1-4爽，98%南琳圖文：一校樣成品尺寸：170mm×230mm版心：32行×35字文件名：ssyj圖書在版編目（CIP）數據全國碩士研究生入學考試管理類聯考數學標準教材 \/
王傑通編著. 南京 : 南京大學出版社, 2017.1（2018.4重印）
ISBN 9787305181696Ⅰ. ①全… Ⅱ. ①王… Ⅲ. ①高等數學－研究生－入
學考試－教材 Ⅳ. ①O13中國版本圖書館CIP數據核字(2017)第000420號出版發行南京大學出版社
社址南京市漢口路２２號郵編２１００９３
出版人金鑫榮書名全國碩士研究生入學考試管理類聯考數學標準教材
編著王傑通
責任編輯顧加同吳汀編輯熱線０２５83593923照排南京南琳圖文製作有限公司
印刷南京大眾新科技印刷有限公司
開本787×９６０1\/16印張 25.5字數 450千
版次2017年1月第1版2018年4月第2次印刷
ＩＳＢＮ ９７８７３０５181696
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圖書銷售部門聯係調換全國碩士研究生入學考試管理類聯考數學標準教材前言前言 本書按照教育部考試大綱嚴格編寫，彙總了考試必考的題型和方法，每章節都有重要的題型並且配備必要的練習題目，能夠使得廣大考生能夠從書中獲益。 本書第一章實數平均值絕對值部分是全書的基礎，學習的時候不能操之過急，有些定理和結論需要記住並且會推理，隻有這樣才能使整個備考過程變得順利。第二章應用題部分是考試的重點，幾乎每年考試都會有7個題目出現，所以這部分學習的時候要全麵，力爭把每一個題型都複習到，並且觸類旁通，舉一反三。第三章整式分式與第四章方程與不等式可以按照考點來複習，在掌握有關例題的基礎之上多做練習。第五章數列部分每年考3個題目，經常是以充分性判斷題的題型在考試中出現，希望廣大考生對此能給予一定的重視，一定要把課後精選的題目做完，把做錯的題目加以總結和糾正，找出錯誤的原因。平麵幾何與解析幾何和立體幾何每年出題量是5~6個，占整個試卷的五分之一，平麵幾何每年幾乎都是送分題，立體幾何難度也不大，但是解析幾何部分常常是出難題的地方。排列組合與概率是考試最難的部分，如果高中階段是文科的考生，在此部分基本屬於零基礎。本書列舉了關於考試的所有題型，並且配備了很多的習題加以輔助，這兩部分必須學以致用，能夠解決一些實際的問題，因為在考試的時候，這兩部分的題目千變萬化，隻有通過大量地做題提高自己的實戰能力和變通技巧。 本書的後麵附有1997年~2017年管理類聯考真題，真題可以幫助大家指引考試方向，把握考試的難度，了解出題的考點。每一道真題都附有詳細的答案和解析，保證考試複習更有目的性和針對性。 在編寫本書的過程中，得到了國家自然科學基金項目的支持，以及北京大學數學係黃際政教授和北京師範大學數學係劉招老師的大力支持和鼓勵，為了編寫此書，編者參閱了有關書籍和文獻，引用了一些題目，這裏就不一一指明。由於編者水平有限和時間倉促，錯誤之處在所難免，希望廣大讀者批評指正。著者
2017.1目錄目錄
緒論1
第一章實數平均值絕對值9
第二章應用題題型彙總41
第三章整式、分式與函數98
第四章方程與不等式117
第五章數列143
第六章平麵幾何164
第七章解析幾何191
第八章立體幾何208
第九章排列組合218
第十章概率題型彙總268
2017年全國碩士研究生招生考試管理類專業學位聯考綜合能力試題
（數學真題）286
2016年全國碩士研究生招生考試管理類專業學位聯考綜合能力試題
（數學真題）290
2015年1月295
2014年1月299
2014年10月302
2013年1月306
2013年10月309
2012年1月313
2012年10月317
2011年1月321
2011年10月325
2010年1月329
2010年10月333
2009年1月337
2009年10月341
2008年1月345
2008年10月349
2007年1月353
2007年10月355
2006年1月359
2006年10月361
2005年1月363
2005年10月364
2004年1月365
2004年10月367
2003年1月368
2003年10月370
2002年1月372
2002年10月374
2001年1月376
2001年10月378
2000年1月380
2000年10月382
1999年1月384
1999年10月387
1998年1月390
1998年10月383
1997年1月395
1997年10月397
2018年全國碩士研究生招生考試管理類學位聯考綜合能力試題（數學真題）399
13,15,30,37-40,78,87,94-97,100,104,106,108,114-116,120,126,127,136,138-142,151,152,158,161,162,163,172,186,191,192,196,205,206,212,216,217,219,229-230,232,237,239-241,247,261,273,280,285,294,351,399-402爽，98%南琳圖文：一校樣成品尺寸：170mm×230mm版心：32行×35字文件名：ssyj全國碩士研究生入學考試管理類聯考數學標準教材緒論緒論一、專業碩士發展概述專業型碩士是中國研究生教育的一種形式，根據國務院學位委員會的定位，專業學位為具有職業背景的學位，培養特定職業高層次專門人才.專業型碩士教育的學習方式比較靈活，大致可分為在職攻讀和全日製學習兩類.比較簡單的區分辦法是：在職人員利用業餘時間進行學習，專業學位考試通常在每年的10月份進行，名為“在職人員攻讀碩士學位全國聯考”，簡稱“聯考”；招收全日製學生的專業學位考試與每年年初舉行的“全國碩士研究生統一入學考試”(簡稱“統考”)一起舉行.2009年以前的學術型碩士已經跟不上發展的需要，碩士研究生學習學術型的課程，但是大部分卻不讀博士而出去找工作，大部分的單位都反映學術型碩士專業技能太差，又沒有什麼學術研究能力，學術研究型項目其實隻能由博士來做，而所謂的學術型碩士根本沒有什麼學術研究能力，工程研究能力也弱.教育部覺得形勢嚴峻，做出碩士研究生主要麵向應用的決定，推出了“全日製專業型碩士”作為一種全新的研究生形勢，並且從2010年開始減少學術型碩士，減少的名額用以增加全日製專業型碩士，最終達到專業型∶學術型=7∶3，全日製專業型碩士重點培養工程研究能力強的應用型碩士，而學術型碩士專門供給打算繼續讀博士的學術研究型人才和當教師的人才做中間跳板用.專業學位種類.我國自1991年開始實行專業學位教育製度以來，特別是2009年以來，專業碩士發展迅速，招生比例和招生專業都有大幅度的增加，目前已經設置了39種專業碩士學位.預計到2015年，專業碩士招生將占研究生總招生的50％以上，我國將形成學術型研究生和專業型研究生各占半壁江山的總體格局.2012年全日製碩士研究生專業學位類別及代碼表序號代碼學位類別序號代碼學位類別序號代碼學位類別10257審計碩士140951農業推廣碩士271052口腔醫學碩士21251工商管理碩士150551藝術碩士280554出版碩士31151軍事碩士160254國際商務碩士290353警務碩士40953風景園林碩士171054護理碩士300251金融碩士50553新聞傳播碩士180853城市規劃碩士310352社會工作碩士60256資產評估碩士190452體育碩士321252公共管理碩士71056中藥學碩士200253稅務碩士331051臨床醫學碩士80952獸醫碩士210252應用統計碩士340651文物與博物館碩士90454應用心理碩士221254旅遊管理碩士350451教育碩士101253保險碩士231053公共衛生碩士361253會計碩士110851建築學碩士240852工程碩士370954林業碩士121256工程管理碩士250453漢語國際教育碩士380552翻譯碩士131055藥學碩士261255圖書情報碩士390351法律碩士二、學術型碩士與專業型碩士的區別1. 培養方向不同全日製學術型碩士教育以培養教學和科研人才為主，授予學位的類型主要是學術型學位.專業碩士是具有職業背景的碩士學位，為培養特定職業高層次專門人才而設置.日製專業型碩士是國家為了克服學術型碩士的不足新增的一種新碩士，培養的是現在市場緊缺的應用型人才.2. 招生條件不同全日製學術型碩士不需要報考者有一定年限的工作經曆.專業碩士要求報考者有一定年限的工作經曆，絕大多數專業碩士還要求在職人員報考需經所在單位或相應管理部門的同意，有的甚至要求所在單位推薦等.國家2009年新增的一月份統考的全日製專業型碩士並不要求工作經驗，招生條件跟原來的學術型碩士一樣，應屆生可以報考.3. 招生考試不同全日製學術型碩士的招生考試隻有年初的“統考”，而統考以外的專業考試則由各招生單位自行命題、閱卷.專業碩士的招生考試有10月份的“聯考”和年初的“統考”兩次機會，考生可以自行選擇，而這兩大國家級別的考試的專業考試，也由各招生單位自行命題、閱卷.GCT在職碩士是參加10月份的聯考，全日製專業碩士與原來全日製學術型碩士考試時間一樣，都是每年一月份初試.4. 入學難度不同全日製學術型碩士的全國碩士研究生入學統一考試完全是嚴進寬出的代表.據統計，2005年研究生考試考生人數為117萬，招生人數隻有32萬，錄取比例為3.7∶1.北大、清華、複旦等名牌大學，以及微電子、信息科學、生物醫藥、世界經濟、國際金融等熱門專業，由於報考者眾多，錄取率更低.據了解，一些名校熱門專業的錄取比例甚至為70∶1.而一些二流學校的冷門專業卻年年招不滿.因此，入學難度取決於考生報考的學校和專業.專業碩士的招生考試有10月份的“聯考”和年初的“統考”兩次機會，考生可自行選擇.這兩大國家級別考試的專業考試，是由各招生單位自行命題、閱卷.不同專業的入學難度各不相同，熱門專業相對難一些.例如，2004年上海複旦、交大、財大三所高校MBA的錄取比例在6∶1左右；2004年全國法律碩士錄取率則不到10％.此外，“聯考”和“統考”的難度也不一樣，由於“統考”考生遠多於“聯考”考生，考試競爭激烈程度自然也大.不過，“聯考”的考試雖容易，但錄取時更看重申請者的工作背景和經驗.全日製專業型碩士2009年第一次招生，與學術型同時考試，同一張試卷，同一個國家線，培養方式方式不同.全日製學術型碩士：全日製學習.一般為2—3年.GCT在職專業碩士：半脫產，學製2—3年.全日製專業型碩士：脫產全日製學習，學製2—3年.5. 學習費用不同全日製學術型碩士錄取為國家計劃內（非定向、定向）的碩士生按國家規定享受免學費待遇.錄取為國家計劃外（委托培養、自籌經費）的碩士生須繳納學費，一般為8000元\/年，不同專業有所不同.對於自籌經費生、特困生等考生，可通過申請國家助學貸款或者商業貸款緩解學費的壓力.GCT專業碩士學費按照不同專業類別差別較大.例如，MBA的學費要十幾甚至幾十萬元，而工程碩士的學費一般為3萬—4萬元.專業碩士學位一般不能申請國家助學貸款.全日製專業型碩士從2010年開始基本與全日製學術型碩士一樣，錄取為國家計劃內（非定向、定向）的碩士生按國家規定享受免學費待遇.6. 文憑頒發不同全日製學術型碩士同時頒發學位和學曆證書.大多數GCT專業碩士隻授予學位證書，沒有學曆證書.但也有例外，例如工商管理碩士、法律碩士[2]、臨床醫學碩士、建築學碩士等，就同時頒發學位和學曆證書.全日製專業碩士同時頒發學位和學曆證書.7. 認可度不同全日製學術型碩士：由於是全日製正規大學碩士畢業，擁有學曆、學位雙證，因此社會對這樣的畢業生的認可度非常高.但企業在招聘時也會考慮到全日製碩士研究生的弱點：光有理論，經驗不足.特別對於碩士專業與本科專業方向完全不同，又無相關工作經驗的求職者，企業會有所顧忌.建議這類畢業生通過實習、兼職或考職業證書來加強自身的競爭力.GCT在職專業碩士：認可度跟普通碩士有差異，由於隻有學位證書而沒有學曆證書，以往的社會認可度跟全日製學術型碩士有差別，根本原因是學曆一欄隻能填“本科”.然而近來用人單位越來越看重學位的含金量，近年來認可度慢慢上升.全日製專業型碩士：教育部2009年才新增的碩士研究生，社會認可度極高，並且擁有雙證.三、管理類專碩考試簡介為了適應國家經濟建設和社會發展對高層次應用人才的需求，增強研究生教育服務經濟社會發展的能力，2009年教育部決定，研究生培養分為：學術型和專業型兩類，MBA納入專業學位係列，從2010年開始，我國將工商管理（MBA）、公共管理（MPA）、會計（MPACC）專業學位研究生招生初試的試題合並，統稱為“管理類專業碩士學位入學考試”.鑒於取得巨大成功，2011年將此考試模式擴大至旅遊管理（MTA）、工程管理（MEM）、圖書情報（MLIS）專業碩士，2012年繼續擴大規模，又增加審計碩士（MAUD）.（初試分為英語和綜合，英語滿分100分，綜合滿分為200分，初試總分300）科目數學邏輯寫作204英語2分值75分60分65分100分題量15個問題求解+10個充分性判斷（選擇題）合計25個題，每題3分30個五選一的選擇題（每題2分），共30個題目，每題3分1. 論證有效性分析（600字）占30分；2. 論說文（700字）占35分完形（10），閱讀（40）翻譯（15），新題型（10），作文（25），共占100分，無聽力考試時間60分鍾50分鍾60分鍾3小時單題用時2.4分鍾\/題1分50秒\/個2.5秒\/字\/\/\/四、什麼是充分性判斷題目所有充分性判斷題的A、B、C、D、E五個選項所規定的含義,均以下列呈述為準,即A. 條件(1)充分,但條件(2)不充分;B. 條件(2)充分,但條件(1)不充分;C. 條件(1)和(2)單獨都不充分,但條件(1)和(2)聯合起來充分;D. 條件(1)充分,條件(2)也充分;E. 條件(1)和(2)單獨都不充分,條件(1)和(2)聯合起來也不充分.例如（2014年10月）m2-n2是4的倍數.A. m，n都是奇數B. m是偶數，n是大於2的質數【答案】A【解析】對於A,m2-n2=(m+n)(m-n)是4的倍數，對於B,n是奇數，m2－n2=(m+n)(m－n)是奇數，顯然不充分，所以選A.五、考試出題範圍1. 實數、絕對值、比與比例（1） 無理數與有理數的運算性質.（2） 循環小數化為分數的方法.（3） 質數與合數的性質.（4） 奇數和偶數.（5） 數字的整除特征和取整函數.（6） 絕對值的定義和性質.（7） 比的性質和等比定理以及正比和反比的概念.（8） 平均值和平均值定理.（9） 最小公倍數和最大公約數的計算和應用.2. 應用題（1） 比例問題（利潤率，增長率，平均增長率，平均分，技巧：十字交叉法，數字遺傳法，特殊值法）.（2） 工程問題（效率，時間和總量的關係，單位1法，技巧：效率特值法），牛吃草.（3） 路程問題[時間、速度、路程的關係，追及問題（直線和圓形）、相遇問題（一次和多次）、行船流水問題（順水和逆水），追及+行船流水，相遇+行船流水題型，技巧：圖解法，時間加倍法]，過橋問題.（4） 濃度問題（溶質和溶液和溶劑的關係，稀釋，濃縮，加濃，混合，置換（多次兌水），等量稀釋題型，等量蒸發題型，技巧：十字交叉+特值法+置換公式）.（5） 集合問題（二餅圖的畫法和三餅圖的畫法，二餅圖的公式和三餅圖的公式，交集的含義）.（6） 階梯價格問題（電費，水費，郵費，話費，個人所得稅，銷售提成的算法）.（7） 不定方程問題（① 經典的不定方程問題,技巧：數字整除+奇數偶數+尾數特征+變量範圍；② 至多至少問題，技巧：轉換成對立麵解題）.(8) 年齡問題（差值恒定與同步增長,技巧：列方程或者圖解）.(9) 最優化問題（① 二次函數求最值的應用，技巧：根據題目建立二次函數，求頂點；② 均值不等式求最值的應用；③ 線性規劃，技巧：圖解法）.(10) 方程與數列的思想解應用題.3. 整式、分式、與函數(1) 單項式和多項式，整式和分式的定義和表達式化簡.(2) 乘法公式，雙十字相乘，完全平方式的應用.(3) 帶餘除法（因式定理+餘式定理）的理解和應用.(4) 指數函數和對數函數（定義，圖像，運算性質，單調性，計算和應用）.(5) 充分性判斷題目的解題技巧（ABCDE的選法規則）.4. 方程與不等式(1) 超越方程的解法（換元法）.(2) 一元二次方程（形式，解法，根的判別式，求根公式，韋達定理的應用，配方，幾何意義).(3) 一元二次方程根的分布（四種經典情形和幾種非經典情形）.(4) 不等式（二次不等式的解法，含絕對值不等式解法，高次不等式解法，分式不等式解法）.(5) 二次函數（圖像，性質，對稱軸，頂點坐標，開口方向，配方求最值）.(6) 柯西不等式的形式和應用.5. 數列(1) 數列的定義（數列表示法，通項公式，前n項和，萬能公式）.(2) 等差數列（定義，通項，前n項和，性質，結論）.(3) 等比數列（定義，通項，前n項和，性質，結論）.(4) 裂項求和法（三種經典的考法）.(5) 遞推公式求數列的通項公式（五種經典考法）.6. 平麵幾何（三種題型：求長度，求角度，求麵積）(1) 三角形[邊角關係，內角和定理，三角形麵積公式，特殊三角形（等邊，等腰，直角）關係，三角形的相似的性質，三角形的三線和四心定理，怎樣判斷三角形形狀].(2) 四邊形（平行四邊形，矩形，菱形麵積公式，正方形，梯形中位線定理，梯形輔助線）.(3) 圓和扇形（角度與弧度轉換，扇形麵積與弧長計算）.(4) 正n邊形（內角和定理）.7. 解析幾何(1) 平麵上兩點距離公式.(2) 定比分點坐標公式（中點坐標公式）.(3) 斜率的計算（傾斜角的正切+公式法）.(4) 到角公式（直線發生了旋轉和爪子型求斜率）.(5) 直線方程的五種形式(點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式).(6) 直線與直線的位置關係（平行，重合，相交、垂直的判斷）.(7) 點到直線的距離公式，兩平行線之間距離的公式.(8) 圓的方程（標準式和一般式）.(9) 位置關係(點與圓的位置關係，兩直線之間的位置關係，圓與圓的位置關係，直線與圓的位置關係）.(10) 解析幾何中的對稱.8. 立體幾何(1) 長方體，正方體（表麵積，體積，體對角線，棱長之和）.(2) 柱體（圓柱體積，表麵積，側麵展開，棱柱的性質）.(3) 球（表麵積公式，體積公式）.9. 排列組合(1) 六個知識點(加法原理，乘法原理，排列，組合，排列數，組合數).(2) 十四種解題模版(打包，插孔，插板，分房，圓排，錯排，至多至少，分組，定序，多元排序,數字問題，染色,特殊元素優先，窮舉).10. 概率(1) 隨機試驗、樣本空間、樣本點、隨機事件.(2) 事件之間的關係和運算（和，積，差，互斥，對立，獨立），概率的性質和公式.(3) 古典概率模型(怎樣找樣本空間和樣本點，公式，題型：摸球，分房，隨機取數).(4) 事件的獨立性[定義，公式，題型（定概率事件，分組取樣，有放回式抽取）].(5) 貝努力模型（① n次獨立重複實驗中恰好發生k次；② 直到n次獨立重複實驗，才發生k次；③ 直到n次才首次發生；④ n次獨立重複實驗中至少發生k次）.(6) 與幾何相關的概率模型.(7) 概率中的窮舉法題型.11. 數據的描述(1) 平均數，眾數，中位數，方差，極差，標準差的計算方法.(2) 直方圖，餅圖的識別.第一章實數平均值絕對值第一章實數平均值絕對值【大綱考點】1. 無理數與有理數的運算性質；2. 循環小數化為分數的方法；3. 質數與合數的性質；4. 奇數和偶數；5. 數字的整除特征和取整函數；6. 絕對值的定義和性質；7. 比的性質和等比定理以及正比和反比的概念；8. 平均值和平均值定理；9. 最小公倍數和最大公約數的計算和應用.一、基本概念1. 數的概念與性質自然數N：0,1,2,3，…整數Z:…，-2，-1,0,1,2，…分數：將單位1平均分成若幹份，表示這樣一份或幾份的數叫作分數.百分數：表示一個數是另外一個數的百分之幾的數叫作百分數，通常用“％”表示.數的整除：當數a除以非零數b，商正好是整數而無餘數的時候，則稱a能被b整除或b能整除a.倍數、約數：當a能被b整除時，稱a是b的倍數，b是a的約數.質數：如果大於1的正整數，隻能被1和本身整除（隻有1和其本身兩個約數），那麼這個正整數叫作質數（質數也稱素數）.合數：一個正整數除了能被1和其本身整除以外，還能被其他的正整數整除，這樣的正整數叫作合數.質數與合數的性質：（1） 質數與合數都在正整數的範圍，且有無數個.（2） 2是唯一的既是質數又是偶數的整數，即是唯一的偶質數.大於2的質數必為奇數.質數中隻有一個偶數2，最小的質數為2.（3） 若質數p是a·b的約數，則p是a的約數或者p是b的約數.（4） 若正整數a，b的積是質數p，則必有a=p或b=p.（5） 1既不是質數也不是合數.（6） 如果兩個質數的和或差是奇數，那麼其中必有一個數是2，如果兩個質數的積是偶數，則其中也必有一個是2.（7） 最小的合數是4，任何合數都可以寫成幾個質數的積，能寫成幾個質數的積的正整數就是合數.互質數：公約數隻有1的兩個數稱為互質數.奇數：不能被2整除的整數叫奇數，如-1，1，3，…記為2n+1（n是整數）.偶數：能被2整除的整數叫偶數，如-2，0，2，4，…記為2n（n是整數）.奇數±奇數=偶數，奇數±偶數=奇數，偶數±偶數=偶數，奇數×奇數=奇數，奇數×偶數=偶數，偶數×偶數=偶數.重要性質：有限個偶數相加是偶數，偶數個奇數相加是偶數，奇數個奇數相加是奇數，有限個奇數相乘是奇數.結論：兩個相鄰的整數必為一奇一偶，除了最小質數2以外，其餘的質數均為奇數.2. 有理數與無理數(1) 實數包括有理數和無理數；有理數包括整數和分數.(2) 有理數的本質是有限小數和無限循環小數；無理數的本質是無限不循環小數.(3) 有理數+有理數=有理數;有理數+無理數=無理數;有理數×有理數=待定;有理數×無理數=待定;無理數×無理數=待定.(4) 表現形式：有理數可以表示為分數和有限小數；無理數可以表示為開方開不盡的數和無限不循環小數.性質：若a，b，c，d是有理數，c,d是無理數，且滿足a+c=b+d，則a=b,c=d.推論：若a，b，c是有理數，c是無理數，且滿足a+bc=0，則a=b=0.3. 數字的整除特征(1) 如果a，b能被c整除，則它們的和差也能被c整除.（2） 如果b，c的乘積能整除a，則b能整除a，c也能整除a.（3） 如果b，c分別都能整除a，且b，c互質，則b，c的乘積能整除a.（4） 如果a能整除b，b能整除c，則a能整除c.能被2整除的數：個位上的數能被2整除（偶數都能被2整除），那麼這個數能被2整除.能被3整除的數：各個數位上的數字和能被3整除，那麼這個數能被3整除.能被4整除的數：個位和十位所組成的兩位數能被4整除，那麼這個數能被4整除.能被5整除的數:個位上的數能被5整除（即個位為0或5），那麼這個數能被5整除.能被6整除的數:如果一個數既能被2整除又能被3整除，那麼這個數能被6整除.能被8整除的數：百位、個位和十位所組成的三位數能被8整除，那麼這個數能被8整除.能被9整除的數：各個數位上的數字和能被9整除，那麼這個數能被9整除.能被10整除的數：個位數為零.能被11整除的數：奇數位（從左往右數）上的數字和與偶數位上的數字和之差（大數減小數）能被11整除，則該數就能被11整除.能被12整除的數：若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除.4. 比和比例的概念比：兩個數相除，又稱為這兩個數的比，即a∶b=a\/b,其中a叫作比的前項，b叫作比的後項.相除所得商叫作比值，記作a∶b=a\/b=k.在實際應用中，常將比值表示成百分數，稱為百分比.比例：相等的比稱為比例，記作a∶b=c∶d或a\/b=c\/d，其中a和d稱為比例外項，b和c稱為比例內項.當a∶b=b∶c時，稱b為a和c的比例中項，顯然當a,b,c均為正數時，b是a和c的幾何均值.正比：若y=kx（k不為零），則稱y與x成正比，k稱為比例係數.並不是x和y同時增大或減小才稱為正比.比如當k＜1時，x增大時，y反而減小.反比：若y=k\/x(k不為零)，則稱y與x成反比，k為比例係數.幾個重要關係：(1) 原值a增長了p％現值a(1+p％).(2) 原值a減少了p％現值a(1-p％).(3) 甲比乙大p％ 甲－乙乙＝p％.(4) 甲是乙的p％ 甲=乙·p％.注意：甲比乙大p％不等於乙比甲小p％,不要混淆.先減小p％,再增加p％並不能等於原數值.比例的基本性質：(1) a∶b=c∶d ad=bc.(2) a∶b=c∶d b∶a=d∶c b∶d=a∶c d∶b=c∶a.重要定理：(1) 更比定理：ab=cd ac=bd.(2) 反比定理：ab=cd ba=dc.(3) 合比定理：ab=cd a+bb=c+dd.(4) 分比定理：ab=cd a-bb=c-dd.(5) 等比定理：ab=cd=ef=a+c+eb+d+f.增減性變化關係（a,b,m＞0）：(1) 若ab>1，則a+mb+m
-1,xabc，當a=b=c時取等號.ba+cb+ac≥3，當a=b=c時取等號；2x+1x2≥3，當x=1時取等號.7. 化循環小數為分數的方法純小數：整數部分是零的小數，例如，0.807、0.99、0.015都是純小數，純小數小於1.混小數：整數部分不是0的小數為“混小數”，或稱為“帶小數”，例如，1.234.純循環小數：循環節從十分位開始的小數.混循環小數：循環節不從十分位開始的小數.純循環小數化分數公式：0.a·bc·=abc999;0.a·bcd·=abcd9999.混循環小數化分數法則：分母——小數點後麵有幾位循環節分母上就先寫幾個9，剩下的數位用0來補充；分子——用所有的小數數位減去補循環的部分作為分子.8. 最大公約數也稱最大公因數、最大公因子，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個.a，b的最大公約數記為（a，b），同樣地，a，b，c的最大公約數記為（a，b，c），多個整數的最大公約數也有同樣的記號.求最大公約數有多種方法，常見的有質因數分解法、短除法.與最大公約數相對應的概念是最小公倍數，a，b的最小公倍數記為[a，b].性質：a，b是任意兩個正整數，則有(1) a，b的所有公倍數就是[a，b]的所有倍數，即若a|d,b|d,則［a,b］|d.(2) (a,b)［a,b］=ab;a(a,b),b(a,b)=1.9. 取整函數整數部分的表示方法：[x]表示x的整數部分，即不超過x的最大整數.注意：任何實數都可以取整.性質：(1) 一個整數的整數部分是它本身.(2) 分數的整數部分可用分子除以分母（結果用小數表示）表達.(3) 對任意x∈R，均有x-1<[x]≤x<[x]+1.二、本章題型彙總【題型1】奇數與偶數的運算性質1. M是一個奇數，N是一個偶數，下麵的值一定是奇數.() A. 4M+3NB. 3M+2NC. 2M+7N D. 2（M+N）E. MN【答案】B【解析】本題考查奇數和偶數的運算性質，奇數乘以奇數還是奇數，偶數乘以奇數是偶數，奇數加上奇數是偶數，奇數加上偶數是奇數，所以選B.注意：本題也可以采取特值法，M=3，N=4.2. a,m均是正整數，且(a-m+1)(a+m+1)=8，則a是() A. 2B. 4C. 6D. 8E. 7【答案】A【解析】由於(a-m+1)+(a+m+1)=2a+2為偶數，所以a-m+1和a+m+1同時為奇數或者同時為偶數，又因為a，m都是正整數，則a-m+1=2,
a+m+1=4,所以a=2.3. 某市舉辦小學生數學競賽，共30道試題，評分標準是基礎分15分，答對一題給5分，不答一題給1分，答錯一題倒扣1分，如果199人參賽，問參賽的同學的總得分一定是() A. 奇數B. 偶數C. 合數D. 質數E. 無法判斷【答案】B【解析】如每一人全做對可得15+5×30=165，即總分是奇數，若錯一題要從中扣去5+1=6（分）（偶數），若一題不答從中扣去5-1=4（分）（偶數），也就是無論是答錯或不答扣的分數都為偶數，奇數-偶數=奇數，所以一人得分總是奇數，又因為總人數199是奇數，奇數×奇數=奇數，所以最後是奇數．4. 在黑板上寫上1,2,3，…，100，按下列規定進行操作，每次擦去其中的任意兩個數a，b，然後寫上它們的差（大減小），直到黑板上隻剩下一個數為止，黑板上剩下的數是() A. 奇數B. 偶數C. 合數D. 質數E. 無法判斷【答案】A【解析】開始寫時黑板上所有的數字之和是偶數1+2+3+…+100=5050，是一個偶數，而每操作一次，將（a+b）變成了（a-b），實際上減少了2b，即減少了一個偶數.因為從整體上看總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，所以最後黑板上剩下偶數.5. 有偶數位來賓.(1) 聚會時所有來賓都被安排坐一張圓桌周圍，且每位來賓與其鄰座性別不同(2) 聚會時男賓人數是女賓人數的兩倍【答案】A【解析】條件(1)表示男女交錯圍成一圈，說明男女人數一樣多，所以總數是偶數；(2)男來賓為偶數人，女來賓是奇數人的話，總數就不是偶數了.6. 已知m，n是正整數，則m是奇數.(1) 3m+4n是奇數(2) 3m4+2n2+6是偶數【答案】A【解析】對於(1)，3m+4n是奇數,可以得到3m是奇數，從而m是奇數，充分；對於(2)，3m4+2n2+6是偶數,可以得到m4為偶數，所以m是偶數.7. m2n2-1能被2整除.(1) m是奇數，n是偶數(2) m，n都是奇數【答案】B【解析】根據奇數偶數的運算性質，對於(1),m2n2-1是奇數，顯然不充分;對於(2）,m2n2-1是偶數，所以充分.8. m2-n2是4的倍數.(1) m，n都是奇數(2) m是偶數，n是大於2的質數【答案】A【解析】對於(1),m2-n2=(m+n)(m-n)是4的倍數;對於(2),n是奇數，m2-n2=(m+n)(m-n)是奇數，顯然不充分.【題型2】質數與合數的性質1. 設x1,x2為一元二次方程ax2-129x+c=0的兩根，且a,x1,x2均是質數，則x21+x22=() A. 1685B. 1537C. 1325D. 1037E. 925【答案】A【解析】根據二次方程的韋達定理,x1+x2=129a,
x1·x2=ca,由於a,x1,x2均是質數，所以a=3,x1+x2=43，所以x1=2,x2=41,則x21+x22=1685.2. 如果a是質數，a+20，a+40還是質數，則a2+1是() A. 10B. 25C. 26D. 27E. 30【答案】A【解析】先驗證a=2，顯然不成立，再取a=3，成立，所以選A.3. 已知x，y∈Z，a是質數，則方程|x+y|+x-y=a的解的個數有() A. 1組B. 2組C. 3組D. 4組E. 5組【答案】E【解析】若x,y都為奇數或都是偶數,則|x+y|是偶數,x-y若是整數的話也必是偶數,所以此時a為偶數,又是質數,所以a=2.若x,y是一奇一偶,則|x+y|是奇數,x-y若是整數的話也必是奇數,所以此時a為偶數,又是質數,所以 a=2.即無論如何,a=2,又|x+y|≥0,x-y≥0所以x≥y,且|x+y|≤2,即x,y都隻能在[-1,1]之間.一共5組解.4. 已知a是質數，b是大於2的質數，且a2+b=2013，則a+b的值為() A. 2009B. 2010C. 2011D. 2012E. 2013【答案】C【解析】b是奇數，則a=2，所以b=2009，所以選C.5. 設a，b，c是小於12的不同的質數，且|a-b|+|b-c|+|c-a|=8，a+b+c值為（） A. 27B. 10C. 20D. 15E. 36【答案】D【解析】不妨設a>b>c，則a-b+b-c+a-c=8，則a-c=4，所以a=7,c=3,b=5,所以選D.6. 已知n是正整數，且n4-16n2+100是質數，求n的取值個數為() A. 2B. 1C. 3D. 5E. 6【答案】B【解析】n4-16n2+100=(n2+10)2-36n2=(n2+10+6n)(n2+10-6n)，因為n4-16n2+100是質數，所以n2+10-6n=1，則n=3.7. 設a,b,c,d為四個正整數，且a7=b6,c3=d2,c-a=17,則d-b的值為() A. 370B. 580C. 601D. 710E. 820【答案】C【解析】a=ba6=t6,c=dc2=m2，則17=c-a=(m+t3)(m-t3)，則m+t3=17,
m-t3=1 m=9,
t=2,所以選C.8. 設m，n是小於30的質數，滿足條件|m-n|=2的{m,n}的組數為() A. 3B. 5C. 1D. 4E. 8【答案】D【解析】小於30的質數分別是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，所以選D.9. 9121除以某質數，餘數得13，這個質數是() A. 7B. 11C. 17D. 23E. 13【答案】D【解析】設此質數是a，則9121=ak+13，則隻有23是9108的約數，並且大於13.10. 20以內的質數中，兩個質數之和還是質數的共有種.() A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6【答案】C【解析】2，3，5，7，11，13，17，19是20以內的質數，則共有4種.11. 如果p和p+2都是大於3的質數，那麼p+1一定能被整除.() A. 7B. 5C. 6D. 4E. 8【答案】C【解析】p和p+2都是質數，p+1能被2整除，又因為p和p+2都是質數，p≠3k,p≠3k+1，p隻可能為3k+2，即p+1必能被3整除，綜上所述,6是p+1的約數.12. 若n是一個正整數，且15n2-82n-17為一個質數，此質數是() A. 19B. 17C. 29D. 23E. 31【答案】E【解析】15n2-82n-17=(5n+1)(3n-17)，所以3n-17=1 n=6,因此選E.13. 用1155個大小相同的正方形拚成一個長方形，不同的拚法種類有() A. 3B. 5C. 6D. 4E. 8【答案】E【解析】1155=5×7×3×11；所以能拚成的長方形的長與寬分別是：1155和1，385和3，231與5，165與7，105與11，15和77，21和55，33和35；故答案為8.14. a，b，c為質數，則a+b+c=194.(1) ab+c=1993(2) c是一位數【答案】C【解析】條件(1)和條件(2)顯然單獨不充分，由a×b＋c=1993知，a×b與c奇偶性不同，當a×b為奇數，c為偶數時，c=2，a×b=1991，1991=11×181.a＋b＋c=2＋11＋181=194.15. a，b，c為有理數,則a2+b2+c2=17.(1) abc+a+b+c=19(2) a，b，c都是質數【答案】C【解析】單獨顯然不充分，條件(1）和條件(2）聯合，則根據a，b，c的奇偶性討論可以得到a=b=2,c=3，所以選C.16. b的最小值是2646.(1) 1176×b=a4(2) a，b是正整數【答案】C【解析】條件(1)和條件（2）顯然單獨不充分，1176=2×588=2×2×294=２×2×2×147=23×3×72，所以要使得a最小，則b最少取2×33×72.17. 正整數m是一個完全平方數.(1) m是一個整數(2) 對於每個質數p，若p是m的一個因子，則p2也是m的一個因子【答案】A【解析】條件（1）顯然是充分的，對於條件（2），可以舉出反例p=2,m=8.18. p=mq+1為質數.(1) m為正整數，q為質數(2) m，q均為質數【答案】E【解析】舉出反例m=3,q=5，所以(1）和(2）都不成立，聯合也不成立.19. a，b，c是三個實數，則a+b+c=14.(1) a，b，c都是質數(2) abc=5(a+b+c)【答案】C【解析】條件(1)和條件(2)顯然不充分，聯合起來，由於a，b，c都是質數，則不妨設a=5,則bc=b+c+5 (b-1)(c-1)=6，所以b=2,c=7.20. n是自然數，則n=156.(1) n加上100是一個完全平方數(2) n加上168是一個完全平方數【答案】C【解析】條件(1)和條件(2)顯然不充分，聯合起來，n+100=m2,n+168=k2，兩式相減可得68=(k+m)(k-m)，則k-m=2,k+m=34,k=18,m=16，所以n=156.21. x，y，z都是實數，則xyz=900.(1) y=x2=z+13(2) x，y，z都是質數，x+y+z<50【答案】E【解析】條件(1）和(2）顯然不充分，又無法聯合，所以選E.【題型3】有理數與無理數的運算性質1. 已知m，n是有理數，方程x2+mx+n=0有一個根是5-2,則m+n是() A. 2B. 3C. 4D. 1E. 0【答案】B【解析】首先有理係數多項式的無理根是成對出現的，另外一個根是-5-2，根據韋達定理-m=(5-2)+(-5-2)=-4,n=-1，所以選B.2. 已知a，b，c是有理數，且13-242=a7+b6+c，2012a+2013b+2014c的值為() A. 2B. 3C. 4D. -1E. 0【答案】D【解析】13-242=|7-6|=7-6，則a=1,b=-1,c=0，所以選D.3. 設整數a,m,n滿足a2-42=m-n，則a+m+n的取值的種類有() A. 2B. 3C. 4D. 1E. 無數種【答案】A【解析】a2-42=m+n-2mn a2=m+n,
mn=8 m=4,
n=2或m=8,
n=1.但是m=4,
n=2 a=±6（舍去），所以選A.4. 11+3+13+5+15+7+199+101=() A. 12(101-1)B. 12(101+1)C. 13(101-1) D. 1E. 0【答案】A【解析】由於1n+m+n=1m(n+m-n)，則11+3+13+5+15+7+…+199+101=12(3-1+5-3+7-5+…+101-99）=12（101-1）.5. (2+1)(22+1)(24+1)·…·(264+1)=() A. 2128-1B. 212-1C. 2256-1D. 264-1E. 289-1【答案】A【解析】分子分母同時乘以2-1,(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)·…·(264+1)2-1=2128-1.6. 1+12+13+…+110012+13+…+199-1+12+…+19912+13+…+1100=() A. -1100B. 1100C. 199D. 1200E. -1200【答案】A【解析】設t=12+13+…+199，則1+12+13+…+110012+13+…+199-1+12+…+19912+13+…+1100=1+t+1100t-(1+t)t+1100=-1100.7. 11×2+21×2×3+31×2×3×4+…+91×2×…×10=() A. 1-19!B. 1-110!C. 199D. 1200E. 110!【答案】B【解析】11×2+21×2×3+31×2×3×4+…+91×2×…×10=11!-12!+12!-13!+…+19!-110！=11!-110!.8. 1×２×３＋２×4×６+3×6×9+…+100×200×3002×3×4+4×6×8+6×9×12+…+200×３００×400=() A. 110B. 14C. 199D. 1200E. -1200【答案】B【解析】1×2×3+2×4×6+3×6×9+…+100×200×3002×3×4+4×6×8+6×9×12+…+200×300×400=
1×2×3(1+23+33+…+1003)2×3×4(1+23+33+…+1003)=14.9. 滿足等式xy+yx-2003x-2003y+2003xy=2003的正整數解(x,y)的個數為() A. 2B. 3C. 4D. 1E. 5【答案】A【解析】xy+yx-2003x-2003y+2003xy=2003xy(x+y+2003)=2003(x+y+2003)xy=2003因為2003是質數，則隻有兩組解.10. x,y是實數，且y=1-4x+4x-1+12，xy+2+yx-xy-2+yx=() A. 2B. 2C. 4D. 1E. 5【答案】B【解析】顯然，x=14，y=12，則xy+2+yx-xy-2+yx=2.11. 320+142+320-142=() A. 2B. 3C. 4D. 1E. 5【答案】C【解析】x=320+142,y=320-142,(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y),I=320+142+320-142,I3=40+6I,所以選C.12. 如果a，b，c都是正整數，則a+b2,b+c2,c+a2() A. 都是正整數B. 至少一個正整數 C. 至少兩個正整數D. 都不是正整數 E. 都是偶數【答案】B【解析】至少會有一個整數．根據整數的奇偶性：兩個整數相加除以2可以判定三種情況：奇數+偶數=奇數，如果除以2，不等於整數；奇數+奇數=偶數，如果除以2，等於整數；偶數+偶數=偶數，如果除以2，等於整數；故討論a，b，c的四種情況：全是奇數：則a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2全是整數；全是偶數：則a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2全是整數；一奇兩偶：則a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2一個整數；一偶兩奇：則a+b除以2，b+c除以2，c+a除以2一個整數.綜上所述，所以至少會有一個整數．13. m是一個整數.(1) 若m=pq,其中p,q為非零整數，且m2是一個整數(2) 若m=pq,其中p,q為非零整數，且2m+43是一個整數【答案】A【解析】對於條件（1），反證法可以證明是充分的；條件（2），可以找出一個反例加以否定，比如m=-12.14. a,b,c,d都是有理數，x是無理數，則ax+bcx+d是有理數.(1) a=0(2) c=0【答案】E【解析】條件(1）和條件(2）顯然信息量不全，所以考慮聯合，有可能d=0.【題型4】整除與餘數1. 已知248-1可以被60到70之間的兩個整數整除，這兩個整數是() A. 62,63B. 62,64C. 65,63D. 67,63E. 69,63【答案】C【解析】248-1=(224-1)(224+1)=(26+1)(212+1)(224+1)(26-1),所以可以看出選C.2. 已知n是非零自然數，則I=n3+(n-1)3+(n+1)3一定是的倍數.() A. 10B. 7C. 9D. 5E. 6【答案】C【解析】I=n3+(n-1)3+(n+1)3=3n(n-1)(n+1)+3n[n2+(n-1)2+(n+1)2-n(n-1)-(n-1)(n+1)-n(n+1)]=3n(n-1)(n+1)+9n.因為n(n-1)(n+1)是3的倍數，所以選C.3. 有個四位數滿足下列條件：它的各位數字都是奇數；它的各位數字互不相等；它的各位數字都能整除它本身.() A. 10B. 7C. 8D. 5E. 6【答案】E【解析】奇數有1，3，5，7，9，肯定不含7，所以隻含有1，3，5，9，要是5的倍數一定5結尾，所以1，3,9隨便排序，所以答案是E.4. 一個盒子裝有不多於200顆糖，每次2顆，3顆，4顆或6顆地取出，最終盒內都隻剩下一顆糖，如果每次以11顆地取出，那麼正好取完，則盒子裏共有m顆糖，m的各個數位之和為() A. 8B. 10C. 4D. 12E. 6【答案】C【解析】設這個盒子中糖的總量是m，則m=12k+1=11n,k,n∈Z，兩邊同時加上11，則可以估計m的值，m+11既是12的倍數，又是11的倍數，所以m隻能取121.5. 小明趕10000隻鴨子到野外覓食，已知當天走失的鴨子不超過100隻，回家後每3隻一數，每5隻一數，每7隻一數，都剩下一隻，則走失的鴨子最多隻.() A. 38B. 10C. 24D. 12E. 61【答案】C【解析】設鴨子留下的數量為m，則m=[3,5,7]k+1=105k+1，由於已知當天走失的鴨子不超過100隻，所以105k+1≥9900 k≥95，所以k=95，走失的鴨子是24.6. 一盒圍棋子，4隻4隻數多3隻，6隻6隻數多5隻，15隻15隻數多14隻，這盒圍棋子在150—200之間，則這盒圍棋子11隻的數，最後餘隻.() A. 2B. 3C. 4D. 5E. 6【答案】B【解析】設圍棋為n個，那麼n+1就能同時被4，6，15整除，因為4=2×2，6=2×3，15=3×5，則4、6、15的公倍數為2×2×3×5=60，在150—200之間的60的倍數是180，則有n+1=180，n=179，即11隻的數，餘3隻.7. 若n是一個大於100的正整數，則n3-n一定有約數() A. 5B. 6C. 7D. 8E. 12【答案】B【解析】n3-n表示三個連續自然數相乘，一定是2的倍數，也一定是3的倍數，則選B.8. 三個連續正整數之和是42.(1) 三個連續正整數任意兩個數乘積後的和為587(2) 三個連續正整數的平方和是590【答案】D【解析】對於條件(1）,n(n+1)+n(n-1)+(n-1)(n+1)=587 n=14;對於條件(2）,n2+(n-1)2+(n+1)2=590 n=14,所以選D.9. 能確定2n5是偶數.(1) m=5+2,m+1m的整數部分是n(2) n為整數，且13n10是整數【答案】B【解析】對於條件(1）,m+1m的整數部分是4，顯然不成立;條件(2）成立.【題型5】比與比例的運算性質1. 若a∶b=13∶14,則12a+16b12a-8b是() A. 1B. 2C. 4D. 8E. 12【答案】C【解析】a∶b=13∶14 a∶b=4∶3 a=4,b=3，12a+16b12a-8b=9624=4.2. 若實數a，b，c滿足a∶b∶c=1∶2∶5，且a+b+c=24，則a2+b2+c2=() A. 12B. 25C. 124D. 225E. 270【答案】E【解析】設a=k,b=2k,c=5k，則帶入a+b+c=24，則k=3,所以a2+b2+c2=270.3 .某物流公司將一批貨物的60％送到甲商場，100件送到了乙商場，其餘的都送到丙商場，若送到甲丙兩商場的貨物數量之比為7∶3，則該貨物的數量是() A. 700B. 800C. 900D. 225E. 270【答案】A【解析】設總量是S，則運到甲地的是35S=7k，S是7的倍數.4. 第一季度甲公司的產值比乙公司的產值低20％,第二季度甲公司的產值比第一季度增長了20％，乙公司的產值比第一季度增長了10％，第二季度甲乙兩公司的產值之比是() A. 96∶115B. 92∶115C. 48∶55 D. 24∶25E. 10∶11【答案】C【解析】設第一季度：甲為80，乙是100，則第二季度：甲為96，乙是110.5. 若非零實數a,b,c,d滿足等式ab+c+d=ba+c+d=ca+b+d=da+b+c=n,則n的值為() A. -1或14B. 13C. 14 D. -1E. -1或13【答案】E【解析】根據等比定理：n=-1,a+b+c+d=0,
a+b+c+d3(a+b+c+d)=13,a+b+c+d≠0.補充：若x3y=y2x-5y=6x-15yx，則4x2-5xy+6y2x2-2xy+3y2=() A. 92B. 1C. -2D. 95E. 4【答案】A【解析】考慮三個式子相乘即可，得到每個式子的值是1，找到x，y的關係，帶入原式即可.補充：已知p+q+r=9,且px2-yz=qy2-xz=rz2-xy，則px+qy+rzx+y+z=() A. 10B. 12C. 9D. 0E. 4【答案】C【解析】一方麵：px2-yz=qy2-xz=rz2-xy=9x2+y2+z2-xy-yz-xz;另一方麵：pxx3-xyz=qyy3-xyz=rzz3-xyz=px+qy+rzx3+y3+z3-3xyz.因為x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz)，所以px+qy+rzx+y+z=9.6. 某家庭在一年支出中，子女教育支出與生活資料支出的必為3∶8，文化娛樂支出與子女教育支出為1∶2.已知文化娛樂支出占家庭總支出的10.5％，則生活資料支出占家庭總支出的() A. 40％B. 42％C. 48％D. 56％E. 64％【答案】D【解析】子∶生=3∶8，文∶子=1∶2，文總=10.5％，生總=x，則x=56％.7. 兩個相同的瓶子裝滿酒精溶液，一個瓶子中酒精與水的體積比是3∶1，另一個瓶子中酒精與水的體積比是4∶1，若把兩瓶酒精溶液混合，則混合後的酒精和水的體積之比是() A. 31∶9B. 7∶2C. 31∶40D. 20∶11E. 以上均不是【答案】A【解析】用特值法，設兩個瓶子的容積都是100，第一個瓶子的酒精是75，水是25，第二個瓶子中酒精是80，水是20，則混合在一起後總的酒精是155，水是45，所以選A.8. ca+b x+y，所以 x≥14，因為5x為奇數，所以x=15，所以S=22.10. 房間內有凳子和椅子若幹個，每個凳子有3條腿，每個椅子有4條腿，當它們全部被坐上後，共有43條腿(包括每人兩條腿)，則房間的人數是() A. 8B. 10C. 11D. 12E. 13【答案】A【解析】設凳子x個，椅子y個，則根據題目的意思可以得到5x+6y=43, x,y∈N,經過計算x=5,y=3.11. 袋子裏麵有三種球，分別標有2，3，5，小明從中摸出12個小球，它們的數字之和是43，則小明最多摸出個標號為2的球.() A. 5B. 6C. 7D. 8E. 9【答案】A【解析】設摸出的2號球x個，3號球y個，5號球z個，根據題目的意思2x+3y+5z=43, x+y+z=12, x,y,z∈N,消去係數小的變量x，可以得到y+3z=19，根據z的範圍可以知道小明最多摸出5個2號球.12. 現有邊長相等的a正三角形，b正方形，c正五邊形，d正六邊形，四種地板磚，要選擇其中的兩種用來鋪地板，則下列選擇正確的是（） A. a和bB. a和cC. c和bD. c和dE. b和d【答案】A【解析】設用x個正三角形和y個正四邊形來密鋪，則60x+90y=360，有正整數解：x=3，y=2，故可以實現密鋪，故選A.13. 在某次考試中，甲、乙、丙三個班的平均成績為80,81,81.5，三個班的學生分數之和為6952，三個班共有人數是() A. 85B. 86C. 87D. 88E. 90【答案】B【解析】設甲乙丙三個班的人數是x,y,z,則80x+81y+81.5z=6952，所以80x+80y+80z<6952<81.5x+81.5y+81.5z，85.3 10(x-1)≤y<10x,則y=45.選C.17. 某單位年終獎共發了100萬元獎金，獎金金額分別是一等獎1.5萬元，二等獎1萬元，三等獎0.5萬元，則該單位至少有100人.(1) 得二等獎的人數最多(2) 得三等獎的人數最多【答案】B【解析】設一等獎、二等獎、三等獎的人數分別為x、y、z人，則根據題幹有 1.5x+y+0.5z=(x+y+z)+0.5(x-z)=100，第二個條件都可以得到x-z≤0，從而x+y+z≥100，充分，選B.18. 將2L甲酒精和1L乙酒精混合得到丙酒精，則能確定甲、乙兩種酒精的濃度.(1) 1L甲酒精和5L乙酒精混合後的濃度是丙酒精濃度的12倍(2) 1L甲酒精和2L乙酒精混合後的濃度是丙酒精濃度的23倍【答案】E【解析】根據方程的唯一解原理，條件(1）和條件(2）顯然單獨不充分，考慮聯合，根據克萊默法則可知，聯合也不充分.19. 利用長度為a米和b米兩種管材可以連接成長度為37米的管道.(1) a=3，b=5(2) a=4，b=6【答案】A【解析】對於條件(1）,方程3m+5n=37, m,n∈N顯然有解，所以條件(1）充分;對於條件(2）,方程4m+6n=37, m,n∈N顯然無解，所以選B.20. 已知M={a,b,c,d,e}是一個整數集合，則能確定集合M.(1) a，b，c，d，e的平均值是10(2) a，b，c，d，e的方差是2【答案】C【解析】根據方程的解得原理，條件(1）和條件(2）顯然單獨不充分，聯合條件(1）和條件(2）,隻需解方程(a-10)2+(b-10)2+(c-10)2+(d-10)2+(e-10)2=10,M={a,b,c,d,e}是一個整數集合，所以a=12,b=8,c=11,d=9,e=10即可！【題型8】階梯價格問題（電費，水費，郵費，話費，個人所得稅，銷售提成的算法）1. 為了調節個人收入，減少中低收入者的賦稅負擔，國家調整了個人工資薪金所得稅的征收方案.已知原方案的起征點為2000元\/月，稅費分九級征收，前四級稅率見下表：級數全月應繳納所得稅額q元稅率10 55=4×5+(y-5)x x=7.3. 某市用水價格是：每戶每月不超過5噸的部分按照4元\/噸收取，超過5噸但是不超過10噸的部分按照6元\/噸收取，超過10噸的部分按照8元\/噸來收取，某戶居民兩個月共交水費108元，則該用戶這兩個月用水量最多為() A. 21噸B. 22噸C. 24噸D. 17.25噸E. 26噸【答案】A【解析】水費一定時候，兩個月均攤的時候，高價水費就會減少，此時噸數最多，21噸，所以選A.4. 某公司按照銷售人員營業額的不同，分別給予不同的銷售提成，提成規定如下，某員工在2012年4月份所得提成770元，則該員工該月的銷售額為()銷售額\/元提成率不超過100000％10000—150002.5％15000—200003％20000—300003.5％30000—400004％40000以上5％ A. 22225元B. 24558元C. 33625元 D. 57828元E. 71221元【答案】C【解析】計算方法和個人所得稅是相同的，所以選C.5. 2006年1月1日起,某市全麵推行農村合作醫療,農民每年每人隻拿出10元就可以享受合作醫療.某人住院報銷了805元,則花費了()住院費(元)報銷率(％)不超過3000153000-4000254000-5000305000-100003510000-2000040 A. 3220元B. 4183.33元C. 4350元 D. 4500元E. 以上均不對【答案】C【解析】計算方法和個人所得稅是相同的，所以選C.6. 國家稅務部門規定個人稿費的納稅辦法是：不超過800元的不納稅，超過800而不超過4000元的按照超過800部分的14%納稅，超過4000元的按全稿費的11%納稅，某人出版了一本書，共納稅550，問此人的稿費為() A. 3220元B. 4183元C. 4350元D. 5000元E. 以上均不對【答案】D【解析】計算方法和個人所得稅是相同的，根據分段函數的計算方法，所以選D.7. 某商場在一次活動中規定：一次購物不超過100元時沒有優惠；超過100元而沒有超過200元時，按購物全額9折優惠；超過200元時，其中200元按9折優惠，超過200元的部分按8.5折優惠.若甲、乙兩人在該商場購買的物品分別付費94.5元和197元，則兩人購買的物品在舉辦活動前需要的付費總額是() A. 291.5元B. 314.5元C. 325元 D. 291.5元和314.5元E. 314.5元或325元【答案】E【解析】注意甲有兩種情況，一種是沒優惠，直接是94.5元，另一種是甲9折優惠94.50.9=105（元）；乙是200元按照9折，是180元，剩下的8.5折是196-1800.85元，所以乙付了220元，從而兩人總共付錢314.5元或325元.【題型9】最優化問題1. 線性規劃2. 二次函數3. 均值定理4. 至多至少1. 汽車公司有兩家裝配廠，生產甲、乙兩種不同型號的汽車，已知A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車，B廠每小時完成3輛甲型車和1輛乙型車，欲造40輛甲型車和20輛乙型車，則這兩家工廠各工作小時，才能使得所費的總工時數最少.() A. 18B. 10C. 16D. 12E. 13【答案】C【解析】設A廠生產x小時，B廠生產y小時，總的工時數為L=x+y，則x+3y≥40, 2x+y≥20 x=4, y=12.2. 有一批水果要裝箱，一名熟練工單獨裝箱需要10天，每天報酬為200元，一名普通工單獨裝箱需要15天，每天報酬為120元，由於場地限製，最多可同時安排12人裝箱，若要求在一天內完成裝箱任務，則支付的最少報酬為() A. 1800元B. 1840元C. 1920元D. 1960元E. 2000元【答案】C【解析】設熟練工的個數是x個，普通工的個數是y個,則根據題目的意思報酬可以表示為：L=200x+120y,x+y≤12, 110x+115y≥1,聯立求解可以得到x=6, y=6,所以答案是C.3. 某公司有60萬資金，計劃投資甲乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小於對項目乙投資的23倍，且對每個項目的投資不能低於5萬元，對項目甲每投入1萬元可獲得0.4萬的利潤，對項目每投資乙項目1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司能獲得最大利潤是萬元.（） A. 18.4B. 31.2C. 19.2D. 19.6E. 20【答案】B【解析】設對項目甲的投資是x萬，對項目乙的投資是y萬，最大報酬是L=0.4x+0.6y,x+y≤60, x≥23y x=24, y=36,所以選B.4. 某居民校區決定投資15萬元修建停車位，據測算，修建一個室內車位的費用為5000元，修建一個室外車位的費用為1000元考慮實際因素，計劃室外車位的數量不少於室內車位的2倍，也不多於室內車位的3倍，這筆投資最多可建車位的數量為（） A. 78B. 74C. 72D. 70E. 66【答案】B【解析】設對室內的停車位修x個，設對室外的停車位修y個，最多的停車位是L=x+y,5000x+1000y≤150000, 2x≤y≤3x.由於便宜的越多越好，所以5000x+1000y≤150000, 2x≤y≤3x,所以5x+y=150, y=3x x=18.75，所以x=18,y=54或者x=19,y=55.5. 某公司計劃運送180台電視機和110台洗衣機下鄉，現在有兩種貨車，甲種貨車每輛可最多可載40台電視機，10台洗衣機，乙種貨車每輛最多可載20台電視機和20台洗衣機，已知甲乙兩種貨車的租金分別是每輛400元和360元，則最少的運費是（） A. 2560元B. 2600元C. 2640元D. 2580元E. 2720元【答案】B【解析】設租了甲x輛，乙y輛，所以40x+20y≥180, 10x+20y≥110,即2x+y≥9, x+2y≥11,所以y越大越好,x=2, y=5.6. （2014年10月）A,B兩種不同型號的客車載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元\/輛和2400元\/輛，某旅行社租用A，B兩種車輛安排900名旅客出行，則至少要花租金37600元.(1) B型車的租用數量不多於A型車的租用數量(2) 租用車總數量不多於20輛【答案】A【解析】對於條件(1）,設A,B兩種不同型號的客車分別租x輛和y輛.根據題目的條件36x+60y≥900, y≤x,目標函數是L=1600x+2400y，則聯立可得出最優值是37600，條件(1）充分，但是條件(2）不充分，選A.7. 已知某廠生產x件產品的成本C=25000+200x+140x2(元)，若產品以每件500元售出，則使得利潤最大的產量是() A. 2000B. 3000C. 4000D. 5000E. 6000【答案】E【解析】根據題目的意思，我們可以得到利潤關於件數的二次函數，L=500x-C=500x-140x2-200x-25000=-140x2+300x-25000,對稱軸x=6000,所以選E.8. 設罪犯與警察在一開闊地上相隔一條寬0.5公裏的河，罪犯從北岸A點處以每分鍾1公裏的速度向正北逃竄，警察從南岸離B點兩公裏以每分鍾2公裏的速度向正東追擊，則警察從B點到達最佳射擊位置（即罪犯與警察相距最近的位置）所需的時間是（） A. 25分鍾B. 35分鍾C. 710分鍾D. 910分鍾E. 1分鍾【答案】C【解析】根據題目的意思，我們可以得到警察與罪犯之間的距離關於時間的二次函數L=5t2-7t+C，對稱軸t=710，所以選C.9. 甲商店銷售某種商品，該商品的進價為每件90元，每件定價為100元，則一天內能售出500件，在此基礎上，定價每增加一元，一天便可少售出10件，甲商店欲獲得最大利潤，則該商品的定價應該為（） A. 115元B. 120元C. 125元D. 130元E. 135元【答案】B【解析】根據題目的意思，設定價為x,我們可以得到商店利潤與定價之間的二次函數L=(x-90)[500-(x-100)·10]=-10(x-90)(x-150)，所以選B.10. 某產品的產量Q與原材料A，B，C的數量x，y，z（單位均為噸）滿足Q=0.05xyz，已知A，B，C每噸的價格是3，2，4（百元）.若用5400元購買A，B，C三種原材料，使得產量最大的A，B，C的采購量分別為（） A. 6噸，9噸,4.5噸B. 2噸,4噸,8噸C. 4噸,7噸,8噸 D. 3噸,4噸,5噸E. 以上都不是【答案】A【解析】根據題目的意思，因為300x+200y+400z=5400,Q=0.05xyz=0.05124(3x)(2y)(4z)≤0.051243x+2y+4z33,所以3x=2y=4z=18 x=6,y=9,z=4.5.11. 工廠定期的購買一種原料，已知該廠每天需要用該原料6噸，每噸價格 1800 元，原料的保管費用平均每天每噸3元，每次購買原料支付的運費900元，若該工廠要使得平均每天支付的總運費最省，則應該每天購買一次原料.() A. 6B. 9C. 7D. 10E. 以上都不是【答案】D【解析】根據題目的意思，Fn=6n·1800+6×3·(n+n-1+…+2+1）+900n=9n+900n+C,所以n=10的時候達到最小值.12. 設變量x，y滿足約束條件：x-4y≤-3, 3x+5y≤25, x≥1,則目標函數z=2x+y的最小值是() A. 6B. 3C. 7D. 10E. 以上都不是【答案】B【解析】隻要求出三條直線的三個交點即可（5,2），（1,1），1，225，然後往目標函數中去代入即可，答案是3.13. 企業生產甲乙兩種產品，已知生產每噸甲產品需要用A原料3t，B原料 2t，生產每噸乙產品要用A原料1t，B原料3t，銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元.該企業在一個生產周期內消耗A原料不超過13t，B原料不超過18t，那麼該企業可以獲得的最大利潤是萬元.() A. 26B. 23C. 27D. 10E. 以上都不是【答案】C【解析】已知約束條件,3x+y≤13，2x+3y≤18，x≥0，y≥0，求目標函數 z=5x+3y的最大值.解方程組：3x+y-13=0, 2x+3y-18=0.可求出最優解為x=3，y=4,故z=15+12=27.14. 某年級共有8個班，在一次年級考試中，共有21名學生不及格，每班不及格的學生最多有三名，則一班至少有一名學生不及格.(1） 二班不及格的人數多於三班(2） 四班不及格的學生有2名【答案】D【解析】對條件(1）,可以假設二班的人數是3，三班的人數是2，除了一班，二班和三班還有5個班級，最多可以容納15人，所以必然有一個不及格的同學在一班，所以條件(1）充分；對於條件(2)，除了一班和四班外還有6個班，這6個班最多容納18個人，加上4班的兩個人一共是20個人，所以一班至少一個人.15. 甲班共有30名同學，在一次滿分為100分的考試中，全班的平均成績為90，則成績低於60分的同學至多有人.() A. 8B. 7C. 6D. 5E. 4【答案】B【解析】一共是3000分，但是全班平均分是2700，少了300分，所以要使得不及格的同學盡可能的多，就要使得每個不及格的同學失去的分盡可能的少，所以41x≤300 x≤7.16. 共有100個人參加某公司的招聘考試，考試內容共有5道題，1—5題分別有80人，92人，86人，78人和74人答對，答對了3道和3道以上的人員能通過考試，則能通過考試的人數至少是() A. 30B. 55C. 70D. 74E. 80【答案】C【解析】我們可以先算算錯的題目，總共是90道題目.90道題目能夠導致最多30人被淘汰掉（因為90道題目最少可以18個人錯5道，最多則是30人錯3道），即最少有70人通過考試.17. 有21個橘子分給5給人，每個人分得的橘子的數量不相同，則分得橘子最多的人至少可分得橘子的個數是() A. 7B. 3C. 5D. 8E. 6【答案】A【解析】設分得橘子數量最多的人分得x個，要使得他分得盡可能的少，其他人就要盡可能的多，所以我們可以保證每個人分得的橘子數量是相鄰自然數即可，x+x-1+x-2+x-3+x-4=21 x=6.2，所以選A.18. 20人參加百分製的考試，及格線為60分，20人平均成績為88分，及格率為95％，所有人得分均為整數，且彼此得分不同，則成績排名第十的人最低考分是() A. 88B. 89C. 70D. 74E. 80【答案】B【解析】20個人總共失去20×(100-88)=240，由於及格率為95%，隻有一個人不及格，要使得第十名失去的分盡量多，可以使得前9名同學分別失去了0,1,2,3，4，5—8分，而從第11名至第19名失分盡量少，可設第10名，第11名，…，第19名失去的分數是x,x+1,x+2,…，x+9，所以0+1+2+…+8+x+x+1+…+x+9+41≤240 x≤11,所以選B.19. 五個人參加數學競賽共得404分，每個人得分互不相同，最高分是90分，則得分最低的選手至多得分是() A. 72B. 73C. 75D. 78E. 77【答案】E【解析】解法同例17.20. 某單位在甲、乙兩個倉庫中分別存在著30噸和50噸貨物，現要將這批貨物轉運到A、B兩地存放，A、B兩地的存放量都是40噸.甲、乙兩個倉庫到A、B兩地的距離（單位：公裏）如表1所示，甲、乙兩個倉庫運送到A、B兩地的貨物重量如表2所示.若每噸貨物每公裏的運費是1元，則下列調運方案中總運費最少的是() A. x=30,y=10u=0,v=40B. x=0,y=40u=30,v=10 C. x=10,y=30u=20,v=20D. x=20,y=20u=10,v=30 E. x=15,y=25u=15,v=25表1甲乙A1015B1510表2甲乙AxyBuv【答案】A【解析】由題目總運費M=10x+15y+15u+10v=-10x+1150(0≤x≤30)，把選項代到運費函數中驗證即可！【題型10】年齡問題（同步增長和差值恒定）1. 母女倆今年的年齡共35歲，再過5年，母親的年齡為女兒的4倍，母親今年的歲數是() A. 29B. 30C. 31D. 32E. 33【答案】C【解析】設母親今年x歲,則根據題目的意思可以得到4（35-x+5）=x+5，則x=31,所以選C.2. 哥哥5年前的年齡等於7年後弟弟的年齡，哥哥4年後的年齡與弟弟3年前的年齡和是35歲，哥哥今年的年齡是() A. 22B. 23C. 24D. 25E. 26【答案】B【解析】設哥哥今年x歲,則弟弟今年x-12，則根據題目的意思可以得到x+4+x-12-3=35，則x=23，所以選C.3. 甲對乙說：當我的歲數是你現在的歲數時,你才4歲.乙對甲說：當我是你現在的歲數時,你將67歲.甲現在的歲數是() A. 46B. 23C. 24D. 25E. 26【答案】A【解析】此題畫圖分析可以直接看出選A.【題型11】其他類型題目1. 某人在市場上買豬肉，小販稱得為4斤，但此人不放心，拿出一個自備的100克重的砝碼，將肉和砝碼放在一起讓小販用原稱複稱，結果重量為4.25斤，由此，可知顧客應該要求小販補豬肉兩.() A. 3B. 6C. 4D. 7E. 8【答案】E【解析】砝碼100克，豬肉稱得2000克（4斤），豬肉+砝碼稱得2125克，得出125克的肉含有25克的虛擬重量，設實重為X，那麼虛擬重量就是14X，列方程得出X+0.25X=2000，得X（實重）=1600克，少了2000-1600=400（克），要求小販補400克就是八兩豬肉.2. 甲乙兩商店某種商品的進貨價格都是200元，甲店以高於進貨價格的20％出售，乙店以高於進貨價格的15％出售，結果乙店的售出件數是甲店的2倍，扣除營業稅後乙店的利潤比甲店多5400元，若設營業稅率是營業額的5％,那麼甲乙兩個商店分別售出該商品的件數是() A. 450,900B. 500,1000C. 550，1100 D. 600,1200E. 650,1300【答案】D【解析】設甲店售出x件，則乙店售出2x件，根據題目的意思(200×2x×1.15×0.95-200×2x)-(200×x×1.2×0.95-200x)=5400，解得x=600,所以選D.3. 某人用10萬元購買了甲、乙兩種股票，當甲股票上升a％，乙種股票下降b％時，此人購買的甲乙兩種股票總值不變，則此人購買甲種股票用了6萬元.(1) a=2，b=3(2) 3a=2b（a不是0）【答案】D【解析】利用十字交叉法，直接秒殺選D.4. 用一根繩子量井深，若將繩子折成3折來量，則井外餘4尺，若將繩子折成4折來量，則井外餘1尺，井深為尺.() A. 4B. 5C. 6D. 7E. 8【答案】E【解析】設井深是x，則3x+12=4x+4，所以x=8.5. 甲乙兩項工程分別由一、二工程隊負責完成，晴天時候，一隊完成甲工程需要12天，二隊完成乙工程需要15天，雨天時候，一隊的效率是晴天的60％，二隊的效率是晴天的80％，結果兩隊同時開工，並且同時完成自己的工程，那麼在這段工期內，雨天的天數為（） A. 8B. 10C. 12D. 15E. 以上都不正確【答案】D【解析】本題可以采取效率特值法，設兩個工程分別是60，晴天的天數為x，雨天的天數為y，一隊晴天的效率是5，雨天的效率是3，二隊晴天的效率是4，二隊雨天的效率是3.2，則5x+3y=60, 4x+3.2y=60 x=3,y=15.6. 乒乓球的577個盒子從左到右排成一行，如果最左邊的盒子裏放了6個乒乓球，且每相鄰的四個盒子裏共有32個乒乓球，那麼最右邊盒子裏的乒乓球個數為() A. 6B. 7C. 8D. 9E. 10【答案】A【解析】根據等差數列的原理可以求出最右邊盒子裏的乒乓球個數為6個.7. 某種同樣的商品裝成一箱，每個商品的重量都超過1千克，並且是1千克的整數倍，去掉箱子重量後淨重210千克，拿出若幹個商品後，淨重183千克，則每個商品的重量為（） A. 1千克B. 2千克C. 3千克D. 4千克E. 5千克【答案】C【解析】根據數字遺傳法，直接選C.8. 整個隊列的人數是57.(1) 甲乙兩人排隊買票，甲前麵有20人，而乙的後麵有30人(2) 甲乙兩人排隊買票，甲乙之間有5人【答案】E【解析】條件(1）和條件(2）顯然都不充分，聯合也不充分，所以選E.10. 某班有50名學生，其中女生26人，在某次選拔測試中，有27名學生未通過，則有9名男生通過.(1) 在通過的學生中，女生比男生多5人(2) 在男生中，未通過的人數比通過的人數多6人【答案】D【解析】通過解方程組的方法可以得到,條件(1）和條件(2）都充分,所以選D.11. A、B、C三種商品的價格分別是2元，3元和5元，某人購買三種商品若幹件，共付20元錢，後發現其中一種商品多買了欲退回2件，但付款處隻有10元一張的人民幣，無其他零錢可以找，此人隻得在退掉多買的2件商品的同時，對另外兩種商品購買的數量做了調整，使總錢數不變，則他最後購買了C商品的數量是() A. 2B. 4C. 3D. 6E. 1【答案】E【解析】設此人開始購買ABC三種商品分別是x，y，z件，則2x+3y+5z=20，其中x，y，z是非負整數，顯然他多買的商品不是C，否則找回一張10元，即可退掉2件商品，假設他多買的商品是A，2件應該為4元，無法用B，C兩種商品替換，所以他多買的商品隻能是B，兩件應該為6元，可用3件A商品替換，再由題目可以知道y≥3，則x=3,y=3,z=1.12. （比賽問題）12支籃球隊進行單循環比賽，完成全部的比賽共需11天.(1) 每天每隊隻比賽一場(2) 每天每隊隻比賽兩場【答案】A【解析】12支籃球隊進行單循環比賽，一共是66場比賽，對於條件（1），每天每隊打1場，則一天進行6場，所以選A.13. 在一次足球預選賽中有5個球隊進行雙循環賽，規定勝一場得3分，平一場得一分，負一場得0分，賽完後一個球隊的積分的不同情況為（） A. 25B. 24C. 23D. 22E. 21【答案】B【解析】5個球隊進行雙循環賽一個隊比賽8場，如果全勝得24分，如果全輸得0分，那麼一共有25種積分，但是平一場得一分，會導致23分取不到，所以選B.第二章課後練習題目一、問題求解1. 電影開演時觀眾中女士與男士人數之比為5∶4，開演後無觀眾入場，放映一小時後，女士的20％，男士的15％離場，則此時在場的女士與男士人數之比為（） A. 4∶5B. 1∶1C. 5∶4D. 20∶17E. 85∶642. 一種貨幣貶值20％，一年後需增值才能保持原幣值.() A. 18％B. 20％C. 22％D. 24％E. 25％3. 有96位顧客至少購買了甲、乙、丙三種商品中的一種，經調查：同時購買甲、乙兩種商品的有8位，同時購買甲、丙兩種商品的有12位，同時購買乙、丙兩種商品的有6位，三種同時購買有2位，則僅購買一種商品的顧客有（） A. 70位B. 72位C. 74位D. 76位E. 82位4. 若用濃度30％和20％的甲、乙兩種食鹽溶液配成濃度為24％的食鹽溶液500克，則甲、乙兩種溶液應各取（） A. 180克和320克B. 185克和315克 C. 190克和310克D. 195克和305克 E. 200克和300克5. 某單位有90人，其中有65人參加外語培訓，72人參加計算機培訓，已知參加外語培訓而沒參加計算機培訓的有8人，則參加計算機培訓而沒參加外語培訓的人數為（） A. 5B. 8C. 10D. 12E. 156. 將價值200元的甲原料與價值480元的乙原料配成一種新原料.若新原料每千克的售價分別比甲、乙原料每千克的售價少3元和多1元，則新原料的售價是（） A. 15元B. 16元C. 17元D. 18元E. 19元7. 一艘輪船往返航行於甲、乙兩個碼頭之間，若船在靜水中的速度不變，則當這條河的水流速度增加50％時，往返一次所需的時間比原來將（） A. 增加B. 減少半個小時C. 不變 D. 減少一個小時E. 無法判斷8. 甲、乙兩人同時從A點出發，沿400米跑道同向勻速行走，25分鍾後乙比甲少走了一圈，若乙行走一圈需要8分鍾，則甲的速度是（單位：米\/分鍾）（） A. 62B. 65C. 66D. 67E. 699. 某容器中裝滿了濃度為90％的酒精，倒出1升後用水將容器注滿，攪拌均勻後又倒出1升，再用水將容器注滿.已知此時的酒精濃度為40％，則該容器的容積是（） A. 2.5升B. 3升C. 3.5升D. 4升E. 4.5升10. 某商人經營甲、乙兩種商品，每件甲種商品的利潤率為40％，每件乙種商品的利潤率為60％．當售出的乙種商品的件數比售出的甲種商品的件數多50％時，這個商人得到的總利潤率為50％，那麼當售出甲、乙兩種商品的件數相等時，這個商人得到的總利潤率是（） A. 48％B. 50％C. 52％D. 54％E. 56％11. 某電機廠計劃生產一批電機，開始每天生產50台，生產了計劃的1\/5後，由於技術改造使工作效率提高60％，這樣完成任務比計劃提前了3天，則原計劃生產的台數是（） A. 300B. 400C. 500D. 600E. 70012. 某公司年初有資金500萬元，由於堅持改革、大膽創新，每年資金遞增20%，但是公司不忘回報社會，每年年底資助希望工程40萬元，如果m年後，該公司資金至少翻一番，求m的最小值.（參考數據：1.25≈2.49，1.26≈2.99，1.27≈3.58） A. 5B. 3C. 4D. 6E. 713. 甲、乙、丙三種物品,甲與乙的價格之和與丙的價格之比為7∶2；乙與丙的價格之和與甲的價格之比為8∶3,則甲與丙的價格之和與乙的之比是（） A. 11∶12 B. 13∶14C. 49∶50D. 21∶22E. 以上都不是14. 公共汽車每隔a分鍾發車一次，王先生在大街上行走，發現從背後每隔6分鍾開過來一輛公共汽車，而每隔427分鍾迎麵開來一輛公共汽車，若公共汽車與王先生行進的速度都是均勻的，則a為() A. 6B. 5C. 5.5D. 4.8E. 5.415. 來水廠規定，居民用水量月不超過5噸的，按2.1元\/噸收取，超過5噸不超過15噸的部分按2.8元\/噸收取，超過15噸的部分按3.5元\/噸收取，某家本月交水費73.5元，則本月用水() A. 23噸B. 24噸C. 25噸D. 26噸E. 27噸二、充分性判斷16. 遊船順流而下每小時行8千米,逆流而上每小時行7千米,兩船同時從同地出發,甲船順流而下然後返回,乙船逆流而上然後返回,經過2個小時同時回到出發點,在這2個小時中有k個小時兩船的航行方向相同.(1) k=215(2) k=31517. 在一次英語考試中，某班的及格率為80％.(1) 男生及格率為70％，女生及格率為90％(2) 男生的平均分與女生的平均分相等18. 現有一批文字材料需要打印，兩台新型打印機單獨完成此任務分別需要4小時與5小時，兩台舊型打印機單獨完成此任務分別需要9小時與11小時，則能在2.5小時內完成此任務.(1) 安排兩台新型打印機同時打印(2) 安排一台新型打印機與兩台舊型打印機同時打印19. 該股票漲了.(1) 某股票連續三天漲10％後，又連續三天跌10％(2) 某股票連續三天跌10％後，又連續三天漲10％20. 一個桶中裝有34的沙子，可以確定桶中現有的沙子可裝6杯.(1) 如果向桶中加入1杯沙子，則桶中的沙子將占其容量的78(2) 如果從桶中取出2杯沙子，則桶中的沙子將占其容量的一半21. 甲企業一年的總產值為ap[(1+p)12-1].(1) 甲企業一月份的產值為a，以後每月產值的增長率為p(2) 甲企業一月份的產值為a2，以後每月產值的增長率為2p22. 甲、乙兩人曾三次一同去買食鹽，買法不同，由於市場波動，三次食鹽價格不同，三次購買，甲購買的食鹽平均價格要比乙低.(1) 甲每次購買一元錢的鹽，乙每次買1kg鹽(2) 甲每次購買數量不等，乙每次購數一定23. 快、中、慢三輛車同時從同一地點出發，沿同一公路追趕前麵的一個騎車人.這三輛車分別用6分鍾，10分鍾，12分鍾，追上騎車人.現在知道快車每小時走 24千米，中車每小時走20千米，那麼慢車每小時走k千米.(1) k=17(2) k=1924. 一輛車從甲地開往乙地.如果把車速提高20％，可以比原定時間提前1小時到達.如果以原速行駛120千米後，再將速度提高25％，則可提前40分鍾到達，那麼甲、乙兩地相距k千米.(1) k=270(2) k=29025. 甲、乙兩人曾三次一同去買食鹽，買法不同，由於市場波動，三次食鹽價格不同，三次購買，甲購買的食鹽平均價格要比乙低.（1） 甲每次購買一元錢的鹽，乙每次買1kg鹽（2） 甲每次購買數量不等，乙每次購數一定參考答案1—5DECEE6—10CABBA11—15CDCBC16—20AEDED21—25AABAA第三章整式、分式與函數第三章整式、分式與函數【大綱考點】1. 單項式和多項式，整式和分式的定義和運算性質；2. 乘法公式，完全平方式的應用題型；3. 帶餘除法（因式定理+餘式定理）的理解和應用；4. 指數函數和對數函數（定義，圖像，運算性質，單調性，計算和應用）；5. 充分性判斷題目的解題技巧（ABCDE的選法規則）.一、基本概念1. 帶餘除法定理數式子a被除數=b除數c商+r餘數f(x)被除式=q(x)除式g(x)商式+r(x)餘式(1) r (2) r=0時，a能被b整除，記為b|a (3) 整式除法〖4〗34)13〖3〗12〖4〗1（1） r(x)<q(x) (2) r(x)=0時，f(x)能被q(x)整除，記為q(x)|f(x) (3) 長除法g(x)q(x))f(x)q(x)g(x)r(x)2. 因式定理和餘式定理(1) （ax-b）|f(x) f(x)含有因式(ax-b) fba=0（2） 多項式f(x)除以(ax-b)的餘式為fba3. 知識點框架整式的概念單項式（次數，元，0次多項式） 多項式（次數，元，升冪排列和降冪排列，一元多項式的一般形式） 整式的運算性質整式的加減法（合並同類項） 整式的乘法（公式和因式分解技巧） 整式的除法帶餘除法 餘式定理 整除 因式分解 分式定義AB，A，B均為整式，B中含有變量 運算性質分式的基本性質 分式的加減（通分，最簡公分母） 公式的乘除（約分） 分式的裂項分（子）母有理 裂項求和 階乘的裂項 函數集合表示法（列舉，描述，區間） 元素與集合的關係 常見的集合（N，Q，Z，R） 函數一元二次函數 指數函數 對數函數 對鉤函數 函數的三要素（定義域，值域，法則），圖像特征與單調性，最值情況4. 指數函數及對數函數指數對數定義ab=NlogaN=b關係式ab=N logaN=b運算性質(1) ar·as=as+r (2) (ar)s=asr (3) (ab)r=arbr (a>0,b>0,r∈Q） (4) a0=1,a-p=1ap(a≠0)(1) loga(MN)=logaM+logaN (2) loga(M\/N)=logaM-logaN (3) logaMn=nlogaM (M>0,N>0,a>0,a≠1) (4) logaN=logbNlogba5. 基本公式a2-b2=(a-b)(a+b)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)a2+b2+c2+ab+bc+ac=12[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]a2+b2+c2-ab-bc-ac=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]a3+b3+3ab(a+b)=(a+b)3a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N+)xn-1=(x-1)(xn-1+xn-2+…1)二、本章基本題型彙總【題型1】乘法公式1. 如果a2+b2+2c2+2ac-2bc=0，則a+b的值為（） A. 0B. 1C. -1D. -2E. 2【答案】A【解析】此題可以采取特值法直接秒殺選A.2. 若3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，則a,b,c三者的關係為（） A. a+b=b+cB. a+b+c=1C. a=b=c D. ab=bc=acE. abc=1【答案】C【解析】根據(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)和a2+b2+c2-ab-bc-ac=12[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]可以得到變量a，b，c的關係.3. 已知x2-3x+1=0,則x-1x＝（） A. 2B. 3C. 1D. 2E. 5【答案】E【解析】x2-3x+1=0 x+1x=3，所以x-1x=x+1x2-4=5.4. 已知a+1a＝３，則aa+1aa+2a2+1a2+34a+14a=() A. 1222B. 303C. 1D. 2E. 2005【答案】E【解析】本題可設aa+1aa=I,4a+14a=J,a2+1a2＝K，兩邊平方即可求出結果！5. 已知xa+yb+zc=3,ax+by+cz=0,那麼x2a2+y2b2+z2c2=() A. 0B. 1C. 3D. 9E. 2【答案】D【解析】令a=b=c=1即可，選D.6. 若x,y,z為實數，設A=x2-2y+π2，B=y2-2z+π3，C=z2-2x+π6，則A,B,C中（） A. 至少有一個大於0B. 至少有一個小於0C. 都大於0 D. 都小於0E. 至少有兩個大於0【答案】A【解析】A+B+C=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0.7. 320-142+320+142=（） A. 2B. 4C. 1D. 2E. 3【答案】B【解析】x=320-142,y=320+142,k=x+y,k3=x3+y3+3xy(x+y)=40+6k,所以選B.8. △ABC三邊是a，b，c，則三角形ABC等邊.(1) a2+b2+c2=ab+bc+ca(2) a3+b3+c3=3abc【答案】D【解析】直接套公式即可，選D.9. 已知x，y是實數，則x3+y3最小值可以確定.(1) x+y=2(2) xy=1【答案】A【解析】條件(2）顯然不充分，考慮條件(1）,x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy]=6x2-12x+8是關於x的二次函數，所以充分.10. 已知x(1-kx)3=a1x+a2x2+a3x3+a4x4對所有的實數x成立，則a1+a2+a3+a4=-8.(1) a2=-9(2) a3=27【答案】A【解析】x(1-kx)3=a1x+a2x2+a3x3+a4x4的左邊展開和右邊的多項式係數對比即可，由條件（1）得到k=3，條件(2）可以得到k=±3，但是題幹上需要的是條件(1），所以選A.11. 在二項式41x+3x2n的展開式中倒數第3項的係數為45，則含有x3的項的係數是() A. 120B. 234C. 321D. 210E. 34【答案】D【解析】由題意知，Cn-2n＝45，即C2n＝45，所以n＝10.Tr+1=Cr10(x-14)10-r(x23)r=Cr10x11r-3012，令11r-3012=3,得r＝6.所以含x3的項為T6＋1＝C610x3＝C410x3＝210x3.12. 二項式x2+12x10的展開式中的常數項是() A. 45256B. 23C. 32D. 10E. 34【答案】A【解析】根據二項式定理展開，令指數等於0即可求出常數項.13. (x2+3x+1)5的展開式中x2項的係數是() A. 95B. 23C. 32D. 10E. 34【答案】A【解析】根據二項式定理展開，即可求出x2項的係數.14. 已知實數a，b，c滿足a -3+p=0 p=3, q=1.5. 已知x2-x+a-3是一個完全平方式，則a=（） A. 314B. 214C. 114D. 334E. 234【答案】A【解析】x2-x+a-3是一個完全平方式,所以Δ=0 1-4(a-3)=0 a=314.6. 若4x4-ax3+bx2-40x+16是完全平方式，則ab等於（） A. 820或180B. -820或-180C. 820或-180 D. -820或180E. ±820或±180【答案】C【解析】4x4-ax3+bx2-40x+16是完全平方式.情況1：4x4-ax3+bx2-40x+16=(2x2+px+4)2,則-a=4p, b=8+8+p2, p=-5,a=20,b=41 ab=820 -40=8p情況2：4x4-ax3+bx2-40x+16=(2x2+px-4)2，則-a=4p, b=-8-8+p2, p=5,a=-20,b=9 ab=-180 -40=-8p7. 方程6xy+4x-9y-7=0的整數解有種情況.() A. 1B. 2C. 3D. 4E. 無數種【答案】A【解析】6xy+4x-9y-7=(2x-3)(3y+2)-1=0，則x=1,y=-1，所以選A.8. 已知a2+bc=14,b2-2bc=-6，則3a2+4b2-5bc=（） A. 12B. 14C. 16D. 18E. 19【答案】D【解析】令3a2+4b2-5bc=A(a2+bc)+B(b2-bc)，解得A=3,B=4 3a2+4b2-5bc=42-24=18.9. x3-3px+2q能被x2+2ax+a2整除.(1) p=-a2,q=a3(2) p=a2,q=-a3【答案】B【解析】用待定係數法即可選B.【題型3】因式分解定理、雙十字交叉、一次因式驗根法1. 如果多項式f(x)=x3+px2+qx+6含有一次因式x+1和x-32，則f(x)的另外一個一次因式是() A. x-2B. x+2C. x-4D. x+4E. 以上均不是【答案】C【解析】把多項式f(x)=x3+px2+qx+6寫成重根式，比較常數項即可！2. 在實數範圍內，將多項式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120分解因式，得（） A. (x+1)(x-6)(x2-5x+16)B. (x-1)(x+6)(x2+5x+16) C. (x+1)(x+6)(x2-5x+16)D. (x-1)(x+6)(x2+5x-16) E. 以上答案均不正確【答案】B【解析】顯然(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120=0，有一個根是1，所以排除A、C、E，再驗證一下尾數即可，所以選B.3. 若x2-2xy-3y2+3x-5y+2=0能表示成兩條直線方程，則它們的斜率之積是() A. 1B. 2C. -13D. 4E. 6【答案】C【解析】根據雙十字相乘，把x2-2xy-3y2+3x-5y+2=0表示成兩條直線方程即可，選C.4.x2+mxy+6y2-10y-4=0的圖像是兩條直線.(1) m=7(2) m=-7【答案】D【解析】根據雙十字相乘，把x2+mxy+6y2-10y-4=0表示成兩條直線方程即可，選D.5. 若x2-kxy+y2-2y-3=0能表示成兩條直線，則k是() A. 1B. 2C. ±433D. 4E. 6【答案】C【解析】根據雙十字相乘，把x2-kxy+y2-2y-3=0表示成兩條直線方程即可，選C.6. 已知f(x)=6x4+ax3+bx2+cx+5，a，b，c都是正整數，則下列哪些式子可能是f(x)的因式() A. x-1B.x+2C. 2x-1D. x+3E. 3x+5【答案】E【解析】一次項係數一定是6的因數，常數項一定是5的因數，並且不能有正根.【題型4】餘式定理與帶餘除法1. 設f(x)為實係數多項式，以x-1除之，餘數為9；以x-2除之，餘數為16，則f(x)除以(x-1)(x-2)的餘式為（） A. 7x+2B. 7x+3C. 7x+4D. 7x+5E. 7x+7【答案】A【解析】因為f(x)=q(x)(x-1)(x-2)+r(x)，所以f(1)=r(1)=9，所以選A.2. 設多項式f(x)除以x-1,x2-2x+3的餘式分別為2，4x+6，則f(x)除以(x-1)(x2-2x+3)的餘式為（） A. 4x2+12x-6B. -4x2+12x-6 C. -4x2+12x+6D. -4x2-12x-6 E. 4x2-12x-6【答案】B【解析】因為f(x)=q(x)(x-1)(x2-2x+3)+r(x)，所以f(1)=r(1)=2，所以選B.3. 設f(x)是實係數多項式，f(x)被x2-1除完之後為3x+4，並且f(x)有因式x，則f(x)被x(x2-1)除後的餘式為() A. 4x2+3xB. 7x2+3C. 8x+2 D. 2x2-2E. 7x+5【答案】A【解析】因為f(x)=q(x)x(x2-1)+r(x)，所以f(1)=r(1)=7，所以選A.4. 設f(x)是三次多項式，且f(2)=f(-1)=f(4)=3,f(1)=-9，則f(0)=（） A. -13B. -12C. -9D. 13E. 7【答案】A【解析】f(2)=f(-1)=f(4)=3，說明2,-1,4是f(x)=3的根，f(x)是三次多項式，所以可設f(x)=a(x-2)(x+1)(x-4)+3，f(1)=-9，所以a=-2,f(0)=-2(0-2)(0+1)(0-4)+3=-13.5. 設f(x)是二次多項式，且f(2004)=1,f(2005)=2,f(2006)=7,則f(2008)=（） A. 23B. 25C. 28D. 29E. 21【答案】D【解析】f(x)是二次多項式，所以可以把f(n)看成一個去掉首項後為等差的數列的前n項求和，由f(2004)=1,f(2005)=2,f(2006)=7，可知a2005=1,a2006=5,a2007=9=f(2007)-f(2006) f(2007)=16,a2007=13=f(2008)-f(2007) f(2008)=29.6. 已知x2-2x-1=0，則2001x3-6003x2+2001x-7=（） A. -2008B. 0C. 1D. 2008E. 2009【答案】A【解析】x2-2x-1=兩邊同時乘以x代入所求式子即可！7. 代數式x5-3x4+2x3-3x2+x+2的值是2.(1) x+1x=3(2) x-1x=3【答案】A【解析】對於條件(1),x+1x=3 x2-3x+1=0,x5-3x4+2x3-3x2+x+2除以x2-3x+1的餘式正好是2，所以條件(1）充分;同理,條件(2）是不充分的.8. 設a=5-12，則a5+a4-2a3-a2-a+2a3-a=() A. -2B. 0C. 1D. 2008E. 2009【答案】A【解析】a=5-12，a(a+1)=5-12·5+12=1，a2+a-1=0 a5+a4=a3,a5+a4-2a3-a2-a+2a3-a=-a3-a2-a+2a(a-1)(a+1)=-2(a-1)a(a-1)(a+1)=-2a(a+1)=-2.【題型5】表達式求值與化簡1. 取x何值時，分式x2-4x+2的值等於零（） A. 2B. -2C. ±2D. 4E. ±4【答案】A【解析】分子等於0且分母不等於0即可求出結果！2. 已知x=2016，則|4x2-5x+1|-4|x2+2x+2|+3x+7=() A. -20160B. -20610C. -20162 D. 20610E. -20600【答案】A【解析】直接把x=2016代入表達式即可求出表達式的值是-20160.3. 關於x的函數y=lgx3lgx12的最小值為（） A. lg22B. lg24C. lg2D. -lg22E. -lg24【答案】D【解析】y=lgx3lgx12=(lgx-lg3)(lgx-lg12)，把對稱軸求出代入函數表達式即可！4. 已知a=logmx+y2，b=12(logmx+logmy),c=12logm(x+y),則c>b≥a.(1) x>2,y>2(2) 0 稱這種形式為一元一次方程的標準型.一元一次方程的解法：將所給一元一次方程化簡，得到ax=-b(a≠0)型，進而得出方程的解x=-ba3. 二元一次方程組形如a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2的方程組稱為二元一次方程組，二元一次方程組是由兩個二元一次方程組成的.這兩個二元一次方程的公共解就是這個二元一次方程組的解.二元一次方程組的解法：方法一加減消元法a1x+b1y=c1① a2x+b2y=c2②①×b2－②×b1,消去y（也可以消去x）得(a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2從所得一元一次方程中，解出x，再將x的值代入①或②，求出y的值，從而得出方程組的解.方法二代入消元法由①得y=c1-a1xb1(b1≠0)將其代入②,消去y，得出關於x的一元一次方程,解之.4. 不等式對於含有未知數的不等式，能使其成立的未知數的值的集合，叫作這個不等式的解集.由若幹個含有同一個未知數的不等式組成的不等式組的解集，就是組成不等式組的所有不等式解集的公共部分（即交集）.不等式（組）解集的區間表示法：滿足a＜x＜b的x的集合叫作開區間，記為（a,b）;滿足a≤x≤b的x的集合叫作閉區間，記為[a,b]；滿足a≤x＜b或a＜x≤b的x的集合，叫作半閉半開區間或半開半閉區間，記為[a,b）或（a,b]；滿足x＞a或x≤a的x的集合，記為（a，+∞）或（-∞，a],實數集R記為（-∞，+∞）.求不等式（組）的解集的過程，叫作解不等式（組）.解不等式的過程，應該是不等式的同解變形的過程，不等式的同解變形有以下幾種：① 移項：不等式中的任意一項，都可以改變符號後從不等式的一邊移到另一邊.② 不等式的兩邊同乘（或除）以一個正數，不改變不等號的方向，不等式的兩邊同乘（或除）以一個負數，必須改變不等號的方向.③ 在不改變原不等式中未知數取值範圍的前提下的其他變形.5. 二次方程與拋物線y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a頂點是-b2a,4ac-b24a；對稱軸是直線x=-b2a；Y軸截距：c;最值：當a0時，有最小值4ac-b24a.6. 一元二次方程隻含有一個未知數，最高次為二次的方程叫作一元二次方程.ax2+bx+c=0(a≠0)其解的情況有如下幾種：① 當Δ=b2-4ac>0時，右端是正數．因此，方程有兩個不相等的實根：x1,2=-b±b2-4ac2a.② 當Δ=b2-4ac=0時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實根：x1,2=-b2a.③ 當Δ=b2-4ac0)，則方程f(x)=0的實根分布的基本類型及相應方法如下表：1． 兩實根都小於k Δ≥0 -b2a af(k)>02． 兩實根都大於k Δ≥0 -b2a>k af(k)>03． 兩實根都在(k1,k2)內 Δ≥0 af(k1)>0 af(k2)<0 k1<-b2a af(k2)<05． 兩根中有且隻有一根在(k1,k2)內 f(k1)·f(k2)<09.一元二次不等式及其解法(1) 一元二次不等式的標準型ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0（a＞0）.注意：一元二次不等式的標準型中，二次項係數為正.(2) 一元二次不等式的圖像解法將所給一元一次不等式化為標準型後，依下表最後一行，即開口向上的拋物線y=ax2+bx+c(a＞0)的不同位置求解.一 元 二 次 不 等 式 的 解 集Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根有兩個相異實根 x1,2=-b±b2-4c2a (取x1＜x2)有兩個相等實根 x1=x2=-b2a沒有實根ax2+bx+c＞0 (a＞0)(-∞,x1)∪(x2,+∞) (xx2)-∞,-b2a∪ -b2a,+∞ x∈R,且x≠-b2a(-∞,+∞) (實數集)ax2+bx+c>0 (a>0)(x1,x2) x1 y=ax2+bx+c(a>0) 的圖像10. 含絕對值不等式的解法形如|f(x)|a(a∈R)型不等式形如|f(x)|g(x)型不等式這類不等式的簡捷解法是等價命題法，即① |f(x)| x-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,則k的值為（） A. -34B. 34C. 43D. -43E. 1【答案】B【解析】x+y=5k, x-y=9k x=7k, y=-2k,帶入2x+3y=6得到14k+(-6k)=6 k=34.3. 已知方程組2x+3+9y+1=35, 8x3+32y+1=5,則xy的值是（） A. -34B. 34C. 1D. -43E. -1【答案】E【解析】設2x=u,9y=v，則8u+9v=35, u+3v=5,則u=4,v=13.4. 不等式組x-1≤a2, x-4≥2a有解，則實數a的取值範圍是（） A. -1≤a≤3B. a≤-1或a≥3C. a3 D. -1 x-4≥2a有解，所以2a+4≤a2+1 a∈(-∞,-1]∪[3,+∞).5. 方程x2+ax+2=0與x2-2x-a=0有一公共實數解，則a滿足（） A. a=2B. a=2或a=-3C. a=-2 D. a=-2或a=3E. a=3【答案】E【解析】設x0是方程x2+ax+2=0與x2-2x-a=0公共實數解，則x20-2x0-a=0, x20+ax0+2=0,於是(a+2)x0+a+2=0，則x0=-1，代入原方程求a的值.6. 能確定2m-n=4.(1) x=2, y=1是二元一次方程組mx+ny=8, nx-my=1的解(2) m，n滿足2m+n=16, m+2n=17【答案】D【解析】由條件(1）,x=2, y=1是二元一次方程組mx+ny=8, nx-my=1的解，所以2m+n=8, 2n-m=1 m=3, n=2,充分；對於條件(2）,m，n滿足2m+n=16, m+2n=17,所以 m=5,n=6，所以條件(2）也充分.【題型2】韋達定理1. 若ab≠0，且有5a2+2001a+9=0，9b2+2001b+5=0,則ab=() A. 95B. 34C. 1D. -43E. -1【答案】A【解析】由於a,1b是方程5a2+2001a+9=0的根，所以根據韋達定理ab=95.2. 已知方程3x2+5x+1=0的兩個根為α,β，則βα+αβ=（） A. -533B. 533C. 35D. -35E. 235【答案】B【解析】把βα+αβ兩邊平方即可，再根據韋達定理選B.3. 一元二次方程x2+bx+c=0兩根之差的絕對值為4.(1) b=4,c=0(2) b2-4c=16【答案】D【解析】根據韋達定理看出兩個條件都充分，所以選D.4. x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的兩實根,則x21+x22的最大值是（） A. 16B. 19C. 143D. 18E. 2【答案】D【解析】x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6,再根據根的判別式Δ=（k-2)2-4(k2+3k+5)≥0，選D.5. 解某個一元二次方程,甲看錯了常數項,解得兩根為8和2,乙看錯了一次項,解得兩根為-9和-1,則正確解為（） A. -8和-2B. 1和9C. -1和9 D. 3和-3E. -1和-9【答案】B【解析】根據韋達定理可以直接看出選B.6. 3x2-8x+a=0的兩個實數根為x1,x2,若1x1,1x2的算術平均值為2,則a的值為（）(1) -2B. -1C. 1D. 12E. 2【答案】E【解析】1x1+1x2=4=8a，則a=2.7. 若方程x2+px+37=0恰好有兩個正整數解x1和x2,則(x1+1)(x2+1)p的值為（） A. -2B. -1C. -12D. 1E. 2【答案】A【解析】x1·x2=37，所以x1=1,x2=37,p=-38，所以答案選A.8. 已知函數f(x)=x2+ax+b，則0≤f(1)≤1.(1) f(x)=0在[0,1]內有兩個不同的零點(2) f(x)=0在[1,2]內有兩個不同的零點【答案】D【解析】f(1)=1+a+b，則由條件(1）可以得出方程x2+ax+b=0有兩個根是x1,x2∈[0,1]，所以我們由一元二次方程韋達定理可以得到根與係數的關係:x1+x2=-a,x1x2=b，則f(1)=1+a+b=1-x1-x2+x1x2=(1-x1)(1-x2)∈[0,1].條件(2）顯然充分，所以選D.9. 已知不等式ax2+2x+2>0的解集是-13,12，則a=() A. -12B. 11C. 5D. 3E. 8【答案】A【解析】根據韋達定理ax2+2x+2=0的兩根是12,-13，所以-13+12=-2a，所以選A.10. 已知方程x3-2x2-2x+1=0有三個根x1,x2,x3，其中x1=-1，則|x2-x3|等於（） A. 2B. 1C. 5D. 3E. 3【答案】C【解析】若ax3+bx2+cx+d=0有三個實數根x1,x2,x3則x1+x2+x3=-ba, x1x2+x3x2+x1x3=ca, x1x2x3=-da.11. 已知方程ax3+bx2+cx+d=0有三個不同的根x1,x2,x3，且x1·x2·x3=x1+x2+x3=0，則a，c的關係是() A. ac>0B. ac0E. 無法確定【答案】B【解析】根據三次方程韋達定理原來方程可化為ax3+cx=0，所以方程ax2+c=0有兩個不同符號的實數根，於是選B.12. 已知方程3x2+5x+1=0的兩個根為α,β，α3β-αβ3(α>β)=() A. 2B. 1C. -51327D. 3E. 3【答案】C【解析】α3β-αβ3=αβ(α2-β2)=αβ(α-β)(α+β)=13·-53133=-51327.13. 已知4x2-(3m-5)x-6m2=0的兩個實數根是x1,x2，且x1x2＝32，m的值為() A. 2B. 1C. 1或5D. 3E. 3【答案】C【考點】采取驗證法即可，把m=1代入原來方程4x2+2x-6=2x2+x-3=0,所以方程的根是-32,1,顯然滿足題幹x1x2=32，同理把m=5代入原來方程也成立，所以選C.14. 關於x的方程x2-6x+m=0的兩個根是α,β且3α+2β=20，m的值為() A. 12B. -16C. 5D. 13E. 3【答案】B【考點】根據韋達定理，α+β=6，則3α+2β=20=2(α+β)+α=12+α,所以α=8,代入原來方程可以求出m=-16.15. 已知m，n是方程x2-3x+1=0的兩個根，則2m2+4n2-6n=() A. 12B. 6C. 15D. 3E. 23【答案】A【考點】根據韋達定理2m2+4n2-6n=2(m2+n2)+n2-3n=12.【題型3】整數根和拋物線的性質以及應用1. 方程x2-(a+8)x+8a-1=0有兩個整數根，整數a的取值有() A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個E. 5個【答案】A【解析】隻需使得根的判別式是平方數即可！Δ=(a+8)2-4(8a-1)=a2-16a+68=k2(k∈Z)，a2-16a+64+4=(a-8)2+4=k2(k∈Z)，(k+a-8)(k-a+8)=4 k+a-8=2, k-a+8=2或者k+a-8=-2, k-a+8=-2.2. 關於x的方程kx2-(k-1)x+1=0有有理根，整數k有() A. 1種B. 2種C. 3種D. 4種E. 5種【答案】B【解析】方法同上題.3. 已知函數y=x2-4ax,當1≤x≤3時,是單調遞增的函數,則a的取值範圍是（） A. -∞,12B. (-∞,-1]C. 12,32 D. 32,+∞E. -∞,32【答案】A【解析】根據拋物線的性質隻需要保證對稱軸x=2a在1的左邊即可！當 1≤x≤3時，y=x2-4ax是單調遞增的函數，所以2a≤1 a≤12.4. 若A-254,y1,B-54,y2,C14,y3為拋物線y=x2+4x-5上的三點,則y1,y2,y3的大小關係是（） A. y1 k+1>0, k>0, 3k-2>0或者Δ≥0, k+1<0, k<0, 3k-2<0,則-2≤k<-1或23 Δ<0,所以a的範圍是-∞,-13.2. 已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集為R,a的取值範圍中包含個整數.() A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5【答案】B【解析】分情況考慮:a=-1不可能;a=1就可以;a≠±1，不等式就是一元二次不等式，隻需要a2<1， Δ<0,於是-35 1x>-b,所以x-1a.4. 方程ax2-1+1x+1+1x-1=0有實根.(1) a≠2(2) a≠-2【答案】C【解析】ax2-1+1x+1+1x-1=0有實根等價於即使有根也不是增根，所以 a≠2且a≠-2.5. 關於x的方程x2-9x+mx-2+3=1-x2-x與x+1x-|n|=2-3|n|-x有相同的增根，則函數y=|x-m|+|x+n|+|x-n|的最小值為() A. 12B. 17C. 15D. 18E. 11【答案】B【解析】x2-9x+mx-2+3=1-x2-x與x+1x-|n|=2-3|n|-x有相同的增根，所以|n|=2.x2-9x+mx-2+3=1-x2-x去分母之後有根x=2，因此m=15，所以y=|x-m|+|x+n|+|x-n|的最小值是17.6. 方程3x-3+2-mxx-3=-1無解，則所有滿足條件的實數m的值之和為() A. -53B. 83C. 1D. 53E. 11【答案】B【解析】方程3x-3+2-mxx-3=-1無解，說明即使有根也是增根，去分母之後是3+2-mx=3-x，於是(m-1)x=2，所以m=1時,矛盾方程，m≠1時,2m-1=3,此時m=53.【題型7】含有絕對值的方程與不等式1. |x|=ax+1有一個負數根，那麼a的取值範圍為() A. a>-1B. a>2C. a<3D. a<6E. a≥-1【答案】A【解析】|x|=ax+1有一個負數根，則設x0為負根，-x0=ax0+1，則x=-1a+1-1，選A.2. 不等式|x-1|+|x-3|>4的解為() A. （4，+∞)B. (-∞,0)∪(4,+∞) C. (-∞,0)D. (4,10) E. (0,+∞)【答案】B【解析】左邊函數圖像是一個碗底函數，右邊是一條直線，則先求右邊的交點，x>3時，y=2x-4, y=4,則x=4，可以根據函數圖像的對稱性求出另外一個函數圖像交點的橫坐標是x=0，於是選B.3. 不等式x2-x-5>|2x-1|的解集中包含個10以內的質數.() A. 0B. 1C. 2D. 3E. 無數個【答案】C【解析】左邊函數圖像是拋物線，右邊函數圖像是V型線，兩者都有對稱軸都是x=12，根據對稱性可以求出解的集合是(-∞,-3.5)∪(4,+∞)，所以選C.4. 不等式|x-1|-|2x+4|≥1的解集為（） A. -4≤x≤-43B. -4≤x≤-13 C. -2≤x≤-13D. -4≤x≤1 E. 以上均不是【答案】A【解析】本題可以采取特值法的技巧，直接排除B、C、D、E.5. 實數a，b滿足|a(a+b)>a|a+b|.(1) a0【答案】C【解析】對於條件(1）,顯然不充分，可以找到反例a=-1,b=1;條件(2）也顯然不充分，反例取a=0,b=1;考慮聯合起來，|a|(a+b)>0，a|a+b|2(2) x<3【答案】C【解析】|1-x|-x2-8x+16=2x-5等價於|x-1|-|x-4|=2x-5，條件(1）和條件(2）顯然不充分，聯合起來去絕對值，顯然成立，所以選C.【題型8】柯西不等式1. 函數y=3x-1+45-x的最大值是() A. 11B. 12C. 13D. 10E. 18【答案】D【解析】y=3x-1+45-x≤254=10.2. 已知a,b,c,d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1,則|ac+bd|<1.(1) 直線ax+by=1與cx+dy=1僅有一個交點(2) a≠c,b≠d【答案】A【解析】|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤a2+c22+b2+d22=1，隻需考慮|ac+bd|=1不成立，就充分.其中|ac+bd|=|ac|+|bd|的條件為ac與bd同號即可.|ac|+|bd|=a2+c22+b2+d22的條件為|a|=|c|且|b|=|d|.條件(1)，可得ac≠bd，則|ac+bd|≤|ac|+|bd| 4-4m≥0,則34 n2≥m,則m+n的最小值是6.8. 關於x的方程2x+1=x+m有兩個不等實數解,(1) 12 0，若f(x0)>1，則x0的取值範圍是（） A. (-1,1)B. (-1,+∞) C. (-∞,-2)∪(0,+∞)D. (-∞,-1)∪(1,+∞) E. 以上都不正確15. 若(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則(a0+a2+a4)(a1+a3)=() A. 1680B. 1840C. 1240D. 1640E. 1820二、充分性判斷16. x2y+xy2的值可以唯一確定.(1) (logmx)2+2logmxlogmy+(logmy)2=12logm2logm4(2) x3-x2+2x=2.17. 能確定2m-n=4.(1) x=2, y=1是二元一次方程組mx+ny=8, nx-my=1的解(2) m,n滿足2m+n=16, m+2n=1718. 方程ax2-2x-3a+1=0的一個根大於2，另一個根小於2.(1) a>3(2) a0.(1) x∈(-3,-2)(2) x∈[2,3]20. α2+β2最小值是12.(1) α和β是方程x2-2ax+a2+2a+1=0的實數根(2) αβ=1421. 已知關於x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0，則m=-110.(1) 方程有兩個不相等實數根(2) 若方程兩根x1,x2滿足1x1+1x2=1222. 關於x的一元二次方程x2+4x+m-1=0，則m=16.(1) 方程有兩個不相等的實數根(2) α,β為一元二次方程的兩根，α2+β2+αβ=123. 不等式(k+1)x2+2kx+1>0對所有實數x都成立.(1) k=-1(2) 0 Ｓ奇－Ｓ偶＝an＋１ Ｓ奇＝（n＋１）an＋１， Ｓ偶＝nan＋１ Ｓ奇Ｓ偶＝n＋１n（其中an＋１是項數為2n+1的等差數列的中間項）．（8） ｛an｝、｛bn｝的前n項和分別為An、Ｂn，且ＡnＢn＝f（n），則anbn＝（２n－１）an（２n－１）bn＝Ａ２n－１Ｂ２n－１＝f（２n－１）．（9） 等差數列｛an｝的前m項和Sm＝n，前n項和Ｓn＝m，則前m+n項和 Ｓm＋n＝－（m＋n）．(10) 求Ｓn的最值法一：因等差數列前n項和是關於n的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性n∈Ｎ．法二：① “首正”的遞減等差數列中，前n項和的最大值是所有非負項之和，即當a１＞０，d＜０，由an≥０， an＋１≤０可得Ｓn達到最大值時的n值．② “首負”的遞增等差數列中，前n項和的最小值是所有非正項之和，即當 a１＜０，d＞０，由an≤０， an＋１≥０可得Ｓn達到最小值時的n值．或求{an}中正負分界項．法三：直接利用二次函數的對稱性：由於等差數列前n項和的圖像是過原點的二次函數，故n取離二次函數對稱軸最近的整數時，Ｓn取最大值（或最小值）．若Sp=Sq，則其對稱軸為n＝p＋q２．注意：解決等差數列問題時，通常考慮兩類方法：① 基本量法：運用條件轉化為關於a１和d的方程；② 巧妙運用等差數列的性質，一般運用性質可以化繁為簡，減少運算量．2. 等比數列等比數列的定義：anan－１＝q（q≠０）（n≥２，且n∈Ｎ），q稱為公比．通項公式：an＝a１qn－１＝a１qqn＝Ａ·Ｂn（a１·q≠0，Ａ·Ｂ≠０），首項：a１；公比：q．推廣：an＝amqn－m，從而得qn－m＝anam或q＝n－manam．等比中項：（1） 如果a，Ａ，b成等比數列，那麼A叫作a與b的等差中項，即Ａ２＝ab或 A＝±ab．注意：同號的兩個數才有等比中項，並且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數）．（2） 數列｛an｝是等比數列 a２n＝an－１·an＋１．等比數列的前n項和Ｓn公式：（１） 當q＝１時，Ｓn＝na１．（２） 當q≠１時，Ｓn＝a１（１－qn）１－q＝a１－anq１－q＝a１１－q－a１１－qqn＝Ａ－Ａ·Ｂn＝Ａ′Ｂn－Ａ′（Ａ，Ｂ，Ａ′，Ｂ′為常數）．等比數列的判定方法：（1） 用定義：對任意的n，都有an＋１＝qan或an＋１an＝q（q為常數，an≠０） ｛an｝為等比數列．（2） 等比中項：a２n＝an＋１an－１（an＋１an－１≠０） ｛an｝為等比數列.（3） 通項公式：an＝Ａ·Ｂn（Ａ·Ｂ≠０） ｛an｝為等比數列．（4） 前n項和公式：Ｓn＝Ａ－Ａ·Ｂn或Sn＝Ａ′Ｂn－Ａ′（Ａ，Ｂ，Ａ′，Ｂ′為常數） ｛an｝為等比數列．等比數列的證明方法：依據定義：若anan－１＝q（q≠０）（n≥２，且n∈Ｎ）或an＋１＝qan ｛an｝為等比數列．注意：（1） 等比數列的通項公式及前n項和公式中，涉及5個元素：a１、q、n、an及Ｓn，其中a１、q稱為基本元素．隻要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其餘2個，即知3求2．（2） 為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項；an＝a１qn－１，如奇數個數成等差，可設為…，aq２，aq，a，aq，aq２，…（公比為q，中間項用a表示）．等比數列的性質(1) 當q≠１時，① 等比數列通項公式an＝a１qn－１＝a１qqn＝Ａ·Ｂn（Ａ·Ｂ≠０）是關於n的帶有係數的類指數函數，底數為公比q．② 前n項和Ｓn＝a１（１－qn）１－q＝a１－a１qn１－qa１１－q－a１１－qqn＝Ａ－Ａ·Ｂn＝Ａ′Ｂn－Ａ′，係數和常數項是互為相反數的類指數函數，底數為公比q.(2) 對任何m，n∈Ｎ，在等比數列｛an｝中，有an＝amqn－m，特別地，當m=1時，便得到等比數列的通項公式.因此，此公式比等比數列的通項公式更具有一般性．(3) 若m+n=s+t(m，n，s，t∈Ｎ)，則an·am＝as·at．特別地，當n+m=2k時，得an·am＝a２k.注：a１an＝a２an－１＝a３an－２＝…．(4) 列｛an｝，｛bn｝為等比數列，則數列kan，｛k·an｝，｛akn｝，｛k·an·bn｝anbn(k為非零常數)均為等比數列.(5) 數列｛an｝為等比數列，每隔k(k∈Ｎ)項取出一項(am，am＋k，am＋２k，am＋３k，…)仍為等比數列．(6) 如果｛an｝是各項均為正數的等比數列，則數列{logaan}是等差數列．(7) 若｛an｝為等比數列，則數列Ｓn，Ｓ２n－Ｓn，Ｓ３n－Ｓ２n，…，成等比數列．(8) 若｛an｝為等比數列，則數列a１·a２·…·an，an＋１·an＋２·…·a２n，a２n＋１·a２n＋２·…·a３n成等比數列．(9) ① 當q＞１時，若a１＞０，則｛an｝為遞增數列；若a１＜０，則｛an｝為遞減減列．② 當０＜q＜１時，若a１＞０，則｛an｝為遞減數列；若a１＜０，則｛an｝為遞增數列．③ 當q=1時，該數列為常數列（此時數列也為等差數列）．④ 當q＜0時，該數列為擺動數列.(10) 在等比數列｛an｝中，當項數為2n(n∈Ｎ)時，Ｓ奇Ｓ偶＝１q.(11) 若｛an｝是公比為q的等比數列，則Ｓn＋m＝Ｓn＋qn·Ｓm．二、本章題型彙總【題型1】判斷等差數列和等比數列的方法1. 若方程（a２＋c２）x２－２c（a＋b）x+b２＋c２＝０有實數根，則（） A. a，b，c等比B. a，b，c等差C. a，c，b等比 D. b，a，c等比E. b，a，c等差【答案】C【解析】根據二次方程有實數根的充分必要條件可以得到Δ＝４c２（a＋b）２－４（a２＋c２）（b２＋c２）≥０，於是可以得到c２＝ab.2. 設３a＝４，３b＝８，３c＝１６，則a，b，c（） A. 等差但不等比B. 等比但是不等差C. 既等比又等差 D. 既不等比又不等差E. 以上均不是【答案】A【解析】顯然是等差數列，３２b＝３a×３c，則２b＝a＋c.3. 下列通項公式表示等差數列的是（） A. an＝nn－１B. an＝n２－１C. an＝５n＋（－１）n D. an＝５n－１E. an＝n【答案】D【解析】等差數列的通項公式是關於n的一次函數.4. 數列｛an｝的前n項求和是Ｓn＝Ａ＋Ｂ·２n，則數列｛an｝等比．（1） Ａ＝３，Ｂ＝－３（2） Ａ＝－７，Ｂ＝７【答案】D【解析】等比數列的前n項和的公式是Ｓn＝Ａ＋Ｂ·qn（Ａ＋Ｂ＝０），因此選D.5. 實數a，b，c等差．（1） ea，eb，ec等比（2） lna，lnb，lnc等差【答案】A【解析】對於條件（1），我們可以得到２b＝a＋c，因此實數a，b，c等差，條件（2）顯然不充分.【題型2】利用等差和等比公式與性質解題目1. 等差數列中，a１＝２，a４＋a５＝－３，該等差數列的公差是（） A. -2B. -1C. -3D. 0E. 5【答案】B【解析】根據題意可以得到２a１＋７d＝－３， a１＝２，因此d＝－１．2. 若α２，１，β２成等比數列，而１α，１，１β等差，則α＋βα２＋β２＝（） A. -2B. 1或－１３C. -3D. 0E. 5【答案】B【解析】由α２，１，β２成等比數列可以得到α２β２＝１，於是αβ＝±１，由１α，１，１β等差，可以得到１α＋１β＝２，α＋βα２＋β２＝１或－１３.3. 已知等差數列｛an｝的公差不是0，但是第三，四，七項構成等比數列，則a２＋a６a３＋a７＝（） A. ３５B. －１３C. ３４D. 0E. 5【答案】A【解析】第三，四，七項構成等比數列，可以得到a３a７＝a２４，於是可以得到（a１＋２d）（a１＋６d）＝（a１＋３d）２，找到a１，d的關係帶入a２＋a６a３＋a７＝３５.4. 在等差數列｛an｝中a３＝２，a１１＝６，數列｛bn｝是等比數列，若b２＝a３，b３＝１a２，則滿足bn＞１a２６的最大n是（） A. 3B. 4C. 5D. 6E. 7【答案】B【解析】{an}的公差是d＝a１１－a３８＝１２，可以寫出通項公式an＝２＋（n－３）１２，同理可以寫出bn的表達式，然後解不等式bn＞１a２６即可！5. 等比數列｛an｝中的a５＋a１＝３４，a５－a１＝３０，那麼a３等於（） A. 5B. -5C. -8D. 8E. ±9【答案】D【解析】a１＝２，a５＝３２，於是q２＝４，所以a３＝a１q２＝８．6. 若6，a，c等差，且36，a２，－c２也等差，則c=（） A. -6B. -6或2C. 2D. 1E. 4【答案】B【解析】6，a，c等差可以得到2a＝６＋c，３６，a２，－c２也等差可以得到２a２＝３６－c２，解方程組即可選B.7. 已知數列｛an｝的公差，且a１，a３，a９成等比數列，則a１＋a３＋a９a２＋a４＋a１０為（） A. ９１０B. 4C. -4D. １３１６E. 無法確定【答案】D【解析】本題可以采取特殊值法，設數列是自然數組成的數列，顯然選D.8. 已知a，b，c既成等差又成等比，設α，β是方程ax２＋bx－c＝０的兩根，且 α＞β，求α３β－αβ３＝（） A. ２B. ５C. 2２D. ２５E. 無法確定【答案】B【解析】已知a，b，c既成等差又成等比，所以a，b，c是非零常數數列，可設 a＝b=c＝１，x２＋x－１＝０，根據韋達定理，α＋β＝－１， αβ＝－１， α－β＝５，所以α３β－αβ３＝５．9. 已知等差數列｛an｝，Ｓn為前n項和，若Ｓ４＝３０，Ｓ８＝９０，則Ｓ１２為（） A. 150B. 160C. 180D. 190E. 200【答案】C【解析】數列｛an｝等差，因此Sn，Ｓ２n－Ｓn，Ｓ３n－Ｓ２n，…也是等差的，取n＝４，Ｓ４，Ｓ８－Ｓ４，Ｓ１２－Ｓ８…等差，所以Ｓ１２＝１８０．10. 等比數列｛an｝的前n項和等於2，緊接在後麵的2n項和等於12，再緊接其後的3n項和為S，則S等於（） A. 112B. 112或-378C. -112或378 D. -378E. -112【答案】B【解析】Ｓn，Ｓ２n－Ｓn，Ｓ３n－Ｓ２n，Ｓ４n－Ｓ３n，Ｓ５n－Ｓ４n，Ｓ６n－Ｓ５n，根據等比數列的性質也是等比的，設公比是q，且Ｓn＝２，Ｓ２n－Ｓn＝２q，Ｓ３n－Ｓ２n＝２q２，Ｓ４n－Ｓ３n＝２q３，Ｓ５n－Ｓ４n＝２q４，Ｓ６n－Ｓ５n＝２q５，於是２q＋２q２＝１２， ２q３＋２q４＋２q５＝Ｓ，所以Ｓ＝１１２或－３７８．11. 設{an}，｛bn｝都是等差數列，它們的前n項和分別為Ｓn，Ｔn，且ＳnＴn＝５n＋３２n－１，a５b５=（） A. ４８１３B. ４９１５C. ４８１７D. ４９１９E. ４９１７【答案】C【解析】根據等差數列的性質a５b５＝Ｓ９Ｔ９＝４８１７．12. 已知方程（x２－２x＋m）（x２－２x＋n）＝０的4個根組成一個首項為１４的等差數列，則｜m－n｜等於（） A. 1B. ３４C． １２D. ３８E. ３２【答案】C【解析】根據題目意思可以設四個根是a１，a２，a３，a４，且a１＋a４＝a３＋a２，於是x２－２x＋m＝０的根是１４，７４，x２－２x＋n＝０的根是３４，５４，根據韋達定理選C.13. 等比數列{an}中，前10項和Ｓ１０＝１０，前20項和Ｓ２０＝３０，則前30項和Ｓ３０等於（） A. 40B. 50C. 70D. 80E. 60【答案】C【解析】根據等比數列的性質，Ｓ１０，Ｓ２０－Ｓ１０，Ｓ３０－Ｓ２０也等比.１０，２０，Ｓ３０－３０等差，所以選C.14. 方程組x＋y＝a， y＋z＝４， z＋x＝２，得x，y，z等差．（1）a＝１（2） a＝０【答案】B【解析】直接驗證條件解出x，y，z的值即可！選B.15. 數列６，x，y，１６，則前三項成等差數列，後三項成等比數列．（1） ４x＋y＝０（２） x、y是x２＋３x－４＝０的兩個解【答案】C【解析】條件（1）和條件（2）顯然單獨不充分，考慮聯合，x、y是x２＋３x－４＝０的兩個解且滿足４x＋y＝０，所以x＝１，y＝－４，此時數列６，x，y，１６，前三項成等差數列，後三項成等比數列.16. 數列{an}，｛bn｝分別為等比數列和等差數列，a１＝b１＝１，則b2≥a２．（1） a２＞０（2） a１０＝b１０【答案】C【解析】條件（1）和條件（2）單獨顯然不充分，考慮聯立，由於等差數列圖像是直線，等比數列圖像是曲線，a１０＝b１０，a１＝b１＝１，兩個圖像正好有兩個交點，所以聯合充分．17. a１a８＜a４a５．（1） ｛an｝為等差數列，且a１＞０（2） ｛an｝為等差數列，且d≠０【答案】B【解析】要證明a１a８＜a４a５等價於證明a１（a１＋７d）＜（a１＋３d）（a１＋４d）等價於證明d≠０，所以選B.18. 已知{an}為等差數列，則該數列的公差為0．（1） 對任何的正整數n，都有a１＋a２＋…＋an≤n（2） a２≥a１【答案】C【解析】a１＋a２＋…＋an≤n可以得到d２n２＋a１－d２n≤n，於是可以得到d≤０，所以條件（1）單獨不充分；條件（2）可以得到d≥０，單獨不充分；聯合起來就充分，所以選C.【題型3】最值問題1. 在等差數列｛an｝的公差d＜０，且a２１＝a２１１，則數列｛an｝的前n項和Sn取得最大值的項數n是（） A. 4B. 5C. 7D. 8E. 5或6【答案】E【解析】a２１＝a２１１可以得到（a１－a１１）（a１＋a１１）＝０，於是a１＋a１１＝２a６＝０，所以選E.2. 在等差數列｛an｝的公差d＞０，且｜a３｜＝｜a１０｜，則數列｛an｝的前n項和Ｓn取得最小值的項數n是（） A. 4B. 5C. 7D. 8E. 6【答案】E【解析】｜a３｜＝｜a１０｜兩邊平方，根據數列的單調性可以得到a３＋a１０＝０，所以a６＋a７＝０，所以選E.3. 在等差數列｛an｝的公差d＞０，則前n項和Ｓn≥Ｓ１０，n＝１，２，３，…．（1） a１０＝０（2） a１０·a１１＜０【答案】D【解析】條件（1）可以得到a１＜０，d＞０，所以前10項和達到最小，充分；對於條件（2），a１０·a１１＜０可以得到a１０＜０，