第一章
1．世紀更迭之際的問題
這裏是世紀之交的巴黎。
“現在是……”袁園圓看了看時間，“1900年8月8日。”
“第二屆國際數學家代表大會，”李曉文一個字一個字地念著橫幅上的字，然後又看了看會場，“足有200多人出席會議呢。”
“剛才我聽人說，在此之前會議已經開了兩天了。”小國王插話道。
這時，一位中等身材的戴著眼睛的中年人登上了會議廳的講台。
“一看就是長期從事腦力勞動的人，剛中年就禿頂了。”李曉文隨口說道。
“那叫前額開闊。”袁園圓對李曉文的說法表示不滿。
那人語調平緩地開始演說。
“他在說什麼？我怎麼聽不懂了？”袁園圓急得不知道怎麼辦才好。
“他的演講題目是‘數學問題’。”李曉文告訴袁園圓，“把你的萬能語言翻譯機調一下―他說的是德語。”
袁園圓調好萬能語言翻譯機，果然能夠聽懂那人的話了。
“我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今後的世紀裏我們這門科學的發展前景和奧秘呢？我們下一代的主要數學思潮將追求什麼樣的特殊目標？在廣闊而豐富的數學思想領域，新世紀將會帶來什麼樣的新方法和新成就？”
“他好像要對新世紀的數學來一番展望……”小國王判斷說。
“可現在數學這門學科已經長成了一棵分枝繁茂的大樹。”李曉文不禁有些擔心，“試圖對展望新世紀數學發展的方向提出具有指導性的意見，實在是一件困難的事情。”
“可這位先生還是有這個資格的。”張曉數平靜地說道，“他的名字叫大衛·希爾伯特。”
“怎麼好像聽說過這個名字？”小國王似乎有些印象，“這個人很特別嗎？”
“他成就卓著，在國際數學界贏得了廣泛的尊敬和信賴。”張曉數笑著回答說，“咱們在談到‘七橋問題’的時候提到過他。”
“我調一下他的資料。”袁園圓開始查閱資料，“希爾伯特：德國數學家，1863年1月23日出生於德國哥尼斯堡……”
“我說嘛。”小國王恍然大悟。
切仔個問題一定給童年時代的希爾伯特留下過深刻的印象。”李曉文說。
“希爾伯特8歲開始上學。”袁園圓還沉浸在資料當中，“不過那個時候的學校開設的大多是一些要求死記硬背的課程，數學和自然科學的知識教得很少。希爾伯特學習非常勤奮，尤其喜歡數學，因為他覺得學習數學用不著死記硬背。”
“他總是在課後認真消化老師講的內容，把新概念理解清楚。”小國王也湊過去看，“就算是合上書本，自己也能把書裏講的公式和定理推導出來。嘿，真有兩下子！”
“希爾伯特在晚年曾經幽默地說過一句話―‘也許我從來就是被認為有健忘的特殊天賦。就因為這個緣故，我才研究數學的。’”張曉數笑著補充說。
“哈哈！‘健忘的特殊天賦’！”小國王興奮地打了李曉文一下。
“打我幹什麼？”李曉文不滿道。
“20年前的一個秋天，希爾伯特帶著品學兼優的評語考進了哥尼斯堡大學．”張曉數挖掘著自己腦中的資料，“他父親希望他學法律，而希東伯特堅持自己的選擇，報名學了數學，從此踏上了獻身數學研究的道路。”
“你這不也記得挺清楚嘛。”李曉文嘟典道，“沒看出你有‘健忘的特殊天賦’。”
“那他現在是什麼身份啊？”小國王問道。
“德國哥廷根大學的數學教授。”張曉數確切地答道，“在這20年裏，希爾伯特處在數學研究的前沿陣地上，在最活躍的幾個數學分支裏都取得了第一流的成就，尤其是他對於幾何基礎的研究，係統地提出了形式化的公理方法，引出了一場對現代數學的發展影響深遠的‘公理化運動’。所以這次數學家大會的籌備機構就在1899年年底向希爾伯特發出了一份邀請，請他在大會上做一個主題發言。”
“他發言的主要內容是什麼？”雖說有萬能翻譯機，可小國王還是聽得很糊塗。
“他提出了數學界下一步應該解決的23個問題。”張曉數告訴他，“這是非常著名的23個問題。”
“他為什麼要提出這些問題？”小國王有些不相信，“因為這個話題簡單嗎？”
“恰恰是因為這個話題很難。”張曉數回答道，“希爾伯特一接到邀請，就立即寫信向他的兩位老朋友征求意見。”
“是哪兩位？”袁園圓抬頭問道。
“一位是名叫閡可夫斯基的猶太青年，比希爾伯特小兩歲；一位是名叫赫爾維茨的青年副教授，比他們年長幾歲。”李曉文饒有興趣地查閱著相關資料，“他與這兩位老朋友的真誠友誼，是在哥尼斯堡大學求學期間建立起來的……每天下午5點，三個好朋友都會準時相會在蘋果樹下，一邊散步，一邊討論數學問題。”
“這樣的‘數學散步’不錯啊。”小國王似乎有些向往。
“他們持續了整整8年。”李曉文告訴小國王，“希爾伯特覺得自己受益匪淺，比在教室或者圖書館裏死啃書本要強得多。”
“其實，本來有很多話題可以讓希爾伯特來選擇，但他在閡可夫斯基建議下，偏偏選擇了展望新世紀數學發展方向這個最困難的話題。”張曉數說道，“希爾伯特的演說稿寫成以後，閡可夫斯基和赫爾維茨是它最早的讀者，還提出了很多有意義的建議。”
“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這裏有一個數學問題，去找出它的答案！”希爾伯特在台上充滿激情地演講著，“你能通過純思維找到它，因為在數學中沒有‘不可知’！”
“這23個問題我怎麼一個都聽不明白？”袁園圓在那裏聽了半天，卻得出了這樣一個結論。
“那當然！”張曉數笑道，“這幾乎是世界上最難的23個數學問題了。誰要能解決其中一個，就能被稱為最偉大的數學家之一。”
“願新世紀帶給數學以天才的大師和大批熱情至誠的弟子！”希爾伯特以這句激情洋溢的話結束了他的演說。
“誰第一個解決了這裏麵的問題？”小國王突然感到很好奇。
“他是希爾伯特的學生，當時年僅22歲的麥克斯·德恩。”張曉數對這段曆史似乎十分清楚，“他在當年就給出了第3個問題的解答。”
“那現在已經有多少個問題被解決了？”小國王繼續追問。
“到現在為止，大約有一半問題已經獲得解決了。”張曉數回憶道，“不過，還是有幾個問題仍在考驗著數學家們的意誌和智慧。”
“看來這些問題是真難。”袁園圓感慨道。
“1950年的時候，著名數學家魏伊爾受美國數學會的委托，對20世紀上半葉的數學曆史進行了總結。”張曉數補充說道，“而魏伊爾認為，完成這項任務十分簡單，隻要根據希爾伯特巴黎演說中提出的問題，指出哪些問題已經解決，哪些問題已部分解決就夠了。”
“嗬嗬，這篇演說簡直成了一張航圖了，數學家按照這張圖來衡量自己就可以了。”小國王笑道，“對了，聽到魏伊爾的這番話，希爾伯特怎麼看？表示了一下謙虛沒有？”
“那時，希爾伯特已經去世7年了。”張曉數搖搖頭歎息道。
“這些飛越英吉利海峽的德國轟炸機簡直就像蝗蟲一樣！”小國王從防空洞口向外望去，黴出驚恐的神色。
2.耽誤丈明進程的事件
“我印象中這個希爾伯特生命的最後幾年，是在希特勒的納粹統治下度過的……”李曉文猶豫地說道。
“不錯，希爾伯特用自己大半生的心血培養出了著名‘哥廷根數學學派’，其中好幾位優秀的數學家都是猶太人。”張曉數點點頭，“可希特勒上台之後，對猶太人進行瘋狂迫害，這讓希爾伯特無比憤慨！”
“哈哈哈哈！”袁園圓突然在一旁大笑了起來。
“你笑什麼？”小國王奇怪道。
“我查到了一句希爾伯特罵希特勒的話一”袁園圓邊笑邊念，“德國人民不要很長時間就會認清希特勒的真麵目，然後把他的腦袋丟進廁所！”
“盡管如此，希爾伯特還是保護不了猶太同事和學生。”張曉數歎了一口氣，“他早年最心愛的一名弟子在離開德國之後都沒能逃脫納粹的魔爪―盛極一時的‘哥廷根數學學派’徹底衰落了。”
“他自己也在1943年2月14日去世了，81歲高齡的希爾伯特孤獨地病逝在哥廷根的寓所裏。”小國王搶著念出袁園圓手裏的資料，“這個消息從戰雲密布的歐洲傳開之後，世界各國的數學家都感到無比難過。”
“戰爭對人類文明的破壞實在是毀滅性的。”張曉數說這話的時候不禁看了小國王一眼。
“你們那兒……究竟發生過幾次大的戰爭？”小國王小心地問道。
“兩次，”袁園圓搶著答道，“第一次世界大戰和第二次世界大戰。希爾伯特趕上的，就是第二次世界大戰。”
“傷亡很慘重嗎？”小國王繼續問道。
“不是一般的慘重。”李曉文歎了一口氣，“1939年9月1日淩晨，德國以‘閃電戰’迅速占領了波蘭，然後大戰很快便席卷了歐洲―當時的法西斯甚囂塵上。”
“就沒有人反對他們？”小國王問道。
“當然有！”李曉文正色道，“世界人民結成了反法西斯同盟―中國也是同盟國之一”
“我不是指國家，而是指個人―比如科學家，尤其是……”小國王頓了一下，“數學家？”
“當然有！”這次輪到張曉數正色了，準這次大戰中，數學家是一支相當重要的反法西斯力量，很多數學家都開始用數學來對付法西斯的槍炮。”
鍵可怎麼對付啊？”小國王總覺得撇學”與粉炮”是不可同日而語的。
“我們親自去看看好了。”
李曉文說罷，幾個人就調動時間機器手柄，動身前往第二次世界大戰的時代……
沒想到他們出來的時候，正好是1940年8月。而此時此刻，他們來到英國首都倫敦，希特勒正在對這裏發動大規模的“空中閃電戰”！
幾個人趕緊鑽進了防空洞。
“這些飛越英吉利海峽的德國轟炸機簡直就像蝗蟲一樣！”小國王從防空洞口向外望去，露出驚恐的神色，“看到它們扔炸彈的樣子，就讓我想起機器人反叛部隊的進攻！”
“放心，他們要轟炸的那些目標早就撤退一空了。”張曉數很有把握地說道，“而且英軍隱蔽的高射炮群已經把炮口對準了這些轟炸機。”
“不會吧？”李曉文懷疑地問道，“英國的情報機關有這麼厲害？”
“看來一定有一位英國高級間諜潛入到了德軍的心髒，竊取了德軍的通訊密碼。”袁園圓判斷道，“一個二戰時代的0071“
“別浪漫了。”張曉數打斷袁園圓的遐想，“這個高級間諜確實存在，但他並不在德軍的心髒，卻是一位待在英國本土的數學家。”
“數學間諜？”小國王有些迷惑。
“不錯，”張曉數點點頭，“這位數學家名叫圖靈……”
“我聽說過這個名字……”李曉文挖掘著自己的記憶，籽像有個什麼圖靈實驗。”
“圖靈實驗是用來判斷人工智能是否與人類智能具有相當水平的實驗。”張曉數解釋說，“與此相對應的還有‘圖靈機’―1936年幾圖靈把人進行計算的過程分解成幾種機械化的基本動作，然後設計出一種理想的電腦。這種理想的電腦，正是現代電腦的理論模型，在電腦科學中被稱為‘圖靈機’。”
“接著講間諜的故事！”小國王最關心的還是這一點。
“當戰爭陰雲開始籠罩歐洲的時候，旅居美國的圖靈回到了自己的祖國。”張曉數繼續講述，“圖靈進入英國外交部通訊處工作，他以卓越的數學才能設計了一種密碼破譯機！”
“你是說圖靈清楚地知道德軍什麼時候會來轟炸？”袁園圓插嘴問道。
“何止是轟炸。”張曉數信心十足地笑了，“在這種密碼破譯機麵前，德軍的通訊聯絡已經不再有任何機密可言了。”
“由於圖靈在粉碎希特勒‘空中閃電戰’中所做的重要貢獻，他獲得了帝國勳章。”李曉文調出了這段資料，“不過為粉碎‘空中閃電戰’做出貢獻的數學家好像不止圖靈一個人啊。”
“不錯，為了設計出一個快速準確傳遞和處理信息的防空雷達係統，英國軍方當時專門組織了一個OR小組，成員裏包括好幾名數學家。”張曉數補充道，“這個小組擔負著繁重的科研任務，除了設計這種防空雷達係統以外，還負責製定搜索德軍潛艇的戰術策略，規劃合理調配和使用戰爭物資與人員的最佳方案。”
“繁瑣了，”小國王聽得直打哈欠，“離我們太遠了。”
“陛下馬上就會覺得離自己很近了。”張曉數笑道，“在這些研究中，發展出了一種有效的數學方法：OR是英文Operations Research的縮寫，本意是指和軍事行動有關的研究；但是在戰後，OR的數學方法發展成一門龐大的應用數學，在中文中被譯成‘運籌學’。它也不再隻限於為軍事目的服務，而在社會生活的廣大領域裏都獲得了有效的應用，並且成為一門蓬勃興起的科學分支―係統科學的數學支柱。”
“還是很遠啊。”小國王沒明白張曉數的意思。
“嗬嗬，看來陛下的記憶力還是不太行啊。”李曉文已經知道張曉數的意思了。
“再提醒一下。”小國王有時還是比較謙虛的。
“你還記得丁謂嗎？”張曉數再次提醒。
“天！運籌學！”這下小國王想起來了，“在戰時的英國又出現了！”
壞但在英國，而且在戰時的美國也發展起來了。”袁園圓感慨地提醒道。
“是啊，和英國的情況一樣，它也主要是在與軍事行動有關的研究中發展起來的。”張曉數補充道，堤為了尋求合理調配物資、兵力、運輸工具等戰爭資源的最優方案，製定作戰的正確策略，提高設備的利用率等等發展起來的。”
在第二次世界大戰期間為數理統計學做出重大貢獻的沃爾德，也是一位從法西斯魔爪下逃到美國的擾太人。
3.消滅法西斯
“咱們現在就到美國看看去。”李曉文說著便打算調動時間機器手柄，“那裏馬上就要成為世界反法西斯的大本營了。”
於是一行四人前往美國。
剛一到美國，小國王就發現四周到處都是難民，他有些奇怪。
“這些人是怎麼回事？”
“都是些因戰爭而變得無家可歸的人。”袁園圓告訴小國王，“他們中很多都是猶太人。”
“他們都要申請在美國的居留權，”李曉文補充說明，“因為希特勒在德國迫害和驅趕他們。”
“這些人裏有很多著名的科學家。”張曉數說道。
四個人正在說著，突然聽到旁邊也有人在說話。從萬能翻譯機的顯示來看，那人說的是英語，但有德國口音。
“聽說AMP在招人。”一個人說道，“我打算去試試。”
“AMP是什麼？”另外一個人問道，“一家公司嗎？”
“不是，”第一個解釋說，“它是美國科學研究發展局在1942年成立的應用數學小組，打算把全國最有才華的數學家都組織起來，幫助軍方解決日益增多的數學問題。”
“數學家？”另外那人驚呼道，“我說柯朗，那你真應該去試試！
於是柯朗動身前往美國軍方報名，而張曉數他們四個也跟著他動身了。
“這個柯朗是希爾伯特的學生，32歲的時候就成了哥廷根大學的教授，後來一手創建了哥廷根數學研究所。”李曉文邊走邊介紹說，“當希特勒掀起‘排猶運動’的時候，柯朗曾經天真地希望自己能夠得到幸免，留在德國‘繼續為國家服務’。直到實在呆不下去了，他才不得不逃離祖國，到美國擔任紐約州立大學的教授。”
等到了報名地點，柯朗卻被拒絕了。
“你在第二次世界大戰期間，曾經在德軍服役？”對方對柯朗說道，“這讓我們怎麼相信你呢？”
“我們必須毫無保留地把柯朗看作我們中的一員！”沒想到旁邊的一位數學家堅決地說道，接著好幾名數學家也都支持這個說法，“我們相信他！
於是，柯朗就這樣被留在了美國軍方。
“美國還是很大度的。”跟隨柯朗回到紐約州立大學之後，小國王感慨地說道，“大度地接納了一個來自敵國的數學家。”
“ 國軍方不但接納了柯朗，還讓他直接領導了紐約州立大學的AMP小組。”李曉文告訴小國王，“在戰爭期間，他們出色地完成了100多項研究課題呢。”
正在這時，突然有一名美國海軍軍官急匆匆地來到紐約州立大學的AMP小組。
“您有什麼事？”柯朗問來人。
“我們急需掌握日軍一種大型軍艦的速度，”那軍官告訴柯朗，“以便製定布置水雷的正確方案。”
“給我們資料吧。”柯朗熱情地說道，“我們會盡快幫您解決的。”
“資料我已經帶來了。”來人說道。
可令柯朗沒想到的是，那人隻拿出了幾張敵艦的照片。
“其他資料什麼時候送來？”柯朗還抱有一絲僥幸。
“很遺憾，此外我們沒有任何資料了。”那軍官攤攤手。
“這實在太困難了……”柯朗十分為難。
“就是這些照片還是很難弄到的呢。”那軍官更為難，“幫幫忙吧。”
“好吧，我們盡量。”看到對方焦急的樣子，柯朗說道， 籲我們隻能試試。”
“還要盡快。”那軍官囑咐道，“拜托你們了！”
“這恐怕做不到吧。”小國王湊上去對柯朗說道，“這照片是靜態的，要從這上麵得到艦艇的速度，恐怕做不到吧。”
“我想想啊……”柯朗對著那些照片沉思，“依據照片上的情況看，由艦首衝擊水波所形成的扇形，應該可以大致推算出敵艦的速度……”
“這真是個好辦法！”李曉文興奮地說道，“那您推算出它的速度是多大啊！”
“這可不是一想就能說出來的。”張曉數把李曉文拉開，“柯朗需要計算―我們別影響他了。”
“計算很麻煩嗎？”小國王問道。
“相當麻煩。”張曉數解釋說，“除非……”
“除非什麼？”小國王似乎已經有些知道張曉數的答案了。
“除非使用電腦。”李曉文插話道。
“那為什麼不用？”小國王不理解。
“也許那時也有個國王禁止使用電腦吧。”袁園圓笑著說道。
“不要諷刺打擊嘛。”沒想到小國王沒有生氣，而是臉紅了，“事實不可能如此―我知道美國是共和製，不是君主製。”
“那也沒法用，”張曉數無奈地說道，“因為這時電腦還沒有誕生。”
“雖然已經非常非常需要它誕生了。”李曉文補充說。
但柯朗到底還是為美國海軍計算出了那些日軍艦艇的速度。
根據後來的情報來看，這些計算結果十分準確。
“柯朗領導的AMP小組在應用數學上的表現實在太出色了！”李曉文感歎道。
“所以這個小組被稱為‘柯朗倉庫’！”張曉數告訴他。
“真是具有諷刺意味的事情啊。”袁園圓感慨道，“在這場反法西斯戰爭中，成績最大的AMP小組的領導人，居然是一位由於遭受法西斯迫害而逃亡到美國的德國數學家。”
“很多德國數學家都在流亡美國期間為反法西斯戰爭做出了貢獻。”李曉文解釋說，“尤其是被希特勒迫害的猶太數學家。”
“不錯，，在第二次世界大戰期間為數理統計學做出重大貢獻的沃爾德，也是一位從法西斯魔爪下逃到美國的猶太人。”張曉數又想起了一位猶太數學家。
“這位沃爾德出生於羅馬尼亞，後來到奧地利求學―經曆還挺豐富。”小國王也試著開始查找資料，“1938年德軍占領了奧地利，把沃爾德關進了集中營……糟糕，這下他危險了，法西斯就喜歡殺害猶太人。”
“幸好美國人設法營救了他，並讓他移居到了美國。”李曉文查找資料的本領比小國王要高，“1942年年底，哥倫比亞大學的AMP小組接受了一項研究任務：對一種空戰的實彈試驗方案作出評價，沃爾德參加了這項研究。”
“他提出了一種被稱為‘序貫分析法’的數理統計方法。”張曉數在數學方麵更精通一些，“這種方法既可以使實彈試驗達到精度要求，又可以大大節省彈藥和試驗費用。”
壞就是發幾顆子彈嘛，”小國王有些奇怪，坯需要什麼專門的方法？
“當然！”張曉數堅決地說道，“這種方法提出來以後，被譽為20世紀30年代以來‘最有威力的統計思想’。”