比賽當天,米蘭市熱鬧非凡,人們都想看一看這場特殊的比賽到底誰是贏家。比賽正式開始,塔塔裏亞胸有成竹,運筆如飛。而菲奧爾皺緊眉頭、一籌莫展,最終以0﹕30敗北。從那以後,塔塔裏亞享譽歐洲。
63.笛卡兒開創解析幾何學
笛卡兒是一位勇於探索的科學家,他建立的解析幾何在數學史上具有劃時代的意義。他堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一,被譽為“近代科學的始祖”。
笛卡兒的主要數學成果集中在他的“幾何學”中。當時,代數還是一門新興科學,幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統治地位。在笛卡兒之前,幾何與代數是數學中兩個不同的研究領域。笛卡兒站在方法論的自然哲學的高度,認為希臘人的幾何學過於依賴於圖形,束縛了人的想象力。對於當時流行的代數學,他覺得它完全從屬於法則和公式,不能成為一門改進智力的科學。因此他提出必須把幾何與代數的優點結合起來,建立一種“真正的數學”。
笛卡兒的思想核心是:將幾何學的問題歸結成代數形式的問題,用代數學的方法進行計算、證明,從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想,他創立了我們現在稱之為的“解析幾何學”。
1637年,笛卡兒發表了《幾何學》,創立了平麵直角坐標係。他用平麵上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的位置,用坐標來描述空間上的點。他進而又創立了解析幾何學,表明了幾何問題不僅可以歸結成為代數形式,而且可以通過代數變換來實現發現幾何性質,證明幾何性質。
解析幾何的出現,改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向,將相互對立著的“數”與“形”統一了起來,使幾何曲線與代數方程相結合。這種對應關係的建立,不僅標誌著函數概念的萌芽,而且標明變數進入了數學,使數學在思想方法上發生了偉大的轉折——由常量數學進入變量數學的時期。
另外,笛卡兒的這一天才創見,開拓了變量數學的廣闊領域,為後來牛頓、萊布尼茲發現微積分奠定了基礎。
64.費馬與概率論
17世紀伊始,就預示了一個頗為壯觀的數學前景。而事實上,這個世紀也正是數學史上一個輝煌的時代,幾何學首先成了這一時代最引人注目的引玉之明珠。由於幾何學的新方法——代數方法在幾何學上的應用,直接導致了解析幾何的誕生;射影幾何作為一種嶄新的方法開辟了新的領域;由古代的求積問題導致的極微分割方法引入幾何學,使幾何學產生了新的研究方向,並最終促進了微積分的發明。幾何學的重新崛起與一代勤於思考、富於創造的數學家是分不開的,費馬就是其中的一位。
費馬一生從未受過專門的數學教育,數學研究隻是業餘之愛好。然而,在17世紀的法國,很少有數學家可以與之匹敵。他是解析幾何的發明者之一;他對微積分誕生的貢獻僅次於牛頓、萊布尼茨;是獨承17世紀數論天地的人;他也是概率論的主要創始人。
早在古希臘時期,偶然性與必然性及其關係問題便引起了眾多哲學家的興趣與爭論,但是對其有數學的描述和處理卻是15世紀以後的事。l6世紀早期,意大利出現了卡爾達諾等數學家研究骰子中的博弈機會,在博弈的點中探求賭金的劃分問題。到了17世紀,法國的帕斯卡和費馬研究了意大利的帕喬裏的著作《摘要》,建立了通信聯係,從而建立了概率學的基礎。
費馬和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——數學期望的概念。這是從點的數學問題開始的:在一個被假定有同等技巧的博弈者之間,在一個中斷的博弈中,如何確定賭金的劃分,已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數。費馬這樣做出了討論:一個博弈者A需要4分獲勝,博弈者B需要3分獲勝的情況,這是費馬對此種特殊情況的解。因為顯然最多四次就能決定勝負。
一般概率空間的概念,是人們對於概念的直觀想法的徹底公理化。從純數學觀點看,有限概率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機變量和數學期望時,它們就成為神奇的世界了,費馬的貢獻便在於此。