羅素悖論震撼了世界數學界，導致了一場涉及數學基礎的危機。人們已經發現，在數學這座輝煌大廈的基礎部分，存在著一條巨大的裂縫，如不加以修補，整座大廈隨時都有倒塌的危險。
數學家們勇敢地接受了挑戰。他們認真考察了產生羅素悖論的原因。原來，之所以出現羅素悖論這樣的怪物，是由於在集合論中，“集合的集合”這句話不能隨便說。於是，數學家們開始探索數學結論在什麼情況下才具有真理性，數學推理在什麼情況下才是有效的……，從而產生了一門新的數學分支——數學基礎論。
在這個領域裏，由於數學家的觀點不同，產生了3個著名的學派。以羅素為主要代表的數學家叫邏輯主義學派，他們認為，隻要不允許使用“集合的集合”這種非邏輯語言，羅素悖論就不會發生；以布勞威爾為主要代表的數學家叫直覺主義學派，他們認為，“集合的集合”是不能用直覺理解的，不承認它的合理性，羅素悖論自然也就不會產生了；以希爾伯特為主要代表的數學家叫形式主義學派，他們認為，悖論是一種不相容的表現。
三大學派都提出了修補數學基礎的方案，由於各執己見，爆發了一場大論戰。這場大論戰對現代數學發展影響深遠，還導致了許多新的數學分支的誕生。
現在，修補數學基礎的工作尚未取得令人完全滿意的結果，數學家們仍在頑強拚搏。
牛皮上的城堡
你知道古代城市卡發汗嗎？它就是在一張牛皮所占有的土地上建立的城市。
傳說基爾王的公主蒂頓娜的丈夫被她的兄弟殺死，她逃到非洲。她在奴米地國王那裏用了很少的錢買了“一張牛皮所能占有的”土地。這項交易簽約後，蒂頓娜把牛皮割成非常細的牛皮條，圍成很大的一片土地，足以建成一座城堡。後來擴建成卡發汗。
根據這個傳說，假想蒂頓娜割成牛皮條寬1毫米，而一張牛皮的麵積有4平方米，那麼她圍成的土地最大麵積能是多少？麵積為4平方米的牛皮、合4百萬平方毫米，若把它螺旋式地切割成完全可連續的一條牛皮條，也就是4000米即4公裏。這樣長的牛皮條可以圍出一平方公裏的正方形土地。若圍成圓形土地，麵積可達1.3平方公裏，其大小相當於三個梵蒂岡。你想，卡發汗市建立的傳說還真有點可靠性呢。
康托爾與集合論
集合論的創立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生於俄國彼得堡（現為蘇聯列寧格勒）一個商人家庭。他在中學時期就對數學感興趣。1862年，他到蘇黎世上大學，1863年轉入柏林大學。當時柏林大學正在形成一個數學與研究的中心。他在1867年的博士論文中已經反映出“離經叛道”的觀點，他認為在數學中提問的藝術比起解法更為重要。的確，他的成績並不總是在於解決問題，他對數數的獨特貢獻在於他以特殊提問的方式開辟了廣闊的研究領域。他所提出的問題一部分被他自己解決，一部分被他的後繼者解決，一些沒有解決的問題則始終支配著某一個方向的發展，例如著名的連續統假設。
1869年康托爾取得在哈勒大學任教的資格，不僅就升為副教授，並在1879年升為教授。他一直到去世都在哈勒大學工作。他曾希望去柏林找一個薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位很有勢力而且又專橫跋扈的克洛耐克（L·Kronecker，1823—1891年）對於他的集合論，特別是他的“超窮數”的觀點持根本否定的態度。因此，處處跟他為難，堵塞了他所有的道路。由於用腦過度和精神緊張，從1884年起，他不時犯深度精神抑鬱症，常常住在療養院裏。1918年1月6日他在哈勒大學附近精神病院中去世。
集合論的誕生可以說是在1873年年底。1873年11月，他在和戴德金的通信中提出了一個問題，這個問題使他從以前關於數學分析的研究轉到了一個新方向。他認為，有理數的集合是可以“數”的，也就是可以和自然數的集合一對一的對應。但是，他不知道，對於實數集合這種一對一的對應是否能辦到。他相信不能有一對一的對應，但是他“講不出什麼理由”。不久之後，他承認“沒有認真地考慮這個問題，因為它似乎沒有什麼價值”。接著他又補充一句，“要是你認為它因此不值得再花費力氣，那我就會完全讚同。”可是，康托爾又考慮起集合的映射問題來。很快，他在1873年12月7日又寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的了。這一天可以看成是集合論的誕生日。戴德金祝賀康托爾取得成功。
集合論的發展道路是很不平坦的。康托爾的集合論是數學上最具有革命性的理論。
客滿的旅館還能住進一位客人
有一個市鎮，隻有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，隻是房間數不是有限而是無窮多間，房間號碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。