用天元術建方程的李冶
李冶是金元時期的數學家、文學家、詩人。金亡北渡，常與元好問唱和，世稱“元李”。晚年居於封龍山下，隱居講學。
李冶在數學上的主要貢獻是天元術，用以研究直角三角形內切圓和旁切圓的性質。與楊輝、秦九韶、朱世傑並稱為“宋元數學四大家”。
李冶的父親李遹是位博學多才的學者，曾在大興府尹胡沙虎手下任推官。李冶出生的時候，蒙古軍隊加緊向金代朝廷進攻，腐朽的朝廷內已潛伏著亡國的危機。
李遹的上司胡沙虎是一個深得金朝寵信的奸臣。李遹見他無惡不作，常常據理力爭，置個人生死禍福於度外。李遹為了防備不測，便把老小送回故鄉欒城。
這時李冶正值童年，他沒有隨家人回鄉而獨自到欒城的鄰縣元氏求學去了。由於胡沙虎篡權亂政，李遹被迫辭職，隱居陽翟，從此不再過問政事。
他吟詩作畫，在當地頗有名聲。
父親的正直為人及好學精神對李冶深有影響。在李冶看來，學問比財富更可貴。他在青少年時期，對文學、史學、數學、經學都感興趣，曾與好友元好問外出求學，拜文學家趙秉文、楊雲翼為師，不久便名聲大振。
1230年，李冶赴洛陽應試，被錄取為詞賦科進士，時人稱讚他“經為通儒，文為名家”。
1232年農曆正月，鈞州城被蒙古軍隊攻破。李冶不願投降，隻好換上平民服裝，走上了漫長而艱苦的流亡之路。這是他一生的重要轉折點，將近50年的學術生涯便由此開始了。
李冶經過一段時間的顛沛流離之後，定居於現在山西省崞山的桐川。由於他不再為官，這在客觀上使他的科學研究有了充分的時間。他在桐川的研究工作是多方麵的，包括數學、文學、曆史、天文、哲學、醫學。
李冶在桐川的生活條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得溫飽，要為衣食而奔波。但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作。
李冶的數學研究是以天元術為主攻方向的。這時天元術雖已產生，但還不成熟，就像一棵小樹一樣，需要人精心培植。李冶在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。
特別值得一提的是，他在桐川得到了道教洞淵派的一部算書，內有九容公式，專講勾股容圓問題的內容。此書對他啟發甚大。為了能全麵、深入地研究天元術，李冶把勾股容圓問題作為一個係統來研究。
李冶討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，經過多年的艱苦奮鬥，終於在l248年寫成《測圓海鏡》12卷。這是他一生中的最大的成就，也是我國現存最早的一部係統講述天元術的著作。
《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。其主要成就是總結並完善了天元術，使之成為我國獨特的半符號代數。這種半符號代數的產生，要比歐洲早三百年左右。卷1的“識別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關係以及它們與圓徑的關係，共600餘條，每條可看做一個定理或公式。這部分內容是對中國古代關於勾股容圓問題的總結。
後麵各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來。李冶總結出一套簡明實用的天元術程序，並給出化分式方程為整式方程的方法。他發明了負號和一套先進的小數記法，采用了從0至9的完整數碼。除O以外的數碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年。