美國數學家哈爾莫斯說過：“問題是數學的心髒”。這一數學名言言簡意賅地點明了數學問題對數學的重要性。
1900年8月，在巴黎召開的第二次國際數學家大會上，德國數學家希爾伯特作了題為“數學問題”的著名演講。這一演講，成為世界數學史的重要裏程碑，為20世紀的數學發展揭開了光輝的第一頁。這個演講中由希爾伯特提出的23個當時未解決的難題，此後以“希爾伯特問題”著稱。而對這些具有遠見卓識的難題的研究貫穿了整個20世紀，刺激、推動了20世紀整個數學的發展。
美籍華裔數學大師陳省身在1985年南開數學研究所成立時指出：“一定要做好的數學”，“有好的數學和不好的數學之分”，“要從年輕時就懂得欣賞好的數學”。
由這兩個事例中，我們可進一步體會到好的數學問題對數學的極端重要性。那麼什麼是好的數學問題呢？在陳省身看來，隻有那些有深遠意義，可以不斷深入，有發展前途，可以影響許多學科的數學問題才是“好的數學”，如解方程。而另一些雖然可能也蠻有意思，但難以有進一步發展的數學卻是“不好的數學”，如“拿破侖定理”。而在希爾伯特看來，好的數學問題在於它有用而且增進知識，數學史上重要的特殊問題就在於其能創造新方法、建立新理論、開辟新領域。簡單說，好的數學問題就是能為數學“下金蛋”的數學問題。
縱觀數學發展史，這類重要的、有價值的數學問題可謂不勝枚舉。而我們本書所要介紹的正是從代數、幾何、圖論、數論中采擷出的6個這類經典數學問題。
在第一章中，我們介紹多項式方程根式解問題。這一問題涉及的是代數的中心問題——解方程。而通過對這一問題的介紹，我們將看到代數學是如何隨著這一問題的研究一步一步發展起來的。而我們還將看到正是問題最終的解決，又將代數學引向了新的方向。
在第二章中，我們介紹幾何三大問題，即用尺規三等分角、倍立方、化圓為方。這一問題屬於平麵幾何。而問題的解決卻要以解析幾何作為工具之一。因此，我們在這一章也會簡單介紹一下解析幾何。
在第三章中，我們介紹歐幾裏得第五公設問題。這一問題同樣來自歐氏平麵幾何，但對它的2000多年探討的最終結果卻導致了非歐幾何的創立。我們還將看到，非歐幾何的產生對數學的重要意義及其在相對論中的應用。
在第四章中，我們介紹四色問題。這一問題屬於拓撲學或更確切說屬於圖論。我們將看到，誕生於數學遊戲的拓撲學與圖論是如何隨著四色問題的研究而得到進一步發展的。而最終四色定理的計算機證明，又引發了人們對數學證明等問題的深入探討。
在第五章中，我們介紹費馬問題。這一問題屬於數論。我們的介紹亦將從數論的起源開始，並簡單介紹在數論早期發展中做出重要貢獻的幾位數學家及其工作。而最終，我們將以英國數學家懷爾斯的圓夢之旅作為這出精彩數學戲劇的尾聲。我們還將從中看到，早期的數論伴隨著這一問題的研究而得以擴展向新的數學分支——代數數論。
在第六章，我們介紹素數問題。這一同樣屬於數論的問題曾被列入“希爾伯特問題”，也可稱為“希爾伯特第8問題”。自然，這是一個涵蓋麵非常廣的問題。而我們將主要介紹數學之聖杯——黎曼猜想。這一問題與本書前五章介紹的問題有一個重要差別，前者都是已經獲解的問題，而隻有黎曼猜想這一被許多數學家認為是最重要的數學問題至今仍是有待攀登的數學珠穆朗瑪峰。
通過對這幾個問題的清晰介紹，讀者應能對這些問題的來龍去脈獲得清楚認識。而伴隨著這一過程，讀者踏上的漫長旅程亦將成為反複體驗“從驚訝到思考”的快樂之旅。
首先，讀者會為這幾個著名難題“困難性和簡單性的某種巧妙組合”的特征而驚訝。說其簡單，是指問題本身清楚、易於理解，正是這一特點吸引、誘惑著無數人走上尋找其解決鑰匙的道路。而無數嚐試者的失敗則揭示出這些表麵簡單問題的極度困難性。這種問題表述“非常簡單”和問題求解“極度困難”的鮮明對立，是這些問題的特別迷人之處，也是令人驚歎之處。