油畫中的數學題

我國著名數學家華羅庚曾經建議學數學的人,都看一看一幅油圓。這是一幅怎樣的油畫呢?

著名俄國畫家波格丹洛夫別列斯基畫了一幅畫名山水《難題》的油畫。油畫描繪了俄國數學家、教育家拉金斯基和他的學生們正在演算黑板上的數學題。畫麵上的主體是黑板上用白粉筆列的一道數學題。一群俄國小學生正仰著腦袋,皺著小眉頭,望著黑板上的數學題動腦筋。黑板上方有一個鏡框,鏡框裏有拉金斯基的半身肖像。

這幅油畫中,黑板上的數學題占據了畫麵的中心,似乎顯得單調、枯燥;但是隻要人們駐足觀看一會兒,就會被畫麵空間洋溢出的智慧吸引住。

乍看之下,這道數學題不難,但是再一細看,卻也不是很容易,就是大人們也一下子難以算清。

黑板上列的是一道分數題:

拉金斯基是俄國莫斯科大學的數學教授,是著名的數學家。他為什麼要給小學生出算術題呢?原來,拉金斯基小時候常常為一些“難題”算上幾天幾夜也不疲倦。11歲那年,他碰到一道二元二次方程式,無論他怎樣絞盡腦汁也解不出來。他徒步100多裏到城裏向一位中學數學老師請教。老師隻花了一分鍾,教給了他一個簡單的公式,他便很迅速地解開了這道方程式。這件事對拉金斯基深有觸動:一些令孩子們頭疼的“難題”,隻有了解其中的一些規律性,它就迎刃而解了。拉金斯基希望通過他的指導,教給孩子們認識規律性的思維和技能。那麼,這道題幾個數字之間有什麼特性呢?

拉金斯基在計算中發現了一個規律:就是10的平方加11的平方加12的平方之和,正好等於365,而且13的平方加14的平方也等於365。這樣,分子是兩個365的和,而分母是一個365。分子除以分母,答案即可脫口而出地說出來。

這幅油畫啟發人們做數學題要特別留心數字之間是否有規律存在,並力圖尋找出簡便的運算方法來。所以,這幅畫受到華羅庚的高度評價。

數學王子高斯從小就掌握了計算中的規律性。高斯上小學三年級時,老師出了這麼一個題目:1+2+3+4+…+100等於多少?同學們看完題後都拿出小石板算了起來:1+2:3,3+3:6,6+4:10,10+5:15……。這時,高斯把寫有答案的小石板交上去了,答案是“5050”。老師問高斯是怎麼算的。高斯說:“我是心算出來的,我發現這100個數裏,一頭一尾兩個數相加都是101,所以,我先把1到100這些數組成1+1002+99,3+98…50+51等於50組,這些組的和都是101,這樣,一共有50個101,由101X50=5050”。

我國古代大科學家沈括從小十分注意計算數字中的規律性。有一個酒店把酒壇堆得整整齊齊,一層一層的美觀大方。酒店老板想考考沈括,問他這堆酒壇一共有多少個。沈括說隻要你告訴我最上麵那層一共幾排,每排多少個,一共有幾層,根本不用數,我馬上就知道酒壇數目。老板告訴沈括,最上麵那層酒壇是4排,每排8個,第二層是5排,每排9個,……一共7層。沈括脫口而出“一共567個。”

沈括數壇子的方法其實非常簡單,因為最中間那層共77個,共7層,再乘7,最後加上常數28。沈括數學的方法利用了高階等差級數求和的方法,要比單純地一個一個地數方便多了。

莊子曾講過一個庖丁解牛的故事。庖丁的動作和刀子出入筋骨縫隙的聲音,都十分完美。庖丁剛開始解剖牛的時候,眼睛裏看見的是一頭牛。3年之後,由於他解剖的牛多了,眼睛裏看見的便不再是一頭牛了,而是牛身上的筋骨脈絡的結掏。普通的廚子,一個月要換一把刀,那是因為他又砍又割。好的廚子,一年才換一把刀,那是因為他隻割不砍。刀自然損傷得少。庖丁的刀呢,已經用了19年了,還像剛從磨刀石上磨出來一樣鋒利,因為庖丁既不割更不砍。庖丁解剖牛,刀鋒隻在牛身上的筋骨縫隙裏遊來遊去,任意活動,所以牛完全沒有痛苦,而不知其死。

庖丁解牛的故事告訴我們,任何事物都有自身的規律,事物的規律雖然是客觀的,不以主觀意願為轉移,但是人們可以認識它。從而把握它,循其規律辦事,難者可以變易,複雜的也可以變成簡單的了。

規劃論方法有兩種:線性規劃方法與非線性規劃方法。區別它們主要看其目標函數和約束條件。在線性規劃方法中,目標函數和約束條件都是線性函數。可是在實際生活中,很多現象往往必須用非線性函數來描述。此時,在目標函數或約束條件中可能出現非線性函數,這樣就產生了非線性規劃方法。

工程設計、經濟學等領域內的許多定量問題,都可以運用非線性規劃方法得到解決。例如,在機械方麵,如何選擇開溝機的主要參數(鏟刀尺寸、前進速度等),盡量提高每小時挖土效率;在化工方麵,如何決定各原料的配方比例,使產品(如橡膠、燃料)的主要性能指標(如彈力、硬度、伸長率等)最優化;在建築方麵,如何在滿足各項使用的要求下,設計屋架結構尺寸,使造價或用料達到最優化;在管道設計(如水管、煤氣管、石油管等)中,如何決定管道的尺寸,在一定的壓力、流量等要求下,使總的投資最優化;在光學方麵,如何選擇照相機、望遠鏡鏡頭的結構尺寸,使成像的質量最佳;在電工和電力方麵,如何選擇變壓器、電動機的主要參數,使成本最佳;在電力傳輸中,如何選擇可變均衡器的設計變量,使衰減程度達到最小。

規劃論方法屬於運籌學思維方法範圍,解決全麵安排、統一分配、合理調度、最優設計的問題。

反證法是一種重要的證明方法。關於反證法,法國數學家阿達瑪曾說過,這種方法在於表明:若肯定定理的程設而否定其結論,就會導致矛盾。這是對反證法精辟的概括。反證法可以簡要地概括成這樣一個公式:

否定推理否定即從否定結論開始,經過正確的推理,達到新的否定(導致邏輯矛盾)。

純數學推理的失誤

有一道智力測驗題:

將一張紙對折50次,它的厚度是多少?

人們普遍認為,這是一個很大的數。於是,憑主觀經驗猜測,可能是1千米、10千米,甚至是100千米:這道題的正確答案是5000萬千米,這道題命題的本意是想告訴人們,主體狹隘性是一種經驗型思維枷鎖。但是這道題出錯了。因為一張紙對折50次是不可能的。