5.抽象代數
哈密頓（Hamilton， W. R. ）在 1843 年發明了一種使乘法交換律不成立的代數——四元數代數。1843年10月16日，他和妻子沿著皇家運河散步時，突然一個念頭像閃電般出現，即，這麼樣處理四元數a+bi+cj+dk中i、j、k三者的乘積：
i2=j2=k2=ijk=-1
他是那麼的興奮，於是用小刀在布爾罕橋上的石頭刻上最初出現的公式。四元數在數學史上的重要性在於：把代數學從束縛於實數算術的傳統中解放出來。
韋伯第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的幾類代數。1857年，凱雷設計出另一種不可交換的代數——矩陣代數。他們的研究打開了抽象代數（也叫近世代數）的大門。實際上，減弱或刪去普通代數的某些假定，或將某些假定代之以別的假定（與其餘假定是相容的），就能研究出許多種代數體係。
1870 年，克隆尼克給出了有限阿貝爾群的抽象定義；狄德金開始使用“體”的說法，並研究了代數體；1893年，韋伯定義了抽象的體；1910年，施坦尼茨展開了體的一般抽象理論；狄德金和克隆尼克創立了環論；1910年，施坦尼茨總結了包括群、代數、域等在內的代數體係的研究，開創了抽象代數學。
1926年，諾特完成了理想（數）理論；1930年，畢爾霍夫建立格論，它源於1847年的布爾代數；第二次世界大戰後，出現了各種代數係統的理論和布爾巴基學派；1955 年，嘉當、格洛辛狄克和愛倫伯克建立了同調代數理論。
到現在為止，數學家們已經研究過200多種這樣的代數結構，其中最主要的若當代數和李代數是不服從結合律的代數的例子。這些工作的絕大部分屬於20世紀，它們使一般化和抽象化的思想在現代數學中得到了充分的反映。
抽象代數是研究各種抽象的公理化代數係統的數學學科。典型的代數係統有群、環、域等，它們主要起源於19世紀的群論，包含有群論、環論、伽羅華理論、格論、線性代數等許多分支，並與數學其他分支相結合產生了代數幾何、代數數論、代數拓撲、拓撲群等新的數學學科。抽象代數已經成了當代大部分數學的通用語言。
現在，可以籠統地把代數學解釋為關於字母計算的學說，但字母的含義是在不斷地拓廣的。在初等代數中，字母表示數；而在高等代數和抽象代數中，字母則表示向量（或n元有序數組）、矩陣、張量、旋量、超複數等各種形式的量。可以說，代數已經發展成為一門關於形式運算的一般學說了。
幾何學範疇
1.初等幾何
在希臘語中，“幾何學”是由“地”與“測量”合並而來的，本來有測量土地的含義，意譯就是“測地術”。“幾何學”這個名詞，係我國明代數學家根據讀音譯出的，沿用至今。
現在的初等幾何主要是指歐幾裏得幾何，它是討論圖形（點、線、麵、角、圓等）在運動下的不變性質的科學。例如，歐氏幾何中的兩點之間的距離，兩條直線相交的交角大小，半徑是r的某一圓的麵積等都是一些運動不變量。
初等幾何作為一門課程來講，安排在初等代數之後；然而在曆史上，幾何學的發展曾優先於代數學，它主要被認為是古希臘人的貢獻。
幾何學舍棄了物質所有的其他性質，隻保留了空間形式和關係作為自己研究的對象，因此它是抽象的。這種抽象決定了幾何的思維方法，就是必須用推理的方法，從一些結論導出另一些新結論。定理是用演繹的方式來證明的，這種論證幾何學的代表作，便是公元前三世紀的，它從定義與公理出發，演繹出各種幾何定理。
現在中學《平麵三角》中關於三角函數的理論是15世紀才發展完善起來的，但是它的一些最基本的概念，卻早在古代研究直角三角形時便已形成。因此，可把三角學劃在初等幾何這一標題下。
古代埃及、巴比倫、中國、希臘都研究過有關球麵三角的知識。公元前2世紀，希帕恰斯製作了弦表，可以說是三角的創始人。後來印度人製作了正弦表；阿拉伯的阿爾·巴塔尼用計算 sinθ值的方法來解方程，他還與阿布爾·沃法共同導出了正切、餘切、正割、餘割的概念；賴蒂庫斯作了較精確的正弦表，並把三角函數與圓弧聯係起來。