白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。
行人刁鬥風沙暗，公主琵琶幽怨多。
野營萬裏無城郭，雨雪紛紛連大漠。
胡雁哀鳴夜夜飛，胡兒眼淚雙雙落。
聞道玉門猶被遮，應將性命逐輕車。
年年戰骨埋荒外，空見葡萄入漢家。
這首《古從軍行》是唐朝詩人李頎所作，它借漢武帝的舊事，諷喻唐王朝的開邊政策。統治者窮兵黷武，連年征戰，用無數人的生命作代價，換得的隻是一些葡萄之類的東西而已。
這首詩的開頭幾句，隱含著一個非常有趣的數學問題。在那飛沙走石，雨雪紛紛的大沙漠上，每前進一步都十分困難和艱苦。
如下圖，將軍從瞭望烽火的山腳下的A點馳向交河邊的C點，讓戰馬喝足水之後，再馳向宿營的荒野地B點，隻要他不是沿交河前進的，就有一個應該怎樣走才能使總的路程最短的問題。
在國外流傳著一個被稱為“將軍飲馬”的數學問題，正是這類性質的問題：古希臘的一位將軍要從營房A出發到河邊飲馬，然後再去河岸同側的B地參加軍事會議。問將軍應該怎樣走才能使總的路線最短？
這個問題的解法很簡單。如上圖，從A出發向河岸引垂線，在垂線上取A關於河岸所在直線的對稱點A′，連結A′B，設直線A′B與河岸相交於C，則C點就是飲馬的地方。這位將軍隻要從A出發走到C，飲馬之後，再由C直走到B，所走的路程就是最短的。
因為，如果將軍在河邊另外任何一點D飲馬，所走的路程就是AD＋DB。但是AD＋DB=A′D＋DB＞A′B=A′C＋CB=AC＋CB。可見，在除C點以外的任何一點D飲馬，所走的總路程都會比在C點飲馬所走的總路程長。
用同樣的方法，可以解決下麵的“架橋問題”：在一條河的兩岸有兩個村莊A、B，現在計劃在河上架一座橋把兩個村莊連結起來，假定河的兩岸平行且橋與河岸垂直，問橋應架在什麼地方才能使從A到B的距離最短？
設河岸為對稱軸，取A的對稱點A′，聯結A′B，與另一河岸相交於C，從C向對岸引垂線，垂足為D。那麼C、D兩點就是兩岸架橋的地方，即橋架在線段CD的位置。解決這兩個問題都用到了同一方法：取某直線為對稱軸，作一些圖形關於這條對稱軸的對稱圖形，在幾何學中這一方法稱為對稱變換。也稱為鏡麵反射。通過對稱變換，有時能把某些隱含的幾何性質清楚地顯示出來，因而能幫助我們找到解題的途徑。
1978年，北京市有一道有趣的數學競賽題：如下圖，設有一直角MON，試在ON，OM上及∠MON內部各找一點A，B，C，使BC＋CA=l為定長，並且使四邊形ACBO的麵積最大。
這個題無論用三角法計算或建立直角坐標係用解析幾何方法計算，都嫌麻煩。如果利用鏡麵反射的思想，卻很容易得到解答。
將直角MON連同四邊形ACBO一起，以OM為對稱軸反射為∠MON′，再將圖形以NN′為對稱軸反射到下半平麵。經過兩次鏡麵反射，原圖和兩次反射所得的圖就構成一個八邊形ACBDEFGH，它的周長為定值4l。如果這個八邊形的麵積最大，則因四邊形ACBO是八邊形的1/4，麵積也必為最大。
由等周定理知，在周長一定的八邊形中，以正八邊形的麵積最大，這時它的邊長為l/2。所以，當A、C、B為以O為中心，邊長為1/2的正八邊形在第一象限的三個頂點時，四邊形ACBO的麵積最大。
現在我們來看所謂許瓦茲最小三角形問題：在銳角三角形ABC內作一個內接△DEF（即三個頂點D、E、F分別在三邊BC、CA、AB上），使△DEF的周長為最小。