00所以,當A0時,有≠
A·1A*=1A*·A=I,AA即A為可逆矩陣,而且還得到了求逆矩陣的公式-
A1=1A*.()A9-8我們今後把滿足A的方陣A稱為非奇異矩陣,而把A=的方陣A稱為奇異矩≠00陣,因而方陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣.
在例中,因為1
-101A==-+-=-,0212211≠0-
111é-ùê312ú-êú所以A可逆,且A1=-A*=-.
êúê101ú?-?
212éabùêú-例求二階矩陣A=êú可逆的條件,並求A1.
2?cd?
ab解當A==ad-bc時,A可逆.
cd≠0又因為A=d,A=-c,A=-b,A=a,11122122éd-bù-êú所以A1=1êú.
ad-bc?-ca?
例用求逆矩陣的方法解線性方程組3
?ìx+x-x=,?12231íx-x+x=,?312230?
?x-x-x=.
1232解記é-ùéxùéùê121úê1úê1úêúA=ê-ú,X=x,B=êú,ê321úê2úê0úêúêúêú?--??x???
11132·40·高等數學(下冊)則原方程組可改寫為AX=B,因為-
121A=-=,32112≠0--111所以A可逆.計算得éùê11úê0úéù44ê330úêú-êúêúA1=1-=1-1,êúêúê404ú012?--?ê33ú138êú-11-2?ê?ú1243-
對AX=B兩邊左乘A1,得éùéùê11úê1úê0úêú44éù4êúê1úêú-êúêúêúX=A1B=1-1=-1,ê0úê0úêúê33ú?ê?úê3úêú2êú-11-2-17?ê?ú?ê?ú124312即線性方程組的解為x,x,x.
1=12=-13=-174312例解矩陣方程4
êéúùêéúùê20úX=ê31ú.
?-??-?
1125解因為20=,-2≠011-
êéúùêéúù1所以ê20ú可逆.對原方程兩邊左乘ê20ú,得?-??-?
1111êéúùêéúù-131êéúù1êéúùê0úêéúùêúX=ê20úê31ú=ê2úê31ú=ê22ú.
?-??-??-?
1125ê1ú25ê-111ú?1???
222n-例設A為n階方陣,則A*=A1.
5nn-證由AA*=AIn知道A·A*=A.當A時,顯然有A*=A1.如≠0果A=,則要證明A*=.我們用反證法.如果A*,則A*是可逆矩陣.於是在矩陣00≠0第九章矩陣·41·等式AA*=AIn=的兩邊同時右乘A*的逆矩陣,即得A=.零矩陣的伴隨矩陣當然為00零矩陣,即A*=.這與A*矛盾.所以必有A*=.
0≠00習題9.3.求下列方陣的逆矩陣:1
éùéaùê102úê00úêéúù()34;()êú;()êbú(其中a,b,c).
êúêúêú1??2ê314ú3ê00ú≠067???c?
52100.解下列矩陣方程:2
êéúùêé-úù()25X=46;1?ê?ú?ê?ú1321êéúùêéúùêéúù()ê14úXê20ú=ê31ú.
2?-??-??-?
1211019.4分塊矩陣在進行矩陣的運算時,對於一些行數和列數較高或具有特殊形式的矩陣,為了便於運算,可以根據問題的需要,把矩陣分成若幹個小塊,這些小塊就是一些行數與列數較小的矩陣,稱為子塊.由一些子塊做元素構成的矩陣稱為分塊矩陣.
9.4.1矩陣的分塊設A為矩陣,對矩陣A進行分塊,就是在A的某些行或某些列之間,用貫穿整個矩陣的縱橫虛線把A劃分為若幹個子塊.
例如:對矩陣éaaaaùê11121314úêúA=aaaaê21222324úêú?aaaa?
31323334的第二、三行之間及二、三列之間進行分塊,得éaa?aaùê1112?1314úéAAùê?úê1112úA=aaaa=,2122?2324êúêú?AA?
êú2122?a??a???a??a??
31323334其中·42·高等數學(下冊)éaaùéaaùê1112úê1314úA,A,11=êú12=êú?aa??aa?
21222324A=[aa],A=[aa].
213132223334根據需要,還可以把矩陣A進行其他形式的分塊.
一般地,如果將m×n矩陣éaa…anùê11121úêúaa…anê21222úA=(aij)m×n=ê???úêúêú?amam…amn?
12劃分為s行塊、r列塊,則分塊矩陣可表示為éAA…Arùê11121úêúAA…Arê21222úA=(Apq)s×r=.
ê???úêúêú?AsAs…Asr?
129.4.2分塊矩陣的運算對矩陣作分塊運算時,首先其分塊方法必須符合矩陣的運算規則要求,然後以子塊作為元素進行運算,最後再對子塊做進一步的運算.
.分塊矩陣的加法和減法1
矩陣Am×n與矩陣Bm×n分塊相加或相減時,兩個矩陣關於行的分法以及關於列的分法都必須一致.即設分塊矩陣éA…ASùéB…BSùê111úê111úêúêúA=??,B=??
êúêúêúêú?Ar…Ars??vr…Brs?
11具有相同的分塊法,則éA+B…AS+BSùê111111úABê??ú.
+=êúêú?ArBr…ArsBrs?
1+1+.分塊矩陣的乘法2
設A為m×l矩陣,B為l×n矩陣,分塊成éA…AtùéB…Brùê111úê111úêúêúA=??,B=??,êúêúêúêú?As…Ast??Bt…Btr?
11其中,Ai,…,Ait的列數分別等於Bj,…,Btj的行數,則11第九章矩陣·43·éC…Crùê111úABCê??ú,==êúêú?Cs…Csr?
1t
其中,Cij=AikBkj(i=,,…,s;j=,,…,r).
k=1212∑1例設1
éùéùê1000úê3000úêúêúA=ê0100ú,B=ê0300ú,求AB.
ê-úêúê2210úê1032ú???-?
22010110解把A,B分塊成éùê1000úêúéIOùê0100úêúA==êú,ê-ú?AI?
ê2210ú1?ê?ú2201éùê3000úêúéIOùê0300úê3úB==êú,êú?BB?
12ê1032ú?-?
0110則
éùê3000úéIOùéIOùéIOùêúêúê3úê3úê0300úAB=êúêú=êú=.
?AI??BB??A+BB?ê-ú1123112ê5632ú?ê?ú6510·44·高等數學(下冊).分塊矩陣的轉置3
設éAA…Arùê11121úêúAA…ArA=ê21222ú,ê???úêúêú?AsAs…Asr?
12則
éA''''A''''…As''''ùê11211úêúA''''A''''…As''''A''''=ê12222ú.
ê???úêúêú?Ar''''Ar''''…Asr''''?
12.分塊對角陣4
設éA…ùê100úêA…úA=ê020ú,ê???úêúêú?…Ar?
00其中,Ai(i=,,…,r)都是方陣,則稱A為分塊對角陣.
12容易證明分塊對角陣具有如下性質:設
éB…ùê100úêB…úB=ê020ú.
ê???úêúêú?…Br?
00()若B與A有相同的分法,即A+B有意義,則1
éA+B…ùê1100úêúA+B…A+B=ê0220ú;ê???úêúêú?…Ar+Br?
00()若B右乘A有意義,則2
éAB…ùê1100úêAB…úAB=ê0220ú;ê???úêúêú?…ArBr?
00第九章矩陣·45·()A=AA…Ar;312()若Ai(i=,,…,r),則A,且4≠012≠0-
éA1…ùê100úê-úA1…-ê2úA1=00.
ê???úêúê-ú?…Ar1?
00例設2
éùê130000úê--úê110000úê-úA=ê001100ú,ê-úê001200úê-úê000014ú?ê?ú000003-
求A1.
解將A分塊成éAùê100úêúA=A,ê020úêú?A?
003其中êéúùêé-úùêé-úùA=ê13ú,A=ê11ú,A=ê14ú,1?--?2?-?3??
111203因為A,A,A,所以A,即A可逆.
1≠02≠03≠0≠0又因為éùéùê-1-3úê-4úêúéùê1ú--êú-A1=ê22ú,A1=21,A1=ê3ú,12?ê?ú3ê11ú11ê1ú???0?
223所以·46·高等數學(下冊)éùê1-3úê0000úê22úê11úêú-0000éA1ùê22úê100ú-ê-úêúA1=A1=ê002100ú.
ê020úê-úêú?A1?001100003êúê-4úê00001úê3úê1ú?00000?
3習題9.4.設矩陣1
éùéùê1013úê1200úêúêúA=ê0124ú,B=ê2000ú,ê-úêúê0010úê6310ú?-??-?
00010201用分塊矩陣的方法計算A+B,A,AB.
4.設2
é-ùê13100úêúê20100úA=êú,ê00300úêúê00012ú?ê?ú00031-
利用分塊矩陣求A1.
9.5矩陣的初等行變換與初等矩陣9.5.1矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換是對矩陣的行所施行的一類運算,是矩陣代數中應用最為廣泛的基本運算.
定義.矩陣的下列變換稱為矩陣的初等行變換:912第九章矩陣·47·()交換矩陣的兩行的位置;1
()用一個非零的數k乘以矩陣的某一行;2
()把矩陣的某一行的k倍加到另一行上.
3一般地,一個矩陣經過初等行變換後,就變成了另一個矩陣.
例如:把矩陣éùê402úêúêúê123ú?-?
111第三行的倍加到第一行,就得到矩陣4
éùê046úêú,êúê123ú?-?
111當矩陣A經過初等行變換變成矩陣B時,寫成AB.
→9.5.2階梯形矩陣我們稱形如é-ùéùéùê0121úê10608úê130úêú,êú,ê-úê0001úê00515úê051ú?ê?ú?ê?ú?ê?ú000000023007的矩陣為階梯形矩陣.它們的任意一行從第一個元素起至該行的第一個非零元素所在的下方元素全為零,如該行元素全為零,則它下麵的行的元素也全為零.
定理.任意一個矩陣都可經過若幹次初等行變換化為階梯形矩陣.
92證設矩陣éaa…anùê11121úêúaa…anA=ê21222ú,ê???úêúêú?amam…amn?
12如果A=O,則A已是階梯形矩陣;如果AO,則A的所有列中總有第一個元素不全為≠
零的列,不妨假設第一列元素不全為零,且a(如果a=,則可以對矩陣A進行第一種11≠0110aij初等行變換,使其左上角元素不為零),用-乘以第一行加到第i行上(i=,,…,m);於a2311是矩陣A化為éa''''a''''…an''''ùê11121úêúa''''…an''''éαùê0222úêú=ê1ú,ê???ú?B?
êú0êú?am''''…amn''''?
02·48·高等數學(下冊)如果B=O,則A已化為階梯形矩陣;如果BO,可按上述方法繼續做下去,經過有限≠
次初等行變換,總可以將A化為階梯形矩陣.
注意:在具體化一個矩陣為階梯形矩陣時,可根據實際情況靈活應用上述定理證明中所述的方法.為方便起見,今後用如下記號表示相應的初等行變換:()用(ri,rj)表示交換矩陣第i行與第j行的位置;1
()用(kri)表示以非零數k乘以矩陣的第i行;2
()用(ri+krj)表示把矩陣第j行的k倍加到第i行上.
3例用初等行變換化下列矩陣為階梯形矩陣:1
éùé-ùê2123úê211ú()A=êú;()B=êú.
êúêú1ê4135ú2ê310ú???--?
2012111解()1
éù(r-r)éùéùêú221êúêú2123(r-r)2123(r-r)2123A=êú31ê---ú32ê---ú.
êúêúêúê4135ú→ê0111ú→ê0111ú???---???
201201110000()2
éù(r,r)éù(r,r)éùê-ú13ê--ú23ê--ú211(r+r)111(r-r)111B=êú231ê-ú342ê-ú.
ê310ú(r+r→)ê043ú→ê011úêú321êúêú?--??-???
111011001定理.矩陣的初等行變換不改變矩陣的奇異性.
93證設方陣A可逆,即有A.
≠0(ri,rj)()若AB,則由行列式性質有B=-A;1→3≠0(krj)()若AB,k,則由行列式性質有B=kA;2→≠02≠0(ri+krj)()若AB,則由行列式性質有B=A.
3→6≠0因此,對方陣A施行初等變換得到方陣B,則A與B有相同的奇異性.
由定理.和定理.容易得到:9293推論可逆矩陣可經過一係列初等行變換化為單位矩陣.
如例中矩陣B可進一步化為單位矩陣,即1
êé--úùêé-úùêéúù111(-r)111(r+r)100ê-ú11ê-ú12êú.
(r+r)ê011ú→ê011ú23→ê010ú?ê?ú?ê?ú?ê?ú001001001矩陣的初等行變換可用於求矩陣的逆矩陣.為此,我們引入初等矩陣的概念.
9.5.3初等矩陣定義.由單位矩陣I經過一次初等行變換得到的矩陣稱為初等矩陣.
913第九章矩陣·49·對應於三種初等行變換有如下三種類型的初等矩陣.
()由單位矩陣I的第i行乘以常數k而得到的矩陣稱為初等倍乘矩陣,記為Pi(k),即1
éùê1úêúê?úêúê1úPi(k)=êkúi行;êúêúê1úê?ú?ê?ú1
()由單位矩陣I的第i,j兩行對換而得到的矩陣稱為初等對換矩陣,記為Pij,即2
éùê1úêúê?úêúê1úê…úi行ê01úêúê1úPij=??;ê?úêúê1úê…ú行ê10újêúê1úêúê?ú?ê?ú1
()由單位矩陣I的第j行乘以數k加到第i行上而得到的矩陣稱為初等倍加矩陣,記為3
Pi+j(k),即éùê1úêúê?úi行êkúê1úPi+j(k)=êú.
ê?úêúj行ê1úê?ú?ê?ú1
例如:I為階單位矩陣時,4
éùéùéùê0010úê1000úê1000úêúêúêúêúêúêúP=0100,p()=0500,P+()=0100.
13êú25êú315êúê1000úê0010úê5010ú?ê?ú?ê?ú?ê?ú000100010001·50·高等數學(下冊)利用矩陣乘法的定義容易得到下麵的定理:定理.對一個m×n矩陣A作初等行變換等價於對A左乘相應的初等矩陣.
94證記Ai=(ai,ai,…,ain),i=,,…,m,則A可簡寫為1212éAùê1úê?úêúêAiúêúA=ê?ú,êúêAjúêúê?úêú?Am?
由矩陣的乘法運算得éAùéAùéAùê1úê1úê1úê?úê?úê?úêúêúêúêúêúêúAjkAiAi+kAjêúêúêúPijA=ê?ú,Pi(k)A=ê?ú,Pi+j(k)A=ê?ú,êúêúêúêAiúêAjúêAjúêúêúêúê?úê?úê?úêúêúêú?Am??Am??Am?
即()A左乘Pij就相當於A作第i,j兩行對換而得到的矩陣;1
()A左乘Pi(k)就相當於A作第i行乘以常數k而得到的矩陣;2
()A左乘Pi+j(k)就相當於A作第j行乘以數k加到第i行上而得到的矩陣.
3由行列式概念與性質易得,Pij=-,Pi(k)=k,Pi+j(k)=,所以初等矩陣1≠01都是可逆矩陣.又由定理.易得94PijPij=I,Pi(k)Pi(1)=I,Pi+j(k)Pi+j(-k)=I,k
所以---Pij1=Pij,Pi(k)1=Pi(1),Pi+j(k)1=Pi+j(-k),k
即初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣.
9.5.4利用初等行變換求逆矩陣設矩陣A是可逆矩陣,則A可經過一係列初等行變換化為單位矩陣,即存在一係列的初等矩陣P,P,…,Pt使12Pt…PPA=I,()219-9從而-
Pt…PPI=A1,()219-10第九章矩陣·51·比較()式和()式可知,對A進行t次初等行變換就化成了單位矩陣I,而I也進行9-99-10-
完全相同的t次初等行變換就化成了A1.為此,可設計如下形式的利用初等行變換求逆矩陣的方法:初等行變換-
[AI][IA1].()┆→┆9-11é-ùê125ú例利用初等行變換求矩陣A=ê-ú的逆矩陣.
êú2ê314ú?-?
112解因為éù[r+(-)r]éùê-ú231ê-ú125100[r+(-)r]125100[AI]=ê-ú311ê--úêúêú┆ê314010ú→ê0511310ú?-??--?
112001013101éù(r+r)éùê-ú122ê--ú(r,r)125100[r+(-)r]10110223ê--ú352ê--úêúêú→ê013101ú→ê013101ú?--??-?
0511310004215éùê-113úé--ùê100úê101102ú(r+r)244(1r)13êú3ê--ú(r+r)4ê013101ú233ê13-11ú,→êú→ê010úê11-5úê244ú?001?êú244ê11-5ú?001?
244所以éùê-113úêúê244ú-êúA1=13-11.
êúê244úêú11-5?ê?ú244用初等行變換求逆矩陣,較之用公式法計算逆矩陣更為簡便,且這種方法常用於利用計算機計算一些高階方陣的逆矩陣.另外,在對矩陣[AI]進行初等行變換以後,A的奇異性┆
-和A1的結果同時出現.
習題9.5.用初等行變換化下列矩陣為階梯形矩陣.
1·52·高等數學(下冊)êé--úùé-ù315746ê1112úêú()êú;()ê05302ú.
êúêú1ê1121ú2??ê110407ú2032?ê?ú70283.用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣.
2éùê1111úêéúù123ê--ú()êú;()ê1111ú.
êúêú1ê021ú2--?--?ê1111ú111?--?
11119.6矩陣的秩為了能進一步討論方程組解的問題及進一步研究矩陣的性質,我們引入矩陣的秩的概念.
定義.在矩陣A中任意選定r行和r列,位於其交點處的r2個元素,按原來次序所914組成的一個r階行列式,稱為A的一個r階子式.若一個子式的值不為零,就稱為非零子式.
é-ùê2150úê-ú例如:在矩陣A=ê1131ú中選定第、行和、列,其交點處的×個元êú241322ê1002ú?--?
5211-
素組成的行列式13就是A的一個二階子式.
-51定義.矩陣A中非零子式的最高階數稱為矩陣A的秩.記為r(A)或秩A,且規定915零矩陣的秩為零.
é-ùê2571ú例已知A=êú,求秩A.
1ê1352ú?ê?ú26104解因A中的所有三階子式都等於零,即---257251271571====,1351321533520261026421046104而至少存在一個二階子式不為零,如25=,所以r(A)=.
1213由定義來計算矩陣的秩,因要計算許多行列式,比較麻煩.但我們注意到“秩”隻要子式第九章矩陣·53·不為零而並不要子式的確定值,又注意到初等行變換不會改變行列式是否為零的特性,因此可以設想通過初等行變換來求矩陣的秩.為此,先給出以下定理:定理.矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩.
95證設A為m×n矩陣.
(r,rj)()A1B,由行列式性質知,A與B的相應子式隻改變符號,而不改變其是否為1→3零的性質;(krj)()AB,由行列式性質知,A與B的相應子式隻相差一個k的倍數,而不改變其是2→2否為零的性質;(ri+krj)()AB,由行列式性質知,A與B的相應子式相等,由以上可知,初等行變換3→6不改變矩陣的秩.
由定理.,求矩陣的秩,可先將它施行初等行變換,化為階梯形矩陣,再確定它的秩.
95é-ùê10132úê--ú例求矩陣A=ê01312ú的秩.
2êúê24011ú?ê?ú23303解因為é-ùé-ùê10132ú[r+(-)r]ê10132úêú321êú--[r+(-)r]--A=ê01312ú421ê01312úêú→ê--úê24011úê04253ú???--?
2330303561é-ùé-ù(r+r)ê10132úê10132ú42êúêú(r+r)--[r+(-)r]--432ê01312ú413ê01312ú=B,→ê-ú→ê-úê001495úê001495ú?-???
00149500000在B中存在不為零的三階子式.
-101-=-,01314≠00014而B中的第四行全為,所以B的所有四階子式全為零.因此秩B=.即秩A=.
033在階梯形矩陣中,若有r行元素不全為零,則它的秩等於r.
由矩陣的秩的定義易知,對任一矩陣A來說,其秩是唯一確定的,且矩陣A的秩等於r的充要條件是A至少有一個非零r階子式,而所有(r+)階子式(若存在)全為零.
1定理.n階方陣A是非奇異矩陣的充要條件是R(A)=n.
96證n階方陣A是非奇異矩陣AA的非零子式的最大階數為nR(A)=n.
?≠0??
·54·高等數學(下冊)習題9.6.求下列矩陣的秩:1
é--ùé--ùê1231úê563ú()ê--ú;()êú;êúêú1ê3153ú2ê3111ú?-??-?
2122428éùé-ùê3102úê14122ú()ê--ú;()ê-ú.
êúêú3ê1121ú4ê22110ú?--??--?
134221320本章小結總習題第九章矩陣·55·一、填空題éùéùê123úê043ú.設A=ê-ú,B=êú,則A+B=.
êúêú1ê041úê120ú3???-?
101591.設A,B為n階方陣,則(A+B)2=A2+AB+B2的充要條件是.
22éùê1221ú.設A=ê--ú,則A的秩=.
êú3ê2122ú?---?
1143éùêú-.設A=21,則A1=.
4?ê?ú53.設A為階矩陣,且A=,則AA*=.
5422二、選擇題.A是n階矩陣,k是非零常數,則kA=().
6kAkAknA|k|nAA.B.C.D.
.設A,B為n階方陣,則有().
7若A,B都可逆,則A+B也可逆A.
若A,B都不可逆,則A+B也不可逆B.
C.若A可逆,B不可逆,則A+B不可逆若A可逆,B不可逆,則AB不可逆D.
.設A為n階方陣,且滿足A2-A=,則下列矩陣中哪個是可逆矩陣().
820AA-IA+IA-IA.B.C.D.2.下列說法正確的是().
9初等矩陣都是可逆矩陣初等矩陣的行列式的值都等於A.B.1初等矩陣相乘後仍為初等矩陣初等矩陣相加後仍為初等矩陣C.D.
éaaaùéaaaùéùê111213úê212223úê010úêúêú.設A=aaa,B=aaa,P=êú,10ê212223úê111213ú1ê100úêúêúêú?aaa??a-aa-aa-a???
313233312132223323001且PPA=B,則P=().
122é-ùéùéùéùê101úê101úê100úê100úêúêúêúêúêúêúêúêúA.ê010úB.ê010úC.ê010úD.ê010ú?????-???
001001011101三、綜合題.設11·56·高等數學(下冊)éùéùê1212úê4321úA=êú,B=ê--ú,êúêúê2121úê2121ú???--?
12340101求:()A-B;()A+B;()若Z滿足A+Z=B,求Z;132223()若Y滿足(A-Y)+(B-Y)=O,求Y.
422.求下列矩陣的逆矩陣:12éùéùéùê1100úê101úê123úêú()A=êú;()êú;()ê1200ú.
êúêúêú1ê210ú2ê221ú3?--???ê3723ú325343?ê?ú2512.解下列矩陣方程:13é-ùé-ùê211úê113ú()Xêú=êú;êúêú1ê210úê432ú?--??-?
111125êéúùêéúù()X+ê25úX=ê12ú.
2?-???
1337.設A是n階方陣,且滿足AA''''=I,A=-,證明:I+A=.
1410.利用分塊矩陣的乘法,計算下列矩陣的乘積AB:15éùéùê12000úê14000úêúê-úê37000úê32000úA=êú,B=êú.
ê00101úê10101úê-úê-úê00121úê01121ú?-??-?
0003110031êé-úùêé-úù.已知B=11,C=13,且A滿足B(A''''-I)-(C-B)=O,求A.
16?ê?ú?ê?ú1201éùéùékùéaùê121úê001úê10úê00ú.設A=êú,I=êú,I=êú,I=êbú.
êú1êú2êú3êú17ê132úê010úê010úê00ú???????c?
14610000100()試求IA,IA,IA及AI,AI,AI;1123123()設A為任意三階矩陣,問IA,IA,IA與A有什麼關係?AI,AI,AI與A有什2123123麼關係?
.利用逆矩陣解下列方程組:18?ìx+x+x=,?ìx-x-x=,?122331?1231()íx+x+x=,()íx-x-x=,1?21225322?212331??
?x+x+x=;?x+x-x=.
3152333122530第九章矩陣·57·--.設方陣A滿足A2-A-I=O,證明A及A+I都可逆,並求A1及[A+I]1.
19222é-ùé-ù-êúêú-.設P1AP=B,其中,P=ê14ú,B=ê10ú,求A1.
20????
1102-
.設A是三階方陣,其行列式A=1,試求出行列式(A*)1的值.
2155
-.設A是n階方陣,其行列式A=,試求出行列式(A'''')1的值.
2266閱讀材料對策與決策是人們在日常生活和工作中經常碰到的擇優活動,人們在處理某一問題時,往往會麵臨多種可能出現的情形,同時又存在多種可供選擇的行動方案,要求根據自己的行動目的,從中選定一種方案,以期獲得最佳的結果.在對策問題中,我們稱參加決策的各方為對策問題的局中人,一個決策問題至少包含著兩名局中人,局中人必須擁有可供其選擇並影響最終結局的策略.局中人所能采取的每一可行方案,均稱為策略,某局中人可采取的全部策略,稱為該局中人的策略集.
例(田忌賽馬)田忌賽馬是大多數人都熟知的故事,事情發生在戰國時期,據說齊王1
欲與大將田忌賽馬,雙方約定每人從自己的上、中、下三個等級的馬中各挑選一匹賽馬來進行三局比賽,進行每局比賽時,雙方各派一匹賽馬比賽,每局的敗者要付給勝者一千兩黃金.
當時,齊王的每一等級的馬都比田忌同等級的馬要強.比賽總共三次,每匹馬都參加,問田忌能答應和齊王比賽嗎?結果怎樣?
解這是一個對策問題,局中人為齊王,局中人為田忌.如果將一、二、三等馬進行標AB號,分別為、、,則齊王的策略有:123α(),α(),α(),112321323213α(),α(),α().
423153216312即齊王的策略集為S={αααααα},A123456同理田忌的策略集為S={αααααα},B123456通過兩兩對比,易得齊王的贏得矩陣為:αααααα123456·58·高等數學(下冊)αé-ù1ê311111úαê-ú2ê131111úαê-ú3ê113111ú.
αê-ú4ê111311úα-5êúê111131úα?-?
6111113從矩陣看:若同時出馬,則齊王贏的概率為\/,贏千兩黃金的概率為\/,贏千兩黃563161金的概率為\/.但結果是齊王輸了一千兩黃金,原因是田忌提出齊王先出馬,從而獲得了選46擇策略的機會.
例用數學分析石頭、剪刀、布的遊戲.
2解局中人:,;策略集:S={ααα},S={βββ},其中ABA123B123α:石頭α:剪刀α:布β:石頭β:剪刀β:布123123則贏得矩陣為:A
βββ123αé-ù1ê011úαê-ú.
2êúê101úα?-?
3110若同時出,,贏的概率都為\/;但若誰先出,後出的人就獲得了選擇策略的機會,則AB12必是後出的人贏.
這兩個例題都是當局勢確定後,局中人之所得恰為另一局中人之所失局中人之AB.A所失恰為另一局中人之所得即的贏得矩陣(aij)m×n與的贏得矩陣(bij)m×n滿足B.ABaij+bij=,0
稱這類對策為兩人零和對策.在兩人零和對策中,選擇策略的機會是非常重要的.
並不是所有的對策問題都是兩人零和對策.
例(犯罪嫌疑人的困惑)警察同時拘捕了兩名犯罪嫌疑人,為防止串供,將他們分開3
關押,逮捕的原因是他們持有大量偽幣,警方懷疑他們偽造錢幣,但沒有找到充分證據,希望他們能自己供認,這兩人都知道,如果他們雙方都不供認,將被以使用和持有大量偽幣罪各判刑個月,如果雙方都供認偽造了錢幣,將被以偽造錢幣罪各判刑年,如果一方供認而183另一方不供認,則供方將被從寬處理而免於刑事處分,但另一方則將被判刑年.將犯罪嫌7
疑人,被判刑的幾種可能情況列表為:AB第九章矩陣·59·表-91B供認不供認A
供認()()3307不供認()(..)701515從表中數字來看,如果兩名犯罪嫌疑人均擔心對方供認,並希望受到最輕的懲罰,最保險的辦法自然是承認製造了偽幣.
這是一個非零和對策.
例現有一對策問題,雙方獲利情況見表-:492表-92B
123A
()()()1820973()()()2349027()()()3166281()()()4424651假如:,雙方都采取穩妥的辦法,發現如采取策略,則至少可獲利而發現如采ABA44.B取策略,則至少可獲利,因而這種求穩妥的想法將導致出現局勢()1242.
容易看出,從整體上看,結果並不是最好的,因為雙方的總獲利有可能達到,不難看10出,此時依靠單方麵的努力,不一定能收到良好的效果,看來對這樣的對策問題,雙方最好還是握手言和,相互配合,先取得總體上的最大獲利,然後再按照某一個雙方均認為較為合理的方式,來分享這一已經獲得的最大利益.
這也是非零和對策.
在非零和對策中,共同商量合作才能取得最大利益.
例給定兩人對策集G={SSR},其中S={ααα},5ABA123S={ββββ}B1234é--ùê1263022úR=êú,êúê1421810ú?--?
601016從R中可以看出,的最大可能盈利為,若希望獲得最大盈利,需采取策略α,A30A301但此時若采取策略β,非但得不到,反而會失去,為了穩妥,在決策前應事先考慮B4A3022A到對方可能有使自己損失最大的動機,應該在最壞的可能中爭取最好的結果,也應該做同B
樣的考慮,如果情況果真如此,局中人會這樣來考慮問題,采取策略α,α,α,最壞的贏得A123·60·高等數學(下冊)結果分別為{--}=-,{}=,{-min126302222min14218102min60-}=-,其中最好的可能為{--}=,那麼如果采取策略α,101610max222102A2無論采取什麼策略,的贏得均不會少於.采取各方案的最大損失為BA2B{-}=,{-}=,{-},{-}=.
max1214614max6202max301810max22101616當采取策略β時,其損失不會超過.因此,對雙方而言,這一結果都應當被看成是最B22好的結果,稱這樣的局勢為對策問題的一個穩定點(鞍點)或穩定解,對有穩定點的對策問題,雙方都會選擇穩定解,因此采取什麼策略並無懸念,但並不是所有對策問題都有穩定解,對策問題有穩定解的充分必要條件是:(aij)=(aij)=aij,則局勢maxminminmax**(aiaj)就是該對策問題的穩定解.
**第十章向量空間與線性方程組·61·第十章向量空間與線性方程組本章將把解析幾何中的二維向量和三維向量的概念推廣到n維向量,並簡單介紹向量空間的基本概念.進一步利用向量及其線性相關性等方麵的知識,討論一般線性方程組的解的情況.
10.1n維向量的概念與運算10.1.1向量的概念在平麵解析幾何中,一個平麵向量可用一條有向線段來表示,線段的一端點稱為它的起點,另一端點稱為它的終點.若一個向量的起點放在原點O(,)上,終點為平麵上的點00A(a,b),則向量OA→可以用二元有序數組(a,b)來表示,仍記為OA→=(a,b).
若拋開向量的幾何背景,而把一個向量抽象為一個有序數組,且數組中數的個數不限於兩個,那麼向量可表示的對象將十分廣泛.這使得向量理論在數學以及經濟管理科學和其他應用科學中都有著廣泛的應用.
定義.由n個數a,a,…,an所組成的一個有序數組10112(a,a,…,an)()1210-1稱為一個n維向量,其中a,a,…,an稱為向量()的分量或坐標.向量通常用希臘字1210-1母α,β,γ,…表示,如向量()可記作10-1α(a,a,…,an),=12根據討論問題的需要,向量也可以豎起來寫成éaùê1úêaúê2úαT=.
ê?úêúêú?an?
為了區別,前者稱為行向量(也可看作×n矩陣),後者稱為列向量(也可看作n×矩陣).
11行向量與列向量是有區別的,一個行向量與一個列向量即使對應分量都相等,也不能把·62·高等數學(下冊)êéúù它們等同起來,例如,α=(,)與αT=1是兩個不同的向量.另外,由於向量定義為有序數12?ê?ú2
組,那麼向量與數組中數的順序有關,例如(,)(,).
12≠21既然向量又是一種特殊的矩陣,則向量相等、零向量、負向量的概念及向量運算的定義,自然都應與矩陣的相應的定義一致.
分量全為零的向量,稱為零向量,記作0,即0=(,,…,).
000向量α(a,a,…,an)的所有分量的相反數組成的向量,稱為α的負向量,記作α,=12-即
α(a,a,…,an).
-=-1-2-設α=(a,a,…,an),β=(b,b,…,bn),當ai=bi(i=,,…,n)時,稱向量α與β121212相等,記作α=β.
10.1.2向量的運算定義.設α=(a,a,…,an),β=(b,b,…,bn),k為任意實數,稱向量(ka,ka,102121212…,kan)為數k與向量α的乘積,記作kα,即kα(ka,ka,…,kan).
=12定義.設α=(a,a,…,an),β=(b,b,…,bn),稱向量1031212(ab,ab,…,anbn)1+12+2+為向量α與β之和,記作α+β,即α(ab,ab,…,anbn),+β=1+12+2+稱α+(-β)為α與β的差,即α(ab,ab,…,anbn).
-β=1-12-2-定義.和定義.是就行向量的情形來定義向量的數乘、加法和減法運算的,對於列102103向量的情形可完全類似地定義.
向量的加法和數乘運算統稱為向量的線性運算,這是向量最基本的運算.
例設α=(,,,-)β=(,,-,),求α+β.
17208214337解α+β=(,,,-)+(,,-,)373720872143=(,,,-)+(,,-,)2160241472821=(,,-,-).
3513283例設α=(,-,,,),β=(,,-,,),且α+γ=β,求γ.
2513243122134解因為α+γ=β,所以γ=β-α,即3443γ=(,,-,,)-(,-,,,)431221351324=(,,-,,)+(-,,-,-,-)1248841539612=(-,,-,,-).
371728第十章向量空間與線性方程組·63·10.1.3向量的運算性質由定義.和定義.,向量的加減法以及數與向量乘法運算等都與矩陣的相應概念102103完全一致,根據矩陣的運算律,可得向量的運算滿足下麵運算律:()α+β=β+α;()(α+β)+γ=α+(β+γ);12()α+0=α;()α+(-α)=0;34()k(α+β)=kα+kβ;()(k+l)α=kα+lα;56()(kl)α=k(lα);()·α=α.
781其中,α、β、γ都是n維向量,k,l為數.
ìaxax…anxnb,?111+122++1=1?
?ax+ax+…+anxn=b,例將線性方程組í21122222寫成向量方程形式.
3?…………?
?amxamx…amnxnbm,11+22++=éaùéaùéanùébùê11úê12úê1úê1úêúêúêúêúaaanbê21úê22úê2úê2ú解記α=,α=,…,αn=,β=.
1ê?ú2ê?úê?úê?úêúêúêúêúêúêúêúêú?am??am??amn??bm?
12由向量的加法和數與向量的乘法運算易得,線性方程組的向量方程形式為éaùéaùéanùébùê11úê12úê1úê1úêúêúêúêúaaanbê21úê22úê2úê2úx+x+…+xn=,ê?ú1ê?ú2ê?úê?úêúêúêúêúêúêúêúêú?am??am??amn??bm?
12即
αxαx…αnxn.
11+22++=β本例給出了線性方程組與向量方程之間的聯係.如果給定了一個線性方程組,讀者應能立即把它改寫成向量方程;反過來,如果給定了一個向量方程,也應能立即把它改寫成線性方程組.因此,線性方程組是否有解,等價於向量能否由向量組α,α,…,αn用上述方式表β12示出來.
定義.n維實行向量全體(或實列向量全體)構成的集合稱為實n維向量空間,記作104Rn.
由n維實行向量全體組成的向量空間與由n維實列向量全體組成的向量空間在結構上是相同的,都記為Rn.顯然Rn中任意兩個向量的和向量還是Rn中的向量,Rn中任意一個向量與任意一個實數的乘積也還是Rn中的向量.
·64·高等數學(下冊)習題10.1.已知α=(,,,),β=(-,,,),求-α,β,α+β,α-β.
121041024232.已知α=(,-,,-),α=(-,,-,),求向量α,使得α+α=α.
21231221224331342.已知α=(,-,,),β=(-,,,-),321341624()如果α+γ=β,求γ;1
()如果(α-γ)+(β+γ)=0,求γ.
23210.2向量組的線性相關性10.2.1線性組合與線性表示向量之間的最簡單的關係,就是兩個向量成比例關係,如果向量α和β成比例,即存在一個數k,使α=kβ.
例如(,,,)和(,,,)是成比例的,這是因為12342468(,,,)=1(,,,).
123424682
在多個向量之間,這種關係表現為線性組合.
定義.對於給定的向量組α,α,…,αs與向量β,如果存在一組數k,k,…,ks,1051212使得kαkα…ksαs,β=11+22++則稱是向量組α,α,…,αs的線性組合,或稱能由向量組α,α,…αs線性表示.
β12β12例零向量可以由任意向量組線性表示.
1事實上,對於任意一個向量組α,α,…,αm,隻要取一組數k=k=…=km=,就有121200=α+α+…+αm.
01020例任意一個n維向量α=(a,a,…,am)都可由標準單位向量組ε=(,,…,),2121100ε=(,,…,),…,εn=(,,…,)線性表示.
2010001事實上,由向量的運算,有α(a,a,…,an)=12=(a,,…,)+(,a,…,)+…+(,,…,an)10002000=a(,,…,)+a(,,…,)+…+an(,,…,)11002010001第十章向量空間與線性方程組·65·aεaε…anεn.
=11+22++例設β=(,,),α=(,,),α=(,,),α=(,,),試問β能否表示成α,30421123223133121α,α的線性組合?若能,寫出具體表示式.
23解設存在一組數k,k,k,使得123kαkαkα,β=11+22+33即
éùéùéùéùê0úê1úê2úê3úêú=kêú+kêú+kêú,ê4ú1ê2ú2ê3ú3ê1ú?ê?ú?ê?ú?ê?ú?ê?ú2312根據向量的線性運算和向量相等的定義,有?ìk+k+k=,?122330ík+k+k=,?213234?
?k+k+k=,312232因為123D==-,23118≠0312由克萊姆法則,得k=,k=,k=-,112131所以β=α+α-α即β是α,α,α的線性組合.
12312310.2.2線性相關與線性無關定義.設α,α,…,αs為s個n維向量,如果存在一組不全為零的數k,k,…,1061212ks,使得kαkα…ksαs011+22++=成立,則稱向量組α,α,…,αs線性相關;如果不存在不全為零的數k,k,…,ks,使得1212kαkα…ksαs0.
11+22++=則稱向量組α,α,…,αs線性無關,即,若kαkα…ksαs0,則隻有kk…1211+22++=1=2==ks=.
0例標準單位向量組ε,ε,…,εn線性無關.
412事實上,若kεkε…ksεs0,11+22++=則
k(,,…,)+k(,,…,)+…+kn(,,…,)=(k,k,…,kn)=(,,…,),1100201000112000即
·66·高等數學(下冊)k=k=…=kn=,120所以ε,ε,…,εn線性無關.
12一般地,判斷一個向量組α,α,…,αs是線性相關還是線性無關的步驟是:12()假定存在一組數k,k,…,ks,使112kαkα…ksαs0;11+22++=()應用向量的線性運算和向量相等的定義,寫出未知數為k,k,…,ks的齊次線性方212程組;()判斷方程組有無非零解;3
()如有非零解,則α,α,…,αs線性相關,如僅有零解,則α,α,…,αs線性無關.
41212例判斷向量組5
α=(,,),α=(,,),α=(,,)121021213012是否線性相關.
解設kαkαkα0,11+22+33=即
éùéùéùéùê2úê1úê0úê0úkêú+kêú+kêú=êú,1ê1ú2ê2ú3ê1úê0ú?ê?ú?ê?ú?ê?ú?ê?ú0120於是?ìk+k=,?2120ík+k+k=,?122230?
?k+k=,2230因為方程組的係數行列式210=.
1214≠0012所以方程組隻有零解,即k=k=k=,因此α,α,α線性無關.
123012310.2.3線性相關性的若幹基本定理定理.m個n維向量α,α,…,αm(m)線性相關至少存在某個αi是其餘10112≥2?
向量的線性組合.若α,α,…,αm(m)線性無關任意一個αi都不能表示為其餘向量12≥2?
的線性組合.
證充分性:設α,α,…,αm線性相關,則存在不全為零的數k,k,…,km,使1212kαkα…kmαm0.
11+22++=不妨設ki,則有≠0第十章向量空間與線性方程組·67·αi(kα…ki-αi-ki+αi+…kmαm).
=-111++11+11++ki必要性:如果αi(kα…ki-αi-ki+αi+…kmαm),則=11++11+11++kα+…+ki-αi-+(-)αi+ki+αi++…+kmαm=0.
1111111由於k個數中ki=-不全為零,故α,α,…,αm線性相關.
1≠012注意:當α,α,…,αm線性相關時,不能說其中任意一個αi都可以用其餘向量線性表12示出.例如,α=(,),β=(,)線性相關,而α不能用β線性表出.僅有β能用α1000線性表示出β=·α.
0例設α,α,…,αm線性相關,m且α.證明:存在某個αt(tm)可612>11≠02≤≤用α,α,…,αt-線性表出.
121證因為α,α,…,αm線性相關,所以,一定存在不全為零的數k,k,…,km使得1212kαkα…kmαm0.
11+22++=若km,則αm可用α,α,…,αm-線性表示出,≠0121若km=,而km-,則αm-可用α,α,…,αm-線性表示出.
01≠01122如此繼續下去,由於α0,可知一定存在某個tm,使得1≠2≤≤kt,kt+=kt+=…=km=,≠0120於是必有αt(kαkα…kt-αt-).
=-111+22++11kt定理.如果向量組α,α,…,αm線性無關,而添加一個同維向量β後所得到的向10212量組α,α,…,αm,線性相關,則可以用α,α,…,αm線性表出,且表示法是唯一的.
12ββ12證因為β,α,α,…,αm為線性相關組,所以存在不全為零的(m+)個數k,k,k,12112…,km,使得kkαkα…kmαm0.
β+11+22++=如果k=,則k,k,…,km不全為零,且kα+kα+…+kmαm=0.這與已知α,α,012112212…,αm為線性無關組矛盾.所以必有k,於是得到線性表出式≠0kkkm12β=-α-α-…-am,k1k2k即可由向量組α,α,…,αm線性表示出.
β12唯一性:如果有兩個線性表示出式kαkα…kmαmlαlα…lmαm,β=11+22++=11+22++則有(kl)α(kl)α…(kmlm)αm0.
1-11+2-22++-=因為α,α,…,αm線性無關,必有ki-li=,即ki=li(i=,,…,m).所以線性表出12012式唯一.
定理.設α,α,…,αm為線性相關組,則任意擴充後的同維向量組α,α,…,1031212·68·高等數學(下冊)αm,αm+,…,αm+r必為線性相關組.
1證因為α,α,…,αm為線性相關組,所以存在不全為零的數k,k,…,km,使得1212kαkα…kmαm0,11+22++=此時,當然有kα+kα+…+kmαm+·am++·am++…+·am+r=0,112201020這說明α,α,…,αm,αm+,…,αm+r必為線性相關組.
121我們常把定理.簡述為“相關組的擴充向量組必為相關組”,或者“部分相關,整體相103關”.它的等價說法是“無關組的部分組必為無關組”或者“整體無關,部分無關”.
習題10.2.判斷向量α能否由向量組α,α,α線性表示,若能,寫出其表達式:1123()α=(-,-,,),α=(-,,,),18511711142α=(,,-,),α=(,-,,);2321033103()α=(,-,,-),α=(,-,,-),2230132613524α=(-,,-,),α=(,,-,);217363311510()α=(-,-,,-),α=(-,,,),38371012713α=(,-,,-),α=(-,-,,-).
2350235631.判別下列向量組的線性相關性:2
()α=(-,-,),α=(-,,),α=(-,,);1111221243308()α=(,,-,),α=(-,..),α=(,,,);2112132113230315()α=(,-,,-),α=(,,,),α=(,,,),α=(,-,,-).
311248213927314166441111.證明:α,α+α,α+α+α線性無關的充要條件是向量組α,α,α線性無關.
311212312310.3消元法現在來討論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為:ìaxax…anxnb,?111+122++1=1?
?ax+ax+…+anxn=b,í21122222()?…………10-2?
?amxamx…amnxnbm11+22++=的方程組,其中x,x,…,xn代表n個未知量,m是方程的個數,aij(i=,,…,m;j=,12121,…,n)稱為方程組()的係數,bi(i=,,…,m)稱為常數項.aij的第一個下標i表示210-212第十章向量空間與線性方程組·69·它在第i個方程,第二個下標j表示它是xj的係數.
記é…ùêa11a12a1nb1úê…úAêa21a22a2nb2ú,()=ê????ú10-3êú?ê…?úam1am2amnbm則方程組()由矩陣()完全確定,稱A為方程組()的增廣矩陣.
10-210-310-2記
éaa…anùéxùébùê11121úê1úê1úêúêúêúaa…anxbA=ê21222ú,X=ê2ú,B=ê2ú,ê???úê?úê?úêúêúêúêúêúêú?amam…amn??xn??bm?
12則方程組()的矩陣形式為10-2AX=B.
所謂方程組()的一個解就是指由n個數k,k,…,kn組成的有序數組(k,k,10-21212…,kn),當x,x,…,xn分別用k,k,…,kn代入後,()式中每個等式都變成恒等式.
121210-2方程組()的解的全體稱為它的解集合.解方程組就是找出它全部的解,或者說,求出它10-2的解集合.如果兩個方程組有相同的解集合,它們就稱為同解的.
在中學數學中,我們常用加減消元法求解二元或三元一次線性方程組,將其運用到解n元線性方程組,其基本思想是將方程組中的一部分方程變成未知量較少的方程,從而容易判斷方程組解的情況或求出方程組的解.
例解線性方程組1
?ìx+x+x-x=,215233243?
-x-x+x+x=-,?3122344í-x+x-x-x=-,?2132437413?
?1x+x+x+1x=.
?12234222解為避免出現分數,將方程組第四個方程乘以,並交換第一、四個方程,得2
?ìx+x+x+x=,1224344?
?-x-x+x+x=-,í3122344?-x+x-x-x=-,2132437413?
?x+x+x-x=,215233243將第一個方程的倍、倍、-倍分別加到第二、三、四個方程上,消去x,得3221·70·高等數學(下冊)?ìx+x+x+x=,1224344?
?x+x+x=,í52143448?x+x-x=-,7243545?
?x-x-x=-,253445交換第二、四個方程位置,得?ìx+x+x+x=,1224344?
?x-x-x=-,í253445?x+x-x=-,7243545?
?x+x+x=,52143448將第二個方程的-倍、-倍分別加到第三、四個方程上,消去x,得752?ìx+x+x+x=,1224344?
?x-x-x=-,í253445?x+x=,39323430?
?x+x=,39324433將第三個方程乘以-加到第四個方程,消去x,得13?ìx+x+x+x=,1224344?
?x-x-x=-,í253445()?x+x=,10-439323430?
?x=,43稱方程組()為階梯形方程組.由階梯形方程組()的第四個方程得10-410-4x=,43代回至第三個方程,解得x=-,31將x=-,x=回代至第二個方程,解得3143x=,22將x=,x=-,x=回代至第一個方程,解得223143x=,11所以原方程組的解為x=,x=,x=-,x=.
11223143總之,例的求解過程,實際上是對方程組反複施行了三種變換:()交換兩個方程的位11置;()用一個不為的數乘以某一個方程;()將一個方程乘以某常數加到另一個方程上.
203我們稱這三種變換為線性方程組的初等變換.
由於線性方程組可以用增廣矩陣表示,並且對方程組施行初等變換實質上就是對其增廣矩陣施行初等行變換,故線性方程組的求解過程完全可用矩陣及其初等行變換表示出來,第十章向量空間與線性方程組·71·如例,用增廣矩陣表示線性方程組,則解題過程可寫成:1
é-ùê25323úéùêú(r)ê12414ú---24êúê31214ú(r,r)---14êúA=ê----ú31214ê234713ú→ê----úêúê234713úê11ú?-?
?122?2532322éùéù(r+r)ê12414úê12414ú231êúêú(r+r)(r,r)---321ê051448ú24ê01545ú(r-r)421→ê--ú→ê--úê07455úê07455ú?---???
01545051448éùéùê12414úê12414úêúêú(r-r)---(r-r)---372ê01545ú43ê01545ú.
(r-r)452→êú→êúê00392330úê00392330ú?ê?ú?ê?ú0039243300013最後一個階梯形矩陣表示的方程組就是階梯形方程組(),其解為10-4x=,x=,x=-,x=.
11223143歸納起來,上述過程可表述為:先用初等行變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣,得同解的階梯形方程組,然後用逐次回代的方法解對應的階梯形方程組,就得到原方程組的解.這種解線性方程組的方法稱為高斯消元法,簡稱為消元法.
例解線性方程組2
?ìx+x+x+x=,?12344íx+x+x+x=,?2132349?
?-x+x-x-x=-.
312283844解用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣,即éù(r-r)éùêú221êú11114(r+r)11114A=êú331ê--úêúêúê23119ú→ê01111ú?----??--?
3288405558êéúù(r-r)11114352ê--ú,→ê01111ú?ê?ú00003得同解方程組為?ìx+x+x+x=,?12344íx-x-x=,()?234110-5?
?x=.
043顯然,無論x,x,x,x取哪一組數,都不能使()的第三個方程變成恒等式,即123410-5·72·高等數學(下冊)方程組()無解,從而原方程組無解.
10-5例解線性方程組3
?ìx+x+x+x=,123243?
?x-x+x+x=,í21233848()?-x+x-x-x=-,10-631223945?
?x-x-x=-.
223344解用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣,即éùéùê11123ú(r-r)ê11123úêú221êú-(r+r)-A=ê21388ú331ê03142úê----ú→ê-úê32195úê05234ú?---??---?
0123401234éùéù(r-r)ê11123úê11123ú221êú(1r)êú(r-r)---1---352ê01234ú12ê01234ú,(r+r)(r+r)432→êú453→êúê00121224úê00112ú?---???
00551000000得同解方程組為?ìx+x+x+x=,?123243íx-x-x=-,?223344?
?x+x=,342由第三個方程,得x=-x+,342回代到第二個方程,得xx,2=4將x=x,x=-x+回代到第一個方程,得24342x=-x+,1241於是得到原方程組的解為?ìx=-x+,?1241íx=x,()?2410-7?
?x=-x+.
342顯然,未知量x任取一個值代入式(),都可求得相應的x,x,x的一組值,從410-7123而得到方程組的一個解.因為未知量x可以取任意值,所以原方程組有無窮多個解.方程組4
()表示了方程組()的所有解,稱方程組()等號右邊的未知量x為原方10-710-610-74程組()的自由未知量,稱用自由未知量表示其他未知量的解的表達式為方程組的一10-6般解.在一般解中,取自由未知量的一組值,所得方程組的解稱為方程組的特解.如例中,取3
x=得x=,x=,x=,即得到方程組的一個特解為(,,,).
401120321020第十章向量空間與線性方程組·73·若自由未知量x取任意實數k,即4
xk,4=則由方程組()得到線性方程組()的解為10-710-6?ìx=-k+,121?
?x=k,í2(k為任意常數)?x=-k+,32?
?xk.
4=用向量表示為(x,x,x,x)=(-k+,k,-k+,k)=k(-,,-,)+(,,,),123421221111020即
éxùé-ùéùê1úê2úê1úêxúêúêúê2ú=kê1ú+ê0ú,(k為任意常數)()êxúê-úêú10-8ê3úê1úê2úêúêúêú?x?????
410稱式()形式的解為線性方程組的通解.
10-8上麵三個例子說明,非齊次線性方程組解的情況有三種:唯一解、無解、無窮多個解.當方程組有自由未知量時,就有無窮多個解.值得注意的是,方程組的自由未知量的取法不是唯一的.如例也可以取x作自由未知量,不難得到方程組的一般解為33?ìx=x-,?1233íx=-x+,(x是自由未知量)()?232310-9?
?x=-x+.
432方程組()和方程組()雖然形式上不同,但本質上是一樣的,都表示了線性方程10-710-9組的所有解.
·74·高等數學(下冊)習題10.3.利用高斯消元法求解下列線性方程組:1
?ìx-x+x=,?ìx-x+x=,?2122335?2122335()í-x+x-x=,()í-x+x-x=,1?122332?12233??
?x-x+x=;?x-x+x=;2132301238?ìx+x-x+x=,éùéxùéù122343ê-úê1úêú?
1032?-x-x+x+x=-,êú1234()ê-úx=êú;()í2383ê112úê2úê5ú4?-x+x+x-x=,êúêúêú1234?-??x????2213?
2334?x+x-x+x=;312223345?ìx+x+x+x=,?21723346()íx+x+x+x=,5?315223244?
?x+x+x-x=.
9142374210.4線性方程組有解判別定理上一節討論了消元法解線性方程組,解的情況有三種:唯一解、無窮多個解、無解.回顧它的求解過程,實際上就是對線性方程組ìaxax…anxnb,?111+122++1=1?
?ax+ax+…+anxn=b,í21122222()?…………10-10?
?amxamx…amnxnbm11+22++=的增廣矩陣éaa…anbùê111211úêúaa…anbA=ê212222ú()ê????ú10-11êúêú?amam…amnbm?
12進行初等行變換化成階梯形矩陣,這個階梯形矩陣在適當調動前n列的順序後可得如下形式的階梯形矩陣:第十章向量空間與線性方程組·75·écc…cr…cndùê1112111úêúc…cr…cndê022222úê?????úêúê…crr…cmdrú,ê00úê……dr+úê00001úê……úê00000ú?ê……?ú00000其中,cii,i=,,…,r.
≠012()當dr+=時,原方程組()有解,如上節例、例.這種情況下,又當r=n時,11010-1013方程組有唯一解,如上節例;當rn時,方程組有無窮多個解,其一般解含(n-r)個自由1<未知量,如上節例;3
()當dr+時,原方程組()無解,如上節例.
21≠010-102由矩陣的秩的知識易知,方程組()是否有解,關鍵在於增廣矩陣的秩是否等於10-10係數矩陣的秩.
定理.(線性方程組有解判別定理)線性方程組AX=B有解的充分必要條件是它104的係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等,即R(A)=R(A).
例當a,b為何值時,線性方程組1
?ìx+x+x=,?13230íx+x+x=-,?3122331?
?-x+x+ax=b,1423有唯一解、無窮多解或無解?
解用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣éù(r-r)éùéùêú231êúêú1310(r+r)1310(r+r)1310A=ê-ú31ê--ú32ê--ú,êúêúêúê3231ú→ê0701ú→ê0701ú?-ab??a+b??a+b-?
140710011根據方程組有解判別定理知:()當a=-,且b時,R(A)R(A),方程組無解;11≠1<()當a-時,R(A)=R(A)=,方程組有唯一解,用回代法易得方程組的解為2≠13ì-a-b+?x=374,?1(a+)?71?
íx=1,?2?7b-?x=1;?3a+1
·76·高等數學(下冊)()當a=-,且b=時,R(A)=R(A)=,方程組有無窮多個解.用回代法易得3112<3其一般解為ì
?x=-x-3,?13í7(x為自由未知量).
?3?x=1.
?27
?ìx-x+x+x=,17243240?
?x-x+x+x=,例當λ為何值時,線性方程組í215233241有解?若有解,求出它2?x-x+x+x=,518253443?
?x-x+x+x=λ412324的解.
解用初等行變換將增廣矩陣化成階梯形矩陣é-ùé-ùê17420ú(r-r)ê17420úêú221êú-(r-r)--A=ê25321ú351ê09521ú(r-r)ê-ú441→ê--úê58543úê0271563ú?-λ??--λ?
4112027156éùê147úé-ù(1r)ê10úê17420ú2999êú9êú(r-r)--(r,r)êú332ê09521ú34-5-21,(r-r)êú(r+r)ê01ú432→172→999ê00000úêúêúλ?λ-?ê-ú00003ê00003ú?ê?ú00000當λ=時,R(A)=R(A)=(未知量的個數),方程組有無窮多解,其一般解為32<4ì
?x=-1x-4x+7,?134í999(x,x是自由未知量)?34?x=5x+2x+1,?234999即
éùéùéùê-1úê-4úê7úéxùêúêúêúê1ú999êúêúêúêúxêúêúêúê2úk5k21(k,k為任意實數).
=1êú+2êú+êú12êxúê3úê9úê9úê9úêú?x?êúêúêú4ê1úê0úê0ú?ê?ú?ê?ú?ê?ú010第十章向量空間與線性方程組·77·習題10.4.判定下列線性方程組是否有解,若有解,求出它的所有解.
1?ìx-x+x=,13247?
?-x+x+x-x=-,()í122434121?x-x+x+x=-,12233241?
?x-x+x=;21247?ìx-x+x=,12235?
?x+x=,()í31332?x+x-x=-,21232?
?x+x=;5121é-ùéxùéùê124úê1úê3úêú()êúx=ê-ú.
3ê112úê2úê4úêúêúêú?--??x???
21235.設有線性方程組2
éλùéxùéùê11úê1úê1úêúêλúx=êλú,ê11úê2úêúêúêúêú?λ??x??λ?
1132問當λ為何值時,有唯一解?有無窮多個解?無解?
10.5線性方程組解的結構在解決了線性方程組有解的判別條件之後,我們來進一步討論線性方程組解的結構.在方程組的解是唯一的情況下,當然沒有什麼結構問題.但當線性方程組有無窮多個解時,這些解有怎樣的結構,如何表示出來,這就是本節要討論的問題.我們先看齊次線性方程組的情形.
·78·高等數學(下冊)10.5.1齊次線性方程組解的結構設
?ìax+ax+…+anxn=,11112210?
?ax+ax+…+anxn=,í21122220(-)?…………1012?
?amx+amx+…+amnxn=11220是一齊次線性方程組,對其增廣矩陣éaa…anùê111210úêúaa…anA=ê212220úê????úêúêú?amam…amn?
120施行初等行變換,將其化為階梯形矩陣形式écc…crc,r+…cnùê111211110úêúc…crc,r+…cnê02222120úê??????úêúê…crrcr,r+…crnú,ê0010úê……úê000000úê??????ú?ê……?ú000000易知:()齊次線性方程組()總有解,如x=,x=,…,xn=就是它的解,稱為零110-1210200解或平凡解;()當rn時,齊次線性方程組()有無窮多個解,當然有非零解,其一般解含有2<10-12(n-r)個自由未知量.
因此由矩陣的秩的知識易得:定理.齊次線性方程組()有非零解的充分必要條件是係數矩陣A的秩小10510-12於未知量的個數n,即R(A)n.
<由上麵討論易知,若齊次線性方程組有非零解,則它一定有無窮多個解,那麼這些解之間有什麼關係呢?我們又如何表示這些解呢?先看齊次線性方程組解的基本性質.
性質兩個解的和還是方程組的解.
1證齊次線性方程組()的矩陣形式為10-12AX=0,若α,α是方程組()的兩個解向量,則1210-12第十章向量空間與線性方程組·79·Aα=,Aα=0,102所以A(αα)AαAα000,1+2=1+2=+=因此α+α還是方程組()的解.
1210-12性質一個解的倍數還是方程組的解.
2證設α是方程組()的解,k為任意實數,因為10-12A(kα)=k(Aα)=k0=0,所以kα還是方程組(-)的解.
1012由性質和性質易得:12推論解的線性組合還是方程組的解.即設α,α,…,αs是方程組()的s個解11210-12向量,則它們的任一線性組合kα+kα+…+ksαs還是方程組()的解向量.
112210-12推論說明了,如果齊次線性方程組有幾個解,那麼這些解的所有可能的線性組合就給1
出了很多的解.基於這個事實,我們要問:齊次線性方程組的全部解是否能夠通過它的有限的幾個解的線性組合給出來?回答是肯定的.為此,我們引入下麵的定義.
定義.齊次線性方程組()的一組解向量ξ,ξ,…,ξt稱為()的一10610-121210-12個基礎解係,如果:()ξ,ξ,…,ξt線性無關;112()方程組()任一解向量都可由ξ,ξ,…,ξt線性表示.
210-1212根據定義,如果方程組()隻有零解,則它不存在基礎解係;如果方程組()10-1210-12有非零解,那麼它一定有基礎解係嗎?下麵的定理回答了這個問題.
定理.如果齊次線性方程組()的係數矩陣A的秩r小於未知量的個數n,10610-12則它有基礎解係,並且其基礎解係含有(n-r)個解向量.
證因為R(A)=rn,所以對A進行初等行變換化為階梯形矩陣ébb…brb,r+…bnùê11121111úêúb…brb,r+…bnê0222212úê?????úêúê…brrbr,r+…brnú,ê001úê……úê00000úê?????ú?ê……?ú00000將上麵階梯形矩陣再進行一些初等行變換化為行簡化階梯形矩陣·80·高等數學(下冊)é…c,r+…c,nùê100111úêú…c,r+…c,nê010212úê?????úêúê…cr,r+…cr,nú,ê0011úê……úê00000úê?????ú?ê……?ú00000得到方程組()的同解方程組為10-12ìxc,r+xr+…cnxn,?1=-111--1?
?x=-c,r+xr+-…-cnxn,í22112()?…………10-13?
?xrcr,r+xr+…crnxn,=-11--其中,xr+,xr+,…,xn為自由未知量.將()式改寫成1210-13ìxc,r+xr+…cnxn,?1=-111--1?
x=-c,r+xr+-…-cnxn,?22112?…………?
íxr=-cr,r+xr+-…-crnxn,?11?xr+=xr+,?11?…………?
?xn=xn,é-c,r+ùé-c,r+ùé-c,nùéxùê11úê12úê1úê1úêúêúêú-c,r+-c,r+-c,nêxúê21úê22úê2úê2úê?úê?úê?úê?úêúêúêúêúêcr,r+úêcr,r+úêcr,nú-1-2-êxrúêúêúêú即êúxr+xr+…xn,=1êú+2êú++êúêxr+ú1001êúêúêúêúêúêúêúxr+010ê2úêúêúêúêú?ê0úê0úê0úêúê?úê?úê?úêúêúêúêú?xn?
?ê?ú?ê?ú?ê?ú001將自由未知量xr+,xr+,…,xn用任意常數c,c,…,cn-r代替,並記作1212第十章向量空間與線性方程組·81·éxùé-c,r+ùé-c,r+ùé-c,nùê1úê11úê12úê1úêxúê?úê?úê?úê2úêúêúêúêú?ê-cr,r+úê-cr,r+úê-cr,núêúê1úê2úêúξ=êxrú,ξ=êú,ξ=êú,…,ξn-r=êú,êú1ê1ú2ê0úê0úêxr+ú1êúêúêúêúê0úê1úê0úê?úê?úê?úê?úêúêúêúêú?xn???????
001可得ξ=cξ+cξ+…+cn-rξn-r,(-)11221014因此方程組()的任意一個解都是ξ,ξ,…,ξn-r的線性組合,且ξ,ξ,…,ξn-r線性10-121212無關,所以ξ,ξ,…,ξn-r是方程組()的一個基礎解係.
1210-14定理.的證明過程實際上也給出了求基礎解係的方法.
106例求齊次線性方程組1
?ìx-x+x+x=,?122340íx-x+x-x=,?122340?
?x-x+x+x=1223540的基礎解係.
解對係數矩陣A進行初等行變換化為階梯形矩陣éù(r-r)éùê-ú31ê-ú1211(r-r)1211A=ê--ú21ê-úêúêúê1211ú→ê0002ú?-???
12150004,é-ùé-ù-1rêúêú21211(r-r)12102êú12êú(r+r)êúêú422→0001→0001?ê?ú?ê?ú00000000得R(A)=,所以方程組有非零解,其同解方程組為2<4x-x+x=,12230{x=,40取x,x為自由未知量,則23x=x-x,1223{x=,40即
?ìx=x-x,1223?
?x=x,í22?xx,3=3?
?x=,40·82·高等數學(下冊)即
éxùéùé-ùê1úê2úê1úêxúêúêúê2ú=xê1ú+xê0ú,êxú2êú3êúê3úê0úê1úêúêúêú?x?????
400所以原方程組的基礎解係為éùé-ùê2úê1úêúêúξ=ê1ú,ξ=ê0ú,1êú2êúê0úê1ú?ê?ú?ê?ú00原方程組的所有解為cc(c,c為任意常數).
1ξ1+2ξ212例求λ,使齊次線性方程組2
?ì(λ+)x+x+x=,?312230íλx+(λ-)x+x=,?11230?
?(λ+)x+λx+(λ+)x=3112330有非零解,並求其所有的解.
解因為係數行列式λ+312A=λλ-=λ2(λ-),111(λ+)λλ+313當A=λ2(λ-)=,也就是λ=或時,方程組有非零解,1001將λ=代入原方程組得0
?ìx+x+x=,?312230í-x+x=,?230?
?x+x=,31330其係數矩陣êéúùêéúù312(r-r)312A=ê-ú31ê-ú1êúêúê011ú→ê011ú???-?
303011êéúùêéúù(r+r)303[(-)r]10112ê-ú12ê-ú,(r-r→)ê011ú→ê011ú32êú(1r)êú??1??
0003000所以r(A)=,方程組有非零解,同解方程組為12<3xx,1=-3{xx,2=3第十章向量空間與線性方程組·83·é-ùê1ú取x=,求得原方程組的一個基礎解係為ξ=êú,因此原方程組的所有解為cξ(c為任3êú1ê1ú??
1意常數).
將λ=代入原方程組得1
?ìx+x+x=,?412230íx+x=,?130?
?x+x+x=,612430其係數矩陣éù(r,r)éùéùêú12êúêú412(r-r)101(r-r)101A=êú241ê-ú32ê-ú,2ê101ú(r-r→)ê012ú→ê012úêú361êúêú???-???
614012000所以r(A)=,所以方程組有非零解,同解方程組為22<3xx,1=-3{x=x,223é-ùê1ú取x=,求得原方程組的一個基礎解係為ξ=êú,因此原方程組的所有解為cξ(c為任31ê2ú?ê?ú1
意常數).
10.5.2非齊次線性方程組的解的結構由.節知道,非齊次線性方程組Ax=b,當係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩,小於未104知量的個數時,有無窮多個解,這些解具有怎樣的性質和結構呢?首先注意到,當b0時,≠
Ax=b的兩個解的和不再是它的解了.它的一個解的倍數也不再是它的解了,事實上,若Aη=b,Aη=b,則A(η+η)=bb,A(kη)=kA(η)=kbb,其中k為不等於12122≠11≠1的任意實數.這也就是說,Ax=b的若幹個解的線性組合不再是它的解了.所以,對於非齊次線性方程組Ax=b來說,根本不存在解空間和基礎解係等概念.
對於任意一個非齊次線性方程組Ax=b,一定對應有一個齊次線性方程組Ax=0,稱Ax=0為Ax=b的導出組.這樣就在Ax=b與Ax=0之間架設了一座橋梁.他們有相同的係數矩陣.希望可以借助於Ax=0的基礎解係求出Ax=b的通解.下麵給出非齊次線性方程組Ax=b與導出組Ax=0的解的性質.
性質如果η,η是非齊次線性方程組Ax=b的解,則ξ=η-η是它的導出組11212Ax=0的解.
證因為,是Axb的解,必有Ab和Ab,所以必有η1η2=η1=η2=AA()AAbb0.
ξ=η1-η2=η1-η2=-=·84·高等數學(下冊)這說明是它的導出組Ax0的解.
ξ=η1-η2=性質如果η是非齊次線性方程組Ax=b的解,ξ是它的導出組Ax=0的解,則ξ+η2
必是Ax=b的解.
證因為η是Ax=b的解,ξ是Ax=0的解,必有Aξ=0,Aη=b,所以必有A(ξ+η)=Aξ+Aη=b.
這說明ξ+η必是Ax=b的解.
這就是說,非齊次線性方程組的任意兩個解的差必是其導出組的解.非齊次線性方程組的任意一個解與其導出組的任意一個解的和仍是非齊次線性方程組的解.
任取Ax=b的兩個解η和η*,令ξ=η-η*.由Aη=b和Aη*=b知道必有Aξ=A(η-η*)=b-b=0.
這說明ξ=η-η*必是導出組的解.於是由ξ=η-η*知道η=η*+ξ,這說明Ax=b的任意一個解η一定可以寫成Ax=b的某一個特解η*和其導出組Ax=0的任意一個解ξ之和.而Ax=0的這個解ξ又可以表示成Ax=0的任意一個基礎解係的線性組合,於是可以得到Ax=b的解的結構定理:定理.設A是m×n矩陣,且r(A)=r(A)=rn,則Ax=b的一般解為107≤η=η*+kξ+kξ+…+kn-rξn-r,()112210-14其中,*為Axb的一個特解,{,,…,n-r}為Ax0的任意一個基礎解係.
η=ξ1ξ2ξ=證設η*為Ax=b的一個特解,η為Ax=b的任意一個解,令ξ=η-η*,由Aη=b和Aη*=b知道必有Aξ=A(η-η*)=b-b=0.這說明ξ=η-η*必是導出組的解.
於是由ξ=η-η*知道η=η*+ξ,這說明Ax=b的任意一個解η一定可以寫成Ax=b的一個特解η*和其導出組Ax=0的解ξ之和.而Ax=0的這個解ξ又可以表示成Ax=0的任意一個基礎解係的線性組合,即*kk…kn-rn-r.
η=η+1ξ1+2ξ2++ξ第十章向量空間與線性方程組·85·習題10.5.求下列齊次線性方程組的基礎解係和所有解:1
?ìx-x+x-x=,1223340?ì-x+x+x-x=,?
?122340?-x-x-x+x=,()íx-x-x-x=,()í1233401?1232402?x-x+x-x=,?1234?x-x+x+x=;?224601234?
2430?-x+x-x+x=;1223340?ìx-x-x=,?31240()íx-x+x-x-x=,3?12233450?
?x+x-x-x-x=.
21234450.若ξ,ξ,…,ξt都是非齊次線性方程組AX=B的解,證明:kξ+kξ+…+ktξt2121122也是AX=B的解(其中k+k+…+kt=).
121本章小結·86·高等數學(下冊)總習題一、填空題.已知向量組α=(,,),α=(,,),α=(,,t)線性相關,則t=.
111012223313.設α=(,,,),α=(,,,),α=(,,-,),且α+α-α+β=2125132101510341113152234,則β=.
0.設α=(,,,),α=(-,,,),α=(,,,),β=(,,,),將β表示為31222121302320411301α,α,α的線性組合為.
123.非齊次線性方程組AX=b有唯一解的充分必要條件是.
4.向量組α,α,…,αs線性無關的充分必要條件是.
512二、選擇題.設A是m×n矩陣,若(),則齊次線性方程組AX=0有非零解.
6mnR(A)=nmnR(A)=mA.D.
éùê10721úê-ú.設線性方程組的增廣矩陣是ê01211ú,則這個方程組解的情況是7ê---úê02422ú?ê?ú00015().
有唯一解無解有四個解有無窮多個解A.B.C.D.
.設線性方程組AX=b及相應的齊次線性方程組AX=0,則下列命題成立的是().
8AX=0隻有零解時,AX=b有唯一解A.
AX=0有非零解時,AX=b有無窮多個解B.
AX=b有唯一解時,AX=0隻有零解C.
AX=b無解時,AX=0也無解D.
.若向量組中含有零向量,則此向量組().
9線性相關線性無關線性相關或線性無關不一定A.B.C.D.
.設α為任意非零向量,則α().
10線性相關線性無關線性相關或線性無關不一定A.B.C.D.
第十章向量空間與線性方程組·87·三、綜合題.求下列齊次線性方程組的一個基礎解係:11?ìx+x+x+x+x=,123450?
?x+x+x+x-x=,()í3122343501?x+x+x+x=,22324650?
?x+x+x+x-x=;5142333450?ìx+x-x-x=,123450?
?x-x+x-x=,()í1223402?x-x+x-x-x=,41226334450?
?x+x-x+x-x=;21422344750?ìx-x+x-x+x=,1223450?
?x+x-x+x-x=,()í2123243503?x-x-x+x-x=,312234250?
?x-x+x-x+x=.
2152324250?ìx+x-x=,?1231.確定λ的值,使線性方程組íx+x+λx=,無解,有唯一解,有無窮多解.
12?213233?
?x+λx+x=,12332.討論a和b取什麼值時下列線性方程組有解,並求解.
13?ìx+x+x+x+x=,123451?ìax+x+x=,?
?1234?x+x+x+x-x=a,()íx+bx+x=,()í312234351?12332?x+x+x+x=,?2345?x+bx+x=;?2263123?
24?x+x+x+x-x=b.
514233345?ì(λ+)x+x+x=λ,?3123.討論λ取什麼值時線性方程組íλx+(λ-)x+x=λ,有解,並求解.
14?11232?
?(λ+)x+λx+(λ+)x=,3112333閱讀材料應用一線性方程組在空間解析幾何中的應用在空間解析幾何中,任一平麵可以用三元一次方程Ax+By+Cz+D=表示,下11110麵用方程組解的判定來判別兩個平麵的位置關係.
設兩個平麵Π:Ax+By+Cz+D=,111110·88·高等數學(下冊)Π:Ax+By+Cz+D=,222220則Π,Π間的相互關係有下麵三種情形:12éABCùéABCDù()當ê111úê1111ú,即方程組RêúRêú1?ABC?≠?ABCD?
2222222Ax+By+Cz+D=,11110{Ax+By+Cz+D=22220的係數矩陣的秩不等於其增廣矩陣的秩,方程組無解,故Π,Π沒有公共點,Π,Π平行且1212不重合.
éABCùéABCDù()當ê111úê1111ú時,方程組Rêú=Rêú=2?ABC??ABCD?12222222Ax+By+Cz+D=,11110{Ax+By+Cz+D=22220有無窮多個解,這時Π,Π重合.
12éABCùéABCDù()當ê111úê1111ú時,方程組Rêú=Rêú=3?ABC??ABCD?22222222Ax+By+Cz+D=,11110{Ax+By+Cz+D=,22220有無窮多個解,但Π,Π不重合,相交於一條直線.
12應用二煤氣廠模型例某煤氣公司有三個煤氣廠,主要生產煤氣,同時還有兩種主要的副產品,焦炭和1
瀝青,這三個煤氣廠從原煤中生產這三種產品的產量如表:1t1表產品生產消費量表單位:1kg第一煤氣廠第二煤氣廠第三煤氣廠煤氣1688焦炭8208瀝青41020假設該公司計劃在一個生產周期內生產煤氣,生產焦炭,生產瀝青9600kg12800kg,問如何給各個煤氣廠分配原煤的數量?如果需要增加煤氣,問如何給各個16000kg1kg煤氣廠增加原煤的數量?
解設x表示分配給第i個煤機廠的原煤噸數,則1
?ìx+x+x=,?16182839600íx+x+x=,?812028312800?
?x+x+x=,4110220316000第十章向量空間與線性方程組·89·記
éùéxùéùê1688úê1úê9600úêúA=êú,X=x,B=êú,ê8208úê2úê12800úêúêúêú???x???
41020316000有
AX=B,因為1688A==,8208409641020所以A是可逆矩陣,計算得éùê5-5-3úêú64256128éùêúê125ú-êú-êúA1=-19-1,X=A1B=,êúê350úê321286ú?ê?úêú600ê-11ú?0?
3216因此應給第一、二、三煤氣廠分別分配、、原煤.
125t350t600t在許多情形下,人們還對確定需求或計劃的微小改變對生產規模有怎樣的影響感興趣,例如例中第種產品即煤氣增加,問如何給各個煤氣廠分配原煤的數量?
111kg設X是B改變為B後方程AXB的解,即AXB,00=00=0記
éùê1úB=B-B=êú,Δ0ê0ú?ê?ú0
則B=B+B,0Δ-----X=A1B=A1(B+B)=A1B+A1B=X+A1B=X+X,00ΔΔΔΔéùê5-5-3úéùêúê5ú64256128éùêúêúê1ú64-êúêúêúX=A1B=-19-1=,ΔΔêúê0úê-1ú321286êúêúêú??32êú0êúê-11ú??
?0?03216-
因此,多生產一個單位的第一種產品引起解的改變X恰好是A1的第一列.類似地,如Δ
-果我們需要多生產一個單位的第二種、第三種產品時,A1的第二列、第三列表明解的變化.
·90·高等數學(下冊)像例中第一種產品即煤氣增加,該如何給各個煤氣廠分配原煤的數量的問題,也11kg就是對確定需求或計劃的微小改變對生產規模有怎樣的影響的問題,在經濟學中這類問題被稱為敏感度分析.
應用三線性方程組在經濟生產中的應用在經濟生產中,線性方程組的應用主要是解決投入產出問題,即經濟係統內部各部門間生產和分配的線性關係.
例某城有三個經濟部門:煤炭,電力,建材.煤炭業每生產元產品消費電費.元,2102消費建材費.元;電力業每生產元產品消費煤炭費.元,消費電費.元,消費建材費01106005.元;建材業每生產元產品消費煤炭費.元,消費電費.元,消費建材費.元.假設00510450101今年該城的煤炭部門收到外部訂單萬元,電力部門收到外部訂單萬元,建材部門收到1020外部訂單萬元.那麼今年該城這三個部門應該如何安排生產?
30解把該城的三個經濟部門作為一個係統.首先把每生產一個單位產品要消費的係統內部東西的數量稱為內部消費係數.如表:2
表內部消費係統表單位:元2
生產部門消費部門煤炭電力建材煤炭..
006045電力...
0200501建材...
0100501設生產量安排為:煤炭x萬元,電力x萬元,建材x萬元.那麼所有生產消費情況可列123表.如表:3
表全部生產消費量表單位:萬元3
消費部門生產部門生產量外部訂單煤炭電力建材煤炭xx.x.x101062045310電力x.x.x.x2021005201320建材x.x.x.x3011005201330既滿足所有外部、內部需要而產品又無積壓為最優,這就是所謂的產銷平衡原則.因此?ìx=x+.x+.x+,?101062045310íx=.x+.x+.x+,?2022005201320?
?x=.x+.x+.x+,3011005201330解得第十章向量空間與線性方程組·91·?ìx=.(萬元),?14991íx=.(萬元),?23586?
?x=.(萬元).
34086應用四線性方程組在工資問題中的應用例現有一個木工、一個電工和一個油漆工,三個相互同意彼此裝修他們自己的房子.
3裝修之前,他們達成了如下協議:()每人總共工作天(包括給自己家幹活在內);()每人1102的日工資根據一般的市場價在~元之間;()每人的日工資應使得每人的總收入支出60803相等,表是他們協商後製定出的工作天數的分配方案,如何計算出他們每人應得的工資?
4表分配方案單位:天4
工種天數木工電工油漆工在木工家工作的天數216在電工家工作的天數451在油漆工家工作的天數443解以x表示木工的日工資,x表示電工的日工資,x表示油漆工的日工資.木工的123個工作日總收入為x,木工、電工及油漆工在木工家工作的天數分別為:天,天,10101216天,則木工的總支出為x+x+x,由於木工總支出和總收入要相等,於是木工的收支平21263衡關係可描述為:x+x+x=x,21263101同理,可分別建立描述電工、油漆工各自的收支平衡關係的等式x+x+x=x,x+x+x=x,41523102414233103聯立並整理得三人日工資數應滿足的齊次線性方程組:?ì-x+x+x=,?812660íx-x+x=,?415230?
?x+x-x=,4142730解得x=,x=,x=.
162264372·92·高等數學(下冊)第十一章概率論的基本概念概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律的一門數學學科,它在工農業生產、科學技術研究和現代經濟管理中都有著十分廣泛的應用.從本章起至第十三章,我們將學習有關概率論與數理統計的基本知識.
11.1隨機事件、樣本空間11.1.1隨機事件和樣本空間定義..一個試驗如果滿足下述條件:1111()試驗可以在相同的情形下重複進行;1
()試驗的所有可能結果是明確可知的,並且不止一個;2
()每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個,但在一次試驗之前卻不能肯定這次3
試驗會出現哪一個結果.
稱這樣的實驗是一個隨機試驗,記作E.
基本事件和樣本空間:隨機試驗的每一個可能結果,稱為基本事件(樣本點).它們的全體,稱作樣本空間,常用ω表示基本事件,用Ω表示樣本空間.從集合角度看,基本事件又是樣本空間的一個元素,可記作Ω={ω}.
複雜事件與事件:由若幹個基本事件組成的事件稱為複雜(複合)事件.無論基本事件還是複雜事件,它們在試驗中發生與否,都帶有隨機性,所以都叫作隨機事件或簡稱為事件,記作大寫字母A,B,….
必然事件與不可能事件:因為Ω是所有基本事件所組成,因而在任一次試驗中,必然要出現Ω中的某一基本事件ω,即ωΩ.也就是在試驗中,Ω必然會發生,所以又用來表示必∈
然事件.相應地,空集可看作Ω的子集,在任一次試驗中,不可能有ωΩ,也就是說永?∈?
遠不可能發生,所以是不可能事件.必然事件和不可能事件的發生與否,已失去了“不確定?
性”,因而本質上它們不是隨機事件,但為了方便,仍視為隨機事件的兩個極端情形.
例一個盒子中有十個相同的球,但個是白色的,另個是黑色的,攪勻後從中任意155第十一章概率論的基本概念·93·摸取一球.令ω{取得白球},ω{取得黑球},1=2=則Ω{ω,ω}.
=12例一個盒子中有十個完全相同的球,分別標以號碼,,…,,從中任取一球,令21210i={取得球的標號為i},則Ω={,,…,}.
1210例討論某電話交換台在單位時間內收到的呼喚次數,令i={收到的呼喚次數為i},3
則Ω={,,,…}.
012例測量某地水溫,令t={測得的水溫為t},4℃則Ω={,}.
0100例從一批電腦中,任取一台觀察無故障運行的時間,令5
t={無故障運行的時間為t,單位:},h
則Ω={t|t}.
≥0由上述的討論可見,對於任何一個隨機試驗E必確定相應的樣本空間Ω,一旦試驗E給定,我們就可以寫出它的樣本空間Ω.又由於任何一個事件或是基本事件,或是由基本事件組成的複雜事件,因此,試驗E的任何一個事件A都是樣本空間中的一個子集.從而由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應的一切隨機事件.
11.1.2事件的關係和運算一個樣本空間Ω中,可以有很多的隨機事件.概率論的任務之一,是研究隨機事件的規律,通過對較簡單事件規律的研究去掌握更複雜事件的規律.為此,需要研究事件之間的關係和事件之間的一些運算.
如沒有特別聲明,在以下的敘述中總認為樣本空間Ω已給定,並且還給出了Ω中的一些事件.
事件的關係與運算1.
()事件的包含關係1
“如果事件A發生必然導致事件B發生”,則稱B包含了A,或稱A包含於B,並記為AB或BA.(幾何解釋:Ω中的兩個子集A與B,“事件A發生必然導致事件B發生”意??
味著“屬於A的ω必然屬於B”,即A中的點全在B中).
因不可能事件不含有任何ω,所以對任一事件A,約定A.
???
()事件的相等關係2
“如果有AB,BA同時成立”,則稱事件A與B相等,記作A=B.易知,相等的兩??
個事件總是同時發生或不同時發生.
()兩事件的並(或和)事件3
“事件A與B中至少有一個發生”,這樣的一個事件稱作事件A與B的和(或並),記作AB.
∪·94·高等數學(下冊)()兩事件的交(或積)事件4
“事件A與B同時發生”,這樣的一個事件稱作事件A與B的積(或交),記作AB(或∩
AB).
()兩事件的差事件5
“事件A發生而B不發生”,這樣的事件稱為事件A與B的差,記作A-B.
()互不相容事件或互斥事件6
“若事件A與B不能同時發生”,也就是說AB是一個不可能事件.即AB=,則稱事件?
A與B互不相容(或互斥).
()對立事件或逆事件7
“若A與B互不相容,且它們的和為必然事件”,即AB=及AB=Ω,則稱A與B?∪為對立事件或與互為逆事件,事件的逆事件記作ABAA?.
易知,在一次試驗中,若發生,則必不發生(反之亦然),即與二者隻能發生其AA?AA?
中之一,並且也必然發生其中之一.因而有=
AA=,AA=Ω,A=A.
??∪?
若與互逆則必互斥,但反之不然當事件較複雜而較為簡單時可通過研究來AB.AA?A?
研究A.
()若n個事件:A,A,…,An,則“A,A,…,An中至少發生其中的一個”這樣的事件81212n
稱作A,A,…,An的並(和),並記作AA…An或Ai;若“A,A,…,An同時1212i=12∪∪∪∪1n
發生”,這樣的事件稱作A,A,…,An的交(積),記作AA…An或Ai.
1212i=∪∩1ABA∪BA∩BB
ABAA
ΩΩBΩ圖-圖-圖-111112113A-BAAB=A
BA
BBAAΩΩΩΩ圖-圖-圖-114115116事件的運算性質2.
()交換律:AB=BA,AB=BA;1∪∪()結合律:A(BC)=(AB)C,(AB)C=A(BC);2∪∪∪∪()分配律:A(BC)=(AB)(AC);(AB)C=(AC)(BC);3∪∪∩∪∪∩∪第十一章概率論的基本概念·95·()德·摩根()定理(對偶律):4DeMorganAB=AB,AB=AB;∪∪對可列多個事件的情形有∞∞∞∞Ai=Ai,Ai=Ai.
i=i=i=i=∪1∩1∩1∪1例設A,B,C是Ω中的隨機事件,用A,B,C表示如下事件:6
()A發生且B與C至少有一個發生;1
()A與B發生而C不發生;2
()A,B,C中至少有兩個發生;3
()A,B,C中至多有兩個發生;4
()A,B,C中不多於一個發生;5
()A,B,C中恰有一個發生.
6解()BC表示B與C至少有一個發生.故答案為A(BC).
1∪∩∪()A與B發生即A和B同時發生,就是AB發生,C不發生即C發生,答案為ABC.
2()答案為ABBCAC.
3∪∪()A,B,C中至多有兩個發生的逆事件為ABC發生,故答案為ABC.
4()A,B,C至多有一個發生意味著沒有兩個或兩個以上的事件同時發生,從而答案為5
ABBCAC.
∪∪()答案為ABCABCABC.
6∪∪習題11.1.寫出下列隨機試驗的樣本空間,及有關它的事件中的樣本點.
1()擲一枚均勻骰子,A:出現奇數點;1
()將一枚均勻硬幣拋擲兩次,A:第一次出現正麵;B:兩次出現同一麵;C:至少有一次2
出現正麵;()將a,,、c三隻球任意放入甲、乙、丙三個盒子中去,使每個盒子中恰好各有一球,3
A:球a放在甲盒中.
.某台機器依次生產了n個零件,用事件Ai表示他生產的第i個零件為正品(i21≤≤n),用Ai表示下列事件:()所有零件為正品;()至少有一個零件為次品;()僅有一個零件為次品.
123.將下列事件用A,B,C表示出來.
3()A發生,B,C兩個事件都不發生;()A,B,C三個事件均發生;12()A,B,C三個事件均不發生;()A,B,C三個事件不都發生;34·96·高等數學(下冊)()A,B,C三個事件至少有個發生;()A,B,C三個事件至多有個發生.
516111.2概率、古典概型定義..隨機事件A發生可能性大小的度量(數值),稱為A發生的概率,記作1121P(A).
注意:對於一個隨機事件來說,它的可能性大小的度量是由它自身決定的,並且是客觀存在的,概率是隨機事件發生可能性大小的度量,是隨機事件自身的一個屬性.一個根本的問題是,對一個給定的隨機事件,它發生可能性大小的度量———概率,究竟是多大?這才是該門課程研究的問題.
11.2.1概率與頻率頻率的定義:如果隨機事件A在n次反複試驗中發生了nA次,稱nAfn(A)=為A的頻率.
n頻率的基本性質:.非負性:fn(A);1≥0.規範性:若Ω是必然事件,則fn(Ω)=;21.有限可加性:若AB=,則fn(AB)=fn(A)+fn(B).
3?∪這三條性質的論證是很直觀的,因為nA.nA,所以;1≥0n≥0nΩ.Ω是必然事件,所以nΩ=n,從而=;2n1.若AB發生,意味著A,B中至少發生其中之一,又因為A與B互不相容,所以A3∪∪B發生的次數一定是A發生的次數與B發生的次數之和,即nABnAnB,從而有∪=+fn(AB)=fn(A)+fn(B)∪
成立.
另還可驗證三條性質:.不可能事件的頻率為零,即fn()=;1?0.若AB,則fn(A)fn(B),從而,對任一事件A,有fn(A);2?≤≤1.對有限個兩兩不相容事件(即任意兩個事件互不相容),頻率具有可加性,即若3
AiAj=(i,jm,ij),則?1≤≤≠mmfn(Ai)=fn(Ai).
i∪=i=1∑1第十一章概率論的基本概念·97·大量的試驗發現,盡管每做一串(n次)試驗,事件A所得到的頻率fn(A)可以各不相同,但是隻要n相當大,fn(A)總在某個數值附近擺動,這個數值稱為頻率的穩定值,頻率的穩定值反映了事件A發生的可能性的大小.由此可見,隨著試驗次數的增大,頻率fn(A)與概率P(A)會非常靠近的,這個穩定值便是概率P(A).因此概率是可以通過頻率來“測量”的,或者說頻率是概率的一個近似.因為對每一個隨機事件A,都有一個概率P(A)與之對應.
根據概率與頻率的關係及頻率的性質,對於事件A概率應具有下述性質:.非負性:P(A);10≤≤1.規範性:P(Ω)=;21∞∞.可列可加性:若AiAj=(ij),則P(Ai)=Ai.
φi3≠∩=i=1∑111.2.2概率的一些重要性質()不可能事件的概率為,即P()=.
10?0證明因為Ω=Ω…,所以∪?∪?∪P(Ω)=P(Ω)+P()+…,?
從而P()=.
?0()概率具有有限可加性,即若AiAj=(ijn),2?1≤≤≤則
nnP(Ai)=P(Ai).
i∪=i=1∑1證明因為n
Ai=AA…An…,i=12∪1∪∪∪∪?∪?∪由可列可加性及P()=即得?0nnP(Ai)=P(Ai).
i∪=i=1∑1()對任一隨機事件A,有3
P(A)=-P(A).
1證明因為AA=Ω,AA=,∪?
所以=P(Ω)=P(AA)=P(A)+P(A).
1∪()若AB,則P(A-B)=P(A)-P(B).
4?
證明因為當AB時,有?
A=B(A-B),∪
·98·高等數學(下冊)且
B(A-B)=,∩?
由有限可加性有P(A)=P(B)+P(A-B),移項即得.從概率的非負性即得下述關係:若AB,則P(A)P(B).
?≥()對任意的兩個事件A,B,有5
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),∪
證明因為AB=A(B-AB),∪∪A(B-AB)=,∩?
所以P(AB)=P(A)+P(B-AB),∪
又因為ABB,從而有性質()即得?4P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),∪
P(AB)P(A)+P(B).
∪≤性質()可用歸納法推廣到任意有限個事件,設A,A,…,An是n個事件,則有512nijnijknn1≤<≤1≤<<≤nn-P(Ai)=P(Ai)-P(AiAj)+P(AiAjAk)-…+(-)1P(Ai).
ii∪=i=1∩=1∑1∑∑1這個式子稱為概率的一般加法公式.
例某市有甲、乙、丙三種報紙,訂每種報紙的人數分別占全體市民人數的%,其中130有%的人同時訂甲、乙兩種報紙.沒有人同時訂甲、丙或乙、丙報紙.求從該市任選一人,他10至少訂有一種報紙的概率.
解設A,B,C分別表示選到的人訂了甲、乙、丙報,則P(A)=P(B)=P(C)=.,P(AB)=.,P(AC)=P(BC)=03010P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AB)-P(BC)=..
?∪∪0811.2.3古典概型若隨機試驗E具有下述特征:()樣本空間的元素(即基本事件)隻有有限個,不妨設為n個,並記它們為ω,ω,…,112ωn;()每個基本事件出現的可能性是相等的,即有2
P(ω)P(ω)…P(ωn).
1=2==這種等可能性的數學模型稱為古典概型.
對上述的古典概型,它的樣本空間Ω{ω,ω,…,ωn},事件域F為Ω的所有子集的全=12第十一章概率論的基本概念·99·體.這時,連同、Ω在內,F中含有n個事件,並且從概率的有限可加性知?2=P(Ω)=P(ω)+P(ω)+…+P(ωn),112於是P(ω)=P(ω)=…=P(ωn)=1.
12n對任意一個隨機事件AF,如果A是k個基本事件的和,即∈
A=ωiωi…ωik,1∪2∪∪則
kA中所含的基本事件數A的有利事件數P(A)===.
n基本事件總數基本事件總數例在盒子中有十個相同的球,分別標為號碼,,…,,從中任取一球,求此球的號21210碼為偶數的概率.
解令i={所取球的號碼為i,i=,,…,},1210則
Ω={,,…,},1210故基本事件總數n=,又令10A={所取球的號碼為偶數},顯然A={}{}{}{}{},2∪4∪6∪8∪10所以A中含有nA=個基本事件,從而5
nAP(A)==5=1.
n102例一套五卷的選集,隨機地放到書架上,求各冊自左至右或自右至左恰成,,,,31234的順序的概率.
5解以a,b,c,d,e表示自左至右排列的書的卷號,這時一個放置的方式隻能在,,,123,中取值(而且不許重複取某一個值),故這種放法共有!=個.因為各卷書的安放是455120隨機的,從而這種方法是等可能的,這時就得到一個古典概型Ω={ω,ω,…,ω},而12012120有利事件A的發生隻有兩種情形:或卷號的排列為,,,,或為,,,,,所以1234554321nAP(A)==2=1.
n12060例(摸球問題)設盒中有個白球,個紅球,現從盒中任抽個球,求取到一紅一白4322的概率.
解設事件A={取到一紅一白},則11P(A)=C3C2=3.
2C55一般地,設盒中有N個球,其中有M個白球,現從中任抽n個球,則這n個球中恰有k個·100·高等數學(下冊)kM-kMN-M白球的概率是P=CCn.
NC
例(分房問題)設有n個人,每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去5
住(nN),求下列事件的概率:≤
()指定的n個房間各有一個人住;1
()恰好有n個房間,其中各住一個人.
2解因為每一個人有N個房間可供選擇,所以n個人住的方式共有Nn種,它們是等可能的,在第一個問題中,指定的n個房間各有一個人住,其可能總數為n個人的全體排列n!,於是n!
P=.
1Nnn
在第二個問題裏,n個房間可以在N個房間中任意選取,共總數有N個,對選定的n個C
房間,按前述的討論可知有n!種分配方式,所以恰有n個房間其中各住一個人的概率為n
Nn!N!
P=C=.
2NnNn(N-n)!
例(生日問題)某班級有n個人(n),問至少有兩個人的生日在同一天的概率6≤365為多大?
解假定一年按天算,把天當作個“房間”,那麼問題就可以歸納為例,36536536510這時“n個人的生日全不相同”就相當於例中的()“恰有n個房間其中各住一個人”,令52A={n個人中至少有兩個人的生日相同},則
{個人的生日全不相同},A?=n由例的()知52N!
P(A)=,?Nn·(N-n)!
而P(A)+P(A)=,?1於是N!
P(A)=-(N=).
1Nn·(N-n)!365注意:這個例子是曆史上有名的“生日問題”,這個例子,如果直接求P(A),是比較麻煩的,而利用對立事件求解就簡便多了.對不同的一些n值的計算可以看出,當班級人數為23時,就有半數以上的班級會發生至少有兩人生日在同一天.
第十一章概率論的基本概念·101·習題11.2.A,B互不相容,P(A)=.,P(B)=.則P(A-B)=,P(AB)=.
10405.設隨機事件,A,B互不相容,已知P(A)=p,P(B)=q,求:P(AB),P(AB),2∪∪P(AB),P(AB),P(AB),P(AB),P(AB).
∪.甲從標有,,,,的張卡片中任取一張,乙從標有,,,,的張卡片中任取32468105135795一張,求甲取的卡片上的數大於乙取的卡片上的數的概率.
.從一幅張的撲克牌中(已除去大王小王兩張牌),任取張,求得到張紅心,張黑452633桃的概率.
.擲兩枚均勻的骰子,求所得的兩個點數中一個恰好是另一個的倍的概率.
52.設一隻袋子中裝有隻白球和隻黑球,從中不放回地取出隻球,求隻球依次為63433黑、白、黑的概率.
.從個數字,,,…,中無重複地任取個數,求取得的數字按順序恰好排成一71001294個位偶數的概率.
4.設A,B為兩個隨機事件,證明:8
()P(AB)=-P(A)-P(B)+P(AB);11()-P(A)-P(B)P(AB)P(AB)P(A)+P(B).
21≤≤∪≤.已知件商品中,件為不合格品,從中任取件,求至少有一件為不合格品的概率.
9504311.3條件概率、全概率公式和貝葉斯公式11.3.1條件概率與乘法公式引例某個班級有學生人,其中有共青團員人,全班分成個小組,第一小組有學40154生人,其中共青團員人,如果要在班裏任選一人當學生代表,那麼這個代表恰好在第一104小組的概率是多少?現在要在班級任選一個共青團員當團員代表,問這個代表恰好在第一組內的概率是多少?
分析如果設A={在班內任選一個學生,該學生屬於第一組},B={在班內任選一個學生,該學生是共青團員},可以看到,在第一個問題裏求得的是P(A),而在第二個問題裏,是在“已知事件B發生”的附加條件下,求A發生的概率,並且記作P(A|B).於是有·102·高等數學(下冊)\/P(AB)P(A|B)=4=440=.
\/P(B)151540可驗證對一般的古典概型,隻要P(B),上述等式總是成立的.在幾何概率的場合這>0個關係式也是成立的.
定義..若(Ω,F,P)是一個概率空間,且P(B)則對任意的AF,稱1131>0∈P(AB)P(A|B)=P(B)為在已知事件B發生的條件下,事件A發生的條件概率.
同理,當P(A)時,也可類似地定義B關於A的條件概率為>0P(AB)P(B|A)=.
P(A)注意:在定義中要求P(B),如若P(B)=,由定義給出的條件概率是無意義的.
>00由上述討論可知,計算條件概率P(A|B)一般有兩種方法:()在縮減的樣本空間ΩB中計算A發生的概率,就能得到P(A|B);1
()在原樣本空間Ω中,先計算P(AB),P(B),再由定義中的公式P(A|B)=2
P(AB),求得P(A|B).
P(B)由這個定義可知,對任意兩個事件A,B,若P(B),則有>0P(AB)=P(B)P(A|B).
並稱上式為概率的乘法公式.
概率的乘法公式給出了求積事件概率的一種算法.概率的乘法公式可推廣到個事件情形:設A,A,A為三個事件,則123P(AAA)P(A)P(AA)P(AAA).
123=12|13|12一般地,若A,A,…,An為n(n)個事件,則12≥2P(AAA…An)P(A)P(AA)P(AAA)…P(AnAA…An-).
123=12|13|12|121例若件產品中包含件廢品,從中依次取產品,取後不放回,若已知第一次取到11005廢品的前提下,問第二次仍取到廢品的概率.
解令A=“第一次取到廢品”,B=“第二次取到廢品”,C=“兩次取到的都是廢品”,2
P(A)=5,P(AB)=C5=1,2
100C1004951
P(AB)故P(B|A)==495=4.
P(A)599100例一個家庭中有兩個小孩,已知其中有一個是女孩,問這時另一個小孩也是女孩的2
概率為多大?(假定一個小孩是男還是女是等可能的)第十一章概率論的基本概念·103·解據題意樣本空間為Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},A={已知有一個是女孩}={(男,女),(女,男),(女,女)},B={另一個也是女孩}={(女,女)},於是所求概率為P(AB)\/P(B|A)==14=1.
P(A)\/34311.3.2全概率公式與貝葉斯公式引例有外形相同的球分別裝在個盒子中,每盒個.其中,第一個盒子中個球標有3107字母A,個球標有字母B;第二個盒子中有紅球和白球各個;第三個盒子中則有紅球個,358白球個.試驗按如下規則進行:先在第一個盒子中任取一球,若取得標有字母A的球,則在2
第二號盒子中任取一個球;若第一次取得標有字母B的球,則在第三號盒子中任取一個球.
如果第二次取出的是紅球,則稱試驗為成功.求試驗成功的概率.
解令A={從第一個盒子中取得標有字母A的球},B={從第一個盒子中取得標有字母B的球},R={第二次取出的球是紅球},W={第二次取出的球是白球},求得P(A)=7,P(B)=3,1010P(R|A)=1,P(W|A)=1,22P(R|B)=4,P(W|B)=1,55於是,試驗成功的概率為P(R)=P(RΩ)=P[R(AB)]∩∩∪=P(RARB)=P(RA)+P(RB)∪
=P(R|A)·P(A)+P(R|B)·P(B)=1·7+4·3=..
059210510此題所采用的方法一般化,便得到下述定理:定理..設B,B,…是一列互不相容的事件,且有113112∞
Bi=Ω,i=∪1P(Bi)(i=,,…),>012·104·高等數學(下冊)則對任一事件A,有∞
P(A)=P(Bi)P(A|Bi)(i=,,…).
i=12∑1∞
證明P(A)=P(AΩ)=P[A(Bi)]i=∩∩∪1∞∞=P[(ABi)]=P(ABi)i
∪=i=1∑1∞
=P(Bi)P(A|Bi).
i=∑1此公式稱作全概率公式(先驗概率公式).
定理..若B,B,…為一列互不相容的事件,且113212∞
Bi=Ω,i=∪1P(Bi)(i=,,…),>012則對任一事件A,有P(Bi)P(A|Bi)P(Bi|A)=(i=,,…).
∞12P(Bj)P(A|Bj)j=∑1證明略.
此公式稱作貝葉斯公式(後驗概率公式).
例某工廠有四條流水線生產同一種產品,該四條流水線分別占總產量的%、315%、%和%,又這四條流水線的不合格率依次為.、.、.和..現在從出廠產203035005004003002品中任取一件,問恰好抽到不合格品的概率為多少?若該廠規定,出了不合格品要追究有關流水線的經濟責任,現在在出廠產品中任取一件,結果為不合格品,但標誌已脫落.問第四條流水線應承擔多大責任?
解令A={任取一件,恰好抽到不合格品},Bi={任取一件,恰好抽到第i條流水線的產品}(i=,,,),1234由全概率公式可得4
P(A)=P(Bi)P(A|Bi)i=∑1=.×.+.×.+.×.+.×.
015005020004030003035002=.=.%,00325325P(B)P(A|B).×.
P(B|A)=44=035002=14..
44.≈0215P(Bi)P(A|Bi)0032565i=∑1第十一章概率論的基本概念·105·習題11.3.一個家庭中有兩個小孩,已知其中有一個為女孩,問另一個小孩也是女孩的概率是多1
少?
.隻燈泡中有隻正品和隻次品,每次不放回的任意抽取一隻測試,求下列事件的21073概率.
()A=“第三次才取到正品”;()B=“抽取三次至少有一隻為正品”.
12.甲袋中有個白球和個紅球,乙袋中有個白球和個紅球,現從甲袋中任取個球346543放入乙袋中,然後再從乙袋中任取一球,求取得白球的概率.
.有兩隻口袋,甲袋有隻白球,隻黑球,乙袋有隻白球,隻黑球,從每個袋中任取一48466球,問取得的兩隻球顏色相同的概率是多少?
.甲、乙、丙三門高射炮,同時向敵機射擊,他們擊中敵機的概率分別為.、.、.,敵50405065機被擊中一發,而墜毀的概率為.,被擊中兩發而墜毀的概率為.,被擊中三發必然墜毀,0206求敵機墜毀的概率.
.某射擊小組有名射手,其中一級射手為人,二級射手人,三級射手人,四級射620487手人,一、二、三、四級射手能通過選拔進入比賽的概率分別是.、.、.、.,求任選一109070502名射手能通過選拔進入比賽的概率.
.有兩隻口袋,甲袋裝有隻白球和隻黑球,乙袋裝有隻白球和隻黑球,任取一袋,73225並從中任取一球,問此球為白球的概率是多少?
.播種用的一等小麥種子中混入.%的二等種子和%的三等種子,已知用一、二、8251三等種子,長出的麥穗所含麥粒數大於的概率分別為.、.、.,求這批種子所長出的500602005麥穗所含麥粒素大於的概率.
50.轟炸機轟炸某目標,設他能飛到距目標、、時的概率分別為、9400m200m100m0.50.
、,又設它在距離目標、、時,命中的概率分別為、、,已知目30.2400m200m100m0.010.020.1標被炸毀,求飛機是分別在、、處轟炸的概率400m200m100m.
11.4獨立性定義..對任意的兩個事件A,B,若1141P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A,B是相互獨立的,簡稱為獨立的.
注意:()公式意味著事件B的發生不受事件A的影響,即P(B)=P(B|A);1
·106·高等數學(下冊)()必然事件Ω與不可能事件與任何事件是相互獨立的.
2?
例分別擲兩枚均勻的硬幣,令1
A={硬幣甲出現正麵},B={硬幣乙出現正麵},驗證事件A,B是相互獨立的.
證明這時樣本空間Ω={(正、正),(正、反),(反、正),(反、反)},共含有個基本事件,它們是等可能的,各有概率為\/,而414A={(正,正),(正,反)},B={(正,正),(反,正)},AB={(正,正)},由此知P(A)=P(B)=1,2
P(AB)=1=P(A)·P(B)4
成立,所以A,B是相互獨立的.
例一個家庭中有兩個小孩,假定生男和生女是等可能的,令2
A={一個家庭中有男孩,又有女孩},B={一個家庭中最多有一個女孩},試討論A與B的獨立性.
解這時樣本空間為Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},由等可能性知概率各為1,這時4
A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),(女,男)},AB={(男,女),(女,男)},於是P(A)=1,P(B)=3,P(AB)=1,242由此可知P(AB)P(A)P(B),≠
所以事件A,B不相互獨立.
定義..對任意三個事件A,B,C,如果有1142P(AB)=P(A)P(B),第十一章概率論的基本概念·107·P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個等式同時成立,則稱事件A,B,C相互獨立.
一般地,設A,A,…,An是n個事件,如果對於任意的k(kn)和任意的一組121<≤1ii…ikn都有等式≤1<2<<≤P(AiAi…Aik)P(Ai)P(Ai)…P(Aik)12=12成立.則稱A,A,…,An是n個相互獨立的事件.由此可知,n個事件的相互獨立性,需要有12n
knCn=-n-個等式來保證.
k=21∑2伯努利概型如果試驗隻有兩個可能的結果:及,並且EAA?
P(A)=p,P(A)=-p=q(其中p),?10<<1把E獨立地重複n次的試驗構成了一個試驗,這個試驗稱作n重伯努利試驗,簡稱伯努利概型,記作En.
一個伯努利試驗的結果可記作:ω(ω,ω,…,ωn),=12n
其中的ωi(in)或者為A或者為A,因而這樣的ω共有個,它們的全體就是這個伯1≤≤?2努利試驗的樣本空間Ω,對於ω=(ω,ω,…,ωn)Ω,如果ωi(in)中有k個為A,12∈1≤≤則必有()個為,於是由獨立性即得n-kA?
P(ω)=pk·qn-k,如果要求“n重伯努利試驗中事件A出現k次”這一事件的概率,記Bk={n重伯努利試驗中事件A出現k次},由概率的有限可加性即得P(Bk)=P(ω),ωBk∈
kn-k∑k對於ω=Bk,已知P(ω)=p·q,而Bk中這樣的ω共有Cn個,所以kkn-kP(Bk)=Cnpq,kn.
0≤≤例某大學的校乒乓球隊與數學係乒乓球隊舉行抗賽.校隊的實力較係隊為強,當一3
個校隊運動員與一個係隊運動員比賽時,校隊運動員獲勝的概率為..現在校、係雙方商量06對抗賽的方式,提了三種方案:()雙方各出人;13()雙方各出人;25()雙方各出人;37三種方案中均以比賽中得勝人數多的一方為勝利.問:對係隊來說,哪一種方案有利?
解設係隊得勝人數為,則在上述三種方案中,係隊勝利的概率為3
k-k()P(ξ)=(.)(.)3.;1≥2k=0406≈0352∑2·108·高等數學(下冊)5
k-k()P(ξ)=(.)(.)5.;2≥3k=0406≈0317∑37
k-k()P(ξ)=(.)(.)7..
3≥4k=0406≈0290∑4由此可知第一種方案對係隊最為有利(當然,對校隊最為不利).這在直覺上是容易理解的.
例某人有一串m把外形相同的鑰匙,其中隻有一把能打開家門.有一天該人酒醉後4
回家,下意識地每次從m把鑰匙中隨便拿一隻去開門,問該人在第k次才把門打開的概率多大?
解因為該人每次從m把鑰匙中任取一把(試用後不做記號又放回),所以能打開家門的一把鑰匙在每次試用中恰被選中的概率為1,易知這是一個伯努利試驗.在第k次才把門m
打開,意味著前麵的(k-)次都沒有打開,於是由獨立性即得1
k-P(第k次才把門打開)=(-1)…(-1)·1=1(-1)1.
1m1mmm1m習題11.4.人獨立地破譯一個密碼,他們能破譯的概率分別為1,1,1,求將此密碼破譯出的13534概率.
.已知在次獨立試驗中,事件A至少發生一次的概率為.,試求在一次試驗中事件28057A發生的概率.
.某射手打靶次,各次的命中率為.,求下列事件的概率:3506()前次中靶,後次脫靶;132()次中恰有次中靶.
253.假設有個同樣的球,其中個球上分別標有數字、、,第個球上同時標有數字4431234、、,現從四個球中任取一球,設Ai={所取的球上標有數字i,i=,,},試證A,A,12312312A中任意兩個事件相互獨立,但他們三個不相互獨立.
3第十一章概率論的基本概念·109·本章小結總習題一、填空題.設A,B為兩個隨機事件,則(AB)A=.
1∪.設P(A)=.,P(B)=.,P(AB)=.,則P(AB)=.
2040503.設P(A)=.,P(AB)=.,則P(AB)=.
30602.設事件A與B互不相容,P(A)=.,P(B)=.,則P(AB)=.
40402.同時拋擲枚質地均勻的硬幣,則恰好有兩枚正麵向上的概率為.
53·110·高等數學(下冊)二、選擇題.設A,B為兩個隨機事件,則有().
6AB-B=A(A-B)B=AAB-A=BAB-A=B-AA.∪B.∪C.∪D.∪.設A,B,C為三個隨機事件,則事件(AB)C().
7∪?
ABCABC(AB)C(AB)CA.??B.??∪C.?∪?D.?∪?∪.設事件A與B互不相容,且P(A),P(B),則有().
8>0>0P(AB)=P(A)=-P(B)A.1B.1P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=C.D.∪1.設P(B),若P(AB)=,則必有().
9>01AB=BP(A)=P(B)P(AB)=P(B)P(AB)=P(A)A.B.C.D.