衛星軌道力學算法

第三章（1 / 3）

GST=GMST+EE(1.64)

GMST,EE分別為格林尼治平恒星時和二分差（equation　of　the　equinoxes），計算公式如下：

GMST=θ(UT1)+0″.014506+4612″.156534t+1″.3915817t2

－0″.00000044t3－0″.000029956t4－0″.0000000368t5(1.65)

EE=ΔψcosεA－∑kCksinαk－0″.00000087tsinΩ(1.66)

(1.65)式中的θ(UT1)即地球自轉角ERA，它是世界時UT1的線性函數，計算公式為

θ(UT1)=2π(0.7790572732640+1.00273781191135448d)(1.67)

其中d為自標準曆元J2000.0起算的世界時儒略日數（對應UT1時刻)，即

d=JD(UT1)－2451545.0(1.68)

(1.66)式右端求和項的幅角和振幅列於下表1.4：

表1.4αk,Ck值

kαkCkkαkCk

1Ω－0″.0026407372F+Ω－0″.00000198

22Ω－0″.0000635283Ω+0″.00000172

32F－2D+3Ω－0″.000011759l′+Ω+0″.00000141

42F－2D+Ω－0″.0000112110l′－Ω+0″.00000126

52F－2D+2Ω+0″.0000045511l+Ω+0″.00000063

62F+3Ω－0″.0000020212l－Ω+0″.00000063

該表中的αk與(1.50)式中的αi同類型，涉及的基本幅角Fk(F,D,Ω)，見(1.55)～(1.57)式。

與地球自轉角不同，格林尼治真恒星時GST是從真春分點起量的，它與ERA的關係為

GST=θ(UT1)－EO(1.69)

其中EO稱為零點差，與歲差、章動在中間赤道上的分量有關。根據IAU　2006\/2000A歲差章動模型，零點差的表達式(包含在1975—2025年之間，所有大於0.5μas的項)為

EO=－0″.014506－4612″.156534t－1″.3915817t2

+0″.00000044t3－ΔψcosεA+∑kCksinαk(1.70)

其中t是從J2000.0起算的儒略世紀數，參數αk和振幅Ck見表1.4。

（5）　極移矩陣W(t)的計算

W(t)=Rx(－yp)Ry(－xp)Rz(s′)(1.71)

其中xp,yp是天球中間極CIP在地球參考係ITRS中的兩個極移分量，s′稱為地球中間零點TIO的定位角，它提供TIO在CIP赤道上的位置，是xp,yp的函數：

s′(t)=12∫tt0(xpy·p－x·pyp)dt(1.72)

s′(t)無法事先獲得，但其量級很小，可以用下列線性公式作為其近似：

s′(t)=－(4″.7×10－6)t(1.73)

其中t的定義同前，即計算時刻距標準曆元J2000.0的儒略世紀數。

1.3.5IAU1980規範與IAU2000規範之間的對應關係

上述IAU2000新規範與IAU1980規範之間，除歲差章動等有關參數有較小差別外，地球坐標係與天球坐標係的定義與相關符號的采用也與在老規範前提下的習慣用法有所差別，下麵厘清兩者相關計算公式之間的對應關係。

在IAU2000規範中，天球參考係(celestial　reference　system——CRS)到地球參考係(terrestrial　reference　system——TRS)的轉換關係為

［ITRS］=W(t)R(t)M(t)［GCRS］(1.74)

其中M(t)是歲差、章動矩陣，R(t)是地球自轉矩陣，W(t)是極移矩陣。而在IAU1980規範下的習慣用法，即記衛星在地球參考係和天球參考係的位置矢量分別為R→和r→，則上述轉換關係(1.74)可類似地寫成下列形式：

R→=(HG)r→

(HG)=W(t)R(t)M(t)(1.75)

應有如下的對應關係：

M(t)=N(t)P(t)=(NR)(PR)(1.76)

P(t)=(PR)=Rz(－zA)Ry(θA)Rz(－ζA)(1.77)

N(t)=(NR)=Rx(－Δε)Ry(Δθ)Rz(－Δμ)

=Rx(－(ε+Δε))Rz(－Δψ)Rx(ε)(1.78)

R(t)=(ER)=Rz(SG)(1.79)

W(t)=(EP)=Ry(－xp)Rx(－yp)(1.80)

根據上述比較不難看出，關於歲差（按三次旋轉考慮）、章動和地球自轉（兩個規範的格林尼治恒星時SG稍有差異）三個相關矩陣，除相應的參數稍有微小差別外，轉換過程和計算公式完全相同；唯有極移矩陣的表達形式有差別，按IAU2000規範，極移矩陣W(t)應由前麵(1.71)式表達，即

W(t)=Rx(－yp)Ry(－xp)Rz(s′)

除增加一個微小的轉動矩陣Rz(s′)外，剩下兩個轉動矩陣Rx(－yp)Ry(－xp)卻與上述(1.80)式的轉動次序相反。但因為極移量xp,yp很小，這樣的轉動次序改變引起的差別應該比極移量更小，最終的轉換（指地球參考係與天球參考係的轉換）結果不會有明顯差別，作者已通過實際算例得到證實。

不僅地球自轉矩陣如此，IAU2000與IAU1980兩個規範，在地球參考係與天球參考係的位置矢量R→與r→之間的完整轉換中，亦無明顯差別。如新老規範對章動序列均取到前20項，兩個規範計算出的格林尼治恒星時與標準值（年曆所載）之差都不超過0s.001，相應的位置量轉換（包括IAU2000規範中的兩種歲差矩陣的轉換方法）之差都在米級以內。

1.3.6關於地球赤道麵擺動引起坐標係選擇的複雜性問題

對人造地球衛星的軌道運動而言，必然涉及地固坐標係與地心天球坐標係，而地球赤道麵的擺動，就導致在相關領域中給坐標係的選擇帶來一些麻煩甚至混亂。關於這一問題，將在後麵第4章的第4.4.5小節中詳細論述。

1.3.7一些與衛星測量、姿態以及軌道誤差表達有關的坐標係

對於衛星測量、姿態以及軌道誤差的描述等，有其特定的要求，需要定義相應的空間坐標係。除此之外，還有衛星星下點（即衛星地心的連線與地球表麵的交點）位置的計算等，將涉及具體坐標係的定義和衛星軌道，故在後麵第2章建立軌道概念後再具體介紹。

1.4月球坐標係統

就月球探測器的運動而言，將涉及三類月心坐標係，即月固坐標係、月心赤道球坐標係和月心黃道坐標係。

1.4.1三個月心坐標係的定義［6］

與地球赤道麵在空間的擺動類似，月球赤道麵亦有此擺動現象，即物理天平動，它同樣引起月心赤道坐標係的各種不同定義，這將涉及環月衛星運動的軌道確定和星下點（即衛星與月心連線在月球表麵的交點）位置的確定。

(1)　月固坐標係OXYZ

坐標原點O是月心，而Z軸方向是月球的自轉軸方向，XY坐標麵即過月心並與自轉軸方向垂直的月球赤道麵，X軸指向月球上的“格林尼治”子午線方向：基本平麵（XY坐標麵）與過月麵上Sinus　Medii子午麵的交線方向，即月球赤道麵上指向地球慣性主軸的方向。顯然，在這種坐標係中，相應的月球引力位亦是確定的。各種月球引力場模型及其參考橢球體也都是在這種坐標係中給定的，它們同樣是一個自洽係統。

(2)　月心赤道坐標係Oxyz

此類坐標係又有兩種定義。

一種定義是曆元(J2000.0)月心天球坐標係，該坐標係的原點O同樣是月心，但xy坐標麵卻是曆元(J2000.0)時刻的地球平赤道麵，x軸方向是該曆元的平春分點γ-方向。這一坐標係的選擇，在深空探測中便於將地球坐標係與探測目標天體坐標係(這裏指的就是月球坐標係)相聯係，詳見下麵第1.5節的內容。

另一種定義與曆元(J2000.0)地心天球坐標係類似，該坐標係的xy坐標麵就是曆元(J2000.0)時刻的月球平赤道麵，x軸方向是該赤道麵上的平春分點γ-

方向，這一方向是由月球繞地運行軌道升交點的平黃經Ωm確定的，見後麵給出的圖1.4。與處理地球衛星軌道問題類似，這是處理環月探測器軌道問題中必須采用的坐標係，但為了區別上述J2000.0月心天球坐標係，故稱其為曆元（J2000.0）月心平赤道坐標係，或簡稱J2000.0月心赤道坐標係。與地心天球坐標係類似，它也是一個在一定意義下（即消除了坐標軸因月球赤道麵擺動引起的轉動）月心“不變”的坐標係，它可以在同一個坐標係中表達不同時刻的探測器軌道，同樣，在該坐標係中，月球非球形引力位也是變化的。

(3)　月心黃道坐標係Ox′y′z′

該坐標係的原點O仍是月心，和地心黃道坐標係隻是一個平移關係。x′y′坐標麵是曆元（J2000.0）時刻的黃道麵，x′軸方向與上述天球坐標係Oxyz的指向一致，即該曆元的平春分點方向。

1.4.2月球物理天平動

（1）　兩種物理天平動的表達形式

月球的物理天平動同樣是一個複雜的定點轉動問題。與地球自轉的歲差章動類似，多年來的研究，曾先後給出過多種有關物理天平動的理論，幾乎都以物理天平動的經度分量、傾角分量和節點分量(τ,ρ,σ)的分析解來表達，這三個量就將月球的平赤道與真赤道以分析形式相聯係。

對於平赤道，根據Cassini定律，月球軌道、黃道與月球平赤道交於一點N。由於天平動的原因，月球真赤道將通過(τ,ρ,σ)三個量在空間與平赤道聯係起來，見圖1.4。圖中各量的關係如下：

ψ=Ωm

I=Im

φ=Lm－Ωm+π(1.81)

ψ′=Ωm+σ

I′=Im+ρ

φ′=Lm－Ωm+π+(τ－σ)(1.82)

其中Im，Ωm，Lm分別為月球平黃赤交角、軌道升交點平黃經和月球平黃經。

圖1.4月球真赤道與月球平赤道之間的關係

美國噴氣推進實驗室（JPL）的數值曆表（如DE405）卻以另一種形式表達了月球物理天平動，它是直接給出另三個歐拉角(Ω′，is,Λ)每天的具體數值（見圖1.5），可用於計算月球衛星在月固坐標係中的精確位置。

上述兩種物理天平動的表達形式，可通過圖1.5來表明它們之間的關係。圖中xb是月固坐標係的X軸指向，即圖1.4中的ξ′方向。三個歐拉角(Ω′，is,Λ)在圖中已表明清楚，不再加以說明，ε是地球的平黃赤交角。

圖1.5月心坐標係與物理天平動示意圖

根據月球自轉理論，給出的天平動三個參數(τ,ρ,σ)的分析表達式，類似於地球的章動序列，亦包含幾百項，最大的周期項振幅超過100角秒（100″），但沒有地球赤道擺動中的長周期項（即周期近26000年的歲差項）。月球自轉理論越來越精確，給出的分析表達式與DE405高精度數值曆表也越來越接近，相差不到1″。但若精度要求高，分析表達式取項太多，不便應用，而數值曆表似乎簡潔易用，但它不便於對某些問題的分析。下麵將分別作一比較，從而可以表明，在不同問題中可采用不同的表達形式，即分析解(τ,ρ,σ)或數值曆表(Ω′，is,Λ)。通過比較證實，在涉及弧段不太長（1～2天或更長些）的情況下，探測器定軌或預報，無論是采用數值法還是分析法，涉及物理天平動問題，均可采用下一小節給出的Eckhardt分析解的前四項簡化表達式(1.84)。

（2）　兩種物理天平動表達形式的比較

下麵首先列出兩種表達式(τ,ρ,σ)的前幾項，作為與數值曆表(Ω′，is,Λ)的比對依據。其一是Hayn結果的前三項［11］：

τ=59″.0sinl′－12″.0sinl+18″.0sin2ωm

ρ=－107″.0cosl+37″.0cos(l+2ωm)－11″.0cos(2l+2ωm)

Iσ=－109″.0sinl+37″.0sin(l+2ωm)－11″.0sin(2l+2ωm)(1.83)

其二是Eckhardt結果的前四項［12］：

τ=214″.170+90″.7sinl′+17″.0sin(2l－2F)－16″.8sinl+9″.9sin(2l－2D)

ρ=－99″.1cosl+24″.6cos(l－2F)－10″.5cos2F－80″.8sinF

Iσ=－101″.4sinl－24″.6sin(l－2F)－10″.1sin2F+80″.8cosF(1.84)

(1.84)式中τ包含了自由項214″.170。兩式中的I=1°.542461=5552″.86即前麵(1.81)式中已出現過的月球的平黃赤交角。l，l′，F和D各為月球的平近點角、太陽的平近點角、月球的平升交點角距（即F=l+ωm，ωm是月球軌道的近地點幅角），和日月平角距，它們的計算公式如下：

l=134°.9633964+477198°.8675055T

l′=357°.5291092+35999°.0502909T

F=93°.27209062+483202°.0174577T

D=297°.85019547+445267°.1114469T(1.85)

T=JD(t)－JD(J2000.0)36525.0(1.86)

其中角度F和D在前麵地球坐標係涉及的計算公式中出現過，見(1.55)和(1.56)式。

下麵將采用(τ,ρ,σ)的分析表達式(1.83)和(1.84)與DE405數值曆表值(Ω′，is,Λ)通過坐標轉換來進行比較。(Ω′，is,Λ)涉及月心天球坐標係Oxeyeze，這裏所說的月心天球坐標係中，xeye坐標麵即前麵定義的J2000.0地球平赤道麵，為了區別起見，將該坐標係中的坐標矢量記做r→e，月固坐標係OXYZ（即圖1.3中的Oξ′η′ζ′）中相應的坐標矢量記做R→。對這兩種坐標係，分別采用上述兩種天平動表達形式（數值和分析）建立坐標轉換關係，有

R→=(M1)r→e=(M2)r→e(1.87)

其中兩個轉換關係分別由下兩式表達：

(M1)=Rz(Λ)Rx(is)Rz(Ω′)(1.88)

(M2)=Rz(φ′－π)Rx(I′)Rz(ψ′－π)Rx(ε)

=Rz(φ′)Rx(－I′)Rz(ψ′)Rx(ε)(1.89)

(1.89)式的第一行是按圖1.5給出的，而第二行是按圖1.4給出的，兩者實為同一轉換關係。上述(1.88)和(1.89)式分別給出的兩種轉換矩陣之間的差別取決於(τ,ρ,σ)的取項多少，分別計算2003年11月1日0時，2004年6月15日0時和2008年1月1日0時月球表麵一點的空間坐標轉換到月固坐標係中的位置，結果表明，兩種轉換之差為千米級，相應轉換矩陣元素的最大差別達到10－3。具體采用哪一種轉換關係應根據不同問題的具體要求而定。

根據上述比較可知，直接采用分析解的簡化表達式，在某些問題中是不能滿足精度要求的。但在考慮物理天平動對環月探測器軌道的影響時，在一定精度要求的前提下，則無妨，因為它是通過非球形引力位（最大的J2項僅為10－4的量級）來體現的。定軌或預報中涉及軌道外推弧段為102時（對低軌探測器為1～2天的間隔），要保證10米級甚至米級精度，采用Eckhardt的前四項表達形式(1.84)是可以達到的。

鑒於上述比較結果，加上要建立月球衛星軌道理論，了解軌道變化的規律，或直接反映月球衛星相對月心坐標係的幾何狀況，又必須采用月心赤道坐標係，而不是月心地球赤道坐標係（即前麵定義的J2000.0月心天球坐標係），那麼采用(τ,ρ,σ)的分析表達式來建立曆元月心平赤道坐標係Oxyz與月固坐標係（對應真赤道）Oξ′η′ζ′之間的關係，顯然是可取的。而若要通過曆元月心平赤道坐標係Oxyz與月心天球坐標係Oxeyeze之間的轉換關係（即利用高精度的Ω′，is,Λ值）來計算月球衛星在月固坐標係中的精確位置R→也很簡單，有

R→=(M1)r→e,r→e=(N)Tr→

(N)=Rz(－Ωm)Rx(－Im)Rz(Ωm)Rx(ε)(1.90)

r→是通過定軌或預報給出月心平赤道坐標係中月球衛星的位置矢量。這裏變換矩陣(N)並不涉及物理天平動的表達形式，轉換的精度隻取決於月球衛星定軌或預報的精度。

1.4.3三個月心坐標係之間的轉換關係

(1)　月固坐標係OXYZ與月心赤道坐標係Oxyz之間的轉換

對於月球衛星的運動，要構造相應的軌道分析解，就不必像對待人造地球衛星那樣，為了避免歲差章動的影響，引進混合形式的軌道坐標係［13～15］，完全可以在曆元月心平赤道坐標係中考慮問題。該坐標係的xy坐標麵即采用曆元（如J2000.0）平赤道，x軸方向采用相應的平春分點方向，該方向可由月球軌道升交點的平黃經Ωm來確定。在分析法定軌和數值法定軌以及預報中均采用這種統一坐標係，隻需要給出相應的由物理天平動引起的坐標係附加攝動即可，而這種附加攝動並不複雜，作者已經具體給出［16］。為此，首先要建立曆元月心赤道坐標係與月固坐標係之間的轉換關係。

分別記月心赤道坐標係（即曆元月心平赤道坐標係）Oxyz和月固坐標係（對應真赤道）Oξ′η′ζ′中月球衛星的坐標矢量為r→(x,y,z)和R→(X,Y,Z)，兩者之間的轉換關係為

r→=Rz(－Ωm)Rx(－I)Rz(－σ)Rx(I+ρ)Rz(－(φ+τ－σ))R→=(A)R→

R→=Rz(φ+τ－σ)Rx(－(I+ρ))Rz(σ)Rx(I)Rz(Ωm)r→=(A)Tr→(1.91)

其中Rz(－Ωm)，Rx(－I)，Rz(－σ)，Rx(I+ρ)，Rz(－(φ+τ－σ))是正交矩陣。在建立月球衛星軌道解時，涉及坐標係附加攝動問題，需要給出上述轉換關係的具體表達形式。略去推導過程，且僅保留τ，σ，ρ的一階量，可得

r→=(A)R→,(A)=(aij)(1.92)

a11=cos(φ+Ωm)－(τ－σ+σcosI)sin(φ+Ωm)=cos(φ+Ωm)－τsin(φ+Ωm)+O(10－5)

a12=－sin(φ+Ωm)－(τ－σ+σcosI)cos(φ+Ωm)=－sin(φ+Ωm)－τcos(φ+Ωm)+O(10－5)

a13=－σsinIcosΩm－ρsinΩm=－IσcosΩm－ρsinΩm

a21=sin(φ+Ωm)+(τ－σ+σcosI)cos(φ+Ωm)=sin(φ+Ωm)+τcos(φ+Ωm)+O(10－5)

a22=cos(φ+Ωm)－(τ－σ+σcosI)sin(φ+Ωm)=cos(φ+Ωm)－τsin(φ+Ωm)+O(10－5)

a23=－σsinIsinΩm+ρcosΩm=－IσsinΩm+ρcosΩm(1.93)

a31=σsinIcosφ－ρsinφ=Iσcosφ－ρsinφ

a32=－σsinIsinφ－ρcosφ=－Iσsinφ－ρcosφ

a33=1

若記(1.84)式為

τ=τ0+τ1sin(l′)+τ2sin(l)+τ3sin(2ωm)+τ4sin(2l－2D)

ρ=ρ1cos(l)+ρ2cos(l+2ωm)+ρ3cos(2l+2ωm)+ρ4sin(l+ωm)

Iσ=σ1sin(l)+σ2sin(l+2ωm)+σ3sin(2l+2ωm)+σ4cos(l+ωm)(1.94)

且取合理近似：

ρ1=σ1，ρ2=σ2=24″.6，ρ3=σ3=－10″.1，ρ4=－σ4=－80″.8(1.95)

並利用下列近似：

cosτ=1+O(10－6),sinτ=τ[1+O(10－6)]

可進一步將矩陣(A)中的元素aij簡化如下：

a11=－cos(Lm+τ)

a12=sin(Lm+τ)

a13=－σ1sin(Lm－ωm)－σ2sin(Lm+ωm)－σ3sin(2Lm－Ωm)－σ4cos(Lm)

a21=－sin(Lm+τ)

a22=－cos(Lm+τ)

a23=σ1cos(Lm－ωm)+σ2cos(Lm+ωm)+σ3cos(2Lm－Ωm)－σ4sin(Lm)

a31=σ1sin(ωm)－σ2sin(ωm)－σ3sin(l+ωm)－σ4

a32=σ1cos(ωm)+σ2cos(ωm)+σ3cos(l+ωm)+σ4sin(2l+2ωm)

a33=1(1.96)

(2)　月心天球坐標係與地心天球坐標係之間的轉換

由於目前對月球探測器的測控都是由地麵測控站來完成的，這就涉及曆元地心天球坐標係，同時出現了曆元地心天球坐標係、曆元月心天球坐標係和曆元月心赤道坐標係。它們之間的轉換，會涉及月球的地心坐標，這同樣可由兩種途徑獲得，一種是高精度的數值曆表（如JPL曆表），另一種即精度較低的分析曆表，或精度稍高一些的半分析曆表。

月球在J2000.0地心黃道坐標係中的平均軌道根數σ-′為

a-=384747.981km

e-=0.054880

i-=J=5°.1298

Ω-=125°.0446－1934°.14t

ω-=318°.3087+6003°.15t

M=134°.9634+13°.0650d(1.97)

上式中出現的t和d分別為由標準曆元J2000.0起算的世紀數和儒略日，定義在前麵已介紹過，不再重複。

由於月球軌道攝動變化較大，最大的周期項振幅可達2×10－2，下麵給出考慮了主要周期項、位置精度|Δr→′|\/r′可達10－3的計算方法。

首先計算月球的地心黃道坐標(λ,β,π)，公式如下：

λ=218°.32+481267°.883t+∑6j=1Kjsin(αj)(1.98)

β=∑10j=7Kjsin(αj)(1.99)

π=0°.9508+∑14j=11Kjcos(αj－10)(1.100)

K1=6°.29K2=－1°.27K3=0°.66K4=0°.21

K5=－0°.19K6=－0°.11K7=5°.13K8=0°.28

K9=－0°.28K10=0°.17K11=0°.0518K12=0°.0095

K13=0°.0078K14=0°.0028(1.101)

α1=134°.9+477198°.85tα2=259°.2－413335°.38t

α3=235°.7+890534°.23tα4=269°.9+954397°.70t

α5=357°.5+35999°.05tα6=186°.6+966404°.05t

α7=93°.3+483202°.13tα8=228°.2+960400°.87t

α9=318°.3+6003°.18tα10=217°.6－407332°.20t(1.102)

由上述(λ,β,π)計算月球的地心赤道坐標R→=(X,Y,Z)

R→=X

Y

Z=RR∧(1.103)

R=1\/sinπ(1.104)

R∧=cosβcosλ

0.9175cosβsinλ－0.3978sinβ

0.3978cosβsinλ+0.9175sinβ(1.105)

這是瞬時平赤道坐標係中的位置矢量。相應的曆元J2000.0地心平赤道坐標係中的位置矢量r→′需經歲差改正，有

r→′=(PR)TR→(1.106)

上述各式中出現的t，與前麵(1.97)式中出現的t意義相同。

1.5行星坐標係統

關於太陽係各大行星和月球的坐標係統，根據多年的觀測，IAU工作組於2009年提出了一個方案（以下簡稱IAU方案），該方案定義了類似地球和月球的相應坐標係統，詳見本書附錄3。當然，對於地球和月球，前麵已作過介紹，各自都另有高精度的坐標係統和轉換方案，IAU方案對地球和月球而言隻是為了提供一種備選策略，未必采用。

行星探測器軌道涉及的坐標係，除相應行星的星固坐標係外，其空間坐標係，將分為既是各自獨立又有一定聯係的兩個係統，即衛星環繞軌道涉及的該行星的天球坐標係統和探測器從地球發射涉及的地心天球坐標係統。下麵以火星為例介紹有關內容，以供采用。

1.5.1三個火心坐標係的定義

對於環火探測器軌道問題，主要涉及曆元（J2000.0）火心赤道坐標係和火固坐標係。關於火固坐標係，與地固坐標係類似，同樣與火星引力位以及探測器星下點在火星表麵的位置等量有關，因此，它也對應一定的火星引力場模型。

關於曆元（J2000.0）火心赤道坐標係，與月球坐標係統中相應坐標係的引入類似，同樣涉及地心坐標係與火心坐標係的相互聯係問題。關於火心赤道坐標係，坐標原點當然是火星的質心（簡稱火心），而基本坐標麵（xy坐標麵）有兩種選擇。考慮到實用性，這裏引用IAU2000天體（包括各大行星和月球等天體）定向模型［6～7］來確定基本坐標麵，對火星而言，即火星定向模型，見圖1.6。

在IAU2000規範中分別定義了曆元（J2000.0）火心天球坐標係和火心赤道坐標係，前者的基本坐標麵（xy坐標麵）是J2000.0的地球平赤道麵，第一方向（即x軸方向）仍是相應的平春分點γ方向；而後者基本坐標麵則是J2000.0的火星平赤道麵，相應的第一方向即IAU2000火星定向模型中的J2000.0地球平赤道與J2000.0火星平赤道的交點Q方向，該點就相當於火星赤道坐標係統中的“春分點”，見圖1.6。盡管這一模型沒有考慮章動效應，但火星章動量較小（最大項的擺幅約1″），對軌道的影響又無“累積”效應，對於一般問題無需考慮。既然不考慮章動，那麼在下麵的闡述中，除嚴格下定義外，不再區分真赤道麵和平赤道麵，或稱平赤道麵，或就簡稱赤道麵。

IAU2000火星定向模型（圖1.6）給出了因歲差原因火星平天極在火心天球坐標係中的赤經、赤緯計算公式如下：

α=317°.68143－0°.1061T

δ=52°.88650－0°.0609T(1.107)

圖1.6IAU火星定向模型

T即前麵定義的自J2000.0起算的時刻t對應的儒略世紀數。(1.107)式表達的是類似地球平天極的長期（長周期）變化，對於J2000.0曆元，有

α0=317°.68143,δ0=52°.88650(1.108)

此為火星曆元平極在火心天球坐標係中的指向。

在上述定義下，火星自轉角將由圖1.6中的W（QB）定義，即從Q點向東計量至B點（即火星本初子午線方向，相當於火星上的格林尼治方向），可以將角度W看作火星上的格林尼治恒星時，由於沒有考慮火星自轉的章動效應，故不再區分真恒星時和平恒星時。IAU2000模型給出火星的自轉矩陣為

RIAU(t)=Rz(W)

W=176°.630+350°.89198226d(1.109)

d即自J2000.0起算的儒略日。

上述選擇容易與地球坐標係統相聯，這對處理火星探測器的軌道問題，包括發射軌道和環火運行軌道及其有關問題都很方便。

1.5.2火星的歲差矩陣

根據上述（1.107）式表達的IAU2000火星定向模型中火星平天極的變化規律，可以用圖1.7來示意因歲差引起的火星平赤道麵的變化狀態。該圖中的α0,δ0即為曆元J2000.0時火星平極的赤經、赤緯，其值由（1.108）式給出。

圖1.7表達了J2000.0地球平赤道與J2000.0火星平赤道以及瞬時火星平赤道之間的空間幾何關係，而α,δ則為t時刻瞬時火星平極的赤經、赤緯，由（1.107）式表達。在此式下，圖中的Q和Q′即火星坐標係統中的曆元平春分點和瞬時平春分點。若分別用r→和r→′記作曆元平赤道坐標係（即火心赤道坐標係）和瞬時平赤道坐標係中同一探測器的位置矢量，它們之間的轉換關係如下：

r→′=(PR)r→(1.110)

其中坐標轉換矩陣(PR)即火星的歲差矩陣，注意，該符號與地球的歲差矩陣相同，其具體形式為

(PR)=Rx(90°－δ)Rz(－(α0－α))Rx(－(90°－δ0))

=Rx(90°－δ)Rz(α－α0)Rx(δ0－90°)(1.111)

圖1.7IAU2000火星定向模型給出的火星平赤道變化示意圖

1.5.3火心赤道坐標係與火固坐標係之間的轉換

對於環火探測器軌道問題，顯然要涉及火心赤道坐標係與火固坐標係之間的轉換關係。按照通常習慣，探測器的空間位置矢量在上述火心赤道坐標係和火固坐標係中分別記作r→和R→，那麼在不考慮火星地極移動和天極章動的前提下，兩個坐標係之間的轉換關係如下：

R→=(MP)r→(1.112)

其中坐標轉換矩陣(MP)隻包含兩個旋轉矩陣,有

(MP)=(MR)(PR)(1.113)

這裏的旋轉矩陣(MR)即火星自轉矩陣：(MR)=RIAU(t)=Rz(W)，見(1.109)式。

1.5.4地心坐標係統與火心坐標係統之間的轉換關係

涉及這兩個係統之間坐標轉換的物理量大致包含兩類：探測器的位置和速度矢量，太陽與大行星的位置矢量。在建立轉換關係中將要涉及地球和火星的日心黃道坐標矢量，記作R→E,R→M，對於高精度問題，可引用JPL曆表（如DE405），而對一般問題則可采用簡單的分析曆表。該曆表可由相應的平均軌道給出，這裏與地球的平均軌道根數一並列出如下：

地球在J2000.0日心黃道坐標係中的平均軌道根數σ-為

a-=1.00000102(AU)

e-=0.01670862－0.000042040T

i-=0.°0

Ω-=0°.0

ω-=102°.937347+0°.3225621T

M=357°.529100+0°.98560028169d(1.114)

火星在J2000.0日心黃道坐標係中的平均軌道根數σ-為

a-=1.52367934(AU),

e-=0.09340062+0.000090484T

i-=1°.849726－0°.0006011T

Ω-=49°.558093+0°.7720956T

ω-=286°.502141+1°.068949T

M=19°.373041+0°.52402068219d(1.115)

兩式中的T和d在前麵已給出過定義，即自J2000.0起算的時刻t對應的儒略世紀數和儒略日。由軌道根數轉換成位置矢量和速度矢量的運算：σ(a,e,i,Ω,ω,M)R→(X,Y,Z,X·,Y·,Z·)是一個常識性的問題，這裏不再具體列出。

在火星探測的軌道問題中，將會涉及地心坐標係與火心坐標係之間的兩類轉換關係，下麵具體介紹。

（1）　探測器的地心坐標與火心坐標之間的轉換

分別記地固坐標係、地心天球坐標係、火固坐標係和火心赤道坐標係中探測器的位置矢量為R→e,r→e,R→m,r→m，速度矢量為

R·→e,r→·e,R·→m,r→·m，探測器在兩個星固坐標係中的位置矢量R→e,R→m不要與地球和火星的日心位置矢量R→E,R→M相混淆。

我們需要的是探測器的位置矢量由地心坐標係到火心坐標係的轉換：R→er→er→mR→m，或其逆轉換：R→mr→mr→eR→e。

地心坐標係到火心坐標係的轉換R→er→er→mR→m，按下列過程進行：

r→e=(HG)TR→e(1.116)

r→′e=Rx(ε)r→e(1.117)

r→′m=(r→′e+R→E)－R→M(1.118)

r→m=(ME)r→′m(1.119)

R→m=(MP)r→m(1.120)

(HG)=(EP)(ER)(NR)(PR)(1.121)

(ME)=Rxπ2－δ0Rzπ2+α0Rx(－ε)(1.122)

(MP)=(MR)(PR)(1.123)

其中，轉換矩陣(HG)即前麵已給出的（1.30）式，或采用（1.75）式；轉換矩陣(ME)中出現的α0,δ0由（1.108）式給出，即曆元（J2000.0）時刻火星平天極在火心天球坐標係中的赤經、赤緯（見圖1.6），ε是曆元（J2000.0）時刻的平黃赤交角，由（1.63）式給出；而構成轉換矩陣(MP)的火星歲差矩陣(PR)和自轉矩陣(MR)=Rz(W)，分別見（1.111）式和（1.113）式。R→E,R→M前麵已有說明，即日心黃道坐標係中的地球和火星的位置矢量。

火心坐標係到地心坐標係的轉換R→mr→mr→eR→e，即上述轉換的逆過程，按下列過程進行：

r→m=(MP)TR→m(1.124)

r→′m=(ME)Tr→m(1.125)

r→′e=r→′m+(r→M－r→E)(1.126)

r→e=Rx(－ε)r→′e(1.127)

R→e=(HG)r→e(1.128)

其中涉及的轉換矩陣均已在前麵列出。

（2）　太陽和地球的位置矢量涉及的坐標轉換

在環火衛星軌道問題中會涉及太陽、大行星（以地球為代表）和火星的兩顆自然衛星的攝動影響，這就需要提供這些天體在火心赤道坐標係中的位置矢量。關於兩顆自然衛星（火衛一Phobos和火衛二Deimos），其軌道本身就是在火心天球坐標係中建立的，無需再作討論。下麵列出太陽和地球的位置矢量在火心赤道坐標係中的表達形式，分別記該坐標係中太陽和地球的位置矢量為r→S和r→E，有

r→S=(ME)(－R→M)(1.129)

r→E=(ME)(R→E－R→M)(1.130)

關於探測器和各天體的速度矢量在不同坐標係之間的轉換，不再具體列出，但要指明一點：由於歲差、章動等量的變率都很小，相應的轉換矩陣均可當作常數矩陣處理，在速度矢量轉換過程中隻有地球和火星的自轉矩陣需要考慮其變化，變率即它們各自的自轉角速度。

1.5.5引用IAU2000天體定向模型的進一步說明

對於太陽係其他大行星（如金星、木星等）、月球和相關天體的坐標係選擇問題，均可參考上述火星坐標係的處理方式，引用IAU2000天體定向模型，這裏不再重複闡述，有關細節和相關數據見附錄3。

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第2章　\/　二體問題的完全解

第2章　\/

二體問題的完全解

衛星（各類環繞型探測器）運動對應一個受攝力學係統，最常用的數學模型即受攝二體問題，二體問題是其基本參考模型，該模型的解就作為解決相應軌道問題的基礎。因此，盡管有關天體力學方法的著作和教材［1～6］，對二體問題已有不同的介紹，但作為這本書，對此基礎問題仍需作些必要的闡述，並針對解決受攝二體問題的各種背景，著重介紹橢圓運動涉及的算法問題，給出完整的軌道解及其相應的計算公式。

2.1二體問題的六個積分

作為二體問題，兩個天體P0和p均作為質點對待。分別將該二天體的質量記作m0和m，討論天體p相對天體P0的運動。此時可將緒論中的運動方程（5）改寫為下列形式：

r¨→=－G(m0+m)r2r∧(2.1)

圖2.1運動坐標係OXYZ

該式中r∧=r→\/r是中心天體P0到運動天體p方向的單位矢量。相應的運動坐標係OXYZ（見圖2.1）的原點O在天體P0上（注意：此時P0是質點），但基本平麵（XY坐標麵）可有多種選擇。根據軌道力學問題的具體特點，對於人造地球衛星的運動問題，XY平麵與地球赤道麵一致，對月球衛星、火星衛星等亦有類似處理，而處理太陽係中大行星和小行星的運動問題，往往取日心黃道麵作為XY平麵。至於X軸方向的確定，對於太陽係而言，無論是討論行星運動，還是各大天體（包括月球）的人造衛星的運動，幾乎都是取春分點方向作為X軸方向。另外，有關赤道麵、黃道麵以及春分點方向的變化，對基本平麵（XY坐標麵）和基本方向（X軸方向）的選取有何影響，這裏不再一一細談，讀者可在後麵各有關章節的闡述中獲知，本章參考文獻[6]中的第1章和第6章也有專門討論。

為了簡便，常記

μ=G(m0+m)(2.2)

方程(2.2)對應的是一有心力問題，不僅是可積的（這裏的可積是指上述微分方程的解可以寫成求積形式），而且容易給出六個獨立積分的完整表達式。

關於上述二體問題對應的常微分方程(2.1)的完全解，通常是指如下形式：

r→=r→(t;C1,…,C6)

r→·=r→·(t;C1,…,C6)

但很難直接獲得該結果，可通過尋找六個獨立積分來達到獲取完全解的目的，而且通過這六個獨立積分可以更清楚地了解二體問題具有的運動規律，下麵具體介紹。

2.1.1動量矩積分（或稱麵積積分）

據有心力的性質，可直接寫出方程(2.1)的動量矩積分，若記h→=r→×r→·為麵積速度矢量，則動量矩積分的具體形式如下：

圖2.2輔助天球

h→=r→×r→·=hR∧(2.3)

這表明h→為一常矢量，天體p相對P0的運動為一平麵運動。其中h=r→×r→·為麵積速度常數，單位矢量R∧即表示麵積速度方向，它是天體運動平麵的法向單位矢量。

常用天體運動軌道來描述動量矩積分的幾何意義，引用輔助天球（見圖2.2），圖中大圓AA′和BB′分別表示基本平麵（XY坐標麵）和運動天體軌道在輔助天球上的投影，R∧方向即軌道麵法向，i就是軌道麵與基本平麵的夾角，Ω即軌道升交點方向N（或稱節點，並特指運動天體由南半球向北半球運行的那個交點）的經度（對地球衛星就是赤經），從X方向起量。利用球麵三角形的餘弦公式（或用坐標旋轉的方法），即可導出法向單位矢量R∧在坐標係OXYZ中的表達式如下：

R∧=r→×r→·h=Rx

Ry

Rz=sinisinΩ

－sinicosΩ

cosi(2.4)

動量矩積分(2.3)包含了h,i,Ω三個積分常數，h是麵積速度的兩倍，i,Ω則確定了軌道平麵的空間方向。關於積分常數h，在具體應用中采用的往往是另一表達形式，這與下麵給出的軌道積分有相應的聯係。

2.1.2運動平麵內的軌道積分和活力公式

既然是平麵運動，而相應的平麵已由(i,Ω)確定，那麼，接著就可在這一確定的平麵內討論降階後的方程。引入平麵極坐標(r,θ)，運動方程（2.1）的徑向分量為

r··－rθ·2=－μr2(2.5)

而橫向分量為

rθ··+2r·θ·=1rddt(r2θ·)=0(2.6)

此方程給出一個積分：

r2θ·=h(2.7)

由空間極坐標（三個軸方向的單位矢量分別記作r∧,θ∧,k∧，k∧即前麵的R∧）中r→和r→·的表達式

r→=rr∧,r→·=r·r∧+rθ·θ∧(2.8)

立即可得

r→×r→·=r2θ·k∧=r2θ·R∧(2.9)

這表明積分（2.7）就是動量矩積分（2.3）的標量形式，或稱麵積積分。方程（2.5）和（2.7）構成了平麵運動係統對應的三階常微分方程，需要再尋找三個獨立積分。

上述方程組的特點是不顯含自變量t，由常微分方程的基本知識可知，對於這類方程，通過分離自變量t的方法可使它降一階，即能夠首先討論r對θ的變化規律。為此，記r′=dr\/dθ,r″=d2r\/dθ2，由方程（2.7）得

r·=drdt=drdθθ·=hr2r′

r··=dr·dt=dr·dθθ·=h2r2－2r3r′2+1r2r″(2.10)

將這一關係代入方程（2.5）,即可給出r對θ的二階方程。但相應的方程仍不便於求解，如果在降階的同時，再作變量變換：

r=1\/u(2.11)

有r·=－hu′,r··=－h2u2u″。利用這一關係即可得到u對θ的一個二階常係數線性方程：

u″+u=μh2(2.12)

這顯然是可積的，由此即可給出一軌道積分：

r=1u=h2\/μ1+ecos(θ－ω)(2.13)

e和ω即兩個新積分常數。這是一圓錐曲線，在一定條件下它表示橢圓，中心天體（即O點）在其一個焦點上，考慮到本書的內容，主要涉及橢圓運動的情況，至於拋物線和雙曲線軌道，將在本章最後一節作一簡單介紹。對於橢圓，可令

p=a(1－e2)=h2\/μ(2.14)

那麼積分（2.7）和（2.13）又可寫成

r2θ·=μp=μa(1－e2)(2.15)

r=a(1－e2)1+ecos(θ－ω)(2.16)

積分常數h由a代替，這裏p是橢圓的半通徑，a是半長徑，e是偏心率，ω則稱為運動天體過近星點P的幅角，因在P點方向θ=ω時，r達到最小值，故稱P點方向為近星點方向。注意，近星點幅角ω和極坐標變量θ都是從節點N方向起量的，這在二體問題中無區別，當有攝動時，橢圓隨時間變化，升交點方向也在變化，ω應從該變化的升交點方向起量，而極坐標變量θ卻仍應從一個定義的不變方向起量，兩者是有區別的。

將r=r(θ)的關係代入方程（2.15），原則上可以給出最後一個與時間t有關的積分，這留待下一小節介紹，這裏給出橢圓運動的幾個常用關係。由（2.15）和（2.16）兩式，經簡單的運算可得

v2=r·2+r2θ·2=μ2r－1a(2.17)

此即活力公式。另外，既然是橢圓運動，那麼運動天體的向徑在一個周期T內掃過的麵積就是橢圓的麵積πa21－e2，由此可知兩倍的麵積速度h為

h=μa(1－e2)=2πa2(1－e2)\/T(2.18)

整理後可給出如下關係式：

a3T2=μ4π2(2.19)

若引進平運動角速度n=2π\/T，則上式又可寫成

n2a3=μ(2.20)

這兩個表達式就是萬有引力定律導出的開普勒（Kepler）第三定律。

這裏要說明一點：上述活力公式(2.17)，與動量矩積分(2.3)式的獲得類似，也可直接由運動方程(2.1)式兩端點乘r→·獲得，即

r→··r¨→=－μr3r→·r→·，12(r→·2)=μddt1r

由此立即可給出一積分如下：

v2=μ2r+C

此即活力積分，實際上就是N(N≥2)體問題10個經典積分中的能量積分在上述二體相對運動中的表現形式。但從二體問題求解的角度尋找六個獨立積分的過程來看，上述處理直至軌道積分(2.13)式共五個獨立積分的給出，是為了進一步尋找10個經典積分以外的另兩個獨立積分，其中之一即軌道積分，盡管它對應二階方程，它與活力積分一共隻有兩個是獨立的，故稱(2.17)式為活力公式為宜。剩下一個獨立積分必與自變量t（即軌道運動的反映）有關。

2.1.3第六個運動積分——開普勒方程

為了運算方便，在尋找第六個積分時，不直接引用方程（2.15）式按dθ\/dt求解，而是利用（2.17）式按dr\/dt積分，有

r·2=μ2r－1a－(rθ·)2=μ2r－1a－μpr2

通過（2.20）式消去μ整理後得

ndt=rdraa2e2－(a－r)2(2.21)

對於橢圓軌道，r的極大和極小值分別為

rmax=a(1+e),rmin=a(1－e)(2.22)

因此有a－r≤ae，故可按下式引入輔助量E：

a－r=aecosE

或寫成

r=a(1－ecosE)(2.23)

代入（2.21）式可得

ndt=(1－ecosE)dE

由此便可給出第六個積分：

E－esinE=n(t－τ)(2.24)

這又稱為開普勒方程，τ是積分常數。當t=τ時，E=0，相應的r=a(1－e)=rmin，故τ就是運動天體過近星點的時刻。

最後引進兩個角度f和M，定義如下：

f=θ－ω,M=n(t－τ)(2.25)

f,M和E是三個角度量，分別稱為真近點角、平近點角和偏近點角，都是從近星點開始計量的，E的幾何意義見圖2.3，圖中O是橢圓焦點（也是坐標係原點），O′是輔助圓的圓心。顯然，在二體問題中，麵積積分(2.7)可簡化為下列形式：

r2f·=h(2.26)

圖2.3橢圓軌道和輔助圓

上述六個獨立積分常數實為描述天體運動軌道的一組獨立參數，通常稱為軌道根數，隻要初始條件給定，它們就完全被確定。根數a,e是確定軌道大小和形狀的參數；i,Ω和ω是軌道平麵和拱線（長半軸）的空間定向參數；而第六個根數τ通常被三種近點角所代替，特別是平近點角M常被引用，三種近點角本身同時包含時間t，即隨t而變化，而不是常數，故也被稱作時間根數。特別要強調一點：上述六個軌道根數a,e,i,Ω,ω,M(f,E)，也常被稱作開普勒根數，這一稱呼聯係到天體力學發展的曆史。

2.2橢圓運動的基本關係式

上述六個積分已完全確定了二體問題中天體的運動，但這六個積分的表達形式對某些實際問題使用不便，有必要在上述基礎上導出一些常用關係式。這裏將根據實際工作的需要整理於下，所涉及的量不外乎六個軌道根數，時間t、各種近點角、向徑和速度等。

2.2.1橢圓運動中各量之間的幾何關係

首先從圖2.3和開普勒方程(2.24)不難看出，三種近點角的象限關係很清楚，它們同時處在[0,π]或[π,2π]區間上，這是一個很重要的關係，它們之間的聯係即

r=a(1－e2)1+ecosf=a(1－ecosE)(2.27）

E－esinE=M(2.28）

另外，根據橢圓的性質可知，圖2.3中的OO′=ae，於是有

rcosf=a(cosE－e)(2.29）

rsinf=a1－e2sinE(2.30）

tanf2=1+e1－etanE2(2.31）

2.2.2位置矢量r→和速度矢量r→·的表達式

作為二階方程（2.1）的完整解，即本節一開始提到的如下形式：

r→=r→(t;C1,…,C6)

r→·=r→·(t;C1,…,C6)(2.32）

既然六個積分已得到，那麼可以寫出解（2.32）式的具體形式。這裏的積分常數C1,…,C6即前麵的六個軌道根數，其中C6是τ，如果改用M，（2.32）式中的t將包含在M中。

顯然有

r→=rr∧=rcosfP∧+rsinfQ∧

=a(cosE－e)P∧+a1－e2sinEQ∧(2.33）

其中P∧和Q∧分別表示近星點和半通徑方向的單位矢量。通過坐標旋轉，很容易給出它們在直角坐標係OXYZ中的表達式。若在以軌道麵作為xy平麵的直角坐標係中，x軸指向近星點方向，則相應的單位矢量P∧0有下列形式：

P∧0=1

0

0(2.34)

於是OXYZ坐標係中P∧的表達式將由下列矩陣旋轉得到：

P∧=Rz(－Ω)Rx(－i)Rz(－ω)P∧0(2.35)

其中三個旋轉矩陣的形式如下：

Rz(－ω)=cosω－sinω0

sinωcosω0

001(2.36)

Rx(－i)=100

0cosi－sini

0sinicosi(2.37)

Rz(－Ω)=cosΩ－sinΩ0

sinΩcosΩ0

001(2.38)

至於Q∧的表達式，隻要將Rz(－ω)改為Rz(α)，α=－(ω+90°)即得。

為了某些應用的需要，將P∧和Q∧的具體表達式寫出，即

P∧=cosΩcosω－sinΩsinωcosi

sinΩcosω+cosΩsinωcosi

sinωsini(2.39）

Q∧=－cosΩsinω－sinΩcosωcosi

－sinΩsinω+cosΩcosωcosi

cosωsini(2.40）

關於r→·，根據二體問題的性質，由r→的表達式（2.33）可得

r→·=r→fdfdt=r→EdEdt(2.41)

由麵積積分(2.26)給出f·或由Kepler方程(2.28)給出E·，即可具體寫出r→·的表達式，即

r→·=－μp[sinfP∧－(cosf+e)Q∧]

=－μar[sinEP∧－1－e2cosEQ∧](2.42)

有些問題需要將六個積分常數改用初值t=t0，r→(t0)=r→0，r→·(t0)=r→·0來表達，即

r→=r→(t;t0,r→0,r→·0)

r→·=r→·(t;t0,r→0,r→·0)(2.43)

這容易從表達式(2.33)和(2.42)轉換而得。首先將P∧和Q∧表達成r→0，r→·0的形式，由

r→0=a(cosE0－e)P∧+a1－e2sinE0Q∧

r→·0=μar0[(－sinE0)P∧+1－e2cosE0Q∧](2.44)

可解出P∧和Q∧，以此代入(2.33)式和(2.42)式，經整理即可將r→(t)和r→·(t)用r→0，r→·0的“線性”組合來表達：

r→=Fr→0+Gr→·0

r→·=F′r→·0+G′r→0(2.45)

但F，G，F′，G′仍與r→0，r→·0有關。F，G的形式如下：

F=1－ar0(1－cosΔE)

G=Δt－1n(ΔE－sinΔE)(2.46)

其中Δt=t－t0，ΔE=E－E0，而a和ΔE由下式計算：

a=2r0－v20μ－1,v20=r→·2(2.47)

ΔE=nΔt+1－r0asinΔE－r0r·0μa(1－cosΔE)(2.48)

n=μa－3\/2,r0r·0=r→0·r→·0(2.49)

由於

1－r0a=O(e),r0r·0\/a=O(e)(2.50)

(2.48)式類似於Kepler方程，故ΔE的計算還是比較方便的，特別當Δt不大時，比解Kepler方程（解法在後麵第2.5節中給出）還快速。關於F′，G′，根據F′=G·，G′=F·可導出

F′=1－ar(1－cosΔE)

G′=－1rμar0sinΔE(2.51)

不難看出，當Δt比較小時，有

F=1+O(Δt2),

G=Δt[1+O(Δt2)](2.52)

根據F，G，F′，G′的上述特征，可以采用Δt的冪級數來表達。關於這一表達形式，本章參考文獻[5]和[6]中均有具體形式，為了讓讀者了解與其有關的知識，這裏簡單介紹一下其由來。凡是學過常微分方程的讀者都知道：隻要運動方程(2.1)的右函數滿足相關條件（這裏不再具體寫出，方程(2.1)確實滿足該條件），其滿足初始條件的解即存在，且可展成時間間隔Δt=t－t0的冪級數：

r→(t)=r→0+r→(1)0Δt+12!r→(2)0Δt2+…+1k!r→(k)0Δtk+…(2.53)

其中r→(k)0為r→(t)對t的k階導數在t0時刻的取值，即

r→(k)0=dkr→dtkt=t0(2.54)

要給出級數解(2.53)滿足初始條件的具體形式，就要計算各階導數r→(k)在t0處的值r→(k)0。已給出r→(1)0=r→·0，而二階以上各階導數值r→(k)0(k≥2)均可根據運動方程(2.1)由r→0和r→·0構成，即

r→(k)0=r→(k)0(t0,r→0,r→·0),k≥2(2.55)

因此，上述冪級數解(2.53)可以按r→0和r→·0整理如下：

r→(t)=F(r→0,r→·0,Δt)r→0+G(r→0,r→·,Δt)r→·0(2.56)

對於本章論述的由運動方程(2.1)表達的二體問題，F和G即可由Δt的冪級數表達。為了在實際工作中引用方便，且有利於量級分析，在具體給出F和G的展開式時，采用歸一化單位，即采用相應的質量和長度單位，使引力常數G＝1和μ=G(m0+m)=1，這裏的質量單位是(m0+m)，長度單位記作L（例如中心天體P0的赤道半徑，或適當的長度），相應的時間單位即(L3\/G(m0+m))1\/2。在此單位係統中，有

F=1－12u0Δt2+12u0p0Δt3+18u0q0－112u20－58u0p20Δt4+O(Δt5)

G=Δt－16u0Δt3+14u0p0Δt4+O(Δt5)(2.57)

其中

u0=1\/r30,p0=r→0r→·0\/r20,q0=v20\/r20(2.58)

相應地有

F′=1－12u0Δt2+(u0p0)Δt3+O(Δt4)

G′=－(u0)Δt+32u0p0Δt2+12u0q0－13u20－52u0p20Δt3+O(Δt4)(2.59)

不難看出，在上述歸一化單位係統中，若將r0近似地看作運動天體軌道的半長徑a，則u0=r－30≈n2，n即平運動角速度。於是F，G的量級特征為

F=1+O(Δτ2)

G=Δt[1+O(Δτ2)](2.60)

其中Δτ=nΔt是運動弧段，這一特征在初軌確定中是一個重要的初始信息，在本書的第6章中將會具體闡述其應用價值。

2.2.3橢圓運動中一些量對軌道根數的偏導數

在研究天體運動規律或計算其位置時，除遇到六個軌道根數a,e,i,Ω,ω,M外，還會涉及由它們構成的一些函數，而這些函數關係中的基本量就是E,f,r，因此，隻要給出這些量對軌道根數的偏導數就夠了。

首先分析上述量與六個獨立根數之間的函數關係，由方程（2.27）~（2.30）式可知

E=E(e,M)

f=f(e,E(e,M),a\/r(e,M))=f(e,M)

r=r(a,e,E(e,M))=r(a,e,M)

那麼，利用前麵的幾何關係即可推出相應的偏導數，它們是

Ee=arsinE,EM=ar

fe=11－e21+prsinf,fM=1－e2ar2

ra=ra,re=－acosf,rM=ae1－e2sinf(2.61)

若獨立根數M改為E，則有

M=M(e,E),f=f(e,E),r=r(a,e,E)

Me=－sinE,ME=ra=1－ecosE

fe=sinf1－e2,fE=ar1－e2

ra=ra,re=－acosE,rE=aesinE(2.62)

若獨立根數M改為f，則有

E=E(e,f),M=M(e,E(e,f))=M(e,f),r=r(a,e,f)

Ee=－sinE1－e2,Ef=ra\/1－e2

Me=－1+ra\/(1－e2)rasinf1－e2,Mf=ra2\/1－e2

ra=ra,re=r1－e2(cosE+e),rf=ra2ae1－e2sinf(2.63)

在實際應用中，常常出現ar這一因子，由r\/σ可直接得到ar\/σ。顯然，ar隻是e和近點角的函數，因此有

are=－ar2re,arθ=－ar2rθ

其中θ是M，E，f中的一個。

對於小偏心率問題，往往不采用上述六個軌道根數作為基本變量，而改用

a,e,i,ξ=ecosω,η=esinω,λ=M+ω

六個變量，f，E將由u=f+ω，v=E+ω代替。若要推出相應的偏導數，其關鍵仍在於首先分析清楚函數關係。由

e2=ξ2+η2,ω=arctan(η\/ξ),M=λ－arctan(η\/ξ)(2.64)

可知

f=f(e(ξ,η),M(ξ,η,λ))

E=E(e(ξ,η),M(ξ,η,λ))

ar=ar(e(ξ,η),M(ξ,η,λ))

利用這一關係再推導相應的偏導數顯然是容易的，例如

ξar=eareξ+MarMξ

ηar=eareη+MarMη

λar=MarMλ(2.65)

其中ear，Mar前麵已給出，剩下的問題隻是根據上述函數關係(2.64)式去推導eξ，Mξ，…，這對讀者來說是極其簡單的，這裏不再一一列出。

在定軌問題中，還會用到r→σ，r→·σ這兩組偏導數。由r→和r→·的表達式(2.33)和(2.42)不難得知，它們分別涉及兩類偏導數。如果仍用a,e,i,Ω,ω,M作為基本變量σ，則一類偏導數是前麵已導出的(r,f,E)(a,e,M)，另一類是單位矢量P∧和Q∧對三個角度量的偏導數，即P∧(i,Ω,ω)，Q∧(i,Ω,ω)，直接由P∧和Q∧的表達式(2.39)和(2.40)可以推導，但不便於將結果寫成簡單形式，若用矢量旋轉法就方便得多，具體結果如下:

r→a=1ar→

r→e=Hr→+Kr→·

r→M=1nr→·

r→i=J∧N×r→=zsiniR∧,J∧N=cosΩ

sinΩ

0

r→Ω=J∧z×r→=－y

x

0,J∧z=0

0

1

r→ω=R∧×r→=zRy－yRz

xRz－zRx

yRx－xRy(2.66)

r→·a=－12ar→·

r→·e=H′r→+K′r→·

r→·M=－nar3r→=－μnr→r3

r→·i=J∧N×r→·=z·siniR∧

r→·Ω=J∧z×r→·=－y·

x·

0

r→·ω=R∧×r→·=z·Ry－y·Rz

x·Rz－z·Rx

y·Rx－x·Ry(2.67)

其中R∧即軌道麵法向單位矢量，其表達式即前麵的(2.4)式，又可寫成下列形式：

R∧=1μp(r→×r→·)(2.68)

相應的有

sini=1－cos2i=1－R2z(2.69)

而H，K，H′，K′則由下列各式表達：

H=－ap(cosE+e),K=sinEn1+rp(2.70)

H′=μasinErp1－ar1+pr,K′=apcosE(2.71)

2.2.4近點角M，E，f與時間t之間的微分關係

根據三種近點角的定義，利用麵積積分（2.26）和Kepler方程（2.28）以及上述各有關表達式，可給出

dMdt=n,dEdt=nar,dfdt=n1－e2ar2(2.72)

在後麵要討論的問題中，積分時常遇到上述幾種變量之間的轉換，為了方便，不妨根據（2.72）式將這些關係整理如下：

dM=ndt=radE=11－e2ra2df(2.73)

dE=nardt=ardM=11－e2radf(2.74)

df=n1－e2ar2dt=1－e2ar2dM=1－e2ardE(2.75)

dt=1ndM=1nradE=1n1－e2ra2df(2.76)

注意，這組微分關係是建立在六個軌道根數為常數基礎上的，嚴格地說，它們僅適用於二體問題，這與前麵的幾何關係式以及相應的偏導數關係式不一樣。

2.3橢圓運動的展開式

在很多問題中，需要將有關量通過平近點角M表示成時間t的顯函數，但由Kepler方程可知，這將涉及超越函數關係，無法直接達到上述要求。因此，必須將f，E，ar等量展開成M的三角級數，而在這些展開式中又要用到兩個特殊函數：第一類貝塞耳（Bessel）函數和超幾何函數（或稱超幾何級數），為了讀者引用方便，首先簡單地介紹一下這兩個函數的有關知識，詳細內容請翻閱特殊函數一類書籍。

第一類貝塞耳函數Jn(x)是二階線性常微分方程

x2d2ydx2+xdydx+(x2－n2)y=0

的一個解，它由下列級數表達：

Jn(x)=∑∞k=0(－1)k(n+k)!k!x2n+2k(2.77)

其中n為整數（n=0,1,2,…），x為任意實數，而k!由下式定義

k!=k(k－1)…(k－(k－2))·1

0!=1(2.78)

Jn(x)又是ex2(z－1z)展開式的函數，即

ex2(z－1z)=∑∞n=－∞Jn(x)zn(2.79)

其中e是自然對數的底，而z可以是複變量。由此可給出Jn(x)的積分表達式，即

Jn(x)=12π∫2π0e－1(xsinθ－nθ)dθ=12π∫2π0cos(xsinθ－nθ)dθ(2.80)

根據Jn(x)的定義不難得出下列一些重要性質：

J－n(x)=(－1)nJn(x),Jn(－x)=(－1)nJn(x),J－n(－x)=Jn(x)

Jn(x)=x2n[Jn－1(x)+Jn+1(x)]

ddxJn(x)=12[Jn－1(x)－Jn+1(x)](2.81)

超幾何函數F(a,b,c;x)是如下二階線性常微分方程

(x2－x)y″+[(a+b+1)x－c]y′+aby=0

的一個解，其中a,b,c是常數，解的形式如下：

F(a,b,c;x)=1+∑∞n=1a(a+1)…(a+n－1)·b(b+1)…(b+n－1)n!·c(c+1)…(c+n－1)xn

=1+a·b1·cx+a(a+1)·b(b+1)1·2·c(c+1)x2+…(2.82)

2.3.1sinkE和coskE的展開式

這裏直接列出展開結果，它們在本章參考文獻[1]~[2]中有詳細的推導。對k>1有

sinkE=∑∞n=1kn[Jn－k(ne)+Jn+k(ne)]sinnM(2.83)

coskE=∑∞n=1kn[Jn－k(ne)－Jn+k(ne)]cosnM(2.84)

對k=1有

sinE=2e∑∞n=11nJn(ne)sinnM(2.85)

cosE=－e2+∑∞n=11n[Jn－1(ne)－Jn+1(ne)]cosnM

=－e2+∑∞n=12n2dde[Jn(ne)]cosnM(2.86)

2.3.2E，ra和ar的展開式

由

E=M+esinE,ra=1－ecosE,ar=EM

可給出

E=M+2∑∞n=11nJn(ne)sinnM(2.87)

ra=1+e22－2e∑∞n=11n2dde[Jn(ne)]cosnM(2.88)

ar=1+2∑∞n=1Jn(ne)cosnM(2.89)

2.3.3sinf和cosf的展開式

利用偏導數關係式(2.61)可得

Mra=Mar－1=e1－e2sinf

由此給出

sinf=1－e2eMra

=21－e2∑∞n=11ndde[Jn(ne)]sinnM(2.90)

由軌道方程(2.16)給出

cosf=1e－1+(1－e2)ar

=－e+2e(1－e2)∑∞n=1Jn(ne)cosnM(2.91)

2.3.4f的展開式

利用sinf和cosf的展開式，取到e4項有

f=M+2e－14e3+…sinM+54e2－1124e4+…sin2M

+1312e3－…sin3M+10396e4－…sin4M+…(2.92)

2.3.5rancosmf和ransinmf的展開式

這裏n和m均為任意整數（包括零）。若僅用上述基本展開式，要給出這兩個函數對M的三角級數（特別是一般表達式），那是相當困難的，下麵就對這兩個函數直接進行傅立葉（Fourier）展開。函數F(f)展成傅立葉級數的基本形式為

F(f)=a02+∑∞p=1(apcospM+bpsinpM)

ap=∫2π0F(f)cospMdM,bp=∫2π0F(f)sinpMdM(2.93)

rancosmf是偶函數，bp=0，且

ap=∫2π0ran[cos(mf－pM)+cos(mf+pM)]dM(2.94)

對於被積函數的第二部分，可令p=－p，對應p=－1,－2,…,－∞，由此給出

rancosmf=∑∞p=－∞Xn,mp(e)cospM(2.95)

其中

Xn,mp(e)=12π∫2π0rancos(mf－pM)dM(2.96)

ransinmf是奇函數，ap=0，bp的計算公式為

bp=12π∫2π0ran[cos(mf－pM)－cos(mf+pM)]dM(2.97)

對被積函數第二部分的處理同上，結果為

ransinmf=∑∞p=－∞Xn,mp(e)sinpM(2.98)

由於上述兩個函數的展開式係數相同，可用指數形式將它們表達成統一形式，即

ranexp(jmf)=∑∞p=－∞Xn,mp(e)exp(jpM)

Xn,mp(e)=12π∫2π0ranexp[j(mf－pM)]dM(2.99)

其中j=－1是虛數單位。因

∫2π0ransin(mf－pM)dM=0

(2.99)式中的Xn,mp(e)就是由(2.96)式表達的Xn,mp(e)，稱為漢森（Hansen）係數，它是偏心率e的函數，無法用初等函數來表達它的具體形式，隻能引用貝塞耳函數和超幾何函數，詳細推導見本章參考文獻[7]，這裏直接列出展開結果。

Xn,mp(e)=(1+β2)－(n+1)∑∞q=－∞Jq(pe)Xn,mp,q(2.100)

β=1e(1－1－e2)=e1+1－e2(2.101)

Xn,mp,q=(－β)(p－m)－qn－m+1

p－m－qF(p－q－n－1,－m－n－1,p－m－q+1,β2)

(q≤p－m),

(－β)q－(p－m)n+m+1

q－p+mF(q－p－n－1,m－n－1,q－p+m+1,β2)

(q≥p－m)

(2.102)

n

m=n!m!(n－m)!,－n

m=(－1)mn+m－1

m

n

－m=－n

－m=0,n

0=－n

0=1(2.103)

由(2.96)式即可給出

Xn,－m－p=Xn,mp(2.104)

又根據Jq(pe)=O(e|q|)可知

Xn,mp(e)=O(e|m－p|)(2.105)

由上述展開式可以看出，要具體給出rancosmf和ransinmf的展開式，是較麻煩的。為此，針對實際應用狀況，作者給出了精確到O(e4)的Xn,mp(e)表達式［8］，形式如下：

Xn,mm(e)=1+e24(n2+n－4m2)+e464[n4－2n3－(1+8m2)n2

+2n－m2(9－16m2)]

Xn,mm+1(e)=－e2(n－2m)－e316[n3－(1+2m)n2－(3+5m+4m2)n

+m(2+10m+8m2)]

Xn,mm－1(e)=－e2(n+2m)－e316[n3－(1－2m)n2－(3－5m+4m2)n

－m(2－10m+8m2)]

Xn,mm+2(e)=e28[n2－(4m+3)n+m(4m+5)]+e496［n4－(6+4m)n3

－(1－3m)n2+(22+47m+48m2+16m3)n－m(22+64m

+60m2+16m3)］

Xn,mm－2(e)=e28[n2+(4m－3)n+m(4m－5)]+e496［n4－(6－4m)n3－(1+3m)n2

+(22－47m+48m2－16m3)n+m(22－64m+60m2－16m3)］

Xn,mm+3(e)=－e348[n3－(9+6m)n2+(17+33m+12m2)n－m(26+30m+8m2)]

Xn,mm－3(e)=－e348[n3－(9－6m)n2+(17－33m+12m2)n+m(26－30m+8m2)]

Xn,mm+4(e)=e4384［n4－(18+8m)n3+(95+102m+24m2)n2－(142+330m+192m2

+32m3)n+(206m+283m2+120m3+16m4)］

Xn,mm－4(e)=e4384［n4－(18－8m)n3+(95－102m+24m2)n2－(142－330m

+192m2－32m3)n－(206m－283m2+120m3－16m4)］(2.106)

以上各展開式的係數都是關於偏心率e的無窮級數，隻有當e

除上述展開式外，有些問題還需要其他類型的展開式，下麵給出。

2.3.6arp,E,f－M對f的展開式

arp=(1－e2)－p\/2T0(p,0)+2∑∞n=1Tn(p,0)p

nβncosnf(2.107)

其中p為正、負整數，β的意義同前，見(2.101)式，Tn(p,q)由超幾何函數定義［2］，即

Tn(p,q)≡F－p－q,p－q+1,n+1,－β21－β2(2.108)

當p=－1,－2時，有

Tn(－1,0)=T0(－1,0)=1

Tn(－2,0)=1n+1n+11－e2,T0(－2,0)=11－e2(2.109)

由上述一般表達式可給出如下兩個具體展開式：

ra=1－e21+2∑∞n=1(－1)nβncosnf(2.110)

ra2=1－e21+2∑∞n=1(－1)n(1+n1－e2)βncosnf(2.111)

利用這兩個展開式，由

Ef=(1－e2)－1\/2ra,Mf=(1－e2)－1\/2ra2

積分即給出

E=f+2∑∞n=11n(－1)nβnsinnf(2.112)

f－M=2∑∞n=1(－1)n+11n+1－e2βnsinnf(2.113)

2.4軌道根數與位置、速度矢量之間的轉換關係

2.4.1由軌道根數σ(t)計算位置矢量r→(t)和速度矢量r→·(t)

這是一個星曆計算問題。關於軌道根數σ(t)，如果其中時間根數采用真近點角f或偏近點角E，那麼問題就很簡單，由公式(2.33)和(2.42)便可直接計算r→(t)和r→·(t)。但在實際應用中，往往被采用的時間根數卻是平近點角M，而不是f或E。因此，由軌道根數σ計算r→和r→·時就必須求解由(2.24)式表達的Kepler方程，給出所需要的偏近點角E。關於Kepler方程的解法，見後麵第2.5節。

2.4.2由r→(t)和r→·(t)計算軌道根數σ(t)

（1）　根數a,e,M的計算

a,e,M三個根數可以確定橢圓軌道的大小、形狀和軌道器在軌道平麵內相對近星點的位置，都是軌道平麵內的量。根據活力公式(2.17)，r的表達式(2.23),r→和r→·的數量積以及Kepler方程的解，可給出分別計算a,e,M的表達式，即

1a=2r－v2μ(2.114)

ecosE=1－ra

esinE=rr·\/μa(2.115)

M=E－esinE(2.116)

這裏用到r→和r→·的表達式(2.33)和(2.42)式。上述各式中的r,v和rr·由下式計算

r2=x2+y2+z2

v2=x·2+y·2+z·2

rr·=r→·r→·=xx·+yy·+zz·(2.117)

(2)　三個定向根數i,Ω,ω的計算

從第2.1節和2.2節中已了解到這三個根數確定了P∧,Q∧,R∧三個單位矢量，而這三個單位矢量又是由r→和r→·確定的。那麼由(2.33)和(2.42)式容易解出

P∧=cosErr→－aμsinEr→·(2.118)

1－e2Q∧=sinErr→+aμ(cosE－e)r→·(2.119)

而動量矩積分則給出

R∧=(r→×r→·)μa(1－e2)(2.120)

隻需要Pz,Qz和Rx,Ry,Rz，即可計算i,Ω,ω。由P∧,Q∧,R∧表達式（2.39），（2.40）和（2.4），可給出

Pz=sinisinω,Qz=sinicosω

Rx

－Ry

Rz=sinisinΩ

sinicosΩ

cosi(2.121)

則

ω=arctan(Pz\/Qz)(2.122)

Ω=arctan(Rx\/(－Ry))(2.123)

i=arccosRz(2.124)

計算ω,Ω與E一樣，均有確定象限問題，故必須用兩個三角函數值，而對i隻需用一個cosi值就夠了，關於這一點，讀者是容易理解的。

2.4.3由r→(t1)和r→(t2)計算σ(t0)

這裏t0可以是t1或t2，亦可取其他值，例如中間值t0=(t1+t2)\/2。由r→1=r→(t1)和r→2=r→(t2)計算σ0=σ(t0)的方法很多，下麵介紹一種比較典型的方法。

首先由r→1和r→2計算r→0和r→·0，然後按照上一節的方法計算σ0。根據關係式（2.45），有

r→1=F1r→0+G1r→·0

r→2=F2r→0+G2r→·0(2.125)

其中F1，G1和F2，G2，即由公式（2.46）或（2.57）表達。相應的Δt分別為

Δt1=t1－t0,Δt2=t2－t0(2.126)

由（2.125）式可解出

r→0=G2r→1－G1r→2F1G2－F2G1

r→·0=F2r→1－F1r→2F2G1－F1G2(2.127)

求解r→0和r→·0實為一迭代過程，Fj,Gj(j=1,2,…)的初值可取

F=1－12u0Δt2

G=Δt－16u0Δt3(2.128)

其中

u0=1\/r30,r0=12(r1+r2)(2.129)

具體計算F,G時，可采用展開式（2.57）或封閉形式（2.46）～（2.49）。

獲得r→0和r→·0後，即可按照上一節的方法計算σ0，其過程不再重複。

2.4.4開普勒方程的解法

根據(2.25)式定義的平近點角M，Kepler方程(2.24)式可寫成

E－esinE=M(2.130)

當e=0時，對應圓軌道，有E=M，這是一個簡單關係式，而當e=1時，則轉化為Barker方程［9～10］。對於橢圓運動，則有0

關於這一超越方程，其解法曾經出現過多種，當偏心率較小時，前麵的級數展開式(2.87)即便於由(e,M)直接計算偏近點角E。但是對於各種不同的偏心率和不同的精度要求，最好有一種較通用的簡單算法，按此要求，對於e不接近1的軌道，普通迭代法和簡單的牛頓法（或稱微分改正法）便是較理想的近似解法。

(1)　簡單迭代法

由於e<1，下述迭代法是收斂的，

Ek+1=M+esinEk,k=0,1,…(2.131)

(2)　牛頓法

記

f(E)=(E－esinE)－M(2.132)

根據

f(Ek+1)=f(Ek)+f′(Ek)[Ek+1－Ek]+…

f′(Ek)=1－ecosEk(2.133)

有

Ek+1=Ek－f(Ek)f′(Ek),k=0,1,…(2.134)

關於上述兩種方法中初值E0的選取，本章參考文獻[9]中有詳盡的討論，在一般情況下，可作簡單的選取，即取E0=M。對於e接近1的情況，讀者可參閱有關文獻。但必須注意，任何包含迭代過程的近似解法，對收斂的控製標準ε，即ΔEk=Ek+1－Ek≤ε中的ε值，既要考慮問題的精度要求，又要考慮所用計算機的實際有效字長，否則將會造成“死循環”。另外，對於e較大的問題，為了節省計算機時，最好能避開選取平近點角M作為第六個根數，這在采用數值方法求解以軌道根數作為基本變量的天體運動方程時是可以實現的，後麵第6章將會介紹這一內容。

2.5衛星軌道量的幾種表達形式與計算

第1章關於坐標係的介紹已指出，對於衛星測量、姿態以及軌道誤差的描述等，有其特定的要求，需要定義相應的空間坐標係。這類坐標係都涉及衛星運動的軌道，盡管衛星的軌道是變化的，但下一章要闡述的對衛星軌道變化采用的處理方法，會給出這樣的結論：任一瞬間，衛星軌道都可以看作瞬時橢圓（拋物線或雙曲線），相應的軌道與坐標、速度之間的幾何關係同樣遵循二體問題對應的規律。在此基礎上，容易建立衛星測量、姿態以及軌道誤差表達中所需要的轉換關係。

2.5.1衛星軌道升交點經度的兩種表達形式

在衛星發射過程中，由於需要，往往有人采用一種過渡的“地固坐標係”來定義衛星軌道升交點的經度，實際上這種提法容易引起誤解，在真正的地固坐標係中去看衛星的運動軌道，並不是簡單的橢圓，這一點無需多加解釋。上述所謂的“地固坐標係”，實指“修正”的地心天球坐標係，僅僅將該坐標係的X坐標軸從春分點方向移至地固坐標係中采用的格林尼治子午線方向（詳見第1章1.3.3小節），從地麵發射角度來考慮，這是容易理解的。在此坐標係中，衛星軌道升交點經度就是通常所指的地理經度，記作ΩG，有如下簡單的換算關係：

ΩG=Ω－SG(2.135)

該式中的SG即格林尼治恒星時，其計算方法見第1章的1.3.4~1.3.5兩小節。

這裏順便作一簡單說明，由於習慣稱謂，地球上站點經緯度中的經度容易和描述軌道升交點中的經度相混淆。顯然，前者是指從格林尼治子午線方向起量的，而後者習慣將赤道坐標係中的赤經和黃道坐標係中的黃經就簡稱為經度。了解這一點，就不會因上述軌道升交點經度的兩種提法而引起坐標係定義的混淆。

2.5.2地麵跟蹤站對衛星方位測量采用的表達形式

地麵跟蹤站對衛星的方位測量，往往采用兩種測量裝置，即地平式和赤道式，由此，對衛星跟蹤的采樣分別對應地平坐標和赤道坐標（均對應站心坐標係）。通常將站心地平和赤道坐標係中的位置矢量分別用ρ→和r→′表示，在各自對應的直角坐標係中，有下列關係存在：

ρ→=ρcoshcosA

－coshsinA

sinh,r→′=r′cosδcosα

cosδsinα

sinδ(2.136)

其中ρ和r′各為衛星到坐標原點的距離，A為地平經度，h為地平高度（或稱高度角E），α為赤經，δ是赤緯，具體計量在前麵第1.2節中已有說明。

在軌道問題的處理中，需要將這兩種跟蹤測量資料歸算到地心天球坐標係中，這涉及站心地平坐標和站心赤道坐標與地心天球坐標係（相應的坐標矢量記作r→，前麵各有關內容中均已采用）之間的轉換關係，該轉換由旋轉和平移完成，即

r→′=Rz(π－S)Ryπ2－φρ→(2.137)

r→=r→′+r→A(2.138)

其中，φ是測站的天文緯度，S=α+t是春分點的時角，即測站的地方恒星時（見圖1.1），r→A是測站的地心坐標矢量。

在衛星跟蹤過程中，需要將軌道預報給出的狀態量（可歸結為地心天球坐標係中的坐標矢量r→）轉換成預報觀測量：地平坐標型(A,h)，或赤道坐標型(α,δ)。相應的轉換關係即上述轉換的逆變換：

r→′=r→－r→A(2.139)

ρ→=Ryφ－π2Rz(S－π)r→′(2.140)

地麵跟蹤站對衛星的方位測量，涉及跟蹤站的站址坐標，在相應的地固坐標係中，跟蹤站的大地坐標記作(H,λ,φ)，三個坐標分量為大地高、經度和緯度。

地心天球坐標係中的站址坐標矢量即上述r→A，在相應的地固坐標係中，習慣記作R→e，兩者之間的轉換關係即第1章1.3節中給出的轉換公式（1.29），這裏記作

r→A=(HG)TR→e(2.141)

其中坐標轉換矩陣(HG)包含了四個旋轉矩陣，即歲差、章動矩陣，地球自轉矩陣和地球極移矩陣，在IAU1980規範和IAU2000規範中分別表示如下：

(HG)=(EP)(ER)(NR)(PR)(2.142)

(HG)=W(t)R(t)M(t)(2.143)

(2.143)式中的矩陣M(t)包含了歲差和章動兩個矩陣，詳見第1章1.3.5小節的有關內容。關於地固坐標係中，跟蹤站坐標矢量R→e(H,λ,φ)的三個直角坐標分量Xe,Ye,Ze與球坐標分量(H,λ,φ)之間的關係，見第1章1.3.3小節中的（1.26）~（1.28）式。

2.5.3衛星星下點的赤道坐標

衛星星下點即衛星到地心的連線與地球參考橢球麵的交點，其位置是在地球坐標係（如無特殊要求，均指第1章中定義的地固坐標係）中定義的，相應的兩個球坐標分量為大地經緯度(λ,φ)。

在地心天球坐標係中，衛星的坐標矢量即r→(x,y,z)=r→(σ)，其中σ是6個軌道根數：(a,e,i,Ω,ω,M)。而衛星在地固坐標係中相應的坐標矢量即R→(X,Y,Z)，有

R→(X,Y,Z)=(HG)r→(x,y,z)(2.144)

其中坐標轉換矩陣(HG)已在上一小節中作過說明。

在上述表達下，很容易給出相應的衛星星下點的坐標。如果描述星下點位置需要的是地心緯度φ′，則很簡單，有如下關係：

R→(t)=X

Y

Z=Rcosφ′cosλ

Rcosφ′sinλ

Rsinφ′(2.145)

其中R是衛星的地心距，而(λ,φ′)即星下點在地球參考橢球麵上的位置，由該式即可給出相應的經緯度(λ,φ′)：

λ=arctan(Y\/X)

φ′=arctanZR=arctanZX2+Y2(2.146)

如果需要的是大地緯度φ，則可根據第1章1.3.3小節中的（1.26）式令大地高H=0即得

tanφ=1(1－f)2tanφ′

=1(1－f)2ZX2+Y2(2.147)

注意，這裏的f是參考橢球體的幾何扁率。

2.5.4星體坐標係

在某些測量任務中，會涉及衛星姿態問題所采用的星體坐標係，這裏僅從軌道角度闡明有關定義，即如何將地心天球坐標係轉換至衛星軌道坐標係，這裏所說的衛星軌道坐標係，是指衛星軌道麵為其坐標係的主平麵，即xy坐標麵，而x軸方向即衛星方向。該坐標係即由地心天球坐標係經3次旋轉來實現，若記該旋轉矩陣為(GD)，有

(GD)=Rz(u)Rx(i)Rz(Ω)(2.148)

其中u=f+ω是衛星的緯度角，這裏的f是衛星的真近點角。接下來要做的就是將坐標原點平移至衛星的“質心”等，這些都將由具體航天測量任務的需求來確定。

2.5.5衛星位置誤差的幾種表達形式

無論是衛星定軌還是軌道預報，均涉及相應位置誤差的表達形式。衛星位置誤差的基本表達形式即Δr→=(ΔxΔyΔz)T，而更能直接反映軌道誤差特征的表達形式是：軌道徑向、橫向和軌道麵法向三分量形式，記作Δr→=(ΔrΔtΔw)T，三分量的構成如下：

Δr=Δr→·r∧，Δt=Δr→·t∧，Δw=Δr→·w∧(2.149)

三個方向的單位矢量由下式計算：

r∧=cosuP∧+sinuQ∧

t∧=－sinuP∧+cosuQ∧

w∧=r∧×t∧(2.150)

其中u=f+ω是衛星的緯度角，P∧和Q∧分別表示近星點和半通徑方向的單位矢量，見本章的(2.39)和(2.40)式。

在軌道偏心率不太大的情況下，上述橫向與軌道切向接近，因此橫向誤差分量Δt基本上就反映了軌道沿跡誤差的大小，這是軌道誤差中最重要的分量。

2.6拋物線軌道和雙曲線軌道

盡管從軌道力學方法這一角度來看，顯然應該著重討論橢圓軌道及其變化規律，但無論是自然天體的運動，還是人造天體的運動（特別是深空探測器的運動），有些問題亦會涉及拋物線和雙曲線軌道，特別是雙曲線軌道。因此，從實際應用角度考慮，對這兩種軌道作一簡單介紹也是有必要的。

2.6.1拋物線軌道

此時，e=1,a→∞，故麵積積分（2.15）式和軌道積分（2.13）式變為

r2θ·=μp,p=2q(2.151)

r=p1+cos(θ－ω)(2.152)

該拋物線的焦點仍在中心天體上，p是半通徑，q是近星距。仍定義f為真近點角，有

f=θ－ω(2.153)

那麼（2.151）和（2.152）式即可分別寫成下列形式：

r2f·=2μq(2.154)

r=p1+cosf=qsec2f2(2.155)

將式(2.155)代入式(2.154)，積分該式即給出

2tanf2+32tan3f2=2μq－3\/2(t－τ)(2.156)

其中τ是最後一個積分常數，與橢圓運動類似，它也是運動天體p過近星點的時刻。因此，拋物線軌道根數由於e=1隻剩下5個，即i,Ω,q,ω,τ。

2.6.2雙曲線軌道

此時e>1，相應的麵積積分（2.15）式和軌道方程（2.13）式變為

r2θ·=μp(2.157)

r=p1+ecosf(2.158)

其中

圖2.4天體s相對天體P0

（即焦點O）的雙曲線軌道

p=a(e2－1)(2.159)

f=θ－ω(2.160)

這裏的p亦稱為半通徑，p和a的幾何意義見圖2.4，f是真近點角，ω是近星點角距，而相應的近星距為

rp=a(e－1)(2.161)

活力公式（2.17）在這裏變為下列形式：

v2=r·2+r2θ·2=μ2r+1a(2.162)

類似於對橢圓運動的積分方法，由（2.162）式利用（2.157）式消除θ·給出

nadt=rdr(r+a)2－a2e2

n=μa－3\/2(2.163)

引進輔助變量E

r=a(echE－1)(2.164)

代入（2.163）式後積分該式即給出雙曲線運動的第六個積分：

eshE－E=n(t－τ)=M(2.165)

其中τ為第六個積分常數，亦是過近星點的時刻。雖然這裏引進的E與橢圓運動中的偏近點角E意義不同，但上述f,E和M之間的幾何關係與橢圓運動中的相應關係類似，即

rcosf=a(e－chE)

rsinf=ae2－1shE(2.166)

tanf2=e+1e－1tanE2(2.167)

由軌道方程（2.158）不難看出，1+ecosf=0,r→∞，由此可知：

－π+arccos1e≤f≤π－arccos1e(2.168)

方程（2.165）類似橢圓運動中的Kepler方程，但由於e>1，不能用一般的迭代法求解，若用簡單的牛頓迭代法，亦容易由給定的e,M求出E。若取初值E=E(0)，則改正公式為

ΔE=M－(eshE(0)－E(0))echE(0)－1

E(1)=E(0)+ΔE－12eshE(0)(echE(0)－1)ΔE2(2.169)

一般情況下，迭代過程中(2.169)式的改正部分隻要取到ΔE的一次項，即

E(1)=E(0)+ΔE(2.170)

算例如下：

由e=1.5,M=π\/4=0.785398163，求E值。取E(0)=M，相應的改正過程如下：

E(1)=1.056738913

E(2)=1.018032116

E(3)=1.016994172

E(4)=1.016993449

E(4)對應的eshE－E=0.785398163，與M值在9位有效數字上完全相同。當然，還可充分利用計算機的條件，采用更快速的迭代算法，這裏隻是舉一個簡單的算例供讀者參考。

2.6.3位置矢量和速度矢量的計算公式

對於上述兩種軌道，運動天體的位置矢量r→的表達式與橢圓軌道相同，即

r→=rcosfP∧+rsinfQ∧(2.171)

其中P∧和Q∧即近星點方向和半通徑方向的單位矢量，它們的表達式與橢圓運動中的形式相同，見（2.39）和（2.40）兩式。

關於速度矢量r→·的表達式，兩種軌道稍有不同，對於拋物線軌道和雙曲線軌道分別為

r→·=μp[(－sinf)P∧+(cosf+1)Q∧]

p=2q(2.172)

r→·=μp[(－sinf)P∧+(cosf+e)Q∧]

p=a(e2－1)(2.173)

參考文獻

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第3章　\/　構造衛星軌道攝動解的分析方法

第3章　\/

構造衛星軌道攝動解的分析方法

衛星（各類環繞型探測器）軌道運動對應的數學問題，涉及的是一個受攝力學係統，而且在緒論的第3節中已指出，對於現實的太陽係而言，歸結為一個受攝二體問題，運動方程的一般形式如下：

r¨→=F→0(r)+F→ε(r→,r→·,t;ε)(3.1)

F→0(r→)=－μr2r→r(3.2)

其中μ=G(m0+m)，m0和m各為中心天體和運動天體的質量，對於航天器這類小天體而言，取m=0，F→ε是攝動加速度，其形式由具體的攝動源所確定。這一章就以一般形式的運動方程（3.1）式作為背景，給出相應的處理方法。

3.1受攝二體問題的數學處理

首先考慮無攝運動（即二體問題），此時F→ε=0，相應的運動方程為

r¨→=－μr2r→r(3.3)

第2章已給出該問題的解，可歸結為下列形式：

r→=f→(c1,c2,…,c6,t)(3.4)

r→·=g→(c1,c2,…,c6,t)(3.5)

其中

r→·=r→t=f→t(3.6)

六個積分常數c1,c2,…,c6即六個軌道根數，對於橢圓運動，即a,e,i,Ω,ω,τ。第六個根數τ為運動天體過近星點的時刻，若用平近點角M代替

τ，則解（3.4）和（3.5）中將不顯含

t，但這些解並不是直接以M的形式出現，而是以真近點角

f或偏近點角

E的形式出現。

回到方程（3.1），F→ε≠0，解（3.4）和（3.5）式當然不滿足該方程。如果要使這一無攝運動解的形式仍滿足受攝運動方程（3.1），則c1,c2,…，c6不再是常數，應為

t的函數，這就是常微分方程求解中的常數變易法。根據這一原理導出的原積分常數cj(j=1,2,…,6)所滿足的微分方程，就稱為通常所指的“攝動運動方程”。盡管本書主要是為讀者提供相應問題的算法，但為了使讀者深入了解軌道力學領域中這一最重要的基本原理，有助於對算法的準確理解，有必要對攝動運動方程建立過程中如何引用常數變易原理作必要的闡述，簡述如下：

（3.4）式對

t求導數得

dr→dt=f→t+∑6j=1f→cjdcjdt(3.7)

由於要求（3.5）式亦滿足受攝運動方程，故應有

dr→dt=f→t=g→(c1,…,c6;t)(3.8)

此式再對

t求一次導數，並讓其滿足受攝運動方程（3.1），即

d2r→dt2=g→t+∑6j=1g→cjdcjdt=F→0+F→ε(3.9)

而g→\/t=F→0，由此可知，常數變易的兩個條件應為

∑6j=1f→cjdcjdt=0

∑6j=1g→cjdcjdt=F→ε(3.10)

這是關於dcjdt的代數方程組，其係數f→\/cj和g→\/cj都是cj和t的已知函數，這些偏導數在第2章中均已給出。原則上可由這一方程組導出dcj\/dt的顯形式：

dcjdt=f(c1,…,c6,t;ε),j=1,2,…,6(3.11)

此即所需要的攝動運動方程。但上述關於dcj\/dt的線性代數方程組(3.10)的係數f→\/cj和g→\/cj比較繁雜，直接推導很麻煩，在一些天體力學書籍［1～2］中有詳細的推導過程，推導方法大致可分為兩類，一類是針對保守力以攝動函數

R的偏導數形式

(R\/σ)代替攝動加速度F→ε進行推導，另一類則是直接以攝動加速度F→ε的三個分量形式（如徑向、橫向和軌道麵法向分量）進行推導。作者曾在本章參考文獻[3]和[4]中給出了後一類形式的簡單推導方法，讀者如有需要，可閱讀這兩篇文獻之一中的有關內容，下一節將直接列出結果。

在列出受攝運動方程的具體形式之前，有一個重要概念問題必須作一闡明。關於常數變易的含義及其在求解受攝運動方程中的作用，其最主要的一點是：無攝運動解的表達形式（3.4）和（3.5），即第2章中的表達式（2.33）和（2.42），仍適用於受攝運動，它是受攝運動的瞬時根數與位置矢量和速度矢量之間的一個嚴格關係式，所不同的隻是無攝運動中cj(j=1,2,…,6)是常數，而在受攝運動中，cj=cj(t)是時間

t的函數。既然如此，受攝運動的軌道即可看成一個變化的橢圓（或二次圓錐曲線），第2章中給出的橢圓運動的各種幾何關係和偏導數關係，在受攝運動中全部成立。但要注意，對時間

t的導數卻不再成立，特別是麵積積分的形式應正確地理解為

r2θ·=μa(1－e2)

θ·=f·+ω·+Ω·cosi(3.12)

隻是在無攝運動中ω·=0,Ω·=0，該積分才退化為二體問題中的表達形式（2.26）：

r2f·=h=μa(1－e2)

3.2攝動運動方程的幾種常用形式

3.2.1攝動加速度(S,T,W)和(U,N,W)型表達的攝動運動方程

在有些情況下，攝動力並非保守力，即便是保守力，亦可采用攝動加速度分量的形式來建立相應的攝動運動方程。通常是將(3.1)式中的攝動加速度F→ε分解成徑向、橫向和軌道麵法向三分量，依次記為

S,T,W；或分解成切向、主法向和次法向（即軌道麵法向）三分量，分別記為U,N,W。(S,T)與(U,N)之間的轉換關係如下：

S=esinf1+2ecosf+e2U－1+ecosf1+2ecosf+e2N

T=1+ecosf1+2ecosf+e2U+esinf1+2ecosf+e2N(3.13)

因此，容易由(S,T,W)型方程轉換成(U,N,W)型方程。

直接由攝動加速度構造的形式統稱為高斯（Gauss）型攝動運動方程，下麵列出相應的具體表達形式。

(1)　(S,T,W)型攝動運動方程

dadt=2n1－e2[Sesinf+T(1+ecosf)]

dedt=1－e2na[Ssinf+T(cosf+cosE)]

didt=rcosuna21－e2W

dΩdt=rsinuna21－e2siniW

dωdt=1－e2nae－Scosf+T1+rpsinf－cosidΩdt

dMdt=n－1－e2nae－Scosf－2erp+T1+rpsinf(3.14)

其中u=f+ω,p=a(1－e2)，f和E分別為真近點角和偏近點角。

(2)　(U,N,W)型攝動運動方程

dadt=2n1－e2(1+2ecosf+e2)1\/2U

dedt=1－e2na(1+2ecosf+e2)－1\/2[2(cosf+e)U－(1－e2sinE)N]

dωdt=1－e2nae(1+2ecosf+e2)－1\/2[(2sinf)U+(cosE+e)N]－cosidΩdt

dMdt=n－1－e2nae(1+2ecosf+e2)－1\/22sinf+2e21－e2sinEU+(cosE－e)N(3.15)

其中didt和dΩdt與(3.14)式中的表達相同。

關於S,T,W三分量如何給出，這要根據具體攝動源的狀況而定。如果不易直接給出，那麼當攝動力是保守力，並已知攝動函數

R的形式，則可由下列關係式給出S,T,W：

S=Rr,T=1rRθ=1rRu,W=Rz=1rsinuRi(3.16)

若F→ε的直角坐標分量

F→1x,F→1y,F→1z容易給出，則可由下列轉換關係導出S,T,W：

S

T

W=(ZH)F→1x

F→1y

F→1z(3.17)

轉換矩陣(ZH)由三次旋轉構成：(ZH)=Rz(u)Rx(i)Rz(Ω)，其具體形式為

(ZH)=Rz(u)Rx(i)Rz(Ω)=l1m1n1

l2m2n2

l3m3n3

=cosucosΩ+sinu(－sinΩcosi)cosusinΩ+sinu(cosΩcosi)sinusini

－sinucosΩ+cosu(－sinΩcosi)－sinusinΩ+cosu(cosΩcosi)cosusini

sinΩsini－cosΩsinicosi(3.18)

於是，由F→ε到(S,T,W)的轉換公式即可寫成

S=F→ε·r∧,T=F→ε·t∧,W=F→ε·w∧(3.19)

其中r∧,t∧,w∧分別為徑向、橫向和軌道麵法向單位矢量，有

r∧=cosu(cosΩ)+sinu(－cosisinΩ)

cosu(sinΩ)+sinu(cosicosΩ)

sinu(sini)=cosuP∧+sinuQ∧(3.20)

t∧=－sinuP+cosuQ∧(3.21)

w∧=sinisinΩ

－sinicosΩ

cosi=P∧×Q∧(3.22)

這裏的

P∧和

Q∧與第2章中的

P∧和

Q∧方向不同（見（2.39）和（2.40）式），其表達式為

P∧=cosΩ

sinΩ

0,Q∧=－cosisinΩ

cosicosΩ

sini(3.23)

3.2.2攝動函數表達的R\/σ型攝動運動方程

如果攝動力是保守力，則相應的攝動加速度F→ε可由下式表達：

F→ε=grad(R)(3.24)

這裏的

R即攝動函數，一般有R=R(r→,t;ε)，其形式由具體的攝動源所確定。

關於R\/σ型的攝動運動方程，容易由S,T,W型攝動運動方程轉換而得。略去這一轉換過程，直接列出其具體形式如下：

dadt=2naRM

dedt=1－e2na2eRM－1－e2na2eRω

didt=1na21－e2sinicosiRω－RΩ

dΩdt=1na21－e2siniRi

dωdt=1－e2na2eRe－cosidΩdt

dMdt=n－1－e2na2eRe－2naRa(3.25)

對存在

R的情況，原是直接利用常數變易原理導出，稱為拉格朗日（Lagrange）型攝動運動方程。由於直接推導很麻煩，從實用角度來看，無需再去了解這一具體推導過程。

攝動運動方程（3.25）式有一明顯特點：在前三個方程的右端項中，隻涉及R\/(Ω,ω,M)，而在後三個方程的右端項中卻隻涉及R\/(a,e,i)，具有一種“對稱性”，這也是三個角變量Ω,ω,M與三個角動量a,e,i之間的差別，特別是角變量中的快變量M，其變化的快慢主要由運動天體的平運動角速度n=μa－3\/2所確定。

3.2.3攝動運動方程的正則形式

對於Hamilton係統，采用分析力學方法建立相應的攝動運動方程是很容易的，當采用正則共軛變量，如德洛納（Delaunay）變量L,G,H,l,g,h時，相應的攝動運動方程的形式極其簡單，有一種共軛對稱性，即

dLdt=Fl,dldt=－FL

dGdt=Fg,dgdt=－FG

dHdt=Fh,dhdt=－FH(3.26)

其中

F為Hamilton函數，與常用的Hamilton函數K（區別於變量H）相差一負號，即

F=－K=μ22L2+R(3.27)

因此，方程（3.26）亦與常用形式相差一負號。這裏的L,G,H為矩（角動量），相當於廣義動量p，而l,g,h為角變量，相當於廣義坐標q。它們與橢圓軌道根數之間的關係如下：

L=μa,l=M

G=μa(1－e2),g=ω

H=μa(1－e2)cosi,h=Ω(3.28)

由此不難看出，容易由方程（3.26）利用關係（3.28）導出前麵的以軌道根數作為基本變量的拉格朗日型攝動運動方程（3.25）。從這一聯係來看，盡管Hamilton力學主要用於相關的理論研究領域，但為了解決實際應用問題，了解上述基本原理以及與常用變量之間的關係還是有必要的。

3.2.4攝動運動方程的奇點與處理方法

從攝動運動方程（3.14）,（3.15）或（3.25）式可以看出，dωdt和dMdt的右端含有因子1e，而dΩdt和dωdt的右端含有1sini，因此，e=0和sini=0（即i=0或180°）是攝動運動方程的奇點。它將在下麵一章的攝動解中反映出來，當e≈0，i≈0或180°時，解就將失效，但是，相應的運動仍然是正常的，例如近圓軌道顯然是存在的。這一小e、小i問題的產生，是由於相應基本變量的選擇不當引起的。因為當e=0時，ω不確定，與之有關的M也隨之不確定；而當i=0或180°時，Ω不確定，與之有關的ω亦隨之不確定。這種選擇不當，在上述方程中必然要反映出來，隻要改變相應變量的選擇，即可消除上述奇點。

（1）　適用於任意偏心率

(0≤e<1)的攝動運動方程

引進下述變量

a,i,Ω,ξ=ecosω,η=esinω,λ=M+ω(3.29)

對

e=0而言是一組無奇點變量，顯然，當

e=0時，

ξ,η,λ均是有意義的。

按定義（3.29）和下列關係

dξdt=cosωdedt－esinωdωdt

dηdt=sinωdedt+ecosωdωdt

dλdt=dMdt+dωdt(3.30)

即可導出以新變量表達的無奇點攝動運動方程，其形式如下：

1）　R\/σ型

dadt=2naRλ

didt=1na21－e2sinicosiξRη－ηRξ+Rλ－RΩ

dΩdt=1na21－e2siniRi

dξdt=－1－e2na2Rη－ξ1－e2na2(1+1－e2)Rλ+ηcosidΩdt

dηdt=1－e2na2Rξ－η1－e2na2(1+1－e2)Rλ－ξcosidΩdt

dλdt=n－2naRa+1－e2na2(1+1－e2)ξRξ+ηRη－cosidΩdt(3.31)

2)　S,T,W型

dadt=2n1－e2S(ξsinu－ηcosu)+Tpr

dξdt=1－e2naSsinu+T1－e2(cosu~+1－e2cosu)－ξ1+1－e2(ξcosu~+ηsinu~)

+ηcosidΩdt

dηdt=－1－e2naScosu－T1－e2(sinu~+1－e2sinu)－η1+1－e2(ξcosu~+ηsinu~)

－ξcosidΩdt

dλdt=n－1－e2na2S1－e2rp+11+1－e2[S(ξcosu+ηsinu)

－T1+rp(ξsinu－ηcosu)－cosidΩdt(3.32)

其中

u~=E+ω。

di\/dt和

dΩ\/dt同（3.14）中的形式。

上述變換過程中用到

1－1－e2=e2\/(1+1－e2)(3.33)

在新方程中已不再出現因子

1\/e，即

1\/ξ2+η2。

關於

ξ,η的選擇，在原1998年南京大學出版社出版的《天體力學方法》教材［4］和相關的文章中曾采用過下列形式：

ξ=ecosω,η=－esinω(3.34)

多年前在作者的相關工作和文字材料中已改為上述(3.29)式的形式，並已在相關工作中正式采用。讀者如果仍要按原選擇引用相應的計算公式，隻要把本書的

η全部改作

(-η)即可。

（2）　適用於任意偏心率（0≤e<1）和傾角（0≤i<180°）的攝動運動方程

下述變量

a,e,h=sini2cosΩ,k=sini2sinΩ,ω~=ω+Ω,M(3.35)

對

i=0而言是一組無奇點變量，顯然，當

i=0時，

h,k,ω~是有意義的。一般不會出現

i=180°情況，而同時出現

e=0和

i=0的情況是有的，為此引進下述無奇點變量：

a,h=sini2cosΩ,k=sini2sinΩ

ξ=ecosω~,η=esinω~,λ=M+ω~(3.36)

其中

ω~=ω+Ω(3.37)

相應地有

dhdt=12cosi2cosΩdidt－sini2sinΩdΩdt

dkdt=12cosi2sinΩdidt+sini2cosΩdΩdt

dξdt=cos(ω+Ω)dedt－esin(ω+Ω)dωdt+dΩdt

dηdt=sin(ω+Ω)dedt+ecos(ω+Ω)dωdt+dΩdt

dλdt=dMdt+dωdt+dΩdt(3.38)

針對實際應用情況，下麵列出S,T,W型的無奇點攝動運動方程：

dadt=2n1－e2S(ξsinu－ηcosu)+Tpr(3.39)

dξdt=1－e2naSsinu+T(cosu~+cosu)－η1－e2(1+1－e2)(ξsinu~－ηcosu~)

+Wrp－ηcos(i\/2)(hsinu－kcosu)(3.40)

dηdt=1－e2na－Scosu+T(sinu~+sinu)+ξ1－e2(1+1－e2)(ξsinu~－ηcosu~)

+Wrpξcos(i\/2)(hsinu－kcosu)(3.41)

dhdt=1－e22nacos(i\/2)Wrp[cosu－h(hcosu+ksinu)](3.42)

dkdt=1－e22nacos(i\/2)Wrp[sinu－k(hcosu+ksinu)](3.43)

dλdt=n－1－e2na2S1－e2rp+11+1－e2S(ξcosu+ηsinu)－T1+rp(ξsinu－ηcosu)

－Wrphsinu－kcosucos(i\/2)(3.44)

上述各方程的右端，一些中間量n,e2,p,sin2i,u~=E+ω~,u=f+ω~,…的計算公式如下：

n=μa－3\/2(3.45)

e2=ξ2+η2(3.46)

p=a(1－e2)(3.47)

sin2i2=h2+k2,cosi=1－2(h2+k2),cosi2=［1－(h2+k2)］1\/2(3.48)

u~－λ=ξsinu~－ηcosu~(3.49)

ar=[1－(ξcosu~+ηsinu~)]－1(3.50)

sinu=ar(sinu~－η)－ξ1+1－e2(ξsinu~－ηcosu~)

cosu=ar(cosu~－ξ)+η1+1－e2(ξsinu~－ηcosu~)(3.51)

右函數中的攝動加速度S,T,W三個分量可由攝動加速度F→ε構成，轉換如下：

S=F→ε·r∧,T=F→ε·t∧,W=F→ε·w∧(3.52)

r∧=cosuP∧*+sinuQ∧*(3.53)

t∧=－sinuP∧*+cosuQ∧*(3.54)

w∧=r∧×t∧(3.55)

其中單位矢量P∧,Q∧由下式表達：

P∧*=1－2k2

2hk

－2kcosi2(3.56)

Q∧*=2hk

1－2h2

2hcosi2(3.57)

相應地有

w∧=2kcosi2

－2hcosi2

cosi(3.58)

r→=rr∧(3.59)

r→·=μp[－(sinu+η)P∧*+(cosu+ξ)Q∧*](3.60)

（3）　無奇點正則共軛變量

隻要變量選擇不當，小e和小i問題在正則運動方程中同樣要出現，下麵列出一組無奇點正則共軛變量，即消除奇點e=0的正則共軛變量(L~,G~,H~,l~,g~,h~)：

L~=L,l~=l+g

G~=2(L－G)cosg,g~=2(L－G)sing

H~=H,h~=h(3.61)

其中

2(L－G)=[L2\/(L+G)]e(3.62)

這組無奇點變量與前麵由（3.29）式定義的那一組相對應。（3.61）式和（3.62）式中出現的

L,G,H,l，g,h即原德洛納變量。

這裏不再列出由上述無奇點正則共軛變量表達的攝動運動方程，因為在求解攝動運動方程時，若采用正則共軛變量，其解法主要是變換方法，通常是在一些理論研究問題中引用，讀者如有需要，可參閱本章參考文獻[3~6]中的有關內容。

3.3構造小參數冪級數解的攝動法

3.3.1小參數方程

經常數變易法的處理，原受攝運動方程

r¨→=F→0+F→ε(3.63)

的求解問題已轉化為相應的攝動運動方程

dσdt=fε(σ,t,ε)(3.64)

的求解問題。這裏

σ表示一6維矢量，6個分量即瞬時軌道根數，或相應的正則共軛變量，或上一節引進的無奇點變量。右函數

fε則是6維矢量函數，有

|(fε)i|=O(ε)1,i=1,2,…,6(3.65)

原受攝運動問題的解將由兩部分組成，即

r→=r→(σ,t),r→·=r→·(σ,t)(3.66)

σ(t)=σ(σ0,t0;t,ε),σ(t0)=σ0(3.67)

其中

r→和

r→·的表達式是已知的，即第二章中的（2.33）和（2.42）式，它們對應於一個瞬時橢圓，

σ0即

t0時刻橢圓根數或相應變量的初值。剩下的問題是如何求解小參數方程（3.64），給出攝動解

σ(t)。

盡管方程（3.64）式是複雜的非線性方程組，但其右端為小量（對應小參數

ε），給出相應的小參數冪級數解並不困難，已有成熟的方法，即攝動法。為了讓讀者深入了解攝動法的原理，以便學習後麵幾章要介紹的針對航天器軌道力學中出現的各種解法，有必要在天體力學基礎上對小參數冪級數解的存在性以及如何構造相應級數解的基本過程作一簡要闡述。

3.3.2小參數冪級數解的存在性

這是常微分方程分析理論中的一個基本問題。與天體力學密切相關的一個基本定理，即邦加雷（Poincaré）定理，敘述如下：

設小參數方程

dxidt=Xi(x1,x2,…,xn,t;ε),i=1,2,…,n(3.68)

的右函數

Xi在

0≤t

t連續且可展為

x及

ε的收斂冪級數，則此方程組的解

xi=fi(t,ε)當0≤t≤t1，

ε充分小時，可展為小參數

ε的收斂冪級數，t1滿足下列條件：

αε(1+αε)2exp(nαMt1)<14(3.69)

其中

M是右函數

Xi在所討論區間上的最大值，

α是與變量

xi有關的實數。

這一收斂條件可看成相應冪級數解的收斂範圍，對於運動天體而言，可理解為該級數解在天體運動弧段

s滿足下列條件時是有意義的，即

s～1ε(3.70)

這裏改用弧段

s=nt1，是因為

t涉及不同的時間尺度和運動速度的快慢，無“統一”的定量意義，而運動弧段

s能明確反映軌道運動延續的尺度。攝動小參數

ε愈小，冪級數解的收斂區間就愈大，這是容易理解的。在收斂區間內，可具體構造相應的冪級數解，這樣構造的冪級數解雖然隻能反映運動天體在局部區間的運動特征，但已能解決實際問題。至於運動的全局結構，已不是本書所涉及的內容。

3.3.3小參數冪級數解的構造——攝動法

如果第六個根數采用

τ或

M0=-nτ，則方程（3.64）式右函數

fε的6個元素的量級均為

O(ε)，即滿足（3.65）式。然而，通常第六個根數是采用平近點角

M，那麼上述右函數

fε的第6個元素含有一項n=μa－3\/2=O(ε0)，這時方程（3.64）應改寫成下列形式

dσdt=f0(a)+f1(σ,t,ε)(3.71)

其中

f0(a)=δn

δ=0

0

0



1=(000001)T(3.72)

|f1i(σ,t,ε)|=O(ε),i=1,2,…,6(3.73)

這裏將原

fε改寫成f1是為了方便表達攝動量的階，即f1=O(ε),f2=O(ε2),…，方程（3.71）式的右端增加f2=O(ε2),…，並不影響下麵的論述。

方程（3.71）式的小參數冪級數解的形式為

σ(t)=σ(o)(t)+Δσ(1)(t,ε)+Δσ(2)(t,ε2)+…+Δσ(l)(t,εl)+…

Δσ(l)(t,εl)=εlβl(t),l=1,2,…(3.74)

其中

σ(o)(t)是對應

ε=0的無攝運動解，即

σ(o)(t)=σ0+δn0(t－t0)(3.75)

或具體寫成

a(0)(t)=a0,e(0)(t)=e0,i(0)(t)=i0,

Ω(0)(t)=Ω0,ω(0)(t)=ω0

M(0)(t)=M0+n0(t－t0)(3.76)

其中

σ0(a0,e0,i0,Ω0,ω0,M0)是曆元（即初始時刻）

t0的根數。不難看出，對

ε展開的小參數冪級數解（3.74），實際上就是解

σ(t)在參考軌道無攝運動解σ(o)(t)“處”的展開式。

Δσ(l)(t,εl)即

l階攝動變化項，簡稱

l階攝動項。將形式解（3.74）代入方程（3.71）得

ddt[σ(o)+Δσ(1)+Δσ(2)+…+Δσ(l)+…]

=f0(a)+f0a[Δa(1)+Δa(2)+…]+122f0a2[Δa(1)+…]2+…

+f1(σ,t,ε)+∑6j=1f1σj[Δσ(1)j+Δσ(2)j+…]

+12∑6j=1∑6k=12f1δjδk[Δσ(1)j+…][Δσ(1)k+…]

+…(3.77)

該式右端各項中出現的根數

σ均應取參考軌道

σ(o)(t)。若級數解（3.77）收斂（該收斂性前麵已有說明），則可比較展開式（3.77）兩端同次冪

(εl)的係數，於是得

σ(o)(t)=σ0+δn0(t－t0)

Δσ(1)(t)=∫tt0δnaΔa(1)+f1(σ,t,ε)1σ(o)dt

Δσ(2)(t)=∫tt0δnaΔa(2)+122na2(Δa(1))2+∑jf1σjΔσ(1)jσ(o)dt

…(3.78)

顯然，這是一個有效的遞推過程：由低階攝動項求高階攝動項。將

f1(σ,t,ε)1的具體形式代入後，即可給出解（3.74）中各階攝動項的表達式，從而構造出攝動運動方程（3.71）的小參數冪級數解。這一構造級數解的方法，即攝動法。

下麵舉一簡單例子，以體現上述采用攝動法構造級數解的具體過程。

例：用攝動法求解下列二階小參數方程

x··+ω2x=－εx3,ε1(3.79)

其中

ω>0是實常數。

解：當

ε=0時，無攝運動方程

x··+ω2x=－εx3,ε1(3.80)

的解為

x=acos(ωt+M0)

x·=－ωasin(ωt+M0)(3.81)

這裏初始時刻

t0=0，積分常數

a和

M0相當於兩個無攝根數。

當

ε≠0時，用常數變易法建立相應的攝動運動方程，相應的常數變易滿足下列條件：

xaa·+xM0M·0=0

x·aa·+x·M0M·0=－εx3(3.82)

由此導出攝動運動方程如下：

a·=εωa314sin2M+18sin4M=(f1)a

M·=ω+M·0

=ω+εωa238+12cos2M+18cos4M=ω+(f1)M(3.83)

其中

M=M0+ωt，它代替了

M0，該方程的小參數冪級數解即

σ(t)=σ(o)(t)+Δσ(1)(t)+…

σ(o)(t)=a0

M0+ωt(3.84)

因

ω=const，於是由

Δσ(1)(t)=∫t0[f1(σ,t,ε)]σ(0)dt(3.85)

積分得

Δa(1)(t)=εω2a3－18cos2M－132cos4Mt0

ΔM(1)(t)=εω2a238ωt+14sin2M+132sin4Mt0(3.86)

二階攝動項的推導公式為

Δa(2)(t)=∫t0(f1)aaΔa(1)+(f1)aMΔM(1)σ(0)dt

ΔM(2)(t)=∫t0(f1)MaΔa(1)+(f1)MMΔM(1)σ(0)dt(3.87)

將

Δσ(1)代入後積分即得二階攝動項

Δa(2)和

ΔM(2)。不難看出，由於

ΔM(1)中含有

ωt這種項，那麼求

Δσ(2)(t)時，將會出現下列形式的積分：

∫t0sinkM

coskMωtdt,k=0,1,…(3.88)

這正是攝動法在軌道力學中用來求解攝動運動方程時應重視的問題。

3.3.4周期項和長期項

如果攝動力是保守力，在有限時間間隔內，通常

a,e,i僅有周期變化，

Ω,ω有隨時間的長期變化，但比近點角

M（或

E,f）的變化緩慢得多，因為

M是直接反映運動天體繞中心天體運動的位置根數，而

Ω和

ω的變化僅僅是由攝動作用引起的。故通常稱

a,e,i為“不變量”，

Ω和

ω為慢變量，而M

（或

E,f）為快變量。在上述情況下，各階攝動變化

Δσ(1),Δσ(2),…中一般包含三種性質不同的項：長期項、長周期項和短周期項，長期項是

（t-t0)的線性函數或多項式，其係數僅是

a,e,i的函數，長周期項是

Ω或

ω的三角函數，而短周期項則是

M的周期函數（亦是三角函數）。對於短周期項，也會因某種通約因素而導致其轉化為長周期項（下麵一章的有關內容將會討論它）。另外，還有形如(t-t0)sin(At+B)和

(t-t0)·cos(At+B)等形式的混合項，亦稱泊鬆（Poisson）項，上一小節最後提到的（3.88）式類型的積分就可能導致這種混合項的出現。

從上一小節用攝動法構造級數解的過程和例子中不難看出，即使攝動力為保守力，也會導致

ε(t-t0),ε2(t-t0)2,…這種多項式型的長期項的出現，而且與

ω或

Ω有關的長周期項將會變為長期項或泊鬆項。由於參考軌道取無攝運動解

σ(o)(t)，那麼將會有如下形式的攝動項出現：

∫tt0cosω0dt=cosω0(t－t0)(3.89)

再按（3.78）式表達的攝動解的構造過程，即可導致(t－t0)2,(t－t0)3,…這種類型的長期項或泊鬆項的出現。而若積分時，ω取為ω-=ω-0+ω·(t－t0)，讓其代替ω(0)(t)=ω0，則上述積分將變為下列形式：

∫tt0cosω-dt=sinω-ω·tt0(3.90)

此為長周期項，就不會出現上麵提到的那類攝動項。從定性角度看，當攝動力為保守力時，通常

a,e,i是沒有長期變化的，若按上述經典攝動法來構造攝動解，即會導致

a,e,i出現長期變化，這就“歪曲”了軌道變化的性質。即使從定量角度來看，雖然對於短弧而言無關緊要，但對於長弧情況，長周期項與長期項的差別將會明顯，這將影響解的精度。因此，對於某些實際問題（特別是軌道變化相對較快的人造地球衛星的有關問題），采用參考軌道為無攝運動解的經典攝動法來構造相應的攝動分析解，無論是從定性角度來看，還是從定量角度來看，均有明顯的不足之處，對它進行改進是有必要的，下麵幾節將具體闡述該相關內容。

3.4攝動法的改進——平均根數法

第3章3.3.4小節中已指出，對於衛星軌道運動而言，特別是解決某些實際應用問題，采用無攝運動解作為參考軌道的經典攝動法，構造相應的攝動分析解有明顯的不足之處，事實上，二十世紀人造地球衛星上天後，各種改進方法就相繼出現。改進的基礎就是非線性力學中的平均法和天體力學中早已出現過的變換方法（即當時針對保守力係統建立在Hamilton力學基礎上的正則變換方法）。

本書將要介紹的幾種改進方法，相應的參考軌道不再是對應初始橢圓軌道(對衛星運動而言)的無攝運動解σ(o)(t0)，而是一種“長期”進動橢圓，相應的軌道根數是帶有長期變化的所謂平均根數

σ-(t)，或同時包含長期變化和長周期變化的擬平均根數σ-′(t),由此獲得的攝動解的結構並不複雜，其包含的各類周期項均由簡單的三角函數構成。這種改進的實質，即將攝動變化項按其不同性質區分開，以解除經典攝動法中所遇到的問題，但其構造相應攝動分析解的原理和具體過程，仍舊遵循經典攝動法的全部理論依據，因此，它顯然不同於通常意義下的中間軌道，後者往往會導致相應軌道解的結構極其複雜。

3.4.1平均根數法的引入

關於采用平均根數法構造衛星受攝運動軌道解的工作，可以說首先是由日本天文學家古在由秀（Kozai）完成的［8］，盡管當初他的結果還不夠完善，但他的工作在早期人造地球衛星軌道及有關工作中起了很大作用。本章要介紹的平均根數法，是作者在其工作基礎上作了一些必要的改進，包括參考解的明確提出，對平均根數的嚴格處理（按定義分清不同性質的變化），以及軌道半長徑a的長周期變化a(1)l(t),a(2)l(t)的嚴格導出等［3~5］，使該方法得以完善。

引入平均軌道作為參考軌道，既有非線性力學中平均法的思想，同時也是變換方法的一種“直觀”體現，但從應用角度考慮，本書不再介紹變換方法，讀者如有需要，可參閱本章給出的參考文獻[3]~[7]中的有關內容。

仍記

σ=(a,e,i,Ω,ω,M)T(3.91)

相應的攝動運動對應的初值問題為

dσdt=f0(a)+fε(σ,t,ε)

σ0=σ(t0)(3.92)

其中

f0(a)=δn,n=μa－3\/2(3.93)

δ=(000001)T(3.94)

這裏引用符號δ是為了區分a,e,i,Ω,ω五個根數與複合根數M的差別，該根數的變化包含了0階攝動部分，對應原“無攝運動”，而fε(σ,t,ε)即對應攝動部分。

現將根數的攝動變化Δσ(1),Δσ(2),…，按其性質分解成長期變化、長周期變化和短周期變化三部分（定義見第3.3.4小節），分別記作σ1(t－t0),…,Δσ(1)l,…,Δσ(1)s,…，而方程組（3.92）的小參數冪級數解的形式改為下列形式：

σ(t)=σ-(t)+σ(1)l+…+σ(1)s+…(3.95)

其中

σ-(t)=σ-(0)(t)+σ1(t－t0)+σ2(t－t0)+…(3.96)

σ-(0)(t)=σ-0+δn-(t－t0)(3.97)

σ-0=σ-(t0)=σ0－[σ(1)l(t0)+…+σ(1)s(t0)+…](3.98)

此即一個收斂冪級數中相關項的重新組合，原攝動變化Δσ(1)(t),Δσ(2)(t),…，不僅按其變化性質分為不同部分，還改為以攝動項表達的形式，即原

Δσ(1)l(t)=σ(1)l(t)－σ(1)l(t0),Δσ(1)s(t)=σ(1)s(t)－σ(1)s(t0),…

在表達式（3.95）中隻出現σ(1)l(t),…,σ(1)s(t),…，而σ(1)l(t0),…,σ(1)s(t0),…，已按（3.98）式從σ0中消去。這樣的分解就使得σ-(t)隻包含長期變化，故稱其為平均軌道根數，簡稱平均根數，或平根數。

平均根數法就是采用σ-(t)作為其參考解，顯然，σ-(t)對應的仍是一個橢圓軌道，但它不再是一個不變的橢圓軌道，而是一個包含長期攝動變化的橢圓軌道，確實不是通常意義下的中間軌道。在保守力攝動下，它將是一個長期進動橢圓，原橢圓運動的各種幾何關係式對它仍適用，這就表明，平均根數法仍是建立在受攝二體問題基礎上的一種攝動法，可以稱其為改進的攝動法。

3.4.2橢圓運動中有關量的平均值

有些量無法直接得出其隨時間的變化性質，如ar，cosf等，它們是f的周期函數，但對時間t積分時，在一個運動周期內的累積效果並不為零（除非偏心率e=0）。那麼，為了區分一個函數的變化性質，需要采用對時間t求平均值的方法來加以區分。

任一函數F(t)，在一個運動周期T內的平均值F定義為

F=1T∫T0F(t)dt(3.99)

若記Fs和Fc分別為周期項和非周期項，則顯然有

Fc=F,Fs=F－F(3.100)

於是，可用對一個運動周期求平均值的方法將周期項分離出來，相應的函數F(t)即被分解成兩個部分：

F(t)=Fc+Fs(3.101)

從上述過程可以清楚地看出，在求積分(3.99)時，無論用什麼方法，都不會影響由(3.100)式和(3.101)式表示的函數分解結果的嚴格性。因此，盡管這一分解是針對采用相應方法求解運動天體軌道攝動變化的需要，可這裏計算積分(3.99)時卻能采用橢圓運動關係。當然，考慮攝動時，運動周期T及所有橢圓軌道根數均要發生緩慢的變化，但它不會改變周期項Fs的基本特征。因此，上述分解不僅嚴格，而且仍能保持原分解的力學意義。

處理橢圓軌道攝動變化時所涉及的攝動力，有各種各樣的函數形式，但需要通過求平均值來分離周期項的，基本上有下麵四類：

arpsinqf,arpcosqf,

arp(f－M)sinqf,arp(f－M)cosqf,p,q=0,1,2,…

首先用幾個實例來介紹求平均值的基本方法以及平均值的特征，並借此熟悉一下前麵所介紹的各種橢圓關係式的具體應用。

(1)　p=0,q=1對應的sinf和cosf

sinf=1T∫T0sinfdt=12π∫2π0sinfdM

=12π∫2π0sinfradE=12π∫2π01－e2sinEdE=0

(3.102)

cosf=1T∫T0cosfdt

=12π∫2π0cosfradE=12π∫2π0(cosE－e)dE=－e

(3.103)

(2)　p=3,q=0對應的ar3

ar3=1T∫T0ar3dt=12π(1－e2)－1\/2∫2π0ardf

=12π(1－e2)－3\/2∫2π0(1+ecosf)df=(1－e2)－3\/2

(3.104)

(3)　p=－1,q=0對應的ra

ra=1T∫T0radt=12π∫2π0ra2dE=12π∫2π0(1－ecosE)2dE=1+12e2(3.105)

上述三個例子，一方麵可使我們看出求平均值的方法，基本上是引用時間t與近點角E，f之間的變換和相應的幾何關係；另外，還可以看出對什麼量求平均值很重要，例如cosf對f的平均值顯然為零，而對t的平均值卻是－e，這正說明橢圓運動的不均勻性。

利用上述方法，直接給出這四類函數平均值的一般表達式，以供讀者查用，結果如下：

arpsinqf=0(p,q=0,1,2,…)(3.106)

cosqf=(1+q1－e2)－e1+1－e2q(q=0,1,2,…)(3.107)

arcosqf=－e1+1－e2q(q=0,1,2,…)(3.108)

arpcosqf=0(p≥2,q≥p－1)

－(1－e2)－(p－3\/2)∑(p－2)－δn(2)=qp－2

nn

12(n－q)e2n(p≥2,q

0是實常數。上一章已給出無攝運動解，即

x=acos(ωt+M0)

x·=－ωasin(ωt+M0)

M=M0+ωt(3.128)

相應的攝動運動方程為

a·=εωa314sin2M+18sin4M

M·=ω+εωa238+12cos2M+18cos4M(3.129)

現用平均根數法解方程，其形式改寫為

a·=(f1s)a

M·=(f0)M+(f1c)M+(f1s)M(3.130)

其中

(f1s)a=εωa314sin2M+18sin4M(3.131)

(f0)M=ω=const

(f1c)M=εωa238

(f1s)M=εωa212cos2M+18cos4M(3.132)

按平均根數法構造級數解的過程（3.122）～（3.127）式，首先有

a-(0)(t)=a-0

M(0)(t)=M0+ω(t－t0)(3.133)

由此積分（3.123）和（3.124）式給出

a1(t－t0)=0

M1(t－t0)=εω2a-2038ω(t－t0)(3.134)

a(1)s(t)=εω2(1+M1\/ω+…)a-30－18cos2M－132cos4M

M(1)s(t)=εω2(1+M1\/ω+…)a-2014sin2M+132sin4M(3.135)

a2(t－t0)=∫tt0(f1s)aaa(1)s(t)+(f1s)aMM(1)s(t)cdt=0

M2(t－t0)=∫tt0(f1s)Maa(1)s(t)+(f1s)MMM(1)s(t)cdt=εω2a-202－51256ω(t－t0)(3.136)

由於M1\/ω=O(ε)，那麼a(1)s(t)和M(1)s(t)右端的分母ω2(1+M1\/ω+…)，在準到一階周期項時，可直接寫成ω2。

從上列各階攝動項的表達式可以看出，解的結構比上一章攝動法給出的簡單，而且不會出現形如（3.89）式的積分，即不會導致泊鬆項（或稱混合項）的出現，解的形式為

a(t)=a-0+a(1)s(t)+…

M(t)=M0+ω(t－t0)+(M1+M2+…)(t－t0)+M(1)s(t)+…(3.137)

3.4.5關於平均根數法的兩點注解

前麵第3.4.1小節中已指出，對於古在由秀采用平均根數法構造衛星軌道攝動解的一些細節，特別是a(1)l(t)=0的一般性和a(2)l(t)的具體導出問題，有必要作進一步的闡明。

(1)　a(1)l(t)=0的證明

考慮定常保守係統，它對應一定常Hamilton係統，即使非定常情況亦無妨，因為總可用正則擴充的辦法轉化為定常係統。對於引力攝動，受攝二體問題對應的Hamilton函數為

H=12v2－V(3.138)

其中V，包含中心天體的質點引力位和各種攝動位，由於攝動力是保守力，則有

V=μr+R(r,ε)(3.139)

μ=G(m0+m)，R即相應的攝動函數。對於受攝二體問題，活力積分仍成立，即

v2=μ2r－1a

代入（3.138）式得

H=－μ2a－R(3.140)

該力學係統存在一積分（能量積分）

μ2a+R=C(3.141)

該積分在參考解σ-(t)展開，並將不同性質的項分開，有

“常數項”：μ2a-+(R1c+R2c+…)+…=C(3.142)

一階長周期項：aμ2a[a(1)l(t)]+R1l=0(3.143)

一階短周期項：aμ2a[a(1)s(t)]+R1s=0(3.144)

………

由於f1l=0，而攝動運動方程的這一f1l又是由R1l\/σ形成的，那麼必有R1l=0，因此

aμ2a[a(1)l(t)]=0

顯然，aμ2a≠0，故證得：a(1)l(t)=0。

(2)　構造地球非球形引力扁率項J2攝動解中a(2)l(t)的導出問題

關於作者在古在由秀工作基礎上所作的改進之一：采用平均根數法構造人造地球衛星在地球非球形引力扁率項J2攝動下的軌道解中，嚴格按平均根數的定義給出軌道半長徑a的二階長周期項a(2)l(t)，在此前提下完整地構造出相應的衛星軌道攝動解，從而使平均根數法得以完善，具體推導a(2)l(t)的簡要說明如下：

對於第六個根數M的相應解，推導M(1)l(t)中要用到a(2)l(t)，直接按前麵第3.4.3小節構造攝動解(3.121)的過程，需要展開到三階項，其麻煩的程度不容多說。同樣采用上麵第(1)小段的類似方法，仍以σ-(t)作為參考解，在此統一定義下，利用能量積分就可以簡單地推出a(2)l(t)，具體結果為

a(2)l(t)=3J22p22a1－e2

×－16sin2i(4－5sin2i)cos2f+e2sin2i1712－198sin2icos2ω

+e41－e273sin2i1－32sin2icos2ω+132sin4icos4ω(3.145)

其中

cos2f=1+21－e2(1+1－e2)2e2(3.146)

作者是從1963年至1975年在完善平均根數法等方麵作的上述有關工作，於1975年將完整的衛星軌道分析解提交航天應用部門，並在該部門的讚助下，將作者在衛星軌道力學方麵的係統研究成果撰寫成一本教材內部出版（劉林，趙德滋編著，人造地球衛星軌道理論.南京大學鉛印交流教材，1979），一直到1992年被高等教育出版社正式出版的教材《人造地球衛星軌道力學》［3］所替代。

3.5擬平均根數法——形式解的構造

3.5.1攝動解表達式中的小分母問題

采用平均根數法構造攝動解時，對於中心天體非球形引力中的扁率J2項攝動，一階長周期項會出現如下形式的結果：

σ(1)l(t)=∫tf2ldt=∫tJ22cosω-dt=J22(ω1+…)sinω-(3.147)

其中一階長期項變率ω1的形式為

ω1=3J22p2n2－52sin2i(3.148)

當衛星軌道傾角i=63°26′時，2－52sin2i≈0，給(3.147)式帶來小分母，此即臨界傾角引起的通約問題，它將使平均根數法構造的攝動解在形式上失效。

另外，構造非球形引力中的赤道橢率項J2，2攝動解和第三體引力攝動解時，在周期項中亦會出現另一類小分母引起的通約問題。例如由J2,2項攝動引起的地球中軌衛星軌道變化a(2)s(t,J2,2;α)（對應半日運動周期），保持到O(e)項的形式如下：

a(2)s(t)=3J2,22a(1+cosi)2－e2(1－2α)cos(M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i3e2(1－2α)cos(M+2Ω2,2)(3.149)

其中α的定義如下：

α=n′\/n(3.150)

n和n′各為衛星平運動角速度和地球自轉角速度，當α=n′\/n≈1\/2時，通約的體現即上述攝動項表達式中的因子1\/(1－2α)。對於地球的高軌衛星，例如GEO衛星，相應的通約因子變為1\/(1－α)，對應α=n′\/n≈1。

上述各類周期項中小分母引起的通約問題，都會導致采用平均根數法構造攝動解在形式上失效，但這並不意味相應的衛星軌道運動出現實質性的異常。攝動解中周期項的小分母引起的通約問題，是天體力學領域的一個理論問題，相應的軌道變化確有一些不同於非通約時的狀態，這裏不去討論，而在實際應用中關心的是如何構造普遍實用的攝動分析解。

事實上，就構造受攝運動的小參數冪級數解而言，上述小分母引起的通約奇點完全可以采用適當方法消除，如按小參數ε1\/2的冪構造級數解即可消除這類小分母問題［11,12］，但從具體應用角度來看，其展開式的表達形式較複雜，不便於應用。作者考慮到這一點，仍然在原平均根數法的基礎上進行改進，使其達到消除奇點的目的。具體方法就是在充分保留平均根數法優點的前提下，對平均根數的定義作了合理的修正，將出現小分母問題的長周期項與通常意義下的長周期項一並與長期項作統一處理，引進擬平均根數的概念，相應的小參數冪級數解即構成下列形式：

σ(t)=σ-(t)+σ(1)s(t)+σ(2)s(t)+…(3.151)

σ-(t)=σ-0+(δn-0+σ1+σ2+…)(t－t0)+Δσ(1)l(t)+…

σ-0=σ0－[σ(1)s(t0)+σ(2)s(t0)+…]

Δσ(1)l=σ(1)l(t)－σ(1)l(t0)(3.152)

為簡便起見，(3.152)式中定義的擬平均根數，仍記作σ-(t)，其他各量的意義同前，不再說明。采用如此定義的擬平均根數σ-(t)代替平均根數作為參考軌道，構造相應的小參數冪級數解，不妨稱其為擬平均根數法。1973年，作者結合對地球扁率J2項攝動出現的臨界傾角問題的處理，初步提出了這一方法，後發表在《中國天文學報》1974年第2期上［9］。

上述對長周期項（包括存在通約奇點的短周期項）的處理，即可解決經典攝動法和平均根數法中由於各類小分母導致攝動解的失效問題，而且仍然保持平均軌道σ-(t)的主要特征，並未失去對經典攝動法引進平均法意圖的改進實質。由於這樣的σ-(t)不僅包含長期變化，還包含在一定程度上與之相近的長周期變化，故稱其為擬平均軌道根數，相應的改進攝動法即稱為擬平均根數法。下一小節將介紹該方法構造相應小參數冪級數解的完整過程。

3.5.2擬平均根數法——形式解的構造

仍記σ=(a,e,i,Ω,ω,M)T，相應的攝動運動對應的初值問題為

dσdt=f0(a)+f1(σ,t,ε)+f2(σ,t,ε2)+…

σ0=σ(t0)(3.153)

其中

f0(a)=δn,n=μa－3\/2(3.154)

這裏引用符號δ=(000001)T同樣是為了區分a,e,i,Ω,ω五個根數與複合根數M的區別。

與平均根數法一樣，要將fN(σ,t,εN),N=1,2,…分解成相應的三個部分，即

fN=fNc+fNl+fNs,N=1,2,…(3.155)

這裏的第二個下標“c”，“l”和“s”，各表示長期、長周期和短周期部分，即fNc隻與a,e,i有關，fNl的周期取決於慢變量Ω和ω的變化，或是通約項（後麵第4章中會具體給出），fNs的周期則取決於快變量M。因擬平均根數法是在平均根數法的基礎上通過改變攝動項的結構形成的，要使其有效，同樣要保持原平均根數法的要求：

f1l=0(3.156)

將形式解（3.151）代入方程（3.153），右函數在擬平均根數σ-(t)處展開，得

ddt[σ-(0)(t)+σ1(t－t0)+σ2(t－t0)+…+Δσ(1)l(t)+…+σ(1)s(t)+σ(2)s(t)+…]

=f0(a-)+f0a[a(1)s(t)+a(2)s(t)+…]+122f0a2[a(1)s(t)+…]2+…

+f1(σ-,t,ε)+∑6j=1f1σj[σ(1)s(t)+σ(2)s(t)+…]j

+∑6k=1∑6j=12f1σjσk[σ(1)s(t)+…]j[σ(1)s(t)+…]k+…

+f2(σ-,t,ε2)+∑6j=1f2σj[σ(1)s(t)+…]j+…+fN(σ-,t,εN)+…

+…(3.157)

該式右端出現的根數σ均為參考解σ-(t)。同樣，在小參數冪級數解（3.151）的收斂範圍內，比較展開式（3.157）兩端同次冪(εN)的係數，並由此分別積分各階項，得

σ-(0)(t)=∫tt0f0(a-)dt=σ-0+δn-(t－t0)(3.158)

σ1(t－t0)=∫tt0[f1c]σ-dt(3.159)

σ(1)s(t)=∫tδnaa(1)s(t)+f1sσ-dt(3.160)

σ2(t－t0)=∫tt0δ122na2(a(1)s)2c+∑jf1σj(σ(1)s)jc+f2cσ-dt(3.161)

Δσ(1)l(t)=σ(1)l(t)－σ(1)l(t0)

=∫tt0δ122na2(a(1)s)2l+∑jf1σj(σ(1)s)jl+f2lσ-dt(3.162)

σ(2)s(t)=∫tδnaa(2)s+δ122na2(a(1)s)2s+∑jf1σj(σ(1)s)js+f2sσ-dt(3.163)

……

上列各式右端被積函數中出現的(HS)c,(HS)l,(HS)s分別表示括號中函數HS的長期、長周期和短周期部分。

消除短周期項σ(1)s(t),σ(2)s(t),…後的擬平均軌道σ-(t)滿足的運動方程如下：

dσ-dt=f0(a-)+[fε(σ-,t,ε)]c,l

σ-0=σ-(t0)(3.164)

如果考慮到其右函數的變化緩慢，進一步采用大步長的數值積分提供軌道解σ-(t)，那麼也可以稱之為半分析法。這類方法在太陽係動力演化的某些問題研究中有成功的應用。不過，對於構造單個小天體的軌道解，特別是環繞型探測器（即衛星）的軌道解而言，這已沒有必要，因為上述擬平均係統的分析解σ-(t)很容易構造，也容易計算。事實上，這類構造小參數冪級數解的分析方法，主要麻煩在於具體分離出短周期項σ(1)s(t)，σ(2)s(t)，…的過程，而分離後的擬平均係統已相當簡單（相對原完整動力係統而言），如果再去采用數值求解方程(3.153)的方法，就完全失去了通過分析解提供運動天體軌道變化特征的功能，而且也無助於提高計算效率，因為這類計算問題與太陽係動力演化問題的計算要求並不相同。

3.6無奇點軌道攝動解的構造方法

為了使一種方法可普遍適用於各種情況，最好能同時消除各類奇點，包括前麵第3章3.2.4小節中提到的軌道幾何奇點，即狀態變量選擇Kepler根數導致的e=0和i=0問題。當e≈0，i≈0或180°時，攝動解失效，但是相應的運動仍然是正常的，例如近圓軌道顯然是存在的。這與上一節各類周期項中小分母引起的通約問題“類似”，小e、小i問題的產生隻是由於相應的基本變量的選擇不當引起的，這種選擇不當，可以通過改變相應變量的選擇來解決。因此，考慮到實際應用背景，本節將給出如下兩類無奇點軌道攝動解的構造方法：

（1）　同時消除小e和通約奇點的攝動解的構造方法，

（2）　同時消除小e，小i和通約奇點的攝動解的構造方法。

關於無奇點軌道攝動解的構造方法，前麵提到的有關作者於1975年以完整的衛星軌道分析解提交給航天應用部門的文本和相繼的技術報告中，已包含了此內容的初步結果，同時在1975年的《中國天文學報》上發表了相關文章：一種人造地球衛星的攝動計算方法［8］。經過多年的實際應用，不斷改進完善，最終的結果除部分融入某些航天工程應用的技術報告外，已係統地納入近年來的兩本著作中，詳見本章參考文獻[9,10]。下麵暫以中心天體的扁率J2項攝動為背景，介紹這兩類方法構造無奇點軌道攝動解的基本輪廓。

3.6.1第一類無奇點攝動解的構造

(1)　基本變量和基本方程

為了解決小e問題，引用由第3.2.4小節(3.29)式定義的第一類無奇點變量，即

a,i,Ω,ξ=ecosω,η=esinω,λ=M+ω(3.165)

並仍然統一記為矢量形式σ，其六個分量按上述次序排列，相應的攝動運動方程采用以攝動函數(R\/σ)表達的無奇點形式，即第3.2節的(3.31)式。

若以中心天體非球形引力位中的主要攝動源（扁率項J2部分）為例，則有

R=J22a3ar31－32sin2i+32sin2icos2(f+ω)(3.166)

借助求平均值的方法將其分為如下兩個部分：

R=R1=R1c+R1s(3.167)

R1c=J22a31－32sin2i(1－e2)－3\/2(3.168）

R1s=J22a31－32sin2iar3－(1－e2)－3\/2+32sin2icos2(f+ω)(3.169）

其中

e2=ξ2+η2,ω=arctan(η\/ξ),M=λ－arctan(η\/ξ),f=f(M(ξ,η,λ),e(ξ,η))（3.170）

以此代入上述(R\/σ)型的攝動運動方程組（3.31）式，即得

σ·=f0(a)+f1(σ,ε)(3.171)

f0(a)=δn,n0=a0－3\/2(3.172)

f1(σ,ε)=f1c(a,e(ξ,η),i)+f1s(a,e(ξ,η),i,ω(ξ,η),f(λ,ξ,η))(3.173)

該式中的f1c和f1s，分別對應R1c和R1s。

這裏說明一點，關於上述公式的表達形式，均采用了歸一化的無量綱形式，包括前麵由(3.145)和(3.149)式表達的a(2)l(t)和a(2)s(t,J2,2;α)，相應的中心天體引力常數μ=Gm0=1，有關該歸一化無量綱單位的選擇及其具體細節，將在後麵第4章中介紹。

(2)　無奇點攝動解的構造

顯然，采用上述擬平均根數法，在構造相應的一階攝動解中，由於對長周期項（包括存在通約奇點的短周期項）的處理與平均根數法有所差別，導致原(3.125)～(3.127)式求和項中的

∑j(f1c+f1s)σj(σ(1)l+σ(1)s)j

變為下列形式：

∑j(f1c+f1s)σj(σ(1)s)j(3.174)

這是構造一階攝動解（包括一階短周期項，一、二階長期項和一階長周期變化項）過程中的主要運算部分。

如果直接采用無奇點變量及攝動運動方程(3.31)式來構造相應的攝動解，其具體推導相當麻煩，那麼能否利用原Kepler根數解的相應結果獲得？下麵作一介紹。

首先證明一個結論：對任一函數F~=F~(a,i,Ω,ξ,η,λ)，若用原6個Kepler根數來表達，則記作F=F(a,e,i,Ω,ω,M)，有F~=F。在此前提下，有下列結論：

∑jF~σj(σ(1)s)j=F~aa(1)s+F~ii(1)s+F~ΩΩ(1)s+F~ξξ(1)s+F~ηη(1)s+F~λλ(1)s

=Faa(1)s+Fii(1)s+FΩΩ(1)s+Fee(1)s+Fωω(1)s+FMM(1)s=∑jFσj(σ(1)s)j(3.175)

該式F~=F~(a,i,Ω,ξ,η,λ)中的σ與F=F(a,e,i,Ω,ω,M)中的σ分別表示不同變量。

要證明上述結論，隻要看該等式兩部分的後三項。首先，由兩類變量之間的攝動運動方程的如下關係：

dξdt=cosωdedt－esinωdωdt

dηdt=sinωdedt+ecosωdωdt

dλdt=dMdt+dωdt(3.176)

可給出

ξ(1)s(t)=cosω·e(1)s(t)－esinω·ω(1)s(t)

η(1)s(t)=sinω·e(1)s(t)+ecosω·ω(1)s(t)

λ(1)s(t)=M(1)s(t)+ω(1)s(t)(3.177)

由變量關係（3.170）式又可給出

F~ξ=Feξe+Fω－ηe2+FMηe2

F~η=Fe－ηe+Fω－ξe2+FMξe2

F~λ=FM(3.178)

將此式和(3.176)式一並代入(3.175)式的求和式∑jF~σj(σ(1)s)j，即可證得

∑jF~σj(σ(1)s)j=∑jFσj(σ(1)s)j

既然有上述結論，那麼，對a,i,Ω,λ四個變量，上述“運算項”∑jF~σj(σ(1)s)j可直接引用原Kepler根數的結果。而對於ξ和η，根據定義有

(f~1s)ξ=cosω(f1s)e－esinω(f1s)ω(3.179)

(f~1s)η=sinω(f1s)e+ecosω(f1s)ω(3.180)

∑j(f~1s)ξσj(σ(1)s)j=cosω∑j(f1s)eσj(σ(1)s)j－esinω∑j(f1s)ωσj(σ(1)s)j

－[sinω(f1s)e+ecosω(f1s)ω]ω(1)s－[sinω(f1s)ω]e(1)s(3.181)

∑j(f~1s)ησj(σ(1)s)j=sinω∑j(f1s)eσj(σ(1)s)j+ecosω∑j(f1s)ωσj(σ(1)s)j

+[cosω(f1s)e－esinω(f1s)ω]ω(1)s+[cosω(f1s)ω]e(1)s(3.182)

經計算給出

12π∫2π0[(f1s)eω(1)s+(f1s)ωe(1)s]dM=0(3.183)

12π∫2π0[(f1s)ωω(1)s]dM=0(3.184)

故有

∑j(f~1s)ξσj(σ(1)s)jc,l=ξe∑j(f1s)eσj(σ(1)s)jc,l－η∑j(f1s)ωσj(σ(1)s)jc,l(3.185)

∑j(f~1s)ησj(σ(1)s)jc,l=ηe∑j(f1s)eσj(σ(1)s)jc,l+ξ∑j(f1s)ωσj(σ(1)s)jc,l(3.186)

這說明，對於ξ和η，也可按上述關係式直接引用原Kepler根數的結果作相應的組合。

上述結果表明：就扁率項J2的一階無奇點攝動解的構造而言，可以由原Kepler根數的解按相應的關係進行組合而成，對其他攝動源（如果其攝動量級與扁率項J2相近）是否成立，特別是關係式(3.183)，仍要具體檢驗。

(3)　無奇點攝動解的表達形式

上一小節以中心天體非球形引力位中的主要攝動源（扁率項J2部分）為例，給出了采用擬平均根數法構造無奇點根數攝動解的具體構造方法,對照前麵第3.4節中采用平均根數法構造Kepler根數攝動解的過程，有兩點需要進一步說明，即

1）　6個無奇點變量(a,e,i,Ω,ω,M)對應的擬平均根數σ-隻分離出短周期攝動項σ(1)s(t),σ(2)s(t),…，因此，在攝動解的構造過程中，二階攝動項的運算部分，由原平均根數法中的

∑j(f1c+f1s)σj(σ(1)s+σ(1)l)j

變為

∑j(f1c+f1s)σj(σ(1)s)j

這一差別表明，若要直接利用原Kepler根數攝動解構造上述無奇點根數攝動解，必須刪除原過程中的如下運算部分：

∑j(f1c+f1s)σj(σ(1)l)j

2）　具體給出無奇點根數攝動分析解時，可以將表達式中的所有變量都轉化為由無奇點變量(a,ξ,η,h,k,λ)表達的完整形式，在作者過去的工作中往往是這樣表達的，見本章參考文獻[3~5]，但該表達形式較複雜，不僅給相應的軟件編製帶來麻煩,而且影響計算效率。事實上，經具體分析和實際計算比較表明，就有效的應用而言，沒有必要采用這種表麵完美的表達形式，可在攝動表達式中按嚴格定義保留軌道幾何意義十分清晰的Kepler根數形式。因此，上述第一類無奇點攝動解的表達式可直接由下列關係實現：

對於引力攝動，長期項（包括長周期變化項）由下列各表達式構成：

Δa(t)=0(3.187)

Δi(t)=Δil(t)(3.188)

ΔΩ(t)=ΔΩc(t)+ΔΩl(t)(3.189)

Δξ(t)=cosω[Δe(t)]－sinω[eΔω(t)](3.190)

Δη(t)=sinω[Δe(t)]+cosω[eΔω(t)](3.191)

Δλ(t)=n-(t－t0)+[ΔM(t)+Δω(t)](3.192)

其中n-=a-－3\/2=a-－3\/20，Δσ(t)包括長期項和長周期變化項。

上述(3.190)和(3.191)表達式是線性形式，其中包含了地球引力J2項的一階長期攝動部分，若問題要準到二階長期攝動部分，考慮到J2項攝動，對其相應的由ω的長期變化所引起的長期項部分，還應采用原第一類無奇點攝動解的“完整”表達形式，即

Δξ(t)=ξ-0cosΔω(t)－η-0sinΔω(t)(3.193)

Δη(t)=η-0cosΔω(t)+ξ-0sinΔω(t)(3.194)

其中ξ-0和η-0的定義不變。

短周期項由下列各表達式構成：

as(t)=a(1)s(t)+a(2)s(t)(3.195)

i(1)s(t)=i(1)s(t)(3.196)

Ω(1)s(t)=Ω(1)s(t)(3.197)

ξ(1)s(t)=cosω[e(1)s(t)]－sinω[eω(1)s(t)](3.198)

η(1)s(t)=sinω[e(1)s(t)]+cosω[eω(1)s(t)](3.199)

λ(1)s(t)=[M(1)s(t)]+[ω(1)s(t)](3.200)

上列攝動解(3.188)~(3.200)式中涉及的Δe(t),…,ΔM(t)和a(1)s(t),…,M(1)s(t)，就是Kepler根數解的“相應”結果，具體形式在下一小節列出。按照上述處理方法，由原Kepler根數的解組合而成的無奇點攝動解，不會再出現(1\/e)型的因子。

(4)　無奇點攝動解的計算

采用擬平均根數法構造的無奇點攝動解(3.151)～(3.152)式，其各攝動項均可由原Kepler根數解按一定方式組成，即(3.187)~(3.200)式，而計算過程中Kepler根數的出現隻起一個中間變量作用，它們是由無奇點變量轉換而來，見(3.170)式，不受小偏心率的影響，相應的Kepler根數解的表達式，將在下一章中具體給出。

3.6.2第二類無奇點攝動解的構造

(1)　基本變量和無奇點攝動解的構造

為了解決小e，小i以及通約小分母問題，引用由第3.2.4小節(3.36)式定義的第二類無奇點變量，即

a，ξ=ecosω~，η=esinω~

h=sini2cosΩ，k=sini2sinΩ，λ=M+ω~(3.201)

其中ω~=ω+Ω。相應的攝動運動方程采用相應的第二類無奇點形式，即第3.2節的(3.39)～(3.44)式。同樣可像提供第一類無奇點攝動解的處理方式具體構造第二類無奇點攝動解，其基本原理類似，具體細節不再重複。

(2)　第二類無奇點攝動解的表達形式

同樣以中心天體非球形引力位的主要攝動源為例，除采用變量與第一類無奇點變量形式不同外，構造相應攝動解的方法仍由原Kepler根數的解按相應的關係進行組合而成。無奇點軌道分析解的形式仍為

σ(t)=σ-+σ(1)s(t)+σ(2)s(t)+…(3.202)

這裏σ-(t)同樣是僅消除短周期項的擬平均根數，定義見(3.152)式。

6個無奇點根數σ=(a,ξ,η,h,k,λ)攝動分析解的長期項（包括長周期變化項）由下列各表達式構成：

Δa(t)=0(3.203)

Δξ(t)=cosω~[Δe(t)]－sinω~[eΔω(t)+eΔΩ(t)](3.204)

Δη(t)=sinω~[Δe(t)]+cosω~[eΔω(t)+eΔΩ(t)](3.205)

Δh(t)=12cosi2cosΩ[Δi(t)]－sinΩ[sini2ΔΩ(t)](3.206)

Δk(t)=12cosi2sinΩ[Δi(t)]+cosΩ[sini2ΔΩ(t)](3.207)

Δλ(t)=n-(t－t0)+[ΔM(t)+Δω(t)+ΔΩ(t)](3.208)

其中n-=a-－3\/2=a--3\/20，Δσ(t)包括長期項和長周期變化項。

短周期項由下列形式構成：

as(t)=a(1)s(t)+a(2)s(t)(3.209)

ξ(1)s(t)=cosω~[e(1)s(t)]－sinω~[eω(1)s(t)+eΩ(1)s(t)](3.210)

η(1)s(t)=sinω~[e(1)s(t)]+cosω~[eω(1)s(t)+eΩ(1)s(t)](3.211)

h(1)s(t)=12cosi2cosΩ[i(1)s(t)]－sinΩ[sini2Ω(1)s(t)](3.212)

k(1)s(t)=12cosi2sinΩ[i(1)s(t)]+cosΩ[sini2Ω(1)s(t)](3.213)

λ(1)s(t)=Ω(1)s(t)+ω(1)s(t)+M(1)s(t)(3.214)

上列公式(3.203)～(3.214)的各表達式中出現的Δe(t),Δi(t),Δω(t),ΔΩ(t),ΔM(t)和a(1)s(t),e(1)s(t),i(1)s(t),ω(1)s(t),Ω(1)s(t),M(1)s(t)，以及a(2)s(t)，也都是Kepler根數解的相應結果。由此提供的無奇點攝動解，除不會再出現臨界傾角奇點因子外，也同樣不會再出現(1\/e)和(1\/sini)型的因子。

關於前麵(3.200)式表達的λ(1)s(t)=[M(1)s(t)]+[ω(1)s(t)]，很容易看出不再有小e問題。與該組合類似，這裏由(3.214)式表達的λ(1)s(t)同樣如此，可以明確給出相應的消除小e，小i因子的無奇點形式，詳見下一章的相關內容。

盡管上述內容隻是具體針對中心天體非球形引力位的主要攝動源進行討論的，但其原理同樣適用於其他攝動源。另外，在具體引用相應攝動解進行軌道外推時，基本狀態量必須是無奇點變量，而中間過程變量卻是由相應的無奇點變量（瞬時量σ(t)或平均量σ-(t)）轉換後的Kepler根數：a(t),e(t),…或a-(t),e-(t),…。

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第4章　\/　地球衛星受攝運動軌道外推的無奇點分析解

第4章　\/

地球衛星受攝運動軌道外推的無奇點分析解

4.1衛星運動采用的完整力模型

本書緒論已指出：太陽係各大行星和小行星的運動、各大行星的自然衛星以及人造衛星（人造地球衛星、月球衛星、火星衛星等環繞型探測器）的運動，主要外力源隻有一個。對於人造地球衛星的軌道運動而言，主要外力源就是作為均勻球體的地球中心引力，其他各種外力作用相對較小，歸結為一個受到“擾動”的二體係統，相應的數學問題即受攝二體問題。作為主要外力源的地球稱為“中心天體”，用符號P0表示，相應的質量記作m0，而另一個待研究其運動的地球衛星用符號p表示，質量記作m。所要研究的問題，就是人造衛星在相應的中心天體引力作用和若幹攝動因素影響下的軌道運動問題。

對於受攝二體問題的軌道運動，可歸結為一個常微初值問題，即

r¨→=－G(m0+m)r3r→+∑Ni=1F→i

r→(t0)=r→0,r→·(t0)=r→·0(4.1)

其中G是萬有引力常數，F→i是應考慮的各種攝動加速度。這裏的坐標係原點是在中心天體P0的質心上，r→=r→(x,y,z)是運動天體在該坐標係中的位置矢量。

通常引用符號μ：

μ=G(m0+m)(4.2)

對於人造小天體（包括各種環繞型探測器）的運動而言，相應的運動天體p的質量m=0，那麼問題（4.1）的運動方程即變為下列形式：

r¨→=－μr3r→+∑Ni=1F→i(4.3)

其中μ=Gm0是中心天體的引力常數，對於人造地球衛星的運動，中心天體是地球，常用的符號為μ=Gm0=GE，GE就是地心引力常數。

4.1.1衛星軌道力學中計算單位的選擇

動力學問題涉及的計算單位，基本量有三個，即長度單位[L]，質量單位[M]和時間單位[T]，對於衛星軌道力學問題分別取為下列參考值：

［L］=ae(ae是中心天體參考橢球體的赤道半徑)

［M］=m0(m0是中心天體的質量)

［T］=(ae3\/Gm0)1\/2(4.4)

其中時間單位[T]是導出單位，目的是使該計算單位係統中，引力常數G=1和中心天體引力常數μ=Gm0=1。這種處理，一方麵是為了各物理量的單位歸一化，便於有關量級的估計和比較，同時也可簡化計算公式的表達。

在衛星軌道力學中，會涉及大行星的繞日運行軌道問題，對於日地係統和日地+月係統，上述長度單位[L]是選用日地平均距離，即天文單位AU，而相應的時間單位則改為［T］=(AU3\/G(m0+m))1\/2，其中Gm分別為地心引力常數GE和月心引力常數GL。下麵一並列出日心係統和地球、火星、金星、月球係統計算單位選擇的參考值。

太陽、地球、火星、金星和月球的引力常數分別為

GS=1.32712440041×1011(km3\/s2),

GE=398600.4418(km3\/s2)，對應WGS84係統

GM=42828.3719(km3\/s2)，對應GMM2B係統

GV=324858.64(km3\/s2)，對應GVM1係統

GL=4902.800269(km3\/s2)，對應LP75G係統(4.5)

對日地係統,有

[T]=58d.1323535673601(4.6a)

對日地+月係統,有

[T]=58d.13235249375701(4.6b)

對於地球，如果采用WGS(World　Geodetic　System)84係統，則有

ae=6378.137(km)

GM=398600.4418(km3\/s2)

[T]=13m.4468520637382(4.7)

相應的地球形狀扁率為∈=0.00335281，動力學扁率為J2=1.082636022×10－3。

對於火星，如果采用美國Goddard　Mars　Model:　GMM2B,則有

ae=3397.0(km)

GM=42828.3719(km3\/s2)

[T]=15m.945064755181(4.8)

相應的火星形狀扁率為∈=0.005231844，動力學扁率為J2=1.955453679×10－3。

對於金星，如果采用美國Goddard和JPLd11993年聯合給出的Venus　Model:　GVM1,則有

ae=6051.8130(km)

GM=324858.64(km3\/s2)

[T]=13m.766698101341069(4.9)

相應的金星形狀扁率為∈=0.0，動力學扁率為J2=4.45749887×10－6。

對於月球，如果采用美國JPL引力模型:LP75G,則有

ae=1738.0(km),

GM=4902.800269(km3\/s2),

[T]=17m.246513279967907(4.10)

相應的月球形狀扁率為∈=0.000178366，動力學扁率為J2=2.034284544×10－4。

4.1.2衛星軌道運動中的受力分析

以人造地球衛星的運動為背景，運動方程(4.3)右端的主要外力源記作F→0，有

F→0=－μr3r→=－1r3r→(4.11)

相應的地球質點引力加速度記作g，由下式給出：

g=GEr2=1r2(4.12)

那麼，地球表麵和上空高度h分別為200，300,600,1200(km)處的g(m\/s2)值如下：

g=9.798285,h=0.0km

9.211534,h=200.0km

8.937728,h=300.0km

8.185756,h=600.0km

7.537636,h=1200.0km(4.13)

這是針對地球低軌衛星所考慮的。在此前提下，其他外力源F→i(i=1,N)涉及的各類攝動因素，包括地球非球形引力、第三體質點引力、地球形變、大氣阻力、太陽光壓和後牛頓效應等，下麵分別對各攝動因素作一簡單的定量分析。

（1）　地球非球形引力扁率項J2的攝動量級

就地球低軌衛星而言，除地球質點引力作用外，最大的攝動源是地球非球形引力部分中的動力學扁率J2項，相應的攝動加速度即運動方程（4.3）右端的F1(J2)，在上述高度範圍內，其影響程度與地球質點引力加速度g之比的量級為

ε1=F1g=OJ2r2=O(10－3)(4.14)

（2）　地球非球形引力橢率項J2,2的攝動量級

ε2=F2g=OJ2,2r2=O(10－6)(4.15)

（3）　地球非球形引力位中高次帶諧項Jl(l≥3)的攝動量級

ε3=F3g=OJlrl=O(10－6)(4.16)

（4）　地球非球形引力位中高次田諧項Jl,m(l≥3,m=1－l)的攝動量級

ε4=F4g=OJl,mrl=O(10－6)(4.17)

（5）　日、月引力攝動量級

ε5=F5g=m′rr′3=O(10－7)(4.18)

其中，m′,r′分別為日、月的歸一化單位質量和其到地心的平均距離。

（6）　地球形變攝動量級

ε6=F6g=Ok2r5m′rr′3=Ok2r5ε5=O(10－8)(4.19)

該式中的k2是地球潮汐形變的二次Love數，其數值接近0.30。

（7）　太陽光壓攝動量級

太陽光壓和大氣阻力都是表麵力，相應的攝動效應將涉及衛星的等效麵積質量比（簡稱麵質比），在地球係統的計算單位中，表示為歸一化單位的換算關係如下：

1(m2\/kg)=1.4686×1011(4.20)

通常，衛星的麵質比為1m2\/100kg，那麼在歸一化單位中其麵質比為109，相應的光壓攝動量級為

ε7=F7g=κSmρ⊙r2=O(10－8－10－7)(4.21)

其中，κ=1+η，η就是衛星表麵的反射係數，若為完全反射，η=1，完全吸收則對應η=0，通常0<η<1，(S\/m)即衛星的等效麵質比，ρ⊙是地球附近的光壓強度，有

ρ⊙=4.5606×10－6(N·m－2)=0.3169×10－17(4.22)

其後一種表達是歸一化計算單位中的無量綱值。

（8）　大氣阻力攝動量級

對於地麵高度h=200km以上的高空，大氣阻力加速度表達式的常用形式即

D=12CDSMρv2(4.23)

相應的大氣阻力攝動量級即

ε8=F8g=12CDSmρv2\/1r2≈CDSmρr2(4.24)

其中阻力係數CD在h=200km以上取值2.2。大氣阻力問題亦是表麵力問題，與上述處理光壓問題類似，衛星的等效麵質比取為109。大氣密度ρ的常用單位是(kg\/m3)，表示為歸一化單位的換算公式如下：

1(kg\/m3)=0.4343×10-4(4.25)

大氣密度采用國際標準大氣模型給出的平均密度，按正常狀態，在地球上空高度分別為h=200,400,600(km)處的平均密度分別為

ρ-(kg\/m3)=0.291×10－9,h=200.0km

0.428×10－11,h=400.0km

0.186×10－12,h=600.0km(4.26)

在上述狀態下，衛星承受相應的大氣阻力加速度D(m\/s2)如下：

D=1.736×10－4,h=200.0km

2.517×10－6,h=400.0km

1.062×10－7,h=600.0km(4.27)

在上述幾個高度上大氣阻力的攝動量級ε8如下：

ε8=F8g=1.9×10－5,h=200.0km

2.9×10－7,h=400.0km

1.3×10－8,h=600.0km(4.28)

（9）　後牛頓效應的攝動量級

關於後牛頓效應問題，對於人造地球衛星的軌道運動，除主要的一體效應外，還有測地歲差、自轉效應和扁率效應，相應的後牛頓加速度A→PN可寫成下列形式：

A→PN=A→1+A→2+A→3+A→4

其具體表達形式這裏暫不討論。對於近地衛星，這四種攝動相對地球中心引力加速度的大小分別為

10－9,10－11,10－12,10－12

由此可知，對於低軌衛星，後牛頓效應的攝動量級ε9如下：

ε9=F9g=O(10－9)(4.29)

綜上分析，對於低軌地球衛星，其軌道運動方程(4.3)式在完整的力模型下有如下形式：

r¨→=－r→r3+∑9i=1F→i(4.30)

若采用Kepler根數σ(a,e,i,Ω,ω,M)作為狀態量，則相應的軌道攝動運動方程為

dσdt=f0(a)+∑9j=1fj(σ,t,ε)(4.31)

其中

f0(a)=δn,n=a－3\/2

δ=0

0

0



1=(000001)T(4.32)

|fj(σ,t,ε)|=O(ε),j=1,2,…,9(4.33)

如果將這裏的fj按前麵對各攝動源分析給出的定量大小區分，則應改寫成f1=O(ε),f2=O(ε2),f3=O(ε3),…，那麼攝動運動方程(4.31)應寫作下列形式：

σ·=f0(a)+f1(σ;J2)+f2(σ,t;ε2)+f3(σ,t;ε3)(4.34)

以地球低軌衛星的運動作為背景，同時考慮地球非球形扁率項（J2）攝動，那麼攝動小參數ε的量級為

10-3，J2項即作為一階小量，而上述其他各攝動因素對應的攝動量級均為二階、三階或更高階小量，為了進一步了解這些攝動因素對衛星軌道影響的特征，形式上可按二階小量處理，至於在實際問題中是否需要考慮相應的攝動因素，那是具體取舍問題，並不影響理論上的處理與分析，於是往往將相應的軌道攝動運動方程寫成如下形式：

σ·=f0(a)+f1(σ;ε)+f2(σ,t;ε2)

ε=O(J2)(4.35)

4.1.3受力狀況的進一步分析

盡管上述受力分析是以地球低軌衛星為背景所做出的，但分析方法和處理細節同樣適用於地球中、高軌衛星和其他天體（包括月球、火星等以及自然衛星、小行星）的環繞型探測器軌道運動的受力分析。

就地球高軌衛星而言，除動力學扁率J2項攝動量級要變小，日、月引力攝動量級要變大，地球大氣的影響變小或“消失”外，所有這些細節隻是改變攝動量級的大小和構造具體攝動解時的取舍處理，並無實質性變化。鑒於這一特征，對於其他類型衛星軌道運動的受力分析不再重複闡述，相應的受攝運動方程都可寫成下列形式：

σ·=f0(a)+f1(σ;ε)+f2(σ,t;ε2)+…(4.36)

至於攝動小參數ε的選擇，要根據具體動力學背景而確定，這將在後麵有關的具體內容中確定，例如構造月球的低軌衛星軌道攝動解中，該小參數ε的選擇並不是月球的動力學扁率J2，而是人為地作下列選擇：

ε=10－2(4.37)

詳見後麵第6章的相關內容。

4.2地球非球形引力扁率項J2的一階攝動解

4.2.1Kepler根數形式的一階攝動解［1～5］

在地心赤道坐標係中，扁球形地球對衛星的引力加速度F→由引力位V(r→)的梯度表達：

F→=gradV(r→)

V(r→)=GEr1－J2aer2P2(sinφ)(4.38)

其中r→是衛星的位置矢量，GE和ae分別為地心引力常數和赤道半徑，r和φ是衛星的向徑和緯度。注意，衛星運動攝動解的建立，應該在J2000地心天球坐標係中，而上述地心赤道坐標係實為地固坐標係，這兩者的差別將在後麵第4.4節中作詳細介紹。

P2(sinφ)是二階勒讓德（Legendre）多項式，有

P2(sinφ)=32sin2φ－12(4.39)

相應的係數即動力學扁率，其大小即反映地球對均勻球體的偏離程度（包括形狀和質量分布），通常它與地球的幾何扁率（隻體現形狀）同量級，因此，J2就是攝動小參數ε，有

J2=O(10－3)(4.40)

如果采用歸一化計算單位，即前麵第4.1.1小節中給出的計算單位的選擇，地球的質量E和赤道半徑ae分別作為質量和長度單位，時間單位取為(a33\/GE)1\/2，則引力常數G=1，μ=GE=1。采用這一計算單位，即形成無量綱形式，便於公式表達和定量分析。那麼（4.38）式中的引力位可以寫成下列形式：

V(r→)=V0+V1(4.41)

V0=1r,V1=－J2r332sin2φ－12(4.42)

通常稱V1為攝動函數，記作R，即攝動位V1=R，顯然，這一受攝係統對應的是定常係統。

4.2.1.1攝動函數R的分解

由球麵三角公式sinφ=sinisin(f+ω)代入（4.42）式的攝動位，得

R=J22a3ar31－32sin2i+32sin2icos2(f+ω)(4.43)

利用下列平均值

ar3=(1－e2)－3\/2,ar3cos2f=0,ar3sin2f=0(4.44)

可將R分解成長期和周期兩個部分R1c和R1s，即

R1c=J22a31－32sin2i(1－e2)－3\/2(4.45)

R1s=J22a31－32sin2iar3－(1－e2)－3\/2+32ar3sin2icos2(f+ω)(4.46)

4.2.1.2攝動運動方程

將R的表達形式(4.43)代入(R\/σ)型的攝動運動方程，即可給出

σ·=f0(a)+f1c(a,e,i)+f1s(a,e,i,ω,M)(4.47)

f0(a)=δn,n=a－3\/2(4.48)

δ=(000001)T(4.49)

上述表達式中的σ仍為表達Kepler根數的符號矢量，即

σ=(aeiΩωM)T(4.50)

f1c和f1s的各個分量的具體形式如下：

(f1c)a=0(4.51)

(f1c)e=0(4.52)

(f1c)i=0(4.53)

(f1c)Ω=－3J22p2ncosi(4.54)

(f1c)ω=3J22p2n2－52sin2i(4.55)

(f1c)M=3J22p2n1－32sin2i1－e2(4.56)

(f1s)a=3J2an1－e2ar4－esinf1－e2

×1－32sin2i+32sin2icos2(f+ω)－sin2iarsin2(f+ω)(4.57)

(f1s)e=3J22a2en1－e2ar4－esinf1－32sin2i+32sin2icos2(f+ω)

－(1－e2)sin2iarsin2(f+ω)+sin2irasin2(f+ω)(4.58)

(f1s)i=－3J22a21－e2nsinicosiar3sin2(f+ω)(4.59)

(f1s)Ω=－3J22a21－e2ncosiar3－(1－e2)－3\/2－ar3cos2(f+ω)(4.60)

(f1s)ω=－3J22a21－e2ncos2iar3－(1－e2)－3\/2－ar3cos2(f+ω)

+3J22a2en1－e21－32sin2iar4cosf－e(1－e2)－5\/2

+32sin2iar4cosfcos2(f+ω)

－sin2i1－e2ar3(2+ecosf)sinfsin2(f+ω)(4.61)

(f1s)M=－3n2aa(1)s(t)+3J2a2n1－32sin2iar3－(1－e2)－3\/2

+32sin2iar3cos2(f+ω)

－3J22a2en(1－e2)1－32sin2iar4cosf－e(1－e2)－5\/2

+32sin2iar4cosfcos2(f+ω)

－sin2i1－e2ar3(2+ecosf)sinfsin2(f+ω)(4.62)

4.2.1.3攝動解

平均根數法可以有效地構造如下表達式的小參數冪級數解：

σ(t)=σ-0+δn-(t－t0)+(σ1+σ2+…)(t－t0)+σ(1)l(t)+σ(2)s(t)+…(4.63)

（1）　一階長期項σ1(t－t0)

a1(t－t0)=0,e1(t－t0)=0,i1(t－t0)=0(4.64)

Ω1(t－t0)=－3J22p2cosin(t－t0)(4.65)

ω1(t－t0)=3J22p22－52sin2in(t－t0)(4.66)

M1(t－t0)=3J22p21－32sin2i1－e2n(t－t0)(4.67)

其中p=a(1－e2)。上列各式右端出現的根數a,e,i均為平均根數，並有

a-=a-0,e-=e-0,i-=i-0(4.68)

（2）　一階短周期項σ(1)s(t)和a(2)s(t)

a(1)s(t)=3J22a231－32sin2iar3－(1－e2)－3\/2+sin2iar3cos2(f+ω)(4.69)

e(1)s(t)=1－e2e12aa(1)s(t)－(tani)i(1)s(t)

=J22a21－e2e1－32sin2iar3－(1－e2)－3\/2

+32sin2iar3cos2(f+ω)

－32sin2i(1－e2)－2ecos(f+2ω)+cos2(f+ω)+13ecos(3f+2ω)

=3J22p2131－32sin2ie11+1－e2+1－e2

+cosf(3(1+ecosf)+(ecosf)2)

+12sin2i(e+cosf(3(1+ecosf)+(ecosf)2))cos2(f+ω)

－(1－e2)(cos(f+2ω)+13cos(3f+2ω))(4.70)

i（1）s(t)=3J22p2sin2ie4cos(f+2ω)+14cos(2f+2ω)+e12cos(3f+2ω)(4.71)

Ω（1）s(t)=－3J22p2cosi(f－M+esinf)

－12esin(f+2ω)+sin(2f+2ω)+e3sin(3f+2ω)(4.72)

ω(1)s(t)=－cosiΩ(1)s(t)+[ω(1)s(t)]1

[ω(1)s(t)]1=1e3J22p2

×1－32sin2i(f－M+esinf)e+1－e24sinf+e2sin2f+e212sin3f

+sin2i－14－716e2sin(f+2ω)+34esin2(f+ω)

+712+1148e2sin(3f+2ω)+38esin(4f+2ω)

+e216(sin(5f+2ω)+sin(f－2ω))(4.73a)

兩部分合並後的形式如下：

ω(1)s(t)=1e3J22p22－52sin2i(f－M+esinf)e

+1－32sin2i1－e24sinf+e2sin2f+e212sin3f

－e2esin(f+2ω)+sin2(f+ω)+e3sin(3f+2ω)

+sin2ie216sin(f－2ω)－14－1516e2sin(f+2ω)+54esin2(f+ω)

+712+1948e2sin(3f+2ω)+38esin(4f+2ω)+e216sin(5f+2ω)(4.73)

M(1)s(t)=－1－e2[ω(1)s(t)]1

+3J22p21－e21－32sin2i(f－M+esinf)(4.74)

+sin2i34esin(f+2ω)+34sin(2f+2ω)+14esin(3f+2ω)

在一階攝動解的精度要求下，上列各式中的σ-(t)隻需取如下形式：

a-=a-0,e-=e-0,i-=i-0

ω-=ω-0+ω1(t－t0),M=M0+(n-+M1)(t－t0)(4.75)

除此之外，還需要給出a(2)s(t)，這有兩種形式，分別給出如下：

[a(2)s(t)]1=－2aa(1)s(t)+3J22a(1－e2)－3\/21－32sin2ia(1)s

+3J22a2e(1－e2)－5\/21－32sin2i(e(1)s－e(1)s)

－[(1－e2)－3\/2sin2i](i(1)s－i(1)s)

+3J22a21－32sin2iar4cosf－e(1－e2)－5\/2

－41－e2sin2iar31+e2cosfsinfsin2(f+ω)

+3sin2iar4cosfcos2(f+ω)(e(1)s+e(1)l)

+3J22asin2iar3cos2(f+ω)－ar3－(1－e2)－3\/2(i(1)s+i(1)l)

+3J22a－2sin2iar3sin2(f+ω)(ω(1)s+ω(1)l)

+3J22a－e1－e2ar4sinf21－32sin2i+3sin2icos2(f+ω)

－21－e2sin2iar5sin2(f+ω)(M(1)s+M(1)l)

－aDa(1)sac+aDa(1)sal(4.76)

aDa(1)sac+aDa(1)sal

=3J22p22a1－e21－32sin2i2169+199e2+11－e23518e4+291－e2

+sin2i1+23e2+sin4i－56－2524e2+11－e23516e4

+sin2i－232－52sin2icos2fe2+56－74sin2i+e21－e273－72sin2ie2cos2ω

+sin4i132(1－e2)e4cos4ω(4.77)

[a(2)s(t)]2=－1a2a(1)s(t)+3J22a(1－e2)－3\/21－32sin2ia(1)s

－3J22a[2(1－e2)－3\/2tani2－52sin2i(i(1)s－i(1)s)

+3J22a21－32sin2iar4cosf－e(1－e2)－5\/2

－41－e2sin2iar31+e2cosfsinfsin2(f+ω)

+3sin2iar4cosfcos2(f+ω)(e(1)s+e(1)l)

+3J22asin2iar3cos2(f+ω)－ar3－(1－e2)－3\/2(i(1)s+i(1)l)

+3J22a－2sin2iar3sin2(f+ω)(ω(1)s+ω(1)l)

+3J22a－e1－e2ar4sinf21－32sin2i+3sin2icos2(f+ω)

－21－e2sin2iar5sin2(f+ω)(M(1)s+M(1)l)

－aDa(1)sac+aDa(1)sal(4.78)

上述兩種形式，[a(2)s(t)]1中的(e(1)s－e(1)s)這一項是獨立處理的，而[a(2)s(t)]2中，該項是表達成a(1)s(t)和(i(1)s－i(1)s)後分別列入相應的兩項中，不再出現(e(1)s－e(1)s)這一項。

（3）　二階長期項σ2(t－t0)

a2(t－t0)=0

e2(t－t0)=0

i2(t－t0)=0(4.79)

Ω2(t－t0)=－3J22p22cosi

×32+16e2+1－e2－sin2i53－524e2+321－e2n(t－t0)(4.80)

ω2(t－t0)=3J22p224+712e2+21－e2－sin2i10312+38e2+1121－e2

+sin4i21548－1532e2+1541－e2n(t－t0)(4.81)

M2(t－t0)=3J22p221－e2121－32sin2i21－e2+52+103e2

－sin2i193+263e2+sin4i23348+10312e2

+e41－e23512－354sin2i+31532sin4in(t－t0)(4.82)

（4）　一階長周期項σ(1)l(t)

a(1)l(t)=0(4.83)

e(1)l(t)=－1－e2etanii(1)l(t)

=3J22p22sin2i4－5sin2i724－516sin2i(1－e2)ecos2ω(4.84)

i(1)l(t)=－3J22p2sin2i4－5sin2i724－516sin2ie2cos2ω(4.85)

Ω(1)l(t)=－3J22p2cosi(4－5sin2i)273－5sin2i+258sin4ie2sin2ω(4.86)

ω(1)l(t)=－3J22p21(4－5sin2i)2sin2i253－24512sin2i+252sin4i

－e273－172sin2i+656sin4i－7516sin6isin2ω(4.87)

M(1)l(t)=3J22p21－e24－5sin2isin2i2512－52sin2i－e2712－58sin2isin2ω(4.88)

這裏說明一點，利用平均根數法導出的上述長、短周期項σ(1)l(t)和σ(1)s(t)，原完整形式為和，有

=σ(1)s(t)－σ(1)s(t),=σ(1)l(t)+σ(1)s(t)(4.89)

其中σ(1)s(t)的平均值σ(1)s(t)≠0，但根據平均根數法的原理，攝動解中的σ(1)l(t)和σ(1)s(t)都是以同一平均根數σ-(t)作為變量計算的，那麼顯然有

+=σ(1)s(t)+σ(1)l(t)

因此，可以采用前麵分別給出的σ(1)s(t)和σ(1)l(t)，而不必引進σ(1)s(t)。但在擬平均根數中，必須嚴格區分長、短周期項，其形式將會在後麵相關部分具體給出。

4.2.2第一類無奇點根數的攝動解

為了使一種方法可普遍適用於各種情況，應能同時消除各類奇點，包括軌道變量的幾何奇點（即狀態變量選擇導致的e=0和i=0問題）和攝動解中的通約奇點，相應的無奇點攝動解有如下兩類：

（1）　同時消除小e和通約奇點的攝動解，稱為第一類無奇點攝動解。

（2）　同時消除小e，小i和通約奇點的攝動解，稱為第二類無奇點攝動解。

作為中、低軌衛星，軌道傾角一般不會接近於零，在此應用背景下，需要構造第一類無奇點攝動解，至於同時考慮小e，小i和通約奇點的第二類無奇點攝動解，將在下麵第4.2.3小節中作相應的介紹。

4.2.2.1基本變量的選擇

為了解決小e問題，引用第一類無奇點變量，即

a,i,Ω,ξ=ecosω,η=esinω,λ=M+ω(4.90)

並仍然統一記為矢量形式σ，其六個分量按上述次序排列，相應的攝動運動方程采用以攝動函數Rσ表達的無奇點形式。

仍以中心天體非球形引力位中的主要攝動源（扁率項J2部分）為背景，則有

R=J22a3ar31－32sin2i+32sin2icos2(f+ω)(4.91)

借助求平均值的方法將其分為如下兩個部分：

R=R1=R1c+R1s(4.92）

R1c=J22a31－32sin2i(1－e2)－3\/2(4.93）

R1s=J22a31－32sin2iar3－(1－e2)－3\/2+32sin2icos2(f+ω)(4.94）

其中

e2=ξ2+η2,ω=arctan(η\/ξ),M=λ－arctan(η\/ξ),

f=f(M(ξ,η,λ),e(ξ,η))(4.95）

以此代入(R\/σ)型的攝動運動方程即得

σ·=f0(a)+f1(σ,ε)(4.96）

f0(a)=δn,n=a－3\/2(4.97）

f1(σ,ε)=f1c(a,e(ξ,η),i)+f1s(a,e(ξ,η),i,ω(ξ,η),f(λ,ξ,η))(4.98）

f1c和f1s，分別對應R1c和R1s。為了前後公式表達一致，這裏所有公式亦采用無量綱形式。

4.2.2.2無奇點攝動解的構造方法［3~7］

采用的是擬平均根數法，其構造的小參數冪級數解的形式如下：

σ(t)=σ-0+[δn-(t－t0)+(σ1+σ2+…)(t－t0)+Δσ(1)l(t)+…]+σ(1)s(t)+…（4.99）

詳見前麵第3章的3.6和3.7兩節的介紹。顯然，采用擬平均根數法，在構造相應的一階攝動解中，由於對長周期項（包括存在通約奇點的短周期項）的處理與平均根數法有所差別，導致原求和項

∑j(f1c+f1s)σj(σ(1)l+σ(1)s)j

的計算變為下列形式：

∑j(f1c+f1s)σj(σ(1)s)j(4.100)

這是構造一階攝動解（包括一階短周期項，一、二階長期項和一階長周期變化項）過程中的主要運算部分。關於這一內容，前麵第3章中已給出證明，可直接利用原Kepler根數解的相應結果組合而成，詳見前麵第3.7.1小節的相關內容。

4.2.2.3無奇點攝動解的表達形式

根據理論證明，對於引力攝動，長期項（包括長周期項）可由下列各表達式構成：

Δa(t)=0(4.101)

Δi(t)=Δil(t)(4.102)

ΔΩ(t)=ΔΩc(t)+ΔΩl(t)(4.103)

Δξ(t)=cosω[Δe(t)]－sinω[eΔω(t)](4.104)

Δη(t)=sinω[Δe(t)]+cosω[eΔω(t)](4.105)

Δλ(t)=n-(t－t0)+[ΔM(t)+Δω(t)](4.106)

其中n-=a-－3\/2=a-－3\/20，Δσ(t)包括長期項和長周期變化項。

考慮到(4.104)~(4.105)表達式是線性形式，其中包含了地球引力J2項的一階長期攝動部分，而對於一階攝動解往往又要精確到二階長期攝動部分，因此，考慮到J2項攝動，對其相應的由ω的長期變化所引起的長期項部分，還是采用原第一類無奇點攝動解的“完整”表達形式，即

Δξ(t)=ξ-0cosΔω(t)－η-0sinΔω(t)(4.107)

Δη(t)=η-0cosΔω(t)+ξ-0sinΔω(t)(4.108)

其中ξ-0和η-0的定義不變。

短周期項由下列各表達式構成：

as(t)=a(1)s(t)+a(2)s(t)(4.109)

i(1)s(t)=i(1)s(t)(4.110)

Ω(1)s(t)=Ω(1)s(t)(4.111)

ξ(1)s(t)=cosω[e(1)s(t)]－sinω[eω(1)s(t)](4.112)

η(1)s(t)=sinω[e(1)s(t)]+cosω[eω(1)s(t)](4.113)

λ(1)s(t)=[M(1)s(t)]+[ω(1)s(t)](4.114)

上列攝動解涉及的表達式(4.102)~(4.114)中的Δe(t),Δi(t),Δω(t),ΔΩ(t),ΔM(t)和a(1)s(t),e(1)s(t),i(1)s(t),ω(1)s(t),Ω(1)s(t),M(1)s(t)，就是Kepler根數解的“相應”結果，具體形式在下麵第4.2.2.4小節列出。按照上述處理方法，由原Kepler根數的解組合而成的無奇點攝動解，不會再出現(1\/e)型的因子。

4.2.2.4無奇點攝動解對應的Kepler根數解的表達式

根據上一小節的說明，無奇點攝動解中所對應的Kepler根數解的“相應”形式如下：

1）　Δσ(t)中σ1(t－t0)和σ2(t－t0)的變率σ1和σ2

a1=0,e1=0,i1=0(4.115)

Ω1=－3J22p2ncosi(4.116)

ω1=3J22p2n2－52sin2i(4.117)

M1=3J22p2n1－32sin2i1－e2(4.118)

a2=0,e2=0,i2=0(4.119)

Ω2=－3J22p22ncosi32+16e2+1－e2－53－524e2+321－e2sin2i(4.120)

ω2=3J22p22n4+712e2+21－e2－10312+38e2+1121－e2sin2i

+21548－1532e2+1541－e2sin4i(4.121)

M2=3J22p22n1－e2121－32sin2i21－e2+52+103e2

－193+263e2sin2i+23348+10312e2sin4i

+e41－e23512－354sin2i+31532sin4i(4.122)

2）　Δσ(t)中的長周期變化部分Δσ(1)l(t)=σ(1)l(t)－σ(1)l(t0)

Δa(1)l(t)=0(4.123)

Δe(1)l(t)=3J22p2(1－e2)esin2i132－52sin2iF2(e)+712－58sin2iG2s(4.124)

Δi(1)l(t)=－3J22p2e2sinicosi132－52sin2iF2(e)+712－58sin2iG2s(4.125)

ΔΩ(1)l(t)=3J22p2e2cosi23－53sin2iF2(e)+712－54sin2iG2c(4.126)

Δω(1)l(t)=－3J22p2sin2i(4－5sin2i)18+1－e26F2(e)e

+e223－113sin2i+103sin4iF2

-sin2i2512－52sin2i+e2712－7924sin2i+4516sin4iG2c(4.127)

ΔM(1)l(t)=－3J22p21－e2sin2i－(4－5sin2i)e24+1+2e26F2(e)

+1912－158sin2i+e223－2sin2iG2c

+e41－e2721－32sin2iG2c+364sin2iG4c(4.128)

F2(e)=cos2fe2=1+21－e2(1+1－e2)2=34+18e2+364e4+…(4.129)

G2s=(cos2ω-－cos2ω-0)22－52sin2i→－sin2ω-03J22p2n(t－t0)

G2c=－(sin2ω-－sin2ω-0)22－52sin2i→－cos2ω-03J22p2n(t－t0)

G4c=－(sin4ω-－sin4ω-0)42－52sin2i→－cos4ω-03J22p2n(t－t0)(4.130)

上述各式中的a,e,i,n均為擬平均根數a-0,e-0,i-0,n-0=μa-(－3\/2)0，而p=a(1－e2)即p0=a-0(1－e-20)。另外，ω-0為t0時刻近地點幅角的擬平均根數ω-0(t0)，該式表明長周期變化項Δσ(1)l(t)可有兩種算法：當衛星傾角i接近臨界傾角ic=63.4°時，就按(4.130)式右端計算，否則即按(4.130)式左端計算，這就避免了由其引起的通約小分母問題。

3）　σ(1)s(t)和a(2)s(t)

a(1)s(t)=3J22a231－32sin2iar3－(1－e2)－3\/2+sin2iar3cos2(f+ω)(4.131)

e(1)s(t)=3J22p2131－32sin2ie2+1－e2－e21+1－e2+cosf(3(1+ecosf)+(ecosf)2)

+12sin2ie+cosf(3(1+ecosf)+(ecosf)2)cos2(f+ω)

－(1－e2)cos(f+2ω)+13cos(3f+2ω)(4.132)

i(1)s(t)=3J22p2sin2ie4cos(f+2ω)+14cos(2f+2ω)+e12cos(3f+2ω)(4.133)

Ω(1)s(t)=－3J22p2cosi(f－M+esinf)

－12esin(f+2ω)+sin(2f+2ω)+e3sin(3f+2ω)(4.134)

eω(1)s(t)=3J22p22－52sin2i(f－M+esinf)e

+1－32sin2i1－e24sinf+e2sin2f+e212sin3f

－e2esin(f+2ω)+sin2(f+ω)+e3sin(3f+2ω)

+sin2ie216sin(f－2ω)－14－1516e2sin(f+2ω)+54esin2(f+ω)

+712+1948e2sin(3f+2ω)+38esin(4f+2ω)+e216sin(5f+2ω)(4.135)

λ(1)s(t)=M(1)s(t)+ω(1)s(t)

=－cosiΩ(1)s(t)

+3J22p21－e21－32sin2i(f－M+esinf)

+sin2i34esin(f+2ω)+34sin(2f+2ω)+14esin(3f+2ω)

+11+1－e23J22p21－32sin2i(f－M+esinf)e2

+1－e24esinf+e22sin2f+e312sin3f

+sin2i－14－716e2esin(f+2ω)+34e2sin2(f+ω)

+712+1148e2esin(3f+2ω)+38e2sin(4f+2ω)

+e316(sin(5f+2ω)+sin(f－2ω))(4.136)

上述σ(1)s(t)的完整表達式為σ(1)s(t)－σ(1)s(t)，σ(1)s(t)的具體形式如下：

a(1)s(t)=0

e(1)s(t)=163J22p2sin2iF2(e)(1－e2)ecos2ω

i(1)s(t)=－163J22p2sinicosiF2(e)e2cos2ω

Ω(1)s(t)=－163J22p2cosiF2(e)e2sin2ω

ω(1)s(t)=163J22p2sin2i34+(1－e2)F2(e)+cos2i(e2F2(e))sin2ω

λ(1)s(t)=163J22p2sin2i11+1－e234+1+e22F2(e)+1－52sin2iF2(e)e2sin2ω(4.137)

關於a(2)s(t)，考慮到上述處理方法，即可由原Kepler根數的解組合成無奇點攝動解而不會再出現(1\/e)型因子的原理，需要給出采用擬平均根數法時，Kepler根數解中a(2)s(t)的形式。顯然應該采用對應前麵(4.76)式的轉化形式，直接列出如下：

[a(2)s(t)]1=－2aa(1)s(t)+3J22a(1－e2)－3\/21－32sin2ia(1)s

+3J22a1－32sin2i2ar4cosf－e(1－e2)－5\/2

－41－e2sin2iar31+e2cosfsinfsin2(f+ω)

+3sin2iar4cosfcos2(f+ω)(e(1)s－e(1)s)

+3J22asin2iar3[cos2(f+ω)－1](i(1)s－i(1)s)

+3J22a－2sin2iar3sin2(f+ω)(ω(1)s－ω(1)s)

+3J22a－e1－e2ar4sinf21－32sin2i+3sin2icos2(f+ω)

－21－e2sin2iar5sin2(f+ω)(M(1)s－M(1)s)

－aDa(1)sac+aDa(1)sal(4.138)

其中有關(ω(1)s－ω(1)s)和(M(1)s－M(1)s)的兩大項需要作消除1e的處理，即

3J22a－2sin2iar3sin2(f+ω)(ω(1)s－ω(1)s)

+3J22a－e1－e2ar4sinf21－32sin2i+3sin2icos2(f+ω)

－21－e2sin2iar5sin2(f+ω)(M(1)s－M(1)s)

=3J22a－11－e2ar4sinf21－32sin2i+3sin2icos2(f+ω)(eM(1)s－eM(1)s)

+3J22a－2sin2iar3sin2(f+ω)(λ(1)s－λ(1)s)

+3J22a2sin2iar3sin2(f+ω)1－1－e2ar2(M(1)s－M(1)s)

由此給出a(2)s(t)的下列表達形式：

[a(2)s(t)]1=－2aa(1)s(t)+3J22a(1－e2)－3\/21－32sin2ia(1)s

+3J22a1－32sin2i2ar4cosf－e(1－e2)－5\/2

－41－e2sin2iar31+e2cosfsinfsin2(f+ω)

+3sin2iar4cosfcos2(f+ω)(e(1)s－e(1)s)

+3J22asin2iar3[cos2(f+ω)－1](i(1)s－i(1)s)

+3J22a－2sin2iar3sin2(f+ω)(λ(1)s－λ(1)s)

+3J22a2(1－e2)2sin2iar3sin2(f+ω)e－1－21－e21+1－e2+e2

－1－e2(2cosf+ecos2f)

－11－e2ar4sinf21－32sin2i+3sin2icos2(f+ω)(eM(1)s－eM(1)s)

－aDa(1)sac+aDa(1)sal(4.139)

其中，aDa(1)sac+aDa(1)sal的表達形式見(4.77)式。表達形式(4.139)不再出現因子1e。

如有需要，a(2)s(t)還可以直接采用原無奇點變量表達的形式，僅就該項而言，不會給具體計算帶來麻煩，形式如下：

a(2)s(t)=－2aa(1)s(t)+3J22a(1－e2)－3\/21－32sin2ia(1)s

－3J22asin2iar3(1－cos2u)(i(1)s－i(1)s)

－3J22a11－e2ar4(ξsinu－ηcosu)[2－3sin2i(1－cos2u)]

+1－e2ar5sin2isin2u(λ(1)s－λ(1)s)

+3J2aar41－32sin2i(1－cos2u)[cosu+F4(e)(η2cosu－ξηsinu)]

+(1－e2)－3\/2ar3sin2isin2u－F5(e)η－2sinu－12(ξsin2u－ηcos2u)

+12F1(e)ξ4(ξsinu－ηcosu)+(ξ2－η2)sin2u－2ξηcos2uξ(1)s

+3J2aar41－32sin2i(1－cos2u)[sinu+F4(e)(ξ2sinu－ξηcosu)]

+(1－e2)－3\/2ar3sin2isin2uF5(e)ξ+2cosu+12(ξcos2u+ηsin2u)

－12F1(e)η(4(ξsinu－ηcosu)+(ξ2－η2)sin2u－2ξηcos2u)η(1)s

－3J22p22a1－e21－32sin2i2169+199e2+11－e23518e4+291－e2

+sin2i1+23e2+sin4i－56－2524e2+11－e23516e4

+sin2i－232－52sin2iF2(e)+56－74sin2i+e21－e273－72sin2i(ξ2－η2)

+sin4i132(1－e2)(ξ4－6ξ2η2+η4)(4.140)

上述短周期項各式右端出現的根數均為σ-(t)。短周期項中出現的無奇點變量ξ,η同樣可按定義由Kepler根數給出，即ξ=ecosω,η=esinω，u=f+ω，f為真近點角。計算過程中需求f和ar，均按下列公式計算：

ar=(1－ecosE)－1(4.141)

sinf=ar1－e2sinE,cosf=ar(cosE－e)(4.142)

計算中涉及的軌道偏近點角E將由下列Kepler方程的解給出：

E=M+esinE(4.143)

另一組輔助量F1(e),F2(e),…,F5(e)由下式表達：

F1(e)=1(1+1－e2)

F2(e)=cos2fe2=1+21－e2(1+1－e2)2=34+18e2+364e4+…

F3(e)=1e4cos2f－34e2=1+31－e24(1+1－e2)3=18+364e2+3128e4+…

F4(e)=11－e2(1+1－e2)=11－e2F1(e)

F5(e)=5+31－e2－2e22(1+1－e2)=12(5+31－e2－2e2)F1(e)(4.144)

4.2.2.5無奇點攝動解的計算

采用擬平均根數法構造的無奇點攝動解即

σ(t)=σ-+σ(1)s(t)+σ(2)s(t)+…(4.145)

這裏仍采用符號σ-(t)記作僅消除短周期項的擬平均根數，有

σ-(t)=σ-0+(δn-0+σ1+σ2+…)(t－t0)+Δσ(1)l(t)+…

σ-0=σ0－[σ(1)s(t0)+σ(2)s(t0)+…]

Δσ(1)l(t)=σ(1)l(t)－σ(1)l(t0)(4.146)

這裏δ的含義同前，見（4.49）式。在此處理下，Δσ(1)l(t)與σ2(t－t0)相當，特別在軌道外推弧段不太長時，長周期變化項確實與長期變化項並無明顯差別，這更符合平均法的構想。具體的計算公式見第4.2.2.3和4.2.2.4小節提供的相應的表達形式。

4.2.3第二類無奇點根數的攝動解

4.2.3.1基本變量的選擇與攝動解的構造

對於高軌衛星，會同時出現小e，小i的狀態，為此，引用下述第二類無奇點變量：

a，ξ=ecosω~，η=esinω~

h=sini2cosΩ，k=sini2sinΩ，λ=M+ω~(4.147)

其中ω~=ω+Ω。同樣可像提供第一類無奇點攝動解的處理方式，采用擬平均根數法具體構造相應的無奇點攝動解，即同時消除小e，小i和通約奇點的攝動解。

4.2.3.2第二類無奇點攝動解的表達形式

同樣以扁率項（J2）攝動源為例，除采用變量與第一類無奇點變量形式不同外，構造相應攝動解的方法仍由原Kepler根數的解按相應的關係進行組合而成。無奇點軌道攝動分析解的表達形式即(4.145)式：

σ(t)=σ-+σ(1)s(t)+σ(2)s(t)+…

這裏σ-(t)同樣是僅消除短周期項的擬平均根數，其定義不再重複，表達的形式與第一類無奇點攝動解相同，見前麵的(4.146)式。

（1）　6個無奇點根數σ=(a,ξ,η,h,k,λ)攝動解的長期項（包括長周期變化項）表達式由下列形式構成：

Δa(t)=0(4.148)

Δξ(t)=cosω~[Δe(t)]－esinω~[Δω(t)+ΔΩ(t)](4.149)

Δη(t)=sinω~[Δe(t)]+ecosω~[Δω(t)+ΔΩ(t)](4.150)

Δh(t)=12cosi2cosΩ[Δi(t)]－sini2sinΩ[ΔΩ(t)](4.151)

Δk(t)=12cosi2sinΩ[Δi(t)]+sini2cosΩ[ΔΩ(t)](4.152)

Δλ(t)=n-(t－t0)+[ΔM(t)+Δω(t)+ΔΩ(t)](4.153)

其中n-=a-－3\/2=a-－3\/20，Δσ(t)包括長期項和長周期變化項。

（2）　短周期項由下列形式構成：

as(t)=a(1)s(t)+a(2)s(t)(4.154)

ξ(1)s(t)=cosω~[e(1)s(t)]－esinω~[ω(1)s(t)+Ω(1)s(t)](4.155)

η(1)s(t)=sinω~[e(1)s(t)]+ecosω~[ω(1)s(t)+Ω(1)s(t)](4.156)

h(1)s(t)=12cosi2cosΩ[i(1)s(t)]－sinΩsini2Ω(1)s(t)(4.157)

k(1)s(t)=12cosi2sinΩ[i(1)s(t)]+cosΩsini2Ω(1)s(t)(4.158)

λ(1)s(t)=[M(1)s(t)]1+(1－1－e2)[ω(1)s(t)]1+(1－cosi)[Ω(1)s(t)](4.159)

上列公式(4.149)~(4.159)的各表達式中出現的Δe(t),Δi(t),Δω(t),ΔΩ(t),ΔM(t)和a(1)s(t),e(1)s(t),i(1)s(t),ω(1)s(t),Ω(1)s(t),M(1)s(t)，就是Kepler根數解的相應結果，其中σ(1)s(t)的完整表達式為σ(1)s(t)－σ(1)s(t)。按照上述處理方法提供的無奇點攝動解，同樣不會再出現(1\/e)和(1\/sini)型因子。與第一類無奇點攝動解中關於λ(1)s(t)表達式的組合類似，亦可以明確給出相應的消除小e，小i因子的無奇點形式，如下：

λ(1)s(t)=(1－cosi)[Ω(1)s(t)]+(1－1－e2)[ω(1)s(t)]1+[M(1)s(t)]1

－[Ω(1)s(t)+ω(1)s(t)+M(1)s(t)]

=11+cosi[sin2iΩ(1)s(t)]

+3J22p22－52sin2i[(f－M)+esinf]

+F1(e)1－32sin2i1－e24esinf+e22sin2f+e312sin3f

－1－52sin2i12esin(f+2ω)+12sin(2f+2ω)+16esin(3f+2ω)

－F1(e)sin2i14+516e2esin(f+2ω)－712－148e2esin(3f+2ω)

－38e2sin(4f+2ω)－e316(sin(5f+2ω)+sin(f－2ω))

－[Ω(1)s(t)+ω(1)s(t)+M(1)s(t)](4.160)

其中Ω(1)s(t),ω(1)s(t),M(1)s(t)三項沒有(1\/e)和(1\/sini)因子，不再具體寫出，見表達式(4.137)。

在具體引用相應攝動解進行軌道外推時，基本狀態量必須是無奇點變量，而中間過程變量卻是由相應的無奇點變量（瞬時量σ(t)或平均量σ-(t)）轉換後的Kepler根數：a(t),e(t),…或a-(t),e-(t),…。

這一小節提供的無奇點攝動解，除不會再出現臨界傾角等通約奇點因子外，也同樣不會再出現(1\/e)和(1\/sini)型的因子。關於a(2)s(t)，與第一類無奇點攝動解形式相同，見表達式(4.139)或(4.140)，原本就不含(1\/sini)型的因子。

4.3地球橢率項J2,2的一階攝動解

4.3.1Kepler根數形式的一階攝動解

4.3.1.1J2，2項攝動的短周期效應

為了簡便，將諧係數C2,2,S2,2以J2,2和相應的幅角λ2,2的形式表達，有

R2,2=J2,2rl+1P2,2(sinφ)cosmλ-

J2,2=(C22,2+S22,2)1\/2,P2,2(sinφ)=3cos2φ

λ-=λ－λ2,2,2λ2,2=arctanS2,2C2,2(4.161)

見圖4.1，λ2,2即由諧項係數C2,2,S2,2所確定的地球赤道“對稱軸”方向(X方向)的地理經度。

圖4.1地固坐標係和天球坐標係

J2項攝動是反映非球形引力位的扁率效應，而J2，2項攝動則是反映赤道橢率效應。對於一般軌道問題,J2,2項攝動隻有短周期效應，記作σ(2)s(t,J2,2)，形式如下：

a(2)s(t)=3(J2,2)2a(1+cosi)2－e2(1－2α)cos(M+2ω+2Ω2,2)

+11－αcos(2M+2ω+2Ω2,2)+7e2(1－2α\/3)cos(3M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i3e2(1－2α)cos(M+2Ω2,2)+3e2(1+2α)cos(M－2Ω2,2)

+(1－cosi)2－e2(1+2α)cos(M+2ω－2Ω2,2)

+11+αcos(2M+2ω－2Ω2,2)+7e2(1+2α\/3)cos(3Ω+2ω－2Ω2,2)(4.162)

e(2)s(t)=3(J2,2)4a2

×(1+cosi)212(1－2α)cos(M+2ω+2Ω2,2)－e2(1－α)cos(2M+2ω+2Ω2,2)

+76(1－2α\/3)cos(3M+2ω+2Ω2,2)+17e4(1－α\/2)cos(4M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i32(1－2α)cos(M+2Ω2,2)+9e4(1－α)cos(2M+2Ω2,2)

+32(1+2α)cos(M－2Ω2,2)+9e4(1+α)cos(2M－2Ω2,2)

+(1－cosi)212(1+2α)cos(M+2ω－2Ω2,2)－e2(1+α)cos(2M+2ω－2Ω2,2)

+76(1+2α\/3)cos(3M+2ω－2Ω2,2)+17e4(1+α\/2)cos(4M+2ω－2Ω2,2)(4.163)

i(2)s(t)=3(J2,2)2a2sini(1+cosi)e2(1－2α)cos(M+2ω+2Ω2,2)

－12(1－α)cos(2M+2ω+2Ω2,2)－7e6(1－2α\/3)cos(3M+2ω+2Ω2,2)

+2－3e2(1－2α)cos(M+2Ω2,2)+12αcos(2Ω2,2)+3e2(1+2α)cos(M－2Ω2,2)

+(1－cosi)－e2(1+2α)cos(M+2ω－2Ω2,2)

+12(1+α)cos(2M+2ω－2Ω2,2)+7e6(1+2α\/3)cos(3M+2ω－2Ω2,2)(4.164)

Ω(2)s(t)=3(J2,2)2a2(1+cosi)e2(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

－12(1－α)sin(2M+2ω+2Ω2,2)－7e6(1－2α\/3)sin(3M+2ω+2Ω2,2)

+2cosi3e2(1－2α)sin(M+2Ω2,2)－12αsin(2Ω2,2)+3e2(1+2α)sin(M－2Ω2,2)

+(1－cosi)－e2(1+2α)sin(M+2ω－2Ω2,2)

+12(1+α)sin(2M+2ω－2Ω2,2)+7e6(1+2α\/3)sin(3M+2ω－2Ω2,2)(4.165)

ω(2)s(t)=－cosiΩ(2)s(t)

+3(J2,2)4a21e(1+cosi)2－12(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

－5e2(1－α)sin(2M+2ω+2Ω2,2)+76(1－2α\/3)sin(3M+2ω+2Ω2,2)

+17e4(1－α\/2)sin(4M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i9e4(1－α)sin(2M+2Ω2,2)+32(1－2α)sin(M+2Ω2,2)

－3e2αsin(2Ω2,2)+32(1+2α)sin(M－2Ω2,2)+9e4(1+α)sin(2M－2Ω2,2)

+(1－cosi)2－12(1+2α)sin(M+2ω－2Ω2,2)－5e2(1+α)sin(2M+2ω－2Ω2,2)

+76(1+2α\/3)sin(3M+2ω－2Ω2,2)+17e4(1+α\/2)sin(4M+2ω－2Ω2,2)(4.166)

M(2)s(t)=－1－e22(ω(1)s(t)+cosiΩ(1)s)

+9(J2,2)4a2(1+cosi)2－e(1－2α)1－12(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

+1(1－α)1－12(1－2α)sin(2M+2ω+2Ω2,2)

+7e3(1－2α\/3)1－12(1－2α\/3)sin(3M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i3e(1－2α)1－12(1－2α)sin(M+2Ω2,2)－1αsin(2Ω2,2)

+3e(1+2α)1－12(1+2α)sin(M－2Ω2,2)

+(1－cosi)2－e(1+2α)1－12(1+2α)sin(M+2ω－2Ω2,2)

+1(1+α)1－12(1+α)sin(2M+2ω－2Ω2,2)

+7e3(1+2α\/3)1－12(1+2α\/3)sin(3M+2ω－2Ω2,2)(4.167)

其中Ω,ω,M分別為t時刻的擬平均根數Ω-(t),ω-(t),M(t)。

上述各式中出現的Ω2，2的計算公式如下：

Ω2，2=(Ω－θ2,2)－ne(t－t0)

θ2,2=SG+λ2,2(4.168)

θ2,2是t0時刻地球赤道“對稱軸”方向（經度即λ2,2）的地方“恒星時”，ne是地球自轉角速度，SG是格林尼治恒星時，按IAU1980規範的計算公式如下：

SG=S-G+Δμ,

S-G=18h.6973746+879000h.0513367t+0s.093104t2,

t=136525.0[JD(t)－JD(2000.0)](4.169)

其中Δμ是赤經章動，有關計算的細節詳見章動計算，相應的地球自轉角速度可取近似，有ne≈S·-G=360°.98564745\/day。

若按IAU2000規範計算，格林尼治恒星時SG的表達形式為

GAST=GMST+EE(4.170)

其中GAST即對應IAU1980規範中的真恒星時SG，而GMST,EE則分別稱為格林尼治平恒星時和二均差（各對應IAU1980規範中的平恒星時SG和赤經章動Δμ），它們的具體計算公式詳見第1章中給出的IAU2000規範的章動計算公式：(1.65)和(1.66)式。

4.3.1.2J2，2項攝動效應中的通約部分

考慮兩種主要的通約狀態，即中軌衛星（如MEO衛星）和高軌衛星（如GEO衛星）軌道。

(1)　中軌狀態

由J2,2項攝動引起的地球中軌衛星軌道變化的共振部分σ(2)s(t,J2,2;α)（對應半日運動周期），保持到O(e)項的形式如下：

a(2)s(t)=3J2,22a(1+cosi)2－e2(1－2α)cos(M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i3e2(1－2α)cos(M+2Ω2,2)(4.171)

e(2)s(t)=3(J2,2)4a2(1+cosi)212(1－2α)cos(M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i32(1－2α)cos(M+2Ω2,2)(4.172)

i(2)s(t)=3(J2,2)2a2sini(1+cosi)e2(1－2α)cos(M+2ω+2Ω2,2)

+2－3e2(1－2α)cos(M+2Ω2,2)(4.173)

Ω(2)s(t)=3(J2,2)2a2(1+cosi)e2(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

+2cosi3e2(1－2α)sin(M+2Ω2,2)(4.174)

ω(2)s(t)=－cosiΩ(2)s(t)

+3(J2,2)4a21e(1+cosi)2－12(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i32(1－2α)sin(M+2Ω2,2)(4.175)

M(2)s(t)=－1－e22(ω(1)s(t)+cosiΩ(1)s)

+9(J2,2)4a2(1+cosi)2－e(1－2α)1－12(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i3e(1－2α)1－12(1－2α)sin(M+2Ω2,2)(4.176)

上述各式中出現的Ω2，2意義同前，見(4.168)式。

通約的體現即上述攝動項表達式中的因子11－2α，其中α的定義如下：

α=n′\/n(4.177)

這裏n是衛星平運動角速度，當

α=n′\/n≈12(4.178)

時出現通約問題，這對應半日運動周期的地球中軌衛星軌道。

(2)　高軌狀態

如GEO衛星，有α=n′\/n≈1，這就導致相應的短周期項σ(2)s(t,J2,2)轉化為帶有通約性質的長周期項，記作σ(1)l(t,J2,2)，具體形式如下：

a(1)l(t)=3(J2,2)2a(1+cosi)2cos(2M+2ω+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+ω1+M1)n(4.179)

e(1)l(t)=3(J2,2)8a2e－(1+cosi)2cos(2M+2ω+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+ω1+M1)+9sin2icos(2M+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+M1)n(4.180)

i(1)l(t)=3(J2,2)4a2－sini(1+cosi)cos(2M+2ω+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+ω1+M1)n(4.181)

Ω(1)l(t)=3(J2,2)4a2－(1+cosi)sin(2M+2ω+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+ω1+M1)n(4.182)

ω(1)l(t)=－cosi[Ω(1)l(t)]

+3(J2,2)4a252(1+cosi)2sin(2M+2ω+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+ω1+M1)

+92sin2isin(2M+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+M1)n(4.183)

M(1)l(t)=－3(J2,2)4a252(1+cosi)2sin(2M+2ω+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+ω1+M1)

+92sin2isin(2M+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+M1)n

+9(J2,2)4a2(1+cosi)2sin(2M+2ω+2Ω2,2)(n－n′)+(Ω1+ω1+M1)n(4.184)

上述各式中出現的Ω2，2意義亦同前，見(4.168)式。

4.3.2第一類無奇點根數的攝動解

J2，2項攝動隻有短周期效應，相應的短周期項由下列各表達式構成：

a(2)s(t)=a(2)s(t)(4.185)

i(2)s(t)=i(2)s(t)(4.186)

Ω(2)s(t)=Ω(2)s(t)(4.187)

ξ(2)s(t)=cosω[e(2)s(t)]－sinω[eω(2)s(t)](4.188)

η(2)s(t)=sinω[e(2)s(t)]+cosω[eω(2)s(t)](4.189)

λ(2)s(t)=[M(2)s(t)]+[ω(2)s(t)]，其具體形式如下：

λ(2)s(t)=－cosiΩ(2)s(t)

+3(J2,2)4a2e2(1+cosi)2－12(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

+76(1－2α\/3)sin(3M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i32(1－2α)sin(M+2Ω2,2)+32(1+2α)sin(M－2Ω2,2)

+(1－cosi)2－12(1+2α)sin(M+2ω－2Ω2,2)

+76(1+2α\/3)sin(3M+2ω－2Ω2,2)

+9(J2,2)4a2(1+cosi)2－e(1－2α)1－12(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

+1(1－α)1－12(1－2α)sin(2M+2ω+2Ω2,2)

+7e3(1－2α\/3)1－12(1－2α\/3)sin(3M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i3e(1－2α)1－12(1－2α)sin(M+2Ω2,2)－1αsin(2Ω2,2)

+3e(1+2α)1－12(1+2α)sin(M－2Ω2,2)

+(1－cosi)2－e(1+2α)1－12(1+2α)sin(M+2ω－2Ω2,2)

+1(1+α)1－12(1+α)sin(2M+2ω－2Ω2,2)

+7e3(1+2α\/3)1－12(1+2α\/3)sin(3M+2ω－2Ω2,2)(4.190)

上列攝動解表達式右端出現的a(1)s(t),e(1)s(t),i(1)s(t),ω(1)s(t),Ω(1)s(t),M(1)s(t)，就是Kepler根數解的“相應”結果。按照上述處理方法，由原Kepler根數的解組合而成的無奇點攝動解，不會再出現(1\/e)型的因子。

4.3.3第二類無奇點根數的攝動解

第二類無奇點變量同前，見定義(4.147)式。同樣采用擬平均根數法具體構造相應的無奇點攝動解，即同時消除小e，小i和通約奇點的攝動解。

對J2，2項攝動而言，同樣隻有短周期效應，相應的短周期項由下列各表達式構成：

a(2)s(t)=a(2)s(t)(4.191)

ξ(2)s(t)=cosω~[e(2)s(t)]－sinω~[eω(2)s(t)+eΩ(2)s(t)](4.192)

η(2)s(t)=sinω~[e(2)s(t)]+cosω~[eω(2)s(t)+eΩ(2)s(t)](4.193)

h(2)s(t)=12cosi2cosΩ[i(2)s(t)]－sinΩsini2Ω(2)s(t)(4.194)

k(2)s(t)=12cosi2sinΩ[i(2)s(t)]+cosΩsini2Ω(2)s(t)(4.195)

λ(2)s(t)=M(2)s(t)+ω(2)s(t)+Ω(2)s(t)，其具體形式如下：

λ(2)s(t)=(1－cosi)Ω(2)s(t)

+3(J2,2)4a2e2(1+cosi)2－12(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

+76(1－2α\/3)sin(3M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i32(1－2α)sin(M+2Ω2,2)+32(1+2α)sin(M－2Ω2,2)

+(1－cosi)2－12(1+2α)sin(M+2ω－2Ω2,2)

+76(1+2α\/3)sin(3M+2ω－2Ω2,2)

+9(J2,2)4a2(1+cosi)2－e(1－2α)1－12(1－2α)sin(M+2ω+2Ω2,2)

+1(1－α)1－12(1－2α)sin(2M+2ω+2Ω2,2)

+7e3(1－2α\/3)1－12(1－2α\/3)sin(3M+2ω+2Ω2,2)

+2sin2i3e(1－2α)1－12(1－2α)sin(M+2Ω2,2)－1αsin(2Ω2,2)

+3e(1+2α)1－12(1+2α)sin(M－2Ω2,2)

+(1－cosi)2－e(1+2α)1－12(1+2α)sin(M+2ω－2Ω2,2)

+1(1+α)1－12(1+α)sin(2M+2ω－2Ω2,2)

+7e3(1+2α\/3)1－12(1+2α\/3)sin(3M+2ω－2Ω2,2)(4.196)

上列攝動解表達式右端出現的a(1)s(t),e(1)s(t),i(1)s(t),ω(1)s(t),Ω(1)s(t),M(1)s(t)，就是Kepler根數解的“相應”結果。按照上述處理方法，由原Kepler根數的解組合而成的無奇點攝動解，不會再出現(1\/e)和(1\/sini)型的因子。

4.4一階攝動解意義下的坐標係附加攝動

4.4.1坐標係附加攝動的提出［3,8］

對人造地球衛星（特別是中、低軌衛星）的軌道運動而言，最重要的攝動源就是上述地球非球形引力，而地球引力位卻是在地固坐標係（對應“真赤道麵”）中定義的，這就導致在曆元地心天球坐標係（即地心平赤道坐標係）中處理衛星運動問題時，必須考慮地球引力位的變化對衛星軌道的影響。

在地心平赤道坐標係中，地球非球形引力攝動F→由相應的引力位V(r→)的梯度表達：

F→=gradV(r→)(4.197)

而直接給出的地球引力位是在地固坐標係中定義的，即V(R→)，采用歸一化單位的形式即

V(R→)=GER1－J2aeR2P2(sinφ)

+aeR2P2,2(sinφ)[C2,2cos2λG+S2,2sin2λG](4.198)

其中R,φ,λG是地固坐標係中R→的三個球坐標分量。

考慮到問題表達的方便和定量精度的現實要求，采用IAU1980規範來處理衛星軌道解中的坐標係附加攝動問題顯然是可取的，至於IAU1980規範與IAU2000規範之間的差別，無論從定性還是定量的角度來看，都不會影響坐標係附加攝動的結果。

分別用r→和R→表示衛星在地心天球坐標係Oxyz和地固坐標係OXYZ中的位置矢量。衛星的位置矢量在這兩個坐標係之間的轉換關係，已在第1章第1.3.4小節中給出，即

R→=X

Y

Z=(HG)r→=(HG)x

y

z(4.199)

轉換矩陣(HG)的定義如下：

(HG)=(EP)(ER)(NR)(PR)(4.200)

該矩陣包含了歲差矩陣(PR)、章動矩陣(NR)、地球自轉矩陣(ER)和地球極移矩陣(EP)。對於分析解而言，從實用角度來看，隻要考慮到一階攝動解的精度需求，在此前提下給出如下關係：

X=(xcosSG+ysinSG)

－[(μ+Δμ)y+(θA+Δθ)z]cosSG+[(μ+Δμ)x－(Δε)z]sinSG+(xpz)(4.201)

Y=(ycosSG－xsinSG)

+[(μ+Δμ)x－(Δε)z]cosSG+[(μ+Δμ)y+(θA+Δθ)z]sinSG+(－ypz)(4.202)

Z=z+[(θA+Δθ)x+(Δε)y]

+[－xp(xcosSG+ysinSG)+yp(ycosSG－xsinSG)](4.203)

在曆元地心天球坐標係中，由於地球赤道麵擺動會引起地球非球形引力位的變化，在最大的J2項上的反映為ΔV(J2)，其值的量級為

ΔV(J2)=O(J2θ)=J2×2004″T(4.204)

離曆元J2000.0的時間間隔Δt=10~20年時，該差別可達到10－6的量級。略去的歲差、章動量的二次項相當於三階攝動量，這正符合一階攝動解的精度需求，上述處理顯然是合理的。利用上述兩個坐標係之間的轉換關係(4.201)～(4.203)式，引入到地球非球形引力位（5.208）式中的J2部分，即可給出相應的附加位，其結果記作ΔV1(J2)，有

ΔV(J2)=3J22a3ar3sinicosi[(θA+Δθ)sinΩ－ΔεcosΩ]

－3J22a3ar3sini[(θA+Δθ)cosΩ+ΔεsinΩ]sin2u

+cosi[(θA+Δθ)sinΩ－ΔεcosΩ]cos2u(4.205)

其中r和a,i,Ω,u=f+ω是衛星的地心距和軌道根數，而θA,Δθ,Δε即歲差章動量，有

θA=2004.3109″t,Δθ=－6.84″sinΩ′

Δε=9.20″cosΩ′(4.206)

這裏的Ω′是月球軌道（白道）升交點平黃經，t的定義見後麵的(4.214)式。

上述由於坐標係的選取而導致的引力位變化量，就轉化為對衛星軌道的攝動影響，此即坐標係附加攝動。

4.4.2Kepler根數形式的附加攝動解

坐標係附加攝動效應將會出現混合形式的長周期項，隨著時刻t離標準曆元的增大而增大，不可忽視，通常就將該混合型的長周期項記作一階長周期項σ(1)l(t)。下麵給出相應的長周期變化項Δσ(1)l(t)=σ(1)l(t)－σ(1)l(t0)和短周期項σ(2)s(t)。

長周期變化項Δσ(1)l(t)=σ(1)l(t)－σ(1)l(t0)中的σ(1)l(t)如下：

a(1)l(t)=0(4.207)

e(1)l(t)=0(4.208)

i(1)l(t)=I(4.209)

Ω(1)l(t)=(coti)Q(4.210)

ω(1)l(t)=(－seci)Ω(1)l(4.211)

M(1)l(t)=0(4.212)

其中

I=(2004″.3t)sinΩ－8″.0cos(Ω－Ω′)－1″.2cos(Ω+Ω′)

Q=(2004″.3t)cosΩ+8″.0sin(Ω－Ω′)+1″.2sin(Ω+Ω′)(4.213)

t=JD(t0)－JD(J2000.0)36525(4.214)

這裏t0是定軌曆元或外推起始曆元對應的時刻。在幾天弧段內，歲差、章動變化甚小，不必考慮，故上述相應的係數不變，即將混合項處理成一般的長周期項。

短周期項σ(2)s(t)如下：

a(2)s(t)=3J2asinicosiA(θ)ar3－(1－e2)－3\/2－ar3cos2u－B(θ)ar3sin2u(4.215)

e(2)s(t)=3J22p2sinicosiA(θ)3+34e2cosf+32ecos2f+14e2cos3f

－e28cos(f－2ω)－12+118e2cos(f+2ω)－52ecos(2f+2ω)

－76+1724e2cos(3f+2ω)－34ecos(4f+2ω)－e28cos(5f+2ω)

－B(θ)－e28sin(f－2ω)+12+118e2sin(f+2ω)+52esin(2f+2ω)

+76+1724e2)sin(3f+2ω)+34esin(4f+2ω)+e28sin(5f+2ω)(4.216)

i(2)s(t)=3J24p2－cos2iA(θ)ecos(f+2ω)+cos(2f+2ω)+e3cos(3f+2ω)

－cosiB(θ)[2(f－M)+2esinf+esin(f+2ω)

+sin(2f+2ω)+e3sin(3f+2ω)(4.217)

Ω(2)s(t)=3J22p21sinicos2iA(θ)(f－M)+esinf－e2sin(f+2ω)

－12sin(2f+2ω)－e6sin(3f+2ω)

+cosiB(θ)e2cos(f+2ω)+12cos(2f+2ω)+e6cos(3f+2ω)(4.218)

ω(2)s(t)=－cosiΩ(2)s(t)

+3J22p2siniecosiA(θ)3e(f－M)+3+94e2sinf+32esin2f+14e2sin3f

－e28sin(f－2ω)+12－78e2sin(f+2ω)－32esin(2f+2ω)

－76+1124e2sin(3f+2ω)－34esin(4f+2ω)－e28sin(5f+2ω)

－B(θ)e28cos(f－2ω)+12－78e2cos(f+2ω)－32ecos(2f+2ω)

－76+1124e2cos(3f+2ω)－34ecos(4f+2ω)－e28cos(5f+2ω)(4.219)

M(2)s(t)=－1－e2[ω(2)s(t)+cosiΩ(2)s(t)]

+9J22p2sini1－e2cosiA(θ)(f－M)+esinf－e2sin(f+2ω)

－12sin(2f+2ω)－e6sin(3f+2ω)

+B(θ)e2cos(f+2ω)+12cos(2f+2ω)+e6cos(3f+2ω)(4.220)

其中A(θ)和B(θ)涉及歲差章動項，就是前麵長周期公式中的I和Q,由下式表達：

A(θ)=(θA+Δθ)sinΩ－(Δε)cosΩ

B(θ)=(θA+Δθ)cosΩ+(Δε)sinΩ(4.221)

θA=2004″.3109t,Δθ=－6″.84sinΩ′,Δε=9″.20cosΩ′(4.222)

這裏的t和Ω′與（4.213）式和（4.214）式中出現的是同一量，不再解釋。

4.4.3第一類無奇點根數形式的附加攝動解

4.4.3.1攝動解的形式

與Kepler根數攝動解中對混合項的處理一致，這裏亦被處理成一般的長周期變化項Δσ(1)l(t)=[σ(1)l(t)－σ(1)l(t0)]。6個無奇點根數σ=(a,ξ,η,h,k,λ)附加攝動解的長周期變化項記作Δσ(t)=Δσl(t)，由下列形式構成：

Δa(t)=0(4.223)

Δi(t)=Δil(t)(4.224)

ΔΩ(t)=ΔΩl(t)(4.225)

Δξ(t)=cosω[Δel(t)]－sinω[eΔωl(t)](4.226)

Δη(t)=sinω[Δel(t)]+cosω[eΔωl(t)](4.227)

Δλ(t)=[ΔMl(t)+Δωl(t)](4.228)

其中Δel(t)=0，n-=a-－3\/2=a-－3\/20。

4.4.3.2Kepler根數對應的擬平均根數解Δσl(t)的表達式

Δal(t)=0(4.229)

Δel(t)=0(4.230)

Δil(t)=Ω1(J2)[B(t)－B(t0)](4.231)

ΔΩl(t)=－Ω1(J2)cos2isinicosi[A(t)－A(t0)](4.232)

Δωl(t)=－cosi·ΔΩ(t)－Ω1(J2)(3sini)[A(t)－A(t0)](4.233)

ΔM(t)=－Ω1(J2)(31－e2sini)[A(t)－A(t0)](4.234)

其中Ω1(J2)和[A(t)－A(t0)],[B(t)－B(t0)]由下式表達：

Ω1(J2)=－3J22p2ncosi(4.235)

A(t)－A(t0)=(θA+Δθ)[sinΩ-－sinΩ-0]－(Δε)[cosΩ-－cosΩ-0](4.236)

B(t)－B(t0)=(θA+Δθ)[cosΩ-－cosΩ-0]+(Δε)[sinΩ-－sinΩ-0](4.237)

θA=2004″.3109t-,Δθ=－6″.84sinΩ′,Δε=9″.20cosΩ′(4.238)

(4.238)式中的時刻t-和Ω′對應的時刻，均可采用外推計算中的中間時刻或初始時刻t0。

由(4.232)式表達的ΔΩl(t)，除小i問題外，亦不適合極軌(i=90°)狀態的計算，這可采用另一算法，即當i≈90°時（右計算程序根據精度要求控製），改用下式計算：

ΔΩl=3J22p2ncos2isini[A(t)－A(t0)](4.239)

4.4.3.3J2項攝動解的相應處理

在擬平均根數中，攝動分析解的參考軌道是擬平均根數σ-，有

σ-(t)=σ-0+(δn+σ1+σ2)(t－t0)+Δσ(1)l+…(4.240)

其中σ-0=σ-(t0)是初始擬平均根數。計算長期項時，n，σ1，…的表達式中出現的根數，都應該是擬平均根數σ-。例如計算根數Ω和λ的一階長期項σ1(t－t0)時，相應的表達式為

Ω1=－3J22p2ncosi(4.241)

λ1=3J22p2n2－52sin2i+1－e21－32sin2i(4.242)

在導出這兩式時，對時間t的積分過程中，右端出現的i和e=(ξ2+η2)1\/2應為

e-=e-0+[e(1)l(t)－e(1)l(t0)](4.243)

i-=i-0+[i(1)l(t)－i(1)l(t0)](4.244)

但在推導地球非球形引力攝動相應的攝動解和計算時，對於Ω和λ通常並不需要這樣考慮。這是因為i和e的長周期項隻與近地點幅角ω有關，因而必然伴有e因子。正由於這種特征，在軌道偏心率不大的情況下（如e≤0.1的低軌衛星），推導地球非球形引力攝動相應的攝動解和計算時，實際上並不需要按（4.243）和（4.244）式那樣考慮，就在相應的表達式中用i-0和e-0代替。但是，上述坐標係附加攝動導致傾角i出現的一階長周期項卻與Ω有關，不會伴有e因子，那麼就必須考察上述問題了。

這裏不再介紹相關原理，就在原攝動解的基礎上，補充Ω和λ的相應附加長期攝動項，相當於二階長期項的補充部分，分別記作ΔΩ2(t)和Δλ2(t)，具體表達式如下：

ΔΩ2(t)=3J24p2nsini(θAcosΩ-)Ω1(t-t0)2(4.245)

Δλ2(t)=－8cosi3J24p2nsini(θAcosΩ-)Ω1(t-t0)2(4.246)

其中Ω1即由（4.241）式表達。這兩式右端出現的Ω-，可由下式提供：

Ω-=Ω-0+12Ω1(t-t0)(4.247)

在外推弧段不長的情況下，亦可用Ω-0代替。

上述處理的結果表明：考慮了與擬平均根數法有關的長周期攝動引起的附加項，是一個在一定意義下的完整結果，根數Ω和λ的誤差不僅隨著計算曆元t0遠離標準曆元（J2000.0）越來越大的現象消失，而且完全符合一階攝動解應達到的精度要求。

4.4.4第二類無奇點根數形式的附加攝動解

與第一類無奇點攝動解的處理一致，長周期變化項Δσ(1)l(t)=[σ(1)l(t)－σ(1)l(t0)]中6個無奇點根數σ=(a,ξ,η,h,k,λ)附加攝動解的相應表達形式如下：

Δa(t)=0(4.248)

Δξ(t)=cosω~[Δel(t)]－sinω~[eΔωl(t)+eΔΩl(t)](4.249)

Δη(t)=sinω~[Δel(t)]+cosω~[eΔωl(t)+eΔΩl(t)](4.250)

Δh(t)=12cosi2cosΩ[Δil(t)]－(sinΩ)sini2ΔΩl(t)(4.251)

Δk(t)=12cosi2sinΩ[Δil(t)]+(cosΩ)sini2ΔΩl(t)(4.252)

Δλ(t)=[ΔM(t)+Δω(t)+ΔΩ(t)](4.253)

相應的Kepler根數對應的擬平均根數解Δσl(t)的表達式見(4.229)~(4.234)式。

4.4.5關於坐標係的選擇及其相關問題

根據上述分析、具體處理與實際計算表明，給出的坐標係附加攝動分析解不僅簡單，而且能使軌道外推達到一定的精度要求。在標準曆元每50年換一次的前提下，因地球赤道擺動引起的空間坐標係中引力位的變化，隻需考慮ΔV(J2)這一附加部分，相應的附加攝動解並不複雜。因此，從這一實際現狀來看，對於衛星定軌和預報工作（包括瞬時根數與平根數的轉換和應用），完全可以采用統一的坐標係，即曆元（目前是J2000.0）地心天球坐標係，而不必引進混合形式的軌道坐標係，這可避免坐標係引用的“混亂”，同時也就簡化了數值方法和分析方法混用時的瞬時根數與平根數的轉換問題。

至於有些領域的特殊性，無法避免相應工作曆史的延續性，將要涉及坐標係之間的轉換問題，例如，需要引用美國所發布的TLE根數等，這也不會遇到麻煩，厘清相應的幾個坐標係之間的轉換即可。為此，下麵給出幾個地心赤道坐標係之間的轉換關係，它們的坐標原點均為地心。

(1)　J2000.0地心天球坐標係與J2000.0軌道坐標係之間的轉換

J2000.0軌道坐標係，即采用t時刻的真赤道麵和J2000.0的平春分點方向分別作為該坐標係的xy坐標麵和x軸方向。

若記J2000.0地心天球坐標係和J2000.0軌道坐標係中同一空間點的坐標矢量分別為r→c和r→2，則根據第1章的知識，即可給出兩者之間的轉換關係如下：

r→2=Rz(μ+Δμ)(NR)(PR)r→c(4.254)

其中μ+Δμ是赤經歲差和章動，而另兩個旋轉矩陣(PR)和(NR)分別為歲差和章動矩陣，它們的具體表達形式見第1章的1.3.4小節。

(2)　J2000.0軌道坐標係與J1950.0軌道坐標係之間的轉換

J1950.0軌道坐標係，即采用t時刻的真赤道麵和J1950.0的平春分點方向分別作為該坐標係的xy坐標麵和x軸方向。

若記J1950.0軌道坐標係和J2000.0軌道坐標係中同一空間點的坐標矢量分別為r→1和r→2，則兩者之間的轉換關係很簡單，即

r→2=Rz(μ50)r→1(4.255)

其中μ50是J1950.0到J2000.0的赤經歲差，在IAU1980規範下，(1.39)式給出

μ50=ζA+zA=4612″.4362t+1″.39656t2(4.256)

其中出現的t由下式計算：

t=136525.0[JD(J2000.0)－JD(J1950.0)](4.257)

(3)　J2000.0地心天球坐標係與t時刻軌道坐標係之間的轉換

t時刻軌道坐標係，即采用t時刻的真赤道麵和t時刻的平春分點方向分別作為該坐標係的xy坐標麵和x軸方向，此即當今美國發布的TLE根數所采用的坐標係。若記該軌道坐標係中同一空間點的坐標矢量為r→t，則與J2000.0地心天球坐標係之間的轉換關係如下：

r→t=Rz(Δμ)(NR)(PR)r→c(4.258)

上述轉換關係是同一空間點的瞬時狀態在不同坐標係（隻涉及地球赤道麵擺動的歲差、章動量）之間的表達，對速度矢量同樣適用。因此可由坐標、速度的轉換關係給出兩個坐標係之間的軌道根數間的轉換關係，有了坐標、速度與軌道根數間的轉換知識即可理解上述轉換。

綜上所述，正是曆史原因和各相關工作的需要，導致了坐標係采用的多樣性和軌道量定義的複雜性，在引用衛星軌道資料時，必須了解相應資料所采用的坐標係和軌道量本身的確切定義，否則會帶來人為的誤差甚至是錯誤。但作者還是再次建議：在通常情況下，不必受某些特殊原因的製約，在坐標係的選取上，還是應該考慮通用為主。

4.5地球非球形引力位的高次帶諧項Jl(l≥3)攝動解

4.5.1帶諧項Jl(l≥3)攝動函數的一般表達形式

同樣采用無量綱形式，有

R2=∑l≥3Rl

Rl=Cl1rl+1Pl(μ)=－Jl1rl+1Pl(μ)(4.259)

其中μ=sinφ=sinisinu,u=f+ω。根據定義給出

Pl(μ)=12ll!dldμl[(μ2－1)l]=12ll!dldμl[(－1)l(1－μ2)l](4.260)

略去導數運算，直接寫出如下結果：

Pl(μ)=12ll!∑lm(2)=δ1(－1)l+12(l+m)l

12(l+m)[(l+m)(l+m－1)…(m+1)]μm

=12l∑lm(2)=δ1(－1)12(l－m)l

12(l－m)l+m

lμm(4.261)

其中

δ1=12[1－(－1)l]=1,l為奇

0,l為偶(4.262)

(4.261)式求和取值中的m(2)=δ1表示取值“步長”為2，即m=1,3,…（對奇數l），或m=0,2,4,…（對偶數l）。將上述Pl(μ)代入(4.259)式，並利用sinmu以u的倍角的表達形式，即可將地球非球形引力l階帶諧項攝動函數表示成軌道根數的一般形式：

Rl=(－Jl)al+1∑lm(2)=δ1∑12(m－δ1)q=0(－1)12(l+2q－δ1)2δm2l+ml

12(l－m)l+m

lm

qsinmi

×(1－δ1)arl+1cos(m－2q)u+δ1arl+1sin(m－2q)u(4.263)

其中

δm=0,m－2q=0

1,m－2q≠0(4.264)

(4.263)式中的三角函數cos(m－2q)u和sin(m－2q)u的取值，對於一個l值，與兩個求和有關，計算有重複過程，最好按幅角(m－2q)u來整理，使其僅與一個求和有關，為此，下麵作相應的改變。

(m－2q)的取值顯然受l取值的限製，故令

m－2q=l－2p

以p代替m，有

m=(l－2p)+2q,(l－m)=2p－2q

p的求和限為[0,(l－δ1)\/2]，而q的求和限由原來的條件δ1≤m=l－2p+2q≤l確定，即[0,p]。於是(4.263)式變為下列形式：

Rl=(－Jl)al+1∑12(l－δ1)p=0∑pq=0(－1)12(l+2q－δ1)·2－(2l－2p+2q－δ2)

×l

p－q2l－2p+2q

ll－2p+2q

q(sini)l－2p+2q

×(1－δ1)arl+1cos(l－2p)u+δ1arl+1sin(l－2p)u(4.265)

這裏的δ2定義如下：

δ2=0,l－2p=0

1,l－2p≠0(4.266)

以(4.265)式表達的攝動函數，其三角函數的取值僅與p求和有關。

利用如下平均值：

arl+1sin(l－2p)f=0(4.267)

arl+1cos(l－2p)f=δ3(1－e2)－(l－1\/2)∑l－2α(2)=l－2pl－1

αn

12(α－l+2p)e2α(4.268)

δ3=0,p=0

1,p≠0(4.269)

可將(4.259)式表達的Jl(l≥3)項攝動函數R2分離出長期、長周期和短周期三個部分，即

R2c=∑l(2)≥4(－Jl)al+1Kl+1(e)∑l2q=0(－1)12(l+2q)·2－(l+2q)l

l2－ql+2q

l2q

q(sini)2q(4.270)

R2l=∑l≥3(－Jl)al+1∑12(l－2+δ1)p=1Kpl+1(e)∑pq=0(－1)12(l+2q－δ1)·2－(2l－2p+2q－1)

×l

p－q2l－2p+2q

ll－2p+2q

q(sini)l－2p+2q

×[(1－δ1)cos(l－2p)ω+δ1sin(l－2p)ω](4.271)

R2S=R2－(R2C+R2l)(4.272)

(4.270)式求和取值中的l(2)≥4表示l=4,6,…,即取值“步長”為2。另兩個輔助量Kl+1(e),Kpl+1(e)即如下兩類函數的平均值：

Kl+1(e)=arl+1(4.273)

Kpl+1(e)=arl+1cos(l－2p)f(4.274)

其算法見前麵的(4.268)式。Kl+1(e)就是Kpl+1(e)中l－2p=0的取值情況，可以采用一個計算程序來實現。

根據R2c和R2l的表達式可知：

（1）　隻有偶次帶諧項J4,J6,…（對J2也適用）的攝動函數才包含僅與a,e,i有關的“長期”部分，因為相應的p取值可使l－2p=0，而奇次帶諧項中的p取值不可能使l－2p=0。

（2）　偶次帶諧項攝動函數中長周期部分包含

cos2ω,cos4ω,…,cos(l－2)ω

而奇次帶諧項攝動函數中長周期部分卻包含

sinω,sin3ω,…,sin(l－2)ω

這些特征在前麵J2項攝動中有所體現，而這裏進一步給出了普遍性的結論。

4.5.2帶諧項Jl(l≥3)的攝動解

(1)　長期項係數σ2

a2=0(4.275)

e2=0(4.276)

i2=0(4.277)

Ω2=ncosi∑l(2)≥4-Jlpl0∑l\/2q=1(-1)(l+2q)\/212(l+2q)

×2ql

l\/2-q

l\/2+q

l

2q

q(sini)(2q-2)K1(e)(4.278)

ω2=-cosiΩ2

+n∑l(2)≥4-Jlpl0∑l\/2q=0(-1)(l+2q)\/212(l+2q)

×l

l\/2-q

l\/2+q

l

2q

q(sini)2q

×(2l-1)K1(e)+(1-e2)K2(e)(4.279)

M2=-1-e2(ω2+cosiΩ2)

+n1-e2∑l(2)≥4-Jlpl0∑l\/2q=0(-1)(l+2q)\/212(l+2q)2(l+1)

×l

l\/2-q

l\/2+q

l

2q

q(sini)2qK1(e)(4.280)

其中

K1(e)=∑l-2α(2)=0

l-1

α

α

α\/212αeα(4.281)

K2(e)=∑l-2α(2)=2

l-1

α

α

α\/2α12αeα-2(4.282)

α(2)的含義同前，各式中出現的a,e,i及n,p0均為a-,e-,i-和n-=a--3\/20,p-0=a-0(1-e-20)。

(2)　長周期項σ(1)l(t)

直接部分如下：

a(1)l(t)=0(4.283)

e(1)l(t)=-1-e2etanii(1)l(t)

=-(1-e2)∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q(sini)(l-2p+2q)1eK3(e)I(ω)(4.284)

i(1)l(t)=cosi∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q(sini)(l-2p+2q-1)K3(e)I(ω)(4.285)

Ω(1)l(t)=cosi∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1

∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)(l-2p+2q)

×

l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q-2)K3(e)H(ω)(4.286)

ω(1)l(t)=-cosiΩ(1)l(t)

+∑l≥3

-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q)

×[(2l-1)K3(e)+(1-e2)K4(e)]H(ω)(4.287)

M(1)l(t)=-1-e2ω(1)l(t)+cosiΩ(1)l(t)

+1-e2∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)2(l+1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q)K3(e)H(ω)

(4.288)

對Ω,ω,M還有間接部分，公式如下：

Ω(1)l(t)=5cos(2-5sin2i\/2)∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q(sini)(l-2p+2q)K3(e)H(ω)(4.289)

ω(1)l(t)=-(13-15sin2i)(2-5sin2i\/2)∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q)K3(e)H(ω)(4.290)

M(1)l(t)=-31-e2∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q)K3(e)H(ω)(4.291)

各式中新出現的有關量由下列各式表達：

K3(e)=∑l-2α(2)=l-2p

l-1

α

α

(α-l+2p)\/2

12αeα

K4(e)=∑l-2α(2)=l-2p

l-1

α

α

(α-l+2p)\/2α12αeα-2(4.292)

I(ω)=nω1(1-δ1)cos(l-2p)ω-δ1sin(l-2p)ω

H(ω)=nω1(1-δ1)1l-2psin(l-2p)ω-δ11(l-2p)cos(l-2p)ω(4.293)

上述各式中出現的根數除a,e,i及n,p0與σ2相同外，ω亦為平均根數ω-(t)，相應的ω1是其一階長期項的變率，見(4.117)式。

(3)　短周期項σ(2)s(t)

隻需列出a(2)s(t)即可，有

a(2)s(t)=2n2aR2s=2a2R2s(4.294)

其中R2s的具體形式見(4.138)~(4.140)式。

關於Kl+1(e)和Kpl+1(e)的算法，在前麵長期項係數σ2和長周期項σ(1)l(t)表達中已引入Kl+1(e)和Kpl+1(e)的前提下，同樣可以改用下麵的表達形式：

Kl+1(e)=arl+1=(1-e2)-l-12K1(e)(4.295)

Kpl+1(e)=arl+1cos(l-2p)f=δ3(1-e2)-l-12K3(e)(4.296)

δ3的定義見前麵的(4.269)式。

4.5.3帶諧項Jl(l≥3)的第一類無奇點根數攝動解

采用擬平均根數法構造第一類無奇點根數的攝動解，長期項和長周期變化項由Kepler根數的相應解按下列表達式構造：

Δa(t)=0(4.297)

Δi(t)=Δil(t)(4.298)

ΔΩ=Ω2(t-t0)+ΔΩl(t)(4.299)

Δξ(t)=cosωΔel(t)-sinωe(ω

2(t-t0)+Δωl(t))(4.300)

Δη(t)=sinωΔel(t)+cosωe(ω2(t-t0)+Δωl(t))(4.301)

Δλ(t)=M2(t-t0)+ω2(t-t0)+ΔMl(t)+Δωl(t)(4.302)

其中，長期項Δσ(t)部分的Ω2(t-t0),ω2(t-t0),M2(t-t0)，即前麵的表達式(4.278)~(4.280)，且有

M2+ω2=-cosiΩ2

+n1-e2∑l(2)≥4-Jlpl0∑l\/2q=0(-1)(l+2q)\/212(l+2q)

×2(l+1)

l

l\/2-q

l\/2+q

l

2q

q(sini)2qK1(e)

+e21+1-e2n∑l(2)≥4-Jlpl0∑l\/2q=0(-1)(l+2q)\/212(l+2q)

×l

l\/2-q

l\/2+q

l

2q

q

(sini)2q[(2l-1)K1(e)+(1-e2)K2(e)]

(4.303)

Δσl(t)=σ(1)l(t)-σ(1)l(t0)是長周期變化項的直接部分，相應的σ(1)l(t)的表達式就是前麵的(4.283)~(4.288)式。且有

M(1)l+ω(1)l(t)=-cosi·Ω(1)l(t)

+1-e2∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)2(l+1)

×

l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q)K3(e)H(ω)

+e21+1-e2∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)

×

l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q)

×[(2l-1)K3(e)+(1-e2)K4(e)]H(ω)(4.304)

計算中考慮到臨界傾角引起的通約小分母問題，相應的I(ω)和H(ω)有兩種算法：

I(ω)=nω1[(1-δ1)cos(l-2p)ω-δ1sin(l-2p)ω]tt0

=-[(1-δ1)sin(l-2p)ω+δ1cos(l-2p)ω](l-2p)n(t-t0)(4.305)

H(ω)=nω1(1-δ1)1l-2psin(l-2p)ω-δ11(l-2p)cos(l-2p)ωtt0

=[(1-δ1)cos(l-2p)ω+δ1sin(l-2p)ω]n(t-t0)(4.306)

I(ω)和H(ω)的後一種算法對應臨界傾角情況，而前一種算法則對應非臨界傾角情況。

短周期項同樣隻需給出a(2)s(t)，表達形式同前，見(4.294)式。

4.5.4帶諧項Jl(l≥3)的第二類無奇點根數攝動解

與第一類無奇點根數攝動解的構造方法類似，長期項和長周期變化項由Kepler根數的相應解按下列表達式構造：

Δa(t)=0(4.307)

Δξ(t)=cosω~[Δel(t)]

-esinω~[e(ω2(t-t0)+Δωl(t))+e(Ω2(t-t0)+ΔΩl(t))](4.308)

Δη(t)=sinω~[Δel(t)]

+ecosω~[e(ω2(t-t0)+Δωl(t))+e(Ω2(t-t0)+ΔΩl(t))](4.309)

Δh(t)=12(cosi2cosΩ)[Δil(t)]-sini2sinΩ[Ω2(t-t0)+ΔΩl(t)](4.310)

Δk(t)=12cosi2sinΩΔil(t)+(sini2cosΩ)Ω2(t-t0)+ΔΩl(t)(4.311)

Δλ(t)=M2(t-t0)+ω2(t-t0)+Ω2(t-t0)+ΔMl(t)+Δωl(t)+ΔΩl(t)(4.312)

其中，Ω2(t-t0),ω2(t-t0),M2(t-t0)的表達式即(4.278)~(4.280)式，且有

M2+ω2+Ω2=sin2i1+cosi　Ω2+n1-e2

∑l(2)≥4-Jlpl0∑l\/2q=0(-1)(l+2q)\/212(l+2q)2(l+1)

×l

l\/2-ql\/2+q

l2q

q(sini)2qK1(e)

+e21+1-e2n∑l(2)≥4-Jlpl0∑l\/2q=0(-1)(l+2q)\/212(l+2q)

×l

l\/2-ql\/2+q

l2q

q(sini)2q(2l-1)K1(e)+(1-e2)K2(e)(4.313)

同樣，Δσl(t)=σ(1)l(t)-σ(1)l(t0)是長周期變化項的直接部分，即σ(1)l(t)的表達式就是前麵的(4.283)~(4.288)式，且有

M(1)l+ω(1)l+Ω(1)l=sin2i1+cosi·Ω(1)l(t)

+1-e2∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)2(l+1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q)K3(e)H(ω)

+e21+1-e2∑l≥3-Jlpl0∑12(l-2+δ1)p=1∑pq=1(-1)(l+2q-δ1)\/212(2l-2p+2q-1)

×l

p-q

2l-2p+2q

l

l-2p+2q

q

(sini)(l-2p+2q)

×(2l-1)K3(e)+(1-e2)K4(e)H(ω)(4.314)

在計算中考慮到臨界傾角引起的通約小分母問題，相應的I(ω)和H(ω)同樣有兩種算法，即表達式(5.315)和(5.316)，再次列出如下：

I(ω)=nω1[(1-δ1)cos(l-2p)ω-δ1sin(l-2p)ω]tt0

=-(1-δ1)sin(l-2p)ω+δ1cos(l-2p)ω(l-2p)n(t-t0)(4.315)

H(ω)=nω1(1-δ1)1l-2psin(l-2p)ω-δ11(l-2p)cos(l-2p)ωtt0

=(1-δ1)cos(l-2p)ω+δ1sin(l-2p)ωn(t-t0)(4.316)

I(ω)和H(ω)的後一種算法對應臨界傾角情況，而前一種算法則對應非臨界傾角情況。

短周期項同樣隻需給出a(2)s(t)，表達形式同前，見(4.294)式。

4.5.5主要帶諧項(J3,J4)攝動解的Kepler根數形式

4.5.5.1主要帶諧項對應的攝動函數

對於低軌衛星，就地球非球形引力攝動影響而言，動力學扁率J2項和J3,J4項即為非球形引力位中的主項，在某些航天任務中，往往就以此三項攝動影響作為地球非球形引力位中帶諧項攝動影響的全貌，這一節就給出該攝動解的具體表達形式。

J2,J3,J4三項的攝動函數如下：

R=-J2r3P2(sinφ)-J3r4P3(sinφ)-J4r5P4(sinφ)

=-J2r332sin2φ-12-J3r452sin3φ-32sinφ-J4r5358sin4φ-154sin2φ+38

利用關係式sinφ=sinisin(f+ω)，可將攝動函數R表示成衛星軌道根數的形式，即

R=3J22a3ar3131-32sin2i+12sin2icos2(f+ω)

+J3a4ar4sini342-52sin2isin(f+ω)+58sin2isin3(f+ω)

-35J48a5ar5335-37sin2i+38sin4i

+37-12sin2isin2icos2(f+ω)+18sin4icos4(f+ω)(4.317)

J2項作為攝動量中的一階小量，那麼J3,J4項即為攝動量的二階小量，於是攝動函數R的表達式(4.317)可以進一步寫成下列形式：

R=R1(J2)+R2(J3,J4)

若分解成長期、長周期和短周期三個部分：R1c,R2c，R1l,R2l和R1s,R2s，則J3,J4項對應R2(J3,J4)部分的表達形式如下：

R2c=-35J48a3335-37sin2i+38sin4i1+32e2(1-e2)-7\/2(4.318)

R2l=3J34a4sini2-52sin2i(1-e2)-5\/2esinω

-35J48a5sin2i928-38sin2i(1-e2)-7\/2e2cos2ω(4.319)

R2s=J3a434sini(2-52sin2i)ar4sin(f+ω)-(1-e2)-5\/2esinω

+58sin3iar4sin3(f+ω)

-35J48a5335-37sin2i+38sin4iar5-1+32e2(1-e2)-7\/2

+sin2i37-12sin2iar5cos2(f+ω)-34(1-e2)-7\/2e2cos2ω

+18sin4iar5cos4(f+ω)(4.320)

4.5.5.2主要帶諧項對應的攝動運動方程

仍記六個軌道根數(6維矢量)為σ，即

σ=(a,e,i,Ω,ω,M)T

相應的攝動運動對應的初值問題為

dσdt=f0(a)+f1(σ,t,J2)+f2(σ,t,J3,J4)

σ(t0)=σ0(4.321)

其中f0=(0,0,0,0,0,n)T

采用無量綱歸一化計算單位，攝動運動方程式(5.331)的右函數f2(σ,t,J3,J4)可以寫成下列形式：

f2c=(0,0,0,(f2c)Ω,(f2c)ω,(f2c)M)T

f2l=(0,(f1c)e,(f1c)i,(f1c)Ω,(f1c)ω,(f1c)M)T

f2s=((f2s)a,(f2s)e,(f2s)i,(f2s)Ω,(f2s)ω,(f2s)M)T(4.322)

(f2c)Ω=35J48p4ncosi67+97e2-sin2i32+94e2(4.323)

(f2c)ω=-35J48p4n127+2714e2-sin2i9314+274e2+sin4i214+8116e2(4.324)

(f2c)M=-35J48p4n1-e2e2914-4514sin2i+4516sin4i(4.325)

(f2l)e=-1-e2etani(f2l)i

=-J3p3nsini32-158sin2i(1-e2)cosω

-35J48p4nsin2i914-34sin2i(1-e2)esin2ω(4.326)

(f2l)i=J3p3ncosi32-158sin2iecosω

+35J48p4ncosisini914-34sin2ie2sin2ω(4.327)

(f2l)Ω=J3p3ncosi1sini32-458sin2iesinω

-35J48p4ncosi914-32sin2ie2cos2ω(4.328)

(f2l)ω=J3p3n1esini34sin2i2-52sin2i-38e24-35sin2i+35sin4isinω

-35J48p4nsin2i914-34sin2i-e2914-154sin2i+278sin2icos2ω(4.329)

(f2l)M=-J3p3n1-e2esini34sin2i2-52sin2i(1-4e2)sinω

+35J48p4n1-e2sin2i914-34sin2i1-52e2cos2ω(4.330)

上述各式中的p是橢圓軌道的半長徑，有p=a(1-e2)。

通常，無論是對衛星軌道的變化作定性分析，還是采用攝動分析解定量計算衛星的軌道變化，除軌道半長徑a以外，都無需提供另五個根數的二階短周期項，故這裏也不具體列出f2s(σ,t,J3,J4)，至於軌道半長徑a所需要的二階短周期項a(2)s(t)，見後麵的(4.350)式。

4.5.5.3J2,J3,J4三項攝動的一階解

采用擬平均根數法構造攝動解，其形式如下：

σ(t)=σ-(t)+σ(1)s(4.331)

σ-(t)=σ-(0)(t)+σ1(t-t0)+σ2(t-t0)+Δσ(1)l(t)(4.332)

σ-(0)(t)=σ-0+δn-(t-t0)

σ-0=σ-(t0)=σ0-σ(1)s(t0)+σ(2)s(t0)(4.333)

其中σ(2)s(t0)隻涉及軌道半長徑a-0的相應部分a(2)s(t0)。J3,J4項及其與J2項的聯合項部分列出如下：

(1)　σ2(σ,t,J4)

J3項無直接的長期攝動效應，J4項的長期攝動效應如下：

a2=0,e2=0,i2=0(4.334)

Ω2=-358(-J4)p4ncosi67+97e2-sin2i32+94e2(4.335)

ω2=358(-J4)p4n127+2714e2-sin2i9314+274e2+sin4i214+8116e2(4.336)

M2=358(-J4)p4ne21-e2914-4514sin2i+4516sin4i(4.337)

(2)　σ(1)l(σ,t,J3,J4)

J3部分

a(1)l(t)=0(4.338)

e(1)l(t)=34-J3p3sini(2-52sin2i)nω1(1-e2)sinω(4.339)

i(1)l(t)=-34-J3p3cosi2-52sin2inω1esinω(4.340)

Ω(1)l(t)=34-J3p3cosisini2-152sin2inω1ecosω(4.341)

ω(1)l(t)=34-J3p31sini

×sin2i2-52sin2i-12e2(4-35sin2i+35sin4i)nω11ecosω(4.342)

M(1)l(t)=34J3p31-e2sini2-52sin2i(1-4e2)nω11ecosω(4.343)

J4部分

a(1)l(t)=0(4.344)

e(1)l(t)=-354-J4p4sin2i914-34sin2in2ω1e(1-e2)cos2ω(4.345)

i(1)l(t)=358-J4p4cosisini914-34sin2in2ω1e2cos2ω(4.346)

Ω(1)l(t)=358-J4p4cosi914-32sin2in2ω1e2sin2ω(4.347)

ω(1)l(t)=-35J416p4

×sin2i914-34sin2i

-e2914-154sin2i+278sin2in2ω1sin2ω(4.348)

M(1)l(t)=3516J4p41-e2sin2i914-34sin2i1-52e2n2ω1sin2ω(4.349)

上述各攝動項表達式右端出現的a,e,i和n,p，均為擬平均根數，這在前麵已有過說明，即

a-=a-

0,e-=e-0,i-=i-0

p-=p-0=a-0(1-e-20),n-0=a--3\/20

而ω1即ω的一階長期項變率，見表達式(4.66)。

(3)　a(2)s(σ,t,J3,J4)

關於半長徑a的二階短周期項a(2)s(t)，對於J22部分，不再重複，見表達式(4.138)，或(5.150)。而對於J3,J4項，相應的二階短周期項如下：

a(2)s(t,J3,J4)=∫t(f2s)adt=∫t2n2aR2sMdM=2n2aR2s(J3,J4)(4.350)

該式中的R2s(J3,J4)即由前麵的表達式(4.320)給出。

4.5.5.4主要帶諧項(J3,J4)攝動解的無奇點形式

(1)　第一類無奇點根數形式的攝動解

1)　利用Kepler根數解的表達式

與J2項攝動解的處理方法一致，長期項(包括長周期項)可由下列各表達式構成：

Δa(t)=0(4.351)

Δi(t)=Δil(t)(4.352)

ΔΩ(t)=ΔΩc(t)+ΔΩl(t)(4.353)

Δξ(t)=cosωΔe(t)-sinωeΔω(t)(4.354)

Δη(t)=sinωΔe(t)+cosωeΔω(t)(4.355)

Δλ(t)=n-(t-t0)+ΔM(t)+Δω(t)(4.356)

其中n-=a--3\/2=a--3\/20，Δσ(t)包括長期項和長周期變化項。

短周期項隻需要給出軌道半長徑的二階項即可，見前麵的表達式(4.350)。

2)　Δσ(t)中的長周期變化部分Δσ(1)l(t)=σ(1)l(t)-σ(1)l(t0)的表達形式

Δa(1)l(t)=0(4.357)

e(1)l(t)=34-J3p3sini(2-52sin2i)nω1(1-e2)sinω

-358-J4p4sin2i914-34sin2in2ω1e(1-e2)cos2ω(4.358)

i(1)l(t)=-34-J3p3cosi2-52sin2inω1esinω

+358-J4p4cosisini914-34sin2in2ω1e2cos2ω(4.359)

Ω(1)l(t)=34-J3p3cosisini2-152sin2inω1ecosω

+358-J4p4914-32sin2in2ω1e2sin2ω(4.360)

ω(1)l(t)=34-J3p31sinisin2i2-52sin2i-e22-352sin2i+352sin4inω11ecosω

-3516J4p4sin2i914-34sin2i-e2914-154sin2i+278sin2in2ω1sin2ω(4.361)

M(1)l(t)=34J3p31-e2sini2-52sin2i(1-4e2)nω11ecosω

+3516J4p41-e2sin2i914-34sin2i1-52e2n2ω1sin2ω(4.362)

上述組合而成的無奇點攝動解，不再出現(1\/e)型的因子，但長期項中包含的長周期項Δσ(1)l(t)與J2項攝動解的處理一致，為了消除小分母問題，同樣有兩種計算方法，見下一小段。

3)　長周期變化部分Δσ(1)l(t)=σ(1)l(t)-σ(1)l(t0)的計算形式

Δa(1)l(t)=0(4.363)

Δe(1)l(t)=12pJ3J2sini2-52sin2i(1-e2)G1c

+358p2J4J2sin2i37-12sin2ie(1-e2)G2s(4.364)

Δi(1)l(t)=-12pJ3J2cosi2-52sin2ieG1c

-358p2J4J2cosisini37-12sin2ie2G2s(4.365)

ΔΩ(1)l(t)=-1pJ3J2cosisini1-154sin2ieG1s

+358p2J4J237-sin2ie2G2c(4.366)

eΔω(1)l(t)=-12pJ3J21sinisin2i(2-52sin2i)-12e2(4-35sin2i+35sin4i)G1s

+3516p2J4J2sin2i37-12sin2i-e237-52sin2i+94sin4ieG2c(4.367)

ΔM(1)l(t)+ω(1)l(t)

=12pJ3J21sini2-352sin2i+352sin4i-sin2i2-52sin2i(F1(e)+41-e2)eG1s

+3516p2J4J2sin2i37-12sin2iF1(e)+521-e2-37-52sin2i+94sin2ie2G2c(4.368)

上述各式中的a,e,i,n,p=a(1-e2)，與J2項攝動解中的處理一致，均為擬平均根數a-0,e-0,i-0,n-0=μa-(-3\/2)0,p-0=a-0(1-e-20)。F1(e)的表達式在本章第4.2.2小節中已出現過，見(4.144)式，即

F1(e)=1(1+1-e2)

而G1s,G1c,G2s,G2c的表達形式如下：

G1s=(cosω--cosω-0)2-52sin2i→-sinω-03J22p2n(t-t0)

G1c=-(sinω--sinω-0)2-52sin2i→-cosω-03J22p2n(t-t0)(4.369)

G2s=(cos2ω--cos2ω-0)22-52sin2i→-sin2ω-03J22p2n(t-t0)

G2c=-(sin2ω--sin2ω-0)22-52sin2i→-cos2ω-03J22p2n(t-t0)(4.370)

其中ω-0為t0時刻近地點幅角的擬平均根數ω-0(t0)，該兩式表明長周期變化項Δσ(1)l(t)可有兩種算法：當衛星傾角i接近臨界傾角ic=63.4°時，就按表達式的右端計算，否則即按表達式的左端計算，這就避免了由其引起的通約小分母問題。

(2)　第2類無奇點根數形式的攝動解

對於高軌衛星，會同時出現小e，小i的狀態，但此時二階帶諧項已不重要，無需特別處理J3,J4項，這裏不再列出相應的表達形式。

4.6地球非球形引力位的高次田項Jl,m(l≥3,m=1~l)攝動解

4.6.1田諧項Jlm(l≥3,m=1,2,…,l)攝動函數的一般表達形式

高階次田諧項攝動函數的一般形式如下:

R=ΔV=μr∑l≥3∑lm=1aerlPl,m(sinφ)[Cl,mcosmλ+Sl,msinmλ](4.371)

同樣采用無量綱形式，且類似前麵第4.3.1小節對J2，2項的處理，將諧係數Cl,m,Sl,m以Jl,m和相應幅角λl,m的形式表達，有

R=∑l≥3∑lm=1Rl,m

Rl,m=Jl,mrl+1Pl,m(μ)cosmλ-(4.372)

其中

Jl,m=(C2l,m+S2l,m)1\/2

λ-=λ-λl,m

mλl,m=arctanSl,mCl,m(4.373)

λl,m即由諧項係數Cl,m,Sl,m所確定的地球赤道“對稱軸”的地理經度。由此，田諧項的兩個係數Clm和Slm改用下列形式表達：

Clm=Jlmcosmλlm,Slm=Jlmsinmλlm(4.374)

4.6.2田諧項Jlm(l≥3,m=1-l)的攝動解

σ(2)s(t)=∑l≥2∑lm=1∑lp=0∑∞q=-∞Δσlmpq(4.375)

Δσlmpq=CσlmpqSlmpq,對a,e,i

CσlmpqS*lmpq,對Ω,ω,M(4.376)

其中

Slmpq=Jlm[(1-δlm)cosψ*lmpq+δlmsinψ*lmpq](4.377)

S*lmpq=Jlm[(1-δlm)sinψ*lmpq-δlmcosψ*lmpq](4.378)

ψ*lmpq=ψlmpq-mλlm

=(l-2p+q)M+(l-2p)ω+mΩlm(4.379)

ψlmpq=(l-2p+q)M+(l-2p)ω+m(Ω-SG)(4.380)

Ωlm=Ω-(SG+λlm)(4.381)

δlm=121-(-1)l-m=

1,(l-m)為奇

0,(l-m)為偶(4.382)

SG是格林尼治恒星時，計算公式見前麵第1章的(1.35)式或(1.64)式。

Cσlmpq的具體形式如下：

Calmpq=2aaeal(l-2p+q)Flmp(i)Glpq(e)n-ψ·lmpq(4.383)

Celmpq=aeal1-e2e(l-2p+q)1-e2-(l-2p)Flmp(i)Glpq(e)n-ψ·lmpq(4.384)

Cilmpq=aeal11-e2sini(l-2p)cosi-mFlmp(i)Glpq(e)n-ψ·lmpq(4.385)

CΩlmpq=aeal11-e2siniF′lmp(i)Glpq(e)n-ψ·lmpq(4.386)

Cωlmpq=-cosiCΩlmpq+aeal1-e2eFlmp(i)G′lpq(e)n-ψ·lmpq(4.387)

CMlmpq=-1-e2(C

ω

lmpq+cosiC

Ω

lmpq)

+aeal2(l+1)-3(l-2p+q)nψ·lmpqFlmp(i)Glpq(e)n-ψ·lmpq(4.388)

其中ψ·lmpq可按下式取近似值：

ψ·lmpq=(l-2p+q)M+(l-2p)

ω

+m(Ω-ne)

≈(l-2p+q)n--mne=n-[(l-2p+q)-nα]

α=ne\/n-　，n-=μa--3\/2(4.389)

ne是地球自轉角速度，即恒星時變率，與前麵給出J2,2項攝動解相同，可取近似，即

ne≈SG=360°.98564745\/day(4.390)

上述攝動解中出現的傾角函數Flmp(i)和Hansen係數Glpq(e)以及它們的導數分別由下列各式表達：

Flmp(i)=(l+m)!2lp!(l-p)!∑k2k=k1(-1)k+(l-m+δlm)\/2

2l-2p

k

2p

l-m-k

×sini2-(l-m-2p-2k)cosi2(3l-m-2p-2k)

=(l+m)!22lp!(l-p)!∑k2k=k1(-1)k+(l-m+δlm)\/2

2l-2p

k

2p

l-m-k

×sini2-(l-m-2p-2k)(1+cosi)(2l-m-2p-2k)(4.391)

k1=max(0,l-m-2p),k2=min(l-m,2l-2p)(4.392)

F′lmp(i)=ddiFlmp(i)

=(l+m)!2lp!(l-p)!1sini∑k2k=k1(-1)k+(l-m+δlm)\/2

2l-2p

k

2p

l-m-k

×-2lsin2i2-(l-m-2p-2k)sini2-(l-m-2p-2k)cosi2(3l-m-2p-2k)

(4.393)

Glpq(e)=X-(l+1),(l-2p)(l-2p)+q(e)=O(e|q|)(4.394)

準到O(e2)項有

Xl,pp(e)=1+14(l2+l-4p2)e2(4.395)

Xl,pp+1(e)=-12(l-2p)e

Xl,pp-1(e)=-12(l+2p)e(4.396)

Xl,pp+2(e)=18l2-(4p+3)l+p(4p+5)e2

Xl,pp-2(e)=18l2+(4p-3)l+p(4p-5)e2(4.397)

dde(Xl,pp(e))=12(l2+l-4p2)e(4.398)

dde(Xl,pp+1(e))=-12(l-2p)

dde(Xl,pp-1(e))=-12(l+2p)(4.399)

dde(Xl,pp+2(e))=14l2-(4p+3)l+p(4p+5)e

dde(Xl,pp-2(e))=14l2+(4p-3)l+p(4p-5)e(4.400)

4.6.3田諧項Jlm(l≥3,m=1-l)的第一類無奇點根數攝動解

短周期項由下列各表達式構成：

a(2)s(t)=a(2)s(t)(4.401)

i(2)s(t)=i(2)s(t)(4.402)

Ω(2)s(t)=Ω(2)s(t)(4.403)

ξ(2)s(t)=cosωe(2)s(t)-sinω

eω(2)s(t)(4.404)

η(2)s(t)=sinωe(2)s(t)+cosωeω(2)s(t)(4.405)

λ(2)s(t)=M(2)s(t)+ω(2)s(t)=CM+ωlmpqS*lmpq(4.406)

其中

CM+ωlmpq=CMlmpq+Cωlmpq

=-cosiCΩlmpq+e1-e21+1-e2aealFlmp(i)G′lpq(e)n-ψ·lmpq

+aeal2(l+1)-3(l-2p+q)nψ·lmpqFlmp(i)Glpq(e)n-ψ·lmpq(4.407)

S*lmpq的表達式即(4.378)式。

4.6.4田諧項Jlm(l≥3,m=1-l)的第二類無奇點根數攝動解

短周期項由下列各表達式構成：

a(2)s(t)=a(2)s(t)(4.408)

ξ(2)s(t)=cosω~e(2)s(t)-sinω~eω(2)s(t)+eΩ(2)s(t)(4.409)

η(2)s(t)=sinω~e(2)s(t)+cosω~eω(2)s(t)+eΩ(2)s(t)(4.410)

h(2)s(t)=12cosi2cosΩi(2)s(t)-sinΩsini2Ω(2)s(t)(4.411)

k(2)s(t)=12cosi2sinΩi(2)s(t)+cosΩsini2Ω(2)s(t)(4.412)

λ(2)s(t)=M(2)s(t)+ω(2)s(t)+Ω(2)s(t)=CM+ω+ΩlmpqS*lmpq(4.413)

其中

CM+ωlmpq=CMlmpq+Cωlmpq+CΩlmpq

=sin2i1+cosiCΩlmpq+e1-e21+1-e2aealFlmp(i)G′lpq(e)n-ψ·lmpq

+aeal2(l+1)-3(l-2p+q)nψ·lmpqFlmp(i)Glpq(e)n-ψ·lmpq(4.414)

S*lmpq的定義同前，即表達式(4.378)。

4.6.5田諧項J3m,J4m(m=1~3,4)攝動解的Kepler根數形式

前麵第4.5.5節已提到：對於低軌衛星，就地球非球形引力攝動影響而言，動力學扁率J2項和J3,J4項即非球形引力位中的主項，進一步考慮完整的4階次地球非球形引力位更能體現其影響的特性，這裏就進一步分離出J3m,J4m(m=1~3,4)項攝動解的具體表達形式。

與前麵第4.3節給出的J2,2項攝動解相同，將涉及地球自轉角速度ne，即恒星時變率，同樣可采用下列近似：

ne≈SG=360°.98564745\/day

除計算單位歸一化外，同樣為了簡便，將田諧項的兩個係數Clm和Slm(m=1~3,4)改用下列形式表達：

Clm=Jlmcosmλlm,Slm=Jlmsinmλlm(4.415)

Jlm=(C2lm+S2lm)1\/2(4.416)

mλlm=arctan(Slm\/Clm)

Ωlm=Ω-(SG+λlm)(4.417)

對於l取到4，將涉及

C3,1,S3,1,C3,2,S3,2,C3,3,S3,3,

C4,1,S4,1,C4,2,S4,2,C4,3,S4,3,C4,4,S4,4,

習慣將Clm,Slm改用Jlm,mλlm(m=1～3,4)來表達，相應的表達式中將出現係數和幅角：

J3,1,J3,2,J3,3,J4,1,J4,2,J4,3,J4,4

λ3,1,λ3,2,λ3,3,λ4,1,λ4,2,λ4,3,λ4,4

下麵給出的攝動解中，除a(2)s(t,Jl,m)外，隻需保留地球自轉項即可，自轉因子α如下：

α=ne\/n-,n-=μa-3\/2=a--3\/2(4.418)

(1)　J3,1項

a(2)s(t)=2(J3,1)a2

F310(i)-ecos(2M+3ω+Ω3,1)

+11-α\/3cos(3M+3ω+Ω3,1)+5ecos(4M+3ω+Ω3,1)

+F311(i)1(1-α)cos(M+ω+Ω3,1)+3ecos(2M+ω+Ω3,1)

+F312(i)3ecos(2M+ω-Ω3,1)+11+αcos(M+ω-Ω3,1)

+F313(i)-ecos(2M+3ω-Ω3,1)

+11+α\/3cos(3M+3ω-Ω3,1)+5ecos(4M+3ω-Ω3,1)(4.419)

e(2)s(t)=(J3,1)a31αF311(i)cos(ω+Ω3,1)+F312(i)-cos(ω-Ω3,1)(4.420)

i(2)s(t)=0(4.421)

Ω(2)s(t)=0(4.422)

ω(2)s(t)=(J3,1)a31αeF311(i)-sin(ω+Ω3,1)+F312(i)sin(ω-Ω3,1)(4.423)

M(2)s(t)+ω(2)s(t)=0(4.424)

(2)　J3,2項

a(2)s(t)=2(J3,2)a2F320(i)-esin(2M+3ω+2Ω3,2)

+11-2α\/3sin(3M+3ω+2Ω3,2)+5esin(4M+3ω+2Ω3,2)

+F321(i)1(1-2α)sin(M+ω+2Ω3,2)+3esin(2M+ω+2Ω3,2)

+F322(i)-1(1+2α)sin(M+ω-2Ω3,2)-3esin(2M+ω-2Ω3,2)

+F323(i)esin(2M+3ω-2Ω3,2)

-11+2α\/3sin(3M+3ω-2Ω3,2)-5esin(4M+3ω-2Ω3,2)(4.425)

e(2)s(t)=(J3,2)a312αF321(i)sin(ω+2Ω3,2)+F322(i)sin(ω-2Ω3,2)(4.426)

i(2)s(t)=0(4.427)

Ω(2)s(t)=0(4.428)

ω(2)s(t)=(J3,2)a312αeF321(i)cos(ω+2Ω3,2)+F322(i)cos(ω-2Ω3,2)(4.429)

M(2)s(t)+ω(2)s(t)=0(4.430)

(3)　J3,3項

a(2)s(t)=2(J3,3)a2F330(i)-ecos(2M+3ω+3Ω3,3)

+1(1-α)cos(3M+3ω+3Ω3,3)+5ecos(4M+3ω+3Ω3,3)

+F331(i)1(1-3α)cos(M+ω+3Ω3,3)+3ecos(2M+ω+3Ω3,3)

+F332(i)-11+3αcos(M+ω-3Ω3,3)+3ecos(2M+ω-3Ω3,3)

+F333(i)-ecos(2M+3ω-3Ω3,3)

+1(1+α)cos(3M+3ω-3Ω3,3)+5ecos(4M+3ω-3Ω3,3)(4.431)

e(2)s(t)=(J3,3)a313αF331(i)cos(ω+3Ω3,3)-F332(i)cos(ω-3Ω3,3)(4.432)

i(2)s(t)=0(4.433)

Ω(2)s(t)=0(4.434)

ω(2)s(t)=(J3,3)a313αeF331(i)-sin(ω+3Ω3,3)+F332(i)sin(ω-3Ω3,3)(4.435)

M(2)s(t)+ω(2)s(t)=0(4.436)

(4)　J4,1項

a(2)s(t)=(J4,1)a3F410(i)-3esin(3M+4ω+Ω4,1)

+2(1-α\/4)sin(4M+4ω+Ω4,1)+13esin(5M+4ω+Ω4,1)

+F411(i)esin(M+2ω+Ω4,1)

+21-α\/2sin(2M+2ω+Ω4,1)+9esin(3M+2ω+Ω4,1)

+F412(i)-5esin(M-Ω4,1)-5esin(M+Ω4,1)

+F413(i)-esin(M+2ω-Ω4,1)

-2(1+α\/2)sin(2M+2ω-Ω4,1)-9esin(3M+2ω-Ω4,1)

+F414(i)3esin(3M+4ω-Ω4,1)

-2(1+α\/4)sin(4M+4ω-Ω4,1)-13esin(5M+4ω-Ω4,1)(4.437)

e(2)s(t)=0(4.438)

i(2)s(t)=(J4,1)a41αF*412(i)-sin(Ω4,1)(4.439)

Ω(2)s(t)=(J4,1)a41αsiniF**412(i)cos(Ω4,1)(4.440)

ω(2)s(t)=0(4.441)

M(2)s(t)+ω(2)s(t)=-cosiΩ(2)s(t)

+(J4,1)a41αF412(i)10cosΩ4,1(4.442)

(5)　J4,2項

a(2)s(t)=(J4,2)a3F420(i)-3ecos(3M+4ω+2Ω4,2)

+2(1-α\/2)cos(4M+4ω+2Ω4,2)+13ecos(5M+4ω+2Ω4,2)

+F421(i)ecos(M+2ω+2Ω4,2)

+2(1-α)cos(2M+2ω+2Ω4,2)+9ecos(3M+2ω+2Ω4,2)

+F422(i)5ecos(M-2Ω4,2)+5ecos(M+2Ω4,2)

+F423(i)ecos(M+2ω-2Ω4,2)

+2(1+α)cos(2M+2ω-2Ω4,2)+9ecos(3M+2ω-2Ω4,2)

+F424(i)-3ecos(3M+4ω-2Ω4,2)

+2(1+α\/2)cos(4M+4ω-2Ω4,2)+13ecos(5M+4ω-2Ω4,2)(4.443)