工科數學-第一章

圖書在版編目（CIP）數據工科數學　\/　盛秀蘭,　楊軍主編.　4版.　南京　:

南京大學出版社,　2019.11

ISBN　9787305226496Ⅰ.　①工…　Ⅱ.　①盛…　②楊…　Ⅲ.　①高等數學－高

等職業教育－教材　Ⅳ.　①O13中國版本圖書館CIP數據核字(2019)第248948號出版發行南京大學出版社

社址南京市漢口路２２號郵編２１００９３

出版人金鑫榮書名工科數學(上冊）

主編盛秀蘭楊軍

責任編輯劉飛編輯熱線０２５83592146照排南京南琳圖文製作有限公司

印刷鹽城市華光印刷廠

開本７８７×１０９２1／16印張　15.25字數　375千

版次2019年11月第4版2019年11月第1次印刷

ＩＳＢＮ９７８７３０５226496

定價72.00元（上、下冊）網址：　http:\/\/www.njupco.com

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圖書銷售部門聯係調換工科數學（上冊）第四版前言第四版前言

本書第一版在2011年7月被評為江蘇省高等學校精品教材，第四版在2019年11月被評為“十三五”江蘇省高等學校重點教材。隨著高職數學課程教學改革的不斷深入，針對高職教育工科專業的特點，結合編者多年的教學實踐，我們修訂了本書。在修訂過程中，我們始終遵循“數學為基，工程為用”的原則，力求做到“深化概念、強化運算、淡化理論、加強應用”。

本書的設計理念是“從專業中來，到專業中去”。即從專業課程中的實際問題精選與數學有關的案例或模型，將案例所涉及的數學知識加工整理成若幹數學模塊，再用案例驅動數學模塊內容，最後將所學數學知識應用於解決實際問題。具體做到以下幾個方麵：

1.　抓住知識點，注意數學知識的深度和廣度。基礎知識和基本理論以“必需、夠用”為度。把重點放在概念、方法和結論的實際應用上。多用圖形、圖表表達信息，多用有實際應用價值的案例、示例促進對概念、方法的理解。對基礎理論不做論證，必要時隻作簡單的幾何解釋。

2.　強化係統性，力爭從體係、內容、方法上進行改革，有所創新。將教材的結構、體係進一步優化，強調數學思想方法的突出作用，強化與實際應用聯係較多的基礎知識和基本方法。加強基礎知識的案例教學，力求突出在解決實際問題中應用數學思想方法，揭示重要的數學概念和方法的本質，著眼於提高學生的數學素質，培養學生的睿智、細致、創新的品格。

3.　突出實踐性，注重數學建模思想、方法的滲透。通過應用實例介紹數學建模過程，從而引入數學概念。在每章的最後一節設計了數學實驗，以培養學生運用計算機及相應的數學軟件求解數學模型的能力。

4.　注重複合性，采用“案例驅動”的教學模式。教材體係突出與各工科專業緊密結合，體現數學知識專業化，工程問題數學化，盡可能應用數學知識解釋工程應用中的現象，並用數學方法解決實際的問題。實現“教、學、做”一體的教學改革精神。

5.　加大訓練力度，增加課堂練習的力度。采用“三講一練”的方式（即按照數學教學規律，采用講練結合的方式），加強學生應用創新能力的培養。本書針對不同專業的需求，共設計了十二個模塊。在每一節前增加了學習目標，每一節後配備了類型合理、深度和廣度適中的習題。每一章後增加了小結與複習的內容，幫助學生總結重要的知識點。另還編寫了專門與本書配備的案例與習題練習冊，方便學生在做課堂練習時使用。

6.　以學生為主體，以教師為主導。在內容處理上要便於組織教學，在保證教學要求的同時，讓教師比較容易組織教學內容，學生也比較容易理解，並能讓學生積極主動地參與到教學中，從而使學生在知識、能力、素質方麵均有大的提高。

本書的修訂過程中，對原有的章節進行適當的補充與更新。例如第一章、第五章、第七章、第八章、第九章、第十一章等實驗內容進行了修改與補充；增補了一些與知識點對應易於理解的例題和習題，以及完善了很多習題答案等內容。

參與本書編寫的有：陸峰（第一章、第七章），楊軍（第二章、第六章、第八章、第九章），盛秀蘭（第三章、第十章、第十一章），俞金元（第四章、第五章），淩佳（第十二章），秦澤（每章MATLAB實驗）。全書由盛秀蘭、楊軍修改，統稿，定稿。江蘇食品藥品職業技術學院陶書中教授主審。

為了加快實現高職教育與遠程開放教育的深度融合，本書增設了若幹知識點的教學視頻資料，以滿足廣大讀者自學的需求。在此，特別感謝葉惠英副教授、徐薇副教授、張潔副教授等許多教學一線的教師提供高質量的教學視頻資料。本書的出版得到江蘇城市職業學院教育學院、教務處以及南京大學出版社的大力支持，在此謹表示衷心感謝！

限於編者水平，加上時間倉促，書中難免有不當之處，敬請廣大師生和讀者批評指正。

編者

第一章函數、極限與連續1

第一節函數1

第二節極限及其運算13

第三節函數的連續性與間斷點26

第四節ＭＡＴＬＡＢ簡介與函數運算實驗31

本章小結42

第二章一元函數微分學及應用44

第一節導數的概念44

第二節求導法則49

第三節隱函數和由參數方程所確定的函數的導數54

第四節高階導數57

第五節函數的微分58

第六節微分中值定理與洛必達法則62

第七節函數的單調性與極值68

第八節曲線的凹凸拐與函數圖形描繪74

第九節導數運算實驗79

本章小結83

第三章一元函數積分學及應用85

第一節不定積分的概念與性質85

第二節換元積分法89

第三節分部積分法98

第四節有理函數的積分102

第五節定積分的概念與性質105

第六節微積分基本公式111

第七節定積分的換元法和分部積分法115

第八節定積分的應用119

第九節反常積分127

第十節積分運算實驗130

本章小結133

第四章常微分方程135

第一節微分方程的基本概念137

第二節一階常微分方程139

第三節二階常微分方程144

第四節微分方程求解實驗152

本章小結154

第五章無窮級數156

第一節常數項級數的基本概念和性質158

第二節常數項級數的審斂法163

第三節冪級數169

第四節無窮級數實驗180

本章小結184

第六章傅裏葉級數與積分變換187

第一節傅裏葉級數187

第二節傅裏葉變換的概念與性質197

第三節傅裏葉變換的應用206

第四節拉普拉斯變換的概念與性質208

第五節拉普拉斯變換的應用214

第六節積分變換實驗218

本章小結220

附錄一初等數學中的常用公式222

附錄二常用平麵曲線及其方程225

習題參考答案與提示227

工科數學（上冊）

第一章函數、極限與連續

本章將介紹集合、函數、極限和函數連續性等基本概念以及它們的一些性質，這些內容都是學習本課程必需的基本知識.

第一節函數

學習目標

1.　理解集合概念，掌握集合運算.

2.　理解函數的概念，了解分段函數，能熟練地求函數的定義域和對應法則.

3.　了解函數的主要性質(單調性、奇偶性、周期性和有界性).

4.　熟練掌握基本初等函數的解析表達式、定義域、主要性質和圖形.

5.　理解複合函數、初等函數的概念.

6.　會建立實際問題中的函數關係式.

現實世界中，存在著各種各樣不斷變化著的量，它們之間相互依存，相互聯係.函數就是對各種變量之間的相互依存關係的一種抽象.微積分學的研究對象是函數．函數概念是數學中的一個基本而重要的概念．公元1837年，德國數學家狄利克雷（Dirichlet，1805—1859)提出現今通用的函數定義，使函數關係更加明確，從而推動了數學的發展和應用．

一、集合與區間

1.　集合的概念

引例：

①　一個書櫃的書；

②　一間教室裏的全體學生；

③　全體實數.

上述幾個例子中體現了數學中的一個基本概念——集合.

(1)　集合(簡稱集)

具有某種共同屬性的事物的總體，稱為集合.常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.組成集合的事物稱為集合的元素.常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示.a是集合M的元素表示為　a∈M（讀作a屬於M）.a不是集合M的元素表示為aM（讀作a不屬於M）.

一個集合中，若隻有有限個元素，稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集.

(2)　子集

若x∈A，則必有x∈B，則稱A是B的子集，記為AB(讀作A包含於B)或BA(讀作B包含A).

如果集合A與集合B互為子集，即AB且BA，則稱集合A與集合B相等，記作A=B（或B=A）.

若AB且A≠B，則稱A是B的真子集，記作AB.

不含任何元素的集合稱為空集，記作.規定空集是任何集合的子集.

(3)　集合的表示

列舉法：把集合的全體元素一一列舉出來.

例如A={a，b，c，d，e，f，g}.

描述法：若集合M是由具有某種性質P的元素x的全體所組成，則M可表示為

M={x|x具有性質P}.

例如M={(x，y)|x，y為實數，x2+y2=1}.

對於數集，我們在表示數集的字母的右上角，標上“*”來表示該數集內排除0的集，標上“+”來表示該數集內排除0與負數的集.

(4)　幾個常用的數集

N表示所有自然數構成的集合，稱為自然數集.

N={0，1，2，…，n，…}；N*={1，2，…，n，…}.

Z表示所有整數構成的集合，稱為整數集.

Z={…，-n，…，-2，-1，0，1，2，…，n，…}.

Q表示所有有理數構成的集合，稱為有理數集.

Q=pq|p∈Z，q∈N*且p與q互質.

R表示所有實數構成的集合，稱為實數集.R*為排除0的實數集，R+表示全體正實數.

2.　集合的運算

(1)　集合運算的種類

集合的基本運算有以下幾種：並、交、差.

給定兩個集合A，B，可定義下列運算(如圖1.1）：

並集：A∪B={x|x∈A或x∈B}.

交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}.

差集：A\\B={x|x∈A且xB}.

圖1.1圖1.2

設A是一個集合，U是包含A的全集，把U\\A稱為A的餘集或補集（如圖1.2），記作Ac.

(2)　集合運算的法則

設A、B、C為任意三個集合，則有下列法則成立：

①　交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.

②　結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C).

③　分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).

④　對偶律：(A∪B)C=AC∩BC，(A∩B)C=AC∪BC.

以上這些法則都可以根據集合相等的定義驗證.

3.　區間和鄰域

(1)　有限區間

設a和b都是實數，且a＜b，稱數集{x|a＜x＜b}為開區間，記為(a，b)，即

(a，b)={x|a＜x＜b}.

類似地有

[a，b]={x|a≤x≤b}稱為閉區間；

[a，b)={x|a≤x＜b}和(a，b]={x|a＜x≤b}稱為半開區間.

其中a和b稱為區間(a，b)、[a，b]、[a，b)、(a，b]的端點，b-a稱為區間的長度.

從數軸上看，這些有限區間是長度為有限的線段.閉區間[a，b]與開區間(a，b)在數軸上表示出來，分別如圖1.3（a）與圖1.3（b）所示.

圖1.3

(2)　無限區間

引進記號+∞（讀作正無窮大）及-∞（讀作負無窮大），可類似地表示無限區間：

[a，+∞)={x|a≤x}；(-∞，b)={x|x＜b}；(-∞，+∞)={x||x|＜+∞}.

區間[a，+∞)和(-∞，b)在數軸上的表示分別如圖1.3（c）與圖1.3（d）所示.

(3)　鄰域

以點a為中心的任何開區間稱為點a的鄰域，記作U(a).

設δ是一正數，則稱開區間(a-δ，a+δ)為點a的δ鄰域，記作U(a，δ)，即

U(a，δ)={x|a-δ＜x＜a+δ}={x||x-a|＜δ}.

其中點a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑，如圖1.4（a）.

(4)　去心鄰域

點a的δ鄰域去掉中心後，稱為點a的去心δ鄰域，記作U°(a，δ)，如圖1.4(b)，即

U°(a，δ)={x|0＜|x-a|＜δ}.

圖1.4

微課

二、函數

1.　函數的概念

在考察某些自然現象或社會現象時，往往會遇到幾個變量.這些變量並不是孤立地變化的，而是存在著某種相互依賴關係．

案例1.1（自由落體運動方程）在自由落體運動中，物體下落的距離S隨下落時間t的變化而變化，下落距離S與時間t之間的函數關係為