高等數學（上）-第三章

�B\u0017_�三、　用等價無窮小替換計算極限

關於等價無窮小，有如下定理．

定理7若α，α′，β，β′都是在同一個自變量的變化過程中的無窮小，且α~α′，β~β′，limα′β′存在，則limαβ=limα′β′．

證limαβ=limαα′·α′β′·β′β=limαα′·limα′β′·limβ′β

=1·limα′β′·1=limα′β′．

此定理表明，求兩無窮小之比的極限時，分子和分母都可以用等價無窮小去替換，這樣往往可以簡化計算過程．

由定理4和例2、例4、例5可以得下列等價無窮小：當x→0時，sinx~x，　tanx~x，arcsinx~x,　arctanx~x，1－cosx~12x2．　此外，當x→0時，ex－1~x，ln(1+x)~x,(1+x)α－1~αx(α∈R)這三個等價無窮小將在下一節例17中給予證明.這裏,當x換為任何一個函數φ(x)時,隻要φ(x)→0,則等價關係仍然成立.

例9求limx→0sin5xtan6x．

解當x→0時，sin5x~5x，tan6x~6x，所以

limx→0sin5xtan6x=limx→05x6x=56．

例10求limx→0arctanxx2+3x．

解當x→0時，arctanx~x，所以

limx→0arctanxx2+3x=limx→0xx2+3x=limx→01x+3=13.

例11求limx→0tanx－sinxx3．

解因為當x→0時，tanx~x，1－cosx~12x2，

所以當x→0時，tanx－sinx=tanx(1－cosx)~x·12x2，

所以　limx→0tanx－sinxx3=limx→0x·12x2x3=12．

注意對於例11，如下解答是錯誤的.

limx→0tanx－sinxsin3x=limx→0x－xx3=0，

錯誤在於將tanx~x，sinx~x直接代入分子.習題15

1.　求下列極限.

(1)　limx→0sin5x2x；(2)　limx→0tan2xx；

(3)　limθ→0sin2θtan3θ；(4)　limθ→π2cosθθ－π2；

(5)　limx→0+1－cosxx；(6)　limx→∞xsin1x；

(7)　limx→0x·cot2x；（8）　limn→∞2n·sinx2n.

2.　求下列極限.

(1)　limx→∞1+3xx；(2)　limx→0(1+x)2x；

(3)　limx→∞1+1x+1x；(4)　limx→0(1－3x)1x；

(5)　limx→∞xx－1x；(6)　limx→∞1－2xx；

(7)　limx→0(1+sinx)csc2x；(8)　limx→∞x+2x+12x.

3.　用等價無窮小替換求下列極限.

(1)　limx→0tan2xsin3x；(2)　limx→01－cosxtan2x；

(3)　limx→0(x2+1)sinxarcsinx；(4)　limx→asin(x2－a2)x－a；

(5)　limx→0sinn(2x)sin(2xn)(n∈N*)；(6)　limx→0ln(1+x2)xtanx;

(7)　limx→0e3x－1sinx；(8)　limx→0ln(1+3x)e4x－1．

4.　當x→0時，求下列無窮小對於x的階數.

(1)　x6+6x3；(2)　sin2x3；

(3)　sinx(x2+cosx)1+x；(4)　x4+1－1；

(5)　1－cosx；(6)　ln(1+x3)．

5.　利用極限存在準則證明.

(1)　limn→∞1+1n2=1；

(2)　limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n=1；

(3)　數列：2,2+2,2+2+2,2+2+2+2,…的極限存在，並求其極限．

第六節函數的連續性

客觀世界的許多現象和事物不僅是運動變化的，而且其運動變化的過程也是連綿不斷的，如日月行空、歲月流逝、氣溫或氣壓的變化、植物的生長等．這些隨著時間的變化而連綿不斷地變化的事物在量方麵的反映就是連續函數．連續函數就是刻畫變量連續變化的數學模型．

一、　函數連續性的概念

1.　增量

圖136

設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，如圖136所示.

當自變量由x0變到x時，其差x－x0稱為自變量在x0處的增量(或改變量)，記作Δx，即Δx=x－x0，因此x=x0+Δx．對應的函數值由f(x0)變到f(x)=f(x0+Δx)，其差f(x)－f(x0)稱為函數的增量(或改變量)，記作Δy，即

Δy=f(x)－f(x0)=f(x0+Δx)－f(x0).

值得注意的是：由於當自變量從x0變到x時的方向及函數y=f(x)的單調性的不同，Δx和Δy可能取正值，也可能取負值.

圖137

2.　函數連續的概念

下麵從函數的圖形上來觀察函數在給定點x0處的變化情況．

如圖136中，函數y=f(x)的圖形在點x0處是連續的，不斷開的．圖137中，函數y=f(x)的圖形在點x0處是不連續的，是斷開的．這是因為當x經過x0時，函數值發生了跳躍式的變化．

假定保持x0不變，而讓自變量的增量Δx變動，一般說來，函數y的增量Δy也隨著變動．

由圖136和圖137可見，函數y=f(x)在點x0處連續的特征是：當Δx→0時，Δy→0．函數y=f(x)在x0點間斷時：當Δx→0時，Δy不趨於0．由此給出函數在點x0處連續的下述定義：

定義1如果函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且當自變量x在x0處的增量Δx趨近於0時，函數y=f(x)的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)也趨近於0，即limΔx→0Δy=0,則稱函數y=f(x)在點x0處連續，稱點x0為函數y=f(x)的連續點．否則，稱函數y=f(x)在點x0處間斷，稱點x0為函數y=f(x)的間斷點.

在定義1中，設x=x0+Δx，則Δy=f(x)－f(x0)，且Δx→0當且僅當x→x0；Δy→0當且僅當f(x)→f(x0)，於是就有如下等價定義：

定義1′如果函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且函數f(x)當x→x0時極限存在且等於它在點x0處的函數值f(x0)，即limx→x0f(x)=f(x0)，則稱函數y=f(x)在點x0處連續，稱點x0為函數y=f(x)的連續點.否則，稱函數y=f(x)在點x0處間斷，稱點x0為函數y=f(x)的間斷點.

例1證明函數y=x3－x2+2x+1在點x=1處連續.

證法1函數y=x3－x2+2x+1的定義域為(－∞，+∞)．當自變量在點x=1處有增量Δx時，其對應的函數增量為

Δy=f(1+Δx)－f(1)=［(1+Δx)3－(1+Δx)2+2(1+Δx）+1］－［13－12+2·1+1］

=Δx3+2Δx2+3Δx，

因此limΔx→0Δy=limΔx→0［Δx3+2Δx2+3Δx］=0，

由定義1知y=x3－x2+2x+1在x=1處連續．

證法2因為limx→1［x3－x2+2x+1］=13－12+2·1+1=3，因此由定義1′知y=x3－x2+2x+1在x=1處連續．

例2討論函數f(x)=sinxx，x>0,x+1，x≤0　在x=0處的連續性．

解因為limx→0+f(x)=limx→0+sinxx=1，limx→0－f(x)=limx→0－(x+1)=0+1=1，所以limx→0f(x)=1　.

又f(0)=1，則有limx→0f(x)=f(0)，所以函數f(x)在x=0處連續．

下麵給出左連續、右連續的概念：

定義2如果函數y=f(x)在(x0－a,x0］(或［x0,x0+a))（a>0）有定義，且

limx→x0－f(x)=f(x0)(或limx→x0+f(x)=f(x0)),

則稱函數f(x)在點x0處左連續(或右連續).

根據定義1、定義2，有如下結論：

定理1函數f(x)在點x0處連續的充分必要條件是函數f(x)在點x0處既左連續又右連續.

例3討論函數f(x)=x+1，x≤1,2－x，x>1　在x=1處的連續性．

解因為limx→1－f(x)=limx→1－(x+1)=2，limx→1+f(x)=limx→1+(2－x)=1，

又f(1)=2，則有limx→1－f(x)=f(1)，limx→1+f(x)≠f(1)，

圖138

所以函數f(x)在x=1處左連續，但不右連續，

所以函數f(x)在x=1處不連續（圖138）.

下麵介紹函數在區間上連續的概念．

如果函數f(x)在開區間(a，b)內每一點都連續，則稱f(x)在開區間(a，b)內連續．如果函數f(x)在開區間(a，b)內連續且在端點x=a處右連續，在端點x=b處左連續，則稱f(x)在閉區間［a，b］上連續.實際上，區間上的連續函數的圖形就是一條連續不間斷的曲線.

根據第四節可知：若函數f(x)為多項式函數或為分母在x0點不等於零的有理函數，則limx→x0f(x)=f(x0)，因此：多項式函數在(－∞，+∞）內連續；有理函數在其定義域內每一點都連續.

例4證明正弦函數y=sinx在(－∞，+∞）內連續.

證任取x∈(－∞,+∞)，令自變量在點x處的增量Δx，其相應的函數的增量：

Δy=sin(x+Δx)－sinx=2sinΔx2cosx+Δx2，

但cosx+Δx2≤1且sinΔx2≤Δx2，

因此|Δy|=|sin(x+Δx)－sinx|=2sinΔx2cosx+Δx2≤2Δx2·1=|Δx|,

所以　limΔx→0Δy=0，此即證明了y=sinx在(－∞，+∞）內連續.

同理可證：餘弦函數y=cosx在(－∞，+∞）內連續.

二、　間斷點及其分類

由定義1′可知，函數y=f(x)在點x0處間斷有以下三種情形：

(1)　f(x0)不存在，即函數y=f(x)在點x=x0處沒有定義；

(2)　極限limx→x0f(x)不存在；

(3)　雖然函數y=f(x)在點x=x0處有定義，且極限limx→x0f(x)存在，但

limx→x0f(x)≠f(x0).

下麵舉例來說明函數間斷點的幾種常見類型.

例5函數f(x)=x2－1x－1在點x=1處沒有定義，所以函數f(x)在點x=1處間斷，點x=1是函數f(x)的間斷點（如圖124所示）.

但這裏limx→1x2－1x－1=limx→1(x+1)=2.

如果補充定義：令x=1時y=2，來構造一個新的函數f~(x)=f(x)，x≠1,2，x=1,　即f~(x)=x+1，那麼函數f~(x)在點處x=1就連續了.所以我們稱點x=1為函數f(x)的可去間斷點.

例6函數f(x)=x，x≠1，12，x=1.

圖139

這裏limx→1f(x)=limx→1x=1，但f(1)=12，所以limx→1f(x)≠f(1).因此點x=1是函數f(x)的間斷點（圖139）.

如果改變函數f(x)在x=1處的定義：令x=1時y=1，來構造一個新的函數f~(x)=f(x)，x≠1,1，x=1,　即f~(x)=x，那麼函數f~(x)在點x=1處就連續了.所以我們也稱點x=1為函數f(x)的可去間斷點.

例7函數f(x)=x+1，x≤1,2－x，x>1.

由例3可知x=1是函數f(x)的間斷點（圖138）.

limx→1－f(x)和limx→1+f(x)都存在，但不相等，使得函數f(x)的圖形在x=1處產生了跳躍現象，所以我們稱x=1為函數f(x)的跳躍間斷點　.

例8函數f(x)=1x在點x=0處沒有定義，所以點x=0是函數f(x)的間斷點（如圖119所示）.

因limx→01x=∞，所以我們稱點x=0為函數f(x)的無窮間斷點　.

例9函數f(x)=sin1x在點x=0處沒有定義，所以點x=0是函數f(x)的間斷點（如圖127所示）.

因為當x→0時，函數值f(x)在1與－1之間變動無限多次，所以我們稱點x=0為函數f(x)的振蕩間斷點　.

下麵我們給出關於間斷點的類型的定義：

定義3若x0是函數f(x)的間斷點且x→x0時函數f(x)的左、右極限都存在，則稱點x0是第一類間斷點.此時，若左、右極限相等，則稱點x0是可去間斷點；若左、右極限不相等，則稱點x0是跳躍間斷點.

若x0是函數f(x)的間斷點且x→x0時函數f(x)的左、右極限中至少有一個不存在，則稱點x0是第二類間斷點.　此時，若左、右極限中至少有一個是無窮大，則稱點x0是無窮間斷點；若左、右極限都不是無窮大，且在x0的某空心鄰域內函數值f(x)無限次振蕩，則稱點x0是振蕩間斷點.

由定義3可知，間斷點有如下分類：

間斷點第一類間斷點可去間斷點，跳躍間斷點，第二類間斷點無窮間斷點，振蕩間斷點，其他.

三、　初等函數的連續性

1.　連續函數的運算

根據函數在一點連續的定義和極限的四則運算法則，直接驗證可得：

定理2若函數f(x)和g(x)在點x0處連續，則它們的和(差)f(x)±g(x)、積f(x)·g(x)和商f(x)g(x)(g(x0)≠0)都在點x0處連續.

由此可得：某一區間上的連續函數的和、差、積、商（分母上的函數在此區間上處處不為零）都在這一區間上連續．

例10三角函數：sinx,cosx，tanx,cotx,secx,cscx在其各自定義域內都是連續的.因為sinx,cosx都在(－∞,+∞)內連續（見例4），由定理2知：在分母不為零的每一個點上，sinxcosx，cosxsinx，1cosx，1sinx都是連續的，即tanx,cotx,secx,cscx在各自的定義域內連續．

2.　反函數的連續性

定理3區間上單調增加（或單調減少）的連續函數必定存在反函數，且其反函數在其相應的區間上也是單調增加（或單調減少）的連續函數.

從幾何直觀看，此結論是容易理解的：區間Ix上單調增加（或單調減少）且連續的函數y=f(x)的圖形是一條連綿不斷上升（或下降）的曲線，而其反函數x=f－1(y)在其相應的區間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上的圖形實際上是同一條曲線，自然也是連綿不斷上升（或下降）的曲線.

例11反三角函數：arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在其各自定義域內都是連續的.因為函數x=siny,y∈－π2,π2單調增加且連續；函數x=cosy,y∈［0,π］單調減少且連續，所以，根據定理3，它們的反函數y=arcsinx,x∈［－1,1］單調增加且連續；y=arccosx,x∈［－1,1］單調減少且連續.

同理可證：y=arctanx,x∈R；y=arccotx,x∈R都是連續的.

3.　複合函數的連續性

定理4如果limx→x0φ(x)=u0，函數y=f(u)在點u0處連續，且複合函數y=f［φ(x)］在點x0處的某鄰域內有定義，則limx→x0f［φ(x)］=limu→u0f(u)=f(u0)．

*證由函數y=f(u)在點u0處連續知：limu→u0f(u)=f(u0)，因此，對任意ε>0，存在η>0，使得對任意滿足|u－u0|<η的u，都有|f(u)－f(u0)|<ε成立．

又因為limx→x0φ(x)=u0，對上述η>0，存在δ>0，使得對任意滿足0<|x－x0|<δ的x，都有：|u－u0|=|φ(x)－u0|<η成立.

因此就有：|f(u)－f(u0)|=|f［φ(x)］－f(u0)|<ε，所以

limx→x0f［φ(x)］=f(u0)=f［limx→x0φ(x)］.

例12求極限：

（1）　limx→3x－3x2－9；（2）　limx→0ln1+sinxx2．

解（1）　y=x－3x2－9可看作由y=u與u=x－3x2－9複合而成．因為

limx→3x－3x2－9=limx→3x－3(x－3)(x+3)=limx→31x+3=16，

而函數y=u在點u=16處連續，所以利用定理4得

limx→3x－3x2－9=limx→3x－3x2－9=16=66.

（2）　y=ln1+sinxx2是由y=lnu，u=v2和v=1+sinxx複合而成．因為limx→0sinxx=1，且y=lnu與u=v2都是連續函數，所以利用定理4得：

limx→0ln1+sinxx2=lnlimx→01+sinxx2=lnlimx→01+sinxx2=ln1+limx→0sinxx2=2ln2．

若將定理4中條件“limx→x0φ(x)=u0”改為“u=φ(x)在x0處連續”，則limx→x0φ(x)=φ(x0)=u0，因此就直接可得下麵結論：

定理5如果函數u=φ(x)在點x0處連續，φ(x0)=u0，函數y=f(u)在點u0處連續，且複合函數y=f［φ(x)］在點x0處的某鄰域內有定義，則複合函數y=f［φ(x)］在點x0處連續.

滿足定理4或定理5的條件時，極限符號“lim”與連續的函數符號“f”可交換次序，此即

limx→x0f［φ(x)］=flimx→x0φ(x)，

如果把定理4中的x→x0換成x→∞也會有同樣的結論成立．

例13由例10和例11知：y=arcsinu在［－1,1］上連續，u=tanx在［－π4,π4］上連續，又知當x在［－π4,π4］上變化時，u=tanx的函數值在［－1,1］上取，因此複合函數y=arcsin(tanx）在－π4,π4上連續．

4.　初等函數的連續性

例14可以證明（在此不詳細討論）：指數函數y=ax(a>0,a≠1)在(－∞,+∞)內單調且連續，它的值域為(0，+∞）.由此及定理3可得：指數函數的反函數——對數函數y=logax(a>0,a≠1)在(0，+∞）內單調且連續.

例15當μ∈R時，冪函數y=xμ,x∈(0,+∞)是連續函數.

當x>0時，

y=xμ=eμlnx，

因此冪函數y=xμ可以看成由y=eu，u=μlnx複合而成，利用定理5及指數函數、對數函數的連續性知：冪函數y=xμ,x∈(0,+∞)是連續的.

由例10、例11、例14和例15可得如下結論：

基本初等函數在其各自定義域內都是連續的.

根據初等函數的定義及上述定理2和定理5可得如下重要結論：

一切初等函數在其有定義的區間內都是連續的.

初等函數連續性的結論提供了求極限的一個方法，這就是：若x0是初等函數f(x)有定義的區間內的一點，則limx→x0f(x)=f(x0)．

例16求limx→12［e1－x2+ln(arcsinx)］.

解因為x=12是初等函數f(x)=e1－x2+ln(arcsinx)的定義域(0,1］內的一點，所以

limx→12e1－x2+ln(arcsinx)=e1－122+lnarcsin12=e32+lnπ6.

以下利用定理4證明三個很有用的等價無窮小（第五節中提到過）：

當x→0時，ln(1+x)~x，ex－1~x，(1+x)α－1~αx(α∈R).

例17證明：

（1）　limx→0ln(1+x)x=1；

（2）　limx→0ex－1x=1；

（3）　limx→0(1+x)α－1x=α.

證（1）　limx→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)1x=lnlimx→0(1+x)1x=lne=1.

（2）　令ex－1=t，則x=ln(1+t)，當x→0時，t→0，於是

limx→0ex－1x=limt→0tln(1+t)=limt→01ln(1+t)1t=1lnlimt→0(1+t)1t=1lne=1．

（3）　令(1+x)α－1=t，則當x→0時，t→0，於是

limx→0(1+x)α－1x=limx→0(1+x)α－1ln(1+x)α·αln(1+x)x=limt→0tln(1+t)·limx→0ln(1+x)x·α，

由（1）和（2）的證明過程知limt→0tln(1+t)·limx→0ln(1+x)x=1，所以limx→0(1+x)α－1x=α.

四、　閉區間上連續函數的性質

下麵給出閉區間上連續函數幾條重要的性質，它們的驗證僅從幾何直觀加以說明.

定理6(最大值與最小值定理)若函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，則f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值.

圖140

如圖140所示，函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，顯然，在點ξ2處取得最大值f(ξ2)=M；在點ξ1處取得最小值f(ξ1)=m.

但“閉區間”和“連續”這兩個條件是必不可少的.例如：函數y=1x在(0,1)上連續，但無法取得最大值與最小值．又如函數y=tanx在［0,π］內的π2處間斷，也無法取得最大值與最小值limx→π2tanx=∞．

由定理6可得下麵的推論：

推論如果函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，則f(x)在［a,b］上必有界.

定理7(零點定理)若函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，且f(a)·f(b)<0,則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.

圖141

幾何直觀是顯然的：如果連續的平麵曲線弧y=f(x)的兩個點分別位於x軸的上、下兩側，則此曲線弧至少經過x軸一次(如圖141所示).

由定理7可推理得如下更一般性的結論：

定理8(介值定理)若函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，f(a)≠f(b)，且C介於f(a)與f(b)之間，則至少存在一點ξ∈(a,b),使得f(ξ)=C.

證令F(x)=f(x)－C，則函數F(x)在閉區間［a,b］上連續且

F(a)·F(b)<0，

因此，由定理7，至少存在一點ξ∈(a,b)，使得F(ξ)=f(ξ)－C=0，所以

f(ξ)=C．

由定理6、定理8知：若函數f(x)在閉區間［a,b］上連續，且最大值是M，最小值是m，則此函數f(x)的值域是［m,M］.

例18證明方程x·ex=1在區間(0,1)內有根.

證f(x)=x·ex－1在閉區間［0,1］上連續,又

f(0)=－10.

根據零點定理，在(0,1)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=0，即

ξ·eξ=1.

習題16

1.　判斷下列說法是否正確.

(1)　函數f(x)在點x=x0處連續而函數g(x)在點x=x0處間斷，則f(x)+g(x)在點x=x0處間斷；

(2)　若函數f(x)在(－∞,+∞)內連續，則函數f(x)在任意閉區間［a,b］內連續；

(3)　若函數f(x)在任意開區間(a,b)內連續，則函數f(x)在(－∞,+∞)內連續；

(4)　若函數f(x)在(a,b)內連續，則|f(x)|也在(a,b)內連續；

(5)　若|f(x)|在(a,b)內連續，則f(x)也在(a,b)內連續；

(6)　若函數f(x)在點x=x0處連續，則f2(x)在點x=x0處也連續；

(7)　若函數f(x)在點x=x0處間斷，則f2(x)在點x=x0處也間斷.

2.　討論下列函數f(x)在點x=0處的連續性.

(1)　f(x)=ex－2，x≥0，2x，x<0；(2)　f(x)=xsin1x，x≠0，0，x=0.

3.　指出下列函數的間斷點，判斷間斷點的類型.

(1)　y=1(x－1)(x+3)；(2)　y=x2－1x2－3x+2；

(3)　y=x(x+1)2；(4)　y=21x；

(5)　y=x2sin1x；(6)　y=tanxx．

4.　求下列極限.

(1)　limx→1x2+ln(2－x)arctanx；(2)　limx→∞31x；

（3）　limx→0esinxx；（4）limx→+∞(x2+x－x2+1)；

(5)　limx→03sinx+x2cos1x(1+cosx)ln(1+x)；（6）　limx→0(1+2tan2x）3cot2x.

5.　設f(x)=sin2x3x，x<0，x2－2x+2k，x≥0，試問k為何值時函數f(x)在點x=0處連續．

6.　討論函數f(x)=limn→∞1－x2n1+x2n的連續性，若有間斷點，判斷其類型.

7.　證明方程x3－x－1=0在區間(1，2)內至少有一個根.

8.　證明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一個不超過a+b的正根.

9.　證明：若f(x)在［a,b］上連續且a

總習題一

一、　單項選擇題

1.　函數f(x)=9－x2,x2－9,|x|≤3，3<|x|<4的定義域是　().

A.　［－3，4)B.　(－3，4)C.　［－4，4)D.　(－4，4)

2.　在(－∞，+∞）內，下列函數是周期函數的是　().

A.　sinx2B.　sin3xC.　2xsinxD.　xcosx

3.　設函數f(x)=ln(x+x2+1)，則該函數是　().

A.　奇函數B.　偶函數C.　非奇非偶函數

4.　函數y=ex－1的反函數是().

A.　y=lnx+1B.　y=ln(x+1)

C.　y=lnx－1D.　y=ln(x－1)

5.　設函數f(x)=－1,0,1,x0，，則f［f(x)］=　()　.

A.　－f(x)B.　f(－x)C.　0D.　f(x)

6.　下列數列中收斂的是　()　.

A.　xn=－n+1nB.　xn=n

C.　xn=1+(－1)n2D.　2n

7.　當x→∞時，下列函數有極限的是　().

A.　sinxB.　2－x

C.　4x2+1x2+2x+3　D.　arctanx

8.　在給定的變化過程中，下列變量()是無窮小.

A.　sinxx，x→0

B.　xsin1x，x→∞

C.　cosxx，x→∞

D.　xtanx，x→0

9.　在x→+∞時，下列變量()是無窮大.

A.　ln(1+x)B.　xsin1x

C.　xcosxD.　e－x+1

10.　limx→x0f(x)存在是函數f(x)在x0處連續的　().

A.　必要條件B.　充分條件

C.　充要條件　D.　既不充分也不必要條件

11.　設f(x)=x－2x－2，則limx→2f(x)是　()　.

A.　1B.　－1C.　0D.　不存在

12.　函數f(x)=x+2(x+1)(x－4)的連續區間為().

A.　［－2，－1)∪(－1，－4)B.　(－1，4)∪(4，+∞)

C.　［－2，4)∪(4，+∞)D.　［－2，－1)∪(－1，4)∪(4，+∞)

13.　若limx→3x2－2x+kx－3=4，則k=().

A.　3B.　－3C.　1D.　－1

14.　當x→0時，與無窮小x+100x3等價的無窮小是　().

A.　sinx3B.　x3C.　sin3xD.　sinx

15.　limx→+∞x+ax－ax=e2,則a=().

A.　0B.　1C.　2D.　4

二、　解答題

1.　已知函數y=f(x)定義域是［0,1］，求下列函數的定義域.

(1)　f(x);(2)　f(log2x);

(3)　f(arcsinx)；(4)　f(2x).

2.　下列函數f(x)和g(x)是否相同？為什麼？

(1)　f(x)=x和g(x)=x2;

(2)　f(x)=x·3x－1和g(x)=3x4－x3;

(3)　f(x)=1－cos2x和g(x)=2·sinx.

3.　求下列極限.

(1)　limx→0(1+2x)(2+3x)(3+4x)；(2)　limx→1x2－12x2－x－1;

(3)　limx→31+x－2x－3;(4)　limx→∞x21x+1－1x－1;

(5)　limx→∞(2x－3)2·(3x+1)3(2x+1)5;(6)　limx→0x+1－1x+4－2;

(7)　limx→∞arctanxx；(8)　limx→∞x－sinxx+sinx;

(9)　limx→0x2sin2x2；(10)　limx→∞x－3x2x；

(11)　limx→01+tanx－1－tanxsinx；(12)　limx→131－x3－11－x；

(13)　limx→01－cos2x+tan2xxsinx；(14)　limn→∞12+22+32+…+n2n3；

(15)　limx→0sinx1+x－1；(16)　limx→01－cosx21－cosx；

(17)　limn→∞11·2+12·3+13·4+…+1n·(n+1)．

4.　當x=0時，函數f(x)=x－|x|x(－1

5.　設f(x)=sinx，x1，討論f(x)的連續性(間斷點及連續區間).

6.　已知a，b為常數，limx→1x2+ax+b1－x=1，求a，b的值．

三、　證明題

1.　證明當x→1時，1－x與1－3x是同階無窮小．

2.　證明當x→1時，1－x1+x與1－x是等價無窮小．

3.　證明當x→0時，(1－cosx)2是sin2x的高階無窮小．

4.　設函數f(x)在［0，1］上連續，且0

5.　證明：方程xlnx－2=0在區間(1,e)內恰好隻有一個實數根．

*6．　根據極限的ε－δ定義證明.

（1）　limx→3x2－x－6x－3=5；（2）　limx→5x+4=3.

第二章導數與微分

微分學是高等數學的重要組成部分,它的基本概念是導數與微分.

從本章開始,我們將討論導數和微分的概念、運算法則以及它們的應用.

第一節導數的概念

一、　引例

導數的思想最初是法國數學家費馬(Fermat)為解決極大、極小問題而引入的，但導數作為微分學中最主要概念，卻是英國數學家牛頓(Newton)和德國數學家萊布尼茨(Leibniz)分別在研究力學與幾何學過程中建立的.

下麵我們分別以運動學、幾何學問題為背景引入導數概念，然後再介紹導數的幾何意義與應用.

1.　直線運動的速度

假設有一質點沿直線運動.在直線上取定一個時刻作為測量時間的零點,並把它記作原點，再規定正方向和單位長度，使直線成為數軸.設該質點於時刻t在直線上的位置坐標為s.這樣，該質點的運動完全由關於t的位置函數

s=f(t)

所確定.若t0表示某一確定的時刻，t為鄰近於t0的時刻，則

v-=f(t)－f(t0)t－t0(1.1)

是質點從t0到t這一時間間隔內的平均速度.

如果當t→t0時，(1.1)式極限存在，並記為v，則稱

v=limt→t0f(t)－f(t0)t－t0(1.2)

為質點在時刻t0的(瞬時)速度.

2.　平麵曲線的切線

首先我們給出平麵曲線在某一定點的切線的定義.

定義1設點M是平麵曲線C上的一個定點，點N是C上的動點，作割線MN.當點N沿曲線C無限趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨於極限位置MT，則稱直線MT為曲線C在點M處的切線.

如圖21所示,設曲線C的方程為y=f(x)，M(x0,y0)為C上的點,其中y0=f(x0)，在C上點M的鄰近任取點N(x,y)，則割線MN的斜率為

tanφ=y－y0x－x0=f(x)－f(x0)x－x0，(1.3)

圖21

其中φ為割線MN的傾角.

當點N沿曲線C無限趨近點M時，即x→x0，設割線MN的極限位置MT的傾角為α，則切線MT的斜率為

tanα=limN→Mtanφ=limx→x0f(x)－f(x0)x－x0.(1.4)

從以上兩個問題可以看出，盡管它們的具體背景各不相同，但最終都歸結為討論形如(1.2)、(1.4)式的極限，也正是由於這類問題的研究促使導數概念的誕生.

二、　導數的定義

定義2設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處取得增量Δx(點x0+Δx仍在該鄰域內)　時，相應地，因變量取得增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)；如果Δy與Δx之比當Δx→0時的極限存在，那麼稱函數y=f(x)在點x0可導(有時也說成具有導數或導數存在)，並稱這個極限為函數y=f(x)在點x0的導數，記為f′(x0),即

f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx,(1.5)

也可記作y′x=x0,df(x)dxx=x0或dydxx=x0.

可以看出導數是函數增量Δy與自變量增量Δx之比ΔyΔx的極限.

導數的定義式(1.5)也可取不同的形式，常見的有

f′(x0)=limh→0f(x0+h)－f(x0)h(1.6)

和

f′(x0)=limx→x0f(x)－f(x0)x－x0，(1.7)

這裏(1.6)式中h即自變量增量Δx，(1.7)式中Δx=x－x0，Δy=f(x)－f(x0).

若(1.5)式的極限不存在,則稱函數y=f(x)在點x0處不可導,但如果不可導的原因是Δx→0時，比式ΔyΔx→∞,為了方便起見,也往往說函數y=f(x)在點x0處的導數為無窮大.

上麵講的是函數在一點處可導,如果函數y=f(x)在開區間I內的每點處都可導,就稱函數y=f(x)在開區間I內可導,這時,對於任一x∈I,都對應著f(x)的一個確定的導數值,這樣就構成了一個新的函數,這個函數叫作原來函數y=f(x)的導函數,記作f′(x),y′,df(x)dx或dydx,　即

y′=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx，(1.8)

或

y′=limh→0f(x+h)－f(x)h.(1.9)

注意

（1)　在以上式子中，雖然x可以取區間I內的任何值，但在求極限過程中，x是常量，Δx或h是變量.

（2)　函數y=f(x)在點x0的導數f′(x0)就是導函數f′(x)在點x=x0處的函數值,即

f′(x0)=f′(x)x=x0.

（3)　導函數f′(x)簡稱為導數.

三、　求導數舉例

利用導數的定義求導數時，通常利用(1.8)式來求,並按照下麵三個步驟：

（1)　求增量Δy=f(x+Δx)－f(x).

（2)　算比值ΔyΔx=f(x+Δx)－f(x)Δx;

（3)　取極限y′=limΔx→0ΔyΔx.

例1求函數f(x)=xn(n為正整數)在x=1處的導數.

解首先求f′(x)：

（1)　求增量Δy=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)n－xn.

（2)　算比值ΔyΔx=f(x+Δx)－f(x)Δx=(x+Δx)n－xnΔx.

（3)　取極限

f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)n－xnΔx，

當n=1時，f′（x）=1；

當n>1時，f′（x）=limΔx→0C0n·xn·　(Δx)0+C1n·xn－1·(Δx)+…+Cnn·x0·(Δx)n－xnΔx

=limΔx→0[C1n·xn－1+C2n·xn－2·(Δx)+…+Cnn·x0·(Δx)n－1]

=nxn－1.

即（xn）′=1，n=1，nxn-1,n>1.

又由於f′(x0)=f′(x)x=x0，

因此，　函數f(x)=xn在x=1處的導數為f′(1)=f′(x)x=1=n.

初學求導可用以上三步驟進行，熟練了以後，這三步驟可以合在一起寫.

例2求證：對於一切實數μ，當x在冪函數xμ的定義域內，且x≠0時，有(xμ)′=μxμ－1.

證對於一切實數μ，當x在冪函數xμ的定義域內，且x≠0時，

(xμ)′=limΔx→0(x+Δx)μ－xμΔx

=xμ－1limΔx→01+Δxxμ－1Δxx,

當Δx→0，x≠0時,Δxx→0，

利用等價無窮小可知1+Δxxμ－1～μ·Δxx,

從而有　(xμ)′=μxμ－1.

例3求函數y=cosx的導數以及(cosx)′x=π6.

解(cosx)′=limΔx→0cos(x+Δx)－cosxΔx

=limΔx→0－sinx+Δx2·sinΔx2Δx2

=－sinx,

即　(cosx)′=－sinx.

也就是說，餘弦函數的導數是負的正弦函數.

所以(cosx)′x=π6=－sinxx=π6=－12.

用類似方法可得　(sinx)′=cosx.

即正弦函數的導數是餘弦函數.

例4求函數f(x)=lnx的導數.

解(lnx)′=limΔx→0ln(x+Δx)－lnxΔx

=limΔx→0ln1+ΔxxΔx=limΔx→01Δxln1+Δxx

=limΔx→0ln1+ΔxxxΔx·1x=lnlimΔx→01+ΔxxxΔx1x

=lne1x=1xlne=1x.

四、　單側導數

根據函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的定義式

f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx

是一個極限，而極限存在的充要條件是左、右極限都存在且相等，因此f(x)在點x0處可導的充要條件是左極限limΔx→0－f(x0+Δx)－f(x0)Δx及右極限limΔx→0+f(x0+Δx)－f(x0)Δx都存在且相等，這兩個極限分別稱為函數f(x)在點x0處的左導數和右導數，記作f－′(x0)和f+′(x0)，

即

f－′(x0)=limΔx→0－f(x0+Δx)－f(x0)Δx，

f+′(x0)=limΔx→0+f(x0+Δx)－f(x0)Δx.

換句話說，即函數f(x)在點x0處可導的充要條件是左導數f－′(x0)和右導數f+′(x0)都存在且相等.

例5試求函數f(x)=sinx,x<0,－x,x≥0的f－′(0)和f+′(0)，並討論其在x=0處的可導性.

解顯然函數在x=0處是連續的，

左導數f－′(0)=limΔx→0－f(0+Δx)－f(0)Δx=limΔx→0－sinΔx－0Δx=1，

右導數f+′(0)=limΔx→0+f(0+Δx)－f(0)Δx=limΔx→0+－Δx－0Δx=－1，

雖然函數在x=0處的左、右導數都存在，但不相等，所以函數f(x)=sinx,x<0,－x,x≥0在x=0處不可導.

左導數和右導數統稱為單側導數.

如果函數f(x)在開區間(a,b)內可導，且f′+(a)及f′－(b)都存在，則稱f(x)在閉區間［a,b］上可導.

五、　導數的幾何意義

設曲線C的方程為y=f(x)，M(x0,y0)為C上的點.由引例以及圖21可知，曲線y=f(x)在M點處切線斜率為

k=tanα=limN→Mtanφ=limx→x0f(x)－f(x0)x－x0=f′(x0).

這就是說，函數y=f(x)在點x0的導數f′(x0)是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率.易知f′(x0)>0意味著切線與x軸正向的夾角為銳角，f′(x0)<0意味著切線與x軸正向的夾角為鈍角，f′(x0)=0意味著切線與x軸平行.

由平麵解析幾何可知，曲線y=f(x)在M點處的切線方程是

y－y0=f′(x0)(x－x0).

另外，過切點M(x0,y0)且與切線垂直的直線叫作曲線y=f(x)在點M處的法線.如果f′(x0)≠0，法線的斜率為－1f′(x0)，從而法線方程為

y－y0=－1f′(x0)(x－x0).

例6求曲線y=x2在點P(x0,y0),x0>0處的切線方程與法線方程.

解由導數的幾何意義得，切線斜率為

k=y′x=x0=(x2)′x=x0=2x0.

所求曲線y=x2在點P(x0,y0)處的切線方程為

y－y0=2x0(x－x0).

由於2x0≠0,則法線方程為

y－y0=－12x0(x－x0).

六、　函數可導性與連續性的關係

一般來說，函數f(x)在x0處連續，但未必在x0處可導(如前麵的“例5”），但反過來有下麵的關係.

定理如果函數f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處連續.

證由於y′x=x0=limΔx→0ΔyΔx=f′(x0)，因此

limΔx→0Δy=limΔx→0(ΔyΔx·Δx)=limΔx→0ΔyΔx·limΔx→0Δx=0.

從而f(x)在點x0處連續.

例7討論函數f(x)=xsin1x,x≠0,0,x=0在x=0處的可導性和連續性.

解因為sin1x是有界函數，則limx→0f(x)=limx→0xsin1x=0=f(0)，所以函數f(x)在x=0處連續.

由於x=0和x≠0時函數的表達式不同，因此要用導數的定義討論f(x)在x=0處的可導性（如圖22）.

圖22

因為limΔx→0f(0+Δx)－f(0)Δx

=limΔx→0(Δx)sin1Δx－0Δx

=limΔx→0sin1Δx,

顯然極限不存在，所以函數f(x)在x=0處不可導.

習題21

1.　求證：

(1)　(logax)′=1xlna　(a為常數，並且a>0,a≠1);

(2)　（C）′=0　(C為常數);

(3)　(sinx)′=cosx.

2.　設f(x0)=0,f′(x0)=2,試利用導數定義求下列極限.

(1)　limΔx→0f(x0+Δx)Δx;

(2)　limx→0xf(x0－x)－f(x0);

(3)　limΔx→0f(x0+aΔx)－f(x0+bΔx)Δx;

(4)　limx→0xf(x0－2x)－f(x0+x).

3.　利用本節例2結論計算下列函數的導數.

(1)　y=x8;(2)　y=x1.9;(3)　y=x－12;(4)　y=3x4;

(5)　y=1x4;(6)　y=x3·3x;(7)　y=3x29x;(8)　y=18x　.

4.　設f(x)=11+x,按導數定義求f′(x)，f′(0).

5.　已知f(x)=x2,x≥0,－x,x<0,求f－′(0),f+′(0),並判斷f′(0)是否存在？

6.　求曲線y=lnx在(1,0)點處的切線和法線方程.

7.　設函數f(x)可導,且f′(3)=2,求limx→0f(3－x)－f(3)2x.

8.　設f(x)=ax+b,x>1,x2,x≤1,為了使f(x)在x　=1連續且可導,a,b應取何值？

9.　已知f(x)在x=1處連續,　且limx→1f(x)x－1=2,　求f′(1).

10.　設函數f(x)=x3,x<0,x2,x≥0,求其導函數f′(x).

第二節函數的求導法則

直接用導數定義求某些函數的導數是比較繁的,本節將引入一些求導法則,利用這些法則，能較簡便地求出初等函數的導數.

定理如果函數u=u(x),v=v(x)在點x處可導,則它們的和、差、積、商在點x處（除分母為零的點外）也可導,並且

(1)　［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x);

(2)　［u(x)·v(x)］′=u′(x)·v(x)+u(x)·v′(x);

(3)　u(x)v(x)′=u′(x)·v(x)－u(x)·v′(x)v2(x)　(v(x)≠0).

（這裏我們僅證明(1)、(2)）.

證

(1)　［u(x)±v(x)］′=limΔx→0［u(x+Δx)±v(x+Δx)］－［u(x)±v(x)］Δx=limΔx→0u(x+Δx)－u(x)Δx±limΔx→0v(x+Δx)－v(x)Δx=u′(x)±v′(x).

因為u(x),v(x)在x點可導，(1)得到證明.

(2)　［u(x)·v(x)］′=limΔx→0［u(x+Δx)·v(x+Δx)］－u(x)·v(x)Δx=limΔx→0u(x+Δx)－u(x)Δx·v(x+Δx)+u(x)·v(x+Δx)－v(x)Δx=limΔx→0u(x+Δx)－u(x)Δx·limΔx→0v(x+Δx)+u(x)·limΔx→0v(x+Δx)－v(x)Δx.

因為v(x)在x點可導,所以v(x)連續，故limΔx→0v(x+Δx)=v(x).

於是［u(x)·v(x)］′=u′(x)·v(x)+u(x)·v′(x)，(2)得到證明.

注意

（1)　以上公式可簡單表示為

①　(u±v)′=u′±v′;

②　(uv)′=u′v+uv′;

③　uv′=u′v－uv′v2(v≠0).

（2)　以上公式可得到如下幾個推論:

①　(u±v±ω)′=u′±v′±ω′;

②　(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′;

③　(Cu)′=Cu′(C是常數).

例1求函數y=3x3+3sinx－345的導數.

解根據第二章第一節例題1以及課後習題可知(x3)′=3x2，

345是常數，(345)′=0，

(sinx)′=cosx.

再根據定理可知

y′=(3x3+3sinx－345)′=(3x3)′+(3sinx)′－(345)′

=3(x3)′+3(sinx)′－0=9x2+3cosx.

初學求導可用以上步驟進行,熟練了以後,這些步驟可以合在一起寫.

例2已知函數f(x)=x3+4－sinx,求f′π2以及fπ2′.

解由f(x)=x3+4－sinx得

f′(x)=3x2－cosx,

f′π2=34π2,

fπ2′=π38+4－sinπ2′=0.

例3已知函數y=x2·(sinx+cosx),求y′.

解y′=(x2)′·(sinx+cosx)+x2·(sinx+cosx)′

=2x·(sinx+cosx)+x2·(cosx－sinx)

=(2x－x2)·sinx+(2x+x2)·cosx.

例4已知函數y=1+2x·3x3－2x2　,求dydx.

解dydx=(1+2x)′·3x3－2x2+1+2x·3x3－2x2′

=2·3x3－2x2+1+2x·9x2－4x

=6x3－4x2+9x2－4x+18x3－8x2

=24x3－3x2－4x.

例5已知函數y=cscx,求y′.

解y′=(cscx)′=1sinx′

=(1)′·sinx－1·(sinx)′sin2x

=－cosxsin2x

=－cscx·cotx,

即

(cscx)′=－cscxcotx.

用類似方法可得

(secx)′=secxtanx.

例6已知函數y=cotx,求y′.

解y′=(cotx)′=cosxsinx′

=(cosx)′·sinx－cosx·(sinx)′sin2x

=－sin2x+cos2xsin2x=－1sin2x=－csc2x,

即

(cotx)′=－csc2x.

用類似方法可得

(tanx)′=sec2x.

習題22

1.　求證：

(1)　(tanx)′=sec2x;(2)　(secx)′=secxtanx.

2.　求下列函數的導數.

(1)　y=8x6－cosx;(2)　y=xsinx;

(3)　y=x33+1x+12;(4)　y=(1－x)(1－2x);

(5)　y=(1+x2)1x－1;(6)　y=5x31+x;

(7)　y=cosx+1sinx;(8)　y=35+x+x22;

(9)　y=tanx+12cosx－3;(10)　y=xtanx.

3.　求下列函數在給定點的導數值.

(1)　y=12x2－1x+6　,求y′|x=1;

(2)　y=x5+x+1x2　,　求y′|x=1;

(3)　y=x2cosx+sin3　,求y′|x=π.

第三節反函數及複合函數的導數

一、　反函數的求導

定理1設函數x=φ(y)是直接函數,　函數y=f(x)是它的反函數.如果x=φ(y)在區間Iy內單調、可導並且φ′(y)≠0，那麼y=f(x)在區間Ix={xx=φ(y),y∈Iy}內也可導，並且有

［f(x)］′=1φ′(y)或者dydx=1dxdy.

即反函數的導數等於直接函數導數的倒數.

證由於函數x=φ(y)在Iy內單調、可導(從而連續)，由第一章可以知道，函數x=φ(y)的反函數y=f(x)存在，並且y=f(x)在Ix內單調、連續.

任取x∈Ix,給x增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix),由y=f(x)的單調性可知

Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0,

於是有　ΔyΔx=1ΔxΔy.

因為y=f(x)連續,所以limΔx→0Δy=0.

因此［f(x)］′=limΔx→0ΔyΔx=limΔy→01ΔxΔy=1φ′(y).

例1求函數y=arccosx的導數.

解因為x=cosy是y=arccosx的反函數，在Iy∈(0,π)內單調、可導,

且(cosy)′=－siny<0.

所以在Ix∈(-1,1)內有

(arccosx)′=1(cosy)′=－1siny=－11－cos2y=－11－x2　.

類似可得：(arcsinx)′=11－x2;

(arctanx)′=11+x2;

(arccotx)′=－11+x2.

例2求函數y=ax(a>0,a≠1)的導數.

解因為x=logay是y=ax的反函數,在Iy=(0,+∞)內單調、可導,並且

(logay)′=lnylna′=1ylna.

所以在Ix=R內有

(ax)′=1(logay)′=ylna=axlna.

特別地，當a=e時，有(ex)′=ex.

二、　複合函數的求導法則

定理2如果函數u=φ(x)在點x可導，而y=f(u)在相應的點u=φ(x)可導,則複合函數y=f［φ(x)］在點x可導，且其導數為

dydx=f′(u)·φ′(x)或者dydx=dydu·dudx.

即因變量對自變量的導數等於因變量對中間變量導數乘以中間變量對自變量導數(鏈式法則).

證由y=f(u)在點u可導,

所以limΔu→0ΔyΔu=f′(u),

故ΔyΔu=f′(u)+α(limΔu→0α=0),

即　Δy=f′(u)Δu+αΔu.

當Δx≠0時，　ΔyΔx=f′(u)ΔuΔx+αΔuΔx,

令Δx→0，又u=φ(x)在點x處可導，所以在點x處連續.

因此limΔx→0Δu=0，

從而可以推知limΔx→0α=limΔu→0α=0,且limΔx→0ΔuΔx=φ′(x),

故limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f′(u)·ΔuΔx+α·ΔuΔx

=f′(u)·limΔx→0ΔuΔx+limΔx→0α·limΔx→0ΔuΔx

=f′(u)·φ′(x).

推廣設y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),則複合函數y=f{φ［ψ(x)］}的導數為

dydx=dydu·dudv·dvdx.

這裏假定上式中出現的導數在相應點處都存在.

例3設　y=cos3x2－x+1，求dydx.

解函數　y=cos3x2－x+1可以看作由　y=cosu,u=3x2－x+1複合而成，由於　dydu=－sinu,dudx=6x－1.

所以dydx=dydu·dudx=－sinu·6x－1

=－6x－1·sin3x2－x+1

=1－6x·sin3x2－x+1.

例4設　y=xμ（x>0,μ為實數），求dydx.

解把　y=xμ可看作由　y=ev,v=μlnx複合而成，

由於dydv=ev，且dvdx=μx.

因此dydx=dydv·dvdx=ev·μx=xμ·μx=μ·xμ－1.

從以上例子可以看出，應用複合函數求導法則時，首先要分析所考慮的函數是由哪些函數複合而成的，然後按照複合函數的求導法則求導數.對複合函數的分解比較熟練後，就不必寫出中間變量，而是按照以下例題的求解方法來計算.

例5已知函數y=ln1－x1+x2，求dydx.

解　注意到函數f(x)的定義域是(－∞,1)，故函數f(x)可以寫成

f(x)=12ln1－x1+x2=12[ln(1－x)－ln(1+x2)].

從而有f′(x)=1211－x·(1－x)′－11+x2·(1+x2)′=12(x－1)－x1+x2,x<1.

例6設f(x)為可導函數，y=lnf(x),求dydx.

解y=lnf(x)　是一個分段函數y=lnf(x),f(x)>0,ln－f(x),f(x)<0,(f(x)≠0）.

當f(x)>0時，由複合函數求導公式得

y′=lnf(x)′=1f(x)·f′(x).

當f(x)<0時，令u=－f(x)，則函數由y=lnu,u=－f(x)複合而成,

y′=1u·(－f(x))′=1－f(x)·－f′(x)=f′(x)f(x).

於是有　lnf(x)′=f′(x)f(x),f(x)≠0.

特別地，當f（x）=x時，有（ln｜x｜）′=1x，x≠0.

三、　基本求導法則與導數公式

1.　常數和基本初等函數的導數公式

(1)　C′=0,(3)　(sinx)′=cosx,(5)　(tanx)′=sec2x,(7)　(secx)′=secxtanx,(2)　(xμ)′=μxμ－1,(4)　(cosx)′=－sinx,(6)　(cotx)′=－csc2x,(8)　(cscx)′=－cscxcotx,

(9)　(ax)′=axlna,(11)　(logax)′=1xlna,(10)　(ex)′=ex,(12)　(lnx)′=1x,

(13)　(arcsinx)′=11－x2,(15)　(arctanx)′=11+x2,(14)　(arccosx)′=－11-x2,(16)　(arccotx)′=－11+x2.

2.　函數的和、差、積、商的求導法則

假設u=u(x),v=v(x)在點x處都可導，那麼

(1)　(u±v)′=u′±v′;

(2)　(Cu)′=Cu′　(C是常數);

(3)　(uv)′=u′v+uv′;

(4)　uv′=u′v－uv′v2(v≠0).

3.　反函數的求導法則

如果函數x=φ(y)在區間Iy內單調、可導且φ′(y)≠0,那麼它的反函數y=f(x)在區間Ix={xx=φ(y),y∈Iy}內也可導,且有

［f(x)］′=1φ′(y)或者dydx=1dxdy.

4.　複合函數的求導法則

如果函數u=φ(x)在點x可導,而y=f(u)在點u=φ(x)可導,則複合函數y=f［φ(x)］在點x可導,且其導數為dydx=f′(u)·φ′(x)或者dydx=dydu·dudx.

習題23

1.　證明:

(1)　(arcsinx)′=11－x2;

(2)　(arctanx)′=11+x2;

(3)　(arccotx)′=－11+x2.

2.　求下列函數的導數.

(1)　y=x3+7x－4－2x－1+12　;(2)　y=5x3－2x+3ex;

(3)　y=2tanx+secx－1;(4)　y=sinx·cosx;

(5)　y=x2·lnx;(6)　y=3ex·cosx;

(7)　y=lnxx;(8)　y=exx2+ln4;

(9)　y=x2·lnx·cosx;(10)　s=1+sint1+cost.

3.　求下列函數的導數.

(1)　y=(5x+7)2;(2)　y=lncotx;

(3)　y=ex5;(4)　y=esinx;

(5)　y=arctan1x;(6)　y=lncos(1+x2);

(7)　y=x21－x2;(8)　y=arcsinx;

(9)　y=3+2ex;(10)y=sin2xcosx2;

(11)　y=lnx+lnx;(12)　y=cosx+cosx;

(13)　y=e－x·ln(1－x);(14)　y=6sinx;

(15)　y=loga(1+x2)（其中a是常數，a>0,a≠1）.

4.　設f(x)可導，試解下列各題.

(1)　y=fx2，求dydx；

(2)　y=xfx22,　求dydx.

第四節高階導數

假設一物體做直線運動，其位移s關於時間t的函數為s=s(t)，則物體運動的瞬時速度為

v(t)=s′(t)，

v(t)仍是關於時間t的函數，而其關於時間t的導數是物體的加速度，即a(t)=v′(t).

因此加速度是位移函數s(t)的導數的導數，這就產生了高階導數的概念.

定義若函數f(x)的導數f′(x)在點x0處可導,則稱f′(x)在點x0處的導數為f(x)在點x0處的二階導數,記作f″(x0),即f″(x0)=limx→x0f′(x)－f′(x0)x－x0,同時稱f(x)在點x0處二階可導.

若f(x)在區間I上每一點都二階可導,則得到一個定義在I上的二階導函數,也簡稱二階導數,記作f″(x),x∈I,或簡單記作f″(x).

仿照上述定義,可由二階導數f″(x)定義f(x)在點x處的三階導數f′″(x)……一般地,可由f(x)的n－1階導數f(n－1)(x)定義f(x)在點x處的n階導數f(n)(x).

函數f的n階導數在x0處的值記作

f(n)(x0)或y(n)|x=x0或dnydxn|x=x0或dnfdxn|x=x0.

相應地函數f在任意點x處的n階導數記作

f(n)(x)或y(n)或dnydxn或dnfdxn.

這裏dnydxn可以寫成dndxny或者ddxddx…ddxy.

注意如果函數f(x)在點x處具有n階導數，那麼函數f(x)在點x的某個鄰域內必定具有一切低於n階的導數.二階及二階以上的導數統稱為高階導數,　相應地，將f(x)的導數f′(x)視為f(x)的一階導數，將f(x)視為f(x)的0階導數.

由定義可以看出，計算高階導數就是用一階導數的求法對f(x)接連多次求導.

例1已知y=ax2+bx+c,　求y″.

解y′=2ax+b,y″=2a.

例2已知函數y=1－x2,求y″.

解y′=12·(1－x2)－12·(－2x)=－x1－x2;

y″=(－x)′·1－x2－(1－x2)′·(－x)(1－x2)2=－1－x2－x21－x21－x2=－(1－x2)－32.

例3已知函數y=ex·cosx,　試驗證y″－2y′+2y=0.

證　由y=ex·cosx得

y′=ex·(cosx－sinx)，

y″=ex·(－2sinx).

從而y″－2y′+2y=ex·(－2sinx)－2ex·(cosx－sinx)+2ex·cosx=0，得證.

下麵介紹幾個初等函數的n階導數.

例4已知函數y=ex，求y(n).

解y′=ex,y″=ex,y=ex,y(4)=ex,……

一般地y(n)=ex,

即(ex)(n)=ex.

例5已知正弦函數y=sinx，求y(n).

解y′=ddxy=cosx=sinx+π2,

y″=ddxy′=cosx+π2=sinx+π2+π2=sinx+2·π2,

y=ddxy″=cosx+2·π2=sinx+3·π2,

y(4)=ddxy=cosx+3·π2=sinx+4·π2,

……

一般地，　y(n)=sinx+n·π2,

即　(sinx)(n)=sinx+n·π2.

用類似方法可求得餘弦函數y=cosx的n階導數為　(cosx)(n)=cosx+n·π2.

例6已知函數y=ln(1+x)，求y(n).

解y=ln(1+x),y′=11+x,

y″=－1(1+x)2,

y=1·2(1+x)3,

y(4)=－1·2·3(1+x)4,

……

一般地　y(n)=(－1)n－1(n－1)!(1+x)n,

即　ln(1+x)(n)=(－1)n－1(n－1)!(1+x)n.

通常規定0!=1,所以這個公式當n=1時也成立.

例7已知f(x)=cos(x+a)，求f(n)(x).

解f′(x)=－sin(x+a)=cosx+a+π2,

f″(x)=－cosx+a+2·π2,……

(cos(x+a))(n)=cosx+a+n·π2.

下麵介紹高階導數運算法則

設函數u=u(x)及v=v(x)都在點x處具有n階導數，那麼

(1)　(u±v)(n)=u(n)±v(n)；

(2)　(Cu)(n)=Cu(n)(C為常數)；

(3)　(u·v)(n)=C0nu(n)v+C1nu(n－1)v′+C2nu(n－2)v″+…+Cknu(n－k)v(k)+…+Cnnuv(n)

=∑nk=0Cknu(n－k)v(k),

其中(3)稱為萊布尼茨（Leibniz）公式.

例8已知函數y=ex·(x2－3x+1)，求y(n).

解假設u(x)=ex,v(x)=x2－3x+1,那麼

u(k)(x)=ex,

v′(x)=2x－3,

v″(x)=2,

一般地，可得v(k)(x)=0(k>2).

代入萊布尼茨公式中得

y(n)=∑nk=0Cknu(n－k)(x)v(k)(x)=∑2k=0Cknexv(k)(x)

=ex·［C0n·(x2－3x+1)+C1n·(2x－3)+C2n·2］

=ex[x2+(2n－3)x+n2－4n+1].習題24

1.　求下列函數在指定點的導數.

(1)　f(x)=x2－9x－1,求f′(1),f″(1),f″′(1);

(2)　f(x)=4x3+xx,　求f′(1),f″(1).

2.　求下列函數的二階導數.

(1)　y=2x2+lnx　;(2)　y=x·ex2;

(3)　y=x·1+x2　;(4)　y=ln(1－x2);

(5)　y=(1+x2)·arctanx;(6)　y=tanx.

3.　求下列函數的n階導數的一般表達式.

(1)　y=xn+a1xn－1+a2xn－2+…+an－1x+an（a1,a2,…,an－1,an都是常數）;

(2)　y=ex·cosx.

4.　試證明：

(1)　y=sec2x滿足關係式y″－3y5+y=0;

(2)　y=C1eλx+C2e－λx(C1,C2,λ是常數），滿足關係式y″－λ2y=0.

5.　假設y(n－1)(x)=xlnx，求y(n+1)(x).

6.　設f″(x)存在，求下列函數的二階導數d2ydx2.

(1)　y=f(x2+2x);

(2)　y=ef(x).

第五節隱函數的導數、由參數方程所確定函數的導數

一、　隱函數的導數

如果將兩個變量y與x之間的對應關係表示成y=f(x)的形式，我們把這樣的函數稱為顯函數.而如果變量x與y滿足一個由方程F(x,y)=0在一定條件下，當x取某區間內的任一值時，相應地總有滿足這方程的唯一的y值存在，那麼就說方程F(x,y)=0在該區間內確定了一個隱函數.

例如方程x－y－2=0　，以及方程xy+9－ey=0確定的函數都是隱函數.

對於方程x－y－2=0，我們可以解出y=x－2，即把隱函數化為顯函數.　把一個隱函數化為顯函數，叫作隱函數的顯化.

顯然，把由方程xy+9－ey=0確定的隱函數顯化是有困難的.

在實際問題中，無論是可顯化，還是不可顯化的隱函數有時都需要計算它的導數，而前麵求導法則對隱函數未必適用，於是我們直接從函數方程出發，在方程兩邊同時對自變量求導.下麵通過具體例子來說明.

例1求由方程y3=x+arccosy所確定的隱函數的導數dydx.

解我們在方程兩邊分別對x求導數,其中y是x的函數，即y=f(x).

方程左邊對x求導得

ddx(y3)=3y2dydx.

方程右邊對x求導得

ddx［x+arccosy］=1－11－y2·dydx.

所以3y2dydx=1－11－y2·dydx,

從而dydx=111－y2+3y2.

例2求圓x2+y2=R2在點0,R處的切線方程.

解由導數的幾何意義知道,所求切線的斜率為k=y′x=0

y=R.

把圓方程的兩邊分別對x求導,有2x+2y·dydx=0.

從而有　dydx=－xy.

此時　k=y′x=0

y=R=0,

於是所求的切線方程為y－R=0(x－0),即y=R.

例3求由方程y=1+xey所確定的隱函數的二階導數d2ydx2.

解應用隱函數的求導方法,得dydx=ey+xeydydx.

於是dydx=ey1－xey.

即dydx=ey2－y.

上式兩邊再對x求導,得：

d2ydx2=ddxey2－y

=ey·dydx·(2－y)+dydx·ey(2－y)2

=e2y·(3－y)(2－y)3.

上式右端分式中的y是由y=1+xey所確定的隱函數.

在某些場合，我們對方程y=f(x)兩邊取對數，再利用隱函數求導方法來求冪指函數f(x)=u(x)v(x)(u(x)>0)的導數，這個方法稱為對數求導法.

例4設y=xx(x>0),求y′.

解等式兩邊取對數，得lny=x·lnx,

上式兩邊對x求導,得1yy′=lnx+x·1x,

所以y′=y·(lnx+1)=xx(lnx+1).

另外，本題還可用如下方法求導，

因為y=xx=exlnx，

所以　y′=(exlnx)′=exlnx(1+lnx)=xx(1+lnx).

例5已知函數y=(x+1)3(x－1)2x+2，求y′.

解等式兩邊取絕對值後再取對數，有：

ln|y|=ln|x+1|+23ln|x－1|－13ln|x+2|,

上式兩邊對x求導，注意到y是x的函數，根據(ln|f(x)|)′=f′(x)f(x)

有

y′y=1x+1+23·1x－1－13·1x+2，

所以

y′=(x+1)3(x－1)2x+21x+1+23·1x－1－13·1x+2.

二、　由參數方程所確定函數的導數

在實際問題中，需要用參數方程

x=φ(t),y=ψ(t),(a≤t≤b)(5.1)

確定y與x間的函數關係，但是從(5.1)中消去參數t有時會有困難，因此，我們希望有一種方法能直接由(5.1)算出它所確定的函數的導數來.接下來，我們就來討論由參數方程(5.1)所確定的函數的求導方法.

如果x=φ(t)具有單調連續反函數t=φ－1(x)，那麼它與y=ψ(t)結合能得到由方程(5.1)確定的複合函數

y=ψ［φ－1(x)］.(5.2)

這時隻要函數φ,ψ可導，且φ′(t)≠0，則由複合函數和反函數的求導公式可得由參數方程(5.1)所確定的函數(5.2)的導數公式

dydx=dydtdtdx=dydtdxdt=ψ′(t)φ′(t).(5.3)

我們指出

(1)　若y=ψ(t)是單調連續反函數，且φ(t),ψ(t)可導，ψ′(t)≠0則有複合函數x=φ［ψ－1(y)］,

且dxdy=dxdt·dtdy=dxdtdydt=φ′(t)ψ′(t).

(2)　若φ,ψ在［a,b］上都是二階可導，則由參數方程

x=φ(t),

dydx=ψ′(t)φ′(t)

及公式(5.3)可得由參量方程(5.1)所確定的函數(5.2)的二階導數

d2ydx2=ddxdydx=ddtdydxdxdt=ψ′(t)φ′(t)′φ′(t)

=ψ″(t)φ′(t)－ψ′(t)φ″(t)［φ′(t)］3　.(5.4)

例6求平麵曲線x=3t,y=t2在t=1處點P的切線方程.

解當t=1時，x=3，　y=1.

所以P點坐標為(3,1).

曲線在切點P處的切線斜率為

dydxt=1=dydtdxdtt=1=(t2)′(3t)′t=1=2t3t=1=23.

利用點斜式可寫出切線方程

y－1=23(x－3).

化簡後得

3y－2x+3=0.

例7已知曲線方程x=ln(1+t2),y=t－arctant,求d2ydx2.

解dydx=dydtdxdt=1－11+t22t1+t2=t2,

d2ydx2=ddxdydx=ddxt2=dt2dtdxdt=122t1+t2=1+t24t.

習題25

1.　求下列函數的dydx,d2ydx2.

(1)　x2+xy=1;(2)　y=x+lny;

(3)　y=1+xe－y;(4)　y=x+siny.

2.　求下列函數的dydx.

(1)　y=x1x(x>0);(2)　y=(lnx)x(x>1);

(3)　y=(sinx)cosx(sinx>0);(4)　y=(x+1+x)x　(x+1+x>0).

3.　求下列函數的dydx,dydxt=1,d2ydx2.

(1)　x=t2,y=1－t;(2)　x=cost,y=3sint;

(3)　x=a(t－sint),y=b(1－cost);(4)　x=t2,y=11+t;

(5)　x=etcost,y=etsint.

4.　假設曲線方程x=1－t2,y=t－t2,求它在下列點處的切線方程和法線方程.

(1)　t=1;

(2)　t=22.

第六節函數的微分

一、　微分的概念

圖23

先考察一個具體問題，一塊正方形金屬薄片受溫度的影響，其邊長由x0變為x0+Δx（如圖23）,問此薄片的麵積改變了多少？

假設正方形的邊長為x，則它的麵積為　S=x2.若邊長x0變為x0+Δx，相應地正方形麵積的增量為ΔS=(x0+Δx)2－x20=2x0Δx+(Δx)2.

由上式可以看出，ΔS由兩部分組成，第一部分2x0Δx是Δx的線性函數（圖23中單線陰影部分），當Δx→0時，第二部分(Δx)2是較Δx高階的無窮小量，即(Δx)2=ο(Δx)（圖23中雙線陰影部分）.由此可見，當給邊長x0一個微小的增量Δx時，由此所引起的正方形麵積的增量ΔS，可以近似地用第一部分Δx的線性函數2x0Δx來代替.

一般地，有如下定義:

定義1設函數y=f(x)在某區間內有定義，x0及x0+Δx在這區間內，如果函數的增量

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=AΔx+o(Δx),(6.1)

其中A是不依賴於Δx的常數，而o(Δx)是比Δx高階的無窮小，那麼稱y=f(x)在點x0是可微的，而AΔx叫作函數y=f(x)在點x0相應於自變量增量Δx的微分，記作dy，即

dy=AΔx.

由微分定義可見，函數的微分與增量僅相差一個較Δx高階的無窮小量.由於dy是Δx的線性函數，所以當A≠0時，微分dy是增量Δy的線性主部.

下麵給出函數f(x)在點x0處可微的充要條件:

定理函數y=f(x)在點x0可微的充分必要條件是y=f(x)在點x0可導，且

A=f′(x0).

證必要性

因為f(x)在點x0可微，

所以Δy=A·Δx+o(Δx),

從而ΔyΔx=A+o(Δx)Δx,

那麼limΔx→0ΔyΔx=A+limΔx→0o(Δx)Δx=A.

即函數f(x)在點x0可導，且A=f′(x0).

充分性

因為函數f(x)在點x0可導,

所以limΔx→0ΔyΔx=f′(x0),

即ΔyΔx=f′(x0)+α,其中limΔx→0α=0,

從而Δy=f′(x0)·Δx+α·(Δx),

limΔx→0α·ΔxΔx=limΔx→0α=0.

所以α·Δx是Δx的高階無窮小量，記為α·Δx=o(Δx)，

故Δy=f′(x0)·Δx+o(Δx),

即函數y=f(x)在點x0可微.

本定理告訴我們,可微當且僅當可導，同時函數y=f(x)在點x0可微時有

dy=f′(x0)·Δx.（6.2）

函數y=f(x)在任意點x的微分，稱為函數的微分，記作dy或df(x)，即

dy=f′(x)·Δx.

例1求函數y=5lntanx在x=π4,Δx=0.01處的微分.

解因為　dy=y′·Δx.

而y′=(5lntanx)′=[5lntanx·(ln5)]·(lntanx)′

=5lntanx·(ln5)·1tanx·1cos2x=5lntanx·(ln5)·2sin2x，

所以dy=y′·Δx=5lntanx·(ln5)·2sin2x·Δx.

故dyx=π4Δx=0.01=5lntanπ4·(ln5)·2sinπ2·(0.01)

=50·(ln5)·2·0.01=0.02·ln5.

通常把自變量x的增量Δx稱為自變量x的微分，記作dx,即　dx=Δx.

於是dy=f′(x)·Δx=f′(x)dx.（6.3）

從而有dydx=f′(x).

即函數的微分dy與自變量x的微分dx之商等於該函數的導數，所以導數又叫作“微商”.

二、　微分的幾何意義

微分的幾何解釋如圖24所示，

圖24

當自變量由x0增加到x0+Δx時，函數增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=RQ,而曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線（其傾斜角為α）所對應的線性函數的增量是

RQ′=(tanα)·Δx=f′(x0)·Δx.

所以dy|x=x0=f′(x0)Δx=RQ′.

這表明，若函數y=f(x)可微，當Δy是曲線y=f(x)上點的縱坐標的增量時，則微分dy就是曲線的切線上點相應的縱坐標的增量.

而Δy與dy之差QQ′隨著Δx趨於零而趨於零，且為Δx的高階無窮小量，因而在x0的充分小鄰域內，可用x0處的切線段來近似代替x0處的曲線段.

三、　基本初等函數的微分公式和微分運算法則

1.　基本初等函數的微分公式

(1)　d（C）=0;(2)　d(xμ)=μxμ-1dx;

(3)　d(sinx)=cosxdx;(4)　d(cosx)=－sinxdx;

(5)　d(tanx)=sec2xdx;(6)　d(cotx)=－csc2xdx;

(7)　d(secx)=secxtanxdx;(8)　d(cscx)=－cscxcotxdx;

(9)　d(ax)=axlnadx;(10)　d(ex)=exdx;

(11)　d(logax)=1xlnadx;(12)　d(lnx)=1xdx;

(13)　d(arcsinx)=11－x2dx;(14)　d(arccosx)=－11－x2dx;

(15)　d(arctanx)=11+x2dx;(16)　d(arccotx)=－11+x2dx.

2.微分的四則運算法則

由導數與微分的關係，我們能立刻推出如下微分四則運算法則：

（其中u=u(x),v=v(x)都可導）

(1)　d(u±v)=du±dv;(2)　d(Cu)=Cdu;

(3)　d(uv)=vdu+udv;(4)　duv=vdu－udvv2(v≠0).

我們以(3)式為例證明，其餘類似證明.

根據函數微分的表達式子，有

d(uv)=(uv)′dx.

再根據乘積的求導法則，有

(uv)′=u′v+uv′.

於是d(uv)=(uv)′dx=(u′v+uv′)dx=u′vdx+uv′dx.

又因為u′dx=du,v′dx=dv，

所以d(uv)=vdu+udv.

3.　複合函數微分法則

首先我們證明，在y=f(u)的微分公式dy=f′(u)du中，無論u作為自變量還是u作為中間變量，此公式形式不變.

事實上，

(1)　若u作為自變量時，顯然函數y=f(u)的微分有dy=f′(u)du.

(2)　若u作為中間變量時，y=f(u)，u=g(x)，那麼y=f(g(x))為複合函數.由複合函數求導法則，有

y′=f′［g(x)］g′(x).

且dy=df(g(x))=f′(u)g′(x)dx=f′(u)du，其中du=dg(x)=g′(x)dx.

這樣求複合函數的微分就可以類似求複合函數導數那樣，不必寫出中間變量.這個性質通稱為微分形式不變性.

例2已知函數y=esin(ax+b),求dy.

解dy=esin(ax+b)d(sin(ax+b))　=esin（ax+b）cos（ax+b）d(ax+b）

=aesin(ax+b)·cos(ax+b)dx.

四、　微分在近似計算中的應用

1.　函數的近似計算

微分概念在實際問題中有著許多重要的應用，它在工程近似計算方麵的應用，可以起到簡化計算的作用.

由增量與微分的關係Δy=dy+ο(Δx)=f′(x0)Δx+ο(Δx),

當Δx很小時，有Δy≈dy，

即f(x0+Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx，

或f(x0+Δx)≈f′(x0)Δx+f(x0)，（6.4）

一般說，為求得f(x)的近似值，可找一個鄰近於x的值x0，隻要f(x0)和f′(x0)易於計算，那麼以x代替(6.4)式中的x0+Δx就得到f(x)的近似值

f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0)，（6.5）

顯然當x0越靠近x的值，其計算精度就越高.

例3求4.01的近似值.

解4.01=4+0.01,

令f(x)=x，x0=4，Δx=0.01,

利用公式f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0),

得4.01≈2+14(0.01)=2.0025.

下麵將給出一些函數在原點附近的近似公式（下麵都假定x是較小的數值）.為此，在（6.5）式中取x0=0，則有f(x)≈f(0)+f′(0)x.

於是有

(1)　n1+x≈1+1nx;

(2)　sinx≈x;

(3)　tanx≈x;

(4)　ex≈1+x;

(5)　ln(1+x)≈x.

2.　誤差估計

由於測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數據往往帶有誤差，而根據帶有誤差的數據計算所得的結果也會有誤差，我們把它叫作間接測量誤差.

定義2如果某個量的精確值是A，它的近似值為a，那麼|A－a|叫作a的絕對誤差，而絕對誤差|A－a|與a的比值|A－a|a叫作a的相對誤差.

例4假設已測得一根圓軸的直徑D=11　cm,並知在測量中絕對誤差不超過0.1　cm，試求以此數據計算圓軸的橫截麵麵積時所引起的誤差.

解利用所測的直徑計算圓軸的橫截麵麵積

S=f(D)=14πD2=14π(11)2=1214π(cm2).

它的絕對誤差為

|ΔS|≈|dS|=|f′(D)ΔD|=12πD|ΔD|≤12π·11·0.1=0.55π.

它的相對誤差為

|ΔS|S≈|dS|S=12πD|ΔD|14πD2=2|ΔD|D≤0.211≈1.8%.

習題26

1.　求下列函數的微分.

(1)　y=8x6－cosx；(2)　y=x·sinx;

(3)　y=ex5;(4)　y=esinx;

(5)　y=x+siny;(6)　y=x-1x(x>0);

(7)　y=x2·cos2x;(8)　y=x·lnx－x;

(9)　y=x1－x2;(10)　y=eax·sinbx.

2.　將適當的函數填入下列括號內，使等式成立.

(1)　d()=4dx;(2)　d()=7xdx;

(3)　d()=sinxdx;(4)　d()=sec2xdx;

(5)　d()=cscx·cotxdx;(6)　d()=1xdx;

(7)　d()=e－xdx;(8)　d()=csc23xdx.

3.　求列各式的近似值.

(1)　ln1.01;(2)　e0.05;

(3)　38.02;(4)　26.

總習題二

一、　選擇題

1.　設函數f(x)在點x0處可導是f(x)在點x0處連續的條件.

A.　充分非必要B.　必要非充分

C.　充分必要D.　既非充分又非必要

2.　設函數f(x)在點x0處可導是f(x)在點x0處左導數f′－(x0)及右導數f′+(x0)都存在且相等的條件.

A.　充分非必要B.　必要非充分

C.　充分必要D.　既非充分又非必要

3.　設函數f(x)在點x0處可導是f(x)在點x0處可微的條件.

A.　充分非必要B.　必要非充分

C.　充分必要D.　既非充分又非必要

4.　假設函數f(x)=exk，並且f′(1)=e，那麼k=（）.

A.　1B.　－1C.　12D.　2

5.　假設函數f(x)=e－1x，那麼limΔx→0f′(2－Δx)－f′(2)Δx=（）.

A.　116e

B.　－116e

C.　316e

D.　－316e

6.　下列函數中（）在點x=0處可導.

A.　3xB.　|x|+1

C.　xD.　e3x2ln(1+x)

7.　假設函數f(x)在x0處不連續，則（）.

A.　f′(x0)必存在

B.　f′(x0)必不存在

C.　limx→x0f(x)必存在

D.limx→x0f(x)必不存在

二、　計算題

1.　求下列函數的導數.

(1)　y=arctan(2x+1)；

(2)　y=1+2ln2x；

(3)　y=arctan(ex)；

(4)　y=1+x－1－x1+x+1－x　.

2.　假設

(1)　f(x)=ex,x2+bx+c,x≤0,x>0;

(2)　f(x)=e2x+c,sinbx,x≤0,x>0,

求b,c的值使得函數f(x)在x=0處可導.

3.　利用對數求導法求下列函數的導數.

(1)　y=x·sinx·1－ex;

(2)　xy=yx(x>0,y>0).

4.　求下列參數方程所確定的函數y的導數dydx.

(1)　x=1t+1,y=tt+12;(2)

x=t(1－sint),y=tcost.

5.　求函數x=12t2,y=t3在t=1相應的點處的切線方程以及法線方程.

第三章微分中值定理與導數的應用

在本章中，我們將研究微分學的基本定理——中值定理，並引出計算未定式極限的一個重要方法——洛必達法則，然後利用導數來研究函數的某些特性，並利用這些知識解決一些實際問題.

第一節微分中值定理

我們先講羅爾定理，　然後由它推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

一、　羅爾（Rolle）定理

費馬引理設函數f(x)在x0的某鄰域U(x0)內有定義，且在x0處可導，若對x∈U(x0)，有

f(x)≤f(x0)　(或f(x)≥f(x0)),

則

f′(x0)=0.

證設　x∈U(x0)時，　f(x)≤f(x0)　（若f(x)≥f(x0)，可以類似證明）．設x在x0處有增量Δx，且x0+Δx∈U(x0)，則

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≤0　.

從而當Δx>0時，ΔyΔx≤0；當Δx<0時，ΔyΔx≥0．由函數f(x)在x0可導的定義及極限的保號性，得：

f′(x0)=f′+(x0)=limΔx→0+ΔyΔx≤0,

f′(x0)=f′－(x0)=limΔx→0－ΔyΔx≥0,

於是f′(x0)=0.

羅爾定理如果函數f(x)滿足：

(1)　在閉區間［a,b］上連續；

(2)　在開區間(a,b)內可導；

(3)　f(a)=f(b)，

那麼在(a,b)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)=0.

證由於f(x)在閉區間［a,b］上連續，所以函數f(x)在［a,b］上存在最大值M及最小值m，分以下兩種情況討論：

(1)　M=m，這時f(x)在［a,b］上為常數M，故x∈(a,b)，有f′(x)=0．因此，(a,b)內的每一點都可以取作ξ．

(2)　M>m，因為f(a)=f(b)，故在M與m中至少有一個不等於f(a)．不妨設M≠f(a)，那麼在(a,b)內存在一點ξ，使得f(ξ)=M．因此，x∈［a,b］，有f(x)≤f(ξ)，又f(x)在點ξ可導，由費馬引理知，f′(ξ)=0.

圖31

羅爾定理的幾何意義如圖31所示．若連續光滑曲線y=f(x)在端點a,b處縱坐標相等，則曲線弧上除端點外至少有一點處的切線平行於x軸，即曲線弧上至少有一條水平切線．

注意羅爾定理的三個條件缺一不可．如果有一個不滿足，定理的結論可能不成立.下麵的例1可以說明這一點.

例1(a)　f(x)=x，－1≤x<1，－1，x=1；

(b)　g(x)=|x|,－1≤x≤1;

(a)　滿足羅爾定理的條件(2)和(3)，不滿足條件(1),顯然沒有羅爾定理的結論．

(b)　滿足羅爾定理的條件(1)和(3)，不滿足條件(2)，顯然沒有羅爾定理的結論．

其圖形如圖32所示.

圖32

例2已知f(x)=(x+1)(x－1)(x－3)，不求導數，判斷f′(x)=0有幾個實根，並確定根所在的範圍.

解顯然f(x)在R上連續且可導，　另外f(－1)=f(1)=f(3)=0，所以f(x)在［－1,1］及［1,3］上分別滿足羅爾定理的條件．

因此，由羅爾定理，存在ξ1∈(－1,1)，使得f′(ξ1)=0；存在ξ2∈1,3，使得f′(ξ2)=0．　即ξ1,　ξ2為f′(x)=0的兩個實根，從而f′(x)=0至少有兩個實根．又因為f′(x)為二次多項式，故f′(x)=0至多有兩個實根．因此，f′(x)=0恰有兩個實根，分別在區間(－1,1)及(1,3)內.

二、　拉格朗日(Lagrange)中值定理

拉格朗日中值定理如果函數f(x)滿足：

（1）　在閉區間［a,b］上連續；

（2）　在開區間(a,b)內可導，

那麼在(a,b)內至少存在一點ξ，使得

f′(ξ)=f(b)－f(a)b－a.

圖33

在證明之前，先看一下拉格朗日中值定理的幾何意義．由圖33可以看出，f(b)－f(a)b－a表示弦AB的斜率，所以拉格朗日中值定理表明在曲線上至少有一點C(ξ,f(ξ))處的切線平行於弦AB．

從圖31看到，在羅爾定理中，由於f(a)=f(b)，弦AB是平行於x軸的，所以，點(ξ,f(ξ))處的切線也平行於弦AB．由此可見，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況．

定理的證明構造輔助函數

φ(x)=f(x)－f(a)－f(b)－f(a)b－a(x－a),

容易驗證φ(x)滿足羅爾定理的條件：(1)在［a,b］上連續；(2)在(a,b)內可導；(3)φ(a)=φ(b)=0．由羅爾定理知，至少存在一點ξ∈(a,b)，使φ′(ξ)=0，即

φ′(ξ)=f′(ξ)－f(b)－f(a)b－a=0，

移項即

f′(ξ)=f(b)－f(a)b－a.

由於a≠b，所以定理的結論f′(ξ)=f(b)－f(a)b－a也可寫成

f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a).

上式也稱為拉格朗日中值公式．

推論1若函數f(x)在區間I上連續，　在I內導數恒為零，則f(x)在區間I上是一個常數.

證設對任意x1,x2∈I,　x1

f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1).

由題知f′(ξ)=0，故f(x2)=f(x1)．由x1,x2的任意性知,f(x)在區間I上是一個常數.

推論2若函數f(x),　g(x)在區間I上連續，在區間I內可導，且f′(x)=g′(x)，則對任意的x∈I,　f(x)=g(x)+C(其中C為常數).

證令φ(x)=f(x)－g(x)，對φ(x)應用推論1即得.

例3證明：當0

1－ab

證設f(x)=lnx,則f(x)在［a,b］上連續，在(a,b)內可導，根據拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得

1ξ=f′(ξ)=f(b)－f(a)b－a=lnb－lnab－a，

即

lnb－lna=1ξ(b－a).

由於0

b－ab

即

1－ab

例4證明等式arcsinx+arccosx=π2(－1≤x≤1).

證令f(x)=arcsinx+arccosx，顯然f(x)在－1,1內可導，且

f′(x)=11－x2－11－x2=0.

則由推論1，任意的x∈(－1,1)

f(x)=arcsinx+arccosx=C.

取x=22，有f22=π4+π4=π2，故C=π2．又f(－1)=－π2+π=π2，f(1)=π2+0=π2，故對任意的x∈［－1,1］，arcsinx+arccosx=π2　.

*三、柯西(Cauchy)中值定理

柯西中值定理如果函數f(x)與g(x)滿足：

(1)　在閉區間［a,b］上連續；

(2)　在開區間(a,b)內可導；

(3)　對任意的x∈(a,b),g′(x)≠0，

那麼在(a,b)內至少存在一點ξ，使得

f′(ξ)g′(ξ)=f(b)－f(a)g(b)－g(a).(1.1)

證若g(a)=g(b)，對g(x)在［a,b］上應用羅爾定理知，存在c∈(a,b)，使g′(c)=0，與條件(3)矛盾，故g(a)≠g(b)．令

F(x)=f(x)－f(a)－f(b)－f(a)g(b)－g(a)g(x)－g(a)，

則F(x)在［a,b］上滿足羅爾定理的條件，故至少存在一點ξ∈(a,b)，使F′(ξ)=0．又

F′(x)=f′(x)－f(b)－f(a)g(b)－g(a)g′(x)，

故F′(ξ)=0，即f′(ξ)g′(ξ)=f(b)－f(a)g(b)－g(a)．

注意如果取g(x)=x，則g(b)－g(a)=b－a，g′(x)=1，則公式(1.1)可寫成：f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)，　ξ∈(a,b)，即轉化為拉格朗日中值定理.

羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理稱為微分中值定理，是微積分學的理論基礎，在許多方麵都有重要作用.

習題31

1.　驗證羅爾定理對函數y=ln(1+sinx)在區間［0,π］上的正確性，並求出定理中的ξ．

2.　驗證拉格朗日中值定理對函數y=4x3－5x2+x－2在區間［0,1］上的正確性，並求出定理中的ξ.

3.　設f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)，利用羅爾定理求方程f′(x)=0根的個數，並指出它們所在區間．

4.　證明下列恒等式.

（1）　arctanx+arccotx=π2；

（2）　當x≥1時，2arctanx+arcsin2x1+x2=π.

5.　應用拉格朗日中值定理證明下列不等式.

（1）　當b>a>0,　n>1時，nbn－1(a－b)

（2）　當x>0時，x1+x2

（3）　當0

6.　設函數f(x)在［a,b］上連續，在(a,b)內二階可導，且f(a)=f(c)=f(b),a

第二節洛必達法則

如果當x→a時，函數f(x)與g(x)都趨於零或都趨於無窮大，那麼極限limx→af(x)g(x)可能存在也可能不存在，如limx→0sinxx=1，limx→1x-1x2-1=∞，通常把這種極限稱為未定式，並簡記為00或∞∞.在本節中，我們根據第一節所介紹的中值定理來推導出求這類未定式的一種簡便且重要的方法——洛必達法則.

一、　00及∞∞型未定式

定理1設函數f(x)與g(x)滿足：

（1）　limx→af(x)=0,　limx→ag(x)=0；

（2）　在點a的某去心鄰域內f(x)，g(x)都可導，且g′(x)≠0；

（3）　limx→af′(x)g′(x)=K　(或∞)，

則有

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x).

證因為極限limx→af(x)g(x)與f(a),　g(a)無關，故定義f(a)=g(a)=0，此時f(x)與g(x)在點a的某鄰域連續．對點a的右鄰域內的任一x，f(x)與g(x)在［a,x］連續，在(a,x)內可導，且g′(x)≠0，由柯西中值定理，至少存在一點ξ∈（a，x），使得

f(x)g(x)=f(x)－f(a)g(x)－g(a)=f′(ξ)g′(ξ).

當x→a+時，必有ξ→a+，於是

limx→a+f(x)g(x)=limx→a+f′(ξ)g′(ξ)=limξ→a+f′(ξ)g′(ξ)=limx→a+f′(x)g′(x)，

對於點a左鄰域內的任一x，同樣有：

limx→a－f(x)g(x)=limx→a－f′(x)g′(x)，

綜合可得：

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x).

這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.

注意（1）　將上述定理中“x→a”換成“x→a+”,　“x→a－”，或“x→∞　”(或“x→+∞”，或“x→－∞”)，結論仍成立.

（2）　如果limx→af′(x)g′(x)仍為00型未定式，且f′(x)，g′(x)滿足定理1中的條件，則可繼續使用洛必達法則，即

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=limx→af″(x)g″(x).

例1求limx→0ex－e－xsinx.

解這是00型未定式，利用定理1有：

原式=00limx→0ex+e－xcosx=2.

例2求limx→0ln1+xx2.

解原式=00limx→011+x2x=limx→012x(1+x)=∞.

例3求limx→1x3－3x+2x3－x2－x+1.

解原式=00limx→13x2－33x2－2x－1=00limx→16x6x－2=32.

例4求limx→0x－sinxx3．

解這是00型不定式，利用定理1和等價無窮小替換得

原式=00limx→01－cosx3x2=limx→0x223x2=16.

例5求limx→+∞ln1+1xarccotx．

解這是00型不定式，利用等價無窮小替換有

原式=limx→+∞1xarccotx=00limx→+∞－1x2－11+x2=limx→+∞1+x2x2=1.

由例4、例5可見，在用洛必達法則求極限過程中，充分運用已有的求極限方法，如極限的運算法則，等價無窮小替換等，可使計算變簡單．

對於x→a時的∞∞型的未定式，也有相應的洛必達法則.

定理2設函數f(x)與g(x)滿足：

（1）　limx→af(x)=∞,　limx→ag(x)=∞；

（2）　在點a的某去心鄰域內f(x)，g(x)都可導，且g′(x)≠0；

（3）　limx→af′(x)g′(x)=K　（或∞），

則有

limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x).

與定理1一樣，定理2中的“x→a”也可以換成“x→a+”，“　x→a－”，“x→∞”，“x→+∞”及“x→－∞”中的任一種，由此可見，隻要是00或∞∞型的未定式，則不管自變量x何種趨勢，在滿足相應的條件下，結論均成立.

例6求limx→0+lnsinmxlnsinx　(m>0).

解這是∞∞型不定式，利用定理2有

原式=∞∞limx→0+mcosmxsinmxcosxsinx=mlimx→0+cosmxcosxsinxsinmx=1.

例7求limx→+∞lnxxα　(常數α>0)　.

解原式=∞∞limx→+∞1αxα=0.

例8求limx→+∞xneλx　(n∈N,常數λ>0).

解原式=∞∞limx→+∞nxn－1λeλx=∞∞limx→+∞n(n－1)xn－2λ2eλx=…=limx→+∞n!λneλx=0.

由例7、例8可見,x→+∞時，對數函數lnx，冪函數xα(α>0)，指數函數eλx(λ>0)都是無窮大,但xα增大快於lnx,而eλx增大又快於xα.

在本部分的最後，我們指出，如果limx→af′(x)g′(x)不存在，不能斷言limx→af(x)g(x)也不存在，隻能說不能用洛必達法則求解．例如，求極限

limx→0x+x2sin1xx，

顯然，這是00型未定式，若使用洛必達法則，得：

limx→0x+x2sin1xx=limx→01+2xsin1x－cos1x，

上述極限不存在.　但此時我們不能說原極限不存在，正確解法為

limx→0x+x2sin1xx=limx→01+xsin1x=1.

二、　其他類型未定式

除了00型和∞∞型未定式，還有一些0·∞,　∞－∞,　00,　1∞,　∞0型不定式，這些類型的未定式可以經過適當變形，化為含有00型或∞∞型的不定式，再利用洛必達法則可求得.下麵舉例說明.

例9求limx→1(x－1)·cot(πx)．

解這是0·∞型不定式，

原式=limx→1x－1sin(πx)·cos(πx)=limx→1x－1sin(πx)·(－1)=00－limx→11πcos(πx)=1π.

例10求limx→01tanx－1x．

解這是∞－∞型不定式，由於x→0時，　tanx~x，故

原式=limx→0x－tanxxtanx=limx→0x－tanxx2=00limx→01－sec2x2x=limx→0－tan2x2x=0.

例11求limx→0+xx．

解這是00型不定式，而xx=exlnx(x>0)．由於

limx→0+xlnx=limx→0+lnxx－1=∞∞limx→0+x－1－x－2=－limx→0+x=0，

所以

limx→0+xx=e0=1.

例12求limx→0sinxx11－cosx.

解這是1∞型不定式，而sinxx11－cosx=e11－cosxlnsinxx.由於x→0時，　sinx~x，

limx→011－cosxlnsinxx=00limx→0xcosx－sinxxsin2x=limx→0xcosx－sinxx3

=00limx→0－xsinx3x2=－13.

所以

limx→0sinxx11－cosx=limx→0　e11－cosxlnsinxx=e－13.

習題32

1.　求下列極限.

（1）　limx→asinx－sinax－a；（2）　limx→0ax－bxsinx；

（3）　limx→0cosax－cosbxx2；（4）　limx→0+lnsin7xlnsin2x；

(5)　limx→0x－tanxx3；（6）　limx→0sinx－xcosxsin3x.

2.　求下列極限.

(1)　limx→12x2－1－1x－1；(2)　limx→1xx－1－1lnx；

(3)　limx→11－xtanπx2　；(4)　limx→1－lnxln1－x；

(5)　limx→0+xsinx　；(6)　limx→0+1xtanx；

（7）limx→0ax+bx21x；（8）　limx→0sinxx1arctanx.

3.　下列極限存在嗎？能否用洛必達法則求出來？

（1）　limx→+∞ex－e－xex+e－x；(2)　limx→+∞x2x－sinx.

第三節泰勒公式

為了便於研究一些較為複雜的函數，常常希望用一些簡單的函數來近似表示.由於多項式函數隻包含加、減、乘三種運算，函數值容易計算，因此能否用多項式函數來近似表示其他函數呢？下麵我們來討論這個問題.

前麵我們已經介紹過：在利用微分進行近似計算時，當　x－x0很小，則有近似計算表達式f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0).但是這種近似表達式存在著不足之處，首先是精確度不高，它所產生的誤差僅是x－x0的高階無窮小.　其次是用它來作近似計算時不能估算出誤差大小.　於是就想到利用關於(x－x0)的n次多項式

Pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n（3.1）

來近似表示f(x)，且希望當x→x0時，

f(x)－Pn(x)=o((x－x0)n).

設函數f(x)在x0的某個鄰域U(x0)內具有(n+1)階導數，且Pn(x)和f(x)在x0處有相同的函數值和直到n階導數的各階導數，即

Pn(x0)=f(x0),Pn′(x0)=f′(x0),Pn″(x0)=f″(x0),…,Pnn(x0)=fn(x0).

這樣，對(3.1)求各階導數，然後分別代入以上等式得：

a0=f(x0),1!a1=f′(x0),2!a2=f″(x0),…,n!an=f(n)(x0),

即得

a0=f(x0),a1=f′(x0),a2=12!f″(x0),…,an=1n!f(n)(x0).

把所求得的係數a0,a1,a2,…,an代入(3.1)式，有

Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+f″(x0)2!(x－x0)2+…+f(n)(x0)n!(x－x0)n.(3.2)

接下來我們可以證明　(3.2)的確是我們所要找的n次多項式.　隻需證明f(x)－Pn(x)=Rn(x)是較(x－x0)n的高階無窮小.

顯然，Rn(x)在U(x0)內具有直到(n+1)階導數，且

Rn(x0)=Rn′(x0)=Rn″(x0)=…=R(n)n(x0)=0.

據此重複使用洛必達法則，可得：

limx→x0Rn(x)(x－x0)n=limx→x0Rn′(x)n(x－x0)n－1=limx→x0Rn″(x)n(n－1)(x－x0)n－2

=…=limx→x0Rn(n－1)(x)n!(x－x0)=1n!limx→x0Rn(n－1)(x)－Rn(n－1)(x0)x－x0

=…=1n!Rn(n)(x0)=0.

即當x→x0時，Rn(x)為(x－x0)n的高階無窮小，於是f(x)可表示為

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+f″(x0)2!(x－x0)2+…+f(n)(x0)n!(x－x0)n+Rn(x).

不僅如此，　下麵的定理還給出了誤差項Rn(x)的具體表達式.

泰勒中值定理設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內(n+1)階可導,則對任意的x∈U(x0),存在ξ∈(x0,x)　(或(x,x0))，使得

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+f″(x0)2!(x－x0)2+…+f(n)(x0)n!(x－x0)n+Rn(x),（3.3）

這裏

Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x－x0)n+1.（3.4）

泰勒中值定理可以利用柯西中值定理給出證明，有興趣的讀者可以參看其他教材,此處從略．

我們稱（3.3）式為函數f(x)在點x0的帶有拉格朗日餘項的n階泰勒公式，稱（3.4）式為拉格朗日餘項．它就是用n次泰勒多項式　(3.2)　來近似表達f(x)所產生的誤差，這一誤差是當x→x0時比(x→x0)n高階的無窮小.

當n=0時，泰勒公式變成拉格朗日中值公式：

f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x－x0),　ξ介於x0與x之間.

因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣．

在不需要餘項的精確表達式時，泰勒公式　(3.3)　可以寫成

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+f″(x0)2!(x－x0)2+…+f(n)(x0)n!(x－x0)n+o((x－x0)n).（3.5）

稱（3.5）式為f(x)在點x0的帶有佩亞諾餘項的n階泰勒公式．

在泰勒公式(3.3)中，若取x0=0，那麼ξ介於0與x之間.　因此可以令ξ=θx(0<θ<1)，　則　(3.3)可以變為較簡單的形式

f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1(0<θ

在(3.5)中取x0=0，則得：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn+o(xn).（3.7）

(3.6)式，(3.7)式分別稱為帶有拉格朗日餘項和帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式．若將麥克勞林公式中的餘項略去，可得f(x)在點x=0的n次近似表達式

f(x)≈f(0)+f′(0)x+f″(0)2!x2+…+f(n)(0)n!xn.

例1求函數f(x)=ex的帶有拉格朗日餘項的n階麥克勞林公式.

解因為　f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=ex,

所以f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=1.

把這些值代入公式(3.6)便得

ex=1+x+x22!+…+xnn!+eθx(n+1)!xn+1(0<θ<1).

由這個公式可知，　若把ex用它的n次泰勒多項式表達為

ex≈1+x+x22!+…+xnn!，

這時所產生的誤差為

Rn(x)=eθx(n+1)!xn+1

如果取x=1，則得無理數e的近似式為

e≈1+1+12!+…+1n!，

其誤差

當n=10時，可算得e≈2.718　282,　其誤差不超過10－6.

例2求函數f(x)=sinx的帶有佩亞諾餘項的n階麥克勞林公式.

解因為　f′(x)=cosx,f″(x)=－sinx,f(x)=－cosx,

f(4)(x)=sinx,…,f(n)(x)=sinx+n·π2,

所以f(0)=1,f′(0)=1,f″(0)=0,f(0)=－1,f(4)0=0,…,f(n)(0)=sinnπ2,

當n=2m－1時，f(n)(0)=(－1)m+1;當n=2m時，f(n)(0)=0.

代入（3.7）式，得

sinx=x－x33!+x55!－x77!+…+(－1)m－1x2m－1(2m－1)!+o(x2m).

類似地，可得

cosx=1－x22!+x44!－…+(－1)mx2m(2m)!+o(x2m+1).

ln(1+x)=x－12x2+13x3－…+(－1)n－11nxn+o(xn).

11－x=1+x+x2+…+xn+o(xn).

(1+x)α=1+αx+α(α－1)2!x2+…+α(α－1)…(α－n+1)n!xn+o(xn).

以上介紹的幾個函數的麥克勞林展開式在應用中經常遇到.

例3利用帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式，求極限limx→0cosx－e－x22x4．

解因為

cosx=1－x22!+x44!+o(x4)，e－x22=1－x22+x48+o(x4)(x→0)，

所以

limx→0cosx－e－x22x4=limx→01－x22!+x44!+o(x4)－1－x22+x48+o(x4)x4

=limx→0－112x4+o(x4)x4=－112.習題33

1.　求下列函數在給定點處帶有佩亞諾餘項的n階泰勒公式.

(1)　f(x)=x4－5x3+x2－3x+4,x0=4；(2)　f(x)=lnx,x0=2.

2.　求函數f(x)=xex帶有拉格朗日餘項的n階麥克勞林公式.

3.　求函數f(x)=tanx的帶有佩亞諾餘項的3階麥克勞林公式.

4.　利用泰勒公式求下列各數值的近似值，精確到0.001.

(1)　330；(2)　sin18°.

5.　利用帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式，求下列極限.

(1)　limx→0sinx－xcosxsin3x；(2)　limx→01+12x2－1+x2(cosx－ex2)sinx2.

第四節函數的單調性與極值

一、　函數的單調性

研究函數的圖像首先考慮的問題就是函數的單調性問題，　但是根據單調性的定義判定函數的單調性，一般來說是比較困難的.　本節利用導數來對函數的單調性進行研究．如果函數y=f(x)在［a,b］上單調增加（或減少），那麼該函數的圖形是一條沿x軸正向上升（或下降）的曲線，由圖34可見，曲線上各點處的切線斜率是非負（或非正）的，即y′≥0（或y′≤0）．由此可見，函數的單調性與導數的符號密切相關．

圖34

定理1設函數f(x)在區間［a,b］上連續，　在(a,b)內可導.

(1)　如果在(a,b)內f′(x)>0，　則f(x)在［a,b］上單調增加；

(2)　如果在(a,b)內f′(x)<0，　則f(x)在［a,b］上單調減少.

證我們僅就單調增加的情況給出證明，　單調減少的情況可類似證明.

設對任意的x1,x2∈［a,b］,x1

f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1)≥0，

即f(x1)≤f(x2)，由此函數f(x)在區間［a,b］上單調增加.

注意如果在(a,b)內f′(x)≥0(≤0)，且等號僅僅在個別點處成立，則f(x)在［a,b］上仍然單調增加(減少).　如：f(x)=x3僅在x=0處的導數為零，在其餘點處的導數均大於零，故f(x)=x3在R上仍然是單調增加函數.

例1討論函數f(x)=x－sinx在［－π,π］上的單調性．

解顯然f(x)在［－π,π］上連續，　且在(－π,π)內f′(x)=1－cosx≥0，　等號隻在x=0處成立.　故由定理　1　知函數在［－π,π］上單調增加.

例2討論函數f(x)=ex－x－1的單調性．

解f(x)的定義域為(－∞,+∞).　f′(x)=ex－1.　當x0，　故函數單調增加.

例3討論函數f(x)=x25的單調性.

解f(x)的定義域為(－∞,+∞).　f′(x)=25x－35.　當x0，　故函數單調增加.

由例2可以看出，有些函數在整個定義區間上不是單調的，但是當我們用導數為零的點來分割定義區間後，就可以使函數在各個部分區間上是單調的.　這個結論對於在定義區間上有連續導數的函數都是成立的.　另外，　從例3　可以看出，　導數不存在的點也有可能是單調性變化的分界點.

若函數在其定義區間的某個子區間內是單調的，則稱該子區間為函數的單調區間.

綜上所述，討論函數f(x)單調性的步驟如下：

(1)　確定定義域；

(2)　求f′(x)，　找出f′(x)=0和f′(x)不存在的點，用這些點把定義域分成若幹個子區間；

(3)　在每個子區間上判別f′(x)的符號，從而確定函數f(x)的單調性.

例4討論函數f(x)=2x3－9x2+12x－3的單調區間.

解f(x)的定義域為(－∞,+∞)，且在(－∞,+∞)內可導.

f′(x)=6x2－18x+12=6(x－1)(x－2).

令f′(x)=0，得x1=1，x2=2.列表如下：

(－∞,1)

(1,2)

(2,+∞)

f′(x)

－

f(x)







上表中，　“”表示單調增加，“”表示單調減少．所以f(x)在(－∞,1］與［2,+∞)上單調增加，在［1,2］上單調減少.

例5證明：x>0時，ln(1+x)

證設f(x)=ln(1+x)－x，則f(x)在［0,+∞)上連續且f(0)=0.

由於x>0時，f′(x)=11+x－1　=－x1+x<0.

故　f(x)在［0,+∞)上單調減少，因而當x>0時，f(x)

二、　函數的極值

定義（極值）設f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義，若對任意的x∈U°(x0)，都有f(x)f(x0)），則稱f(x0)是f(x)的一個極大值（或極小值），x0稱為f(x)的一個極大值點（或極小值點）．極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點.

注意（1）　函數的極值隻是一個局部性的概念．如果f(x0)是f(x)的一個極大值，那隻是在x0附近的一個局部範圍內，f(x0)是一個最大值,如果就f(x)的整個定義域來說,　f(x0)不一定是最大的．

圖35

（2）　函數f(x)在定義域內可能有多個極大值與多個極小值．如圖35所示，　f(x)有兩個極大值f(x2)和f(x4)，三個極小值f(x1)，f(x3)和f(x5)，且極大值f(x2)小於極小值f(x5)．

現在我們討論函數極值存在的必要條件和充分條件.

由本章第一節費馬引理可知，如果函數f(x)在x0處可導，且f(x)在x0處取得極值，那麼f′(x0)=0.　這就是可導函數取得極值的必要條件.　現將此結論敘述成如下定理.

定理2（極值的必要條件）設函數y=f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那麼f′(x0)=0．

我們把使f′(x0)=0的點x0稱為駐點.　定理2就是說：可導函數的極值點一定是它的駐點.　但是駐點未必都是極值點，如f(x)=x3的駐點x=0就不是它的極值點.　此外函數的不可導點也可能是極值點，　如x=0是f(x)=x的不可導點，但x=0是x的極小值點.

綜上可得，駐點及不可導點都是可疑極值點.　如何判斷函數在可疑極值點處是否取得極值？我們有下麵的定理．

定理3（極值的充分條件Ⅰ）設函數f(x)在x0的鄰域U(x0,δ)內連續,在其去心鄰域U°(x0,δ)內可導，

（1）　如果x∈(x0－δ,x0)時，f′(x)>0；　x∈(x0,x0+δ)時，f′(x)<0，則f(x0)為f(x)的一個極大值；

（2）　如果x∈(x0－δ,x0)時，f′(x)0，則f(x0)為f(x)的一個極小值；

（3）　如果x∈U°(x0,δ)時,　f′(x)不變號，則f(x0)不是f(x)的極值．

證（1）　當x∈(x0－δ,x0)時，f′(x)>0，故在x0的左鄰域內，f(x)單調增加，即f(x)

同理可證(2)(3)的結論．

例6求f(x)=2x3－9x2+12x－3的極值．

解由例4得，f(x)有駐點x1=1及x2=2，無不可導點．由於f(x)在(－∞,1］單調增加，在［1,2］上單調減少，所以有極大值f(1)=2；又f(x)在［2,+∞)上單調增加，所以有極小值f(2)=1.

例7求f(x)=x－32x23的極值．

解f(x)的定義域為(－∞,+∞).f′(x)=1－x－13=3x－13x.

可疑的極值點：令f′(x)=0得駐點x1=1，　導數不存在的點x2=0.列表如下：

(－∞,0)

(0,1)

(1,+∞)

f′(x)

不存在

－

f(x)







故x2=0為極大值點，極大值為f(0)=0；x1=1為極小值點，極小值為f(1)=12.

當函數在其駐點處的二階導數存在且不為零時，有更簡單的極值判別方法．

定理4（極值的充分條件Ⅱ)設函數f(x)在x0處具有二階導數，f′(x0)=0,f″(x0)≠0.　則

（1）　若f″(x0)>0，則f(x0)是f(x)的極小值；

（2）　若f″(x0)<0，則f(x0)是f(x)的極大值．

證（1）　由二階導數的定義及f′(x0)=0得

f″(x0)=limx→x0f′(x)－f′(x0)x－x0=limx→x0f′(x)x－x0>0，

應用極限的局部保號性，存在x0的去心鄰域U°(x0,δ)，使得x∈U°(x0,δ)，有f′(x)x－x0>0．所以，當x∈(x0－δ,x0)時，f′(x)0．由定理3可知，f(x0)為f(x)的一個極小值.

同理可證（2）的結論.

定理4表明，如果函數f(x)在駐點x0處的二階導數f″(x0)≠0，那麼該駐點一定是極值點，且可以按二階導數的符號判定f(x0)是極大值還是極小值.但如果f″(x0)=0，那麼定理4失效，這時仍需運用第一充分條件判別.

例8求f(x)=x3－3x2－9x+5的極值．

解f(x)在(－∞,+∞)可導，且

f′(x)=3x2－6x－9=3(x－3)(x+1)，

f″(x)=6x－6.

令f′(x)=0得駐點x1=－1,x2=3,又f″(－1)=－120.

由定理4可知f(－1)=10為f(x)的極大值，f(3)=－22為f(x)的極小值.

三、　函數的最值

由連續函數的性質可知，閉區間上的連續函數必存在最大值與最小值．該最大值與最小值可能出現在區間的端點，也可能出現在區間的內部．若出現在區間的內部，則它必是函數的極值點，也就是函數的駐點或不可導點．因此，要求函數在閉區間上的最大值和最小值，隻要把區間內的所有極值點以及端點處的函數值都求出來，則它們中的最大值和最小值分別就是函數在閉區間上的最大值和最小值.　因此求連續函數在閉區間［a,b］上的最大值和最小值可按如下步驟進行：

（1）　求出f(x)在(a,b)內的駐點x1,x2,…,xm及不可導點x′1,x′2,…,x′n；

（2）　計算函數值f(x1),f(x2),…,f(xm)；f(x′1),f(x′2),…,f(x′n)；f(a),f(b)；

（3）　比較（2）中的各函數值，其中最大的就是f(x)在［a,b］上的最大值，最小的就是f(x)在［a,b］上的最小值．

例9求函數f(x)=33x2+2x在［－1,1］上的最大值和最小值.

解令f′(x)=2x－13+2=2(1+3x)3x=0得駐點x=－1，而x=0為不可導點.又f(－1)=1,f(0)=0,f(1)=5，比較之，得f(x)在［－1,1］上的最大值為f(1)=5，最小值為f(0)=0.

在實際問題中，如果建立的函數在定義區間內連續且僅有一個駐點，而問題本身確有最大(小)值，且在定義區間內部取得，則這個駐點就是所要求的最大(小)值點.

例10一公司生產某種商品，其年銷售量為100萬件，每生產一批商品需增加準備費1000元，商品庫存費為每件0.05元，如果年銷售率是均勻的且上批銷售完後立即生產下一批（此時商品庫存數為批量的一半），問分幾批生產，才能使生產準備費及庫存費之和最小．

解設分x批生產，生產準備費及庫存費之和為y，由題意得

y=1000x+10000002x×0.05=1000x+25000x,x>0，

y′=1000－25000x2.

令y′=0得唯一的駐點x=5（x=－5不合理，舍去）．因此，當x=5時，y取到最小值．即分5批生產，才能使生產準備費及庫存費之和最小．

例11從北到南的鐵路經過甲、乙兩城，相距為100　km，某工廠位於乙城正東20　km處，擬從鐵路上某點處修一條公路到乙廠.若每噸貨物鐵路運費為3元\/km，公路運費為5元\/km，問公路起點應取在何處，可使從甲城到工廠運費最省？

解設起點取在鐵路上距乙城x　km處，則每噸貨物的運費為

W=3(100－x)+5202+x2,x∈［0,100］.

求導得：

W′=－3+5x400+x2.

由W′=0，解得唯一駐點x=15.

又W(15)=380,W(0)=400,W(100)=509.9,因此當x=15時，運費最省.

習題34

1.　求下列函數的單調區間和極值.

（1）　y=x3－6x2+9x；（2）　y=2x1+x2；

（3）　y=x2e－x2；(4)　y=x+1－x；

（5）　y=3x－223－1.

2.　證明下列不等式.

(1)　當x>0時，1+12x>1+x；

(2)　當x>0時，ex>1+x　；

(3)　當x>0時，ln(1+x)>x－12x2；

(4)　當0

3.　證明方程x3+x－1=0有且僅有一個正實根.

4.　設1和2均為函數y=alnx+bx2+3x的極值點，求a,b的值．

5.　求下列函數的最大值，最小值.

(1)　y=x+2x,x∈［0,4］；(2)　y=x4－2x2+5,x∈［－2,2］；

(3)　y=x+1－x,x∈［－5,1］.

6.　假設某種商品的需求量Q是單價P的函數Q=12000－80P,商品的總成本C是需求量Q的函數C=25000+50Q，每單位商品需要納稅2，試求使銷售利潤最大的商品價格和最大利潤.

7.　設生產某商品的總成本為C(x)=1000+50x+x2(x為產量)，　問產量為多少時，每件產品的平均成本最低.

第五節曲線的凹凸性與拐點　函數作圖

一、　曲線的凹凸性與拐點

在第四節中，我們研究了函數單調性的判別法.　函數的單調性反映在圖形上，就是曲線的上升或者下降.　但是，曲線在上升或者下降的過程中，還有一個彎曲方向的問題.　例如，　圖36　中有兩條曲線弧，雖然他們都是上升的，但是圖形卻又顯著的差別.　弧ACB是向上凸的曲線弧，但弧ADB是向上凹的曲線弧.　它們的凹凸性不同，下麵我們就來研究曲線的凹凸性及其判別法.

從幾何上看（如圖37所示），在凹的曲線弧（a）上任意取兩點x1,x2，連接這兩點的弦總在曲線弧的上方，即fx1+x22f(x1)+f(x2)2，於是很自然地得到了凹凸性的定義.

圖36

圖37

定義1設函數f(x)在區間I上連續，如果對I上任意兩點x1,x2恒有

fx1+x22

那麼稱f(x)在區間I上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；

如果恒有

fx1+x22>f(x1)+f(x2)2，

那麼稱f(x)在區間I上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）.

如何判斷曲線的凹凸性呢?由圖38(a)可看到，當曲線f(x)為凹時，其切線斜率f′(x)=tanα隨x增加而增加，即f′(x)是一個增函數；由圖38(b)可看到，當曲線f(x)為凸時，其切線斜率f′(x)=tanα隨x增加而減少，即f′(x)是個減函數，而f′(x)的增減性是可以用二階導數f″(x)來刻化的.

圖38

因此，可以利用二階導數得到曲線的凹凸性的判別法.下麵不加證明地給出判定曲線凹凸性的定理．

定理設函數f(x)在區間I內存在二階導數，則

（1）　如果在I內f″(x)>0，則f(x)在區間I上的圖形是凹的；

（2）　如果在I內f″(x)<0，則f(x)在區間I上的圖形是凸的．

例1判定曲線y=sinx在［0,2π］上的凹凸性.

解　因為

y′=cosx,y″=－sinx.

當x∈(0,π)時，y″<0，所以曲線是凸的；

當x∈(π,2π)時，y″>0，所以曲線是凹的.

本例曲線y=sinx上的點(π,0)是一種特殊點，它恰好是曲線凹凸性的分界點，這樣的點稱為曲線的拐點.

定義2連續曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為拐點．

注由拐點定義知，拐點是曲線上的點，它與極值點的概念不同．

那麼如何來尋找曲線y=f(x)的拐點呢?

我們已經知道，由f″(x)的符號可以判斷曲線的凹凸性．如果f″(x)在x0的左右鄰域異號，那麼點(x0，f(x0))就是該曲線的一個拐點．所以若f(x)在區間I內具有二階連續導數，則在拐點處必有f″(x0)=0．但是反過來，使f″(x0)=0的點x0對應的曲線上的點(x0，f(x0))不一定是拐點(例如f(x)=x4，易得f″(0)=0.　但是無論x0都有f″(x)=12x2>0.　所以點(0,0)不是拐點).　另外，在f(x)的二階導數不存在的地方也可能取到拐點．例如y=3x，因y′=133x2,y″=－29x3x2，當x0，曲線是凹的；當x>0時，y″<0，曲線是凸的，所以曲線上的點(0,0)是其拐點，但當x=0時，y″不存在．綜上分析，我們可按下列步驟求y=f(x)的拐點：

（1）　求f″(x)；

（2）　令f″(x)=0，解出此方程的根，並求出f″(x)不存在的點；

（3）　對於（2）中求出的每一個x0，檢查f″(x)在x0左右兩側的符號，當兩側的符號相反時，(x0，f(x0))是拐點；當兩側的符號相同時，(x0，f(x0))不是拐點．

例2求f(x)=2x3－9x2+12x－3的凹凸區間及拐點．

解f(x)的定義域為(－∞,+∞)，且

f′(x)=6x2－18x+12，f″(x)=12x－18.

令f″(x)=0得x=32．當x0．所以－∞,32是f(x)的凸區間，32,+∞是f(x)的凹區間，32,f32=32,32是f(x)的拐點.

例3求曲線f(x)=x－3x－1的凹凸區間及拐點.

解函數的定義域為(－∞,+∞).

f′(x)=1－13(x－1)－23，f″(x)=293(x－1)5　.

當x=1時，f″(x)不存在；　當x∈(－∞,1)時，f″(x)0．所以(－∞,1］是f(x)凸區間，［1,+∞)是f(x)凹區間，(1,f(1))=(1,1)是f(x)的拐點．

二、　曲線的漸近線

定義3若曲線C上的動點P沿著曲線無限遠離原點時，點P與一條定直線L的距離趨於零，則稱直線L為曲線C的一條漸近線；當L平行於x軸時，稱L為曲線C的水平漸近線；當L垂直於x軸時，稱L為曲線C的垂直漸近線.

由定義3，立即可得：

(1)　直線y=A是曲線f(x)的水平漸近線充要條件是

limx→－∞f(x)=A或limx→+∞f(x)=A；

(2)　直線x=x0是曲線f(x)的垂直漸近線充要條件是

limx→x－0f(x)=∞或limx→x+0f(x)=∞,

即x=x0是函數f(x)的無窮間斷點.

如圖所示.

圖39

圖310

例4求曲線y=xe1x的漸近線.

解因為

limx→0+xe1x=limx→0+e1x1x=∞∞limx→0+e1x=+∞，

故x=0為曲線的一條垂直漸近線；但是limx→－∞xe1x,limx→+∞xe1x都不存在，故該曲線無水平漸近線.

三、　函數作圖

要比較準確地描繪出一般函數的圖形，僅用描點作圖是不夠的，為了提高作圖的準確度，可將前麵討論的函數的性態應用到曲線的作圖上，即借助於一階導數的符號，確定函數的單調性及極值點；借助於二階導數的符號，確定函數曲線的凹凸性及拐點，通過曲線的漸近線又可以知道曲線無窮伸展的情況，這樣可以把圖形描繪得更加準確.

一般步驟如下：

（1）　確定函數的定義域；

（2）　討論函數的周期性、奇偶性與連續性；

（3）　計算f′(x)，f″(x)，求出f′(x)，f″(x)為零的點及不存在的點，用這些點把函數的定義域劃分成幾個部分區間；

（4）　利用（3）的結果，討論函數f(x)的單調性與極值、凹凸性與拐點；

（5）　求曲線y=f(x)的漸近線；

（6）　確定函數的某些特殊點，如間斷點及與坐標軸的交點；

（7）　繪製圖形．

例5作函數y=12πe－x22的圖形.

解(1)　函數定義域為－∞,+∞，且是偶函數，圖形關於y軸對稱，故隻要討論0,+∞上圖形；

(2)　y′=－x2πe－x22,y″=x2－12πe－x22，

在0,+∞上，令y′=0，得駐點x1=0;令y″=0得x2=1;

(3)　列表討論：

(0,1)

1,+∞

y′

－

y″

－

12π

12πe－12

x=0為極大值點，極大值y(0)=12π≈0.399，拐點1，12πe-12；

(4)　limx→∞y=0，所以y=0為曲線的一條水平漸近線;

(5)　增算y(2)=12πe2≈0.054；

圖311

綜上所述，可描出函數在0,+∞的圖形，再利用對稱性，便得到整個圖形(圖311).

例6作函數f(x)=x(x+1)2的圖形.

解(1)　函數定義域(－∞,－1)∪(－1,+∞)；

(2)　f′(x)=1－x(x+1)3,f″(x)=2(x－2)(x+1)4，

令f′(x)=0，得駐點x1=1;f″(x)=0得x=2；

(3)　列表討論：

(－∞,－1)

(－1,1)

(1,2)

(2,+∞)

f′(x)

－

f″(x)

－

f(x)

圖312

x=1為極大值點，極大值f(1)=14，2,29為拐點;

(4)　limx→∞f(x)=0，所以y=0為圖形一條水平漸近線；