1812年夏天的這個學期，卡爾·威特先生選修了我主講的數學分析和高等幾何這兩門課程。盡管在知識量和難度上，這兩門學科都有了相當大的提升，而且關於理論數學的研究也不可避免地涉及到了，但卡爾仍然一如既往地投入了大量的熱情和精力去學習。以課程為依據的專門考試為卡爾的能力提供了總結性的證明的機會。結果，他證明了自己的能力——他能夠熟練、係統地運用所學知識解答問題。
B·FR·斯巴爾特
第五學期，卡爾又選修了邁爾主講的關於測量工具的課程，海斯曼主講的礦物學術語和係統學，斯洛梅爾主講的試劑和化學儀器的課程，以及斯巴爾特講授的微積分。
在這個冬天，卡爾寫了第一篇關於高等數學的論文。題目是斯巴爾特為他選出的，並且沒有告訴卡爾最終曲線的名稱，這樣一來，關於這方麵的任何信息，卡爾都找不到。然而，無論是誰看到他的這篇小論文，都會滿懷喜悅地稱讚。尤其是卡爾為機械曲線繪圖而設計的測量工具，很多人特別喜歡，因為它們為卡爾極高的悟性、淵博的機械知識和出色的表達能力做了極好的證明。
在第六個學期，卡爾開始參加斯巴爾特的應用幾何課程，邁爾的光和色彩的理論課程，並繼續跟著海斯曼學習礦物學。除學習這些自然科學外，他還選修了韋爾斯主講的法國文學。第七學期，他又向學習了海恩的政治史，並對古代史進行了複習。
在前一個夏天，斯巴爾特向我做了聲明，說他已經不知道還有什麼可以教給卡爾的了。我曾經想過讓卡爾複習一下他所學的數學知識，但斯巴爾特堅持認為從數次的考試中看，對所有的知識，卡爾都已經熟練地掌握了，不需要再複習了，對於卡爾在高難度數學知識，尤其是高等數學上連續的學習，我也曾經表示過抗議，並且也反對過讓一個年僅十一歲的孩子學習數學分析、高等幾何和微積分的做法。但是，斯巴爾特堅持認為卡爾具有學好這些知識的足夠能力和強烈願望，因為“世上無難事，隻怕有心人”。當時，我雖然同意了，但卻是懷著極大的憂慮的，並且提出了兩個附加條件：1、如果卡爾感到實在困難，他可以隨時退出；2、對於課程的內容，如果卡爾沒有完全理解，則可以忽略這個難點。斯巴爾特同意了我的條件。
然而事實證明我的那些擔憂完全是多餘的，斯巴爾特的做法相當正確。並且斯巴爾特對卡爾關愛真是如慈父一般，這一點更為重要。他說服高斯，讓他下定決心對卡爾進行單獨輔導。雖然高斯聽說過卡爾，但在我的請求下，他還是非常謹慎地對卡爾進行了測試，之後，他斷言：“即使是大學課程，甚至是單獨的輔導也不能傳授給卡爾什麼知識了，但我可以給他推薦一些拉丁、意大利和法國作者寫的書，對高等數學的分支學科，他們都有著非常獨到的見解。他自己可以去體會一下。”我感到有些擔憂，畢竟卡爾隻有十三歲。“可是，教授，”我說，“這裏麵有許多他不能理解的內容！”“許多？不，也許隻是一點點，我可以幫助他。”
事實證明了高斯的正確，裏麵幾乎所有的內容，卡爾都弄懂了。對於蓋諾林，他徹底地掌握了；有時，卡爾也會遇到一些晦澀難懂的內容，如泊鬆的“高等力學”中的幾個段落——我個人認為是三個段落，高斯覺得應該反複的講解這些內容，直到卡爾弄明白。卡爾的勤奮程度，連這個偉大的學者都是讚不絕口。
盡管斯巴爾特已經不教卡爾了，但他依然關心著他。“讓他做自己喜歡做的事吧，”他曾經說，“我急切地想知道他會發現些什麼。”然後，我對他透露了一個秘密，那就是卡爾正在寫有關平麵三角學的論文，但我讓他一定要保守這個秘密，因為，由於受時間和條件的限製，還不能確定卡爾是否能完成這篇文章。聽到這些，斯巴爾特顯得非常高興，他說，“隻要他喜歡，就讓他去做吧！”在論文完成時，他對論文進行了審查並對卡爾的成績給予了肯定，但也發現了一些問題，卡爾對此非常感激並做了一些修改。我的兒子以前可能從未如此快樂、耐心地完成過這樣的工作。
這篇論文於1815年發表，那時我們居住在海德爾堡。令我感到驚訝的是，很快我就發現斯巴爾特評價了這篇文章，在其中，他表現出的態度與以往截然相反。他的愛心消失了，留下的隻有憎恨；善意的勸誡也不見了，代之以尖刻的批評；再也沒有了對年輕人的仁慈的體諒(當時的卡爾隻有十三歲半，而斯巴爾特卻把他故意說成十六歲)，有的隻是譴責和挖苦，甚至可以說是尖利的指責；對卡爾正直的評價以及讚美也變成了惡毒的歪曲。我們被他這種所作所為深深地傷害了，但是，他以往對我們的關懷，我們依然會牢記於心的。
此後，我們未來四年的補助金，國王陛下依然繼續賜予，並高尚地允許我將它用在任何有益於卡爾的地方。為了收回在過去的七個月裏被拖欠的款項，我們去了布倫瑞克，在那裏，我們被引薦給了公爵，當時他正打算離開那兒。他和我們進行了很長時間的親切交談，在談話中，他試圖燃起卡爾去英格蘭的願望，並表示可以讓卡爾認識一下他在那裏的親戚，對於任何值得學的知識，他們都可以提供資助。在公爵的幫助下，我們當天就收回了在布倫瑞克的欠款。