南北朝時，一位印度法師把一部名為《百喻經》的書帶到中國，並將它譯成漢語。《百喻經》是大乘佛教宣講佛法的經書。全書借釋迦牟尼之口，講了98個故事，絕大部分都是寓言。其中有一則題為《三重樓寓》，寓言的大意是：一位富翁看見別人有一棟漂亮的三層樓房，莊嚴華麗，寬敞舒適。便產生了一個念頭：“我的錢財不比他少，為什麼不能造一棟這樣的樓房呢？”於是找來一位木匠，問他能不能建造像某人家那樣的高級樓房。木匠回答他說：“那房子本來就是我造的。”富人馬上說：“現在你給我也造一座樓，與那座一模一樣。”
於是，木匠便規劃好地皮，打好基礎，從地麵起一塊一塊地往上砌磚。富翁見木匠在地上砌磚，很不理解。便問木匠：“你這是要造什麼樣的房子？”木匠回答說：“造三層樓呀！”富翁又說：“我不要下麵的兩層樓，你先給我造最上一層樓。”木匠說：“這是不可能的。哪有不造第一層樓就能造第二層樓的呢？不造第二層樓，怎麼能造第三層呢？”聽了木匠的解釋，富翁還是不理解，仍然固執己見，樓房終於沒有造成。
我國明代文人劉元卿所撰的《賢奕編》一書中也有一則寓言，其大意是：有一位土財主家資十分富有，卻世代不識字。有一年，他請了一位先生來教兒子念書。先生開始教學生認字。先生寫一橫教學生說，這是一字，寫二橫說這是二字，寫三橫說這是三字。富翁的兒子高興起來，回家報告父親說，我已經學會讀書寫字了，不必再麻煩先生，也節省一些薪俸。富翁大喜，便辭退了先生。
第二天，富翁要請一位姓萬的親戚來吃飯，叫兒子寫一張請帖，兒子寫了很久還沒有寫好。父親感到奇怪，便到書房看個究竟。兒子正忙得滿頭大汗，埋怨說，天下這麼多姓，為什麼偏要姓萬？我從早晨寫到現在，還隻畫了500多橫呢？
這兩則寓言並沒有什麼聯係，它們各自諷刺的對象也是十分明顯的。把它們放在一起，許多人大概也不會產生更多的聯想。不過，仁者見仁，智者見智，對數學家來說，把這兩則寓言放在一起，就會聯想到數學中一個重要的原理——數學歸納法。數學歸納法是數學中最重要最有用的方法之一，許多與自然數有關的數學定理，都是依靠數學歸納法來證明的。
什麼是數學歸納法呢？讓我們談一個粗淺的比喻：過去行軍打仗，指揮部每天都要發布一個“口令”，作為本軍內部聯係的暗號。現在有一支成單行前進的很長很長的部隊，指揮員把“口令”傳給走在隊伍最前麵的第一個人，並且規定了每一個聽到了“口令”的人，都必須把“口令”準確無誤地傳達給緊跟在他後麵的一個人。於是，“口令”將會從第一個人傳給第二個，第二個人傳給第三個，如此繼續下去，不管這支隊伍有多長，兵員有多少，最終每一個人都可得到口令。
數學歸納法與此類似，它是用於證明與自然數有關的命題的。
假定有一個與自然數n有關的命題P（n），現在要證明P（n）對所有的自然數n都成立。如果能證明：（Ⅰ）P（n）在n=1時成立（這一步稱為“奠基”）；（Ⅱ）如果P（n）對某一自然數k已成立，在這個前提下，一定可以推出P（n）對下一個自然數k＋1也成立（這一步叫做“歸納”）。
有了這兩步，就可以斷定P（n）對所有的自然數都成立。
因為根據（Ⅰ），我們證明了P（n）對於n=1是成立的。於是根據（Ⅱ），在P（n）對n=1成立這一前提下，可以推出P（n）對n=2成立；再根據P（n）對n=2成立的條件，又可推出P（n）對n=3成立；以P（n）對n=3成立為前提，又可推出P（n）對n=4也成立。如此繼續下去，就可推出P（n）對所有的自然數n都成立。
現在我們看一個可用數學歸納法來解的趣題。1963年，北京市中學數學競賽有這樣一道試題：有2n（n為正整數）個小球，隨意把它分成若幹堆，在其中任意取兩堆，若甲堆的球數不大於乙堆的球數，則把甲堆的球合並到乙堆中去。這樣稱為一次操作。證明：在有限次操作以後，一定可以把所有的球都合並到一堆。
我們用數學歸納法來證明這個題目。
當n=1時，隻有兩個球。若原來隻分成了一堆，則結論已經成立。若開始分成了兩堆，每堆都是1個，把其中一堆的球合並到另一堆，就成為一堆了，命題的結論也成立。
假定n=k，即有2k個球時，不管把它們分成若幹堆，都可以通過有限次操作使合並成一堆。