A組
1. 已知A={x|x≤5,x∈N+}，B={0,3,5,7,9}，求A∩B，A∪B.
2. 已知U=R，A={x|3x－7≥8－2x},B={x|1≤x<4}，C={x|x≤2}. 求：
(1) A∩B,A∩C，B∩C；（2） A∪B，A∪C，B∪C；
(3) A∪（B∪C），A∪（B∩C）.
3. 已知U=R，A={x|x≥4},B={x|x<0}，C={x|x≥－1}.求：
(1) A∩B，A∩C，B∩C；
(2) 瘙綂U（A∪B），瘙綂U（A∩C），瘙綂U（B∩C）；
(3) （瘙綂UA）∪（瘙綂UB），（瘙綂UA）∩（瘙綂UB），瘙綂U（A∩B），瘙綂U（A∪B）.
(4) 觀察（3）的計算結果，你能得出什麼結論？
4. 已知U={x|x是平行四邊形或梯形}，A={x|x是平行四邊形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，求B∩C，B∪C，瘙綂UA，瘙綂A B.
5. U＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求瘙綂UA，瘙綂UB.
6. 如果A={3，4，m2－3m－1}，B={2m，－3}，並且A∩B={－3},求m的值.
B組
1．求滿足條件{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A.
2. 若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．
(1) 若A∩B＝，求實數m的取值範圍；
(2) 若A∩B＝A，求實數m的取值範圍．
3. 已知全集U={x∈N|0≤x<10}，且U= A∪B，A∩（瘙綂UB）={1,3,5,7}，試求集合B.
4. 共有50名學生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學生有30名，參加乙項的學生有25名，則僅參加了一項活動的學生有多少人？
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本章小結
一、本章知識結構
二、回顧與思考
1． 集合的基本概念
(1) 集合與元素
將一些確定的、不同的對象集在一起，就組成了一個集合，集合中的每個對象叫作這個集合中的元素.不含有任何元素的集合稱為空集，記作.
如果元素a是集合A中的元素，就說a屬於集合A，記作a∈A.
(2) 集合按照元素的多少可分為有限集與無限集.
(3) 常見的數集：N(自然數集)，N+（正整數集），Z（整數集），Q(有理數集)，R（實數集）.
(4) 集合的三特性：確定性，互異性，無序性.
（5） 集合的表示方法：列舉法，描述法，韋恩圖法.
思考：(1) 0、{0}、之間有什麼關係？(2) 數集與點集有什麼區別？如何表示點集？
2. 集合間的基本關係
(1) 子集：如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，即若x∈A，則x∈B，則說這兩個集合有包含關係，稱集合A是集合B的子集，記為AB(或BA).
(2) 真子集：如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，但是集合B中至少有一個元素不在集合A中，即AB，但存在元素x∈B,且xA，則稱集合A是集合B的真子集，記為AB或(或AB).
(3) 集合相等：一般地，如果集合A是集合B的子集，且集合B又是集合A的子集，即AB，且BA，則稱這兩個集合相等.記作:A=B.
思考： (1) 子集與真子集有什麼區別？(2) 符號“∈”與“”有什麼區別？何時用“∈”，何時用“”？
3. 集合間的運算
集合的運算有交集、並集、補集運算，其定義、表示、圖示如下：
名稱
A、B的交集
A、B的並集
U中子集A的補集
符號
A∩B
A∪B
瘙綂UA
定義
A∩B={x|x∈A且x∈B}
A∪B={x|x∈A或x∈B}
瘙綂UA={x|x∈U且xA}
圖示
思考：(1) 與不等式有關的集合的交、並、補集運算，如何求解比較方便？
(2) 如何用實數之間的關係與運算類比集合間的關係與運算？
複習參考題
A組
一、選擇題
1． 下列各組對象中不能形成集合的是（）.
A． 所有的三角形B． 《數學》課本中所有的習題
C． 所有的數學難題D． 所有的無理數
2． 下列關係中正確的是（）.
A. 12∈ZB． 2∈QC． －3∈ND． π∈R
3． 已知集合M＝{x|0≤x<4,x∈Z}，則M中元素的個數是（）.
A． 3個B． 4個C． 5個D． 無數個
4. 下麵表示空集的符號是（).
A． 0B. {0}C． D． {}
5. 用列舉法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}為（）.
A． {1,1}B． {1}C． {x＝1}D． {x2－2x＋1＝0}
6． 已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，則必有().
A． －1∈AB． 0∈AC. 3∈AD． 1∈A
7. 下列關係：① 1∈{0,1,2}；② {1}∈{0,1,2}；③ {0,1,2}；④ {0,1,2}{0,1,2}；⑤ {0,1,2}＝{2,0,1}．其中錯誤的個數為().
A． 1B． 2C． 3D． 4
8． 設集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，則A∩（瘙綂UB）等於(）.
A. {2}B. {2，3}C. {3}D. {1，3}
9． 已知A={（x，y）|x+y=1},B={(x，y)|x－y=3}，則A∩B=（）.
A． {（2，-1）}B． {（-1，2）}C． {-1，2}D． {x=-1,y=2}
10． 已知集合S={x|x≤1},T={x|x≤4}，則S∪T=().
A． {x|x≤1}B． {x|x≤4}C． {x|1≤x≤4}D． {x|x≤1或x≥4}
二、填空題
1. 集合{1,2,3}的子集有個，真子集有個，非空真子集有個．
2． 已知集合A＝{1，a2}，實數a不能取的值的集合是．
3． 若A={x|3≤x<7}，則瘙綂RA=.
4. 已知I={小於9的正整數},A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6},則(瘙綂IA)∪(瘙綂IB)=.
三、解答題
1． 選擇適當的方法表示下列集合：
(1) 由方程x(x2－2x－3)＝0的所有實數根組成的集合；
(2) 大於2且小於6的有理數組成的集合；
(3) 由直線y＝－x＋4上的橫坐標和縱坐標都是自然數的點組成的集合.
2． 集合A＝{1,3，a}，B＝{a2}，且BA，求實數a的取值的集合．
3. 已知集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x≥8－2x}，求A∪(瘙綂RB).
4. 設U=R，A={x|3≤x<7}，B={x|2 (1) A∪B;（2） (瘙綂UA)∪(瘙綂UB). B組 1. 設A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5B，求a的值． 2. 已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}． (1) 若A中有兩個元素，求實數a的取值範圍； (2) 若A中至多有一個元素，求實數a的取值範圍． 3. 已知集合：A＝{x|－1＜x≤5}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋3}，且AB，求實數m的取值範圍． 4. 已知集合A={(x,y)|2x-y=0}，B={(x,y)|3x+y=0}，C={(x,y)|2x-y=3},求:A∩C,(A∩B)∪(B∩C). 5. 已知集合A={1，x，y}，B={x，x2，xy}，如果A=B，求實數x、y的值. 6. 學校舉辦運動會時，某班共有28名同學參加比賽，有15人參加遊泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加遊泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加遊泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽.同時參加田徑和球類比賽的有多少人？隻參加遊泳一項比賽的有多少人？ 掃描本章二維碼，閱讀“集合論簡介”. 第二章不等式 微信掃一掃 獲取本章資源 第二章不等式 在日常生活中，人們經常用長與短、高與矮、輕與重、大與小、不超過或不少於等來描述某種客觀事物在數量上存在的不等關係，這樣的結果用數學語言來描述，就是不等式.不等關係是客觀事物的基本數量關係，是數學研究的重要內容.建立不等觀念、處理不等關係與處理等量問題是同樣重要的.各類不等式的解法、性質是數學學科要研究的重要內容之一，也是學習數學的重要基礎，在數學研究與數學應用中起著重要的作用. 本章中，我們將通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在的大量的不等關係，理解不等式對於刻畫不等關係的意義和價值，學習不等式的性質，掌握一元二次不等式、絕對值不等式、簡單分式不等式的解法，認知基本不等式及其簡單應用，學會幾種常用的證明不等式的方法.通過不等式與函數、方程的聯係，提高對數學各個部分內容之間聯係性的認識，學會全麵、聯係地看問題. 本章學習目標 通過本章的學習，將實現以下學習目標： 了解現實生活中存在的大量的不等關係，理解不等式的基本性質 掌握一元二次不等式、簡單分式不等式和絕對值不等式的解法 理解基本不等式，能夠使用基本不等式解決一些簡單的實際問題 學會比較法、分析法和綜合法等幾種常用的證明不等式的方法 學會全麵的、聯係地看問題，掌握化歸和轉化的數學思想 2.1不等式的概念與性質 2.1.1不等式 現實世界和日常生活中，既有相等關係，又存在不等關係.兩點之間線段最短，三角形兩邊之和大於第三邊、兩邊之差小於第三邊，等等.人們還經常用長與短、高與矮、輕與重、大與小、不超過或不少於等來描述某種客觀事物在數量上存在的不等關係，這樣的結果用數學語言來描述，就是不等式. 在數學中，常用不等式來表示不等關係.例如，某地某天的天氣預報報道，當地當日的最高氣溫35℃，最低氣溫26℃.這個結果用數學方法表述就是：26≤t≤35（其中ｔ表示某地某天的氣溫）；某公路立交橋對通過車輛的高度h“限高4m”，用不等式表示就是h<4. 我們經常應用不等式來研究含有不等關係的問題.下列來看幾個具體問題: 【問題1】設點A與直線a的距離為d，點B為直線a上的任意一點，則|AB|≥d. 【問題2】某文具店購進一批新型台燈，若按每盞台燈15元的價格銷售，每天能夠賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞.若把提價後台燈的定價設為x元，怎樣用不等式表示每天獲得的銷售收入高於400元呢？ 分析：若台燈的定價為x元，則銷售的總收入為［30－2·(x－15)］x元，那麼不等關係“銷售收入高於400元”可以表示為不等式 ［30－2·(x－15)］x>400. 【問題3】某市環境保護管理局為增加城市的綠地麵積，提出兩個投資方案：方案甲為一次性投資500萬元；方案乙為第一年投資5萬元，以後每年都比前一年增加10萬元.經過多少年後，方案乙的投入不少於方案甲的投入？如何使用不等式表示其中的不等關係？ 分析：假設經過x年後，方案乙的投入為5x+(x－1)x2·10萬元.那麼不等關係“方案乙的投入不少於方案甲的投入”可以表示為不等式 5x+(x－1)x2·10≥500. 為了利用不等式研究不等關係，有必要了解不等式的性質. 思考：對於任意實數a,b， (1) 如果a>b，那麼a－b0；如果a－b>0，那麼ab； (2) 如果a=b，那麼a－b0；如果a－b=0，那麼ab； (3) 如果a 由以上思考很容易得出結論： a>b a－b>0； a=b a－b=0； a 上麵的符號“ ”表示“等價於”，即從左邊可以推出右邊，並且從右邊也可以推出左邊.這三個等價關係提供了比較實數大小的方法，即要比較兩個實數的大小，隻需考察它們的差與0的關係． 例1比較(a+3)(a－4)與(a+2)(a－3)的大小． 解：因為(a+3)(a－4)－(a+2)(a－3) =(a2－a－12)－(a2－a－6) ＝－6<0. 所以 (a+3)(a－4)<(a+2)(a－3). 想一想： 本例中，若去掉條件x≠0，那麼比較的結果如何？ 例2已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小. 解：(x2+1）2－(x4+x2+1) =x4+2x2+1－x4－x2－1 =x2， 由x≠0，得x2>0. 因此(x2+1）2>x4+x2+1. 隨堂練習 1. 用不等式表示下列不等關係： (1) a與b的和是非負數； (2) 限速40km\/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過 40km\/h； (3) 某次數學測驗，共有16道題，答對一題得6分，答錯一題扣2分，不答則不扣分，某同學有一道題未答，那麼這個學生至少答對多少題，成績才能在60分以上; (4) 某種雜誌原以每本2.5元的價格銷售，可以售出10萬本.根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就相應減少2000本.若把提價後雜誌的定價設為x，怎樣用不等式表示銷售的總收入不減少呢？ 2. 比較下列各組中兩個代數式的大小： (1) (x+4)(x+8)與(x+6）2； (2) x2+5x+6與2x2+5x+9; (3) x2+3與2x+2; (4) 2x2－3與x2+x－6. 2.1.2不等式的性質 思考：等式具有哪些基本性質？不等式是否具有類似的性質呢？ 從實數的基本性質出發，可以證明下列常用的不等式的基本性質： 性質1如果a>b，那麼b a>b b 性質2如果a>b，b>c，那麼a>c．即 a>b,b>c a>c. 根據性質1，性質2還可以推出 a 這個性質叫不等式的傳遞性，這種傳遞性可以推廣到n個不等式的情形． 性質3如果a>b,那麼a+c>b+c.即 a>b a+c>b+c. 這就是說，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向. 注意：(1) 在兩個不等式中，如果每一個不等式的左邊都大於（或小於）右邊，這兩個不等式是同向不等式；如果一個不等式的左邊大於（或小於）右邊，而另一個不等式的左邊小於（或大於）右邊，這兩個不等式是異向不等式. (2) 利用性質3可以得出 a+b>c a>c-b. 也就是說，不等式中任何一項改變符號後，可以把它從—邊移到另一邊（即移項）．這是不等式移項的依據. 性質4如果a>b,c>d，那麼a+c>b+d.即 a>b,c>d a+c>b+d. 這說明，兩個同向不等式相加，所得不等式與原不等式同向. 性質5如果a>b，c>0，那麼ac>bc；如果a>b，c<0，那麼ac 這就是說，不等式兩邊都乘以同一個正數，不等號不改變方向；不等式兩邊都乘同一個負數，不等號反向. 性質6如果a>b>0,c>d>0，那麼ac>bd. 這說明，兩邊都是正數的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向. 性質7如果a>b>0，那麼an>bn>0(n∈N,n>1). 這說明，當不等式的兩邊都是正數時，不等式兩邊同時乘方所得的不等式和原不等式同向. 例3已知ad，求證：a－c 證明：因為c>d,所以 －c<－d， 又因為a a－c 例4已知a>b>0，m＜0，求證：ma>mb. 證明：因為a>b>0，所以 ab>0,1ab>0, 於是a·1ab>b·1ab， 即1b>1a， 亦即1a<1b， 又因為m＜0，所以 m·1a>m·1b， 即ma>mb. 例5已知2 分析：解本題的關鍵是求出-n和1n的取值範圍，然後再根據同向不等式的可加性及兩邊都是正數的同向不等式的可乘性，問題就能得到解決. 解：由題可知，8 由6 －24<－n<－6. 又2 －22 由6 124<1n<16, 又2 112 隨堂練習 1. 判斷下列命題是否正確，真命題要說明依據，假命題要舉出反例： (1) 若a>b,則 ac2>bc2；（2） 若 ac2>bc2,則 a>b； (3) 若a （5） 若a>b,1a>1b,則 a>0,b<0; （6） 若a>b>0,則1an1). 2. 用不等號“>”或“<”填空： (1) a>b>0,c (2) a>b>0 3a3b; (3) a>b>0 1a21b2； (4) a>b,c>d a－2db－2c; （5） a 習題2.1 A組 1. 比較下列各組中兩個代數式的大小： (1) (x－1)(x－2)與(x+3)(x－6)； (2) (x2+2)2與x4+3x2+4； (3) (x－4)(x+2)與(2x－5)(x－2); (4) 當a<1時，11－a與1+a. 2. 已知x>0，求證：1+x<1+x2. 3. 用符號“”填空： (1) 若a (2) 若a (3) 若a>b>c>0,則cacb； (4) 若a>b>0,c>d>0,則dacb. 4. 求證： (1) a>b,c>d,e>0 d－ae (2) a>b>0,ccb; (3) a>b>0,d>c>0 ac>bd. B組 1. 比較下列各組中兩個代數式的大小： (1) 當x>1時，x3與x2－x+1； (2) x2+y2+1與2(x+y－1). 2. 求證： (1) a>b>0,c>d>0 ad>bc; (2) a>b>0,c 3. 已知20 2.2不等式的解法 在初中學習過一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，現在進一步學習一元二次不等式、簡單的分式不等式和含絕對值的不等式的解法. 2.2.1一元二次不等式 圖2.2.1 引例：幼兒園要在一塊邊長是8米的正方形花園裏種植花卉，要求四周種黃楊（黃楊帶的寬度相同），中間種花卉，並且花卉的麵積不少於總麵積的916，問黃楊帶的寬度的範圍應為多少？ 分析：設黃楊帶的寬度是x米（0 (8－2x)2≥916×8×8， 整理得x2－8x+7≥0.① 這是一個關於x的一元二次不等式.隻要求得滿足不等式①的解集，就得到了問題的答案. 像①式這樣，隻含有一個未知數，並且未知數的最高次數為2的整式不等式，稱為一元二次不等式.它的一般形式是 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a≠0. 如何求不等式①的解集呢？下麵我們利用二次函數的圖像來討論一元二次不等式x2－8x+7≥0的解法. 圖2.2.2 (1) 先來考察①式與二次函數y=x2－8x+7以及方程x2－8x+7=0的關係.一元二次方程x2－8x+7=0有兩個實根x1=1,x2=7.而x1=1,x2=7是二次函數y=x2－8x+7與x軸的兩個交點的橫坐標（圖2.2.2）. (2) 觀察函數圖像可知，二次函數y=x2－8x+7與x軸的兩個交點（1,0）和（7,0）將x軸分成了三段： ①當x7時，函數圖像位於x軸上方，此時y>0，即x2－8x+7>0; ②當1 所以，一元二次不等式x2－8x+7≥0的解集是 {x|x≤1或x≥7}. 思考：你能從上述解法中歸納出求解一元二次不等式ax2+bx+c>0的一般步驟嗎？ 對於一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)，設其判別式Δ=b2－4ac，它的解按照Δ>0,Δ=0,Δ0(a>0)的解集. 根據上述方法，我們可以得到下表，請將下表補充完整. 判別式 Δ=b2－4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數 y=ax2+bx+c(a>0)的圖像 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 沒有實數根 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x≠x1} 一元二次不等式 ax2+bx+c0)的解集 思考：對於a0或 ax2+bx+c<0的解集？ 例1解下列不等式： (1) x2+3x+2>0；（2） 9x2－6x+1>0； (3) －3x2+6x≥2；（4） 2x2<5x－4. 解：(1) 因為Δ=b2－4ac=1>0， 所以方程x2+3x+2=0有兩個不相等的實根 x1=－1,x2=－2， 因此,原不等式的解集是 {x|x－1}. （2） 因為Δ=b2－4ac=0， 所以方程9x2－6x+1=0有兩個相等的實根 x1=x2=13， 因此，原不等式的解集是 xx≠13. （3） 原不等式可以變為3x2－6x+2≤0. 因為Δ=b2－4ac=12＞0， 所以方程3x2－6x+2=0有兩個不相等的實根 x1=1－33,x2=1+33， 因此不等式3x2－6x+2≤0的解是1－33≤x≤1+33， 故原不等式的解集是 x1－33≤x≤1+33. (4) 原不等式可以變為2x2－5x+4＜0. 因為Δ=b2－4ac＜0， 所以方程2x2－5x+4=0沒有實數解， 因此不等式2x2－5x+4＜0的解集是，故原不等式2x2<5x－4的解集是. 例2一個車輛製造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數量x(輛)與創造的價值y（元）之間有如下的關係： y=－2x2+220x. 若這家工廠希望在一個星期內利用這條流水線創收6000元以上，那麼它在一個星期內大約應該生產多少輛摩托車？ 解：設在一個星期內大約應該生產x輛摩托車.根據題意，可以得到 －2x2+220x>6000. 整理得x2－110x+3000<0. 因為Δ=100>0, 所以方程x2－110x+3000=0有兩個不相等的實根 x1=50,x2=60. 因此，一元二次不等式x2－110x+3000<0的解為 50 又因為x隻能取整數，所以，當這條摩托車整車裝配流水線在一周內生產的摩托車數量在51—59輛之間時，這家工廠能夠獲得6000元以上的利潤. 隨堂練習 1. 解下列不等式： (1) x2－3x+2≤0；（2） －2+3x－2x2≤0；（3） x(x－1)>0； (4) x2－4＜0；（5） x2+2x+1≤0；（6） －2x2+x+12≤0. 2. 已知方程ax2+bx+c=0的兩個根是-1、4，若a>0，那麼ax2+bx+c>0的解集是，ax2+bx+c<0的解集是. 3. 自變量x在什麼範圍取值時，下列函數的值等於0？大於0？小於0？ (1) y=3x2－6x+2；（2） y=16－x2； （3） y=x2+8x+10；（4） y=－3x2+12x－12. 2.2.2簡單分式不等式 形如P(x)Q(x)>0或P(x)Q(x)0、1x－2<2等都是分式不等式. 如何求解分式不等式？能否將分式不等式化為整式不等式，再求解？下麵舉例說明. 例3解不等式x+1x－2>0. 法一：原不等式可化為 x+1>0 x－2>0,① 或x+1<0 x－2<0.② 不等式組①的解集為 {x|x>2}; 不等式組②的解集為 {x|x<－1}. 原不等式的解集是不等式組①與②的解集的並集，即 {x|x>2}∪{x|x2或x<－1}. 想一想： 解法2中，原不等式兩邊為什麼要同時乘以(x-2)2？能否同時乘以(x-2)？ 法二：由題可知，x－2≠0，故(x－2)2>0. 原不等式兩邊同時乘以(x－2)2，得不等式 (x+1)(x－2)>0……③ 一元二次不等式③的解為 x>2或x<－1. 故原不等式的解集為 {x|x>2或x<－1}. 一般地，分式不等式的求解方法有兩種： 法一：將其化為兩個一元一次不等式組，然後求它們的並集即可. 不等式P(x)Q(x)>0可化為不等式組P(x)>0 Q(x)>0,或者P(x)<0 Q(x)<0. 不等式P(x)Q(x)<0可化為不等式組P(x)<0 Q(x)>0,或者P(x)>0 Q(x)<0. 法二：將其化為具有相同解集的整式不等式，然後求此整式不等式的解集即可. 思考：對於上麵兩種解法，你認為哪種解法更簡便？ 例4解下列不等式 (1) 1x+2<1；（2） 2x+12x－1≥2. 解：(1) 原不等式可化為 x+1x+2>0,① 與不等式①同解的不等式是一元二次不等式 (x+1)(x+2)>0. 而不等式(x+1)(x+2)>0的解集是 {x|x－1}. 因此，原不等式的解集是 {x|x－1}. (2) 由題可知2x－1≠0，則 (2x－1）2>0. 將原不等式兩邊同時乘以(2x－1）2，得 (2x+1)(2x－1)≥2·(2x－1）2， 整理得4x2－8x+3≤0. 與原不等式同解的不等式是 4x2－8x+3≤0 2x－1≠0,② 解不等式組②得到 12 因此，原不等式的解集為 x12 隨堂練習 1. 判斷下列說法是否正確： (1) 不等式x+3x－2>0與不等式(x+3)(x－2)>0是同解不等式； （2） 不等式x+3x-2≤0與不等式（x+3)(x-2)≤0是同解不等式； (3) 不等式x+3x－2>2與不等式x+3>2(x－2)是同解不等式. 2. 解下列不等式 (1) x+2x+1>0；（2） x－11－2x>0；（3） 2x+1>1； (4) 1x+2≤3；（5） 3x+1x+1>2；（6） x－1x－2≤12. 2.2.3含絕對值的不等式 商品質量規定，商店出售的標明10kg袋裝大米，其實際數與所標數相差不能超過0.1kg.假設有實際數為xkg的大米，那麼x應該滿足什麼條件？ 實際數x應滿足的條件為 x－10≤0.1 10－x≤0.1. 根據絕對值的意義，這個結果可以表示為 |x―10|≤ 0.1. 像這樣含有絕對值並且絕對值符號內含有未知數的不等式叫作絕對值不等式. 那麼，對於絕對值不等式，我們應該怎樣求它的解呢？ 思考：回顧絕對值的幾何意義.|x|，|x－a|具有什麼樣的幾何意義？ 先考慮簡單的絕對值不等式：|x|1. 對於|x|<1，由絕對值的幾何意義可知，它的解集是數軸上到原點的距離小於1的點的集合，即－1 {x|－1 圖2.2.3 圖2.2.4 類似地，不等式|x|>1表示數軸上到原點的距離大於1的點的集合，在數軸上可以表示為圖2.2.4，由此可得，不等式|x|>1的解集是 {x|x1}. 一般地，不等式|x|0)的解集是 {x|－a 不等式|x|>a(a>0)的解集是 {x|xa}. 在數軸上表示如下（圖2.2.5）： 圖2.2.5 思考：形如|ax±b|0)或|ax±b|>c(c>0)的絕對值不等式，如何求解？ 例5解下列不等式 (1) |x+5|≤5；（2） 12x－1≤2; (3) |3x|>9；（4） |2x+5|>1. 想一想： 不等式-5≤x+5≤5與不等式組x+5≤5 x+5≥－5是否等價？ 解：(1) 由原不等式可得 -5≤x+5≤5， 也就是-5-5≤x≤5-5， 即-10≤x≤0， 所以，原不等式的解集是 {x|-10≤x≤0}. (2) 由原不等式可得 －2≤12x－1≤2， 解得－2≤x≤6. 所以，原不等式的解集是 {x|－2≤x≤6}. (3) 由原不等式可得 3x9， 解得x3. 所以，原不等式的解集是 {x|x3}. (4) 由原不等式可得 2x+51， 解得x-2. 所以，原不等式的解集是 {x|x-2}. 注：解絕對值不等式的關鍵在於將絕對值不等式轉化為不含絕對值的不等式. 例6解不等式|x2－5x+5|<1. 解：原不等式可化為 －1 即x2－5x+5<1 x2－5x+5>－1……② 解不等式①，得 {x|1 解不等式②，得 {x|x3}. 原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即 {x|1 隨堂練習 1. 解下列不等式： (1) |x|≤5;（2） |x|≥10；（3） |3x|>6; （4） |x－2|≤3;（5） |5x－1|>11;（6） 13x－1≥2. 2. 解下列不等式： (1) |x2－24|>12；（2） |x2－3x+1|≤5. 習題2.2 A組 1. 解下列不等式 (1) 2x2+5x+2＞0；（2）x2－2x+1＜0； (3) 3x2－x+4＜0； （4） x2≥3x+4； （5） 3x2+5＞3x；（6） (x－3)(x+1)＜0; （7） 4－x2－4x＜0；（8） 4x2＞4x－1. 2. 若關於x的一元二次方程x2－(m+1)x－m=0有兩個不相等的實數根，求m的取值範圍. 3. 已知函數y=12x2－3x－34,求使函數值大於0的x的取值範圍. 4. 解下列不等式 (1) x+1x－3<0；（2） 2x≥－1； (3) x－11－2x>1；（4） 3x－5x－1≤2x+7x－1. 5. 解下列不等式 (1) |2x+1|13; (3) |12x－2|≤13；（4） |34x－2|≥1； （5） |4x2－10x－3|≤3；（6） |5x－x2|>6. 6. 某型號的卡車在水泥路麵上的刹車距離s(m)和車速v(km\/h)之間有以下關係：s=120v+1180v2.在一次交通事故中，測得該型號一輛卡車的刹車距離大於39.5(m)，而此 路段限速75(km\/h)，請問此車是否超速違章？ 7. 某種雜誌原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本.根據市場調查，若單價每提高0.1元，銷售量就相應減少2000本.為了使得該雜誌的銷售總收入不低於20萬元，應該怎樣製定這種雜誌的價格？ B組 1. 若關於x的不等式－12x2+2x>mx的解集為{x|0 2. 若集合A={x|x2－160}，求A∩B. 3. m是什麼實數時，關於x的一元二次方程mx2－(1－m)x+m=0沒有實數根？ 4. 解下列不等式 (1) 0<4x2－11x－3<3；（2） 2x2－5x+26x2－17x+12<0； (3) x－12+3>34；（4） 2<|2x－5|≤7. 5. 一個分數的分子、分母都是自然數，並且分子比分母小1，如果分子加上2，分母不變，那麼所得的分數就大於1.1；如果分子和分母都加上2，那麼所得的分數就大於0.9，求原來的分數. 掃描本章二維碼，閱讀“絕對值三角不等式”. 2.3基本不等式 思考：右圖是2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標.這個會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，融入了現代數學元素與設計理念，色彩的明暗變化使它看上去像一個風車.你能在這個圖案中找出一些不等關係嗎？ 將圖中的“風車”抽象成圖2.3.1，在正方形ABCD中，有四個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為a,b，那麼正方形的邊長為a2+b2.這樣，4個直角三角形的麵積的和是2ab，正方形的麵積為a2+b2.由於4個直角三角形的麵積小於正方形的麵積，我們就得到了一個不等式 a2+b2≥2ab. 當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有 a2+b2=2ab. 圖2．3．1 因此，可以得到如下的結論： 定理1一般地，對於任意實數a,b有a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時取“=”號. 證明：因為a2+b2－2ab=(a－b）2， 當a≠b時，(a－b）2>0； 當a=b時，(a－b）2=0. 所以(a－b）2≥0， 即(a2+b2)≥2ab. 特別地，如果a>0,b>0，用a、b分別代替定理1中的a、b，則得到如下定理： 定理2如果a>0,b>0，那麼ab≤a+b2，當且僅當a=b時取“=”號. 你能證明定理2嗎？ 將不等式ab≤a+b2稱為基本不等式. 探究： 在圖2.3.2中，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C做垂直於AB的弦DE，連接AD，BD.你能利用這個圖形，得出不等式ab≤a+b2的幾何解釋嗎？ 圖2.3.2 數學中，我們稱a+b2為a、b的算術平均數，稱ab為a、b的幾何平均數，因此，基本不等式還可以表述為：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數.它可以求一些代數式的最值（最大值、最小值），在解決實際問題中有廣泛的應用. 例1已知a、b、c是正數，求證： a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc. 證明：因為b2+c2≥2bc,a>0,所以 a(b2+c2)≥2abc. 同理可得b(a2+c2)≥2abc, c(a2+b2)≥2abc. 因此a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc. 例2已知x、y都是正數，求證：yx+xy≥2. 證明:因為x>0，y>0，所以 xy>0，yx>0. 因此xy+yx≥2xy·yx=2. 即xy+yx≥2. 例3（1） 用籬笆圍成一個麵積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短？最短的籬笆是多少？ (2) 一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的麵積最大？最大麵積是多少？ 分析：對於（1），矩形菜園的麵積是確定的，長和寬沒有確定.如果長和寬確定了，那麼籬笆的周長也就確定了.因此，我們要解決的問題是：當麵積確定時，長和寬取什麼值時，籬笆的周長最短？ 對於（2），矩形菜園的周長是確定的，長和寬沒有確定.如果長和寬確定了，那麼籬笆的麵積也就確定了.因此我們要解決的問題是：當周長確定時，長和寬取什麼值時，籬笆圍成的麵積最大？ 解：(1) 設矩形菜園的長為xm，寬為ym，則xy=100,籬笆的長為2(x+y)m. 由基本不等式x+y2≥xy，可得 x+y≥2xy=2100=20, 因此2(x+y)≥40, 當且僅當x=y，即x=y=10時，等號成立. 故，當這個矩形的長和寬都是10m時，所用籬笆最短，最短籬笆是40m. (2) 設矩形菜園的長為xm，寬為ym，則2(x+y)=36，即x+y=18，矩形菜園的麵積為xym2. 由基本不等式x+y2≥xy，可得 xy≤x+y22=1822=81， 當且僅當x=y，即x=y=9時，等號成立. 故，當這個矩形的長和寬都是9m時，菜園的麵積最大，最大麵積是81m2. 總結：由例題3可得：對於兩個正數a，b,如果積ab是定值P，那麼當a=b時，和a+b有最小值2p；如果和a+b是定值L，那麼當a=b時，積ab有最大值14L2. 例4若x>0,求f(x)=4x+9x的最小值. 解：因為x>0，由基本不等式得 f(x)=4x+9x≥24x·9x=236=12. 當且僅當4x=9x，即x=32時,f(x)=4x+9x取最小值12. 隨堂練習 1． 已知a、b、c都是正數，求證： (1) (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc； (2) a+b+c≥ab+bc+ac. 2． 已知x≠0，當x取什麼值時，x2+81x2的值最小？最小值是多少？ 3． 已知0 4. 已知直角三角形的麵積等於50，兩條直角邊各為多少時，兩條直角邊的和最小，最小值是多少？ 5. 求函數y=1x－3+x(x>3)的最小值. 習題2.3 A組 1. 已知x,y都是正數，求證： (x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 2. 當x取什麼值時，函數y=9x2+12x2有最小值，最小值為多少？ 3. （1） 已知兩個正數的積是36，當這兩個正數取什麼值時，它們的和最小，最小是多少？ (2) 已知兩個正數的和是20，當這兩個正數取什麼值時，它們的積最大，最大是多少？ 4. 做一個體積為32m3，高為2m的長方體紙盒，底麵的長與寬取什麼值時用紙最少，最少是多少？ 5. 求證： (1) 周長等於L的矩形中，以正方形的麵積最大； (2) 麵積等於S的矩形中，以正方形的周長最小. B組 1. 已知x>0,求函數y=2－3x－4x的最大值. 2. 已知t>0，求y=t2－4t+1t的最小值. 3. 設0 4. 用一段長為36m的籬笆圍成一個一邊靠牆的矩形菜園，問這個矩形的長和寬各為多少時，菜園的麵積最大，最大麵積是多少？ 5. 某單位建造一間背麵靠牆的長方體小房，地麵麵積為12m2，房屋正麵每平方米的造價為1200元，房屋側麵每平方米的造價為800元，屋頂的造價為5800元.如果牆高為3m，且不計房屋背麵和地麵的費用，問怎樣設計房屋能使總造價最低？最低造價是多少？ 掃描本章二維碼，閱讀“基本不等式的推廣”. 2.4不等式的證明 不等式的證明，一般是要根據不等式的意義、性質及某些已知不等式來證明不等式在其定義域中是恒成立的.不等式的基本性質、基本不等式以及絕對值不等式的解集等，都可以作為證明不等式的出發點.本章中，我們將學習常用的證明不等式的基本方法：比較法、分析法和綜合法. 1. 比較法 我們已經知道， a－b>0 a>b, a－b<0 a 因此，要證明a>b(a0(a－b<0)，即把不等式兩邊相減，轉化為比較差與0的大小，這種證明不等式的方法叫（作差）比較法. 例1已知m>0,n>0，且m≠n，求證：m3+n3>m2n+mn2. 證明：(m3+n3)－(m2n+mn2) =(m3－m2n)+(n3－mn2) =m2(m－n)+n2(n－m) =(m2－n2)(m－n) =(m+n)(m－n）2. 因為m,n都是正數，所以 m+n>0, 又因為m≠n，所以 (m－n）2>0， 於是(m+n)(m－n）2>0, 即(m3+n3)－(m2n+mn2)>0, 所以m3+n3>m2n+mn2. 例2已知a,b,c都是正數，並且aab. 證明：a+cb+c－ab=b(a+c)－a(b+c)b(b+c)=c(b－a)b(b+c)， 想一想： 你能總結出使用（作差）比較法證明不等式的一般步驟嗎？ 因為a,b,c都是正數，且a b+c>0，b－a>0， 因此a+cb+c－ab=c(b－a)b(b+c)>0, 即 a+cb+c>ab. 2. 綜合法 利用某些已經證明了的不等式，從已知條件出發，利用定義、定理、性質等，經過一係列的推理、論證，推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫作綜合法.綜合法又叫順推證法或由因導果法. 例3已知a,b,c都是正數，且不全相等，求證： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 證明：因為b2+c2≥2bc,a>0，所以 a(b2+c2)≥2abc.① 因為c2+a2≥2ac,b>0,所以 b(c2+a2)≥2abc.② 又因為a2+b2≥2ab,c>0,所以 c(a2+b2)≥2abc.③ 由於a,b,c不全相等，所以上述①②③式中至少有一個不取等號，把它們相加得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 例4已知a,b,c都是正數,且a+b+c=1，求證： 1a－11b－11c－1≥8. 證明：因為a,b,c都是正數,且a+b+c=1，所以 1a－1=1－aa=b+ca≥2bca, 同理可得 1b－1≥2aca,1c－1≥2abc, 上述三個不等式的右邊都為正數，分別相乘，得 1a－11b－11c－1≥8(abc）2abc=8. 所以1a－11b－11c－1≥8. 3. 分析法 證明不等式時，有時候需要從要證的結論出發，逐步尋求使它成立的條件，直至找到一個已知的顯然成立的不等式為止，這種證明方法叫作分析法.這是一種執果索因的證明方法，即從“結論”尋求“條件”向“已知”靠攏. 例5求證：6+7>22+5. 證明：因為6+7和22+5都是正數，所以 為了證明6+7>22+5， 隻需證明(6+7）2>(22+5）2， 展開得13+242>13+410， 即證42>210， 兩邊平方，即證42>40， 而42>40顯然成立，故6+7>22+5. 從上述證明過程可以發現，如果從42>40出發逐步倒推，即 42>40 42>210 13+242>13+410 (6+7）2>(22+5）2 6+7>22+5, 也能得出結論，這實際上就是綜合法證明.因此，綜合過程正好與分析過程相反.隻是如果沒有分析過程，我們很難想到要以42>40作為證明的出發點. 例6已知a,b,c,d都是實數，求證： (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd）2. 證法一（比較法）： 因為(a2+b2)(c2+d2)－(ac+bd）2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2－(a2c2+2abcd+b2d2) =a2d2－2abcd+b2c2 =(ad－bc）2≥0， 所以(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd）2. 證法二（綜合法）： 因為a,b,c,d都是實數，所以 (ad－bc）2≥0， 於是a2d2－2abcd+b2c2≥0, 不等式兩邊同時加上a2c2+b2d2，得 a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2， 即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd）2. 證法三（分析法）： 為了證明 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd）2， 隻需證明a2d2－2abcd+b2c2≥0, 即(ad－bc）2≥0. 因為a,b,c,d都是實數，所以(ad－bc）2≥0是成立的，因此 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd）2. 隨堂練習 1. 求證： （1） x2+3>2x；（2） a2+b2≥2(a－b－1)； (3) a3+b3>a2b+ab2. 2. 已知a,b,c,d都是正數，求證：(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 3. 已知a,b,c,d都是實數，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 4. 比較下列三組數的大小： (1) 2+37與4；（2） 7+10與3+14;（3） 2與33. 5. 證明：當水的流速相同時，如果截麵的周長相等，那麼截麵是圓的水管比截麵是正方形的水管流量大. 習題2.4 A組 1. 求證： (1) a2+b2≥2(2a－b)－5； (2) a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da. 2. 已知a,b為正數，且a≠b，求證：a5+b5>a3b2+a2b3. 3. 求證： (1) 13+2>5－2；（2） 3+8>1+10； (3) a－5－a－35). 4. 已知a>b，求證：a3－b3>ab(a－b). 5. 已知a,b,c,d都是正數，求證： (1) ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc; (2) ca+b+ab+c+ca+b≥32. B組 1. 已知a>b>c，求證：1a－b+1b－c≥4a－c. 2. 已知a,b都是正數，求證：aabb≥abba，當且僅當a=b時，等號成立. 3. 甲、乙兩人同時同地沿同一路線走向同一地點.甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以m行走，另一半路程以速度n行走.如果 m≠n，那麼甲、乙兩人誰先到達指定點？ 4. 用3,4,5,6,7,8六個數字組成兩個三位數，使這兩個數的乘積最大，應怎樣排列？ 掃描本章二維碼，閱讀“不等式證明的其他方法”. 本章小結 一、本章知識結構 二、回顧與思考 1. 不等式的基本性質 (1) 對稱性:如果a>b，那麼b (2) 傳遞性:如果a>b，b>c那麼a>c． (3) 可加性:如果a>b a+c>b+c 如果a>b，c>d，那麼a+c>b+d (4) 可乘性：如果a>b,c>0 ac>bc； 如果a>b,c<0 ac 如果a>b>0，c>d>0，那麼ac>bd. 如果a>b>0，那麼an>bn>0(n∈N+，且n>0). 如果a>b>0，那麼na>nb>0(n∈N+，且n>1). 2. 不等式的解法 解不等式的基本思想是化歸、轉化，同解變形是解不等式的理論依據. (1) 一元二次不等式 判別式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數 y=ax2+bx+c（a>0）的圖像 一元二次方程 ax2+bx+c=0的實數根 有兩個不相等的實數 根x1、x2（x1 有兩個相等的實數根 x1=x2=－b2a 沒有實數根 ax2+bx+c＞0 （a>0）的解集 {x|xx2} x x ≠－b2a R ax2+bx+c＜0 （a>0）的解集 {x|x1 (2) 簡單分式不等式 求解分式不等式有兩種方法，分別為：將其化為兩個一元一次不等式組，然後求不等式組的解的交集；將其轉化為整式不等式，即找原不等式的同解不等式，再求其解即可.歸納為下列四種情形： ① P(x)Q(x)>0 P(x)>0 Q(x)>0,或者P(x)<0 Q(x)0； ② P(x)Q(x)<0 P(x)<0 Q(x)>0,或者P(x)>0 Q(x)<0 P(x)·Q(x)<0； ③ P(x)Q(x)≥0 P(x)·Q(x)≥0 Q(x)≠0； ④ P(x)Q(x)≤0 P(x)·Q(x)≤0 Q(x)≠0. (3) 絕對值不等式 解絕對值不等式的關鍵在於去絕對值符號，從而把絕對值不等式化為不含絕對值的不等式. 絕對值不等式的轉化方法：（c＞0） 不等式 解集 示意圖 |x|＜c { x|－c＜x＜c} |x|＞c { x| x＜－c，或x＞c} 3. 基本不等式 (1) 如果a∈R，b∈R，那麼(a2+b2)≥2ab，當且僅當a=b時，取“=”號. (2) 如果a>0，b>0，那麼ab≤a+b2，當且僅當a=b時，取“=”號. 我們稱ab≤a+b2為基本不等式，稱a+b2為a、b的算術平均數，稱ab為a、b的幾何平均數.基本不等式還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數. 4. 不等式的證明 (1) （作差）比較法：把不等式兩邊相減，轉化為比較差與0的大小； (2) 綜合法：利用某些已經證明了的不等式，從已知條件出發，利用定義、定理、性質等，經過一係列的推理、論證，推導出所要證明的不等式成立； (3) 分析法：從要證的結論出發，逐步尋求使它成立的條件，直至找到一個已知的顯然成立的不等式為止. 思考：是否可以利用作商來比較兩個式子的大小？ 複習參考題 A組 一、判斷題 1. a+b≥2ab恒成立.（） 2． 若a>b，ccb.（） 3． 若a2>b2,則a>b.（） 4. 如果a>b,那麼ac>bc.（） 5. 如果a>b,則a2>b2.（） 6. 如果a>b>0,則1a<1b.（） 7. 如果a>b>0,c>d>0,則da 8. 若a>b，則ac2>bc2.（） 二、選擇題 1. a、b為實數，則下列結論成立的是(). A. (a-b）2≤0B. (a-b）2≥0 C. (a-b）20 2． 如果a>b，c>d，則a－2c與b－2d的大小關係是(). A. a－2c>b－2dB. a－2c C. 不能確定D. a－2c=b－2d 3． 已知a<0,－1 A. a>ab>ab2B. a C. ab>a>ab2D. ab>ab2>a 4. 已知x>0，則2－2x－4x的最大值是(). A. 2+42B. 42C. 2－42D. 無最大值 5. 已知a、b都是正數,則(). A. a+b>2ab B. a+b<2ab C. a+b≥2abD. a+b≤2ab 6. 設b>a>0，則下列各式中正確的是(). A. a>a+b2>ab>bB. b>a+b2>ab>a C. a>a+b2>b>abD. b>a+b2>a>ab 7. 某工廠第一年的年產量為A，第二年的年增長率為a，第三年的年增長率為b，則後兩年的平均增長率x滿足關係式(). A． xa+b2D． x≥a+b2 三、填空題 1. 已知0 2. 若a>b>c>0，則cacb. 3. 不等式x2－3x+2x2－6x+15≥0的解集是. 4. 不等式3x－12－x≥1的解集是. 5. 若兩個正數x,y的積是定值p，則x=y時，x+y有最小值為. 四、解答題 1. 解下列不等式： (1) x2<3x+4；（2） -2x2+x+12≤0； (3) 3x－22x+3≤0；（4） 3x－5x－1≥2x+7x－1； （5） |2x-3|≥5；（6） |x-3|<6. 2. 如果不等式ax2+5x+b>0的解集是x13＜x＜12，求a,b的值. 3. 已知集合 A={x|x2－x－60}，求A∩B. 4. 某學校要建造一間地麵麵積為12m2的背麵靠牆的長方體小屋，房屋正麵的造價為600元\/m2，房屋側麵的造價為400元\/m2，屋頂的造價為500元\/m2，如果牆高為3m，且不計房屋背麵和地麵的費用，問怎樣設計房屋能使總造價最低？最低造價是多少？ B組 1． 解不等式：(1) 1≤|x―3|＜6；（2） 3＜|x―2|＜9. 2. 已知二次函數y=x2+px+q，當y0. 3. 當k取什麼值時，一元二次不等式2kx2+kx－38<0對一切實數x都成立？ 4. 汽車在行駛過程中，由於慣性的作用，刹車後還要繼續向前滑行一段距離才能停住，我們把這段距離叫作“刹車距離”.刹車距離是分析交通事故形成原因的一個重要因素. 在一個限速為40km\/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發現有危險情況時，同時刹車，但兩車還是相撞了.事後，現場勘察測得甲車的刹車距離略超過12m，乙車的刹車距離略超過10m，又知道甲、乙兩種車型的刹車距離s(m)與車速x（km\/h）之間分別有如下關係： S甲=0.1x+0.01x2，S乙=0.05x+0.005x2 問：甲、乙車有無超速現象？ 掃描本章二維碼，閱讀“為什麼總不少於9斤”. 第三章函數 微信掃一掃 獲取本章資源 第三章函數 函數是數學重要內容之一，是研究量與量之間相互依賴關係的數學模型，函數在人們日常生活中有著廣泛的應用，函數的發展對數學有重大影響，學習函數對我們領悟數學概念，學習數學有著巨大的作用. 在本章，我們將從集合與對應的理論出發，進一步學習和研究函數的概念，深刻理解函數的意義，同時學習如何表達函數.在此基礎之上，學習函數的一些重要性質，如單調性、奇偶性，學習反函數的概念，並且學習如何利用簡單函數模型解決日常生活中的一些實際問題. 本章學習目標 通過本章的學習，將實現以下學習目標： 理解映射的概念 理解在集合和對應的理論下函數的概念和意義 掌握函數的三種表示方法(解析法、圖像法、列表法) 理解函數單調性的概念，掌握判斷一些簡單函數單調性的方法 理解函數奇偶性的概念，掌握判斷函數奇偶性的方法 理解反函數的概念，掌握如何求一些簡單函數的反函數的方法，了解且能應用互為反函數圖像之間的相互關係 能運用函數模型解決簡單的實際問題，提升對數學知識實際應用的意識 3.1對應與映射 1. 對應與映射 如果我們都沒有名字了，這個世界將會怎樣？ 每個人都有名字，盡管可能一人多名(學名，小名，筆名，甚至外號)，也可能是多人一名，但我們每個人隻能有一個法定的名字.在老師點名過程中，學生構成的集合A與花名冊上的姓名構成的集合B之間有一種聯係.這種聯係我們稱為集合A與集合B之間的一種對應關係f. 實際上，在初中我們已經接觸過關於對應的一些例子，比如： 找一找： 生活中有哪些對應關係的實例？ (1) 對於任何一個實數a，數軸上都有唯一的點P和它對應，即通過數軸，將實數集A與點構成的集合B建立了一種對應關係； (2) 對於坐標平麵內任何一個點，都有唯一的有序實數對(x,y)和它對應，即通過平麵坐標係，建立了平麵上的點集A與有序實數對構成的集合B之間的一種對應關係； (3) 某場電影的每一張電影票都有唯一確定的座位與它對應，即通過編數，將電影票構成的集合A與座位構成的集合B建立了一種對應關係. 思考：從集合A到集合B的對應f,與從集合B到集合A的對應f相同嗎？ 第一章我們學習了元素與集合、集合與集合之間的關係，下麵我們重點研究兩個集合的元素與元素之間的對應關係. 如圖3.1.1，根據集合間相應的對應關係觀察這幾種對應各有什麼特征？ 圖3.1.1 觀察上圖我們可以發現： 在(1)(2)(3)(4)中對於集合A中的任何一個元素,按照某種對應關係f,在集合B中都有元素和它對應.但在(2)(3)(4)中集合A中的每個元素在集合B中都隻有一個元素和它對應.像(2)(3)(4)這樣的對應我們叫作從集合A 到集合B的映射. 一般地，設A、B是兩個非空集合，若按照某種對應關係f，對於集合A中的任何一個元素x，在集合B中有且隻有一個元素y和它對應，則稱這樣的對應關係f為集合A到集合B的映射，記作f：A→B. 給定一個映射f：A→B，且a∈A,b∈B，若元素a與元素b對應，則b叫作a的象，而a叫作b的原象. 例如，圖3.1.1(2)中，12是2的象，2是12的原象；(3)中，2的原象有兩個，分別為-2和2；-2和2的象都是2. 思考：對應與映射有什麼區別？ 例1判斷以下給出的對應是不是由集合A到集合B的映射？ （1） A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7}，對應關係f:x→2x－1. （2） A=N+，B={0,1,2}，對應關係f:x對應x除以3的餘數. （3） A={某學校所有班級}，B={某學校所有學生}，對應關係f:每個班級對應班級學生. （4） A={三角形}，B={正實數}，對應關係f:求三角形麵積. 解：(1) 在對應關係f的作用下，A中的元素1，2，3，4，分別對應B中的元素1，3，5，7,即集合A中的任何一個數x，在集合B中都有唯一的數2x-1與之對應.因此，這個對應關係f:A→B是從集合A到集合B的映射. (2) 由於任何一個正整數除以3的餘數要麼為0，要麼為1，要麼為2,所以在對應關係f的作用下，集合A中的任何一個正整數，在集合B中都有唯一的數0或1或2與之對應.故這個對應關係f:A→B是從集合A到集合B的映射. (3) 由於每個班級的學生不止一個，因此與班級對應的學生不止一個，所以這個對應關係f不是從集合A到集合B的映射. (4) 對於集合A中的每一個三角形，均可求其麵積，麵積唯一且一定是一個正實數，因此，對於任意一個三角形，在集合B中均有唯一的實數與之對應，故這個對應關係f:A→B 是從集合A到集合B的映射. 注意：（1） 映射是由三部分構成的一個整體：集合A、集合B、對應關係f.其中集合A、B可以是數集、點集或其他集合，可以是有限集也可以是無限集，但不能是空集. (2) 映射f:A→B是一種特殊的對應，要求A中的任何一個元素在B中都有象，並且象唯一，即元素與元素之間的對應必須是“一對一”或“多對一”，不能是“一對多”. (3) 映射是有順序的，即映射f:A→B與f:B→A的含義不同. 注意： 映射下的象是唯一的，原象不唯一. 例2指出圖3.1.1(3)中元素1所對應的象與原象？ 解：對於集合A中的元素1，其對應的象為集合B中的元素1；而對於B中的元素1，其所對應的原象為集合A中的-1和1. 思考：設映射f:A→B中象集為C，若集合A中有m個元素，若集合B中有n個元素，象集C中有k個元素，則k與m、n的大小關係是什麼？ 2. 特殊的映射 觀察圖3.1.1中映射(2)和(4)有什麼共同點？(2)和(3)又有什麼共同點？ 觀察發現在映射(2)(4)中，集合A中任意不同元素在集合B中的象也不同，我們稱滿足此特點的映射為單映射；在映射(2)(3)中，集合B中的每個元素都有原象，我們稱滿足此特點的映射為滿映射；映射(2)既是單映射又是滿映射，我們稱其為一一映射. 比一比： 試比較它與映射的區別. 設A，B是兩個非空集合，f:A→B 是集合A到集合B的映射，如果在這個映射下對於集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一個元素都有原象，那麼稱此映射為從A到B的一一映射. 圖3.1.2 例3判斷下麵的對應是否為映射，是否為一一映射？ (1) A={0,1,2,4,9},B={0，1，4，9，64},對應關係f:a→b=(a－1)2； (2) A={0,1,4,9,16}，B={－1,0,1,2,3,4},對應關係f:求平方根； (3) A={11,16,20,21},B={6,2,4,0},對應關係f:求被7除的餘數. 解：(1) 答：是映射，不是一一映射.(如右圖3.1.2) (2) 答：由於集合A中的元素1，在集合B中有兩個元素±1與其對應，不唯一，所以不是映射. (3) 答：是映射，且是一一映射. 隨堂練習 1. 判斷圖中所表示的集合A={1,2,3,4}和集合B={a,b,c,d}間的對應關係中,哪些是映射，哪些不是映射？哪些是一一映射？ 2. 下列各題中，哪些對應關係f 是從集合A到集合B的映射？ (1) 設Ａ=N+，Ｂ={0,1}，對應關係f：x→x除以2得的餘數； (2) 設A={0,1,2}，B={0,1,12}，對應關係f:x→1x； (3) 設Ａ=Z，Ｂ=N+，對應關係f：x→x求絕對值. 3. 在集合Ａ到集合Ｂ的映射中，集合Ｂ＝{1，3，4，5，7，9,11}，對應關係f：x→3x， 寫出滿足條件的一個集合A. 4. 設A={x|x是銳角},B={y|0 判斷f是不是映射？如果是，Ａ中元素60°的象是什麼？Ｂ中元素22的原象是什麼？ 習題3.1 A組 1. 下列哪些對應是從集合A到集合B的映射？ (1) 設A=N,B={－1,1}，對應關係f:x→(－1)x； (2) 設A=N，B=N+，對應關係f:x→y=|x－1|； (3) 設A={x|x>0且x∈R}，B=R，對應關係f:x→y=x2； (4) 設A={平麵內的圓}，B={平麵內的三角形}，對應關係f:作圓的內接三角形. 2. 已知A={a1,a2}，B={b1,b2,b3}，則從A到B的映射有多少個？ 3. 填空 (1) 從R到{正實數}的映射f:x→y=|x|+1，則R中的-1在{正實數}中的象是，{正實數}中的4在R中的原象是. (2) 給定映射f:(x,y)→(x+y,xy)，則點(－2,3)在f下的象是，點(2,－3)的原象是. (3) 設映射f:x→x2－2x－1,則1+2的象是，－7的原象是. B組 1. 設f:A→B是從集合A到集合B的映射，則下列命題中正確的是(). A. A中的每一個元素在B中必有唯一的象 B. B中的每一個元素在A中必有原象 C. B中的每一個元素在A中的原象唯一 D. A中不同元素的象必定不同 2. A={整數}, B={偶數}，試問A與B 中的元素個數哪個多?為什麼?如果我們建立一個由A 到B的映射，對應關係f:乘以2，那麼這個映射是一一映射嗎? 3. 已知A=Q，B=Q，a、b∈A,c∈B,f:a+b=c，這種運算可不可以看成從A到B的一種映射？ 4. (1) 設A={a,b}，B={1,2}.問最多可以建立多少個從集合A到集合B的不同 映射？若集合A不變，將集合B改為{1,2,3}，結論是什麼？若集合B不變，將集合A改為{a,b,c}，結論怎樣？若集合A改為A={a,b,c}，集合B改為B={1,2,3}，結論又是怎樣的？ (2) 從以上問題中，你能歸納出一般的結論嗎？依此結論，若集合A中含有m個元素，集合B中含有n個元素，那麼最多可以建立多少個從集合A到集合B的不同映射？ 3.2函數及其表示 3.2.1函數的概念 在初中我們學習過函數的概念，並且我們知道可以用函數描述變量之間的關係.下麵，我們將從集合的觀點，給出函數的另一種定義，請看一個函數的實例. 引例：圖3.2.1表示長沙市2003年6月份某一天的氣溫T隨時間t變化的情況： 圖3.2.1 思考：上述引例存在哪些變量？變量的變化範圍分別是什麼？兩個變量之間存在著怎樣的對應關係？ 上述引例中，據圖可知，在氣溫的變化過程中，有兩個變量，一個是時間t,另一個是溫度T，溫度T的變化隨時間t的變化而變化，並且對於每一個時間t，都存在一個確定的溫度T.從集合的角度分析，時間t的變化範圍構成一個數集A={t|0≤t≤24}，溫度T的變化範圍構成一個數集B={T|23≤T≤37}，對於數集A中的每一個時間t，在數集B中都存在唯一確定的溫度T與之對應，圖3.2.1中的曲線就是集合A到集合B的一種對應關係f，顯然這樣的對應關係f是從集合A到集合B的一種映射，這樣的映射被稱為函數. 一般地，設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，則稱這個映射f:A→B叫作從集合A到集合B的一個函數，記作： y=f(x),x∈A 其中，x為自變量，自變量x的取值範圍A叫作函數的定義域；與x的值對應的y值叫作 函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數的值域. 引例中，溫度T是關於時間t的函數，t為自變量，定義域為A={t|0≤t≤24}，T的取值為函數值，值域為B={T|23≤T≤37}. 注意：(1) 函數的兩種定義本質是一致的，隻是敘述概念的出發點不同，一種定義是從運動變化的角度出發，一種定義是從集合的角度出發. (2) f表示對應關係，可以用任意的字母表示，比如字母g等；f(x)表示與自變量x對應的函數值，是一個整體，而不是f乘以x. (3) 當自變量x在定義域中取一個確定的值a時，其對應的函數值為f(a). 想一想： f(a)與f(x)有何區別？ 初中我們學習過一次函數y=kx+b(k≠0),其定義域是R,值域也是R，對應關係為 f:x→y=kx+b(k≠0)； 二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，其定義域為R，值域B需分情況討論：當a>0時，值域B=yy≥4ac－b24a；當a<0時，值域B=yy≤4ac－b24a.其對應關係 f:x→y=ax2+bx+c(a≠0). 思考：(1) 反比例函數y=kx(k≠0)的定義域 、值域、對應關係分別是什麼？ (2) y=1(x∈R)是不是函數？ (3) 構成函數的要素有哪些？ (4) 函數與映射有什麼異同？ 為了表述方便，研究函數時我們會用到區間的概念.設a,b是兩個實數，且a (1) 滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合叫作閉區間，表示為［a,b］； (2) 滿足不等式a (3) 滿足不等式a≤x 區間的幾何表示如下表： 定義名稱符號數軸表示 {x|a≤x≤b}閉區間［a,b］ {x|a {x|a≤x {x|a 其中實數a,b是相應區間的端點，在圖中用實心點表示包含在區間內的端點，用空心點表示的是不包含在區間內的端點. 實數集R可以用區間(－∞,+∞)表示，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負無窮大”，“+∞”讀作“正無窮大”.我們可以把滿足x≥a,x>a,x≤b,x 例1求下列函數的定義域： (1) f(x)=1x－2；(2) f(x)=3x+2； (3) f(x)=x0；(4) f(x)=x+1+12－x； (5) 導彈飛行高度h與時間t的函數關係為h(t)=500t－5t2. 分析：函數的定義域是由問題的實際背景確定的，一般說來是已知的.如果問題隻給出函數的解析式，沒有給出定義域，那麼我們就認為該函數的定義域是指能使這個式子有意義的一切x的集合. 解：(1) 要使函數有意義，必須滿足x－2≠0，即x≠2， 所以函數f(x)=1x－2的定義域是{x|x≠2}， 寫成區間形式為(－∞,2)∪(2,+∞). (2) 要使函數有意義，必須滿足3x+2≥0，即 x≥－23， 所以函數f(x)=3x+2的定義域是xx≥－23， 寫成區間形式為－23,+∞. 當一個函數是由兩個或兩個以上的數學式子的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使各部分都有意義的公共部分.另外，函數的定義域和值域都應寫成集合或區間的形式. (3) 要使函數有意義，必須滿足x≠0， 所以函數f(x)=x0的定義域是 {x|x≠0}. 寫成區間形式為(－∞,0)∪(0,+∞). (4) 要使函數有意義，必須滿足 x+1≥0 2－x≠0x≥－1 x≠2， 所以函數f(x)=3x+2的定義域是 {x|x≥－1且x≠2}. 寫成區間形式為［－1,2)∪(2,+∞). (5) 該問題為實際問題，由該問題的實際意義可得 t≥0 500t-5t2≥0. 解得0≤t≤100, 所以,這個函數的定義域是{t|0≤t≤100}.寫成區間形式為[0，100]. 思考：試歸納求解函數定義域的步驟！ 構成函數三個要素是：定義域、對應關係和值域，由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數). 例2下列函數中哪個與函數y=x相等？ (1) f(x)=(x)2； (2) f(x)=3x3； (3) f(x)=x2； (4) f(x)=x2x； 分析：兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關. 解：函數y=x的定義域為R，值域為R，對應關係為f:x→y=x； (1) 函數y=(x)2的定義域為{x|x≥0}，對應關係為f:x→y=x. 盡管與函數y=x的對應關係相同但定義域不同，所以二者不相等； (2) 函數y=3x3的定義域為R，對應關係為f:x→y=x，因為與函數y=x 的定義域和對應關係都相同，所以二者相等； (3) 函數y=x2=|x|的定義域為R，對應關係為f:x→y=|x|，盡管與函數 y=x的定義域相同但對應關係不同，所以二者不相等； 注意： 由上麵例題我們知道，同一個函數可以有多個表達式. (4) 函數y=x2x的定義域為{x|x≠0}，對應關係為f:x→y=x，盡管與函數 y=x的對應關係相同但定義域不同，所以二者不相等. 例3已知函數f(x)=x+3+1x+2, (1) 求函數的定義域； (2) 求f(－3)，f23的值； (3) 當a>0時，求f(a),f(a－1)的值. 解：(1) 使得x+3有意義的x的取值範圍是{x|x≥－3}； 使得分式1x+2有意義的x的取值範圍是{x|x≠－2}， 所以這個函數的定義域為 {x|x≥－3}∩{x|x≠－2}={x|－3≤x－2}； (2) f(－3)=－3+3+1－3+2=－1， f23=23+3+123+2=113+38= 333+38 ； (3) 由於a>0,所以a-1>-1, 因此a,a-1都在該函數的定義域中， 故f(a)=a+3+1a+2，f(a－1)=a－1+3+1a－1+2=a+2+1a+1. 圖3.2.2 例4求函數f(x)=x2－3x－4分別在下列定義域中的值域： (1) x∈R； (2) x∈{－1,0,1,2}； (3) x∈［2,6］； (4) x∈(0,6］. 解:對於函數f(x)=x2－3x－4，可解得與x軸的兩個交點為(－1,0)和(4,0)，頂點坐標為32,－254，如圖3.2.2. (1) 當x∈R時，由圖可知函數f(x)=x2－3x－4的值域為－254,+∞. (2) 當x∈{－1,0,1,2}時，因為f(－1)=0，f(0)=－4，f(1)=－6，f(2)=－6，所以此時f(x)=x2－3x－4的值域為{－6,－4,0}. (3) 當x∈［2,6］時，由圖可知函數f(x)=x2－3x－4的值域為［－6,14］. (4) 當x∈(0,6］時，由圖可知函數f(x)=x2－3x－4的值域為－254,14. 隨堂練習 1. 用區間表示下列集合 (1) {x|－1≤x≤6,x∈R}； (2) {x|－1≤x<6,x∈R}; (3) {x|x≤2,x∈R}； (4) {x|x>0,x∈R}； (5) {x|x<3或x≥5,x∈R}； (6) {x|x2－2x－3>0,x∈R}. 2. 在下列圖像中，請指出哪些是函數圖像，哪些不是，並說明理由. 3. 求下列函數的定義域. (1) f(x)=－3x2+x+1； (2) f(x)=1x+7； (3) f(x)=(x－1)0； (4) f(x)=x+2x－1； (5) f(x)=1－x+x+4+1. 4. 判斷下列函數f(x)與g(x)是否表示同一個函數，說明理由？ (1) f(x) = (x－1)0，g(x)= 1； (2) f(x)=x2－9x+3,g(x)=x－3; (3) f(x)=x2－1，g(x)=(x－1)2； (4) f(x)=|x－1|，g(x)=(x－1)2; (5) 函數f(x)=500x－5x2表示導彈飛行高度f(x)與時間x的關係和二次函數 g(x)=500x－5x2. 5. 已知函數f(x)=x－x2，求f(－1)，f(0)，f(1)，f(x+1)，f(x2)+1. 6. 已知函數f(x)=x2－1，求f(f(－1))的值. 7. 求下列函數的值域. (1) f(x)=－x+5； (2) f(x)=3－2x,x∈{2,3,4,5,6}； (3) f(x)=－2x－3,x∈(－1,2］； (4) f(x)=x2－2x; (5) f(x)=x2－x,x∈{2,3,4}； (6) f(x)=x2－x,x∈(－2,2］. 3.2.2函數的表示方法 我們已經知道，構成一個函數的三要素是定義域、值域和對應關係，隻要能夠清楚的表示出一個函數的三要素便可將函數表示出來. 表示函數的方法，常用的有解析法、列表法和圖像法三種. 1. 解析法 用數學表達式表示兩個變量之間的對應關係. 例如,s=60t2,S=πr2，y=2x+1,y=3x2+2x+1等,都是用解析式表示函數關係的. 優點：一是簡明、全麵地概括了變量間的關係； 二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值. 2. 列表法 列出表格來表示兩個變量之間的對應關係.例如，我國從1949—1999年人口數據表： 年份19491954195919641969197419791984198919941999 人口數5426036727058079099751035110711771246 數學用表中的平方表、平方根表、三角函數表，銀行裏的利息表，列車時刻表等都是用列表法來表示函數關係的. 優點：不需計算就可直接看出與自變量的值相對應的函數值. 3. 圖像法 用圖像表示兩個變量之間的對應關係. 例如，長沙市2003年6月份某一天的氣溫T隨時間t變化的情況： 圖3.2.3 優點：函數的圖像法能直觀地反映出變量之間的關係，以及函數值的變化趨勢，變量之間關係形象、直觀. 例5購買某種飲料x聽，所需錢數為y元，若每聽3元，試用函數的三種表示方法將y表示成x(x∈{1,2,3,4,5})的函數，並指出該函數的值域. 解：這函數的定義域是數集{1,2,3,4,5}； 用解析法可以將函數y=f(x)表示為y=3x,x∈{1,2,3,4,5}, 值域為{3,6,9,12,15}. 用列表法可以將函數y=f(x)表示為 飲料數x12345 錢數y3691215 用圖像法可以將函數y=f(x)表示為 函數圖像既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等. 圖3.2.4 思考：(1) 函數圖像有何特征？判斷一個圖像是不是函數圖像的依據是什麼？ (2) 所有的函數都可用解析法表示嗎？ 對於一個具體的問題，我們應根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數. 例6下表為某班三位同學在第一學年六次數學測試的成績及班級平均分表 第一次第二次第三次第四次第五次第六次 王偉988791928895 張城907688758680 趙磊686573727582 班平均分88.278.385.480.375.782.6 請你對這三位同學在第一學年的數學學習情況做一個分析. 分析：從表中我們可以得到每位同學每次測試中的成績，但不容易分析其成績變化情況，若能夠畫出“成績”與“測試次數”的函數圖像，可以直觀地看出成績變化情況，並做學習情況分析. 解：畫圖如下 圖3.2.5 從圖中我們可以看出：王偉同學的數學學習成績始終高於班級平均水平，學習情況比較穩定而且成績優.張城同學的數學成績不穩定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度較大.趙磊同學的數學學習成績低於班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的數學成績在穩步提高. 圖3.2.6 例7畫出函數y=|x|的圖像 解：由絕對值的概念y=|x|可以表示為 f(x)=x,x≥0 －x,x<0. 當x≥0時，作出函數 f(x)=x的圖像； 當x<0時，作出函數 f(x)=－x的圖像； 所以y=|x|的圖像如圖3.2.6所示. 例8某市出租汽車的收費標準如下： (1) 在2.5千米以內(含2.5千米)路程按起步價7元收費； (2) 超過2.5千米的路程，超過的部分按每千米1.2元收費. 請根據題意，寫出收費錢數與路程之間的函數解析式，並作出函數的圖像. 分析：本例具有實際背景，所以解題時應考慮其實際意義，計費需分兩種情況討論，即當行駛車程沒有超過2.5千米(含2.5千米)時按起步價付費；當行駛車程超過2.5千米時，收費錢數=起步價+1.2×超過部分. 解：設收費錢數為y=f(x)元，路程為x千米，由題意可知，自變量x的取值範圍是(0,+∞). 由題分析可得如下函數解析式 f(x)=7,0 7+1.2(x－2.5),x>2.5. 由此解析式可以畫出函數圖像如下： 圖3.2.7 我們把像例7、例8中這樣的函數，稱為分段函數.生活中，有很多可以用分段函數描述的實際問題，如出租車的計費、個人所得稅納稅額等. 思考：如何求分段函數的定義域和值域？ 隨堂練習 1. 某市2008年統計的該市學生各年齡組的平均身高見下表： 年齡組(歲)7891011121314151617 平均身高(cm)115118122126129135140146154162168 (1) 從表中你能看出該市14歲的學生的平均身高是多少嗎? (2) 該市學生的平均身高從哪個年齡開始迅速增加? (3) 上表反映了哪些變量之間的關係?其中哪個是自變量，哪個是因變量? 2. 某人某年1至6月的工資收入如下：1月份為1000元；從第二個月開始，每月都比前一個月增加300元，用解析法、圖像法、列表法表示工資收入y與月份x的函數關係. 3. 郵局寄信，重量不超過20g時付郵資0.5元，超過20g而不超過40g付郵資1元. 每封重量為xg(0 4. 已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米\/小時的速度從A地到達B地，在B地停留1小時後再以50千米\/小時的速度返回A地. (1) 試用時間t(小時)表示汽車離開A地的距離y(千米)； (2) 作出函數y=f(t)的圖像. 5. 作出函數y=|x－1|的圖像，並求出函數的值域. 習題3.2 A組 1. 下列圖像中，哪些可以作為函數的圖像，哪些不能，為什麼？ 2. 求下列函數的定義域 (用區間表示). (1) f(x)=x+4x+2； (2) f(x)=1－2x+2x+3； (3) f(x)=－x2－2x+3； (4) f(x)=9－x－(x－2)0x+4. 3. 下列哪組函數f(x)與g(x)相等？ (1) f(x)=x－2,g(x)=x2x－2； (2) f(x)=x2,g(x)=(x)4； (3) f(x)=x2,g(x)=(3x)6. 4. 已知函數f(x)=3x3+2x. (1) 求f(2),f(－2),f(2)+f(－2)的值； (2) 求f(a),f(－a),f(a)+f(－a)的值. 5. 已知f(x)=3x2－5x+2，求f(x+1)，f(f(1))， f(f(x)). 6. 若f(x)=x2+ax+b,且f(1)=0,f(3)=0,求f(－1)的值. 7. 求下列函數的值域： (1) y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5}； (2) y=x+1； (3) y=x2－4x+6,x∈［1,5)； (4) y=2x. 8. 已知函數f(x)= x2－4,0≤x≤2 2x,x>2,則f(2)=；若f(a)=8，則 a=. 9. 作出下列函數的圖像： (1) y=x+1,x∈{－2,－1,0,1,2}； (2) y=2x2－4x－3,1≤x≤3; (3) y=0,x≤0, x,x>0; (4) f(x)=x,x≥0; x2,x<0. 第10題圖 10. 如右圖，把截麵半徑為10cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形的一條邊長為x，麵積為y，試把y表示成x的函數. 11. 從甲地到乙地共4公裏，有一個學生從甲地到乙地，走過的路程(y)與用的時間(t)的關係如圖，請根據圖像寫出路程(y)與時間(t)的函數解析式. 第11題圖 12. 某學生從學校去展覽館參觀，上午七點出發，先以每小時5km的速度步行12 分鍾，再乘客車，速度為每小時30km，上午八點到達展覽館.若以t表示時間，s表示路程. (1) 求路程(s)與時間(t)的函數解析式；(2) 作出函數的圖像. B組 1. 若f(x+1)=2x2+1，求f(x),f(－1). 2. 一次函數f(x)滿足f[f(x)]=1+2x，求f(x). 3. 任意畫一個函數y=f(x)的圖像，然後作出y=|f(x)| 和 y=f(|x|) 的圖像，並嚐試簡要說明三者(圖像)之間的關係. 第4題圖 4. 如圖在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P，它沿著折線BCDA的方向由點B(起點)向A(終點)運動.設點P運動的路程為x，△ABP的麵積為y. (1) 求y關於x的函數表示式，並指出定義域； (2) 畫出y=f(x)的圖像. 5. 某地的中國移動“神州行”卡與中國聯通130網的收費標準如下表： 網絡月租費本地話費長途話費 甲：聯通130網12元每分鍾0.36元每6秒鍾0.06元 乙：移動“神州行”卡無每分鍾0.6元每6秒鍾0.07元 (注:本地話費以分鍾為單位計費,長途話費以6秒鍾為單位計費) 若某人每月撥打本地電話時間是長途電話時間的5倍,且每月通話時間(分鍾)的範圍在區間(60,70)內,請問選擇哪種網絡較為省錢？ 3.3函數的基本性質 函數是描述事物變化規律的數學模型，了解了函數的變化規律就可以基本把握相應事物的變化規律，因此研究函數的特征(性質)很重要. 觀察下列各個函數的圖像，並說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律： 圖3.3.1 提示：(1) 隨x的增大，y的值有什麼變化？ (2) 能否看出函數的最大、最小值？ (3) 函數圖像是否具有某種對稱性？ 下麵我們具體研究這些性質. 3.3.1函數的單調性 探究：畫出下列函數的圖像，觀察其變化規律，回答下列問題： (1) f(x)=x； ① 從左至右圖像上升還是下降？ ② 在區間 上，f(x)的值隨著x的增大而 . (2) f(x)=－x+2； ① 從左至右圖像上升還是下降？ ② 在區間 上，f(x)的值隨著x的增大而 . (3) f(x)=x2. ① 在區間 上，f(x)的值隨著x的增大而 . ② 在區間 上，f(x)的值隨著x的增大而 . 圖3.3.2 從上麵的觀察分析可以看出：不同的函數，其圖像的變化趨勢不同，同一函數在不同區間上變化趨勢也不同，函數圖像的這種“上升”和“下降”的性質就是我們本節所要研究的函數的一個重要性質——函數的單調性. 思考：函數y=x2的圖像在y軸右側是上升的，即函數值y隨著x的增大而增大，如何用數學語言來描述它的這種變化趨勢呢？ 仿照這樣的描述，你能用數學語言說出函數y=x2在區間(－∞,0］上的變化趨勢嗎？ 對於函數f(x)=x2：在區間(0,+∞)，任意取兩個數x1,x2，得到f(x1)=x12，f(x2)=x22，當x1 一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,x2. 當x1 當x1f(x2)，那麼就說f(x)在區間D上是減函數(如圖3.3.4). 如果函數f(x)在某個區間D上是增函數或減函數，就說f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，區間D叫作函數f(x)的單調區間. 圖3.3.3 圖3.3.4 注意： (1) 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質,是函數的局部性質； (2) 反映在圖像上,若f(x) 是區間D上的增(減)函數，則圖像在D上的部分從左到右是上升(下降)的. 例1如圖是定義在［－5,5］上的函數y=f(x)，根據圖像說出該函數的單調區間及單調性. 圖3.3.5 解：函數y=f(x)的單調區間有[－5,－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5].其中函數y=f(x)在區間[－5,－2)，[1,3)上是減函數，在區間[－2,1)，[3,5]上是增函數. 例2根據下列函數的圖像，指出它們的單調區間及單調性，並運用定義進行證明. (1) f(x)=－3x+2； (2) f(x)=1x. 解：(1) 作圖 圖3.3.6 通過觀察圖像知道，函數f(x)=－3x+2的單調區間為(－∞,+∞)，且在其上是單調減函數. 定義證明：任取x1,x2∈(－∞,+∞)，且x1 f(x1)－f(x2)=－3(x1－x2)， 因為x1－x20，即f(x1)>f(x2)， 從而函數f(x)=－3x+2在區間(－∞,+∞)上是單調減函數. (2) 作圖 圖3.3.7 通過觀察圖像知道，函數f(x)=1x的單調區間是(－∞,0)、(0,+∞)，且在區間(－∞,0)上是單調減函數；在區間(0,+∞)上也是單調減函數. 定義證明：任取x1,x2∈(－∞,0)，且x1 f(x1)－f(x2)=x2－x1x1x2， 因為x2－x1>0且x1x2>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 從而函數f(x)=1x在區間(－∞,0)上是單調減函數； 同理可證函數f(x)=1x在區間(0,+∞)上也是單調減函數. 歸納： 利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟： ① 任取x1,x2∈D，且x1 ② 作差f(x1)－f(x2)； ③ 變形(通常是因式分解和配方)； ④ 定號(判斷f(x1)－f(x2)的正負)； ⑤ 下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性). 思考：在本例(2) 中能否得到函數f(x)=1x在(－∞,0)∪(0,+∞)為減函數？為什麼？ 例3物理學中的玻意耳定律p=kV(k為正常數)，告訴我們對於一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p如何變化？試用單調性定義證明. 分析：按題意，隻要證明函數p=kV在區間(0,+∞)上是減函數即可. 實際問題與函數模型之間的關聯十分密切，我們常常借助函數的單調性解決問題. 證明：設V1,V2是定義域(0,+∞)上的任意兩個實數，且V1 p(V1)－p(V2)=kV1－kV2=kV2－V1V1V2, 由V1,V2∈(0,+∞),得V1V2>0； 由V10. 又k>0，於是p(V1)－p(V2)>0,即p(V1)>p(V2). 所以，函數p=kV,V∈(0,+∞)是減函數.即當體積V減小時，壓強p將增大. 隨堂練習 1. 畫出下列函數的圖像，根據圖像指出函數的單調區間及單調性. (1) y=－x2+2； (2) f(x)=|x|； (3) f(x)=x3. 2. 證明函數f(x)=－x2+x在12,+∞上為減函數. 3. 已知函數y=1x+1.問： (1) 這個函數的定義域是什麼？(2) 它在定義域I上的單調性怎樣？證明你的結論. 4. 求證：函數f(x)=x+1x在區間(0,1)上是減函數. 5. 討論函數y=mx+b在區間(－∞,+∞)上的單調性. 6. 已知函數f(x)的定義域是F，函數g(x)的定義域是G，且對於任意的x∈F∩G，試根據下表中所給的條件，用“增函數”“減函數”“不能確定”填空. f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)－g(x) 增增 增減 減增 減減 3.3.2函數的最大(小)值 畫出下列函數的圖像，指出圖像的最高點或最低點，並說明它能體現函數的什麼特征? 函數最高點最低點 f(x)=－2x+3 f(x)=－2x+3,x∈[－1,2] f(x)=x2+2x+1 f(x)=x2+2x+1,x∈[－2,2] 當一個函數有最低點時，我們就說函數f(x)有最小值.當一個函數有最高點時，我們就說函數f(x)有最大值.反之，則沒有最小值和最大值. 思考：由上麵的討論，體現了函數值的什麼特征？ 一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足： (1) 對於任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)=M. 那麼，稱M是函數y=f(x)的最大值. 思考：你能依照函數最大值的定義，寫出函數y=f(x)的最小值的定義嗎？ 圖3.3.8 例4一枚炮彈發射，炮彈距地麵高度h(米)與時間t(秒)的變化規律是h(t)=－5t2+130t,那麼什麼時刻距離地麵的高度達到最大？最大值是多少？ 解：作出函數h(t)=－5t2+130t的圖像， 函數圖像的頂點就是炮彈距離地麵的最高 點，頂點的橫坐標就是炮彈達到最高點的 時刻，縱坐標就是距離地麵的高度. 由二次函數的知識可知，當t=13時，函數有最大值h(t)=－5×132+130×13=845. 於是，當炮彈發射13s後達到最高點，高度為845米. 圖3.3.9 例5求函數f(x)=2x－1在區間［2,6］上的最大值和最小值. 解：法一：圖像法 由函數圖像可知，函數f(x)=2x－1在區間［2,6］上遞減.所以函數在區間的兩個端點處取得最大值和最小值，即當x=2時，f(x)max=2；x=6時，f(x)min=25. 法二： 設x1,x2是區間［2,6］上的任意兩個實數，且x1 f(x1)－f(x2)=2x1－1－2x2－1 =2［(x2－1)－(x1－1)］(x1－1)(x2－1) =2(x2－x1)(x2－x1)(x2－x1). 由2≤x10,(x1－1)(x2－1)>0， 於是f(x1)－f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). 所以，函數f(x)=2x－1是區間［2,6］上的減函數. 因此，該函數在端點x=2處取得最大值2，在x=6處取得最小值25. 例6將進貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，若此商品每個漲價1元，其銷售量減少10個，為了賺到最大利潤，售價應定為多少？ 分析：對於具有實際背景的問題，首先要仔細審清題意，設出合適的變量，建立適當的函數模型，然後利用函數的性質或圖像確定函數的最大(小)值. 解：設利潤為y元，每個售價為x元，則每個漲(x－50)元，從而銷售量減少10(x－50)個，共售出500－10(x－50)=1000－10x個，可獲得利潤（x-40)(1000-10x)元. 因此,y=(x－40)(1000－10x)=-10x2+1400x-40000(50≤x<100), 故當x=70時，ymax=9000元. 答：為了賺取最大利潤，售價應定為70元. 知識拓展： 求二次函數在閉區間上的值域，需根據對稱軸與閉區間的位置關係，結合函數圖像進行研究. 例如求 f(x)=x2-ax 在區間 [m,n] 上的值域，則先求得對稱軸 x=a2 ，再分 a2 m≤a2 隨堂練習 1. 作出函數y=x2－2x+3的簡圖，研究當自變量x在下列範圍內取值時的最大值與最小值. (1) －1≤x≤0； (2) 0≤x≤3； (3) x∈(－∞,+∞). 2. 已知f(x)在區間[a,c]上單調遞減，在區間[c,d]上單調遞增，則f(x)在[a,d] 上最小值為. 3. 一段竹籬笆長20米，圍成一麵靠牆的矩形菜地，如何設計使菜地麵積最大？ 4. 求函數f(x)=x2－2ax－1在x∈［0,2］ 上的最小值. 3.3.3函數的奇偶性 1. 偶函數 觀察下列圖像有什麼共同特征？ 圖3.3.10 可以看出，這兩個函數的圖像都關於y軸對稱.通過計算可以發現，在定義域內，當自變量取互為相反數的兩個值時，它們對應的函數值相等. 例如，對於函數f(x)=x2 f(1)=1=f(－1)，f(2)=4=f(－2)，f(3)=9=f(－3)，…， 實際上，對於函數f(x)=x2定義域中的每一個x，都有f(x)=x2=(－x)2=f(－x)，這時我們稱函數f(x)=x2為偶函數. 一般地，對於函數y=f(x)，定義域I關於坐標原點對稱.如果對於函數定義域內任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那麼函數y=f(x)就叫作偶函數. 思考：函數f(x)=x2,x∈［－1,2］ 是不是偶函數？ 2. 奇函數 觀察函數y=x,y=1x,y=x3的圖像有什麼共同特征？如何利用函數解析式描述這些特征？ 圖3.3.11 可以看到這些函數圖像均是關於原點對稱的.通過計算可以發現，在定義域內，當自變量取互為相反數的兩個值時，它們對應的函數值也互為相反數. 以f(x)=x為例： f(－1)=－1=－f(1)，f(－2)=－2=－f(2)，f(－3)=－3=－f(3)，… 實際上，對於函數f(x)=x的定義域中的每一個x，都有f(－x)=－x=－f(x)，這時我們稱函數f(x)=x為奇函數. 思考： 有沒有既是奇函數又是偶函數的函數？ 一般地，對於函數y=f(x)，定義域I關於坐標原點對稱.如果對於函數定義域內任意一個x，都有f(－x)=－f(x)，那麼函數y=f(x)就叫作奇函數. 如果函數是奇函數或是偶函數，就稱函數具有奇偶性.函數的奇偶性是函數的整體性質. 注意： (1) 具有奇偶性的函數的圖像的特征: 偶函數的圖像關於y軸對稱；奇函數的圖像關於原點對稱. (2) 不是任何函數都具有奇偶性，有的函數既不是奇函數，也不是偶函數. 例7畫出下列函數的圖像，並根據圖像說出它們的奇偶性 (1) f(x)=3x; (2) f(x)=x2+1. 解：作出一次函數f(x)=3x和二次函數f(x)=x2+1的圖像，如下 圖3.3.12 (1) 函數f(x)=3x的圖像是關於坐標原點對稱的，所以f(x)=3x是奇函數. (2) 函數f(x)=x2+1的圖像是關於ｙ軸對稱的，所以f(x)=x2+1是偶函數. 例8判斷下列函數的奇偶性： (1) f(x)=2|x|； (2) f(x)=x3； (3) f(x)=x+1x； (4) f(x)=x2－1,x∈(0,1). 分析：判斷函數的奇偶性，先判斷函數的定義域是否關於原點對稱，再計算f(-x) ，並與f(x)進行比較. 解：(1) 對於函數f(x)=2|x|,其定義域為(－∞,+∞).因為對於定義域內的每一個x，都有 f(－x)=2|－x|=2|x|=f(x) 所以函數f(x)=2|x|是偶函數. (2) 對於函數f(x)=x3，其定義域為(－∞,+∞).因為對於定義域內的每一個x，都有 f(－x)=(－x)3=－x3=－f(x) 所以函數f(x)=x3是奇函數. (3) 對於函數f(x)=x+1x，其定義域為{x|x≠0}.因為對於定義域內的每一個x，都有 f(－x)=－x+1－x=－x+1x=－f(x) 所以函數f(x)=x+1x是奇函數. (4) 對於函數f(x)=x2－1,其定義域為(0,1).因為定義域關於原點不對稱，所以函數f(x)=x2－1（x∈(0,1)）既不是奇函數也不是偶函數. 圖3.3.13 例9右圖是函數y=f(x)在y軸右邊的圖像，如果函數y=f(x)是奇函數，試把函數y=f(x)的圖像畫完整. 作法：因為函數y=f(x)是奇函數，則它的圖像關 於坐標原點對稱.在已知圖像上取若幹個點，畫出這些點關於原點的對稱的點，然後用光滑的曲線將這些點連接起來即可，見圖3.3.13 y軸左邊部分為所畫的圖像. 本例中，若y=f(x)為偶函數，則該函數在y軸左邊函數的圖像該怎麼畫？ 隨堂練習 1. 判斷下列函數的奇偶性： (1) f(x)=x3+x； (2) f(x)=x4－3x2+2； (3) f(x)=x1+x2； (4) f(x)=x2－4+4－x2； (5) f(x)=(x－1)2; (6) f(x)=0. 2. 對於定義在R上的函數y=f(x)，下列命題正確的是： (1) 若f(－2)=f(2)，則函數y=f(x)為偶函數； (2) 若f(－2)=－f(2)，則函數y=f(x)為奇函數； (3) 當f(－2)≠f(2)，則函數y=f(x)不是偶函數； (4) 若f(－2)≠－f(2)，則函數y=f(x)不是奇函數. 3. 若函數y=f(x)在R上是奇函數，且 f(5)=3，求f(－5)和f(0)的值. 4. 下圖是函數y=f(x)在y軸左邊的圖像. 如果函數y=f(x)是偶函數，試把函數 y=f(x)的圖像畫完整. 第4題圖 習題3.3 A組 1. 畫出下列函數的圖像，根據圖像說出函數y=f(x)的單調區間，並求出函數的最值. (1) y=－x2+4； (2) y=x2+2x－6. 2. 已知函數f(x)=x2－4x,g(x)=x2－4x（x∈［3,5］）. (1) 求f(x),g(x)的單調區間； (2) 求f(x),g(x)的最小值. 3. 求函數f(x)=x+1x在[2,4]內的最大值和最小值. 4. 判斷下列函數的奇偶性： (1) y=6x；(2) y=x2+3； (3) y=|x|－6,x∈(－3,3)；(4) y=x3+1； (5) y=1－x·1+x； (6) f(x)=|x+1|+|x－1|. 5. 已知函數f(x)=x－1x， (1) 判斷函數f(x)的奇偶性，並證明； (2) 判斷函數f(x)的單調性，並證明. 6. 函數y=f(x)是[－2，2]上的奇函數，若在[0，2]上有最大值5，求y=f(x)在[－2，0]上的最值. 7. 函數f(x)=x3+bx2+cx是奇函數，函數g(x)=x2+(c－2)x+5是偶函數，則b=，c=. 8. 某產品單價是120元，可銷售80萬件. 市場調查後發現規律：降價x元後可多銷售2x萬件.寫出銷售金額y(萬元)與x的函數關係式，並求當降價多少元時，銷售金額最大？最大值是多少？ B組 1. 設y=f(x)是R上的偶函數，且在[0,+∞)上遞增，比較f(2)、f(－π)、f(3)大小. 2. 已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=x(1－x).畫出函數f(x)的圖像，並求出函數的解析式. 3. 作出函數y=f(x)=x2－2|x|－3的圖像，指出單調區間及單調性. 提示：利用偶函數性質，先作y軸右邊，再對稱作圖. 4. 已知f(x)是定義在(－1,1)上的減函數，且f(2－a)－f(a－3)<0. 求實數a的取值範圍. 5. 動物園要建造一麵靠牆的兩間麵積相同的矩形熊貓居室，如果可供建造圍牆的材料總長是30m，那麼寬x(單位：m)為多少時，才能使所建造的每間熊貓居室麵積最大？每間熊貓居室的最大麵積是多少m2？ 3.4反函數 1. 反函數的概念 反函數是數學中的一個很重要的概念，它是我們以後進一步研究具體函數的一個不可缺少的重要組成部分. 思考：有一個正方形水池，其邊長為x米(不超過6米)，周長為y.用邊長x表示周長y，該如何表示？用周長y表示邊長x，又該如何表示？這兩個式子有什麼關係？ 由上例可知，用邊長x表示周長y為y=4x，用周長y表示邊長x為x=y4,並且這兩個式子都是函數. 函數y=4x的自變量為x，定義域為{x｜0 函數x=y4的自變量為y，定義域為{y｜0 從函數y=4x(0 反之，從函數x=y4(0