古典難題的挑戰——幾何三大難題及其解決
位於歐洲南部的希臘，是著名的歐洲古國，幾何學的故鄉。這裏的古人提出的三大幾何難題，在科學史上留下了濃濃的一筆。這延續了二千多年才得到解決的世界性難題，也許是提出三大難題的古希臘人所不曾預料到的。
1．三大難題的提出
實際中存在著各種各樣的幾何形狀，曲和直是最基本的圖形特征。相應地，人類最早會畫的基本幾何圖形就是直線和圓。畫直線就得使用一個邊緣平直的工具，畫圓就得使用一端固定而另一端能旋轉的工具，這就產生了直尺和圓規。
古希臘人說的直尺，指的是沒有刻度的直尺。他們在大量的畫圖經曆中感覺到，似乎隻用直尺、圓規這兩種作圖工具就能畫出各種滿足要求的幾何圖形，因而，古希臘人就規定，作圖時隻能有限次地使用直尺和圓規這兩種工具來進行，並稱之為尺規作圖法。
漫長的作圖實踐，按尺規作圖的要求，人們作出了大量符合給定條件的圖形，即便一些較為複雜的作圖問題，獨具匠心地經過有限步驟也能作出來。到了大約公元前6～前4世紀之間，古希臘人遇到了令他們百思不得其解的三個作圖問題。
三等分角問題：將任一個給定的角三等分。
立方倍積問題：求作一個正方體的棱長，使這個正方體的體積是已知正方體體積的二倍。
化圓為方問題：求作一個正方形，使它的麵積和已知圓的麵積相等。
這就是著名的古代幾何作圖三大難題，它們在《幾何原本》問世之前就提出了，隨著幾何知識的傳播，後來便廣泛留傳於世。
2．貌似簡單其實難
從表麵看來，這三個問題都很簡單，它們的作圖似乎該是可能的，因此，二千多年來從事幾何三大難題的研究頗不乏人。也提出過各種各樣的解決辦法，例如阿基米德、帕普斯等人都發現過三等分角的好方法，解決立方倍積問題的勃洛特方法等。可是，所有這些方法，不是不符合尺規作圖法，便是近似解答，都不能算作問題的解決。
其間，數學家還把問題作種種轉化，發現了許多與三大難題密切相關的一些問題，比如求等於圓周的線段、等分圓周、作圓內接正多邊形等等。可是誰也想不出解決問題的辦法。三大作圖難題就這樣絞盡了不少人的腦汁，無數人做了無數次的嚐試，均無一人成功。後來有人悟及正麵的結果既然無望，便轉而從反麵去懷疑這三個問題是不是根本就不能由尺規作出？
數學家開始考慮哪些圖形是尺規作圖法能作出來的，哪些不能，標準是什麼，界限在哪裏？可這依然是十分困難的問題。
3．高斯的發現
曆史的車輪轉到了17世紀，法國數學家笛卡爾創立了解析幾何，為判斷尺規作圖可能性提供了從代數上進行研究的手段，解決三大難題有了新的轉機。
最先突破的是德國數學家高斯。他於1777年4月30日出生於不倫瑞克一個貧苦的家庭。他的祖父是農民，父親是打短工的，母親是泥瓦匠的女兒，都沒受過學校教育。由於家境貧寒，冬天傍晚，為節約燃料和燈油，父親總是吃過晚飯就要孩子睡覺。高斯爬上小閣樓偷偷點亮自製的蕪菁小油燈，在微弱的燈光下讀書。他幼年的聰慧博得一位公爵的喜愛，15歲時被公爵送進卡羅琳學院，1795年又來到哥廷根大學學習。由於高斯的勤奮，入學後第二年，他就按尺規作圖法作出了正17邊形。緊接著高斯又證明了一個尺規作圖的重大定理：如果一個奇素數P是費馬數，那麼正P邊形就可以用尺規作圖法作出，否則不能作出。
由此可以斷定，正3邊、5邊、17邊形都能作出，而正7邊、11邊、13邊形等都不能作出。
高斯一生不僅在數學方麵做出了許多傑出的成績，而且在物理學、天文學等方麵也有重要貢獻。他被人們讚譽為“數學王子”。高斯死後，按照他的遺願，人們在他的墓碑上刻上一個正17邊形，以紀念他少年時代傑出的數學發現。
4．最後的勝利
解析幾何誕生之後，人們知道直線和圓，分別是一次方程和二次方程的軌跡。而求直線與直線、直線與圓、圓與圓的交點問題，從代數上看來不過是解一次方程或二次方程組的問題，最後的解是可以從方程的係數（已知量）經過有限次的加、減、乘、除和開平方求得。因此，一個幾何量能否用直尺圓規作出的問題，等價於它能否由已知量經過加、減、乘、除、開方運算求得。這樣一來，在解析幾何和高斯等人已有經驗的基礎上，人們對尺規作圖可能性問題，有了更深入的認識，從而得出結論：尺規作圖法所能作出的線段或者點，隻能是經過有限次加、減、乘、除及開平方（指正數開平方，並且取正值）所能作出的線段或者點。
標準有了，下麵該是大膽探索、細心論證。誰能避過重重險灘將思維貫通起來，誰就是最後勝利者。1837年，23歲的萬芝爾以他的睿智和毅力實現了自己的夢想，證明了立方積與三等分任意角不可能用尺規作圖法解決，宣布了二千多年來，人類征服幾何三大難題取得了重大勝利。