因此，牛頓公開發表他的微積分思想的最早著作是1687年出版的《原理》，但《原理》並沒有應用他自己發明的在字母上麵加符點的記法。他隻是用幾何形式初步地說明了流數原理，用以確定無限小量的比。
因而，隻從公開發表的時間來講，牛頓比萊布尼茨晚3年，但是要從發明的時間來看，牛頓比萊布尼茨要早10年。在這段時間裏，萊布尼茨曾經在1673年1月當選為皇家學會會員時訪問過英國，1676年10月第二次訪問倫敦，同科林斯、奧爾登伯格等人均有過接觸，這一點被法蒂歐所懷疑，因而寫出這篇論文。
但是，這個問題由於牛頓和萊布尼茨都沒有作聲而擱置起來。那時他們的關係還是比較好的，都能以比較公正和冷靜的態度對待對方。
萊布尼茨到英國訪問，並沒有得到什麼秘密，因為牛頓給奧爾登伯格等人的信件中是以字跡形式闡述微積分思想的。他們兩人是獨自發明微積分的，隻是使用的符號不同。
但是1708年，牛津大學天文學家凱爾在《哲學學報》上發表文章，再次提出牛頓是微積分的最先發明者，說1705年發表在《學術學報》上的一篇匿名文章是萊布尼茨寫的，並且文章暗示微積分是流數術的改頭換麵。對此萊布尼茨提出控告，要凱爾公開道歉。1711年《學術學報》發表評論員文章，說牛頓是“剽竊”。
這樣一來，爭論的性質就發生了根本變化，由爭奪優先權，到指責為剽竊，雙方的爭論升級。英國的學者都站在牛頓一方，歐洲其他一些國家的學者都站在萊布尼茨一方。而且在爭論中雙方都帶上了嚴重的感情色彩，陷入到了狹隘的民族主義當中，好像都是為了民族尊嚴而戰似的。
在這種情況下，牛頓的情緒也發生了轉變。1712年3月，在牛頓的領導下，皇家學會專門成立了一個由哈雷等六人組成的委員會，專門負責對此事進行調查和評價。
最後他們得出結論：牛頓是微積分的第一個發明者，萊布尼茨是第二個發明者，並說牛頓的流數術內容由科林斯在信中告訴了萊布尼茨。實際上這是暗示萊布尼茨有剽竊之嫌，帶有很大的傾向性。
當萊布尼茨向皇家學會申訴這對他不公正時，皇家學會卻否認對委員會的報告負有責任。
對於這場爭論，英國王室也非常關注。
萊布尼茨給人的印象是一個彬彬有禮、老於世故的人，即便當他用匿名的方式含沙射影地對牛頓進行攻擊時，他也從不錯過任何一次當眾讚揚牛頓的機會。
1701年，一位爵士與萊布尼茨在柏林的王宮中共進晚餐，當普魯士女王問萊布尼茨他對牛頓的看法時，萊布尼茨說，自從數學在世界上起源到牛頓爵士時代，有一大半是牛頓的功勞。他還補充說，當他碰到某個難題時，他問遍歐洲所有的學者都不能獲得滿意的答複，可當他寫信向牛頓爵士請教時，牛頓會在首批郵件中給他寄來答案，告訴他如何去做，然後他就能解決這個問題。
而在兩年前，萊布尼茨曾以匿名的方式暗示說：有人在懸鏈線所犯的錯誤便是由於牛頓的方法有缺陷。
第二次挑戰發生在1716年，那時牛頓已經74歲，萊布尼茨又想出一個問題，再次向牛頓發難，問題是：“對於一個參數曲線來說，正交常角的軌道是什麼？”這一次，萊布尼茨很慶幸，以為可以把牛頓難住了。
牛頓收到這個問題時剛剛下班回家，經過短暫的思考，在睡覺前就給出了解答。這一反擊是致命的，它不僅證明了牛頓絕對是前無古人、後無來者的數學天才，而且，這也向人們宣告：踏上仕途的牛頓的數學天分還同年輕時一樣強大，他還擁有超常的創造力。
萊布尼茨沒有對此做任何評論，他知道自己並非不智，隻是絕對無法與牛頓一較短長罷了。從此他一直保持沉默，沒有再提出什麼問題，直至1716年11月14日離開人世，這場曠日持久的爭論才到了盡頭。
似乎是牛頓取得了最終的勝利，但實際上沒有人在這場爭論中取得勝利，這隻不過是一場悲劇，悲劇的結果便是無論萊布尼茨和牛頓，都沒能在微積分上走得比對方更遠一些。如果他們能夠像爭論之前一樣互通有無，共學共進，至少不要把時間浪費在攻擊對方和自我辯解上，一切便會朝更好的方向發展。
最後，還是讓瑞士人和法國人占了先，他們在牛頓數學理論基礎上，采用萊布尼茨先進的表達法，進一步完善了微積分，使其更加簡單而實用。
如果牛頓沒有受到那些所謂摯友的慫恿和提攜，沒有去做什麼造幣廠廠長，他很可能會很容易創造出作為物理和數學探索工具的僅次於微積分的變分法，而不會把它留給伯努利、歐拉和拉格朗日去開創了。
但如果就是如果，曆史由不得假設，雖然牛頓沒能繼續發展他的理論，但作為微積分的第一個發明者，他已經得到了科學界的公認，並且將因此為後世所銘記。
樂於搞慈善捐贈
晚年的牛頓非常注重將自己的形象留給後人。他不僅在晚年而且自他到倫敦以來，就不斷讓人替自己畫像，繼1702年內勒給他畫完像之後，不到四年便會有一幅新作問世。
在牛頓生命的最後十年中，畫像似乎成了他的一個嗜好。繼內勒在1702年替他繪製了一幅之後，耶瓦在1703年給他也畫了一幅，甘地在1706年又給他繪了一幅，桑希爾在1709~1710年兩次給他畫像。1714年，他坐下來讓裏奇替他繪製一幅小型畫像。同年，他又讓勒·馬錢德替自己用象牙雕刻了一座半身像。
四年之後，也就是1718年，勒·馬錢德又替牛頓雕刻了一座半身像和其他一些浮雕。同年，穆雷還替他繪製了一幅畫像。1720年，內勒繪製了第三幅牛頓畫像，在牛頓1727年去世前的三年中，他又替康迪特給牛頓繪製了兩幅。1725年，範德班克為牛頓繪製了兩幅畫像，1726年繪製了第三幅，而西曼在1726年也替牛頓繪製了一幅。
在牛頓的晚年有證據證明達爾也替他繪製了一幅畫像。現存的還有兩幅牛頓晚年的畫像是由兩位不知名的藝術家繪製的，其中一幅放在國家畫像藝術館中，另一幅由赫弗和他的兒子們所擁有。
這些畫像有許多或大部分都是由其他人委托製作的，但這些畫像也隻有在牛頓的配合下才畫得出來。不管怎麼估算，這都是一個不小的數字，用著迷這個詞來形容牛頓對畫像的喜愛似乎並不過分。
牛頓晚年經常從事的另一項活動是慈善捐贈。他將大部分財產捐贈給了他家族的各個旁支，因為當時他是這個家族中最富有的人，其他成員都指望他能給予幫助。18世紀早期，他們生活中的痛苦多於歡樂，他們帶著痛苦來找富裕的牛頓爵士。他的同母異父妹妹的丈夫去世之後，瑪麗·史密斯·皮爾金頓像她妹妹哈娜一樣也成了寡婦，牛頓同樣對她給予了資助，後來他定期每季度給她寄去9英鎊以供她的女兒瑪麗的生活費用。
牛頓還替他妹妹的兒子托馬斯·皮爾金頓擔保，讓他可以得到貸款。除了他們之外，還有很多人需要牛頓資助。
由於命運的安排，經常有很多窮親戚上門求助。他的賑濟不僅限於他的家族成員，在他的個人書信中，還有很多求助信，這些信件表明牛頓在他周圍的人中是一位有名的慈善家。
這些信中的某些內容還證明，他對很多求助信予以答複。在倫敦居住多年，與很多人建立起來的持久友誼以及他所進行的這些捐助活動，大大改善了他與萊布尼茨之爭在世人心目中所留下的印象。
牛頓在他的晚年，喜歡回憶在他一生中起過重要作用的各種話題，至少有三個人都分別聽他講過有關蘋果與萬有引力的故事。
1725年3月7日，牛頓同康迪特進行了一次關於宇宙中各種循環的長時間的談話，康迪特將這次談話的內容記入備忘錄。牛頓告訴他說他相信有一場天體革命，來自太陽的光和氣聚集到一起形成二級物體，例如月亮，而這些二級物體又繼續聚集更多的物質，變成主要的行星，最後變成彗星，而彗星反過來又落入太陽以補充太陽所散失的物質。
牛頓認為1680年發現的那顆大彗星，在圍繞軌道運行五六次或更多次之後，會落入太陽，由於太陽的熱量一下子增加太多，地球上的生命將會毀滅。
牛頓繼續說道，人類是近代才出現的，地球上已有的毀滅跡象可以證明他所預言的這種災難以前曾發生過。
康迪特問他既然生命曾經被毀滅過，那地球上怎麼可能又有生命呢？
牛頓回答他說，這就需要一個造物主了。
“為什麼您不像開普勒那樣將自己的推測公之於眾呢？”
“我不讚同推測。”牛頓拿起《原理》，指給康迪特看書中的一些暗示，那些暗示表明了他對彗星的看法。康迪特問他為什麼他不將它清楚地表述出來呢？他笑了笑說，他發表得已經夠多了，人們足以從中了解他的意思。
就在牛頓去世前不久，他還與某個不知名的朋友一起回顧了他的一生，並做了一個簡要的概括。他的這段總結真可謂是對追求真理的一生最精彩的回顧：
“我不知道世人怎樣看我，但我自認為我不過像一個在海邊玩耍的孩童，不時為找到比常見的更光滑的石子或更美麗的貝殼而欣喜，而展現在我麵前的是全然未被發現的浩瀚的真理海洋。”
保持謙遜的品質
雖然人們從未覺得牛頓老態龍鍾，但衰老的跡象終於開始出現。在最後的五年中，牛頓的健康每況愈下。
他最大的毛病就是括約肌機能衰退，這也許是1723年的那場疾病所致。從那以後牛頓就開始小便失禁。但這並沒有把牛頓嚇倒，反而更讓他堅強起來。
牛頓在這個時候接待的客人比較多，參加的活動也比較多，由於這會引起更大的痛苦，於是他不再乘坐馬車，每天都坐在椅子上。他不再到外麵就餐了，請朋友到家吃飯的次數也減少了。所有的肉製食品都不吃了，而改為肉湯、蔬菜和菜湯等易於消化的東西。
也就在這個時候，他取消了一切應酬及宴客。這時，他重要的著作《自然哲學的數學原理》第三集出版了。有一個荷蘭的年輕外科醫生賓巴尼，在偶然的機會裏看了這本書後，被這本書吸引了，並感覺到了這本書的偉大。
後來，賓巴尼寫了一篇關於萊布尼茨“落體力學說”的論文，牛頓看了非常高興，並對他大加讚賞，還跑到了賓巴尼的住處去拜訪這位青年。從此，兩人經常見麵，很快兩人建立了朋友關係，賓巴尼也成了牛頓的好幫手。賓巴尼後來回憶說：
“牛頓那時的記憶力不如以前，已有明顯的下降趨勢，但是對於他著作的理解力還是很強的。關於這一點，正好和人們傳說的相反。牛頓這時雖然是一位聞名全球的科學家，但他依然謙虛謹慎、一絲不苟，從不表現出頑固與自大的樣子。”
1724年8月，醫生把兩粒豆大的結石從牛頓身上取了出來，這使牛頓的痛苦也減輕了許多，他以為自己完全恢複了，為之感到高興，親戚朋友也替他歡欣鼓舞。可是好景不長，新的問題又出現了。
1725年1月，牛頓咳得非常厲害，還感染了肺炎，緊接著，痛風又進一步加重了他的病症。牛頓不得不聽從醫生和朋友的勸告，移居到肯辛頓休養。
有一天，牛頓的老友來拜訪他，找了很久，都看不到他的人影，正在這時，突然聽到從屋裏傳來了牛頓的聲音：
“在這個洞的旁邊，再鑿上一個洞，這個比原來那個小一點兒。”
老友看到這兩個洞，感到很奇怪，便問牛頓：“你幹嗎鑿兩個洞呢？這是用來做什麼的呢？”
牛頓回答說：“我養了一隻小貓，最近老是跑到我房間裏來，我看它在外麵急得團團轉進不來，怪可憐的，於是，我就幫它鑿了洞。這些天，它生了隻可愛的小貓，這個小洞就是給小貓走的。”
老友聽完他的講述，便哈哈大笑起來，過了一會兒，才停下來。對牛頓說：“你真有點糊塗了，大的洞大貓能夠過去，那小貓也能過去，何必再鑿一個洞呢！”
牛頓這才明白過來，原來牛頓這時滿腦子想著：兩種東西不能同時占有同一個空間。所以，他才會認為大貓和小貓不能共用一個洞的。
在肯辛頓修養了一段時間後，牛頓的身體漸漸複原了，於是，他又回到了倫敦，來到了英國皇家學會。會員們看到牛頓健健康康地回來，都為之歡呼雀躍，整個會堂都響起了雷鳴般的掌聲。這次會議開得很精彩，很有意義，這讓牛頓非常滿意。會後幾天，他又去拜訪了倫敦的幾位故友，與他們閑聊時，他感覺很輕鬆、很愉快。
這樣幾天下來，牛頓感到太累了，令人懼怕的疾病再次襲來，他難受極了，不得不離開倫敦，再次回到肯辛頓。
從1月7日起到4月22日，由於疾病反複發作，牛頓不得不暫時辭去皇家學會會長之職，並且自那時起一直到他生命的最後一刻，他缺席會議比參加會議的次數還要多。
康迪特勸他不要走著去教堂，可牛頓回答說：“隻有用腿，才能有腿。”康迪特還說他一直堅持學習和寫作直至生命的最後一刻。
在牛頓臨終前幾天，他老家所在聖馬丁教區的教區長紮查理·皮爾斯前來看望他。皮爾斯回憶說：
“我看見他還在寫《古代王國年表》，他當時並沒有戴眼鏡，坐在離窗戶很遠的地方，桌子上有一大摞書，在紙上投下一道陰影。”
“我走進房間，見到這一切便對他說：‘爵士，您寫東西的地方光線似乎不太好呀！’他回答說：‘我有一點光就行了。’然後他告訴我說他在整理他的《年表》，準備付印，為此他將大部分手稿重寫了一遍。”
“他給我讀了兩三張寫好的內容。我們在談話中偶爾提到《年表》中的一些問題。”
“我記得，他繼續讀下去，並談論他所讀的內容，在晚飯之前，談了將近一小時。”
1726年暑期之後，牛頓隻參加了皇家學會的四次會議和一次理事會。他所主持的最後一次會議是1727年3月2日，這次會議使他很興奮，晚上便在倫敦住了下來。第二天，康迪特發現他的氣色非常好，這是多年來不曾有過的。
由於次日緊張的會議以及頻繁的探訪，他那劇烈的咳嗽又複發了。他於3月4日回到了肯辛頓。康迪特派人請來為牛頓治病的兩位著名醫生米德和切斯爾登，診斷結果是牛頓患了膀胱結石，幾乎沒有康複的希望了。牛頓忍受著劇烈的疼痛，汗珠從臉上滾落下來。
1727年3月初，牛頓的病情惡化了，經醫生診斷，還是膀胱結石。3月15日，他感覺好些了。18日晨，他可以閱讀報紙並同醫生正常交談，但是當晚18時許，病情突然再次惡化，牛頓失去了知覺，再也沒有醒過來。
1727年3月30日淩晨，一顆天才的頭腦停止了運轉，牛頓去世了，這時牛頓已經84歲。
英國為牛頓舉行了盛大的國葬。作為自然科學家，牛頓是享此殊榮的第一人。他的靈柩被安放在威斯敏斯特大教堂，這是英國曆史上著名的藝術家、學者、政治家才有權享用的最後的歸宿。
成千上萬的普通市民、皇宮貴族都為之哭泣，他們湧上了街頭、湧向教堂。
這個時候，法國啟蒙思想家伏爾泰在英國考察，他被眼前的一幕深深感動了。他在日記中寫道：
我看到英國悼念牛頓就像是悼念一位造福於民的國王。
我看到英國的大人物們都爭著抬牛頓的靈柩。
伏爾泰也禁不住虔誠地從牛頓的桂冠上摘下一片葉子，作為永久珍藏的紀念。
牛頓去世後的第四年，他的親戚出資在他的墓前修建了一座宏偉的巴洛克風格的紀念碑。上麵的墓誌銘這樣寫道：
這裏安睡著艾薩克·牛頓爵士。他以超乎常人的智力及其所發明的數學方法，首次證明了行星的運動與形狀、彗星的軌道和海洋的潮汐，他研究了光線的不同折射率，以及由此產生的顏色的性質，這些是別人想都沒有想到的。
對於自然、曆史和聖經，他是一個勤奮、敏銳而忠實的詮釋者。他用他的哲學證明了上帝的威嚴，他度過的是一個真正清教徒的一生。所有活著的人都為曾經有這樣一位偉人的存在而感到幸福。
艾薩克·牛頓爵士生於1643年1月4日，卒於1727年3月30日。
牛頓的去世引起了人們極大的關注，各種報紙爭相報道這一消息。3月的《大不列顛政治狀況》用三版的篇幅高度讚揚牛頓，充分概括了牛頓在英國學術界的地位，稱他為“最偉大的哲學家，是英國的驕傲”。