書圖書在版編目（ＣＩＰ）數據經濟數學．上冊／黃國建，蔡鳴晶主編．—南京：南京大學出版社，２０１７．８高等職業教育課程改革示範教材ＩＳＢＮ９７８７３０５１９０３７７Ⅰ．①經…Ⅱ．①黃…②蔡…Ⅲ．①經濟數學－高等職業教育－教材Ⅳ．①Ｆ２２４中國版本圖書館ＣＩＰ數據核字（２０１７）第１７９２７０號教師掃一掃可學生掃一掃可見申請教學資源配套學習資源出版發行南京大學出版社社址南京市漢口路２２號郵編２１００９３出版人金鑫榮叢書名高等職業教育課程改革示範教材書名經濟數學（上冊）主編黃國建蔡鳴晶責任編輯吳華編輯熱線０２５８３５９６９９７照排南京理工大學資產經營有限公司印刷常州市武進第三印刷有限公司開本７８７×１０９２１／１６印張８．５字數２０９千版次２０１７年８月第１版２０１７年８月第１次印刷印數１～３０００ＩＳＢＮ９７８７３０５１９０３７７定價２２．００元網址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｎｊｕｐｃｏ．ｃｏｍ官方微博：ｈｔｔｐ：／／ｗｅｉｂｏ．ｃｏｍ／ｎｊｕｐｃｏ微信服務號：ｎｊｕｙｕｅｘｕｅ銷售谘詢熱線：（０２５）８３５９４７５６版權所有，侵權必究凡購買南大版圖書，如有印裝質量問題，請與所購圖書銷售部門聯係調換前言前言《經濟數學》是高等職業院校經濟管理類專業學生必修的一門公共基礎課，具有基礎性、工具性和發展性．通過本課程的學習，使學生掌握與經濟管理類專業相關的數學技術和數學文化，形成一定的調用數學知識來分析與解決經濟問題的數學素養，培養創新意識和實踐能力，為未來職業可持續發展奠定重要基礎．本教材作為實現上述課程功能的重要載體和係統有效開展教學活動的工具，圍繞“滿足專業技能培養需求、突出數學技術應用、體現素質教育”的理念，主要體現了以下幾個特色：１以人為本，突出數學文化素養和創新意識的培養數學不僅是一種重要“工具”，也是人類的重要“思維”．教材中適時提煉了一些數學思想方法，有時整節介紹，有時一兩句話點睛，以數學思想方法為載體，讓學生在具體知識的學習中，感悟數學文化的魅力，提高思維能力，加強創新意識．２充分考慮高職學生學習需求和特點，全新構建內容體係全書以學用數學的主線構建內容體係，每部分內容按照“案例概念定理（性→→質）→計算→應用”的邏輯順序組織為一個完整的教學單元，讓學生帶著問題去探尋知識，解決問題．３降低理論難度和計算技巧，側重數學基本概念和基本運算降低理論難度，對有些定理，隻給出定理並介紹其應用，不給出證明．教材盡可能用描述性語言講解一些關鍵知識點，加強學生的感性認識．計算方麵，側重基本運算，例題，與習題能體現基本概念與基本解題方法就行不追求計算的複雜度與過度技巧性．４版麵設置靈動，激發學生學習興趣設置多種欄目和板塊，版式編排清新靈動．例如“小貼士”、“小點睛”、“請思考”等欄目，相比傳統數學教材能更好地吸引學生注意，幫助學生總結．“小貼士”：可以是對內容的進一步闡述，也可以是對重要內容的歸納總結．“小點睛”：在學習過程中進行適時點００１撥，讓學生在具體知識的學習中，感悟數學思想方法，不斷發展數學思維“請思考”：將經．濟數有些與知識脈絡相關的內容以問題思考的形式拋出，供學有餘力的同學進一步探究．學︵５融入現代信息技術，豐富教學素材、拓展學習空間上冊在重要知識點邊上插入二維碼，學生課外可以通過掃描二維碼觀看該知識點的微︶課程視頻講解，突破了傳統教學在時間和空間上的限製．本教材上冊由黃國建和蔡鳴晶擔任主編，下冊由周曉和陳靜擔任主編．全書共有十二章，上冊第一章由吳玉琴、黃國建編寫，第二章由黃國建、蔡鳴晶編寫，第三章由王卉、崔進編寫，第四章由王罡、張育藺編寫，第五章由繆蕙、馮晨編寫；下冊第一章、第二章由李建龍編寫，第三章由陳靜編寫，第四章由秦紅梅編寫，第五章由張生華編寫，第六章由陳旻霞編寫，第七章由姚星桃編寫．駢俊生教授和劉桂香教授在本教材編寫過程中多次予以悉心指導並擔任主審，南京大學出版社及吳華編輯等對教材出版給予了大力支持與幫助，在此一並致以衷心感謝！
教材在南京信息職業技術學院和揚州市職業大學得到試用，效果良好，但囿於編者水平和編寫時間，教材的設計思路和具體編寫中肯定還存在諸多可以提升的地方，敬請同行專家及師生讀者批評指正，以便更好地修訂完善．編者２０１７年６月００２第一章函數第一章函數的極限及其應用的極限及其應用學習目標●理解函數的概念，掌握基本初等函數的圖像和性質，了解常用經濟函數．●了解函數極限的概念和極限思想方法．●掌握極限的四則運算法則．●掌握兩個重要極限．●了解無窮小的比較，會用等價無窮小代換計算極限．●理解函數連續性的概念．本章主要介紹函數、極限以及函數連續性．高等數學的研究對象就是函數，函數的性質以及基本初等函數的圖像是學習高等數學的必備內容．極限的思想方法貫穿整個高等數學各部分內容，需要熟練掌握極限的計算方法．【連續複利的案例】某人有５０萬元，想投資某基金１５年，這個基金年平均獲利率為１２％，那麼１５年後他可以有多少錢？本金是５０萬元，則第一年的本利和是５０１＋１２％（）萬元，第二年的本利和是２１５５０１＋１２％（）（１＋１２％）＝５０１＋１２％（），以此類推，第１５年的本利和是５０１＋１２％（），計算結果為２７３６７８３元．１推廣一下，設Ｐ是本金，ｒ為年複利率，ｎ是計息年數，若每滿年計息一次，如何求本ｔ利Ａ與計息年數ｎ的函數模型呢？ｒｒｒ由題意，每期的利率為，第一期末的本利和為：Ａ１＝Ｐ＋Ｐ·＝Ｐ１＋，把Ａ１作ｔｔ（ｔ）ｒｒ２為本金利息，則第二期的本利和為：Ａ２＝Ａ１＋Ａ１·＝Ｐ１＋，再把Ａ２作為本金利ｔ（ｔ）ｒｎｔ息，如此反複，第ｎ年（第ｎｔ期）末的本利和為Ａｔ＝Ｐ１＋．ｔ（）更進一步，如果計息間隔無限縮短，即連續複利，又該如何計算本金和利息總和呢？這個問題不僅在連續複利這個金融問題中有用，在自然界很多地方，如物體的冷卻、鐳的衰變、細胞的繁殖、樹木生長等都有重要應用．００１書經濟第一節函數及其性質數學︵上、冊一函數的概念︶（）一區間與鄰域１．區間在研究函數時，常常用到區間的概念，它是數學中常用的術語和符號．設ａ，ｂ∈Ｒ，且ａ＜ｂ．我們規定：（１）滿足不等式ａ≤ｘ≤ｂ的實數ｘ的集合叫作閉區間，表示為［ａ，ｂ］；（２）滿足不等式ａ＜ｘ＜ｂ的實數ｘ的集合叫作開區間，表示為（ａ，ｂ）；（）滿足不等式或的實數的集合叫作半開區間，分別表示為［，３ａ≤ｘ＜ｂａ＜ｘ≤ｂｘａｂ），（ａ，ｂ］．這裏的實數ａ和ｂ叫作相應區間的端點．以上這些區間都是有限區間，數ｂ－ａ稱為這些區間的長度．此外還有無限區間，例如：（－∞，ｂ）＝ｘｘ＜ｂ，［ａ，＋∞）＝ｘｘ≥ａ，實數集Ｒ＝（－∞，＋∞）等都是無限區間．｛｝｛｝２．鄰域，（，）鄰域，鄰域也是一個集合．設δ為任一正數則開區間ｘ０－δｘ０＋δ就是點ｘ０的δ記作Ｎ（ｘ０，δ），即Ｎ（ｘ０，δ）＝ｘｘ－ｘ０＜δ＝（ｘ０－δ，ｘ０＋δ）．｛｝點ｘ０稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑．有時用到的鄰域需要把鄰域的中心去δ掉．滿足不等式０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ的一切ｘ，稱為點ｘ０的去心δ鄰域，記作Ｎ（＾ｘ０，δ），即（＾，）（，）（，）Ｎｘ０δ＝｛｝ｘ０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ＝ｘ０－δｘ０∪ｘ０ｘ０＋δ．為了方便，有時把開區間（ｘ０－δ，ｘ０）稱為ｘ０的左鄰域，把開區間（ｘ０，ｘ０＋δ）稱為ｘ０的右鄰域．（二）函數的概念１．函數的定義定義１．１設ｘ和ｙ是兩個變量，Ｄ是一個給定的非空數集，如果對於Ｄ中每個數ｘ，變量ｙ按照對應法則ｆ，總有唯一確定的數值與ｘ對應，則稱ｙ是數集Ｄ上關於ｘ的函數，記作ｙ＝ｆ（ｘ），數集Ｄ叫作這個函數的定義域，ｘ叫作自變量，ｙ叫作因變量．當ｘ取遍Ｄ，中一切數時與ｘ對應的ｙ的值組成的數集Ｍ＝｛｝ｙ｜ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ｄ稱為函數的值域．００２１．函數定義域的求法需要注意以下常見要求：第一（１）分式的分母不能為零；章小（２）偶次根式下被開方式必須大於或等於零；函貼數士（３）對數的真數必須大於零，底必須大於零．的極２．函數的本質取決於對應法則，函數與選用什麼字母來表示變量是無關的．ｙ＝限２２及ｘ和ｓ＝ｔ表示的是同一個函數．其應用例１．１．１確定函數ｆ（ｘ）＝槡３＋２ｘ－ｘ２＋ｌｎ（ｘ－２）的定義域，並求ｆ（３）．３＋２ｘ－ｘ２≥０解該函數的定義域應為滿足不等式組的ｘ值的全體．解不等式ｘ２－｛ｘ－２＞０２ｘ－３≤０，得－１＜ｘ≤３．故該函數的定義域為Ｄ＝（２，３］，且ｆ（３）＝槡３＋２×３－３２＋ｌｎ（３－２）＝ｌｎ１＝０．２．反函數定義１．２設有函數ｙ＝ｆ（ｘ），其定義域為Ｄ，值域為Ｍ．如果對於Ｍ中的每一個ｙ值，都可以從關係式ｙ＝ｆ（ｘ）確定唯一的ｘ值（ｘ∈Ｄ）與之對應，那麼所確定的以ｙ為自變量的函數ｘ＝φ（ｙ）叫作函數ｙ＝ｆ（ｘ）的反函數，它的定義域為Ｍ，值域為Ｄ．習慣上，函數的自變量都以ｘ表示，因變量用ｙ表示，所以函數ｙ＝ｆ（ｘ）的反函數常表示為ｙ＝ｆ－１（ｘ）．函數ｙ＝ｆ（ｘ）的圖形與其反函數ｙ＝ｆ－１（ｘ）的圖形關於直線ｙ＝ｘ對稱．反函數是一個典型的逆向思維的案例．如果給定一個ｘ，都有唯一的ｙ與之對應，就（）；，，，建立函數ｙ＝ｆｘ反過來思考如果給定一個ｙ也存在唯一的ｘ與之對應那麼也就建立了函數ｘ＝ｆ－１（ｙ），ｙ＝ｆ（ｘ）與ｘ＝ｆ－１（ｙ）兩者互為反函數．思維上的逆向，就產生了反函數這個概念．３．基本初等函數在初等數學中已經講過以下幾類函數：冪函數：＝ｘμ（Ｒ是常數）；ｙμ∈指數函數：ｙ＝ａｘ（ａ＞０，且ａ≠１）；對數函數：ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，且ａ≠１）；１１三角函數：ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｔａｎｘ，ｙ＝ｃｏｔｘ＝，ｙ＝ｓｅｃｘ＝，ｙ＝ｔａｎｘｃｏｓｘ１ｃｓｃｘ＝；ｓｉｎｘ反三角函數：ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ，ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ．以上這五類函數統稱為基本初等函數．下麵我們複習一下反三角函數．００３ππ經反正弦函數ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ的定義域為［－１，１］，值域為－，，它在閉區間［－１，１］濟［］２２數上是單調增加函數（如圖１１）；學︵反餘弦函數ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ的定義域為［－１，１］，值域為［０，π］，它在閉區間［－１，１］上是上冊單調減少函數（如圖１２）；︶圖１１圖１２ππ反正切函數ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ的定義域為（－∞，＋∞），值域為－，，它在區間（－∞，２２（）＋∞）內是單調增加函數（如圖１３）；反餘切函數ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ的定義域為（－∞，＋∞），值域為（０，π），它在區間（－∞，＋∞）內是單調減少函數（如圖１４）．圖１３圖１４４．複合函數定義１．３設函數ｙ＝ｆ（ｕ）的定義域為Ｕ，函數ｕ＝φ（ｘ）的定義域為Ｘ，若Ｄ＝｛｝ｘ∈Ｘ（ｘ）∈Ｕ≠，則對任意ｘ∈Ｄ，通過ｕ＝（ｘ），變量ｙ總有確定的值ｆ（ｕ）與之對φφ應，這樣就得到一個以ｘ為自變量，ｙ為因變量的函數，該函數稱為ｙ＝ｆ（ｕ）和ｕ＝φ（ｘ）的複合函數，記作ｙ＝ｆ［（ｘ）］．φＤ是它的定義域，ｕ稱為中間變量．對複合函數而言，我們要大家重點掌握複合函數的分解，即弄清楚函數是由哪些小貼簡單函數複合而成的，哪個是外函數，哪個是內函數．這個問題跟後麵的複合函數求士導以及積分學中的湊微分都密切相關．００４例１．１．２指出下列函數是由哪些簡單函數複合而成的：第（）２；一１ｙ＝ｃｏｓｘ章ｘ（２）ｙ＝槡ｌｎ２（）－１．函２２數解（１）函數ｙ＝ｃｏｓｘ是由ｙ＝ｕ，ｕ＝ｃｏｓｘ複合而成的．的ｘｘ極（２）函數ｙ＝槡ｌｎ２（）－１是由ｙ＝槡ｕ，ｕ＝ｌｎｖ，ｖ＝２－１複合而成的．限及５．初等函數其定義應１．４由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數複合步驟所用構成，且可用一個式子表示的函數，稱為初等函數．例如，ｙ＝ａｒｃｓｉｎｅｘ，ｙ＝（３ｘ－１）４等．６．分段函數有時，我們會遇到一個函數在自變量不同的取值範圍內用不同的式子來表示的情形．這樣的函數稱為分段函數．分段函數一般不是初等函數．現實生活中常遇到分段函數的應用，比如出租車分段計費、家用電費分峰時和峰穀的計費等都是分段函數的例子．分段函數有兩種形式：一種是分段兩側解析式不一樣的，形如ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｘ＞ｘ０烄；還有一種就是分段兩側解析式是一致的，隻在分段點處的值不一樣小烅（）烆ｈｘｘ≤ｘ０貼ｇ（ｘ）ｘ≠ｘ０士的，形如（）烄後麵可以看出，這兩種分段函數在計算分段點極限、ｆｘ＝烅．ａｘ＝ｘ０烆導數等時，處理辦法是不一樣的．烄１ｘ＞０例設（），求其定義域、值域及１．１．３ｆｘ＝烅０ｘ＝０烆－１ｘ＜０（），（）和（）ｆ－２ｆ０ｆ２．解定義域Ｄ＝Ｒ，值域Ｍ＝｛｝－１，０，１．：（），（），（）由定義可得ｆ－２＝－１ｆ０＝０ｆ２＝１．圖１５這裏的ｆ（ｘ）又稱為符號函數，記為ｓｇｎｘ（如圖１５）．二、函數的性質（一）奇偶性（），，定義１．５設函數ｙ＝ｆｘ的定義域關於原點對稱如果對於定義域中的任何ｘ都有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），則稱ｙ＝ｆ（ｘ）為偶函數；如果對於定義域中的任何ｘ，都有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），則稱ｙ＝ｆ（ｘ）為奇函數．不是偶函數也不是奇函數的函數，稱為非奇非偶函數．奇函數的圖形關於原點對稱，偶函數的圖形關於ｙ軸對稱．常函數ｙ＝Ｃ（Ｃ為任意常數）是唯一的既是奇函數又是偶函數的函數．例１．１．４判斷函數（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ｘ２＋１）的奇偶性．ｆ槡００５解因為該函數的定義域為（－，＋），且有經∞∞濟１數ｆ（－ｘ）＝ｌｎ（－ｘ＋槡ｘ２＋１）＝ｌｎ學ｘ＋槡ｘ２＋１︵上（２）（），冊＝－ｌｎｘ＋槡ｘ＋１＝－ｆｘ︶所以（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋ｘ２＋１）是奇函數．ｆ槡解題中用到根式有理化，根式有理化的本質是平方差公式．１常見的奇函數有：ｙ＝ｘ，ｙ＝，ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｔａｎｘ，ｙ＝ｃｏｔｘ，ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ等．ｘ常見的偶函數有：ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ－２，ｙ＝｜ｘ｜，ｙ＝ｃｏｓｘ等．（二）單調性定義１．６設函數ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ１和ｘ２為區間（ａ，ｂ）內的任意兩個數．若當ｘ１ｘ２時，有（ｘ１）（ｘ２），則稱該函數在區間（ａ，ｂ）內單調增加；＜ｆ＜ｆ若當ｘ１＜ｘ２時，有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），則稱該函數在區間（ａ，ｂ）內單調減少．（三）有界性定義１．７設函數ｙ＝ｆ（ｘ）在區間Ｉ上有定義，若存在一個正數Ｍ，對任意ｘ∈Ｉ，恒有｜ｆ（ｘ）｜≤Ｍ成立，則稱函數ｙ＝ｆ（ｘ）為Ｉ上的有界函數；如果不存在這樣的正數Ｍ，則稱函數ｙ＝ｆ（ｘ）為Ｉ上的無界函數．從幾何上看，如果ｙ＝ｆ（ｘ）是區間Ｉ上的有界函數，那麼它的圖形在Ｉ上必介於兩平行線ｙ＝±Ｍ之間．常見的有界函數有：ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ，ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ等．（四）周期性定義１．８對於函數ｙ＝ｆ（ｘ），如果存在一個不為零的正數Ｌ，使得對於定義域內的一切ｘ，等式ｆ（ｘ＋Ｌ）＝ｆ（ｘ）都成立，則ｙ＝ｆ（ｘ）叫作周期函數，Ｌ叫作這個函數的周期．對於每個周期函數來說，周期有無窮多個．如果其中存在一個最小正數ａ，則規定ａ為該周期函數的最小正周期，簡稱周期．我們常說的某個函數的周期通常指的就是它的最小正周期．例如，ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｔａｎｘ的周期分別為２π，π．三、常用經濟分析函數１．需求函數市場對某種商品的需求量ｑ，主要受該商品價格的影響，通常降低價格會使需求量增加，提高商品價格會使需求量減少．在假定其他條件不變的前提下，市場需求量ｑ可視為該商品價格ｐ的函數，稱為需求函數，記作ｑ＝ｑ（ｐ）．２．供給函數某種商品的市場供給量ｓ也受該商品價格ｐ的製約，價格上漲將刺激生產者向市場提供更多商品；反之，價格下跌將使供給減少．在假定其他條件不變的前提下，市場供給量ｓ可００６視為該商品價格ｐ的函數，稱為供給函數，記作第一ｓ＝ｓ（ｐ）．章函３．成本函數數的總成本由固定成本Ｃ０和可變成本Ｃ１（）ｑ兩部分組成：Ｃ（）ｑ＝Ｃ０＋Ｃ１（）ｑ，其中固定成極限本Ｃ０與產量ｑ無關，如廠房、機器設備折舊費等；變動成本Ｃ１（）ｑ隨產量ｑ的增加而增加，及其如原材料費等．應用－Ｃ（）ｑ生產ｑ個單位產品時的平均成本為：Ｃ＝．ｑ例１．１．５已知某種產品的總成本函數為Ｃ（）ｑ＝５００＋０．２ｑ２．求當生產１００個該產品時的總成本和平均成本．，２，解由題意產量為１００個時的總成本為Ｃ（）１００＝５００＋０．２×１００＝２５００產量為－Ｃ１００１００個時的平均成本為Ｃ１００＝（）＝２５．（）１００４．收入函數總收入函數與產品的單價和產量或銷售量有關．如果產品的單位售價為，銷售量為，ｐｑ那麼總收入函數為Ｒ（）ｑ＝ｐｑ．例（），１．１．６設某商品的需求函數為ｑ＝１５０－２ｐｐ為售價求當銷售量為８０個單位時，該商品的總收入和平均收入．１５０－ｑ解由於需求函數為ｑ＝１５０－２ｐ，所以該商品的價格函數為ｐ＝．因此，總收入２－１５０－ｑ１２函數為Ｒ（）ｑ＝ｐｑ＝·ｑ，Ｒ（８０）＝－×８０＋７５×８０＝２８００，平均收入為Ｒ（）８０＝２２Ｒ８０２８００（）＝＝３５．８０８０利潤函數５．總利潤等於總收入與總成本的差，於是總利潤函數為Ｌ（）ｑ＝Ｒ（）ｑ－Ｃ（）ｑ．２例１．１．７已知某產品的成本函數為Ｃ（）ｑ＝２ｑ－２４ｑ＋８１，需求函數為ｑ＝１２－ｐ（ｐ為價格），求該產品的利潤函數，並說明該產品的盈虧情況．２解由題意得收入函數為Ｒ（）ｑ＝ｐｑ＝（１２－ｑ）ｑ＝１２ｑ－ｑ，所以利潤函數為Ｌ（ｑ）＝Ｒ（ｑ）－Ｃ（ｑ）＝－３ｑ２＋３６ｑ－８１＝－３（ｑ２－１２ｑ＋２７）．又由Ｌ（ｑ）＝０可得盈虧平衡點ｑ＝３或ｑ＝９．容易看出，當ｑ＞９或ｑ＜３時，Ｌ（）ｑ＜０，說明虧損；當３＜ｑ＜９時，Ｌ（）ｑ＞０，說明盈利．習題１．１：１．求下列函數的定義域（１）＝槡２－｜ｘ｜；（２）＝ｌｎｌｎｘ；ｙｙ（）００７－ｘ－１ｘ０經烄≤≤（３）ｙ＝烅；（４）ｙ＝ｆ（ｌｎｘ），其中ｆ（ｕ）的定義域為（）０，１．濟槡３－ｘ０＜ｘ＜２數烆學２．確定下列函數的奇偶性：︵上（１）ｆ（ｘ）＝槡ｘ；冊ｘ－ｘ︶ｅ－ｅ（２）ｆ（ｘ）＝（此函數稱為雙曲正弦，常記為ｓｈｘ）；２ｅｘ＋ｅ－ｘ（３）ｆ（ｘ）＝（此函數稱為雙曲餘弦，常記為ｃｈｘ）．２（），（），（），２３．設ｆｘ＝ａｒｃｔａｎｘ求ｆ０ｆ－１ｆ（）ｘ－１．４．設ｆ（ｓｉｎｘ）＝２－ｃｏｓ２ｘ，求ｆ（ｘ）及ｆ（ｃｏｓｘ）．：５．指出下列函數的複合過程（１）ｙ＝ｃｏｓｘ２；（２）ｙ＝ｌｎ（ｓｉｎ５ｘ）；３πｓｉｎ３ｘ（３）ｙ＝ｓｉｎ２ｘ＋；（４）ｙ＝ｅ；（）５３（５）＝２ｌｎ（ｘ＋２）；（６）＝ｌｎ２．ｙｙ（）ａｒｃｔａｎ槡１＋ｘ第二節極限的概念一、數列的極限１１１１１觀察數列：，，，…，，…｛｝２ｎ２２２２３２ｎ當ｎ無限增大時，通項ｕｎ無限接近於常數０．定義１．９對於數列｛ｕｎ｝，如果當ｎ無限增大時，通項ｕｎ無限接近於某個確定的常數Ａ，則稱Ａ為數列｛ｕｎ｝的極限，或稱數列｛ｕｎ｝收斂於Ａ，記為ｌｉｍｕｎ＝Ａ或ｕｎ→Ａ（ｎ→∞）；若ｎ→∞數列｛ｕｎ｝沒有極限，則稱該數列發散．從極限的定義可知，極限若存在，則是唯一的極限值，若ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，小ｘ→ｘ０貼ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ｂ，則Ａ＝Ｂ．士ｘ→ｘ０例１．２．１觀察下列數列的變化趨勢，並求出數列的極限：１１ｎ１（１）ｕｎ＝；（２）ｕｎ＝２－；（３）ｕｎ＝（－１）；ｎｎ２３ｎｎ（４）ｕｎ＝－３；（５）ｕｎ＝（－１）．解觀察數列在ｎ→∞時的變化趨勢，得１１ｎ１（１）ｌｉｍ＝０；（２）ｌｉｍ２－２＝２；（３）ｌｉｍ（－１）ｎ＝０；ｎ→∞ｎｎ→∞（）ｎｎ→∞３（４）ｌｉｍ（－３）＝－３；（５）ｌｉｍ（－１）ｎ不存在．ｎ→∞ｎ→∞００８第二、函數的極限一章函數的極限概念研究的是在自變量的某一變化過程中，函函數值的變化趨勢．我們將就函數在自變量的兩種不同變化過程數的中的變化趨勢分別加以討論：極限（），當自變量ｘ的絕對值ｘ無限增大記為ｘ→∞時函數掃一掃可見微課及其ｆ（ｘ）的極限；“函數的極限”應用當自變量ｘ無限接近於有限值ｘ０，即趨向於ｘ０（記為ｘ→ｘ０）時，函數ｆ（ｘ）的極限．１．ｘ→∞時函數ｆ（ｘ）的極限函數的自變量ｘ→∞是指ｘ的絕對值無限增大，它包含以下兩種情況：（１）ｘ取正值，無限增大，記作ｘ→＋∞；（），（），２ｘ取負值它的絕對值無限增大即ｘ無限減小記作ｘ→－∞．定義１．１０如果當ｘ→∞，函數ｆ（ｘ）無限地趨近於一個確定的常數Ａ，則稱Ａ為函數ｆ（ｘ）當ｘ→∞時的極限，記作ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．ｘ→∞定義１．１１如果當ｘ→＋∞時，函數ｆ（ｘ）無限地趨近於一個確定的常數Ａ，則稱Ａ為函數ｆ（ｘ）當ｘ→＋∞時的極限，記作ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．ｘ→＋∞定義１．１２如果當ｘ→－∞時，函數ｆ（ｘ）無限地趨近於一個確定的常數Ａ，則稱Ａ為函數ｆ（ｘ）當ｘ→－∞時的極限，記作ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．ｘ→－∞１例１．２．２討論函數ｙ＝當ｘ→∞時的極限．ｘ解如圖１６所示，考察函數圖像，顯然有１１１ｌｉｍ＝０，ｌｉｍ＝０，ｌｉｍ＝０．ｘ→＋∞ｘｘ→－∞ｘｘ→∞ｘ例１．２．３討論函數ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ和ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ當ｘ→∞時的極限．解由圖１３所示，有圖１６ππｌｉｍａｒｃｔａｎｘ＝－，ｌｉｍａｒｃｔａｎｘ＝，ｘ→－∞２ｘ→＋∞２ｌｉｍａｒｃｔａｎｘ不存在．ｘ→∞由圖１４所示，有ｌｉｍａｒｃｃｏｔｘ＝π，ｌｉｍａｒｃｃｏｔｘ＝０，ｘ→－∞ｘ→＋∞ｌｉｍａｒｃｃｏｔｘ不存在．ｘ→∞從上麵的討論，顯見如下定理：定理１．１ｌｉｍｆ（ｘ）存在的充要條件是ｌｉｍｆ（ｘ）和ｌｉｍｆ（ｘ）都存在且相等，即ｘ→∞ｘ→－∞ｘ→＋∞ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．ｘ→∞ｘ→－∞ｘ→＋∞００９２．ｘｘ０時函數（ｘ）的極限經→ｆ濟記號ｘ→ｘ０表示ｘ無限趨近於ｘ０，包括ｘ從小於ｘ０和ｘ從大於ｘ０的方向趨近於ｘ０數學兩種情況：︵－上（１）ｘ→ｘ０表示ｘ從小於ｘ０的方向趨近於ｘ０，如圖１７（ａ）所示．冊（）＋表示從大於的方向趨近於，如圖（）所示︶２ｘ→ｘ０ｘｘ０ｘ０１７ｂ．圖１７定義１．１３設函數ｆ（ｘ）在ｘ０的某一去心鄰域Ｎ（＾ｘ０，δ）內有定義，當自變量ｘ在Ｎ（＾ｘ０，δ）內無限接近於ｘ０時，相應的函數值無限接近於常數Ａ，則稱Ａ為函數ｆ（ｘ）當ｘ→ｘ０時的極限，記作ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ或ｆ（ｘ）→Ａ（ｘ→ｘ０）．ｘ→ｘ０觀察圖１８及圖１９，由定義１．１３可得，ｘ２－１ｌｉｍ（ｘ＋１）＝２，ｌｉｍ＝２．ｘ→１ｘ→１ｘ－１圖１８圖１９小從上麵例子可以看出，ｌｉｍｆ（ｘ）是否存在與ｆ（ｘ）在點ｘ０處是否有定義無關，極ｘｘ貼→０士限是描述函數在ｘ０附近的變化趨勢．定義－，（），１．１４如果當ｘ→ｘ０時函數ｆｘ無限地趨近於一個確定的常數Ａ則稱Ａ為函數ｆ（ｘ）當ｘ→ｘ０時的左極限，記作－ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ或ｆｘ０＝Ａ．－（）ｘ→ｘ０＋定義１．１５如果當ｘ→ｘ０時，函數ｆ（ｘ）無限地趨近於一個確定的常數Ａ，則稱Ａ為函數ｆ（ｘ）當ｘ→ｘ０時的右極限，記作＋ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ或ｆ（ｘ０）＝Ａ．＋ｘ→ｘ０左極限和右極限統稱單側極限．定理１．２ｌｉｍｆ（ｘ）存在的充要條件是ｌｉｍｆ（ｘ）和ｌｉｍｆ（ｘ）都存在且相等，即－＋ｘ→ｘ０ｘ→ｘｘ→ｘ０００１０ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．第ｘ→ｘ－＋０ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０一章函ｇ（ｘ）ｘ＞ｘ０對形如（ｘ）＝烄的分段函數，在分段點兩側函數的解析式不一樣，數小ｆ烅的ｈ（ｘ）ｘ≤ｘ０貼烆極士分段點兩側函數值的變化趨勢一般不一樣，所以求分段點的極限必須用單側極限來限及計算，當且僅當分段點兩側單側極限都存在且相等時，在分段點的極限才存在．其應用請思考（）烄ｙｘｘ≠ｘ０形如ｆ（ｘ）＝的分段函數，計算ｌｉｍｆ（ｘ）時不需要通過單側極限計算，為烅ｘｘａｘ＝ｘ０→０烆什麼？２ｘ－１ｘ≤１例１．２．４已知ｆ（ｘ）＝，求ｌｉｍｆ（ｘ）．｛ｘｘ＞１ｘ→１解因為ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ（）２ｘ－１＝１，ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ＝１，ｘ→１－ｘ→１－ｘ→１＋ｘ→１＋即ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ（ｘ）＝１，－＋ｘ→１ｘ→１所以ｌｉｍｆ（ｘ）＝１．ｘ→１ｘ例１．２．５討論函數ｆ（ｘ）＝當ｘ→０時的極限．ｘ－１ｘ＜０解該函數可以表示為分段函數：ｆ（ｘ）＝，於是｛１ｘ＞０ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ（－１）＝－１，ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ１＝１，ｘ→０－ｘ→０－ｘ→０＋ｘ→０＋即ｌｉｍｆ（ｘ）≠ｌｉｍｆ（ｘ），－＋ｘ→０ｘ→０所以ｌｉｍｆ（ｘ）不存在．ｘ→０三、無窮小與無窮大１．無窮小的定義定義１．１６如果函數ｆ（ｘ）當ｘ→ｘ０（或ｘ→∞）時的極限為零，則稱函數ｆ（ｘ）為當ｘ→ｘ０（或ｘ→∞）時的無窮小量，簡稱無窮小．１例如，因為ｌｉｍｌｎｘ＝０，故ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ是當ｘ→１時的無窮小；因為ｌｉｍ＝０，故ｆ（ｘ）＝ｘ→１ｘ→∞ｘ１是當ｘ→∞時的無窮小．ｘ０１１經小濟無窮小是極限為零的變量．要注意的是，不要把絕對值很小的非零常數誤認為是貼數無窮小；常數零是唯一可作為無窮小的常數．學士︵上冊︶例１．２．６自變量ｘ在怎樣的變化過程中，下列函數為無窮小：ｘ１ｘ１（１）ｙ＝；（２）ｙ＝２ｘ－１；（３）ｙ＝２；（４）ｙ＝．ｘ－１（）４１１解（１）因為ｌｉｍ＝０，所以當ｘ→∞時，為無窮小；ｘ→∞ｘ－１ｘ－１１（２）因為ｌｉｍ（２ｘ－１）＝０，所以當ｘ→時，２ｘ－１為無窮小；１２ｘ→２（３）因為ｌｉｍ２ｘ＝０，所以當ｘ→－∞時，２ｘ為無窮小；ｘ→－∞１ｘ１ｘ（４）因為ｌｉｍ＝０，所以當ｘ→＋∞時，為無窮小．ｘ→＋∞（）４（）４２．無窮大的定義定義１．１７在自變量ｘ的某個變化過程中，若相應的函數值的絕對值ｆ（ｘ）無限增，（）無窮大量，無窮大；（）大則稱ｆｘ為該自變量變化過程中的簡稱如果相應的函數值ｆｘ（）或－ｆ（ｘ）無限增大，則稱ｆ（ｘ）為該自變量變化過程中的正（或負）無窮大．如果函數ｆ（ｘ）是ｘ→ｘ０時的無窮大，記作ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞；ｘｘ→０如果函數ｆ（ｘ）是ｘ→ｘ０時的正無窮大，記作ｌｉｍｆ（ｘ）＝＋∞；ｘｘ→０如果函數ｆ（ｘ）是ｘ→ｘ０時的負無窮大，記作ｌｉｍｆ（ｘ）＝－∞．ｘｘ→０１．無窮大是極限不存在的一種情形，這裏借用極限的記號，並不表示極限存在．小極限存在是指函數值能無限逼近一個常數．貼士２．不要把絕對值很大的常數看成是無窮大．３．正確區分無窮小與負無窮大．例自變量在怎樣的變化過程中，下列函數為無窮大：１．２．７１（１）ｙ＝；（２）ｙ＝２ｘ－１；（３）ｙ＝ｌｎｘ；（４）ｙ＝２ｘ．ｘ－１１解（１）因為ｌｉｍ（ｘ－１）＝０，所以為ｘ→１時的無窮大；ｘ→１ｘ－１（２）因為ｌｉｍ（２ｘ－１）＝∞，所以２ｘ－１為ｘ→∞時的無窮大；ｘ→∞（３）因為ｌｉｍｌｎｘ＝－∞，ｌｉｍｌｎｘ＝＋∞，所以ｘ→０＋或ｘ→＋∞時，ｌｎｘ都是無窮大；＋ｘ→＋∞ｘ→０（４）因為ｌｉｍ２ｘ＝∞，所以２ｘ為ｘ→＋∞時的無窮大．ｘ→＋∞３．無窮小與無窮大的性質定理１．３有限個無窮小的和、差、積仍為無窮小．０１２定理１．４無窮小與有界函數的積仍為無窮小．第一定理１．５在自變量的變化過程中，無窮大的倒數是無窮小，不恒為零的無窮小的倒數章為無窮大．函，數這個結論為我們處理無窮大的問題提供一個解決問題的思路即可以把無窮大轉化為的極無窮小來處理．限及２ｘ其小兩個無窮小之商未必是無窮小，如ｘ→０時，ｘ與２ｘ皆為無窮小，但由ｌｉｍ＝２應ｘ→０ｘ用貼２ｘ士可知當ｘ→０時，不是無窮小．事實上，這是我們後麵要討論的不定式．ｘ例１．２．８求下列函數的極限：１ａｒｃｔａｎｘ（１）ｌｉｍｘｓｉｎ；（２）ｌｉｍ．ｘ→０ｘｘ→∞ｘ１１解（１）因為ｌｉｍｘ＝０，所以ｘ為ｘ→０時的無窮小，又因為ｓｉｎ≤１，即ｓｉｎ為有ｘ→０ｘｘ１界函數，所以ｘｓｉｎ仍為ｘ→０時的無窮小，即ｘ１ｌｉｍｘｓｉｎ＝０．ｘ→０ｘ１１π（２）因為ｌｉｍ＝０，所以為ｘ→∞時的無窮小，又因為ａｒｃｔａｎｘ＜，即ａｒｃｔａｎｘ為ｘ→∞ｘｘ２１有界函數，所以ａｒｃｔａｎｘ仍為ｘ→∞時的無窮小，即ｘａｒｃｔａｎｘｌｉｍ＝０．ｘ→∞ｘ習題１．２１．下列數列中極限存在的是（）．５１０ｎ２＋１Ａ．２，，，…，，…Ｂ．１，２，３，…，ｎ，…２３ｎ３４ｎ＋１Ｃ．１，－１，１，…，（）－１ｎ＋１，…Ｄ．２，，，…，，…２３ｎｘ２－１ｘ＜１烄２．設函數ｆ（ｘ）＝烅０ｘ＝１，證明當ｘ→１時ｆ（ｘ）的極限不存在．烆１ｘ＞１３．下列變量在其變化過程中極限存在的有（）．５ｘＡ．ｅ（）ｘ→－∞Ｂ．１＋ｓｉｎｘ（）ｘ→∞π２Ｃ．ｔａｎｘｘ→Ｄ．３ｘｘ→∞２（）（）０１３４．指出下列各題中函數在相應的自變量的變化趨勢下是無窮大，還是無窮小？
經濟（１）３－ｘ（ｘ→＋∞）；（２）ｅｘ（ｘ→＋∞）；數１學（３）２ｘ（ｘ→０）；（４）ｌｇｘ（ｘ→１）；︵上ｘ２－４ｓｉｎｘ（５）ｘ→－１；（６）ｘ→∞．冊ｘ＋１（）ｘ（）︶５．當ｘ→０時，下列變量為無窮小的是（）．２ｘ－１１Ａ．ｅｘＢ．Ｃ．ｓｉｎ２ｘＤ．ｃｏｓｘ＋１ｘ６．計算極限：１ｘ－ｃｏｓｘ（１）ｌｉｍｘｓｉｎ；（２）ｌｉｍ．ｘ→０（）ｘｘ→∞ｘ第三節極限的計算方法一、極限的四則運算法則定理１．６如果ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ｂ，那麼ｌｉｍ［］ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｆ（ｘ）±ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ａ±Ｂ；ｌｉｍ［］ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｆ（ｘ）·ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ａ·Ｂ；ｆ（ｘ）ｌｉｍｆ（ｘ）Ａ掃一掃可見微課ｌｉｍ＝＝（Ｂ≠０）．ｇ（ｘ）ｌｉｍｇ（ｘ）Ｂ“極限的四則運算法則”推論１．１常數可以提到極限號前麵，即ｌｉｍ［］Ｃｆ（ｘ）＝Ｃｌｉｍｆ（ｘ）＝ＣＡ（Ｃ為常數）．推論１．２如果ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，而ｎ為正整數，那麼ｌｉｍ［］ｆ（ｘ）ｎ＝［］ｌｉｍｆ（ｘ）ｎ＝Ａｎ．本教材中凡不標明自變量變化過程的極限號ｌｉｍ，均表示變化過程適用於ｘ→ｘ０，ｘ→∞等所有情形，以下不再一一注明．例１．３．１計算ｌｉｍ（ｘ２＋２ｘ－３）．ｘ→２解ｌｉｍ（ｘ２＋２ｘ－３）＝ｌｉｍｘ２＋ｌｉｍ２ｘ－ｌｉｍ３ｘ→２ｘ→２ｘ→２ｘ→２＝（）ｌｉｍｘ２＋２·ｌｉｍｘ－３＝２２＋２×２－３＝５．ｘ→２ｘ→２ｘ２－２ｘ＋５例１．３．２計算ｌｉｍ２．ｘ→１ｘ＋６解因為ｌｉｍ（ｘ２＋６）＝７≠０，所以ｘ→１２２ｌｉｍ（）ｘ－２ｘ＋５ｘ－２ｘ＋５ｘ→１４ｌｉｍ２＝２＝．ｘ→１ｘ＋６ｌｉｍ（）ｘ＋６７ｘ→１ｘ２－３ｘ＋２例１．３．３計算ｌｉｍ２．ｘ→２ｘ－ｘ－２０１４解因為ｘ→２時，分子、分母的極限均為０，則分子和分母分解因式都有ｘ－２這個因第，，一式所以可以約去這個公因子故章ｘ２－３ｘ＋２（ｘ－１）（ｘ－２）ｘ－１１函ｌｉｍ２＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝．數ｘ→２ｘ－ｘ－２ｘ→２（ｘ＋１）（ｘ－２）ｘ→２ｘ＋１３的２ｘ２＋ｘ－３極例１．３．４求ｌｉｍ２．限ｘ→∞３ｘ－ｘ＋２及∞其解這是形式，可以將無窮大轉化成無窮小來做，將分子、分母同時除以ｘ的最高次應∞用冪，然後再求極限．１３２＋－２ｘ２＋ｘ－３ｘｘ２２ｌｉｍ２＝ｌｉｍ＝．ｘ→∞３ｘ－ｘ＋２ｘ→∞１２３３－＋２ｘｘ一般的，有如下規律：當時小烄０ｍ＞ｎ貼ｎｎ－１…ａ０ｘ＋ａ１ｘ＋＋ａｎａ０（，）士ｌｉｍｍｍ－１＝當ｍ＝ｎ時其中ａ０ｂ０不等於０．ｘ→∞ｂ０ｘ＋ｂ１ｘ＋…＋ｂｍ烅ｂ０烆∞當ｍ＜ｎ時二、兩個重要極限ｓｉｎｘ１．ｌｉｍ＝１ｘ→０ｘｓｉｎｘ函數的定義域為ｘ≠０的全體實數，當ｘ→０時，我們列出數值表（見表１１），觀察ｘ其變化趨勢．表１１ｘ（弧度）±１．００±０．１００±０．０１０±０．００１…ｓｉｎｘ０．８４１４７０９８０．９９８３３４１７０．９９９９８３３４０．９９９９９９８４…ｘｓｉｎｘｓｉｎｘ由表１１可知，當ｘ→０時，→１，根據極限的定義有ｌｉｍ＝１．ｘｘ→０ｘ０小如果所求極限表達式中含三角函數，且為型不定式，可以考慮用第一個重要極貼０士限來計算．ｔａｎｘ例１．３．５計算ｌｉｍ．ｘ→０ｘ０１５ｔａｎｘｓｉｎｘ１ｓｉｎｘ１經解ｌｉｍ＝ｌｉｍ·＝ｌｉｍ·ｌｉｍ＝１×１＝１．濟ｘ→０ｘｘ→０（）ｘｃｏｓｘｘ→０ｘｘ→０ｃｏｓｘ數ｓｉｎ３ｘ學例１．３．６計算ｌｉｍ．︵ｘ→０２ｘ上ｓｉｎ３ｘ３ｓｉｎ３ｘ３３冊解ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝×１＝．︶ｘ→０２ｘ２ｘ→０３ｘ２２１－ｃｏｓｘ例１．３．７求ｌｉｍ２．ｘ→０ｘｘｘ２２ｓｉｎ２烄ｓｉｎ烌１－ｃｏｓｘ２１２１解ｌｉｍ２＝ｌｉｍ２＝ｌｉｍ＝．ｘ→０ｘｘ→０ｘ２ｘｘ２２→０烆２烎ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ例１．３．８計算ｌｉｍ３．ｘ→０ｘｔａｎｘ－ｓｉｎｘｔａｎｘ（１－ｃｏｓｘ）ｔａｎｘ１－ｃｏｓｘ解ｌｉｍ３＝ｌｉｍ３＝ｌｉｍ·２ｘ→０ｘｘ→０ｘｘ→０（）ｘｘｔａｎｘ１－ｃｏｓｘ１１＝ｌｉｍ·ｌｉｍ２＝１×＝．ｘ→０ｘｘ→０ｘ２２１ｘ２．ｌｉｍ１＋＝ｅｘ→∞（）ｘ這個函數是冪指函數，極限的四則運算對它不適用，列出下表（見表１２）以探求１ｘｘ→＋∞時，函數１＋的變化趨勢（表中的數值除ｘ＝１外，都是近似值）：（）ｘ表１２ｘ１２１０１０００１００００１０００００１００００００…１ｘ１＋２２．２５２．５９４２．７１７２．７１８１２．７１８２２．７１８２８…（）ｘ１ｘ從表１２可以看出，當ｘ取正值並無限增大時，１＋是逐漸增大的，但是不論ｘ（）ｘ１ｘ如何大，１＋的值總不會超過３．事實上，可以證明（）ｘ１ｘｌｉｍ１＋＝ｅ．ｘ→∞（）ｘ１若令＝ｔ，則ｘ→∞時，ｔ→０，代入後得到這個重要極限的變形形式ｘ１ｌｉｍ（）１＋ｔｔ＝ｅ．ｔ→０小∞如果所求極限表達式中含冪指函數，且為Ｉ不定型，可以考慮用第二個重要極貼士限來計算．０１６１例１．３．９計算ｌｉｍ（１－ｘ）ｘ．第ｘ→０一１－１－１－１１章解ｌｉｍ（１－ｘ）ｘ＝ｌｉｍ［］（１－ｘ）ｘ＝ｅ＝．ｘ→０ｘ→０ｅ函１數例１．３．１０計算ｌｉｍ（１＋３ｘ）ｘ．的ｘ→０極１１３１３３解ｌｉｍ（１＋３ｘ）ｘ＝ｌｉｍ［］（１＋３ｘ）３ｘ＝［］ｌｉｍ（１＋３ｘ）３ｘ＝ｅ．限ｘ→０ｘ→０ｘ→０及ｌｎ（１＋ｘ）其例１．３．１１計算ｌｉｍ．應ｘ→０ｘ用１解令（１＋ｘ）ｘ＝ｕ，ｘ→０時，ｕ→ｅ．ｌｎ（１＋ｘ）１ｌｉｍ＝ｌｉｍｌｎ（１＋ｘ）ｘ＝ｌｉｍｌｎｕ＝１．ｘ→０ｘｘ→０ｕ→ｅｅｘ－１例１．３．１２計算ｌｉｍ．ｘ→０ｘ解令ｅｘ－１＝ｕ，則ｘ＝ｌｎ（１＋ｕ），且ｘ→０時，ｕ→０，所以ｅｘ－１ｕ１ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝＝１．ｘ→０ｘｕ→０ｌｎ（１＋ｕ）ｌｎ（１＋ｕ）ｌｉｍｕ→０ｕ３－ｘｘ例１．３．１３計算ｌｉｍ．ｘ→∞（）２－ｘ３－ｘｘｘ－３ｘ１ｘ解ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ１－ｘ→∞２－ｘｘ→∞ｘ－２ｘ→∞ｘ－２（）（）（）１ｘ－２１２＝ｌｉｍ１－·１－ｘ→∞［］（）ｘ－２（）ｘ－２１ｘ－２１２１１＝ｌｉｍ１－·ｌｉｍ１－＝·１＝．ｘ→∞（）ｘ－２ｘ→∞（）ｘ－２ｅｅ在用第一或第二重要極限計算時，總會用到整體變量代換的方法．公式中的ｘ可以是任何ｓｉｎφ（ｘ）你想代換的表達式，隻要滿足公式的要求就可以．如果ｌｉｍφ（ｘ）＝０，則ｌｉｍ＝１．同樣，φ（ｘ）→０（ｘ）φ（ｘ）１φ１若ｌｉｍφ（ｘ）＝∞，則ｌｉｍ１＋＝ｅ．若ｌｉｍφ（ｘ）＝０，ｌｉｍ（）１＋φ（ｘ）φ（ｘ）＝ｅ．φ（ｘ）→∞（）φ（ｘ）φ（ｘ）→０三、無窮小等價代換１．無窮小的比較不同的無窮小，趨於零的速度會有快有慢，比如ｘ→０的過程中，ｘ２趨於零的速度會比３ｘ趨於零的速度快．我們可以用無窮小階這個概念來衡量無窮小趨於零的速度快慢．定義１．１８設α，都是在同一自變量的變化過程中的無窮小，且α≠０．β０１７β經（１）如果ｌｉｍ＝０，就說β是比α高階的無窮小，反之，β是比α低階的無窮小；濟α數學（）如果β，就說與是同階無窮小︵２ｌｉｍ＝ｃ≠０βα．上α冊β︶特別地，如果ｌｉｍ＝１，就說β與α是等價無窮小，記作β～α．α３ｘ２例如，因為ｌｉｍ＝０，所以當ｘ→０時，３ｘ２是比ｘ高階的無窮小；ｘ→０ｘｔａｎｘｌｉｍ＝１，所以當ｘ→０時，ｔａｎｘ與ｘ是等價無窮小；ｘ→０ｘ１－ｃｏｓｘ１２ｌｉｍ２＝，所以當ｘ→０時，１－ｃｏｓｘ與ｘ是同階無窮小．ｘ→０ｘ２２．無窮小等價代換定理１．７（等價無窮小替換）設α，β，α′，β′是自變量同一變化過程中的無窮小，且β′β′βα～α′，β～β′，ｌｉｍ是同一變化過程中的極限，則當極限ｌｉｍ存在時，極限ｌｉｍ也存在，且α′α′αβ′ｌｉｍβ＝ｌｉｍ．αα′α′β′βα′β′ββ′證明ｌｉｍβ＝ｌｉｍ··＝ｌｉｍ·ｌｉｍ·ｌｉｍ＝ｌｉｍ．α（）αα′β′αα′β′α′定理１．７表明，求兩個無窮小之比的極限時，分子分母都可用等價無窮小來代替．因此，如果用來代替的無窮小選得得當的話，可以使計算簡化．由前麵的討論，可以得出一些常用的等價無窮小，當ｘ→０時：，，，，ｘ，ｓｉｎｘ～ｘｔａｎｘ～ｘａｒｃｓｉｎｘ～ｘａｒｃｔａｎｘ～ｘｅ－１～ｘ１２ｎ１ｌｎ（１＋ｘ）～ｘ，１－ｃｏｓｘ～ｘ，槡１＋ｘ－１～ｘｎ∈Ｚ＋．２ｎ（）在極限運算中靈活地運用這些等價無窮小，可以為計算提供極大的方便．在使用的時候要學會整體換元的方法．比如，當ｘ→０時，ｓｉｎｘ２～ｘ２；當ｘ→１時，ｓｉｎ（ｘ－１）～ｘ－１；１１當ｘ→∞時，ｓｉｎ～等．要習慣並熟練運用這種整體換元的辦法，高等數學ｘｘ中還有很多地方都用到這種方法．ｌｎ（１－２ｘ）例１．３．１４計算ｌｉｍ３ｘ．ｘ→０ｅ－１解因為當ｘ→０時，ｌｎ（１－２ｘ）～－２ｘ，ｅ３ｘ－１～３ｘ，所以ｌｎ（１－２ｘ）－２ｘ２ｌｉｍ３ｘ＝ｌｉｍ＝－．ｘ→０ｅ－１ｘ→０３ｘ３０１８ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ第例１．３．１５用等價無窮小量的代換，求ｌｉｍ３．ｘ→０ｘ一章１解因為ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ＝ｔａｎｘ（１－ｃｏｓｘ），而ｘ→０時，ｔａｎｘ～ｘ，１－ｃｏｓｘ～ｘ２，所以２函數的１ｘ·ｘ２極ｔａｎｘ－ｓｉｎｘｔａｎｘ（１－ｃｏｓｘ）２１限ｌｉｍ３＝ｌｉｍ３＝ｌｉｍ３＝．及ｘ→０ｘｘ→０ｘｘ→０ｘ２其應必須強調指出，在極限運算中，恰當地使用等價無窮小的代換，能起到簡化運算的作用，用隻能是對分子或分母的乘積因子整體代換，不能對加減的項代換．本題若以ｔａｎｘ～ｘ，ｓｉｎｘ～ｘ直接代入分子，得到錯誤結果：ｔａｎｘ－ｓｉｎｘｘ－ｘｌｉｍ３＝ｌｉｍ３＝０．ｘ→０ｘｘ→０ｘ習題１．３求下列極限：１．ｘ２－９ｘ２－６ｘ＋５（１）ｌｉｍ４２；（２）ｌｉｍ；ｘ→３ｘ＋ｘ＋１ｘ→５ｘ－５ｘ２－２ｘ＋１ｘ２＋６ｘ＋５（３）ｌｉｍ３；（４）ｌｉｍ２；ｘ→１ｘ－ｘｘ→－１ｘ－３ｘ－４ｘ２＋２ｘ－５３ｘ３－４ｘ２＋２（５）ｌｉｍ３；（６）ｌｉｍ３２．ｘ→∞ｘ＋ｘ＋５ｘ→∞７ｘ＋５ｘ－３２．計算下列極限：ｌｎ（１－ｘ２）ｓｉｎｘ２（１）ｌｉｍ２；（２）ｌｉｍ２；ｘ→０ａｒｃｓｉｎ３ｘｘ→０ｓｉｎｘ１－ｃｏｓ２ｘ２ｘ（３）ｌｉｍ；（４）ｌｉｍ；ｘ→０ｘｓｉｎｘｘ→０－槡１－ｃｏｓｘｓｉｎｘ２－１４２ｘ（５）ｌｉｍ（）；（６）ｌｉｍ１－；ｘ→－１ｘ＋１ｘ→∞（）ｘ５ｘ＋２ｘ２（７）ｌｉｍ；（８）ｌｉｍ（）１－３ｘｘ．ｘ→∞１＋ｘｘ→０（）第四節極限的應用極限這一數學思想方法貫穿整個高等數學始終．本節主要介紹如何用極限來定義和判斷函數是否連續，以及極限在連續複利這一經濟分析中的應用．一、函數的連續性１．函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處的連續性定義１．１９設函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０的某鄰域內有定義，如果當自變量ｘ在ｘ０處的增０１９量ｘ趨於零時，相應的函數增量＝（ｘ０＋ｘ）－（ｘ０）也趨於零，即經ΔΔｙｆΔｆ濟數ｌｉｍΔｙ＝ｌｉｍ［］ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）＝０，Δｘ→０Δｘ→０學︵上則稱函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０連續，也稱點ｘ０為函數ｙ＝ｆ（ｘ）的連續點．冊ｌｉｍ［］ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）＝ｌｉｍｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）＝０，若再令ｘ＝ｘ０＋Δｘ，可以得︶Δｘ→０Δｘ→０到如下定義．定義１．２０設函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０的某鄰域內有定義，如果ｘ→ｘ０時，相應的函數值ｆ（ｘ）→ｆ（ｘ０），即ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），ｘｘ→０（），（）（）則稱函數ｙ＝ｆｘ在點ｘ０處連續也稱點ｘ０為函數ｙ＝ｆｘ的連續點．函數ｙ＝ｆｘ在點ｘ０處不連續，則點ｘ０為函數ｙ＝ｆ（ｘ）的間斷點．從定義可以看出，函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處連續必須同時滿足以下三個條件：（）函數（）在點的某個鄰域內有定義；１ｙ＝ｆｘｘ０（２）極限ｌｉｍｆ（ｘ）存在；ｘｘ→０（３）ｘ０處極限值等於函數值，即ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）．ｘｘ→０我們是通過極限的方法來定義函數連續性的．事實上，後麵的一些重要概念仍然會通過極限的思想方法來定義，比如導數就是增量比值的極限，積分就是積分和極限，級數是否收斂要看前ｎ項和的極限是否存在，等等．極限的思想方法貫穿整個高等數學．例（）１．４．１討論函數ｆｘ＝ｘ＋１在ｘ＝２處的連續性．解ｆ（２）＝３；ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ（ｘ＋１）＝３；ｘ→２ｘ→２即ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（２）＝３（如圖１１０）．ｘ→２因此，函數ｆ（ｘ）＝ｘ＋１在ｘ＝２處連續．１烄ｘｓｉｎｘ≠０例（）ｘ１．４．２討論函數ｆｘ＝烅在ｘ＝０處的連烆０ｘ＝０圖１１０續性．解ｆ（ｘ）在ｘ＝０及其鄰域有定義且ｆ（０）＝０，１ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘｓｉｎ＝０．ｘ→０ｘ→０ｘ０２０１烄ｘｓｉｎｘ≠０第因此，函數ｆ（ｘ）＝ｘ在ｘ＝０處連續．一烅章烆０ｘ＝０函ｘ－１ｘ≤１數例１．４．３討論函數ｆ（ｘ）＝在ｘ＝１處的連續性．的｛ｘ＋１ｘ＞１極解（）（）；限ｆｘ在ｘ＝１及其鄰域有定義且ｆ１＝０及其ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ（ｘ－１）＝０，應ｘ→１－ｘ→１－用ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ（ｘ＋１）＝２．ｘ→１＋ｘ→１＋因為ｌｉｍｆ（ｘ）≠ｌｉｍｆ（ｘ），所以ｌｉｍｆ（ｘ）不存在．ｘ→１－ｘ→１＋ｘ→１圖１１１ｘ－１ｘ≤１因此，函數ｆ（ｘ）＝在ｘ＝１處不連續，ｘ＝１是｛ｘ＋１ｘ＞１ｆ（ｘ）的一個間斷點（如圖１１１）．２．左連續與右連續函數（）在處的左、右連續的定義如下：ｙ＝ｆｘｘ０定義１．２１如果函數ｙ＝ｆ（ｘ）在（ｘ０－δ，ｘ０］有定義，且ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），則稱函數－ｘ→ｘ０ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處左連續．如果函數ｙ＝ｆ（ｘ）在［ｘ０，ｘ０＋δ）有定義，且ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），ｘ→ｘ＋０則稱函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處右連續．定理１．８函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處連續的充要條件是函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處既左連續又右連續，即（）在點連續（）在點處既左連續又右連續ｙ＝ｆｘｘ０ｙ＝ｆｘｘ０．π烄１＋ｃｏｓｘｘ＜２π例１．４．４討論函數ｆ（ｘ）＝在點ｘ＝處的連續性．烅π２ｓｉｎｘｘ≥烆２解這是一個分段函數在分界點處的連續性問題．ππｆ（ｘ）在點ｘ＝及其近旁有定義且ｆ＝１．２（）２π討論函數ｆ（ｘ）在點ｘ＝的左、右連續性：２π因為ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ（１＋ｃｏｓｘ）＝１＝ｆ，π－π－ｘ→ｘ→（）２２２π得ｆ（ｘ）在點ｘ＝處左連續．２π又因為ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｓｉｎｘ＝１＝ｆ，π＋π＋ｘ→ｘ→（）２２２π得ｆ（ｘ）在點ｘ＝處右連續．２０２１ππ經所以ｆ（ｘ）在點ｘ＝處既左連續，又右連續，因此，ｆ（ｘ）在點ｘ＝處連續．濟２２數３．函數ｙ＝ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上的連續性學︵定義１．２２如果函數＝（ｘ）在開區間（ａ，ｂ）內的每一點都連續，則稱函數＝（ｘ）上ｙｆｙｆ冊是（ａ，ｂ）內的連續函數．如果函數ｙ＝ｆ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上有定義，在開區間（ａ，ｂ）內連續，︶且在左端點ａ處右連續，即ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ａ），在右端點ｂ處左連續，即ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｂ），則稱ｘ→ａ＋ｘ→ｂ－函數ｙ＝ｆ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上連續，或者說ｙ＝ｆ（ｘ）是閉區間［ａ，ｂ］上的連續函數．連續函數的圖形是一條連續不間斷的曲線．：基本初等函數在其定義區間內都連續由基本初等函數的定義及圖形可得．定義區間是包含於定義域的一個區間．二、初等函數的連續性及性質１．初等函數的連續性根據函數在一點連續的定義及函數極限的運算法則，可以證明連續函數的和、差、積、商仍然是連續函數．（），（），（）（），（）·（），定理１．９若函數ｆｘｇｘ在點ｘ０處連續則函數ｆｘ±ｇｘｆｘｇｘｆ（ｘ）（ｇ（ｘ０）≠０）在點ｘ０處也連續．ｇ（ｘ）證明因為ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在點ｘ０處連續，即ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），ｌｉｍｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ０）．ｘｘｘｘ→０→０由極限的運算法則，得到ｌｉｍ［］ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｆ（ｘ）±ｌｉｍｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）±ｇ（ｘ０）．ｘｘｘｘｘｘ→０→０→０因此，函數ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）在點ｘ０處連續．類似可證明後兩個結論．注意和、差、積的情況可以推廣到有限多個函數的情形．小連續是通過極限來定義的，所以四則運算保持函數的連續性這一性質，實際上就貼士是極限的四則運算性質推出來的．我們再看複合函數的連續性，有如下定理：定理１．１０（複合函數的連續性）設有複合函數ｙ＝ｆ［（ｘ）］，若（ｘ）在點ｘ０處連續，φφ設φ（ｘ０）＝ｕ０，且函數ｆ（ｕ）在ｕ＝ｕ０連續，則複合函數ｙ＝ｆ［φ（ｘ）］在ｘ＝ｘ０處也連續．推論（），（），１．３若ｌｉｍφｘ＝ｕ０函數ｙ＝ｆｕ在點ｕ０處連續則複合函數的極限運算與函數運算可以交換次序，即ｌｉｍｆ［］（ｘ）＝ｆ［］ｌｉｍ（ｘ）．φφ根據以上討論，基本初等函數在定義區間內是連續的，四則運算保持函數的連續性，複０２２合也會保持函數的連續性，所以可以有如下定理．第定理一１．１１初等函數在其定義區間內是連續的．章函這個定理為我們提供了計算初等函數極限的一種方法：如果函數ｙ＝ｆ（ｘ）是初數的等函數，而且點ｘ０是其定義區間內的一點，那麼一定有ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）．在我們所極ｘ→ｘ０限及小，，學的範圍內除了分段函數剩下的都是初等函數所以隻要把極限點ｘ０代入極限表其貼應達式ｆ（ｘ）後能計算出函數值ｆ（ｘ０），則極限ｌｉｍｆ（ｘ）就等於函數值ｆ（ｘ０）．所以極限用士ｘｘ→０計算一開始應該將極限點ｘ０代入極限表達式ｆ（ｘ），能計算函數值就已經算出極限了，若不能計算出函數值，也可以判斷屬於什麼類型的極限．例１．４．５計算ｌｉｍａｒｃｓｉｎ（ｌｎｘ）．ｘ→ｅ－解因為ａｒｃｓｉｎ（ｌｎｘ）是初等函數，且ｘ＝ｅ是它的定義區間的右端點，由定理１．１０，有ｌｉｍａｒｃｓｉｎ（ｌｎｘ）＝ａｒｃｓｉｎｌｉｍ（）ｌｎｘｘ→ｅ－ｘ→ｅ－π＝ａｒｃｓｉｎｌｎｅ＝ａｒｃｓｉｎ１＝．（）２槡１＋ｘ２－１例１．４．６計算ｌｉｍ．ｘ→０ｘ解所給函數是初等函數，但它在ｘ＝０處無定義，故不能直接應用定理１．１１．易判斷０這是一個“”型的極限問題．經過分子有理化，可得到一個在ｘ＝０處的連續函數，再計算０極限，即槡１＋ｘ２－１（）槡１＋ｘ２－１（）槡１＋ｘ２＋１ｘｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝０．ｘ→０ｘｘ→０ｘ（）槡１＋ｘ２＋１ｘ→０槡１＋ｘ２＋１２．閉區間上連續函數的性質，，定義在閉區間上的連續函數有幾個主要性質十分有用下麵隻給出結論而不予證明．定理１．１２（有界性與最大值與最小值定理）若函數（），，（），ｆｘ在閉區間［］ａｂ上連續則函數ｆｘ在閉區間［］ａｂ上有界且一定能取得它的最大值和最小值．定理的結論從幾何直觀上看是明顯的（如圖１１２），閉區間上的連續函數的圖像是包括兩端點的一條不間斷的曲線，該曲線上最高點Ｐ和最低點Ｑ的縱坐標分別是函數的最大值Ｍ和最小值ｍ，函數在該區間上是有界的．定理１．１３（根的存在定理）如果函數ｆ（ｘ）在閉區間圖［ａ，ｂ］上連續，且ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，則方程ｆ（ｘ）＝０在（ａ，ｂ）１１２內至少存在一個實根ξ，即在區間（ａ，ｂ）內至少有一點ξ，使（）＝０．ｆξ０２３這個定理的幾何意義更明顯，如圖１１３所示，由條件經濟ｆ（ａ）·ｆ（ｂ）＜０，說明閉區間［ａ，ｂ］上連續曲線的兩個端點數學（）ａ，ｆ（ａ）和（）ｂ，ｆ（ｂ）分布在ｘ軸的上下兩側，連續曲線上點的︵上縱坐標從正值變到負值，或從負值變到正值都必然要經過０，即冊曲線必然要和ｘ軸相交．設交點橫坐標為，則有ｆ（）＝０．︶ξξ例１．４．７證明方程ｘ４－４ｘ＋２＝０在區間（）１，２內至少有一個實根．圖１１３證明設ｆ（ｘ）＝ｘ４－４ｘ＋２，因為它在閉區間１，２上連［］續且ｆ（１）＝－１＜０，ｆ（２）＝１０＞０，由根的存在定理可知，至少存在一點ξ∈（）１，２，使得（）這表明所給方程在，內至少有一個實根ｆξ＝０．（）１２．三、極限在經濟分析中的應用回到本章開始的連續複利的案例，ｎ年末（一年計息ｔ期）的本利和為Ａｔ＝ｒｎｔＰ１＋，假設計息間隔無限縮短，即當ｔ→∞時，可以得到連續複利的計算公式為（）ｔｎｔｔｎｒｒｒｒＡ＝ｌｉｍＰ１＋＝Ｐｌｉｍ１＋＝Ｐｅｎｒ．（１１）ｔ→∞ｔｔ→∞ｔ（）［］（）例某醫院年月日從美國進口一台彩色超聲波診斷儀，貸款萬美元，１．４．８２０００５２０２０以複利計息，年利率４％，２００９年５月２０日到期一次還本付息，試確定貸款到期時的還款總額．（１）若一年計息２期；）（２若按連續複利計息．解（１）Ａ０＝２０，ｒ＝０．０４，ｎ＝２，ｔ＝９，２００９年５月２０日到期一次還本付息的還款總額為０．０４２×９Ａ９＝２０１＋≈２０×１．４２８２４６＝２８．５６４９（萬美元）．（）２（２）Ａ０＝２０，ｒ＝０．０４，ｔ＝９．由連續複利公式，２００９年５月２０日到期一次還本付息的還款總額為０．０４×９Ａ９＝２０ｅ≈２０×１．４３３３２９＝２８．６６６５８（萬美元）．已知現在值Ａ０，確定未來值Ａｔ，這是複利問題．與之相反的問題則是已知未來值Ａｔ，求現在值Ａ０，這種情況稱為貼現問題，這時，利率ｒ稱為貼現率．由複利公式易推得，若以一年為一期貼現，貼現公式為－ｔＡ０＝Ａｔ（）１＋ｒ．（１２）若一年分ｎ期貼現，由複利公式可得，貼現公式為ｒ－ｎｔＡ０＝Ａｔ１＋．（１３）ｎ（）０２４以上兩個公式是按離散情況計算的貼現公式．由連續複利公式可得，連續貼現公式為第一－ｒｔＡ０＝Ａｔｅ．（１４）章函例１．４．９設年利率為６％，現投資多少元，１０年末可得１２００００元？數（）按離散情況計息，每年計息期；的１４極（２）按連續複利計算．限及解（１）用公式（１３），其中Ａｔ＝１２００００，ｎ＝４，ｒ＝０．０６，ｔ＝１０．於是其應用０．０６－４×１０１２００００１２００００Ａ０＝１２００００１＋＝≈≈６６１５１．４（元）；（）４（）１＋０．０１５４×１０１．８１４０２（２）用公式（１４），其中Ａｔ＝１２００００，ｒ＝０．０６，ｔ＝１０．於是－０．０６×１０１２００００１２００００Ａ０＝１２００００ｅ＝≈≈６５８５７．４（元）．ｅ０．０６×１０１．８２２１２習題１．４１．判斷下列說法是否正確？（１）若函數ｆ（ｘ）在ｘ０處有定義，且ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，則ｆ（ｘ）在ｘ０處連續；ｘｘ→０（２）若函數ｆ（ｘ）在ｘ０處連續，則ｌｉｍｆ（ｘ）必存在；ｘｘ→０（３）初等函數在其定義域內一定連續．ｅｘｘ＜０２．設函數ｆ（ｘ）＝在（－∞，＋∞）內連續，求ａ的值．｛ｘ＋ａｘ≥０３．求下列各題的極限：槡ｘ＋４－２（１）ｌｉｍ；（２）ｌｉｍｘ［ｌｎ（ｘ＋ａ）－ｌｎｘ］；ｘ→０ｓｉｎｘｘ→＋∞２ｘ－２（）２；（）３ｌｉｍ（）槡ｘ＋２ｘ－ｘ４ｌｉｍｃｏｓｌｎ１＋２．ｘ→＋∞ｘ→∞［］（）ｘ３４．設函數ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ，證明至少存在一點∈π，π，使得ｆ（）＝０．ξ（）２ξ５．美國波士頓的富蘭克林理工學院是１８８４年根據富蘭克林的遺囑而設立的高等學府．富蘭克林希望死後也能幫助那些青年市民學有所長，為波士頓貢獻心力，於是捐給該市１０００英鎊作為辦學基金．這裏不考慮這筆基金的運作過程，如果年利率為４．５％，采取連續複利計息，到了學院成立１００年紀念日時，求本利和約為原來的多少倍？第五節數學思想方法（一）———極限思想微積分是研究客觀世界運動現象的一門學科，我們引入極限概念對客觀世界運動過程加以描述，用極限方法建立其數量關係並研究其運動結果．極限理論是微積分學的基礎理論，貫穿整個微積分學．要學好微積分，必須認識和理解極限理論，而把握極限理論的前提，０２５首先要認識極限思想．極限思想作為一種重要的數學思想，在整個數學發展史上占有重要地經濟位，是研究數學、應用數學、推動數學發展必不可少的有力工具．數學︵一、極限的思想方法上冊︶（一）極限的思想方法極限思想是近代數學的一種重要思想，指的是用極限概念和性質來分析與處理數學問題的思想方法極限概念起源於微積分，與此同時，微積分理論就是以極限理論為工具來研．究函數（包括級數）的一門學科分支．事實上，微積分理論的一係列重要概念，如函數的連續、、、性導數積分級數求和等都是通過極限來定義的．微積分理論是牛頓（Ｉ．Ｎｅｗｔｏｎ）和萊布尼茨（Ｎ．Ｌｅｉｂｎｉｚ）於１８世紀分別創立的．初期，他們以無窮小（量）的概念為基礎來建立微積分，不久後遇到邏輯上的困難，所以後來他們都接受了極限思想，即以極限概念作為考慮問題的出發點．但是，當時他們隻采用直觀的語言來描述極限．例如，他們是這樣描述數列｛｝ｕｎ的極限的：如果當ｎ無限大時，ｕｎ無限地接近常數Ａ，就稱ｕｎ以Ａ為極限（定義１．９）．這種關於數列極限的直觀描述中，涉及極限的一個本質問題，這就是“ｕｎ無限接近於常數Ａ”的真正含義是什麼？弄清這點是掌握數列極限概，“”“，念的關鍵．通俗地講ｕｎ無限接近於常數Ａ的意思是ｕｎ可以任意地靠近Ａ希望有多近就能有多近，隻要ｎ充分大，就能達到我們希望的那樣近”．換句話說，就是指“ｕｎ和Ａ的距離可以任意地小，希望有多小就能有多小，隻要ｎ充分大時，就能達到我們希望的那樣小”．下麵我們來看一個具體的例子，進而引出極限的精確定義．ｎ－１ｎ＋（－１）我們在前麵討論過數列（記為ｕｎ）：｛｝ｎ｛｝１４ｎ＋（－１）ｎ－１２，，，…，，…．（１５）２３ｎ當ｎ趨於無窮時極限為１：ｎ＋（－１）ｎ－１→１，當ｎ→∞時．（１６）ｎ讓我們確切地說明這是什麼意思．直觀地我們知道，當順著數列越走越遠，盡管沒有一項真正等於１，但數列的項與１的距離會變得越來越小．如果我們在數列式（１５）中走得足夠遠，就能保證數列的項和１的距離小到我們所願意的程度．這種敘述的意思還是不十分清楚，多麼遠才是“足夠遠”，多麼小才是“小到我們所願意的程度”？下麵我們進行具體分析．我們知道，在數學上兩個數ａ與ｂ之間的接近程度可以用這兩個數之差的絕對值｜ｂ－ａ｜來度量（在數軸上｜ｂ－ａ｜表示點ａ與點ｂ之間的距離），｜ｂ－ａ｜越小，ａ與ｂ就越接近．就數列式（１５）來說，因為ｎ－１１１｜ｕｎ－１｜＝｜（－１）｜＝，ｎｎ１由此可見，當ｎ越來越大，距離越來越小，從而ｕｎ就越來越接近於１．因為隻要ｎ足夠大，ｎ０２６１１１第距離｜ｕｎ－１｜即就可以小於任意給定的正數．例如，給定很小的正數，欲使距離＜ｎ１００ｎ一章１，隻要ｎ＞１００，即從第１０１項起，都能使不等式１００函數的１極｜ｕｎ－１｜＜１００限及其１１１成立；同樣地，如果給定正數，欲使＜，隻要ｎ＞１００００，即從第１０００１項起，應１００００ｎ１００００用都能使不等式１｜ｕｎ－１｜＜１００００成立．再任意給定一個更小的正數，上麵所有的討論過程都能夠滿足．幾何解釋會有助於使極限過程更清楚些．如果用數軸上的點表示數列式（１５）的項，我們看到數列的項聚集在點１周圍．在數軸上任意選擇一個以點１為中心，整個寬度為２ε的區間Ｉ（在點１的每一邊，區間的寬度都為ε）．如果選擇ε＝１０，那麼，當然數列所有的項ｕｎ＝ｎ＋（－１）ｎ－１都在區間Ｉ內部．如果選擇ε＝１／１００，那麼數列剛開始的一些項在區間Ｉ外部，ｎ而從ａ１０１起的所有項１０２，１０１，１０４，１０３，…，１０１１０２１０３１０４將落在區間Ｉ的內部．再者，我們選擇ε＝１／１００００，最多也隻是數列的前１００００項不在區間Ｉ內部，而從ａ１０００１起，數列式（１５）後麵的所有項ａ１０００１，ａ１０００２，ａ１０００３，…都落在的內部顯然，對任意的正數，這個推理都成立：隻要選定了一個正的，不管它多Ｉ．εε１麼小，我們都能夠找到一個整數Ｎ，使得＜ε．從而數列中所有使ｎ＞Ｎ的項ｕｎ都在Ｉ內Ｎ，，，…，：，部而最多隻能有有限項ａ１ａ２ａＮ在區間Ｉ外部．注意首先隨意選擇ε決定區間Ｉ的寬度，然後找到一個適當的整數Ｎ．選定一個數ε，然後找出一個適當的Ｎ的這個過程，對於不管多麼小的正數ε都是可行的，這就給出了以下命題的確切意義：隻要在數列式（１５）中走得足夠遠，那麼數列式（１５）的項與１的距離就能小到我們所願意的程度．總結一下：設ε是任意一個正數，那麼我們能找到一個正數Ｎ，使得數列式（１５）中ｎ＞Ｎ的所有項ａｎ都落在以點１為中心，寬度為２ε的區間內．這是極限關係式（１６）的精確意義．在這個例子的基礎上，現在我們給出“一般數列｛｝ｕｎ以Ａ為極限”的說法的精確定義．我們讓Ａ含在數軸上一個開區間Ｉ的內部，如果開區間很小，那麼某些數ｕｎ可能在區間外部，但是隻要ｎ變得足夠大，也就是大於某個正數Ｎ時，那麼所有ｎ＞Ｎ的那些數ｕｎ都必須在開區間Ｉ內．當然，如果開區間Ｉ選得很小，正數Ｎ可能必須取得很大，但隻要數列是以Ａ為它的極限，那麼不管開區間Ｉ是多麼小，這樣的一個正數Ｎ必然存在．０２７數列ｕｎ收斂於Ａ的定義闡述如下：如果對於不管多麼小的任意正數，總可以找到一經｛｝ε濟個正數Ｎ（依賴於ε），使得對於所有的ｎ＞Ｎ，有數學｜ｕｎ－Ａ｜＜ε，︵上冊那麼我們就說當ｎ趨於無窮大時數列｛｝ｕｎ以Ａ為極限．︶這個定義可以看作兩個人Ａ和Ｂ之間的一個競賽．Ａ提出的要求是ｕｎ趨近於常量，（）；Ａ其精確程度應比選取的界限ε＝ε１高即滿足｜ｕｎ－Ａ｜＜ε１Ｂ對這個要求的答複是指出存在一個確定的整數Ｎ＝Ｎ１，使ｕＮ以後的所有項ｕｎ滿足ε１精度的要求．然後Ａ可以１提得更精確，提出一個新的更小的界限ε＝ε２．Ｂ通過找出一個（可能更大的）正數Ｎ＝Ｎ２，再次答複這個要求．如果不管Ａ提出的界限多麼小，Ｂ都能滿足Ａ的要求，那麼我們就用ｕｎ→Ａ表示這情況．極限的精確定義是到世紀年代，經過許多數學家長期努力，才形成現在的１９７０ε－Ｎ（數列極限的精確定義）和ε－δ（函數極限的精確定義，感興趣的讀者可參閱其他書籍）的定，、“”（義方法．通過ε－Ｎ之間的關係定量地具體地刻畫出了兩個無限過程ｎ無限增大和ｕｎ無限接近常數Ａ）之間的聯係．極限思想作為反映客觀事物在運動、變化過程中由量變轉化為質變時的數量關係或空間形式，是以一種發展的思想來看待和處理問題的方式，可以讓我們的思想完成從有限上升到無限的升華，是思考方式的一個質的飛躍，對我們解決實際問題具有非常重要的指導意義．當我們麵對實際問題的時候，如果不容易處理，或者不容易看到解決問題的路徑時，則可以借鑒數學的極限思想，采取改變研究問題的研究條件，改變研究條件的趨近方式，即從原來關注一個點，變換到一個區間上去考慮研究對象的結果（即構造函數），再回到起始位置來觀察問題的結果（即求極限）．通過這樣的以動態的、發展的思想來研究和處理問題，往往能夠較快地發現和找到解決問題的辦法，從而使實際問題得以解決．（二）極限的哲學思想過程與結果的對立統一１．在極限思想中充分體現了結果與過程的對立統一．比如，當ｎ趨於無窮大時，數列：，，…，，…，，｛｝ｕｎｕ１ｕ２ｕｎ的極限為Ａ．此時數列｛｝ｕｎ是變量ｕｎ的變化過程Ａ是｛｝ｕｎ的變化結果．一方麵，數列｛｝ｕｎ中任何一個ｕｎ，無論ｎ再大都不是Ａ，體現了過程與結果的對立性；另一方麵，隨著過程的進行（即ｎ無限地增大），ｕｎ越來越靠近Ａ，經過飛躍又可轉化為Ａ，體現了過程與結果的統一性，所以Ａ的求出是過程與結果的對立統一．２．有限與無限的對立統一有限與無限常常表現為不可調和性，例如把有限情形的法則原封不動地擴展到無限的情形常常會發生矛盾．但這並不意味著在極限的觀念裏有限與無限是格格不入的，相反，它們卻存在著既對立又統一的關係．例如，在極限式ｌｉｍｕｎ＝Ａ中數列的每一項ｕｎ和極限結果ｎ→∞Ａ都是一有限量，但極限過程（ｎ→∞）卻是無限的．從左向右看，隨著ｎ的無限增大，給定數列｛｝ｕｎ的對應值向Ａ做無限逼近運動，這說明這個無限運動的變化過程隻能通過有限的量來刻畫．從右向左看，該極限式是在有限中包含著無限．０２８３．變量與常量的對立統一第一動與靜、變與不變永遠是相對的．在極限式ｌｉｍｕｎ＝Ａ中，Ａ是一個與ｎ無關的不變量，ｎ→∞章ｕｎ則是一個隨著ｎ的增大，其對應值不斷發生變化的變量．無論ｎ增大到怎樣的數值，ｕｎ函數都不可能變為常量Ａ，這說明變量ｕｎ與常量Ａ存在著一種變與不變的質的對立關係．同樣的極地，它們之間也體現了一種互相聯係互相依賴的關係．隨著ｎ的不斷增大，變量ｕｎ趨向於限及Ａ的程度也相應地不斷增大，最終當ｎ→∞時，ｕｎ產生了質的飛躍，轉化為了常量Ａ，體現了其應變與不變的質的統一關係．用４．近似於精確的對立統一在極限式ｌｉｍｕｎ＝Ａ中，對於每一個具體的ｎ，式子的左邊總是右邊的一個近似值，並且ｎ→∞ｎ越大，精確度越高．當ｎ趨於無窮時，近似值ｕｎ轉化為精確值Ａ．雖然近似與精確是兩個性質不同、完全對立的概念，但是通過極限法，建立兩者之間的聯係，在一定條件下可以相互轉化．因此，近似與精確既是對立又是統一的．５．量變與質變的對立統一任何事物都是質和量的對立統一．同樣，在極限思想中也體現了這種辯證觀．在極限式ｎ＋（－１）ｎ－１ｎ＋（－１）ｎ－１ｌｉｍ＝１中，隨著ｎ的增大，數列的項也在發生變化，但是不管ｎ多ｎ→∞ｎｎｎ＋（－１）ｎ－１大，與１仍存在著一定的差異，但是這一差異的絕對值隨著ｎ的增大而減小．當ｎｎ＋（－１）ｎ－１ｎ→∞時，這一差異消失，相應地，數列的項也發生了質的飛躍而成為１．ｎ通過對極限思想的辯證剖析，不難看到，極限是一種運動的、變化的、相互聯係的、以量變引起質變的重要的數學思想方法．二、極限思想的應用１．劉徽的割圓術我國古代數學家劉徽（公元３世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓麵積的方法———割圓術，就是極限思想在幾何學上的應用．設有一圓，首先作內接正六邊形，把它的麵積記為Ａ１；再作內接正十二邊形，其麵積記為；再作內接正二十四邊形，其麵積記為；循環下去，每次邊數加倍，一般地把內接正Ａ２Ａ３ｎ－１６×２邊形的麵積記為Ａｎ（ｎ∈Ｎ＋）．這樣，就得到一係列內接正多邊形的麵積：Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ，…，它們構成一個數列．當ｎ越大，內接正多邊形與圓的差別就越小，從而以Ａｎ作為圓麵積的近似值也越精確．但是無論ｎ取得如何大，隻要ｎ取定了，Ａｎ終究是多邊形的麵積，而還不是圓的麵積．因此，設想ｎ無限增大，即內接正多邊形的邊數無限增加，在這個過程中，內接正多邊形無限接近於圓，同時Ａｎ也無限接近於某一確定的數值，這個確定的數值就理解為圓的麵積．也就是說圓的麵積是數列Ａ１，Ａ２，Ａ３，…，Ａｎ，…當ｎ→∞時的極限．２．曲線圍成的曲邊梯形的麵積考察由曲線＝ｘ２，ｘ軸和直線ｘ＝１圍成的圖形的麵積．該圖形如圖１１４所示，下麵ｙ０２９我們根據極限的思想來求它的麵積．經濟設想用垂直於ｘ軸的直線將曲邊梯形分割成ｎ個底邊數１學長為的窄曲邊梯形，把每個窄曲邊梯形以它的左直邊為︵ｎ上１冊高、底為的矩形近似代替（如圖１１４），這ｎ個窄矩形麵︶ｎ積的和是曲邊梯形的近似值，分割越細，此和越接近曲邊梯（形的麵積．當ｎ無限增大時每個窄曲邊梯形的底邊長都趨於零），ｎ個窄矩形的麵積的和就無限逼近曲邊梯形麵積的，圖１１４精確值．具體地說有以下的解法．把ｘ軸上的閉區間［０，１］分成ｎ等分，得分點１２ｎ－１ｘ０＝０，ｘ１＝，ｘ２＝，…，ｘｎ－１＝，ｘｎ＝１．ｎｎｎ過各分點作ｘ軸的垂線，把曲邊梯形分割成ｎ個窄曲邊梯形．對每個窄曲邊梯形，用它的底邊為底，它的左直邊為高的矩形來近似，把這些窄矩形的麵積加起來，得到原曲邊梯形的麵積的近似值２２２１１２ｎ－１１２２２Ａｎ＝＋＋…＋＝３［１＋２＋…＋（ｎ－１）］ｎ［］（）ｎ（）ｎ（）ｎｎ（ｎ－１）·ｎ·（２ｎ－１）１１１＝＝－＋．６ｎ３３２ｎ６ｎ２１１當ｎ無限增大時，Ａｎ無限逼近，可見所求的曲邊梯形的麵積應等於．３３以上解決曲邊梯形麵積的方法，是通過分割，把曲邊梯形分成ｎ個窄曲邊梯形，每個窄曲邊梯形用它的左直邊為高，同底的矩形近似代替，最後考察ｎ無限增大（每個窄曲邊梯形的底邊長都趨於零）時，ｎ個窄矩形麵積的和，無限逼近的數值即是所求的曲邊梯形的麵積．３．Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ數列與兔群增長率設一對剛出生的小兔要經過兩個季度，即經過成長期後達到成熟期，才能再產小兔，且每對成熟的兔子每季度產一對小兔．在不考慮兔子死亡的前提下，求兔群逐年增長率的變化趨勢．分析：設開始隻有１對剛出生的小兔，則在第一季與第二季，兔群隻有１對兔子．在第三季，由於這對小兔成熟並產下對小兔，兔群有對兔子在第四季，對大兔又產下對小１２．１１兔，而原來１對小兔處於成長期，所以兔群有３對兔子．在第五季，又有１對小兔成熟，並與，，原來的１對大兔各產下１對兔子而原來１對小兔處於成長期所以兔群有５對兔子．以此類推，各季兔群情況可見下表：季度小兔對數成長期兔對數成熟期兔對數兔對總數１１００１２０１０１０３０續表第一季度小兔對數成長期兔對數成熟期兔對數兔對總數章３１０１２函數４１１１３的極５２１２５限及６３２３８其應７５３５１３用設ａｎ是第ｎ季度兔對總數，則ａ１＝１，ａ２＝１，ａ３＝２，ａ４＝３，ａ５＝５，…數列｛｝ａｎ稱為Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ數列．：，，注意這樣的事實到第ｎ＋１季度能產小兔的兔對數為ａｎ－１而第ｎ＋１季度兔對的總數應等於第ｎ季度兔對的總數ａｎ加上新產下的小兔對數ａｎ－１，於是我們知道｛｝ａｎ具有：性質，，，，…ａｎ＋１＝ａｎ＋ａｎ－１ｎ＝２３４ａｎ＋１令ｂｎ＝，則ｂｎ－１表示了兔群在第ｎ＋１季度的增長率．顯然有ｂｎ＞０，且ａｎａｎ＋１ａｎ＋ａｎ－１ａｎ－１１ｂｎ＝＝＝１＋＝１＋．ａｎａｎａｎｂｎ－１槡５＋１槡５＋１槡５＋１槡５＋１容易發現，當ｂｎ＞時，ｂｎ＋１＜；而當ｂｎ＜時，ｂｎ＋１＞．由此可知｛｝ｂｎ並２２２２不是單調數列．，進一步探討可以發現有槡５＋１槡５＋１ｂ２ｋ－１∈０，，ｂ２ｋ∈，＋∞，ｋ＝１，２，３，…（）２（）２以及槡５＋１槡５＋１－ｂ２ｋ＋ｂ２ｋ１（）２（）２ｂ２ｋ＋２－ｂ２ｋ＝１＋－ｂ２ｋ＝＜０１１＋ｂ２ｋ１＋ｂ２ｋ和槡５＋１槡５＋１－ｂ２ｋ－１＋ｂ２ｋ－１１（）２（）２ｂ２ｋ＋１－ｂ２ｋ－１＝１＋－ｂ２ｋ－１＝＞０．１１＋ｂ２ｋ－１１＋ｂ２ｋ－１於是ｂ２ｋ是單調減少的有下界的數列，而ｂ２ｋ＋１是單調增加的有上界的數列，因而都是收｛｝｛｝０３１槡５＋１槡５＋１經斂數列．記它們的極限分別為ａ與ｂ，顯然有≤ａ＜＋∞，０＜ｂ≤．濟２２數１＋２ｂ２ｋ１＋２ａ學由ｌｉｍｂ２ｋ＋２＝ｌｉｍ得到：ａ＝．︵ｋ→∞ｋ→∞１＋ｂ２ｋ１＋ａ上冊１＋２ｂ２ｋ－１１＋２ｂ由ｌｉｍｂ２ｋ＋１＝ｌｉｍ得到：ｂ＝．︶ｋ→∞ｋ→∞１＋ｂ２ｋ－１１＋ｂ１±５槡這兩個方程有相同的解ａ＝ｂ＝（負值舍去），於是我們得出結論：在不考慮兔子死亡的２１＋５槡前提下，經過較長一段時間，兔群逐季增長率趨於－１≈０．６１８．２複習題一一、填空題ｘ－１１．函數ｙ＝ｌｎ（５－ｘ）＋ａｒｃｓｉｎ的定義域為．６函數函數（）（２）的奇偶性是２．ｆｘ＝ｌｎｘ＋槡ｘ＋１．３．複合函數ｙ＝槡ｌｎ（ｘ＋１）是由複合而成的．槡ｘ＋１－１４．ｌｉｍ＝．ｘ→０ｘ５．函數ｙ＝ｌｎｘ，當ｘ→是無窮小量，ｘ→是無窮大量．ｘ２１６．ｌｉｍ１＋＝；ｌｉｍ（１－３ｘ）ｘ＝．ｘ→∞ｘｘ→０（）ｓｉｎｍｘ７．ｌｉｍ（ｎ，ｍ∈Ｚ，ｎ≠０）＝．ｘ→πｓｉｎｎｘｘ２＋１８．已知ｌｉｍ－ａｘ＋ｂ＝３，常數ａ＝，ｂ＝．ｘ→∞（）ｘ＋１二、單項選擇題（）１．下列函數中既是奇函數又是單調增加函數的是．Ａ．ｓｉｎ３ｘＢ．ｘ３＋１Ｃ．ｘ３＋ｘＤ．ｘ３－１（）（，），（）２．設函數ｆｘ在－∞＋∞內有定義下列函數中必為奇函數的是．Ａ．ｙ＝－｜ｆ（ｘ）｜Ｂ．ｙ＝ｘ３ｆ（ｘ４）（）（）（）Ｃ．ｙ＝－ｆ－ｘＤ．ｙ＝ｆｘ＋ｆ－ｘ３．當ｘ→０時，下列函數中為ｘ的高階無窮小的是（）．Ａ．１－ｃｏｓｘＢ．ｘ＋ｘ２Ｃ．ｓｉｎｘＤ．槡ｘｓｉｎｘ４．極限ｌｉｍ＝（）．ｘ→∞ｘＡ．∞Ｂ．１Ｃ．０Ｄ．不存在１－槡１＋２ｘ烄ｘ≠０５．函數ｆ（）ｘ＝烅ｘ在ｘ＝０處連續，則ｋ＝（）．ｋｘ＝０烆０３２Ａ．－２Ｂ．－１Ｃ．１Ｄ．２第ｘ＋ｓｉｎｘ一６．ｌｉｍ＝（）．章ｘ→０ｘ函Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．∞數的三、計算下列極限極ｘ２－ｓｉｎｘ限１．ｌｉｍ（）槡ｎ２＋ｎ－ｎ．２．ｌｉｍ．及ｎ→∞ｘ→０ｘ＋ｓｉｎｘ其應ｓｉｎ３ｘｘ－１ｘ３．ｌｉｍ．４．ｌｉｍ．用ｘ→０ｌｎ（１＋５ｘ）ｘ→∞（）ｘ＋１ｌｎ（ａ＋ｘ）－ｌｎａｅｘ－ｅａ５．ｌｉｍ（ａ＞０）．６．ｌｉｍ．ｘ→０ｘｘ→ａｘ－ａ１２…ｎ（２）１７．ｌｉｍ２＋２＋＋２．８．ｌｉｍｘ－１ｃｏｓ．ｎ→∞（）ｎｎｎｘ→１ｘ－１２ｘｔａｎｘ·（１－ｃｏｓｘ）９．ｌｉｍ２－．１０．ｌｉｍ２．ｘ→１（）１－ｘ１－ｘｘ→０ｓｉｎ（ｘ）·ｌｎ（１－ｘ）四、綜合題ｓｉｎｋｘ－１１．已知極限ｌｉｍ＝ｌｉｍ（）１＋４ｘｘ，求常數ｋ．ｘ→０ｘｘ→０１烄ｘｓｉｎｘ≠０ｘ２．判斷函數ｆ（）ｘ＝烅在點ｘ＝０處的連續性．烆０ｘ＝０ｘ３．證明方程ｘ·３＝２至少有一個小於１的正根．４．假定你打算在銀行存入一筆資金，你需要這筆投資１０年後價值為１２０００元．如果銀行以年利率９％且每年支付複利四次的方式付息，你應該投資多少元？０３３經濟數學︵上冊第二章一元函數微分學及其應用︶學習目標●理解導數的概念及其幾何意義．●掌握導數的四則運算法則和基本初等函數的求導公式．●掌握複合函數、隱函數的導數的求法．●了解高階導數的概念，掌握顯函數二階導數的計算方法．●了解微分的概念，掌握微分計算方法．●掌握導數的幾何應用，會求最值應用題．●掌握導數在經濟分析中的應用．本章主要介紹的是在理論和實踐中都極為重要的數學概念———導數，導數同上一章的極限、連續有著密切的聯係，是高等數學基本的也是核心的內容通過對導數、微分及其應．用的學習，能使我們初步領悟變化率問題和微分思想，為以後解決相關的實際問題打下基礎．先看兩個案例．【邊際分析法案例】邊際分析方法在西方經濟學中是最基本的分析方法之一，是一個比較科學的分析方法．邊際分析方法可追溯到馬爾薩斯，他在１８１４年曾指出微分法對經濟分析所可能具有的用途．１８２４年，湯普遜首次將微分法運用於經濟分析，研究政府的商品和勞務采購獲得最大利益的條件．現代經濟學中的邊際分析是初級經濟學中常用的分析方法，常涉及邊際成本、邊際收益等基本經濟學概念．邊際成本是指產量增加一個單位時所增加的成本，假設某企業生產ｘ個單位某種產品的成本函數為ｃ＝ｃ（ｘ），其中ｃ為成本，我們來計算產量為ｘ０時邊際成本是多少．我們可以再多生產Δｘ個單位產品，那麼會增加成本Δｃ＝ｃ（ｘ０＋Δｘ）－ｃ（ｘ０），其間平均成本為ｃ＝Δｃ．當產品增量Δｘ趨於零時，平均成本就會逼近產量為ｘ０時的邊際成本，即邊際成本ΔｘΔｃｃ（ｘ０＋Δｘ）－ｃ（ｘ０）ｍｃ（ｘ０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ．Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ【曲線切線的斜率案例】設連續函數ｙ＝ｆ（ｘ）的圖形是曲線Ｃ．在曲線Ｃ上有定點Ｍ０和另外一點Ｍ，連接Ｍ０與Ｍ得曲線Ｃ的割線Ｍ０Ｍ，當動點Ｍ沿曲線Ｃ趨近於點Ｍ０時，若割線Ｍ０Ｍ存在極限位置Ｍ０Ｔ，則稱此直線Ｍ０Ｔ為曲線Ｃ在點Ｍ０處的切線．下麵求曲線Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）在Ｍ０點處的切線的斜率（如圖２１）．０３４設Ｍ０（ｘ０，ｙ０），Ｍ（ｘ０＋Δｘ，ｙ０＋Δｙ），則割線Ｍ０Ｍ的斜第二率為：章Δｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）一ｔａｎ＝ｙ＝．βｘｘ元ΔΔ函數當Δｘ→０時，動點Ｍ沿曲線Ｃ無限趨近於點Ｍ０，而割微分線Ｍ０Ｍ也隨之繞著定點Ｍ０轉動，且無限趨近於切線Ｍ０Ｔ，學圖及因此，曲線Ｃ在點Ｍ０處的切線的斜率ｋ為２１其應Δｙｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）用ｋ＝ｔａｎα＝ｌｉｍｔａｎβ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ．β→αΔｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ，———拋開以上問題的具體背景抓住它們在數學上的共性求增量比值的極限這個瞬時變化率問題，就得到函數導數的概念．第一節導數的概念一、導數的概念１．導數的定義定義２．１設函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０的鄰域Ｕ（ｘ０，δ）內有定義，當自變量在點處取得增量，且在的鄰ｘｘ０Δｘｘ０＋Δｘｘ０域內時，相應的函數值增量為Δｙ＝ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）．如果掃一掃可見微課Δｙ“導數的定義”當Δｘ→０時，的極限ΔｘΔｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）ｌｉｍｙ＝ｌｉｍΔｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ存在，則稱函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０可導，並稱此極限值為ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０的導數，記作ｄｙｄｆ（ｘ）ｙ′，ｆ′（ｘ０），或，ｘ＝ｘ０ｄｘｘ＝ｘ０ｄｘｘ＝ｘ０ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）即ｙ′＝ｌｉｍ．ｘ＝ｘ０Δｘ→０Δｘ若上述極限不存在，則稱函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０不可導．抽象性是數學的一個典型特征．我們運用抽象數字，卻並不打算把它們每次都和具體的對象聯係起來．我們在學校學習抽象的乘法表總是數字的乘法表，而不是男孩的數目乘上蘋果的數目，或者蘋果的數目乘上蘋果的價錢等等．再如幾何中我們用抽象的直線，而不是拉緊的繩子．關於導數的概念，我們隻抽象地定義為函數因變量與自變量的增量比值的極限，而舍棄了其幾何的或物理的等實際背景．在應用數學來解決實際問題時，０３５經濟我們會從具體問題中抽象出數學模型，求解數學模型的結果後，再代入實際問數學題去解釋結果．數學的抽象性訓練我們在生活中善於抓住事情的共性和本質．︵上冊︶導數定義的幾種常用等價形式：Δｙｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｙ′＝ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ．ｘ＝ｘ０Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘｘ→ｘ０ｘ－ｘ０小導數研究函數的變化率，即因變量隨自變量變化的快慢程度．導數值的大小反映貼，士在ｘ０處當自變量變化一單位時因變量會變化多少單位．（）（，），（）（，）若函數ｙ＝ｆｘ在開區間ａｂ內的每一點都可導則稱函數ｙ＝ｆｘ在區間ａｂ內可導．這時函數ｙ＝ｆ（ｘ）對於（ａ，ｂ）內的每一個ｘ，都有一個確定的導數值與之對應，這樣就構成了ｘ的一個新的函數，這個新的函數稱為函數ｙ＝ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內的導函數，記作ｄｙｄｆ（ｘ）ｙ′，ｆ′（ｘ），或，ｄｘｄｘ即ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）ｙ′＝ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ．Δｘ→０Δｘｈ→０ｈ在不致發生混淆的地方，導函數也簡稱為導數．ｄｓ例如，變速直線運動的速度ｖ（ｔ）是路程ｓ（ｔ）對時間ｔ的導數，即ｖ（ｔ）＝ｓ′（ｔ）＝．ｄｔ２．單側導數導數歸結為增量比值的極限，而極限存在單側極限，導數也有單側導數．若ｘ從ｘ０的左，－，側趨於ｘ０時即Δｘ→０時若極限Δｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）ｌｉｍｙ＝ｌｉｍ－－Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ存在，則稱此極限值為函數ｆ（ｘ）在點ｘ０處的左導數，記作ｆ′－（ｘ０），即ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）ｆ′－（ｘ０）＝ｌｉｍ．－ΔｘΔｘ→０類似的，可知函數ｆ（ｘ）在點ｘ０處的右導數為Δｙｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）ｆ′＋（ｘ０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ．＋＋Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ顯然，由極限存在的充要條件，函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０可導的充分必要條件是ｆ′＋（ｘ０）與ｆ′－（ｘ０）都存在且相等．０３６第左、右導數常用於判定分段函數在分段點ｘ０處是否可導．隻有當分段點ｘ０處二章小左、右單側導數ｆ′＋（ｘ０）與ｆ′－（ｘ０）都存在並且相等時，函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０才可導．貼一士這一點跟計算分段點的極限類似，原因在於導數本質上也是極限這一數學思想方法元函的應用，導數就是函數因變量與自變量的增量比值的極限．數微分學例設（）３，求（）和（）及２．１．１ｆｘ＝ｘｆ′２ｆ′ｘ．其ｆ（２＋Δｘ）－ｆ（２）（２＋Δｘ）３－２３應解ｆ′（２）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ用Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ＝ｌｉｍ［１２＋６Δｘ＋（Δｘ）２］＝１２．Δｘ→０３３ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ＋Δｘ）－ｘｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍΔｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ＝ｌｉｍ［３ｘ２＋３ｘΔｘ＋（Δｘ）２］＝３ｘ２．Δｘ→０函數（）在點處的導數（），就是導函數（）在點處的函數小ｙ＝ｆｘｘ０ｆ′ｘ０ｆ′ｘｘ＝ｘ０貼值，即ｆ′（ｘ０）＝ｆ′（ｘ）．士ｘ＝ｘ０３．導數的幾何意義由曲線切線的斜率案例討論和導數的定義可得導數的幾何意義為：函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處的導數ｆ′（ｘ０）等於曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在點（ｘ０，ｙ０）處的切線斜率，即ｋ＝ｆ′（ｘ０）＝ｔａｎα，其中是切線的傾斜角，如圖所示α２２．圖２２根據導數的幾何意義及直線的點斜式方程可得：曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在點Ｍ０（ｘ０，ｙ０）處的切線方程為ｙ－ｙ０＝ｆ′（ｘ０）（ｘ－ｘ０）．曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在點Ｍ０（ｘ０，ｙ０）處的法線方程為１ｙ－ｙ０＝－（ｘ－ｘ０）（ｆ′（ｘ）≠０）．ｆ′（ｘ０）小若ｆ′（ｘ０）＝０，則曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在點Ｍ０（ｘ０，ｙ０）處有平行於ｘ軸的切線；若貼士ｆ′（ｘ０）＝∞，則曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在點Ｍ０（ｘ０，ｙ０）處有垂直於ｘ軸的切線．例２．１．２求曲線＝ｘ３在點（１，１）處的切線方程和法線方程．ｙ３２解ｙ′＝（ｘ）′＝３ｘ，斜率ｋ＝ｙ′｜ｘ＝１＝３．又點（１，１）在曲線上，故過切點（１，１）的切線方程為０３７－１＝３（ｘ－１），經ｙ濟數即３ｘ－ｙ－２＝０．學法線方程為︵上１ｙ－１＝－（ｘ－１），即ｘ＋３ｙ－４＝０．冊３︶４．函數的可導性與連續性的關係Δｙ設函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處可導，即ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ存在，故Δｘ→０ΔｘΔｙΔｙｌｉｍΔｙ＝ｌｉｍ·Δｘ＝ｌｉｍ·ｌｉｍΔｘ＝ｆ′（ｘ０）·０＝０．Δｘ→０Δｘ→０ΔｘΔｘ→０ΔｘΔｘ→０（）由ｌｉｍΔｙ＝０知，函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０連續．於是有Δｘ→０定理２．１若函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處可導，則ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處一定連續．請思考函數（）在點處連續，但在點處未必可導試舉例說明ｙ＝ｆｘｘ０ｘ０．．（）（）例２．１．３討論函數ｆｘ＝｜ｘ｜如圖２３在點ｘ＝０處的連續性與可導性．ｘｘ≥０解ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜＝，｛－ｘｘ＜０ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘ＝０，ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ（－ｘ）＝０，＋＋－－ｘ→０ｘ→０ｘ→０ｘ→０ｆ（０）＝０，ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（０），ｘ→０所以（）在點處連續ｆｘ＝｜ｘ｜ｘ＝０．圖２３ｆ（０＋Δｘ）－ｆ（０）Δｘ－０ｆ′＋（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１，Δｘ→０＋ΔｘΔｘ→０＋Δｘｆ（０＋Δｘ）－ｆ（０）－Δｘ－０ｆ′－（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝－１，－Δｘ－ΔｘΔｘ→０Δｘ→０（）（），ｆ′＋０≠ｆ′－０（）所以ｆｘ＝｜ｘ｜在點ｘ＝０處不可導．綜上可得，函數ｆ（ｘ）＝｜ｘ｜在點ｘ＝０處連續，但不可導．ａｘｘ≤０例２．１．４設函數ｙ＝在點ｘ＝０處可導，求ａ，ｂ的值．｛ｓｉｎ２ｘ＋ｂｘ＞０解函數（）在點處可導，故函數在處連續ｙ＝ｆｘｘ＝０ｘ＝０．故ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍｆ（ｘ），即ｌｉｍ（ｓｉｎ２ｘ＋ｂ）＝ｌｉｍｆ（ｘ）＝０，所以ｂ＝０．＋－＋－ｘ→０ｘ→０ｘ→０ｘ→０ｆ（ｘ）－ｆ（０）ｓｉｎ２ｘ＋ｂ－０ｓｉｎ２ｘｆ′＋（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝２，＋ｘ－０＋ｘ＋ｘｘ→０ｘ→０ｘ→０ｆ（ｘ）－ｆ（０）ａｘｆ′－（０）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ａ，－ｘ－０－ｘｘ→０ｘ→００３８而ｆ′（０）存在，即ｆ′＋（０）＝ｆ′－（０），所以ａ＝２．第ａｘｘ≤０二故當ａ＝２，ｂ＝０時，函數＝在ｘ＝０處可導．章ｙ｛ｓｉｎ２ｘ＋ｂｘ＞０一元二、幾個基本初等函數的導數函數微根據導數的定義，可得求導數的步驟如下：分學（１）求函數的增量Δｙ＝ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）；及其Δ（ｘ＋Δｘ）－（ｘ）（２）計算比值ｙ＝ｆｆ；應ΔｘΔｘ用ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）（３）取極限ｙ′＝ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ．Δｘ→０ｘΔ例２．１．５求函數ｆ（ｘ）＝Ｃ（Ｃ為常數）的導數．ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）Ｃ－Ｃ解ｙ′＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝０，Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ所以（Ｃ′）＝０，即常數的導數為零．２例２．１．６求函數ｆ（ｘ）＝ｘ的導數．解Δｙ＝ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）＝（ｘ＋Δｘ）２－ｘ２＝２ｘΔｘ＋（Δｘ）２，Δｙ２ｘΔｘ＋（Δｘ）２所以ｙ′＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝２ｘ．Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ一般地，對冪函數＝ｘμ（為實數），有ｙμ（μ）μ－１ｘ′＝μｘ．１１１特別地，′＝－２，（槡ｘ′）＝在複合函數求導中經常用到，應熟練記住．（）ｘｘ２槡ｘ例（）２．１．７求函數ｆｘ＝ｓｉｎｘ的導數．ｈｈ解令ｈ＝Δｘ，則Δｙ＝ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（ｘ＋ｈ）－ｓｉｎｘ＝２ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ，２２（）ｈｈ２ｃｏｓｘ＋ｓｉｎΔｙ２２ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ（）Δｘ→０Δｘｈ→０ｈｈｓｉｎｈ２＝ｌｉｍｃｏｓｘ＋ｌｉｍ＝ｃｏｓｘ，ｈ→０（）２ｈ→０ｈ２所以（）ｓｉｎｘ′＝ｃｏｓｘ．類似可得（ｃｏｓｘ）′＝－ｓｉｎｘ．例求函數（）ｘ的導數２．１．８ｆｘ＝ａ．ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）ａｘ＋Δｘ－ａｘａｘ（ａΔｘ－１）解ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍΔｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘｘ→０ΔｘΔｘｌｎａｘｅ－１ｘΔｘｌｎａｘ＝ａｌｉｍ＝ａｌｉｍ＝ａｌｎａ，Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ即（ａｘ）′＝ａｘｌｎａ．０３９特別地，有（ｅｘ′）＝ｅｘ．經濟例２．１．９求函數ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ的導數．數ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）ｌｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎｘ１ｈ學解ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ·ｌｎ１＋︵ｈ→０ｈｈ→０ｈｈ→０ｈｘ上（）ｘｘ冊１ｈｈ１ｈｈ１１︶＝ｌｉｍｌｎ１＋＝ｌｎｌｉｍ１＋＝ｌｎｅ＝，ｈ→０ｘ（）ｘｘ［］ｈ→０（）ｘｘｘ１即（ｌｎｘ′）＝．ｘ１同理得出（ｌｏｇａｘ′）＝．ｘｌｎａ習題２．１若（），計算：１．ｆ′ｘ０＝２ｆ（ｘ０－Δｘ）－ｆ（ｘ０）ｆ（ｘ０＋３Δｘ）－ｆ（ｘ０）（１）ｌｉｍ；（２）ｌｉｍ．Δｘ→０ΔｘΔｘ→０Δｘ２２．設ｆ（ｘ）＝１０ｘ，試按定義求ｆ′（－１）．１１３．求曲線ｙ＝在點２，處的切線方程和法線方程．ｘ２（）４．曲線ｙ＝ｘ３上哪一點處的切線與直線ｙ＝３ｘ－１平行？
ｅｘｘ≤０５．設ｆ（ｘ）＝，試確定函數在ｘ＝０處的可導性．｛２ｘ＋１ｘ＞０第二節導數的計算方法初等函數是由基本初等函數經過有限次四則運算或者複合得到的能用一個表達式表示的函數，在上一節我們已經用導數的定義計算出幾個基本初等函數的導數公式，本節我們繼續研究四則運算與複合運算是如何求導的．這樣，對初等函數我們都可以求導了．一、求導法則和公式，，各種形式的導數計算歸根到底都是四則運算求導與複合函數求導這兩個運算法則要熟練掌握．、、、１．函數和差積商的求導法則定理２．２（導數的四則運算法則）設函數ｕ＝ｕ（ｘ），ｖ＝ｕｖ（ｘ）（以下簡寫為ｕ，ｖ）在點ｘ處可導，則函數ｕ±ｖ，ｕ·ｖ，ｖ（ｖ≠０）也在點ｘ處可導，且有以下法則：（１）（ｕ±ｖ）′＝ｕ′±ｖ′；掃一掃可見微課（２）（ｕ·ｖ）′＝ｕ′·ｖ＋ｕ·ｖ′；“導數的四則運算法則”０４０ｕｕ′ｖ－ｕｖ′（３）′＝（ｖ≠０）．第（）ｖｖ２二章證明僅證（ｕ·ｖ′）＝ｕ′·ｖ＋ｕ·ｖ′．一設ｙ＝ｕ（ｘ）·ｖ（ｘ），則元函Δｙ＝ｕ（ｘ＋Δｘ）ｖ（ｘ＋Δｘ）－ｕ（ｘ）ｖ（ｘ）數微＝［ｕ（ｘ）＋Δｕ］·［ｖ（ｘ）＋Δｖ］－ｕ（ｘ）·ｖ（ｘ）分學＝ｕ（ｘ）·Δｖ＋ｖ（ｘ）·Δｕ＋Δｕ·Δｖ，及其ΔｙΔｖΔｕΔｖ應所以ｌｉｍ＝ｌｉｍｕ（ｘ）＋ｖ（ｘ）＋Δｕ用Δｘ→０ΔｘΔｘ→０［］ΔｘΔｘΔｘ＝ｕ′（ｘ）ｖ（ｘ）＋ｕ（ｘ）ｖ′（ｘ）．即（ｕ·ｖ′）＝ｕ′·ｖ＋ｕ·ｖ′．小推論：（Ｃ·ｕ′）＝Ｃ·ｕ′（Ｃ為常數）；貼士（ｕｖｗ′）＝ｕ′ｖｗ＋ｕｖ′ｗ＋ｕｖｗ′．例２．２．１設ｙ＝ｓｉｎ２ｘ，求ｙ′．解ｙ′＝（２ｓｉｎｘｃｏｓｘ′）＝２（ｓｉｎｘｃｏｓｘ′）＝２［（ｓｉｎｘ′）ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ（ｃｏｓｘ′）］＝２（ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ）＝２ｃｏｓ２ｘ．例２．２．２求證（ｔａｎｘ′）＝ｓｅｃ２ｘ，（ｃｓｃｘ′）＝－ｃｓｃｘ·ｃｏｔｘ．ｓｉｎｘ（ｓｉｎｘ′）ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ（ｃｏｓｘ′）證明（ｔａｎｘ′）＝′＝２（）ｃｏｓｘｃｏｓｘｃｏｓ２ｘ＋ｓｉｎ２ｘ１＝＝＝ｓｅｃ２ｘ．ｃｏｓ２ｘｃｏｓ２ｘ２即（ｔａｎｘ）′＝ｓｅｃｘ．１－（ｓｉｎｘ）′ｃｏｓｘｃｏｓｘ１（ｃｓｃｘ）′＝′＝＝－＝－·＝－ｃｓｃｘ·ｃｏｔｘ，（）ｓｉｎｘｓｉｎ２ｘｓｉｎ２ｘｓｉｎｘｓｉｎｘ即（ｃｓｃｘ）′＝－ｃｓｃｘ·ｃｏｔｘ．類似可證（ｃｏｔｘ）′＝－ｃｓｃ２ｘ，（ｓｅｃｘ）′＝ｓｅｃｘ·ｔａｎｘ．２．複合函數的求導法則由例２．２．１知，複合函數＝ｓｉｎ２ｘ的導數為′＝２ｃｏｓ２ｘ，ｙｙ而ｙ＝ｓｉｎ２ｘ是由ｙ＝ｓｉｎｕ和ｕ＝２ｘ複合而成的，ｄｄｕｙ＝（ｓｉｎｕ）′＝ｃｏｓｕ，＝（２ｘ）′＝２．ｄｕｄｘｄｙｄｙｄｕ掃一掃可見微課＝ｙ′＝（ｓｉｎ２ｘ）′＝２ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓ２ｘ·２＝ｃｏｓｕ·２＝·，ｄｘｄｕｄｘ“複合函數的求導法則”０４１ｄｙｄｙｄｕ經即＝·．濟ｄｘｄｕｄｘ數ｄｄｄｕ學對於一般的複合函數來說，ｙ與ｙ和之間也存在這種關係．︵ｄｘｄｕｄｘ上冊定理２．３如果函數ｕ＝φ（ｘ）在點ｘ處可導，而函數ｙ＝ｆ（ｕ）在對應的點ｕ處可導，則︶複合函數ｙ＝ｆ［φ（ｘ）］也在點ｘ處可導，且有ｄｙｄｙｄｕ＝·或［ｆ（φ（ｘ））］′＝ｆ′（ｕ）·φ′（ｘ）．ｄｘｄｕｄｘ簡記為ｙ′ｘ＝ｙ′ｕ·ｕ′ｘ．複合函數的求導法則亦稱為鏈式法則．證明給自變量ｘ一個增量Δｘ，相應函數有增量Δｕ，Δｙ．ΔｙΔｙΔｕΔｙΔｕｌｉｍ＝ｌｉｍ·＝ｌｉｍ·ｌｉｍ＝ｆ′（ｕ）·φ′（ｘ），Δｘ→０ΔｘΔｘ→０ΔｕΔｘΔｘ→０ΔｕΔｘ→０Δｘｄｙｄｙｄｕ所以＝·或［ｆ（（ｘ））］′＝ｆ′（ｕ）·′（ｘ）．ｄｘｄｕｄｘφφ例２．２．３求下列函數的導數：（１）ｙ＝槡ａ２－ｘ２；（２）ｙ＝ｅｓｉｎ槡ｘ．２２２２解（１）ｙ＝槡ａ－ｘ可看成由ｙ＝槡ｕ，ｕ＝ａ－ｘ複合而成的，２２１ｘｙ′ｘ＝ｙ′ｕ·ｕ′ｘ＝（槡ｕ′）·（ａ－ｘ′）ｘ＝·（－２ｘ）＝－．２槡ａ２－ｘ２槡ａ２－ｘ２（２）ｙ＝ｅｓｉｎ槡ｘ可看成由ｙ＝ｅｕ，ｕ＝ｓｉｎｖ，ｖ＝槡ｘ複合而成的，１ｙ′＝ｅｓｉｎ槡ｘ·（ｓｉｎ槡ｘ′）＝ｅｓｉｎ槡ｘ·ｃｏｓ槡ｘ·（槡ｘ′）＝ｅｓｉｎ槡ｘ·ｃｏｓ槡ｘ·．２槡ｘ在熟悉了鏈式法則後，可以不寫出中間變量而直接求導，對外函數求導再乘以內小貼函數的導數，當內函數是複合函數時，重複使用複合函數求導法則就可以了．關鍵是士理清複合函數結構，由外向內逐層求導．，，複合函數求導中我們用到整體變量代換的方法將內函數看成一個整體對外函數求導，再乘以內函數的導數，若內函數仍為複合函數，就重複使用複合函數求導的方法．，整體變量代換的方法在數學中很常見在不定積分的第一換元法等後續學習內容中還會用到．例２．２．４求下列函數的導數：ｘ２（１）ｙ＝ａｒｃｔａｎ槡１＋ｘ２；（２）ｙ＝ｌｎｔａｎ；（３）ｙ＝ｅ３ｘ＋ｘ．２０４２２１２第解（１）ａｒｃｔａｎ槡１＋ｘ′＝２·槡１＋ｘ′（）２（）二１＋（槡１＋ｘ）章１１１一２－２２＝２·（１＋ｘ）·（１＋ｘ′）元２＋ｘ２函ｘ數＝．微（２＋ｘ２）槡１＋ｘ２分學ｘ１ｘ１ｘｘ及（２）ｌｎｔａｎ′＝ｔａｎ′＝ｓｅｃ２′２ｘ２ｘ２２其（）ｔａｎ（）ｔａｎ（）應２２用１１１＝··ｘｘ２ｔａｎｃｏｓ２２２１＝＝ｃｓｃｘ．ｓｉｎｘ３ｘ２＋ｘ３ｘ２＋ｘ２３ｘ２＋ｘ（３）（ｅ′）＝ｅ·（３ｘ＋ｘ′）＝（６ｘ＋１）·ｅ．例２．２．５求ｙ＝ｌｎｆ（ｘ）的導數（ｆ（ｘ）≠０且ｆ（ｘ）可導）．解ｙ＝ｌｎｆ（ｘ）可由ｙ＝ｌｎｕ，ｕ＝ｆ（ｘ）複合而成，則ｄｙｄｕ１ｆ′（ｘ）ｙ′＝·＝·ｆ′（ｘ）＝．ｄｕｄｘｕ（ｘ）ｆ例２．２．６求＝ｌｎｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ的導數．ｙ１ｓｅｃｘｔａｎｘ＋ｓｅｃ２ｘ解ｙ′＝（ｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ′）＝＝ｓｅｃｘ．ｓｅｃｘ＋ｔａｎｘｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ３．基本求導公式和求導法則（１）基本初等函數的導數公式μμ－１（Ｃ′）＝０（Ｃ為常數）；（ｘ′）＝μｘ；（ａｘ′）＝ａｘ·ｌｎａ；（ｅｘ′）＝ｅｘ；１１（ｌｏｇａｘ）′＝；（ｌｎｘ）′＝；ｘｌｎａｘ（ｓｉｎｘ）′＝ｃｏｓｘ；（ｃｏｓｘ）′＝－ｓｉｎｘ；（ｔａｎｘ）′＝ｓｅｃ２ｘ；（ｃｏｔｘ）′＝－ｃｓｃ２ｘ；（ｓｅｃｘ）′＝ｓｅｃｘ·ｔａｎｘ；（ｃｓｃｘ）′＝－ｃｓｃｘ·ｃｏｔｘ；１１（ａｒｃｓｉｎｘ）′＝；（ａｒｃｃｏｓｘ）′＝－；槡１－ｘ２槡１－ｘ２１１（ａｒｃｔａｎｘ）′＝；（ａｒｃｃｏｔｘ）′＝－．１＋ｘ２１＋ｘ２（２）導數的四則運算法則（ｕ±ｖ）′＝ｕ′±ｖ′；（Ｃｕ）′＝Ｃｕ′（Ｃ為常數）；ｕｕ′ｖ－ｕｖ′（ｕｖ）′＝ｕ′ｖ＋ｕｖ′；′＝２（ｖ≠０）．（）ｖｖ０４３（３）複合函數的求導法則經濟設ｙ＝ｆ（ｕ），ｕ＝φ（ｘ），則複合函數ｙ＝ｆ［φ（ｘ）］的導數為數學ｄｙｄｙｄｕ︵＝·或ｙ′＝｛ｆ［φ（ｘ）］｝′＝ｆ′（φ（ｘ））·φ′（ｘ）．上ｄｘｄｕｄｘ冊︶掌握了基本初等函數的導數、四則運算求導和複合函數求導後，對一切初等函數小貼我們都可以計算導數，且其導數仍為初等函數．這也是大多數同學覺得導數計算相對士比較簡單的一個重要原因．二、隱函數的導數若由二元方程Ｆ（ｘ，ｙ）＝０可確定ｙ關於ｘ的一元函數關係，則稱此函數為隱函數．由（），（，）ｙ＝ｆｘ表示的函數稱為顯函數．由Ｆｘｙ＝０表示的隱函數有的可以化成顯函數後求導數．例如，方程ｘ２－ｙ＋２＝０就可以化成顯函數ｙ＝ｘ２＋２後求導．不能化成顯函數的隱函數如何求導呢？