高等數學（上）-第一章

圖書在版編目（CIP）數據

高等數學.　上　\/　陳靜,　戴紹虞主編.　—　南京:　南

京大學出版社,　2017.9（2018.7重印）

(21世紀應用型本科院校規劃教材)

ISBN　9787305192418

Ⅰ.　①高…Ⅱ.　①陳…②戴…Ⅲ.　①高等數學－高

等學校－教材Ⅳ.　①O13

中國版本圖書館CIP數據核字(2017)第202212號

出版發行南京大學出版社

社址南京市漢口路22號郵編210093

出版人金鑫榮

叢書名21世紀應用型本科院校規劃教材

書名高等數學（上）

主編陳靜戴紹虞

責任編輯陳亞明王南雁編輯熱線02583593947

照排南京理工大學資產經營有限公司

印刷南京大眾新科技印刷有限公司

開本787×10921\/16印張　16.75字數　365千

版次2017年9月第1版2018年7月第2次印刷

ISBN　9787305192418

定價38.00元

網址：http:\/\/www.njupco.com

官方微博：http:\/\/weibo.com\/njupco

官方微信號：njupress

銷售谘詢熱線：（025）83594756

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前言

隨著我國現代化進程的飛速發展，教育理念發生了深刻變化。我國的高等教育已經從精英教育轉變為大眾化教育。一大批應運而生的應用型本科以及民辦本科院校如雨後春筍般地茁壯成長，每年都有大批學生進入這一層次的高等院校進行學習。層次的不同自然會帶來教學內容和教學模式的不同，為了適應這一變化，我們總結了多年來在教授這一類學生過程中的教學經驗和實施的教學改革，並在此基礎上，分析了這一層次學生的培養目標和教學特點，並結合國內外同類層次相應課程的成功經驗，撰寫了本教材。

本教材有如下幾個方麵的特點：

1.　貫徹“強化概念，淡化理論，加強計算，學以致用”的原則，努力使學生學會應用數學的思想和方法去處理工程實踐中遇到的困難和問題。因而在例題及習題的選擇上，既選取了豐富典型的例題，又選取了一些實際應用中鮮活有趣的例子，如在導數的應用、微分方程等內容教學中，讓學生在興趣中學會概念在實際中的轉化、理論在實際中的應用。

2.　一元微積分和多元微積分是高等數學的基本內容，它們的理論體係和邏輯性在大學生素質教育中起到了不可或缺的作用。但我們強調概念的實際背景、幾何直觀，理論推導力求簡單明了，特別對冗長或難度較大的部分基礎理論推證，一般不證明或打“*”號處理。

3.　注意與中學數學教學改革的銜接。中學數學教學改革力度加大，造成了現有高等數學教材內容與中學數學教學內容有不少脫節和重複。本教材注意到了這點，比如增加了現行中學教材未列入的“極坐標”，深化了中學數學中已講過的“極限”、“導數”和“向量”等內容，較好地解決了中學數學與高等數學教學的銜接問題。

4.　為了加強應用和適應眾多的工科專業，我們在編寫教材時對一些內容打了“*”號，這些打“*”號的內容，如“極限的精確定義”、“曲率”、“方向導數與梯度”、“三重積分”、“曲麵積分”以及“傅裏葉級數”等，或降低要求，或供教師針對授課學生的專業需要進行取舍。

本教材的基本教學時數不得低於120學時，講解加“*”號內容需要另外安排課時。本教材可作為普通高等學校工科類應用型本科、民辦本科各專業的“高等數學”教材，在去掉“*”號後，也可作為一些專科學生的“高等數學”教材。

本教材分上、下兩冊，共十二章，其中第一章由戴紹虞編寫，第二章、第十章由徐海燕編寫，第三章、第九章由王丙均編寫，第四章、第八章由陳靜編寫，第五章、第六章由林洪偉編寫，第七章、第十二章由吳鳳幹編寫，第十一章由陳淩編寫。上冊的附錄一由陳靜編寫，下冊的附錄一由秦仁傑編寫，上下冊的附錄二由王奮平編寫。上冊由陳靜、戴紹虞負責統稿，下冊由陳靜、陳淩負責統稿。南京大學出版社對此書的出版給予了極大的支持，編者在此表示衷心的感謝。

由於編者水平所限，書中缺點和不足在所難免，誠懇期待專家和讀者不吝賜教。

高等數學（上）

編者

2017年7月於南京

高等數學（上）

第一章函數與極限

函數是數學最基本的概念之一，是高等數學的研究對象，它在微積分中扮演著不可缺少的角色.　而極限的方法是微積分研究問題的基本方法.　本章將介紹函數、極限和函數的連續性等基本概念，以及它們的一些性質、應用等.

第一節函數

一、　集合

1.　集合

具有某種特定性質的事物的全體，稱為集合，組成這個集合的事物稱為集合的元素.通常用大寫字母A,B,C等表示集合，而用小寫字母a,b,c等表示元素.若元素x在集合A中就說x屬於A，記為x∈A；否則說x不屬於A，記為xA.一般表示集合的方法有兩種：其一是列舉法，就是把集合的元素一一列舉出來表示，例如：由元素a1,a2,…,an組成的集合A，記為A={a1,a2,…,an}；其二是描述法，若元素x∈B當且僅當x具有性質P，則記為B={x|x具有性質P}.

由數組成的集合稱為數集.通常用N表示全體自然數（即非負整數）的集合；用Z表示全體整數的集合；用Q表示全體有理數的集合；用R表示全體實數的集合.如果沒有特別聲明，本書提到的數都是實數.

若集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集合，記為AB（讀作A包含於B）或BA（讀作B包含A）.例如：NZQR.若AB且BA，則稱為A與B相等，記為A=B.

不含任何元素的集合稱為空集，記為.

2.　區間

區間是用得較多的數集.下設a和b都是實數，且a

［a,+∞)={x|x≥a}，(a,+∞)={x|x>a}，(－∞,b］={x|x≤b}，(－∞,b)={x|x

3.　鄰域

鄰域也是常用的概念之一.設a,δ是兩個實數且δ>0，數集{x||x－a|<δ}（即開區間(a－δ,a+δ)）稱為點a的δ鄰域，記為U(a,δ），其中a叫作鄰域U(a,δ）的中心，δ叫作鄰域U(a,δ）的半徑.U(a,δ）從數軸上看：就是與點a的距離小於δ的一切點的集合，因而這是一個有幾何背景的概念，可以被推廣到二維以上的直角坐標係中去.

去掉中心的鄰域稱為去心鄰域（或空心鄰域），例如：鄰域U(a,δ）去掉中心a之後就是以a為中心，以δ為半徑的去心鄰域（或空心鄰域），記為Uo(a,δ），即Uo(a,δ）=(a－δ,a)∪(a,a+δ).

二、　函數的概念

在同一自然現象或社會生活活動中，往往有幾個量同時變化著，但它們並不是孤立變化的，而是相互間存在著確定的依賴關係.當一個量變化時，另一個量也隨著發生變化.　這些量之間的關係就是數學上所謂的函數關係.

我們把在某一變化過程中可以取不同數值的量稱為變量；在某一變化過程中始終保持不變的量稱為常量(或常數)，通常用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z，t等表示變量.　看如下三個例子：

例1在自由落體運動中,　設物體下落的時間為t,下落的距離為s，開始下落的時刻t=0,　落地的時刻t=T,　則s與t之間的對應關係是s=12gt2，其中s,t是變量，而重力加速度g是常量.　實際上，當t在閉區間［0,T］任意取一個數值時，按上式s就有唯一確定的數值與之對應.

例2考慮球體的體積V與它的半徑r的關係為V=4π3r3，當半徑r在區間(0,+∞)內變化，體積V也隨之變化，當r有確定值時，球體的體積V也就被唯一確定．在這裏r和V是變量，4π3和3是常量．

例3若某工廠每年最多生產某產品500噸，固定成本160萬元，每生產1噸該產品成本增加5000元，則每年該產品的總成本C萬元與年產量x噸的關係為

C=160+0.5x，0≤x≤500.

當x取0到500之間的任意一個數值時，由上式可計算C的值．

上述三例的實際意義、表達方式雖不相同，但具有共同之處：都表達了兩個變量在變化過程中的依賴關係．函數就是研究各個變量之間確定性依賴關係的數學模型．德國數學家狄利克雷（Dirichlet,　1805—1859）提出了如下傳統的函數概念.

定義1設在某一變化過程中，存在兩個變量x和y，D是實數集R的非空子集．如果對於任意的x∈D，通過對應法則f，變量y有唯一確定的實數與之對應，則稱變量y是x的函數，記作

y=f(x)，x∈D，

其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為函數y=f(x)的定義域.

在函數的模型中，自變量每輸入一數值x時，都會使因變量輸出唯一數值y，這個輸出的數值y稱為函數f在x處的函數值，記為f(x).函數值f(x)的全體所構成的集合稱為函數f的值域，記作f(D)，即f(D)=yy=f(x)，x∈D.

注意(1)　函數的定義域D與對應法則f是確定函數的兩個要素，與自變量、因變量選用的字母無關.(2)　兩個函數隻有在定義域相同、對應法則相同時，它們才是同一個函數.

函數的定義域的確定基本上分兩種情形：其一，若函數是由抽象的算式表達，且函數不與實際問題相聯係，那麼此函數的定義域就是使得算式有意義的自變量的取值範圍；其二，若函數是與實際問題相聯係的，那麼此函數的定義域應根據實際問題的意義來確定.

例4求函數f(x)=lgxx－1+x－3的定義域．

解要使函數有意義，必須

xx－1>0，x－3≥0，即x>1或x<0，x≥3.

所以函數的定義域為［3，+∞)．

例5某商場銷售某種商品5000件,每件原價50元，當銷售量在3000件內時，按原價銷售；超過3000件後的該商品，打八折出售，這樣一來,　銷售收入R與銷售量Q的函數關係為

R=50Q,

150000+40(Q－3000),0≤Q≤3000，

3000

此函數的定義域為0,5000.

一般說來，我們把平麵直角坐標係上的點集C=(x,y)y=f(x)，x∈D稱為函數y=f(x)的圖形.　幾何上一般為平麵上的一條曲線.

常用函數表示方法有三種，即解析法、列表法和圖像法.　這些在中學裏大家已經熟悉了.下麵再舉幾個函數的例子.

例6函數f(x)=2x－1，定義域D=(－∞,1)∪(1,+∞)，值域(－∞,0)∪(0,+∞).它的圖形如圖11所示.

圖11

例7絕對值函數y=|x|=x,－x,　x≥0，x<0，定義域D=(－∞,+∞)，值域［0,+∞)，它的圖形如圖12所示.

圖12

圖13

例8符號函數y=sgnx=1,0,－1,　x>0，x=0，x<0，定義域D=(－∞,+∞)，值域{－1，0，1}，它的圖形如圖13所示.

在生產實踐和科學技術的實例中，我們經常遇到一些類似於例5、例7、例8的函數，這類函數在定義域的不同取值範圍內，用不同的解析式表示，這樣的函數稱為分段函數.

例9設函數

f(x)=1－x2，－1

求f(x)的定義域及f(0)，f(2)的值．

圖14

解它的圖形如圖14所示.　f(x)的定義域為［－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2］，f(0)=1－02=1，f(2)=22－1=3.

通常如定義1的函數稱為單值函數.　如果給定一個對應法則，按這個對應法則，對每一個x∈D，變量y有確定的實數與之對應，但這個y不總是唯一的，這種對應法則所確定變量y關於x的函數稱為多值函數.　對於多值函數，往往隻要給因變量附加一些條件，就可以把它們化為單值函數，這樣得到的單值函數稱為多值函數的單值分支.　如由方程x2+y2=1所確定變量y關於x的函數是一個多值函數，它有兩個單值分支，分別是由x2+y2=1且y>0所確定的y=1－x2和由x2+y2=1且y<0所確定的y=－1－x2.如果沒有特別聲明，本書提到的函數都是單值函數.

三、　函數的幾種特性

函數的一些基本特性在中學已學過，在此隻作簡單回顧.