依據“憲法”規定，“總統”的任期為六年，得連選連任一次。蔣介石自1948年出任“總統”，1954年連任，到1960年剛好任期屆滿。這就意味著蔣介石依法必須讓賢。然而，蔣介石是不肯輕易放棄權力退位的。早在1958 年年底，台灣省議會就籲請蔣介石第三次出選“總統”，而蔣介石也極想再度連任。然而，蔣介石的連任問題，卻遭到外界反對，尤其以《自由中國》反對最為激烈。《自由中國》先後刊登了《蔣“總統”不會做錯了決定吧》《不要再玩弄政治霸術——告國民黨當局》等文章，明確表示“反對蔣介石三任總統”。甚至連胡適也公開反對蔣介石“修憲”與參選“第三屆‘總統’”，他通過陳誠、張群、王雲五、黃少穀等黨政要人向蔣轉達意見，反對蔣連任“總統”。由於胡適、王世傑與陳誠關係密切，而蔣介石的連任，又直接關係到陳誠能否繼任，因此蔣經國等人懷疑陳誠與《自由中國》串通一氣，阻止蔣介石連任。而胡適等人則認為，蔣介石之所以要堅持“三連任”，可能是出於蔣經國的主意。最後，王世傑向陳誠建議，主動向蔣介石辭去“副總統”來阻止蔣的“三連任”。然而，蔣介石並不為所動，反而召開“國民大會”對《動員戡亂時期臨時條款》進行修改，規定：“動員戡亂時期總統、副總統得連選連任，不受憲法第四十七條連任一次之限製。”這樣，蔣介石不但可以“三連任”，而且可以無限製地連任。至此，陳誠繼任“總統”的希望徹底破滅了。
雖然蔣介石再次提名陳誠兼任“行政院院長”，但陳誠已是心灰意冷，並以身體不適為由向蔣介石請辭。然而，蔣介石隻準其請假，不準辭職。直至1963 年國民黨“九大”後，蔣介石才決心改組“行政院”。是年12 月，蔣介石向國民黨中常會提出換人案：“行政院兼院長陳誠同誌，主持政務，卓著勳勞，唯以久任繁劇，體力漸感不勝，曾迭次申請辭職，均經懇切慰留，最近以健康關係，再度懇辭，為期陳誠同誌能獲較為充分的休養機會，俾能迅速恢複健康，爰擬勉徇所請，準予辭去行政院院長職，並提名嚴家淦同誌繼任行政院院長。”
蔣介石推出嚴家淦出任“行政院院長”，此舉可謂用心良苦。嚴家淦是一位技術性官員，在國民黨內無派係，無曆史淵源，對權力較為淡泊，不會影響蔣介石既定的傳子方針。事實證明，蔣介石的選擇是正確的，嚴家淦為蔣氏父子的權力交接非常成功地扮演了承先啟後的角色。
1965年3月5日，患有肝癌的陳誠在台北抑鬱而終，享年68歲。
1947年嚴家淦出任台灣省政府財政廳廳長， 1948年一度內調籌備設立行政院美援運用委員會委員，協助陳誠，主持“幣製改革”，發行新台幣以穩定台省金融。1950年複為陳誠擢任“經濟部部長”兼“美援會”副主任委員，嗣任“財政部部長”，初建財經班底。1954年，出任台灣省主席，主持台灣省政三年。1957年轉任“行政院”政務委員兼“美援會”主任委員、“經濟安定委員會”副主任委員。次年回任“財政部部長”。1963年，經蔣介石提名，嚴家淦出任“行政院院長”，代替陳誠，為“太子”登基擔負起了“護航”的任務。1964年3月，嚴家淦提名蔣經國為“國防部”副部長並兼任“政務委員”。1966年嚴家淦被蔣介石擢為“副總統”，仍兼“行政院院長”。1972年再度當選“副總統”，“行政院院長”則由蔣經國接替。 1975年4月，繼蔣介石之後出任“總統”，旋即領銜推舉蔣經國出任國民黨中央委員會主席暨中常會主席，拱手將最高權力轉移至蔣經國手中，時稱“蔣嚴體製”時期。1978年1月7日，建議國民黨中常會提名蔣經國為第六任“總統”候選人。1978年5月，卸任“總統”，任中常委兼“中華文化複興運動推行委員會”主任委員，以國民黨元老身份提供建言。5月20日，蔣經國就任台灣第六任總統，台政進入蔣經國時代。