微分概念的產生是解決實際問題的需要.計算函數的增量是科學技術和工程中經常遇到的問題，有時由於函數比較複雜，計算增量往往感到困難，希望有一個比較簡單的方法.對可導函數類我們有一個近似計算方法，那就是用微分近似代替函數的增量，從而使計算得以簡化.
一、 引例
在許多實際問題中，要求研究當自變量發生微小改變時所引起的相應的函數值的改變.
引例241先看一個實例：一塊邊長為x的正方形金屬薄片，麵積為s=x2，由於溫度的變化，金屬薄片的邊長由x0變化到x0+Δx，如圖241所示，問其麵積改變了多少？圖241
解s(x)=x2，
Δs=s(x0+Δx)－s(x0)=(x0+Δx)2－(Δx)2
=2x0Δx+(Δx)2.
其中2x0Δx在圖形中表示兩塊長條矩形部分的麵積，(Δx)2表示右上角的小正方形的麵積，當Δx→0時，(Δx)2是比Δx高階的無窮小，即Δx很小時，(Δx)2可以忽略不計，則Δs≈2x0Δx，因為s′(x)=2x，所以Δs≈s′(x0)Δx.
二、 微分的定義及其幾何意義
1. 微分的定義
定義241設函數y=f(x)在點x0及其附近有定義，自變量x在x0附近有增量Δx，如果相應的函數的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依賴於Δx的常量，o(Δx)是比Δx高階的無窮小(Δx→0)，那麼稱函數y=f(x)在點x0處是可微的，稱A·Δx為y=f(x)在點x0處的微分，記為dyx=x0，即dyx=x0=AΔx.其中，A·Δx通常稱為Δy=A·Δx+o(Δx)的線性主要部分.“線性”是因為A·Δx是Δx的一次函數，“主要”是因為另一項o(Δx)是比Δx更高階的無窮小量，在等式中o(Δx)幾乎不起作用，而是A·Δx起作用.
定理241函數f(x)在點x0可微的充要條件是函數f(x)在點x0可導，且A=f′(x0).注
意在f′(x0)≠0的條件下，以微分dy=f′(x0)Δx近似代替增量Δy時，其誤差為o(Δx).在Δx很小時