在推演過程中，他得到一連串古怪、非常不合乎常理的命題。但是，經過仔細審查，卻沒有發現它們之間存在任何羅輯矛盾。於是，遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言，這個“在結果中並不存在任何矛盾”的新公理係統可構成一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾裏得幾何相媲美。而這個無矛盾的新幾何的存在，就是對第五公設可證性的反駁，也就是對第五公設不可證性的邏輯證明。由於尚未找到新幾何在現實界的原型和類比物，羅巴切夫斯基慎重地把這個新幾何稱之為“想象幾何”。
非歐幾何的誕生
1826年2月23日，羅巴切夫斯基於喀山大學物理數學係學術會議上，宣讀了他的第一篇關於非歐幾何的論文：《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。這篇首創性論文的問世，標誌著非歐幾何的誕生。然而，這一重大成果剛一公諸於世，就遭到正統數學家的冷漠和反對。
參加2月23日學術公議的全是數學造詣較深的專家，其中有著名的數學家、天文學家西蒙諾夫，有後來成為科學院院士的古普費爾，以及後來在數學界頗有聲望的博拉斯曼。在這些人的心目中，羅巴切夫斯基是一位很有才華的青年數學家。
可是，出乎他們的意料，這位年輕的教授在簡短的開場白之後，接著說的全是一些令人莫明其妙的話，諸如三角形的內角和小於兩直角，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨於零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交，等等。
這些命題不僅離奇古怪，與歐幾裏得幾何相衝突，而且還與人們的日常經驗相背離。然而，報告者卻認真地、充滿信心地指出，它們屬於一種邏輯嚴謹的新幾何，和歐幾裏得幾何有著同等的存在權利。這些古怪的語言，竟然出自一個頭腦清楚、治學嚴謹的數家教授之口，不能不使與會者們感到意外。他們先是表現現一種疑惑和驚呆，不多一會兒，便流露出各種否定的表情。
宣講論文後，羅巴切夫斯基誠懇地請與會者討論，提出修改意見。可是，誰也不肯作任何公開評論，會場上一片冷漠。一個具有獨創性的重大發現作出了，那些最先聆聽到發現者本人講述發現內容的同行專家，卻因思想上的守舊，不僅沒能理解這一發現的重要意義，反而采取了冷談和輕慢的態度，這實在是一件令人遺憾的事情。
會後，係學術委員會委托西蒙諾夫、古普費爾和博拉斯曼組成三人鑒定小組，對羅巴切夫斯基的論文作出書麵鑒定。他們的態度無疑是否定的，但又遲遲不肯寫出書麵意見，以致最後連文稿也給弄丟了。
羅巴切夫斯基應對攻擊
羅巴切夫斯基的首創性論文沒能引起學術界的注意和重視，論文本身也似石沉大海，不知被遺棄何處。但他並沒有因此灰心喪氣，而是頑強地繼續獨自探索新幾何的奧秘。1829年，他又撰寫出一篇題為《幾何學原理》的論文。這篇論文重現了第一篇論文的基本思想，並且有所補充和發展。此時，羅巴切夫斯基已被推選為喀山大學校長，可能出自對校長的“尊敬”，《喀山大學通報》全文發表了這篇論文。
1832年，根據羅巴切夫斯基的請求，喀山大學學術委員會把這篇論文呈送彼得堡科學院審評。科學院委托著名數學家奧斯特羅格拉茨基院士作評定。奧斯特羅格拉茨基是新推選的院士，曾在數學物理、數學分析、力學和天體力學等方麵有過卓越的成就，在當時學術界有很高的聲望。可惜的是，就是這樣一位傑出的數學家，也沒能理解羅巴切夫斯基的新幾何思想，甚至比喀山大學的教授們更加保守。