log2xlog2(x)
log10xlog10(x)
絕對值函數|x|abs(x)
5. 命令行基礎
MATLAB的命令窗口是其最基礎、最經典的基本表現形式和操作方式，命令窗口可以看作是一個草稿本或者計算器，在命令行中輸入命令和數據後按回車鍵，就能立刻執行命令並得到運算結果.默認情況下，MATLAB每次執行完一句命令都會得到相應的結果，如果不需要某一行命令的結果，在這行命令後加上分號則結果不會顯示；如果需要顯示該行的結果，則在該行命令後不加分號就能顯示運行結果.
（1） 命令行的編輯
表1.14常用操作鍵
鍵盤操作及快捷鍵功能
↑
Ctrl+p
調用前一個命令
↓
Ctrl+n
調用後一個命令
←
Ctrl+b
光標左移一個字符
→
Ctrl+f
光標右移一個字符
home
Ctrl+a
光標移至行首
end
Ctrl+e
光標移至行尾
esc
Ctrl+u
清除當前行
（2） M文件編輯器
對於很多較為簡單的問題，可以通過命令行來直接進行快捷的求解.但隨著學習的深入可能會碰到許多更複雜的問題，需要計算機逐條解決很多的命令.過程中若代碼存在錯誤運行，報錯後無法在原代碼上修改，則需要重新編輯代碼再次運行.而MATLAB自帶的M文件編輯器能完美的解決這個問題，因此當命令較多且雜的時候，一般會采用M文件編輯器.
MATLAB自帶M文件編輯器，在主頁選項卡下麵有個新建腳本按鈕，點擊後就可以編輯一個新的腳本文件.在腳本文件中，可以對代碼進行編輯修改，即使出錯也隻需要對局部報錯的代碼進行修改而不需要像在命令行中那樣從頭再來.因此，可以利用編輯器的一組命令通過改變參數來解決不同的問題.腳本文件的命令格式與命令行相同，它通過點擊“運行”按鈕來執行代碼.
圖1.29
通過點擊New Script就可以很方便的建立一個如圖1.29所示的新的腳本文件.
此外，M文件編輯器還包括M函數文件，相比於腳本文件它更複雜一些.一個函數文件可以包含一個或多個函數，其中每個函數以必不可少的函數聲明行開頭實現一個獨立的子任務，並通過函數間的相互調用完成複雜的功能.
(3) 簡單的運算
【例1.40】求[10+4×(7-3)]÷42.
解用鍵盤在命令窗口輸入以下內容
（10+4*(7-3))\/4^2
按“回車”鍵，該指令就被執行；命令窗口顯示所得結果.
ans=
1.6250
（4） MATLAB表達式的輸入
MATLAB中表達式的輸入有兩種常見的形式：① 表達式；② 變量=表達式.
【例1.41】求[12+2×(7-4)]÷32.
解輸入:
y=(12+2*（７-4))\/3^2
按“回車”鍵，顯示結果為：
y=
2
(5) 指令的續行輸入
若一個表達式在一行寫不下，可換行，但必須在行尾加上四個英文句號.
【例1.42】求s=1-12+13-14+15-16+17-18.
解輸入：
s=1-1\/2+1\/3-1\/4+1\/5-1\/6+…
1\/7-1\/8
按“回車”鍵，顯示結果為：
s=
0.6345
二、函數運算實驗
1. 實驗目的
(1) 會利用MATLAB求函數極限.
(2) 會利用MATLAB作函數圖形.
（3） 會利用MATLAB求解方程.
2. 實驗指導
（1） 符號運算格式
symsxy(生成符號變量x,y)
關係式
命令
(2) 極限命令
表1.15
MATLAB求極限命令數學運算解釋
limit(F,x,a)limx→aF
limit(F,x,a,right)limx→a+Ｆ
limit(F,x,a,left)limx→a-Ｆ
(3) 繪圖命令
繪圖命令“fplot”專門用於繪製一元函數曲線，格式如下：
fplot(fun，[a,b])
功能：繪製區間[a,b]上函數y=fun的圖形.
(4) 解方程命令
解一元方程
slove(eq, var) % eq代表待解的方程，var代表方程的變量
解多元方程
solve(eq1, eq2,… ,eqn，va1r, var2, …,varn)%解n個方程eq1,eq2, …,eq,其中含有n個變量var1,var2, …,varn.
【例１.43】求函數的極限.
(1) limx→∞2x-12x+1x+52；(2) limx→0arctanxx；(3) limx→01-cosxx2.
解（1） 輸入：
syms x
limit(((2*x-1)\/(2*x+1)）^(x+5\/2),x,inf)
按“回車”鍵，顯示結果為：
ans=
exp(-1)
所以limx→∞2x-12x+1x+52=e-1.
(2) 輸入：
clear
syms x
limit(atan(x)\/x,x,0)
按“回車”鍵，顯示結果為：
ans=
1
所以limx→0arctanxx=1.
(3) 輸入：
clear
syms x
limit((1-cos(x))\/x^2,x,0)
按“回車”鍵，顯示結果為：
ans=
1\/2
所以limx→01-cosxx2=12.
【例1.44】求limx→0+1xtanx.
解輸入：
clear
syms x
limit((1\/x)^tan(x),x,0,right)
按“回車”鍵，顯示結果為：
ans=
1
所以limx→0+1xtanx=1.
【例1.45】用圓內接正多邊形的周長逼近圓的周長．
解設圓內接正n邊形邊長為a，圓的半徑為R，則每邊所對圓心角α=2πn，邊長a=2Rsinα2=2Rsinπn,圓內接正n邊形周長Sn=na=2nRsinπn.可見，當n→∞時，Sn→圓的周長.
在MATLAB命令窗口中輸入：
clear
syms R n
limit(2*n*R*sin(pi\/n),n,inf)
顯示結果為：
ans=
2*pi*R
即半徑為R的圓的周長為2πR.
【例1.46】繪出函數(1) y=x+sinx;(2) y=x2e-x2圖形，說明其奇偶性，並根據圖形判斷這些函數在[-2,2]上是否連續.
解(1) 輸入：
fplot(x+sin(x),[-5,5])
按“回車”鍵，出現如圖1.30所示窗口.
圖1.30
(2) 輸入：
fplot(x^2*exp(-x^2),[-6,6])
按“回車”鍵，出現如圖1.31所示窗口.
圖1.31
從以上兩圖形可知，y=x+sinx是奇函數，y=x2e-x2是偶函數，且在區間[-2,2]上都是連續的.
【例１．47】判斷函數y=2x2-3在點x=1處的連續性.
解方法一，作圖法判斷.輸入:
fplot(2*x^2-3,[0,2])
按“回車”鍵，出現如圖1.32所示窗口.
圖1.32
觀察圖1.32可知，函數在點x=1處是連續的.
方法二，定義法.輸入：
limit(2*x^2-3,x,1)
ans=
-1
2*1^2-3
顯示結果為：
ans=
-1
通過計算可知，limx→1(2x2-3)=-1=f(1)，所以函數在點x=1是連續的.
【例1.48】解一元方程x2+5x-14=0.
解
syms x
eq=x^2+5*x-14;
solve(eq,x)
按“回車鍵”，顯示結果為：
ans=
-7
2
即方程x2+5x-14=0的兩個解為-7和2.
【例1.49】解方程組2x+3y=23
3x+7y=52.
解
syms x y
eq1=2*x+3*y-23;
eq2=3*x+7*y-52;
s=solve(eq1,eq2,x,y)
按“回車鍵”，顯示結果為：
s=
struct with fields:
x: [1×1 sym]
y: [1×1 sym]%代表x,y各有一解
%解多元函數方程組的答案都存儲在s中，可以用s.x和s.y調出方程的具體解
繼續在MATLAB中輸入：
s.x
ans=
1
s.y
ans=
7
即原方程組的解為x=1,y=7.
習題1.4
1. 利用MATLAB計算下列各極限：
（1） limx→2x2-4x-1-1；(2) limx→0xln(2+x)；
(3) limx→1sin(1-x)1-x2;(4) limx→π2(1+cosx)5secx；
(5) limx→∞x+3x-1x+2;(6) limx→∞x1+xx.
2. 討論函數f(x)=x2-1,0≤x≤1,
x+3,x＞1在點x=1處的連續性，並利用MATLAB進行驗證.
3. 利用MATLAB畫出函數y=sinx2+cosx的圖像，並根據圖像判斷其奇偶性.
4. 求函數y=tan2x-sinx的周期性，並利用MATLAB進行驗證.
5. 利用MATLAB求解方程x2+x-12=0.
6. 利用MATLAB解方程組x+8y=24
4x-9y=21.
本章小結
1. 基本概念
集合、函數、基本初等函數、初等函數、分段函數.
數列的極限、函數的極限、函數的左（右）極限、無窮小、無窮大.
函數的連續性、函數的間斷點、閉區間上連續函數的性質.
2. 基本知識
（1） 集合
集合的概念及運算
（2） 函數
① 基本初等函數
冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數
② 初等函數
由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數複合步驟所構成並可用一個式子表示的函數.
（3） 函數的極限
① 雙邊極限與單邊極限的關係
limx→∞f(x)=A limx→+∞f(x)=limx→-∞f(x)=A；
limx→x0f(x)=A limx→x+0f(x)=limx→x-0f(x)=A.
② 無窮小和無窮大
無窮小的代數性質和無窮小的比較.
③ 極限的四則運算
設limf(x)=A，limg(x)=B，那麼
Ⅰ. lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B；
Ⅱ. limf(x)·g(x)=limf(x)·limg(x)=A·B；
Ⅲ. limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB(B≠0).
④ 複合函數的極限法則
若函數y=f(u)與u=φ(x)滿足如下兩個條件：
Ⅰ. limu→af(u)=A；
Ⅱ. 當x≠x0時，φ(x)≠a，且limx→x0φ(x)=a.
則limx→x0f[φ(x)]=limu→af(u)=A.
⑤ 兩個重要極限
Ⅰ. limx→0sinxx=1；
Ⅱ. limx→∞1+1xx=e或limx→0(1+x)1x=e.
（4） 函數的連續性
理解函數在一點連續的定義，它包括三部分內容：
① 函數f(x)在x0有定義；
② limx→x0f(x)存在；
③ limx→x0f(x)=f(x0).
（5） 函數間斷點的分類
第一類間斷點可去間斷點
跳躍間斷點左右極限都存在；
第二類間斷點無窮間斷點
振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在.
（6） 閉區間上連續函數的性質
第二章一元函數微分學及應用
第二章一元函數微分學及應用
第一節導數的概念
學習目標
1. 理解導數的概念.
微課
2. 理解導數的幾何意義.
3. 了解函數的可導性與連續性的關係.
一、導數的概念
案例2.1（自由落體運動的瞬時速度問題）如圖2.1，自由落體運動的路程函數s=12gt2，求t0時刻物體的瞬時速度.
圖2.1
取一鄰近於t0的時刻t，運動時間Δt=t-t0，
平均速度v=ΔsΔt=s-s0t-t0=g2(t+t0).
當t→t0時，取極限值,則
瞬時速度v=limt→t0s-s0t-t0=limt→t0g(t+t0)2=gt0.
案例2.2（切線問題）如圖2.2，如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.極限位置即
圖2.2
|MN|→0，∠NMT=φ-α→0.
設M(x0，y0)，N(x，y).割線MN的斜率為
tanφ=y-y0x-x0=f(x)-f(x0)x-x0.
當N沿曲線CM(x→x0)時，切線MT的斜率為
k=tanα=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.
以上兩例雖然涉及的研究領域不同，一個是物理上的瞬時速度問題，一個是幾何上的切線斜率問題，但是都出現了同一形式的極限的計算，即limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.此極限是函數的增量Δy與自變量的增量Δx之比ΔyΔx，當自變量增量Δx趨向於零時的極限，稱之為函數的導數.
定義2.1設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在點x0處取得增量Δx時，函數取得相應的增量Δy，如果當Δx→0時，ΔyΔx的極限存在，即
limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx
存在，則稱此極限值為函數f(x)在點x0處的導數（或微商），記作：
f′(x0)， y′x=x0，dydxx=x0， ddxf(x)x=x0
常用的導數形式還有：f′(x0)=limh→0f(x0+h)-f(x0)h（令Δx=h）；
f′(x0)=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0（令x=x0+Δx）等.
在實際問題中，常將導數稱為變化率.它反映了函數y隨自變量x的變化而變化的快慢程度.特別要注意的是f′(x0)=f′(x)x=x0，而[f(x0)]′是常數f(x0)的導數.
根據極限與左右極限之間的關係，f(x)在點x0處可導的充分必要條件是：
limΔx→0-f(x0+Δx)-f(x0)Δx與limΔx→0+f(x0+Δx)-f(x0)Δx都存在並且相等，這兩個極限分別稱為f(x)在點x0處的左導數和右導數，記作f′-(x0)及f′+(x0)，即
f′-(x0)=limΔx→0-f(x0+Δx)-f(x0)Δx， f′+(x0)=limΔx→0+f(x0+Δx)-f(x0)Δx.
由定義求導數的步驟：
（1） 求增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；
（2） 算比值 ΔyΔx=f(x0+Δx)-f(x0)Δx；
（3） 求極限y′=limΔx→0ΔyΔx.
圖2.3
【例2.1】討論函數f(x)=|x|在x=0處的可導性.
解如圖2.3，由於f(0+h)-f(0)h=|h|h，則
f′+(0)=limh→0+f(0+h)-f(0)h=limh→0+hh=1，
f′-(0)=limh→0-f(0+h)-f(0)h=limh→0--hh=-1.
即f′+(0)≠f′-(0)，故函數y=f(x)在x=0點不可導.
【例2.2】設y=f(x)=2x-1，x＞1,
x2，x≤1，求f′(1).
解f′+(1)=limΔx→0+f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0+[2(1+Δx)-1]-1Δx=limΔx→0+2ΔxΔx=2；
f′-(1)=limΔx→0-f(1+Δx)-f(1)Δx=limΔx→0-(1+Δx)2-1Δx=limΔx→0-(Δx)2+2ΔxΔx=2.
因為左、右導數存在並且相等，所以f′(1)=2.
如果函數y=f(x)在開區間(a，b)內每一點都可導，則稱函數y=f(x)在開區間(a，b)內可導；如果函數y=f(x)在開區間(a，b)內可導，且f′+(a)與f′-(b)都存在，則稱函數 y=f(x)在閉區間[a，b]上可導.
如果函數y=f(x)在區間I內可導，即在區間I內每一點x都有一個導數值f′(x)與它對應，則f′(x)是區間I上的一個函數，稱之為y=f(x)在區間I上的導函數，簡稱為導數，記作：
f′(x)， y′， dydx， ddxf(x).
【例2.3】求f(x)=ax+c的導函數(其中a,c為常數）.
解x∈(-∞，+∞)，函數的增量為：
Δy=f(x+Δx)-f(x)=(ax+aΔx+c)-(ax+c)=aΔx，
平均變化率為：ΔyΔx=aΔxΔx=a，
求極限：f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=a，
即 (ax+c)′=a，特別(c)′=0.
【例2.4】求f(x)=cosx的導函數.
解x∈(-∞，+∞)，函數的增量為：
Δy=f(x+Δx)-f(x)=cos(x+Δx)-cosx=-2sinx+Δx2sinΔx2，
平均變化率為：ΔyΔx=-2sinx+Δx2sinΔx2Δx，
求極限：f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0sinΔx2Δx2·limΔx→0-sinx+Δx2=-sinx.
即 (cosx)′=-sinx.
同理可得：(sinx)′=cosx.
【例２．５】求f(x)=xn(n為正整數）的導函數.
解x∈（-∞,+∞),函數的增量為：
Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)n-xn
=nxn-1Δx+n(n-1)2!xn-2(Δx)2+…+(Δx)n,
平均變化率為：ΔyΔx=nxn-1+n(n-1)2!xn-2Δx+…+(Δx)n-1,
求極限：f′(x)=limΔx→0ΔyΔx=nxn-1,
即 (xn)′=nxn-1.
一般地，f(x)=xμ(μ為常數），也有(xμ)′=μxμ-1.
例如:(x)′=1,(x2)′=2x,(x)′=x12′=12x,1x′=(x-1)′=-1x2.
【例2.6】求f(x)=lnx的導函數.
解x∈(0,+∞),函數的增量為：
Δy=f(x+Δx)-f(x)=ln(x+Δx)-lnx=lnx+Δxx=ln1+Δxx，
平均變化率為：ΔyΔx=1Δxln1+Δxx=ln1+Δxx1Δx=ln1+ΔxxxΔx·1x=1xln1+ΔxxxΔx,
求極限：f′（x)=limΔx→0ΔyΔx=1xlimΔx→0ln1+ΔxxxΔx=1xlne=1x，
即 (lnx)′=1x.
同理可證:(logax)′=1xlna(a＞0,a≠1).
二、導數的幾何意義
設函數y=f(x)在點x0的導數為f′(x0)，由案例2.2知，導數值f′(x0)為曲線y=f(x)上一點（x0，f(x0)）處的切線的斜率.此時，
切線方程為：y-y0=f′(x0)(x-x0)；
法線方程為：y-y0=-1f′(x0)(x-x0)(f′(x0)≠0).
【例2.7】求y=x2的切線方程，使此切線與直線y=x+1平行.
解設切點為（x0，y0），則有y0=x02.
由已知，切線斜率與直線y=x+1的斜率相同，則y′x=x0=1.
而(x2)′=2x,於是2x0=1,解得：x0=12，y0=14.
所求切線方程為：y-14=x-12，即y=x-14.
三、可導與連續的關係
定理2.1如果函數y=f(x)在點x0處可導，則它在點x0處一定連續.
證明因為y=f(x)在點x0可導，由導數定義得limΔx→0ΔyΔx=f′(x0)，
所以limΔx→0Δy=limΔx→0ΔyΔx·Δx=limΔx→0ΔyΔx·limΔx→0Δx=f′(x0)×0=0，
從而y=f(x)在點x0處連續.
注意：① 此定理的逆否命題成立：y=f(x)在點x0處不連續，則它在點x0處不可導；② 連續不一定可導，反例：y=|x|在x=0處連續但不可導.因此連續是可導的必要而非充分條件.
【例2.8】設f(x)=x2，x＜0,
x，x≥0，討論f(x)在點x=0處的連續性與可導性（如圖2.4).
圖２．４
解（1） 連續性，即驗證是否有limx→0f(x)=f(0).
因為limx→0-f(x)=limx→0-x2=0，limx→0+f(x)=limx→0+x=0，
所以 limx→0f(x)=0=f(0)，故f(x)在x=0連續.
（2） 可導性，即驗證limx→0f(x)-f(0)x-0是否存在.
limx→0-f(x)-f(0)x-0=limx→0-x2-0x=limx→0-x=0；
limx→0+f(x)-f(0)x-0=limx→0+x-0x=limx→0+1=1.
因為左右導數不相等，
所以 limx→0f(x)-f(0)x-0不存在，即f(x)在x=0不可導.
【例2.9】已知函數f(x)=x2，x≤1,
ax+b，x＞1處處可導，試確定a、b的值.
解由於函數f(x)處處可導，探討分段點x=1處的可導性即可找到a、b應該滿足的條件.
欲使f(x)在x=1處可導，必先在x=1處連續，
故有limx→1-f(x)=limx→1+f(x)=f(1)，即a+b=1.
又f(x)在x=1處的左、右導數分別為：
f′-(1)=limΔx→0-(1+Δx)2-1Δx=2，f′+(1)=limΔx→0+a(1+Δx)+b-1Δx=limΔx→0+aΔxΔx=a.
故a=2，從而b=-1.
所以，當a=2，b=-1時，f(x)處處可導.
習題2.1
1． 根據導數定義求下列函數的導數：
（1） y=x3；（2） y=2x．
2． 討論下列函數在指定點處的可導性：
（1） f(x)=x，x≤1,
2-x，x＞1在x=1處；（2） f(x)=x，x＜0,
ln(1+x)，x≥0在x=0處．
3． 在下列各題中，假設f′(x0)存在，按導數定義觀察下列極限，指出A表示什麼？
（1） limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=A；（2） limh→0f(x0+2h)-f(x0)h=A；
（3） limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0-Δx)Δx=A．
4． 設函數f(x)=12x2，x≤2,
ax+b，x＞2，且f(x)在x=2可導，求a和b的值．
5． 討論函數f(x)=x2sin1x，x≠0,
0，x=0在點x=0處的連續性與可導性．
6． 求拋物線y=x2在點(2，4)處的切線方程與法線方程．
7． 求曲線y=x3和y=x2的橫坐標，在何處它們的切線斜率相同？
8． 一質點的運動方程為s=t3+10，求該質點在t=3時的瞬時速度．
9． 對於均勻細棒，單位長度細棒的質量稱為該細棒的線密度，一根質量非均勻分布的細棒放在x軸上，在[0，x]上的質量m是x的函數m=m(x)，試求出該細棒在點x0∈(0，x)處的線密度．
第二節求導法則
學習目標
1. 掌握導數的四則運算法則和基本初等函數的導數公式.
2. 掌握複合函數求導法則.
對於一些簡單的函數可以利用定義去求導數，但是對於比較複雜的函數，需要推導出一些基本公式與運算法則，以簡化求導計算.
微課
一、導數的四則運算法則
定理2.2設函數u(x)和v(x)在點x處可導，則函數u(x)±v（x)，u(x)v(x)，u(x)v(x)(v(x)≠0)也在點x處可導，且有
（1） [u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)；
（2） [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；
（3） u(x)v(x)′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)v2(x)(v(x)≠0).
下麵給出法則(1)的證明，法則(2)、(3)的證明從略.
證明令y=u(x)+v(x)，則
Δy=[u(x+Δx)+v(x+Δx)]-[u(x)+v(x)]
=[u(x+Δx)-u(x)]+[v(x+Δx)-v(x)]
=Δu+Δv,
ΔyΔx=Δu+ΔvΔx=ΔuΔx+ΔvΔx，
故y′=［u(x)+v(x)]′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0ΔuΔx+limΔx→0ΔvΔx=u′(x)+v′(x).
推論1[u1(x)±u2(x)±u3(x)±…±un(x)]′=u1′(x)±u2′(x)±u3′(x)±…±un′(x)，其中函數u1(x)，u2(x)，u3(x)，…，un(x)均為可導的.
推論2[ku(x)]′=ku′(x)，其中k為某確定常數.
推論3[u(x)v(x)w(x)]′=u′(x)v(x)w(x)+u(x)v′(x)w(x)+u(x)v(x)w′(x)
【例2.10】求下列函數的導數：
（1） y=x4-1x+3；（2） y=cosx-lnx；
解（1） y′=x4-1x+3′=(x4)′-1x′+(3)′
=4x3--1x2+0=4x3+1x2.
（2） y′=(cosx-lnx)′=(cosx)′-(lnx)′=-sinx-1x.
【例2.11】求下列函數的導數：
（1） y=xcosx；（2） y=xlnxsinx；（3） y=(1+2x)(4x3-3x2).
解（1） y′=(xcosx)′=(x)′cosx+x(cosx)′
=12x-12cosx-xsinx=12xcosx-xsinx.
（2） y′=(xlnxsinx)′=(x)′lnxsinx+x(lnx)′sinx+xlnx(sinx)′
=lnxsinx+x1xsinx+xlnxcosx=lnxsinx+sinx+xlnxcosx.
（3） y′=[(1+2x)(4x3-3x2)]′=(1+2x)′(4x3-3x2)+(1+2x)(4x3-3x2)′
=2(4x3-3x2)+(1+2x)(4×3x2-3×2x)=32x3-3x2-6x.
【例2.12】求下列函數的導數：
（1） y=xsinx；（2） y=tanx；（3） y=secx.
解（1） y′=xsinx′=x′sinx-x(sinx)′sin2x=sinx-xcosxsin2x=sinx-xcosxsin2x.
（2） y′=(tanx)′=sinxcosx′=(sinx)′cosx-sinx(cosx)′cos2x
=cos2x+sin2xcos2x=1cos２x=sec2x.
同理可得：(cotx)′=-csc2x.
（3） y′=(secx)′=1cosx′=(1)′cosx-1×(cosx)′cos2x
=sinxcos2x=sinxcosx1cosx=secxtanx.
同理可得：(cscx)′=-cscxcotx.
注意：在某些求導運算中，能避免使用除法求導法則的應該盡量避免.
【例2.13】求函數y=1+xx的導數.
解y=1x+x=x-12+x12，則
y′=-12x-32+12x-12=x-12x3 .
二、反函數的導數
定理２.3若函數x=φ(y)在區間I內單調、可導且φ′(y)≠0，則其反函數y=f(x)在對應區間內可導，且
f′(x)=1φ′(y) 或 dydx=1dxdy，
即反函數的導數等於直接函數的導數的倒數.
定理證明從略.
【例2.14】求指數函數的導數.
解令y=f(x)=ax（a＞0,a≠1)，有x=f-1（y）=logay，而[f-1(y)]′=(logay)′y=1ylna，則
f′(x)=1[f-1(y)]′=ylna=axlna.
即(ax)′=axlna.特別（ex)′=exlne=ex.
【例2.15】求反三角正弦函數的導數.
解令y=f(x)=arcsinx，則
x=f-1(y)=siny，而[f-1(y)]′=(siny)′=cosy，因此
f′(x)=1[f-1(y)]′=1cosy .
由於當y∈-π2，π2時，總有cosy=1-sin2y=1-x2，故
(arcsinx)′=11-x2, x∈(-1,1).
同理可得：（arccosx)′=-11-x2， x∈(-1,1)；
(arctanx)′=11+x2， x∈-∞，+∞；
微課
(arccotx)′=-11+x2, x∈(-∞,+∞).
三、複合函數的導數
定理2.4設u=φ(x)在x點可導，y=f(u)在與x對應的u點可導，則複合函y=f[φ(x)]在x點可導，且dydx=dydududx，或yx′=f′(u)φ′(x).
此法則稱之為複合函數的鏈式求導法則.
定理證明從略.
在複合函數的求導運算中，為了明確表示是對中間變量求導，還是對最終的自變量求導，可在函數的右下角注明，如：yx′表示對x求導，yu′表示對u求導.
複合函數的鏈式求導法則可記作：yx′=yu′·ux′.
推論如果y=f(u)，u=φ(v)，v=h(x)，則複合函數y=f(φ(h(x)))的導數為：
yx′=yu′·uv′·vx′.
【例2.16】求下列函數的導數：
（1） y=(x2-4)3；（2） y=lnsinx；（3） y=x2-1·sin2x.
解（1） 分析函數結構：令y=u3，u=x2-4.
由複合函數鏈導法，有：
yx′=yu′·ux′=(u3)′u·(x2-4)′x=3u2·2x.
即yx′=６x(x2-4)2.
（2） 分析函數結構：令y=lnu，u=sinx.
由複合函數鏈導法，有：
yx′=yu′·ux′=(lnu)′u·(sinx)′x=1u·cosx=cosxsinx.
即yx′=cotx.
（3） 分析函數結構：令y=u·v，u=x2-1，v=sin2x.
首先由乘法法則，得：
yx′=ux′·v+u·vx′①
再由複合函數鏈導法求出ux′和vx′：
ux′=(x2-1)′x=12(x2-1)-12·(2x)；
vx′=(sin2x)′x=cos2x·2.
代入①式得：
y′x=xsin2xx2-1+2x2-1 cos2x.
【例2.17】求函數y=esin1x的導數.
解y′=esin1xsin1x′=esin1x·cos1x·1x′=-1x2esin1x·cos1x.
【例2.18】利用複合函數的鏈式求導法則和公式（ex)′=ex證明基本導數公式（xμ)′=μxμ-1(μ為實數）.
證明因為xμ=(elnx)μ=eμlnx，所以
(xμ)′=(eμlnx)·(μlnx)′=eμlnx·μ·1x=xμ·μ·1x
=μxμ-1.
四、基本導數公式總結
1. 基本初等函數的導數公式
（1） (C)′=0；（2） (xμ)′=μxμ-1；
（3） (ax)′=axlna；（4） (ex)′=ex；
（5） (logax)′=1xlna；（6） (lnx)′=1x；
（7） (sinx)′=cosx；（8） (cosx)′=-sinx；
（9） (tanx)′=sec2x；（10） (cotx)′=-csc2x；
（11） (secx)′=secxtanx；（12） (cscx)′=-cscxcotx；
（13） （arcsinx)′=11-x2；（14） (arccosx)′=-11-x2；
（15） (arctanx)′=11+x2；（16） (arccotx)′=-11+x2.
2. 導數四則運算法則
（1） (u±v)′=u′+v′；（2） (Cu)′=Cu′；
（3） (uv)′=u′v+uv′；（4） uv=u′v-uv′v2(v≠0);
(5) 1v′=-v′v2(v≠0).
3. 反函數的求導法則
設y=f(x)與x=φ(y)互為反函數，則f′(x)=1φ′(y)(φ′(y)≠0).
4. 複合函數的求導法則
設y=f(u)，u=φ(x)，則複合函數y=f[φ(x)]的導數為yx′=f′(u)φ′(x).
習題2.2
1． 求下列函數的導數：
（1） y=xπ+πx-lnx+lnπ；（2） y=xlnx；
（3） y=x1+x；（4） y=1+sinx1-cosx；
（5） y=(1+secx)arcsinx；（6） y=3x2+2x-x+1x；
（7） y=xexcscx；（8） y=3xex+3xlog2x．
2． 求下列函數的導數：
（1） y=(x9-1)100；（2） y=1+x2；
（3） y=ln(x+1+x2)；（4） y=x+x；
（5） y=(x-1)x2+1；（6） y=cos(4-3x)；
（7） y=tan1-x1+x；（8） y=1+cos(2x+1)．
3． 求下列函數在指定點的導數值：
（1） f(x)=ln(ex+1)，求f′(0)；（2） f(x)=1-cosx1+cosx，求f′(0)，f′π2；
（3） f(x)=7x+x2，求f′(0)；（4） f(x)=2tanx，求f′π4；
（5） f(x)=ln1x+ln1x，求f′(1)；（6） f(x)=x(x+1)…(x+n)，求f′(0)；
（7） f(x)=arcsinx-33，求f′(3)；（8） f(x)=arctan1-x1+x，求f′(1)．
4． 當a與b取何值時，才能使曲線y=lnxe與曲線y=ax2+bx在x=1處有共同的切線？
5． 設氣體以100cm3\/s的速度注入球狀氣球，假設氣體的壓力不變，當氣球的半徑為10cm時，氣球半徑增加的速率是多少？
6． 培養皿中細菌在t天的總數N=4001-3(t2+1)2，求t=1時的細菌增長率．
第三節隱函數和由參數方程所確定的函數的導數
學習目標
1. 掌握隱函數的求導方法.
微課
2. 掌握函數的對數求導法.
3. 掌握由參數方程所確定的函數的求導方法.
一、隱函數的導數
一般函數可由解析式表示，例如：x+y-1=0，y3+2y-x=0等.在這些解析式中，有一些很容易將y解出，寫成x的表達式，如x+y-1=0可寫成y=1-x，這種將y明確表示出來的函數稱作顯函數；還有一些卻無法或很難解出y來，如y3+2y-x=0.但是這一式子能夠確定y是x的函數.這種沒有將y解出的由解析式表示的函數稱之為隱函數.
設y=f(x)是由方程F(x，y)=0所確定的隱函數，如何求它的導數dydx？
可利用複合函數的求導思想，在方程F(x，y)=0兩邊分別對x求導，將y當作中間變量，遇到有y的地方不忘記還應該有dydx，進而得到關於dydx的代數式，再解之即得.
【例2.19】求由方程y3+2y-x=0所確定的隱函數的導數dydx.
解將方程兩邊同時對x求導，得
3y2·dydx＋２·dydx-1=0，
解出dydx，得dydx=13y2+2.
【例2.20】求由方程exy+x+y3-1=0所確定的隱函數的導數dydx.
解將方程兩邊同時對x求導，得
exy(y+xy′)+1+3y2y′=0，
解出y′，得y′=-1+yexyxexy+3y2.
【例2.21】求曲線x3+y3-x-y=0在點(1，1)處的切線方程.
解方程兩邊同時對x求導，得
3x2+3y2y′-1-y′=0，
解出y′，得y′=1-3x23y2-1.
在點(1，1)處切線斜率為：k=y′x=1y=1=1-33-1=-1.
所求切線方程為：y-1=-(x-1)，即y+x-2=0.
在求導的四則運算法則中，乘、除運算法則很繁雜，計算容易出錯.我們可以利用對數函數的性質將乘、除的求導運算轉化為加、減的求導運算.
【例2.22】設y=2x·x2+1·sinx，求y′.
解兩邊同時取對數，得
lny=ln(2x·x2+1·sinx)，
即lny=xln2+12ln(x2+1)+lnsinx.
兩邊對x求導，得
y′y=ln2+2x2(x2+1)+cosxsinx，
解出y′，得y′=2xx2+1sinxln2+xx2+1+cotx.
【例2.23】設y=(x+1)x，求y′.
分析：此函數底數和指數都有自變量x，稱之為冪指函數.對它求導可利用對數函數的性質，將冪運算轉化為乘法運算，然後求導.對數求導法有如下兩種形式.
解法一兩邊取對數，得
lny=ln(x+1)x=xln(x+1).
兩邊對x求導，得
y′y=ln(x+1)+xx+1，
解出y′，得y′=(x+1)xln(x+1)+xx+1.
解法二y=eln(x+1)x=exln(x+1)，
利用複合函數求導法則，得
y′=exln(x+1)·ln(x+1)+xx+1，
即y′=(x+1)xln(x+1)+xx+1.
二、由參數方程所確定的函數的導數
有時候，兩個變量x與y之間的函數關係，可以通過第三個變量t的關係來建立，這就是由參數方程所確定的函數，一般形式為：
x=φ(t)，
y=ψ(t)，(a≤t≤b)
如果x=φ(t)，y=ψ(t)都可導，且φ′(t)≠0，則由參數方程x=φ(t)，
y=ψ(t)(a≤t≤b)所確定的函數y=f(x)也可導，且有
dydx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′(t)φ′(t).
【例2.24】求由參數方程x=1-e3t，
y=t·cost 所確定的函數的導數dydx.
解dxdt=-3e3t，dydt=cost-tsint，則
dydx=dydtdxdt=cost-tsint-3e3t.
【例2.25】求曲線x=t-sint，
y=1+cost在t=π2處的切線方程.
解dxdt=1-cost， dydt=-sint，
當t=π2時，x=π2-1，y=1，則
所求切線的斜率為：k=dydxt=π2=-sinπ21-cosπ2=-1.
所求切線方程為：y-1=-x-π2+1，即y+x-π2=0.
習題2.3
1． 求由下列方程所確定的隱函數的導數：
（1） xy-ex+y=5；（2） y=1-xey；
（3） exy+y2-x=0；（4） x-sinyx+tan5=0；
（5） y=cosx+2siny，求y′π2；（6） 2x+2y=2x+y，求y′(1)．
2． 求曲線4x2-xy+y2=6在點(1，-1)處的切線方程．
3． 用對數求導法求下列函數的導數：
（1） y=xsinx(x＞0)；（2） y=xx+1x；
（3） y=xsinxex；（4） y=(1+cosx)1x．
4． 求下列參數方程所確定的函數的導數：
（1） x=3(t-sint)，
y=3(1-cost)，求dydx；（2） x=cos3t，
y=sin3t，求dydxt=0．
5． 已知曲線x=t2+at+b，
y=cet-e，在t=1時過原點，且曲線在原點處的切線平行於直線2x-y+1=0，求a，b，c．
第四節高階導數
學習目標
微課
1. 了解高階導數的概念.
2. 會求簡單函數的二階導數.
案例2.3（加速度是速度相對於時間的變化率）在已知路程s與時間t的函數關係s=s(t)的條件下，要求得加速度a：① 首先求速度v=s′(t)；② 再求速度的導數，即加速度a=v′=(s′(t))′.可見，加速度是路程s對時間t的導數的導數，稱之為s對t的二階導數，記作a(t)=s″(t)=d2sdt2.
一般地，函數y=f(x)的一階導數y′=f′(x)仍是x的函數，若f′(x)在點x處的導數存在，則稱(y′)′=[f′(x)]′為y=f(x)的二階導數，記為y″或f″(x)或d2ydx2；再對二階導數求x的導數(若存在），記為y或f（x)或d3ydx3，稱之為y=f(x)的三階導數.以此類推，y=f(x)的n階導數,記為y(n)或f(n)(x)或dnydxn.
二階以及二階以上的導數稱為高階導數.
【例2.26】求y=xn（n為正整數）的各階導數.
解y′=nxn-1，y″=n(n-1)xn-2，y=n(n-1)(n-2)xn-3，…，
y(n)=n(n-1)(n-2)…3·２·１=n！，y(n+1)=y(n+2)=…=0.
【例2.27】求n次多項式y=a0+a1x+…+an-1xn-1+anxn的n階導數.
解y′=a1+2a2x+…+（n-1)an-1xn-2+nanxn-1，
y″=2a2+…+(n-1)(n-2)an-1xn-3+n(n-1)anxn-2，…，
y(n)=n！an.
【例2.28】求y=ex的n階導數.
解y′=ex，y″=ex，…，y(n)=ex.
【例2.29】求y=e-x的n階導數.
解y′=-e-x，y″=(-1)2e-x，…，y(n)=(-1)ne-x.
【例2.30】求y=sinx的n階導數.
解y′=cosx=sinx+π2，
y″=cosx+π2=sinx+2·π2，…，
y(n)=sinx+nπ2.
同理可得：(cosx)(n)=cosx+nπ2.
【例2.31】求y=11-x的n階導數.
解y′=[(1-x)-1]′=-(1-x)-2·(1-x)′=(1-x)-2，
y″=[(1-x)-2]′=-2(1-x)-3·(1-x)′=2(1-x)-3，
y=2·3·(1-x)-4，…，
y(n)=n！·(1-x)-n-1.
習題2.4
1． 求下列函數的二階導數：
（1） y=(x+10)5；（2） y=2x2-cos3x；
（3） y=(1-x2)32；（4） y=xex2．
2． 求下列函數的n階導數：
（1） y=x5+x3+x；（2） y=1-x1+x；
（3） y=sin2x；（4） y=lnx．
3． 設質點作直線運動，其運動規律為s=Asinπt3，求質點在時刻t=1時的速度與加速度．
第五節函數的微分
學習目標
1. 理解函數的微分概念，了解微分的幾何意義.
微課
2. 掌握微分的運算.
3. 利用微分進行一些簡單的近似計算.
一、微分的概念
圖2.5
案例2.4如圖2.5是一個邊長為x，麵積為S的正方形，則有S=x2.若給邊長一個增量Δx，則S相應地有增量ΔS（如圖2.5陰影麵積），且有
ΔS=(x+Δx)2-x2=2x·Δx+(Δx)2,
從上式可以看出ΔS被分成兩部分：2x·Δx和(Δx)2，即圖中陰影處的小正方形麵積(Δx)2和兩個矩形麵積2x·Δx.
當Δx很小時，相對於ΔS而言，(Δx）2也很小.
當Δx→0時，可以認為ΔS≈2x·Δx，而把(Δx)2（很小很小的量）省略掉.
因此，由邊長的增量Δx引起的麵積的增量ΔS可由2x·Δx來代替，與精確值僅僅相差一個以Δx為邊長的正方形的麵積，當Δx→0時，誤差(Δx)2是一個較Δx為高階的無窮小量.
定義2.2對於自變量在點x處的增量Δx，如果函數y=f(x)的相應增量Δy=f(x+Δx)-f(x)可以表示為
Δy=AΔx+o(Δx)(Δx→0)，
其中A是x的函數，與Δx無關，則稱函數y=f(x)在點x處可微，並稱AΔx為函數在點x處的微分，記為dy或df(x)，即dy=AΔx.
可見，若Δy=AΔx+o(Δx)(Δx→0)，則AΔx在Δx→0時將對Δy的值起主要作用，o(Δx)是一個很小的量，稱AΔx為Δy的線性主要部分，即dy是Δy的線性主要部分.
定理2.5函數y=f(x)在點x可微的充分必要條件是函數y=f(x)在點x可導.
證明（1） 可微必可導
若y=f(x)在x點可微，則Δy=AΔx+o(Δx)(Δx→0)，則
ΔyΔx=A+o(Δx)Δx,
等式兩邊取Δx→0時的極限，有
limΔx→0ΔyΔx=A+limΔx→0o(Δx)Δx=A,
而由導數定義，此極限就是f′(x)，即f′(x)=A，可微必可導.
（2） 可導必可微
若y=f(x)在x點可導，則limΔx→0ΔyΔx=f′(x)，故
ΔyΔx=f′(x)+α，其中limΔx→0α=0，即
Δy=f′(x)Δx+α·Δx，
這裏α·Δx是一個關於Δx的高階無窮小量，可將α·Δx 記作 o(Δx)(Δx→0），即
Δy=f′(x)Δx+o(Δx)(Δx→0).
由微分定義可知,y=f(x)在x點可微，且dy=f′(x)Δx.
綜上所述，對一元函數而言，函數的可微性與可導性是等價的，且有dy=f′(x)Δx.
【例2.32】求函數y=x2在x=1處的微分.
解dy=(x2)′x=1Δx=(2x)′x=1Δx=2Δx.
注意：若y=x，則dy=dx=(x)′Δx=Δx，即dx=Δx,稱為自變量x的微分.這時，dy=f′(x)dx，從而 dydx=f′(x)，因此導數也稱作微商.
圖2.6
二、微分的幾何意義
如圖2.6所示，當Δy是曲線的縱坐標增量時，dy=f′(x0)Δx=tanx·Δx
就是切線縱坐標對應的增量.
當|Δx|很小時，在點M的附近，切線段MP可近似代替曲線段 MN，即|MN|≈|MP|=(dx)2+(dy)2,記ds=(dx)2+(dy)2，稱為弧長微分公式.
微課
三、微分運算法則
從dy=f′(x)dx可見，要計算函數的微分，隻要計算函數的導數，再乘以自變量的微分.因此所有微分公式都可由導數公式推出，如：
d(sinx)=cosxdx，d(xμ)=μxμ-1dx，d(lnx)=1xdx，d(arcsinx)=11-x2dx.
微分四則運算法則，也可由導數運算法則推出，如：
(u±v)′=u′±v′，則d(u±v)=(u±v)′dx=u′dx±v′dx=du±dv，等等.
【例2.33】設y=e1-3xcosx，求dy.
解因為y′=-3e1-3xcosx-e1-3xsinx，
所以dy=y′dx=-e1-3x(3cosx+sinx)dx.
【例2.34】設ey=xy，求dy.
解方程ey=xy兩邊對x求導，得
eyy′=y+xy′，
解出y′,得y′=yey-x=yxy-x.
所以dy=yxy-xdx.
四、一階微分形式的不變性
若函數y=f(u)對u是可導的，u=φ(x)對x是可導的，則有：
(1) 當u是自變量時，函數的微分形式為dy=f′(u)du；
(2) 當x是自變量時，則y是x的複合函數，且有du=φ′(x)dx，由複合函數求導公式，y對x的導數為：dydx=f′(u)φ′(x)，因此
dy=dydx·dx=f′(u)φ′(x)dx=f′(u)du.
由此可知，不論u是自變量還是關於自變量x的函數，y=f(u)的微分形式都可以表示為dy=f′(u)du，
這種性質稱為一階微分形式的不變性.
【例2.35】y=arcsin(1-2x)，求dy.
解令u=1-2x，則y=arcsinu，u=1-2x.
dy=(arcsinu)′udu=11-u2du=11-(1-2x)2(1-2x)′dx.
即dy=-1x-x2dx.
微課
五、微分在近似計算中的應用
設函數y=f(x)在x0點可微，因為Δy=f(x)-f(x0)(Δx=x-x0)，則
f(x)=f(x0)+Δy.
當|Δx|很小時，用dy近似代替Δy，有
f(x)≈f(x0)+dy=f(x0)+f′(x0)Δx (其中Δx=x-x0).
這就是微分近似計算公式.
【例2.36】設f(x)=x2，利用微分近似計算公式求當x=100.123時的近似值.
解由f(x)≈f(x0)+f′(x0)Δx，
取一個與x=100.123最接近的，並且易於計算f(x0)與f′(x0)值的數作為公式中的x0，這裏取x0=100，則Δx=0.123，故
f(100.123)≈f(100)+f′(100)×0.123
=1002+200×0.123=10024.6.
事實上，(100.123)2=10024.615，誤差很小.
在近似計算公式f(x)≈f(x0)+f′(x0)Δx中，若x0=0時，Δx=x-x0=x，隻要|Δx|足夠小，即|x|足夠小，就有：
f(x)≈f(0)+f′(0)x.
這也是經常使用的微分近似計算公式.
例如：y=sinx在x=0附近有：sinx≈sin0+cos0×x，即sinx≈x；
y=tanx在x=0附近有：tanx≈tan0+xsec20，即tanx≈x；
y=ex在x=0附近有：ex≈e0+xe0，即ex≈1+x；
y=ln(1+x)在x=0附近有：ln(1+x)≈ln(1+0)+x×11+0，即ln(1+x)≈x；
y=(1+x)α在x=0附近有：(1+x)α≈(1+0)α+xα（１＋0)α-1，即(1+x)α≈1+αx.
【例2.37】求下列函數的近似值：
（1） ln1.01；（2） 365.
解（1） 由上述公式可知：ln1.01≈0.01.
（2）365=364+1=4·31+164.
令f(x)=31+x，有31+164≈1+13·164，則
365=364+1≈4·1+13·１６４≈4.02083.
習題2.5
1． 在下列括號中填入適當的函數，使等式成立：
（1） d()=xdx；（2） d()=cos3xdx；
（3） d()=3x2dx；（4） d()=11+x2dx；
（5） d()=1x-1dx；（6） d()=xex2dx．
2． 求函數y=x3在x=2處，Δx分別為-0.1，0.01時的改變量Δy及微分dy．
3． 求下列函數的微分：
（1） y=lnsinx2；（2） y=xlnx-x；
（3） y=e-xcos(3-x)；（4） y=x2cos2x；
（5） y2=sin(xy)；（6） y=(1+x)secx．
4． 利用微分求近似值：
（1） e0.05；（2） ３126．
5． 一個外直徑為10cm的球，球殼厚度為18cm，試求球殼體積的近似值．
第六節微分中值定理與洛必達法則
學習目標
1. 了解拉格朗日中值定理及幾何意義.
2. 掌握用洛必達法則求00型和∞∞型未定式極限的方法.
微分中值定理給出了函數及其導數之間的關係，是導數應用的理論基礎.這裏主要介紹羅爾定理和拉格朗日中值定理.
一、羅爾(Rolle)定理
定理2.6（羅爾（Rolle）定理）如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那麼在(a，b)
圖２．７
內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)=0.
定理證明從略.
幾何解釋：在曲線弧AB上至少存在一點C，在該點處的切線是水平的（圖2.7).
物理解釋：變速直線運動在折返點處，瞬時速度等於零.
注意：若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足，其結論可能成立，也可能不成立.例如，f(x)=x2在[-1,2]上f(-1)=1≠f(2)=4，但有ξ=0∈(-1,2),使f′(ξ)=0.
又例如y=|x|，x∈[-2，2]；在[-2，2]上除f′(0)不存在外，滿足羅爾定理的一切條件，但在區間[-2，2]內找不到一點能使f′(x)=0.
【例2.38】驗證函數f(x)=x2-2x-3在[-1，3]上滿足羅爾定理的條件，並求定理中的ξ.
解函數f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1)在[-1，3]上連續，且f(-1)=f(3)=0，由於f′(x)=2(x-1)，取ξ=1∈(-1，3)，則f′(ξ)=0.
羅爾定理中“f(a)=f(b)”這個條件太特殊，使羅爾定理的應用受到限製，去掉這個條件，就是以下的拉格朗日中值定理.微課
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
定理2.7（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，那麼在（a，b)內至少存在一點ξ，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立.
定理證明從略.
圖2.8
結論亦可寫成f(b)-f(a)b-a=f′(ξ)，稱為拉格朗日中值公式.
注意：拉氏公式精確地表達了函數在一個區間上的增量與函數在此區間內某點處的導數之間的關係.
幾何解釋：在曲線弧AB上至少存在一點C，在該點處的切線平行於弦AB（圖2.8).
設f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導，x0，x0+Δx∈(a，b)，記ξ-x0Δx=θ,則有
f(x0+Δx)-f(x0)=f′(x0+θΔx)·Δx(0＜θ＜1).
也可寫成Δy=f′(x0+θΔx)·Δx(0＜θ＜1).
所以，拉格朗日中值公式又稱有限增量公式或微分中值定理.
推論如果函數f(x)在區間I上的導數恒為零，那麼f(x)在區間I上是一個常數.
證明：設x1,x2是區間（a,b)內任意兩點，x1＜x2,則f(x)在[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件，從而有
f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1),x1＜ξ＜x2.
由已知條件知，有f′(ξ)=0，所以f(x2)-f(x1)=0,即f(x1)=f(x2).
由x1,x2的任意性，可得f(x)在(a,b)內恒為一個常數.
前麵我們已經知道，常數的導數是零，此推論就是它的逆定理.
【例2.36】證明arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1).
證明設f(x)=arcsinx+arccosx，x∈[-1，1].
因為f′(x)=11-x2+-11-x2=0，x∈(-1,1)，
所以f(x)≡C，x∈(-1，1).
又f(0)=arcsin0+arccos0=0+π2=π2，即C=π2.
故arcsinx+arccosx=π2，x∈(-1,1).另外f(±1)=π2，所以
arcsinx+arccosx=π2，x∈[-1，1].
【例2.37】證明當x＞0時，x1+x＜ln(1+x)＜x.
證明設f(x)=ln(1+x)，f(x)在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理的條件，則
f(x)-f(0)=f′(ξ)(x-0) (0＜ξ＜x).
由於f(0)=0，f′(x)=11+x，由上式得ln(1+x)=x1+ξ .
又因為0＜ξ＜x，所以1＜1+ξ＜1+x，即11+x＜11+ξ＜1，則
x1+x＜x1+ξ＜x，即x1+x＜ln(1+x)＜x (x＞0).
微課
三、洛必達法則
１. 00型及∞∞型未定式
如果當x→a(或x→∞）時，兩個函數f(x)與F（x)都趨於零或都趨於無窮大，那麼極限limx→a（x→∞)f(x)F(x)可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為00或∞∞型未定式.
例如：limx→0tanxx00；limx→0+lnsinaxlnsinbx∞∞.
定理2.8設函數f(x)，F(x)滿足：
(1) 當x→a時，函數f(x)及F（x)都趨於零；
(2) 在a點的某去心鄰域內，f′(x)及F′(x)都存在，且F′(x)≠0；
(3) limx→af′(x)F′(x)存在(或為無窮大），
那麼limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x).
定理證明從略.
這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.
如果f′(x)F′(x)仍屬00型，且f′(x)，F′(x)滿足定理2.8的條件，可以繼續使用洛必達法則，即limx→af(x)F(x)=limx→af′(x)F′(x)=lim x→af″(x)F″(x)=…
當x→∞時，該法則仍然成立，即limx→∞f(x)F(x)=limx→∞f′(x)F′(x).
當x→a，x→∞時的未定式∞∞，也有相應的洛必達法則.
【例2.38】求limx→0tanxx.
解這是00型未定式，由洛必達法則可得
原式=limx→0(tanx)′(x)′
=limx→0sec2x1=1.
【例２．３９】求limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1.
解這是00型未定式，由洛必達法則可得
原式=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=32.
注意：上例中極限limx→16x6x-2已不是00型未定式，如果不驗證條件成立而繼續使用洛必達法則，將會導致錯誤：
limx→16x6x-2=limx→166=1.
【例2.40】求limx→+∞π2-arctanx1x.
解這是00型未定式，由洛必達法則可得
原式=limx→+∞-11+x2-1x2=limx→+∞x21+x2=1.
【例2.41】求limx→0+lnsinaxlnsinbx （a＞0,b＞0).
解這是∞∞型未定式，由洛必達法則可得
原式=limx→0+acosax·sinbxbcosbx·sinax＝limx→0+a·sinbxb·sinax
=limx→0+cosbxcosax=1.
【例2.42】求limx→π２tanxtan3x.
解這是∞∞型未定式，由洛必達法則可得
原式=limx→π２sec2x3sec23x=13limx→π２cos２3xcos2x是00型未定式
=13limx→π２-6cos3xsin3x-2cosxsinx=limx→π２sin6xsin2x是00型未定式
=limx→π２6cos6x2cos2x=3.
注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其他求極限方法結合使用，效果更好.
【例2.43】求limx→0tanx-xx2tanx.
利用等價無窮小代換tanx~x(x→0),將分母中的tanx換成x，得
解原式=limx→0tanx-xx3=limx→0sec2x-13x2=limx→02sec2xtanx6x=13limx→0tanxx=13.
【例2.44】求limx→∞1+x2x.
解這是∞∞型未定式，應用洛必達法則可得
limx→∞1+x2x∞∞limx→∞x1+x2∞∞limx→∞1+x2x（循環，洛必達法則不能用），
而
limx→∞1+x2x=limx→∞1x2+1=1（分子分母同除以x）.
說明：洛必達法則，並不是在所有有符合條件時都能用。
2. 其他類型的未定式
除00和∞∞型這兩類基本未定式之外，還有０·∞,∞-∞,00,1∞,∞0等類型的未定式，它們都可以轉化為00或∞∞型未定式，進而用洛必達法則求解.
【例2.45】求limx→＋∞x-2ex.
解這是0·∞ 型未定式，先將其轉化為∞∞型未定式，然後再用洛必達法則可得
原式=limx→+∞exx2=limx→+∞ex2x=limx→+∞ex2=+∞.
【例2.46】求limx→01sinx-1x.
解這是∞-∞型未定式，先將其通分化為00型未定式，然後再用洛必達法則可得
原式=limx→0x-sinxx·sinx=limx→01-cosxsinx+xcosx=0.
【例2.47】求limx→0+xx.
解這是00型未定式，先用對數方法將其化為0·∞型，再化為∞∞型未定式可得
原式=limx→0+exlnx=elimx→0+xlnx＝elimx→0+lnx1x＝elimx→0+1x-1x2=e0=1.
【例2.48】求limx→1x11-x.
解這是1∞型未定式，可用對數方法將其化為００型未定式來解.
原式=limx→1e11-xlnx=elimx→1lnx1-x=elimx→11x-1=e-1.
【例2.49】求limx→０＋(cotx)1lnx.
解這是∞0型未定式，可用對數方法將其化為∞∞型未定式求解.
取對數得(cotx)1lnx=e1lnx·ln(cotx)，而
limx→０＋1lnx·ln(cotx)=limx→０＋-1cotx·1sin2x1x=limx→０＋-xcosx·sinx=-1，
故原式=e-1.
【例2.50】求limx→∞x+cosxx.
解原式＝limx→∞1-sinx1=limx→∞(1-sinx)，極限不存在，也不是無窮大.
洛必達法則失效.正確做法為：
原式=limx→∞1+1xcosx=1.
因此，一定要注意洛必達法則的使用條件．
習題2.6
1． 驗證函數f(x)=x2-2x-3在區間[-1，3]上羅爾定理成立.
2． 驗證函數f(x)=lnx在區間[1，e]上拉格朗日中值定理成立.
3． 設函數f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，用羅爾定理證明方程f′(x)=0在(1，3)內至少有兩個根.
4． 用拉格朗日中值定理證明下列不等式：
（1） 當x＞0時，ex＞1+x；
（2） |sinb-sina|≤|b-a|，其中a,b為實數．
5． 證明下列恒等式：arctanx+arctan1x=π2．
6． 求下列極限：
（1） limx→１x5-1x8-1；（2） limx→πsin3xtan5x；
（3） limx→0ex-2xx；（4） limx→0+lnsin3xlnsinx；
（5） limx→0x-sinxx3；（6） limx→+∞ln1+1xarccotx；
（7） limx→+∞exx6；（8） limx→0exsinx-x3x2-x5；
（9） limx→01+x+1-x-2x2；（10） limx→0+xlnx；
（11） limx→1xx-1-1lnx；（12） limx→0+xln(1+x).
7． 證明下列極限存在，但不能用洛必塔法則得出：
（1） limx→∞x-cosxx+cosx；（2） limx→0x2sin1xsinx．
第七節函數的單調性與極值
學習目標
1. 理解函數的極值的概念，掌握利用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法.
2. 理解函數最值的概念，並掌握其求法，會求簡單實際問題中的最值.
圖2.9
案例2.5（排版問題）現要出版一本書，每頁紙張的麵積為600cm2,要求上下各留3cm，左右各留2cm的空白，試確定紙張的寬和高，使每頁紙麵能安排印刷最多的內容.
如圖2.9，設紙張的寬為x,則高為600x，去掉空白麵積後，紙麵麵積為：
S=(x-4)600x-6=624-6x-2400x (4＜x＜100).
如何找到使麵積S最大的版麵安排，學完本節後，自然明了.
微課
一、函數的單調性
函數的單調性與導數的符號有著密切的聯係.如圖2.10，當函數y=f(x)在區間(a，b)內單調增加時，其圖像是一條沿x軸正向上升的曲線，各點處的切線與x軸正向夾角為銳角，即f′(x)＞0；當函數y=f(x)在區間(a，b)內單調減少時，其圖像是一條沿x軸正向下降的曲線，各點處的切線與x軸正向夾角為鈍角，即f′(x)＜0.反過來，能否用導數的符號來判斷函數的單調性呢？由拉格朗日中值定理可得出如下定理.
圖2.10
定理2.10設函數y=f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)內可導.
(1) 若在（a，b)內f′(x)＞0，則函數y=f(x)在[a，b]上單調增加；
(2) 若在(a，b)內f′(x)＜0，則函數y=f(x)在[a，b]上單調減少.
證明x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，應用拉格朗日中值定理，得
f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)(x1＜ξ＜x2).
(1) 若在(a，b)內，f′(x)＞0，則f′(ξ)＞0，所以f(x2)＞f(x1).即y=f(x)在[a，b]上單調增加；
(2) 若在（a，b)內，f′(x)＜0，則f′(ξ)＜0，所以f(x2)＜f(x1).即y=f(x)在[a，b]上單調減少.
圖２．１1
【例2.51】討論函數f(x)=ex-x-1的單調性.
解f′(x)=ex-1，x∈(-∞，+∞).
在(-∞，0)內，f′(x)＜0，所以函數單調減少；
在(0，+∞)內，f′(x)＞0，所以函數單調增加.
函數的圖形如圖2.11所示.
注意：函數的單調性是一個區間上的性質，要用導數在這一區間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性．利用導數等於零的點和不可導點，可作為單調區間的分
界點．
【例2.52】確定函數f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調區間.
解定義域D=(-∞，+∞)，且
f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
解方程f′(x)=0，得，x1=1，x2=2.
當-∞＜x＜1時，f′(x)＞0，則f(x)在(-∞，1]上單調增加；
圖２．１2
當1＜x＜2時，f′(x)＜0，則f(x)在[1，2]上單調減少；
當2＜x＜+∞時，f′(x)＞0，則f(x)在[2，+∞)上單調增加.
故函數的單調增加區間為（-∞，1]，[2，+∞)，單調減少區間為[1，2].
函數的圖形如圖2.12所示.
【例2.53】確定函數f(x)=3x2的單調區間.
解定義域Ｄ=(-∞，+∞)，且
f′(x)=233x(x≠0).
當-∞＜x＜0時，f′(x)＜0，f(x)在(-∞，0]上單調減少；
當0＜x＜+∞時，f′(x)＞0，f(x)在[0，+∞)上單調增加.
函數的圖形如圖2.13所示.
注意：如在區間內個別點導數為零，是不影響單調區間的.
例如：y=x3，y′x=0=0，但它在(-∞，+∞)上單調增加（圖2.14).
圖２．１3
圖2.14
【例2.54】證明：當x＞0時，x＞ln(1+x).
證明設f(x)=x-ln(1+x)，則f′(x)＝1-11+x=x1+x.
當x＞0時，f′(x)＞0，所以f(x)在[0，+∞)上單調增加；
而f(0)=0，於是當x＞0時，x-ln(1+x)＞0，即x＞ln(1+x)(x＞0).
微課
二、函數的極值
定義2.3設函數f(x)在x0的某個鄰域內有定義，若對該鄰域內任意的x(x≠x0)，恒有
f(x)＜f(x0)（或f(x)＞f(x0)），
則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值（或極小值）.
函數的極大值與極小值統稱為極值，使函數取得極值的點稱為極值點.
圖2.15
函數的極值是一個局部概念，它是與極值點鄰近點的函數值相比較而言的，並不意味著它是整個定義區間內的最大值或最小值.如圖2.15，函數f(x)有兩個極大值f(x2)，f(x5)，三個極小值f(x1)，f(x4)，f(x6)，其中極大值f(x2)比極小值f(x6)還小.
從圖2.15中還可以看到，在函數取極值處，若曲線存在切線，則切線是水平的.反之，曲線上有水平切線的地方，函數不一定取極值（如x=x3處），因此有如下定理.
定理2.11(必要條件)設f(x)在點x0處可導，且在x0處取得極值，則必有f′(x0)=0.
定理證明從略.
使導數為零的點（即方程f′(x)=0的實根）叫作函數f(x)的駐點.
該定理說明可導函數f(x)的極值點必為駐點，但函數的駐點卻不一定是極值點.例如，y=x3，y′x=0=0，但x=0不是極值點.
另外，導數不存在的點也可能是函數的極值點.例如，函數y=|x|在x=0處不可導，但x=0是該函數的極小值點.
由此可知，函數的極值點應該在駐點和不可導點中去尋找，但駐點和不可導點又不一定是極值點.下麵給出判別極值的兩個充分條件.
定理2.12(第一充分條件)設函數f(x)在點x0處連續，在x0左右近旁可導，且f′(x0)=0或f′(x0)不存在.當x由小到大經過x0時，
(1) 若f′(x)由正變負，則函數f(x)在x0處取得極大值；
(2) 若f′(x)由負變正，則函數f(x)在x0處取得極小值；
(3) 若f′(x)不變號，則函數f(x)在x0處沒有極值.
定理證明從略.
綜上所述，求函數極值的一般步驟如下：
(1) 求出函數f(x)的定義域及導數f′(x)；
(2) 求f(x)的駐點和不可導點；
(3) 利用第一充分條件判斷這些可能取極值的點是否為極值點.如果是極值點，進一步確定是極大值點還是極小值點（如圖2.16與圖2.17所示）.
圖2.16是極值點情形
圖2.17不是極值點情形
【例2.55】求函數f(x)=x3-3x2-9x+5的極值.
解（1） 函數的定義域為(-∞，+∞)，且
f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
（2） 令f′(x)=0，得駐點x1=-1，x2=3.
（3） 列表討論
x(-∞，-1)-1(-1，3)3(3，+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)↑極大值↓極小值↑
極大值f(-1)=10,極小值f(3)=-22.
【例2.56】求函數f(x)=x-32x23的極值.
解（1） 函數的定義域為(-∞，+∞)，且
f′(x)=1-x-13=3x-13x.
（2） 令f′(x)=0，得駐點x1=1，不可導點為x2=0.
（3） 列表討論
x(-∞，0)0(0，1)1(1，+∞)
f′(x)+×-0+
f(x)↑極大值↓極小值↑
極大值f(0)=0，極小值f(1)=-12.
定理2.13(第二充分條件)設f(x)在x0處具有二階導數，且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，那麼
(1) 當f″(x0)＜0時，函數f(x)在x0處取得極大值；
(2) 當f″(x0)＞0時，函數f(x)在x0處取得極小值.
定理證明從略.
【例2.57】求函數f(x)=x3+3x2-24x-20的極值.
圖2.18
解f′(x)=3x2+6x-24=3(x+4)(x-2)，
令f′(x)=0，得駐點x1=-4，x2=2.
f″(x)=6x+6，
f″(-4)=-18＜0，
故極大值f(-4)=60；
f″(2)=18＞0,故極小值f(2)=-48.
f(x)=x3+3x2-24x-20的圖形如圖2.18所示.
注意：當f″(x0）=0時，f(x)在點x0處不一定取極值，仍用定理2.12判別.
微課
三、函數的最大值與最小值
若函數f(x)在[a，b]上連續，則f(x)在[a，b]上的最大值與最小值存在.如果f(x)除個別點外處處可導，並且至多有有限個導數為零的點，則可按如下步驟求函數的最值：
(1) 求函數的駐點和不可導點；
(2) 求區間端點及駐點和不可導點的函數值，比較大小，最大者就是最大值，最小者就是最小值.
注意：如果區間內隻有一個極值，則這個極值就是最值(最大值或最小值).
圖2.19
【例2.58】求函數f(x)=2x3+3x2-12x+14在[-3，4]上的最大值與最小值.
解由於f′(x)=6(x+2)(x-1)，
解方程f′(x)=0，得x1=-2，x2=1.
計算f(-3)=23；f(-2)=34；f(1)=7；f(4)=142；
比較得最大值f(4)=142，最小值f(1)=7.
函數的圖形如圖2.19所示.
實際問題求最值應注意：① 建立目標函數；② 求最值.
若目標函數隻有唯一駐點，則該點的函數值即為所求的最大值或最小值.
【例２.59】求解案例2.5.
解建立數學模型，去掉空白麵積後的紙麵麵積為:
S=624-6x-2400x (4＜x＜100).
求導得S′=2400x2-6,
令S′=0，在(4,100)內得唯一駐點x=20.
根據問題的實際意義知最大值必存在，所以所得唯一駐點就是最大值點.此時書本紙張的頁麵為寬和高分別為20cm和30cm的長方形.
【例2.60】某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大收入？
解設房租為每月x(≥180)元，租出去的房子有50-x-18010套，則
每月總收入為R(x)=(x-20)50-x-18010=(x-20)68-x10，於是
R′(x)=68-x10+(x-20)-110=70-x5.
令R′(x)=0 x=350（唯一駐點），根據實際意義知，房租的最大收入存在，故每月每套租金為350元時收入最高.
最大收入為R(350)=(350-20)68-35010=10890（元）.
圖2.20
【例2.61】在A地有一種產品，要源源不斷地運到鐵路線上的B地，現希望鋪設一段公路AP，再利用一段鐵路PB（圖2.20），若鐵路運輸速度是公路運輸速度的兩倍，求轉運站P的最佳位置，使能以最短的時間通過汽車運輸轉鐵路運輸，將該產品運到B地.已知：A到鐵路線的垂直距離為AA′＝a,而A′B=LL＞a3.
解設x=A′P，公路運輸速度為v,鐵路運輸速度為2v,建立目標函數，總運輸時間
T(x)=a2+x2v+Ｌ-x2v (0≤x≤L)
求導得T′=1vxa2+x2-12.
令T′=0,在(0,L)內得唯一駐點x=a3.
根據實際意義可知，最佳轉運站的位置確實存在，所以當A′P=a3時，P點位置最佳.
習題2.7
1． 求下列函數的單調區間：
（1） y=x-ex；（2） y=2x2-lnx；
（3） y=2x-x2；（4） y=x3-3x2-9x+14．
2． 利用單調性，證明下列不等式：
（1） 當x＞1時，2x＞3-1x；（2） 當x＞0時，arctanx＜x．
3． 求下列函數的極值：
（1） y=x3-3x2+7；（2） y=x2e-x；
（3） y=x2-lnx2；（4） y=x13(1-x)23．
4． 求下列函數在指定區間上的最值：
（1） y=ln(1+x2)，x∈[-1，2]；（2） y=sin2x-2，x∈-π2，π2；
（3） y=x+2x，x∈[0，4]；（4） y=x1+x2，x∈[0，+∞)．
5． 要製造一個容積為16m3的圓柱形容器，問底半徑與高各為多少時可使用料最省？
6． 某車間靠牆壁蓋一間長方形小屋，現有存磚隻夠砌20m長的牆壁，問應圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的麵積最大？
7． 將8分成兩個數之和，使它們的立方和最小.
8． 甲輪船位於乙輪船東75海裏，以每小時12海裏的速度向西行駛，而乙輪船則以每小時6海裏的速度向北行駛，問經過多少時間，兩船相距最近？
第八節曲線的凹凸拐與函數圖形描繪
學習目標
1. 了解曲線的凹凸和拐點的概念，掌握求曲線凹凸區間和拐點的方法.
2. 了解曲線的水平漸近線和鉛直漸近線的概念，掌握繪製函數圖形的主要步驟.
微課
一、曲線凹凸性與拐點
如何研究曲線的彎曲方向?從幾何上看到，在有的曲線弧上，如果任取兩點，則連接這兩點間的弦總位於這兩點間的弧段的上方（圖２．２１），而有的曲線弧卻正好相反（圖２．２２）．曲線的這種性質就是曲線的凹凸性．
定義2.4設函數f(x)在區間(a,b)上連續，如果對(a,b)上任意兩點x1,x2，恒有
fx1+x22＜f(x1)+f(x2)2或fx1+x22＞f(x1)+f(x2)2
那麼稱曲線y=f(x)在(a,b)上是凹（或凸）的（弧），此區間(a,b)稱為凹（或凸）區間．
圖2.21圖形上任意弧段位於所張弦的上方
圖2.22圖形上任意弧段位於所張弦的下方
一般，直接用定義來判斷曲線的凹凸性往往較為困難，下麵介紹用二階導數來判斷曲線的凹凸性．
定理2.14如果f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，若在(a,b)內
(1) f″(x)＞0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的；
(2) f″(x)＜0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的.
定理證明從略．
【例2.62】判定下列曲線的凹凸性：
（1） y=lnx;(2) y=sinx,x∈(0,2π).
解（1） 因為y′=1x,y″=-1x2<0,所以y=lnx在其定義域（0,+∞）內是凸的(圖2.23).
(2) y′=cosx,y″=-sinx,令y″=0得x=π∈(0,2π).
當x∈(0,π)時，y″=-sinx<0,所以,曲線y=sinx是凸的；
當x∈(π,２π)時，y″=-sinx>0,所以,曲線y=sinx是凹的.
如圖2.24所示，點（π，0）是曲線由凸變凹的分界點.
圖2.23
圖2.24
定義2.5連續曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點.
注意：拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.
由於拐點是曲線y=f(x)上凹與凸的分界點，所以當f″(x)存在時，由曲線凹凸性的判定定理可知，拐點左右兩側附近f″(x)必異號．
另外，二階導數不存在的點對應於曲線上的點也有可能為拐點．因此，不難給出確定曲線凹凸區間和拐點的方法：
（１） 確定函數y=f(x)的定義域；
（２） 求出定義域內使f″(x)=0的點xi和f″(x)不存在的點xj；
（３） 將xi和xj按從小到大的順序劃分定義域為若幹區間，並判斷在各區間內的二階導數的符號，確定曲線的凹凸區間和拐點．
【例2．６3】求曲線y=3x4-4x3+1的拐點及凹、凸的區間.
解（1） 定義域D=（-∞，+∞）.
（2） y′=12x3-12x2,y″=36xx-23.
令y″=0，得x1=0,x2=23.
（3） 列表討論
x(-∞,0)00,232323,+∞
f″(x)+0-0+
f(x)凹的拐點
(0,1)凸的拐點
(2\/3,11\/27)凹的
所以，凹區間為(-∞,0],２３,+∞,凸區間為0，23，拐點為（0，1），23，1127.
【例２．６4】求曲線y=3x的拐點.
解當x≠0時，y′=13x-23，y″=-49x-53，則
x=0是不可導點，y′,y″均不存在.
但在(-∞,0)內，y″＞0，曲線在（-∞,0]上是凹的；
在(0,+∞)內，y″＜0，曲線在[0，+∞)上是凸的.
故點（0，0）是曲線y=3x的拐點.
二、曲線的漸近線
定義2.6當曲線y=f(x)上的動點P沿著曲線無限遠離坐標原點時，它與某定直線L的距離趨向於零，則稱此直線L為曲線y=f(x)的一條漸近線.
1. 鉛直漸近線（垂直於x軸的漸近線）
圖2.25
如果limx→x+0f(x)=∞或limx→x-0f(x)=∞,那麼直線x=x0稱為曲線y=f(x)的一條鉛直漸近線.
例如：曲線y=1(x+2)(x-3),因為limx→-21(x+2)(x-3)=∞,limx→31(x+2)(x-3)=∞,
所以,有兩條鉛直漸近線:x=-2,x=3（圖2.25）.
2. 水平漸近線（平行於x軸的漸近線）
圖2.26
如果limx→+∞f(x)=b或limx→-∞f(x)=b（b為常數）,那麼直線y=b稱為曲線y=f(x)的一條水平漸近線.
例如：曲線y=arctanx，因為limx→+∞arctanx=π2,limx→-∞arctanx=-π2,所以有兩條水平漸近線:y=π2,y=-π2（圖2.26）.
【例２．６5】求曲線y=2x-1+3的漸近線.
解因為limx→∞f(x)=limx→∞2x-1+3=3，所以y=3是曲線的水平漸近線；
又limx→1f(x)=limx→12x-1+3=∞，所以x=1是曲線的鉛直漸近線．
三、函數圖形的描繪
利用導數描繪函數圖形的一般步驟如下：
第一步：確定函數y=f(x)的定義域,並考察函數是否有奇偶性、周期性、曲線與坐標軸交點等特性,再求出函數的一階導數f′(x)和二階導數f″(x);
第二步：求出方程f′(x)=0和f″(x)=0在函數定義域內的全部實根，用這些根同函數的間斷點或導數不存在的點把函數的定義域劃分成幾個部分區間；
第三步：確定在這些部分區間內f′(x)和f″(x)的符號，並由此確定函數的單調性、極值、凹凸性及拐點；
第四步：確定曲線的漸近線；
第五步：描出與方程f′(x)=0和f″(x)=0的根對應的曲線上的點，有時還需要補充一些點，再綜合前四步討論的結果畫出函數的圖形.
圖2.27
【例２．６6】作函數f(x)=4(x+1)x2-2的圖形.
解定義域D:x≠0，非奇非偶函數,且無對稱性.
f′(x)=-4(x+2)x3,f″(x)=8(x+3)x4.
令f′(x)=0，得駐點x=-2；
令f″(x)=0，得x=-3.
列表討論函數的單調區間,凹凸區間及極值點和拐點:
x(-∞,-3)-3(-3,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)
f′(x)---0+不存在+
f″(x)-0++++
f(x)↓∩拐點
-３,-269↓∪極值點
-3↑∪間斷點↓∪
limx→∞f(x)=limx→∞4(x+1)x2-2=-2，得水平漸近線y=-2;
limx→0f(x)=limx→04(x+1)x2-2=+∞，得鉛直漸近線x=0.
補充點：(1-3,0),(1+3,0);A(-1,-2),B(1,6),C(2,1).
綜合上述分析，描繪出函數的圖形（圖2.27）.
【例２．67】作函數φ(x)=12πe-x22的圖形.
圖2.28
解定義域D:(-∞,+∞),偶函數, 圖形關於y軸對稱.
φ′(x)=-x2πe-x22；
φ″(x)=-(x+1)(x-1)2πe-x22.
令φ′(x)=0,得駐點x=0;
令φ″(x)=0,得x=-1,x=1.
列表討論函數的單調區間,凹凸區間及極值點與拐點:
x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)
φ′(x)+++0---
φ″(x)+0---0+
φ(x)↑∪拐點
-1,12πe↑∩極大值
12π↓∪拐點
1,12πe↓∪
因為limx→∞φ(x)=limx→∞12πe-x22=0,得水平漸近線y=0.
綜合上述分析，描繪出函數的圖形（圖2.28）.
習題2.8
1． 求下列曲線的凹凸區間與拐點：
（1） y=x3-6x2+12x+4；（2） y=xe-x；
（3） y=ln(1+x2)；（4） y=1+3x-3．
2． 求下列曲線的漸近線：
（1） y=1x2+x+1；（2） y=ln(x+3)；
（3） y=x(x-1)2；（4） y=2x2x2-1．
3． 已知曲線y=ax3+bx2+1以(1,3)為拐點，試求常數a,b的值．
4． 已知函數y=x3+ax2+bx+c在點x=0處有極值，且它的圖形有拐點(1,-1)，試求常數a,b,c的值．
5． 作出下列函數的圖形：
（1） y=13x3-x；（2） y=x2+1x；
（3） y=e1x；（4） y=4(x+1)x2-2．
第九節導數運算實驗
一、實驗目的
（１） 會利用MATLAB求函數的導數.
（2） 會利用MATLAB求函數的極值.
二、實驗指導
(1) 求導運算在MATLAB裏由命令函數diff()來完成，其具體形式為：
diff(function,variable, n)
參數function為需要進行求導運算的函數，variable為求導運算的獨立變量，n為求導的階次.命令函數diff()默認求導的階次為1階;如果表達式裏有多個符號變量,並且沒有在參數裏說明,則按人們習慣的獨立變量順序確定進行求導的變量.
(2) 求n個方程n個未知數的方程組解的命令格式為:
[var1,var2,…,varn]=solve(eqn1,eqn2,…,eqnn,var1,var2,…,varn)
其中eqnn表示第n個方程,varn為第n個變量.
(3) MATLAB也提供了另一個功能強大的畫圖函數ezplot,格式為:
ezplot(fun,[a,b])
其中[a,b]可省略,缺省狀態下為[-π,π].
【例2.68】求函數y=x5+4sinx-cosx+7的導數.
解在命令窗口中輸入:
symsx
y=x^5+4*sin(x)-cos(x)+7;
diff(y,x)
按“回車”鍵，顯示結果為：
ans=
5*x^4+4*cos(x)+sin(x)
所以y′=5x4+4cosx+sinx
【例2.69】已知函數y=3(x+1)2(x-1)(x+2)，求y′x.
解在命令窗口中輸入：
clear
symsx;
y=((x+1)^2\/((x-1)*(x+2)))^(1\/3);
diff(y,x)
按“回車”鍵，顯示結果為：
ans=
1\/3\/((x+1)^2\/(x-1)\/(x+2))^(2\/3)*(2*(x+1)\/(x-1)\/(x+2)-(x+1)^2\/(x-1)^2\/(x+2)-(x+1)^2\/(x-1)\/(x+2)^2)
上式顯示結果較為複雜，可以用pretty函數，令結果顯示得更為直觀
在命令窗口中輸入：
pretty(ans)，
結果如圖2.29所示.
圖2.29
把結果進行簡化可以寫成y′=133(x+1)2(x-1)(x+2)2x+1-1x-1-1x+2.
【例2.70】求s=e-tcost的二階導數.
解在命令窗口中輸入：
clear
symst;
s=exp(-t)*cos(t);
diff(s,t,2)
按“回車”鍵，顯示結果為：
ans=
2*exp(-t)*sin(t)
所以s″=2e-tsint
【例2.71】以初速度v0、發射角α發射炮彈，其運動方程為
x=(v0cosα)t，
y=(v0sinα）t-12gt2．
求炮彈在任何時刻的運動速度的大小和方向.
解在命令窗口中輸入以下命令：
symsav0tg;
x=v0*cos(a)*t;
y=v0*sin(a)*t-1\/2*g*t^2；
vx=diff(x,t);
vy=diff(y,t);
v=sqrt(vx^2+vy^2);％求炮彈的運動速度
v=simplify(v);%simplify表示對函數v進行化簡
按“回車”鍵，顯示結果為：
v=(v0^2-2*v0*sin(a)*g*t+g^2*t^2) ^(1\/2)
tanb=vy\/vx；%求炮彈的方向
pretty(tanb)
按“回車”鍵，顯示結果為：
tanb=
v0sin(a)-gtv0cos(a)
所以v=v20-2(v0sinα)gt+(gt)2，
tanθ=v0sinα-gtv0cosα．
【例2.72】求函數f(x)=(x2-1)3+1的極值.
解在命令窗口中輸入：
圖2.30
clear
symsx;
y=(x^2-1)^3+1;
yx=diff(y);
X=solve(yx)
按“回車”鍵，顯示結果為：
X=
-1
１
0
所以駐點為x=-1,0,1
再在命令窗口中輸入：
ezplot(y)
從函數圖形（圖2.30）中可以看出，x=0 取得函數的極小值.
所以函數的極小值為：
(0^3-1)^3+1
ans=
0
從函數的圖形中也可以觀察出來函數的極小值為f(0)=0.
【例2.73】鐵路線上AB段的距離為100km，工廠C距離A處為20km,AC垂直於AB（圖2.31）.為了運輸需要，要在AB線上選定一點D向工廠修一條公路.已知鐵路上每千米貨運的費用與公路上每千
米的貨運費用之比為3∶5，為了使貨物從供應站B到工廠C的總運費最省，問D應選在何處？
圖2.31
解通過建模過程可知
y=5k400+x2+3k(100-x)(0≤x≤100)
問題歸結為：求x取何值時，函數y在區間[0，100]內取得最小值.
在命令窗口中輸入：
clear
symskx；
y=5*k*sqrt(400+x^2)+3*k*(100-x);
yx=diff(y,x);
x=solve(yx)(solve()是命令窗口中解方程的一個函數，格式為solve(function))
按“回車”鍵，顯示結果為：
x=15
函數y在[0,100]內隻有一個駐點，因此，當x=15時，函數有最小值，即運費最省.
習題２．９
1. 利用MATLAB計算下列函數的一、二階導數:
（1） y=(x3+1)2;(2) y=sin2x.
2. 利用MATLAB計算下列函數的近似值：
（1） cos30°12′;(2) e1.02.
3. 利用MATLAB計算下列函數的極值：
（1） y=4x3-3x2-6x+2;(2) y=x-ln(1+x).
本章小結
1． 導數的概念
（1） 函數y=f(x)的導數（變化率）：f′(x)=limΔx→０f(x+Δx)-f(x)Δx.
（2） 導數的幾何意義：f′(x0)是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率．
（3） 可導與連續的關係：可導必連續，連續未必可導．
（4） 高階導數：二階導數y″=(y′)′，三階導數y=(y″)′，…，
n階導數y(n)=(y(n-1))′.
2． 導數基本公式與求導法則
（1） 基本初等函數的導數公式（16個）．
（2） 導數的四則運算法則．
（3） 複合函數求導法則，隱函數求導法則，對數求導法，由參數方程所確定的函數求導法．
3． 微分的概念
（1） 函數y=f(x)的微分：dy=f′(x)dx（dx=Δx,x為自變量）．
（2） 微分的幾何意義：dy=f′(x0)Δx是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的縱坐標的增量．
（3） 可導與可微的關係：可導必可微，可微必可導．
4． 微分的計算及應用
（1） 利用微分定義dy=f′(x)dx求微分．
（2） 利用微分基本公式和運算法則求微分．
（3） 利用微分形式不變性求微分．
（4） 當｜Δx｜很小時，有近似計算公式：
Δy≈dy=f′(x)Δx；
f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx．
5． 導數的幾何應用
曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程與法線方程為：
y-y0=f′(x0)(x-x0)和y-y0=-1f′(x0)(x-x0)．
6． 導數在研究函數性態方麵的應用
（1） 利用導數研究函數性態的理論根據是拉格朗日中值定理．
（2） 利用一階導數的符號判定函數的單調性．
（3） 利用一階導數或二階導數的符號判定函數極值．
（4） 利用二階導數的符號判定曲線的凹凸性及曲線的拐點．
（5） 函數圖形的描繪：根據函數的定義域、奇偶性、漸近線、單調性、極值、凹凸性及拐點，列表討論並作出函數圖形．
（6） 最值應用問題：首先根據題意，建立數學模型；然後求出函數駐點，若在所考慮的定義域內駐點唯一，則函數在該駐點處取得最值．
7． 導數在求極限方麵的應用
洛必達法則：若limx→x0(x→∞)f(x)g(x)是00型或∞∞型未定式，且limx→x0(x→∞)f′(x)g′(x)存在（或為∞），則limx→x0(x→∞)f(x)g(x)=limx→x0(x→∞)f′(x)g′(x)．
第三章一元函數積分學及應用
第三章一元函數積分學及應用
本章將討論函數的不定積分和定積分的概念、性質以及常用積分方法，還要介紹定積分在幾何、物理上的一些簡單應用．
第一節不定積分的概念與性質
學習目標
1． 理解原函數與不定積分的概念,了解不定積分的性質.
2． 掌握不定積分基本公式，會用直接積分法求不定積分．
在科學技術和生產實踐中，常常會遇到與求導問題相反的另一類問題：已知這個函數的導數，求這個函數.
案例３．１已知某物體在任一時刻t的速度v=v(t),求在時刻t時物體走過的路程s=s(t).
案例３．２已知電路上任一時刻t的電流i=i(t),求在時刻t電路上的電量Q=Q（t）.
案例３．３已知曲線上任一點（x,y）處的切線斜率為k=k(x)，求該曲線方程y=f(x).
微課
這類已知一個函數的導數F′（x）=f(x)，要反過來求這個函數F（x）的問題（即導數的逆運算），正是本章首先要討論的一個主要問題.
一、原函數與不定積分的概念
定義３．1如果在區間I上，可導函數F(x)的導函數為f(x)，即對任一x∈I，都有
F′(x)=f(x),
那麼函數F(x)就稱為f(x)在區間I上的一個原函數．
例如，(sinx)′＝cosx，所以sinx是cosx在（－∞，+∞）上的一個原函數．
又例如，（x3）′=3x2,所以x3是3x2在(-∞,+∞)上的一個原函數.
那麼，是否每一個函數都存在原函數？回答是否定的，但有如下結論．
定理3.1（原函數存在定理）如果函數f(x)在區間I上連續，那麼在區間I上存在可導函數F(x)，使對任一x∈I都有
F′(x)＝f(x)．
定理證明從略．
此定理告訴我們，連續函數一定有原函數．從而得到，初等函數在定義域內必有原函數．
我們知道（sinx+1）′=cosx,則sinx+1也是cosx的一個原函數.那麼sinx-2呢？是否也是它的原函數？回答是肯定的，因為常數的導數為零，由此可以得到sinx+C都是cosx的原函數．由這個例子可以得到，如果一個函數存在原函數，那麼它的原函數一定是無窮多個．
定理3.2如果F(x)是f(x)定義在區間I上的一個原函數，則F(x)+C（C為任意常數）也是f(x)的原函數,且F(x)+C包含了在該區間上的所有原函數.
注意：f(x)的任意兩個原函數之間隻差一個常數,即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函數,則Φ(x)-F(x)=C(C為某個常數).所以，如果找到了一個原函數，就能找到它的全部原函數．
定義3.2設F(x)是f(x)定義在區間I上的一個原函數,則它的全部原函數F(x)+C稱為f(x)在I上的不定積分,記作∫f(x)dx，即
∫f(x)dx=F(x)+C，
其中∫為積分號,f(x)為被積函數,f(x)dx為被積表達式,x為積分變量.
【例３．1】求∫１１+x2dx.
解因為(arctanx)′=11+x2,所以arctanx是11+x2的一個原函數，從而有
∫dx1+x2=arctanx+C.
【例３．２】求函數f(x)=1x（x≠0）的不定積分.
解當x>0時,(lnx)′=1x,則
∫1xdx=lnx+C(x>0);
當x<0時,[ln(-x)]′=1-x·(-1)=1x,則
∫1xdx=ln(-x)+C(x<0).
合並上麵兩式,得到
∫１xdx=ln｜x｜+C(x≠0).
按照定義，一個函數的原函數或不定積分都有相應的定義區間，為了簡便起見，一般不再注明積分變量的區間.
圖3.1
二、不定積分的幾何意義
函數f(x)的原函數F(x)的圖形,稱為函數f(x)的積分曲線.不定積分的圖形是一族積分曲線,這族曲線可由一條積分曲線y=F(x)經上下平行移動得到,這族曲線中的每一條曲線在橫坐標為x的點處的切線斜率都是f(x)(如圖3.1).
【例3.3】設曲線通過點(1，2)，且其上任一點處的切線斜率等於這點橫坐標的２倍，求此曲線的方程．
解設所求的曲線方程為y＝f(x)，按題設，曲線上任一點(x，y)處的切線斜率為k=f′(x)=2x,則有
∫2xdx=x2+C,
故必有某個常數C使f(x)=x2+C,即曲線方程為y=x2+C.又因為所求曲線通過點(1,2),故2=1+C,得C=1，則
曲線方程為y=x2+1.
三、不定積分的性質
根據不定積分的定義,不難推出下麵的性質：
性質3.1ddx[∫f(x)dx]=f(x)或d[∫f(x)dx]=f(x)dx;
性質3.2∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C.
由此可見,微分運算（以記號d表示）與求不定積分的運算（簡稱積分運算，以記號∫表示）是互逆的.當記號∫與d連在一起時，或者抵消，或者抵消後差一個常數．
性質3.3被積函數中的常數因子可以提到積分號外麵去，即
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx（k為常數，k≠0）.
性質3.4函數和差的不定積分等於各個函數的不定積分的和差，即
∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.
四、基本積分公式
由於積分運算是微分運算的逆運算，所以從基本導數公式，可以直接得到基本積分公式，如：(tanx)′=sec2x,則積分公式為∫sec2xdx=tanx+C，類似地，可以推導其他積分公式如下:
（１） ∫dx=x+C（２） ∫xμdx=xμ+1μ+1+C(μ≠-1)
（３） ∫dxx=ln｜x｜+C（４） ∫axdx=axlna+C，∫exdx=ex+C
（５） ∫cosxdx=sinx+C（６） ∫sinxdx=-cosx+C
（７） ∫sec2xdx=tanx+C（８） ∫csc2xdx=-cotx+C
（９） ∫secxtanxdx=secx+C（１０） ∫cscxcotxdx=-cscx+C
（１１） ∫dx1+x2=arctanx+C（１２） ∫dx1-x2=arcsinx+C
這些積分公式是積分運算的基礎，對學習本課程十分重要，必須牢牢記住．
利用不定積分的性質及基本積分公式，可以求出一些簡單函數的不定積分．
【例３．４】求∫x(x2-5)dx．
解∫x(x2-5)dx=∫x52-5x12dx=∫x52dx-5∫x12dx
=27x72-103x32+C．
遇到多項積分時，不需要對每個積分都加任意常數，隻需要待各項積分都計算結束後，總的加一個任意常數就可以了．
【例３．５】求∫１+x+x2x(1+x2)dx.
解因為1+x+x2x(1+x2)=(1+x2)+xx(1+x2)=1x+1(1+x2)，所以
∫1+x+x2x(1+x2)dx=∫1xdx+∫11+x2dx=ln｜x｜+arctanx+C.
【例３．6】求∫tan2xdx.
解因為tan2x=sec2x-1，所以
∫tan2xdx=∫(sec2x-1)dx=∫sec2xdx-∫dx
=tanx-x+C.
【例３．７】求∫（ex-3cosx+2xex）dx.
解∫（ex-3cosx+2xex）dx=∫exdx-3∫cosxdx+∫(2e)xdx
=ex-3sinx+(2e)xln(2e)+C
=ex-3sinx+(2e)x1+ln2+C.
【例３．８】求∫x41+x2dx.
解因為x41+x2=x4-1+11+x2=(x2+1)(x2-1)+11+x2=x2-1+11+x2，所以
∫x41+x2dx=∫x2-1+11+x2dx=13x3-x+arctanx+C.
【例３．９】求∫１sin２x2cos2x2dx．
解因為sinx2cosx2=12sinx，所以sinx2cosx22=14sin2x，所以
∫1sin2x2cos2x2dx=4∫1sin2xdx=4∫csc2xdx=-4cotx+C.
習題3．1
1． 計算下列不定積分：
（1） ∫1x3dx；（２） ∫(3x5-4x+1)dx；
（3） ∫x2xdx；（4） ∫(ex-3cosx)dx；
（5） ∫2xexdx；（6） ∫(x-2)2dx；
（7） ∫21-x2+31+x2dx；（8） ∫2cosx+3sin2xdx．
2． 計算下列不定積分:
（1） ∫(x-1)3x2dx；(2) ∫x2+31+x2dx；
（3） ∫sin2x2dx；(4) ∫1x2(1+x2)dx；
（5） ∫x3+3x2-4x+2dx；（6） ∫secx-tanxcosxdx；
（7） ∫cos2xcosx-sinxdx；(8) ∫cos2xcos2xsin2xdx；
（9） ∫sinx2+cosx22dx；(10) ∫1-cos2xsin2x2dx．
3． 已知曲線上任一點的切線斜率為4x3，求滿足此條件的所有的方程，並求出過點(-1,1)的曲線方程.
第二節換元積分法
學習目標
1． 了解積分中變量代換的基本思想．
2． 熟練掌握第一類換元積分法．
3． 掌握第二類換元積分法.
直接利用不定積分的基本積分公式和性質所能計算的積分是很有限的，有很多不定積分甚至簡單的函數積分也很難直接積分求得，所以必須進一步來研究不定積分的求法．本節將介紹換元積分法，是把複合函數求導法則反過來應用於不定積分，通過適當的變量替換，把某些不定積分化成基本積分公式中所列的形式再計算出結果．換元積分通常分為兩類，即第一類換元法與第二類換元法．
案例３．４求∫(x+1)2dx．
分析：原式=∫(x2+2x+1)dx=13x3+x2+x+C．
以上是用展開的方法來求不定積分，但是對於次方比較高的，則顯得很繁瑣，而且有時不可能一一展開，所以想到了另一種方法，即換元法，如求∫(x+1)10dx:
因為d(x+1)=dx，所以可以設u=x+1，則原式變為
∫(x+1)10dx=∫(x+1)10d(x+1)=∫u10du=111u11+C
=111(x+1)11+C．（回代u=x+1）
微課
這種求不定積分的方法就是第一類換元法．
一、第一類換元法（湊微分法）
定理3.3設f(u)具有原函數F(u)，即∫f(u)du=F(u)+C，若u=φ(x)，且φ(x)可微,則有換元公式
∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=F[φ(x)]+C．
定理證明從略．
此方法稱為第一類換元法，或湊微分法．湊微分法的關鍵是在被積表達式中找出f[φ(x)]與φ′(x)，將φ′(x)dx寫成dφ(x)，下麵舉例說明這一方法的應用.
【例３．１０】求∫2cos2xdx．
解在被積函數中，cos2x是複合函數，設f[φ(x)]=cos2x，取u=φ(x)＝2x，由於dx=12d(2x)，所以
∫2cos2xdx=2∫cos2x·12d(2x)＝∫cos2xd(2x)
＝∫cosudu=sinu+C（基本積分公式）
=sin2x＋C.（回代u=2x）
【例３．１１】求∫１3+2xdx．
解設f[φ(x)]=13+2x，取u=φ(x)=3+2x，由於dx=12d(2x+3)，所以
原式=12∫13+2xd(3+2x)=12∫1udu（基本積分公式）
=12ln｜u｜+C（回代u=3+2x）
=12ln｜3+2x｜+C.
對上述換元法熟練之後，可不必寫出變量代換.
【例3．１２】求∫tanxdx.
解∫tanxdx=∫sinxcosxdx=-∫1cosxdcosx
=-ln｜cosx｜+C.
類似地可得∫cotxdx=ln｜sinx｜+C.
【例３．１３】求∫dxx(1+2lnx).
解∫dxx(1+2lnx)=∫dlnx1+2lnx=12∫d(1+2lnx)1+2lnx=12ln｜1+2lnx｜+C.
【例３．１４】求∫2xex2dx．
解∫2xex2dx=∫ex2d(x2)=ex2+C．
【例３．１５】求∫ex1+exdx．
解∫ex1+exdx=∫11+exd(ex)=∫11+exd(ex+1)=ln(1+ex)+C．
湊微分法是一種很重要的方法，它可以求出許多類型函數的積分，但技巧性很強.除熟悉基本積分公式外，還需多做練習才能掌握.為了更好地掌握此法，現歸納出一些常用的湊微分公式如下：
dx=1ad(ax+b)（a,b為常數,a≠0）;xdx=12d(x2);
dxx2=－d1x;1xdx=d(lnx);(x>0)
1xdx=2d(x);exdx=d(ex);
sinxdx=-d(cosx);cosxdx=d(sinx);
sec2xdx=d(tanx);csc2xdx=-d(cotx);
11+x2dx=d(arctanx);11-x2dx=d(arcsinx).
為了有效地湊出微分，有時采用恒等變形的方法．例如利用三角恒等式.
【例３．１６】求∫sin2xdx.
解因為sin2x=1-cos2x2，所以
原式=12∫(1-cos2x)dx=12(∫dx-∫cos2xdx)=12x-14sin2x+C.
【例3.17】求∫sin2xcos3xdx.
解因為sin2xcos3x=12［sin(2x+3x)+sin(2x－3x)］=12(sin5x－sinx)，所以
∫sin2xcos3xdx=12∫(sin5x－sinx)dx=12∫sin5xdx－∫sinxdx
=1215∫sin5xd5x－∫sinxdx=－110cos5x+12cosx+C．
【例３．１8】求∫cscxdx．
解法一∫cscxdx=∫1sinxdx=12∫dxsinx2cosx2（分母乘以cosx2cosx2）
=12∫dxtanx2cos2x2=∫sec2x2dx2tanx2（ 因為1cos2x=sec2x）
=∫dtanx2tanx2（因為sec2xdx=dtanx）
=ln｜tanx2｜+C.
解法二∫cscxdx=∫cscx(cscx-cotx)cscx-cotxdx=∫1cscx-cotxd(cscx-cotx)
=ln|cscx－cotx|＋C．
利用類似的方法可求∫secxdx=ln｜secx+tanx｜+C,或者采用
∫secxdx=∫cscx+π２dx=ln｜cscx+π2-cotx+π2｜+C
=ln|secx+tanx|+C.
此例表明，同一個不定積分，選擇不同的方法，得到的結果形式可能不相同，但實質是一樣的，隻要用導數即可驗證它們的正確性．
【例３．１9】求∫１a2+x2dx(a≠0).
解∫1a2+x2dx=1a2∫11+xa2dx（利用公式∫11+x2dx=arctanx+C）
=1a∫11+xa2dxa=1aarctanxa+C.
【例３．20】求∫１x2+4x+5dx．
解因為x2+4x+5=(x+2)2+1，所以
原式=∫11+(x+2)2dx=arctan(x+2)+C．
【例３．２1】求∫１x2-a2dx．
解∫1x2-a2dx=12a∫1x-a-1x+adx=12a∫1x-adx-∫1x+adx
=12a∫1x-ad(x-a)-∫1x+ad(x+a)
=12a[ln｜x-a｜-ln｜x+a｜]+C=12alnx-ax+a+C．
【例３．２2】求∫1x2-5x+6dx.
解因為x2-5x+6=(x-2)(x-3)，所以
原式=∫1(x-2)(x-3)dx=∫1x-3-1x-2dx=lnx-3x-2+C．
【例３．２3】當a＞0時,求∫1a2-x2dx．
解∫1a2-x2dx=1a∫11-xa2dx（利用公式∫11-x2dx=arcsinx+C）
=∫11-xa2dxa=arcsinxa+C.
同理可求當a<0時，∫1a2-x2dx=arcsinxa+C.
二、第二類換元法
第一類換元法主要是進行適當的湊微分後，能根據一個基本公式來計算，但是並不是所有的被積函數都能夠湊成功，這時可以嚐試用適當的變量替換來改變被積表達式的結構，使之化為基本積分公式中的某一個形式.
案例3.5求∫1x+1dx．
分析：基本積分公式中沒有公式可供本題直接套用，湊微分也不容易，本題的難度在於函數中含有根式，如果能去掉根式，就可解決，為此作如下變換：
令x=t,則x=t2,dx=2tdt,於是
原式=∫11+t2tdt=2∫t1+tdt=2∫t+1-11+tdt
=2∫1-11+tdt=2[t-ln(1+t)]+C
=2[x-ln(1+x)]+C．
上述案例通過換元，消除根號，轉換為關於t的積分，在新變量的原函數求得後，再代回原變量，得到所求的不定積分，這就是第二類換元法.
定理３．４設x=φ(t)是單調的、可導的函數,並且φ′(t)≠0.又設f[φ(t)]φ′(t)具有原函數G(t),則有換元公式
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt=G(t)+C=G[φ-1(x)]+C.
其中t=φ-1(x)是x=φ(t)的反函數.
定理證明從略.
第二類換元積分的關鍵在於選擇合適的換元x=φ(t)，使得換元後的積分容易求出.通常做法是試探代換掉被積函數中比較難處理的項，下麵舉例說明此法的應用.
若被積函數中含有ax+b,3ax+b等，則進行簡單的根式代換.
【例３．２4】求∫１x(1+3x)dx．
解令x=t6,則dx=6t5dt,於是
原式=6∫t21+t2dt=6∫1-11+t2dt=6t-6arctant+C
=66x-6arctan6x+C.(回代t=6x)
若被積函數中含有a2+x2，x2-a2，a2-x2等根式，則可以用三角代換的方法簡化被積函數.
【例３．２5】求∫a2-x2dx(a>0).
解此題同樣含有根式，我們也希望去掉根式，所以想到用三角代換的方法消除根式.
設x=asint，-π2 圖3.2 ∫a2-x2dx=∫acost·acostdt=a2∫cos2tdt =a22∫(1+cos2t)dt=a212t+14sin2t+C. 再代回原變量x，根據所設x=asint,作輔助直角三角形(圖3.2)，有sint=xa,cost=a2-x2a，則t=arcsinxa,sin2t=2sintcost=2xa·a2-x2a,所以 ∫a2-x2dx=a212t+14sin2t+C=a22arcsinxa+12xa2-x2+C. 【例３．２6】求∫dxx2+a2(a>0). 解設x=atant，-π2 圖3.3 ∫dxx2+a2=∫asec2tasectdt=∫sectdt=ln｜sect+tant｜+C. 再代回原來變量x,為避免三角函數運算，根據x=atant,作輔助直角三角形(圖3.3)，有sect=x2+a2a,tant=xa,所以 ∫dxx2+a2=ln｜sect+tant｜+C1=lnxa+x2+a2a+C1 =ln(x+x2+a2)+C,其中C=C1-lna． 【例３．２7】求∫dxx2-a2(a>0). 解當x>a時,設x=asect(0 ∫dxx2-a2=∫asecttantatantdt=∫sectdt=ln｜sect+tant｜+C. 圖3.4 根據x=asect,作輔助直角三角形(圖3.4)，有tant=x2-a2a,sect=xa,所以 ∫dxx2-a2=ln｜sect+tant｜+C1=lnxa+x2-a2a+C1 =ln（x+x2-a2)+C,其中C=C1-lna． 當xa,於是 ∫dxx2-a2=-∫duu2-a2=-ln｜u+u2-a2｜+C =-ln｜-x+x2-a2｜+C =ln1-x+x2-a2+C （分母有理化） =ln-x-x2-a2a2+C1=ln｜x+x2-a2｜+C, 其中C=C1-2lna． 綜合起來有 ∫dxx2-a2=ln｜x+x2-a2｜+C. 上述三個典型的例子具有一般性：當被積函數裏含有a2+x2時,一般令x=atant;當被積函數裏含有x2-a2時,一般令x=asect；當被積函數裏含有a2-x2時,一般令x=asint.在變量替換後，原來關於x的不定積分轉化為關於t的不定積分，在求得關於t的不定積分後，必須代回原變量，在進行三角函數換元時，可以由三角函數與角的關係，作直角三角形，以便於回代.在本節的例題中，有幾個積分的類型是以後經常會遇到的，它們通常也被當作公式使用.常用的積分公式，除了基本積分表中的12個外，我們再補充幾個公式如下（其中a>0）: （13） ∫tanxdx=-ln｜cosx｜+C；（14） ∫cotxdx=ln｜sinx｜+C； （15） ∫secxdx=ln｜secx+tanx｜+C；（16） ∫cscxdx=ln｜cscx-cotx｜+C； （17） ∫1a2+x2dx=1aarctanxa+C；（18） ∫1x2-a2dx=12alnx-ax+a+C； （19） ∫1a2-x2dx=arcsinxa+C；（20） ∫dxx2+a2=ln｜x+x2+a2｜+C； （21） ∫dxx2-a2=ln｜x+x2-a2｜+C. 第二類換元法並不僅僅限於上述的幾種形式，它也是非常靈活的方法，應根據所給被積函數在積分時的困難所在，選擇適當的變量替換，轉化成便於求積的形式，請看下麵的例子． 【例３．２8】求∫x(x-3)20dx. 解此題沒有基本積分公式可用，湊微分也不能解決，20次方展開又很麻煩，采用換元的方法，設t=x-3,則x=t+3，dx=dt，所以 原式=∫(t+3)t20dt=∫(t21+3t20)dt=122t22+321t21+C.（回代t=x-3） =122(x-3)22+321(x-3)21+C. 【例３．２9】求∫１x(x7+3)dx． 解此題同樣也沒有基本公式可用，我們采取一種新的方法叫作倒代換，令x=1t，則dx=-1t2dt,所以 原式=∫11t1t7+3d1t=-∫t6[3t7+1]d(t)=-121ln｜3t7+1｜+C =-121ln3+x7x7+C. 習題3.2 1. 用第一類換元法求下列不定積分: （1） ∫sin(3x+4)dx;（2） ∫(2x+1)3dx； （3） ∫1(3x+2)2dx；（4） ∫12x+5dx; （5） ∫132+3xdx;（6） ∫e-5xdx． 2. 用第一類換元法求下列不定積分: （1） ∫exxdx；（2） ∫x1-x2dx； （3） ∫2xex2dx；（4） ∫1xlnxdx； （5） ∫x+ln2x(xlnx)2dx；（6） ∫x2x+3dx； （7） ∫2x2x+1dx；（8） ∫x2-3x+1dx； （9） ∫1x2sin3xdx；(10) ∫1+x(1-x)2dx； （11） ∫x+arctanx1+x2dx；（12） ∫x3x2+1dx. 3. 用第一類換元法求下列不定積分: (1) ∫sin3xdx；(2) ∫sin2xcos5xdx； (3) ∫cos2xdx；(4) ∫cos4xdx； (5) ∫tanxcos2xdx；(6) ∫11+cosxdx； (7) ∫sinxcosx1+cos2xdx；(8) ∫tan3xdx； (9) ∫3-cot2xcos2xdx；(10) ∫1-cosxx-sinxdx； (11) ∫cosx7+cos2xdx；(12) ∫11+sinxdx． 4. 用第一類換元法求下列不定積分: (1) ∫11+4x2dx；（2） ∫x2x6+4dx； （3） ∫ex1+e2xdx；(4) ∫1x(1+ln2x)dx； （5） ∫19-x2dx；(6) ∫1-x9-4x2dx； (7) ∫1x2-5x+4dx；(8） ∫xa4-x4dx； (9） ∫11-2x-x2dx；（10） ∫1x2+2x+5dx． 5. 用第二類換元法求下列不定積分: (1) ∫x-1xdx；(2) ∫dx1+3x+2； (3) ∫dx2+x；(4) ∫1x1+xxdx； （5） ∫1-x2xdx；（6） ∫x2-1xdx； （7） ∫1-x2x2dx；（8） ∫dxx21+x2； (9) ∫dx(x2+4)32；(10) ∫x3dx(1-x2)32； (11) ∫x(3-x)7dx；(12) ∫x(5x-1)15dx． 第三節分部積分法 學習目標 1. 了解分部積分法的基本思想. 2. 會用分部積分公式解決一些簡單函數的積分. 利用前麵所介紹的積分方法可以解決許多積分的計算，但對於像∫lnxdx、∫x2exdx、∫xcosxdx等這樣一些簡單的積分卻仍然無能為力，為了解決這個問題，我們可用兩個函數乘積的微分法來推導出積分的另外一種方法，先看下麵一個案例． 案例3.6求∫lnxdx． 分析：由乘積的導數公式 (xlnx)′=lnx+1， 通過移項得 lnx=(xlnx)′-1， 兩邊同時求積分，得 ∫lnxdx=xlnx-∫dx． 方程的左端即為所求的不定積分，發現所求的不定積分轉化為右端的兩項，其中隻有一項是不定積分，而且隻要用基本積分公式就可以求出，所以 ∫lnxdx=xlnx-x+C． 由案例3.６知，本來不易求出的不定積分，隻要經過適當的轉化便可求出結果．對以上討論加以總結，就是下麵的分部積分公式. 微課 一、分部積分公式 設函數u=u(x),v(x)具有連續導數，則(uv)′=u′v+uv′. 移項得到uv′=(uv)′-u′v， 寫成微分形式為udv=d(uv)-vdu．(3.1) 兩邊積分，得 ∫udv=uv-∫vdu．(3.2) (3.2)式即為分部積分公式．由分部積分公式可知，如果等式右端中的積分較左端積分容易求出，則可借助該公式求出左端積分的結果，這種求積分的方法叫作分部積分法． 選取u與v的原則是：v要容易求得，且使得積分∫vdu較積分∫udv容易求出，那麼可考慮用分部積分法計算．當不定積分中的被積函數為反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數這五類函數的乘積時，一般取前者為u(x)，即按“反、對、冪、三、指”的順序，將前者選項為u(x)，剩餘部分選作dv．不難驗證，這種選u(x)的方法符合上述選u與v的原則． 【例３．30】求∫xsinxdx． 解設u=x，dv=sinxdx，那麼du=dx，易得v=-cosx，代入分部積分公式得 ∫xsinxdx=-∫xdcosx=-xcosx+∫cosxdx， 而上式右端中的積分∫cosxdx容易求出，所以 ∫xsinxdx=-xcosx+sinx+C． 注意：求這個積分時，如果設u=sinx，dv=xdx，那麼 du=cosxdx，v=12x2． 於是∫xsinxdx=x22sinx-∫x22cosxdx，則更難求得. 【例３．３1】求∫xlnxdx． 分析：考慮設u=lnx,dv=xdx,則du=1xdx,v=12x2，從而∫vdu作為冪函數的積分易於求出，故分部積分公式可用． 解原式=12∫lnxdx2=12x2lnx-12∫x2·1xdx =12x2lnx-12∫xdx =12x2lnx-14x2+C. 注意：一般來說，積分式∫xαlnxdx(α≠-1)與此題是同一題型，其中α是不等於-1的任意實數，當α=-1時用第一類換元法． 【例３．３2】求∫arccosxdx． 分析：被積函數arccosx也是兩類不同函數的乘積,它是冪函數x0=1與反三角函數arccosx的乘積，所以考慮用分部積分法來積分． 解設u=arccosx,dv=dx，則 原式=xarccosx-∫xdarccosx=xarccosx+∫x1-x2dx =xarccosx-12∫(1-x2)-12d(1-x2)=xarccosx-1-x2+C． 【例３．３3】求∫x2exdx. 解設u=x2，dv=exdx，於是 ∫x2exdx=∫x2dex=x2ex-∫exdx2 =x2ex-2∫xexdx=x2ex-2∫xdex =x2ex-2xex+2∫exdx =x2ex-2xex+2ex+C =（x2-2x+2）ex+C 注意：由此題可以看出，同一道題中，有時須要反複多次運用分部積分. 【例３．３4】求∫exsinxdx． 解設u=sinx，dv=exdx，於是 ∫exsinxdx=∫sinxdex=exsinx-∫exdsinx =exsinx-∫excosxdx 對∫excosxdx再使用分部積分法：設u=cosx，dv=exdx,故 ∫excosxdx=excosx+∫exsinxdx 從而∫exsinxdx=exsinx-excosx-∫exsinxdx 移項，兩邊同除以2得: ∫exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C． 在上麵的分部積分中，若運算比較熟練以後，寫出u及dv的過程可以省略. 【例３．３5】求∫exdx． 分析：鑒於積分式中根式帶來的困難，我們想到要先用變量替換法消去根式，然後再觀察用什麼方法積分． 解令x=t，則x=t2，dx=2tdt.於是 ∫exdx=2∫tetdt（顯然應該用分部積分法） =2tet-2∫etdt=2tet-2et+C 並用t=x 代回，便得 ∫exdx=2xex-2ex+C=2ex(x-1)+C． 注意：在此例中，先用了換元積分法，後用了分部積分法.在實際積分過程中,往往要兼用換元法與分部積分法才能求出結果． 【例３．３6】求∫sec3xdx. 分析：把被積函數看作secx·sec2x，用分部積分法可求. 解∫sec3xdx=∫secx·sec2xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫secxtan2xdx =secxtanx-∫secx(sec2x-1)dx=secxtanx-∫sec3xdx+∫secxdx =secxtanx+ln｜secx+tanx｜-∫sec3xdx, 所以∫sec3xdx=12(secxtanx+ln｜secx＋tanx｜)+C. 求不定積分的技巧性很強，常常比較困難，甚至看似簡單的函數積分也不能用初等函數表示,如∫sinxxdx．但一些必要的計算公式和方法，大家仍然需要熟練掌握，在今後的工作中，也可以通過查積分表（見附錄）或一些計算軟件實現不定積分的計算． 習題3.3 1. 求下列不定積分: (1) ∫xcos2xdx；（2） ∫xtan2xdx； (3) ∫xcosxdx；(4) ∫x2cosxdx； (5) ∫xcosxsinxdx；(6) ∫xsin2xdx； (7) ∫sinxdx；(8) ∫x5sinx2dx； （9） ∫xcosxsin3xdx；（10） ∫xarcsinx1-x2dx． 2. 求下列不定積分: (1) ∫x3lnxdx；(2) ∫lnxx2dx； (3) ∫ln(1+x2)dx；（4） ∫xln(x-1)dx． 3. 求下列不定積分: (1) ∫xexdx；(2) ∫xe-2xdx； (3) ∫(x-1)5xdx；(4) ∫x3e-x2dx； (5) ∫ex1x-1dx;(6) ∫xexdx． 4. 求下列不定積分: （1） ∫arcsinxdx；(2) ∫arcsinxxdx； (3) ∫arctanxdx；(4) ∫xarctanxdx； (5) ∫arctanxdx；（6） ∫x2arctanxdx． 5. 求下列不定積分: （1） ∫excosxdx；（2） ∫exsin2xdx； （3） ∫excos2xdx；(4) ∫coslnxdx． 第四節有理函數的積分 學習目標 1. 了解有理函數的積分方法． 2. 會求簡單有理函數的積分． 有理函數是指由兩個多項式的商所表示的函數，即具有如下形式的函數： P(x)Q(x)=anxn+an-1xn-1+…＋a0bmxm+bm-1xm-1+…+b0(３．３) 其中m,n為非負整數,a0,…,an及b0,…,bm為常數,且an≠0,bm≠0,當n≥m時,(3.3)式為假分式;當n 任何一個假分式都可以化為多項式和真分式的和,例如x2+x+1x2+1=1+xx2+1，而多項式積分是容易的,所以我們一般考慮真分式的不定積分．下麵看幾個真分式積分: 【例３．３7】求∫x+3x2-5x+6dx. 解分母x2-5x+6=(x-2)(x-3)，設 x+3x2-5x+6=Ax-3+Bx-2 其中Ａ，Ｂ為待定係數，右邊通分,得 x+3x2-5x+6=A(x-2)+B(x-3)x2-5x+6=(A+B)x-(2A+3B)x2-5x+6 兩邊恒等，觀察x同次冪的係數，得 A+B=1 2A+3B=-3 即A=6,B=-5，則 ∫x+3x2-5x+6dx=∫x+3(x-2)(x-3)dx=∫6x-3-5x-2dx =∫6x-3dx-∫5x-2dx =6ln｜x-3｜-5ln｜x-2｜+C. 上麵求解的方法稱為待定係數法. 【例３．３8】求∫2x+1x2+2x+5dx． 解因為分母不可分解，則對分母進行求導(x2+2x+5)′=2x+2，與分子比較後，我們得到2x+1=2x+2-1，所以積分變為： ∫2x+1x2+2x+5dx=∫(2x+2-1)dxx2+2x+5 =∫2x+2x2+2x+5-1x2+2x+5dx =∫1x2+2x+5d(x2+2x+5)-∫1x2+2x+5dx =ln(x2+2x+5)-∫1(x+1)2+22dx =ln(x2+2x+5)-12arctanx+12+C. 待定係數法的運算通常比較繁瑣. 事實上, 消去公分母後所得等式是一個恒等式, 它對x的一切值均成立, 因而隻要選擇x的一些特殊值代入,稱其為賦值法,即可得到待定係數的值. 【例３．３9】∫-9x-13(x-3)(x2+2x+5)dx． 解設 -9x-13(x-3)(x2+2x+5)=Ax-3+Bx+Cx2+2x+5 =A(x2+2x+5)+(x-3)(Bx+C)(x-3)(x2+2x+5), 消去分母,得-9x-13=A(x2+2x+5)+(Bx+C)(x－3),則 令x=3,得－40=A(9+6+5),即A=－2; 令x=0,得－13=5A－3C,即C=1; 令x=－1,得－4=4A+(－B+C)·(－4),即B=2. 得-9x-13(x-3)(x2+2x+5)=-2x-3+2x+1x2+2x+5，從而 ∫-9x-13(x-3)(x2+2x+5)dx=∫-2x-3+2x+1x2+2x+5dx =-2ln｜x-3｜+ln(x2+2x+5)-12arctanx+12+C. 由上麵的幾個例子，總結出有理函數分解成最簡分式之和的一般規律： （1） 分母中若有因式(x-a)k,則分解後為 A1(x-a)k+A2(x-a)k-1+…+Akx-a.(k=1時為Ax-a) （2） 分母中若有因式(x2+px+q)k,其中p2-4q<0,則分解後為 M1x+N1(x2+px+q)k+M2x+N2(x2+px+q)k-1+…+Mkx+Nkx2+px+q.(k=1時為Mx+Nx2+px+q) 【例３．40】求∫１x(x-1)2dx． 解設 1x(x-1)2=Ax+Bx-1+C(x-1)2=A(x-1)2+Bx(x-1)+Cxx(x-1)2，