00(M1)－τ00(M2)τ00(M1)=8.62－2.648.62=0.6937這代表y的組間方差中，不同的小組解釋了69%。這代表整個數據中的y的方差，主要是由自變量x的組間方差來解釋的，自變量x的組內方差解釋的能力很低。最後一組分析是比模型三（M3）和模型四（M4）的σ2和τ00，則比率四=τ00(M3)－τ00(M4)τ00(M3)=8.68－2.658.68=0.6947
比率五=τ11(M3)－τ11(M4)τ11(M3)=0.68－0.660.68=0.0294這代表加上了小組的x平均以後，我們解釋了大部分的截距的差異（69%），但是卻沒有能力解釋斜率的差異（