工科數學-第三章

解此方程組，得y=-12，z=12，即（1，12，12）就是直線上的一點.

再求這直線的方向向量s.以平麵x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法線向量的向量積作為直線的方向向量s：

s=（i+j+k）×（2i-j+3k）=ijk

111

2-13=4i-j-3k.

因此，所給直線的對稱式方程為

x-14=y+12-1=z-12-3.

令x-14=y+2-1=z-3=t，得所給直線的參數方程為

x=1+4t，

y=-2-t，

z=-3t.

四、平麵、直線間的夾角

1.　兩平麵的夾角

兩平麵法向量的夾角中的銳角，稱為兩平麵的夾角.

圖7.21

設平麵Π1和Π2的方程依次為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0，則它們的法向量分別為n1=（A1，B1，C1）和n2=（A2，B2，C2），那麼平麵Π1和Π2的夾角θ應是（n1，n2∧）和（-n1，n2∧）=π-（n1，n2∧）兩者中的銳角，如圖7.2１所示.

因此，cosθ=|cos（n1，n2∧）|.按兩向量夾角餘弦的坐標表示式，平麵Π1和Π2的夾角θ可由

cosθ=|cos（n1，n2∧）|=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21·A22+B22+C22

來確定.

從兩向量垂直、平行的充分必要條件可推得下列結論：

平麵Π1和Π2垂直的充要條件為

A1A2+B1B2+C1C2=0；

平麵Π1和Π2平行（或重合）充要條件為

A1A2=B1B2=C1C2=D1D2.

【例7.13】求兩平麵x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夾角.

解n1=（A1，B1，C1）=（1，-1，2），n2=（A2，B2，C2）=（2，1，1），

cosθ=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21·Ａ22+B22+C22=|1×2+（-1）×1+2×1|12+（-1）2+22·22+12+12=12，

所以，所求夾角為θ=π3.

2.　兩直線的夾角

圖7.22

兩直線的方向向量的夾角中的銳角，叫作兩直線的夾角.

設直線L1和L2的方向向量分別為s1=（m1，n1，p1）和s2=（m2，n2，p2），那麼L1和L2的夾角φ就是（s1，s2∧）和（-s1，s2∧）=π-（s1，s2∧）兩者中的銳角，如圖7.22所示.

因此cosφ=|cos（s1，s2∧）|.根據兩向量的夾角的餘弦公式，直線L1和L2的夾角φ可由

cosφ=|cos（s1，s2∧）|=|m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21·m22+n22+p22

來確定.

從兩向量垂直、平行的充分必要條件可推得下列結論：

直線L1和L2垂直的充要條件為

m1m2+n1n2+p1p2=0；

直線L1和L2平行的充要條件為

m1m2=n1n2=p1p2.

【例7.14】求直線L1：x-11=y-4=z+31和L2：x2=y+2-2=z-1的夾角.

解兩直線的方向向量分別為s1=（1，-4，1）和s2=（2，-2，-1）.設兩直線的夾角為φ，則

cosφ=|1×2+（-4）×(-2）+1×（-1）|12+（-4）2+12·22+（-2）2+（-1）2=12=22，

所以φ=π4.

3.　直線與平麵的夾角

圖7.23

當直線與平麵不垂直時，直線和它在平麵上的投影直線的夾角φ稱為直線與平麵的夾角（如圖7.23），當直線與平麵垂直時，規定直線與平麵的夾角為π2.

設直線Ｌ的方向向量s=（m，n，p），平麵Π的法線向量為n=（A，B，C），直線與平麵的夾角為φ，那麼φ=π2-（s，n∧），因此sinφ=|cos（s，n∧）|.按兩向量夾角餘弦的坐標表示式，有

sinφ=|Am+Bn+Cp|A2+B2+C2·m2+n2+p2.

從兩向量垂直、平行的充分必要條件可推得下列結論：

直線L與平麵Π垂直的充要條件為

Am=Bn=Cp；

直線L與平麵Π平行的充要條件為

Am+Bn+Cp=0.

【例7.15】求直線x+y+3z=0，

x-y-z=0與平麵x-y-z+1=0的夾角.

解直線的方向向量為

s=n1×n2=ijk

113

1-1-1=2（1，2，-1），

sinφ=|cos（s，n∧）|=|s·n||s||n|=|1×1+2×（-1）+（-1）×（-1）|6·3=0.

所以φ=0.

圖7.24

五、點到平麵的距離

設P0（x0，y0，z0）是平麵Π：Ax+By+Cz+D=0外一點，求P0到這平麵的距離.

設n是平麵上的法向量.在平麵上任取一點P1（x1，y1，z1），則P0到平麵Π的距離為向量P1P0在法向量n上的投影，如圖7.24所示.所以點P0到平麵Π的距離為

d=|PrjnP1P0|=|P1P0·n||n|=|A（x0-x1）+B（y0-y1）+C（z0-z1）|A2+B2+C2

=|Ax0+By0+Cz0-（Ax1+By1+Cz1）|A2+B2+C2=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2.

【例7.16】求點（2，1，1）到平麵x+y-z+1=0的距離.

解d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2=|1×2+1×1-（-1）×1+1|12+12+（-1）2=33=3.

習題7.2

1.　平麵4x-y+3z+1=0是否經過下列各點？

A（-1，6，3）；B（3，-2，-5）；C（2，0，5）；D（0，1，0）.

2.　指出下列平麵位置的特點.

（1）　2x+z+1=0；（2）　y-z=0；

（3）　x+2y-z=0；（4）　9y-1=0；

（5）　x=0.

3.　求下列平麵方程.

（1）　求過點（-2，7，3），且平行於平麵x-4y+5z-1=0的平麵方程.

（2）　求過原點且垂直於兩平麵2x-y+5z+3=0和x+3y-z-7=0的平麵方程.

（3）　求過點（2，0，-1），且平行於向量a=（2，1，-1）及b=（3，0，4）的平麵方程.

4.　求經過下列各組三點的平麵方程.

（1）　（2，3，0），（-2，-3，4），（0，6，0）；

（2）　（1，1，-1），（-2，-2，2），（1，-1，2）.

5.　求滿足下列條件的直線方程.

（1）　過點（2，-1，4），且與直線x-13=y-1=z+12平行.

（2）　過點（2，-3，5），且與平麵9x-4y+2z-1=0垂直.

（3）　過點（3，4，-4）和（3，-2，2）.

6.　將下列直線的一般方程化為點向式方程.

（1）　x+2y-3z=4，

3x-y+5z=-9；（2）　x=2z-5，

y=6z+7；（3）　z=1，

2x+3y=1.

7.　確定下列各組中的直線和平麵間的位置關係.

（1）　x-32=y+4-7=z3和4x-2y-2z=3；

（2）　x3=y-2=z7和3x-2y+7z=8；

（3）　x-23=y+21=z-3-4和x+y+z=3.

8.　求直線5x-3y+3z-9=0，

3x-2y+z-1=0與直線2x+2y-z+23=0，

3x+8y+z-18=0的夾角的餘弦．

9.　求過直線x-25=y+12=z-24且與平麵x+4y-3z+7=0垂直的平麵方程.

10.　求點（3，1，-1）到平麵22x+4y-20z-45=0的距離.

第三節空間曲麵與空間曲線

學習目標

1．　了解常用二次曲麵的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲麵方程及母線平行於坐標軸的柱麵方程.

2.　了解空間曲線的參數方程和一般方程.

微課

3.　了解空間曲線在坐標平麵上的投影，並會求其方程.

一、幾種常見的曲麵及其方程

1.　球麵

圖7.25

空間一動點到定點的距離為定值，該動點的軌跡稱為球麵，定點叫作球心，定值叫作半徑（如圖7.25）.

設M（x，y，z）是球麵上的任一動點，定點為M0（x0，y0，z0），定值為R，那麼根據兩點間距離公式有

（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=R，

即

（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=R2.(7.9)

這就是球麵上的點的坐標所滿足的方程.而不在球麵上的點的坐標都不滿足這個方程.所以式(7.9)就是球心在點M0（x0，y0，z0）、半徑為R的球麵方程.

特殊地，球心在原點O（0，0，0）、半徑為R的球麵方程為

x2+y2+z2=R2.

【例7.17】方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎樣的曲麵？

解通過配方，原方程可以改寫成

（x-1）2+（y+2）2+z2=5.

這是一個球麵方程，球心在點M0（1，-2，0）、半徑為R=5.

一般地，設有三元二次方程

Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0，

這個方程的特點是缺xy，yz，zx各項，而且平方項係數相同，隻要將方程經過配方就可以化成方程

（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=R2

的形式，它的圖形就是一個球麵.

2.　柱麵

案例7.3方程x2+y2=R2表示怎樣的曲麵？

分析方程x2+y2=R2在xOy麵上表示圓心在原點O、半徑為R的圓.在空間直角坐標係中，這方程不含豎坐標z，即不論空間點的豎坐標z怎樣，隻要它的橫坐標x和縱坐標y能滿足這方程，那麼這些點就在這曲麵上.也就是說，過xOy麵上的圓x2+y2=R2，且平行於z軸的直線一定在x2+y2=R2表示的曲麵上.所以這個曲麵可以看成是由平行於z軸的直線l沿xOy麵上的圓x2+y2=R2移動而形成的.這曲麵叫作圓柱麵，xOy麵上的圓x2+y2=R2叫作它的準線，這平行於z軸的直線l叫作它的母線（如圖7.26）.

一般地，平行於定直線並沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫作柱麵，定曲線C叫作柱麵的準線，動直線l叫作柱麵的母線（如圖7.27）.

上麵我們看到，不含z的方程x2+y2=R2在空間直角坐標係中表示圓柱麵，它的母線平行於z軸，它的準線是xOy麵上的圓x2+y2=R2.

一般地，隻含x、y而缺z的方程F（x，y）=0，在空間直角坐標係中表示母線平行於z軸的柱麵，其準線是xOy麵上的曲線C：F（x，y）=0.

例如，方程y2=2x表示母線平行於z軸的柱麵，它的準線是xOy麵上的拋物線y2=2x，該柱麵叫作拋物柱麵（如圖7.28）.

圖7.26

圖7.27

圖7.28

又如，方程x-y=0表示母線平行於z軸的柱麵，其準線是xOy麵的直線x-y=0，所以它是過z軸的平麵.

類似地，隻含x、z而缺y的方程G（x，z）=0和隻含y、z而缺x的方程H（y，z）=0分別表示母線平行於y軸和x軸的柱麵.

例如，方程x-z=0表示母線平行於y軸的柱麵，其準線是zOx麵上的直線x-z=0，所以它是過y軸的平麵.

3.　旋轉曲麵

以一條平麵曲線繞其平麵上的一條定直線旋轉一周所成的曲麵叫作旋轉曲麵，曲線叫作旋轉曲麵的母線，定直線叫作旋轉曲麵的軸（或稱旋轉軸）.

設在yOz坐標麵上有一已知曲線C，它的方程為

f（y，z）=0，

把這曲線繞z軸旋轉一周，就得到一個以z軸為旋轉軸的旋轉曲麵.它的方程可以求得如下：

設M（x,y,z）為曲麵上任一點,它是曲線C上點M1（0，y1，z1）繞z軸旋轉而得到的（如圖7.29）.因此有如下關係等式

f（y1，z1）=0，z=z1，|y1|=x2+y2,

從而得

f（±x2+y2，z）=0，

這就是所求旋轉曲麵的方程.

同理，曲線C繞y軸旋轉所成的旋轉曲麵的方程為

f（y，±x2+z2）=0.

其他坐標麵上的曲線，繞該坐標麵上一條坐標軸旋轉而成的旋轉曲麵的方程也可用類似的方法得到.

直線L繞另一條與L相交的直線旋轉一周，所得旋轉曲麵叫作圓錐麵（如圖7.30）.兩直線的交點叫作圓錐麵的頂點，兩直線的夾角α0＜α＜π2叫作圓錐麵的半頂角.

圖7.29

圖7.30

【例7.18】試建立頂點在坐標原點O，旋轉軸為z軸，半頂角為α的圓錐麵的方程.

解在yOz坐標麵內，直線L的方程為

z=ycotα，

將方程z=ycotα中的y改成±x2+y2，就得到所要求的圓錐麵的方程

z=±x2+y2cotα，

或

z2=a2（x2+y2），

其中a=cotα.

【例7.19】將zOx坐標麵上的雙曲線x2a2-z2c2=1分別繞x軸和z軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲麵的方程.

解繞x軸旋轉所生成的旋轉曲麵的方程為

x2a2-y2+z2c2=1，

繞z軸旋轉所生成的旋轉曲麵的方程為

x2+y2a2-z2c2=1.

這兩種曲麵分別叫作雙葉旋轉雙曲麵（如圖7.31）和單葉旋轉雙曲麵（如圖7.32）.

【例7.20】將yOz麵上的拋物線y2=2pz（p＞0）繞對稱軸z軸旋轉一周，所生成的旋轉曲麵的方程為

x2+y2=2pz.

這個旋轉曲麵稱為旋轉拋物麵（如圖7.33），它與yOz麵及xOz麵的交線都是拋物線，而與垂直於z軸的平麵的交線為圓（z＞0）.

圖7.31

圖7.32

圖7.33

4.　二次曲麵

與平麵解析幾何中規定的二次曲線相類似，我們把三元二次方程所表示的曲麵叫作二次曲麵.

怎樣了解三元方程F（x，y，z）=0所表示的曲麵的形狀呢?方法之一是用坐標麵和平行於坐標麵的平麵與曲麵相截，考察其交線的形狀，然後加以綜合，從而了解曲麵的立體形狀.這種方法叫作截痕法.

（1）　橢球麵

由方程

x2a2+y2b2+z2c2=1（7.10)

所表示的曲麵稱為橢球麵.其中a、b、c是大於零的常數，稱為橢球麵的半軸.橢球麵與三個坐標軸的交點叫作頂點，顯然|x|≤a、|y|≤b、|z|≤c，所以橢球麵完全包含在一個以原點O為中心的六個麵的方程為x=±a、y=±b、z=±c的長方體內.

當a=b=c時，橢球麵就變成了中心在坐標原點、半徑為a的球麵.

當a=b≠c時，橢球麵就變成了一個旋轉橢球麵，它是橢球麵的一種特殊情形.

由此推知，橢球麵的形狀與旋轉橢球麵相類似，不同的是，它與三個坐標麵及與它們平行的平麵的交線（如果存在的話）都是橢圓.

下麵用截痕法來討論橢球麵的形狀.

首先，考察三個坐標麵與橢球麵的交線.交線的方程分別為

x2a2+y2b2=1，

z=0；y2b2+z2c2=1，

x=0；x2a2+z2c2=1，

y=0.

這些交線分別是三個坐標麵上的橢圓.

其次，用平行於xOy坐標麵的平麵z=z1（|z1|≤c）去截橢球麵，其截痕（即交線）為

x2a2c2（c2-z21）+y2b2c2（c2-z21）=1，

z=z1，

圖7.34

這是位於平麵z=z1內的橢圓，它的兩個半軸分別等於acc2-z21與bcc2-z21，其橢圓中心均在z軸上，當|z1|由0漸增大到c時，橢圓的截麵由大到小，最後縮成一點.

以平麵y=y1（|y1|≤b）或x=x1（|x1|≤a）去截橢球麵分別可得與上述類似的結果.

綜上討論知，橢球麵的形狀如圖7.34所示.

（2）　橢圓拋物麵

由方程

x22p+y22q=z（p與q同號）(7.11)

所表示的曲麵叫作橢圓拋物麵.

由式(7.11)容易看出，橢圓拋物麵關於xOz麵、yOz麵及z軸都對稱.當p＞0時，q＞0時，z≥0，它在xOy的上方；當p＜0，q＜0時，z≤0，它在xOy的下方.

設p＞0，q＞0，下麵用截痕法來考察它的形狀.

首先用平行於xOy坐標麵的平麵z=z1（z1＞0）與該曲麵相截，所得截痕為

x22pz1+y22qz1=1，

z=z1.

這是中心在z軸，半軸分別為2pz1與2qz1的橢圓.當z1逐漸由小變大時，橢圓也逐漸由小變大，這些橢圓就形成了橢圓拋物麵.

用坐標麵xOz（y=0）與該曲麵相截，其截痕為

x2=2pz，

y=0.

這是一條拋物線，它的軸與z軸相重合，頂點為O（0，0，0）.

用平行於xOz坐標麵的平麵y=y1與該曲麵相截，其截痕為

x2=2pz-y212q，

y=y1.

這是一條拋物線，它的軸平行於z軸，頂點為0，y1，y212q.

類似地，用坐標麵yOz（x=0）以及平行於yOz麵的平麵x=x1去截該曲麵時，其截痕也是拋物線.

因此，方程(7.11)所表示的曲麵形狀如圖7.35和圖7.36所示.

p>0,q>0p<0,q<0

圖7.35

圖7.36

特別地，如果p=q，那麼方程(7.10)變為

x22p+y22p=z

這一曲麵可看成是xOz麵上的拋物線x2=2pz繞z軸旋轉而成的旋轉曲麵，這曲麵叫作旋轉拋物麵.

二、空間曲線及其方程

1.　空間曲線的一般方程

空間曲線可以看作兩個曲麵的交線.設

F（x，y，z）=0和G（x，y，z）=0

是兩個曲麵方程，它們的交線為C.因此，空間曲線C的一般方程為

F（x，y，z）=0，

G（x，y，z）=0.(7.12)

圖7.37

【例7.21】方程組z=a2-x2-y2，

x-a22+y2=a22表示怎樣的曲線？

解方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O，半徑為a的上半球麵.第二個方程表示母線平行於z軸的圓柱麵，它的準線是xOy麵上的圓，這圓的圓心在點a2，0，半徑為a2.方程組就表示上述半球麵與圓柱麵的交線（如圖7.37）.

2.　空間曲線的參數方程

空間曲線C的方程除了一般方程之外，也可以用參數形式表示，隻要將C上動點的坐標x、y、z表示為參數t的函數

x=x（t），

y=y（t），

z=z（t）.（7.13)

當給定t=t1時，就得到C上的一個點（x1，y1，z1）；隨著t的變動便得曲線C上的全部點.方程組(7.13)叫作空間曲線C的參數方程.

【例7.22】如果空間一點M在圓柱麵x2+y2=a2上以角速度ω繞z軸旋轉，同時又以線速度v沿平行於z軸的正方向上升（其中ω、v都是常數），那麼點M的幾何軌跡叫作螺旋線.試建立其參數方程.

圖7.38

解取時間t為參數.設當t=0時，動點位於x軸上的一點A（a，0，0）處.經過時間t，動點由A運動到M（x，y，z）（如圖7.38）.記M在xOy麵上的投影為M′，M′的坐標為（x，y，0）.由於動點在圓柱麵上以角速度ω繞z軸旋轉，所以經過時間t，∠AOM′=ωt.從而

x=|OM′|cos∠AOM′=acosωt，

y=|OM′|sin∠AOM′=asinωt，

由於動點同時以線速度v沿平行於z軸的正方向上升，所以

z=|MM′|=vt.

因此螺旋線的參數方程為

x=acosωt，

y=asinωt，

z=vt.

也可以用其他變量作參數.例如令θ=ωt，則螺旋線的參數方程可寫為

x=acosθ，

y=asinθ，

z=bθ，

其中b=vω，而參數為θ.

3.　空間曲線在坐標麵上的投影

設空間曲線C的一般方程為

F（x，y，z）=0，

G（x，y，z）=0.(7.14)

從式(7.14)的兩個方程中消去變量z後得方程

H（x，y）=0

這就是曲線C關於xOy麵的投影柱麵.

這是因為,一方麵方程H（x，y）=0表示一個母線平行於z軸的柱麵，另一方麵方程H（x，y）=0是由方程組消去變量z後所得的方程，因此當x、y、z滿足方程組時，前兩個數x、y必定滿足方程H（x，y）=0，這就說明曲線C上的所有點都在方程H（x，y）=0所表示的曲麵上，即曲線C在方程H（x，y）=0表示的柱麵上.所以方程H（x，y）=0表示的柱麵就是曲線C關於xOy麵的投影柱麵.

類似地，曲線C在xOy麵上的投影曲線的方程為

H（x，y）=0，

z=0.

以曲線C為準線、母線平行於z軸的柱麵叫作曲線C關於xOy麵的投影柱麵，投影柱麵與xOy麵的交線叫作空間曲線C在xOy麵上的投影曲線，或簡稱投影（類似地可以定義曲線C在其他坐標麵上的投影）.

從式(7.14)兩個方程中消去變量x或y後所得的方程分別為

R（y，z）=0或P（x，z）=0.

它們分別是曲線C關於yOz麵或zOx麵的投影柱麵所滿足的方程，而

R（y，z）=0，

x=0　和P（x，z）=0，

y=0

分別是曲線C在yOz麵和zOx麵的投影所滿足的方程.

【例7.23】求由上半球麵z=4-x2-y2和錐麵z=3（x2+y2）所圍成立體在xOy麵上的投影.

解由方程z=4-x2-y2和z=3（x2+y2）消去z得到x2+y2=1.這是一個母線平行於z軸的圓柱麵，容易看出，這恰好是半球麵與錐麵的交線C關於xOy麵的投影柱麵，因此交線C在xOy麵上的投影曲線為

x2+y2=1，

z=0.

這是xOy麵上的一個圓，於是所求立體在xOy麵上的投影，就是該圓在xOy麵上所圍的部分：

x2+y2≤1.

習題7.3

1.　建立以點（1，3，-2）為球心，且通過坐標原點的球麵方程.

2.　求yOz麵上的曲線2y2+z=1繞z軸旋轉一周所形成的曲麵方程.

3.　指出下列方程表示什麼曲麵.

（1）　x24+y29+z216=1；（2）　x24+y29=z3；

（3）　4x2+9y2=-z；（4）　9x2+9y2+9z2=36.

4.　說明下列旋轉曲麵是怎樣形成的.

（1）　x24+y29+z29=1；（2）　x2-y24+z2=1；

（3）　x2-y2-z2=1；（4）　x2+y2=（z-a）2.

5.　畫出下列方程所表示的曲麵.

（1）　4x2+y2-z2=4；（2）　x2-y2=1；

（3）　y=2x2；（4）　x24+y29=1.

6.　下列方程各表示什麼曲線？

（1）　x2a2+y2b2=1，

z=C；（2）　x2+y2+z2=36，

（x-1）2+（y+2）2+（z-1）2=25；

（3）　x=cosφ，

y=sinφ，

z=5其中φ為參數.

7.　求球麵x2+y2+z2=9與平麵x+z=1的交線在xOy麵上的投影的方程.

8.　求曲線3x2+y2+z2=16，

x2-y2+z2=0分別在xOy，yOz，zOx麵上的投影的曲線方程.

9.　化曲線的一般方程x2+（y-2）2+（z+1）2=8，

x=2為參數方程.

10.　化曲線的參數方程x=4cost，

y=3sint，

z=2sint為一般方程.

本章小結

一、基本概念

空間直角坐標係；向量；向量的模；單位向量；向量的加減法；數與向量的乘法；向量的坐標；向徑；方向角；方向餘弦；向量的數量積；向量的向量積；平麵；空間直線；平麵與平麵的夾角；直線與直線的夾角；直線與平麵的夾角；點到平麵的距離；曲麵；空間曲線；空間曲線的投影.

二、基本知識

1.　空間直角坐標係

（1）　定義：過空間一定點O，按右手法則作三條相互垂直的數軸：x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），這樣的三條坐標軸稱為一個空間直角坐標係，點O稱為坐標原點．

（2）　空間兩點間的距離：設M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）為空間兩點，則M1與M2之間的距離為d=|M1M2|=（x2-x1）2+（y2-y1）2+（z2-z1）2.

2.　向量

（1）　定義：既有大小又有方向的量，稱為向量．

（2）　向量的線性運算

①　向量的加法：把向量b的起點移到向量a的終點，則以a的起點為起點，b的終點為終點的向量c，稱為a與b的和，記作c=a+b.

②　向量的減法：若把兩向量a與b移到同一起點O，則以a的終點為起點，b的終點為終點的向量c,稱為a與b的差，記作c=b-a．

③　數與向量的乘法：實數λ與向量a的乘積是一個向量，記作λa，它的模為|λa|=|λ||a|.方向為如下規定：當λ＞0時，λa與a同向；當λ＜0時，λa與a反向；當λ=0時，λa為零向量．

（3）　向量的運算性質

設λ，μ為實數，則

①　a+b=b+a；

②　（a+b）+c=a+（b+c）；

③　λ（μa）=μ（λa）=（λμ）a；

④　（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb；

⑤　設b是非零向量，則a∥b　　存在實數λ，使a＝λb．

（4）　向量運算的坐標表示

設a=（ax，ay，az），b=（bx，by，bz），則

①　a±b=(ax±bx，ay±by，az±bz)；

②　λa=（λax，λay，λaz）；

③　|a|=a2x+a2y+a2z；

④　當|a|≠0時，cosα=axa2x+a2y+a2z，cosβ=aya2x+a2y+a2z，

cosγ=aza2x+a2y+a2z（其中α，β，γ為a的方向角）；

⑤　當|a|≠0時，與a同向的單位向量為a0=a|a|=（cosα，cosβ，cosγ）.

（5）　向量的數量積

①　定義：a·b=|a|·|b|cos（a，b∧）為向量a與b的數量積.

②　數量積的坐標表達式a·b=axbx+ayby+azbz.

③　兩向量夾角餘弦的坐標表達式cos（a，b∧）=axbx+ayby+azbza2x+a2y+a2zb2x+b2y+b2z　.

④　數量積的性質

（a）　a·b=b·a；

（b）　（a+b）·c=a·c+b·c；

（c）　（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；

（d）　a⊥b　　a·b=0　　axbx+ayby+azbz=0.

（6）　向量的向量積

①　向量積定義：|c|=|a||b|sin（a，b∧）；c的方向垂直a與b所確定的平麵，且a、b、c符合右手法則，則稱c為a與b的向量積，記作c=a×b．

②　向量積坐標表示：a×b=ijk

axayaz

bxbybz.

③　向量積的性質

（a）　a×b=-b×a；

（b）　（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b）；

（c）　（a+b）×c=a×c+b×c；

（d）　a∥b　　a×b＝０　　axbx=ayby=azbz（b≠0）.

3.　平麵

（1）　平麵的點法式方程：A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0.

（2）　平麵的一般方程：Ax+By+Cz+D=0.

（3）　平麵的截距式方程：xa+yb+zc=1.

4.　空間直線

（1）　空間直線的一般方程

兩平麵交線L：A1x+B1y+C1z+D1=0，

A2x+B2y+C2z+D2=0.

L的方向向量為（A1，B1，C1）×（A2，B2，C2）.

（2）　空間直線的對稱式方程

L：x-x0m=y-y0n=z-z0p，

其中M0（x0，y0，z0）為L上一點，s=（m，n，p）為L的方向向量.

（3）　空間直線的參數式方程

L：x=x0+mt，

y=y0+nt，

z=z0+pt，

其中t是參數.

5.　平麵、直線間的夾角

（1）　兩平麵的夾角：兩平麵法向量的夾角中的銳角.

設平麵Π1和Π2的法向量分別為n1=（A1，B1，C1）和n2=（A2，B2，C2），它們的夾角的餘弦為

cosθ=|cos（n1，n2

∧）|=|A1A2+B1B2+C1C2|A21+B21+C21·A22+B22+C22.

（2）　兩直線的夾角：兩直線的方向向量的夾角（銳角）.

設兩直線L1與L2的方向向量分別為s1=（m1，n1，p1），s2=（m2，n2，p2），它們的夾角的餘弦為

cosφ=|m1m2+n1n2+p1p2|m21+n21+p21·m22+n22+p22.

（3）　直線與平麵的夾角：直線與它在平麵上的投影直線的夾角θ0≤θ≤π2.

設直線L的方向向量為s=（m，n，p），平麵Π的法向量為n=（A，B，C），則它們的夾角的正弦為

sinθ=|Am+Bn+Cp|A2+B2+C2·m2+n2+p2.

（4）　點到平麵的距離：點P0（x0，y0，z0）到平麵Π：Ax+By+Cz+D=0的距離為

d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2.

6.　幾種常見的二次曲麵

（1）　球麵：（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=R2.

（2）　橢球麵：x2a2+y2b2+z2c2=1.

（3）　柱麵：圓柱麵x2+y2=a2，橢圓柱麵x2a2+y2b2=1，拋物柱麵y2=2px等．

（4）　旋轉曲麵：xOy平麵上曲線f（x，y）=0，繞y軸旋轉而得到曲麵方程為f（±x2+z2，y）=0，其他類同．

7.　空間曲線

（1）　空間曲線的一般方程：F（x，y，z）=0，

G（x，y，z）=0.

（2）　空間曲線的參數方程C：x=x（t），

y=y（t），

z=z（t），其中t為參數．

第八章多元函數微分學及應用

在很多實際問題中，往往涉及多方麵的因素，反映到數學上就是一個變量依賴於多個變量的情形，這就是多元函數.本章以二元函數為主討論多元函數的微分法及其應用，其方法和結論可以類推到二元以上函數.

第一節多元函數的基本概念

學習目標

1．　理解多元函數的概念．

2．　了解二元函數的極限與連續以及有界閉區域上連續函數的性質．

在第一章中，重點介紹的是一元函數的函數、極限、連續等基本概念，下麵將它們推廣到多元函數.

一、多元函數的概念

案例8.1長方形的麵積S與它的長a和寬b之間有關係

S=ab，

式中，S，a，b是三個變量，麵積S隨著變量a、b的變化而變化．當變量a、b在一定範圍（a＞0，b＞0）內取一對數值時，S就有唯一確定的值與之對應．

案例8.2一根截麵為矩形的梁，其抗彎截麵係數W與截麵的高h和寬b之間有關係

W=16bh2，

當變量b、h在一定範圍（b＞0，h＞0）內取一對數值時，W就有唯一確定的值與之對應．

案例8.3在物理學中，一定質量的理想氣體，其壓強P、體積V和熱力學溫度T之間有關係

P=RTV，

其中R是常量．當變量T、V在一定範圍（T＞T0，V＞0）內取一對數值時，P就有唯一確定的值與之對應．

以上三例，來自於不同實際問題，但有共同的性質，由這些共性，可以抽象出以下二元函數的定義．

定義8．1設有三個變量x，y，z，如果變量x，y在它們的變化範圍D內任意取定一對數值時，變量z按照一定的法則f總有唯一確定的值和它對應，則稱z是變量x，y的二元函數，記為

z=f（x，y），

其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.自變量x，y的變化範圍D稱為函數z=f（x，y）的定義域，數集{z|z=f（x，y），（x，y）∈D}稱為函數z=f（x，y）的值域．

當自變量x，y分別取x0，y0時，函數z對應的值為z0，記為z0=f（x0，y0），zx=x0y=y0或z（x0，y0），稱為函數z=f（x，y）當x=x0，y=y0時的函數值．

也可以用xOy平麵上的點P（x，y）表示一對有序數組（x，y），於是二元函數z=f（x，y）可簡記為z=f（P）．

類似地可定義三元函數u=f（x，y，z）及三元以上函數．二元及二元以上的函數統稱為多元函數.

二元函數z=f（x，y）的定義域D可以是整個xOy平麵，也可以是xOy平麵的一部分，通常由一條或幾條曲線及一些點圍成，這樣的部分平麵稱為區域．圍成平麵區域的曲線稱為該區域的邊界，包含邊界的區域稱為閉區域，不包含邊界的區域稱為開區域．如果區域可以被包含在一個以原點為圓心，半徑適當大的圓內，那麼這個區域就稱為有界區域；否則，稱為無界區域．

圖8.1

設P0（x0，y0）是xOy平麵上的一個點，δ是某一正數，與點P0（x0，y0）距離小於δ的點P（x，y）的全體，稱為點P0的δ鄰域（圖8.1），記為U（P0，δ），即

U（P0，δ）={（x，y）|（x-x0）2+（y-y0）２＜δ}．

點P0的去心鄰域，記為U°（P0，δ），即

U°（P0，δ）={（x，y）|0＜（x-x0）2+（y-y0）2＜δ}．

求一個給定函數的定義域，就是求出使函數有意義的自變量的取值範圍．從實際問題提出的函數，一般根據自變量所表示的實際意義確定函數的定義域．而對於由數學式子表示的函數z=f（x，y），它的定義域就是能使該數學式子有意義的那些自變量取值的全體．

【例8.1】求下列函數的定義域，並畫出圖形.

（1）　z=arcsinx2+arcsiny3；（2）　z=4-x2-y2+1x2+y2-1．

解（1）　因為x2≤1，y3≤1，所以-2≤x≤2，

-3≤y≤3，定義域為一含邊界的矩形（圖8.2）．

（2）　因為4-x2-y2≥0，

x2+y2-1＞0，所以1＜x2+y2≤4，定義域為一環形區域（圖8.3）．

圖8.2

圖8.3

已經知道，一元函數y=f（x）的圖形在xOy麵上一般表示一條曲線．對於二元函數z=f（x，y），設其定義域為D，對於任意取定的P（x，y）∈D，對應的函數值為z=f（x，y），這樣，以x為橫坐標、y為縱坐標、z為豎坐標在空間就確定一點M（x，y，z）.當P（x，y）取遍D上一切點時，得一個空間點集{（x，y，z）|z=f（x，y），（x，y）∈D}，這個點集稱為二元函數的圖形（圖8.4）.它通常是一張曲麵，而定義域D正好是這張曲麵在xOy麵上的投影．

【例８．2】作出函數z=1-x2-y2的圖形．

解函數z=1-x2-y2的定義域為x2+y2≤1，即為單位圓的內部及其邊界．

對表達式z=1-x2-y2兩邊平方，再移項得

x2+y2+z2=1，

它表示以點（0，0，0）為球心、1為半徑的球麵．因此，函數z=1-x2-y2的圖形是位於xOy平麵上方的半球麵（圖8.5）．

圖8.4

圖8.5

微課

二、二元函數的極限

與一元函數極限的情況類似，對於二元函數z=f（x，y），需要考察當自變量x，y無限趨於某定點P0（x0，y0）時，對應函數值的變化趨勢，這就是二元函數的極限問題．

定義8．2設函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的某去心鄰域內有定義，如果動點　P（x，y）以任意方式無限接近P0（x0，y0）時，對應的函數值f（x，y）總是趨近於一個確定的常數A，則稱A為函數z=f（x，y）當(x,y)→(x0,y0)時的極限，記為

limx→x0y→y0f（x，y）=A或f（x，y）→A（（x，y）→（x0，y0））．

也可記為

limP→P0f（x，y）=A或f（P）→A（P→P0）．

為了區別於一元函數的極限，把二元函數的極限稱為二重極限．

二元函數的極限運算法則與一元函數類似．有時通過變量代換把二元函數的二重極限化為一元函數的極限來計算．

【例8.3】求極限limx→0y→0sin（x2+y2）x2+y2.

解令t=x2+y2，因為當x→0，y→0時，t→0，所以

limx→0y→0sin（x2+y2）x2+y2=limt→0sintt=1.

【例8.4】考察函數f（x，y）=xyx2+y2，(x,y)≠(0,0)，

0，(x,y)=(0,0)當（x，y）→（0，0）時的極限是否存在？

解當點（x，y）沿x軸趨於原點時，有

limx→0y→0f（x，y）=limx→0y=0xyx2+y2=limx→0x·0x2+02=0；

當點（x，y）沿y軸趨於原點時，有

limx→0y→0f（x，y）=limx=0y→0xyx2+y2=limy→00·y02+y2=0；

當點（x，y）沿直線y=kx（k≠0）趨於原點時，有

limx→0y→0f（x，y）=limx→0y=kx→0xyx2+y2=limx→0kx2x2+k2x2=k1+k2≠0，

其值隨k的不同而變化，故二重極限limx→0y→0f（x，y）不存在．

三、二元函數的連續性

定義8．3設函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的某鄰域內有定義，如果

limx→x0y→y0f（x，y）=f（x0，y0），

則稱函數f（x，y）在點（x0，y0）處連續.

如果函數z=f（x，y）在區域D內每一點都連續，則稱函數f（x，y）在區域D內連續.

如果函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處不連續，則稱該點是函數z=f（x，y）的間斷點.

定義8．4由變量x，y的基本初等函數經過有限次的四則運算與複合運算而構成的且由一個數學式子表示的函數稱為二元初等函數．

與一元函數相類似，二元連續函數的和、差、積、商（分母不為零）及二元連續函數的複合函數也是連續函數．由此可以得到結論：二元初等函數在其定義區域（指包含在定義域內的區域）內是連續的．

【例8.5】求下列二重極限.

（1）　limx→1y→02x-cosyx2+y2；（2）　limx→0y→01-xy+1xy.

解（1）　因為（1，0）是初等函數f（x，y）=2x-cosyx2+y2的定義域內的一點，所以

limx→1y→02x-cosyx2+y2=f（1，0）=2×1-cos012+02=1.

（2）　limx→0y→01-xy+1xy=limx→0y→0（1-xy+1）（1+xy+1）xy（1+xy+1）=limx→0y→01-（1+xy）xy（1+xy+1）

=limx→0y→0-11+xy+1=-12.

與閉區間上一元連續函數的性質相類似，在有界閉區域上的二元連續函數有如下性質：

性質8.1（最大值和最小值定理）如果函數f（x，y）在有界閉區域D上連續，則f（x，y）在D上有界，且至少取得它的最大值和最小值各一次．

性質8.2（介值定理）如果函數f（x，y）在有界閉區域D上連續，則f（x，y）在D上必可取得介於它的兩個不同函數值之間的任何值至少一次．

習題8.1

1．　設f（x，y）=2xy-x+y2x，試求f（1，1）和f（x-y，x+y）．

2．　設f（x，y）=x4+y4-2xy，證明：f（tx，ty）=t2f（x，y）．

3．　求下列函數的定義域，並在平麵上作圖表示.

（1）　z=19-x2-y2；（2）　z=ln（x-y2）；

（3）　z=1-x2+y2-1；（4）　z=1x-y+arcsiny．

4．　求下列極限.

（1）　limx→2y→-1xy+3y22x+y3；（2）　limx→2y→2x2-y2x-y+1-1；

（3）　limx→3y→0sin（xy）y；（4）　limx→0y→2（1+xy）1x．

第二節偏導數

學習目標

理解偏導數的概念，掌握求二元初等函數的偏導數的方法．

微課

一、偏導數的定義及其計算方法

1.　偏導數的定義

一元函數y=f（x）的導數是當自變量x變化時，討論函數相應的變化率ΔyΔx的極限問題．

與一元函數相比，二元函數z=f（x，y）當自變量x，y同時變化時，函數的變化情況要複雜得多.因此，我們往往采用先考慮一個自變量的變化，而把另一個變量暫時看作常量的方法來討論函數相應的變化率的極限問題，這就是二元函數的偏導數．

定義8．5設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某一鄰域內有定義，當y固定在y0而x在x0處有增量Δx時，相應地函數有增量

f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0），

如果極限limΔx→0f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）Δx存在，則稱此極限為函數z=f（x，y）在點（x0，y0）處對x的偏導數，記為

zxx=x0y=y0，fxx=x0y=y0，zxx=x0y=y0或fx（x0，y0）.

即

fx（x0，y0）=limΔx→0f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）Δx.

同理可定義函數z=f（x，y）在點（x0，y0）處對y的偏導數，記為

zyx=x0y=y0，fyx=x0y=y0，zyx=x0y=y0或fy（x0，y0）.

即

fy（x0，y0）=limΔy→0f（x0，y0+Δy）-f（x0，y0）Δy.

如果函數z=f（x，y）在區域D內任一點（x，y）處對x的偏導數都存在，那麼這個偏導數也是x、y的函數，它就稱為函數z=f（x，y）對自變量x的偏導數，記作

zx，fx，zx或fx（x，y）.

同理可以定義函數z=f（x，y）對自變量y的偏導數，記作zy，fy，zy或fy（x，y）.

偏導數的概念可以推廣到二元以上函數，如u=f（x，y，z）在（x，y，z）處，

fx（x，y，z）=limΔx→0f（x+Δx，y，z）-f（x，y，z）Δx，

fy（x，y，z）=limΔy→0f（x，y+Δy，z）-f（x，y，z）Δy，

fz（x，y，z）=limΔz→0f（x，y，z+Δz）-f（x，y，z）Δz.

2.　偏導數的求法

由偏導數的定義可以看出，對某一個變量求偏導，就是將其餘變量看作常數，而對該變量求導.所以，求函數的偏導數不需要建立新的運算方法.

【例8.6】求z=x2+3xy+y2在點（1，2）處的偏導數．

解因為zx=2x+3y，zy=3x+2y，所以

zxx=1y=2=2×1+3×2=8，zyx=1y=2=3×1+2×2=7.

【例8.7】設z=xy（x＞0，x≠1），求證：xyzx+1lnxzy=2z．

證明zx=yxy-1，zy=xylnx，將它們代入等式左邊，得

xyzx+1lnxzy=xyyxy-1+1lnxxylnx=xy+xy=2z.

結論成立.

【例8.8】已知理想氣體的狀態方程pV=RT（R為常數），求證：pV·VT·Tp=-1.

證明因為

p=RTV　　pV=-RTV2，

V=RTp　　VT=Rp，

T=pVR　　Tp=VR，

所以

pV·VT·Tp=-RTV2·Rp·VR=-RTpV=-1.

上式結果說明，偏導數zx是一個整體記號，不能拆分．另外，求分界點、不連續點處的偏導數要用定義求．

【例8.9】設f（x，y）=xyx2+y2，（x，y）≠（0，0），

0，（x，y）=（0，0），求f（x，y）的偏導數．

解當（x，y）≠（0，0）時，

fx（x，y）=y（x2+y2）-2x·xy（x2+y2）2=y（y2-x2）（x2+y2）2，

fy（x，y）=x（x2+y2）-2y·xy（x2+y2）2=x（x2-y2）（x2+y2）2.

當（x，y）=（0，0）時，按定義8.5可得

fx（0，0）=limΔx→0f（Δx，0）-f（0，0）Δx=limΔx→00Δx=0，

fy（0，0）=limΔy→0f（0，Δy）-f（0，0）Δy=limΔy→00Δy=0.

所以

fx（x，y）=y（y2-x2）（x2+y2）2，（x，y）≠（0，0），

0，（x，y）=（0，0），

fy（x，y）=x（x2-y2）（x2+y2）2，（x，y）≠（0，0），

0，（x，y）=（0，0）.

３.　偏導數存在與連續的關係

一元函數中在某點可導，函數在該點一定連續，但多元函數中在某點偏導數存在，函數未必連續.例如，例8.9中的函數f(x,y)在(0,0)點處兩個偏導數都存在，fx（0，0）=fy（0，0）=0，但f(x,y)在點(0,0)處並不連續(例8.4).

4.　偏導數的幾何意義

圖8.6

設M0（x0，y0，f（x0，y0））是曲麵z=f（x，y）上一點，過M0作平麵y=y0，截此曲麵得一曲線

z=f（x，y），

y=y0，

此曲線在平麵y=y0上的方程為z=f（x，y0），則導數ddxf（x，y0）x=x0，即偏導數fx（x0，y0）就是曲麵在點M0處的切線M0Tx對x軸的斜率（圖8.6）.同理偏導數fy（x0，y0）就是曲麵被平麵x=x0所截得的曲線在點M0處的切線M0Ty對y軸的斜率（圖8.6）.

二、高階偏導數

設函數z=f（x，y）在區域D內有偏導數

zx=fx（x，y），　zy=fy（x，y）．

一般情況下，它們仍是x，y的函數，如果這兩個函數的偏導數也存在，則稱它們是函數z=f（x，y）的二階偏導數.二元函數的二階偏導數為下列四種：

xzx=2zx2=fxx（x，y），　yzy=2zy2=fyy（x，y），

yzx=2zxy=fxy（x，y），　xzy=2zyx=fyx（x，y）．

其中fxy（x，y）與fyx（x，y）稱為混合偏導數．類似地，可給出三階、四階以及n階偏導數的定義和記號．二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.

【例8.10】設z=x3y2-3xy3-xy+1，求2zx2、2zyx、2zxy、2zy2及3zx3.

解zx=3x2y2-3y3-y，　zy=2x3y-9xy2-x；

2zx2=6xy2，　3zx3=6y2，　2zy2=2x3-18xy；

2zxy=6x2y-9y2-1，　2zyx=6x2y-9y2-1.

【例8.11】設u=eaxcosby（a,b為常數），求它的二階偏導數.

解ux=aeaxcosby，　uy=-beaxsinby，

2ux2=a2eaxcosby，　2uy2=-b2eaxcosby，

2uxy=-abeaxsinby，　2uyx=-abeaxsinby.

在上例中，兩個混合偏導數相等，但是這個結論不具有普遍性，隻有在滿足一定條件後才成立.以下定理給出成立的一個充分條件.

定理8．1如果函數z=f（x，y）的兩個二階混合偏導數2zyx及2zxy在區域D內連續，那麼在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等．

定理證明從略.

【例8.12】驗證函數u（x，y）=lnx2+y2滿足拉普拉斯方程2ux2+2uy2=0.

證明因為lnx2+y2=12ln（x2+y2），所以

ux=xx2+y2，　uy=yx2+y2，

2ux2=（x2+y2）-x·2x（x2+y2）2=y2-x2（x2+y2）2，

2uy2=（x2+y2）-y·2y（x2+y2）2=x2-y2（x2+y2）2.

2ux2+2uy2=y2-x2（x2+y2）2+x2-y2（x2+y2）2=0.

證畢.

習題8.2

1．　若函數f（x，y）在點P0（x0，y0）連續，能否斷定f（x，y）在點P0（x0，y0）的偏導數必定存在？

2．　求下列函數的偏導數.

（1）　z=arctan（xy）；（2）　z=xy+xy；

（3）　z=ln（xy）y；（4）　z=（1+xy）y；

（5）　z=excos（x+y2）；（6）　u=xy2+yz2+zx2．

3．　求下列函數的二階偏導數.

（1）　z=2x2y+3xy2；（2）　z=exsiny；

（3）　z=yx；（4）　z=xln（xy）．

4．　設f（x，y）=sin（x2y），求fxπ4，0．

5．　設f（x，y）=exy+sin（x+y），求fxxπ2，0，fxyπ2，0．

6．　設f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求fxx(0,0,1),fxz(1,0,2),fyz(0,-1,0),fzx(2,0,1).

第三節全微分及其應用

學習目標

1．　理解全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件．

微課

2．　掌握求二元初等函數全微分的方法．

一、全微分的概念

案例8.4一矩形金屬薄片受溫度變化的影響，其長由x變化到x+Δx，寬由y變化到y+Δy，試問此薄片的麵積改變了多少？

薄片的麵積S=xy，麵積的改變量ΔS稱為當自變量x和y分別取得增量Δx和Δy時，函數S相應的全增量，即

ΔS=（x+Δx）（y+Δy）-xy=yΔx+xΔy+ΔxΔy．

上式右端包括了兩部分：一部分是關於Δx，Δy的線性函數yΔx+xΔy；另一部分是ΔxΔy.令ρ=（Δx）2+（Δy）2，則當Δx→0，Δy→0時，ρ→0且limΔx→0Δy→0ΔxΔyρ=0，即ΔxΔy是比ρ更高階的無窮小，亦即ΔxΔy=o（ρ）．因此全增量ΔS可以表示為

ΔS=yΔx+xΔy+o（ρ）．

當｜Δx｜，｜Δy｜很小時，便有

ΔS≈yΔx+xΔy．

類似於一元函數微分的概念，關於Δx，Δy的線性函數yΔx+xΔy稱為函數S的全微分．

定義8．6如果函數z=f（x，y）在點（x，y）的全增量

Δz=f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）

可以表示為

Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），

其中A，B不依賴於Δx，Δy而僅與x，y有關，ρ=（Δx）2+（Δy）2，則稱函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，AΔx+BΔy稱為函數z=f（x，y）在點（x，y）的全微分，記為dz，即

dz=AΔx+BΔy.

函數z=f(x,y)若在某區域D內各點處處可微分，則稱該函數在D內可微分.

在一元函數中，可導必連續，可微和可導是等價的，且dy=f′（x）dx，那麼二元函數z=f（x，y）在點（x，y）處可微分與連續以及偏導數之間有什麼關係呢？全微分定義中的A，B又如何確定呢？下麵的定理給出了回答．

定理8．2（必要條件）如果函數z=f（x，y）在點（x，y）可微分，則它在點（x，y）處連續，且兩個偏導數zx、zy都存在，並有

dz=zxΔx+zyΔy．

定理證明從略．

但是，若二元函數的兩個偏導數存在，並不能保證全微分一定存在．例如在第二節中已指出，函數

f（x，y）=xyx2+y2，（x,y)≠(0,0)

0，(x,y)=(0,0)

在點（0，0）處有fx（0，0）=fy（0，0）=0，但它在（0，0）處不連續，所以它在（0，0）處不可微．那麼，在什麼條件下，偏導數存在能保證可微呢？下麵定理給出回答．

定理8．3（充分條件）如果函數z=f（x，y）的偏導數zx、zy在點（x，y）連續，則該函數在點（x，y）可微分．

定理證明從略．

習慣上，記全微分為

dz=zxdx+zydy（dx=Δx,dy=Δy).

上述二元函數的全微分的概念和公式，均可以類推到三元及三元以上的函數．例如，如果三元函數u=f（x，y，z）的全微分存在，則有

du=uxdx+uydy+uzdz.

【例8.13】計算函數z=exy在點（2，1）處的全微分.

解zx=yexy，zy=xexy，zx（2，1）=e2，zy（2，1）=2e2，

所以全微分

dz(2,1)=e2dx+2e2dy.

【例8.14】函數z=ycos（x-2y），求當x=π4，y=π，Δx=π4，Δy=π時的全微分.

解zx=-ysin（x-2y），zy=cos（x-2y）+2ysin（x-2y），

所以全微分

dzπ4，π=zxπ4，πΔx+zyπ4，πΔy=28π（4-7π）.

【例8.15】求函數u=x+siny2+eyz的全微分.

解ux=1，uy=12cosy2+zeyz，uz=yeyz，

所以全微分

du=dx+12cosy2+zeyzdy+yeyzdz.

二、全微分在近似計算中的應用

當二元函數z=f（x，y）在點（x，y）的兩個偏導數fx（x，y），fy（x，y）連續，並且|Δx|，|Δy|都較小時，有近似等式

Δz≈dz=fx（x，y）Δx+fy（x，y）Δy，

即

f（x+Δx，y+Δy）≈f（x，y）+fx（x，y）Δx+fy（x，y）Δy.

我們可以利用上述近似等式對二元函數作近似計算.

【例8.16】有一圓柱體，受壓後發生形變，它的半徑由20cm增大到20.05cm，高度由100cm減少到99cm.求此圓柱體體積變化的近似值.

解設圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V，則有

V=πr2h.

已知r=20，h=100，Δr=0.05，Δh=-1.根據近似公式，有

ΔV≈dV=VrΔr+VhΔh=2πrhΔr+πr2Δh

=2π×20×100×0.05+π×202×（-1）=-200π（cm3）.

即此圓柱體在受壓後體積約減少了200πcm3.

【例8.17】計算1.042.02的近似值.

解設函數f（x，y）=xy.顯然，要計算的值就是函數在x=1.04，y=2.02時的函數值f（1.04，2.02）.取x=1，y=2，Δx=0.04，Δy=0.02.由於

f（x+Δx，y+Δy）≈f（x，y）+fx（x，y）Δx+fy（x，y）Δy

=xy+yxy-1Δx+xylnxΔy，

所以

1.042.02≈12+2×12-1×0.04+12×ln1×0.02=1.08.

習題8.3

1．　求下列函數的全微分.

（1）　z=xy+xy；（2）　z=arctanyx；

（3）　z=exycos（x+y）；（4）　u=zxy．

2．　求函數z=xy在點（1，2）處當Δx=-0.2，Δy=0.1時全增量與全微分．

3．　求函數u=xy2+yz3+zx2在點（0，1，2）處的全微分．

4．　計算1.971.05的近似值（ln2≈0.693）．

5．　已知邊長為x=6m與y=8m的矩形，如果x增加5cm，而y減少10cm，問這個矩形對角線的近似變化怎樣？

第四節多元複合函數及隱函數的求導法則

學習目標

微課

1.　掌握複合函數一階偏導數的求法．

2.　會求隱函數的偏導數或導數．

一、多元複合函數的求導法則

設函數z=f（u，v）是變量u，v的函數，而u，v又是變量x，y的函數，u=φ（x，y），v=ψ（x，y），則z=f[φ（x，y），ψ（x，y）]是x，y的複合函數，其中u，v是中間變量．與一元複合函數的鏈導法類似，求二元複合函數的偏導數有如下定理．

定理8．4如果函數u=φ（x，y）及v=ψ（x，y）都在點（x，y）具有對x和y的偏導數，函數z=f（u，v）在對應點（u，v）處具有連續偏導數，則複合函數z=f[φ（x，y），ψ（x，y）]在點（x，y）的兩個偏導數存在，且

zx=zuux+zvvx，(8.1)

zy=zuuy+zvvy.(8.2)

圖8.7

定理證明從略．

注這種求偏導數的方法可以通過圖8.7的鏈式來表達．

【例8.18】設z=eusinv，而u=xy，v=x+y，求zx和zy.

解因為zu=eusinv，zv=eucosv，ux=y，vx=1，uy=x，vy=1，所以

zx=zu·ux+zv·vx=eusinv·y+eucosv·1=exy[ysin（xy）+cos（x+y）]，

zy=zu·uy+zv·vy=eusinv·x+eucosv·1=exy[xsin（xy）+cos（x+y）]．

【例8.19】設z=xy2ln（2x-3y2），求zx和zy.

解引進中間變量u=xy，v=2x-3y2，則z=u2lnv．於是

zu=2ulnv，zv=u2v，ux=1y，vx=2，uy=-xy2，vy=-6，

所以

zx=zu·ux+zv·vx=1y2ulnv+2u2v

=2xln（2x-3y2）y2+2x2y2（2x-3y2），

zy=zu·uy+zv·vy=-2xulnvy2-6yu2v

=-2x2ln（2x-3y2）y3-6x2y（2x-3y2）．

多元複合函數的求導法則具有如下規律：

（1）　公式右端求和的項數，等於連接自變量與因變量的線路數；

（2）　公式右端每一項的因子數，等於該條路線上函數的個數．

上述兩條規律具有一般性，對於中間變量或自變量不是兩個，或複合步驟多於一次的複合函數，都可以按照此規律得到相應的複合函數求導法則.下麵就來介紹幾種常用的複合函數求導公式.

1.　多元複合函數為自變量的一元函數

圖8.8

如果函數u=φ（t）及v=ψ（t）都在點t可導，函數z=f（u，v）在對應點（u，v）具有連續偏導數，則複合函數z=f[φ（t），ψ（t）]在點t可導，且

dzdt=zududt+zvdvdt．(8.3)

注意：公式(8.3)中的導數dzdt稱為全導數.這種求全導數的方法可以通過圖8.8的鏈式來表達．

【例8.20】設z=uv+sint，而u=et，v=cost，求全導數dzdt.

解dzdt=zu·dudt+zv·dvdt+zt=vet-usint+cost

=et（cost-sint）+cost.

2.　多元複合函數的中間變量一個為二元函數另一個為一元函數

如果函數u=φ（x，y）在點（x，y）具有對x和y的偏導數，v=ψ（y）對y可導，函數z=f（u，v）在對應點（u，v）處具有連續偏導數，則複合函數z=f[φ（x，y），ψ（y）]在點（x，y）的兩個偏導數存在，且

圖8.9

zx=zuux，(8.4)

zy=zuuy+zvdvdy.(8.5)

注這種求偏導數的方法可以通過圖8.9的鏈式來表達．

【例8.21】設z=eusiny，而u=x2y3，求zx和zy.

解在這個複合函數中，y既是中間變量又是自變量，於是設v=y，利用公式(8.4)和公式(8.5)，可得

zx=zu·ux=eusiny·2xy3=2xy3ex2y3siny，

zy=zu·uy+zv·dvdy=eusiny·3x2y2+eucosy

=ex2y3（3x2y2siny+cosy）．

注意：雖然v=y，但式中zy和zv的含義不一樣．

【例8.22】設z=ln（xy+tanx），求zx和zy.

圖8.10

解設u=xy，v=tanx，則z=ln（u+v）．在這個複合函數中，求偏導數的方法可以通過圖8.10的鏈式來表達，可得

zx=zu·ux+zv·dvdx=1u+vy+1u+vsec2x=y+sec2xxy+tanx，

zy=zu·uy=xu+v=xxy+tanx．

3.　多元複合函數的中間變量為一元函數

如果函數u=φ（x，y）在點（x，y）具有對x和y的偏導數，函數z=f（u）在對應點u處可微，則複合函數z=f[φ（x，y）]在點（x，y）的兩個偏導數存在，且

zx=dzduux=f′（u）ux，（8.6)

zy=dzduuy=f′（u）uy.(8.7)

圖8.11

注意：這種求偏導數的方法可以通過圖8.11的鏈式來表達．

【例8.23】設z=fxy，其中f可微，求zx和zy.

解令u=xy，則z=f（u），利用公式(8.6)和公式(8.7)，可得

zx=dzdu·ux=f′（u）1y=1yf′xy，

zy=dzdu·uy=f′（u）-xy2=-xy2f′xy．

【例8.24】設z=f（xy，x2+y3），其中f可微，求zx和zy.

解令u=xy，v=x2+y3，則z=f（u，v）.因為

ux=y，vx=2x，uy=x，vy=3y2，

所以

zx=fuux+fvvx=fuy+fv2x=yf′1+2xf′2，

zy=fuuy+fvvy=fux+fv3y2=xf′1+3y2f′2．

注意：這裏f′1，f′2分別是fu，fv的簡便記法．

微課

二、隱函數的求導公式

1.　一元隱函數的情形

設方程F（x，y）=0確定了隱函數y=f（x），如果函數F（x，y）具有連續的偏導數Fx（x，y），Fy（x，y），且Fy（x，y）≠0．將y=f（x）代入F（x，y）=0得

F[x，f（x）]≡0，

上式兩邊對求x導得

Fx+Fydydx=0，

即

dydx=-FxFy．(8.8)

這就是一元隱函數的求導公式．

【例8.25】求由方程lnx2+y2=arctanyx所確定的隱函數的導數dydx.

解令F（x，y）=lnx2+y2-arctanyx，則

Fx（x，y）=x+yx2+y2，　Fy（x，y）=y-xx2+y2，

所以

dydx=-FxFy=-x+yy-x．

2.　二元隱函數的情形

設方程F（x，y，z）=0確定了隱函數z=f（x，y），如果函數F（x，y，z）具有連續的偏導數Fx（x，y，z），Fy（x，y，z），Fz（x，y，z），且Fz（x，y，z）≠0．將z=f（x，y）代入F（x，y，z）=0得

F[x，y，f（x，y）]≡0，

上式兩邊對x求偏導得

Fx+Fzzx=0，

即

zx=-FxFz，(8.9)

同理可得

zy=-FyFz(8.10)

這就是二元隱函數的求導公式．

【例８．２６】設方程x2+y2+z2-4z=0確定隱函數z=f（x，y），求zx，zy.

解令F（x，y，z）=x2+y2+z2-4z，則

Fx=2x，　Fy=2y，　Fz=2z-4，

所以

zx=-FxFz=x2-z，　zy=-FyFz=y2-z.

【例8.27】設z=f（x+y+z，xyz），其中f可微，求zx，xy，yz.

解令u=x+y+z，v=xyz，則z=f（u，v），把z看成x，y的函數對x求偏導數得

zx=fu·1+zx+fv·yz+xyzx，

所以

zx=fu+yzfv1-fu-xyfv.

把x看成z，y的函數對y求偏導數得

0=fu·xy+1+fv·xz+yzxy，

所以

xy=-fu+xzfvfu+yzfv.

把y看成x，z的函數對z求偏導數得

1=fu·yz+1+fv·xy+xzyz，

所以

yz=1-fu-xyfvfu+xzfv.

習題8.4

1．　設z=eusinv，u=x+y，v=x-y2，求zx和zy.

2．　設z=（1+x2+y2）xy，求zx和zy.

3．　設z=ln（u+v），u=t3+1，v=3t2，求dzdt.

4．　設z=x2+y，y=sinx，求dzdx.

5．　設z=f（u，y），u=x2+2y2，其中f可微，求zx和zy.

6．　設f為可微函數，求下列複合函數的偏導數zx和zy.

（1）　z=fx，yx；（2）　z=xf（sinx，xy）．

7．　設y=f（x）是由方程x3+4y2-x2y4=0所確定的隱函數，求dydx．

8．　設y=f（x）是由方程lnx2+y2=arctanxy所確定的隱函數，求dydx．

9．　設z=f（x，y）是由方程ez-xyz=12所確定的隱函數，求zx和zy．

10．　設z=f（x，y）是由方程xz+y5+2xyz=0所確定的隱函數，求zx和zy．

第五節多元函數的極值及其求法

學習目標

1．　理解多元函數的極值和條件極值的概念，掌握二元函數極值存在的必要條件．

2．　了解二元函數極值的充分條件，會求二元函數的極值．

3．　會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單函數的最大值和最小值，會求解一些簡單應用問題．

案例8.5某超市賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價1元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣x元，外地牌子的每瓶賣y元，則每天可賣出50（y-x）瓶本地牌子的果汁，700+50（x-2y）瓶外地牌子的果汁，問店主每天以什麼價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？

分析：每天的收益為

f（x，y）=50（x-1）（y-x）+（y-1.2）[700+50（x-2y）]，

求最大收益即為求二元函數f（x，y）當x＞0，y＞0時的最大值.

下麵以二元函數為例，先來介紹多元函數的極值問題.

一、二元函數極值的概念與求法

定義8．7設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某鄰域內有定義，對於該鄰域內異於（x0，y0）的點（x，y），都有

f（x，y）＜f（x0，y0）（或f（x，y）＞f（x0，y0）），

則稱函數f（x，y）在（x0，y0）有極大值（或極小值）f（x0，y0）．點（x0，y0）稱為函數f（x，y）的極大值點（或極小值點）．函數的極大值與極小值統稱為極值.極大值點和極小值點統稱為極值點.例如，依定義可判斷，函數z=3x2+4y2在（0，0）處有極小值0（如圖8.12所示）；函數z=-x2+y2在（0，0）處有極大值0（如圖8.13所示）；函數z=x2-y2在（0，0）處沒有極值（如圖8.14所示）．

圖8.12

圖8.13

圖8.14

我們知道，一元函數極值的必要條件是，可導函數的極值點必為駐點．再利用一階、二階導數，可以判定極值．與一元函數相類似，利用偏導數可以得到二元函數取極值的必要條件和充分條件.

定理8．5（必要條件）設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）具有偏導數，且在點（x0，y0）處有極值，則必有

fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0.

定理證明從略.

仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，均稱為函數的駐點.由定理8.5可知，對於偏導數存在的函數，極值點為駐點；但是駐點不一定是極值點．例如，點（0，0）是函數　z=x2-y2　的駐點，但不是極值點.如何判定一個駐點是否為極值點？

定理8．6（充分條件）設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某鄰域內有連續的一階及二階偏導數，且

fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，

令

fxx（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，

則f（x，y）在點（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：

（1）　當AC-B2＞0時具有極值，當A＜0時有極大值，當A＞0時有極小值；

（2）　當AC-B2＜0時沒有極值；

（3）　當AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，需另作討論．

定理證明從略.

根據以上兩個定理，把求二元函數z=f（x，y）極值的一般步驟歸納如下：

（1）　解方程組fx（x，y）=0，fy（x，y）=0，求出實數解，得駐點.

（2）　對於每一個駐點（x0，y0），求出f（x，y）的二階偏導數的值A、B、C.

（3）　定出AC-B2的符號，再判定是否是極值.

【例８．２８】求函數f（x，y）=y3-x2+6x-12y+1的極值．

解解方程組

fx（x，y）=-2x+6=0，

fy（x，y）=3y2-12=0，

得駐點為（3，2），（3，-2）；

求f（x，y）的二階偏導數

fxx（x，y）=-2，fxy（x，y）=0，fyy（x，y）=6y.

在點（3，2）處，有A=-2，B=0，C=12.AC-B2=-24＜0，由極值的充分條件知，f（x，y）在（3，2）處沒有極值.

在點（3，-2）處，有A=-2，B=0，C=-12.AC-B2=24＞0，而A=-2＜0，由極值的充分條件知，f（3，-2）=26是函數的極大值.

微課

二、二元函數的最值

與一元函數相類似，我們可以利用多元函數的極值來求多元函數的最大值和最小值.

在本章第一節中，我們知道，若函數z=f（x，y）在有界閉區域D上連續，則f（x，y）在D上必取得最大值和最小值.而取得最大值和最小值的點既可能是區域內部的點也可能是區域邊界上的點.具體做法是，將函數在D內的所有駐點處的函數值以及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

【例8.29】求二元函數z=f（x，y）=x2y（4-x-y）在直線x+y=6，x軸和y軸所圍成的閉區域D（圖8.15）上的最大值與最小值.

解先求函數在區域D內的駐點，解方程組

fx（x，y）=2xy（4-x-y）-x2y=0，

fy（x，y）=x2（4-x-y）-x2y=0

得區域D內唯一駐點（2，1），且f（2，1）=4.

圖8.15

再求f（x，y）在區域D邊界上的最值，在邊界x=0和y=0上f（x，y）=0.在邊界x+y=6上，即y=6-x，於是

f（x，y）=x2（6-x）（-2），

由fx=4x（x-6）+2x2=0，得x1=0，x2=4，　y=（6-x）x=4=2，比較後可知f（2，1）=4為最大值，f（4，2）=-64為最小值.

在解決實際問題時，常常根據問題的性質來判斷最大值或最小值一定在區域內取得.這時，如果知道函數f（x，y）在區域D內隻有唯一駐點，則可以斷定該駐點處的函數值，就是函數f（x，y）在區域D上的最大值或最小值.

【例8.30】某工廠要用鋼板製作一個容器體積V一定的無蓋長方體盒子，問怎樣選取長、寬、高，才能使所用的鋼板最省？

解設盒子長為x，寬為y，則高為z=Vxy，因此無蓋長方體的表麵積為

S=xy+Vxy（2x+2y）=xy+2V1x+1y（x＞0，y＞0），

當表麵積S最小時，所用鋼板最省.為此，求函數在D內的駐點，令

Sx=y-2Vx2=0，

Sy=x-2Vy2=0，

解此方程組，得定義區域D內唯一駐點（32V，32V)．

根據實際情況可以斷定，S一定存在最小值且在區域D內取得，而函數S在區域D內隻有唯一駐點（32V，32V），則該點就是最小值點，即當長x=32V，寬y=32V，高為z=Vxy=1232V時，盒子所用鋼板最省．

在案例8.5中，總收益函數

f（x，y）=10（10xy-5x2-10y2-x+77y-84），

令

fx=10（10y-10x-1）=0，

fy=10（10x-20y+77）=0，

解得唯一駐點（7.5，7.6），根據實際情況可以斷定，f（x，y）在x＞0，y＞0時存在最大值，所以當x=7.5元，y=7.6元時總收益最大．

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三、條件極值

案例8.6有一個過水渠道，其斷麵ABCD為等腰梯形（圖8.16），在過水斷麵麵積為常數S的條件下，求潤周L=AB+BC+CD的最小值.

分析：這是一個帶有約束條件的最值問題．

設斷麵等腰梯形底邊BC之長為x，高BH之長為y，∠BAH=θ，則該過水渠道的潤周為

L=AB+BC+CD=x+2ycscθx＞0，y＞0，0＜θ＜π2，

這就是目標函數，而約束條件是

S=xy+y2cotθ．

圖8.16

像這種對自變量有約束條件的極值問題稱為條件極值．

有些條件極值可以轉化為無條件極值來處理．例如，例8.30中，從xyz=V中解出z=Vxy，代入f（x，y，z）=xy+z（2x+2y）中，於是問題轉化為求S=xy+2V1x+1y的無條件極值.

但在很多時候，將條件極值轉化為無條件極值往往行不通.為此下麵要介紹一種直接求條件極值的方法，這種方法稱為拉格朗日乘數法．

要找函數z=f（x，y）在條件φ（x，y）=0下的可能極值點，步驟如下：

（1）　先構造拉格朗日函數

F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），

其中λ稱為拉格朗日乘數．

（2）　求函數F（x，y，λ）對x，y，λ的偏導數，求解以下聯立方程組：

Fx=fx（x，y）+λφx（x，y）=0，

Fy=fy（x，y）+λφy（x，y）=0，

Fλ=φ（x，y）=0.

解出x，y，λ，其中駐點（x，y）就是可能的極值點.

（3）　確定第（2）步求出的駐點（x，y）是否是極值點，對於實際問題，常常可以根據問題本身的性質來確定．

拉格朗日乘數法可推廣到自變量多於兩個的情況.要找函數

u=f（x，y，z）

在條件

φ（x，y，z）=0，ψ（x，y，z）=0

下的極值，先構造拉格朗日函數

F（x，y，z，λ１，λ２）=f（x，y，z）+λ1φ（x，y，z）+λ2ψ（x，y，z），

再求函數F(x,y,z,λ1,λ2)的一階偏導數，並令其為零，得聯立方程組，求解方程組得出的點(x,y,z)就是可能的極值點.

【例8.31】求解案例8.6中的條件極值．

解作拉格朗日函數F（x，y，θ，λ）=x+2ycscθ+λ（S-xy-y2cotθ），令

Fx=1-λy=0，

Fy=2cscθ-λx-2λycotθ=0，

Fθ=λy2csc2θ-2ycscθcotθ=0，

Fλ=S-xy-y2cotθ=0.

解得θ=π3，x=2S427，y=S43，根據實際意義可知，這時有最小潤周Lmin=243S．

【例8.32】將正數12分成三個正數x，y，z之和，使得u=x3y2z為最大.

解令

F（x，y，z，λ）=x3y2z+λ（x+y+z-12），

則

Fx=3x2y2z+λ=0，

Fy=2x3yz+λ=0，

Fz=x3y2+λ=0，

x+y+z=12.

解得唯一駐點（6，4,2），故最大值為umax=6３·42·2=6912.

習題8.5

1．　求下列函數的極值.

（1）　z=x2-xy+y2+9x-6y+10；

（2）　z=ex（x+2y+y2）．

2．　求函數z=（x2+y2-2x）2在圓域x2+y2-2x≤2上的最大值和最小值．

3．　平麵x+2y-2z-9=0上哪一點到原點的距離最短？

4．　要造一個容積為V的圓柱形無蓋茶缸，問茶缸的底半徑與高各為多少時，才能使其用料最省？

5．　在半徑為R的半球內，內接一長方體，問其邊長各為多少時，體積最大？

6．　求函數z=x2+y2+1在條件x+y-3=0下的極值．

圖8.17

7．　已知矩形的周長為2p，將它繞某一邊旋轉成一圓柱體，問矩形的長與寬各為多少時，其體積最大？

8．　將一寬為Lcm的長方形鐵皮的兩邊折起，做成一個斷麵為等腰梯形的水槽（圖　8.17），求此水槽的最大過水麵積（斷麵為等腰梯形的麵積）.

第六節多元函數微分運算實驗

一、實驗目的

會利用MATLAB求多元函數極限、偏導數以及二元函數的極值.

二、實驗指導

多元函數的極限要比一元函數的極限複雜，MATLAB沒有提供專門的命令函數來計算多元函數的極限，這一功能是由命令函數limit（　）來完成.

求偏導函數使用命令函數diff（　）.

【例８．３３】已知f（x，y）=x2+y2sin（x2+y2）（x2+y2≠0），計算limx→0y→0f（x，y）.

解在MATLAB中輸入以下命令：

clear

syms　x　y

f=（x^2+y^2）\/sin（x^2+y^2）

（x^2+y^2）\/sin（x^2+y^2）

fx=limit（f，x，0）

fx=

y^2\/sin（y^2）

fxy=limit（fx，y，0）

fxy=

【例８．３４】已知函數F（x，y）=arctanyx-lnx2+y2，求Fx、Fy.

解在MATLAB中輸入以下命令：

clear

syms　x　y

F=atan（y\/x）-log（sqrt（x^2+y^2））；

pretty（diff（F，x））

-yx21+y2x2-xx2+y2

pretty（diff（F，y））

１x1+y2x2-yx2+y2

習題８.６

1.　利用MATLAB計算下列各極限.

（1）　limx→0y→1arcsinx2+y2；（2）　limx→0y→0sin（xy）x.

2.　利用MATLAB計算下列函數的偏導數.

（1）　z=cosx2y；（2）　z=（1+xy）x.

本章小結

多元函數微分學是一元函數微分學的推廣，學習時應對照一元函數相應的概念．

1．　多元函數的概念（以二元函數為例）

（1）　二元函數的定義：z=f（x，y）（定義域、法則）；二元函數的幾何意義：通常表示空間的一張曲麵，而定義域D正好是這張曲麵在xOy麵上的投影．

（2）　二元函數極限的定義：limx→x0y→y0f（x，y）=A（二重極限）；它與一元函數的極限很相似，但要複雜得多，動點P（x，y）必須要以各種方式趨於定點P0（x0，y0）時，函數f（x，y）的極限都要存在且相等．

（3）　二元函數連續的定義：limx→x0y→y0f（x，y）=f（x0，y0）；有界閉區域上連續函數的最大值和最小值定理以及介值定理．

2．　多元函數的偏導數

（1）　二元函數偏導數的定義和幾何意義；對某變量求偏導時，隻要將其他變量視為常數，對該變量求導數．

（2）　偏導數與連續的關係：連續未必有偏導數存在，偏導數存在也未必連續.

（3）　求多元複合函數偏導數的鏈導法則：設函數z=f（u，v）的偏導數連續，且u=φ（x，y），v=ψ（x，y）的偏導數存在，則複合函數z=f[φ（x，y），ψ（x，y）]的偏導數存在，且有

zx=zu·ux+zv·vx，zy=zu·uy+zv·vy．

此法則可以推廣到多元複合函數的其他情況，通常先畫鏈式圖，再寫出公式．

（4）　多元隱函數的求導公式：

①　由方程F（x，y）=0確定y=f（x），則dydx=-FxFy；

②　由方程F（x，y，z）=0確定z=f（x，y），則zx=-FxFz，zy=-FyFz．

（5）　高階偏導數的定義及計算；注意二階混合偏導數相等的條件是二階混合偏導數連續．

3．　全微分

（1）　二元函數全微分的定義：dz=zxdx+zydy.

（2）　可微、偏導數、連續的關係：偏導數連續　　可微　　偏導數存在，可微　　連續，箭頭反過來一般不對．

（3）　全微分在近似計算中的應用：Δz≈dz．

4．　多元函數的極值

（1）　二元函數極值的定義；二元函數極值存在的必要條件以及充分條件．

（2）　二元函數極值的計算：

①　無條件極值：先求駐點，再利用二元函數極值存在的充分條件判別．

②　條件極值：拉格朗日乘數法，或化為無條件極值．

（3）　二元函數的最大值和最小值：先建立數學模型，再求解；注意在唯一駐點的情況下，可根據問題性質直接給出結論．

第九章多元函數積分學及應用

第一節二重積分的概念與性質

學習目標

理解二重積分的概念，了解二重積分的性質．

在第三章中，我們知道定積分是某種和式結構的極限，如果把這種和式結構的極限推廣到定義在區域D上的二元函數的情形，便得到二重積分的概念．

微課

一、二重積分的概念

案例９.１（曲頂柱體的體積）設有一空間立體V，它的底是xOy麵上的有界區域D，

圖９.1

它的側麵是以D的邊界曲線為準線，而母線平行於z軸的柱麵，它的頂是曲麵z=f（x，y）（f（x，y）在D上連續），且f（x，y）≥0，這種立體稱為曲頂柱體（圖９.1）.下麵來求該曲頂柱體的體積V.

對於平頂柱體，有體積公式：體積=底麵積×高．而曲頂柱體的高f（x，y）是變量，它的體積不能直接用平頂柱體的體積公式來計算．但我們可以像在定積分中求曲邊梯形麵積那樣，采用“分割、近似、求和、取極限”的方法來求解，步驟如下：

（1）　分割．用任意一組曲線網將區域D分成n個小閉區域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，以這些小區域的邊界曲線為準線，作母線平行於z軸的柱麵，這些柱麵將原來的曲頂柱體V分劃成n個小曲頂柱體ΔV1，ΔV2，…，ΔVn（假設Δσi所對應的小曲頂柱體為ΔVi，這裏Δσi既代表第i個小區域，又表示它的麵積值，ΔVi既代表第i個小曲頂柱體，又代表它的體積值）.從而　V=∑ni=1ΔVi.

（2）　近似．由於f（x，y）連續，對於同一個小區域來說，函數值的變化不大,因此，可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體，於是ΔVi≈f（ξi，ηi）Δσi（（ξi，ηi）∈Δσi）.

（3）　求和．整個曲頂柱體的體積近似值為V≈∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi.

（4）　取極限．為得到V的精確值，隻需讓這n個小區域越來越小，即讓每個小區域向某點收縮.為此，我們引入區域直徑的概念，一個閉區域的直徑是指區域上任意兩點距離的最大者.所謂讓區域向一點收縮性地變小，意指讓區域的直徑趨向於零.設n個小區域直徑中的最大者為λ，則

V=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi.

圖9.2

案例9.2（平麵薄片的質量）如圖9.2,設有一平麵薄片占有xOy麵上的區域D，它在(x，y）處的麵密度為μ（x，y），這裏μ（x，y）＞0，而且μ（x，y）在D上連續，現計算該平麵薄片的質量M．

質量分布均勻的平麵薄片有質量公式：質量=麵密度×薄片麵積．而對於質量分布非均勻的薄片，其麵密度μ（x，y）是變量，其質量不能直接用上麵的公式來計算．還是采用“分割、近似、求和、取極限”的方法來求解，步驟如下：

（1）　分割．將D任意分成n個小區域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，Δσi（i=1，2，…，n）既代表第i個小區域又代表它的麵積．

（2）　近似．當Δσi的直徑很小時，由於μ（x，y）連續，第i個小區域的質量分布可近似地看作是均勻的，那麼第i個小薄片的近似質量可取為μ（ξi，ηi）·Δσi（（ξi，ηi）∈Δσi）．

（3）　求和.M≈∑ni=1μ（ξi，ηi）Δσi．

（4）　取極限．用λi表示Δσi的直徑，λ=max1≤i≤n{λi}，則

M=limλ→0∑ni=1μ（ξi，ηi）Δσi．

兩種實際意義完全不同的問題，最終都歸結為同一形式的極限問題.因此，有必要撇開這類極限問題的實際背景，給出一個更廣泛、更抽象的數學概念——二重積分.

定義9．1設f（x，y）是有界閉區域D上的有界函數，用曲線網將區域D任意分成n個小閉區域：Δσ1，Δσ2，…，Δσn，其中Δσi既表示第i個小閉區域，也表示它的麵積.在每個Δσi上任取一點（ξi，ηi），作乘積

f（ξi，ηi）Δσi（i=1，2，…，n），

並作和

∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi.

如果當各小閉區域的直徑中的最大值λ趨於零時，此和式的極限總存在，則稱此極限為函數f（x，y）在閉區域D上的二重積分，記作Ｄf（x，y）dσ，即

Ｄf（x，y）dσ=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi，

其中f（x，y）稱為被積函數，f（x，y）dσ稱為被積表達式，dσ稱為麵積元素，x與y稱為積分變量，D稱為積分區域，∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi稱為積分和．

可以證明，若f（x，y）在有界閉區域D上連續，則f（x，y）在D上的二重積分存在．以下均假設所討論的函數f（x，y）在有界閉區域D上是連續的，從而f（x，y）在D上的二重積分都存在．

根據二重積分的定義，曲頂柱體體積V是曲頂麵函數f（x，y）在其底麵區域D上的二重積分

V=Ｄf（x，y）dσ．

平麵薄片質量M是其質量麵密度μ（x，y）在平麵薄片所占區域D上的二重積分

M=Ｄμ（x，y）dσ．

如果在區域D上，f（x，y）≥0，二重積分Ｄf（x，y）dσ的幾何意義就是，以z=f（x，y）為頂，以D為底的曲頂柱體的體積.如果在區域D上，f（x，y）≤0，柱體就在xOy麵的下方，二重積分的絕對值仍等於柱體的體積，但二重積分的值是負的.如果f（x，y）在D的若幹部分區域上是正的，而在其他的部分區域上是負的，我們可以把xOy麵上方的柱體體積取成正，xOy麵下方的柱體體積取成負，則f（x，y）在D上的二重積分就等於這些部分區域上的柱體體積的代數和.

二、二重積分的性質

二重積分與定積分有相類似的性質．

性質9.1Ｄ［f（x，y）±g（x，y）]dσ=Ｄf（x，y）dσ±Ｄg（x，y）dσ．

性質9.2Ｄkf（x，y）dσ=kＤf（x，y）dσ，其中k為常數．

性質9.3（對區域的可加性）若有界閉區域D分為兩個部分閉區域D1與D2，且它們除邊界外無公共點，則

Ｄf（x，y）dσ=Ｄ1f（x，y）dσ+Ｄ2f（x，y）dσ．

性質9.4若在有界閉區域D上，f（x，y）=1，σ為區域D的麵積，則Ｄ1dσ=Ｄdσ=σ．

該性質的幾何意義為：高為1的平頂柱體的體積在數值上等於柱體的底麵積σ．

性質9.5若在有界閉區域D上，f（x，y）≤φ（x，y），則

Ｄf（x，y）dσ≤Ｄφ（x，y）dσ．

特別地，由於-|f（x，y）|≤f（x，y）≤|f（x，y）|，有

Ｄf（x，y）dσ≤Ｄf（x，y）dσ．

性質9.6（估值定理）設M與m分別是f（x，y）在有界閉區域D上最大值和最小值，σ是D的麵積，則

mσ≤Ｄf（x，y）dσ≤Mσ．

性質9.7（二重積分的中值定理）設函數f（x，y）在有界閉區域D上連續，σ是D的麵積，則在D上至少存在一點（ξ，η），使得

Ｄf（x，y）dσ=f（ξ，η）σ．

【例9.1】估計二重積分I=Ｄ（x2+4y2+9）dσ的值，其中D是圓域：x2+y2≤4．

解易知被積函數f（x，y）=x2+4y2+9在區域D上的最大值為25，最小值為9，圓域D的麵積σ=4π，於是利用性質８．８（估值定理）得

9×4π≤I≤25×4π，

即Ι∈[36π，100π]．

圖9.3

【例9.2】比較積分Ｄln（x+y）dσ與Ｄ[ln（x+y）]2dσ

的大小，其中D是以（1，0），（1，1），（2，0）為頂點的三角形閉區域．

解如圖9.3，三角形斜邊方程x+y=2，在D內有1≤x+y≤2＜e，故0≤ln（x+y）＜1，於是ln（x+y）＞[ln（x+y）]2，因此

Ｄln（x+y）dσ＞Ｄ[ln（x+y）]2dσ．

習題9.1

1．　填空題.

（1）　設有一平麵薄片，占有xOy麵上的閉區域D．如果該薄片上分布有麵密度為q（x，y）的電荷，且q（x，y）在D上連續，則該薄片上的全部電荷Q用二重積分可表示為．

（2）　由平麵x+y+z=1和三坐標麵所圍成的立體體積用二重積分可表示為．

（3）　由二重積分的幾何意義，Ｄ5dσ=，其中Ｄ為圓域：x2+y2≤9．

（4）　由二重積分的幾何意義，Ｄ25-x2-y2dσ=，其中D為圓域：x2+y2≤25．

2．　利用二重積分的性質比較下列積分的大小.

（1）　Ｄ（x+y）dσ與Ｄx+ydσ，其中D是由x軸，y軸以及直線x+y=1所圍成的閉區域；

（2）　Ｄ（x+y）2dσ與Ｄ（x+y）3dσ，其中D是圓域：（x-2）2+（y-1）2≤2．

3．　估計下列二重積分的值.

（1）　Ｄ（x+y+1）dσ，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤2}；

（2）　Ｄ（x2+y2+1）dσ，其中D={（x，y）|1≤x2+y2≤2}．

第二節二重積分的計算法

學習目標

1．　熟練掌握在直角坐標下計算二重積分的方法．

2．　掌握在極坐標係下計算二重積分的方法．

利用二重積分的定義來計算二重積分通常很困難，所以必須尋找一種比較方便的計算方法．一般，二重積分的計算是通過兩個定積分的計算（即二次積分）來實現的.

微課

一、利用直角坐標計算二重積分

由於二重積分的定義中對區域D的劃分是任意的，若用一組平行於坐標軸的直線來劃分區域D，那麼除了靠近邊界曲線的一些小區域之外，絕大多數的小區域都是矩形，因此，可以將dσ記作dxdy（並稱dxdy為直角坐標係下的麵積元素），於是二重積分也可表示成為

Ｄf（x，y）dxdy．

如果積分區域D可表示為φ1（x）≤y≤φ2（x），a≤x≤b，其中函數φ1（x），φ2（x）在區間[a，b]上連續，這種區域稱為X型區域（圖９.４）．

如果積分區域D可表示為ψ1（y）≤x≤ψ2（y），c≤y≤d，其中函數ψ1（y），ψ2（y）在區間[c，d]上連續，這種區域稱為Y型區域（圖９.５）．

圖９.４

圖９.５

X型區域的特點是：穿過區域內部且平行於y軸的直線與區域邊界相交不多於兩個交點；Y型區域的特點是：穿過區域內部且平行於x軸的直線與區域邊界相交不多於兩個交點.

下麵，首先來討論X型區域上的二重積分的計算問題．

圖９.６

設區域D是X型區域，連續函數f（x，y）≥0，

由二重積分的幾何意義可知，Ｄf（x，y）dxdy的值

等於以D為底，以曲麵z=f（x，y）為頂的曲頂

柱體的體積V（圖９.６）．

在區間[a，b]上任取一點x（先將x視為一定值），過點（x，0，0）作垂直於x軸的平麵與曲頂柱體相截，所得截麵是一個以區間[φ1（x），φ２（x）]為底，以曲線z=f（x，y）為曲邊的曲邊梯形（圖9.6中陰影部分）．設其麵積為S（x），根據定積分的幾何意義得

S（x）=∫φ2（x）φ１（x）f（x，y）dy．

再由定積分應用中介紹的計算“平行截麵麵積為已知的立體體積”的方法可得，曲頂柱體的體積為

V=∫baS（x）dx=∫ba∫φ2（x）φ1（x）f（x，y）dydx，

從而有

Ｄf（x，y）dxdy=∫ba∫φ2（x）φ1（x）f（x，y）dydx，

記作

Ｄf（x，y）dxdy=∫badx∫φ2（x）φ1（x）f（x，y）dy.(９.1)

公式(９.1)表明，二重積分可以通過兩次定積分進行計算，第一次計算∫φ2（x）φ1（x）f（x，y）dy時，把x看作常數，y是積分變量．所以公式(９.1)也稱為先對y後對x的二次積分公式．

以上討論中，假定f（x，y）≥0，但實際上公式(９.1)的成立並不受此限製．

類似地，當積分區域D是Y型區域時，連續函數f（x，y）在D上的二重積分化作（先對x後對y的）二次積分的計算公式為

Ｄf（x，y）dσ=∫dcdy∫ψ2（y）ψ1（y）f(x,y)dx．(９.2)

圖９.７

如果積分區域D既是X型區域，又是Y型區域，這時D上的二重積分，既可以用公式(９.1)計算，

又可以用公式(９.2)計算．

如果積分區域D既不是X型區域，又不是Y型區域（圖９.７），則可把D分成幾部分，使每個部分是X型區域或是Y型區域，每部分上的二重積分求得後，根據二重積分對於積分區域具有可加性，它們的和就是在D上的二重積分．

【例９.3】計算二重積分Ｄ（x2+y）dxdy，其中D是由曲線y=x2與y2=x所圍成的區域．

解如圖９.８所示，積分區域D既是X型區域，又是Y型區域.如果將D看作X型區域，則D={（x，y）|x2≤y≤x，0≤x≤1}，因此有

圖９.８

Ｄ（x2+y）dxdy=∫10dx∫xx2（x2+y）dy

=∫10x2y+12y2xx2dx

=∫10x52+x2-32x4dx

=27x72+x24-310x510=33140.

【例９.４】計算二重積分Ｄxydxdy，其中D是由直線y=x-2與曲線y2=x所圍成的區域．

解先求解方程組y=x-2，

y2=x，得到區域D邊界曲線的交點坐標A（4，2）和B（1，-1），作區域D的示意圖（圖９.９）．

如果將D看作Y型區域，則D={（x，y）|y2≤x≤y+2，-1≤y≤2}，因此有

圖９.９

Ｄxydxdy=∫2-1dy∫y+2y2xydx

=∫2-1yx22y+2y2dy

=12∫2-1[y（y+2）2-y5]dy

=12y44+4y33+2y2-y662-1

=458.

如果將D看作X型區域，因D的下邊曲線是由y=-x和y=x-2組成，應該用直線x=1將D分成D1和D2兩個區域，其中

D1={（x，y）|-x≤y≤x，0≤x≤1}，D2={（x，y）|x-2≤y≤x，1≤x≤4}，

於是有

Ｄxydxdy=Ｄ1xydxdy+Ｄ2xydxdy

=∫10dx∫x-xxydy+∫41dx∫xx-2xydy

=…=458.

可見，選擇積分次序是很重要的．

【例９.５】計算二重積分Ｄe-y2dxdy，其中D是以（0，0），（1，1），（0，1）為頂點的三角形.

圖９.１０

解因為積分∫e-y2dy無法用初等函數表示，所以積分時必須考慮次序，應先對x積分．作區域D的示意圖（圖９.１０）．將D看作Y型區域，則

D={（x，y）|0≤x≤y，0≤y≤1}，

因此有

Ｄe-y2dxdy=∫10dy∫y0e-y2dx=∫10e-y2·ydy

=-12e-y210=12（1-e-1）.

在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當的二次積分的次序.這時，即要考慮積分區域D的形狀，又要考慮被積函數f（x，y）的特性.

【例９.６】交換二次積分I=∫0-1dx∫1-x2x+1f（x，y）dy的積分次序.

圖９.１１

解由給定二次積分的上、下限，得到積分區域D為

D={（x，y）|x+1≤y≤1-x2，-1≤x≤0}，

即D是由直線y=x+1和圓y=1-x2所圍成的區域（圖　９.１１）．再將D看作Y型區域，

D={（x，y）|-1-y2≤x≤y-1，0≤y≤1}，於是

I=∫10dy∫y-1-1-y2f（x，y）dx.

二、利用極坐標計算二重積分

某些二重積分，積分區域D的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便，且被積函數　f（x，y）　在極坐標係下的表達式比較簡單，這時就想到利用極坐標來計算二重積分．

在極坐標係下，假定從極點O出發且穿過有界閉區域D內部的射線與D的邊界曲線相交不多於兩點．用極坐標係中的兩組曲線ρ=常數和θ=常數（即一組同心圓和一組過極點的射線）來劃分D，把D分成n個小閉區域（圖９.１２）．每個小閉區域的麵積

Δσi=12（ρi+Δρi）2·Δθi-12ρ2i·Δθi

=12（2ρi+Δρi）Δρi·Δθi≈ρi·Δρi·Δθi，

因此，麵積元素dσ=ρdρdθ，稱為極坐標係中的麵積元素．再根據直角坐標與極坐標之間的關係x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得

Ｄf（x，y）dxdy=Ｄf（ρcosθ，ρsinθ）ρdρdθ.

圖９.１２

圖９.１３

極坐標係中的二重積分，同樣可以化歸為二次積分來計算.在化二次積分時，通常是選擇先對ρ積分，再對θ積分．下麵分三種情況討論．

（1）　極點O在區域D的外部，如圖９.１３所示，這時區域D可表示為

D={（ρ，θ）|ρ1（θ）≤ρ≤ρ2（θ），α≤θ≤β}，

其中函數ρ1（θ），ρ2（θ）在[α，β]上連續，於是

Ｄf（ρcosθ，ρsinθ）ρdρdθ=∫βαdθ∫ρ2（θ）ρ1（θ）f（ρcosθ，ρsinθ）ρdρ．

（2）　極點O在區域D的邊界上，如圖９.１４所示，這時區域D可表示為

D={（ρ，θ）|0≤ρ≤ρ（θ），α≤θ≤β}

其中函數ρ（θ）在[α，β]上連續，於是

Ｄf（ρcosθ，ρsinθ）ρdρdθ=∫βαdθ∫ρ（θ）0f（ρcosθ，ρsinθ）ρdρ．

（3）　極點O在區域D的內部，如圖９.１５所示，這時區域D可表示為

D={（ρ，θ）|0≤ρ≤ρ（θ），0≤θ≤2π}，

其中函數ρ（θ）在[α，β]上連續，於是

Ｄf（ρcosθ，ρsinθ）ρdρdθ=∫2π0dθ∫ρ（θ）0f（ρcosθ，ρsinθ）ρdρ.

圖９.１４

圖９.１５

【例９.７】計算二重積分Ｄe-x2-y2dxdy，其中D是圓x2+y2=a2所圍成的閉區域.

解在極坐標係下，D={（ρ，θ）|0≤ρ≤a，0≤θ≤2π}，於是

Ｄe-x2-y2dxdy=Ｄe-ρ2ρdρdθ=∫2π0dθ∫a0e-ρ2ρdρ=π（1-e-a2）．

可利用上述結果來計算工程上常用的反常積分∫+∞0e-x2dx=π2.

【例９.８】計算二重積分Ｄx2dxdy，其中D是圓環1≤x2+y2≤4所圍成的閉區域.

解在極坐標係下，D={（ρ，θ）|1≤ρ≤2，0≤θ≤2π}，於是

Ｄx2dxdy=Ｄ（ρcosθ）2ρdρdθ=∫2π0dθ∫21ρ3cos2θdθ

=∫21ρ3dρ∫2π０cos2θdθ=14ρ421·１２∫2π0（1+cos2θ）dθ

=154·12θ+12sin2θ2π0=154π.

圖９.１６

【例９.９】計算二重積分Ｄx2+y2dxdy，其中D是圓x2+y2=2x所圍成的閉區域.

解在極坐標係下，D=（ρ，θ）|0≤ρ≤2cosθ，-π

2≤θ≤π2，如圖９.１６所示，於是

Ｄx2+y2dxdy=Ｄρ·ρdρdθ

=∫π2-π2dθ∫2cosθ0ρ2dθ

=83∫π2-π2cos3θdθ

=163∫π20（1-sin2θ）dsinθ

=163sinθ-13sin３θπ20

=329.

一般，如果二重積分中被積函數是以x2+y2，yx，xy為變量的函數，積分區域為環形域、扇形域等，則利用極坐標計算二重積分比較方便些．

習題９.２

1．　把二重積分Ｄf（x，y）dσ化為二次積分，其中區域D是：

（1）　由直線x=2，x=3，y=1，y=4所圍成的矩形區域；

（2）　由曲線y2=2x與直線y=x所圍成的區域．

2．　在直角坐標係下，計算下列二重積分.

（1）　Ｄyxdxdy，其中D由直線y=x，y=2x，x=2，x=4所圍成的區域；

（2）　Ｄsinyydxdy，其中D由直線y=x，y=π2，y=π，x=0所圍成的區域；

（3）　Ｄ（3x+2y）dxdy，其中D由直線x+y=2和兩坐標軸所圍成的區域；

（4）　Ｄxy2dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤4，x≥0}；

（5）　Ｄcos（x+y）dxdy，其中D由直線y=x，y=π，x=0所圍成的區域；

（6）　Ｄx2y3dxdy，其中D由直線y=x，x=2和雙曲線xy=1所圍成的區域．

3．　交換下列二次積分的次序.

（1）　∫10dx∫2xxf（x，y）dy；

（2）　∫10dy∫1-y2-1-y2f（x，y）dx；

（3）　∫e1dx∫lnx0f（x，y）dy；

（4）　∫10dx∫x20f（x，y）dy+∫31dx∫12（3-x）0f（x，y）dy．

4．　將二重積分∫20dy∫2y-y20f（x2+y2）dx化為極坐標係下的二次積分．

5．　在極坐標係下，計算下列二重積分.

（1）　Ｄydσ，其中D={(x，y）|x2+y2≤9，x≥0，y≥0}；

（2）　Ｄ4-x2-y2dσ，其中D={（x，y）|x2+y2≤2x}；

（3）　Ｄx2+y2dxdy，其中D={（x，y）|a2≤x2+y2≤b2}（b＞a＞0）；

（4）　Ｄarctanyxdxdy，其中D={（x，y）|1≤x2+y2≤4，y≥0，y≤x}．

第三節二重積分的應用

學習目標

會用二重積分計算一些幾何量（立體體積，曲麵麵積）和一些物理量（質量與質心，轉動慣量）．

微課

一、二重積分在幾何上的應用

1.　空間立體體積

由二重積分的幾何意義可知，當在區域D上的連續函數f（x，y）≥0時，以D為底、曲麵z=f（x，y）為曲頂、母線平行於z軸的曲頂柱體體積為

V=Ｄf（x，y）dσ；

當f（x，y）≤0時，

V=-Ｄf（x，y）dσ．

總之，

V=Ｄ|f（x，y）|dσ．

【例９.１０】求由四個平麵x=0，y=0，x=1，y=1所圍成的柱體被平麵z=0及2x+3y+z=6所截的立體體積．

解空間立體如圖９.１７所示，該立體的曲頂麵方程是z=6-2x-3y，它在xOy麵上的投影區域D為

D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}．

故所求體積為

V=Ｄ（6-2x-3y）dσ=∫10dx∫10（6-2x-3y）dy

=∫106y-2xy-32y210dx=∫1092-2xdx

=92x-x210=72．

【例９.１１】求錐麵z=3（x2+y2）和上半球麵z=4-x2-y2所圍成的立體體積．

解空間立體如圖９.１８所示，該立體的頂麵是上半球麵

z=4-x2-y2，

底麵為錐麵

z=3（x2+y2）．

錐麵與上半球麵的交線為C：z=3（x2+y2），

z=4-x2-y2.消去z，得到x2+y2=1．於是該立體在xOy麵上的投影區域D為

D={（x，y）|x2+y2≤1}={（ρ，θ）|0≤ρ≤1，0≤θ≤2π}．

故所求體積為

V=Ｄ4-x2-y2-3（x2+y2）dσ

=∫２π0dθ∫１０４-ρ2-3ρρdρ

=2π-13（1-ρ2）32-33ρ310=2π3（8-43）．

圖９.１７

圖９.１８

2.　曲麵的麵積

設曲麵S由方程z=f（x，y）給出，Dxy為曲麵S在xOy麵上的投影區域，函數f（x，y）在Dxy上具有連續偏導數fx（x，y），fy（x，y），則曲麵S的麵積為

A=Ｄxy1+f2x（x，y）+f2y（x，y）dσ或A=Ｄxy1+zx2+zy2dσ．

【例９.１２】求球麵x2+y2+z2=a2含在柱麵x2+y2=ax（a＞0）內部的麵積．

解空間立體如圖９.１９（a）所示，由對稱性知，所求麵積是它在第一卦限內麵積的4倍．

在第一卦限內，球麵方程為z=a2-x2-y2，它在xOy麵的投影區域（圖９.１９(b))

D={（x，y）|x2+y2≤ax，y≥0}=（ρ，θ）|0≤ρ≤acosθ，0≤θ≤π2．

由zx=-xa2-x2-y2，zy=-ya2-x2-y2，故得

A=4Ｄ1+zx2+zy2dσ=4Ｄaa2-x2-y2dσ

=4∫π20dθ∫acosθ0aρa2-ρ2dρ=4a∫π20-a2-ρ2acosθ0dθ

=4a2∫π20（1-sinθ）dθ=4a2（θ+cosθ）π20=2a2（π-2）．

圖９.１９

二、二重積分在物理上的應用

1.　平麵薄片的質量

設一平麵薄片占有xOy麵上的有界閉區域D，它在點（x，y）處的質量麵密度μ（x，y）在D上連續，由本章案例9.2知，該平麵薄片的質量為

M=Ｄμ（x，y）dσ．

圖９.２０

【例９.１３】設平麵薄片在xOy麵上所占的閉區域

D是由螺線ρ=2θ上一段弧0≤θ≤π2與

直線θ=π2所圍成（如圖９.２０所示）．它的質量麵密度μ（x，y）=x2+y2，求該薄片的質量．

解因為平麵薄片在xOy麵上所占的閉區域

D=（ρ，θ）|0≤ρ≤2θ，0≤θ≤π2．

所以該薄片的質量為

M=Ｄμ（x，y）dσ=Ｄ（x2+y2）dσ=Ｄρ2ρdρdθ

=∫π20dθ∫2θ0ρ3dρ=∫π204θ4dθ=π540（單位質量）．

2.　平麵薄片的質心（重心）

由物理學知道，xOy麵上質點係的質心（重心）坐標為

x=MyM，y=MxM，

其中M為該質點係的總質量，Mx，My分別表示質點係關於x軸和y軸的靜力矩．如果一質點位於xOy麵上點（x，y）處，其質量為m，則該質點關於x軸和y軸的靜力矩分別為

Mx=my，My=mx．

設一平麵薄片占有xOy麵上的有界閉區域D，在點（x，y）處的麵密度為μ（x，y），假定μ（x，y）在D上連續，如何確定該薄片的質心坐標（x，y）？

在閉區域D上任取一直徑很小的閉區域dσ（這小閉區域的麵積也記作dσ），（x，y）是這小閉區域上的一個點．由於dσ的直徑很小，且μ（x，y）在D上連續，所以薄片中相應於dσ的部分的質量近似等於μ（x，y）dσ，這部分質量可近似看作集中在點（x，y）上.於是可寫出靜矩元素dMy及dMx：

dMy=xμ（x，y）dσ，dMx=yμ（x，y）dσ，

以這些元素為被積表達式，在閉區域D上積分，便得

My=Ｄxμ（x，y）dσ，Mx=Ｄyμ（x，y）dσ.

又由於平麵薄片的質量為M=Ｄμ（x，y）dσ，從而薄片的質心坐標為

x=MyM=Ｄxμ（x，y）dσＤμ（x，y）dσ，y=MxM=Ｄyμ（x，y）dσＤμ（x，y）dσ.

如果薄片是均勻的，即麵密度為常量，則

x=1σＤxdσ，y=1σＤydσσ=Ｄdσ為閉區域D的麵積.

顯然，這時薄片的質心完全由閉區域D的形狀所決定，因此，習慣上將均勻薄片的質心稱之為該平麵薄片所占平麵圖形的形心．

圖９.２１

【例９.１４】一平麵薄片占有xOy麵上由曲線x=y2和直線x=1所圍成的閉區域D，它在點（x，y）處的麵密度為μ（x，y）=y2，求該薄片的質心．

解閉區域D的圖形如圖９.２１所示，該薄片的質量為

M=Ｄy2dσ=∫1-1dy∫1y2y2dx=∫1-1（y2-y4）dy=415．

靜力矩My和Mx分別為

My=Ｄxy2dσ=∫1-1dy∫1y2xy2dx=12∫1-1（y2-y6）dy=421，

Mx=Ｄy·y2dσ=∫1-1dy∫1y2y3dx=∫１-1（y3-y5）dy=0．

所以

x=MyM=57，y=MxM=0，

所求質心坐標為57，0．

圖９.２２

【例９.１５】求位於兩圓ρ=2sinθ和ρ=4sinθ之間的均勻薄片的形心．

解如圖９.２２所示，因為積分區域D對稱於y軸，所以x=0，而

y=1σＤydσ=∫π0sinθdθ∫4sinθ2sinθρ2dρ3π=73，

所求形心坐標為0，73．

3.　轉動慣量

如果一質點位於xOy麵上點（x，y）處，其質量為m，則該質點關於x軸和y軸以及坐標原點O的轉動慣量分別為

Ix=y2m，Iy=x2m，IO=（x2+y2）m．

設一平麵薄片占有xOy麵上的有界閉區域D，在點（x，y）處的麵密度為μ（x，y），假定μ（x，y）在D上連續，如何求該薄片對於x軸、y軸以及坐標原點O的轉動慣量Ix，Iy，IO？

在閉區域D上任取一直徑很小的閉區域dσ（這小閉區域的麵積也記作dσ），（x，y）是這小閉區域上的一個點.由於dσ的直徑很小，且μ（x，y）在D上連續，所以薄片中相應於dσ的部分的質量近似等於μ（x，y）dσ，這部分質量可近似看作集中在點（x，y）上，於是可寫出薄片對於x軸、y軸以及坐標原點O的轉動慣量元素：

dIx=y2μ（x，y）dσ，

dIy=x2μ（x，y）dσ，

dIO=（x2+y2）μ（x，y）dσ．

以這些元素為被積表達式，在閉區域D上積分，便得

Ix=Ｄy2μ（x，y）dσ，

Iy=Ｄx2μ（x，y）dσ，

IO=Ｄ（x2+y2）μ（x，y）dσ．

注意：IO=Ix+Iy．

【例９.１６】設密度為μ的均勻薄片在xOy平麵上占有閉區域D：x2+y2≤R2，求薄片關於原點的轉動慣量IO．

解閉區域D的圖形如圖９.２３所示，轉動慣量為

IO=Ｄ（x2+y2）μdσ=μ∫2π0dθ∫R0ρ3dρ=12πμR4．

【例９.１７】求由拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片（麵密度為常數μ）對於直線y=-1的轉動慣量．

解閉區域D的圖形如圖９.２４所示，轉動慣量元素為dI=（y+1）2μdσ，所以

I=Ｄ（y+1）2μdσ=μ∫１-1dx∫1x2（y+1）2dy=368105μ．

圖９.２３

圖９.２４

習題９.３

1．　求由下列曲麵所圍成的立體體積：

（1）　x=0，y=0，z=0，x+y=1，x+y-z+1=0；

（2）　x=0，x=2，y=0，y=3，z=0，x+y+z-4=0；

（3）　z=x2+y2，x2+y2=2x，z=0；

（4）　z=x2+y2，z=4．

2．　求錐麵z=x2+y2被柱麵z2=2x所割下部分的曲麵麵積．

3．　求球麵x2+y2+z2=16被平麵z=2所截上半部分曲麵的麵積．

4．　求由兩條拋物線y=x2和x=y2所圍成的平麵薄片的質量，其麵密度為μ（x，y）=xy．

5．　求由三直線x+y=2，y=x和y=0所圍成的平麵薄片的質量，其麵密度為μ（x，y）=x2+y2．

6．　設平麵薄片在xOy麵所占閉區域D由拋物線y=x2和直線y=x圍成，其麵密度為μ（x，y）=x2y，求該薄片的質心．

7．　求圓x2+y2=4R2和x2+y2=9R2所圍成的均勻圓環薄片在第一象限部分的形心．

8．　設平麵薄片在xOy麵所占閉區域D由拋物線y=x和直線x=9，y=0圍成，其麵密度為μ（x，y）=x+y，求轉動慣量Ix，Iy，IO．

9．　求邊長為a的正方形均勻薄片（設麵密度μ（x，y）=1）對它的一條邊的轉動慣量．

第四節多元函數積分運算實驗

一、實驗目的

會利用MATLAB計算二重積分.

二、實驗指導

二重積分計算是轉化為兩次定積分來進行的，因此關鍵是確定積分限.MATLAB沒有提供專門的命令函數來處理這些積分，仍然使用int（　）命令來處理它們，隻是在處理之前先根據積分公式將這些積分轉化為二次積分.

【例９．１８】計算二重積分Ｄx1+xydxdy，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1.

解在MATLAB中輸入以下命令：

clear

syms　x　y；

f=x\/（1+x*y）；

Ax=int（f，x，0，1）

Ax=

-1\/y^2*log（1+y）+1\/y

Ay=int（Ax，y，0，1）

Ay=

2*log（2）-1

習題９.４

利用MATLAB計算下列二重積分.

（1）　Ｄx2ydσ，其中D是由曲線xy=1和直線y=x，x=2所圍區域；

（2）　Ｄ（x2+y2）dσ，其中D是由圓x2+y2=2y所圍區域.

本章小結

多元函數積分學是一元函數積分學的推廣，學習時應對照一元函數相應的概念．

１.　二重積分的概念

（1）　二重積分的定義：Ｄf（x，y）dσ=limλ→0∑ni=1f（ξi，ηi）Δσi．

（2）　二重積分的幾何意義：曲頂柱體體積；物理意義：平麵薄片的質量．

（3）　二重積分的性質（七個）．

2．　二重積分的計算（化為二次積分）

（1）　在直角坐標係下二重積分的計算：先畫區域D的圖形，再選擇積分次序，然後確定積分限，最後計算之．

①　若D為X型區域D={（x，y）|φ1（x）≤y≤φ2（x），a≤x≤b}，則

Ｄf（x，y）dσ=∫badx∫φ2（x）φ1（x）f（x，y）dy（先對y積分，後對x積分）；

②　若D為Y型區域D={（x，y）|ψ1（y）≤x≤ψ2（y），c≤y≤d}，則

Ｄf（x，y）dxdy=∫dcdy∫ψ2（x）ψ1（x）f（x，y）dx（先對x積分，後對y積分）．

（2）　在極坐標係下二重積分的計算：先畫區域D的圖形，確定積分限，最後計算之．

若D={（ρ，θ）|ρ1（θ）≤ρ≤ρ2（θ），α≤θ≤β}，則

Ｄf（x，y）dxdy=∫βαdθ∫ρ2（x）ρ1（x）f（ρcosθ，ρsinθ）ρdρ．

3．　二重積分的應用

（1）　二重積分的幾何應用：立體體積、曲麵麵積的計算．

（2）　二重積分的物理應用：平麵薄片質量、質心、轉動慣量的計算．

第十章線性代數初步

本章將介紹行列式和矩陣的概念及其運算，並用它們求解線性方程組，解決一些實際問題.

第一節行列式

學習目標

1.　理解二階、三階行列式的定義．

2.　知道n階行列式的定義．

3.　理解行列式的性質，並掌握用其性質和按行（列）展開來計算行列式．

4.　掌握用克萊姆法則來判別線性方程組有解的條件．

行列式在線性代數學中占有重要的地位,它不僅是研究矩陣理論和線性方程組求解理論的重要工具,而且在工程技術領域中也有著極其廣泛的應用.正確理解行列式的基本概念，熟練掌握計算n階行列式的基本方法，會對今後的課程內容學習帶來很大方便．本節將根據三階行列式的展開規律來定義n階行列式,介紹行列式的基本性質和按行(列)展開定理,　從而給出行列式的計算方法，並介紹行列式在解線性方程組中的應用——克萊姆法則.

微課

一、n階行列式的定義

1.　二階、三階行列式

行列式的概念是在解線性方程組的問題中引入的.對於二元線性方程組

a11x1+a12x2=b1,

a21x1+a22x2=b2,（10.1）

我們采用加減消元法從方程組裏消去一個未知數來求解.

第一個方程乘以a22與第二個方程乘以a12相減得

（a11a22－a21a12）x1=b1a22－b2a12，

第二個方程乘以a11與第一個方程乘以a21相減得

（a11a22－a21a12）x2=b2a11－b1a21．

若設a11a22－a21a12≠0，則方程組的解為

x1=b1a22-b2a12a11a22-a21a12,x2=b2a11-b1a21a11a22-a21a12.（10.2）

容易驗證式(10.2)是方程組(10.1)的解.

在式(10.2)中的兩個等式右端的分母是相等的,我們把分母引進一個記號，記

a11a12

a21a22=a11a22-a21a12.(10.3)

式(10.3)左端稱為二階行列式，記為D,即

D=a11a12

a21a22.

圖10.1

而式（１０.3）右端稱為二階行列式D的展開式.上述二階行列式的定義，可用對角線法則來識記(如圖10．１)，把a11到a22的實連線稱為主對角線，a12到a21的虛連線稱為副對角線，於是二階行列式便是主對角線上的兩元素之積減去副對角線上兩元素之積所得的差.

對於二階行列式D,我們也稱為方程組(10.1)的係數行列式.若用二階行列式記

D1＝b1a12

b2a22=b1a22-b2a12,D2=a11b1

a21b2=b2a11-b1a21,

方程組的解式(10.2)可寫成

x1=D1D,x2=D2D.　（10.4）

【例10.1】解方程組

-3x1+4x2=6,

2x1-5x2=-7.

解利用式（10.4）來求解方程組

D=-34

2-5=(-3)×(-5)-4×2=15-8=7≠0,

D1=64

-7-5=6×(-5)-4×(-7)=-2,

D2=-36

2-7=(-3)×(-7)-6×2=9,

所以

x1=D1D=-27,x2=D2D=97.

對於三元線性方程組

a11x1+a12x2+a13x3=b1,

a21x1+a22x2+a23x3=b2,

a31x1+a32x2+a33x3=b3,（10.5）

與二元線性方程組類似，當

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31≠0,

用加減消元法可求得它的解：

x1=a22a33b1+a13a32b2+a12a23b3-a13a22b3-a12a33b2-a23a32b1a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,

x2=a11a33b2+a13a21b3+a23a31b1-a13a31b2-a11a23b3-a21a33b1a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,

x3=a11a22b3+a12a31b2+a21a32b1-a22a31b1-a11a32b2-a12a21b3a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31.

若對上麵解的分母引進記號,記

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31,（10.6）

則式（10.6）的左邊稱為三階行列式，通常也記為D.在D中,橫的稱為行，縱的稱為列，其中aij（i，j=1，2，3）是實數，稱它為此行列式的第i行第j列的元素.

引進了三階行列式,方程組（10.5）的解就可寫成

x1=D1D,x2=D2D,x3=D3D．（10.7）

圖10.２

D也稱為方程組（10.5）的係數行列式,它是由未知數的所有係數組成的行列式,Dj(j=1,2,3)是將D的第j列換成方程組（10.5）右端的常數項而得到的三階行列式．

式（10.6）給出三階行列式的一種定義方式,而式（10.7）為我們提供了一種求解三元線性方程組的方法(在係數行列式不為零的情況下).

三階行列式也可用對角線法則計算,如圖10.２.

圖中有三條實線看作平行於主對角線的連線，三條虛線看作平行於副對角線的連線，實線上三元素的乘積冠正號，虛線上三元素的乘積冠負號.

【例10.2】計算三階行列式

-132

30-2

-213.

解用對角線法則計算

-132

30-2

-213=(-1)×0×３+3×(-2)×(-2)+2×3×1-2×0×(-2)-

3×3×3-(-1)×(-2)×1

=0+12+6-0-27-2

=-11.

2.　n階行列式

類似於三元線性方程組的討論,n元線性方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+…＋a2nxn=b2,

……

an1x1+an2x2+…+annxn=bn（10.8）

的所有未知數的係數也可以組成一個係數行列式

a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann.（10.9）

定義10.1由n2個數排成n行n列的式（10.9）稱為n階行列式．

它代表一個由特定的運算關係所得到的算式．為了獲得這個算式，我們引入下麵的兩個概念．

定義10.2在n階行列式（10.9）中，劃去元素aij所在的第i行第j列的元素，所餘下的元素按原位置組成的n-1階行列式,即

a11…a1,j-1a1,j+1…a1n

………………

ai-1,1…ai-1,j-1ai-1,j+1…ai-1,n

ai+1,1…ai+1,j-1ai+1,j+1…ai+1,n

………………

an1…an,j-1an,j+1…ann,

稱為元素aij的餘子式，記為Mij．稱Aij=(-1)i+jMij為元素aij的代數餘子式．

定理10.1n階行列式D的值等於它任意一行（列）的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和，即

D=a11…a1j…a1n

……………

ai1…aij…ain

……………

an1…anj…ann=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin

=∑nk=1aikAik(i=1,2,…,n),

或

D=a11…a1j…a1n

……………

ai1…aij…ain

……………

an1…anj…ann=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj

=∑nk=1akjAkj(j=1,2,…,n).

定理證明從略.

推論n階行列式D的任意一行（列）元素與另一行（列）的對應元素的代數餘子式乘積之和等於零.即

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j),

a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i≠j).

綜合定理10.1和推論可得出如下表達式：

∑nk=1aikAjk=D,當i=j,

0，當i≠j,

或

∑nk=1akiAkj=D,當i=j,

0，當i≠j.

有了上述的定理，我們可以用來計算n階行列式.

【例10.3】計算四階行列式

D4=300-5

-4102

6570

-34-2-1.

解

D4=300-5

-4102

6570

-34-2-1=3(-1)1+1102

570

4-2-1+(-5)(-1)1+4-410

657

-34-2

=31·(-1)1+170

-2-1+2·(-1)1+357

4-2+

5(-4)·(-1)1+157

4-2+1·(-1)1+267

-3-2

=3(-7-76)+5(152-9)=466

下麵我們計算幾個特殊行列式.

【例10.4】計算下列行列式.

(1)　對角行列式a11000

0a2200

00a330

000a44;

(2)　下三角行列式a11000

a21a2200

a31a32a330

a41a42a43a44.

解

(1)　a11000

0a2200

00a330

000a44=a11(-1)1+1a2200

0a330

00a44

=a11a22(-1)1+1a330

0a44

=a11a22a33a44.

用歸納的方法,可證得n階對角行列式

a110…0

0a22…0

…………

00…ann=a11a22…ann.

(2)　a11000

a21a2200

a31a32a330

a41a42a43a44=a11(-1)1+1a2200

a32a330

a42a43a44

=a11a22(-1)1+1a330

a43a44

=a11a22a33a44.

用歸納的方法,可證得n階下三角行列式

a110…0

a21a22…0

…………

an1an2…ann=a11a22…ann.

二、n階行列式的性質

按一行（列）展開公式計算n階行列式，當n較大時計算是比較麻煩的．而我們學習了下麵的n階行列式的基本性質，隻要能靈活地應用這些性質和定理，就可以大大簡化n階行列式的計算．

定義10.3將行列式D的行、列位置互換後所得到的行列式稱為D　的轉置行列式，記為DT,即若

D=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann，

則

DT=a11a21…an1

a12a22…an2

…………

a1na2n…ann.

性質10.1行列式D與它的轉置行列式DT值相等，即D=DT.

這個性質也說明在行列式中行與列的地位是對稱的，凡是行列式對行成立的性質，對列也成立.

利用性質10.1我們不難得出上三角行列式

a11a12…a1n

0a22…a2n

…………

00…ann=a11a22…ann.

性質10.2行列式中任意兩行（列）互換後，行列式的值僅改變符號.

推論若行列式中有兩行（列）元素完全相同，則行列式值等於零．

證設行列式

D=a11a12…a1n

…………

ai1ai2…ain

…………

ai1ai2…ain

…………

an1an2…ann

，

將i行與j行交換，由性質10.2得D=－D，於是2D=0，即D=0.

性質10.3以數k乘行列式的某一行（列）中所有元素，就等於用k去乘此行列式,即

a11a12…a1n

…………

kai1kai2…kain

…………

an1an2…ann=ka11a12…a1n

…………

ai1ai2…ain

…………

an1an2…ann.

或者說，若行列式的某一行（列）中所有元素有公因子，則可將公因子提取到行列式記號外麵.

由性質10.3可得下麵的推論:

推論1若行列式中有一行（列）的元素全為零，則行列式的值等於零.

推論2若行列式中有兩行（列）的元素成比例，則行列式的值等於零.

性質10.4若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，則這個行列式等於兩個行列式之和,即

a11a12…a1n

…………

ai1+aj1ai2+aj2…ain+ajn

…………

an1an2…ann=a11a12…a1n

…………

ai1ai2…ain

…………

an1an2…ann+a11a12…a1n

…………

aj1aj2…ajn

…………

an1an2…ann.

由性質10.3及推論2、性質10.4可得:

性質10.5若在行列式的某一行（列）元素上加上另一行（列）對應元素的k倍，則行列式的值不變．即

a11a12…a1n

…………

ai1ai2…ain

…………

aj1aj2…ajn

…………

an1an2…ann=a11a12…a1n

…………

ai1ai2…ain

………

…

aj1+kai1aj2+kai2…ajn+kain

…………

an1an2…ann.

以上諸性質證明從略.

三、n階行列式的計算

在計算行列式時，為了便於檢查運算的正確性，一般注明每一步運算的依據．為此我們約定采用如下的記號：

用ri表示行列式的第i行，用ci表示行列式的第i列.

用rirj表示交換i，j兩行，用cicj表示交換i，j兩列．

用kri表示用數k乘以第i行,用kci表示用數k乘以第i列.

用ri+krj(ri-krj)表示在行列式的第i行元素上加上（減去）第j行對應元素的k倍．

用ci+kcj(ci-kcj)表示在行列式的第i列元素上加上（減去）第j列對應元素的k倍．

利用行列式的基本性質一般可以簡化行列式的計算,通常是用行列式的基本性質把行列式化成上三角行列式再求值.

【例10.5】計算行列式

D4=31-12

-513-4

201-1

1-53-3.

解

D4c1c2-13-12

1-53-4

021-1

-513-3r4+5r1r2-r1-13-12

0-84-6

021-1

016-27r2r313-12

021-1

0-84-6

016-27

r4-8r2r3+4r2１３-１2

021-1

008-10

00-1015r4+54r313-12

021-1

008-10

00052=40.

【例10.6】計算行列式

D4=4111

14111

1141

1114.

解這個行列式的特點是各列4個數之和都是7，可把第2，3，4行同時加到第1行，提出公因子7，然後各行減去第一行.

D4r1+r2+r3+r47777

1411

1141

1114=71111

1411

1141

1114r3-r1r2-r1r4-r1７１１１１

0300

0030

0003=189.

【例10.7】解方程xbb…bb

bxb…bb

bbx…bb

………………

bbb…xb

bbb…bx=0.

解這是一個用n階行列式表示的方程，在這個方程中，未知量x的最高次是n，所以方程有n個根．解這類方程的基本思路是先用行列式的性質將其化簡，寫出未知量x的多項式，然後再求出它的根．這個方程左端是一個n階字母行列式設為Dn，計算時需要一些技巧．先化簡行列式．

Dnc1+∑ni=2cix+(n-1)bb…bb

x+(n-1)bx…bb

x+(n-1)bb…bb

……………

x+(n-1)bb…xb

x+(n-1)bb…bx提取公因子[x+(n-1)b]1bb…b

1xb…b

1bx…b

……………

1bb…x

r3-r1r2-r1rn-r1[x+(n-1)]１bb…b

0a-b0…0

00a-b…0

……………

000…a-b=[x+(n-1)b](x-b)n-1.

於是原方程式為

[x+（n－1）b]（x－b）n-1=0,

解得

x1=（1－n）b，x2=x3=…=xn=b．

微課

四、克萊姆法則

含有n個未知數x1,x2,…，xn的n個線性方程的方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,

……

an1x1+an2x2+…+annxn=bn（10.10）

與二、三元線性方程組相類似，它的解可以用n階行列式表示，即有

定理10.2（克萊姆法則）若n元線性方程組（10.10）的係數行列式不等於零,即

D=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann≠0,

則它有唯一的解

x1=D1D,x2=D2D,…,xn=DnD.（10.11）

其中Dj(j=1,2,…,n)是將D中的第j列換成方程組（10.10）右端的常數項所得到的n階行列式.

定理證明從略.

【例10.8】解線性方程組

x1-x2+x3-2x4=2,

2x1-x3+4x4=4,

3x1+2x2+x3=-1,

-x1+2x2-x3+2x4=-4.

解利用克萊姆法則

D=1-11-2

20-14

3210

-12-12r1+r40100

20-14

3210

-12-12=-2-14

310

-1-12

r1-2r3-410

310

-1-12=-241

31=-2≠0.

所以方程組有唯一解．又計算得

D1=2-11-2

40-14

-1210

-４2-12=-2，D2=121-2

24-14

3-110

-1-4-12=4,

D3=1-12-2

2044

32-10

-12-42=0,D4=1-112

20-14

321-1

-12-1-4=-1.

於是方程組的解為

x1=D1D=1,x2=D2D=-2,x3=D3D=0,x4=D4D=12.

【例10.9】一個土建師，一個電氣師和一個機械師，組成一個技術服務隊.假設在一段時間內，每人收入1元人民幣需要其他兩人的服務費用和實際收入如表10.1所示，問這段時間內，每人的總收入分別是多少？（總收入=支付服務費+實際上收入）

表10.1

被服務者

服務者土建師電氣師機械師實際收入

土建師00.20.3500

電氣師0.100.4700

機械師0.30.40600

解設土建師、電氣師、機械師的總收入分別是x1，x2，x3；根據題意和表10．１，列出下列方程組：

0.2x2+0.3x3+500=x1,

0.1x1+0.4x3+700=x2,

0.3x1+0.4x2+600=x3,

即

x1-0.2x2-0.3x3=500,

-0.1x1+x2-0.4x3=700,

-0.3x1-0.4x2+x3=600.

利用克萊姆法則求得方程組的解，就能求出土建師、電氣師、機械師的總收入．因為

D=1-0.2-0.3

-0.11-0.4

-0.3-0.41=0.694,D1=500-0.2-0.3

7001-0.4

600-0.41=872,

D2=1500-0.3

-0.1700-0.4

-0.36001=1005，D3=1-0.2500

-0.11700

-0.3-0.4600=1080，

所以

x1=D1D≈1256.48,x2=D2D≈1448.13,x3=D3D≈１556.20.

注意：應用克萊姆法則解n元線性方程組時必須滿足兩個條件：

（1）　方程個數與未知數個數相等；

（2）　係數行列式不等於零．

當一個方程組滿足以上兩個條件時，該方程組的解是唯一的，其解可用式（10.11）表示．但我們應注意到，用克萊姆法則解n元線性方程組，需要計算n+1個n階行列式，當n較大時計算量是很大的，所以在一般情況下我們不輕易采用克萊姆法則解線性方程組．但克萊姆法則的作用確是很重要的.首先，克萊姆法則在理論上是相當重要的，因為它告訴我們當由n個n元線性方程組成的方程組的係數行列式不等於零時，方程組有唯一解，這說明隻要考察方程組的係數就能分析出解的情況；其次，克萊姆法則給出當方程組有唯一解時的求解公式，通過此公式充分體現出線性方程組的解與它的係數、常數項之間的依賴關係．

克萊姆法則的逆否命題為：

定理10.2′如果線性方程組（10.10）無解或有兩個不同的解，則它的係數行列式必為零．

線性方程組（10.10）中,當常數項b1,b2,…,bn不全都為零時，線性方程組（10.10）叫作非齊次線性方程組，當常數項b1,b2,…,bn全為零時,線性方程組（10.10）叫作齊次線性方程組．

對於齊次線性方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0,

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0,

……

an1x1+an2x2+…+annxn=0,（10.12）

x1=x2=…=xn=0一定是它的解，這個解叫作齊次線性方程組（10.12）的零解.如果一組不全為零的數是方程組（10.12）的解，則它叫作齊次線性方程組（10.12）的非零解．齊次線性方程組（10.12）一定有零解.　但不一定有非零解.

把定理10.2應用於齊次線性方程組（10.12），可得

定理10.3齊次線性方程組（10.12）有非零解的充分必要條件是：方程組的係數行列式D=0.

推論若齊次線性方程組（10.12）係數行列式D≠0，則方程組（10.12）隻有零解.

【例10.10】判定齊次線性方程組

2x1+x2-5x3+x4=0

x1-3x2-6x4=0

2x2-x3=0

x1+4x2-7x3+6x4=0

是否有非零解?

解由於係數行列式

21-51

1-30-6

02-10

14-76=2(-1)3+22-51

10-6

1-76-(-1)3+3211

1-3-6

146

=-2×31-7=-69≠0,

所以該齊次線性方程組隻有零解，沒有非零解.

【例10.11】問k為何值時，方程組

3x-y=kx,

-x+3y=ky

有非零解？

解將方程組整理得

(3-k)x-y=0,

-x+(3-k)y=0.

根據定理10.3，當且僅當係數行列式等於零時，齊次線性方程組有非零解，即

3-k-1

-13-k=0，

（3－k）2－1=0.

故當k=2和k=4時方程組有非零解.

習題10.1

1．　利用對角線法則計算下列行列式．

（1）　１３

１４；（2）　ab

a2b2；

（3）　123

312

231；（4）　0a0

b0c

0d0.

2．　利用行列式的性質計算下列行列式.

（1）　10-1

350

041;（2）　1234

2341

3412

4123;

（3）　a100

-1b10

0-1c1

00-1d;（4）　ab…b

ba…b



bb…a(n階).

3.　當x為何值時，31x

4x0

10x≠0.

4.　解方程311

x10

x231=0．

5.　證明:

(1)　a2abb2

2aa+b2b

111=(a-b)3;

(2)　a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2

b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2

c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2

d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2=0.

6．　求行列式-304

503

2-21中元素2和-2的代數餘子式．

7．　求四階行列式D=1040

2-1-12

0-600

24-12的第四行各元素的代數餘子式之和，即求A41+A42+A43+A44之值，其中A4j(j=1,2,3,4)為D的第4行第j列元素的代數餘子式.

8.　用克萊姆法則解下列方程組.

(1)　x1+x2-2x3=-3,

5x1-2x2+7x3=22,

2x1-5x2+4x3=4;

(2)　x1+x2+x3+x4=5,

x1+2x2-x3+4x4=-2,

2x1-3x2-x3-5x4=-2,

3x1+x2+2x3+11x4=0.

9.　問λ，μ取何值時，齊次線性方程組λx1+x2+x3=0,

x1+μx2+x3=0,

x1+2μx2+x3=0有非零解？

10.　問k取何值時，齊次線性方程組kx1+x2-x3=0,

x1+kx2-x3=0,

2x1-x2+x3=0僅有零解?

第二節矩陣

學習目標

1.　理解矩陣的概念，掌握用矩陣表示實際量的方法．

2．　熟練掌握矩陣的線性運算、乘法運算、轉置及運算規律．

3．　了解零矩陣、單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、上(下)三角矩陣、對稱矩陣的定義．

4．　掌握方陣行列式的概念及運算．

5.　熟練掌握矩陣的初等變換，理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質，掌握矩陣可逆的充分必要條件．

6．　熟練掌握求逆矩陣的初等行變換法，會用伴隨矩陣法求逆矩陣，會解簡單的矩陣方程．

7．　理解矩陣秩的概念，掌握矩陣秩的求法．

矩陣是研究線性方程組、二次型不可缺少的工具，是線性代數的基礎內容，在工程技術各領域中有著廣泛的應用.它不僅在經濟模型中有著很實際的應用，而且目前國際認可的最優化的科技應用軟件——MATLAB就是以矩陣作為基本的數據結構，從矩陣的數據分析、處理發展起來的被廣泛應用的軟件包．本節將介紹矩陣的概念及其運算，矩陣的初等變換,　可逆矩陣及求法，矩陣的秩等內容.

微課

一、矩陣的概念

案例10.1(物資調運方案)在物資調運中，某物資（如煤）有兩個產地（分別用1，2表示），三個銷售地（分別用1，2，3表示）　，調運方案見表10.2．

表10.2

銷售地

數量

產地１２３

１１７２５2０

２２６３２２３

解這個調運方案可以簡寫成一個2行3列的數表

172520

263223

其中第i(i=1,2)行第j(j=1,2,3)列的數表示從第i個產地運往第j個銷售地的運量．

案例10.2(產值表)某企業生產5種產品（分別用A，B,C,D,E表示），各種產品的季度產值（單位：萬元）見表10.3.

表10.3

產品

季度ABCDE

一7858757864

二9070858476

三9575909080

四8970828076

四個季度五種產品的產值可排成一個4行5列的產值數表

7858757864

9070858476

9575909080

8970828076.

它具體描述了這家企業各種產品在各季度的產值，同時也揭示了產值隨季節變化規律的季增長及年產量等情況．

定義10.4由m×n個數排成的m行n列的表

a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

am1am2…amn

稱為m行n列矩陣,簡稱m×n矩陣．這m×n個數aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)叫作矩陣的元素．當元素都是實數時稱為實矩陣，當元素為複數時稱為複矩陣.本書一般都指實矩陣.

一般地，矩陣通常用大寫字母A，B，C，…來表示，以aij為元素的矩陣可簡記為A=(aij)，有時強調矩陣的階數，也可寫成A=(aij)m×n.

在矩陣A=(aij)m×n中，當m=n時，A稱為n階方陣.

隻有一行的矩陣

A=(a1a2…an)

叫作行矩陣，也稱為行向量；隻有一列的矩陣

B=b1



叫作列矩陣，也稱為列向量.

元素都是零的矩陣稱作零矩陣，記作O.有時零矩陣也用數零0表示,根據上下文是不難分辨的.

兩個矩陣的行數相等、列數也相等時，就稱它們是同型矩陣.如果兩個矩陣是同型矩陣並且它們的對應元素相等，那麼就稱這兩個矩陣相等.

【例10.12】變量y1,y2,…,ym用另一些變量x1,x2,…,xn線性表示為

y1=a11x1+a12x2+…+a1nxn,

y2=a21x1+a22x2+…+a2nxn,

……

ym=am1x1+am2x2+…+amnxn,（10.13）

其中aij為常數(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)．這種從變量x1,x2,…,xn到變量y1,y2,…,ym的變換稱為線性變換．線性變換（10.13）中的係數是一個m×n矩陣

a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

am1am2…amn,

稱為線性變換的係數矩陣.

我們還會經常遇到一些特殊的矩陣.

【例10.13】線性變換

y1=λ1x1,

y2=λ2x2,

……

yn=λnxn

中變量x1,x2,…,xn的係數對應一個n階方陣

λ10…0

0λ2…0

…………

00…λn

稱為對角矩陣，記作diag（λ1，λ2，…，λn）.在對角矩陣中，當

λ1=λ2=…=λn=λ

時，有

λ0…0

0λ…0

…………

00…λ,

稱為標量矩陣．在標量矩陣中，當λ=1時有

E=10…0

01…0

…………

00…1,

稱為n階單位矩陣.

【例10.14】由線性方程組

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,

a22x2+…+a2nxn=b2,

……

annxn=bn

的係數組成一個矩陣

A=a11a12…a1n

0a22…a2n

…………

00…ann，

稱為上三角矩陣.類似地，

A=a110…0

a21a22…0

…………

an1an2…ann

稱為下三角矩陣.

二、矩陣的運算

矩陣的運算在矩陣的理論中起著重要的作用.矩陣雖然不是數，但用來處理實際問題時往往要進行矩陣的代數運算.

1.　矩陣的加法與減法

案例10.3某工廠生產甲、乙、丙三種產品，各種產品每天所需的各類成本（單位：元）如表10.4和表10.5所示.

表10.42005年3月4日

產品

名目甲乙丙

原材料10249891003

勞動力596477610

管理費322938

表10.52005年3月5日

產品

名目甲乙丙

原材料112410891093

勞動力616577610

管理費343236

三種產品每天所需的各類成本也可用矩陣表示為

Ａ＝１０２４９８９１００３

５９６４７７６１０

３２２９３８，

B=１１２４１０８9１０９３

６１６５７７６１０

３４３２３６．

這樣甲、乙、丙三種產品4日、5日兩天所用各類成本的和可以表示成矩陣

Ｃ＝１０２４＋１１２４９８９＋１０８９１００３＋１０９３

596+616477+577610+610

32+3429+3238+36,

我們把矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的和.

定義10.5設有兩個m×n矩陣A＝(aij)，B=(bij)，則矩陣A與矩陣B的和規定為

A+B=a11+b11a12+b12…a1n+b1n

a21+b21a22+b22…a2n+b2n

…………

am1+bm1am2+bm2…amn+bmn,

即兩個矩陣相加等於把這兩個矩陣的對應元素相加.

注意：並非任何兩個矩陣都可以相加，隻有當兩個矩陣是同型矩陣時才能相加.

我們稱矩陣

-a11-a12…-a1n

-a21-a22…-a2n

…………

-am1-am2…-amn

為A=(aij)m×n的負矩陣，記作-A.

按照矩陣的加法定義可得出矩陣的減法如下：

A-B=A+(-B)=a11-b11a12-b12…a1n-b1n

a21-b21a22-b22…a2n-b2n

…………

am1-bm1am2-bm2…amn-bmn.

矩陣的加法滿足下列運算律（設A，B，C都是m×n矩陣）：

（1）　A+B=B+A;

（2）　(A+B)+C=A+(B+C);

（3）　A+O=A.

【例10.15】設兩矩陣A=2-31

14-2,B=-215

023,求A+B.

解A+B=2-2-3+11+5

1+04+2-2+3=0-26

161.

2.　數與矩陣的乘法

在案例10.3的問題中，由於進行了技術革新，甲、乙、丙三種產品在4月4日的各類成本都降為3月4日成本的80%，這時4月4日的各類成本可用矩陣表示為

0.8×10240.8×9890.8×1003

0.8×5960.8×4770.8×610

0.8×320.8×290.8×38，

這個矩陣就稱為數0.8與矩陣A的乘積，記為0.8A.

定義10.6設矩陣A=(aij)m×n，λ是一個數，則數λ與矩陣A的乘積規定為

λA=Aλ=λa11λa12…λa1n

λa21λa22…λa2n

…………

λam1λam2…λamn，

即一個數與矩陣相乘等於用這個數去乘矩陣的每一個元素.

數與矩陣的乘法滿足下列運算律（設A，B為m×n矩陣，λ，μ為數）：

（1）　（λμ）A=λ（μA）;

（2）　(λ+μ)A=λA+μA;

（3）　λ(A+B)=λA+λB.

【例10.16】設A=3-12

041，B=302

-3-40，求3A-2B.

解3A-2B=33-12

041-2302

-3-40

=9-36

0123-604

-6-80

=3-32

6203.

3.　矩陣的乘法

案例10.4設某工廠由1車間、2車間、3車間生產甲、乙兩種產品，用矩陣A表示該廠三個車間一天內生產甲產品和乙產品的產量(kg)，矩陣Ｂ表示甲產品和乙產品的單價（元）和單位利潤（元）．

甲乙

A=110200

140190

120210１車間

２車間

３車間Ｂ＝５０１５

４５１０單價利潤甲產品

乙產品

那麼該廠三個車間一天各自的總產值（元）和總利潤（元）可用矩陣C表示為

總產值總利潤

Ｃ=110×50+200×45110×１５+200×10

140×50+１９０×45140×１５+１９０×１０

１２０×５０+２１０×４５１２０×１５+２１０×１０１車間

２車間

３車間

這時我們把矩陣Ｃ稱為矩陣A與矩陣B的乘積，可記為C=AB.

定義10.7設兩個矩陣A=（aij）m×s，B=(bij)s×n，則矩陣A與矩陣B的乘積記為C=AB，規定C=(cij)m×n，其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=∑sk=1aikbkj(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)．

注意：隻有當左矩陣A的列數與右矩陣B的行數相同時，A與B才能作乘積，並且乘積矩陣的行數與A的行數相等，乘積矩陣的列數與B的列數相等.

利用矩陣的乘法，例10.12中的線性變換可寫成



ym=

a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1am2…amnx1



xn.

若令

Y=y1



ym，A=

a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

am1am2…amn，X=x1



xn,

則此線性變換可寫成矩陣形式

Y=AX.

【例10.17】設A=11

-1-1，B=1-1

-11，C=-11

1-1，求AB，BA與AC.

解

AB=11

-1-11-1

-11=00

00，

BA=1-1

-1111

-1-1=22

-2-2,

AC=11

-1-1-11

1-1=00

00.

從上麵的例題中，我們可以得出下麵的結論：

（1）　矩陣的乘法不滿足交換律,即一般地說，AB≠BA.對於兩個n階方陣A,B.若AB=BA，則稱方陣A與B是可交換的.對任一方陣A,有EA=AE.

（2）　兩個非零矩陣的乘積可能等於零矩陣，即A≠0,B≠0而AB=0．因此一般說來,AB=0不能推出A=0或B=0.

（3）　矩陣乘法中消去律不成立，即AB=AC，且A≠0，不一定有B=C．

矩陣的乘法滿足下列運算律（假設運算都是成立的）：

(1)　結合律：(AB)C=A(BC);λ(AB)=(λA)B=A(λB)．（λ是數）

（2）　分配律：(A+B)C=AC+BC；C(A+B)=CA+CB.

作為矩陣乘法運算的一個特例,下麵給出矩陣的冪運算.

定義10.8設A是一個n階方陣，規定

A0=E,Ak=AA…Ak個A（k是正整數）,

稱Ak為A的k次方冪．顯然隻有方陣，它的冪才有意義.

由於矩陣的乘法適合結合律，所以方陣的冪滿足下列運算律：

Ak·Al=Ak+l；(Ak)l=Akl，

其中k，l為正整數．又因為矩陣乘法一般不滿足交換律，所以對兩個n階方陣A與B，一般說來(AB)k≠AkBk．隻有當A與B可交換時，才有（AB）k=AkBk.類似可知，例如（A+B）2=A2+2AB+B2、（A-B）（A+B）=A2-B2等公式，也隻有當A與B可交換時才成立.

【例10.18】設A=1a

01n,n為正整數,求An.

解設B=0a

00,E=10

01,有A=E+B,而B2=0,EB=BE,所以有

An=(E+B)n=En+C1nEn-1B+C2nEn-2B2+…+Bn

=E+nEB=E+nB

=10

01+0na

00=1na

01.

4.　矩陣的轉置

定義10.9設

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

am1am2…amn,

則矩陣

a11a21…am1

a12a22…am2

…………

a1na2n…amn

稱為A的轉置矩陣,記作AT或A′．

轉置矩陣就是把A的行換成同序號的列得到的一個新矩陣．例如，矩陣

A=123

310

的轉置矩陣為

AT=13

矩陣的轉置滿足下列運算律（假設運算都是可行的）：

（１）　（AT）T=A；

（２）　（A+B）T=AT+BT；

（３）　（λA）T=λAT（λ是數）;

（４）　（AB）T=BTAT.

【例10.19】已知A=201

1-3-2，B=1024

2-310

-103-2,求(AB)T.

解法1：AB=201

1-3-21024

2-310

-103-2=1076

-39-78,

(AB)T=1-3

7-7

68.

法2：

(AB)T=BTAT=12-1

0-30

213

40-221

0-3

1-2=1-3

7-7

68.

【例10.20】設BT=B,證明(ABAT)T=ABAT.

證因為BT=B，所以

(ABAT)T=[（AB）AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT．

5.　方陣的行列式

定義10.10由n階方陣A所有元素構成的行列式（各元素的位置不變），稱為n階方陣A的行列式，記作|A|或detA．

應該注意，方陣與行列式是兩個不同的概念，n階方陣是n2個數按一定方式排列的數表，而n階行列式是這些數（數表）按一定的運算法則所確定的一個數．

n階方陣行列式的運算滿足下列運算律（設A，B為n階方陣，λ為數）：

（1）　｜AT｜=｜A｜;

（2）　｜λA｜=λn｜A｜;

（3）　｜AB｜=｜A｜｜B｜.

對於（3）可以推廣為：設A1,A2,…,AS都是n階方陣，則有

｜Ａ1A2…AS｜=｜A1｜｜A2｜…｜AS｜．

【例10.21】設A=13

2-1，B=25

04,求｜AB｜．

解｜ＡＢ｜＝｜Ａ｜｜Ｂ｜＝１３

２－１·２５

０４＝（－７）×８＝－５６．

微課

三、逆矩陣

定義10.11設A為n階方陣，若存在n階方陣B，使

AB=BA=E，

則稱A是可逆矩陣．並稱B為A的逆矩陣，記為A-1，即B=A-1．

如果矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的．事實上，設B1，B2都是A的可逆矩陣，則有

AB1=B1A=E,AB2=B2A=E.

於是

B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2，

所以A的逆矩陣是唯一的.

為了計算逆矩陣，我們給出伴隨矩陣的定義及如下的定理．

定義10.12設n階方陣

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

…………

an1an2…ann,

令Aij為｜A｜中元素aij的代數餘子式（i,j=1,2,…,n），則稱方陣

A*=A11A21…An1

A12A22…An2

…………

A1nA2n…Ann

為A的伴隨矩陣．

定理10.4方陣A可逆的充分必要條件是｜A｜≠0，並且A-1=A*｜A｜.

定理證明從略．

由定義10.11可直接證明可逆矩陣具有下列性質：

性質10.6若A可逆，則A-1亦可逆，且(A-1)-1=A；

性質10.7若A可逆，數λ≠0，則(λA)-1=1λA-1；

性質10.8若A，B為同階可逆矩陣，則AB亦可逆，且(AB)-1=B-1A-1；

性質10.9若A可逆，則(AT)-1=(A-1)T.

由定理10.4知A-1=A*｜A｜，我們可利用矩陣的伴隨矩陣來求其逆矩陣.

【例10.22】求方陣A=123

221

343的逆陣．

解因為

｜A｜=123

221

343=2≠0，

所以A-1存在，又

A11=21

43=2,A12=-21

33=-3,A13=22

34=2,

A21=-23

43=6,A22=13

33=-6,A23=-12

34=2,

A31=23

21=-4,A32=-13

21=5,A33=12

22=-2,

於是

A*=26-4

-3-65

22-2.

所以

A-1=1｜A｜A*=13-2

-32-352

11-1．

【例10.23】設A=233

1-10

-121，B=21

53,C=13

31，求矩陣X，使滿足AXB=C．

解若A-1，B-1存在，則用A-1左乘上式，B-1右乘上式，有

A-1AXBB-1=A-1CB-1，

即

X=A-1CB-1.

而｜A｜=-2≠0，可知A-1存在，又計算得

A11=-1,A12=-1,A13=1,

A21=3,A22=5,A23=-7,

A31=3,A32=3,A33=-5,

A*=-133

-153

1-7-5,

A-1=1｜A｜A*=1\/2-3\/2-3\/2

1\/2-5\/2-3\/2

-1\/27\/25\/2．

｜B｜=1≠0，知B-1存在，又

B11=3，B12=-5，

B21=-1，B22=2，

B*=3-1

-52，