笛卡兒曾說：“我從小為了科學而受教育，因為人們使我確信，科學能給生活中一切有價值的東西以明確可靠的認識，所以我把少有的熱情用在學習上。但是，當我學完通常把培養學者作為其目的的全部教材時，我的觀點完全變了。我這才知道自己處於這種疑惑和錯誤的混亂之中。從我學習的渴望中，我隻得到了一個好處——越發學會揭穿自己無知的老底。世界上如果有什麼地方有博學之士的話，這樣的人就正應該出現在歐洲。”他還說過：“我學會了別人所學到的一切，但我不滿足於此。凡是能搞到手的，內容被認為是最有趣、最科學的書，我都讀了。”不滿足於神學和哲學的笛卡兒轉向了數學，他痛心地確認，在這個創造物的花崗岩的基礎上，沒有築成比把數學應用於力學再高的任何建築。長期的思索結出了果實，一個建築的輪廓開始逐漸地顯示出來。那麼，笛卡兒到底發明了什麼呢？
我們把解析幾何稱做是一項偉大的發明。恩格斯把解析幾何（笛卡兒變量）的發明稱為數學領域的一個轉折點。他寫道，由於這一發明，辯證法和運動進入了數學領域，而這立即引起無窮小概念的發展。英國的大科學家牛頓和德國的大哲學家萊布尼茨通常被認為是無窮小運算的創始人。恩格斯強調指出，笛卡兒的發明應當看作是首創，而牛頓和萊布尼茨隻是更加完善，而不是發明了這種運算。
笛卡兒的基本思想在於要用代數來解決幾何問題。代數與數、方程有關，幾何與點、線、麵有關。把二者結合起來，這就意味著要找到一種設法把幾何方法和代數方法互相比擬的方法，以便在完成某種形式的、按照確定的法則進行的代數運算時，對這些運算的結果作幾何上的解釋。
數和圖形的概念是數學的基本概念。每一個圖形都可以用確定的參變量——長度、麵積、體積來描述。可是，如果兩個圖形的參變量相同，僅靠參變量並不能把兩個圖形確切地區別開來，需要借助數字同時確定圖形在空間中的位置。這可以利用坐標法（在解析幾何中，我們使用像等價這樣一些術語）來做。掌握坐標法，這意味著用這種表示法把代數形式的方法和直觀的幾何方法合為一體。這種方法的掌握是長期的、嚴格訓練的結果。
每一個幾何圖形都是點的集合。為了利用數學確定圖形在空間的位置，必須先利用數學確定點的位置。確定點位於線上、麵上，或者三維空間，應以取適當個數為依據：一個數、點在線上，兩個數、點在麵上；三個數、點在空間。這樣，點和數的集合相互之間建立了一一對應的關係。這種對應是坐標法的基礎，被稱為坐標係。以我們在何處取點，也就是從我們所建立的對應為依據，我們就能有某一種坐標係。
笛卡兒讓代數為幾何服務（而且不僅是幾何，還有物理、化學、生物、地理等等），對於那以後被認為是財富的許多思想，笛卡兒比別人更有預見性。
大家知道，研究了人類思維的規律，特別是算術運算的規律，我們就得到這些規律的模型，並且去尋求依靠機器完成這些運算的可能性。對於機器來說，完全不同的是，隻有一種信息擁有進入機器的控製範圍這種形式邏輯的性質，人們才能把這種信息輸入機器。機器按照人們“教”它的規則處理任何一種這類的信息，並產生出現成的結果，至於對這個結果如何解釋，就全靠輸入信息的人了。