0168之謎
將長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部的比等於另外一部分對於這部分的比。即x∶L=（L-x）∶x，這樣的分割稱為“黃金分割”，又叫“黃金律”、“中外比”。
解上述比例，可求得x/L=0168。
自古希臘始，人們就認為1∶0168這種比在造型藝術中具有美學價值，如在工藝美術和日常生活用品的長和寬的設計中運用這種比例易引起美感。我國著名數學家華羅庚運用“黃金分割”創造了優選法，對促進我國的現代化建設起了十分重要的作用。
黃金數
用代數解方程的知識可以求得中外比的比值。
設線段全長ＡＢ＝ａ，大段ＡＰ＝ｘ，則小段ＢＰ＝ａ－ｘ，
於是，a-xx=xa
即ｘ２＋ａｘ－ａ２＝０
x-a±5a2
舍去負根，得x=5-12a
因此，xa=5-12a
這就是說，中外比的比值為5-12
中外比的比值，叫做“黃金數”，用記號ｇ表示。請記住：
ｇ＝5-12。
由於5=2236……所以
ｇ＝０６１８。
黃金分割法
２０００多年前，古希臘的柏拉圖派學者歐多克斯，首先使用規尺分已知線段為“黃金分割”，他的作法如下：
１過Ｂ點，作ＢＣ⊥ＡＢ，而且使ＢＣ＝１２ＡＢ；
２連ＡＣ；
３以Ｃ為圓心，ＣＢ為半徑作圓弧，交ＡＣ於Ｄ；
４以Ａ為圓心，ＡＤ為半徑作圓弧交線段ＡＢ於Ｐ，則Ｐ點分ＡＢ成黃金分割。
這個作法十分簡便，證明也很容易。
設ＡＢ＝ａ，則ＢＣ＝a2，由勾股定理可知：
AC=AB2+BC2=a2+(a2)=52a；
AD=AC-DC=52a-a2=5-12a；
AP=AD=5-12a。
這就證明了，Ｐ點分ＡＢ成黃金分割。
這個作圖方法，叫做“黃金分割法”，Ｐ點為“黃金分割點”。
輾轉分割
設點Ｐ１將線段ＡＢ分成黃金分割，即
ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ；
取ＡＢ中點Ｏ，作點Ｐ１關於點Ｏ的對稱點Ｐ２，則點Ｐ２有下述重要性質：
１．點Ｐ２也將線段ＡＢ分成黃金分割。
這是因為：
ＡＰ２＝ＢＰ１，ＢＰ２＝ＡＰ１，
ＡＰ２∶ＢＰ２＝ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ，
所以點Ｐ２也分ＡＢ成黃金分割
由此可知，每條線段有兩個黃金分割點。
２．點Ｐ２還分線段ＡＰ１成黃金分割。
證明如下：由於ＢＰ１∶ＡＰ１＝ｇ，而ＡＰ２＝ＢＰ１，
所以ＡＰ２∶ＡＰ１＝ｇ，這就說明Ｐ２分ＡＰ１成黃金分割。
３．作Ｐ２，關於線段ＡＰ１中點的對稱點Ｐ３，則ＡＰ３將ＡＰ２黃金分割。如此繼續利用對稱，輾轉相割，可以得到一係列的黃金分割點。
黃金矩形
國外，有位畫家舉辦過一次畫展，所有的畫麵都是不同比例的矩形，有的狹長，有的正方。據統計數字表明，觀眾最喜愛的寬與長之比為ｇ的矩形畫麵。人們稱這種矩形為“黃金矩形”。
黃金矩形有個奇特的性質，如果矩形ＡＢＣＤ是黃金矩形，即ＤＡ∶ＡＢ＝ｇ，在它的內部截去一個正黃金矩形。這個過程繼續下去，還可以得到一係列的黃金矩形。這個美妙的結論，請你自己證明吧。