Sv=S1.2v+1S－120v=S－1201.25v+23，解得S=270.
【例１０】（環形行程）甲、乙兩人在環形跑道上跑步，他們同時從起點出發，當方向相反時每隔48秒相遇一次，當方向相同時每隔10分鍾相遇一次.若甲每分鍾比乙快40米，則甲、乙兩人的跑步速度分別是（）米\/分.
A. 470，430B. 380，340C. 370，330D. 280，240E. 270，230
【答案】E
【解析】設甲、乙的速度分別為x，y，有x=y+4045（x+y）=10（x－y），解得x=270y=230.
【例１１】（起點相遇）甲、乙兩人從同一起跑線上繞周長為300米的跑道跑步，甲每秒跑6米，乙每秒跑4米，則第一次在起跑線上追上乙時，甲跑了（）米.
A. 700B. 900C. 1 000D. 1 050E. 1 200
【答案】B
【解析】甲跑一圈用時50秒，乙跑一圈用時75秒.甲、乙在起點相遇，則甲、乙都跑了整數圈，故所用時間為50和75的公倍數，故150秒時甲、乙第一次在起點相遇，此時甲跑了6×150=900米.
【例１２】（環形行程）甲、乙兩人同時從橢圓形跑道上同一點出發沿著順時針方向跑步，甲比乙快，可以確定甲的速度是乙的1.5倍.
（1） 當甲第一次從背後追上乙時，乙跑了兩圈.
（2） 當甲第一次從背後追上乙時，甲立即轉身沿著逆時針跑去，當兩人再次相遇時，乙又跑了0.4圈.
【答案】D
【解析】（1） 甲第一次從背後追上乙時，甲比乙多跑一圈，乙跑了兩圈，則甲跑了3圈，甲的速度是乙的1.5倍，充分.
（2） 甲追上乙，掉頭逆時針跑去，兩人開始同一起點的相遇問題，乙跑了0.4圈，則甲跑了0.6圈，可確定甲的速度是乙的1.5倍，充分.
【例１３】（走走停停問題）龜兔賽跑，全程1 000米，烏龜每分鍾跑5米，兔子每分鍾跑50米，烏龜不停地跑，但兔子邊跑邊玩，它先跑1分鍾，然後玩30分鍾，又跑2分鍾，玩30分鍾，再跑3分鍾，玩30分鍾，……，那麼先到終點的比後到者快（）分鍾.
A. 15B. 20C. 25D. 30E. 40
【答案】D
【解析】烏龜跑到終點需要1 000÷5=200分鍾，如果兔子不玩的話跑到終點需要1 000÷50=20分鍾.1+2+3+4+5+5=20，即兔子在比賽過程中要玩5次，所以兔子跑到終點需要20+5×30=170分鍾，故兔子比烏龜先到30分鍾.
【例１４】（鍾表問題）現在是下午四點鍾，則過（）分鍾後，分針和時針第一次重合.
A. 20B. 21C. 21911D. 22711E. 22911
【答案】C
【解析】鍾表問題其實是分針和時針的追及問題，表盤為圓周360°，分針的速度為6°\/分鍾，時針的速度為0.5°\/分鍾，下午四點鍾分針和時針相差120°，則分針追上時針需要1206－0.5=21911分鍾，即21911分鍾後分針和時針第一次重合.
【例１５】（牛吃草問題）牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長.這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天，那麼可供25頭牛吃（）天.
A. 8B. 7C. 6D. 5E. 4
【答案】D
【解析】設每頭牛每天吃的草為1份.那麼10頭牛20天吃200份，草被吃完；15頭牛吃10天吃150份，草也被吃完.前者的總草量為200份，後者的總草量為150份，前者是原有草量加20天新長的草，後者是原有草量加15天新長的草.則有
10×20=原有草量+20天生長量（1）15×10=原有草量+10天生長量（2）
（1）－（2）得：10天生長量=50，即每天生長量為5份，進而可得原有草量為100份，設可供25頭牛吃x天，則有25x=100+5x，解得x=5.
【題型7】極值問題
思路點撥：極值問題的提問方式經常為：“最多”“至少”“最少”等，是考試中出題頻率最高的題型之一.
常見設計解題方案原則如下：
（1） 和固定
題目給出幾個數的和，求“極值”，解題方案為：如果求某個數“最大值”，隻需其他數都最小，用和減去其他數，即為所求；如果求某個數“最小值”，則隻需其他數均取最大，用和減去其他數，即為所求.
（2） 最不利原則
解此類問題利用“最不利原則（最不湊巧原則）”，假設問題的解決過程是最不希望看到的，在這種情況下求解問題，建議從反麵求解會比較清晰.【例1】假設五個相異正整數的平均數是15，中位數是18，則此五個正整數中的最大數的最大值為（）
A. 24B. 32C. 35D. 40E. 36
【答案】C
【解析】設五個相異的正整數從大至小依次為a，b，18，c，d，則有a+b+c+d=75－18=57.a最大，b，c，d取最小，分別為19，2，1.則a=57－19－2－1=35，故選C.
【例２】100人參加7項活動，已知每人隻參加一項活動，而且每項活動參加的人數都不一樣，那麼參加人數第四多的活動最多有（）個人參加.
A. 22B. 21C. 24D. 23E. 20
【答案】A
【解析】這是一道“至多”問題.若要參加人數第四多的活動的人最多，則前三組的人數必須為1，2，3，並且後三組與第四多的人數必須依次相差最少.設第四多的人數為x，則後三組人數依次是x+1，x+2，x+3，則1+2+3+x+（x+1）+（x+2）+（x+3）=100，解得x=22.
【例３】已知三種水果的平均價格為10元\/千克，則每種水果的價格均不超過18元\/千克.
（1） 三種水果中價格最低的為6元\/千克.
（2） 購買量分別是1千克、1千克和2千克的三種水果共用了46元.
【答案】D
【解析】由題幹三種水果的平均價格是10元\/千克，得到三種水果的價格之和為30元\/千克.由條件（1）最低為6元\/千克，則其他兩種價格之和為24元\/千克，若其中一種水果也是6元\/千克，則另一種水果的價格為最高價18元\/千克，為不超過18元\/千克，條件（1）充分；
由條件（2） 設三種水果價格分別為x，y，z，則有x+y+z=30x+y+2z=46，兩式相減得到z=16，x+y=14，顯然不會超過18，也充分.
【例４】從一副完整的撲克牌中，至少抽出（）張牌，才能保證至少6張牌的花色相同.
A. 21B. 22C. 23D. 24E. 25
【答案】C
【解析】考慮最不利情況，抽出22張牌，四種花色各5張，另帶大小王，則再抽一張能保證至少6張花色相同.
【例５】共有100人參加招聘考試，考試內容有5道，1～5題分別有80人、92人、86人、78人和74人答對，答對3道以上的人通過考試，問至少（）人通過考試.
A. 30B. 55C. 70D. 74E. 60
【答案】C
【解析】回答這類“至少”型題目，考慮答錯的題目的總數有：（100－80）+（100－92）+（100－86）+（100－78）+（100－74）=90，由於必須錯誤3道或3道以上才能不通過考試，最不湊巧的情況就是90道剛好是30個人，每人錯3道，所以入選的是70人.
【例６】甲班共有30名同學，在一次滿分為100分的考試中，全班的平均成績是90分，則不及格的同學最多有（）人.
A. 8B. 7C. 6D. 5E. 4
【答案】B
【解析】從反麵入手，全班30名同學共丟分300分，為使不及格人數盡量多，需將丟分充分利用，使不及格者盡量少丟分，即每人丟41分，其他人盡量不丟分，最多可使7人不及格.
【題型8】容斥問題
思路點撥：解決簡單的兩類或三類被計數事物之間的重疊問題時采用韋恩圖會更便捷一些.
容斥原理一
如果被計數的事物有A，B兩類：A∪B=A+B－A∩B.
容斥原理二
如果被計數的事物有A，B，C三類，那麼
1. A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C.
2. A∪B∪C=白+陰+黑.
3. A+B+C=1白+2陰+3黑.
4. A+B+C=A∪B∪C+陰+2黑.
在具體應用時，根據條件的不同合理選擇公式，可使容斥問題迎刃而解.【例1】一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，並且有4人語、數都是滿分，那麼這個班至少有一門得滿分的同學有（）人.
A. 21B. 22C. 23D. 24E. 25
【答案】C
【解析】A∪B=A+B－A∩B=15+12－4=23人.
【例２】在100個學生中，音樂愛好者有56人，體育愛好者有75人，那麼既愛好音樂又愛好體育的人最少有（）人，最多有（）人.
A. 36，75B. 56，70C. 31，75D. 31，56E. 56，75
【答案】D
【解析】A∩B=A+B－A∪B，要使A∩B最小，隻需A∪B最大為100人，即重合最少時有56+75－100=31，要使A∩B最大，隻需A∪B最小為75人，重合最多時有56人.
【例３】某公司的員工中，擁有本科畢業證、計算機等級證、汽車駕駛證的人數分別為130，110，90人，又知隻有一種證的人數為140，三證齊全的人數為30，則恰有雙證的人數為（）
A. 45B. 50C. 52D. 65E. 100
【答案】B
【解析】設恰有雙證的人數為x，則有130+110+90=140+2x+3×30，解得x=50，恰有雙證的有50人.
【例４】某公司有員工200人，每人至少參加一項培訓，參加數學、外語、會計培訓的人數分別為130，110，90.隻參加數學和外語的有35人，隻參加數學和會計的有30人，隻參加外語和會計的有25人，則三個都參加的人數為（）
A. 10B. 13C. 15D. 20E. 16
【答案】D
【解析】設三個都參加的人數為x，有130+110+90=200+35+30+25+2x，解得x=20.
【例５】開運動會時，某班28名同學參加比賽，有15人參加遊泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時沒有參加三項比賽的人.則隻有參加田徑比賽的有2人.
（1） 參加遊泳和田徑比賽的有3人.
（2） 參加遊泳和球類比賽的有3人.
【答案】B
【解析】如圖所示，G=0，若求隻參加田徑比賽的人數B，隻需知曉D+F即可.恰好參加兩項運動的人數D+E+F=15+5+14－28=9人，條件（1），隻知道D，不充分；條件（2），知道E=3，則D+F=9－E=6人，充分.
【題型9】不定方程
不定方程：方程個數小於未知數的個數，導致方程有無窮多解.但是由於某種條件限製（正整數、質數等），方程的解又是有限的或可求的，此類方程稱為不定方程.
解題步驟：
1） 確定x或y的取值範圍；
2） 結合數字特征精簡範圍（奇偶性、倍數關係、尾數特征等）；
3） 逐一代入求解.
如果是兩個方程三個未知數，則先進行消元，化為一個方程兩個未知數求解.【例1】已知x，y均為正整數，則可以確定x的值.
（1） 4x+9y=100.（2） 5x+7y=91.
【答案】C
【解析】若4x+9y=100，可知1≤y≤10，且y是4的倍數，則有兩種情況
① y=4，此時有4x+36=100→x=16；
② y=8，此時有4x+72=100→x=7.所以（1） 不充分.
若5x+7y=91，可知1≤x≤16，且x是7的倍數，則有兩種情況
① x=7，此時有35+7y=91→y=8；
② x=14，此時有70+7y=91→y=3.所以（2） 也不充分.
聯立可得x=7y=8，x的值可以確定.
【例２】在年底的獻愛心活動中，某單位共有100人捐款，經統計，捐款總額是19 000元，個人捐款數額有100元、500元和2 000元三種，該單位捐款500元的人數為（）
A. 13B. 18C. 25D. 30E. 38
【答案】A
【解析】設捐款100元、500元和2 000元的人數分別為x，y，z人，則有x+y+z=100100x+500y+2 000z=19 000，化簡得x+y+z=100（1）x+5y+20z=190（2）
（2）－（1）得：4y+19z=90，則1≤z≤4，且z是偶數，則有兩種情況
① z=2，此時有4y+38=90→y=13；
② z=4，此時有4y+76=90→y=72（舍去）.綜上可得捐款500元的人數為13人.
【例３】已知m，n是正整數，則能確定m+n的值.
（1） 1m+3n=1.（2） 1m+2n=1.
【答案】D
【解析】m，n是正整數，故1m≤12，則12≤3n<1，即n隻可能取4，5，6.若n=4，有1m+34=1 m=4，此時m+n=8；
若n=5，有1m+35=1 m=52（舍去）；
若n=6，有1m+36=1 m=2，此時m+n=8；m+n的值可定，（1）充分.
同理可得，條件（2） 也充分.
【題型10】利潤問題
利潤=售價－進價，利潤率=利潤進價×100%=售價－進價進價×100%.
售價=進價×（1+利潤率）=進價+利潤.
定價×折扣=售價.
進價即成本.
思路點撥：要選對基準量，解題關鍵是要分清進價、定價、售價（折扣價）和利潤及利潤率這幾個概念，可結合特值法求解.【例1】某商品的進價是250元，按標價的9折銷售時，利潤率為15.2%，商品的標價是（）
A. 320B. 244C. 340D. 400E. 360
【答案】A
【解析】設標價為x，則有0.9x=250（1+15.2%） x=320（元）.
【例２】某商店有兩個進價不同的計算器都賣了64元，其中一個盈利60%，另一個虧本20%，在這次買賣中，這家商店盈虧情況是（）
A. 不賠不賺B. 賺了8元C. 賠了8元D. 賺了32元E. 賠了32元
【答案】B
【解析】設盈利60%的那個計算器進價為x元，它的利潤是0.6x元，則x+0.6x=64 x=40，設虧本20%的那個計算器進價為y元，它的利潤是－0.2y元，則y－0.2y=64 y=80， 所以兩個計算器進價為120元，而售價128元，進價小於售價，因此兩個計算器總的盈利情況為盈利8元.
【例３】某商場經銷一種商品，由於進貨時價格比原進價降低6.4%，使得利潤率增加了8個百分點.那麼經銷這種商品原來的利潤率是（）
A. 10%B. 13%C. 15%D. 16%E. 17%
【答案】E
【解析】設原利潤率是x，進價為a，則售價為a（1+x），根據題意得：a（1+x）－a（1－6.4%）a（1－6.4%）－x=8%，得x=0.17，所以原來的利潤率是17%.
【題型11】分段計價
分段計價：指不同階段收費標準不同的計費方式.例如水費、電費、稅費等.
思路點撥：對於分段計價問題，關鍵是抓住兩點：一是確定每段的邊界值，來判斷所給數值落入的區間.二是選取對應的計費表達式進行計算.【例1】老魏從浙大打車去蕭山機場，杭州市出租公司收費標準如下表：裏程數單價費用0～5 km10元5～20 km2.4元\/km20～50 km3元\/km50 km以上4元\/km已知老魏共支付車費168元，則浙大到蕭山機場共（）公裏.
A. 50B. 58C. 60D. 42E. 45
【答案】B
【解析】走完5 km，應支付車費10元；
走完20 km，應支付10+2.4×15=46元；
走完50 km，應支付10+2.4×15+30×3=136元；
老魏一共支付168元，即在50 km之後又走了32÷4=8 km，所以浙大到蕭山機場共58公裏.
【例２】某市居民生活用電基本價格為每度0.4元，若每月用電超過a度，超過部分按基本電價的70%收費.某戶五月份用電84度，共交電費30.72元，求a=（）
A. 100B. 75C. 70D. 60E. 50
【答案】D
【解析】0.4a+0.4×0.7（84－a）=30.72，解得a=60.
【例３】某市用水價格為：每戶每月不超過5噸的部分按4元\/噸收取，超過5噸不超過10噸的部分按6元\/噸收取，超過10噸的部分按8元\/噸收取.某戶居民兩個月共交水費108元，則該用戶兩個月用水量最多為（）噸.
A. 21B. 24C. 17.25D. 21.33E. 22
【答案】A
【解析】要想用水量最大，則盡可能用的水價低，在兩個月中盡量多的使用低價水，先把兩個月裏4元\/噸的10噸水用完，花去2×4×5=40元，再把兩個月裏6元\/噸的10噸水用完，又花去2×6×5=60元，此時還有8元，隻能再買一噸水.故用水量最多為21噸.
【題型12】植樹
思路點撥：植樹問題可分為四種類型：
1. 兩端都植：棵數=段數+1.
2. 一端植，另一端不植：棵數=段數.
3. 兩端都不植：棵數=段數－1.
4. 封閉植樹：棵數=段數.【例1】有一條道路，左邊每隔5米種一棵楊樹，右邊每隔6米種一棵柳樹，兩端都種上樹，共有5處楊樹與柳樹相對，這條道路有（）米.
A. 60B. 90C. 150D. 120E. 180
【答案】D
【解析】由於間隔不同，故隻有在5和6的公倍數上相對，注意到開端（0米處）相對一次，則後麵應有4出相對，所以總長為30×4=120米.
【例２】將一批樹苗種在一個正方形花園邊上，四角都種，如果每隔3米種一棵，那麼剩下10棵樹苗，如果每隔2米種一棵，那麼恰好種滿正方形的3條邊，則這批樹苗有（）棵.
A. 54B. 60C. 70D. 82E. 94
【答案】D
【解析】設樹苗總數為x，花園的邊長為a，則3（x－10）=4a2（x－1）=3a，解得x=82.
【題型13】年齡問題
思路點撥：年齡問題的特點：1.同增長；2.差不變；
解答年齡問題的關鍵是要抓住年齡差不變和每人每年長一歲的特點.
可借助線段圖分析，結合和倍、差倍、和差等問題分析方法，靈活解題.【例1】父親與兒子的年齡和是66歲，父親的年齡比兒子的年齡的3倍少10歲，那麼（）年前父親的年齡是兒子的5倍.
A. 8B. 9C. 10D. 11E. 12
【答案】E
【解析】設兒子年齡為x，則有x+3x－10=66 x=19，即父親的年齡是47，再設n年後，父親年齡是兒子的5倍，則有47-n=5（19-n）解得n=12.
【例２】父、母、子一家三人，今年全家年齡和為70歲，而10年前三人的年齡和為46歲.父比母大4歲.求今年父親的年齡為（）
A. 31B. 35C. 37D. 39E. 42
【答案】B
【解析】10年前三人的年齡和應是70－10×3=40歲，而題中是46歲，說明10年前兒子還沒出生.10年前父母年齡和就是46歲.
兒子的年齡 ：70－（46+10×2）=4（歲），父親的年齡：（46+4）÷2+10=35（歲）.
【題型14】最優化問題
思路點撥：最優化問題，是通過適當規劃安排，在許多方案中，尋找一個最合理、最節約、最省事的方案.
解題步驟：
（1） 根據題目限定條件畫出可行域；
（2） 畫好目標函數對應的平行直線係；
（3） 直線過頂點（邊界線的交點）取得最優解.【例1】某公司有60萬元資金，計劃投資甲、乙兩個項目.按要求對甲項目的投資不少於對乙項目投資的23，且對每個項目的投資不能低於5萬元；對甲項目每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對乙項目每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，如該公司在正確規劃後，在這兩個項目上共可獲得的最大利潤為（）萬元.
A. 36B. 31.2C. 30.4D. 28E. 24
【答案】B
【解析】因為對乙項目投資獲利較大，故在投資規劃要求內（對項目甲的投資不小於對項目乙投資的23），盡可能多地安排資金投資於乙項目，即對項目甲的投資等於對項目乙投資的23倍，可獲最大利潤.即對甲項目投資24萬元，對乙項目投資36萬元，可獲最大利潤31.2萬元.
【例２】某居民小區決定投資15萬元修建停車位，據測算，修建一個室內車位的費用為5 000元，修建一個室外車位的費用為1 000元，考慮實際因素，計劃室外車位的數量不少於室內車位的2倍，也不多於室內車位的3倍，這筆投資最多可建車位的數量為（）
A. 78B. 74C. 72
D. 70E. 66
【答案】B
【解析】設建室內車位的數量為x，室外車位數量為y，則有
5 000x+1 000y≤150 0002x≤y≤3x，即5x+y≤1502x≤y≤3x，當目標函數z=x+y經過5x+y=150與y=3x的交點時最優，解得x=18.75，取整x=19y=55，故共修19+55=74個車位.
【題型15】比賽問題
思路點撥：常見比賽規則有3種：
1. 淘汰賽：就是比賽中失敗一次即退出比賽，獲勝者繼續比賽，直到決出冠軍.n個隊進行淘汰賽，決出冠軍，共需組織n－1場比賽.2. 單循環製：每兩個不同的隊均比賽一場.若共有n支隊伍，則共有C2n場不同的比賽，每隊參加n－1場比賽.
3. 雙循環製：每兩個不同的隊均比賽兩場.各要素在單循環基礎上乘2.【例1】某足球決賽，共有24個隊參加，他們先分成6個小組進行循環賽，決出16強，然後這16個強隊按照確定的程序進行淘汰賽，最後決出冠軍，總共需要安排（）場比賽.
A. 36B. 48C. 51D. 52E. 55
【答案】C
【解析】24個隊分成6各組，每組4個隊.則需要安排6×C24=36場比賽，然後按積分排名劃出16強，進行淘汰賽決出最後冠軍，又需安排15場比賽，故總共需要安排51場比賽.
第三節基礎精練篇
一、 問題求解
1. 哥哥現在的年齡是弟弟當年年齡的3倍，哥哥當年的年齡與弟弟現在的年齡相同，哥哥與弟弟現在的年齡和為30歲，則哥哥現在（）歲.
A. 18B. 16C. 20D. 12E. 25
2. 小王騎自行車從甲地去乙地，去時每小時15千米，回時每小時30千米，那麼小王往返過程中的平均速度是（）千米\/小時.
A. 22B. 24.5C. 22.5D. 20E. 25
3. 叔叔對侄子說：“我像你這麼大的時候，你才10歲”, 侄子又對叔叔說：“等我到你這個年紀的時候，你就37了”，求今年侄子的歲數是（）
A. 24B. 23C. 21D. 20E. 19
4. 在濃度為40%的糖水中再加入5千克水後，濃度為30%.問再加入（）千克糖後，濃度達到50%.
A. 4B. 5C. 6D. 8E. 10
5. 《個人所得稅條例》規定，公民工資薪水每月不超過800元者不必納稅，超過800元的部分按超過金額分段納稅.詳細稅率如下表.某人3月份納稅205元，則這人月薪為（）全月應納稅金額稅率（%）不超過500元5501～2 000元102 001～5 000元15……A. 1 600B. 1 800C. 2 000D. 3 000E. 3 500
6. 將40%的鹽水與10%的鹽水混合，配成16%的鹽水1 000克，需要兩種鹽水各（）克.
A. 100，900B. 200，800C. 300，700D. 800，200E. 無法確定
7. 甲、乙、丙三人步行的速度分別是每分鍾100米、90米、75米.甲在公路上A處，乙、丙同時在公路上B處，三人同時出發，甲、乙相遇3分鍾後，甲、丙又相遇了，A、B之間的距離為（）米.
A. 7 210B. 6 500C. 4 850D. 7 000E. 6 650
8. 甲、 乙兩項工程分別由一、二隊來完成.在晴天，一隊完成甲工程需要12天.二隊完成乙工程需要15天；在雨天，一隊的工作效率要下降40%，二隊的工作效率要下降10%.結果兩隊同時完成這兩項工程，那麼在施工的日子裏，雨天有（）天.
A. 10B. 9C. 8D. 7E. 6
9. 木材原來的水分含量為28%，由於揮發，現在的水分含量為10%，則現在這些木材的重量是原來的（）
A. 50%B. 60%C. 70%D. 80%E. 90%
10. 有A，B兩個同樣的杯子，A杯中有半杯清水，B杯中盛滿了50%的酒精溶液.先將B杯中酒精溶液的一半倒入A杯，攪勻後，再將A杯中酒精溶液的一半倒入B杯.這時B杯中的酒精是溶液的（）
A. 12B. 38C. 58D. 13E. 以上都不對
11. 一個人從家騎車去春遊，用30分鍾行完了一半路程，這時他加快了速度，每分鍾比原來多行50米，又騎了20分鍾後，他還差2千米就到達目的地了，則他家到春遊地點的路程是（）千米.
A. 9B. 12C. 16D. 18E. 20
12. 兩列火車，一列長120米，每秒行20米；另一列長160米，每秒行15米，兩車相向而行，從車頭相遇到車尾離開需要（）秒鍾.
A. 6B. 8C. 10D. 12E. 20
13. 甲的年齡比乙的年齡的4倍少3歲，甲在3年後的年齡等於乙9年後的年齡，則甲現在（）歲.
A. 3B. 9C. 10D. 12E. 20
14. 一艘輪船往返A、B兩地，去時順流每小時行36千米，返回時逆流每小時行24千米，往返一次共用15小時，A、B兩地相距（）千米.
A. 240B. 200C. 216D. 324E. 300
15. 甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發相向而行.如果兩人按一定速度前進，則4小時相遇；如果每人各自都比原計劃每小時少行1千米，則5小時相遇，問A、B兩地間距離是（）千米.
A. 40B. 60C. 80D. 100E. 120
16. 甲、乙兩人同時從同一個地點出發，相背而行.1小時後他們分別到達彼此的目的地.若從原點出發，互換彼此的目的地，則甲在乙到達A之後35分鍾到達B地，問甲、乙兩人速度比為（）
A. 3∶5B. 3∶4C. 4∶5D. 4∶3E. 以上都不對
17. 某高校對一些學生進行問卷調查.在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人.問接受調查的學生共有（）人.
A. 120B. 144C. 177D. 192E. 160
18. 我市為鼓勵節約用水，對自來水的收費標準做如下規定：每月用水不超過10噸部分按4.5元\/噸收費，超過10噸而不超過20噸部分按8元\/噸收費，超過20噸部分按10元\/噸.某月甲用戶比乙用戶多交水費37.5元，已知乙用戶交水費31.5元.問甲用戶該月用水（）噸.
A. 14B. 13C. 12D. 11E. 10
19. 快、慢兩列火車相向而行，快車的車長是50米，慢車的車長是80米，快車的速度是慢車的2倍，如果坐在慢車的人見快車駛過窗口的時間是5秒，那麼，坐在快車的人見慢車駛過窗口的時間是（）
A. 5秒B. 8秒C. 10秒D. 13秒E. 15秒
20. 一條船往返於甲、乙兩港，由甲至乙是順水行駛，由乙至甲是逆水行駛，已知船在靜水中的速度為8 km\/h，平時逆水航行與順水航行所用的時間比為2∶1，某天恰逢暴雨，水流速度是原來的2倍，這條船往返共用了9 h，甲、乙兩港相距（）
A. 20 kmB. 25 kmC. 30 kmD. 35 kmE. 40 km
21. 在甲、 乙、丙三個酒精溶液中，純酒精的含量分別占48%、62.5%和2\/3.已知三個酒精溶液的總量是100千克，其中甲酒精溶液量等於乙、丙兩個酒精溶液的總量.三個溶液混合後所含純酒精的百分數將達56%，那麼丙中純酒精的量是（）千克.
A. 10B. 12C. 16D. 18E. 20
22. A、B兩地相距15公裏，甲中午12時從A地出發，步行前往B地，20分鍾後乙從B地出發騎車前往A地，到達A地後乙停留40分鍾後騎車從原路返回，結果甲、乙同時到達B地，若乙騎車比甲步行每小時快10公裏，則兩人同時到達B地的時間是（）
A. 14:00B. 14:30C. 15:00D. 15:30E. 16:00
23. 青蛙從井底往上跳，井深9米，青蛙每次跳上3米又滑下1米，則青蛙需要跳（）次方可跳出.
A. 3B. 4C. 5D. 6E. 無法確定
24. 一艘船逆水而上，船上有人將一件重要物品掉入水中，隨水漂流，發現時時間已過6分鍾，立即掉頭.那麼再過（）分鍾，船才能追上所掉物品.
A. 4B. 5C. 6D. 7E. 8
25. 一塊正方形地板，用相同的小正方形瓷磚鋪滿，已知地板兩對角線上共鋪101塊黑色瓷磚，而其餘地麵全是白色瓷磚，則白色瓷磚共有（）塊.
A. 1 500B. 2 000C. 2 500D. 2 800E. 3 000
26. 汽車以每小時72千米的速度在公路上行駛，開向寂靜的山穀，駕駛員按一聲喇叭，4秒後聽到回聲，這時汽車離山穀的距離為（）（聲音的速度為340米\/秒）
A. 320米B. 380米C. 400米D. 500米E. 640米
27. 一項工程，甲單獨做30天可完成，乙單獨做120天可完成，若甲、乙合作，需120萬元費用，若甲先做20天，剩下的由乙負責，需要110萬元.則甲、乙單獨完成此工程各需費用（）萬元.
A. 120，40B. 135，50C. 120，56D. 135，60E. 110，64
28. 甲、乙兩車同時從A、B兩站出發，兩車第一次相遇時，甲車行了100千米，兩車分別到達B站和A站後，立即又以原速返回，當兩車第二次相遇時，甲車離A站70千米，則A、B兩站間的距離是（）千米.
A. 155B. 185C. 170D. 130E. 175
二、 條件充分性判斷題
29. 本學期某大學的a個學生付x元的全額學費或者付半額學費，付全額學費的學生所付的學費占a個學生所付學費總額的比例是13.
（1） 在這a個學生中20%的人付全額學費.
（2） 這a個學生本學期共付9120元學費.
30. 某校入學考試，被錄取者的平均分比錄取分數線高6分，沒被錄取的學生的平均分比錄取分數線低24分，所有考生的平均成績是60分，則錄取分數線是74分.
（1） 報考人數為300人.（2） 錄取率為13.
31. 某市有甲、乙、丙三個工程隊，工作效率比為3∶4∶5.現由甲隊負責B工程，乙隊負責A工程，而丙隊先幫甲隊工作若幹天後轉去幫助乙隊工作.則丙隊幫乙隊工作7天可使兩個工程同時開工同時竣工.
（1） 甲隊單獨完成A工程需要25天.
（2） 丙隊單獨完成B工程需要9天.
32. a，b為正整數，則a+b=5.
（1） a11+b3=3133.（2） a13+b3=3539.
33. 張先生用20萬元投資，購買了甲、乙兩種理財產品，一年後共獲紅利1.04萬元，則他購買的甲、乙兩種理財產品的金額之比為3∶2.
（1） 甲、乙兩種理財產品年利率分別為5%和5.5%.
（2） 甲、乙兩種理財產品年利率分別為4%和7%.
34. 一批商品，按期望獲得50%的利潤來定價，結果隻銷售掉70% 的商品，為盡早銷售掉剩下的商品，商店決定按定價打折出售，這樣所獲得的全部利潤是原來所期望利潤的82%.
（1） 這批商品共100件.（2） 按定價打8折出售.
35. 某校舉行數學和語文競賽，參加數學競賽的有120名男生，80名女生，參加語文的有120名女生，80名男生，則隻參加數學競賽而沒有參加語文的女生有15人.
（1） 該校總共有260名學生參加了競賽.
（2） 有75名男生兩科都參加了.
36. 商店換季大甩賣，某種上衣價格下降60%.
（1） 原來買2件的錢，現在可以買5件.
（2） 原來的價格是現在的2.5倍.
37. 利用長度為a和b的兩種管材能連接成長度為37的管道.
（1） a=3，b=5.（2） a=4，b=6.
38. 可以確定每杯葡萄酒的價格上漲了百分之幾.
（1） 每杯葡萄酒的價格上漲了0.5元.
（2） 葡萄酒的價格上漲後每杯7元.
39. 一項工程，乙先單獨做4天，繼而甲、丙合作6天，剩下工程甲又獨做9天才全部完成.已知乙完成的工程量是甲的13，則丙單獨做需18天.
（1） 丙完成的工程量是乙的2倍.
（2） 甲完成全部工程需要30天.
40. 甲、乙兩人賽跑，甲的速度是6米\/秒.
（1） 乙比甲先跑12米，甲起跑後6秒鍾追上乙.
（2） 乙比甲先跑2.5秒，甲起跑後5秒鍾追上乙.
基礎精練習題詳解
一、 問題求解
1. 【答案】A
【解析】由哥哥現在的年齡是弟弟當年年齡的3倍，知哥哥年齡是3的倍數，排除B、C、E，將A代入驗證得A滿足題意.
2. 【答案】D
【解析】可設全程為30千米，則去時用了2小時，回來用了1小時，即用了3小時走了60千米，則平均速度為20千米\/小時.
3. 【答案】E
【解析】設侄子的年齡為x，叔叔年齡為y，依題意有x－（y－x）=10y+（y－x）=37，
解得x=19y=28.
4. 【答案】A
【解析】設最初溶液質量為x千克，則有40%xx+5=30%，解得x=15.
再設濃度要達到50%要加入y千克糖，有30%×20+y20+y=50%，解得y=4.
5. 【答案】D
【解析】800～1 300元納稅25元，1 300～2 800元納稅150元，則在2 800以上納稅30元，即超出200元，故這個人月薪為3 000元.
6. 【答案】B
【解析】由十字交叉法可得，所需的40%的鹽水與10%鹽水的質量比為1∶4，所以兩者各需要200克和800克.
7. 【答案】E
【解析】設甲、乙在出發後t分鍾相遇，則甲、丙t+3分鍾後相遇，依題意有（100+90）t=（100+75）（t+3），解得t=35，則S=（100+90）×35=6 650米.
8. 【答案】A
【解析】設雨天x，晴天y，根據題意112x+112×35x=1115y+115×910x=1解得x=10y=6.
9. 【答案】D
【解析】可將木材看作是木和水的溶液，木為溶質.設溶液的量為100，揮發的水分的量為x.則100×72%100－x=90% x=20，即木材重量變為原來的80%.
10. 【答案】B
【解析】第一次半杯B倒入A後，A的濃度變為25%，再將半杯A與半杯B混合，濃度變為37.5%，即酒精是溶液的38.
11. 【答案】D
【解析】設全程為S，騎車速度為v，則有S2=30v=（v+50）×20+2 000，解得v=300，S=18 000，即他家到春遊地點的路程是18千米.
12. 【答案】B
【解析】整個所求路程為兩車身長度之和，即280米，速度為兩車速度之和，每秒35米，則整個過程需要280÷35=8秒.
13. 【答案】B
【解析】設乙現在的年齡是x，甲現在的年齡是4x－3，有（4x－3）+3=x+9，解得x=3，所以甲的年齡是9歲.
14. 【答案】C
【解析】設全程為S.則有S36+S24=15，解得S=216千米.
15. 【答案】A
【解析】設A、B兩地相距S千米.則有S4=S5+2 S=40.
16. 【答案】B
【解析】設甲的速度是x千米\/小時，乙的速度是y千米\/小時，則從起點到A的距離是x千米，到B的距離是y千米.yx=xy+3560,令xy=k，則1k=k+712,12k2+7k－12=0 k=34或－43（舍去），所以甲、乙速度比是3∶4.
17. 【答案】A
【解析】根據容斥原理公式，A∪B∪C＝63+89+47-46-2×24＝105，再加上沒有參加任何項目的15人，共120人.
18. 【答案】B
【解析】甲戶交水費37.7+31.5=69元，用水10噸收費45元，用水20噸收費45+80=125元.甲戶交水費69元，用水量在10到20噸之間，69元之中有45元是10噸水的錢，69－45=24元是10噸以上的水費，用水量是248=3噸.所以甲戶用水量為10+3=13噸.
19. 【答案】B
【解析】無論慢車快車，在相遇時的相對速度都是一樣的，根據S=vt可知兩車的駛過的時間與車長成正比，即慢車駛過的時間t5=85,快車上的人看見慢車駛過的時間為8秒.
20. 【答案】A
【解析】設甲、乙兩港相距S km，水流速度平時速度為x km\/h.
根據題意得：8+x8－x=21S8－2x+S8+2x=9
解得S=20，x=83，甲、乙兩港相距20 km.
21. 【答案】B
【解析】設丙酒精溶液的重量為x千克，則乙為50－x千克.
50×48%+（50－x）×62.5%+23x100=56% x=18，所以丙中純酒精含量是18×23=12千克.
22. 【答案】C
【解析】設甲每小時走x千米，乙走x+10千米，則有15x=30x+10+1 x=5.甲從A到B用了3小時，故到達B地的時間為下午3時.
23. 【答案】B
【解析】跳一次+滑一次=2米，3次的時候恰好在6米處，再跳一次即可，故需要4次.
24. 【答案】C
【解析】設水流速度為v0，船速為v，當船回頭時，船離掉物品的地方的距離則為6×（v－v0），物品順水飄了6v0的距離，此時船與物品相距6×（v－v0）+6v0.船回頭追物品的速度為v+v0，船能追上物品需的時間為6×（v－v0）+6v0v+v0－v0=6分鍾.
【快速得分法】可直接令水速為0，於是自然而然得到“6分鍾”的答案.
25. 【答案】C
【解析】兩條對角線交叉處共用一塊黑色瓷磚，所以正方形地板的一條對角線上共鋪101+12=51塊瓷磚，因此該地板的一條邊上應鋪51塊瓷磚，則整個地板鋪滿時，共需要瓷磚51×51=2 601，故需要的白色瓷磚2 601－101=2 500塊.
26. 【答案】E
【解析】設此時汽車距山穀x米，72千米\/小時=20米\/秒，則2x+20×4340=4，解得x=640米.
27. 【答案】D
【解析】130+120=124，那麼這個工程甲、乙合作需要24天完成，甲先做20天，剩餘的由乙做需要1－2030×120=40天，假設甲、乙每天的費用各為x，y萬元，則有（x+y）×24=12020x+40y=110，得x=92，y=12，則30x=135，120y=60，甲、乙單獨完成各需135萬元、60萬元.
28. 【答案】B
【解析】第一次相遇時，兩車共走了一個S，甲走了100千米，第二次相遇時，兩車又走了2S，則甲又走了200千米，故有S=100+200+702=185千米.
二、 條件充分性判斷題
29. 【答案】A
【解析】由條件（1）：付全款學費的學生所付的學費占a個學生所付學費總額的比是20%ax20%ax+80%a×x2=13，充分.
條件（2），不知道百分比，信息量不夠，不充分.
30. 【答案】B
【解析】錄取分數線與人數無關，故（1）不充分；未被錄取的學生人數看作2.以錄取分數線為基數，未被錄取的學生總共少了24×2分，錄取學生總共多了6×1=6分，合起來共少了24×2－6=42分；對所有的考生平均成績比錄取分數線低了42÷（1+2）=14分；所以錄取分數線是60+14=74分，條件（2）充分.
31. 【答案】C
【解析】單獨顯然不充分.聯立可得：A工程的工作量為25×3=75份；B為5×9=45份.由於兩個工程同時完成，則總天數是（75+45）÷12=10天.乙做10天完成40份，剩下35份丙完成，所以丙幫乙隊做了35÷5=7天.
32. 【答案】D
【解析】（1） a11+b3=3133，得3a+11b=31，因為a，b為正整數，則a=3b=2，即a+b=5，充分.
（2） a13+b3=3539，得3a+13b=35，因為a，b為正整數，則a=3b=2，即a+b=5，充分.
33. 【答案】D
【解析】20萬元一年的平均年利率為:1.04÷20=5.2%，由交叉法可得，條件（1），甲∶乙=3∶2，充分；同理可得條件（2）也充分.
34. 【答案】B
【解析】最終利潤與商品個數無關，故條件（1）不充分；條件（2），設商品的總數為n，初次定價為k，原來期望的利潤的82%為n·k×0.5×0.82=0.41nk，商場方案利潤：0.7n×0.5k+0.3n×(1.5×0.8－1)k=0.41nk，充分.
35. 【答案】C
【解析】單獨顯然不充分，考慮聯合.由條件（1）可得，兩個科目都參加的人數為140人，再結合條件（2）可得，兩科目都參加的女生有65人，隻參加數學而沒有參加語文的女生人數為80－65=15人.
36. 【答案】D
【解析】條件（1），原來買2件的價錢是現在5件的價錢，則現在一件價格是原來一件價格的25，價格下降了60%，充分；
條件（2），原來的價格是現在的2.5倍，即現在一件價格是原來一件價格的25，也充分.
37. 【答案】A
【解析】假設兩種管材分別使用x，y根，由條件（1） 可得3x+5y=37，隻需x=9y=2即可滿足題幹，故（1）充分；由條件（2） 可得4x+6y=37，等式左邊都是偶數，右邊是奇數，故方程無解，不充分.
38. 【答案】C
【解析】單獨不充分，聯立後可知上漲前的價格為6.5元，上漲了0.5元，所以百分比是可以求出來的.
39. 【答案】D
【解析】設甲、乙、丙的效率分別為x，y，z，由條件（1） 有15x+4y+6z=14y=5x4y=3z
解得z=118，即丙單獨做需18天完成全部工程.
由條件（2），15x+4y+6z=14y=5xx=130，解得z=118，也充分.
40. 【答案】C
【解析】設甲、乙的速度分別為x和y，由條件（1）得到x=y+2，由條件（2）可得x∶y=3∶2，隻能聯合起來，解得x=6.
第四節綜合提高篇
一、 問題求解
1. 一個人到書店購買了一本書和一本雜誌，在付錢時，他把書的定價中的個位上的數字和十位上的看反了，準備付21元取貨.售貨員說：“您應該付39元才對.”請問書比雜誌貴（）元.
A. 20B. 22C. 23D. 24E. 18
2. 甲、乙、丙三個試管中各盛有水10克，20克，30克，把某種濃度的鹽水10克倒入甲中，混合後取出10 克倒入乙中，再混合後從乙中取出10克倒入丙中，現在丙中的鹽水濃度為0.5%，最早倒入甲中的鹽水濃度是（）
A. 10%B. 20%C. 12%D. 8%E. 15%
3. 甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，甲、乙的速度之比是4∶3，二人相遇後繼續行進，甲到達B地和乙到達A地後都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地點距第一次相遇的地點30千米，則A、B兩地相距（）千米.
A. 105B. 90C. 80D. 120E. 160
4. 一個容器內有若幹克鹽水.往容器內加入一些水，溶液的濃度變為3%，再加入同樣多水，溶液的濃度變為2%，問第三次再加入同樣多水後，溶液的濃度變為（）
A. 1.8%B. 1.5%C. 1%D. 0.5%E. 1.2%
5. 兩人沿著鐵路線邊的小道，從兩地出發，以相同的速度相對而行.一列火車開來，全列車從甲身邊開過用了10秒，3分後乙遇到火車，全列火車從乙身邊開過隻用了9秒，火車離開乙（）秒後兩人相遇.
A. 1 600B. 1 701C. 1 200D. 1 800E. 2 000
6. 一位長壽老人出生在19世紀90年代，有一年他發現自己年齡的平方剛好等於當年的年份，則這位老人出生在（）
A. 1894年B. 1892年C. 1898年D. 1896年E. 1890年
7. 一圓形跑道上，甲從A點，乙從B點同時出發，反向而行，8分鍾後兩人相遇，再經過6分鍾甲到B點，又過了10分鍾兩人再次相遇，則甲環行一周需要（）分鍾.
A. 24B. 26C. 30D. 28E. 32
8. 王經理總是上午8點乘公司的汽車上班.有一天，他6:40就步行上班，而汽車仍按原來的時間從公司出發去接王經理，結果在途中接到了他，因此王經理這天提前16分鍾到達公司，那麼汽車的速度是王經理的（）倍.
A. 8B. 9C. 10D. 11E. 12
9. 甲、乙兩車分別從A、B兩地出發，相向而行，出發時，甲、乙的速度比是5∶4，在中途的C地相遇後，甲的速度減少20%，乙的速度增加20%，這樣，當甲到達B時，乙離A地還有10千米，那麼A、B兩地相距（）千米.
A. 450B. 500C. 550D. 600E. 900
10. 遊船順流而下，每小時行8千米，逆流而上每小時行7千米，兩船同時從同地出發，甲船順流而下然後返回，乙船逆流而上然後返回，經過3小時後同時回到出發點，問在這3小時中有（）分鍾甲、乙兩船航行的方向是相同的.
A. 20B. 12C. 10D. 15E. 16
11. 客、貨兩車同時從甲、乙兩地相對開出，途中相遇後繼續前進，到達對方出發地後立即返回，途中第二次相遇，兩次相遇地點間相距120千米，客車每小時行60千米，貨車每小時行48千米，甲、乙兩地相距（）千米.
A. 400B. 360C. 480D. 540E. 600
12. 有271位遊客欲乘大、小兩種客車旅遊，已知大客車有37個座位，小客車有20個座位.為保證每位遊客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數是（）
A. 1輛B. 2輛C. 3輛D. 4輛E. 5輛
13. 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉向幫助乙搬運，最後兩個倉庫貨物同時搬完.則丙幫助甲搬運（）小時.
A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5
14. 有A，B，C三種鹽水，按A與B數量之比為2∶1混合，得到濃度為13%的鹽水；按A與B數量比為1∶2混合，得到濃度為14%的鹽水.如果A，B，C數量比為1∶1∶3，混合成的鹽水濃度為10.2%，問鹽水C的濃度是（）
A. 8%B. 10%C. 12%D. 15%E. 無法確定
15. 甲、乙、丙三人沿著200米的環形跑道跑步，甲跑完一圈需要1分30秒，乙跑完一圈需要1分20秒，丙跑完一圈需要1分12秒，三人同時、同向、同地起跑，當三人第一次在出發點相遇時，甲、乙、丙三人各跑的圈數之和為（）
A. 27B. 30C. 36D. 39E. 42
16. 某人在市場上買豬肉，小販稱得肉重為4斤.但此人不放心，拿出一個自備的100克重的砝碼，將肉和砝碼放在一起讓小販用原秤複稱，結果重量為4.25 斤.則顧客應要求小販補豬肉（）兩.
A. 3B. 4C. 6D. 7E. 8
17. 某工廠定期購買一種原料，已知該廠每天需用該原料6噸，每噸價格1 800元.原料的保管等費用平均每噸3元，每次購買原料支付運費900元，若該廠要使平均每天支付的總費用最省，則應該每（）天購買一次原料.
A. 11B. 10C. 9D. 8E. 7
18. 有甲、乙兩項工作，張師傅單獨完成甲工作要9天，單獨完成乙工作要12天.王師傅單獨完成甲工作要3天，單獨完成乙工作要15天.如果兩人合作完成這兩項工作，最少需要（）天.
A. 3B. 5C. 6D. 8E. 9
19. 蓄水池有甲、丙兩條進水管和乙、丁兩條排水管.要灌滿一池水，單開甲管需要3小時，單開丙管需要5小時，要排光一池水，單開乙管需要4小時，單開丁管需要6小時，現在水池內有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙的順序輪流打開1小時，則（）小時後水開始溢出水池.
A. 27120B. 29120C. 28130D. 21140E. 2034
二、 條件充分性判斷題
20. 某公司共10個股東，則持股最多的股東所持股份占總股份最大百分比為25%.
（1） 10個股東中任意6個所持股份的和都不少於總股份的50%.
（2） 10個股東中任意3個所持股份的和都不少於總股份的25%.
21. 如果甲公司的年終獎總額增加25%，乙公司的年終獎總額減少10%，兩者相等，則能確定兩公司的員工人數之比.
（1） 甲公司的人均年終獎與乙公司相同.
（2） 兩公司的員工人數之比與兩公司年終獎總額之比相等.
22. 數學測試卷有20道題，做對一道得7分，做錯一道扣4分，不答得0分，則小明隻有1道題沒答.
（1） 小明得了100分.（2） 小明答錯了3道題.
23. 某年級共有8個班,在一次年級考試中，共有21名學生不及格，每班不及格的學生最多有3名，則一班至少有1名學生不及格.
（1） 二班的不及格人數多於三班.
（2） 四班不及格的學生有2名.
24. 某年級共有4個班，一班的學生數占年級的15，二班的學生數是一班的54，三班的學生數是一班、二班人數之和的一半，則此年級共有學生120人.
（1） 四班比一班多15人.（2） 四班有學生39人.
25. 甲瓶裝純鹽酸20 kg，乙瓶裝水60 kg，分別從兩瓶中各取出x kg倒入對方瓶中，然後再從兩瓶中各取出x kg倒入對方瓶中，則甲、乙兩瓶濃度相等.
（1） x=15.（2） x=12.
26. 某單位年終共發了100萬元獎金，獎金金額分別是一等獎1.5萬元、二等獎1萬元、三等獎0.5萬元，則該單位至少有100人.
（1） 得二等獎的人數最多.（2） 得三等獎的人數最多.
27. 甲、乙兩人曾三次一同去買食鹽，買法不同，由於市場波動，三次食鹽價格不相同，三次購買，甲購買的食鹽平均價格要比乙低.
（1） 甲每次購買一元錢的食鹽，乙每次買1千克食鹽.
（2） 甲每次購買數量不等，乙每次購買數量恒定.
28. 某機構向12位教師征題，共征集到5種題型的試題52道，則能確定供題教師的數量.
（1） 每位供題教師提供的試題數相同.
（2） 每位供題教師提供的題型不超過2種.
29. 甲、乙兩人在環形小操場跑步，如果他們同時從跑道的同一點順時針開始跑步，則他們第一次同時跑回起點時，甲、乙共跑了7圈.
（1） 甲每9分鍾跑一圈.
（2） 乙每12分鍾跑一圈.
30. 能確定小明的年齡.
（1） 小明年齡是完全平方數.
（2） 20年後小明年齡是完全平方數.
綜合提升篇習題詳解
一、 問題求解
1. 【答案】C
【解析】設書的價格為ab元，依題意有：10a+b－10b－a=9（a－b）=18，且a≤3，b≤3，易知a=3，b=1，即書的價格為31，則雜誌的價格為8元，書比雜誌貴23元.
【快速得分法】由x+y=39，知x-y必為奇數，選C.
2. 【答案】C
【解析】第一次將鹽水倒入甲，則濃度變為以前的12，再取出10克倒入乙，濃度變為原來的16，最後取出10克倒入丙中，濃度最終變為原來的124為0.5%，故原濃度為12%.
3. 【答案】A
【解析】兩人同時出發相向而行，相遇時時間相等，路程比等於速度比，即兩個人相遇時所走過的路程比為4∶3.第一次相遇時甲走了全程的47；第二次相遇時甲、乙兩個人共走了3個全程，三個全程中甲走了47×3＝157個全程，與第一次相遇地點的距離為57-1-47＝27個全程.所以A、B兩地相距30÷27＝105千米.
【快速得分法】全程應為7的倍數，選A.
4. 【答案】B
【解析】設原有鹽6千克，則第一次加水後鹽水為200千克，再加入同樣多水，溶液的濃度變為2%，因為溶質不變，故可得鹽水變為300千克，即加水100千克，再加入同樣多的水後，鹽水變為400千克，此時濃度為6400＝1.5％.
5. 【答案】B
【解析】依題意得：V車+V人V車－V人=109 V車=19V人，則火車離開乙時，兩人的距離為189×（V車－V人）=189×18V人，則兩人相遇所需的時間為189×18V人2V人＝1 701秒.
6. 【答案】B
【解析】他發現自己年齡的平方剛好等於當年的年份，說明當年年份是一個平方數，在19××中，隻有1936是44的平方，故可知那一年是在1936年，老人44歲，即他1892年出生.
7. 【答案】D
【解析】甲、乙合行一圈需要6+10=16分鍾，乙行8分鍾的路程，甲隻需6分鍾.乙行16分鍾，甲需要16÷8×6=12分鍾，甲行一圈需要16+12=28分鍾.
8. 【答案】B
【解析】由於王經理自己走了AB，車接王經理的路程來回就減少了2AB，節省時間16分鍾，可得車走AB需要8分鍾，正常情況下，車每天8點到Ａ接人，今天少走了8分鍾路程，故在B處接上經理時應該是7:52，即經理6:40從A走到B，用了72分鍾，人、車速度之比是1∶9.
9. 【答案】A
【解析】將AB分成九小格，由於甲、乙速度之比是5∶4，則第一次相遇時在C點，降速後，速度比為4∶4.8，即5∶6，由於時間相同，則相遇後甲、乙再一次的路程比為5∶6，又甲走到B，走了4個小格，則乙走了4×65＝4.8個小格，還有0.2個小格沒走完，即10千米，故一個小格長50千米，AB長450千米.
10. 【答案】B
【解析】設甲順流而下所用時間為t,則逆流時間為3-t.8t=7×（3-t），解得t=75小時，所以甲順流而下所用時間為75小時，逆流時間為85小時.同樣知乙所用時間與甲相等.故甲、乙方向相同的時間為85-75=15小時，即12分鍾航向相同.
11. 【答案】D
【解析】客車、貨車速度比是60∶48=5∶4，把甲、乙劃分為9個相等的小格，第一次在Ａ相遇，即客車走到第5個小格，則從Ａ到第二次相遇地點，客車應該走10個小格，即到達B點，此時AB距離為2個小格為120千米，即每個小格60千米，全程為540千米.
12. 【答案】C
【解析】設大、小客車分別為x、y輛，則有37x+20y=271，20y尾數是0且 271的尾數是1，因此，37x的尾數一定是1，代入選項，隻有C符合要求.
13. 【答案】C
【解析】設丙幫甲搬了x小時，幫乙搬了y小時.
則有110+115x+110y=1112x+112+115y=1，解得x=3y=5，即丙幫甲搬了3小時.
14. 【答案】A
【解析】設鹽水C的濃度為x%，A與B按2∶1混合後濃度為13%，按1∶2混合後濃度為14%，則A與B按3∶3（即1∶1）混合後濃度為13.5%，則有2×13.5+3x=5×10.2，解得x=8.
15. 【答案】A
【解析】甲、乙、丙三人從起點出發，又同時於起點處相遇，則三人都跑了整數圈，則三人第一次在出發點相遇的時間為（90,80,72）=720秒，此時甲跑了8圈，乙跑了9圈，丙跑了10圈，三人共跑了27圈.
16. 【答案】E
【解析】由題可知100克砝碼稱重後為0.25斤，所以該秤顯示1斤時，實物隻有8兩，即顧客實際得到3.2斤肉，需要小販補8兩豬肉.
17. 【答案】B
【解析】設m天采辦一次原料，即每次采辦6m噸，這些原料保管費總計為3×（6×1+6×2+…+6m）=9m（m+1），支出的總費用為1 800×6m+9m（m+1）+900，所以平均每天支出的費用為1 800×6+9（m+1）+900m，當9m=900m，即m=10時，付的費用最省.
18. 【答案】D
【解析】為使時間最少，充分發揮各自優勢，讓王師傅先做甲工作，3天就完成了，張師傅先做3天乙工作，剩下的工作量是1－112×3=34，還需要的天數為34÷112+115=5天，共有的天數3+5=8天.
19. 【答案】E
【解析】先求出一個周期（四個各工作一小時）的工作量：13+15－14－16=760，5個周期後，剩餘工作量為56－760×5=312=14<13，從而甲再需要14÷13=34小時就可以把水池注滿.因此共需要2034小時.
二、 條件充分性判斷題
20. 【答案】D
【解析】條件（1），任意6個股東所持股份的和都不少於總股份的50%，則任意9個股東所持股份的和都不少於總股份的75%，即持股最多的股東所持股份占總股份最大百分比為25%，故（1）充分.
條件（2），任意3個股東所持股份的和都不少於總股份的25%，則任意9個股東所持股份的和都不少於總股份的75%，故（2）也充分.
21. 【答案】D
【解析】設甲公司的年終獎總額為x，人數為a，乙公司的年終獎總額為y，人數為b，由題得x（1+25%）=y（1－10%），即xy=90125，條件（1） 即xa=yb充分，條件（2）與條件（1）等價也充分.
22. 【答案】A
【解析】設小明做對了x道題，答錯了y道題，由（1）可得7x－4y=100，則x是4的倍數，且14 23. 【答案】D 【解析】除一班外，隻要其他7個班不及格人數至多20人就充分.由條件（1）可得，二班最多3人，三班最多2人，故除一班外，其他7個班最多20人，故一班至少1人不及格.由條件（2），除一班外，其他7個班最多20人，故一班至少1人不及格，兩個條件均充分. 24. 【答案】D 【解析】由條件（1），得一班的學生數占年級的15，則四班的學生數占年級的1－15+15×54+1215+15×54=1340，則年級共有學生151340－15=120，充分； 由條件（2），得年級共有學生391－15+15×54+1215+15×54=120，也充分. 25. 【答案】A 【解析】（1） 第一次從兩瓶中各取出15 kg倒入對方瓶中，甲濃度25%，乙濃度25%，此時兩瓶為相同溶液，故最後濃度必相等.所以（1）充分； 第一次從兩瓶中各取出12 kg倒入對方瓶中，甲濃度40%，乙濃度20%，第二次從兩瓶中各取出12 kg倒入對方瓶中，甲濃度28%，乙濃度24%，故最後濃度不相等.所以（2）不充分. 26. 【答案】B 【解析】條件（1），可取反例，比如一等獎30人，二等獎50人，三等獎10人，總人數小於100人，不充分； 條件（2），設一等獎、二等獎、三等獎人數分別為x，y，z人，則根據題幹有1.5x+y+0.5z=（x+y+z）+0.5（x－z）=100，因為得三等獎人數最多，所以有x－z≤0，從而x+y+z≥100，充分. 27. 【答案】A 【解析】設三次食鹽價格分別為a，b，c元\/千克. 由（1），甲購買食鹽的均價為31a+1b+1c，乙購買食鹽的均價為a+b+c3，由31a+1b+1c=3abcab+ac+bc≤3abc33a2b2c2=3abc≤a+b+c3，所以甲≤乙. 由（2），若甲在價格高的時候買的食鹽比較多，則會導致均價偏高從而超過乙的均價，故不充分. 28. 【答案】C 【解析】設教師的人數為n人，且n≤12，因為題目要求題目總數量和題型數量為限製，所以兩條件考慮聯合.條件（1）每位供題教師提供的試題數相同，假設為x道，則題目數量為nx=52，所以n為52的約數，又因為n≤12，所以得到n=2或n=4，結合條件（2），當n=2時，每位供題教師提供的題型不超過2種，則供題型數最多為4，小於5種題型，舍掉，當n=4時，每位供題教師提供的題型不超過2種，可以實現5種題型.故聯立充分. 29. 【答案】C 【解析】單獨顯然不充分，考慮聯合，兩人在起點相遇，則兩個人必然都跑了整數圈，第一次在起點相遇的時間為各自跑一圈所用時間的最小公倍數，由條件可知，9和12的最小公倍數為36，此時甲跑了4圈，乙跑了3圈，共跑了7圈. 30. 【答案】C 【解析】單獨顯然不充分，完全平方數列舉如下： 0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，169… 觀察可發現隻有16和36符合題意，因此小明是16歲，聯合充分. 第二部分代數第三章整式、分式、函數 大綱考點：1. 整式及其運算（綜合除法、因式定理、因式分解）；2. 分式及其運算；3. 函數（指數、對數函數，二次函數等）.【命題剖析】代數部分主要考查的是代數式的運算，其中包括整式、分式的四則運算、恒等變形（通分、約分），對數和指數函數也有涉及. 第一節基本知識點 一、 基本定義 單項式：由數與字母的乘積組成的代數式稱為單項式（單獨一個數或一個字母也是單項式）.單項式中的數字因數叫作單項式的係數.一個單項式中，所有字母的指數之和叫作這個單項式的次數.例如：2x就是係數為2的一次單項式，-23xy3就是係數為-23的四次單項式. 多項式：若幹個單項式的和叫作多項式.多項式裏次數最高項的次數，叫作多項式的次數.例如：x3y4-2xy3就是七次二項式. 單項式和多項式統稱為整式. 分式：分母當中含有未知數的代數式.如：1x，x－yx2等. 二、 整式除法 1. 數的除法：若有a÷b=c…d，則稱a為被除數，b為除數，c為商，d為餘數，且有d 2. 整式除法：若f（x）÷p（x）=g（x）…r（x），則稱f（x）為被除式，p（x）為除式，g（x）為商式，r（x）為餘式，且有r（x）的次數小於p（x）的次數. 特別地，當r（x）=0時，稱p（x）可以整除f（x），記作p（x）|f（x）. 三、 常用乘法公式 （1） a2－b2=（a+b）（a－b）. （2） （a+b）2=a2+2ab+b2， （a－b）2=a2－2ab+b2. （3） a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）； a3－b3=（a－b）（a2+ab+b2）. （4） a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2. （5） a2+b2+c2±ab±ac±bc=12（a±b）2+（a±c）2+（b±c）2. 第二節考試題型彙總 【題型1】乘法公式 思路點撥：學習乘法公式，做到以下幾點： 1. 熟悉每個公式的結構特征； 2. 既能正用又可逆用且能適當變形或重新組合綜合運用公式.【例1】如果a2+b2+2c2+2ac－2bc=0，則a+b的值為（） A. 0B. 1C. －1D. 2E. －2 【答案】A 【解析】a2+b2+2c2+2ac－2bc=（a+c）2+（b－c）2=0 a=－c，b=c，所以a=－b即a+b=0. 【快速得分法】令a=b=c=0滿足題意，選A. 【例２】x，y，z是實數，A=x2－2y+π2，B=y2－2z+π3，C=z2－2x+π6，則在A，B，C中（） A. 至少有一個大於零B. 至少有一個小於零C. 都大於零 D. 都小於零E. 至少有兩個大於零 【答案】A 【解析】A+B+C=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3>0，故A，B，C中至少有一個大於0. 【例３】a，b，c為非零實數，則a2+b2+c2=1. （1） a+b+c=1.（2） 1a+1b+1c=0. 【答案】C 【解析】單獨不充分，聯立得1a+1b+1c=bc+ac+ababc=0 bc+ac+ab=0，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1，從而可得a2+b2+c2=1，充分. 【題型2】整體代入求值 思路點撥：在有些代數式求值問題中，往往題目中並沒有直接告訴字母的值，而且通過已知條件很難求出未知數的值，通常進行整體代入，求解代數式的值.【例1】已知1x+1y=5，則2x－3xy+2yx+2xy+y的值為（） A. －1B. 0C. 1D. 4E. －8 【答案】C 【解析】1x+1y=5 x+y=5xy，2x－3xy+2yx+2xy+y=2（x+y）－3xy（x+y）+2xy=7xy7xy=1. 【快速得分法】令x=1，y=14，代入解得2x－3xy+2yx+2xy+y=1. 【例２】已知a2+bc=14，b2－2bc=－6，則3a2+4b2－5bc=（） A. 12B. 14C. 16D. 18E. 66 【答案】D 【解析】3a2+4b2－5bc=3（a2+bc）+4（b2－2bc）=18. 【題型3】整式的計算 思路點撥：主要考查整式相關的四則運算，可以結合數的運算類似推演.【例1】設關於x的多項式：g（x）=x4+3x3－5x2+x－3=a（x－1）4+b（x－1）3+c（x－1）2+d（x－1）+e，求a+b+c+d+e的值（） A. －9B. 17C. 21D. 19E. －15 【答案】D 【解析】x=2時，g(2)=a+b+c+d+e=24+3×23－5×22+2-3＝19. 【例２】實數a，b，c取（）時，g（x）=a（x－1）2－b（x+2）+c（x2+x－2）與f（x）=2x－7相等. A. a=－119，b=53，c=119B. a=－11，b=15，c=11 C. a=119，b=53，c=－119D. a=11，b=15，c=－11 E. 以上均不正確 【答案】A 【解析】兩個多項式相等，必有對應項的係數相等，兩多項式的項數相等.g（x）=a（x－1）2－b（x+2）+c（x2+x－2）=（a+c）x2+（c－2a－b）x+a－2b－2c，有a+c=0c－2a－b=2a－2b－2c=－7，解得：a=－119b=53c=119，故選A. 【快速得分法】兩個多項式相等，即兩個多項式其實就是一個多項式，所以無論自變量取任何值，函數值都相等. g（1）=f（1）g（－2）=f（－2），即－3b=－59a=－11，解得a=－119b=53，故選A. 【例３】（x2+px+8）（x2－3x+q）的展開式中不含x2和x3項，則p+q=（） A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 【答案】D 【解析】x2項的係數為8－3p+q，x3項的係數為－3+p.因為展開式中不含x2和x3項，所以8－3p+q=0－3+p=0，解得p=3q=1，所以p+q=4. 【例４】若實數x滿足x2－2x－1=0，則2x3－7x2+4x－7=（） A. 0B. 10C. －10D. 4E. －4 【答案】C 【解析】由綜合除法得 2x－3x2－2x－1) 2x3－7x2+4x－72x3－4x2－2x－3x2+6x－7－3x2+6x+3－10即2x3－7x2+4x－7=（x2－2x－1）（2x－3）－10=－10. 【題型4】等式恒成立（包含直線過定點問題） 思路點撥：多項式相等，即為一個多項式.常用方法有： 同類項法：化為kx=b的形式，再令k=0，b=0即可. 特殊值法：多項式相等，則對任意x的值，對應函數值相等.【例1】對任意實數x，等式ax－4x+5+b=0恒成立，則（a+b）100=（） A. 0B. 1C. 250D. 2100E. 2 【答案】B 【解析】同類項法：ax－4x+5+b=0 （a－4）x+（5+b）=0，又對任意實數x，等式恒成立，故有a=4b=－5，所以a+b=－1，（a+b）100=（－1）100=1. 特殊值法：對任意實數x，等式恒成立，那麼可以取x=1，那麼原式轉化為a－4+5+b=0，即a+b=－1，從而（a+b）100=（－1）100=1. 【例２】無論m取何值，直線（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0必過點（） A. （2,2）B. （3,1）C. （2,3）D. （1,3）E. 不能確定 【答案】B 【解析】同類項法：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=（2x+y－7）m+（x+y－4）=0無論m取何值等式恒成立，則有2x+y－7=0x+y－4=0，解得x=3y=1，即直線恒過定點（3,1）. 特殊值法：令m=－1，得x=3.令m=－12，得y=1，直線恒過定點（3,1）. 【題型5】因式定理 因式定理：多項式f(x)有一個因式x-a的充要條件是f(a)=0. 等價式：（x－a）|f（x） f（x）有因式x－a f（a）=0 a是方程f（x）=0的一個根 a是f（x）的一個零點.【例1】整數m取（）時，f(x)=x5-3x4+8x3+11x+m能夠被x－1整除. A. 10B. 17C. 21D. －17E. －15 【答案】D 【解析】依題意f（x）含有因式x－1，故f（1）=0，則有1－3+8+11+m=0.可得m=－17. 【例２】若f(x)=x4+px2+qx+a2可被x2-1整除，則f（a）=（） A. 1B. 0C. －1D. 2E. 3 【答案】B 【解析】f(x)可被x2-1整除，即f(x)可被x－1，x+1整除，由因式定理可知f（－1）=f（1）=0 1+p-q+a2=0(1)1+p+q+a2=0(2)，由（1）－（2）得：q=0，p=－1－a2.故f(a)=a4+pa2+qa+a2=a4-(1+a2)a2+a2=0. 【例３】已知ax4+bx3+1能被（x－1）2整除，則a，b的值分別為（） A. a=－3，b=4B. a=－1，b=4C. a=3，b=－4 D. a=－1，b=－3E. a=1，b=3 【答案】C 【解析】ax4+bx3+1能被（x－1）2整除，則f（1）=0，故有f（1）=a+b+1=0，即a+b=－1，隻有C滿足. 【例４】x2+x－6是多項式2x4+3x3－ax2+bx+a+b－1的一個因式. （1） a=16.（2） b=2. 【答案】E 【解析】單獨顯然不充分，聯立有f（x）=2x4+3x3－16x2+2x+17，代入得：f（2）≠0，f（－3）≠0，所以x2+x－6不是多項式的因式，也不充分. 【例５】已知f(x)=x2+ax+b，則0≤f（1）≤1. （1） f(x)在區間[0,1]上有兩個零點. （2） f(x)在區間[1,2]上有兩個零點. 【答案】D 【解析】設f(x)在區間[0,1]上兩個零點為x1,x2，則f（x）有因式（x－x1）和（x－x2），所以有f（x）=（x－x1）（x－x2），那麼f（1）=（1－x1）（1－x2）. 由條件（1），因為0≤x1≤x2≤1，從而0≤（1－x1）≤1,0≤（1－x2）≤1，相乘有0≤f（1）=（1－x1）（1－x2）≤1，充分； 由條件（2），因為1≤x1≤x2≤2，從而－1≤（1－x1）≤0,－1≤（1－x2）≤0，相乘有0≤f（1）=（1－x1）（1－x2）≤1，也充分. 【題型6】因式分解 思路點撥：分解因式與整式的乘法是一種互逆關係. 常用方法： 1. 提取公因式 2. 公式法 3. 十字相乘法 4. 分組分解法 5. 裂項、湊項法 6. 求根法 因式分解可配合因式定理，綜合除法交叉使用，易於求解.【例1】若3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，則a，b，c三者的關係為（） A. a+b=b+cB. a+b+c=1C. a=b=c D. ab=ac=bcE. abc=1 【答案】C 【解析】3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2 a2+b2+c2－ab－ac－bc=12（a－c）2+（b－c）2+（a－b）2=0，故有a=b=c. 【快速得分法】a=b=c=0滿足題意，排除B，E. 令a=c=0，b=1，不滿足題意，故選C. 【例２】已知a=9 998×9 998，b=9 999×9 997，c=9 9972+9 997×2+2，a，b，c的大小關係為（） A. a>b>cB. c>a>bC. b>c>a D. c>b>aE. 以上均不正確 【答案】B 【解析】令t=9 997，則a=(t+1)2=t2+2t+1，b=(t+2)t=t2+2t，c=t2+2t+2，則有c>a>b. 【快速得分法】用相對簡單的數研究其規律，可以令a=2×2，b=3×1，c=12+2×1+2，則有c>a>b. 【例３】若x3+5x2+7x+a有一因式x+1，則其必含下列（）因式. A. x－1B. x－2C. x+2D. x－3E. x+3 【答案】E 【解析】分解因式法：當x=－1時，x3+5x2+7x+a=0，得a=3. x3+5x2+7x+3=x2（x+1）+4x（x+1）+3（x+1）=（x+1）（x2+4x+3）=（x+1）2（x+3），故選E. 整式除法：當x=－1時，x3+5x2+7x+a=0，得a=3.由整數除法可得：（x3+5x2+7x+3）÷（x+1）=（x+1）（x+3），故選E. 求根法：函數f（x）=x3+5x2+7x+3隻可能有負根，排除A，B，D，再由f（－2）≠0，排除C，選E. 【例４】多項式x3+ax2+bx-6的兩個因式是x-1和x-2，則其第三個一次因式為（） A. x-6B. x-3C. x+1D. x+2E. x+3 【答案】B 【解析】設x3+ax2+bx－6=（x－1）（x－2）（x+t），根據首尾項原則知，2t=－6，即t=－3，所以第三個一次因式為x－3. 【例５】x3－9x+8與x3－x必同時含有（）因式. A. xB. x+1C. x－1D. x－8E. x－9 【答案】C 【解析】x3－9x+8=x3－x－8x+8=x（x+1）（x－1）－8（x－1）=（x－1）（x2+x+8），x3－x=x（x+1）（x－1），所以x3－9x+8與x3－x必同時含有因式x－1. 【快速得分法】x=1時，兩整式均為0，故選C. 【題型7】分式及其運算 分式：分母中含有字母的代數式. 考試類型：（1） 函數有意義： ABB≠0aa≥0logaxx>0a0a≠0 （2） 特殊分式：f（x）=x+1x： 1） 已知x+1x的值，求xn+1xn的值，例如： 如已知x+1x=3，可推出x2+1x2=7，x3+1x3=18等. 2） 取值範圍：f（x）≤－2或者f（x）≥2.【例1】在1x，a2b3，－0.5xy+y2，b－ca，x－zy+5，3aπ，x2－1x－1中，是分式的有（）個. A. 2B. 4C. 3D. 5E. 6 【答案】B 【例２】當x為（）時，分式xx-2xx-1有意義. A. x≠1B. x≠0C. x≠3D. x≠0，1，3E. x≠0，1 【答案】D 【解析】首先有分母為x-1，故x≠1，將分式化簡後得原分式化為x(x-1)x(x-3)，故x≠0且x≠3，綜上可知選D. 【例３】已知3x+4x2-x-2=Ax-2-Bx+1，其中A，B為常數，則4A－B=（） A. 4B. 5C. 7D. 9E. 13 【答案】E 【解析】原式化簡得3x+4=A（x+1）－B（x－2），令x=－1，得1=3B B=13.令x=2，得3A=10 A=103，則4A－B=403－13=13. 【例４】已知x-1x=2，求x2+1x2的值為（） A. 1B. 5C. 2D. 4E. 6 【答案】E 【解析】x-1x2=x2-2+1x2=4 x2+1x2=6. 【例５】x是非零實數，則x3+1x3=18. （1） x+1x=3.（2） x2+1x2=7. 【答案】A 【解析】由條件（1） x+1x=3→x+1x2=x2+2+1x2=9→x2+1x2=7. 又x3+1x3=x+1xx2－1+1x2=3×6=18，充分； 條件（2） 明顯不充分，x可以取到負值，導致x3+1x3的值為負值. 【題型8】指數、對數函數 1. 指數函數及其性質 （1） 指數函數的概念： 一般地，函數y=ax(a>0,且a≠1)叫作指數函數.（2） 指數函數的圖像a>10 當x<0時，0 當x1（3） 指數函數的運算性質 ① ax·ay=ax+y. ② a-x=1ax，a1n=na. ③ (ax)y=(ay)x=axy. 2. 對數函數及其性質 （1） 對數函數的概念： 函數y=logax(a>0，且a≠1)叫作對數函數. （2） 對數函數的圖像：a>10 當0 當0 （3） 對數函數的運算性質 ① logax+logay=logaxy. ② logax=1logxa. ③ logamxn=nmlogax.【例1】若函數y=ax+b-1（a>0，且a≠1）的圖像經過二、三、四象限，則一定有（） A. 0 D. a>1且b<0E. 以上都不對 【答案】C 【解析】函數圖像可以看作是由指數函數y=ax的圖像向上平移b－1個單位得到，根據指數函數圖像知，函數y=ax+b-1經過二、三、四象限，則0 【例２】若10x=3，10y=4，則102x－y=（） A. 3B. 94C. －2D. －6E. 10 【答案】B 【解析】102x－y=102x10y=（10x）210y=94. 【例３】已知函數f（x）=log2xx>02xx≤0，若f(a)=12，則a=（） A. 1B. 2C. 2或－1D. －1E. -2 【答案】C 【解析】若a>0，則f（a）=log2a=12→a=2； 若a≤0，則f（a）=2a=12→=－1.故選C. 【快速得分法】分別將a=2和a=－1代入驗證，可得選C. 【例４】若2lg(x-2y)=lg x+lg y，則yx的值為（） A. 4B. 1或14C. 1或4D. 14E. 1 【答案】D 【解析】2lg(x-2y)=lg x+lg y，即（x－2y）2=xy，解得x=y或者x=4y，因為x>0，y>0，x－2y>0，x=y不是方程的解，舍去，故選D. 【快速得分法】對數定義域為x>0，y>0，x－2y>0，隻有D滿足要求. 【例５】log7[log3(log2x)]=0，則x-12等於（） A. 13B. 123C. 122D. 133E. 132 【答案】C 【解析】log7[log3(log2x)]=0 log3(log2x)=1 log2x=3 x=8，則x-12=8-12=122. 【例６】設a=40.9，b=80.48，c=12-1.5，則（） A. c>a>bB. b>a>cC. a>b>c D. a>c>bE. b>c>a 【答案】D 【解析】a=40.9=21.8，b=80.48=21.44，c=12－1.5=21.5，所以有a>c>b. 【例７】若loga2 A. 0 D. b>a>1E. b>a>1 【答案】B 【解析】因為loga2 【快速得分法】取loga2=－1，logb2=－12 a=12，b=14，所以選B. 【例８】關於x的函數y=lgx3·lgx12的最小值為（） A. lg22B. lg24C. lg 2D. －lg22E. －lg24 【答案】D 【解析】y=（lg x－lg 3）（lg x－lg 12）=lg2x－（lg 3+lg 12）lg x+lg 3·lg 12，看作關於lg x的二次函數.y的最小值為4lg 3lg 12－（lg 3+lg 12）24=－lg244=－lg22. 【例９】已知a=logmx+y2，b=12（logmx+logmy），c=12logm（x+y），則c>b≥a. （1） x>2，y>2.（2） 0 【答案】C 【解析】本題考查對數函數的單調性以及平均值的關係，對a，b，c作變形，轉化成比較x+y2，xy，x+y的大小.x+y2≥xy，又由x+yxy=1x+1yx+y；從而得到x+y2≥xy>x+y，且當0 【題型9】代數式的最值問題 思路點撥：求最值常用的三種方法： 1. 配方法：將代數式化為形如f2（x）±a的形式. 2. 均值定理. 3. 一元二次函數求最值法.【例1】設實數x，y滿足等式x2－4xy+4y2+3x+3y－6=0，則x+y的最大值為（） A. 2B. 3C. 23D. 32E. 33 【答案】C 【解析】原式化為（x－2y）2+3（x+y）－6=0，得3（x+y）=6－（x－2y）2≤6，故x+y≤63=23. 【例２】若a，b，c滿足：a2+b2+c2=9，則代數式（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2的最大值是（） A. 21B. 27C. 29D. 32E. 39 【答案】B 【解析】代數式（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2=2（a2+b2+c2）－2（ab+bc+ac）=3（a2+b2+c2）－（a+b+c）2=27－（a+b+c）2≤27，當a+b+c=0時，所求代數式取得最大值為27. 【例３】設實數x，y滿足x+2y=3，則x2+y2+2y的最小值為（） A. 4B. 5C. 6D. 5－1E. 5+1 【答案】A 【解析】由x+2y=3，得x=3－2y，則x2+y2+2y=（3－2y）2+y2+2y=5y2－10y+9，得x2+y2+2y最小值為4ac－b24a=4×5×9－1004×5=4. 【題型10】表達式的取值 思路點撥：對於表達式取值情況的討論，一般要將其進行因式分解，變成乘積形式，再借助等式兩邊數的特征，討論滿足要求的情況. 考試類型一般有兩種： 1. （ax+b）（cx+d）=e，則ax+b和cx+d都為e的約數； 2. （x+a）2+（x+b）2=c，然後列舉即可求解.【例1】方程6xy+4x－9y－7=0的整數解有（）種情況. A. 1B. 2C. 3D. 4E. 無數 【答案】A 【解析】6xy+4x－9y－7=0 （2x－3）（2+3y）=1，得2x－3=12+3y=1或2x－3=－12+3y=－1，解得x=2y=－13（舍去）或者x=1y=－1，所以隻有一種整數解. 【例２】設x，y為正整數，且x2+y2+4y－96=0，則xy有（）種取值情況. A. 1B. 2C. 3D. 4E. 無數 【答案】B 【解析】由條件得x2+（y+2）2=100，所以x2≤100，隻有當x=6或8時，才能使等式成立，此時y=6或4，故xy=36或32，所以選B. 【題型11】集合 1. 集合的概念 集合：將能夠確切指定的一些對象看成一個整體，這個整體就叫作集合； 元素：集合中的各個對象叫作這個集合的元素. 2. 元素與集合的關係 屬於：如果a是集合A的元素，則說a屬於A，記作a∈A； 不屬於：如果a不是集合A的元素，則說a不屬於A，記作aA. 3. 集合中元素的特性 （1） 確定性.（2） 互異性.（3） 無序性. 4. 常用結論 （1） 任何一個集合是它本身的子集，記為AA； （2） 空集是任何集合的子集，記為A，空集是任何非空集合的真子集. （3） n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－1個非空子集，有2n－2個非空真子集.【例1】已知集合M=x∈N|4－x∈N，則集合M中元素個數是（） A. 3B. 4C. 5D. 6E. 7 【答案】C 【解析】M=x∈N|4－x∈N，即M=0,1,2,3,4，共有5個元素. 【例２】下列集合中能表示由1，2，3組成的集合是（） A. 小於6的質數B. x|x<4,x∈NC. x|x<4,x∈Z D. 連續三個自然數E. 最小的三個正整數 【答案】E 【解析】小於6的質數為2，3，5，排除A，x|x<4,x∈N=0,1,2,3，排除B，同理排除C，連續的三個自然數有很多種情況，無法成立，排除D，故選E. 【例３】關於含有四個元素的集合，下列說法正確的有（）個. （1） 子集共有16個； （2） 真子集共有15個； （3）非空子集共有15個； （4）非空真子集共有14個. A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4 【答案】E 【解析】n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－1個非空子集，有2n－2個非空真子集，以上說法都正確. 【題型12】最值函數 maxf（x）,g（x）表示f（x）和g（x）的最大值，minf（x）,g（x）表示f（x）和g（x）的最小值. 思路點撥：先畫出f（x）和g（x）的圖像，對於maxf（x）,g（x），取圖像最高的部分；minf（x）,g（x）取圖像最低的部分（最值一般在交點處）.【例1】函數f（x）=maxx2,－x2+8的最小值為（） A. 8B. 7C. 6 D. 5E. 4 【答案】E 【解析】作出f（x）=maxx2,－x2+8的圖像，觀察得當x2=－x2+8時，即當x2=4時，f（x）取得最小值. 【例２】函數f（x）=min2x,x+2,10－x（x≥0），則f（x）的最大值是（） A. 4B. 5C. 6 D. 7E. 8 【答案】C 【解析】畫出y=2x，y=x+2，y=10－x的圖像，觀察圖像可知：當0≤x≤2時，f（x）=2x，當2≤x≤4時，f（x）=x+2，當x>4時，f（x）=10－x，f（x）在x=4時取得最大值6. 【題型13】複合函數 複合函數的定義：設y=f（μ）的定義域為A，μ=g（x）的值域為B，則y關於x的函數y=fg（x）叫作函數f與g的複合函數，μ叫作中間量. 1. 複合函數的定義域問題：已知fg（x）的定義域，求fh（x）的定義域. 思路點撥：設fg（x）的定義域為D，即x∈D，由此得g（x）∈E，f的作用範圍為E，又f對h（x）作用，作用範圍不變，所以h（x）∈E，解得x∈F，F為fh（x）的定義域. 2. 複合函數y=fg（x）的單調性判斷 若兩個函數在對應的區間上的單調性相同（即都是增函數，或都是減函數），則複合後的函數y=fg（x）為增函數； 若兩個函數在對應的區間上的單調性相異（即一個是增函數，而另一個是減函數），則複合後的函數y=fg（x）為減函數. 對於複合函數，可以將內部的函數看成一個整體進行分析，此外，內部函數的值域對應外部函數的定義域. 【例1】若函數f（2x）的定義域為－1,1，則f（log2x）的定義域為（） A. －1,1B. 12,2C. 1,2D. 2,4E. 1,4 【答案】D 【解析】f（2x）的定義域為－1,1，即x∈－1,1，由此得2x∈12,2，f的作用範圍為12,2，又f對log2x作用，所以log2x∈12,2，解得x∈2,4，即f（log2x）的定義域為2,4. 【例２】函數y=log12（x2－3x+2）的單調遞減區間是（） A. (-∞，1)B. （2，+∞）C. -∞，32D. 32，+∞E. 1，32 【答案】B 【解析】先求出函數的定義域為（－∞,1）∪（2,+∞），令μ=x2－3x+2，函數μ（x）在（－∞,1）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，根據複合函數同增異減的原則，函數y=log12（x2－3x+2）在（2，+∞）上單調遞減. 【例３】f（x－1）=2x－3，則f（x）=（） A. 2x－1B. 2x+1C. 2x+3D. 2x+5E. 2x－5 【答案】A 【解析】令x－1=t，則x=t+1，故f（t）=2（t+1）－3=2t－1，即f（x）=2x－1. 【例４】f（x）為二次函數，若f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，則f（10）=（） A. 52B. 55C. 56D. 60E. 100 【答案】B 【解析】設f（x）=ax2+bx+c，因為f（0）=0，所以c=0.依題意有f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+bx+x+1，得a=b=12，故f（10）=12×102+12×10=55. 第三節基礎精練篇 一、 問題求解 1. m取（）時，分式2m+7m－1的值是正整數. A. －8，0，4，10，±2B. －8，2，4，10C. －8，－2 D. －8，－2，0E. 0，2，4，10 2. 把分式2xy+3y2y2中的x，y同時擴大2倍，則分式的值（） A. 擴大2倍B. 改變C. 縮小2倍D. 不變E. 不能確定 3. 已知代數式mx3+nx+3，當x=3時，它的值為－7，則當x=-3時，它的值為（） A. 7B. －7C. 1D. 13E. －1 4. 函數f（x）=2x－1，使f（x）≤0成立的值的集合是（） A. （－∞,0）B. （－∞,1）C. 0D. 1E. （0,1） 5. 已知f（x）=x3－6x2－ax+c能被x2－4x+3整除，則ac=（） A. －11B. 11C. 33D. 66E. －66 6. 已知多項式2x3－x2－13x+k有一個因式2x+1，則其必含有（）個因式. A. x－1B. x－2C. x+1D. x－3E. x+3 7. 若log2log12（log2x）=log3log13（log3y）=log5log15（log5z）=0，則x，y，z的大小關係是（） A. z 8. 已知x2=y3=z4，則xy+2yz-3xzx2+y2+z2的值為（） A. 926B. 629C. 2D. 718E. 6 9. 方程(x2-x-1)x+10=1的整數解有（）個. A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 10. 如果函數f(x)=(a2-1)x在R上是減函數，則實數a的取值範圍是（） A. |a|>1B. |a|3D. 1<|a|<2E. |a|<2 11. 若x2－5x+1=0，則x4+1x4=（） A. 527B. 257C. 526D. 256E. 356 12. a，b，c為互不相等的實數，滿足a+1b=b+1c=c+1a，則（abc）2=（） A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 13. 設f（x）是二次多項式，且f（2）=f（－1）=0，f（1）=－4，則f（0）=（） A. －10B. －8C. －4D. 0E. 6 14. 若正實數x，y滿足2x+3y=6，則log32x+log32y=（） A. 有最大值1B. 有最小值C. 有最大值32D. 有最小值32E. 無最值 15. f（x）=x4+x3－3x2－4x－1和g（x）=x3+x2－x－1的最大公因式是（） A. x+1B. x－1C. （x+1）（x－1） D. （x+1）2（x－1）E. 以上都不對 16. 已知a1，a2…a97均為正數，M=（a1+a2+…+a96）（a2+a3+…+a97）和N=（a1+a2+…+a97）（a2+a3+…+a96），則M與N的大小關係是（） A. M=NB. MND. M≥NE. M≤N 二、 條件充分性判斷題 17. a>b. （1） a，b為實數，且a2>b2.（2） a，b為實數，且12a<12b. 18. 已知x，y都是非零實數，則xy+1xy=58. （1） x-1y=8.（2） y-1x=7. 19. x是實數，則x3－3x2+x+1=0. （1） x2－2x－1=0.（2） x－1x=2. 20. 設集合A，B，則A∩B=x|x>1. （1） A=x|x2－1>0,B=x|log2x>0. （2） A=x|x2－1<0,B=x|log2x<0. 21. 2 002xy+y2－4z2xy－yz+xz=2 002成立. （1） x+2y－6z=0.（2） 3x－y－4z=0. 22. 已知a，b是整數，3a（2a+1）+b（1－7a－3b）是10的倍數. （1） 3a+b是5的倍數.（2） b是奇數. 23. a3+a2b+ab2+b3=40. （1） a+b=4.（2） a2+b2=10. 24. a，b，c，d∈R，則（ac－bd）2+（ad+bc）2=1. （1） a2+b2=1.（2） c2+d2=1. 25. △ABC是等邊三角形. （1） △ABC的三邊滿足a2+b2+c2=ab+bc+ac. （2） △ABC的三邊滿足a3－a2b+ab2+ac2－b3－bc2=0. 基礎精練篇習題詳解 一、 問題求解 1. 【答案】B 【解析】2m+7m－1=2+9m－1為正整數，則m－1可以整除9，有m－1=1，9，－1，－9，3，－3，即m=2，10，0，－8，4，－2.隻有m=－8，2，10，4時，分式2m+7m－1的值才是正整數. 【快速得分法】將m=0，m=2代入驗證得，選B. 2. 【答案】D 【解析】x，y同時擴大2倍時，分子和分母都擴大4倍，分式的值不變. 【快速得分法】取x=y=1和x=y=2，比較得選D. 3. 【答案】D 【解析】f（3）=27m+3n+3=－7 27m+3n=－10，而f（－3）=－27m－3n+3=－（27m+3n）+3=10+3=13. 4. 【答案】C 【解析】f（x）≤0 2x≤1 x≤0 x=0. 【快速得分法】取x=0和x=－1，代入驗證可知選C. 5. 【答案】D 【解析】f（x）=x3－6x2－ax+c能被x2－4x+3整除，所以（x－1）和（x－3）都是f（x）的因式，故f（1）=1－6－a+c=0f（3）=27－54－3a+c=0，解得a=－11c=－6，故ac=66. 6. 【答案】C 【解析】記f（x）=2x3－x2－13x+k，由因式定理知f－12=0 k=－6，結合選項代入得f（－1）=0，選C. 7. 【答案】A 【解析】log2log12（log2x）=0 log12（log2x）=1 log2x=12 x=2，同理可得y=33，z=55，因為55<2<33，所以z 8. 【答案】B 【解析】令x2=y3=z4=k x=2ky=3kx=4k，從而xy+2yz－3xzx2+y2+z2=629. 【快速得分法】x=2，y=3，z=4滿足題意，則xy+2yz-3xzx2+y2+z2=629. 9. 【答案】D 【解析】考慮1n=1（n∈R），（－1）2k=1（k∈Z），x0=1（x≠0），x=－10是其一個整數解；令x2－x－1=1，解得x=2或x=－1；再令x2－x－1=－1，解得x=0或x=1，而當x=1時有（x2－x－1）x+10=－1，故原方程的整數解為x=－10，x=－1，x=2和x=0共4個. 10. 【答案】D 【解析】函數在R上遞減，則底數0 【快速得分法】因為底數a2－1>0，排除B，E，再取a=4，不滿要求，故選D. 11. 【答案】A 【解析】x2－5x+1=0 x+1x=5，x4+1x4=x+1x2－22－2=527. 12. 【答案】A 【解析】a+1b=b+1c a－b=b－cbc，相類似a－c=b－aab，b－c=c－aac，三式相乘，得（a－b）（a－c）（b－c）=（b－c）（b－a）（c－a）（abc）2 （abc）2=1. 【快速得分法】取c=1，a+1b=b+1=1+1a b=1a及2a=1a+1 2a2－a－1=0 （2a+1）（a－1）=0 a=－12或a=1（舍去），即有b=－2，從而（abc）2=1. 13. 【答案】C 【解析】f（2）=f（－1）=0，可以設f（x）=a（x－2）（x+1），由f（1）=－4 a=2，故f（x）=2（x－2）（x+1），從而f（0）=－4. 14. 【答案】A 【解析】2x+3y≥22x·3y xy≤32 log32x+log32y=log32xy≤1. 15. 【答案】A 【解析】f（x）=x4+x3－3x2－4x－1=x3（x+1）－3x（x+1）－（x+1）=（x2－3x－1）·（x+1），同理，g（x）=（x+1）2（x－1），故最大公因式為x+1. 【快速得分法】將x=1代入f（x）和g（x）有f（1）≠0，故x－1不是f（x）和g（x）的公因式，選A. 16. 【答案】C 【解析】令t=a2+a3+…+a96，則M=（a1+t）（t+a97），N=（a1+t+a97）t，故M－N=（a1+t）（t+a97）－（a1+t+a97）t=a1a97>0，即M>N. 【快速得分法】令M=（1+2+3）（2+3+4）=54，N=（1+2+3+4）（2+3）=50，有M>N. 二、 條件充分性判斷題 17. 【答案】B 【解析】條件（1）不充分，反例，令a=－1，b=0； 條件（2），12a<12b，因為12b，充分. 18. 【答案】C 【解析】單獨顯然不充分，考慮聯合. x－1yy－1x=xy+1xy－2=56 xy+1xy=58，充分，故選C. 19. 【答案】D 【解析】x3－3x2+x+1=x（x2－2x－1）－（x2－2x－1），若x2－2x－1=0，必有x3－3x2+x+1=0，故條件（1）充分； 條件（2）中，x－1x=2，整理得x2－2x－1=0，與（1）等價，故也充分. 【點評】本體可以用綜合除法求解，更便捷. 20. 【答案】A 【解析】條件（1），x2－1>0 x1，A=x|x1，B=x|log2x>0=x|x>1，A∩B=x|x>1，充分. 條件（2），A=x|－1 21. 【答案】C 【解析】單獨顯然不充分，考慮聯立.x+2y－6z=03x－y－4z=0 x=y=2z，則2 002xy+y2－4z2xy－yz+xz=8 008z2+4z2－4z24z2－2z2+2z2=2 002，充分. 22. 【答案】C 【解析】3a（2a+1）+b（1－7a－3b）=6a2+3a+b－7ab－3b2=6a2+2ab+3a+b－9ab－3b2=2a（3a+b）+3a+b－3b（3a+b）=（3a+b）（2a+1－3b） （1）+（2）得3a+b是5的倍數，且2a+1－3b是偶數，故充分. 23. 【答案】C 【解析】（a3+a2b）+（ab2+b3）=a2（a+b）+b2（a+b）=（a2+b2）（a+b），故選C. 24. 【答案】C 【解析】單獨顯然不充分，聯合後有： （ac－bd）2+（ad+bc）2=a2c2+b2d2－2abcd+a2d2+b2c2+2abcd =a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2（c2+d2）+b2（d2+c2）=（a2+b2）（c2+d2）=1，充分，故選C. 25. 【答案】A 【解析】由（1），a2+b2+c2－ab－bc－ac=12（a－b）2+（b－c）2+（a－c）2=0， a=b=c，充分；（2）中，有（a－b）（a2+b2+c2）=0 a=b，c任意，不充分. 第四節綜合提高篇 一、 問題求解 1. 若2x2+5x+1=a（x+1）2+b（x+1）+c，那麼a，b，c應為（） A. a=2，b=－2，c=－1B. a=2，b=2，c=－1C. a=2，b=1，c=－2 D. a=2，b=－1，c=2E. 不能確定 2.（x+1）（x－1）與（x4+x2+1）的積是（） A. x6+1B. x6+2x3+1C. x6－1D. x6－2x3+1E. 以上都不對 3. 已知函數f（x）=lg x，若a≠b，且f（a）=f（b），則ab=() A. 1B. 2C. 3D. 11E. 24 4. 整數x，y滿足不等式x2+y2+1≤2x+2y，則x+y有（）種取值. A. 1B. 2C. 3D. 4E. 無數 5. 已知a，b為整數，則能整除a2－b2+4a+2b+3的代數式是（） A. a－bB. a－b+2C. a－b+3D. a－b+1E. a+b+3 6. 已知x，y，z都是正數，且2x=3y=6z，那麼zx+zy=（） A. －1B. 0C. 1D. log23E. log32 7. 若2x+5y－3=0，則4x×32y的值為（） A. 1B. 8C. 128D. 256E. 以上均不正確 8. 多項式x+1，x+2，x+3，x－1，（x－2）2中，有（）個是x3-3x2+4的因式. A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4 9. 已知f（x）的定義域為－2,2，則f（x2－1）的定義域為（） A. －1,3B. 0,3C. －3,3D. －4,4E. －1,1 10. 若函數y=f（3x－1）的定義域是1,3，則y=f（x）的定義域是（） A. 1,3B. 2,4C. 2,8D. 0,3E. 3,9 11. 已知a=5-1，則2a3+7a2-2a-12的值等於（）. A. 1B. 0C. 5D. 2E. -1 12. 若三次多項式g(x)，g(-1)=g(0)=g(2)=0，g(1)=4，則g（3）=（） A. 6B. 12C. 24D. －12E. －24 13. 設a=45-1,則a3-2a2-4a=（） A. 5+1B. 5-1C. 0D. 5+25E. 以上均不正確 14. a，b，c為自然數，且a2+b2+c2+420，則代數式1a+1b+1c的值為（） A. 1B. 76C. 10D. 11E. 13 15. 已知aba+b=13，bcb+c=14，aca+c=15，求abcab+ac+bc的值是（） A. 14B. 4C. 6D. 16E. 2 16. 若實數x，y，z滿足x+1y=4，y+1z=1，z+1x=73，則xyz的值為（） A. 1B. 2C. 4D. 6E. 7 17. 若a>1，b>1，且lg（a+b）=lg a+lg b，則lg（a－1）+lg（b－1）=（） A. 0B. 2C. 3D. 4E. 5 18. 在多項式（x2+x+1）（x2+x+2）－12的分解式中，必有因式（） A. x2+x+5B. x2－x+5C. x2－x－5D. x2+x+3E. x2+x－3 19. 使得n3+100能被n+10整除的最大正整數n為（） A. 890B. 990C. 1 000D. 1 890E. 900 20. 實數x，y，z滿足x+y+z=5，xy+yz+xz=3，則z的最大值是（） A. 4B. 133C. 143D. 5E. 163 二、 條件充分性判斷題 21. 若x，y，z均是不等於1的非零實數，那麼有z+1x=1. （1） x+1y=1.（2） y+1z=1. 22. x3－3px+2q能被x2+2ax+a2整除. （1） p=－a2，q=a3.（2） p=a2，q=－a3. 23. loga12<1. （1） 0 24. a2（b－c）+b2（c－a）+c2（a－b）=0. （1） a，b，c三個數中隻有兩數相等. （2） a，b，c三數中兩兩不相等. 25. log4（x3－x－6）=12. （1） x=2+1.（2） x=2－1. 26. 設a，b為非零實數，則a+b≤54. （1） ab≤116.（2） a2+b2≤1. 27. 1m+2n的最小值為3+22. （1） y=ax+1－2（a>0,a≠1）的圖像恒過定點A，點A在直線mx+ny+1=0上. （2） m>0，n>0. 綜合提高篇習題詳解 一、 問題求解 1. 【答案】C 【解析】a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c=2x2+5x+1，則有a=22a+b=5a+b+c=1，解得a=2b=1c=－2，故選C. 【快速得分法】f（－1）=g（－1），可得c=－2，故選C. 2. 【答案】C 【解析】（x+1）（x－1）（x4+x2+1）=（x2－1）（x4+x2+1）=x6－1. 【快速得分法】令f（x）=（x+1）（x－1）（x4+x2+1），則f（1）=f（－1）=0，隻有C符合要求. 3. 【答案】A 【解析】由f（a）=f（b），得lg a=lg b，設0 4. 【答案】C 【解析】原不等式可化為（x－1）2+（y－1）2≤1，且x，y為整數，（x－1）2≥0，（y－1）2≥0，所以有可能的結果是x－1=0y－1=0或x－1=±1y－1=0或x－1=0y－1=±1，解得x=1y=1或x=2y=1或x=0y=1或x=1y=2或x=1y=0，則x+y等於1或2或3，故選C. 5. 【答案】C 【解析】a2－b2+4a+2b+3=a2+4a+4－b2+2b－1=（a+2）2－（b－1）2=（a+b+1）（a－b+3），所以a－b+3可以整除a2－b2+4a+2b+3. 6. 【答案】C 【解析】令2x=3y=6z=k x=log2k，y=log3k，z=log6k，從而zx+zy=z1x+1y=log6k（logk2+logk3）=log6k·logk6=1. 7. 【答案】B 【解析】2x+5y－3=0，即2x+5y=3，故4x×32y=22x×25y=22x+5y=23=8. 【快速得分法】令x=－1，y=1，則有4x×32y=8. 8. 【答案】C 【解析】x3－3x2+4=x3－4x2+4x+x2－4x+4=x（x2－4x+4）+（x2－4x+4）=（x2－4x+4）（x+1）=（x+1）（x－2）2，所以x+1，（x－2）2都是x3-3x2+4的因式. 9. 【答案】C 【解析】因為－2≤x2－1≤2，所以－1≤x2≤3，即－3≤x≤3. 10. 【答案】C 【解析】由於y=f（3x－1）的定義域為1,3，所以3x－1∈2,8，所以y=f（x）的定義域為2,8. 11. 【答案】B 【解析】由已知得（a+1）2=5，即a2+2a－4=0，於是2a3+7a2－2a－12=2a3+4a2+3a2－2a－12=3a2+6a－12=0. 12. 【答案】E 【解析】由g（－1）=g（0）=g（2）=0，可設g（x）=ax（x+1）（x－2），由g（1）=－2a=4 a=－2，故g（x）=－2x（x+1）（x－2），所以g（3）=－6×4=－24. 13. 【答案】C 【解析】a=45-1=5+1，則有（a－1）2=5，即a2-2a-4=0，從而有a3-2a2-4a=a(a2-2a-4)=0. 14. 【答案】A 【解析】a2+b2+c2+42<4a+4b+12c （a－2）2+（b－2）2+（c－6）20 a>2或a<1，又a，b，c為自然數，則a=3，b=2，c=6，可得1a+1b+1c=1. 15. 【答案】D 【解析】將已知條件的兩邊分別取倒數，得a+bab=3b+cbc=4a+cac=5，即1a+1b=31b+1c=41a+1c=5，三式相加得1a+1b+1c=6，故abcab+ac+bc=16. 16. 【答案】A 【解析】三式相加，得x+y+z+1x+1y+1z=223； 三式相乘，得xyz+1xyz+x+y+z+1x+1y+1z=283. 兩式相減，得xyz+1xyz=2，則xyz=1. 17. 【答案】A 【解析】lg（a+b）=lg a+lg b=lg ab a+b=ab （a－1）（b－1）=1，則lg（a－1）+lg（b－1）=lg（a－1）（b－1）=lg 1=0. 18. 【答案】A 【解析】令x2+x=t，則（x2+x+1）（x2+x+2）－12=t2+3t－10=（t+5）（t－2），故有因式x2+x+5. 19. 【答案】A 【解析】n3+100=n3+1 000－900=（n+10）（n2－10n+100）－900，於是n+10|n3+100，則必須n+10|900，因此n最大為890. 20. 【答案】B 【解析】由x+y+z=5，可得x=5－y－z，將其代入xy+yz+xz=3中可得（5－y－z）y+yz+z（5－y－z）=3，即y2+（z－5）y+（z2－5z+3）=0.將y當作未知數，該方程有解等價於Δ≥0，即Δ=（z－5）2－4（z2－5z+3）=－3z2+10z+13=（z+1）（－3z+13）≥0，解得－1≤z≤133，故z的最大值是133. 二、 條件充分性判斷題 21. 【答案】C 【解析】顯然單獨不充分，考慮聯合.由條件（2）知，y=z－1z代入條件（1）中有x+zz－1=1，即x+z－1+1z－1 x+1+1z－1=1 x=11－z 1x=1－z，故z+1x=1. 22. 【答案】B 【解析】設x3－3px+2q=（x2+2ax+a2）（x+b），有 x3－3px+2q=x3+（2a+b）x2+（2ab+a2）x+a2b，即b+2a=0－3p=2ab+a22q=a2b，消去b，有p=a2q=－a3，隻有條件（2）充分. 23. 【答案】D 【解析】當0 24. 【答案】A 【解析】假設a=b≠c，原式可化為a2（b－c）+b2（c－a）=a2（a－c+c－a）=0，（1）充分；條件（2）顯然不充分. 25. 【答案】E 【解析】log4（x3－x－6）=12 x3－x－8=0，條件（1）x=2+1，代入（2+1）3－（2+1）－8=42－2≠0，不充分. 條件（2），x=2－1不滿足定義域，也不充分. 26. 【答案】C 【解析】（1）中，當a=2，b=132時顯然不充分；（2）中，當a=b=22時也不充分；聯合有（a+b）2=a2+2ab+b2≤1+2×116=98 a+b≤324<54，充分. 27. 【答案】C 【解析】條件（1），y=ax+1－2（a>0,a≠1）的圖像恒過定點A，可知A的坐標為（－1,－1），將A的坐標代入直線方程得m+n=1，故1m+2n=m+nm+2（m+n）n=3+nm+2mn，因條件（2）知顯然不充分，聯立條件（1） 和（2），利用均值不等式得：1m+2n=m+nm+2（m+n）n=3+nm+2mn≥3+2nm·2mn=3+22. 第四章方程與不等式 大綱考點：一元二次函數，一元二次方程（不等式），韋達定理，絕對值不等式，高次不等式.【命題剖析】這部分題量較少，分值約6分，重點是一元二次方程.此類方程主要從方程的解法、根的判別、韋達定理、根的分布以及一元二次方程的應用等角度出題考查.對於不等式，主要是不等式的解法為重點，包括一元二次不等式以及高次不等式、分式不等式、含絕對值的不等式. 第一節基本知識點 一、 方程、 方程的解 含有未知數的等式稱為方程.能使方程左、右兩端相等的未知數的值為方程的解.即方程為f（x）=0，若存在a，使得f（a）=0成立，則稱a為方程f（x）=0的解. 二、 方程的元和次 “元”是指方程中所含未知數的個數.“次”是指方程中未知數最高的指數. 三、 一元一次方程 含有一個未知數，且未知數的最高指數是1的方程，稱為一元一次方程，其一般式為：ax=b（a≠0），方程的解為x=ba. 四、 一元二次方程 隻含有一個未知數，且未知數的最高指數是二次的方程，稱為一元二次方程，其一般式為：ax2+bx+c=0（a≠0）. 令Δ=b2－4ac，方程的解將依Δ值的不同分為如下三種情況： 1. Δ>0時，方程有兩個不相等的實根，根的表達式為x1,x2=－b±Δ2a. 2. Δ=0時，方程有兩個相等的實根. 3. Δ<0，方程無實根. 由於Δ在判斷一元二次方程的解的三種情況時的重要作用，稱Δ=b2－4ac為一元二次方程的判別式. 五、 不等式的定義 用不等號連接的兩個（或兩個以上）解析式稱為不等式，使不等式成立的未知數的取值稱為不等式的解（不等號包括>，<，≥，≤，≠五種）. 六、 不等式的基本性質 1. 傳遞性：a>b，b>c a>c； 2. 同向相加性：a>bc>d a+c>b+d； 3. 同向皆正相乘性：a>b>0c>d>0 ac>bd； 4. 皆正倒數性：a>b>0 1b>1a>0； 5. 皆正乘（開）方性：a>b>0 an>bn>0. 七、 歸納拋物線、方程、不等式的關係判別式 Δ=b2－4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數 y=ax2+bx+c的圖像一元二次方程 ax2+bx+c=0的根有兩個相異的實根 x1,x2（x1 x1=x2=－b2a沒有實根ax2+bx+c>0（a>0） 的解集x|xx2x|x≠－b2aRax2+bx+c0） 的解集x|x1 八、 二元一次方程組 二元一次方程組的形式是a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0，有三種解的情況： 1. 如果a1a2≠b1b2，則方程組有唯一解； 2. 如果a1a2=b1b2=c1c2，則方程組有無窮多解； 3. 如果a1a2=b1b2≠c1c2，則方程組無解. 【評注】可以將二元一次方程組的情況看作兩條直線的位置關係，上述三種情況分別對應兩直線相交、重合、平行. 第二節考試題型彙總 【題型1】拋物線 思路點撥：二次函數的圖像，y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac－b24a. 1. 開口方向：由a決定，當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下； 2. 對稱軸：x=－b2a； 3. 頂點坐標：－b2a,4ac－b24a； 4. c為拋物線在y軸上的截距； 5. 最值：當a>0時，有最小值4ac－b24a，無最大值；當a<0時，有最大值4ac－b24a，無最小值.【例1】已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則a，b，c滿足（） A. a>0，b0 B. a>0，b>0，c<0 C. a0，c>0 D. a>0，b<0，c<0 E. a>0，b>0，c>0 【答案】D 【解析】函數圖像開口向上，所以a>0，對稱軸在橫軸正半軸，知ab<0，即b<0，又圖像在縱軸上截距為負，故c<0. 【例２】已知函數y=x2－4ax，當1≤x≤3時是單調遞增的函數，則a的取值範圍是（） A. －∞,12B. （－∞,1）C. 12，32D. 32，+∞E. 1，32 【答案】A 【解析】函數y=x2－4ax的單調遞增區間為［2a,+∞），當1≤x≤3時是單調遞增的函數，則有1,32a,+∞，可得a≤12. 【例３】若A－254,y1，B－54,y2，C14,y3為拋物線y=x2+4x－5上的三點，則（） A. y1 D. y1 【答案】B 【解析】拋物線y=x2+4x－5開口向上，因為對稱軸為x=－2，比較三點到對稱軸的距離有－54+2<14+2<－254+2，所以y2 【例４】設－1≤x≤1，函數f（x）=x2+ax+3，當0 A. f（x）的最大值為4+a，最小值是3－a24 B. f（x）的最大值為4+a，最小值是4－a C. f（x）的最大值為4－a，最小值是4+a D. f（x）的最大值為4+a，最小值是3+5a24 E. f（x）的最大值為3+5a24，最小值是4+a 【答案】A 【解析】f（x）=x2+ax+3=x+a22+3－a24，0 【例５】函數f（x）=x2－2x+3在閉區間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值範圍是（） A. 12，2B. 0,2C. 1,2D. ［1，+∞）E. 12，+∞ 【答案】C 【解析】函數f（x）=x2－2x+3在x=1時，取得最小值2，又f（0）=3，根據對稱性知m∈1,2. 【例６】已知函數f(x)=x2-2ax+2，當x∈[-1,+∞）時，f(x)≥a恒成立，則a的取值範圍是（） A. -2 【答案】D 【解析】當x∈[-1，+∞）時，f(x)≥a恒成立，即a小於等於函數在[－1，+∞）上的最小值，因為函數f（x）=x2－2ax+2開口向上，對稱軸為x=a，所以有： 當a≤－1時，f（x）有最小值f（－1）=2a+3，再由a≤2a+3，所以－3≤a≤－1； 當a>－1時，f（x）有最小值f（a）=－a2+2，再由a≤－a2+2，所以－1 綜上可知a的取值範圍是－3≤a≤1. 【題型2】一元二次方程的求解方法 常用求解方法有兩種：求ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根： 1. 十字相乘法 2. 求根公式法： 令Δ=b2－4ac，方程的解將依Δ值的不同分為如下三種情況： （1） 當Δ>0時，方程有兩個不相等的實根，根的表達式為：x1,x2=－b±Δ2a； （2） 當Δ=0時，方程有兩個相等的實根，根的表達式為：x1,x2=－b2a； （3） 當Δ<0時，方程無實根.【例1】當m為（）時，（m－5）xm2－6m+7+（m3+2m2+m）x+1=0為一元二次方程. A. 1B. 2C. 0D. －1E. －2 【答案】A 【解析】原式為一元二次方程的條件是m－5≠0m2－6m+7=2 m=1. 【例２】已知m，n是有理數，則m+n=3. （1） 方程x2+mx+n=0有一個根是5－2. （2） 方程x2+mx+n=0有一個根是5+2. 【答案】A 【解析】由求根公式知，當一根為5－2時，另一根必為－2－5，由韋達定理得n=（5－2）（－2－5）=－1，m=－（5－2）+（－2－5）=4，故m+n=3，條件（1）充分；同理可得條件（2）不充分. 【點評】此題可以由求根公式結合韋達定理求出m，n的值，從而進行求解.若二次方程ax2+bx+c=0有一個根是p+qm，則必有一根p－qm（其中p，q，m為有理數）. 【題型3】根與係數的關係（韋達定理） 思路點撥：若x1,x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，則 x1+x2=－bax1x2=cax1－x2=Δa 利用韋達定理可以求出關於兩個根的對稱輪換式的數值 （1） 1x1+1x2=x1+x2x1x2=－bc（與a無關）. （2） x21+x22=（x1+x2）2－2x1·x2. （3） 1x21+1x22=（x1+x2）2－2x1x2（x1x2）2. （4） x21－x22=（x1+x2）（x1－x2）. 【例1】若方程3x2－8x+a=0的兩實根為x1，x2，若1x1，1x2的算數平均值為2，則a的值為（） A. －2B. －1C. 1D. 12E. 2 【答案】E 【解析】x1，x2是方程3x2－8x+a=0的兩根，則有1x1+1x2=x1+x2x1·x2=83a3= 8a=4，解得：a=2. 【例２】方程x2－2x+c=0的兩根之差的平方等於16，則c值為（） A. 3B. －3C. 6D. 0E. 2 【答案】B 【解析】方程x2－2x+c=0的兩根之差的平方等於（Δ）2=Δ=4－4c=16，解得c=－3. 【例３】關於x的方程x2－6x+m=0的兩根為α，β，且3α+2β=20，則m為（） A. 16B. －16C. 14D. －14E. 18 【答案】B 【解析】α,β為x2－6x+m=0的兩根，3α+2β=2（α+β）+α=12+α=20，解得α=8，代入方程得64－48+m=0，解得m=－16. 【例４】若x1，x2為方程x2-3x+1=0的兩個實數根，則x21+3x2=（） A. 8B. 9C. 10D. 11E. 12 【答案】A 【解析】x1，x2為方程x2－3x+1=0的兩個實根，則x21+3x2=3x1+3x2－1=3（x1+x2）－1=9－1=8. 【題型4】三次韋達定理 思路點撥：若x1,x2,x3是方程ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）的三個根，則 x1+x2+x3=－bax1x2+x1x3+x2x3=cax1·x2·x3=－da【例1】方程x3－2x2－2x+1=0的根為x1=－1，x2，x3，則x2－x3=（） A. 1B. 2C. 3D. 5E. 7 【答案】D 【解析】由韋達定理知，－1+x2+x3=2－x2·x3=－1 x2+x3=3x2·x3=1，而1x2+1x3=x2－x3=（x2+x3）2－4x2·x3=5. 【例２】若三次方程ax3+bx2+cx+d=0的三個不同實根x1，x2，x3，滿足x1+x2+x3=0，x1·x2·x3=0，則下列不等式中恒成立的是（） A. ac=0B. ac0D. a+c0 【答案】B 【解析】x1+x2+x3=0 b=0，x1·x2·x3=0 d=0，則原方程可化為ax3+cx=0有一個根是x=0，另兩個根x2=－ca>0，故ac<0. 【題型5】分式方程 思路點撥：1.解分式方程采用以下步驟： （1） 通分：將原分式方程化為標準形式：f（x）g（x）=0. （2） 解方程：使f（x）=0，解出x=x0. （3） 驗根：將x=x0代入g（x），若g（x0）=0，則x=x0為增根，舍去. 2. 若f（x）g（x）=0無實根，則f（x）=0無實根，或者f（x）=0有實根但均為增根.【例1】方程ax2－1+1x+1+1x－1=0有實根. （1） 實數a≠2.（2） 實數a≠－2. 【答案】C 【解析】由題意，ax2－1+1x+1+1x－1=0，通分得a+2xx2－1=0，即x=－a2x≠±1，所以a≠±2，故條件（1）和（2）聯立充分. 【例２】關於x的方程1x－2+3=1－x2－x與x+1x－a=2－3a－x有相同的增根. （1） a=2.（2） a=－2. 【答案】D 【解析】對於分式方程來說，令分母等於零的根為增根，可知x=2是1x－2+3=1－x2－x的增根. 由條件（1），x+1x－a=2－3a－x化為x+1x－2=2－32－x，通分得x+1x－2=2x－1x－2，解得x=2，是此方程的增根，條件（1）充分. 由條件（2），將a=－2代入方程x+1x－a=2－3a－x，同理可得條件（2）也充分. 【例３】關於x的方程1x2－x+k－5x2+x=k－1x2－1無解，那麼k=（） A. 3或6B. 6或9C. 3或9D. 3，6或9E. 1或3 【答案】D 【解析】通分得x+1+（k－5）（x－1）－x（k－1）x（x+1）（x－1）=0， 去分母得x+1+（k－5）（x－1）－x（k－1）=0，解得x=6－k3. 原方程的增根可能是0，1，－1，故有： 當x=0時，6－k3=0，則k=6； 當x=1時，6－k3=1，則k=3； 當x=－1時，6－k3=－1，則k=9.所以當k=3,6,9時方程無解. 【題型6】指數、對數方程 思路點撥：指數和對數方程的一般解題步驟： （1） 化同底； （2） 作換元（注意參數取值範圍）； （3） 解方程.【例1】關於x的方程22x+1－9·2x+4=0的解為（） A. 1B. 2C. －1D. －1或2E. 0 【答案】D 【解析】令t=2x>0，原方程可化為2t2－9t+4=0，解得t=4或t=12，即2x=4或2x=12，所以x=2或x=－1. 【快速得分法】取x=2滿足方程，再取x=－1，也滿足，故選D. 【例２】方程log4（3－x）+log14（3+x）=log4（1－x）+log14（2x+1）的根為（） A. 0B. 3C. 7D. 0或7E. 0或3 【答案】A 【解析】原方程可化為log4（3－x）－log4（3+x）=log4（1－x）－log4（2x+1），可得（3－x）（2x+1）=（1－x）（3+x），解得x=0或x=7（舍去），故選A. 【快速得分法】由定義域知x<1，故選A. 【例３】方程4－x－1－4×2－x－1=a有實根，則a的取值範圍為（） A. a≤3或a≥0B. a≤－3或a>0C. －3≤a<0 D. －3≤a≤0E. －3 【答案】C 【解析】令t=2－x－1，由於－x－1≤0，所以0 【題型7】不等式基本性質 不等式的基本性質： 1. 傳遞性：a>b，b>c a>c； 2. 同向相加性：a>bc>d a+c>b+d； 3. 倒數性：a>bab>0 1b>1a>0； 4. a>b，c>0 ac>bc，即不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號方向不變； 5. a>b，c<0 ac A. m－9－nC. 1n>1mD. mn>1E. m2>n2 【答案】C 【解析】由不等式性質知，m 【快速得分法】取m=－2，n=－1，可得選C. 【例２】不等式2x+53>x－5x+32 A. －6,－112B. －6,－112C. －6,－112 D. －6,－112E. ［1，+∞） 【答案】C 【解析】解不等式組得3－2a 【題型8】方程與不等式的關係 思路點撥：當a>0，Δ>0時，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等實根（設為x1,x2，且x1 A. 2B. 1C. 12D. 14E. 22 【答案】C 【解析】由條件知x=2是方程（ax－1）（x－1）=0的根，代入方程解得a=12. 【例２】不等式ax2+bx-2>0的解集是(1,2)，則a2+b2的值等於（） A. 6B. 9C. 10D. 12E. 16 【答案】C 【解析】由條件知，x=1,x=2都是方程ax2+bx－2=0的根，代入方程可得：a+b－2=04a+2b－2=0，解得a=－1b=3，所以a2+b2=10. 【題型9】解集為空集或全體實數 思路點撥：對於一元二次不等式ax2+bx+c0）解集為空集或全體實數的充要條件是a0）Δ<0. 【注意】若係數a中含有參數，不要忘記討論係數a為零的情況.【例1】關於x的不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，m的取值範圍是（） A. (0,1)B. (0,2)C. (-2,1)D. [0,1]E. [0,1) 【答案】E 【解析】m=0時，不等式化為8≥0恒成立； m≠0時，不等式mx2+6mx+m+8≥0在R上恒成立，隻需m>0Δ=36m2－4m（m+8）<0，解得：0 【例２】已知（a2－1）x2－（a－1）x－1<0的解集為R，則實數a的取值範圍中包含（）個整數. A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 【答案】B 【解析】若a2－1=0，即a=1或a=－1時，原不等式的解集分別為R和x|x<12，若a2－1≠0，即a≠±1時，要使原不等式的解集為R，必須a2－1<0Δ<0 －35 【題型10】分式不等式 思路點撥：遇到分式不等式，分三步求解： （1） 移項； （2） 通分； （3） 商式轉化為乘積. 【注意】分子或分母中為恒正（負）項，可利用不等式基本性質求解.【例1】b1的解集是（） A. x|xbC. x|x>a D. x|x 【答案】A 【解析】原不等式可變形為x－ax－b－1>0，即b－ax－b>0，因為b 【例２】設0 A. 0 D. 0 【答案】A 【解析】0 【例３】分式不等式x+12－x≥3的解集中包含（）個整數. A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4 【答案】A 【解析】x+12－x≥3 x+12－x－3≥0 4x－52－x≥0 （4x－5）（2－x）≥0，解得54≤x≤2，因為2－x≠0，所以解集為54≤x<2，故選A. 【例４】不等式9x－5x2－5x+6≥－2的解集是（） A. x5B. －2 D. x3E. 2 【答案】D 【解析】不等式可變為9x－5+2（x2－5x+6）x2－5x+6=2x2－x+7x2－5x+6≥0，因為2x2－x+7恒大於0，所以有x2－5x+6>0，解得：x3. 【題型11】指數、對數不等式 思路點撥：遇到指數、對數不等式，分兩步求解： （1） 化為同底函數； （2） 利用函數的單調性求解. 【注意】要保證函數有意義.【例1】指數不等式（0.2）x2－3x－2>0.04的解集為（） A. 6 D. －1 【答案】D 【解析】（0.2）x2－3x－2>0.04→（0.2）x2－3x－2>（0.2）2→x2－3x－2<2，解得：－1 【例２】不等式log2（1+x）≤log4（1－x）的解集是（） A. （－1,2]B. 0,2C. －1,0D. （－1,0]E. －3,0 【答案】D 【解析】log2（1+x）=log4（1+x）2≤log4（1－x） （1+x）2≤1－x，解得－3≤x≤0，又因為1+x>0，且1－x>0，故不等式的解為－1 【快速得分法】由函數定義域知，選D. 【題型12】高次穿根法 思路點撥：高次穿根法用於解一元高次不等式非常方便，其解題步驟為： （1） 分解因式（找根）； （2） 降冪排列； （3） 穿奇不穿偶（注意恒正或恒負的項）； （4） 右上方開始穿； （5） 從左到右寫出解集.【例1】不等式(2x+1)(x－1)(x－3)>0的解集中含有（）個整數. A. 1B. 2C. 3D. 4E. 無數 【答案】E 【解析】因式(2x+1)、(x－1)、(x－3)的根分別是－12、1、3.在數軸上把它們標出 所以不等式(2x+1)(x－1)(x－3)>0的解集為－12,1∪(3,+∞). 【例２】分式不等式2x2+x+14x2+6x+8≤1的解包含（）個整數. A. 2B. 3C. 4D. 5E. 無數 【答案】B 【解析】遇到高次方可分解因式的不等式問題，一般方法是等價變形來求解，此方法比較麻煩，並且容易出錯，我們可以采取簡捷的穿線方法求解此題目. 原不等式可化簡為2x2+x+14x2+6x+8－1≤0 x2－5x+6x2+6x+8≤0 （x－2）（x－3）（x+2）（x+4）≤0 （x+4）（x+2）（x－2）（x－3）≤0（x+4）（x+2）≠0，解得：－4 【題型13】含絕對值的方程及不等式 考試類型有四種： 1. 形如f(x)a(a∈R)型不等式：定義法去絕對值； 2. x+a+x+b>p：幾何意義； 3. f（x）>ax+b：分區間，去絕對值； 4. 形如f(x) A. (－1,2)B. (－1,1)C. (－2,1)D. (－2,2)E. （－2,－1） 【答案】A 【解析】因為 x2－x<2，所以－2 【快速得分法】令x=1，滿足不等式，排除B，C，E，再令x=－1，不滿足不等式，故選A. 【例２】不等式2x－1－x－2<0的解集中含有（）個整數. A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4 【答案】B 【解析】2x－1－x－2<0 2x－1 2x－12 ［(2x－1)+(x－2)］［(2x－1)－(x－2)］<0 －1 【例３】不等式x2－x－5>2x－1的解集中包含（）個10以內的質數. A. 0B. 1C. 2D. 3E. 無數 【答案】C 【解析】當x≥12時，原不等式變形為x2－x－5>2x－1，即 x2－3x－4>0 x>4因為x≥12； 當x1－2x，即 x2+x－6>0 x<－3因為x<12. 綜上，原不等式的解為x4.故包含兩個10以內的質數5和7. 【快速得分法】將10以內的質數代入驗證隻有5和7滿足，選C. 【題型14】無理方程、不等式 思路點撥：被開方式中含有未知數的方程是無理方程，無理方程的一般解法是把方程有理化，轉化為有理方程求解. （1） 移項平方：將根號移向一邊，其餘均在另一邊，平方去根號轉成整式方程； （2） 解整式方程； （3） 代回原方程驗證，滿足定義域即可，反之舍掉.【例1】無理方程x+3－x=1的所有實根之和為（） A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4 【答案】B 【解析】移項得到x+3=x+1，再兩邊平方得x+3=x+1+2x，即x=1 x=1，經檢驗x=1滿足函數定義域，是方程的根. 【例２】2x+1>x+1－1的解集為（） A. x≥0B. x≥12C. x≥－12D. x>2E. x≥－2 【答案】C 【解析】要使不等式有意義，必須2x+1≥0x+1≥0 x≥－12x≥－1 x≥－12. 原不等式可變形為2x+1+1>x+1，兩邊平方化簡有22x+1>－（x+1），因為x+1≥0，所以2x+1≥0，即x≥－12，所以原不等式的解集為x|x≥－12. 【題型15】二次方程根的分布特征討論 思路點撥：方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情況有以下幾種： （1） 根的個數：取決於Δ，Δ>0，有兩個不相等實根Δ=0，有兩個相等實根Δ<0，沒有實根 （2） 正負根問題：韋達定理+Δ來求解（異號根不需判斷Δ） （3） 根的分布區間：畫出題幹條件中的圖像，然後根據區間討論端點函數值與零的關係，列出不等式求解，采用圖像分析法，通常隱含了Δ與零的關係. （4） 有理根：根為有理根，則Δ為完全平方數. （5） 整數根：因式分解法.【例1】已知二次函數f(x)=ax2+bx+c，則f（x）=0有兩個不同實根. （1） a+c=0.（2） a+b+c=0. 【答案】A 【解析】f（x）=0有兩個不同實根，隻要Δ=b2－4ac>0. 條件（1）中，a+c=0→ac0，充分；令a=c=1，b=－2滿足a+b+c=0，此時f（x）=0有兩個相同實根，故（2）不充分. 【例２】方程x2+bx+2=0有兩個負根，則實數b的取值範圍是（） A. 22,+∞B. 22，8C. -∞，22D. 0，22E. [22，+∞） 【答案】E 【解析】方程x2+bx+2=0有兩個負根，滿足x1+x2=－b<0Δ=b2－8≥0，解得x≥22. 【快速得分法】令b=1，方程無解，排除A，B，再令b=3，方程有兩負根為－1和－2，故選E. 【例３】關於x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩實根，一個小於1，另一個大於1，則實數k的取值範圍為（） A. k>0B. k>2C. k>0或k<-4D. k<－4 E. k≤0 【答案】C 【解析】設f（x）=2kx2－2x－3k－2，根據題目得：kf（1）0或k<-4. 【例４】關於x的方程kx2－（k－1）x+1=0有有理根，則整數k的值是（） A. 1B. 2C. 4D. 6E. 0或6 【答案】E 【解析】當k=0時，x=－1，方程有有理根. 當k≠0時，方程有有理根，則Δ=（k－1）2－4k=（k－3）2－8必為完全平方數，解得k=6或k=0（舍去），綜上，整數k的值為0或6. 【快速得分法】k=6時，方程的根為12和13，再令k=0，得x=－1，選E. 【例５】方程x2－（a+8）x+8a－1=0有兩個整數根，則整數a有（）個取值. A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 【答案】A 【解析】原方程變為（x－a）（x－8）=1，則x－a=1x－8=1或x－a=－1x－8=－1，解得x=9或7，a=8，故選A. 第三節基礎精練篇 一、 問題求解 1. 拋物線y=ax2+bx+c的頂點為(4,-11)，且與x軸的兩個交點的橫坐標為一正一負.則a，b，c中為正數的是（） A. 隻有aB. 隻有bC. 隻有cD. a和bE. 都不是 2. 已知二次函數y=x2+2x+a（0≤x≤1）的最大值是3，那麼a的值為（） A. 0B. 1C. 2D. －2E. －1 3. 對於任意實數x，不等式kx2-kx-1<0恒成立，k的取值範圍為（） A. －4≤k≤0B. -4 D. -4 4. 已知－2x2+5x+c≥0的解集是－12≤x≤3，則c為（） A. 3 B. 13C. －3D. －13E. 2 5. 已知t2-3t-18≤0，則|t+4|+|t+6|=（） A. 2 B. 2t-2C. 10D. 2t+2E. 2t+10 6. 若x=1在不等式k2x2+kx-2<0的解集內，則k的取值範圍是（） A. (0,1)B. (0,2)C. (-2,1)D. （0,2］E. (-2,0) 7. 已知方程x2+ax+b=0的兩實根之比為3∶4，判別式Δ=2，則兩根的平方和為（） A. 60B. 50C. 45D. 40E. 35 8. 設a2+1=3a，b2+1=3b，且a≠b，則代數式1a2+1b2的值為（） A. 5B. 7C. 9D. 11E. 12 9. a，b是方程x2+x-2 009=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為（） A. 2006B. 2007C. 2008D. 2009E. 2010 10. 已知m，n是方程x2-3x+1=0的兩個實根，則2m2+4n2-6n=（） A. 4B. 8C. 12D. 15E. 17 11. 若關於x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的兩個實數根x1，x2,且x1·x2>x1+x2-4，則實數m的取值範圍是（） A. m>-53B. m≤12C. m<-53D. -53 12. 已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的兩實根的平方和等於11，k的取值是（） A. 3B. －3C. 1D. －3或1E. 3或1 13. 若關於x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有兩個實數根，且這兩個根互為倒數，那麼m的值為（） A. 1B. ±1C. -12D. 0E. 以上都不對 14. 一元二次方程x2－2x+k=0有兩個相等的實數根，則k的值為（） A. 1B. －1C. 2D. －2E. 3 15. α，β為方程2x2－5x－1=0的兩個根，則2α2+3αβ+5β的值為（） A. －13B. 12C. 14D. 15E. 13 16. 若x1，x2是方程x2－2mx+m2－m－1=0的兩個根，且x1+x2=1－x1·x2，則m的值為（） A. －2B. 1C. 2D. －1E. 1或－2 17. 方程（x2+x－1）x+4=1的所有整數解的個數是（） A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 18. 關於x的方程lg（x2+11x+8）－lg（x+1）=1的解為（） A. 1B. 2C. 3D. 3或－2E. 1或－2 19. 不等式x2－ax+b<0的解集是x|－1 A. x≠3B. x≠2C. x≠1D. x∈RE. x≠－1 20. 若分式2x2+2kx+3x2+x+2的值恒大於1，那麼實數k的取值範圍中包含（）個整數. A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4 21. 不等式3x+1+2·32－x－29>0的解集是（） A. x2B. x2C. x12 D. －1 22. 關於x的方程（m－2）x2－（3m+6）x+6m=0有兩個異號根，m的取值範圍是（） A. －25≤m<0B. －25≤m<1C. －25≤m<2 D. 25≤m<2E. 0 23. 已知集合A=x|x－1≤a，B=x|x－3>4，且A∩B=，則a的取值範圍是（） A. （0,2］B. 0,2C. －2,2D. （－∞,2］E. （－∞,2） 24. 已知方程3x2+5x+1=0的兩根為α和β，則βα+αβ=（） A. －533B. 533C. 35D. －35E. －53 25. 已知二次方程x2－2ax+10x+2a2－4a－2=0有實根，求其兩根之積的最小值是（） A. －4B. －3C. －2D. －1E. －6 二、 充分性判斷題 26. 方程x2+ax+2=0與x2－2x－a=0有一公共實數解. （1） a=3.（2） a=－2. 27. 4－12x+9x2－x2－2x+1=4x－3. （1） 12≤x<34.（2） 34≤x<1. 28. 關於x的一元二次方程x2+4x+m－1=0，則m=m. （1） α，β為方程的兩實根，α－β=22. （2） α，β為方程的兩實根，α2+αβ+β2=1. 29. 方程x2－2mx+m2－4=0有兩個不相等的正根. （1） m>4.（2） m>3. 30. 能確定實數a，b滿足ab>0. （1） a+b>a.（2） a+b 31. 拋物線y=x2+（a+2）x+2a與x軸相切. （1） a>0.（2） a2+a－6=0. 32. 直線y=ax+b與拋物線y=x2有兩個交點. （1） a2>4b.（2） b>0. 基礎精練習題詳解 一、 問題求解 1. 【答案】A 【解析】由頂點為（4，-11），拋物線交x軸於兩點，知a>0.設拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1,x2，即x1,x2為方程ax2+bx+c=0的兩個根，由題設x1·x2<0知ca<0，所以c0，故b<0. 2. 【答案】A 【解析】設函數y=f（x）=x2+2x+a，其對稱軸為x=－1，故在0,1上最大值為f（1）=3+a=3 a=0. 3. 【答案】E 【解析】不等式kx2-kx-1<0恒成立，則知函數y=kx2-kx-1開口向下，且與x軸無交點，可得：k≤0，若k=0，有-1<0，顯然恒成立，若k<0，則k2+4k<0，解得：-4 4. 【答案】A 【解析】由－2x2+5x+c≥0的解集是－12≤x≤3，得到方程－2x2+5x+c=0的兩根為－12和3，根據韋達定理x1x2=c－2=－32 c=3. 5. 【答案】E 【解析】t2-3t-18≤0，解得-3≤t≤6，由絕對值的幾何意義，可得|t+4|+|t+6|=2t+10. 6. 【答案】C 【解析】x=1滿足不等式k2x2+kx－2<0，將x=1代入不等式得：k2+k－2<0，解得：－2 7. 【答案】B 【解析】設方程x2+ax+b=0的兩實根為x1=3k和x2=4k，則Δ=49k2－48k2=k2=2 k=±2，x21+x22=9k2+16k2=25k2=50. 8. 【答案】B 【解析】由題意得：a,b為方程x2－3x+1=0的兩根，則1a2+1b2=a2+b2（ab）2=（a+b）2（ab）2－2ab=9－2=7. 9. 【答案】C 【解析】a,b是方程x2+x-2 009=0的兩個根，則a2+a=2 009，且a+b=－1，所以a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2 009－1=2 008. 10. 【答案】C 【解析】2m2+4n2-6n=2(m2+n2)+2(n2-3n)=2(m+n)2-4mn-2=12. 11. 【答案】A 【解析】由題意知，3m-12>-3，得出：m>-53. 12. 【答案】C 【解析】設兩根為x1,x2，則x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2k+1)2-2k2+4=11，解得k=1或k=－3，又因為方程有兩實根，故Δ=（2k+1）2－4（k2－2）=4k+9>0 k>－94，綜上得k=1. 13. 【答案】C 【解析】設兩個根為a,1a互為倒數，則a·1a=4m2=1，即m=±12，又a+1a=2(1-m)≥2a·1a=2(a>0)或-a+1-a=2(m-1)≥2=2(a<0)，即m≤0或m≥2，故m=-12. 14. 【答案】A 【解析】方程x2－2x+k=0有兩個相等的實根，隻需Δ=b2－4ac=4－4k=0 k=1，即可. 15. 【答案】B 【解析】α、β為方程2x2－5x－1=0的兩個實數根，則α+β=52，αβ=－12，且α滿足方程2x2－5x－1=0，即2α2－5α－1=0，則有2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1=252－32+1=12. 16. 【答案】E 【解析】x1,x2是方程x2－2mx+m2－m－1=0的兩個根，則有x1+x2=2mx1·x2=m2－m－1，x1+x2=1－x1·x2，即2m=－m2+m+2，解得m=1或m=－2. 17. 【答案】D 【解析】原方程有整數解的條件有且隻有以下三種： （1） x+4=0而x2+x－1≠0，此時x=－4是方程的一個整數解； （2） x2+x－1=1，解之得x=－2或x=1，即原方程有兩個整數解； （3） x2+x－1=－1，而x+4是偶數，解得x=0. 綜上可知，方程的整數解共有4個. 18. 【答案】A 【解析】lg（x2+11x+8）=lg（x+1）+lg 10=lg 10（x+1），則x2+11x+8=10（x+1），即x2+x－2=0，解得x=1或x=－2，經檢驗x=－2是增根（舍去），所以方程的解為x=1. 19. 【答案】C 【解析】依題意，x2－ax+b=0的兩根為x1=－1和x2=2. 由－1+2=a,（－1）×2=b，得a=1,b=－2，則不等式x2+bx－a>0，即x2－2x+1>0，即（x－1）2>0，解得x≠1. 20. 【答案】C 【解析】原式中分母恒大於0，所以等價於2x2+2kx+3>x2+x+2，即保證x2+（2k－1）x+1>0，又可知Δ=（2k－1）2－4<0，解得－12 21. 【答案】B 【解析】3·3x+183x－29>0，即3·（3x）2－29·3x+18>0.令t=3x，則3t2－29t+18>0，解得t9.所以3x9，所以x2. 22. 【答案】E 【解析】隻需x1·x2=6mm－2<0即可，得0 23. 【答案】D 【解析】當a<0時，顯然成立；當a≥0時，A=1－a,1+a，B=（－∞,－1）∪（7,+∞），由於A∩B=，因此有1－a≥－1且1+a≤7，解得a≤2. 24. 【答案】B 【解析】βα+αβ=βα+αβ2=（α+β）2αβ=－53213=533. 【快速得分法】此題可以采用排除法，首先排除A，D，E，其次，根據t+1t≥2（t>0），可排除C，選B. 25. 【答案】A 【解析】方程有實根，則Δ=（－2a+10）2－4（2a2－4a－2）=4（－a2－6a+27）≥0即a2+6a－27≤0，解得－9≤a≤3.根據韋達定理得，x1x2=2a2－4a－2在a∈－9,3上，當a=1時取得最小值－4. 二、 充分性判斷題 26. 【答案】A 【解析】條件（1），當a=3時，原方程分別為x2+3x+2=0與x2－2x－3=0，有一公共根x=－1，充分；條件（2），當a=－2時，原方程分別為x2－2x+2=0與x2－2x+2=0，兩個方程一樣，並且方程沒有實數解，不充分. 27. 【答案】B 【解析】4－12x+9x2－x2－2x+1=3x－2－x－1=4x－3，得到23≤x≤1時成立，所以（2）的範圍充分. 28. 【答案】A 【解析】α，β為方程x2+4x+m－1=0的兩根，則α－β=16－4（m－1）=22 m=3，故（1）充分； 條件（2）中，α2+αβ+β2=（α+β）2－αβ=16－m+1=1 m=16，此時判別式Δ=16－60<0，故此時m不存在. 29. 【答案】D 【解析】由題幹知Δ=4m2－4（m2－4）>0x1+x2=2m>0x1x2=m2－4>0，解得m>2，故兩個條件均充分. 30. 【答案】E 【解析】取特值，令a=－1，b=3，可判斷條件（1），（2）均不充分，並且聯立也不充分. 31. 【答案】C 【解析】拋物線y=x2+（a+2）x+2a與x軸相切，說明頂點在x軸上，Δ=（a+2）2－4×2a=0 a=2，條件（1）和條件（2）單獨均不充分，聯立起來a=2充分. 32. 【答案】B 【解析】根據題幹聯立直線和拋物線，可得ax+b=x2 x2－ax－b=0，因為有兩個交點，關於x的一元二次方程，判別式Δ=a2+4b>0 a2>－4b. 條件（1） a2>4b不充分； 條件（2） b>0，則－4b－4b充分. 第四節綜合提高篇 一、 問題求解 1. 已知方程x3+2x2－5x－6=0的根為x1=－1，x2，x3，則1x2+1x3=（） A. 16B. 15C. 14D. 13E. 1 2. 設x為正整數，則函數y=x2-x+1x的最小值是（） A. 0B. 1C. 2D. 3E. 4 3. 方程x2－（a+8）x+8a－1=0有兩個整數根，則整數a有（）個取值. A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 4. 函數y=2-4x-x2 (0≤x≤4)的最大值是（） A. 1B. 2C. 3D. 4E. 0 5. 方程x2-2 006|x|=2 007所有實數根的和等於（） A. 1B. 2C. 3D. 4E. 0 6. 不等式（1+x）（1－x）>0的解集為（） A. x<1且x≠－1B. x<1且x≠－2C. x<1且x≠－3 D. x1 7. 已知a1，a2，a3，a4，a5是滿足條件a1+a2+a3+a4+a5=9的五個不同的整數，若b是關於x的方程(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)(x-a5)=2 009的整數根，則b的值為（） A. 10B. 50C. 9D. 18E. 32 8. 如果方程|x|=ax+1有一個負根，那麼a的取值範圍是（） A. a-1D. a<-1E. a=-1 9. 若實數a，b滿足12a-ab+b2+2=0，則a的取值範圍是（） A. a≤-2B. a≥4C. a≤-2或a≥4D. -2≤a≤4E. a>4 10. 一個三角形的兩邊長是方程2x2-kx+2=0的兩根，第三邊長為2，求k的取值範圍是（） A. k>4B. k>0C. k<-4D. -42 11. 不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的整數解的個數是（） A. 1B. 2C. 3D. 4E. 0 12. 已知x≥52，則f（x）=x2－4x+52x－4有（） A. 最大值54B. 最小值54C. 最大值1D. 最小值1E. 無最值 13. 若關於x的方程－2x+m2 017－x+4 020=0存在整數解，則正整數m的所有取值的和為（） A. 3B. 12C. 15D. 25E. 9 14. 已知a，b是方程x2－4x+m=0的兩個根，b，c是方程x2－8x+5m=0的兩個根，則m=（） A. 0或3B. 1或5C. 0或5D. 1或2E. 2或5 15. 若不等式ax2+bx+c<0的解集是－2 A. x13B. x1C. x1 D. x13E. 1 16. 已知方程x2－4x+a=0有兩個實根，其中一根小於3，另一根大於3，則a的取值範圍是（） A. a≤3B. a>3C. a<3D. 0 17. 已知函數y=ax+1－3（a>0且a≠1）的圖像恒過定點A，且點A在直線mx+ny+1=0上，若m>0,n>0，則1m+2n的最小值為（） A. 7B. 8C. 9D. 10E. 11 18. 關於x的二次方程mx2－（m－1）x+m－5=0有兩個實根α和β，且滿足－1<α<0和0<β<1，則m的取值範圍是（） A. 3 E. m>5或m<4 二、 充分性判斷題 19. 一元二次方程ax2+bx+c=0的兩實根滿足x1x2<0. （1） a+b+c=0且a （2） a+b+c=0且b 20. 不等式1x+1y+1z>0成立. （1） 實數x，y，z滿足x+y+z=0. （2） 實數x，y，z滿足xyz<0. 21. 可以確定x2y+xy2的值. （1） （logmx）2+2logmxlogmy+（logmy）2=12logm2logm4. （2） x3－x2+2x－2=0. 22. 不等式1a+1b+1c≥9成立. （1） a，b，c均為正數.（2） a+b+c=1. 23. 當x≥1時，不等式x3－2x+1≥m恒成立. （1） 0 24. 設a>0且a≠1，則不等式ax－1+ax+1>2恒成立. （1） a>1且x>0.（2） 0 25. 設函數f（x）=x2+ax，則f（x）的最小值與f（f（x））的最小值相等. （1） a≥2.（2） a≤0. 26. α2+β2的最小值是12. （1） α與β是方程x2－2ax+（a+1）2=0的兩個實數根. （2） αβ=14. 27. 關於x的方程a2x2－（3a2－8a）x+2a2－13a+15=0至少有一個整數根. （1） a=3.（2） a=5. 28. 若xy=－6，那麼xy（x+y）的值可以唯一確定. （1） x－y=5.（2） xy2=18. 綜合提高習題詳解 一、 問題求解 1. 【答案】A 【解析】因為x1，x2，x3是方程x3+2x2－5x－6=0的三個根，則有 x1+x2+x3=－bax1·x2·x3=－da，因為x1=－1，所以x2+x3=－1x2·x3=－6， 所以1x2+1x3=x2+x3x2·x3=16. 【點評】此題亦可用因式定理進行降次求解. 2. 【答案】B 【解析】y=x2-x+1x=(x-1)2+x-1x2+1，因為(x-1)2≥0，x-1x2≥0故y≥1，又x=1時，y=1，所以函數有最小值為1. 3. 【答案】A 【解析】原方程變為（x－a）（x－8）=1，則x－a=1x－8=1或x－a=－1x－8=－1，解得a=8. 4. 【答案】B 【解析】要使函數取得最大值，隻需4x-x2取最小值，即x=2時，函數取得最大值為2. 5. 【答案】E 【解析】對方程x2-2 006|x|=2 007，若a是方程的根，則－a也是方程的根，所以方程所有根之和為0. 6. 【答案】A 【解析】原不等式 1+x>01－x>0或1+x<01－x－1x<1或x1 x>－1－1 7. 【答案】A 【解析】（b－a1）（b－a2）（b－a3）（b－a4）（b－a5）=2 009，且a1，a2，a3，a4，a5是五個不同的整數，故b－a1，b－a2，b－a3，b－a4，b－a5也是五個不同整數.又2 009=1×（－1）×7×（－7）×41，所以b－a1+b－a2+b－a3+b－a4+b－a5=41.由a1+a2+a3+a4+a5=9，可得b=10. 8. 【答案】C 【解析】本題方程根個數問題——數形結合，畫出圖象，y=|x|與y=ax+1，保證交點在第二象限內，故選C. 9. 【答案】C 【解析】因為b是實數，所以關於b的一元二次方程b2-ab+12a+2=0的判別式Δ=(-a)2-4×1×12a+2≥0，解得a≤－2或a≥4. 10. 【答案】E 【解析】設此三角形的三邊長分別為a,b,c，且a,b為方程的兩根，則c=2，由題意知Δ=k2-16≥0，k≥4或k≤-4，a+b=k2>0，則k>0，a+b=k2>c=2，即k>4，|a-b|=12k2-16 11. 【答案】D 【解析】由原不等式分解可得(|x|-3)(x2+|x|-1)<0，由此得所求不等式的解集為-3,1-52∪5-12,3.整數解有-2，－1，1，2共4個. 12. 【答案】D 【解析】f（x）=x2－4x+52x－4=12（x－2）2+1x－2=12x－2+1x－2≥1. 13. 【答案】C 【解析】由原題可得，m2 017－x=2x－4 020，m為正整數，m2 017－x為一個大於等於0的數，所以2x－4 020≥0，可得 x≥2 010，又因為2 017－x≥0，所以x≤2 017，故2 010≤x≤2 017，隻有當x=2 013時，m=3，和x=2 016時，m=12，正整數m的所有取值的和為12+3=15. 14. 【答案】A 【解析】由已知，b2－4b+m=0（1） b2－8b+5m=0(2），（1）－（2）得4b－4m=0 b=m（3） 將（3）代入（1）得m2－4m+m=0，得m=0或m=3. 【快速得分法】用代入驗證法會更簡單. 15. 【答案】D 【解析】因為ax2+bx+c<0的解集是－2 由於ax2+bx+c=0的兩根是－2和3，可得c<0，又因為方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0的兩根互為倒數，則方程cx2+bx+a=0的兩根分別為－12和13，故不等式cx2+bx+a<0的解集是x13. 16. 【答案】C 【解析】設f（x）=x2－4x+a，依題有f（3）<0，即32－4×3+a<0，解得a<3. 17. 【答案】C 【解析】根據指數函數的性質，得到定點A（－1,－2），代入直線，整理為m+2n=1，則1m+2n=1m+2n（m+2n）=5+2nm+2mn≥9. 18. 【答案】B 【解析】根據根的分布定理，隻要f（－1）f（0）=（3m－6）（m－5）<0f（0）f（1）=（m－5）（m－4）<0，解得4 二、 充分性判斷題 19. 【答案】C 【解析】x1x2=ca<0 aca a<－c2，無法確定a和c的符號關係； 條件（2） a+b+c=0 b=－a－c－2c，也無法確定a和c的符號關係；聯立兩個條件，得到a+b+c=0，且a 20. 【答案】C 【解析】顯然單獨不充分，聯立分析：x+y+z=0xyz0. 21. 【答案】E 【解析】根據對數的性質，由（1）得（logmxy）2=（logm2）2 logmxy=±logm2 logmxy=logm2或logm12 xy=2或12；由（2） 得（x－1）（x2+2）=0 x=1，y未知.所以任何一個條件都是不能確定的，聯立後也不能確定. 22. 【答案】C 【解析】顯然兩個條件單獨不充分，聯立得1a+1b+1c≥1a+1b+1c（a+b+c）=3+ba+ca+ab+cb+ac+bc≥9. 23. 【答案】B 【解析】在x≥1時，f（x）=x3－2x+1是單調遞增函數，所以最小值為f（1）=0，所以條件（2）充分. 24. 【答案】D 【解析】因為ax－1+ax+1≥（ax－1）－（ax+1）=2，根據三角不等式a－b0，得到（ax－1）（ax+1）>0，從而隻需ax>1即可，故兩個條件均充分. 25. 【答案】D 【解析】f（x）=x2+ax的最小值在x=－a2處取到，最小值為－a24. f（f（x））=（x2+ax）2+a（x2+ax），要使得f（f（x））與f（x）的最小值相等，則需x2+ax的值域取到－a2，即x2+ax的最小值－a24≤－a2，解得a≥2或a≤0，兩個條件單獨都是子集，單獨都充分. 26. 【答案】D 【解析】由條件（1），α2+β2=（α+β）2－2αβ=2（a2－2a－1），而判別式Δ=4a2－4（a+1）2=4（－2a－1）≥0 a≤－12，所以當a=－12時，其最小值為12，充分.由條件（2），αβ=14 α2+β2≥2αβ=12，充分. 27. 【答案】D 【解析】a2x2－（3a2－8a）x+2a2－13a+15=ax－（2a－3）ax－（a－5），顯然當a=3時，有一個整數根；當a=5時，也有一個整數根，條件（1）（2）均充分. 28. 【答案】B 【解析】條件（1），聯立x－y=5，xy=－6，顯然方程有兩組解，不充分； 條件（2），將xy=－6代入xy2=18可得，－6y=18，解出y=－3,x=2，充分. 第五章數列 大綱考點：數列的基本概念，等差、等比數列的概念與運算性質、不規則數列求和、應用題以及簡單的遞推公式.【命題剖析】數列是管理類聯考的必考題型，每年的考題中必有涉及，所占分值約6分.近年來對數列的考查逐漸從考查定義、概念向綜合能力演變，試題靈活多變，從而對考生提出了更高的要求. 第一節基本知識點 一、 數列的概念 數列就是依某順序排成一列的數.表示方法：a1，a2，a3，…an或數列{an}. 二、 通項和通項公式 1. 通項an,通項公式an=f(n). 2. 前n項和：Sn=a1+a2+a3+…+an. 3. 數列前n項和與通項公式an的關係：an=S1（n=1）Sn－Sn－1（n≥2）. 三、 數列的分類 1. 按項分類 有窮數列：項數有限； 無窮數列：項數無限. 2. 按an的增減性分類 遞增數列：對任意的n滿足an+1>an. 遞減數列：對任意的n滿足an+1 擺動數列：如－1，1，－1，1，－1… 常數列：各項都相等的數列，如2，2，2，2… 3. 按an的特征分類 自然數列：1，2，3，4… 等差數列：如果在數列an中，對任意n∈Z+，有an+1－an=d（常數），則稱數列an為等差數列，d為公差.如2，5，8，11，14… 等比數列：如果在數列an中，對任意n∈Z+，有an+1an=q（常數），則稱數列an為等比數列，q為公比.如：2，4，8，16，32… 四、 遞推公式 an與其前、後項之間關係式稱為遞推公式. 若已知數列的遞推關係式及首項，可以寫出其他項，因此遞推公式是確定數列的一種重要方式. 第二節考試題型彙總 【題型1】萬能公式 思路點撥：一般數列求通項公式題目，如果已知Sn，則應用萬能公式法求解. 數列前n項和與通項公式an的關係：an=S1（n=1）Sn－Sn－1（n≥2）.【例1】已知數列an前n項和Sn=n2+1，則a5=（） A. 9B. 8C. 6D. 4E. 2 【答案】A 【解析】a5=S5－S4=26－17=9. 【例２】數列an前n項和Sn=4n2+n－2，則它的通項an是（） A. 8n－3B. 4n+1C. 8n－2D. 8n－5E. an=3n=18n－3n≥2 【答案】E 【解析】當n=1時，a1=S1=3；當n≥2時，an=Sn－Sn－1=8n－3，從而an=3n=18n－3n≥2. 【快速得分法】a1=S1=3，排除A，B，C，a2=S2－S1=13，排除D. 【例３】數列an前n項和Sn=32an－3，則這個數列的通項公式是（） A. 2（n2+n+1）B. 3×2nC. 3n+1D. 2×3nE. 以上均不正確 【答案】D 【解析】由an=Sn－Sn－1=32an－3－32an－1－3，得到an=3an－1，故數列是公比為3的等比數列，又a1=S1=32a1－3 a1=6，故通項為an=2×3n. 【快速得分法】求出a1=6，a2=18驗證選項即可. 【題型2】等差數列 1. 等差數列定義：an+1-an=d（d為常數，n∈N*）. 2. 通項公式:an=a1+(n-1)d（d為常數，n∈N*）； （等差數列的通項公式是關於自變量n的一次函數，圖象是一係列孤立的點） 3. 若a，A，b成等差數列，則A叫作a與b的等差中項，即A=a+b2. 4. 前n項和公式（重點）:Sn=n（a1+an）2=na1+n（n－1）2d=d2n2+a1－d2n. （當d≠0時，它是關於n的二次函數，它的圖象是拋物線y=d2x2+a1－d2x上橫坐標為正整數的均勻分布的一群孤立的點）【例1】等差數列{an}中，a1=13，a2+a5=4，an=33，則n為（） A. 48B. 49C. 50D. 51E. 52 【答案】C 【解析】a2+a5=2a1+5d=23+5d=4 d=23，an=13+23（n－1）=33，解得n=50. 【例２】若lg 2，lg（x－1），lg（x+3）成等差數列，求x=（） A. －1B. －6C. －1或5D. 1或－5E. 5 【答案】E 【解析】依題意，有2lg(x-1)=lg2+lg(x+3) (x-1)2=2(x+3) x=5或x=-1，由於對數的真數大於零，即必須有x>1，故隻有x=5時，滿足題意. 【快速得分法】由定義域得x>1，隻有E符合. 【例３】在－12和6之間插入n個數，使這n+2個數組成和為－21的等差數列，則n=（） A. 4B. 5C. 6D. 7E. 8 【答案】B 【解析】Sn+2=（n+2）（－12+6）2=－21 n=5. 【例４】在等差數列｛an｝中，a4=9，a9=－6，則滿足Sn=54的所有n的值為（） A. 4或9B. 4C. 9D. 3或8E. 8 【答案】A 【解析】在等差數列{an}中，a4=9，a9=－6，可得d=－3，a1=18，進而有Sn=18n+n(n-1)×(-3)2=54，解得n=4或n=9. 【例５】已知一個等差數列an的通項公式an=4n－25，求數列an的前9項和T9=（） A. 21B. 66C. 87D. －66E. －21 【答案】C 【解析】由an=4n－25<0且an+1=4（n+1）－25≥0，得n=6.由此可知數列an的前六項為負值，從第七項開始各項均為正.所以a1+a2+…+a9=－a1－a2－…－a6+a7+a8+a9=S9－2S6=87. 【快速得分法】a1=4－25=－21，a2=－17，…a9=11，可得T9=87. 【題型3】判斷等差數列 思路點撥：判斷一個數列是等差數列的方法： 1. 定義法：an+1－an=d（常數） an是等差數列； 2. 中項法：2b=a+c a，b，c為等差數列； 3. 通項公式法：an=kn+b an是等差數列； 4. 前n項和法：Sn=An2+Bn an是等差數列.【例1】設等差數列{an}的前n項和為Sn，如果a2=9,S4=40，常數c為（）時，數列Sn+c是等差數列. A. 4B. 6C. 8D. 9E. 10 【答案】D 【解析】由a2=9,S4=40，得a1=7，d=2，所以Sn=n2+6n，Sn+c=n2+6n+c，因此當c=9時，Sn+c=n+3是等差數列. 【例２】設數列{an}的前n項和為Sn，則數列{an}是等差數列. （1） Sn=n2+2n，n=1，2，3… （2） Sn=n2+2n+1，n=1，2，3… 【答案】A 【解析】等差數列的前n項和是關於n的無常數項的二次函數，故選A. 【題型4】等差數列的性質(★★★) 等差數列常用的運算性質： 1. an=am+(n-m)d,d=an-amn-m； 2. {an}為等差數列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq； 3. 若{an},{bn}為等差數列，則kan，kan+b，an+bn也成等差數列； 4. 下標呈等差數列且公差為m的項ak，ak+m，ak+2m…組成的數列仍是等差數列，且公差為md； 5. 若Sn為等差數列的前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍是等差數列，且公差為n2d； 6. 若等差數列{an}的項數為2n-1項，則S2n-1=(2n-1)an； 若等差數列{an}的項數為2n項，則S2n=n（a1+a2n）=…=n（an+an+1）.【例1】在a和b（a≠b）兩數之間插入n個數，使它們與a，b成等差數列，則該數列的公差為（） A. b－anB. b－an+1C. a－bn+1D. b－an+2E. 不確定 【答案】B 【解析】顯然a為首項，那麼b為第n+2項，所以b=a+（n+1）d d=b－an+1. 【例２】已知等差數列an中，am+am+10=a，am+50+am+60=b（a≠b），m為常數，且m∈Z+，則am+125+am+135=（） A. 2b－aB. b－a2C. 5b－3a2D. 3b－2aE. 3b+2a 【答案】C 【解析】am+50+am+60－（am+am+10）=100d=b－a d=b－a100，又am+125+am+135=am+50+am+60+150d=b+150×b－a100=5b－3a2. 【例３】已知等差數列{an}中a1和a10是方程x2-3x-5=0的兩根，那麼a3+a8=（） A. 3或－3B. 4C. 3D. -3E. -4 【答案】C 【解析】a1和a10是方程x2-3x-5=0的兩根，知a1+a10=3，又{an}是等差數列，a3+a8=a1+a10=3. 【例４】在等差數列bn中，b1－b4－b8－b12+b15=2，則b3+b13=（） A. 16B. 4C. －16D. －2E. -4 【答案】E 【解析】由於b1－b4－b8－b12+b15=b1+b15－（b4+b12）－b8=－b8=2 b8=－2，又b3+b13=2b8=－4. 【例５】若一個等差數列的前3項的和為34，最後3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列有（）項. A. 13B. 12C. 11D. 10E. 9 【答案】A 【解析】依題意，有a1+a2+a3=34，an－2+an－1+an=146，兩式相加得（a3+an－2）+（a2+an－1）+（a1+an）=180，因為a1+an=a2+an－1=a3+an－2，所以a1+an=60，Sn=n（a1+an）2=30n=390 n=13. 【例６】數列an是等差數列，a1+1，a3+3，a5+5是公比為q的等比數列，則q=（） A. 5B. 4C. 3D. 2E. 1 【答案】E 【解析】an是等差數列，則有a1+1，a3+3，a5+5依然是等差數列，又a1+1，a3+3，a5+5是公比為q的等比數列，所以a1+1，a3+3，a5+5是常數列，即q=1. 【例７】已知數列an的前n項和Sn=2n2－3n，而a1，a3，a5，a7…組成一新數列cn，則其通項公式為（） A. cn=4n－3B. cn=8n－1C. cn=4n－5D. cn=8n－9E. cn=4n 【答案】D 【解析】顯然新數列的首項是a1，公差是原數列公差的2倍，而數列an的公差為d=4，a1－d2=－3，即a1=－1，所以cn=－1+8（n－1）=8n－9. 【例８】等差數列{an}中，Sn為前n項和，S4=30，S8=90，則S12為（） A. 150B. 160C. 180D. 190E. 200 【答案】C 【解析】S4=30，S8=90 S8-S4=60，又S4，S8－S4，S12－S8成等差數列，可得S12-S8=90 S12=180. 【例９】等差數列{an}前n項和為Sn，且S2=10，S4=36，這個數列的公差為（） A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 【答案】D 【解析】設等差數列{an}的公差為d，則S2，S4－S2，S6－S4…也是等差數列，且其公差為22d=36－10－10=16，可得d=4. 【例１０】等差數列{an}中，a2+a5=19，S5=40，則a10=() A. 27B. 28C. 29D. 30E. 32 【答案】C 【解析】S5=5a3=40 a3=8，又a2+a5=2a3+d=16+d=19 d=3，a10=a3+7d=8+7×3=29. 【例１１】在等差數列{an}中，若a2+a3+a10+a11=48，求S12=（） A. 96B. 48C. 144D. 160E. 240 【答案】C 【解析】a2+a3+a10+a11=48，則a2+a11=24，從而S12=6（a2+a11）=144. 【例１２】等差數列{an}中, a50且a6>|a5|，Sn是前n項和，則（） A. S1，S2，S3均小於0，而S4，S5…均大於0. B. S1，S2…S5均小於0，而S6，S7…均大於0. C. S1，S2…S9均小於0，而S10，S11…均大於0. D. S1，S2…S10均小於0，而S11，S12…均大於0. E. 以上都不對 【答案】C 【解析】S9=9a5|a5|，而S10=5(a5+a6)>0，故選C. 【例１３】等差數列{an}、{bn}前n項和分別為Sn、Tn，若SnTn=2n3n+1，則a7b7的值為（） A. -1320B. 1320C. 1310D. 13E. 以上都不對 【答案】B 【解析】a7b7=13a713b7=S13T13=2×133×13+1=1320. 【題型5】數列最值 思路點撥：a1>0，d<0時，Sn有最大值；a10時，Sn有最小值； Sn最值的求法： 方法一：若已知Sn，可求二次函數Sn=an2+bn的最值，用二次函數求最值； 方法二：求出an中的正、負分界項，即：若已知an，則Sn取最值時n的值可如下確定an≥0an+1≤0或an≤0an+1≥0.【例1】首項為－24的等差數列，從第10項開始為正數，則公差的取值範圍是（） A. －∞,83B. 83，3C. 83，3D. （3，+∞）E. 83，3 【答案】C 【解析】數列從第10項開始為正數，即有a9=a1+8d=－24+8d≤0且a10=a1+9d=－24+9d>0，解得d∈83，3. 【例２】在等差數列{an}中，a1>0，S4=S9，則Sn取最大值時，n=（） A. 6B. 7C. 8D. 6或7E. 7或8 【答案】D 【解析】因為a1>0，S4=S9，所以a5+a6+a7+a8+a9=0，所以a7=0，所以a6>0a8<0，從而當n=6或n=7時，Sn取最大值. 【例３】已知等差數列{an}，Sn為前n項和，且S5S8，則下列結論錯誤的是（） A. dS5 D. S5=S8E. S6與S7均為Sn的最大值 【答案】C 【解析】S50，S6=S7>S8 a7=0，a8<0，進而可知，dS9. 【例４】等差數列an中，S8>0，S9<0，Sn中最大的是（） A. S4B. S5C. S7D. S8E. S9 【答案】A 【解析】S9=9a50，則有a4>0，a5<0，故S4最大. 【例５】設Sn=1+2+3+…+n，則f（n）=Sn（n+32）Sn+1的最大值為（） A. 50B. 150C. 100D. 1100E. 不存在 【答案】B 【解析】由等差數列求和公式得Sn=n（n+1）2，Sn+1=（n+1）（n+2）2，所以f（n）=Sn（n+32）Sn+1=nn2+34n+64=1n+34+64n≤134+2n×64n=150，當n=64n，即n=8時，f（n）取得最大值為150. 【題型6】等比數列 1. 定義：如果在數列an中，an+1an=q（常數），則稱數列an為等比數列. 2. 通項公式：an=a1qn-1（q常數，n∈N*）. 3. 等比中項：如果a，G，b成等比數列，那麼G叫作a與b的等比中項，有G=±ab. 4. 前n項和Sn=na1（q=1）a1（1－qn）1－q（q≠1）. 5. 無窮等比遞縮數列：無窮等比遞縮數列（|q|<1，q≠0）所有項之和為S=a11－q. 【注意】等比數列任一個元素均不能為零，且奇數項同號，偶數項也同號.【例1】已知數列an的前n項和Sn=3+2n，則下列說法正確的是（） A. 必為等差數列B. 必為等比數列C. 既是等差數列，又是等比數列 D. 既不是等差數列，又不是等比數列E. 無法判斷 【答案】D 【解析】an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2)，即n≥2時，數列{an}為公比為2的等比數列，又a1=S1=5，a1+a2=5+a2=7 a2=2, a2≠2a1，故既不是等差數列，又不是等比數列. 【例２】在公比為整數的等比數列an中，如果a1+a4=18，a2+a3=12，則這個數列的前8項和為（） A. 513B. 512C. 510D. 360E. 2258 【答案】C 【解析】根據題意，有a1+a1q3=18a1q+a1q2=12，解得a1=2q=2或者a1=16q=12（舍去），故S8=a1（1－q8）1－q=2（1－28）1－2=510. 【例３】無限數列求和S=1+12+12+122+…的值為（） A. 2－2B. 2+2C. 21－2D. 21+2E. 2－2 【答案】B 【解析】數列1，12，12，122，…為等比數列，且q=12<1，故數列為無窮等比遞縮數列，a1=1，則所有項和S=a11－q=11－12=2+2. 【快速得分法】已知S>2，選B. 【例４】等比數列an中，各項和a1+a2+…+an+…=12，則a1的取值範圍是（） A. （0，+∞）B. （－∞,1）C. （0,1） D. 0，12∪12，1E. 以上均不正確 【答案】D 【解析】依題意有S=a11－q=12及q<1且q≠0，則有2a1－1<1且a1≠12，解得0 【題型7】等比數列的性質 等比數列常用的運算性質： 1. 通項an=a1qn－1=amqn－m. 2. 若{an}為等比數列,若m+n=p+q,則am·an=ap·aq.特殊地，當p=q時,am·an=a2p. 3. 若{an},{bn}為等比數列，則kan，akn，an，an·bn也成等比數列. 4. 下標成等差數列且公差為m的項，ak，am+k，a2m+k…組成的數列仍是等比數列，公比為qm. 5. 若Sn為等比數列的前n項和，則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n…仍為等比數列，其公比為qn.【例1】已知{an}是遞增等比數列，a2=2，a4－a3=4，則公比q=（） A. －1B. －2C. 2D. －1或2E. －1或－2 【答案】C 【解析】a4－a3=a2（q2－q）=2（q2－q）=4，即有q2－q－2=0，解得q=2或q=－1（舍去）. 【快速得分法】單調數列公比q>0，選C. 【例２】等比數列{an}中，若a4a7=－512，a3+a8=124，且公比q∈Z，那麼a10=（） A. 124B. 64C. 512D. －124E. －512 【答案】C 【解析】因為a3a8=a4a7=-512，又a3+a8=124，可知a3，a8為方程x2-124x-512=0的兩個根，得a3=－4，a8=128，則q=－2，a10=512. 【例３】an是非負等比數列，滿足a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5=（） A. 5B. －5C. ±5D. 5E. ±5 【答案】A 【解析】a2a4+2a3a5+a4a6=a23+2a3a5+a25=(a3+a5)2=25，則a3+a5=±5，因為an各項均為正，所以a3+a5=5. 【例４】等比數列{an}中，a4=2，a5=5，則數列lg an的前8項和為（） A. 6B. 5C. 4D. 3E. 2 【答案】C 【解析】數列lg an的前8項和為lg a1+lg a2+…+lg a8=lg a1a2…a8=lg（a4a5）4=lg 104=4. 【例５】設an是非負等比數列，若a3=1，a5=14，則∑8n=11an=（） A. 255B. 2554C. 2558D. 25516E. 25532 【答案】B 【解析】公比q2=a5a3=14 q=12，a1=4，則1an是公比為2、首項為14的等比數列，故∑8n=11an=14（1－28）1－2=2554. 【例６】數列{an}的前n項和為Sn=5n-1，求a21+a22+…+a2n=（） A. (25n-1)3B. (5n-1)3C. 23(25n-1) D. 23(5n-1)E. 43(25n-1) 【答案】C 【解析】an=Sn-Sn-1=4×5n-1，即{an}為首項為4、公比為5的等比數列，則{a2n}是首項為16、公比為25的等比數列，所以a21+a22+…+a2n=16（1－25n）1－25=23（25n－1）. 【例７】如果－1，a，b，c，－9成等比數列，那麼（） A. b=3，ac=9B. b=－3，ac=9C. b=3，ac=-9 D. b=－3，ac=－9E. b=±3，ac=9 【答案】B 【解析】由等比數列性質知ac=b2=（－1）×（－9）=9，且b與奇數項的符號相同，故b=－3. 【例８】等比數列{an}的前n項和為Sn，且S10S5=3132，求公比q=（） A. 2B. -2C. 12D. -12E. 12 【答案】D 【解析】{an}是等比數列，則S5，S10－S5，S15－S10…也是等比數列，且其公比為q5，又S10S5=3132，所以S10－S5S5=－132，即q5=－132 q=－12. 【例９】設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10=10，S30=70，則S40=（） A. 150B. －200C. 150或－200D. 210E. 以上都不對 【答案】A 【解析】令S20－S10=x，S30－S20=y，則有x+y=60x2=10y，解得x=20y=40或x=－30y=90（舍去）.由於S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30為等比數列，可得S40－S30=80，即S40=150. 【題型8】等差、等比綜合運算 思路點撥：此類問題將等差數列和等比數列結合出題，考查兩者的性質，屬於綜合型題目.【例1】設3a=4，3b=8，3c=16，則a，b，c（） A. 是等比數列，但不是等差數列B. 是等差數列，但不是等比數列 C. 既是等比數列，也是等差數列D. 既不是等比數列，也不是等差數列 E. 以上都不對 【答案】B 【解析】a=log34，b=log38，c=log316則有2b=2log38=log364=log34+log316=a+c，故a，b，c成等差數列，而b2≠ac. 【例２】已知實數數列－1，a1，a2，－4是等差數列，－1，b1，b2，b3，－4 是等比數列，則a2-a1b2的值為（） A. 12 B. -12C. ±12 D. 14E. ±14 【答案】A 【解析】－1，a1，a2，－4是等差數列，則有a1=－2，a2=－3，－1，b1，b2，b3，－4是等比數列,則有b2=－2，故a2－a1b2=－3－（－2）－2=12. 【例３】若a，b，c成等比數列，a，x，b和b，y，c都成等差數列，且xy≠0，則ax+cy=（） A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5 【答案】B 【解析】顯然有b2=ac，a+b=2x，b+c=2y，則有ax+cy=ay+cxxy=12a（b+c）+12c（a+b）14（a+b）（b+c）=2×ab+2ac+bcab+2ac+bc=2. 【快速得分法】可令a=b=c=x=y，則ax+cy=1+1=2，故選B. 【例４】在5和81之間插入兩個數，使前三個數成等差數列，後三個數成等比數列，則這兩個數的和為（） A. 36B. 62C. 70D. 75E. 92 【答案】C 【解析】假設插入的兩個數分別為x，y，則有2x=5+yy2=81x，可得x=25y=45，故x+y=70. 【題型9】不規則數列求和 思路點撥：特殊數列求和基本公式：直接轉化為等差、等比數列或利用常用公式求和. 1. 分組求和法：把數列按某種特征分成若幹個易求和的組，或把通項拆成若幹項，再對每項產生的數列分別求和. 2. 裂項相消法：把數列的項裂成二項(或若幹項)，使之按某種規律組合後能消去若幹項. （1） 1n（n+1）=1n－1（n+1）； （2） 1n（n+k）=1k1n－1（n+k）； （3） 1n+n+1=n+1－n. （4） n·n!=（n+1）!－n! 3. 錯位相減法：當數列的形式可表示為an·bn（其中an是等差數列，bn是等比數列）時，可采用錯位相減法求和.【例1】計算9+99+999+…+99…910個的值為（） 【解析】9+99+999+…+99…910個 =(10-1)+(100-1)+(1 000-1)+…+10…010個-1 =10+100+1 000+…+10…010個-10 =11…19個00 【例２】在數列an中，an=1n+1+2n+1+…+nn+1，又bn=2anan+1，則數列bn的前99項和為（） A. 20835B. 20825C. 19835D. 18835E. 19825 【答案】E 【解析】因為an=1n+1+2n+1+…+nn+1=n2，所以 bn=2n2×n+12=81n－1n+1 S99=81－12+12－13+13－14+…+199－1100=8×99100=19825. 【例３】在等差數列an中，a2=4，a4=8，若∑nk=11akak+1=521，則n=（） A. 16B. 17C. 19D. 20E. 21 【答案】D 【解析】在等差數列an中，公差d=a4－a22=2，首項a1=2，故有∑nk=11akak+1=12×4+…+12n×2（n+1）=1411×2+…+1n×（n+1）=141－1n+1=521.得n=20. 【例４】已知數列{an}的通項公式為an=3n+2n+2n-1,則前5項和為（） A. 225B. 350C. 320D. 420E. 450 【答案】E 【解析】S5=3（1－35）1－3+2（1－25）1－2+5×5=450. 【快速得分法】a1=6，a2=16，a3=40，a4=104，a5=284，故S5=450. 【例５】數列an的通項公式是an=1n+n+1，若Sn=10，則n=（） A. 119B. 120C. 121D. 122E. 124 【答案】B 【解析】由於an=1n+n+1=n+1－n，所以有 Sn=（2－1）+（3－2）+…+（n+1－n）=n+1－1=10，得到n=120. 【例６】1+11+2+11+2+3+11+2+3+4+…+11+2+…+2 006的值為（） A. 2 0052 006B. 4 0102 006C. 2 0062 007D. 4 0122 007E. 以上都不對 【答案】D 【解析】11+2+3+…+n=2n×（n+1）=2×1n－1n+1. 原式=1+2×12－13+13－14+…+12 005－12 006+12 006－12 007=1+2×12－12 007=2－22 007=4 0122 007 【例７】求和Sn=3+2×32+3×33+4×34+…+n×3n的結果為（） A. 3（3n－1）4+n·3n2B. 3（1－3n）4+3n+12C. 3（1－3n）4+（n+2）·3n2 D. 3（3n－1）4+3n2E. 3（1－3n）4+n·3n+12 【答案】E 【解析】將原式兩邊乘以3，采用錯位相減法，有 Sn=3+2×32+3×33+4×34+…+n×3n3Sn=32+2×33+3×34+4×35+…+n×3n+1 兩式相減得：－2Sn=3+32+33+34+…+3n－n×3n+1=3（1－3n）1－3－n×3n+1，得到Sn=3（1－3n）4+n·3n+12. 【題型10】遞推公式 遞推公式主要考查以下5種類型： 1. 構造法：數列{an}滿足an+1=Aan+B. 思路點撥：可使等式兩邊同時加上μ=BA-1，則有an+1+BA-1=Aan+BA-1，即an+BA-1是公比A的等比數列，進而可求an或Sn. 2. 疊加法：數列{an}滿足an+1=an+f(n) 思路點撥：an+1=an+f(n)，依次類推有： an-an-1=f(n-1) an-1-an-2=f(n-2) an-2-an-3=f(n-3) … a2-a1=f(1) 將各式疊加並整理得an-a1=∑n-1i=1f(n)，即an=a1+∑n-1i=1f(n). 3. 疊乘法：數列{an}滿足an+1=f(n)-an 思路點撥：anan-1=f(n-1)，依次類推有： an-1an-2=f(n-2) an-2an-3=f(n-3) … a2a1=f(1) 將各式疊乘並整理得ana1=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-2)·f(n-1)， 即an=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(n-2)·f(n-1)·a1. 4. 倒數法：通過取倒數，構造出一個新的等差數列，進而求解. 5. 歸納列舉法：對於規律不明顯的，可列舉出前幾項，歸納其中規律或直接列舉.【例1】設數列{an}滿足a1=0，an+1－2an=1，則a10=（） A. 511B. 512C. 1 023D. 1 024E. 2 048 【答案】A 【解析】an+1=2an+1，等式兩邊同時加上1，an+1+1=2（an+1），則an+1是以1為首項，公比為2的等比數列，所以a10+1=1×29，a100=29－1=511. 【例２】已知a1=1，an=an-1+n，求a10=（） A. 45B. 50C. 55D. 105E. 110 【答案】C 【解析】an-an-1=n， an-1-an-2=n-1 an-2-an-3=n-2 … a2-a1=2 將各式疊加並整理得an-a1=∑ni=2n，an=a1+∑ni=2n=∑ni=1n=n(n+1)2，所以a10=10×112=55. 【例３】已知a1=1，an=n-1n+1an-1，求a10=（） A. 150B. 155C. 110D. 125E. 130 【答案】B 【解析】anan-1=n-1n+1，依次類推有： an-1an-2=n-2n … a2a1=13 將各式疊乘並整理得ana1=n-1n+1·n-2n·n-3n-1·…·24·13，即 an=n-1n+1·n-2n·n-3n-1·…·24·13＝2n(n+1)，所以a10=110×11=155. 【例４】在數列an中，a1=1，an+1=2anan+2，則a9=（） A. 12B. 13C. 15D. 110E. 211 【答案】C 【解析】由已知得1an+1=an+22an=1an+12，即1an+1－1an=12，所以1an為等差數列，1a1=1，公差為12，所以1a9=1+8×12=5 a9=15. 【例５】已知數列an中，a1=1，a2=3，an=an－1+1an－2（n≥3），則a5=（） A. 5512B. 133C. 4D. 5E. 34 【答案】A 【解析】根據a1=1，a2=3，an=an－1+1an－2（n≥3），有a3=3+11=4，a4=4+13=133，a5=133+14=5512. 【例６】數列an滿足a1=1，a2=2，且an+2=an+1－an（n∈1,2,3…），則a100=（） A. 1B. －1C. 2D. －2E. 0 【答案】B 【解析】a3=2－1=1，a4=1－2=－1，a5=－1－1=－2，a6=－2－（－1）=－1，a7=－1－（－2）=1，a8=1－（－1）=2，…可知an是6個一周期，故a100=a4=－1. 【題型11】數列應用題 思路點撥：首先根據題幹的文字描述，確定是滿足等差數列還是等比數列，再借助數列的基本公式進行計算.關鍵點在於要能把文字準確地翻譯成數學語言，對於等差數列，要找到首項和公差；對於等比數列，要找到首項和公比.【例1】有200根圓鋼，將其中一些堆放成橫截麵為正三角形形狀的垛，要求剩餘的圓鋼盡可能少，這時剩餘的圓鋼有（）根. A. 7B. 8C. 9D. 10E. 11 【答案】D 【解析】將圓鋼堆成截麵為正三角形的垛，則每層所用的圓鋼的根數為一個自然數列，即所用根數S=1+2+3+…+n=n(1+n)2≤200，則n≤19，S≤190，即最少剩餘10根. 【例２】有一個細胞基團，每小時消亡2個，餘下的每個分裂成2個，設最初有細胞7個，則6小時後細胞的個數為（） A. 186B. 188C. 192D. 196E. 198 【答案】D 【解析】本題考查遞推公式，設n小時後的細胞個數為an，則an+1=2（an－2），變形為an+1－4=2（an－4），令bn=an－4，則bn是首項為6、公比為2的等比數列，b6=6×25=192，從而a6=196. 【快速得分法】1 h後：10個，2 h後：16個，3 h後：28個，4 h後：52個，5 h後：100個，6 h後：196個. 【例３】一些學生圍成8圈或圍成4圈（一圈套一圈），已知從外向內各圈人數依次少4人，圍成8圈的最外圈人數比圍成4圈的最外圈人數少20人，則共有（）學生. A. 220B. 222C. 224D. 226E. 228 【答案】C 【解析】設圍成8圈時最外圈人數為x人，則圍成4圈時最外圈人數為x+20.x+（x－28）×4=（x+20）+（x+20－12）×2，解得x=42，故學生總人數為224人. 第三節基礎精練篇 一、 問題求解 1. 已知{an}是等比數列，則下列命題正確的有（）個. （1） {a3n}是等比數列（2） {an-1}是等比數列 （3） {2an}是等比數列（4） 1an是等比數列 A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個E. 0個 2. 下列通項公式表示的是等差數列的是（） A. an=nn-1B. an=n2-1C. an=3n-1 D. an=5n+(-1)nE. an=n-3n 3. 設{an}是公差為正數的等差數列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，則a11+a12+a13=（） A. 75B. 105C. 90D. 100E. 150 4. 等差數列{an}中，a1=－5，它的前11項的平均值是5，若從中抽取1項，餘下10項的平均值是4，則抽取的是第（）項. A. 7B. 8C. 9D. 10E. 11 5. 三個不相等的非零實數a，b，c成等差數列，又a，c，b恰好成等比數列，則ab=（） A. 2B. -2C. 4D. -4E. 3 6. 設等差數列{an}的前n項和是Sn，若a5=20-a16，則S20=（） A. 200B. 400C. 180D. 24E. 120 7. 等差數列{an}中，a3，a10是方程x2-3x-5=0的兩根，則a5+a8=（） A. 3B. -3C. 6D. 32E. -32 8. {an}是公比為整數的等比數列，a4·a7=－512，a3+a8=124，則a10=（） A. 214B. 36C. 1024D. 512E. 360 9. 正項等比數列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差數列，則a3+a5a4+a6（） A. 1+52B. 5-12C. -12D. 1±52E. 12 10. 等差數列{an}中，已知3a5=7a10，且a1<0，則前n項和Sn中的最小的是（） A. S7和S8B. S12C. S13D. S15E. S16 11. 數列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數列，則a1+a3+a4a2+a4+a10=（） A. 910B. 4C. －4D. 1316E. 無法確定 12. 等差數列{an}中，a1=2，公差不為0，且a1，a3，a11恰好為某等比數列的前3項，那麼該等比數列的公比的值為（） A. 2B. -2C. 4D. -4E. 2或4 13. 在等差數列{an}中，若a4+a7+a10=18，a4+a5+…+a14=77，若ak=13,則k=（） A. 13B. 17C. 18D. 19E. 21 14. 已知數列{an}滿足Sn=1+14an,則an=（） A. -43n+1B. 43nC. -43nD. 43nE. 43-13n-1 15. 已知二次函數f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1，當n=1，2，…，12時，這些函數的圖像在x軸上截得的線段長度之和為（） A. 1B. 1112C. 1213D. 1921E. 12 16. 在2和30之間插入兩個正數，使前三個數成等比數列，後三個數成等差數列，則插入的這兩個數的等比中項為（） A. 6B. 62C. 18D. 4E. ±63 17. 直線nx+(n+1)y=1（n為正整數）與兩坐標軸圍成的三角形麵積Sn，則S1+S2+…+S2 009＝（） A. 12×2 0092 008B. 12×2 0082 009C. 12×2 0092 010D. 12×2 0102 009E. 12 18. 等比數列｛an｝的前n項和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數列.若a1=1，則S4=（）