上編：數學篇
升官題
傳說唐代尚書楊損，廉潔奉公，任人唯賢。有一次，要在兩名小吏中提升一人，主管提升工作的官員感到很難決斷，便請示楊損。楊損認為，作為一個官員，不僅要有高尚的品德，還要有一定的文化水平。於是，他說：“一個官員應具備的一大技能是速算。讓我出題來考考他們，誰算得快就提升誰。”楊損出了一道題：
“有人在林中散步，無意中聽到幾個強盜在商討如何分贓。他們說，如果每人分６匹布，則餘５匹；每人分７匹布，則缺少８匹。試問共有幾個強盜幾匹布？”兩個小吏聽過題目後，便用籌算解聯立一次方程組。後來，先得出正確結果的小吏果真升了官，大家心服口服。
這個故事反映出我國古代人民對於解聯立一次方程組的熟練程度。事實上，在２０００多年前的《九章算術》中，已係統地敘述了聯立一次方程組的解法，這是中國古代數學的傑出貢獻之一。
《九章算術》是我國至今有傳本的一部經典數學著作，內容極為豐富，它幾乎集中了過去和當時的全部數學知識，將２４６個問題分為九章，所以叫做《九章算術》。
《九章算述》不是出自某一個人的手筆，不是一個時代的作品。它是經過曆代名家的修訂和增補，才逐漸成為定本的。它成書於何時，目前學術界尚無統一結論，據推測起碼在公元１世紀之前。《九章算術》對我國以及一些外國的數學發展有很大影響，直到１６世紀我國的數學著作大都還是受它的體例影響。
一元一次方程問題在古埃及時已經出現。巴比倫人已經知道某些特殊的二次、三次方程的解法，例如：兩個正方形麵積之和是１０００，其中一個邊長是另一個邊長的23少１０，問各長多少？這相當於解聯立方程
x2+y2=1000,y=12x-10。
當時實際的解隻是由觀察某些簡單的數字關係而得到答案。
《九章算術》的第８章“方程”，給出了聯立一次方程組的普遍解法，並且使用了負數，這在數學史上具有非常重要的意義。
我國古代是用算籌來運算的，未知數不用符號表示，隻是將各個係數用算籌依次布列成方陣的形式。“程”是變量的總名，也有計量、考核、程式的意思。“方程”的名稱，就來源於此。
《九章算術》第８章的第１題為：
“今有上禾三秉、中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問上、中、下禾實一秉各幾何？
“禾”指黍米，一“秉”即一捆，“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥”就是說：三捆上等黍米，兩捆中等黍米，一捆下等黍米，一共可打出黍米穀３９鬥。
設上、中、下禾，每捆各出穀ｘ、ｙ、ｚ鬥，則用現代的方程來表達，可得
3x+2y+z=39，
2x+3y+z=34，
x+2y+3z=26。
在《九章算術》中列出的方程形式為：
在方程中隻能看到係數，看不到未知數，文字采用直排，而且閱讀時是從右到左的。由於這種方程中，未知數不用符號表示出來，實際上就是現代的分離係數法。書中給出的解法是聯立一次方程組的普遍解法。除了符號、名詞和計算工具不同外，和現代使用的消元法實質一樣。
第８章中還有四元及五元的方程組，也是用類似的方法來解的。
在國外，線性方程組的完整解法，直到１７世紀末才由微積分的發明人萊布尼茨著手擬定。可見，從時間上來說，《九章算術》的解法實是在世界數學史上一大光輝成就，值得中國人自豪！
自從《九章算術》提出了多元一次聯立方程後，多少世紀沒有顯著的進步。賈憲、秦九韶、李治等人曾研究過一元高次方程。元朝傑出數學家朱世傑集前人之大成，建立了四元高次方程組理論，並稱為“四元術”。他用天元、地元、人元、物元表示四個未知數，相當於現在的ｘ、ｙ、ｚ、ｕ。朱世芝的《四元玉鑒》一書，舉例說明了一元方程、二元方程、三元方程、四元方程的布列方法和解法。其中有的例題相當複雜，數字驚人的龐大，不但過去從未有過，就是今天也很少見。可見朱世傑已經非常熟練地掌握了多元高次方程組的解法。
在外國，多元方程組雖然也偶然在古代的民族中出現過，例如巴比倫人借助數表處理過某種二元二次方程組，但較係統地研究卻遲至１６世紀，１５５９年，法國人彪特才開始用不同的字母Ａ，Ｂ，Ｃ，……來表示不同的未知數。而過去不同未知數用同一符號來表示，以致含混不清。正式討論多元高次方程組已到１８世紀，由探究高次代數曲線的交點個數而引起。１７６４年，法國人培祖提出用消去法的解法，這已在朱世傑之後四五百年了。
兔子數列
由於研究兔子繁殖問題，引出了一個極為奇妙而重要的數列。
有位養兔專業戶想知道兔子繁殖的規律，於是他圍了一個柵欄，把一對剛出生的小兔子關在裏麵。已知一對小兔子出生後兩個月就開始生兔子，以後則每月可再生一對，假如不發生傷亡現象，滿一年時，柵欄內有幾對兔子呢？
現在，我們來幫他算一算。為了尋找規律，我們用“成”字表示已成熟的一對小兔子，“小”表示未成熟的一對小兔子，因為一對小兔子生下兩個月就開始生小兔子，所以我們可以畫出以下圖表。
可見，頭６個月的兔子的對數是１，１，２，３，５，８。
這個數列有什麼規律呢？稍加觀察就可發現它的特點：從第三項起，每一項都等於其前兩項之和。根據這個特點，我們就可以把這個數列繼續寫下去，從而得到一年內兔子總對數
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４。
可見，滿一年時，一對剛出生的兔子可變成１４４對。
斐波那契是意大利人，１２世紀、１３世紀歐洲數學界的中心人物。他曾到埃及、敘利亞、希臘、西西裏、法國南部等地遊曆，回國後便將所搜集的算術和代數材料加以研究，編寫成《算盤書》。該書對歐洲大陸產生了很大影響，它用大量的題目說明理論內容。兔子繁殖問題就是其中的一題。所謂斐波那契數列就是指由兔子繁殖問題引出的數列
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，…
其中ａｎ＝ａｎ－１＋ａｎ－２
斐波那契數列也可叫兔子數列，該數列中的每一項都稱為斐波那契數。
它的通項公式為
ａn=151+52n-1-52nn∞αnａn+1=1-52n。斐波那契數列有著廣泛的應用。它和現代的優選法有密切關係。所謂優選法就是，盡可能少做試驗，盡快地找到最優生產方案的數學方法。７０年代經著名數學家華羅庚的倡導，優選法在我國得到廣泛的推廣和應用，取得了很多成果。優選法中有個“０．１６８法”，所謂“０．１６８”就是5-12的近似值。因此，人們就可用相鄰兩個斐波那列數之比來近似代替０．１６８。在這基礎上，人們還創造了一種“斐波那契法”，來尋找最優方案。
最使人們感到驚奇的是，自然界很多現象都與斐波那契數列有關。科學家們發現蜜蜂的繁殖速度也符合斐波那契數列。除了動物的繁殖外，植物的生長也與斐波那契數有關。如果一棵樹每年都在生長，那麼，一般說來，第一年隻有主幹，第二年有２枝，第三年有３枝，最後是５枝、８枝、１３枝等，每年的分枝數正好為斐波那契數。還有一些學者發現自然界中花朵的花瓣數目也與斐波那契數有關。生物學中的“魯德維格定律”，就是斐波那契數列在植物學中的應用。
對於以上現象怎樣解釋呢？是偶然的巧合嗎？大多數科學家認為，決不是巧合。是這些動、植物也懂得優選法嗎？不是！其實道理很簡單，自然界的生物在進化過程中都不自覺地服從著一條原則——“適者生存”，隻有按照最優方案發展，才能很好地生存下去，否則就會慢慢被淘汰。
關於世界著名魔術大師蘭迪有個小故事。他有一塊邊長為１３分米的正方形地毯，想把它改成８分米寬，２１分米長的地毯。於是，他找來一位工匠，請他加工。大家想一想，本來地毯麵積是１３×１３＝１６９，加工後地毯的麵積是８×２１＝１６８。這位工匠當然無法完成。於是，他對蘭迪說；“先生，我不是魔術師，恕我無法加工。”這時，聰明的蘭迪教他先按左圖中的方法割成兩塊，再重新拚湊一下，就得到了一塊８×２１（平方分米）的地毯（如下圖）。
蘭迪不愧為魔術大師，１６９平方分米分明比１６８平方分米大，這差數１平方分米變到哪裏去了呢？讀者如果自己動手，用硬紙剪割拚湊一下，也許會發現，當你將剪下的四個小塊拚成長方形時，在對角線中段會出現微小的重疊，正是這種重疊，造成麵積的誤差。
十分奇妙，上麵切割拚湊過程中碰到的四個數字５，８，１３，２１正好是斐波那契數。並且１３２＝８×２１＋1，８２＝５×１３－１。
看來，蘭迪掌握了斐波那契數列的一條重要原則：
ａｎ２＝ａｎ－１·ａｎ＋１±１（ｎ≥２)
讀者能不能根據這條性質，模仿蘭迪也設計出一個幾何魔術呢？
五家共井
我國最早提出不定方程問題，它由“五家共井”引起。古代，沒有自來水，幾家合用一個水井是常見的事。《九章算術》一書第８章第１３題就是“五家共井”問題：
今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何!
用水桶到井中取水，當然少不了繩索，“綆”就是指“繩索”。原題的意思是：
五家共用一水井。井深比２條甲家繩長還多１條乙家繩長；比３條乙家繩長還多１條丙家繩長；比４條丙家繩長還多１條丁家繩長；比５條丁家繩長還多１條戊家繩長；比６條戊家繩長還多１條甲家繩長。如果各家都增加所差的另一條取水繩索，剛剛好取水。試問井深、取水繩長各多少？
雖然該問題是虛構的，它是最早的一個不定方程問題。
用現代符號，可設甲、乙、丙、丁、戊各家繩索長分別為ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ；並深為ｈ。根據題意，可得
2x+y=h，
3y+z=h，
4z+u=h，
5u+v=h，
6v+x=h。
這是一個含有６個未知數、５個方程的方程組。未知數的個數多於方程個數的方程（或方程組）叫不定方程。用加減消元法可得
x=265721h，y=191721h，z=148721h，
u=129721h，v=76721h。
給定ｈ不同的數值，就可得到ｘ、ｙ、ｚ、ｕ、ｖ的各個不同的數值。隻要再給定一些特定條件，就可得到確定的組解。原書中隻給出一組解，是最小正整數解。
我國古代數學家在《九章算術》的基礎上，對不定方程作出了輝煌的成績。“五家共井”問題是後來百雞術及大衍求一術的先聲。
“五家共井”問題，曾引起世界上很多數學家的注視。在西方數學史書中，把最早研究不定方程的功績歸於希臘丟番都。其實，他在公元２５０年左右才研究這些問題，要比我國遲２００多年。
公元６世紀上半期，張丘建在他的《張丘建算經》中有一個百雞問題：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛生，值錢一。凡百錢，買雞百隻。問雞翁、母、雛各幾何？
意思是，如果１隻公雞值５個錢；１隻母雞值３個錢；３隻小雞值１個錢。現用１００個錢，買了１００隻雞。問公雞、母雞、小雞各多少？
設公雞、母雞、小雞分別為ｘ、ｙ、ｚ隻，則可得不定方程消去ｚ不難得出
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
消去ｚ不難得出
y=7x4
因為ｙ是正整數，所以ｘ必須是４的倍數。
設ｘ＝４ｔ，則ｙ＝２５－７ｔ，ｚ＝７５＋３ｔ
∵ｘ＞０，∴４ｔ＞０，ｔ＞０；
又∵ｙ＞０，∴２５－７ｔ＞０，ｔ＜347
故ｔ＝１，２，３。
∴原方程組有三組答案：
{ｘ＝４，ｙ＝１８，ｚ＝７８ {ｘ＝８，ｙ＝１１，ｚ＝８１ {ｘ＝１２，ｙ＝４，ｚ＝８４
數學史家評論說，一道應用題有多組答案，是數學史上從未見到過的，百雞問題開了先例。《張丘建算經》中沒有給出解法，隻說：“術曰：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得。”意思是：如果少買７隻母雞，就可多買４隻公雞和３隻小雞。因為７隻母雞值錢２１，４隻公雞值錢２０，兩者相差３隻小雞的價格。隻要得出一組答案，就可推出其餘兩組。但這解法怎麼來的？書中沒有說明。因此，所謂“百雞術”即百雞問題的解法就引起人們的極大興趣。
稍後，甄鸞在《數術記遺》一書中又提出了兩個“百雞問題”，題目意思與原百雞問題相同，僅數字有所區別。到了宋代，著名數學家楊輝在他的《續古摘奇算法》一書中，也引用了類似的問題：
“錢一百買溫柑、綠桔、扁桔共一百枚。隻雲溫柑一枚七文，綠桔一枚三文，扁桔三枚一文。問各買幾何？”
到了明清時代，還有人提出了多於三元的“百雞問題”。不過，各書均與《張丘建算經》一樣，沒有給出問題的一般解法。
７世紀時，有人對百雞問題提出另一種解法，但隻是數字的湊合。到了清代焦循在他的《加減乘除釋》一書中指出其錯誤。之後，不斷有人提出新的解法，但都沒有完全得到普遍解決此類題目的通用方法。例如丁取忠在他的《數學拾遺》中給出一個比較簡易的解法：先設沒有公雞，用１００個錢買母雞和小雞共１００隻，得母雞２５隻、小雞７５隻。現在少買７隻母雞，多買４隻公雞和３隻小雞，便得第一組答案。同理可推出其餘兩組。直到１９世紀，人們才把這類問題同“大衍求一術”結合起來研究。
百雞問題是一個曆史名題，在世界上有很大影響。國外常見類似的題目。
難色的仙鶴圖
傳說寶華寺曾藏有一幅鮮為人知的仙鶴圖。這仙鶴圖為數海法師所作，在他臨終前秘傳給他的一位弟子，並囑咐他死後４９天才能打開。數海法師圓寂後，這位弟子總想打開圖看看，但又不願違背師父遺囑。過了４２天，實在堅持不下去了，當天半夜，他打開圖一看，原來是張仙鶴圖。畫麵上有７棵鬆樹，每棵鬆樹上均有７隻仙鶴，鬆樹下麵寫了一個黑色的“七”字，但有一棵鬆樹例外，這鬆樹上一隻仙鶴也沒有，鬆樹下麵寫了一個紅色的“七”字。
紅色的“七”字是什麼意思呢？弟子們無法理解。不過，因為數海法師神通廣大，精通算術。人們相信，圖中必有奧秘。後來，有了負數概念，有人猜測，紅色的“七”字，表示負數（－７)。但是，鬆樹上有（－７)隻仙鶴，又是什麼意思呢？始終是個謎。自從秦始皇焚書坑儒後，寶貴的仙鶴圖失傳，這事情幾乎被人們遺忘了，但是，過了２０００多年，人們又想起了仙鶴圖，這與下麵的椰子問題有關。
５個水手帶了一隻猴子來到南太平洋的一個荒島上，發現那裏有一大堆椰子。由於旅途勞累，大家顧不上椰子，很快就睡覺了。第一個水手醒來後，把椰子分成五堆，餘一隻給了猴子，自己藏了一堆又去睡覺了。第二、第三、第四、第五個水手也陸續起來，和第一個水手一樣，把椰子分成五堆，恰好又多一隻給猴子，私藏一堆，再去入睡。天亮以後，大家發現椰子已剩下不多了，各人心裏有數，但誰也不說。為了公平，大家把餘下的椰子又分成五堆，每人得一堆。這時，巧得很，又餘下一隻，再給猴子。試問原先共有幾隻椰子？
這是一道世界有名的趣味數學題。
設最初共有椰子ｘ隻，天亮後大家一起分配時每人分得ｙ隻。
根據題意，可得
x=5A+1，
4A=5B+1，
4B=5C+1，
4C=5D+1，
4D=5E+1，
4E=5y+1。這是一個不定方程組，化簡後可得到
１０２４ｘ＝１５６３５ｙ＋１１５２９。（*)
它有無數組解，人們的興趣是求其最小正整數解。如果用常規的方法（例如，用大衍求一術）來解，是很繁難的。
世界著名物理學家李政道在訪問中國科技大學時，曾在少年班提到這個題目，並介紹了懷德海的解法。
懷德海是英國數理邏輯專家，對此他給出了一個異乎尋常的解法。
首先，從方程（＊）可看出，如果某數ｘ；是方程的一個解，則x1＋１５６２５也是方程的解。這一點我們也可用下麵的方法來考慮，由於原有的椰子曾被連續６次分成５堆，因此如果某數是該方程的一個解時，則把此數加上５６（５６＝１５６２５）後，仍舊是方程的解。通常人們解不定方程應用題，總是隻注意它的正整數解，可是懷德海卻與眾不同，他的方法異乎尋常，他先借助負整數來幫忙，在找到一個負整數解之後，再過渡到正整數。就像在幾何中引用輔助線、輔助角一樣。
在方程（＊）中，設ｙ＝－1，則可得
１０２４ｘ＝４０９６，∴ｘ＝－４。
既然－４是這個不定方程的一個特解，那麼，則－４＋１５６２５也是方程的解。可見，所求的椰子數應是－４＋１５６２５＝１５６２１（隻）。
懷德海說，他是用下麵的想法“領悟”出－４是不定方程的一個特解的：
“假定當初有－４隻椰子，則在其中硬拿出一隻來給猴子後，根據正、負數減法，還剩下－４－1＝－５（隻），分成五堆，每堆便有－１隻椰子。私自藏起一堆之後，還有四堆，每堆有－１隻椰子，所以一共仍然是（－４）隻椰子，這正好仍然回到沒有分以前的情況。照這樣分法，不僅５次、６次……可以一直分下去，都符合題目之要求。因此，在這個題目中，－４是一個神奇的數。
按照常理來說，每堆椰子數為“負數”是毫無意義的，但從純數學的觀點來看，卻是能滿足題中分配方法的，並且是能幫助解決問題的。它正像物理學中的“負質量”或“虛功”一樣，在解決具體問題時是有用的。
懷德海的巧妙解法傳到我國後，人們想起２０００年前的仙鶴圖。既然，一堆椰子的數目可以設想是負數，那麼，一棵鬆樹上的仙鶴的數目，也可設想為負數。可以推測，數海法師早就掌握了利用負數解決問題的高度技巧。
才女算燈
著名小說《鏡花緣》裏有段故事：
元宵節，宗伯府的女主人卞寶雲想考一考精通籌算的才女米蘭芬，請她算一算樓房中燈的數目。她告訴米蘭芬，樓上的燈有兩種，一種上做三個大球，下綴六個小球，計大小球九個為一燈；另一種上做三個大球，下綴１８個小球，計大小球２１個為一燈。大燈球共３９６個，小燈球共１４４０個。樓下的燈也分兩種，一種一個大球，下綴兩個小球；另一種是一個大球，下綴四個小球，大燈球共３６０個，小燈球共１２００個。她請米蘭芬算一算樓上樓下四種燈各有多少個。米蘭芬想了一想。先算樓下的，她將小燈球１２００折半，得６００，再減去大燈球３６０，得２４０，這是一大四小燈球的燈的盞數。然後用３６０減２４０，得１２０，這便是一大二小燈球的燈的盞數。再算樓上的，她先將１４４０折半，得７２０，減大燈球３９６，餘３２４，再除以６，得５４，這是綴十八個小球燈的燈的盞數。然後用３乘以５４，得１６２，用３９６減１６２，得２３４，用２３４除以３得７８，即下綴六個小球燈的燈７８盞。卞寶雲讓人拿做燈的單子來念，果然絲毫不差。大家莫不稱她為神算。若引進未知數列便容易解決，但米蘭芬的神算法是從哪裏來的呢？應該說，故事人物米蘭芬是讀了著名古書《孫子算經》。
《孫子算經》是我國古代一部較為普及的數學著作，在唐代初期用作“算學”的教科書。全書共分三卷，上卷敘述籌算的製度、方法和度量衡的單位；中卷舉例說明籌算分數法，包括麵積、體積、等比數列等計算題、應用題；下卷收集了不少有趣的名題、難題。書中對各種問題的解法很有特色，充分顯示了中國籌算數學的特點。例如，下卷第３１題是：
“今有雞兔同籠，上有３５頭，下有９４足，問雞、免各幾何？”
這是後世“雞兔同籠”題的始祖。書中的解法是：設頭數是ａ，足數是ｂ，
則是12b-a兔數，a-（12b-a）是雞數。
其具體算法過程是：
頭35
足94半其足頭35
半足47下一上頭35
兔12上一下雞23
兔12
這種解法不但巧妙，而且有簡便的籌算程序。可以看出米蘭芬正是采用了這種解法。
對於“雞兔同籠”問題，讀者還可想出各種解法。例如，可以設想雞、兔都是兩隻足，那麼從３５個頭可知，應該隻有７０隻足，但現在籠中實有９４隻足，兩者相差２４隻，這是因為我們設想兔子隻有兩隻足，每隻少算兩足，可見兔子數是１２隻。
“雞兔同籠”問題是算術中一個典型問題，曆代“算學”課本大都引用此題，但題目與解法不盡一樣。例如，在元代的著作《丁巨算法》一書中，原題變成：
今有雞兔１００，共足２７２隻，問雞、兔各幾何？
書中先設想全部是兔，那麼１００隻兔該有４００隻足，但現在實際隻有２７２隻足，兩者相差４００－２７２＝１２８隻，這是把雞設想當作兔時多計算的足數。每隻雞多算兩足。可見雞數就是１２８的一半，即６４隻；兔數為３６隻。
《孫子算經》對我國及一些外國的數學發展都有一定的影響。“雞兔同籠”問題傳到日本，變成了“鶴龜算”，改成這名詞可能是因為日本人特別欣賞烏龜的緣故。
富翁的得不償失
從前國外有個貪財的大富翁，雖然已非常有錢，可是每天還在盤算著如何得到更多的錢。
一天，富翁在路上遇到一個衣著儉樸的年輕人，他連眼皮也沒眨一下，就走了過去，年輕人自言自語地說：“１分錢換１０萬元總會有人幹的……”富翁一聽，急忙回頭叫住年輕人：“喂，你說的換錢是怎麼回事？”
年輕人很有禮貌地一鞠躬說：“先生，是這樣的，我可以在一個月內，每天給你送來１０萬元錢，雖然不是白給，但是代價是微不足道的，第一天隻要你付我１分錢。”
“１分錢？”富翁簡直不敢相信自己的耳朵。
“對，是１分錢。”年輕人說，“第二天再給你１０萬元時，你要付兩分錢。”
富翁急切地問：“以後呢？”
“第三天，付４分錢；第四天，付８分錢……以後每天付給我的錢數都要比前一天多一倍。”
“還有什麼附加條件嗎？”
“就這些，但我們倆都必須遵守協定，誰也不準反悔！”於是，兩人簽訂了協定。
１０萬元換幾分錢，真是難得的好事！富翁滿口答應：“好！就這樣。”
第二天一清早，年輕人準時到來，他說：“先生，我把１０萬元送來了。”隨即從大口袋裏掏出整整１０萬元，並對富翁說：“下麵該你付錢了。”
富翁掏出一分錢放在桌子上，陌生人看了看，滿意地放入衣袋說：“明天見。”說完走出門去。
１０萬元錢從天而降！天下最大的便宜事叫富翁遇上了，他趕忙把錢藏了起來。
第二天早晨，年輕人又來了，他拿出１０萬元，收下兩分錢，臨走時說：“明天請準備好４分錢。”
第二個１０萬元又到手了！富翁樂得手舞足蹈，心想這個年輕人又蠢又怪！世上這樣的人要是多幾個多好，我們這些聰明人就會發了還要發，變成舉世無雙的大富豪了。
第三天，年輕人用１０萬元換走了４分錢。
第四天換走８分錢，以後又是１角６分、３角２分、６角４分，七天過去了，富翁白白收入７０萬元，而付出的僅僅是１元２角７分，富翁真想把期限再延長些，哪怕多半個月也好呀！
年輕人照常每天送１０萬元來，第８天付給他１元２角８分，第９天付２元５角６分，第１０天付５元１角２分，第１１天付１０元２角４分，第１２天付２０元４角８分，第１３天付４０元９角６分，第１４天付８１元９角２分。
１４天過去了，富翁已經收入整整１４０萬元，而付出的才１５０元多一點。
又過了一段時間，富翁慢慢感到年輕人並不那麼簡單了，換錢並非那麼合算了，１５天後，每收入１０萬元，付出的已是幾百元了，不過，總的來說還是收入的多，支出的少。
可是，隨著天數的增加，支出在飛速地增大，純收入在逐日減少，第２５天，富翁支出１６７７７２元１角６分，第一次超過了收人；第２６天支出３３５５４４元３角２分，大大超過了收入；到了第３０天支出竟達５３６８７０９元１角２分。
年輕人最後一次離開時，富翁連續算了一晝夜，終於發現：為了收入３００萬元，他付出了１０７３７４１８元２角３分，虧了近８００萬元，富翁失算了！
計算一下富翁付出的總錢數，以分為單位的話，就有以下３０個數相加：
１＋２＋４＋８＋１６＋３２＋６４＋…＋５３６８７０９１２。
為了算出這個和，可以寫成算式
１＋２＋４＝２×２×２－１，
１＋２＋４＋８＝２×２×２×２－１，
……
１＋２＋４＋８＋…＋５３６８７０９１２＝２×２×…×２－１
３０個
＝１０２４×１０２４×１０２４－１＝１０７３７４１８２３（分)
約瑟夫斯問題
這是一個古老的傳說：有６４名戰士被敵人俘虜了，敵人命令他們排成一個圓圈，編上號碼１，２，３，…，６４，敵人把１號殺了，又把３號殺了，他們是隔一個殺一個這樣轉著圈殺，最後剩下一個人，這個人就是約瑟夫斯，請問約瑟夫斯是多少號？這就是“約瑟夫斯問題”。
這個問題是比較容易解答的：敵人從１號開始，隔一個殺一個，第一圈把奇數號碼的戰士全殺死了。剩下的３２名戰士需要重新編號，而敵人在第二圈殺死的是重新編排的奇數號碼。
由於第一圈剩下的全部是偶數號２，４，６，８，…，６４。把它們全部用２除，得１，２，３，４，…，３２，這是第二圈重新編的號碼，第二圈殺過之後，又把奇數號碼都殺掉了，還剩下１６個人，如此下去，可以想到最後剩下的必然是６４號。
６４＝２６，它可以連續被２整除６次，是從１到６４中能被２整除次數最多的數，因此，最後必然把６４號剩下，從６４＝２６還可以看到，是轉這６圈之後，把約瑟夫斯剩下來的。
如果有６５名戰士被俘，敵人還是按上述方法殘殺戰士，最後剩下的還是６４號約瑟夫斯嗎？
不是了，因為第一個人被殺後，也就是１號被殺後，第二個被殺的必然是３號，如果把１號排除在外，那麼剩下的仍是６４個人，對於剩下這６４個人，新１號就應該是原來的３號，這樣原來的２號就變成新的６４號了，所以剩下的必然是原來的２號。
對於一般情況來說，如果原來有２ｋ個人，最後剩下的必然是２ｋ號；如果原來有２ｋ＋１個人，最後剩下的是２號；如果原來有２ｋ＋２個人，最後剩下的是４號……如果原來有２ｋ＋ｍ個人，最後剩下的是２ｍ號。
比如，原來有１００人，由於１００＝６４＋３６＝２６＋３６，所以最後剩下的是２×３６＝７２號；又比如，原來有１１１人，由於１１１＝６４＋４７＝２６＋４７，所以最後剩下的是２×４７＝９４號。
下麵把問題改一下：不讓被俘的戰士站成圓圈，而排成一條直線，然後編上號碼，從１號開始，隔一個殺一個，殺過一遍之後，然後再重新編號，從新１號開始，再隔一個殺一個，問最後還是約瑟夫斯嗎!
答案是肯定的，最後剩下的仍然是約瑟夫斯。
如果戰俘人數是６５人呢？剩下的還是約瑟夫斯，隻要人數不超過１２８人，也就是人數小於２７，那麼最後剩下的總是約瑟夫斯，因為從１到１２８中間，能被２整除次數最多的就是６４，而敵人每次都是殺奇數號留偶數號，所以６４號總是最後被留下的人。
回數猜想
一提到李白，人們都知道這是我國唐代的大詩人，如果把“李白”兩個字顛倒一下，變成“白李”，這也可以是一個人的名字，此人姓白名李。像這樣正著念、反著念都有意義的語言叫做回文，比如“狗咬狼”、“天和地”、“玲玲愛毛毛”，一般說來，回文是以字為單位的，也可以以詞為單位寫回文，回文與數學裏的對稱非常相似。
如果一個數，從左右兩個方向來讀都一樣，就叫它為回文數，比如１０１，３２１２３，９９９９等都是回文數。
數學裏有個有名的“回數猜想”，至今沒有解決，取一個任意的十進製數，把它倒過來，並將這兩個數相加，然後把這個和數再倒過來，與原來的和數相加，重複這個過程直到獲得一個回文數為止。
例如６８，隻要按上麵介紹的方法，三步就可以得回文數１１１１。
68+86154+451605+5061111
“回數猜想”是說：不論開始時采用什麼數，在經過有限步驟之後，一定可以得到一個回文數。
還沒有人能確定這個猜想是對的還是錯的，１９６這個三位數可能成為說明“回數猜想”不成立的反例，因為用電子計算機對這個數進行了幾十萬步計算，仍沒有獲得回文數，但是也沒有人能證明這個數永遠產生不了回文數。
數學家對同時是質數的回文數進行了研究，數學家相信回文質數有無窮多個，但是還沒有人能證明這種想法是對的。
數學家還猜想有無窮個回文質數時，比如３０１０３和３０２０３，它們的特點是，中間的數字是連續的，而其他數字都是相等的。除１１外必須有奇數個數字，因為每個有偶數個數字的回文數，必然是１１的倍數，所以它不是質數，比如１２５５２１是一個有６位數字的回文數，按著判斷能被１１整除的方法：它的所有偶數位數字之和與所有奇數位數字之和的差是１１的倍數，那麼這個數就能被１１整除，１２５５２１的偶數位數字是１，５，２；而奇數位數字是２，５，1，它們和的差是
（１＋５＋２）－（２＋５＋１）＝０，
是１１的倍數，所以１２５５２１可以被１１整除，且
１２５５２１÷１１＝１１４１１。
因而１２５５２１不是質數。
在回文數中平方數是非常多的，比如，
１２１＝１１２，
１２３２１＝１１１２，
１２３４３２１＝１１１１２，
…，
１２３４５６７８９８７６５４３２１＝１１１１１１１１１２，
你隨意找一些回文數，平方數所占的比例比較大。
立方數也有類似情況，比如，１３３１＝１１３，１３６７６３１＝１１１３
這麼有趣的回文數，至今還存在著許多不解之謎。
冰雹猜想
３０多年前，日本數學家角穀靜發現了一個奇怪的現象：一個自然數，如果它是偶數，那麼用２除它；如果商是奇數，將它乘以３之後再加上１，這樣反複運算，最終必然得１。
比如，取自然數Ｎ＝６，按角穀靜的作法有：６÷２＝３，３×３＋１＝１０，１０÷２＝５，５×３＋１＝１６，１６÷２＝８，８÷２＝４，４÷２＝２，２÷２＝１，從６開始經曆了３→１０→５→１６→８→４→２→１，最後得１。
找個大數試試，取Ｎ＝１６３８４。
１６３８４÷２＝８１９２，８１９２÷２＝４０９６，４０９６÷２＝２０４８，２０４８÷２＝１０２４，１０２４÷２＝５１２，５１２÷２＝２５６，２５６÷２＝１２８，１２８÷２＝６４，６４÷２＝３２，３２÷２＝１６，１６÷２＝８，８÷２＝４，４÷２＝２，２÷２＝１，這個數連續用２除了１４次，最後還是得１。
這個有趣的現象引起了許多數學愛好者的興趣，一位美國數學家說：“有一個時期，在美國的大學裏，它幾乎成了最熱門的話題，數學係和計算機係的大學生，差不多人人都在研究它。”人們在大量演算中發現，算出來的數字忽大忽小，有的過程很長，比如２７算到１要經過１１２步，有人把演算過程形容為雲中的小水滴，在高空氣流的作用下，忽高忽低，遇冷成冰，體積越來越大，最後變成冰雹落了下來，而演算的數字最後也像冰雹一樣掉下來，變成了１！選數學家把角穀靜這一發現，稱為“角穀猜想”或“冰雹猜想”。
這一串串數難道一點規律也沒有嗎？觀察前麵作過的兩串數：
６→３→１０→５→１６→８→４→２→１；
１６３８４→８１９２→４０９６→２０４８→１０２４→５１２→２５６→１２８→６４→３２→１６→８→３→２→１。
最後的三個數都是４→２→１。
為了驗證這個事實，從１開始算一下：
３×１＋１＝４，４÷２＝２，２÷２＝１。結果是１→４→２→１，轉了一個小循環又回到了１，這個事實具有普遍性，不論從什麼樣自然數開始，經過了漫長的曆程，最終必然掉進４→２→１這個循環中去，日本東京大學的米田信夫對從１到１０９９５億１１６２萬７７７６之間的所有自然數逐一做了檢驗，發現它們無一例外，最後都落入了４→２→１循環之中！
計算再多的數，也代替不了數學證明。“角穀猜想”目前仍是一個沒有解決的懸案。
其實，能夠產生這種循環的並不止“角穀猜想”，下麵再介紹一個：
隨便找一個四位數，將它的每一位數字都平方，然後相加得到一個答數；將答數的每一位數字再都平方，相加……一直這樣算下去，就會產生循環現象。
現在以１９９８為例：
１２＋９２＋９２＋８２＝１＋８１＋８１＋６４＝２２７，
２２＋２２＋７２＝４＋４＋４９＝５７，
５２＋７２＝２５＋４９＝７４，
７２＋４２＝４９＋１６＝６５，
６２＋５２＝３６＋２５＝６１，
６２＋１２＝３６＋１＝３７，
３２＋７２＝９＋４９＝５８，