這樣一來，他不僅可以在學院裏享受免費的飯食，而且還會有固定的薪水，不用再過減費生、仆役生的生活，可以自由自在地學習了。
三一學院的研究基金是隻給那些享受學院獎學金的人的，全校隻有21個優勝者獎學金名額。
按照學校規定，享受學院獎學金的人每人的年津貼大約是4英鎊。
學校沒有明確說明選擇標準，雖然說需要是決定的因素，但很難設想完全不考慮學術上的發展前途。
三一學院的每個方麵都對牛頓獲得獎學金有影響。
當時整個大學實行的是讚助人製度，主要是靠影響力和各種關係，吃虧的就是那些沒有任何地位及讚助人的學生，尤其是減費生。
那些享受特權的學生又成了牛頓獲得獎學金的一大障礙。他們年複一年，很容易地拿走三分之一的獎學金名額，這樣，他們當時的地位也最高。
整整一個世紀，三一學院的研究員有一大半都是來自特權學派。
1664年選出的獎學金獲得者人數比以往多很多，這對牛頓來說是極為不利的，這也是牛頓學生生涯中唯一的一次。
如果牛頓沒被選上，在劍橋占永久位置的一切希望都將會毀於一旦。
為此，牛頓開始重讀逍遙學派的《物理學》。他利用所有的空閑時間，勤奮耕耘了另外兩章。他又感覺這些還遠遠不夠，他又開始閱讀福西厄斯的《修辭學》和關於倫理學的著作。
從1661年進入劍橋大學三一學院起，一直到1664年，牛頓在這裏度過了四年的難忘時光。
在這四年的時光中，牛頓的學識有了很大的進步，他由對科學的懵懂，逐漸站到了他那個時代的前列，雖有不足，但非一般人可比。
隻要通過最後一次考試，他就能如願拿到學士學位，他和幾百位學士學位的候選人，參加了有幾百年曆史的學位考試。這是他拿到學位之前的最後一次障礙。
終於，牛頓在1665年春天如願拿到了學位證書。
雖然牛頓不是全才，但牛頓在除文法外的其他科學領域都是很出色的。
在他讀書期間，他通過自己的不懈努力，取得了不少後世公認的一些發現，有些就是在完全封閉的狀態中獨立思考完成的。
這些發現牛頓並未在當時立刻就公開，但從後人的眼光來看，在這麼年輕的時候就取得了這麼大的成績，如果它們不是發生在牛頓身上，這是不可想象的。
牛頓的才學博得了年輕的客座教授巴羅的認同，通過幾年的學習交往，牛頓和巴羅已成為感情至深的好朋友。
巴羅決心把牛頓引向自然科學的更高峰，他決心讓牛頓成為自己的助手，成為一名研究員。
巴羅是那個時代有影響力的數學家，能做他的助手不是很容易的事情，許多人都想謀得這個職位，這對於剛畢業的年輕人來說不僅僅是無上的榮譽。更難得的是，牛頓以研究員身份工作可以拓寬其研究的領域。
牛頓當選之後，就不再是減費生了，他可以享用學院提供的夥食，每年也會獲得車馬費和同等數額的薪金。
更重要的一點是，他有了四年的保證，可以在無約束的情況下進行研究，直到1668年他取得了碩士學位。如果他能獲得研究員的位置，還有可能繼續下去。
障礙排除了，牛頓可以全身心地投入自己發現的研究領域。他在小學時表現出對自己感興趣的事癡迷的程度，而在這個時期，則表現為成熟的智慧。這在他的筆記中，就隱含了那種猶豫已完全消失，取而代之的是男人那種專注的熱情研究。
牛頓一旦想要攻克某一難題的時候，經常是忘記了吃飯。
他留在盤中的食物都把貓給養肥了，他的這種習慣使他的同代人感到非常吃驚。他經常忘記睡覺，第二天早上他為發現了某個新命題而心滿意足，至於沒睡覺的事他早已忘記了。
影響至深的師友
牛頓所在的三一學院，其教育製度還帶著濃厚的中世紀經院哲學的味道，傳授一些經院式的課程，如語法、古文、邏輯、古代史、神學，等等。學院以培養“富有影響的精神貴族”而聞名於世。
但是，由於克倫威爾執政和查理二世的複辟，使得劍橋大學身在火熱之中，曾一度“降到了教育曆史上的最低水平”。
牛頓的導師是本傑明·普林教授，舅舅在上大學時，普林教授曾是舅舅的好朋友。
普林教授從接觸到牛頓開始，就想把牛頓引上傳統的正道，而牛頓卻不甘心。
也就在這個時候，英國劍橋大學正處在清教的中心，這也是17世紀的知識分子動亂的中心。牛頓也受到了清教思想和倫理的影響。雖然他感到很孤獨，但是，當他埋頭於學習中時，便從中找到了樂趣，並且勇於創新思想，開創新方法，尋求新的科學之路。
當普林教授與牛頓相處一段時間後，慢慢感覺到牛頓這個人才華出眾，智慧過人，這些傳統的課程滿足不了他的要求。於是，普林教授也不再限製牛頓的新思路、新方法，而且對牛頓獨到的見解和想法更加鼓勵，這樣牛頓就可以放心地讀書學習了。
1663年，三一學院出現了新氣象，一個專門講授自然科學的盧卡斯講座在三一學院創辦了。這個講座主要講授自然科學知識，如物理、地理、天文和數學課程。這是劍橋大學前所未有的，也是牛頓科學生涯中的一個轉折點。
盧卡斯講座由亨利·盧卡斯創辦，他曾就讀於劍橋大學，還代表劍橋大學當選為國會議員，1663年他因病去世。他在遺囑中聲明，在三一學院設立一個專門講授自然科學的數學教授職位，數學教授的薪水是僅低於學校校長的。
講座的第一任教授艾薩克·巴羅是個博學的科學家。
巴羅出生在倫敦，他從小就被稱為小神童；這一點牛頓是無法企及的。巴羅在14歲時，就已考入了劍橋大學的三一學院；那時他的學習成績是非常優秀的。而牛頓在14歲時，卻輟學在家，幫媽媽做家務活呢！
巴羅是一位很有才華的數學家，他是微積分的先驅，並在天文、物理、光學方麵也有很高的造詣。
巴羅也是一位比較固執的王黨分子，當克倫威爾掌權後，他為了躲避克倫威爾的抓捕，就到處流浪。後來，查理二世恢複了政權，他又重新回到了劍橋大學。他有著豐富的知識，又先後擔任過哲學、希臘文、數學教授。在1672年，英王查理二世便任命他為劍橋大學三一學院的院長。還稱讚他是“全歐洲最優秀的學者”。
巴羅有一句名言：“一個愛書的人，他必定不至於缺少一個忠實的朋友，一個良好的老師，一個可愛的伴侶，一個溫情的安慰者。”可以說，巴羅是把牛頓推向科學道路的良師益友。
1664年，牛頓的各科成績都非常優秀，巴羅教授決定授予他公費生的資格。這樣，牛頓看書學習的時間就比較充足了。
巴羅教授第一次見到牛頓後，就對他產生了好感。
巴羅教授主講盧卡斯講座以後，牛頓對他的才華更加佩服了，每次講課，牛頓都要去聽，從來不缺席。巴羅的講課風格比較自由，靈活多樣，又富於啟發性，這給牛頓留下了深刻的印象，他自從接觸到這些學科後，從來沒有產生過這樣的感覺，科學竟這麼有意思，有許多奧妙所在，牛頓被深深地吸引了，決定要探索那些奧秘。
巴羅教授看出了牛頓具有深邃的觀察力、敏銳的理解力，於是將自己的數學知識，包括計算曲線圖形麵積的方法，全部傳授給了牛頓。
在巴羅教授的指導下，牛頓開始閱讀大量的自然科學和哲學著作。首先閱讀的是伽利略的《恒星使節》和《兩大世界體係的對話》；接著閱讀開普勒的《光學》，隨後閱讀的是笛卡兒的《哲學原理》，胡克的《顯微圖集》，還有皇家學會的曆史和早期的哲學學報。
牛頓在數學上很大程度都是依靠自學。他學習了歐幾裏得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學》、沃利斯的《無窮算術》、巴羅的《數學講義》及韋達等許多數學家的著作。
其中，對牛頓具有決定性影響的要數笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》，它們將牛頓迅速引導到當時數學最前沿的解析幾何與微積分。
牛頓不斷在知識的海洋裏尋找屬於自己的東西，並用心鑽研近代科學革命所帶來的科學發明與成果。
1664年，牛頓發現了新分析學和新自然哲學，這是他科學生涯的開始。
巴羅教授是個天才，然而，就人類曆史、科學史來講，他真正偉大之處在於發現了牛頓這個偉大的天才，並使這個天才得到了更好的發揮。
牛頓在巴羅門下的這段時間，是他學習的關鍵時期。漸漸地，牛頓和比他大12歲的巴羅教授建立了密切的關係，他們既是師生，又是好朋友。這讓牛頓感到很自豪，這是其他同學所沒有的。
牛頓在劍橋學的知識越來越多，逐漸成為了一個博學多才的學者。當他在回憶這段經曆時說：“巴羅教授當時講授關於運動學的課程，也許正是這些課程激發了我去研究這方麵的問題。”
他曾在一本題為《一些哲學問題》的筆記中寫道：“柏拉圖是我的好朋友，亞裏士多德也是我的好朋友，但我最好的朋友卻是真理。”
牛頓在大學時代就已經立誌要尋求真理。這主要是受教於巴羅教授，才取得這一切的，也正是盧卡斯講座改變了牛頓。思念故鄉的親人
牛頓在大學的四年中，從沒有間斷與家人的聯係，書信是他們唯一的聯係方式。每到假期他都要回鄉下看看，與家人度過一段快樂的時光。
牛頓在外麵求學，最讓他想念的就是外祖母了。他自小就與外祖母相依為命，使得童年生活增添了不少樂趣。當他決定來倫敦上大學時，外祖母非常難過。
那個時候，外祖母每天不停地做家務，到了晚上，就感覺腰酸背痛，剛開始還能挺過去，時間久了，身體就無法支撐下去了，最後，落下了一身病。雖然外祖母也希望牛頓去大城市讀書，學有所成，將來能有一番作為，可是心裏總舍不得，畢竟牛頓和自己共同生活了許多年，她總是說：
“這孩子命苦，一出生就沒有了父親，身體也比較弱，以後不能讓他再受委屈了！”
最後，她強忍著心痛讓牛頓離開了自己。
牛頓去倫敦的那天，外祖母一大早就起床了，為牛頓準備路上吃的幹糧。她坐在飯桌邊看著牛頓津津有味地吃著她做的早點，微笑著說：
“我的好孫兒，你去那麼遠的地方讀書，外婆真的舍不得呀！唉！”說著說著，外祖母把牛頓摟在懷裏，傷心地哭了。
“孫兒，外婆也不知什麼時候能再見到你！”
牛頓也忍不住心痛地大哭起來，他伏在外祖母懷裏，邊哭邊說：“外婆，您放心，我會經常給您寫信的。若是到了假期，我一定會回來看您的。”
就這樣，祖孫兩人哭了很長時間，在家人的勸說下，才平靜下來。
牛頓走時，外祖母一直送他到村口，臨走時，外祖母從懷裏掏出了一個小布包。打開後，牛頓發現裏麵都是些零用錢。她舍不得花，全都給了牛頓，並語重心長地說：
“孫兒，這點錢你慢慢用吧。一定要好好學習，回來後給外婆彙報你的好消息！”
牛頓走後沒有多久，外祖母就放心不下了，每天都惦記著孫兒，想著孫兒能夠回來，看看自己。很快，牛頓來信了。她總是第一個拆開信，直到讀了兩三遍，才把信交給其他人。外祖母有時為牛頓取得好成績而歡心喜悅，有時也為牛頓受到挫折而傷心落淚。
不知不覺中，這樣的生活過了四年。當牛頓又回到了外祖母身邊時，外祖母高興得合不攏嘴，整整一天臉上都掛著笑容。
這時的她不再是體衰的人了，也感覺不到自己身體的不適了，兩袖往上一卷，親自到廚房，為牛頓做起了他最愛吃的菜，祖孫倆的親情，引來了全村人的羨慕。
牛頓和弟弟妹妹們相處得都很好，從來沒有和他們鬥過嘴，即使弟弟妹妹們有些頑皮，他也總是讓著他們。所以每次放假回來，弟弟妹妹們都高興得歡呼起來。然後，兄妹幾人圍坐在一起，他們有講不完的話，有做不完的遊戲。
由於受到牛頓的影響，他們幾個都是那樣乖巧，本傑明更突出一些，他年紀最小，但他最有心計，他把牛頓留下來的工具都放在自己的小屋裏，每天也像牛頓一樣敲敲打打的，他說要像哥哥一樣，成為“大發明家”。
當牛頓回到家鄉時，弟弟妹妹們都跑著跳著到村口去接他，母親看到牛頓學者般的模樣，也很欣慰。
一個夏日的午後，顯得格外炎熱，大家都坐在大樹下乘涼，唯獨牛頓不顧炎熱，待在屋裏思考問題。
牛頓正專心思考時，卻被一隻飛來飛去的蒼蠅擾得心神不寧。這些討厭的家夥也知道屋外待不得，於是三五成群地躲進屋子裏來乘涼。它們閑得無事可做，便你追我趕地玩起來。
這一下可把牛頓給惹火了，他憤怒地站起來，瞅準了蠅群便大手一揮，試圖捉住它們。
就在他忙得不可開交，又沒有收獲時，書房的門響了。
“哥哥，我是哈娜，你在忙什麼呢？”是妹妹哈娜來了。
此時的牛頓還是專心地盯著蒼蠅不放，他的眼裏也隻有蒼蠅了。付出總有回報，費了大半天工夫，總要捕到一隻蒼蠅的，最終，他在一本舊書上找到了一隻蒼蠅。
牛頓看到勝利的果實，表現得異常興奮，他就像是一個小頑童，歡快地跑到窗前。
牛頓見哈娜一臉的疑惑，忍不住笑了。說：“沒事的，哈娜！對了，你來找我有什麼事嗎？”
哈娜被他這麼一問才記起來，她是來叫牛頓去客廳的，因為舅舅馬上就到了。一聽舅舅要來，牛頓高興得合不攏嘴，他顧不上別的，推門就要往外跑：“你怎麼不早說？”
哈娜很委屈地自言自語：“還怪我不說！自己在那裏莫名其妙地和蒼蠅說話，都不顧我了，我怎麼有機會給你說！”
牛頓聽到妹妹這樣說，也覺得自己有錯，實在是對不住妹妹，趕緊向妹妹道歉，然後，兄妹倆又都開心地笑了。
創立微積分理論
回到劍橋後，牛頓又開始了他的研究工作。牛頓的最大成就是在數學方麵。早在1664年和1665年間冬天在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時，他在試圖修改自己在求圓麵積的級數時發現這一定理的。
笛卡兒的解析幾何把描述運動的函數關係和幾何曲線相對應。牛頓在老師巴羅的指導下，在鑽研笛卡兒的解析幾何的基礎上，找到了新的出路。
可以把任意時刻的速度看成是在微小的時間範圍裏的速度的平均值，這就是一個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這一點的準確值。這就是微分的概念。
求微分相當於求時間和路程關係在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間範圍裏走過的路程，可以看作是在微小時間間隔裏所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當於求時間和速度關係的曲線下的麵積。牛頓從這些基本概念出發，建立了微積分。
微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯係的數學理論的，牛頓稱之為“流數術”。它所處理的一些具體問題，有切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大值和極小值問題等。
在牛頓前微積分已經得到人們的研究了，微分和積分的思想在古代就已經產生了。
公元前3世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的麵積、球和球冠麵積、螺線下麵積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。
作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代已有比較清楚的論述。比如中國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。
三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣”。這些都是樸素的，也是很典型的極限概念。
到了17世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：
第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。
第二類問題是求曲線的切線的問題。
第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。
第四類問題是求曲線長、曲線圍成的麵積、曲麵圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。
17世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題做了大量的研究工作，提出了許多很有建樹的理論，為微積分的創立作出了貢獻。
牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的算法，即微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關係，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。
應該說，一門科學的創立絕不是某一個人的功績，它必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣，是牛頓在前人各自獨立的基礎上建立起來的。
後來，在1707年，牛頓的代數講義經整理後出版，定名為《普遍算術》，主要討論了代數基礎及其在解決各類問題中的應用。
書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方麵的豐碩成果，例如他得出了方程的根與其判別式之間的關係，指出可以利用方程係數確定方程根之冪的和數，即“牛頓冪和公式”。
牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓，或稱曲線圓概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。
他還將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，於1704年發表。此外，牛頓的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。
蘋果落地的啟示
從1665年6月一直到1667年年底，在這兩年半的時間裏，英國暴發了淋巴腺鼠疫，這種病被人稱為“黑死病”。瘟疫的蔓延打破了劍橋大學原來井然有序的生活，迫於無奈，1665年10月，劍橋大學的評議會投票決定關閉學校。
牛頓坐上驛馬車返鄉，在家鄉裏開始了平靜的生活。他在大量閱讀從劍橋帶回的各種書籍的同時，還把在劍橋時的許多研究的工作做了整理，通過整理他把原有的淩亂的各種想法重新規劃，在頭腦中形成了係統，這其中就包括數學方麵。
在大學期間牛頓就一直考慮一個數學問題：一個運動的物體不斷變化的速度和由這種速度變化引起的物體路徑的不斷變化，這樣的複雜問題該如何解答呢？
其他的數學家也曾著手研究過這個棘手的問題，並取得了一定的進展，但他們也沒有提出一種能應用於所有此類問題的通用解法。
雖然牛頓是個數學天才，但他絕不單純是數學家，研究數學也不是他的目的。牛頓的目的是要在先輩的成果之上更好地研究自然奧秘，他是一個自然哲學家。
但是，牛頓比別的自然哲學家似乎看得更明白，如果沒有數學這個強大的工具，大自然奧秘之門的啟動是困難的。牛頓是把數學作為工具來研究和掌握的。
一天，牛頓看見自己的弟弟和妹妹在做遊戲，他們用一條線拴住一個石子，用手抓住線的另一頭，搖動石子。
石子在他們周圍畫出一個又一個標準而又美麗的圓圈，而那條線也成了筆直的一條線。
他好像受到了啟發，也像弟弟、妹妹一樣，用線拴著石子，轉著身體搖動著、搖動著，邊搖邊想：“石子圍繞著我旋轉是我通過線牽引的，而太陽給予行星，地球給予月亮的是什麼力呢？”
這樣想著的時候，突然有一刻他的思維凝住了，在他失神的一瞬間，線由他手中脫開，石子失去了原來的路線，沿著直線的方向向前飛出了很遠。
牛頓嚇了一跳，從原來的思考中回過神來。他感到好像已經捕捉到了什麼東西，但一晃又消失了。帶著這若有若無的情緒，牛頓回到了樓上，長時間不能入睡，他百思不得其解。
小村莊裏的秋天是最愜意的季節，在這秋高氣爽的日子裏，牛頓信步來到戶外後院的花園中，蘋果樹上掛滿了又紅又大的蘋果，空氣中散發著誘人的清香。牛頓找了一棵樹，在樹下又一次陷入了沉思，開始思考起他一直沒有弄明白的天體運行問題。一個蘋果從樹上掉了下來，正好落在牛頓的腳下。
這次一個蘋果的偶然落地，卻帶來了人類思想史上的一個轉折點，它使坐在花園中的這個人開了竅，引起了他的沉思：為什麼這個蘋果會落向地麵呢？為什麼它不會飛到天上呢？他一定受到了某種力的作用。