12nnn-1由概率的加法公式與乘法公式可得n
P(A1∪A2∪…∪An)=∑P(Ai)-∑P(AiAj)+∑P(AiAjAk)+…+i=11≤i 當n=3時,至少有一人抽到自己所帶的禮物的概率為—35—數學建模實例與優化算法P(A1A2A3)112。 ∪∪=1-!+!=3 23 當n較大時,至少有一人抽到自己所帶的禮物的概率為P(A1∪A2∪…∪An)≈1-e-1≈0.63212。 再引入隨機變量:Xi=1,表示第i個人抽到自己所帶的禮物,Xi=0表示第i個人未n 抽到自己所帶的禮物,則X=∑Xi表示n個人中抽到自己所帶的禮物的人數。取隨機i=1變量的數學期望有E(Xi)=1×n1+0×nn-1=n1,n E(X)=∑E(Xi)=1。 i=1這個結果表明:不管n多大,平均來說隻有一人能取回自己所帶的禮物,多數人抽到自己帶去的禮物的可能性很低。 思考與訓練1.人、狼、羊、菜均要過河,船要人劃,另外至多還能載一物,但決不能在無人看守的情況下,留下狼和羊或是羊和菜在一起。應怎樣渡河才能將人、狼、羊、菜都安全運過去? 2.一批旅客決定分乘幾輛大巴外出旅遊,要求每輛車乘坐同樣的人數。已知每輛車最多乘32人,如果每車乘22人,會有一人坐不上車;如果開走一輛車,那麼所有旅客則剛好能平均分乘餘下的大巴,問原有旅客多少人?原有大巴多少輛? 3.用寬為b的布條纏繞直徑為r的圓形管道,要求布條不重疊,布條與管道軸線的夾角α應多大?如果知道管道長度為L,需要多長的布條(可考慮兩端的影響)?如果管道是其他形狀呢? 4.某水庫共可蓄水1000000m3,該地區2016年9月6日0時到9月26日24時為大汛期,在大汛期中第n天流入水庫的水量為bn=nA+80(m3),其中A是常數。已知9月6日水庫的存水量為800000m3,且大汛期的前兩天流入水庫的水量為1400m3。(1)求常數A是多少?(2)該水庫有兩個泄洪洞,每打開一個閘門,一天可以泄水5000m3,為了保證水庫的安全,又要減輕下遊地區的抗洪壓力,指揮部於9月11日0時打開了第一個泄洪洞,求第二個泄洪洞最遲應在哪一天打開? 5.兩條寬度分別為a,b的河流在某地十字相彙,現有一長為L的船隻需在此拐彎行駛,則能否順利通過? 6.如果正圓柱體易拉罐上底的厚度為其他部分厚度的3倍,易拉罐所用的材料固定,求能夠使其容積達最大的易拉罐的直徑與高之比。 7.某公司專門生產儲藏用的容器,合同要求該公司製造一種敞口(即無蓋)的長方體—36—第2章用初等數學解決的問題容器,容積恰好為V(m3),如果用作容器四壁的材料為a元\/m2,用作容器底麵的材料價格為b元\/m2,則製造什麼樣的容器才能使總費用最省? 8.隨著人們生活水平的提高,同樣也隨著房價的不斷上漲,人們購買商品房時需要向銀行申請個人住房貸款,其還款方式有以下兩種:(1)等本不等息遞減還款法:即每月還貸本金相同,利息逐月減少。 (2)等額本息還款法:即每月以相等的額度平均償還貸款本息。請你建立數學模型分析這兩種還貸方式的利弊。9.超市搭配銷售問題市場營銷專業的張華同學去新華都商場銷售部實習。經理李先生給他的任務是:推銷甲、乙兩種互補型產品(但也可單獨使用)各300個,一種是10元3個,另一種是10元2個。張華同學運用在學校學的營銷理論,第一天賣出300個甲產品和300個乙產品。300個甲產品共賣了1000元,300個乙產品共賣了1500元,這樣600個產品共賣了2500元。第一天就有這樣的業績,李經理很高興,暗想要把張華同學留下來。第二天張華同學又拿了300個甲產品、300個乙產品去推銷,這次他恰好碰到在另一所大學念書的一位高中同學陳剛,陳剛考慮甲、乙兩種產品是互補型產品,既然兩種產品一種是10元3個,另一種是10元2個,剛好20元錢就可賣5個,於是就建議張華按20元5個的價格一起推銷出去,並幫助張華同學在他所在的大學的同學中找買主。由於陳剛同學的幫助,張華隻用半天時間就將這600個產品按20元5個的價格全部賣完了,可是回家一算賬發現同樣是600個產品,第二天隻賣了2400元,比第一天少賣了100元,請問這100元錢去哪了? 若甲產品的價格為2元3個,銷售任務為3000個,乙產品的價格為1元2個,銷售任務也是3000個,按分開賣與搭配賣兩種情況重新計算,其結果與前麵的結果比較有何不同?為什麼?如果你是商場經理,你能製訂一種有利於商場經營的搭配銷售策略嗎?如果你是消費者,麵對商場的搭配銷售廣告時,你能一眼就判斷出何種價格搭配是對消費者有利的嗎? —37—第3章與利息有關的經濟問題3.1利息、貼現的知識3.1.1單利與複利我們知道,貨幣(資產)具有時間價值,今年的100元不等於明年的100元。如果你將今年的100元存入銀行,假設年利率為2.9%,那麼到明年同一時期,銀行將支付你100+100×2.9%=102.9元(含稅),多出來的2.9元稱為利息,它是貨幣的擁有者出讓貨幣的使用權所獲得的報酬,也叫貨幣的時間價值。 利息的計算方式有單利和複利兩種。單利是指在存期不止一個計息周期的情況下,從第二期開始,每期計算利息的本金均按初始本金計算,這種計息方式稱為按單利計息;複利是指在存期不止一個計息周期的情況下,從第二期開始,上一期的本金要連同上一期所得的利息一起作為當期計算利息的本金,即每期計算利息的本金均按上一期的本利和作為基數計算利息。這種計息方式稱為按複利計息。一般地設有初始本金p元,存期為n年,銀行的年利率為r。則(1)按單利計算利息,第n年末本利和為Sn=P(1+nr)。 (2)按複利計算利息,第n年末本利和為Sn=P(1+r)n。(3)若存款以連續複利計算時,先將一年分成m個相等的時間區間,則每個區間的利率為r rmt→∞m =1+m),m, t,t年後的本利和為SP(令 得到以連續複利計息時年末的本利和為rmté mùrtr SmP() Pmê () úP 。 =lim→∞1+m=lim→∞? 1+m? =eê rú rt定期自動轉存是指:客戶存款到期後,客戶如不前往銀行辦理轉存手續,銀行可自動將到期的存款本息按相同存期一並轉存,不受次數限製,續存期利息按前期到期日利率計算。續存後,客戶要求支取存款時不足一個存期,續存期間按支取日的活期利率計算該期利息。 3.1.2貨幣的現值、終值與貼現1.貨幣的現值與終值由於貨幣隨時間的延續而增值(不考慮通貨膨脹),如前所述,現在的100元,一年以—38—第3章與利息有關的經濟問題後將會變成102.9元,現在的100元就是貨幣的現值,而102.9元是現在100元貨幣在一年後的終值。一般地,設有現值為p元的貨幣,存期為n年,銀行的年利率為r。 按單利計算利息,n年後的終值為Sn=P(1+nr)。按複利計算利息,n年後的終值為Sn=P(1+r)n。 按連續複利計算,假設在n年內,銀行的存款年利率為r,那麼本金為p的一筆款n年後的終值為R=Penr,而n年後R元錢的現值為P=Re-nr。 2.貼現既然錢存在銀行裏可以獲得利息,如果不考慮貶值因素,現在的一定數量的本金,若幹年後的本利和(即終值)就會高於本金,換言之,未來的p元的購買力肯定會小於現在的p元的購買力(不考慮其他因素)。那麼,未來的R元的購買力究竟相當於現在的多少錢的購買力呢?由貨幣的終值(未來值)求現值的方法就稱為貼現。例如,財政部曾經發行過一種“貼現國債”,買的人隻要花八十幾元就可以買到麵值百元的國債(到期後可到銀行兌付現金100元)。 我們知道,一筆資金存入銀行,假設在n年內,銀行的存款年利率為r,那麼n年後的R元錢的現值P是多少呢?如果按複利計算,P=(R)。在票據轉讓中,上式中的R1+rn表示第n年後到期的票據金額(即貨幣的未來值或終值),r表示貼現率,而P表示現在進行票據轉讓時銀行付給票據持有者的貼現金額。假設某票據持有人手中持有若幹張不同期限以及不同麵額Ri(i=0,1,2,…,n)的票據,且每張票據的貼現率都相同(均為r),則一次性向銀行轉讓所有票據按複利計算所得到的現值為p=R0+R R+…+Rn。 r+r2rn1 (2 )( )1+,R01+1+; 1, 其中為已到期票據金額;Rn 年後到期的票據金額n 稱為貼現因子n為(r)1+它表示在貼現率為r的條件下,n年後到期的1元錢的貼現值。 如果一筆資金進行投資,每期投資的收益率為r,且按期計算複利再投資,則t期末收益總價值Rt的現值P為P=(Rt)。1+rt從中可看出:取得未來收益所等待的時間越長,未來收益的現值就越低。現值計算的優點是可以把未來不同時期的資金統一在同一個時間點上進行比較,這在投資項目的評估中非常有用。 例:一家水電公司正在研究是否要建造一個新的水壩來擴充其水力發電能力,通過初步論證,該投資項目的成本和預期的收益如表3-1所示:—39—數學建模實例與優化算法表3-1投資項目的成本及預期收益項 目金額時 間建設成本200000000元 即期100000000元 接下來3 年的每年年末運轉成本5000000元 第四年末開始及接下來的時間收 入30000000元 第四年末開始及接下來的時間如果年利率為6%,則這個投資項目是否可行?(具體求解見3.2.1節實例)3.1.3等額支付的終值和現值設每期期末支付同等數額的資金p,利率r保持不變,求n期後的終值和現值。1.終值的計算公式因為第一期期末支付p,到第n期末共有n-1期計算利息,所以n期後的本利和為P(1+r)n-1。 第二期期末支付p,到第n期末共有n-2期計算利息,所以n期後的本利和為P(1+r)n-2。 依次類推:第n-1期期末支付p,到n期後的本利和為P(1+r)。 第n期期末支付p沒有產生利息,本利和仍然為p,把這些進行相加處理,便有終值的計算公式如下Rp(r)p(r)+ …p(r)p= 1+n-1+1+n-2+ 1++p[(( …( r)]r)r)+ =1+n-1+1+n-2+1++1( r)p[(r)] p1-1+n 1+n -1。 =( r)=r 1-1+而每期需支付的金額P的計算公式為p=R·r。 (1+r)n-12.現值的計算公式假設在n年內,銀行的存款年利率為r,那麼n年後的R元錢的現值P為p(1+r)n=R?p=(R)。1+rn3.1.4均勻貨幣流的總價值我們知道,若年初(t=0)將資金A0一次性存入銀行,年利率為r,以連續複利計算,則這筆資金在t年末的本利和(即未來價值)為At=A0ert。 如果采用均勻貨幣流的存款方式,即貨幣像水流一樣以固定流量源源不斷地流入銀—40—第3章與利息有關的經濟問題行(類似於“零存整取”),那麼計算t年末的資金總價值就可以采用定積分的方法。 假設T年內有一均勻貨幣流,年流量為P,則在[t,t+dt]時間段內的貨幣流量為Pdt,於是可得該貨幣流T年末總價值的微元dAT=Pdt·er(T-t)=PerT·e-rtdt,所以該貨幣流T年末的總價值為∫ ∫P TrTT -rtrTAT=0de 0edr e1 AT=Pt=( -)。 我們還可求出它的貼現價值為A0=ATe-rT=rP(erT-1)·e-rT=rP(1-e-rT)。 若先計算貨幣流的現值,再求出終值,則分析如下:以連續複利計算,t時刻的資金At在t=0時的價值(即現值)為A0=Ate-rt。假設T年內有一均勻貨幣流,年流量為P,則在[t,t+dt]時間段內的貨幣流量為Pdt,於是可得該貨幣流在t=0時總價值(現值)的微元dA0=Pdt·e-rt,所以該貨幣流的現值為∫ ∫P TT-rt-rT)。 A0=0d=P0edr 1eA0t=(-進一步求出該貨幣流在T年末的總價值(即終值)為AT=A0erT=rP(erT-1)。 注:如果每期期末都支付本金Ft,每期的利率r不變,則n期後的現值P為P=∑n(1Ftr)≈∫nFte-rtdt。 t=1+t03.2具體應用實例3.2.1投資項目是否可行一家水電公司正在研究是否要建造一個新的水壩來擴充其水力發電能力,通過初步論證,該投資項目的成本和預期的收益如表3-1所示,如果年利率為6%,則這個投資項目是否可行? —41—數學建模實例與優化算法[模型建立與求解]假設開始投資的時刻記為t=0,C1表示建造水壩的建設成本在t=0時刻的現值總和,C2表示開始運轉後每年運轉成本在t=0時刻的現值總和,P0表示開始運轉後每年收入在t=0時刻的現值總和,r=6%表示年利率,則現值計算如下:C1100000000100000000100000000元 =200000000++(2 3()1+0.06)+()≈4673011951+0.061+0.065000000C2=50000004+50000005( )+…+5000000i+…=1+0.064 () () () 11+0.061+0.061+0.061-1+0.06=5000000=69968270(元)。0.06×(1+0.06)330000000P=30000000+30000000+…+30000000+…=(1+0.06)40(1+0.06)4(1+0.06)5(1+0.06)i1-11+0.06=30000000=419809700(元)。0.06×(1+0.06)3因為C1+C2>P0,即總成本的現值大於未來收益的現值,說明這個投資計劃是不可行的。 3.2.2多少年可收回投資資金某公司一次性投入2000萬元投資一個項目,於1年後建成投產,並開始取得效益。設該項目的收益是均勻貨幣流,年流量為400萬元。顯然,如果不考慮資金的時間價值,投產5年就能收回全部的投資,但若將資金的時間價值考慮在內,假設銀行的年利率r=0.05,則公司投資多少年後方可收回投入的全部資金? [模型建立與求解]假設t=0時刻投資M=2000萬元,項目1年後(即t=1時刻)建成投產,並開始取得效益,收益年流量P=400萬元,設投產y年後能全部收回資金,則投產y年後的總收益在t=1時刻的價值為A1P (-ry)400(-0.05y)( -0.05y)。 =r1-e=. 1-e=80001-e005t=0時刻投資的M=2000萬元到t=1時刻的價值為(按連續複利計算)M1=Me0,05=2000e0.05。 因為要投產y年後才能全部收回資金,所以有2000e0,05=8000(1-e-0.05y),解得y=20ln4≈6.098。 4-e0.05—42—第3章與利息有關的經濟問題即公司投產6.098年後收回投資資金,也就是說公司收回全部投資的時間從開始投資之日算起需要7.098年。 3.2.3多少年可還清貸款假設以年連續複利率為0.05計算,現在從銀行貸款45萬元購買一套住房,又按每月2500元租金出租,並且將租金的20%納稅,餘下的償還銀行貸款,則多少年後可以還清銀行貸款? [模型建立與求解](1)模型一假設n年後可以還清貸款,由於每月有2500元的租金,用來償還貸款的部分有2500×80%=2000元,則每年有Ft=12×2000=24000元用來償還貸款,所以各年償還貸款額的現值總和應為45萬元。即P=n Ftt nFt-rtt=Ft(--rt)。 ∫∑ (1) edr1et=+r≈ 01 由P=45萬元,代入上式得方程20000.05(1-e-0.05n)=450000,用數學軟件計算得:n≈55.5(年)。(2)模型二設時間單位為月,償還貸款期限為N個月,貸款額為A0,月利率為R,按複利計算,每月還錢x,還款約定從借款日的下一個月開始,於是開始還款的第一個月還了x後還欠銀行的款記為A1(簡稱第一個月還欠款),第i個月還了x後還欠款記為Ai(i=1,2,…,N),則有第一個月還欠款:A1=(1+R)A0-x,第二個月還欠款:A2=(1+R)A1-x,第三個月還欠款:A3=(1+R)A2-x,……第N個月還欠款:AN=(1+R)AN-1-x。逐項代入即得AN=A0(1+R)N-x[(1+R)N-1+(1+R)N-2+…+(1+R)+1]。 根據等比數列的求和公式可得ANA0(N x( R)-1。 ()R)1+N =1+- R3.1要求在第N個月還清,即AN=03.1,由()式可解出A0R(R)1+N x。 ()=(N R)-13.21+把相關數據代入(3.2)式:A0=45萬元=450000元,x=2500×80%=2000元,月利率R=0.05\/12。可得N=666.807,則年數n=12N=55.5年。 —43—數學建模實例與優化算法3.2.4養老金的積累問題一個人為了積累養老金,他每個月按時到銀行存100元,銀行的年利率為4%,且可以任意分段按複利計算,試問此人在5年後共積累了多少養老金?如果存款以複利按日計算,則他又有多少養老金?如果存款以複利連續計算呢? [模型建立與求解](1)設每月的養老金a=100元都是在月末存入銀行的,用xk表示第k月末時的養老金數,按月存款和複利計息時,月利率為r=121×1004=3001。由題意可得x1=a,x2=a+a(1+r),x3=a+a(1+r)+a(1+r)2,…xk=a+a(1+r)+a(1+r)2+…+a(1+r)k-1,所以第k月末的養老金數為x=a1-(1+r)k。k1-(1+r)所以5年後養老金總數為60x60( 1) [(60] .元1-1+3001)=100×=30000×1+-1≈66299( 1)3001-1+100(2)當存款以複利按日計算時,每天的存款額為a=1200365,日利率r=1004×3651=4,記y為第k天的養老金總數,則由題意得第k天的養老金總數為36500k( 4)12001-1+k k36500。 y=365×( 4)1-1+36500那麼5年後,k=5×365=1825天,所以5年後共有養老金數為4 1825( )1825y182512001-1+36500[(4 )] =365×( 4) =30000×1+36500-11-1+. 36500元。 ≈664168(3)當存款以複利連續計算時,先將1年分成m個相等的時間區間,則每個時間區間中的存款額為a=1200m,每個區間的利率為r=1004×m1,用Zk表示第k個區間末的養老金總數,則可得到第k個區間末的養老金總數為—44—第3章與利息有關的經濟問題1-1+4kZ=1200×(100m),km1-(1+1004m)則5年後的養老金總數為( 4)5m1-1+5mm Z5m1200100[(4 )]。 =m× =30000×1+m -1( 4) 1001-1+m 100令m→∞,得以連續複利計算時5年後的養老金總數為4 5m4 Am[() ](5×100) .元。 =lim30000×→∞1+m -1=30000×e-1≈6642081003.2.5保險收益問題某保險公司的一新生兒保險合同,其中有幾個條款摘錄如下。(與本題無關的條款未摘錄)(1)投保範圍:未滿1周歲的新生兒。 (2)投保人需連續15年繳納保險費1694元。(3)保險公司給付金:①被保險人18歲時,給付成人保險金1萬元;②被保險人22歲時,給付創業保險金1萬元;③被保險人25歲時,給付婚嫁保險金1萬元。 從儲蓄的角度探討,比較買保險和直接存錢哪種方式合算。①情況一:假設銀行年連續複利率為0.02,比較哪種合算;②情況二:假設銀行年連續複利率為002.,而給付婚嫁保險金改為15.萬元時,試比較之;③情況三:假設銀行年連續複利率為005.,而給付婚嫁保險金改為15.萬元時,試比較之。 [問題分析]為了能對買保險和直接存錢在同一層麵上進行比較,我們通常就投保人繳納的保險費和保險給付的保險金分別進行現值計算,然後就現值進行比較。 [模型建立與求解](1)投保人繳納保險費的現值計算繳納保險費的現值計算公式如下:p=∑n(1Ftr)≈∫nFte-rtdt,t=1+t0其中,P為現值,Ft為每年繳納的保險費,r為年連續複利率,n為繳納的保險費的期限,則投保人繳納15年保險費的現值為—45—數學建模實例與優化算法∫ -rtt=1694(--15r)。 P≈ 1501694edr1e當r=0.02時,計算得P=21953元;當r=0.05時,計算得P=17876元。 (2)保險公司給付金的現值計算設a,b,c分別表示保險公司在被保險人18歲、22歲、25歲時的給付金,把它們折算成現值,則現值總額為R=( a+ b+ c。 r18r22r25) ()()1+1+1+由上式計算可得:當r=0.02,a=10000,b=10000,c=10000時,R=19565元21953元;當r=0.05,a=10000,b=10000,c=15000時,R=12003元<17876元. 綜上分析可知,僅從儲蓄的角度來說,情況一和情況三是存錢更合算,情況二是買保險更合算。 3.2.6購房貸款問題某三口之家計劃購買一套80萬元的住房,首付20萬元,其餘申請住房公積金向銀行貸款。欠款可以10年、20年或30年等方式還清,年利率為5.04%。問購買者選擇什麼樣的還款方式對自己更有利(一般購房者按月等額還款)。 [問題分析]購房者最有利的還款方式是使利息盡可能的少,總付款盡可能的少,同時每月還款額符合自己的收入水平,分別按10年、20年、30年還款方式進行分析。 [模型建立與求解]由題知,購房者需向銀行貸款60萬元(即本金為60萬元)。年利率為5.04%,則月利率為0.42%。 若采用10年還清貸款,貸款和利息總和為P=60×(1+0.42%)120萬元。 設每月還款額為x萬元,則第120個月(最後一次)付款時,付款無利息;第119個月付款時,所付款及利息總和為1.0042x萬元;第118個月付款時,所付款及利息總和為(1.0042)2x萬元;依次類推,有P=60×(1+0.42%)120=x+1.0042x+(1.0042)2x+…+(1.0042)119x。 解得x≈0.637567萬元,即若采用10年還清貸款,則每月還款約6375.67元,10年還款總額約為0.637567×120=76.5080萬元,比一次性付款多付16.5080萬元。 若采用20年還清貸款,貸款和利息總和為P=60×(1+0.42%)240萬元,由上麵的計算方法可知,需每月還款0.3973萬元,20年還款總額為0.3973×240=95.3521萬元,比一次性付款多付35.3521萬元。 若采用30年還清貸款,貸款和利息總和為P=60×(1+0.42%)360萬元。需每月還款為0.323561萬元,30年還款總額為0.323561×360=116.4832萬元,比一次性付款多付—46—第3章與利息有關的經濟問題56.4821萬元。 結論:比較三種還款方式可知,10年還清貸款,總付款最少,20年次之,30年最多;但10年還清貸款,每月付款額最多,20年次之,30年最少。每個人可根據總付款額的多少和自己的收入水平,來選擇適合自己的貸款方式。 3.2.7每月應還多少錢已知銀行貸款年利率為5.58%,如果今年需要在銀行貸款15萬元,要求20年還清,而在這20年中每個月的還貸金額相等,問每個月應還多少元?如果你已經還了36個月,此時銀行貸款年利率降為5.31%,假設在此後的貸款按新的年利率計算,則此後每個月應還多少錢? [問題分析]向銀行貸款的人當手頭有一定的收入後,總希望貸款一段時間後把剩下的貸款本金一次性還清,或還部分貸款本金以減少貸款金額。這需要計算還貸一段時間後剩下的本金是多少。如果還貸一段時間後,銀行貸款年利率發生變化,假設還貸k個月後,利率發生了變化,則把第k個月還款後還欠銀行的總金額作為最初的貸款額,重新計算每月應償還的金額。 [模型建立與求解]設x表示每月還貸金額;R表示月利率;A0表示最初的貸款額,An表示第n個月償還金額x後還欠銀行的金額;N表示還款月數。於是,我們有如下遞推公式:A1=A0(1+R)-x,A2=A1(1+R)-x=A0(1+R)2-x(1+R)-x,A3=A2(1+R)-x=A0(1+R)3-x(1+R)2-x(1+R)-x,? 顯然有:x·[(R)] nn n1+n -1AA-1(R)xA0( R)- R。 =1+-=1+當n=N時,AN為最後一個月還款後還欠銀行的金額,顯然AN=0。於是我們可得到如下公式:x=A0R(1+R)N。(1+R)N-1根據上述公式可以算出每個月應償還的金額。 假設還貸k個月後,利率發生了變化,則第k個月還款後還欠銀行的總金額為:k kx[(R)] AA0( R)- kR =1+k (R)A0R(R)-11+N 1+k A0(R)· 。 -(N R= 1+R)-11+我們可以將此總金額作為最初的貸款額,而需還貸的時間則是N-K個月,重新計算每—47—數學建模實例與優化算法月應償還的金額。 設r為還貸k個月後新的月利率,y為還貸k個月後新的月還貸金額,則Ak( )[() ]( )1+é 1+-1ù 1+= rrN-k= kxRk· rrN-k。 yr N-k? 1+- R? rN-kêA0( R)ú () -1ê ú( )-11+1+由已知A=15萬元,R=1×5.58%,N=20×12個月,k=36個月,r=1×5.31%,01212通過數學軟件計算可得:x=0.103862萬元,A36=13.6666萬元,y=0.101858萬元。即如果銀行貸款年利率為5.58%,20年還清15萬元的貸款,則每個月應還1038.62元。如果已經還了36個月,此時還欠銀行貸款額為13.6666萬元,此後銀行貸款年利率降為5.31%,貸款年限不變,則此後每個月應還1018.58元。 3.2.8利息最多的存款方式某家長有一個兒子現在上初一,6年後就可考上大學,由於大學實行繳費教育,為了6年後有充足的錢供孩子上大學,該家長計劃把一筆10000元的錢存入銀行,他希望6年後能獲得最大的利息,他應該如何選擇存款方式組合使得6年後所獲總利息最多? [問題分析]銀行有定期和活期兩種存款類型,定期存款常見的有一年定期、兩年定期、三年定期和五年定期。已知現有的存款利息最多的方式有:分階梯儲蓄法、12存單法、分額度儲蓄法和組合存儲法等,人們可根據自己的需要選擇相應的存款方式。如果一筆資金P0元,一次性存入銀行N年,按單利計算利息,如何選擇存款方式使得N年後的本利和最大? 用ri(i=1,2,3,5)表示現行銀行存定期i年期的年利率,一個i年期存款存期到期後的本利和的計算公式為:Pi=P0(1+iri),很顯然,有P5>P3>P2>P1。如果隻考慮整存整取情形,我們需考慮當N=6時,選擇不同的定期存款方式組合,計算出對應的利息,再通過比較得到的利息的大小做出決定。 [模型建立與求解]隻考慮整存整取情形,假設銀行各種定期存款方式的年利率在N年內均不變,一個定期存款到期後立即轉存下一個定期存款。令PN表示N年到期後的本利和,xi(i=1,2,3,5)表示N年中存定期i年期的次數。由於存款方式組合順序不同不影響最終的本利和,例如一筆錢先存一個一年期再存一個三年期與先存一個三年期再存一個一年期,4年後的本利和一樣,所以可建立如下所示的數學模型:PNP0(r1)1(r2)2( r3)3( r5)5, max= 1+x 1+2x 1+3x 1+5x ?ìx1+2+3+5= ,x2x3x5N 0≤≤ ∈?? x1N,x1Z+,? ≤N ,x2∈ ,0≤? x2Z ? 2+ ís.t. x3N,x3Z+,? ? ≤∈ 0≤3 ? +? N? 5≤ ,5∈ 。 ? 50≤x ? xZ —48—第3章與利息有關的經濟問題用窮舉法求解得N=6年時,由各種存款方式組合得到的本利和如表3-2所示。(注:以2015年建設銀行存款利率計算,即r1=2.9%,r2=3.25%,r3=3.75%,r5=4%)例如:先存兩個一年定期,到期後本利和轉存兩個兩年定期,這樣存6年後總的本利和為:P6=P0(1+r1)2(1+2r2)2=10000(1+2.9%)2(1+2×3.25%)2=12009.6(元)。 各種存款方式組合的本利和數據見表3-2。 表3-2各種存款方式組合的本利和N=6N1N2N3N5P6\/元第一種6 00 011871第二種2 20 012009.6第三種0 30 012079.5第四種3 01 012121.2第五種1 00 112348第六種0 02 012376.6第七種1 11 012191.7可見,把1萬元先存一個三年定期,到期後本利和再轉存一個三年定期可使利息最大,6年後的最大本利和是12376.6元,最大利息為2376.6元。 如果考慮整存零取的情形,采取組合存儲法。先把資金P0存成五年定期的存本取息的儲蓄,設每月產生的利息為B元,一個月後取出這筆存款的第一個月的利息,然後再開設一個零存整取的儲蓄賬戶,把取出來的利息存到這個賬戶裏麵。以後每個月末固定把第一個賬戶中產生的利息取出,存入零存整取的賬戶,存期5年,5年後把兩個賬戶裏的錢都取出再存一個一年定期的。由於P0存成五年定期的總利息為P0×5×r5,所以每個月產生的利息B=P120r5,假設利息是每月初存入零存整取賬戶裏,令Ai表示第i個月末零存整取賬戶裏的總額(i=1,2,…,59,60),年利率為r。則有A1BBr ,=+12A2BBr BBr BBr Br ,=+212++12=2+212+12A3BBr BBr BBr BBr Br BBr ,=+312++212++12=3+312+212++12? An=nB+nB12r+(n-1)B12r+(n-2)B12r+…+2B12r+B12r—49—數學建模實例與優化算法1+nB[1+]。 nBn(n)Br( n)r= +=1+2×1224假設零存整取的五年定期的年利率與整存整取的五年定期一樣,r=r5=4%,5年後,零存整取賬戶裏的金額為:A6010000×0.04(61×0.04)元。 =60×121+24=2203.3再把資金12203.3元存一年定期,到期後的本利和為12203.3+12203.3×2.9%=12557.2元,可得總利息為2557.2元>2376.6元。 經比較可得,采用組合存儲法得到的利息較多。 3.2.9諾貝爾獎獎金問題諾貝爾獎是以瑞典化學家諾貝爾的遺產設立的基金。諾貝爾在他的遺囑中規定,將其遺產的一部分共920萬美元作為基金,以其利息(每年約20萬美元)分別設立物理、化學、生理或醫學、文學、和平事業五項獎金(1968年又增設了經濟學獎),每年在諾貝爾的逝世日12月10日頒發,以表彰在以上各個領域人類做出難以磨滅的偉大貢獻的人們。如果基金用來投資實業或存入銀行(按複利計息),年收益率為5%,則這筆基金可以發放多少年?如果是永續基金,即希望每一年發放獎金後的基金餘額不低於年初基金的數值,則年收益率最低應為多少? [問題分析]諾貝爾獎的運作模式是:先投入一定量的資金存入銀行(或投資實業),然後定期取其收益作為獎金頒發。我們先分析原始基金數額、每期獎金數額和基金的收益率(利率)之間的相互關係,再求出基金發放的年限。 [模型建立]設原始基金數額為A0,基金的年收益率為r,每年的獎金總額為B,第i年發放獎金後的基金餘額為Ai(i=1,2,3,…)。假設按複利計息,獎金從投資(或存入銀行)的次年開始發放。則有A1=A0(1+r)-B,A2=A1(1+r)-B,A3=A2(1+r)-B,? Ai-1=Ai-2(1+r)-B,Ai=Ai-1(1+r)-B。 顯然,A2-A1=(A1-A0)(1+r),A3-A2=(A2-A1)(1+r)=(A1-A0)(1+r)2,? —50—第3章與利息有關的經濟問題Ai-Ai-1=(Ai-1-Ai-2)(1+r)=(A1-A0)(1+r)i-1。 把上述幾個式子相加得到:Ai-A1=(A1-A0)[(1+r)+(1+r)2+…+(1+r)i-1]。 把A1=A0(1+r)-B代入上式並整理,有Ai=(A0-rB)(1+r)i-rB。 [模型求解]假設諾貝爾獎獎金可以發放N年,即當i=N時,發放獎金後基金數額AN=0,則(A0-rB)(1+r)N=rB。 兩邊取對數,解得ln(A0-B)-lnB-lnrN=r()。ln1+r假設年收益率為r=0.05,又已知A0=920萬美元,B=20萬美元,可用MATLAB計算出具體的N值。 如果希望每一年發放獎金後的基金餘額不低於年初基金的數值,即A1≥A0,A2≥A1,A3≥A2,…如果取A1≥A0,得A0(1+r)-B≥A0,解得r≥AB0。 當B=20萬美元,A0=920萬美元時,得r≥92020≈2.18%所以年收益率最低應為2.18%。 3.2.10養老保險問題養老保險是與人們生活密切相關的一種保險類型。通常保險公司會提供多種方式的養老金計劃讓投保人選擇,在計劃中詳細列出保險費和養老金的數額。例如某保險公司的一份材料指出:在每月交費200元至60歲開始領取養老金的約定下,男子若25歲起投保,屆時月養老金為2282元;若35歲起投保,屆時月養老金為1056元;若45歲起投保,—51—數學建模實例與優化算法屆時月養老金為420元。我們來考察三種情況下所交保險費獲得的利率。 [模型建立與求解]設Fk為投保人在投保後第k個月所交保險費及利息累計總額,p,q分別是60歲前所交的月保險費和60歲起每月領的養老金數(單位:元),r是所交保險金獲得的利率,N,M分別是投保起至停交保險費和至停領養老金的時間(單位:月),則可以得到如下的差分方程數學模型{Fk+1=Fk(1+r)+p,k=1,2,…,N,Fk+1=Fk(1+r)-q,k=N+1,N+2,…,M。 顯然M依賴於投保人的壽命,我們取該保險公司養老金計劃所在地男性壽命的統計平均值75歲,以25歲投保為例,則有p=200,q=2282,N=420,M=600,而初始值F0=0,據此不難得到Fk=F0(1+r)k+p[(1+r)k-1]\/r,k=0,1,…,N,{Fk=FN(1+r)k-N-q[(1+r)k-N-1]\/r,k=N+1,N+2,…,M。 由此可得到關於r的方程如下(1+r)M-(1+pq)(1+r)M-N+(1+pq)=0。 記x=1+r,且將已知數據代入,則隻需求解方程x600-12.41x180+11.41=0,由上述方程求得x=1.00485,r=0.00485(非線性方程求近似解)。 對於35歲起投保和45歲起投保的情況,求得保險金所獲得的月利率分別為0.00461和0.00413。 3.2.11基金使用問題對於一筆閑置的資金,如何進行投資以獲得最大收益,是很現實的問題。假設某校基金會有一筆數額為M=5000萬元的基金,打算將其存入銀行。當前銀行存款的利率與取款政策參考銀行的現行政策。基金會計劃在N=10年內每年用部分本息獎勵優秀師生,要求每年的獎金額大致相同,且在N=10年末仍保留原有基金數額。校基金會希望盡量提高每年的獎金額,則該如何設計基金存款方案? [問題分析]校基金會計劃在N=10年內計劃用M=5000萬元基金的部分本息獎勵優秀師生,要求盡量提高每年的大致相同獎金額,且在10年末仍保留原基金數額。這個問題可轉化為考慮如何組合存款方式使得總利息最大。假設:(1)學校的基金在第一年初1月1日全部到位,並隨即存入銀行,利息按單利計算;(2)學校每年獎勵優秀師生的獎金都在每年的年末發放;(3)10年內,每年發放的獎金數額相等;(4)存款年利率在10年內基本保持不—52—第3章與利息有關的經濟問題變,且不考慮通貨膨脹。 [模型建立與求解]用ri(i=1,2,3,5)表示現行銀行存定期i年期的年利率,一個i年期存款存期到期後的本利和的計算公式為Pi=P0(1+iri),令第一年初的基金為M,每年末發放的獎金為A,Xij表示第i(i=1,2,3,…)年初存一個j(j=1,2,3,4,5)年期定期的基金數額(j=4時當作4年期的,由一個定期一年期與一個三年期組合而成)。結合利息最大化的存款方式分幾種情況討論如下。 (1)考慮組合存儲的情形先把基金M存成五年定期的存本取息的儲蓄,五年到期後再轉存一個五年定期。設每月產生的利息為B元,一個月後取出這筆存款的第一個月的利息,然後再開設一個零存整取的儲蓄賬戶,把取出來的利息存到這個賬戶裏麵。以後每個月固定把第一個賬戶中產生的利息取出,存入零存整取的賬戶,存期一年,每年末用零存整取賬戶中的本息和支付獎金A。令Ak表示第k個月末零存整取賬戶裏的總額(k=1,2,…,12),年利率為r=r1。則有Mr。 B=5 12第k個月末零存整取賬戶裏的總額為1+ú。 AkkB1+kBêk(k)Brê (k)rú= += éù ?1+24? 2×12每年末發放的獎金為?13r1÷13r1÷,AA12B Mr5? ==12? ? =? ? è1+24? è1+24? 把M=5000萬元,r1=2.9%,r5=4%代入上式,計算得A=203.1417萬元。 (2)考慮分階梯儲蓄的情形在第一年初把基金分成5份x11,x12,x13,x14,x15,分別存定期一年期、兩年期、三年期、四年期和五年期的存單各一份。一年期的存單到期後,本息和的一部分作為第一年末的獎金,另一部分再存一個五年定期x25,x25到期的本息和作為第六年末的獎金;存兩年期的那份x12到期的本息和一部分作為第二年末的獎金,另一部分再存一個五年定期x35,x35到期的本息和作為第七年末的獎金;存三年期的那份x13到期時的本息和一部分作為第三年末的獎金,另一部分再存一個五年定期x45,x45到期時支付第八年末的獎金;存四年期的那份x14到期時的本息和一部分作為第四年末的獎金,另一部分再存一個五年定期x55,x55到期時支付第九年末的獎金;存五年期的那份x15到期的本息和一部分作為第五年末的獎金,另一部分再存一個五年期x65,x65到期後除支付第10年末的獎金外還應剩餘M。因此相應的數學模型如下式所示。 maxf=A,—53—數學建模實例與優化算法+ ++ += ?ìx11x12x13x14x15M,1+= +??x11(r1)x25A,? 1+5= ?x25(r5)A,?x14(r1)(r3)Ax55,? 1+1+3=+1+5= ??x55(r5)A,s.t. 1+2= +íx12(r2)Ax35,? 1+5= ?x35(r5)A,1+3=+??x13(r3)Ax45,1+5= ??x45(r5)A,? 1+5=+?x15(r5)Ax65,1+5=+?x65(r5)AM。 ? 以2015年建設銀行最新存款利率為例:r1=2.9%,r2=3.25%,r3=3.75%,r5=4%。 代入上式計算,具體計算結果見表3-3所示表3-3分階梯儲蓄數據單位:萬元一年期兩年期三年期四年期五年期獎金A1 x11=328.7299x12=317.6179x13=304.0567x14=295.4875x15=3754.1082 x25=153.75593 x35=153.7559184.50714 x45=153.75595 x55=153.75596 x65=4320.423可看出,兩種存款方案中,組合存儲方案的獎金額多。 思考與訓練1.某顧客向銀行借貸P元。n年後他還給銀行的是本金和利息之和。設銀行規定年複利率為r,按下述不同結算方式建立計算顧客n年後的總還款額,並分析每年結算次數m對顧客n年後的總還款額的影響。(1)每年結算一次;(2)每月結算一次(月複利率為r\/12);(3)每年結算m次(每次複利率為r\/m);(4)當m趨於無窮時,結算周期變為無窮小,這意味著客戶連續不斷向銀行付利息,這種存款方式稱為連續複利。試計算在連續複利情況下2年後顧客的最終還款額(假設p=20000,r=0.1)。 2.老李現有一筆閑錢共1萬元,想以“整存整取”的方式存入銀行,準備存9年供孩子—54—第3章與利息有關的經濟問題9年後上大學使用,請你根據2015年建行的“整存整取”利率表(分三個月、半年、一年、兩年、三年、五年)選擇一種合適的存款方式組合,使9年後獲得利息最多。 3.張三於2000年8月7日將一筆28000元的現金存入某農業銀行,存期一年(當年的存款利率為2.25%,活期存款率為0.98%),並在存款單的儲戶選擇欄“到期是否自動轉存□”的選擇方框內打了一個“√”,想不到這一存便是4年多了,到了2004年8月12日(注:當時全國銀行存款年利率統一為1.98%,此利率從2002年2月23日開始在全國試行),張三才想起自己有這筆存款,於是他到銀行去取這筆存款,則他可取回多少錢?其中利息多少?若利息稅為20%,他稅後的利息是多少?(稅前利息約為2331元,按單利計息)4.老張在銀行存入1000元,複利率為每年10%,分別以按年結算和連續複利結算兩種方式計算10年後老張在銀行的存款額。(按年結算p=2593元,連續結算p=2718.28元)5.假定年利率10%,在連續複利製下,5年後100萬元的現值是多少?6.張三每年年末在銀行存入4萬元,年利率5%,則5年後他可從銀行取出多少錢?7.某家庭計劃5年後購買一輛價值20萬元的小汽車,為了實現目標,該家庭從現在起每年末需要存入銀行多少錢? 8.已知銀行貸款年利率為5.58%,如果今年需要在銀行貸款45萬元,要求20年還清,而在這20年中每個月的還貸金額相等,則每個月應還多少元?如果你已經還了14個月,此時銀行降低貸款年利率為5.31%,假設此後的貸款按新的年利率計算,則此後每個月應還多少錢?如果已經還了60個月,想一次性還清貸款,則應還多少錢? 9.某不動產商以5%的年利率借得貸款,然後又將此款貸給顧客,並假設他能貸出的款額與貸出的利率的平方成反比(若利率太高無人借貸)。 (1)建立年利率與利潤間的數學模型。(2)當以多大的年利率貸出時,能獲得最大利潤? 10.某人看到一則廣告:某商店對電視機進行分期付款銷售.一台售價為4000元的電視機,如果分36個月付款,每月付150元即可。另外,他又得到一則銀行貸款的消息:5000元以下的貸款,在3年內分期還清,年利率為15%。現在他想買一台上述標價的電視機,他應該向銀行貸款呢,還是直接向商店分期付款?如果向商店分期付款,商店實際上收取了多少的利率?(提示:隻要計算他向銀行貸款,分三年還清,每月要還多少錢即可。)11.小李夫婦要買一輛轎車,還差60000元,他們需要向銀行辦理抵押貸款,如果貸款期限25年,每月應償還632元。正當他們要去辦理抵押貸款手續時,他們看到某借貸公司的一則廣告:“顧客們,我們可以在不增加還款數額的條件下幫您們提前還清貸款。”小李夫婦走進了借貸公司,接待他們的雇員針對他們的情況提出:“你們每兩個星期向我們交316元(631.93元的一半),你們即可提前3年了結債務,但為了信譽,要求您先預付3個月的還款。”小李夫婦對此很動心,但又不太懂,不知道該向哪一家借款。請你幫他們分析。 12.養老保險是保險中的一種重要險種,保險公司將提供不同的保險方案以供選擇。其中一種方案是:投保人從某個年齡開始,每月固定向保險公司交納一定數額的保費,直—55—數學建模實例與優化算法到60周歲為止;從60周歲的下個月開始,每個月從保險公司領取一份養老金,直到身故為止。在此期間,保險公司需要用投保人所交的保費進行投資,才能保證到時能夠兌付投保人的保險養老金,並盡量為保險公司創造一定的利潤。請通過建立數學模型解決下麵的問題:(1)男性若從25周歲起投保,60周歲以後開始每月領取2000元養老金,直到75周歲身故為止(這裏不妨假設男性的平均壽命為75周歲)。在此期間的50年裏,保險公司投資的月平均收益為0.5%(按複利計算),如果到投保人身故時,保險公司的利潤是零,即不賠不賺,請你們計算投保人每月應該交保費多少。 (2)如果到投保人身故時,保險公司從其身上獲得的利潤是10000元,那麼投保人又應該每月交保費多少元? —56—第4章運用微積分方法解決的問題數學是無處不在的,函數是客觀事物內在聯係的反映,利用函數關係可以對客觀事物的規律進行研究。很多實際問題中所研究的因素或變量之間的關係可以直接用函數表達式表示,我們可以建立相應的函數關係模型,再根據函數的表達式深入分析實際問題的變化規律。有些問題不能直接給出所需的函數關係,但可以列出含有所需函數的導數或微分的關係式,即微分方程,通過解微分方程,得到所需要的函數表達式。函數的極限,函數的導數,函數的積分、微分方程是微積分中重要的知識點,本章著重介紹極限、導數、積分、微分方程的應用實例。 4.1與函數極限、極值等有關的問題4.1.1細菌繁殖問題由實驗知,細菌繁殖的速度在培養基充足等條件滿足時與當時已有的數量A0成正比,即V=KA0(K為比例常數且大於0),問經過時間t以後細菌的數量是多少?已知一種細菌的個數按指數方式增長,收集到的相關數據有:經過5d後,細菌數量為936個;經過10d後,細菌數量為2190個。問:(1)開始時細菌個數是多少?(2)60d後細菌個數會是多少? [問題分析與模型假設]把細菌的繁殖過程看成是連續進行的,假設細菌繁殖的速度與已有的數量成正比,那麼在不同時刻,細菌繁殖的速度是不同的。設開始時刻t0=0,細菌數量為A0。經過一段時間t,我們把時間段[0,t]進行均勻分割,分成n個小區間,在第i個小區間[ti,ti+1](i=0,1,2,…,n)內把細菌的繁殖速度Vi近似看作不變,等於ti時刻的繁殖速度。令Ai(i=0,1,2,…,n)表示ti時刻細菌的數量,則在區間[ti,ti+1]內細菌的繁殖速度為Vi=KAi,區間[ti,ti+1]內細菌的繁殖的數量為Ai=Vit=KAitn(i=0,1,2,…,n),ti+1時刻細菌的數量為Ai+1=Ai+ΔAi。 [模型建立與求解]把時間間隔[0,t]分成n等分,在每個小區間[ti,ti+1](i=0,1,2,…,n)內把細菌的—57—數學建模實例與優化算法t tt ,0 =× =n nn 繁殖速度近似看作不變。因此,在[,]內,細菌繁殖的數量為A0V0KA0t ,0(t );é ù, t1 =ê ,ú1 =1 nn n到 時刻細菌數量是AA K在 êt2tú內細菌繁殖的數量為AkAKA0(K ), A2A0(K )……t, nn =1+nn= 1+2 到時刻細菌數量為tt到2t時刻細菌數量是t =n 1+nAnA0( Kt ),這是近似值,當n越來越大時,近似程度越高。為了得到精確值,令n→∞,使得每個時間區間長度趨於零,則到t時刻,細菌數量為t?nkt? n? é? ktùktkt。 =lim→∞è1+n ? =lim→∞?è1+n? ? =eAnA0? k÷ A0nê? ÷ú A0ê ú若一種細菌經過5d後,細菌數量為936個,經過10d後,細菌數量為2190個,則有A0e5k=936,{A0e10k=2190,解得A0=400,k=0.17,則開始時細菌個數為400,到60d後細菌個數為A60=400·e60×0.17=10761200(個)。 4.1.2城市垃圾的處理問題據2015年統計資料顯示,到2015年末,某城市堆積的垃圾已達50萬噸,不但侵占了大量土地,並且成為造成環境汙染的因素之一。根據預測,從2016年起,該城市還將以每年3萬噸的速度產生新的垃圾,垃圾的資源化和回收已成為城市建設中的重要問題。如果從2016年起,該市每年處理上一年堆積垃圾的20%,請問:(1)10年內,該城市垃圾是否能全部處理完成?(2)長此以往,該市垃圾是否能全部處理完成? [模型假設]從2016年開始,每年的垃圾總量除了上一年的遺留垃圾外,還有本年度新產生的垃圾。假設A0為2015年的垃圾量,A1為2016年處理垃圾後的垃圾總量,A2為2017年處理垃圾後的垃圾總量。b為每年新增的垃圾量,k為每年處理上一年垃圾的比值(速率),Ai為2015年後第i年處理上一年垃圾後還剩餘的垃圾與新產生的垃圾之和(i=1,2,…,n)。 [模型建立與求解]根據題意,有A1=A0(1-k)+b,A2=A1(1-k)+b=A0(1-k)2+b(1-k)+b,? An=A0(1-k)n+b(1-k)n-1+b(1-k)n-2+…+b(1-k)+b=A0(1-k)n+b[1-(1-k)n]\/k。 —58—第4章運用微積分方法解決的問題把n=10代入上式得到10年後還剩餘的垃圾量的計算公式為:A10=A0(1-k)10+b[1-(1-k)10]\/k。 (1)由A0=500000噸,b=30000噸,k=20%,得A10=18.7581萬噸,則判斷10年內,該城市垃圾不能處理完。 (2)當n→∞時,A∞=limAn=b,代入相關數據,得A∞=15萬噸,所以長此以往,該n→∞k城市垃圾不能處理完。 4.1.3椅子能在不平的地麵上放穩嗎? 把椅子往不平的地麵上一放,通常因為隻有三隻腳著地而放不穩,然而隻需稍挪動幾次就可以使四腳同時著地,試用數學語言來解釋該現象。 [問題分析]通常三隻腳著地,椅子不會倒但放不穩。隻有四隻腳同時著地,椅子才可放穩。先用數學語言把椅子位置和四隻腳著地的關係表示出來,並把該問題轉化成數學問題。 [模型假設](1)假設椅子的四條腿一樣長,椅腳與地麵接觸處看成一個點,四個腳的連線呈正方形;(2)地麵高度是連續變化的,可視為數學上的連續曲麵;(3)地麵是相對平坦的,能使椅子擺放在任意位置時至少有三隻腳同時著地。 [模型建立]先用數學語言把椅子位置和四隻椅腳著地的關係表示出來,椅子的四隻腳與地麵的接觸點(或投影點)分別用A,B,C,D表示,建立直角坐標係:以四隻椅腳的連線AC為X軸,BD為Y軸,AC,BD的交點為原點O。連線後的正方形ABCD是一個中心對稱的圖形,如圖4-1所示。 圖4-1正方形ABCD旋轉θ角得正方形A''''B''''C''''D''''“椅子稍作挪動”用數學語言描述為:假設椅子中心投影O不變,僅作旋轉。 —59—數學建模實例與優化算法用θ(對角線A''''C''''與X軸的夾角)表示椅子的位置,圖4-1表示正方形ABCD旋轉θ角得到正方形A''''B''''C''''D''''。椅子腳著地與否可以用椅子腳與地麵的距離來表示,當椅子腳著地時,椅子腳與地麵的距離是零,否則距離不為零。當四隻腳著地時,每隻椅腳與地麵距離都為零,則四隻腳與地麵的距離之和也為零。椅子腳與地麵的距離可表示成θ的函數,設f(θ)表示A,C兩腳與地麵的距離之和,g(θ)表示B,D兩腳與地麵的距離之和,顯然,f(θ)≥0,g(θ)≥0。因為椅子在任意位置至少有三隻腳著地,所以對任意θ,f(θ),g(θ)這兩個中至少有一個為0,即f(θ)·g(θ)=0。假設當θ=0時,椅子隻有三隻腳著地,不妨設B,D著地,A,C中有一處沒有著地,則有f(0)>0,g(0)=0。又假設地麵為連續曲麵,所以f(θ),g(θ)是連續函數。如果“稍作挪動”,即旋轉一適當角θ0,能使得f(θ0)=g(θ0)=0,則該問題可轉化為如下的數學問題:已知:f(θ),g(θ)是連續函數,對任意θ,f(θ)·g(θ)=0,且g(0)=0,f(0)>0。證明:存在θ0,使f(θ0)·g(θ0)=0。 [模型求解]利用閉區間上連續函數的性質來解決該問題。 零點定理:設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,且f(a)與f(b)異號,那麼在開區間(a,b)內至少有一點x0,使f(x0)=0。 2, 。g(),(),(),()。 將椅子旋轉π對角線AC和BD互換由 f知fπg ππ 令h(θ)=f(θ)-g(θ),則h(0)>0和h(2)<0。由f(θ),g(θ)的連續性知h(θ)為連續函數,根據連續函數的零點定理,必存在θ(0≤θ≤π),使h(θ)=0,即f(θ)=g(θ)。 002000因為對任意的θ,f(θ)=g(θ)=0都成立,所以有f(θ0)=g(θ0)=0。 思考:如果椅子四隻腳的連線呈長方形,椅子能放穩嗎? 4.1.4最優價格問題企業要根據產品成本和銷售情況製訂商品價格,當然製訂的商品價格應是使企業利潤達到最大的,這個價格就是最優價格。那麼在產銷平衡狀態下如何製訂產品的最優價格? [問題分析]所謂產銷平衡是指企業產品的產量等於市場上的銷售量,企業的利潤與收入和成本有關,即利潤=收入-成本。利潤函數的與產量(銷售量)有關,所以問題轉為討論利潤函數的最大值點。 [模型假設](1)設工廠生產某種產品的產量等於市場上的銷售量,即產銷平衡;(2)產品的銷售價格為p,產品的單位成本為q,產品的銷售量(產量)為x,總收入為R,總成本為C,總利潤為L;(3)在市場競爭的情況下,銷售量x與銷售價格p之間的關係為x=f(p),稱為需求函數。 —60—第4章運用微積分方法解決的問題[模型建立]由於總收入函數為R=px,總成本函數為C=qx,則利潤函數為L=R-C=px-qx。我們知道需求函數x=f(p)一般是減函數,總收入R和總成本C都是價格p的函數,於是總利潤L可以表示為p的函數,即L(p)=R-C=p·f(p)-q·f(p)=(p-q)f(p),則該問題轉化為:根據利潤函數L(p)確定價格p*,使得L(p*)達到最大值。 [模型求解]由函數的極值的相關理論可知,如果利潤函數L(p)在定義域內有唯一的駐點,則該駐點就是函數的極大值點,也是最大值點。因為有L''''(p)=f(p)+pf''''(p)-qf''''(p),令L''''(p)=0,就可得到使利潤L(p)達到最大的最優價格p*,這時有:f(p*)+p*f''''(p*)-qf''''(p*)=0,根據此方程就可求出p*。另外,由L''''(p)=0可得到ddpR=ddCp,即在最優價格p*處,邊際收入等於邊際成本。表明在邊際收入等於邊際成本時可以達到最大利潤。這是數量經濟學的一條定律。 實際應用時為了得到進一步的結果,需要知道需求函數x=f(p)的具體形式。一般情況下,需求函數是減函數,如果設x=f(p)是最簡單的線性函數x=f(p)=a-bp(a>0,b>0),其中a表示免費供應該產品時的社會需求量,b表示價格上漲(下跌)一個單位時銷量下降(上升)的幅度,它反映市場需求對價格的敏感程度,此時利潤函數為L(p)=(p-q)f(p)=(p-q)(a-bp)=ap-aq-bp2+bpq,對p求導數得L''''(p)=a-2bp+bq,令L''''(p)=0,求得最優價格為p*=q2+2ab。 4.1.5廣告與利潤問題公司有一大批裝飾塗料,根據以往統計資料,零售價增加,則銷售量減少,具體數據如表4-1所示。若做廣告,可使銷售量增加,具體增加量以售量提高因子k表示,k與廣告費的關係如表4-2所示,它也是以往的統計或經驗結果。現在已知塗料的進價是每聽2英鎊,問如何確定塗料的價格和花多少廣告費,可使公司獲利最大。 —61—數學建模實例與優化算法表4-1塗料預期銷售量與價格的關係零售單價\/英鎊2.002.503.003.504.004.505.005.506.001×10413834322928252220銷售量\/3 聽表4-2售量提高因子與廣告費的關係廣告費\/萬英鎊0 12 34 56 7提高因子k1.001.401.701.851.952.001.951.80[問題分析]利潤是銷售收入與總成本之差,銷售收入是銷售量與銷售單價的乘積,總成本由兩部分構成:購買產品的進貨費用和廣告費用。銷售量不但與產品的銷售單價有關,還與是否做廣告有關。先根據已知數據確定出銷售量與銷售單價的關係和售量提高因子與廣告費的數量關係,然後由利潤是銷售收入與成本之差,而成本包括進貨成本支出和廣告費,建立相關的利潤函數進行求解。 [模型假設]為了解決此問題,引入以下記號:Z表示未做廣告的銷售量,X表示銷售單價,Y表示廣告費,C表示總成本,P表示產品進價,R表示收入,L表示利潤,S表示做廣告後的實際銷售量。 [模型建立與求解]由表4-1的數據可看出,銷售量與銷售單價近似呈線性關係,因此可設:Z=aX+b根據表4-1中的數據確定出式中的係數a和b的具體數值,顯然a<0。 再由表4-2的數據可看出,售量提高因子k與廣告費支出近似成二次關係,因此可設:k=dY2+eY+f。 同樣,可用曲線擬合法,由表4-2的數據確定式中的係數d、e和f,這裏d<0,拋物線開口向下。 由於做廣告後會使銷售量增加,我們可假設實際銷售量S等於未做廣告的銷售量乘以售量提高因子,即S=kZ,於是利潤L可表示為LRCS(XP)Y(dY2eYf)(aXb)(XP)Y,=-=--=+++--可見利潤L隻是X和Y的函數,所以問題歸結為當X,Y為何值時L達到最大值。 由多元函數求極值的方法,可得L的極大值點為?ìaP-b?x0=a, í2 1e。 ??y02() ? 0+)(0-2 =daxbxP-d—62—第4章運用微積分方法解決的問題為了得到具體的數值,需求出各係數的值。經計算得各未知參數的具體結果為:a=-5133,b=50420,P=2,d=-4.256×10-10,e=4.092×10-5,f=1.019。 把以上數據代入相關的公式中,可得x0=5.91,y0=33113,Z=20084,k=1.91。即當塗料單價為5.91英鎊,廣告費支出為33113英鎊,實際銷售量為S=1.91×20084≈38360(聽)時,可獲得最大利潤L=S(x0-P)-y0=1.91×20084×(5.91-2)-33113≈116876.3(英鎊)。 4.1.6豬肉產品供求平衡問題在中國自由競爭市場經濟中常常有這種現象出現:上一年豬肉的上市供應量遠遠大於需求量,導致豬肉價格下降;價格下降會使豬肉減少生產,使得今年的豬肉產量大減以致豬肉的供應量不能滿足消費者的需求,於是豬肉價格又重新上漲;價格上漲又刺激生產者,來年又增加了豬肉的產量,造成新一輪的供過於求致使價格下降的局麵。在沒有外界幹預的情況下,這種現象會一直循環下去。 據統計,某城市2004年的豬肉產量為30萬噸,肉價為6元\/斤,2005年的豬肉產量為25萬噸,肉價為8元\/斤。已知2006年的豬肉產量為28萬噸。 (1)若維持目前的消費水平和生產模式,則若幹年後,豬肉的生產量與價格是否會趨於穩定? (2)假設若幹年後豬肉的生產量與價格趨於穩定,請求出穩定的生產量和價格。 [問題分析]許多商品特別是某些生產周期較長的商品(如豬肉、棉花等),它們的市場價格、數量會隨時間的變化而發生變化,呈現時漲時跌、時增時減、交替變化的規律。蛛網模型考察的是生產周期較長的商品,它是在現實生活中應用較多、較廣的動態經濟模型,在一定範圍內揭示了市場經濟的規律。我們可以根據收斂型蛛網模型穩定的條件得到穩定的生產量和價格。 蛛網模型的基本假設條件是:商品的本期產量Qs取決於前一期的價格P-1,即供給tt函數為Qs=f(P-1)。商品本期的需求量Qd取決於本期的價格P,即需求函數為Qd=tttttg(Pt)。用Pt,Qt,Qtd,Qst分別表示t時刻的價格、數量、需求量、供給量。蛛網模型是一個動態模型,它根據供求曲線的彈性分析了商品的價格和產量波動的三種類型:“收斂型蛛網”“發散型蛛網”和“封閉型蛛網”。 (1)收斂型蛛網:如圖4-2所示,相對於價格軸,需求曲線斜率的絕對值大於供給曲線斜率的絕對值。當市場受到幹擾偏離原有的均衡狀態時,實際價格和實際產量會圍繞均衡水平上下波動,但波動的幅度越來越小,最後會恢複到原來的均衡點,相應的蛛網稱為“收斂型蛛網”。 由於某種原因的幹擾,如惡劣的氣候條件,實際產量由均衡水平Qe減少為Q1。根據需求曲線,消費者願意以價格p1購買全部產量Q1,於是,實際價格上升為p1。 根據第一期較高的價格水平p1,按照供給曲線,生產者將第二期的產量增加為Q2;在第二期,生產者為了出售全部產量Q2,接受消費者支付的價格p2,於是實際價格下降為—63—數學建模實例與優化算法圖4-2收斂型蛛網p2;根據第二期較低的價格p2,生產者將第三期的產量減少為Q3;在第三期,消費者願意支付p3的價格購買全部的產量Q3,於是實際價格又上升為p3;根據第三期的較高的價格p3,生產者又將第四期的產量調整為Q4。 依此類推,如圖4-2所示,實際價格和實際產量的波動幅度越來越小,最後恢複到均衡點E所代表的水平。由此可見,圖4-2中均衡點E的狀態是穩定的。也就是說,由於外在的原因,當價格與產量發生波動而偏離均衡狀態(Pe、Qe)時,經濟體係中存在著自發的因素,能使價格和產量自動地恢複均衡狀態。在圖4-2中,產量與價格變化的路徑就形成了一個蜘蛛網狀的圖形。 (2)發散型蛛網:如圖4-3所示,相對於價格軸,需求曲線斜率的絕對值小於供給曲線斜率的絕對值。當市場受到外力幹擾偏離原有的均衡狀態時,實際價格和實際產量會圍繞均衡水平上下波動,但波動的幅度越來越大,最後會偏離原來的均衡點,相應的蛛網稱為“發散型蛛網”。 圖4-3發散型蛛網—64—第4章運用微積分方法解決的問題假定在第一期由於某種原因的幹擾,實際產量由均衡水平Qe減少為Q1。根據需求曲線,消費者願意支付價格p1購買全部產量Q1,於是實際價格上升為p1,根據第一期較高的價格水平p1,按照供給曲線,生產者將第二期的產量增加為Q2;在第二期,生產者為了出售全部產量Q2,接受消費者支付的價格p2,於是實際價格下降為p2;根據第二期較低的價格p2,生產者將第三期的產量減少為Q3;在第三期,消費者願意支付p3的價格購買全部的產量Q3,於是實際價格又上升為p3;根據第三期的較高的價格p3,生產者又將第四期的產量調整為Q4。 依此類推,如圖4-3所示,實際價格和實際產量的波動幅度越來越大,最後偏離均衡點E所代表的水平。由此可見,圖4-3中均衡點E所代表的均衡狀態是不穩定的。 從圖4-3中可看出,當相對於價格軸,需求曲線斜率的絕對值小於供給曲線斜率的絕對值時,即相對於價格軸而言,需求曲線比供給曲線較為平緩時,才能得到蛛網不穩定的結果。因此供求曲線的上述關係是蛛網不穩定的條件,當市場由於受到幹擾偏離原有的均衡狀態以後,實際價格和實際產量會圍繞均衡水平上下波動,但波動的幅度越來越大,偏離原來的均衡點越來越遠,相應的蛛網稱為“發散型蛛網”。 (3)封閉型蛛網:如圖4-4所示,相對於價格軸,需求曲線斜率的絕對值等於供給曲線斜率的絕對值時,市場受到外力幹擾偏離原有的均衡狀態以後,實際價格和實際產量會按照同一幅度圍繞均衡水平上下波動,既不偏離,也不趨向均衡點,相應的蛛網稱為“封閉型蛛網”。 對於圖4-4中不同時點的價格與供求量之間的解釋與前兩種情況類似,故從略。從圖4-4中可看出,當相對於價格軸,需求曲線斜率的絕對值等於供給曲線斜率的絕對值時,即相對於價格軸而言,供求曲線具有相同的陡峭與平緩程度時,蛛網以相同的幅度上下波動,相應的蛛網稱為“封閉型蛛網”。 圖4-4封閉型蛛網[模型假設](1)價格是影響商品需求量、供給量的唯一因素;(2)為描述商品的交替變化規律,將時間按商品的生產周期離散化為時期,一個時期為一個生產周期(例如:一年為一個生產周期);(3)一個時期內商品的需求量Q是價格P的線性函數,供給量S是價格P的線性函—65—數學建模實例與優化算法數;(4)記第t時期商品的供給量為St,商品的價格為Pt,商品的需求量為Qt,商品的本期產量St取決於前一期的價格Pt-1,即供給函數為St=f(Pt-1),商品本期的需求量Qt取決於本期的價格Pt,即需求函數為Qt=g(Pt);(5)市場是均衡的,即當期的市場需求量等於市場供給量。 [模型建立與求解]由於設一個時期內商品的需求量Q是價格P的線性函數,供給量S是價格P的線性函數(這是最簡單的情形),一般情況下需求函數是價格的單調遞減函數,而供給函數是價格的單調遞增函數,因此可設為如下的模型Q=a-bP,{S=c+dP,其中a,b,c,d均為正常數。因為當期的市場需求量等於市場供給量,則令Q=S時,可求得供需平衡時的均衡價格=a-c。Pb+d如果我們以動態的觀點來研究價格波動的規律,則第t時期商品價格Pt不但決定本期的需求量Qt,而且影響生產者在第t+1期的供應量St+1。即Q=a-bP,{t=+t,St+1cdPt並且有{Q1=a-bP1,{S2=c+dP1,Q2=a-bP2,S3=c+dP2,解得Q1P2-Q2P1, S2P2-S3P1, a=c=PPPP{Q2-1 {2-1 QSS1-2, 3-2, b=d=PPP P2-12-1所以商品的需求函數和供給函數分別是:Q=f(P)=Q1P2-Q2P1-Q1-Q2P,P2-P1P2-P1S=g(P)=S2P2-S3P1+S3-S2P。 P2-P1P2-P1由蛛網模型的理論可知:若幹期後商品的生產量和價格是否會趨於穩定取決於需求函數的斜率的絕對值與供給函數的斜率的絕對值的大小。即—66—第4章運用微積分方法解決的問題(1)當-Q1-Q2>S3-S2時,商品會趨於穩定,實際價格趨向均衡點;P2-P1P2-P1(2)當-Q1-Q2 P2-P1P2-P1因此我們把2004年、2005年、2006年對應的時期分別設為t=1,t=2,t=3,則根據提供的數據有:t=1時,Q1=30萬噸,S1=30萬噸,P1=6元\/斤;t=2時,Q2=25萬噸,S2=25萬噸,P2=8元\/斤;t=3時,Q3=28萬噸,S3=28萬噸。代入上述公式計算得:a=45,b=2.5,c=16,d=1.5。所以豬肉的需求函數和供給函數分別是:Q=45-2.5P,S=16+1.5P。 由於-2.5=2.5>1.5,即豬肉需求函數的斜率的絕對值大於供給函數的斜率的絕對值,所以若維持目前的消費水平和生產模式,若幹年後豬肉的生產量與價格會趨於穩定。 當Q=S時,市場處於穩定狀態,則由45-2.5P=16+1.5P,解得均衡價格P=7.25(元\/斤),這時生產量S=16+1.5×7.25=26.875(萬噸)。 4.1.7庫存費用問題我們知道,生產廠家要訂購各種原料以供生產用,商家要購進各種商品以備零售等,不論是生產廠家還是商家,都要設置倉庫用來存貯原料或商品。如果在一個計劃期內(譬如說一年),生產廠家對原料(或商家對商品)的總需求量是一定的,由於資金和倉庫容量的限製,不可能將全部原料或商品一次性采購進來,一般都是采用分批進貨的方法,每次進貨時都要支付手續費,原料或商品購買回來後還要支付存貯費,於是都會出現一個存貯量多大時才會使總費用最省的問題。存貯量過大,存貯費用就會太高;存貯量太小,就會導致一次性訂購費用增加,或原料(商品)不能及時滿足需要,造成缺貨,給廠家或商家帶來損失。 假設東風化工廠每年生產所需的12000t化工原料一直都是由勝利集團以每噸500元的價格分批提供的,每次去進貨都要支付400元的手續費,而且原料進廠後還要按每噸5元的價格支付庫存費。最近供貨方勝利集團為了進一步開拓市場,提出了“一次性訂貨600t或以上者,價格可以優惠5%”的條件,那麼,東風化工廠該不該接受這個條件呢? [問題分析]廠家(或銷售商)在對貨物(原料或商品)的總需求量穩定的情況下,如果缺貨會對廠家(或商家)不利,所以考慮不允許缺貨的情形。在不允許缺貨的前提下,我們假設一個訂貨周期內的存貯費是指平均存貯費,而平均存貯費可以看作是日平均存貯量、單位存貯費及存貯時間三者之積。一個訂貨周期內的總費用包括訂貨時的手續費(訂貨費)、支付貨物的成本和存貯費。為此先建立不允許缺貨的總費用模型,然後針對東方化工廠的具體情況求出原來使總費用最低的經濟進貨批量與最低的總費用,再考慮在新的優—67—數學建模實例與優化算法惠條件下的總費用,並與原來已達到最低的總費用進行比較看是否有繼續降低,從而做出決定。 [模型假設](1)廠家對原料(貨物)的需求是連續均勻的,且每天的原料(貨物)需求量(即需求速率)r為常數;(2)每隔T天訂貨一次,每次的進貨量Q(單位)不變;(3)不允許缺貨,當原料存貯量為零時立即補充,瞬間到貨,補充一次性完成(Q單位的原料立即到來);(4)單位原料的成本為C0,每次訂貨費用(手續費)C1相同,單位時間內單位原料(貨物))的存貯費C2不變;(5)生產廠家(或商家))每年需要的原料(貨物)總量為D(單位),分N次訂貨;(6)單位貨物一年的存貯費為H。 [模型建立]由於對原料(貨物)的需求是均勻連續的,需求速率r為常數,在訂貨周期T內的需求量為rT,顯然,它即為每次訂購批量Q,有Q=rT。當每次訂貨後,經過周期T,存貯量由Q均勻下降,設t時刻的存貯量為q(t),則q(t)的變化規律如圖4-5所示。 圖4-5qt=-=- 不允許缺貨模型的存貯量()∈0- 可知q(t)Qrtr(Tt),t[,T],則一個訂貨周期內的平均存貯量為q=∫ ∫)=, 2q。 Tq()=(-d Td 1Q一個訂貨周期內的存貯費為C-T所以一個訂貨1Ttt1TQrtt0 0: 2周期內的總費用為= ++ -= +1 +2C(T)C0QC1C2qTC0QC1C2QT。 02 :()。 T=+T+2= 單位時間內的平均費用為CTC(T)CrC11CrTD 由於每年訂貨的次數N=,所以全年的總費用為:Q ZN·C(T)C0DD C11Q(NC2T)C0DD C11QH,= =+Q+2= +Q+2其中H=NC2T,表示單位貨物一年的存貯費。 —68—第4章運用微積分方法解決的問題令ddZQ=0,即-DC+1H=0,Q212解得Q=2DCH1。 這是唯一駐點,也是最大值點,即當訂貨批量為Q=2DCH1時,年總費用最小。同時還可得到每年訂貨次數N=DH。 2C1[模型求解]D ,C0=500,C1=400,C2=30\/,H=5×12=由化工廠原來數據=12000t元 元d 5元 60元,可求得最優訂貨批量Q=2×12000×400=400(t)。進一步可算得全年最少費60用為Z=500×12000+12000400×400+12×400×60=602.4(萬元),全年的訂貨次數為N=30。現在假設接受供貨方的優惠條件,這意味著批量由原來的400t至少提高到600t。如果就以600t計算,則全年的訂貨次數為N=20,原料的價格優惠5%,則全年的總費用為 120001 萬元)。 Z1=500×95%×12000+600×400+2×600×60=572.6(> 因為ZZ1,所以供應商的優惠條件是可以接受的。 :()0 2T =+T+2進一步分析如果以單位時間內的平均費用CT= C(T)CrC11CrT為, ,()2 ,= ,= 2rC目標函數利用微分的方法令C''''T =-T+=0得到T又由於QC11Cr2C1rT=C。 Q=, 2。 2所以當批量為C 在貨物的需求速率r 已知的2rC12rC1時平均費用最小2 2情況下,用這個公式也可以計算最優批量。 4.1.8反複學習及效率問題心理學研究指出,任何一種新技能的獲得和提高都要通過一定時間的學習。在學習中,常常會碰到這樣的現象,有的學生學得快,掌握得深,而有的學生學得差,掌握得淺。以學習電腦為例,假設每學習電腦一次,能掌握一定的新內容,其程度為常數A(0 —69—數學建模實例與優化算法[問題分析]基本能掌握電腦知識,其掌握的程度應該是接近於1的時候。那麼,關鍵是如何確定經過n次後,掌握電腦知識程度的函數表達式,從而確定n。 [模型假設](1)b0表示開始學電腦時所掌握的程度;(2)A表示經過一次學習之後所掌握的程度,即每次學習所掌握的新內容占上次學習內容的百分比;(3)bn表示經過n次電腦學習後所掌握的程度。 [模型建立]很明顯,0≤b0≤1。根據上麵的假設,1-b0就是開始第一次學時尚未掌握的新內容,經過一次學習後掌握的新內容為A(1-b0),於是b1-b0=A(1-b0),類似的有b2-b1=A(1-b1)。以此類推,得到經過n次學習電腦後所掌握的程度為bn+1-bn=A(1-bn),n=0,1,2,…,即bn+1=A+(1-A)bn,n=0,1,2,…。 [模型求解]由上述模型得b1=b0(1-A)+A,b2=b1(1-A)+A=b0(1-A)2+A(1-A)+A,b3=b2(1-A)+A=b0(1-A)3+A(1-A)2+A(1-A)+A,? bn=bn-1(1-A)+A=b0(1-A)n+A(1-A)n-1+A(1-A)n-2+…+A(1-A)+Ab0(n A[(A)](b0)(n A)1-1-n A)。 =1-+( A)=1-1-1-1-1-即 bn=1-(1-b0)(1-A)n,n=1,2,…可以看出,當學習次數n增大時,bn隨之增大,且越來越接近於1(100%),但不會達到100%。這就說明了一個道理:熟能生巧,學無止境。 [模型分析]不妨假設在學習過程中,掌握95%以上的學習內容就算基本掌握。下麵根據以上模型來計算至少需要學習多少次。 一般情況下,b0=0,即開始學習時,對電腦一無所知,如果每次學習掌握程度為30%,逐個代入數據,如表4-3所示。 表4-3學習次數與掌握程度關係n 12 34 56 78 910bn0.30.510.660.760.830.880.920.940.960.97可以看到隨著學習的進行,掌握程度增速越來越小,這也是學習的道理,入門容易,深—70—第4章運用微積分方法解決的問題入鑽研難! 4.1.9生豬的最佳出售時機問題一飼養場每天投入4元資金用於飼料、設備、人力,估計可使一頭80kg重的生豬每天增加2kg。目前生豬出售的市場價格為每千克8元,但是預測每天會降低0.1元,問該場應該什麼時候出售這樣的生豬。如果上麵的估計和預測有出入,對結果有多大影響? [問題分析]投入資金可使生豬體重隨時間增長,但售價(單價)隨時間減少,應該存在一個最佳的出售時機,使飼養場獲得最大利潤。這是一個優化問題,根據給出的條件,可做如下簡化假設。 [模型假設]每天投入4元資金使生豬體重增加常數r(2kg);生豬出售的市場價格每天降低常數g(0.1元)。給出以下記號:t—時間(d),w—生豬體重(kg);p—單價(元\/kg);R—出售的收入(元);C—t天投入的資金(元);Q—純利潤(元)。 [模型建立]根據假設,w=80+rt(r=2),p=8-gt(g=0.1)。已知R=pw,C=4t,再考慮到純利潤應扣掉以當前價格(8元\/kg)出售80kg生豬的收入,有Q=R-C-8×80,得到目標函數(純利潤)為Q(t)=(8-gt)(80+rt)-4t-640,其中r=2,g=0.1,則問題轉化為求t(≥0)使得Q(t)達到最大。 [模型求解]令Q''''(t)=0,容易得到t=4r-40g-2,rg當r=2,g=0.1時,t=10,進一步求出Q(10)=20,即10天後出售,可得最大利潤20元。也就是說,一頭80kg的生豬若以當前價格(8元\/kg)出售,收入為640元;若繼續喂養,則最多再喂養10天,10天後出售,可再得最大利潤20元。 4.1.10旅館房間定價問題一個星級旅館有150間客房,經過一段時間的經營實踐,旅館經理得到一些數據。如果每間客房定價為160元,住房率55%;每間客房定價140元,住房率為65%;每間客房定價為120元,住房率為75%;每間客房定價為100元,住房率為85%。欲使每天的收入最高,則每間住房的定價應是多少? [模型假設]為了建立旅館一天收入的數學模型,可做如下假設:(1)在無其他信息時,不妨設每間客房的最高定價為160元。(2)根據經理提供的數據,設隨著房價的下降,住房率呈線性增長。(3)設旅館每間客房定價相等。 —71—數學建模實例與優化算法[模型建立]根據題意,可設y表示旅館一天的總收入,x表示與160元相比降低的房價。由假設(2)可得,房價每降低1元,住房率增加為10%\/20=0.005,因此有y=150(160-x)(0.55+0.005x)=0.75(-x2-50x-17600),由於0.55+0.555x≤1,可知0≤x≤90,問題轉化為當0≤x≤90時求y的最大值點。 [模型求解]令y''''=0得:-2x+50=0,解得x=25。 由於x=25是函數的唯一駐點,且實際問題又有最大值,所以x=25是y的最大值點,即當住房定價為160元-25元=135元時,收入最大。這時最大收入對應的住房率為0.55+0.005×25=67.5%,最大收入為150×135×67.5%=13668.75元。 事實上,如果為了便於管理,那麼定價為140元也是可以的,因為此時它與最高收入隻差18.75元。如果定價是180元,住房率為45%,其相應收入隻有12150元,因此假設(1)是合理的。 4.1.11病人按時吃藥問題人免不了會生病,生病了就要打針、吃藥,甚至請求急診。當病人取藥後發現,藥袋(或藥瓶)上總會出現這樣的字樣,每4小時服一粒或一日三次或早、晚各一次,每次1至2粒……病人為何要按時吃藥,為何不同的藥每天服用的次數及時間間隔不同呢? [問題分析]病人能否很快康複,很多時候取決於病人是否按時吃藥。因為病菌藏於病人的身體內,通過吃藥讓藥物成分融入人的血液,通過血液循環傳遍全身,當血液中藥物的濃度達到一定時就會對病菌起殺滅或抑製作用。但隨著時間的推移,經血液循環,藥物逐漸為身體所吸收,從而使血液中藥物的濃度降低。當血液中的藥物的濃度降到一定水平時將不足以對病菌起到殺滅或抑製作用,這時就需要再吃藥,再次吃藥後使血液中藥物的濃度再次升高並達到能對病菌起到殺滅或抑製作用的濃度,這個過程反複幾次,直到病人身體完全康複為止。那麼,在醫學上是怎樣確定一種藥物被人體吸收後達到足以對病菌起殺滅或抑製作用的時間的?怎樣確定給藥劑量呢? [模型建立與求解]可以用極限的理論來解決這個問題。根據藥物動力學理論,一次靜脈注射劑量為D0的藥物後,經過時間t,體內血液濃度為C(t)=DV0e-kt(0≤t≤T)。其中k>0為消除速率常數,V為表觀分布容積。若每隔時間T注射一次,記第n次注射後體內血液濃度為Cn(t),則有:(1)第一次注射前的體內血液濃度為Cn(0)=0,第一次注射劑量為D0的藥物後,在藥液尚未擴散前的一瞬間,體內血液濃度為C1(0)=DV0,第一次注射後,在藥液擴散被身體吸收過程中且尚未進行第二次注射時體內血液濃度為—72—第4章運用微積分方法解決的問題C1(t)=DV0e-kt(0≤t≤T)。 (2)第二次注射前的一瞬間,體內血液濃度為C1(T)=DV0e-kT。 第二次注射劑量為D0的藥物後,在藥液尚未擴散前的一瞬間,體內血液濃度為C2(0)=C1(T)+DV0=DV0e-kT+DV0=DV0(1+e-kT)。 第二次注射後,在藥液擴散被身體吸收過程中且尚未進行第三次注射時體內血液濃度為C2(t)=C2(0)e-kt=DV0(1+e-kT)e-kt(0≤t≤T)。 (3)第三次注射前的一瞬間,體內血液濃度為C2(T)=DV0(e-kT+e-2kT)。 第三次注射劑量為D0的藥物後,在藥液尚未擴散前的一瞬間,體內血液濃度為C3(0)=C2(T)+DV0=DV0(e-kT+e-2kT)+DV0=DV0(1+e-kT+e-2kT)。 第三次注射後,在藥液擴散被身體吸收過程中且尚未進行第四次注射時體內血液濃度為C3(t)=C3(0)e-kt=DV0(1+e-kT+e-2kT)e-kt(0≤t≤T)。 ……第n次注射前的一瞬間,體內血液濃度為Cn-1(T)=DV0[e-kT+e-2kT+…+e-(n-1)kT]。 第n次注射劑量為D0的藥物後,在藥液尚未擴散前的一瞬間,體內血液濃度為Cn(0)=Cn-1(T)+DV0=DV0[1+e-kT+e-2kT+…+e-(n-1)kT]D1-e-nkT=V0·1-e-kT。 第n次注射後,在藥液擴散被身體吸收過程中且尚未進行第四次注射時體內血液濃度為D1-e-nkTCn(t)=Cn(0)·e-kt=V0·1-e-kTe-kt(0≤t≤T)。 不難看出,在每一個注射周期內,血液濃度下降的規律相同,隨著注射次數的增大,體內血液濃度有上升的趨勢,但是不會無限增大。因為當n→∞時,有—73—數學建模實例與優化算法n D01-e-nkT-ktD0e-ktC∞(t)n(t)n· (tT)。 C· -kTe =V-kT=lim→∞=lim→∞V1-e1-e0≤≤即在周期性靜脈注射情形下,體內血液濃度會達到一個穩定水平,稱C∞(t)為坪濃度。可求出坪濃度在一個周期內的最大值、最小值和平均值分別為C1CttD0C D01 CD0e -kT- T(∞),() ,∞=∞ ()= 。 -kT-kTmax=V ∞min=V d- -T 0Vkt()製訂給藥方案1e1e∫ 1當服藥劑量D0,服藥間隔T改變時,坪濃度的最大值、最小值和平均值也隨著改變。藥物的有效治療濃度範圍為最小有效濃度至最小中毒濃度,一般地,最小有效濃度取( ∞),()。 Cmin最小中毒濃度取C∞max∞)( CmaxkT,可計算出最大給藥間隔T,如果最小有效血液濃度Cr是已知的,由由 C∞)=e( Dmin-kT( ∞), ()。 =V- == Cmin0ekTCr可得到劑量D0CrVkT1-e(2)負荷劑量為了使血液濃度盡快達到臨床有效的水平,醫生常希望在第一次給藥後血液濃度即達到坪濃度,然後每隔時間T給以維持劑量D0,使血液濃度維持在坪濃度附近。這樣,第一次的劑量要大些,稱為負荷劑量或衝擊劑量,記為D*。即0 *D0-ktC1(t)D0-ktC∞(t)· e-kT, =Ve= =V1-e解得D0D 。 =1-e-kT* 0特別指出的是,臨床醫生常以維持劑量的2倍作為負荷劑量,相當於1=2,即1-e-kTT=ln2k,說明當給藥間隔等於或接近於半衰期時,才合乎要求。 4.1.12手機生產商的定價問題某手機製造商估計其產品在某地的需求價格彈性為-1.2,需求收入彈性為3,當年該地區的銷售量為90萬台。據悉,下一年居民實際收入將增加10%,製造商決定提價5%,則手機製造商應如何計劃下一年的生產量?如果該手機製造商下一年的生產能力最多比當年可增加5%,為獲得最大利潤,該手機製造商應如何調整價格? [問題分析]一種產品的需求量不但與產品的價格有關,還與消費者的收入水平有關。需求價格彈性反映了需求量隨價格變化的靈敏程度,需求收入彈性表示需求量隨消費者收入變化—74—第4章運用微積分方法解決的問題的靈敏程度。產品的價格提高,需求量將下降;消費者的收入增加,需求量也將增加。因此,可計算出下一年產品的需求量的具體改變量。 [模型建立與求解]),g()(),()f()(1 設需求函數Q= pp為價格需求收入函數為Q= RR為收入則已知有Q\/p.,Q\/R,Q0,R,p=5%。 Qp =-12QR=3=90R=10%p 00 1%5%Q =-12,銷售量將減少1.2%,如果公司提價,即由 Q\/p.知,價格每提高0 ppp=5%,將使銷售量減少5%×1.2=6%,即QQ01=-6%。 又由Q\/R=3知,消費者收入每增加1%,銷售量將增加3%,現預計明年的收入將Q0R增加10%,即RR=10%,這樣由於居民收入增加10%,將使銷售量增加10%×3=30%,即QQ02=30%。 綜合兩個因素的影響,可知下一年的手機銷售量將增加的百分比為QQ0=QQ01+QQ02=30%-6%=24%。 又因為Q0=90萬台,由Q=Q-Q0=24%,可得Q0Q0Q=1.24Q0=1.24×90=111.6萬台。 (2)如果手機製造商下一年的生產量最多可增加5%,即QQ0=5%,由於居民收入增加10%將使手機的需求量增加30%,如果此時手機製造商不采取提高價格的措施,產品將供不應求,為緩和供求矛盾,也為使廠家能獲得最大利潤,隻能采取提價措施。 R,Q\/RQ QQ Q由 可知,2,若要使1 2,必須滿=10%=3=30%=Q+Q=5%R QRQ Q足 1Q 20 0又由Qp 00 0得到即-25%Q =Q- Q=5%-30%=-25%,Q\/ =-1.2,p=-1.2,Q Q0 00 0p ppp≈20.83%。 即在最大生產能力僅能提高5%的前提下,製造商應將售價提高約20.83%,才能達到供求平衡。 4.1.13銀行最大貨幣供應量的計算問題某企業現投資100萬元,這家企業將投資作為抵押品向銀行貸款,銀行與企業之間的貨幣流通過程可做如下的描述:—75—數學建模實例與優化算法(1)設銀行現有資金為B(稱為基礎貨幣),準備貸給企業A1;(2)企業A1從所獲貸款額度中按一定比例α(比如α=0.1)提取現金作為流動資金,而將剩餘部分作為企業的存款(稱為“派生存款”)仍然存在銀行;(3)銀行收到企業A1的派生存款後,首先按一定比例r(比如r=0.15)提留法定存款準備金(備付金),然後將剩餘的部分作為新的貸款額度發放給另一個企業A2;(4)企業A2重複程序(2),於是又產生一筆派生存款。銀行重複程序(3),於是又有一筆新的貸款額度可以發放給另一個企業A3……從理論上講,上述過程是可以無休止地輾轉發生的。那麼銀行貸給企業的最大貨幣供應量是多少呢? [問題分析]由於銀行必須儲備一定量的貨幣以應付客戶的提款,而隨著派生存款的不斷產生,勢必要加大貨幣的供應量。最大貨幣供應量M可按公式M=B·K計算。其中B是基礎貨幣;K是貨幣係數,它的計算公式是K=r1++CC。 這裏的r是存款準備金率[如(3)所述];C是現金流通量(即各企業提取現金的總和)占銀行派生存款總和的百分率,也成“提現率”。 現假設基礎貨幣B=100(萬元),且在每一輪的信用過程中,企業從所獲貸款額度中提取現金的比例α=0.1及銀行從存款中提留法定存款準備金的比例r=0.15保持不變。要計算銀行的最大貨幣供應量的關鍵因素是提現率C,即各企業提取現金的總和占銀行派生存款總和的百分率,所以首先要建立計算企業提取現金總和P1的模型以及建立求派生存款總和的模型P2。 [模型建立與求解]當企業A1從銀行獲得貸款額度B之後,首先按比例α提取現金αB,然後將剩餘部分(1-α)B作為派生存款存入銀行;銀行對該存款以比例r提留存款法定準備金r(1-α)B,餘下的部分(1-r)(1-α)B可作為新的貸款額度發放給另一個企業A2,這就完成了資金的第一次循環。 在第二輪的信用活動中,企業A2可從銀行獲得的貸款額度為(1-r)(1-α)B,企業提取現金α(1-r)(1-α)B後,剩下的派生存款為(1-r)(1-α)2B;銀行對該派生存款提留r(1-r)(1-α)2B作為備付金,餘下的部分(1-r)2(1-α)2B又可作為新的貸款額度發放給下一個企業A3。 在第三輪的信用活動中,企業A3從銀行獲得的貸款額度為(1-r)2(1-α)2B,提取現金α(1-r)2(1-α)2B後,派生存款為(1-r)2(1-α)3B;銀行提留備付金r(1-r)2·(1-α)3B,餘下的部分(1-r)3(1-α)3B又可作為新的貸款額度發放給下一個企業A4。以此類推,可以得到各企業從貸款額度提取現金的總和為P1=αB+α(1-r)(1-α)B+α(1-r)2(1-α)2B+…+α(1-r)n-1(1-α)n-1B+…∞ =∑α(1-r)k-1(1-α)k-1,k=1—76—第 4章 運用微積分方法解決的問題1-1-α r這是一個公比為(α)(r)的等比級數,其和為αB,即( )() 1-1-1-P1=αB。 (α r)() 1-1-1-各企業由貸款所產生的派生存款的總和為P2=(1-α)B+(1-r)(1-α)2B+(1-r)2(1-α)3B+…+α(1-r)n-1(1-α)nB+…∞ k-1k =∑ k=α(-r)(-α),1 11 (α)B( α)(r), ,α r這也是一個公比為1-1-的等比級數其和為即 1-) ()(( α)B1-1-1-P1=1-, (α r)() 1-1-1-則可求出提現率C=PP12=1α-α。 當α=0.1時,C=0.1≈0.111。若銀行的存款準備金率r=0.15,可求得貨幣乘數1-0.1K=1+C=1+0.111≈4.257,r+C0.15+0.111代入最大貨幣供應量計算公式,得到此時的最大貨幣供應量為M=B·K≈100×4.257=425.7(萬元)4.2與定積分有關的問題4.2.1除雪機除雪問題冬天大雪紛飛,使公路上積起厚雪而影響交通。有條10km長的公路,由一台除雪機負責清掃積雪。每當路麵積雪平均厚度達到0.5m時,除雪機就開始工作。但問題是開始除雪後,大雪仍下個不停,使路上積雪越來越深,除雪機工作速度逐漸減慢直到無法工作。降雪的大小直接影響除雪機的工作速度,已了解下述情況和部分有關數據:(1)在除雪機開始工作後,降雪又持續了1h;(2)當雪厚度達到1.5m時,除雪機無法工作;(3)除雪機在沒有雪的路上速度為10m\/s。問:當大雪以下列速度下1h,除雪機能否完成10km的除雪工作? —77—數學建模實例與優化算法(1)恒速R=0.1cm\/s;(2)恒速R=0.025cm\/s;(3)前30min由零均勻增加到0.1cm\/s,後30min又均勻減少到零。 [問題分析]這個問題較複雜,當積雪達到一定厚度0.5m時,除雪工作與下雪過程是同時進行的,且積雪厚度是隨時間連續變化的,因此除雪的速度也在不斷變化。如果速度是時間的連續函數,可以考慮建立積分方程模型。把問題分解為幾個子問題進行考慮:(1)除雪機工作時不考慮下雪,除雪機的工作速度與積雪厚度的關係如何;(2)下雪時不考慮除雪,積雪的厚度與時間的關係如何;(3)同時考慮下雪和除雪,則除雪機工作時的除雪速度與時間的關係如何。 [模型假設](1)用r(t)表示t時刻下雪的速度(單位:cm\/s),d(m)表示積雪厚度;(2)V(t)(m\/s)表示除雪機在t時刻的除雪速度,則單位時間清除的雪量M與除雪機開始工作後t時刻積雪的厚度d之比就是V(t);(3)假設除雪機在相等的時間裏清除的雪量相等,除雪機工作時如果不考慮下雪,這時設除雪機的工作速度V(m\/s)與積雪厚度d(m)呈線性關係,即V=C1d+C2。 [模型建立]除雪機工作時如果不考慮下雪,則由假設(2)知除雪機的工作速度V(m\/s)與積雪厚度d(m)之間的關係為V=C1d+C2,由已知條件有:d=0時,V=10;d=1.5時,V=0。 可知C1=-3,C2=10,20所以有V (2d),()=101-34.1除雪機剛開始工作時積雪厚度為d=0.5m,由上式可得:除雪機的初始工作速度為6.7m\/s。 下雪時如果不考慮除雪,積雪的厚度與時間的關係如何? 由假設(3)下雪速度保持不變為R(單位:cm\/s),則積雪在t(s)內的厚度增加量為100Rtm s,由此得到除雪機工作t()時不考慮除雪,雪的總厚度為()(t).Rt\/。 d=05+1004.24.14.2s 現在同時考慮下雪和除雪,由()式、()式,可得到除雪機工作t()時的除雪速度為 V(t)10(Rt),()=32-504.3由 V(t)可知除雪機不得已停止工作的時間為100, t0=R。 =0除雪機工作t(s)時的行駛距離:—78—第 4章 運用微積分方法解決的問題1020StVttRtt Rt2()=t ()= t(-=-。 ()0 )0d2 dt 4.4∫ 3∫503 30[模型求解]情形(1):當雪以恒速R=0.1cm\/s下時,除雪機開始工作後的1h內,積雪的厚度為:d=0.5+0.1×3600=4.1>1.5(m),100所以除雪機在中途必會停止工作。停止工作的時間為:t0=100R=1000(s)≈16.67(min)。 由(4.4)式可知除雪機停止工作時所行駛的距離為S(t0)S()10001000()。 =1000=20×3-0.1×2 ≈3333.33m30這時除雪機才行駛了13的路程,雪深已達到1.5m,除雪機將無法工作。情形(2):當雪以恒速R=0.025cm\/s下時,除雪機停止工作的時間為:t0100()( )。 =R=4000s≈66.67min在此期間除雪機的行駛距離為40004000()S(t0)S() =4000=20×3-0.025×2 ≈13333.33m30行駛距離約等於13.3km,這比要求清掃的10km更長,除雪機早已完成任務。除雪機完成任務的時間計算如下:因為除雪機的實際行駛路程S=10000m,將此代入(4.4)式有20-0.0252=10000,3t30t即0.0025t2-20t+30000=0。 解方程得實際除雪時間:t=2000(s)=33.33(min)。 這時除雪機的速度是:V()10(0.025×2000)10(\/)。 2000=3×2-50=3ms情形(3):大雪前30min由零均勻增加到0.1cm\/s,後30min又均勻減少到零。用r(t)(cm\/s)表示t時刻下雪的速度,則下雪速度變化情況如圖4-6所示:由圖知—79—數學建模實例與優化算法?ì0.1t,圖4-6下雪速度變化情況t ,r(t)? 0≤≤18001800t =?? .0.1tí ,。 ? 02-18001800≤≤3600對下雪速度求積分就可得積雪厚度函數:當t≤1800s時,∫ 2t . +1 t0.1uu= . 0.001t2, ()d ()=0 d+ 051000536004.5( )1800()。 0.001×1800d1800=0.5+3600=0.5+0.9=1.4m即當工作到30min時,積雪厚度為1.4m。 當t>1800s時,t . +. ×t (. -0.1uu . ×(.t- 0.1t2)-. d()=1800)=14001021800d00102360013∫ (4.6)於是d(3600)=0.01×(0.2×3600-0.1×36002)-1.3=2.3(m)。3600這說明在雪停以前除雪機已經停止工作。 那麼除雪機是否中途被迫中斷工作?能工作多長時間?已清掃了多長路程?由(4.5)式和(4.6)式知積雪的厚度函數為(t).0.001t2, 2t ,()05+1800≤1800d={.t4.7. (.t01) .,t。 001×02-3600-13>1800因為除雪速度與雪的厚度的關係為V (2d),()4.7=101-34.84.8將()式代入()式得—80—第 4章 運用微積分方法解決的問題20(0001),t ,ì 1-.t2≤1800V(t)í?33600? =? 2100.002t? (..t),t 。 ?356-0004+3600>1800易知當t≤1800時,20? 0.001t÷ ? 2? ≠0。 3è1-? 3600=0令V(t),所以0.002t, 10? ..t÷ ? 2? =03è56-0004+? 3600t2-7200t+10080000=0。 由此得t0=1903s,因此除雪機工作1903s(約31.7min)後將無法工作。除雪機工作的距離:∫ ∫∫ S=1903V(t)t=1800V(t)t+1903V(t)t0 20d 0d 1800d 0002÷ t0001t 10? ..t1800.t21903? .t2? =1 dè560004+ ? d3 (-3600)+3 -3600∫ ∫0 1800=8434(m),所以除雪機隻能掃除8.434km就無法工作了,即除雪機無法完成10km的除雪任務。 4.2.2合理減肥問題近年來,過度肥胖嚴重影響著人們正常的日常生活、學習、工作和社會交往,甚至威脅人類的健康。肥胖已經成為全社會關注的一個重要的問題。因此,目前社會上出現了各種各樣的減肥食品(或營養素)和名目繁多的健美中心。而大多數減肥食品達不到減肥目標,或不能維持,必須通過控製飲食和適當的運動,達到減輕並維持體重的目標。我們試從數學的角度,通過建立模型對減肥問題的有關規律進行探討和分析。 [問題分析]人體正常的新陳代謝要消耗能量(熱量),如果每天不進食,則體重會減輕,但會影響身體健康;如果每天飲食攝入的熱量正好用來維持新陳代謝,則體重不會增加。隨著社會的進步和經濟發展,人們的生活水平不斷提高。由於營養攝入的不斷改善和增加,因而體重增加在所難免。所以要通過控製飲食和適當的運動來消耗多餘的能量,以達到減肥的目的。 一般情況下,體重增加正比於吸收的熱量———每7700cal增加體重1kg;代謝引起的體重減少正比於體重———每天每千克體重消耗25~34cal的能量(因人而異),運動引起的體重減少正比於體重,且與運動形式無關。另外,為了安全與健康,每周體重減少不宜超過1.5kg。 甲體重100kg,每天飲食攝入熱量3300cal,現希望每周減肥1kg,如何通過跑步運動合理減肥?一般慢跑運動消耗熱量的程度與運動時間的函數關係為—81—數學建模實例與優化算法r(t)=2.5t0.5e-t其中,t為時間,單位為h;r(t)單位位kcal\/h。 減肥要消耗的能量就是要減少的體重所轉化的能量。每天慢跑消耗的能量=飲食吸入的熱量-正常代謝消耗的熱量+減肥體重要消耗的熱量。由於在減肥過程中,人的體重一天內持續減少,這樣考慮問題變得複雜,因此假設此人一天內體重不變,即在第二天開始時刻,體重減少1\/7kg。所以,以天為單位,進行減肥計算。 [模型建立與求解]以一周時間為一個階段,設Q1表示甲每天應消耗的熱量,甲希望每周減肥1kg,則Q=7700=1100cal,甲開始減肥的第d天體重設為W(d),顯然W(1)=100kg,且第17d+1天甲的體重為W(d+1)=W(d)-17。 又假設新陳代謝每天每千克體重消耗30cal熱量,則第d天正常代謝消耗的熱量為:Q2(d)=30W(d),那麼第d天慢跑需要消耗的熱量為:Q(d)=3300-Q2(d)+Q1。 假設第d天慢跑的時間為L,則有Q(d)=100∫L2.5t0.5e-t(cal),0 所以有100∫L25t0.5e-tdt=3300-Q2(d)+Q1。 0減肥的第1天:Q2(1)=30×100=3000cal,Q1=1100cal,Q(1)=3300-3000+1100=1400cal,解得L≈1.5h。 運動熱量消耗曲線見圖4-7所示. 圖4-7慢跑運動熱量消耗曲線—82—第4章運用微積分方法解決的問題[模型分析]由慢跑運動熱量消耗曲線可以看出,慢跑運動1~2h效果最佳,而模型解在1.5h左右,說明要減肥,運動必須達到一定量。隨著體重的減少,新陳代謝消耗的熱量減少,所以要保持減肥效果必須加大運動量、加大運動時間或減少食量,這符合人體代謝規律。飲食控製和運動是達到減肥目標的兩大決定因素。 4.2.3租客機還是買客機某航空公司需增加5架波音747客機。如果購買一架客機需要一次支付5000萬美元,客機的使用壽命為15年。如果租用一架客機,每年需要支付600萬美元的租金,租金以均勻貨幣流的方式支付。若銀行的年利率為12%,則購買客機與租用客機哪種方案為佳?如果年利率為6%呢? [問題分析]兩種方案所支付的價值無法直接比較,必須將它們化為同一時刻的價值才能比較,以當前價值為準。購買一架飛機的當前價值是5000萬美元,我們需要求出均勻貨幣流的當前價值。 [模型建立與求解]假設用A表示每年支付的租金,銀行的年利率為r,T表示客機的壽命,按連續複利計算,當t=0時刻向銀行存入Ae-rt美元,t年後在銀行的存款額恰好為A美元。也就是說,t年後的A美元在t=0時的價值為Ae-rt美元。 若租金以均勻貨幣流的方式支付,那麼,對流量為α的均勻貨幣流,在[t,t+Δt]這段時間存入的αt美元,在t=0時的價值是αt·e-rt=αe-rtt美元。當t從0到T時,在[0,T]這段時間內均勻貨幣流在t=0時的總價值為∫ 0P =Tα-rtt= α--rt] T=α (--rT) 0edr er 1e因此,15年租金在當前的價值為(單位:萬美元):P=600r(1-e-15r),當r=12%時,P=0600.12(1-e-0.12×15)≈4173.5(萬美元),因此租客機合算。當r=6%時,P=0600.06(1-e-0.06×15)≈5934.3(萬美元),因此買客機合算。 4.2.4下雪時間的估計問題某地從上午開始到天黑,一直均勻地下著雪。從正午開始,一個掃雪隊沿著公路清除前方的雪,他們在頭兩個小時內清掃了2km的路麵,但是在其後的兩個小時內隻清掃了1km的路麵,問雪是在什麼時候開始下的。 —83—數學建模實例與優化算法[問題分析]掃雪隊在清掃積雪的同時,前方積雪的厚度在不斷變厚,所以掃雪的速率會越來越慢。由於掃雪的速率是隨著時間的推移越來越慢的,可以把掃雪的速率v看作時間t的連續函數v=v(t)。我們知道,對作變速直線運動的物體來說,運動的路程可以表示為速率函數的積分。 [模型假設](1)把開始掃雪的時刻記為t=0,t時刻掃雪的速率大小為v=v(t)(km\/h),且v=v(t)是時間t的連續函數;(2)設路麵的寬度都為b(m),且路麵是直的;(3)假設掃雪隊在相等的時間裏清除的雪量相等,掃雪隊每小時清掃的雪量為C(單位:厘米·米·公裏);(4)假設掃雪隊開始工作前已經下了t0(h)的雪,每個小時降雪的厚度為h(cm),即降雪的速率為h(cm\/h)。 [模型建立與求解]h cm由模型假設知,掃雪隊開始工作前已經下了t0()的雪,每個小時降雪的厚度為h(),則t時刻積雪的厚度為(t)h·(tt0),所以t時刻掃雪的速率可以看作是v(t)C d= += (\/)。當t[t1,t2]時,vv(t)的定積分存在,於是[t1,t2]內清掃的路麵長bhttkmh∈ =(+0)t tt2t2的路麵”可得d dbhlnt2km1 1t bhtt度為tv(t)t=tC t=C2 +0,由“頭兩個小時清掃了∫ ∫( +0)1+0∫ ∫C 2v(t)t=2 t=,0 (+0 d0)2 bhttd即 Cln2+t0=2。bht0又由“在其後兩個小時清掃了1km的路麵”可知,在[2,4]內有∫ ∫C 4v(t)t=4 t=,2 2d (+0)bhttd1即 bhCln4+2+tt00=1,得 ln2+t0=2ln4+t0,t02+t0即 2+t04+t02 t=(t),0 2+0 —84—第4章運用微積分方法解決的問題解得,t0=-1±5,由於時間不能是負值,所以得t0=-1+5(h),約為1小時14分10秒。即在正午前約1小時14分10秒開始下雪,也就是開始下雪的時間大約是上午10:45:50。 4.3與微分方程有關的問題4.3.1估計固定資產的折舊固定資產折舊是企業進行成本核算時必須要計算的一個指標。假定某固定資產5年前購買時的價格是10000元,而現在的價值為6000元,那麼再過10年後該固定資產的價值是多少? [問題分析與模型假設]固定資產在不同時刻的價值是不同的,一般說來,固定資產在任一單位時刻的折舊額與當時固定資產的價值都是成正比的,為此做如下假設:(1)設比例係數為K;(2)設t時刻該固定資產的價值為P=P(t),並假設P=P(t)是時間t的連續函數,則可以通過建立微分方程來解決問題。 [模型建立與求解]假設t時刻該固定資產的價值為P=P(t),經過時間t,固定資產的改變量為P(t+-=-t)P(t)Kp(t)t,該方程兩邊同時除以t得+ -P(tΔt)P(t)=-KP(),tK>0。 Δt令t→0,得微分方程的初值問題:ìP? dKP, ídt=-? ?P(t)=P。 ? ?00微分方程ddPt=-KP分離變量後得:dPP=-Kdt,兩邊積分得:lnP=-Kt+lnC,求出P得微分方程的通解:P(t)=Ce-Kt。 設5年前的時刻為t=t0=0,則初始條件:P(0)=10000,又有P(5)=6000。把這兩—85—數學建模實例與優化算法, C=10000,K=ln5 ,: 個初始條件代入通解表示式可求得1 所以該微分方程的通解是-t55 3P(t)t 5, -5ln3()=100005 =10000e3 這就是價值P與時間t之間的函數關係,那麼再過10年,即t=15時該固定資產的價值為 5-3P(15)=10000(3)=2160(元)。 4.3.2商品價格調整模型商品的價格是商品價值的貨幣表現,沒有價格就不存在市場交易,也就沒有市場經濟。每個物品的市場都有需求和供給兩個方麵,某種商品的價格P與需求量Q和供給量S都有關係,商品的供給與需求相一致時的價格稱為均衡價格。商品的均衡價格是經過市場供求波動而自發形成的,通過建立商品價格模型來解釋“實際價格P(t)隨著時間不斷推延,將逐漸趨近均衡價格”這一現象。 [問題分析與假設]某種商品的價格變化主要服從市場供求關係。一般情況下,商品供給量S是價格P的單調遞增函數,商品需求量Q是價格P的單調遞減函數,為簡單起見,假設該商品的供給函數與需求函數都是隻依賴於價格P的線性函數,即S(P)=a+bP,Q(P)=α-βP,其中a,b,α,β均為常數,且b>0,β>0。 [模型建立與求解]當供給量與需求量相等時,可由S(P)=Q(P)求得供求平衡時的均衡價格Pe為P=α-a。eβ+b一般地說,當某種商品供不應求,即SQ時,該商品價格要下跌。因此,假設t時刻的價格P(t)的變化率與超額需求量Q-S成正比,比例係數為k,於是有微分方程ddPt=k[Q(P)-S(P)],其中k>0,用來反映價格的調整速度。 將S(P)=a+bP,Q(P)=α-βP代入方程,可得dPkβbα-aP),t=(+)(b-d β+=(+),e=b,令λkβbPα-a代入上式得β+—86—第4章運用微積分方法解決的問題dP=λ(P-P)。dte這個微分方程就是價格調整模型,其通解為P(t)=Pe+Ce-λt。 將假設初始價格P(0)=P0代入上式,得C=P0-Pe,於是上述價格調整模型的解為P(t)=Pe+(P0-Pe)e-λt,由λ>0知,當t→+∞時,有P(t)→Pe。說明隨著時間不斷推延,實際價格P(t)將逐漸趨近均衡價格Pe。 4.3.3江河汙染物的降解係數一般說來,江河自身對汙染物都有一定的自淨能力,即汙染物在水環境中通過物理降解、化學降解和生物降解等,可使水中汙染物的濃度逐漸降低。通常情況下,我們可以認為長江幹流的自然淨化能力是近似均勻的,根據檢測可知,主要汙染物的降解係數通常介於0.1~0.5(單位:d-1)之間。根據《長江年鑒》中公布的相關資料,2005年9月,長江中遊兩個觀測點氨氮濃度的測量數據如下:湖南嶽陽城陵磯為0.41mg\/L,江西九江河西水廠為0.06mg\/L。 [模型建立與求解]已知從湖南嶽陽城陵磯到江西九江河西水廠的長江河段全長500km,該河段長江水的平均流速為0.6m\/s。根據這些信息建立長江水中汙染物濃度的變化規律。 假設t時刻水中汙染物的濃度為N(t),能反映長江自淨能力的降解係數為K(0 =0.6×3600×24≈9.6451d於是,我們得到了上述微分方程滿足的兩個定解條件:N().,N(. ). 。將條件N().代入通解,可求得C0=04196451=.,從而原方程的特解為N(t)0060=041=041= . -Kt。 041e—87—數學建模實例與優化算法為了求出降解係數K,再把條件t=9.6541,N=0.06代入特解表達式中,即可得0.06=0.41e-9.6541K,從中解出K,得K=1ln0.41≈0.1993≈0.2。9.65410.06所以,我們得到了近似描述長江幹流汙染物濃度在自淨作用下隨時間變化所遵循的規律是 N(t)=0.41e-0.2t。 4.3.4商品廣告問題信息社會使商品廣告成為調整商品銷售量的有力手段,成功的廣告與銷售存在正向的相關關係。製訂正確的營銷策略對於企業的生存與發展具有重要的現實意義。下麵介紹獨家銷售的廣告模型。 某公司生產一款新型節能空調,即將上市,在這款新產品投放市場後,為了促銷,就要產生廣告費用。廣告初期年投入廣告費1.2萬元,第一個月銷售3000台,每台稅後利潤200元。在現有的廣告策略進行了一年時,為加強產品的銷售力度,公司計劃增加廣告投入,但為控製風險,公司每年對廣告的最大投入為6萬元。經過調研分析,當市場月銷售達到10000台時,市場將達到飽和。假設廣告響應係數為1.5台\/(元·月),在廣告作用隨時間的增加每月的自然衰退速度為0.2時,該公司應如何製訂廣告營銷策略? [問題分析]如何了解廣告與銷售之間的內在聯係?如何評價不同時期的廣告效果?這些問題對於生產企業和廣告商來說都是極為重要的。問題中涉及的是商品銷售速度隨時間的變化情況,即有:商品銷售速度的變化=增長-自然衰減。根據問題的實際背景,要建立商品的銷售速度與廣告費用之間的關係,並要解決兩個問題:第一,求出當投放一年,平均每年的廣告投放1.2萬元時的銷售速度,以及銷售速度最大的月份;第二,求出當市場保持穩定銷售時,即每月銷售量是常數時的廣告費。 [模型假設]我們考慮的是“獨家銷售的廣告”問題,為此根據商品的市場營銷規律,做如下假設:(1)自然衰退是銷售速度的一種性質,商品(空調)銷售速度隨商品(空調)銷售率的增加而減小。 (2)商品(空調)的銷售速度會因投放廣告而增加,但這種增加是有限度的。當商品在市場上趨於飽和時,銷售速度將趨於穩定,當速度達到它的穩定值時,無論再做何種形式的廣告,都不能阻止銷售速度的下降。 (3)令S(t)(台\/月)表示第t個月的商品銷售速度;A(t)(元\/台)表示第t個月的廣告投放水平(以費用表示);S0(台\/月)為初始銷售速度;M(台)為銷售的飽和水平,即市場對這種商品的最大容納能力,它表示銷售速度的上限;為衰退因子,表示在不考慮廣告作β —88—第4章運用微積分方法解決的問題用時,商品銷售速度隨時間增加而自然衰減的速度,β>0且是常數;P為廣告響應係數,即A(t)對S(t)的影響力;S為最大銷售速度;q(元)為每台空調的稅後利潤;R為稅後最大利潤;σ(元)為最大允許廣告費用。r(S)為銷售速度的淨增長率,為簡單起見,假設r(S)是S(t)的線性減函數。 [模型建立與求解]為描述商品銷售速度的增長,由模型假設(1)知,當公司擁有一定的客戶後,沒有廣告或當市場達到飽和水平S=M時,S(t)的下降速度r(S)與S(t)成正比,有S(t)r(S)d βSt(),t。 =t =-≥0d 當有廣告宣傳時,由模型假設(2)知,商品的銷售速度會因廣告而增加,但增加有一定的限度,所以商品銷售速度的淨增長率r(S)應該是商品銷售速度S(t)的減函數,並且存在一個飽和水平M,使得r(M)=0。假設r(S)為S(t)的線性減函數,有Sté Stùr(S)d tPêúA(),tP 。 == ?1-M? 其中為廣告響應係數()ê ()d ú所以可建立如下“獨立銷售的廣告”的數學模型:Sté Stùr(S)d ()Pêê()úA()tβ·St(),= t= ?1-M? -d ú或 S(t)P·S(t)d A()tβ·St()P·A()t。 ()M t++ =4.9d 根據問題的實際情況,我們選擇如下廣告策略:A(t)A,tτ,0≤≤={,tτ。 0> 10 ==τ4.9()如果在[,τ]時間內,用於廣告的花費為a,則A(t)Aa ,代入()式有S(t)P·S(t)aa d· β·S(t)P·。 Mt+τ += τd 設k=MP·τa,h=P·τa,則上式可改寫為dS(t)()。dt+kSt=h其通解為S(t)=Ce-kt+kh。 —89—數學建模實例與優化算法若令S(0)=S0,則S(t)=S0e-kt+kh(1-e-kt)。(2)當t>τ時,A(t)=0,則S(t)d βSt(),t =-d 其通解為S(t)=Ceβt。 設t=τ時,S(t)=S(τ),得C=S(τ)e-βτ,則S(t)=S(τ)eβ(τ-t),所以有S0e-kt+h(1-e-kt),0≤t≤τ,S(t)={kS(τ)eβ(τ-t),t>τ。 解答具體問題:(1)當廣告投放一年時,平均每年的廣告投放費為1.2萬元時的銷售速度,以及銷售速度最大的月份是多少? 廣告隻投放了一年,平均月投入廣告費1000元,所以A()t={1000,0≤t≤12,0,t>12。 由已知數據β=0.2,P=1.5台\/(元·月),M=10000台,得k=0.35,h=1.5×1000=1500h=3×104,7。k得微分方程為S(t).S(t),t ,dt={1500-0350≤≤12d .S(t),t 。 -02×>120=由初始條件S()S0,解得(-0.35t),t ,S0-0.35t3×10{ e+ 41-e0≤≤12S(t)74-4.2-4.22.4-0.2t= [S03×10( ,t。 +)]e 71-ee >123×10時3×10容易得到當在 上為單調遞減函數當時 ,S0> 4,S(t)(,);S0≤ 4,S(t)7 0+∞7 —90—第4章運用微積分方法解決的問題在 上為單調遞增函數在上為單調遞減函數所以如果3×10則 (,),(,)。,S0> 4, 01212+∞7 S(t)S()S0,。 S04 ,S(t)≤7max=0=即銷售量最大的是銷售的第一個月則 max= 12如果3×10S(),即銷售量最大的是銷售的第十二個月(也即廣告策略進行到第一年的年底)。 2()求市場保持穩定銷售,即每月銷售量是常數時的廣告費。 ,St()S0,, 要求銷售量為常數即= t=0所以有則dS(t)d P(1-SM0)A(t)-βS0=0,得到A(t)=βS0。 P(1-SM0)將M=10000,β=0.2,P=1.5代入上式有A(t)=0.2S0S。1.5×(1-100000)第t個月的銷售利潤為R(t)=qS(t)-A(t)。 總利潤最大時的最佳廣告費用為maxR[A(t)]=∫t[qS(t)-A(t)]dt,0 ìSté Stù? d()Pêê()úA()tβSt(),í t= ?1-M? -? dú s.t. ?A(t)σ。 ? ≤0≤? 4.3.5人口增長問題隨著人類文明的進步,人們越來越意識到地球資源的有限性。由於資源的有限性,當今世界各國都注意有計劃地控製人口的增長,人口增長規律的發現及人口增長的預測對一個國家製訂長遠的發展規劃也有著重要的意義。那麼人口增長規律是什麼樣的呢? 4.3.5.1人口指數增長模型[馬爾薩斯模型][問題分析]影響人口增長的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災害、戰爭、資源等諸多因素,如果一開始就把所有因素都考慮進去,則無從下手。因此,先把問題簡化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到較完善的模型。 —91—數學建模實例與優化算法[模型假設](1)假設不考慮影響人口增長的其他因素,隻考慮人口自然增長情況;(2)在人口自然增長過程中,淨相對增長(出生率與死亡率之差)是常數,即單位時間內人口的增長量與當時人口數成正比,比例係數設為r,r為人口淨增長率(出生率與死亡率之差);(3)設N(t)表示t時刻某城市的人口數,在人口總數很大的情況下,把N(t)當作連續可微函數處理(可近似地這樣處理,此乃離散變量連續化處理),則N(t)是t的連續可微函數。 [模型建立與求解]根據模型假設,在t到t+Δt時間段內,人口數的增長量為N(t+Δt)-N(t)=rN(t)t,兩邊同時除以t,得N(tt)N(t)rN()t。 +Δ-t =令t→0,並設t=t0時刻的人口為N0,於是得到如下的微分方程ìdN=rN,? ?ídt? =??N(t0)N0。 這就是馬爾薩斯(Malthus)人口模型,用分離變量法易求出其解為N(t)=N0er(t-t0),顯然,當r>0時,人口以指數規律隨時間無限增長,故該模型稱為指數增長模型(或馬爾薩斯模型)。 模型檢驗:用指數增長模型來預測世界人口數,據估計1961年地球上的人口總數為3.061×109,假設在以後7年中,人口總數以每年2%的速度增長,這樣t0=1961,N0=3.061×109,r=0.02,於是有N(t)=3.061×109e0.02(t-1961)。 這個公式非常準確地反映了在1961—1968年間世界人口總數。把20世紀60年代世界人口總數與馬爾薩斯模型結果進行比較,具體結果見表4-4所示。 表4-420世紀60年代世界人口總數與馬爾薩斯模型結果比較單位:百萬年 份19611962196319641965196619671968實際人口統計30613151321332343285335634203485馬爾薩斯模型3123318632503316338234513521誤差()-0.88-0.840.490.940.770.911.03% —92—第4章運用微積分方法解決的問題但是,在用此模型預測較遙遠的未來地球人口總數時,發現更令人不可思議的問題,如按此模型計算,到2670年,地球上將有4.41×1015人。如果地球表麵全是陸地(事實上,地球表麵還有80%被水覆蓋),我們也隻得互相踩著肩膀站成兩層了,這是非常荒謬的,故馬爾薩斯模型對未來人口總數預測不合常理,因此,這一模型應該修改。 4.3.5.2阻滯增長模型(邏輯模型)[問題分析]馬爾薩斯模型為什麼不能預測未來的人口呢?事實上,在不考慮人口的遷移、自然災害、戰爭等情況下,影響人口增長的因素除了人口數外,還有一個重要因素是資源。地球上的各種資源隻能供一定數量的人生活,隨著人口的增加,自然資源、環境條件等因素對人口增長的限製作用越來越顯著,如果當人口較少時,人口的自然增長率可以看作常數的話,那麼當人口增加到一定數量以後,人口增長率會隨人口的增加而逐漸減小。因此,應對馬爾薩斯模型中關於淨增長率為常數的假設進行修改。1838年,荷蘭生物數學家韋爾侯斯特提出人口增長的阻滯增長模型,又稱邏輯(Logistic)模型。 [模型假設](1)假設影響人口增長的因素隻考慮自然出生、自然死亡和自然環境資源三個方麵,用常數Nm表示自然環境條件所能容許的最大人口數(一般說來,一個國家工業化程度越高,它的生活空間就越大,食物就越多,從而Nm就越大);(), ,; Nm2 設地球上的資源是有限的不妨設為1 一個人正常生存需要占用資源為1()t, éNtù, Rrêú 3設在時刻人口淨增長率與當時剩餘資源成正比即淨增長率= ?1-Nm? ê()ú 其中r為隻考慮人口因素時的人口淨增長率;4 ()人口數N(t)足夠大,可視為連續變量處理,且N(t)是t的連續可微函數。 [模型建立與求解]→ 時,淨增長3 由假設()可知,人口淨增長率R隨著N(t)的增加而減小,當N(t)Nm率R→0。用R代替馬爾薩斯模型中的r,可得到新的微分方程模型,即?dr(N )N,ì Nít=1-N? dm ? =??N(t0)N0。 這是一個Bernouli方程的初值問題,對該方程分離變量得NmdN=rdt,NNN (m-) 兩邊積分得∫NmdN=∫rdt,N(Nm-N)即 ∫(1+1)dN=∫rdt,Nm-NN—93—數學建模實例與優化算法得 lnN-ln(Nm-N)=rt+lnC。 因此所求的微分方程的通解為N rt。 NN =Cem-N ,所以特解為= == 0e rtNm-N0又由初始條件tt0時,NN0,可得C-0N (t)Nm。 Nm= -1ertt1+N0(-0)( )-由於在這個模型中,還考慮了資源對人口增長率的阻滯作用,所以稱該模型為邏輯模型或阻滯增長模型。 [模型分析與檢驗]→ 1→∞()當t時,N(t)Nm,即無論人口的初值如何,人口總數趨向於Nm。 ()NNm, r()N, N(t)t 2 當0 2d m2 ()2 r()()N,N ,2 ,; 3由於dN= 2N 2N所以當Nm時 dNdN單調遞增當t 1-Nm1-Nm2 t>0td dd N>2 <0,t, t, ,,t2Nm時 dNdN單調遞減即人口增長率dN由增變減在Nm處最大也就是說在2 dd d2 人口總數達到極限值一半以前是加速生長期,過這一點後,生長的速率逐漸變小,並且遲早會達到零,這是減速生長期。 (4)用該模型檢驗美國從1790年到1950年的人口,發現模型計算的結果與實際人口在1930年以前都非常吻合,但從1930年以後,誤差愈來愈大,一個明顯的原因是在20世紀60年代,美國的實際人口數已經突破了20世紀初所設的極限人口。由此可見該模型的缺點之一是Nm不易確定,事實上,隨著一個國家經濟的騰飛,它所擁有的食物就越豐富,Nm的值也就越大。 人口預測是一個相當複雜的問題,事實上,影響人口增長的因素除了人口數與可利用資源外,還與醫藥衛生條件、人們生育觀念的變化等因素有關,所以要根據具體情況修改模型假設,再對模型進行適當的修改與完善。 4.3.6新產品的推銷問題經濟學家和社會學家一直很關心新產品的推銷速率問題。怎樣建立一個數學模型來描述它,並由此推導出一些有用的結果以指導生產呢? [問題分析]新產品在某地區銷售初期,商家會依靠廣告宣傳、免費試用等方式打開銷路,若產品質量較好,受消費者喜愛,則消費者會通過與他人接觸、聊天等方式把信息與別人分享,則—94—第4章運用微積分方法解決的問題購買該產品的消費者會逐漸增多,產品的銷售量就會增加。此時,產品的銷售速率將主要與已購的數量有關。但是由於該地區的潛在消費者數量有限,因此在銷售後期,銷售速率將主要受未購買該產品的消費者數量影響。 [模型假設](1)設消費者對某種新產品的需求量最多為K;(2)設t時刻已經銷售出去並在使用的新產品數量為x(t);(3)設t時刻產品的銷售速率與已使用新產品數量成正比,也與未使用新產品的數量成正比。 [模型建立與求解]由假設可知,t時刻消費者尚未使用新產品的數量大致為K-x(t),於是,由假設(3)可得,t時刻產品的銷售速率ddtx∝x(K-x),設比例係數為b,則x(t)滿足ddtx=bx(K-x)。 此方程即邏輯模型,解為:x(t)=K。 1+Ce-Kbt設開始時刻t=0,x(0)=x0,代入上式得C=xK0-1。 對x(t)求一階、兩階導數:x''''(t)=CK2be-Kbt,(1+Ce-Kbt)2CK3b2e-Kbt(Ce-Kbt-1)x″(t)=(1+Ce-Kbt)3。 [模型分析與檢驗]=0e =1>0容易看出,x''''(t),即x(t)單調遞增。進而,由x″(t0),可以得出C-Kbt0,此時,x(t0)K。當tt0時,x″(t),即x''''(t)單調遞增;而當tt0時,x″(t),即=2>0> <0x''''(t)單調遞減。這說明,在銷售量小於最大需求量的一半時,銷售速率是不斷增大的,銷售量達到最大需求量的一半時,x''''(t)達到最大值,此時該產品最為暢銷,其後銷售速度將開始下降。這個模型是第二次世界大戰後日本家電業界建立的電飯煲銷售模型。實際調查表明,銷售曲線與邏輯曲線十分接近,是一條S形曲線,尤其是在銷售後期,兩者幾乎完全吻合。 基於對邏輯曲線形狀的分析,國外普遍認為:從20%的用戶采用到80%的用戶采用某一新產品的這段時期,應為該產品正式大批量生產的較合適的時期,初期應采取小批量生產並加以廣告宣傳,後期則應適時轉產,這樣做可以取得較高的經濟效益。據此不難計—95—數學建模實例與優化算法算出新產品的旺銷期從何時開始,到何時結束,跨度多長。顯而易見,掌握這些關鍵數據無論對廠家的生產還是商家的營銷都是至關重要的。 4.3.7溶液混合後的濃度溶液混合問題:設有一個容器裝有某種質量濃度的溶液,以流量R1注入質量濃度為C1的溶液(指同一種溶液,隻是質量濃度不同),假定溶液立即被攪勻,並以R2的流量流出,試建立容器中質量濃度與時間的數學模型。 如果一個容器內原有100L鹽水,內含有鹽10kg,現以3L\/min的速率注入質量濃度為0.01kg\/L的淡鹽水,同時以2L\/min的速率抽出混合均勻的鹽水,求經過多長時間能使容器內的溶液濃度變為0.04kg\/L。 [問題分析]這個問題可以采用建立微分方程去求解,設從時間t=0開始注入新的溶液,在t時間內,容器中溶質的改變量=注入的溶液中所含溶質的量-流出的溶液中所含溶質的量。 [模型假設](1)假設容器中原有溶液的體積為V0,溶質的質量為x0,t=0時刻溶液的體積為V0;(2)以流量R1注入濃度為C1的溶液後,容器中的溶液立即被攪勻;(3)設t時刻容器中溶質的質量為x(t),容器中混合後溶液的溶質濃度為C2(t),並以流量R2流出;(4)假設t到t+Δt時間內容器內溶液的溶質濃度不變,等於t時刻的濃度。 [模型建立]對於時間間隔[t,t+Δt],在t時間內,容器內溶質的改變量為x,流入的新溶液中所含溶質的量為C1R1t。由於t時刻容器內混合後溶液的溶質濃度為C2(t)x(t), 2)0+(1-=VRRt所以在t時間內,流出的溶液中所含溶質的量為C2R2t。 容器內溶質的改變量等於流入溶質的量減去流出溶質的量,即x=C1R1t-C2R2t,兩邊同時除以t得:tx=C1R1-C2R2。 令t→0,取極限得:dx=CR-CR,dt1122其中C1是流入溶液的質量濃度,C2(t)為t時刻容器中混合後溶液的溶質濃度,且有C2(t)x(t), 2)0+(1-=VRRt—96—第4章運用微積分方法解決的問題於是,有混合後溶液的數學模型?ìx x(t)?dC1R10+(1-R2,d 2)ít=-VRRt?x(0)=x。 ? ?0令P(t)=+(R2-),Q(t)=C1R1,則可得到一階非齊次線性方程的初值問V0R1R2t題:ìdx+P(t)x=Q(t),? ?ídt?x(0)=x,? ?0其通解為x(t)=Ce-∫P(t)dt+e-∫P(t)dt·∫Q(t)e∫P(t)dtdt。 具體問題:如果一個容器內原有100L鹽水,內含有鹽10kg,現以3L\/min的速率注入質量濃度為0.01kg\/L的淡鹽水,同時以2L\/min的速率抽出混合均勻的鹽水,則有V0=100L,x(0)=10kg,R1=3L\/min,R2=2L\/min,C1=0.01kg\/L。t時刻容器內溶液中溶質濃度為C2(t)x(t)x(t)x(t)。 RRt=t==Vt 0+ (1- 2)()100+3-2100+於是可列出微分方程ddtx=0.01×3-100+2xt,又因為t=0時,容器內有鹽10kg,於是得該問題的數學模型為ìdx+2x=0.03,? ?ídt100+t?x(0)=10。 ? ? ,P(t),Q(t).。 2這是一階非齊次線性微分方程其中= t=003通解為100+∫ x(t)=Cd +∫ t()d· Q(t)∫e∫e ed -Ptt-P(t)dtP(t)dt=∫∫ t)(C+.∫e 2003e2 dd -100+tt100+tt=(1)(C+∫0.03(100+t)2dt)100+t2=(1)[C+0.01(100+t)3],100+t2—97—數學建模實例與優化算法代入初始條件x(0)=10,得C=9×104,故所求特解為x(t)=0.01×(100+t)+9×104,(100+t)2則t時刻容器內溶質的質量濃度為C2(t)x(t). 9×103。 ==001+4 tt 100+( )100+將C2(t)=0.04代入上式,可求得t=100(33-1)≈44.25(min)。 即經過約44.25min可使容器內的溶液濃度變為0.04kg\/L。 進一步討論可知,當t→∞時,C2(t)→0.01,即長時間地進行上述稀釋過程,容器內鹽水的濃度將趨於注入溶液的濃度。 思考與訓練1.國家向企業投資200萬元,這家企業將投資作為抵押品向銀行貸款,得到相當於抵押品價值65%的貸款;該企業將此貸款再次進行投資,並將投資作為抵押品又向銀行貸款,仍得到相當於抵押品65%的貸款。這種“貸款—投資—再貸款—再投資”的模式,不斷反複進行擴大再生產,問該企業共投資多少萬元。 2.在日常生活中,我們有時會參加商品展銷會,假如張三參加了某次展銷會,門票為20元。如果張三不買任何東西,他參加此次展銷會的成本為20元,又假如張三在展銷會上看中一件商品,該商品的定價是:1件100元,2件160元,3件200元,4件以上每件60元。那麼張三應如何確定購買量? 3.某酒廠有一批釀好的酒,如果現在就出售,可得總收入R0=50萬元;如果窖藏起來待來年(第n年)按陳酒價格出售,第n年末可得總收入為R=Ren(單位:萬元),銀行年6 0利率為r=0.05。試分析這批好酒窖藏多少年後出售可使總收入的現值最大。 4.據報道,2003年我國全國道路交通事故死亡人數104372人,其中因飲酒駕車造成事故的占有相當大的比例。針對這種情況,國家質量檢驗檢疫局2004年5月31日發布了新的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》國家標準,新標準規定,車輛駕駛人員血液中的酒精含量大於或等於20mg\/100mL且小於80mg\/100mL為飲酒駕車,血液中酒精的含量大於或等於80mg\/100mL為醉酒駕車。 現有一起交通事故,在事故發生3h後,測得司機血液中酒精含量是56mg\/100mL,又過2h後,測得其酒精含量降為40mg\/100mL,據此,交警是否能判斷事故發生時,司機屬於飲酒還是醉酒駕車而釀成交通事故? 5.設某一物體在平麵上運動,當它由上平麵A(x1,y1)運動到下平麵B(x2,y2)(y1>0,y2<0)時,則此物體應沿什麼路徑運動,才能使其花費的時間最短? 6.設一容器內原有1000kg的清水,現以5kg\/min的速率注入質量濃度為0.2g\/L—98—第4章運用微積分方法解決的問題的淡鹽水且不停地攪拌,同時以同樣的速率抽出混合均勻的鹽水,那麼經過多長時間能使容器內的溶液含鹽量達到100kg?