二科學發明之最8
最早研究不定式方程的數學專著
《九章算術》是中國一部很古老的數學書，它係統總結了戰國、秦漢時期的數學成就，它的寫成，經過了很多人長時間修改刪補，到東漢時期才逐漸形成定本，其中的第十三題“五家共井”問題是當時世界上最早的研究不定式方程的問題。
《九章算術》的敘述方式以歸納為主，先給出若幹例題，再列出解決這類問題的一般方法。這和古希臘數學的代表著作歐幾裏得(約公元前330～前275年)的《幾何原本》以演繹為主的敘述方式有明顯的不同。它對我國後世數學的發展一直有很大的影響，曾經被曆代規定作為進行數學教育的教科書，是所謂“算經十書”之一。
《九章算術》全書收有246個數學問題，分為九大類，就是“九章”。第一章“方田”，主要講各種田畝麵積的算法；第二章“粟米”，主要講各種穀物按比例交換的算法；第三章“衰分”，主要講按等級或比例進行分配的算法；第四章“少廣”，主要講已知麵積和體積反求它一邊的算法；第五章“商功”，主要講有關土石方和用工量的各種工程的算法：第六章“均輸”，主要講按人口多少和路途遠近等條件來攤派稅收和分派勞力(徭役)的算法；第七章“盈不足”，主要講兩次假設來解決某些難解問題的算法；第八章“方程”，主要講聯立一次方程組的解法和正負數的加減法法則；第九章“勾股”，主要講勾股定理的應用、直角相似三角形和一元二次方程的解法。
《數書九章》“五家共井”問題的內容是：五戶人家合用一口井，若用甲家的繩2條，乙家的繩1條接長；從井口放下去，正好抵達水麵；另外或用乙家的繩3條，丙家的1條；或用丙家的4條，丁家的l條；或用了家的5條，戊家的1條：或用戊家的6條，甲家的1條接長，也都一樣正好抵達水麵，問井的深度及各家的繩長各為多少?
由於原題包含有兩個以上的未知量，它沒有給出答案的範圍和別的特定條件，因此排出方程後有無窮多組解，這樣的方程就叫作“不定方程”。如果該題的長度單位為寸，那麼它的最小正整數解如下：
井深721寸，甲家的繩長為265寸，乙家的長191寸，丙家的長148寸，丁家的長129寸，戊家的長76寸。
西方最早研究不定方程的人是古希臘亞曆山大裏亞城的丟番都，時間約在公元4世紀。他比《九章算術》的年代要遲300多年。到了13世紀，中國宋朝的數學家秦九韶在他所著的《數書九章》(1247年)中提出了“大衍求一術”，實際上這就是解一次不定方程的通法，而歐洲到了18世紀，才由瑞士數學家歐拉創立了一次不定方程的一般解法。
秦九韶的“大衍求一術”，不但遠比歐洲發明得早，有其曆史上的崇高地位，而且在方法上也比歐洲人的辦法來得簡潔、具體，易於作數值計算。直到現在，與現代數論裏頭的“一次同餘式”的方法相比較，仍有其優越性。所以這個算法一貫被歐美學者所推崇，稱為“中國的剩餘定理”。
最早的記數方法
中國古代最早的記數方法是結繩。所謂結繩記數，就是在一根繩子上打結來表示事物的多少。比如今天獵到五頭羊，就以在繩子上打五個結來表示；約定三天後再見麵，就在繩子上打三個結，過一天解一個結；等等，結可以打得大一些，也可以打得小一點，大的結表示大事，小的結表示小事。
比結繩記數稍晚一些，古代的先民又發明了契刻記數的方法，即在骨片、木片或竹片上用刀刻上口子，以此來表示數目的多少。
在中國曆史上，到新石器時代的晚期，才逐漸地被數字符號和文字記數所代替。最晚到商朝時，我國古代已經有了比較完備的文字係統，同時也有了比較完備的文字記數係統。在商代的甲骨文中，已經有了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬這13個記數單字，而有了這13個記數單字，就可以記錄十萬以內的任何自然數了。當然，商代甲骨文的形體與現代的漢字不同。
算籌的發明就是在以上這些記數方法的曆史發展中逐漸產生的。它最早出現在何時，現在已經不可查考了，但至遲到春秋戰國；算籌的使用已經非常普遍了。算籌是一根根同樣長短和粗細的小棍子，那麼怎樣用這些小棍子來表示各種各樣的數目呢?
古代的數學家們創造了縱式和橫式兩種擺法，這兩種擺法都可以表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數碼。下圖便是算籌記數的兩種擺法：
算籌的兩種擺法
那麼為什麼又要有縱式和橫式兩種不同的擺法呢?這就是因為十進位製的需要了。所謂十進位製，又稱十進位值製，包含有兩方麵的含義。其一是“十進製”，即每滿十數進一個單位，十個一進為十，十個十進為百，十個百進為千……其二是“位值製，即每個數碼所表示的數值，不僅取決於這個數碼本身，而且取決於它在記數中所處的位置。如同樣是一個數碼“2”，放在個位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000。在我國商代的文字記數係統中，就已經有了十進位值製的萌芽，到了算籌記數和運算時，就更是標準的十進位值製了。