第五部分
單位與單位名稱
人們在計量物體的重量、長度、體積等時，要有一個量作標準；在計算數值或比較數值的大小時，也要有一個數值作標準。這些用作標準的量或標準的數，統稱為單位。例如：米、厘米、分米是計量物體長度的單位；噸、千克、克是計量物體質量的單位；１是自然數的單位；是分數的單位等等。單位的作用很多。例如：單位相同，才能進行數的加減計算。整數相加減數位一定要對齊，小數相加減小數點一定要對齊，分數相加減，是異分母的，一定要先通分才能運算，就是這個道理。例如，５３＋４，５和４不能相加，因為５的單位是１０，而４的單位是１；６－３.５８，６與５不能相減，因為６的單位是１，而５的單位是十分之一；＋的單位不同，不能直接相加，必須先通分化成＋，兩個分數的單位相同了，就可以相加。在比和比例的運算中，單位也要統一，如３小時和５０分的比，就不能寫成３：５０，必須化成同單位的比即１８０：５０或３：，才能進行化簡和求比值的運算。
在計量、計數運算中作標準的那個量和那個數值，都有個名稱，這個名稱就叫單位名稱。如十、百、千、萬等是整數的單位名稱；十分之一、百分之一等是小數的單位名稱，千克、克等是物體質量的單位名稱。特別要注意的是，在計量物體的長度、質量、麵積等時，隻能用各種不同的計量單位去計量，不能用“單位名稱”去計量。如隻能說某同學漏寫了單位名稱或寫錯了單位名稱，而不能說忘了寫“單位”了。實際上，忘記“單位”是不能運算的，沒有“單位”也是不能計量的。
體積和容積
同學們從課本上可以看到，物體所占空間的大小叫體積；而箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，叫做它們的容積或容量。
顯而易見，容積與體積有著緊密的聯係。因為容積是箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，所以計量容積時的計算方法與所使用的計量單位，跟計量體積基本上是一樣的。
但是，體積與容積還有諸多不同之處。首先，從概念上看，對空體（即中間是空的物體如箱、桶、罐一類）來說是容積，對實體來說是體積；從計量方法上看，計算物體體積時要按容器的外部尺寸計算，計算物體容積時，由於容器有一定的厚度，因此，要按內部尺寸計算；從所使用的計量單位看，計算體積使用的是立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米，計算容積時，一般也使用這些單位，但容積還有自己的計量單位——升和毫升，這是在計算物體體積時所不能使用的，它隻限於計量液體（如水、油、藥水、墨水等）時使用。
例如：用厚２厘米的木板做一個外長８０厘米、寬６０厘米、高４０厘米的長方體帶蓋木箱。試求：１.這個木箱占空間大小是多少？ ２.這個木箱容積是多少？
解：求這個木箱占空間大小是多少，就是求這個木箱的體積：
８０×６０×４０＝１９２０００（立方厘米）
求這個木箱的容積，應在木箱的長、寬、高中減去木箱的厚度：
（８０－４）×（６０－４）×（４０－４）＝１５３２１６（立方厘米）
答：１.木箱所占空間大小是１９２０００立方厘米。
２.木箱的容積是１５３２１６立方厘米。
從上麵的例題可以看出，在計算實際問題時，要區別是求體積還是求容積，不能把求體積和求容積混為一談。
直線、線段、射線
直線——一點在平麵上或空間沿著一定的方向和它的相反方向運動所成的圖形叫做直線。我們在中年級時初步形成直線的概念，即“把一條線拉緊，就成一條直線。”直線可以向兩個方向無限延長，因此，直線是不可度量的。
線段——直線上任意兩點之間的一段叫做線段，線段是直線的一部分，這兩點叫做線段的端點，線段是可以度量的。
射線——是指在直線上某一點一旁的部分。課本上初步介紹了射線的定義，即“把線段的一端無限延長就得到了一條射線。”射線隻有一個端點，另一方向可以無限延長，因此射線也是不可度量的。
一把隨身帶的方便尺子
為了到實地去測量，首先需要有一把方便的尺子，這把尺子就在你自己身上，隨身帶著。例如：你量量自己中指寬大約是１厘米，手掌寬大約是７厘米。又如人們常用的“一拃”（ｚｈǎ），它是指大拇指與中指之間的最大距離。
一拃的長度是因人而異的，有的人約是１８厘米，有的人約是１６厘米……再如人們常用的“一庹（ｔｕǒ）”，即兩臂左右平伸，掌心向前時兩中指尖之間的距離。一庹的長度也是因人而異的，有的人約是１１５厘米，有的人約是１２３厘米……還有人們最常用的“一步”，即一隻腳的腳尖到另一隻腳的腳尖之間的距離。一步也叫做一“自然步”。因為人有高矮之別，步也有大小之分。有的人一步長約是６４厘米，有的人約是７２厘米……你身上的這把尺子要在日常生活中充分運用起來。
“增加了”和“增加到”的區別
在學習應用題時，我們常會遇到“增加了”、“增加到”等術語，這些術語雖然隻有一字之差，但其意義卻大不相同。
例１：一個工地用５輛汽車來運石頭，每輛汽車一天可運１０噸石頭。後來又增加了同樣的汽車２輛，每天可運多少噸石頭？
解：（５＋２）×１０＝７０（噸）
答：每天可運７０噸石頭。
例２：某機械廠原來每年可生產車床３０００台，采用新技術後，每年生產的車床比原來增加了４３％，現在每年生產車床多少台？
解：３０００×（１＋４３％）＝４２９０（台）
答：現在每年生產車床４２９０台。
從上麵的例子可以看出，“增加了”是指在原數的基礎上增加的部分，不包括原數在內。與“增加了”說法相同的還有“增加”、“增長”、“增長了”、“多”、“多了”等等。在應用題數量關係中不涉及倍比關係時，“擴大”、“擴大了”與“增加了”也是同一個意思。
例３：一個學校原有學生５００人，現在的學生已增加到７００人，比原來多多少人？
解：７００－５００＝２００（人）
答：比原來多２００人。
例４：某機械廠原來每年生產車床３０００台，采用新技術後，每年生產的車床增加到原來的１４３％，現在每年生產車床多少台？
解：３０００×１４３％＝４２９０（台）
答：現在每年生產車床４２９０台。
從上麵的兩個例子可以看出，“增加到”是指在原數的基礎上加上“增加了”的數所得到的總和，包括原數在內。與“增加到”說法相同的還有“增長到”、“增長為”、“提高到”、“提高為”、“增加為”、“達到”等。當應用題中數量關係不涉及到倍比關係時，“擴大到”與“增加到”也完全是一個意思。
和“增加了”、“增加到”一樣，“降低了”、“降低到”等的意思也是不同的。同學們可以自己思考一下。
什麼叫一一對應
如果集合Ａ中每一個元素都與集合Ｂ中的每一個元素對應，反過來，集合Ｂ中的每一個元素都與集合Ａ中的每一個元素對應，那麼稱集合Ａ與集合Ｂ建立了一一對應。例如，當電影院裏的每一個座位都有一個觀眾，反過來，每一個觀眾都有一個座位，那麼，電影院中座位的集合與觀眾的集合建立了一種一一對應關係。
解數學題一般的步驟
做任何事情，都有一個從準備、進行到完成的過程，解數學題也是如此。一般來說，解數學題有下列四個步驟：
１.審題。即通過仔細讀題來弄清楚：這是一道什麼樣的題？題的結構如何？題中的已知條件是什麼？題中的問題或要求是什麼等等。
２.分析。即在審題的基礎上，弄清楚條件與條件以及條件與問題之間的聯係或關係，並根據要求分析解題途徑，探求解題方法，從而實現由已知向未知的轉化。分析的基本思路一是回憶，二是推想。如回憶有關的定義、定律、性質、法則、公式，聯想有關的典型問題的解法和注意事項等等，以確定如何解題。推想則是對解題途徑的推測和嚐試。
３.敘述。即做好上述兩項工作以後，把解題付諸實踐，也就是按照解題要求寫出解題過程。這一步是同學們經常做的工作。
４.檢驗。即對解題過程進行複核、驗算。如審題是否失誤？公式是否用錯？運算是否正確？格式是否符合要求等等。
同學們，你在解題時是按照上述步驟進行的嗎？
解答應用題常用的八把“鑰匙”
小學數學中的應用題，既是重點，又是難點。怎樣學好解應用題呢？這裏交給你８把“鑰匙”。
第一把“鑰匙”——順推法。這是最常用的一種分析思考方法，即從題目的已知條件出發，一步步推算，直到求出要求的結果。這一方法也就是所謂的綜合法。
例如：紅花村共種向日葵４５００棵，平均每棵收葵花籽０.４千克。如果葵花籽的出油率是３５％，那麼，這些葵花籽能出油多少千克？
用順推法本題的思考過程如下：
１.已知每棵收葵花籽０.４千克，一共種４５００棵，求一共收多少葵花籽？
２.已知葵花籽的出油率是３５％，和一共收的葵花籽數，求一共出多少油？
列出綜合算式：０.４×４５００×３５％
＝６３０（千克）
第二把“鑰匙”——倒推法。與順推法相反，倒推法是從應用題的問題出發，一步一步倒著分析推理，尋找解決問題需要知道的條件，直接解決問題。倒推法也就是所謂的分析法。
例如：有７６５克同樣規格的鐵釘，取出５隻後，剩下的重７５０克，問原來這堆鐵釘有多少隻？
用倒推法思考本題的過程如下：
１.原來這堆鐵釘的隻數＝鐵釘的總重量÷每隻鐵釘的重量
２.每隻鐵釘的重量＝取出鐵釘的重量÷取出鐵釘的隻數
３.取出鐵釘的重量＝鐵釘的總重量－剩下鐵釘的重量
列出綜合算式：７６５÷［（７６５－７５０）÷５］
＝２５５（隻）
第三把“鑰匙”——圖解法。把題中的條件和問題用圖像具體形象地表示出來，以便於理解和分析題中的數量關係，尋找解題方法。
例如：宋莊合作商店原有４００千克白糖，賣出去３１０千克，現在又運來３袋，每袋１００千克。這個商店現在有多少千克白糖？
列出綜合算式：（４００－３１０）＋１００×３
＝３９０（千克）
第四把“鑰匙”——假設法。當應用題數量關係較複雜時，可將題中的某一個條件假設成已知條件，促使題目中隱藏的數量關係變明朗，複雜的條件變單一，再與其他的已知條件配合，使問題順利得到解決。
例如：某校一、二、三年級共有學生４０４人，一年級比二年級少６人，三年級比二年級多８人，三個年級各有多少人？
以二年級人數為標準，則（４０４＋６－８）人，恰好是二年級人數的３倍，則二年級人數為（４０４＋６－８）÷３＝１３４（人）。由此可分別求出三年級和一年級的人數。
第五把“鑰匙”——對應法。分數、百分數應用題的特點是一個數量對應著一個分率，也就是一個數量相當於單位“１”的幾分之幾，這種關係叫對應關係。找對應關係的方法，叫對應法。
例如：毓華看一本書，第一天看了全書的２５％，第二天看了全書的，還剩下５０頁沒有看。這本書共有多少頁？
由題意可以看出，這本書的頁數是單位“１”，剩下沒有看的５０頁，相當於全書的（１－２５％－ ）。那麼全書頁數則為：
５０÷（１－２５％－）＝１２０（頁）
第六把“鑰匙”——轉化法。把一個數學問題通過數學變換，轉化成另一個數學問題來處理。
例如：姐姐和妹妹共有１０張彩色紙。如果姐姐給妹妹１張，那麼，姐姐彩色紙的張數的就等於妹妹彩色紙的張數的，姐姐和妹妹原來各有多少彩色紙？
本題假如從分數應用題的數量關係去解題，是很難解出來的。