圖書在版編目（ＣＩＰ）數據高等數學學習指導書／熊小峰，肖水晶主編．—南昌：江西高校出版社，２０１８．８ＩＳＢＮ９７８－７－５４９３－７４１３－７Ⅰ①高…Ⅱ①熊…②肖…Ⅲ①高等數學—高等學校—教學參考資料Ⅳ①Ｏ１３中國版本圖書館ＣＩＰ數據核字（２０１８）第１７６７３４號出版發行江西高校出版社社址江西省南昌市洪都北大道９６號總編室電話（０７９１）８８５０４３１９銷售電話（０７９１）８８５１１４２３網址ｗｗｗ．ｊｕａｃｐ．ｃｏｍ印刷南昌市光華印刷有限責任公司經銷全國新華書店開本７８７ｍｍ×１０９２ｍｍ１／１６印張２１．５字數４５６千字版次２０１８年８月第１版２０１８年８月第１次印刷書號ＩＳＢＮ９７８－７－５４９３－７４１３－７定價３５．００元贛版權登字－０７－２０１８－７８０版權所有侵權必究圖書若有印裝問題，請隨時向本社印製部（０７９１－８８５１３２５７）退換書
!\"#$本書主要內容包括一元函數微積分和多元函數微積分、向量代數和空間解析幾何、無窮級數、微分方程等內容。書中每章分三部分：內容提要、例題分析和目標測試題（附參考答案）。通過對４００多道典型例題進行分析和求解，揭示了高等數學的解題方法和技巧。
本書是高等學校理工科和經濟管理學科等有關專業學生學習高等數學課程的學習指導書，也可作為考研及大學生數學競賽的複習參考資料，並可供大專院校數學教師及其他有關人員作為參考。
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書!\"高等數學是高等院校理工科、經濟管理學科等門類各專業學生必修的一門重要基礎課，也是碩士研究生入學考試的一門必考科目。
它既是其他數學課程的基礎，也是物理學、經濟學等各專業課程的重要工具。
本書是按照“高等數學課程教學基本要求”，結合“全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱”的要求編寫而成的，它包括一元函數微積分和多元函數微積分、向量代數和空間解析幾何、無窮級數、微分方程等內容。書中每章分三部分：內容提要、例題分析和目標測試題（附參考答案）。通過對４００多道典型例題進行分析和求解，揭示了高等數學的解題方法和技巧。每章的目標測試題，作為自我檢查之用。我們在編寫本書時，力求內容完善、例題豐富、題型全麵，相當一部分例題選自全國研究生入學考試數學試題。本書側重於提高解題能力，所提供的解題方法編者都經過反複推敲，希望通過典型例題的求解，啟發讀者的解題思路，以達到舉一反三的效果。全書共分十二章，由江西理工大學熊小峰、賴新興、黃江燕、羅淑珍和南昌大學董秋仙、肖水晶、高文明編寫，熊小峰、肖水晶對全書進行統稿。本書是高等學校理工科和經濟管理學科等有關專業學生學習高等數學課程的學習指導書，也可作為考研及大學生數學競賽的複習參考資料，並可供大專院校數學教師及其他有關人員作為參考。
由於編者水平有限，書中缺點錯誤在所難免，懇請讀者批評指正。
編者２０１８年５月!
書!\"#$%&$''''!\"第一章!
函數、極限與連續內容提要１例題分析５目標測試題２７第二章\"#導數與微分內容提要３０例題分析３４目標測試題５６第三章$%中值定理與導數應用內容提要５９例題分析６４目標測試題８０!
書!\"#$$%&''''(!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()第四章&''''不定積分內容提要８２例題分析８４目標測試題９４第五章$%定積分內容提要９６例題分析９９目標測試題１３７第六章!\"#定積分的應用內容提要１４０例題分析１４２目標測試題１５３''''
書!\"!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()第七章\"$$向量代數與空間解析幾何內容提要１５５例題分析１６１目標測試題１６９第八章\"#\"多元函數微分法及其應用內容提要１７１例題分析１７９目標測試題２０８第九章!\"\"重積分內容提要２１１例題分析２１７目標測試題２４０%
書!\"#$$%&''''(!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()第十章%&%曲線積分與曲麵積分內容提要２４２例題分析２４８目標測試題２６６第十一章!#$無窮級數內容提要２６７例題分析２７３目標測試題２９７第十二章!\"\"常微分方程內容提要２９９例題分析３０５目標測試題３２６''''!(目標測試題參考答案&
書!\"#$%!&''''()*!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()第一章函數、極限與連續內容提要基本概念函數的定義設ｘ和ｙ是兩個變量，Ｄ是一個給定的數集．如果當變量ｘ在Ｄ中任意取定一個數值時，變量ｙ按照一定的法則總有確定的數值與它對應，則稱ｙ是ｘ的函數，記作ｙ＝ｆ（ｘ）．數集Ｄ叫作這個函數的定義域，ｘ叫作自變量，ｙ叫作因變量．記號ｆ表示從變量ｘ到變量ｙ的對應關係．單調性設函數ｆ（ｘ）在區間Ｉ上有定義，若對任意的ｘ，ｙ∈Ｉ，當ｘ＜ｙ時，恒有ｆ（ｘ）＜ｆ（ｙ）（或恒有ｆ（ｘ）＞ｆ（ｙ）），則稱ｆ（ｘ）在區間Ｉ上是單調增加（或單調減少）的函數．單調增加與單調減少函數統稱為單調函數．奇偶性設函數ｆ（ｘ）的定義域Ｄ關於原點對稱．（１）若對任意ｘ∈Ｄ有ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），則稱ｆ（ｘ）為奇函數；（２）若對任意ｘ∈Ｄ，有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），則稱ｆ（ｘ）為偶函數．周期性設函數ｆ（ｘ）以Ｄ為定義域，若存在正數Ｔ，使得對任意ｘ∈Ｄ，有ｘ＋Ｔ∈Ｄ，且ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ），則稱ｆ（ｘ）為周期函數，並稱Ｔ為ｆ（ｘ）的一個周期．有界性設函數ｆ（ｘ）在數集Ｄ有定義．若存在常數Ｂ，使得對任意ｘ∈Ｄ，有ｆ（ｘ）≤!
書!\"#$$%&''''(!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()Ｂ（或有ｆ（ｘ）≥Ｂ），則稱ｆ（ｘ）在數集Ｄ有上界（或有下界），且稱Ｂ為ｆ（ｘ）在數集Ｄ的一個上界（或下界）．若存在Ｍ＞０，使得對任意ｘ∈Ｄ，有｜ｆ（ｘ）｜≤Ｍ，則稱ｆ（ｘ）在數集Ｄ有界；否則稱ｆ（ｘ）是在數集Ｄ的無界函數．複合函數設函數ｙ＝ｆ（ｕ）的定義域是Ｄｆ，函數ｕ＝φ（ｘ）的定義域為Ｄφ，值域為Ｗφ．若Ｗφ∩Ｄｆ≠Φ，則稱函數ｙ＝ｆ［φ（ｘ）］為ｘ的複合函數．其中ｘ是自變量，ｙ是因變量，而ｕ稱為中間變量．分段函數如果一個函數在其定義域內，對應於不同的區間段有著不同的表達形式，則稱該函數為分段函數．初等函數由常數及基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數複合步驟所構成，並可用一個式子表示的函數．數列極限定義如果存在常數ａ，對於任意給定的ε＞０，均存在正整數Ｎ（ε）＞０，使得當ｎ＞Ｎ時，恒有｜ｘｎ－ａ｜＜ε，則稱ｌｉｍｘｎ＝ａ．ｎ→∞函數極限定義（１）若對任意給定的ε＞０，均存在著Ｘ（ε）＞０，當｜ｘ｜＞Ｘ時恒有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，則稱ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ；ｘ→∞（２）若對任意給定的ε＞０，均存在著δ（ε）＞０，當０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ時，恒有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，則稱ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ．ｘ→ｘ０左、右極限的定義（１）若對任意給定的ε＞０，總存在著δ（ε）＞０，當ｘ０－δ＜ｘ＜－
ｘ０時恒有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，則稱左極限ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，或稱左極限ｆ（ｘ０）＝Ａ；－
ｘ→ｘ０（２）若對任意給定的ε＞０，總存在著δ（ε）＞０，當ｘ０＜ｘ＜ｘ０＋δ時恒有＋
｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，則稱右極限ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，或稱右極限ｆ（ｘ０）＝Ａ．＋
ｘ→ｘ０無窮小如果函數ｆ（ｘ）當ｘ→ｘ０（或ｘ→∞）時的極限為零，那麼稱函數ｆ（ｘ）為當ｘ→ｘ０（或ｘ→∞）時的無窮小．特別地，以零為極限的數列｛ｘｎ｝稱為ｎ→∞時的無窮小．無窮大如果當ｘ→ｘ０（或ｘ→∞）時，對應的函數值的絕對值｜ｆ（ｘ）｜無限增大，就稱函數ｆ（ｘ）為當ｘ→ｘ０（或ｘ→∞）時的無窮大．記為ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞（或ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞）!
ｘ→ｘ０ｘ→∞當ｘ→ｘ０（或ｘ→∞）時為無窮大的函數ｆ（ｘ），按函數極限定義來說，極限是不存在的．但為了便於敘述函數的這一性態，我們也說“函數的極限是無窮大”．無窮小的比較設ｌｉｍα（ｘ）＝０，ｌｉｍβ（ｘ）＝０．ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０（ｘ→∞）（ｘ→∞）!
書!\"#$%!&''''()*!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()α（ｘ）（１）若ｌｉｍ＝０，則稱α（ｘ）是比β（ｘ）高階的無窮小，記作α（ｘ）＝ｏ（β（ｘ））．ｘ→ｘ０β（ｘ）（ｘ→∞）α（ｘ）（２）若ｌｉｍ＝∞，則稱α（ｘ）是比β（ｘ）低階的無窮小．ｘ→ｘ０β（ｘ）（ｘ→∞）α（ｘ）（３）若ｌｉｍ＝Ｃ（Ｃ≠０），則稱α（ｘ）與β（ｘ）是同階無窮小．ｘ→ｘ０β（ｘ）（ｘ→∞）α（ｘ）（４）若ｌｉｍ＝１，則稱α（ｘ）與β（ｘ）是等階無窮小，記作α（ｘ）～β（ｘ）．ｘ→ｘ０β（ｘ）（ｘ→∞）α（ｘ）（５）若ｌｉｍｋ＝Ｃ（Ｃ≠０），ｋ＞０，則稱α（ｘ）為β（ｘ）的ｋ階無窮小．ｘ→ｘ０β（ｘ）（ｘ→∞）常用的等價無窮小當ｘ→０時，ｓｉｎｘ～ｘ，ａｒｃｓｉｎｘ～ｘ，ｔａｎｘ～ｘ，ａｒｃｔａｎｘ～ｘ，ｘｘ１２ｌｎ（１＋ｘ）～ｘ，ｅ－１～ｘ，ａ－１～ｘｌｎａ，１－ｃｏｓｘ～ｘ，（１＋ｘ）α－１～αｘ（α≠０）．２
函數連續性定義１設函數ｆ（ｘ）在ｘ０的某一鄰域內有定義．給ｘ在ｘ０處以增量Δｘ，相應地得到函數增量Δｙ＝ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０），若ｌｉｍΔｙ＝０，則稱ｆ（ｘ）在點ｘ０處連續．Δｘ→０函數連續性定義２設函數ｆ（ｘ）在點ｘ０的某一鄰域內有定義且ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），則ｘ→ｘ０稱ｆ（ｘ）在點ｘ０處連續．函數間斷點定義若函數ｆ（ｘ）在點ｘ０的某一去心鄰域內有定義，且出現如下三種情形之一：（１）ｆ（ｘ）在點ｘ０無定義；（２）ｌｉｍｆ（ｘ）不存在；ｘ→ｘ０（３）ｆ（ｘ）在點ｘ０有定義，且ｌｉｍｆ（ｘ）存在但ｌｉｍｆ（ｘ）≠ｆ（ｘ０），則稱ｘ０為函數ｆ（ｘ）的ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０間斷點．間斷點的類型＋－第一類間斷點：ｆ（ｘ０），ｆ（ｘ０）均存在，且ｘ０是ｆ（ｘ）的間斷點．＋－若ｆ（ｘ０）＝ｆ（ｘ０），則ｘ＝ｘ０稱為ｆ（ｘ）的可去間斷點．＋－若ｆ（ｘ０）≠ｆ（ｘ０），則ｘ＝ｘ０稱為ｆ（ｘ）的跳躍間斷點．＋－第二類間斷點：ｆ（ｘ０），ｆ（ｘ０）中至少有一個不存在．＋－若ｆ（ｘ０），ｆ（ｘ０）中有一個為∞，則ｘ＝ｘ０稱為無窮間斷點．主要定理、公式、基本方法＋－定理１ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａｆ（ｘ０）＝ｆ（ｘ０）＝Ａ．ｘ→ｘ０!
書!\"#$$%&''''(!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()定理２ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａｆ（ｘ）＝Ａ＋α（ｘ），其中ｌｉｍα（ｘ）＝０．ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０。
定理３（保號性定理）若ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，Ａ＞０（或Ａ＜０），則存在δ＞０，當ｘ∈Ｕ（ｘ０，ｘ→ｘ０δ）時，ｆ（ｘ）＞０（或ｆ（ｘ）＜０）．（數列極限也有類似的保號性定理．）定理４若ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，且在ｘ０的某去心鄰域內ｆ（ｘ）≥０（或ｆ（ｘ）≤０），則Ａ≥０（或ｘ→ｘ０Ａ≤０）．（數列極限也有類似的定理．）定理５單調有界數列必有極限．定理６（夾逼準則）設在ｘ０的某去心鄰域內恒有φ（ｘ）≤ｆ（ｘ）≤ψ（ｘ），且ｌｉｍφ（ｘ）＝ｌｉｍψ（ｘ）＝ａ，則ｌｉｍｆ（ｘ）＝ａ．（數列極限也有類似的夾逼準則．）ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０定理７無窮小的運算性質：（１）有限個無窮小的和仍為無窮小；（２）有限個無窮小的乘積仍為無窮小；（３）無窮小乘以有界函數仍為無窮小．定理８（無窮小與無窮大的關係定理）在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數為無窮小；非“０”的無窮小之倒數為無窮大．定理９極限的四則運算法則（數列極限也有相應的極限四則運算法則）：設ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ，ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ｂ，則ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０（ｘ→∞）（ｘ→∞）（１）ｌｉｍ［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｆ（ｘ）±ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ａ±Ｂ；（２）ｌｉｍ［ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）］＝ｌｉｍｆ（ｘ）·ｌｉｍｇ（ｘ）＝Ａ·Ｂ；ｆ（ｘ）ｌｉｍｆ（ｘ）Ａ（３）ｌｉｍ＝＝（Ｂ≠０）．ｇ（ｘ）ｌｉｍｇ（ｘ）Ｂ定理１０基本初等函數在其定義域內都是連續的．定理１１初等函數在其定義區間內都是連續的．定理１２（最大值和最小值定理）在閉區間上連續的函數必有最大值和最小值．定理１３（有界性定理）在閉區間上連續的函數在該區間上一定有界．定理１４（介值定理）設函數ｆ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上連續，且在這區間的兩個端點處取不同的函數值ｆ（ａ）＝Ａ及ｆ（ｂ）＝Ｂ，那麼，對於Ａ與Ｂ之間的任意一個數Ｃ，在開區間（ａ，ｂ）內至少有一點ξ，使得ｆ（ξ）＝Ｃ（ａ＜ξ＜ｂ）．定理１５（零點定理）設函數ｆ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上連續，且ｆ（ａ）與ｆ（ｂ）異號，那麼函數ｆ（ｘ）在開區間（ａ，ｂ）內至少有一個零點，即至少有一點ξ∈（ａ，ｂ），使ｆ（ξ）＝０．重要公式!
書!\"#$%!&''''()*!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()ｓｉｎｘ１．ｌｉｍ＝１．ｘ→０ｘ該極限的特點是：０
（１）型未定式；０
ｓｉｎ□（２）求極限的函數形為．□
１１ｘ２．ｌｉｍ（１＋ｘ）ｘ＝ｅ，ｌｉｍ（１＋）＝ｅ．ｘ→０ｘ→∞ｘ該極限的特點是：（１）１∞型未定式；１
（２）求極限的函數形為（１＋□）□．例題分析２π例１求函數ｆ（ｘ）＝－３ｘ＋７ｘ－２＋ｌｎｓｉｎ的定義域．槡ｘ解為使槡－３ｘ２＋７ｘ－２有意義，需－３ｘ２＋７ｘ－２≥０，即１
≤ｘ≤２．３
ππ為使ｌｎｓｉｎ有意義，需ｓｉｎ＞０，即ｘｘπ
２ｋπ＜＜（２ｋ＋１）π（ｋ＝０，±１，±２，…）．ｘ
１當ｋ＝０時，０＜＜１，即ｘ＞１；ｘ
１１當ｋ≠０時，＜ｘ＜（ｋ＝±１，±２，…）．２ｋ＋１２ｋ因此，必須滿足１
１?≤ｘ≤２，≤ｘ≤２，?３３或?
{?１１ｘ＞１＜ｘ＜（ｋ＝±１，±２，…）．?２ｋ＋１２ｋ１１故所求定義域為（，）∪（１，２］．３２!
書!\"#$$%&''''(!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()１
例２設ｆ（ｘ）＝ｌｎ（３－ｘ）＋，求ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ａ）＋ｆ（ｘ－ａ）的定義槡４９－ｘ２域（ａ＞０）．解當３－ｘ＞０且４９－ｘ２＞０時，ｆ（ｘ）有意義．即ｆ（ｘ）的定義域為（－７，３）．－７＜ｘ＋ａ＜３，為使ｇ（ｘ）有意義，ｘ需滿足{－７＜ｘ－ａ＜３．即ｘ∈（－７－ａ，３－ａ）且ｘ∈（－７＋ａ，３＋ａ）．由ａ＞０知，當－７＋ａ＜３－ａ，即０＜ａ＜５時，ｇ（ｘ）的定義域為（－７＋ａ，３－ａ）；當－７＋ａ≥３－ａ，即ａ≥５時，ｇ（ｘ）無定義．１－ｘ１例３設ｆ（ｘ）＝，求ｆ（ｘ＋１），ｆ（）．１＋ｘｘ１－（ｘ＋１）－ｘ解ｆ（ｘ＋１）＝＝，ｘ≠－２．１＋（ｘ＋１）ｘ＋２１
１－１ｘｘ－１ｆ（）＝＝，ｘ≠－１且ｘ≠０．ｘ１ｘ＋１１＋ｘ
１２例４設ｆ（）＝ｘ＋１＋ｘ（ｘ≠０），求ｆ（ｘ）．ｘ槡１１解令ｔ＝，則ｘ＝．ｘｔ２
１１２１１＋ｔｆ（ｔ）＝＋１＋（）＝＋槡，ｔ槡ｔｔ｜ｔ｜１１＋ｘ２所以ｆ（ｘ）＝＋槡，ｘ≠０．ｘ｜ｘ｜ｘ－１例５設ｆ（ｘ）＋ｆ（）＝２ｘ，其中ｘ≠０，ｘ≠１，求ｆ（ｘ）．ｘ
ｘ－１１１解令ｔ＝，則ｘ＝．將ｘ＝代入原方程得ｘ１－ｔ１－ｔ１２ｆ（）＋ｆ（ｔ）＝，１－ｔ１－ｔ１２即ｆ（ｘ）＋ｆ（）＝．①１－ｘ１－ｘ１ｕ－１１再令＝，即ｘ＝，代入式①得１－ｘｕ１－ｕ!
書!\"#$%!&''''()*!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()１ｕ－１２（ｕ－１）ｆ（）＋ｆ（）＝，１－ｕｕｕ１ｘ－１２（ｘ－１）即ｆ（）＋ｆ（）＝．②１－ｘｘｘ由原方程、①式、②式得１１ｆ（ｘ）＝ｘ＋＋－１．ｘ１－ｘ２
例６已知ｆ（ｘ）＝ｅｘ，ｆ［φ（ｘ）］＝１－ｘ且φ（ｘ）≥０，求φ（ｘ）並寫出它的定義域．［φ（ｘ）］２解由ｅ＝１－ｘ，得φ（ｘ）＝槡ｌｎ（１－ｘ）．由ｌｎ（１－ｘ）≥０，得ｘ≤０，所以φ（ｘ）＝槡ｌｎ（１－ｘ），ｘ≤０．例７設ｆ（ｘ）對一切實數ｘ，ｙ滿足等式ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ），且ｆ（０）≠０，ｆ（１）＝ａ．證明：（１）ｆ（０）＝１；（２）對一切正整數ｎ，有ｆ（ｎ）＝ａｎ．證（１）令ｘ＝ｙ＝０，則ｆ（０）＝［ｆ（０）］２，因ｆ（０）≠０，故ｆ（０）＝１．（２）用數學歸納法證明．①當ｎ＝１時，ｆ（１）＝ａ＝ａ１，等式成立；②設當ｎ＝ｋ時等式成立，即ｆ（ｋ）＝ａｋ．則當ｎ＝ｋ＋１時，ｆ（ｋ＋１）＝ｆ（ｋ）ｆ（１）＝ａｋ·ａ＝ａｋ＋１，即當ｎ＝ｋ＋１時等式也成立．由數學歸納法知，對一切自然數ｎ，均有ｆ（ｎ）＝ａｎ．例８研究下列函數的有界性：１＋ｘ２ｘ（１）ｆ（ｘ）＝；（２）ｇ（ｘ）＝．１＋ｘ４１＋ｘ２解（１）顯然ｆ（ｘ）＞０，且１＋ｘ２≥１．又１＋ｘ２≤（１＋ｘ２）２≤（１＋ｘ２）２＋（１－ｘ２）２＝２（１＋ｘ４）．１＋ｘ２所以０＜≤２．１＋ｘ４故ｆ（ｘ）在其定義域上有界．２２｜ｘ｜ｘ１（２）因為１－２｜ｘ｜＋ｘ≥０，所以≤１，即｜｜≤．故ｇ（ｘ）在其定義１＋ｘ２１＋ｘ２２域上有界．!
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!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()ｘ
例９證明：ｆ（ｘ）＝在［０，＋∞）上是單調增加的，並由此證明不等式１＋ｘ｜ａ＋ｂ｜｜ａ｜｜ｂ｜≤＋．１＋｜ａ＋ｂ｜１＋｜ａ｜１＋｜ｂ｜證任給ｘ１及ｘ２且滿足０≤ｘ１＜ｘ２＜＋∞．因為ｘ２ｘ１ｘ２－ｘ１ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）＝－＝＞０，１＋ｘ２１＋ｘ１（１＋ｘ１）（１＋ｘ２）所以ｆ（ｘ２）＞ｆ（ｘ１）．即ｆ（ｘ）在［０，＋∞）上是單調增加的．取ｘ１＝｜ａ＋ｂ｜，ｘ２＝｜ａ｜＋｜ｂ｜，顯然０≤ｘ１≤ｘ２，從而ｆ（ｘ１）≤ｆ（ｘ２），僅當ｘ１＝ｘ２時等號成立．｜ａ＋ｂ｜｜ａ｜＋｜ｂ｜因此≤１＋｜ａ＋ｂ｜１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜｜ａ｜｜ｂ｜＝＋１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜１＋｜ａ｜＋｜ｂ｜｜ａ｜｜ｂ｜≤＋．１＋｜ａ｜１＋｜ｂ｜例１０判斷下列函數的奇偶性：ｅｘ－１１－ｘ（１）ｆ（ｘ）＝ｌｎ（－１＜ｘ＜１）；ｅｘ＋１１＋ｘｘｘ（２）ｇ（ｘ）＝（２＋槡３）＋（２－槡３）．ｅ－ｘ－１１－（－ｘ）ｅ－ｘ－１１＋ｘ解（１）ｆ（－ｘ）＝ｌｎ＝ｌｎｅ－ｘ＋１１＋（－ｘ）ｅ－ｘ＋１１－ｘ１－ｅｘ１－ｘ＝（－ｌｎ）１＋ｅｘ１＋ｘｅｘ－１１－ｘ＝ｌｎ＝ｆ（ｘ），ｅｘ＋１１＋ｘ所以ｆ（ｘ）是偶函數．－ｘ－ｘ（２）ｇ（－ｘ）＝（２＋槡３）＋（２－槡３）１ｘ１ｘ＝()＋()２＋槡３２－槡３ｘｘ＝（２－槡３）＋（２＋槡３）＝ｇ（ｘ）．所以ｇ（ｘ）是偶函數．!
書!\"#$%!&''''()*!
!\"#$%&!''''()*)%*)%*+,(+$-#''''()１ｃ例１１設ｆ（ｘ）滿足ａｆ（ｘ）＋ｂｆ（）＝，其中ａ，ｂ，ｃ為常數，且｜ａ｜≠｜ｂ｜，證明：ｘｘｆ（ｘ）是奇函數．１
證將所給等式中的ｘ換為，得ｘ
１ａｆ（）＋ｂｆ（ｘ）＝ｃｘ．①ｘ
ｃ若ａ＝０，則ｆ（ｘ）＝ｘ，這顯然是奇函數．ｂ
若ａ≠０，則由①式得１１ｆ（）＝［ｃｘ－ｂｆ（ｘ）］，ｘａ將其代入原等式，解得ａ