定理4在同一變化過程中，無窮大的倒數為無窮小；非零無窮小的倒數為無窮大.即
若limx→αf(x)=∞，則limx→α1f(x)=0；若limx→αf(x)=0(f(x)≠0)，則limx→α1f(x)=∞.
推論若limx→αf(x)=0(f(x)≠0)，limx→αg(x)=A≠0，則limx→αg(x)f(x)=∞.
例34求limx→3x2+1x－3.
解由於limx→3(x－3)=0，又limx→3(x2+1)=10≠0，故
limx→3x－3x2+1=010=0.
由無窮小與無窮大的倒數關係，得
limx→3x2+1x－3=∞.
*4. 無窮小的比較
(1) 無窮小比較的概念
我們知道，當x→0時，x、x2、4x、x都是無窮小，但limx→0x2x=0，limx→0xx=∞，limx→04xx=4.可見，兩個無窮小之商的極限存在著很大的差異，這種情況反映了兩個無窮小趨於零的“快慢”程度的不同：x2比x快些，x比x慢些，4x與x差不多.為了準確地描述無窮小的這種性質，我們引進“無窮小的階”的概念.
定義14設函數f(x)、g(x)(g(x)≠0)在x→α時都是無窮小，那麼
① 若limx→αf(x)g(x)=0，則稱f(x)是比g(x)高階的無窮小，或稱g(x)是比f(x)低階的無窮小，記作f(x)=ο(g(x))(x→α).
② 若limx→αf(x)g(x)=∞，則稱f(x)是比g(x)低階的無窮小.
③ 若limx→αf(x)g(x)=C（C≠0)，則稱f(x)與g(x)是同階無窮小.特別地，若C=1，則稱f(x)與g(x)是等價無窮小，記作f(x)～g(x)(x→α).
例如，就前述四個無窮小x、x2、4x、x(x→0)而言，根據定義知道，x2是比x高階的無窮小，x是比x低階的無窮小，4x與x是同階無窮小.
應該注意的是，並非任意兩個無窮小都能進行比較.例如，當x→∞時，1x與1xsinx都是無窮小，即limx→∞1x=0，limx→∞1xsinx=0.但limx→∞1xsinx1x=limx→∞sinx不存在.
(2) 等價無窮小及其應用
當x→0時，有下列幾個常用的等價無窮小關係：
sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，
ln(1+x)～x，ex－1～x，1－cosx～12x2，
ax－1～xlna(a>0且a≠1)，(1+x)α－1～αx(α≠0).
注：在上述常用的等價無窮小關係中，可用任意一個無窮小β(x)代替其中的無窮小x.例如，當x→1時，有(x－1)2→0，從而sin(x－1)2～(x－1)2(當x→1時).
下述定理顯示了等價無窮小在求極限過程中的作用.
定理5設x→α時，F(x)～f(x)，G(x)～g(x)，且limx→αf(x)g(x)=A（A為常數或無窮大），則
limx→αF(x)G(x)=limx→αf(x)g(x)=A.
證明由定理的假設條件，我們有
limx→αF(x)G(x)=limx→αF(x)f(x)·f(x)g(x)·g(x)G(x)
=1·limx→αf(x)g(x)·1=limx→αf(x)g(x)=A.
這一定理告訴我們，在求積或商的極限時，若有因式是無窮小，則可用與其等價的無窮小來替換它.
例35求limx→0ln(1+2x)sinx.
解當x→0時，sinx～x，ln(1+2x)～2x，因此
limx→0ln(1+2x)sinx=limx→02xx=2.
例36求limx→0(ex－1)ln(1+x)tanxarcsinx.
解當x→0時，ex－1～x，ln(1+x)～x，tanx～x，arcsinx～x，因此
limx→0(ex－1)ln(1+x)tanxarcsinx=limx→0x·xx·x=1.
例37求limx→0tanx－sinxsin32x.
解當x→0時，sin2x～2x，sin32x～(2x)3，因此
limx→0tanx－sinxsin32x=limx→0tanx－sinx(2x)3=limx→0sinxcosx－sinx8x3
=18limx→0sinxx·1－cosxx2=18·1·12=116.
注：等價無窮小隻能替換極限式中的整體因式部分而不能替換加、減項部分.在本例中，若用x替換分子中的tanx及sinx，則得到錯誤的結果：
limx→0tanx－sinxsin32x=limx→0x－x(2x)3=0.
習題12
A組
1． 觀察下列數列一般項xn的變化趨勢，寫出它們的極限：
(１) xn=13n；(2) xn=(－1)n1n；(3) xn=2+1n3；
(4) xn=n－2n+2；(5) xn=(－1)nn.
2. 函數f(x)在點x0處存在極限是函數f(x)在點x0處有定義的().
(a) 充分而非必要條件(b） 必要而非充分條件
(c) 充分必要條件(d) 無關條件
3. 分析函數的變化趨勢，求下列函數的極限：
(１) limx→3(3x－2)；(2) limx→0sinx；
(3) limx→∞1－3xx；(4) limx→0(1－1－x2).
4. 設函數f(x)=e－x,問limx→+∞f(x),limx→－∞f(x)及limx→∞f(x)是否存在？為什麼？
5. 設函數f(x)=x+4,x<1，
x,x≥1，問limx→1f(x)是否存在？為什麼？
6. 設函數f(x)=cosx,x<0，
x+1,x≥0，討論當x→0時的極限是否存在.若存在，極限值為多少？
7. 判斷下列說法是否正確：
(１) 非常大的數是無窮大，非常小的數是無窮小；（）
(2) 兩個無窮大的和一定是無窮大；()
(3) 無窮大與常數的乘積必是無窮大；()
(4) 零是無窮小；()
(5) 無窮小是一個函數；()
(6) 兩個無窮小的商是無窮小.()
8. 指出下列哪些是無窮小量，哪些是無窮大量：
(１) 1+(－1)nn(n→∞)；(2) sinx1+cosx(x→0)；(3) x+1x2－4(x→2).
9. 利用無窮小的性質求極限：
(１) limx→0xsin1x；(2) limx→∞sinxx2；
(3) limx→0(x+sinx)；(4) limx→0xtanx.
10. 當x→0時，x－x2與x2－x3相比，哪一個是高階無窮小？
B組
1. 觀察下列數列一般項xn的變化趨勢，寫出它們的極限：
（1） xn=23n；（2） xn=(－1)nnn+1n；
（3） xn=3n1+3n；（4） xn=(－1)n(n+1)2.
2. 分析函數的變化趨勢，求下列函數的極限：
（1） limx→∞sin1x;（2） limx→∞54x;
（3） limx→1x2－1x－1;（4） limx→elnx.
3. 已知函數f(x)=3x,x<0，
x+k,x≥0的limx→0f(x)存在，求k.
4. 利用無窮小量的性質求極限：
(1) limx→1(x2－1)sin1x－1;(2) limx→∞arctanxx2.
5. 比較下列無窮小量的階：
（1） x2－4與x－2(x→2);（2） x2與1+x2－1(x→0).
6. 利用等價無窮小的性質求下列極限:
(１) limx→0arctan3x5x；(2) limx→0e5x－1sinx；(3) limx→01+xsinx－1xtanx.
第三節極限的運算
為了方便極限運算，我們給出極限的運算法則與兩個重要極限，證明不作要求.
一、極限的運算法則
我們將給出極限的四則運算法則和複合函數的極限運算法則.在下麵的討論中，記號“limx→α”中的α是指結論對於有限數x0、x+0、x-0、∞、+∞、-∞中任意一種均成立.
定理6（極限的四則運算法則）設limx→αf(x)、limx→αg(x)都存在，且limx→αf(x)=A，limx→αg(x)=B，則：
(1) limx→α[f(x)±g(x)]存在，且limx→α［f(x)±g(x)］=limx→αf(x)±limx→αg(x)=A±B，即和差的極限等於極限的和差；
(2) limx→α［f(x)·g(x)］存在，且limx→α［f(x)·g(x)］=limx→αf(x)·limx→αg(x)=A·B，即積的極限等於極限的積；
(3) limx→αf(x)g(x)(limx→αg(x)≠0)存在，且limx→αf(x)g(x)=limx→αf(x)limx→αg(x)=AB(B≠0)，即商的極限等於極限的商.
推論1如果limx→αf(x)存在，C為常數，則limx→αC·f(x)存在，且limx→α［Cf(x)］=Climx→αf(x)，即常數係數可以提到極限符號外麵.
推論2如果limx→αf(x)存在，n為正整數，則limx→α［f(x)］n存在，且limx→α［f(x)］n=［limx→αf(x)］n，即n次方的極限等於極限的n次方.
注：① 法則(1)和(2) 均可推廣到有限多個函數的情形.
② 上述定理給求極限帶來了很大的方便，但應注意，運用該定理的前提是被運算的各個函數的極限必須存在，並且，在除法運算中，還要求分母的極限不為零.
例38求limx→3(x2－3x+5).
解limx→3(x2－3x+5)=limx→3x2－limx→33x+limx→35
=(limx→3x)2－3limx→3x+5=32－3·3+5=5.
當遇到多項式函數在x0處的極限時，此極限就等於該函數在x0處的函數值.即
limx→x0(a0xn+a1xn－1+…+an)=a0xn0+a1xn-10+…+an(a0≠0).
例39求limx→23x－5x2－2x+7.
解因為當x→2時，x2－2x+7→7≠0，由商的極限的運算法則，有
limx→23x－5x2－2x+7=limx→2(3x－5)limx→2(x2－2x+7)=3×2－522－2×2+7=17.
由此可知，當遇到有理分式函數在x0處的極限時，若分母的極限不為零，則此極限就等於該函數在x0處的函數值.即
limx→x0f(x)g(x)=f(x0)g(x0)(limx→x0g(x)≠0).
例40求limx→∞1+1x2+2x23－3x3.
解limx→∞1+1x2+2x23－3x3=limx→∞1+1x·limx→∞2+2x2·limx→∞3－3x3
=(1+0)(2+0)(3+0)=6.
例41求limx→13x+2x2－2x+1.
解當x→1時，x2－2x+1→0，3x+2→5≠0，不能直接用商的極限法則.
我們可考慮倒數的極限：
limx→1x2－2x+13x+2=limx→1(x2－2x+1)limx→1(3x+2)=05=0，
由無窮大與無窮小的關係知：limx→13x+2x2－2x+1=∞.
由此可知，當遇到分母的極限為零、分子的極限不為零的分式函數的極限時，可利用倒數的極限及無窮大與無窮小的關係來確定原式的極限.
例42求limx→2x2+x－6x2－4.
解當x→2時，分子、分母的極限都為零，不能直接用商的極限法則，但它們都有趨於零的公因式x－2，約去這個公因式，即有
limx→2x2+x－6x2－4=limx→2(x+3)(x－2)(x+2)(x－2)=limx→2x+3x+2=54.
由此可知，當遇到分子、分母的極限都為零（這類極限通常稱為00型未定式極限）的有理分式函數極限時，一般先對分子、分母因式分解，約去趨向於零的公因式，然後再求極限.
例43求limx→5x+4－3x－5.
解這是00型未定式極限，且分子含有根式，需借助於根式有理化，從而約去趨向於零的公因式x－5.
limx→5x+4－3x－5=limx→5(x+4－3)(x+4+3)(x－5)(x+4+3)
=limx→5x－5(x－5)(x+4+3)
=limx→51x+4+3=16.
由此可知，當遇到00型非有理函數未定式極限時，若分子或分母中含有根式，可先對分子或分母進行有理化，約去零因式，再求極限.
例44limx→3x－32x+3－3.
解這是00型未定式極限，且分子、分母都含有根式，需分子、分母同時有理化，從而約去趨向於零的公因式x－3.
limx→3x－32x+3－3=limx→3(x－3)(x+3)(2x+3+3)(x+3)(2x+3－3)(2x+3+3)
=limx→3(x－3)(2x+3+3)(x+3)(2x－6)
=limx→32x+3+32(x+3)=643=32.
例45求limx→∞5x2+x－6x3+2.
解當x→∞時，分子、分母同時趨於∞（這類極限通常稱為∞∞型未定式極限），不能直接用商的極限法則.此時可以將分子、分母同除以它們的最高次冪x3後求極限.
limx→∞5x2+x－6x3+2=limx→∞5x+1x2－6x31+2x3=limx→∞5x+1x2－6x3limx→∞1+2x3=0+0－01+0=0.
例46求limx→∞4x3+x+12x3+5.
解這是∞∞型未定式極限，根據上例，可將分子、分母同除以它們的最高次冪x3後求極限.
limx→∞4x3+x+12x3+5=limx→∞4+1x2+1x32+5x3=4+0+02+0=2.
由此可知，當遇到像這種分子、分母都是多項式的∞∞型未定式極限時，先將分子、分母同除以它們的最高次冪，然後再求極限.
一般地，當x→∞時，有下麵的結論：
limx→∞a0xn+a1xn－1+…+anb0xm+b1xm－1+…+bm=0，n a0b0，n=m， ∞，n>m（其中a0、b0≠0，n、m為非負整數）. 例47求limx→11x－1－2x2－1. 解因為limx→11x－1、limx→12x2－1不存在，所以不能直接用差的極限法則，可先通分化簡，再求極限. limx→11x－1－2x2－1=limx→1x+1－2x2－1=limx→1x－1x2－1=limx→11x+1=12. 由此可知，當遇到兩個有理分式差的極限時，若這兩個有理分式都是無窮大，可先將它們通分，然後再求極限. 例48求極限limx→+∞(x2+x+1－x2－x+1). 解因為limx→+∞x2+x+1、limx→+∞x2－x+1不存在，所以不能直接用差的極限法則，可先分子有理化，再求極限. limx→+∞(x2+x+1－x2－x+1) =limx→+∞(x2+x+1－x2－x+1)(x2+x+1+x2－x+1)x2+x+1+x2－x+1 =limx→+∞2xx2+x+1+x2－x+1 =limx→+∞21+1x+1x2+1－1x+1x2=22=1. 由此可知，當遇到兩個根式差的極限時，若這兩個根式都是無窮大，可先將它們看作分母為1的分式進行分子有理化，然後再求極限. 定理7（複合函數的極限運算法則）設函數y=f[g(x)]是由函數y=f(u)與函數 u=g(x) 複合得到的，若limx→αg(x)=u0(u0為某一實數)，limu→u0f(u)=A，且在α的某去心鄰域內有g(x)≠u0，則 limx→αf[g(x)]=limu→u0f(u)=A. 注：定理7表明，若函數f(u)和g(x)滿足該定理的條件，則作代換u=g(x)，可把求limx→αf[g(x)]化為求limu→u0f(u)，其中u0=limx→αg(x). 例49求limx→π8sin2x. 解令u=2x，則函數y=sin2x可看作由y=sinu與u=2x複合而成的.因為x→π8，u=2x→π4，且u→π4時sinu→22，所以 limx→π8sin2x=limu→π4sinu=sinπ4=22. 例50求limx→∞21x. 解令u=1x，則limx→∞1x=0，且limu→02u=1，所以 limx→∞21x=limu→02u=1. 二、兩個重要極限 1. limx→0sinxx=1 圖126 證明因為sin(－x)－x=－sinx－x=sinxx，即sinxx是偶函數，因此可隻考慮x→0+的情形，不妨設0 x=AB，sinx=|BC|，tanx=|BC||OC|=|AD||OA|=|AD|. 由於 S△BOA<Ｓ扇形BOA<Ｓ△DOA， 而Ｓ△BOA=12|OA|·|BC|=12sinx，Ｓ扇形BOA=12|OA|·AB=12x， Ｓ△DOA=12|OA|·|AD|=12tanx，因此有 12sinx<12x<12tanx， 即有 sinx 同除以sinx得 1 由於limx→0+cosx=1，limx→0+1=1，因此limx→0+sinxx=1. 由於sinxx為偶函數，因此limx→0－sinxx=limx→0+sinxx=1.故證得limx→0sinxx=1. 特別強調的是，應用該重要極限時應注意它的格式：在某一個變化過程中，分子、分母的極限都是零（我們稱它為00型），且分子是分母的正弦.即可形象地表示為 lim□→0sin□□=1 （□代表某一變量或函數）. 例51求limx→0sin3xx. 解limx→0sin3xx=limx→03sin3x3x令3x=t3limt→0sintt=3. 例52求limx→0tanxx. 解limx→0tanxx=limx→01cosx·sinxx=limx→01cosx·limx→0sinxx=1·1=1. 例53求limx→0sin3xsin5x. 解limx→0sin3xsin5x=limx→03x5x·sin3x3xsin5x5x=35·11=35. 例54求limx→0x－sin2xx+sin2x. 解limx→0x－sin2xx+sin2x=limx→012－sin2x2x12+sin2x2x=12－112+1=－13. 例55求limx→01－cosxx2. 解limx→01－cosxx2=limx→02sin2x2x2=limx→012sinx2x22=12·12=12. 例56求limn→∞2nsinπ2n. 解limn→∞2nsinπ2n=limn→∞π·sinπ2nπ2n=π·1=π. 2. limx→∞1+1xx=e 先考慮自變量x取正整數n時，這個極限變成 limn→∞1+1nn. 應用“單調有界數列必收斂”可以證明上式極限存在，並將它記為e，即 limn→∞1+1nn=e. 當n足夠大，如n=m時，可以計算得e的近似值： e≈1+1mm. 這樣，可計算得e=2.7182818…，這是一個無理數.再應用夾逼定理證明 limx→∞1+1xx=e. 由於整個證明過程比較複雜，這裏不予證明.特別強調的是，應用該重要極限時應注意它的格式：在某一變化過程中，底的極限為1，指數是無窮大（我們稱它為1∞型），且底中1加的部分與指數是倒數關係.即可形象地表示為 lim□→0(1+□)1□=e（□代表某一變量或函數）. 例57求limx→∞1+2xx. 解limx→∞1+2xx=limx→∞1+2xx2·2=limx→∞1+2xx22=e2. 例58求limx→∞1－12xx. 解limx→∞1－12xx=limx→∞1+1－2x－2x－12=e－12. 例59求limx→0(1－5x)2x. 解limx→0(1－5x)2x=limx→0［1+(－5x)］－15x·(－10)=limx→0[(1－5x)－15x]－10=e－10. 例60求limx→∞1+32x4x+3. 解limx→∞1+32x4x+3=limx→∞1+32x4x·1+32x3=limx→∞1+32x2x3·6=e6. 例61求limx→∞3+x2+x2x. 解（方法一）limx→∞3+x2+x2x=limx→∞(2+x)+12+x2x=limx→∞1+12+x2x =limx→∞1+12+x2·(2+x)－4 =limx→∞1+12+x2+x2·1+12+x－4=e2·1=e2. （方法二）limx→∞3+x2+x2x=limx→∞3x+12x+12x=limx→∞1+3x2x1+2x2x=e6e4=e2. 例62已知limx→∞1+kxx=e12，求常數k. 解limx→∞1+kxx=limx→∞1+kxxkk=ek. 由已知條件，有ek=e12.故k=12. *例63證明：limx→0ln(1+x)x=1. 證明limx→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)1x=lne=1. *例64證明：limx→0ex－1x=1. 證明令ex－1=t，則ex=1+t，x=ln(1+t)，且當x→0時，t→0.於是 limx→0ex－1x=limt→0tln(1+t)=1. 習題13 A組 1. 下列計算錯在哪裏? (１) limx→2x2－4x－2=limx→2(x2－4)limx→2(x－2)=00=1；（2） limx→2x2－3x－2=limx→2(x2－3)limx→2(x－2)=10=∞. 2. 求下列極限: (１) limx→2(3x2－2x+1)；(2) limx→π2xsinx； (3) limx→1x2+x+12x－1+2；(4) limx→∞1+13x2－1x2； (5) limx→5x－1+2x+4+3；(6) limx→－1x2+3x+4x2－x－2. 3. 求下列極限： (１) limx→5x2－5xx2－25；(2) limx→3x2－4x+3x2－x－6； (3) limx→25x－1－3x－2；(4) limx→01+x－1－xx； (5) limx→1x－11+x－3－x；(6) limx→3x－2－1x+1－2. 4. 求下列極限: (１) limx→∞1000x2+3x+100x3+1；(2) limx→∞x3+1100x2+x+1； (3) limx→－∞3x4+4x2+14x4+3x3+x；(4) limx→－∞(x3+1)(5x－2)(x2+1)2； (5) limx→∞x+2x2+1sinx；(6) limn→∞n2－n+n7n+3； (7) limx→21x－2－2x2－4；(8) limx→+∞(x2+1－x2－1). 5. 求下列極限: (１) limx→0cos(sinx)；(2) limx→∞2sin1x； (3) limx→∞ln1+1x2；(4) limx→－∞arctanex. 6. 求下列極限： (１) limx→0sin5x3x；(2) limx→0sin2xx； (3) limx→0tan2xx；(4) limx→1sin(x2－1)x－1； (5) limx→0sin(sinx)x；(6) limn→∞nsin4n. 7. 求下列極限： (１) limx→∞1+1x5x；(2) limn→∞1－4n2n； (3) limx→0(1+3x)3x；(4) limn→∞1+1n6n+2； (5) limx→02－x22x；(6) limx→∞x+3x+1x. 8. 已知函數f(x)=sin2xx,x<0, acosx,x≥0在x=0處存在極限,求常數a. B組 1. 判斷下列運算是否正確？如果錯，錯在哪裏？ (１) limx→0x2sin1x=limx→0x2·limx→0sin1x=0·limx→0sin1x=0； (2) limx→11x－1－2x2－1=limx→11x－1－limx→12x2－1=∞－∞=0. 2. 求下列極限： （1） limx→12(27x2－3)(6x+5);（2）limx→∞(2x+1)3(x－3)2x5+4; （3） limx→42x+1－3x－2;（4） limx→∞(2x2－8)8(3x2+1)2(2x2+1)10 （5） limx→01－1+x2x2; （6） limx→∞x21x+1－1x－1; （7） limx→∞3－2x2－2xx;（8） limx→0(1+tanx)cotx. 3. 已知極限limx→1x2－3x+kx－1存在,求常數k和極限值. 第四節函數的連續性 在客觀世界中，許多現象、運動都是連續不間斷變化的.例如，一天中氣溫隨時間的變化而不間斷地變化、植物連續不間斷地生長、曲線y=lnx是連續不間斷的.為了確切地描述一個變量隨另一個變量的這種不間斷地變化，在這一節中引進函數的連續性概念. 一、函數的連續性 1. 連續函數的概念 為了描述函數的連續性，我們先引入函數增量的概念. 圖127 如圖127所示，設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x從初值x0變化到終值x時，稱差x－x0為自變量x在x0處的改變量或增量，記作Δx，即Δx=x－x0.相應地，函數f(x)在終值x處的函數值與初值x0處的函數值的差稱為函數的改變量或增量，記作Δy，即 Δy=f(x)－f(x0). 說明：① Δx和Δy可以是正值，也可以是負值，也可以為零. ② 因為Δx=x－x0，所以x=x0+Δx，因而 Δy=f(x0+Δx)－f(x0). 例如，函數f(x)=x2+1，當自變量x在點x0處取得增量Δx（即x由x0變化到x0+Δx）時，函數相應的增量為 Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=［(x0+Δx)2+1］－(x２0+1)=2x0Δx+(Δx)2. 從幾何圖形上看，若函數f(x)在點x0處不斷開（即連續），如圖128所示，則當x在x0處取得微小增量Δx時，函數相應的增量Δy也很小，且當Δx趨於0時，Δy也趨於0，即limΔx→0Δy=0.相反，若函數f(x)在點x0處斷開（即不連續），如圖129所示，則即使有Δx趨於0，Δy也不趨於0. 圖128 圖129 定義15設函數f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若當自變量x在點x0處的增量Δx趨於零時，函數相應的增量Δy也趨於零，即 limΔx→0Δy=0， 則稱函數f(x)在點x0處連續，點x0稱為f(x)的連續點.否則，稱函數f(x)在點x0處不連續或間斷，點x0稱為f(x)的間斷點. 這表明，函數f(x)在點x0處連續的直觀意義是：當自變量的改變量Δx為無窮小時，函數相應的改變量Δy也為無窮小. 在定義15中，若令x=x0+Δx，即Δx=x－x0，相應地Δy=f(x)－f(x0)，則當Δx→0時，有x→x0，且limΔx→0Δy=limx→x0［f(x)－f(x0)］=0，即 limx→x0f(x)=f(x0). 於是我們可得函數連續定義的另一種表述： 定義16設函數f(x)在點x0的某鄰域內有定義，若limx→x0f(x)=f(x0)，則稱函數f(x)在點x0處連續，點x0稱為函數f(x)的連續點；否則，稱函數f(x)在點x0處不連續或間斷，點x0稱為函數f(x)的間斷點. 例65討論函數f(x)=x2－1x－1，x≠1, 2，x=1在點x=1處的連續性. 解因為f(1)=2，且 limx→1f(x)=limx→1x2－1x－1=limx→1(x+1)=2， 顯然limx→1f(x)=f(1)，所以函數f(x)在點x=1處連續. 由定義16可知函數f(x)在點x0處連續必須同時滿足以下三個條件： (1) 函數f(x)在點x0處有定義； (2) limx→x0f(x)存在（記為A）； (3) A=limx→x0f(x). 要函數f(x)在點x0處連續，這三個條件缺一不可.隻要三個條件之一不成立，則f(x)在點x0處間斷. 例66討論函數f(x)=ex，x<0， 0，x=0， ln(1+x)，x>0在x=0處的連續性. 解因為f(0)=0，又 limx→0－f(x)=limx→0－ex=e0=1， limx→0+f(x)=limx→0+ln(1+x)=ln1=0， 顯然limx→0－f(x)≠limx→0+f(x)，從而函數f(x)在x=0處不連續（或間斷）. 2. 左連續與右連續 類似於左、右極限，我們有左、右連續的概念. 定義17設函數f(x)在點x0的某個左(或右)鄰內有定義，且 limx→x－0f(x)=f(x0)(或limx→x+0f(x)=f(x0))， 則稱函數f(x)在點x0處左(或右)連續. 根據上述定義，可得如下定理： 定理8函數f(x)在點x0處連續的充分必要條件是函數f(x)在點x0處既左連續又右連續. 例67討論函數f(x)=2x+1，x≤0， cosx，x>0在點x=0處的連續性. 解由於limx→0－f(x)=limx→0－(2x+1)=1=f(0)， limx→0+f(x)=limx→0+cosx=1=f(0)， 因此該函數f(x)在點x=0處左連續且右連續.據定理8知，函數f(x)在點x=0處連續. 例68討論函數f(x)=x+1，x<1， x2，x≥1在點x=1處的連續性. 解由於limx→1+f(x)=limx→1+x2=1=f(1)， limx→1－f(x)=limx→1－(x+1)=2≠f(1)， 因此該函數f(x)在點x=1處右連續但不左連續.據定理8知，函數f(x)在點x=1處間斷. 例69已知函數f(x)=x3－2，x<2， kx，x≥2在點x=2處連續，試求常數k. 解因為f(x)在點x=2處連續，因此limx→2－f(x)=limx→2+f(x)=f(2).又 limx→2－f(x)=limx→2－(x3－2)=6，limx→2+f(x)=limx→2+kx=2k， 從而2k=6，故得k=3. 3. 連續函數與連續區間 若函數f(x)在開區間(a，b)內的每一點都連續，則稱函數f(x)在區間(a，b)內連續. 設函數f(x)在區間(a，b)內連續，且在區間左端點a處右連續，在區間右端點b處左連續，則稱f(x)在閉區間[a，b]上連續.函數f(x)在[a，b)(或(a，b])上連續是指f(x)在(a，b)內連續，且在左端點a(或右端點b)處右(或左)連續. 設函數f(x)在某區間上連續，即f(x)是該區間上的連續函數，該區間又稱為f(x)的連續區間.從幾何圖形上看，連續函數的圖形是一條連續不間斷的曲線. 基本初等函數在其定義域內是連續的. 二、函數的間斷點及其分類 由函數在某點連續的定義可知，若函數f(x)在點x0處連續的三個條件之一不成立，則點x0是函數f(x)的間斷點： (1) f(x)在點x0處沒有定義； (2) f(x)在點x0處有定義但limx→x0f(x)不存在； (3) f(x)在點x0處有定義，且limx→x0f(x)存在，但是limx→x0f(x)≠f(x0). 函數f(x)的間斷點通常可分為兩類： ① 設點x0為函數f(x)的間斷點，且limx→x－0f(x)、limx→x+0f(x)都存在，則稱點x0為函數f(x)的第一類間斷點. 函數的第一類間斷點又可分為可去間斷點和跳躍間斷點：設點x0是函數f(x)的第一類間斷點，若limx→x－0f(x)=limx→x+0f(x)(即limx→x0f(x)存在)，則稱點x0為函數f(x)的(第一類)可去間斷點；若limx→x－0f(x)≠limx→x+0f(x)(此時limx→x0f(x)不存在)，則稱點x0為函數f(x)的(第一類)跳躍間斷點. ② 設點x0是函數f(x)的間斷點，且limx→x－0f(x)、limx→x+0f(x)之中至少有一個不存在，則稱點x0為f(x)的第二類間斷點. 函數的第二類間斷點通常有無窮間斷點和振蕩間斷點：設點x0是函數f(x)的第二類間斷點，若f(x)在點x0處的左、右極限中至少有一個是無窮大，則稱點x0為函數f(x)的無窮間斷點；而當x→x0時，函數f(x)在點x0的某鄰域內無限振蕩，則稱點x0為函數f(x)的振蕩間斷點. 例70找出下列函數的間斷點並指明類型： (1) f(x)=sinxx；(2) f(x)=sin1x. 解(1) 函數f(x)=sinxx在點x=0處無定義，因此點x=0是函數f(x)的間斷點.又因為limx→0f(x)=limx→0sinxx=1，所以x=0是函數f(x)的第一類（可去）間斷點. (2) 函數f(x)在點x=0處沒有定義，因此f(x)在點x=0處間斷.又因為當x→0時，f(x)=sin1x振蕩無極限，故x=0是f(x)的第二類（振蕩）間斷點. 例71討論函數f(x)=(x－1)sin1x－1，x≠1， 1，x=1在點x=1處的連續性.若間斷，則指出間斷點的類型. 解因為limx→1f(x)=limx→1(x－1)sin1x－1=0，而f(1)=1，顯然limx→1f(x)≠f(1)，從而點x=1是函數f(x)的第一類（可去）間斷點. 例72討論函數f(x)=2x，x<0, 1，x=0, x－1，x>0在點x=0處是否連續.若間斷，則指出間斷點的類型. 解因為limx→0－f(x)=limx→0－2x=1，limx→0+f(x)=limx→0+(x－1)=－1，所以x=0是函數f(x)的第一類（跳躍）間斷點. 例73討論函數f(x)=x，x≤0, 1x，x>0在點x=0處的連續性.若間斷，則指出間斷點的類型. 解因為limx→0－f(x)=limx→0－x=0，limx→0+f(x)=limx→0+1x=+∞，即函數f(x)在點x=0的右極限不存在，所以x=0為函數f(x)的第二類（無窮）間斷點. 三、 初等函數的連續性 若已知函數f(x)在點x0處連續，則由定義16可得limx→x0f(x)=f(x0)，這為求函數的極限開辟了一條新的途徑.我們已經知道六類基本初等函數在其定義域內是連續的，其次，還可以證明兩個函數經過和、差、積、商（分母不為零）以及複合運算後仍是連續函數.於是，再由初等函數的定義，我們可以得到下麵的定理： 定理9一切初等函數在其定義域內都是連續的. 例74求下列極限：(1) limx→0ln(1+x2)cosx；(2) limx→2e5－2x. 解(1) 因為ln(1+x2)cosx是初等函數，且x=0在其定義域內，所以 limx→0ln(1+x2)cosx=ln1cos0=01=0. (2) 因為e5－2x是初等函數，且x=2在其定義域內，所以 limx→2e5－2x=e5－2×2=e. 四、閉區間上連續函數的性質 圖130 在閉區間上的連續函數具有一些重要的性質，由於它們的證明涉及嚴密的實數理論，故我們不加證明予以介紹. 定理10(最大、最小值定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，則函數f(x)在[a，b]上一定有最大值M和最小值m，即存在點x1、x2∈［a，b］，使得m=f(x1)≤f(x)≤f(x2)=M，x∈[a，b].如圖130所示. 圖131 推論設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，則f(x)在[a，b]上有界. 應該注意，定義在開區間內的連續函數未必有上述定理中的結論.例如函數y=tanx在－π2，π2內連續，但它在這個區間內無界，且沒有最大值和最小值. 定理11(介值定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，μ為介於最大值和最小值之間的任意一個數，則至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=μ.如圖131所示. 設函數f(x)，若存在點x0使得f(x0)=0，則稱點x0為函數f(x)的零點. 圖132 推論(零點定理)設函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則至少存在一點ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0. 推論表明：連續函數f(x)滿足f(a)·f(b)<0，則方程f(x)=0在區間(a，b)內至少有一個根，如圖132所示. 例75證明方程xex=1在區間(0，1)內至少有一個實根. 證明令f(x)=xex－1，顯然函數f(x)在[0，1]上連續.又f(0)=－10，即有f(0)·f(1)<0，所以由零點定理可得，在(0，1)內至少存在一點ξ使得f(ξ)=0，即方程xex=1在區間(0，1)內至少有一個實根. 習題14 A組 1. 討論函數f(x)=x2sin1x,x≠0, 0,x=0在x=0處的連續性. 2. 討論函數f(x)=x2,0≤x≤1, 2－x,1 3. 已知函數f(x)=sin2xx,x<0, x2－2k,x≥0在x=0處連續，求常數k的值. 4. 指出下列函數的間斷點，並指明類型. (１) y=2x－3；(2) y=x2－1x2－3x+2； (3) y=arctan1x－1；(4) f(x)=x－1,x≠0, 1,x=0. 5. 證明方程x2cosx－sinx=0在區間π,32π內至少有一個實根. 6. 證明方程x=cosx至少有一個正實根. B組 1. 已知函數f(x)=3x+2,x≤0, x2+a,0 bx,x>1是連續函數，求常數a、b的值. 2. 判斷函數f(x)=x+1x,x≠0, 0,x=0在x=0處是否連續，若不連續，請指出是哪一類間斷點. 3. 確定常數k的值，使下列函數為連續函數： （1） f(x)=(1+x)2x,x≠0, k,x≥0;（2） f(x)=kx+1,x<1, 2k+lnx,x≥1. 4. 設函數f(x)在區間[0,1]上連續,且0≤f(x)≤1，證明至少存在一點ξ∈[0,1]，使得f(ξ)=ξ. 總複習題一 1． 單項選擇題 （1） 設函數f(x)的定義域為[0,1]，則f(2x－1)的定義域為，則（）. A． [－1,1]B. [0,1]C. 12,1D. －12,12 （2） f(x)=x3,x∈［－3,0］, －x3,x∈(0,2］是（）. A． 奇函數B. 偶函數C. 有界函數D. 周期函數 （3） 當x→2時，下列變量中為無窮大量的是（）. A． f(x)=x2－4x－2B. f(x)=e1x－2C. f(x)=21x－2D. f(x)=x+2x－2 （4） 下列極限中正確的是（）. A． limx→01+1xx=eB. limx→01x－1sinx=0 C. limx→∞sinxx=1D. limx→0sin2xln(1－x)=2 （5） x=0是f(x)=sinxsin1x的（）. A． 可去間斷點B. 跳躍間斷點C. 連續點D. 第二類間斷點 2. 填空題 （1） 已知limx→∞a2+bn－53n－2=2，則a=，b=. （2） limx→0x2+1=. （3） limx→∞2x2=. （4） 當x→0時，e2x－1是sinx的階無窮小. （5） x=0是函數f(x)=xsin1x的第類間斷點. 3. 計算下列極限 （1） limn→∞3n+12n+1;（2） limx→1(2x－1);（3） limx→12x－3x2－5x+4; （4） limx→∞3x3+4x2+27x3+5x2－3;（5） limx→∞3x2－2x－12x3－x2+5;（6） limx→∞2x3－x2+53x2－2x+1; （7） limx→111－x－31－x3;（8） limx→0sin2xsin6x;（9） limx→01－cos2xxsinx; （10） limx→0(1－x)1x;（11） limx→∞(1－x)kx（k為常數）. 第二章導數與微分 第二章導數與微分 這一章，我們將在函數極限的基礎上研究微分學.在微分學中，導數和微分是兩個最基本的概念，可以說是微分學的精髓.導數刻畫函數相對於自變量的變化率，微分指明自變量有微小變化時函數的變化幅度大小.本章從實例出發引進導數的概念，然後再導出導數的基本運算法則和主要公式，以及微分的概念. 第一節導數的概念 一、引例 第一章討論了函數與極限，它們反映了變量之間的依賴關係與變量變化的趨勢.在許多實際問題中，需進一步研究變量之間相對變化快慢的程度問題，如物體運動的速度、人口的增長、成本的變化率等.這些問題在數學上可以歸結為自變量的增量與相應的函數的增量之間的一種“比率”關係，也就是函數的變化率，數學上叫作導數.下麵先從兩個實際問題分析中引出導數的概念. 1. 變速直線運動的瞬時速度問題 引例1假設一物體做變速直線運動，在［0，T］這段時間所經過的路程(距離)為s，則s是時間t的函數：s=s(t).求該物體在時刻t0∈［0，T］的瞬時速度v(t0). 首先考慮物體在時刻t0附近很短一段時間內的運動.設物體從t0到t0+Δt這段時間間隔內路程從s(t0)變化到s(t0+Δt)，其路程改變量為 Δs=s(t0+Δt)－s(t0). 於是，物體從t0到t0+Δt這段時間間隔內的平均速度為 v=ΔsΔt=s(t0+Δt)－s(t0)Δt. 當時間間隔長度Δt很小時，可以認為物體在時間間隔［t，t0+Δt］內近似做勻速運動.因此，可以用物體在這段時間間隔內的平均速度v作為t0時刻瞬時速度v(t0)的近似值，且Δt越小，其近似程度越高. 當Δt→0時，我們把平均速度v的極限稱為物體在時刻t0的瞬時速度v(t0)，即 v(t0)=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0s(t0+Δt)－s(t0)Δt. 2. 平麵曲線的切線斜率問題 引例２設曲線C是函數y=f(x)的圖形，求曲線C在點M(x0，y0)處的切線的斜率. 圖21 如圖21所示，設點N(x0+Δx，y0+Δy)(Δx≠0)為曲線C上的另一點，連接點M和點N的直線MN稱為曲線C的割線.設割線MN的傾斜角為φ，那麼它的斜率為 kMN=tanφ=ΔyΔx=f(x0+Δx)－f(x0)Δx. 而當點N沿曲線C趨近於點M時，割線MN的傾斜角φ趨近於切線MT的傾斜角α，所以割線MN的斜率tanφ趨近於切線MT的斜率tanα，即切線MT的斜率正是割線MN的斜率當點N沿曲線C趨近於點M（即Δx→0）時的極限.因此，曲線C在點M(x0，y0)處的切線斜率為 kMT=tanα=limΔx→0tanφ=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx. 在自然科學和工程技術等領域中，還有很多非均勻變化的問題，諸如物質比熱、電流強度、線密度等等，盡管它們有著不同的實際意義，但最終都可歸結為形如上述兩例中出現的函數的增量與自變量的增量之比當自變量的增量趨於零時的極限，即limΔx→0ΔyΔx.這種具有特定結構的極限就是所要討論的函數的導數. 二、導數的概念 1. 導數的定義 定義1設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，當自變量x在點x0處取得增量Δx(Δx≠0且x0+Δx仍在該鄰域內)時，相應地,函數y=f(x)有增量 Δy=f(x0+Δx)－f(x0). 如果當Δx→0時，增量比ΔyΔx的極限 limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx(21) 存在，那麼稱函數y=f(x)在點x0處可導，且稱此極限值為函數y=f(x)在點x0處的導數，記作f′(x0)，也可記作y′|x=x0，dydxx=x0，df(x)dxx=x0或ddxf(x)x=x0等.即 f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0)Δx.(22) 若式(21)的極限不存在，則稱函數y=f(x)在點x0處不可導. 函數f(x)在點x0處可導也可稱為函數f(x)在點x0處具有導數或導數存在. 導數的定義還可以采用不同的表達形式： 在式(22)中，若令h=Δx，則有 f′(x0)=limh→0f(x0+h)－f(x0)h. 若令x=x0+Δx，則Δx=x－x0，Δy=f(x)－f(x0)，且當Δx→0時，x→x0，於是函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)的表示式(22)可寫成 f′(x0)=limx→x0f(x)－f(x0)x－x0.(23) 根據導數的定義，引例1中變速直線運動的瞬時速度可表示為v(t0)=s′(t0)，引例2中曲線y=f(x)在點x0處的切線的斜率可表示為k切=f′(x0). 例1求函數y=x2在點x0處的導數. 解任取自變量的增量Δx，相應地，函數y=x2的增量為 Δy=(x0+Δx)2－x20=2x0Δx+(Δx)2. 於是 y′|x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02x0Δx+(Δx)2Δx=limΔx→0(2x0+Δx)=2x0. 例如，當x0=1時，得到y′|x=1=2×1=2；當x0=3時，得到y′|x=3=2×3=6. 例2設函數f(x)在點x0處可導，且f′(x0)=4，求limh→0f(x0+h)－f(x0－2h)h. 解由於limh→0f(x0+h)－f(x0－2h)h =limh→0f(x0+h)－f(x0)－[f(x0－2h)－f(x0)]h =limh→0f(x0+h)－f(x0)h－limh→0f(x0－2h)－f(x0)－2h·(－2) =f′(x0)+2f′(x0)=3f′(x0)， 由已知f′(x0)=4，因此 limh→0f(x0+h)－f(x0－2h)h=3×4=12. 例3設函數f(x)在點x=2處連續，且limx→2f(x)x－2=2，求f′(2). 解因為函數f(x)在點x=2處連續，所以有limx→2f(x)=f(2).又由limx→2f(x)x－2=2可知f(2)=0，從而 f′(2)=limx→2f(x)－f(2)x－2=limx→2f(x)x－2=2. 2. 導函數 設函數y=f(x)在開區間I內的每一點處都可導，則稱函數y=f(x)在I內可導. 設函數y=f(x)在開區間I內可導，則對於I內的每一個x值，都有唯一確定的導數值f′(x)與之對應，因此f′(x)仍是x的一個函數，稱其為函數y=f(x)的導函數，記作f′(x)，y′，dydx，df(x)dx或ddxf(x),等等. 在式(22)中，把x0換成x，即得函數y=f(x)的導函數定義： y′=f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx. 顯然函數y=f(x)在點x0處的導數，就是其導函數f′(x)在點x0處的函數值，即f′(x0)=f′(x)|x=x0. 方便起見，在不會引起混淆的情況下，常常將導函數簡稱為導數. 在例1中，以x替代x0便得到函數y=x2的導(函)數y′=2x，而函數y=x2在點x=3處的導數(值)為y′|x=3=2x|x=3=6. 3. 左、右導數 我們應用極限來定義函數f(x)在某一點x0處的導數.在第一章中，我們定義了左、右極限，同樣，我們可以定義函數f(x)在點x0處的左、右導數. 定義2設函數f(x)在點x0及其左(或右)鄰域內有定義.若左(或右)極限 limΔx→0－f(x0+Δx)－f(x0)Δx或limΔx→0+f(x0+Δx)－f(x0)Δx 存在，則稱此左(或右)極限為函數f(x)在點x0處的左(或右)導數，記作f′－(x0)(或f′+(x0))，即 f′－(x0)=limΔx→0－f(x0+Δx)－f(x0)Δx 或f′+(x0)=limΔx→0+f(x0+Δx)－f(x0)Δx. 根據左、右極限與極限的關係，我們有下麵的定理： 定理1函數f(x)在點x0處可導的充分必要條件是f(x)在點x0處的左、右導數都存在且相等. 注：① 定理1常用於判定分段函數在分界點處的可導性. ② 通常地，函數f(x)在閉區間［a，b］上可導是指，f(x)在開區間(a，b)內可導，且在左端點a右導數存在，在右端點b左導數存在. 例4討論函數f(x)=xsin1x，x≠0， 0，x=0在點x=0處的可導性. 解由於limx→0f(x)－f(0)x=limx→0xsin1x－0x=limx→0sin1x不存在，所以函數f(x)在x=0處不可導.而且limx→0－sin1x，limx→0+sin1x也不存在，因而f(x)在x=0處的左、右導數都不存在. 例5求函數f(x)=sinx，x<0， ln(1+x)，x≥0在點x=0處的導數. 解首先f(0)=ln(1+0)=0，然後 f′－(0)=limx→0－f(x)－f(0)x=limx→0－sinx－0x=1， f′+(0)=limx→0+f(x)－f(0)x=limx→0+ln(1+x)－0x=1， 因此f′－(0)=f′+(0).據定理1知，函數f(x)在x=0處可導，且f′(0)=1. 三、導數的幾何意義 當函數y=f(x)在點x0處可導時，由引例2知，函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)就是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k切=f′(x0).這就是導數的幾何意義. 於是，當函數y=f(x)在點x0處可導時，曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為 y－f(x0)=f′(x0)(x－x0). 曲線y=f(x)上過點(x0，f(x0))且與切線垂直的直線稱為法線.當f′(x0)≠0時，曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的法線方程為 y－f(x0)=－1f′(x0)(x－x0). 當f′(x0)=0時，該法線方程為x=x0. 如果函數y=f(x)在點x0處連續且導數為無窮大，則曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為 x=x0， 法線方程為 y=y0. 例6求曲線y=x2在點(1，1)處的切線方程和法線方程. 解因為y′=2x，因此曲線y=x2在點(1，1)處的切線的斜率為 k切=y′|x=1=2x|x=1=2. 於是，所求的切線方程為 y－1=2(x－1)，即 2x－y－1=0. 所求的法線方程為 y－1=－12(x－1)，即 x+2y－3=0. 四、可導與連續的關係 定理2若函數y=f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處必連續. 證明設函數y=f(x)在點x0處可導，則有 limΔx→0ΔyΔx=f′(x0)， 因此 limΔx→0Δy=limΔx→0ΔyΔx·Δx=limΔx→0ΔyΔx·limΔx→0Δx=f′(x0)·0=0. 由連續的定義知，函數y=f(x)在點x0處連續. 應該注意的是，函數在某點處連續，是函數在該點可導的必要條件，而不是充分條件.也就是說，函數在某點處連續時在該點卻未必可導.但定理2的逆否命題是成立的，即若函數在某一點處不連續，則它在該點一定不可導. 例7討論函數f(x)=|x|在點x=0處的連續性與可導性. 解① 因為f(0)=0，又 limx→0－f(x)=limx→0－(－x)=0， limx→0+f(x)=limx→0+x=0， 所以函數f(x)=|x|在點x=0處連續. ② 由於f′－(0)=limΔx→0－f(0+Δx)－f(0)Δx=limΔx→0－|Δx|－0Δx=limΔx→0－－ΔxΔx=－1， f′+(0)=limΔx→0+f(0+Δx)－f(0)Δx=limΔx→0+|Δx|－0Δx=limΔx→0+ΔxΔx=1， 顯然f′－(0)≠f′+(0)，據定理1知，函數y=|x|在x=0處不可導.如圖22所示. 圖22 圖23 一般地，如果曲線y=f(x)的圖形在點x0處出現“尖點”（見圖22、圖23），則它在該點不可導.因此，如果函數在一個區間內可導，則其圖形不會出現“尖點”，或者說它是一條連續的光滑曲線. 例8已知函數f(x)=x2，x≤3, ax+b，x>3在點x=3處可導，問：a，b的值為多少？ 解因為函數f(x)在點x=3處可導，所以函數f(x)在點x=3處連續，從而 limx→3－f(x)=limx→3+f(x)=f(3). 又由於limx→3－f(x)=limx→3－x2=9，limx→3+f(x)=limx→3+(ax+b)=3a+b，因此 3a+b=9. 由於函數f(x)在點x=3處可導，因此f′－(3)=f′+(3).又 f′－(3)=limx→3－f(x)－f(3)x－3=limx→3－x2－9x－3=limx→3－(x+3)=6， f′+(3)=limx→3+f(x)－f(3)x－3=limx→3+ax+b－9x－3=limx→3+ax－3ax－3=a， 從而a=6.代入3a+b=9，得b=9－3a=－9. 習題21 A組 1. 已知函數f(x)在點x0處可導，且導數值f′(x0)=6，求極限limΔx→0f(x0－2Δx)－f(x0)Δx. 2. 已知limx→0f(1+3x)－f(1)x=13，求導數值f′(1). 3. 設函數在點x0處可導,且limh→0f(x0+kh)－f(x0)h=14f′(x0)(f′(x0)≠0),求常數k的值. 4. 設f(x)在x=2處連續，且limx→2f(x)x－2=2，求f′(2). 5. 求曲線y=ex在點(0,1)處的切線方程和法線方程. 6. 求曲線y=x2－x+2在點(1,2)處的切線方程和法線方程. 7. 函數f(x)在點x0處連續是其在點x0處可導的（）. (a) 充分而非必要條件(b） 必要而非充分條件 (c) 充分必要條件(d) 無關條件 8. 討論函數f(x)=x2sin1x,x≠0, 0,x=0在x=0處的可導性. B組 1. 求函數y=x+1在x=3處的導數. 2. 求函數y=1x2的導數. 3. 討論函數f(x)=x2+1,0≤x≤1, 2x,1 4. 討論函數f(x)=0,x x－ab－a,a≤x x－bb－a+1,x≥b在x=a,x=b處的可導性. 第二節函數的求導法則 求函數的變化率——導數，是理論研究和實踐應用中經常遇到的一個問題,但根據定義求導往往非常繁瑣，有時甚至不可行.本節將建立一係列的求導法則來幫助大家較為簡便地求出函數的導數. 一、導數的基本公式 首先，我們可以利用導數的定義求得一些基本初等函數的導數. 例9求常數函數f(x)=C的導數，其中C為任一給定的常數. 解f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx=limΔx→0C－CΔx=limΔx→00=0. 於是常數函數的導數為零，即(C)′=0. 例10求函數f(x)=xn(n為正整數)的導數. 解f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)n－xnΔx =limΔx→0nxn－1+n(n－1)2！xn－2Δx+…+(Δx)n－1=nxn－1. 於是有(xn)′=nxn－1. 一般地，(xα)′=αxα－1(α∈R). 例如，(x)′=1·x0=1，(x)′=(x12)′=12x－12=12x，1x′=(x－1)′=－x－2=－1x2，1x′=(x－12)′=－12x－32=－12x3. 例11求函數f(x)=logax(a>0，a≠1)的導數. 解f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx=limΔx→0loga(x+Δx)－logaxΔx =limΔx→0loga1+Δxx1Δx=limΔx→01xloga1+ΔxxxΔx =1xlogae=1xlna. 由此可得(logax)′=1xlna. 特別地，(lnx)′=1x. 例12求正弦函數f(x)=sinx的導數. 解f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)－f(x)Δx=limΔx→0sin(x+Δx)－sinxΔx =limΔx→02cosx+Δx2·sinΔx2Δx =limΔx→0cosx+Δx2·sinΔx2Δx2 =cosx·1=cosx. 由此可得(sinx)′=cosx. 類似地，可求得(cosx)′=－sinx. 下麵介紹反函數求導法則，以求得另外一些基本初等函數的導數. 定理3設函數y=f(x)在區間(a，b)內嚴格單調且可導，f′(x)≠0，則它的反函數x=φ(y)在相應區間(c，d)內也可導，且 φ′(y)=1f′(x) 或 dxdy=1dydx， 即：反函數的導數等於直接函數導數的倒數. 例13求函數y=ax(a>0，a≠1)的導數. 解因為y=ax是函數x=logay的反函數，而函數x=logay當y>0時顯然滿足定理3的條件，從而有 (ax)′x=1(logay)′y=11ylna=ylna=axlna， 即(ax)′=axlna. 特別地，有(ex)′=ex. 例14求反正弦函數y=arcsinx的導數. 解因為y=arcsinx(x∈(－1，1))是x=sinyy∈－π2，π2的反函數，則有 y′=(arcsinx)′=1(siny)′y=1cosy=11－sin2y=11－x2， 即(arcsinx)′=11－x2，x∈(－1，1). 同理可得(arccosx)′=－11－x2，x∈(－1，1). 下一段中，我們還可求得函數y=tanx，y=secx及y=arctanx的導數. 至此，我們已經推導出基本初等函數的導數公式，為方便讀者記憶，現彙總如下： (1) (C)′=0（C為常數）； (2) (xα)′=αxα－1(α∈R)； (3) (ax)′=axlna，特別地，(ex)′=ex； (4) (logax)′=1xlna(a>0，a≠1)，特別地，(lnx)′=1x； (5) (sinx)′=cosx，(cosx)′=－sinx， (tanx)′=sec2x，(cotx)′=－csc2x， *(secx)′=secxtanx，*(cscx)′=－cscxcotx； (6) (arcsinx)′=11－x2，x∈(－1，1)， (arccosx)′=－11－x2，x∈(－1，1)， (arctanx)′=11+x2，(arccotx)′=－11+x2. 二、導數的四則運算法則 我們知道，一些初等函數是由基本初等函數經四則運算(加、減、乘、除)得到的.下麵給出導數的四則運算法則： 定理4設函數u=u(x)和v=v(x)都在點x處可導，則它們的和、差、積、商 (分母不為零)在點x處也可導，且 (1) (u±v)′=u′±v′； (2) (uv)′=u′v+uv′； (3) uv′=u′v－uv′v2(v≠0). 注：① 法則(1)和(2) 可以推廣到有限多個函數的情形.例如，設函數u=u(x)，v=v(x)，w=w(x)都在點x處可導，則 (u+v+w)′=u′+v′+w′， (uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′. ② 在法則(2) 中，若令v(x)=C(C為常數)，則有(C·u)′=C·u′(C為常數). ③ 在法則(3)中，若令u(x)=1，則有1v′=－v′v2(v≠0). 例15求函數y=x3+3x2－2x+1的導數. 解y′=(x3+3x2－2x+1)′=(x3)′+(3x2)′－(2x)′+(1)′ =3x2+3·(x2)′－2·(x)′+0=3x2+6x－2. 例16求函數y=sinx－1x+sinπ4的導數. 解y′=(sinx)′－1x′+sinπ4′=cosx－－1x2+0=cosx+1x2. 例17求函數y=xcosx的導數. 解y′=(xcosx)′=(x)′cosx+x(cosx)′=12xcosx－xsinx. 例18求正切函數y=tanx和反正切函數y=arctanx的導數. 解(tanx)′=sinxcosx′=(sinx)′cosx－sinx(cosx)′cos2x =cosxcosx－sinx(－sinx)cos2x =cos2x+sin2xcos2x=1cos2x=sec2x. 即(tanx)′=sec2x. 同理可得(cotx)′=－csc2x. 因為y=arctanx(x∈(－∞，+∞))是x=tanyy∈－π2，π2的反函數，所以 (arctanx)′=1(tany)′=1sec2y=11+tan2y=11+x2. 即(arctanx)′=11+x2. 同理可得(arccotx)′=－11+x2. 例19求正割函數y=secx的導數. 解y′=(secx)′=1cosx′=－(cosx)′cos2x=sinxcos2x=secxtanx. *例20已知f(x)=xexlnx，求f′(x). 解f′(x)=(xexlnx)′=(xex)′lnx+xex(lnx)′ =(ex+xex)lnx+xex·1x=ex(1+lnx+xlnx). 例21求函數y=x23x+arctanx1+x2的導數. 解y′=x23x+arctanx1+x2′=(x2·3x)′+arctanx1+x2′ =2x·3x+x2·3xln3+11+x2·(1+x2)－arctanx·2x(1+x2)2 =2x·3x+x2·3xln3+1－2x·arctanx(1+x2)2. 例22已知函數y=x1+sinx，求y′及y′|x=0. 解y′=x1+sinx′=(x)′(1+sinx)－x(1+sinx)′(1+sinx)2 =1·(1+sinx)－x·cosx(1+sinx)2=1+sinx－xcosx(1+sinx)2. y′|x=0=1+sinx－xcosx(1+sinx)2x=0=1. 例23已知函數f(x)=1－cosxx，x≠0, 0，x=0,求f′(x). 解當x≠0時， f′(x)=(1－cosx)′x－(1－cosx)(x)′x2=xsinx－1+cosxx2; 當x=0時， f′(0)=limx→0f(x)－f(0)x=limx→01－cosxx－0x=limx→01－cosxx2=12. 三、複合函數的求導法則 有許多初等函數是由基本初等函數經複合得到的.下麵我們給出複合函數的求導法則： 定理5設函數y=f[φ(x)]是由函數y=f(u)和u=φ(x)複合而成的，如果函數u=φ(x)在點x處可導，函數y=f(u)在與x相應的點u處可導，則複合函數y=f[φ(x)]在點x處可導，且有 dydx=dydu·dudx 或 y′=y′u·u′x 或 dydx=f′[φ(x)]·φ′(x). 注：① 複合函數求導法則可敘述為：複合函數的導數等於函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數. ② 複合函數求導法則可推廣到有限次複合的情形.例如，設y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)均可導，則複合函數y=f(φ(ψ(x)))對x的導數為 dydx=dydu·dudv·dvdx. ③ 符號[f(φ(x))]′表示函數y=f[φ(x)]對自變量x的導數，而符號f′[φ(x)]則表示函數y=f[φ(x)]對中間變量u=φ(x)的導數. 例24求函數y=sin3x的導數. 解引進中間變量u=3x，則y=sin3x可看作是由y=sinu與u=3x構成的複合函數.因此， y′=y′u·u′x=cosu·3=3cos3x. 例25求函數y=lncosx的導數. 解引進中間變量u=cosx，則y=lncosx可看作由y=lnu與u=cosx構成的複合函數.因此， y′=y′u·u′x=1u·(－sinx)=－sinxcosx=－tanx. 注：求複合函數的導數方法熟練後可以不寫出中間變量，直接把對中間變量的導數結果寫出來，再乘以中間變量對自變量的導數即可. 比如，例24可寫成 y′=cos3x·(3x)′=3cos3x. 例25可寫成 y′=1cosx·(cosx)′=－sinxcosx=－tanx. 例26求函數y=(3x－2)5的導數. 解y′=5(3x－2)4·(3x－2)′=5(3x－2)4·3=15(3x－2)4. 例27求函數y=ex的導數. 解y′=ex·(x)′=ex·12x. 例28求函數y=arcsinx3的導數. 解y′=11－(x3)2·(x3)′=3x21－x6. 例29求函數y=lnarctanx2的導數. 解y′=1arctanx2arctanx2′=1arctanx2·11+x22·x2′ =1arctanx2·11+x22·12=2(4+x2)arctanx2. 例30求函數y=x·1－x2的導數. 解先用積的求導法則，遇到複合函數時，再用複合函數求導法則. y′=(x)′·1－x2+x·(1－x2)′=1－x2+x·121－x2·(－2x) =1－x2－x21－x2=1－2x21－x2. 例31求函數y=ex－e－xex+e－x的導數y′及y′|x=0. 解y′=(ex－e－x)′(ex+e－x)－(ex－e－x)(ex+e－x)′(ex+e－x)2 =(ex+e－x)(ex+e－x)－(ex－e－x)(ex－e－x)(ex+e－x)2=4(ex+e－x)2. y′|x=0=4(ex+e－x)2x=0=1. 例32求函數y=exsinx的導數. 解先用複合函數求導法則，再用乘積的求導法則. y′=exsinx(xsinx)′=exsinx(sinx+xcosx). 例33求函數y=(x+cos2x)10的導數. 解y′=10(x+cos2x)9·(x+cos2x)′=10(x+cos2x)9［1+2cosx·(cosx)′］ =10(x+cos2x)9(1－2cosx·sinx)=10(x+cos2x)9(1－sin2x). 四、隱函數的求導法則 到目前為止，我們遇到的函數都是把因變量y寫成自變量x的顯式表達式y=f(x)，這樣的函數稱作顯函數.然而，在實際問題中，我們還會遇到另外一種函數形式，如ax+by+c=0 也確定著y與x之間的函數關係.我們將這種由一個二元方程F(x，y)=0在一定條件下所確定的y為x的函數y=y(x)（或x為y的函數x=x(y)）稱為隱函數. 應當指出：有的隱函數可以化為顯函數，從而求得導數.但是，一般說來，要從方程F(x，y)=0解出函數y=y(x)或x=x(y)是很困難的，甚至是不可能的.那麼如何求隱函數的導數呢？通常的求導方法是：把由方程F(x，y)=0所確定的隱函數y=y(x)代入原方程，得到恒等式 F(x，y(x))≡0. 在等式兩邊同時對x求導，把其中的y看作中間變量，運用複合函數求導法則，得到一個含有y′的方程，解出y′，即為所求隱函數的導數. 例34求由方程ey－xy+ex=0所確定的隱函數y=y(x)的導數dydx. 解將方程兩邊同時對x求導得 ey·y′－(y+xy′)+ex=0. 整理得 (ey－x)y′=y－ex， 解得 dydx=y′=y－exey－x. 例35設方程ysin2x+ey－x=1確定y為x的隱函數，求y′及y′|x=0. 解將方程兩端同時對x求導，得 y′sin2x+y·2sinxcosx+ey·y′－1=0， 解得 y′=1－2ysinxcosxsin2x+ey. 將x=0代入所給方程解得y=0，因此 y′|x=0=1－2ysinxcosxsin2x+eyx=0 y=0=1. 五、對數求導法 形如y=u(x)v(x)的函數稱作冪指函數，其中u(x)、v(x)不恒為常數.對於這類函數，直接使用前麵介紹的求導法則不能求出其導數，我們可以先對y=u(x)v(x)兩邊取自然對數：lny=v(x)lnu(x)，然後通過隱函數求導法求出其導數.這種方法叫作對數求導法. 例36求函數y=xsinx(x>0)的導數. 解先對等式兩端同取自然對數，得 lny=sinxlnx， 再兩端同時對x求導，得 1yy′=cosxlnx+sinx·1x， 於是得 y′=y·cosxlnx+sinxx=xsinxcosxlnx+sinxx. 注：求冪指函數y=u(x)v(x)的導數時，還可以利用對數恒等式將該冪指函數寫成 y=u(x)v(x)=elnu(x)v(x)=ev(x)lnu(x)， 然後利用複合函數的求導法則和導數的四則運算法則求出導數.例如上例，y=xsinx(x>0)的導數也可以這樣求：因為y=xsinx=esinxlnx，從而 y′=esinxlnx·(sinxlnx)′=xsinxcosxlnx+sinxx. 此外，對數求導法還常用於由多次乘、除、乘方、開方運算所構成的函數的導數. 例37求函數y=3(x－1)2(2x－3)(4－x)的導數. 解對函數式兩端取自然對數，得 lny=23ln(x－1)－13ln(2x－3)－13ln(4－x)， 上式兩端同時對x求導，得 1yy′=23(x－1)－13·22x－3－13·－14－x， 因此 y′=y·23(x－1)－13·22x－3－13·－14－x =3(x－1)2(2x－3)(4－x)·23(x－1)－23(2x－3)+13(4－x). 由此看出，對數求導法可以簡化計算. 六、參數方程表示的函數的求導法則 一般地，若方程 x=φ(t), y=ψ(t)（t為參數） 確定了y是x的函數（或x是y的函數），則稱該函數為參數方程表示的函數. 在實際問題中，有時要計算由參數方程所表示的函數的導數，但要從方程中消去參數t有時會很困難.因此，希望有一種能直接由參數方程出發計算出它所表示的函數的導數的方法. 一般地，設函數x=φ(t)具有連續的反函數，同時函數x=φ(t)，y=ψ(t)都可導，且φ′(t)≠0，則由複合函數與反函數的求導法則，就有 dydx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′(t)φ′(t)， 即dydx=ψ′(t)φ′(t)或dydx=dydtdxdt. 例38求由參數方程x=arctant, y=ln(1+t2)（t為參數）所表示的函數y=y(x)的導數. 解dydx=dydtdxdt=2t1+t211+t2=2t. *例39已知橢圓的參數方程為x=2cost, y=3sint（t為參數），求：(1) dydx；(2) 在對應於t=π4的橢圓上點處的切線方程. 解(1) dydx=(3sint)′(2cost)′=－3cost2sint=－32cott. (2) 與t=π4對應的橢圓上的點為P2，322，由(1)得點P處切線的斜率為 dydxt=π4=－32cottt=π4=－32. 故所求的切線方程為y－322=－32(x－2)，即3x+2y－62=0. 習題22 A組 1. 求下列函數的導數: (1) y=x4+2x3－2x+10；(2) y=x22+2x2； (3) y=1010－10x+3log3x；(4) y=ex+xe+ee； (5) y=2sinx－cosx+1x；(6) y=2arcsinx+3arctanx； (7) y=(x+3)(1－x)；(8) y=excosx； (9) y=xtanx；(10) y=(1+x2)arctanx； (11) y=exx；(12) y=sinx1+cosx； (13) y=84－x2；(14) y=lnxx+2ex. 2. 求下列函數的導數： (1) y=(1+2x)30；(2) y=2x2； (3) y=ecosx；(4) y=ln(3x+1)； (5) y=sinlnx； (6) y=cos(1－5x)； (7) y=tanx－π8；(8) y=arcsinx3； (9) y=arctanex；(10) y=sin45x； (11) y=lnlnlnx；(12) y=e－cos2x； (13) y=x2e1x；(14) y=sin3xx. 3. 求下列函數在給定點處的導數值： (1) f(x)=x3－3x+ln3，求f′(3)； (2) f(x)=(x+2)log2x，求f′(2)； (3) f(x)=sin1x，求f′1π. 4． 下列方程式確定變量y為x的函數，求導數y′： (1) x2－xy+y2=3；(2) ey+xy－ex3=0； (3) x2+lny－xey=0；(4) siny+ex－xy2=e. 5. 設方程y－x3ey=1確定了變量y為x的函數，求導數值y′|x=－1. 6. 求下列函數的導數： (1) y=xlnx；(2) y=(cosx)x. B組 1. 求下列函數的導數： (1) y=x2(2x+1)(x－3)；(2) y=(1+x2)arccotx； (3) y=e3x；(4) y=sin7(3x－1)； (5) y=ln3(3x+1)；(6) y=tan(xlnx)； (7) y=arctanx33；(8) y=(1+x2)ln(1+x2). 2． 下列方程式確定變量y為x的函數，求導數y′： (1) y3=8(x2+y2)；(2) arctanyx=lnx2+y2； (3) yex+ln2y=1；(4) ey2－e－x+xy2=0. 3. 求下列函數的導數： (1) y=x21－x1+x；(2) y=x+2(3－x)4(x+1)5. 4. 求下列參數方程所確定的函數的導數dydx： (1) x=etsint, y=etcost;(2) x=cos2t, y=sin2t. 第三節高階導數 由本章第一節引例1知道，在物體做變速直線運動時，其瞬時速度v(t)就是路程函數 s=s(t)對時間t的導數s′(t)，即v(t)=s′(t)，它仍然是時間t的函數.據物理學知識，加速度a(t)是速度v(t)對時間t的導數，即加速度a(t)就是路程函數s(t)對時間t的導數的導數：a(t)=[s′(t)]′.像這種需多次對一個函數求導的情況在實際問題中會經常遇到，我們將連續兩次或兩次以上對某一個函數求導數所得的結果稱為這個函數的高階導數. 定義3若函數y=f(x)的導數f′(x)在點x處可導，則稱f′(x)的導數[f′(x)]′為函數y=f(x)在點x處的二階導數，記作 y″，f″(x)，d2ydx2或d2f(x)dx2. 類似地，二階導數f″(x)的導數[f″(x)]′稱為函數y=f(x)的三階導數，記作 y，f(x)，d3ydx3或d3f(x)dx3. 一般地，函數y=f(x)的n－1階導數的導數，稱為y=f(x)的n階導數，記作 y(n)，f(n)(x)，dnydxn或dnf(x)dxn. 通常將二階及二階以上導數統稱為高階導數.相應地，函數f(x)的導數f′(x)又稱為函數f(x)的一階導數. 顯然，求函數的高階導數，隻需用前麵學過的求導方法，對函數逐次地連續求導，直到所求的階數即可. 例40設函數y=2x3－3x2+5，求y″，y，y(n). 解y′=6x2－6x，y″=12x－6，y=12，y(4)=0，…，y(n)=0(n≥4). 例41設函數y=(1+x2)arctanx，求y″及y″|x=1. 解y′=[(1+x2)arctanx]′=2xarctanx+(1+x2)·11+x2=2xarctanx+1， y″=(2xarctanx+1)′=2arctanx+2x·11+x2+0=2arctanx+2x1+x2， y″|x=1=2arctanx+2x1+x2x=1=π2+1. 例42設函數y=ex2，求y″. 解y′=ex2·2x， y″=(ex2·2x)′=ex2·2x·2x+ex2·2=2(1+2x2)ex2. 例43設函數f(x)=xn，求f(n)(x)(n為正整數). 解f′(x)=nxn－1，f″(x)=n(n－1)xn－2， f(x)=n(n－1)(n－2)xn－3， …… 由此推得，f(n)(x)=n(n－1)(n－2)…2·1·x0=n！. 從而還可進一步推出f(k)(x)=0(k>n). 例44設函數y=ax(a>0且a≠1)，求y(n). 解y′=axlna，y″=(axlna)′=lna·(ax)′=ax(lna)2， y=[ax(lna)2]′=(lna)2·(ax)′=ax(lna)3， …… 由此推得，y(n)=ax(lna)n. *例45設函數y=sinx，求dnydxn. 解dydx=(sinx)′=cosx=sinx+π2， d2ydx2=sinx+π2′=cosx+π2=sinx+2π2， d3ydx3=sinx+2π2′=cosx+2π2=sinx+3π2， …… 由此推得，dnydxn=sinx+nπ2. *例46已知方程x-y+siny=0確定y為x的函數，求y″. 解將方程兩邊同時對x求導，得 1-y′+cosy·y′=0， 解得y′=11-cosy,再將方程1-y′+cosy·y′=0兩邊同時對x求導，得 -y″-siny·(y′)2+cosy·y″=0. 因此解得y″=-siny·(y′)21-cosy. 將y′=11-cosy代入上式，得 y″=-siny(1-cosy)3. 例47求由方程x=ln(1+t2), y=t－arctant確定的函數的導數dydx及二階導數d2ydx2. 解dydx=dydtdxdt=1－11+t22t1+t2=t2， d2ydx2=ddxdydx=dydx\/dtdx\/dt=122t1+t2=1+t24t. 習題23 A組 1. 求下列函數的二階導數： (1) y=x10+3x5+2x+37；(2) y=x3lnx； (3) y=ln2x；(4) y=xex2. 2. 設函數f(x)=(3x+1)10，求f″(0). B組 1. 求下列函數的二階導數： (1) y=x21+x2；(2) y=ln(x－x2－a2)(a>0)； (3) y=e－x2；(4) y=(arcsinx)2. 2. 求函數在指定點處的二階導數值： (1) y=(x2－3)52，x=2. (2) y=lnlnx，x=e2. (3) y=tanx2，x=2π3. (4) y=x1－x2,x=0. 3. 求由方程y3－x2y=2所確定的函數y=y(x)的二階導數. 4. 求由方程x=atcost， y=atsint(其中a≠0)確定的函數的二階導數d2ydx2. 第四節函數的微分 在許多問題中，常常需要計算當自變量取得一個很小的改變量Δx時，相應的函數的微小改變量Δy=f(x+Δx)－f(x).然而，當函數f(x)比較複雜時，差值f(x+Δx)－f(x)將是一個更加複雜的表達式，不易求得其值.這就引發了人們思考能否借助ΔyΔx的極限（即導數）及Δx來近似地表達Δy.微分就是實現這種近似表達的數學模型. 一、微分的概念 圖24 先看一個具體問題：一個正方形金屬薄片受熱膨脹，其邊長由x0變到x0+Δx（見圖24），麵積S相應地有一個改變量ΔS： ΔS=(x0+Δx)2－x02=2x0Δx+(Δx)2. ΔS含有兩項，第一項2x0Δx稱為Δx的線性函數，是ΔS的主要部分；第二項(Δx)2是當Δx→0時比Δx高階的無窮小，是ΔS的次要部分.當Δx很小時，麵積S的改變量ΔS可以近似地用2x0Δx來代替，即ΔS≈2x0Δx. 一般地，對於函數y=f(x)，當自變量x在x0有一個改變量Δx時，函數相應的改變量為 Δy=f(x0+Δx)－f(x0). 如果Δy可以表示成兩個部分：第一部分A·Δx是Δx的線性函數（A與Δx無關），第二部分o(Δx)是Δx的高階無窮小.當Δx→0時，我們將函數增量Δy的線性主部定義為函數的微分. 定義4設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，如果當自變量x在點x0處有增量Δx（點x0+Δx仍在該鄰域內）時，對應函數的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)可以表示成 Δy=AΔx+o(Δx)，（24） 其中A是與Δx無關的常數，o(Δx)是較Δx高階的無窮小（當Δx→0時），則稱函數y=f(x)在點x0處可微，而AΔx稱為函數y=f(x)在點x0處的微分，記作dy|x=x0或df(x0)，即 dy|x=x0=AΔx. 注：由定義4可知，若函數y=f(x)在點x0處可微，則： (1) 函數y=f(x)在點x0處的微分dy是自變量的改變量Δx的線性函數； (2) 由式（24），得 Δy=dy+o(Δx)， 我們稱dy是Δy的線性主部.上式還表明，以微分dy近似代替函數增量Δy時，其誤差為o(Δx).因此，當|Δx|很小時，有近似公式： Δy≈dy=AΔx. 定義中的A是什麼？它與函數f(x)有什麼關係？下麵的定理幫助我們找到答案. 定理6如果函數y=f(x)在點x0處可微，則函數y=f(x)在點x0處可導，且A=f′(x0)，即df(x0)=f′(x0)Δx；反之，如果函數y=f(x)在點x0處可導，則函數y=f(x)在點x0處可微. *證明因為函數y=f(x)在點x0處可微，所以 Δy=AΔx+o(Δx) 成立，其中o(Δx)是較Δx的高階無窮小.於是 f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0A+o(Δx)Δx=A+limΔx→0o(Δx)Δx=A. 這就證明了函數y=f(x)在點x0處可導，且f′(x0)=A. 反之，若函數y=f(x)在點x0處可導，則有 limΔx→0ΔyΔx=f′(x0). 根據極限與無窮小的關係，有 ΔyΔx=f′(x0)+α， 其中limΔx→0α=0.上式兩端同乘Δx得 Δy=f′(x0)Δx+α·Δx. 因為limΔx→0α·ΔxΔx=0，則由微分的定義知，函數y=f(x)在點x0處可微，且 df(x0)=f′(x0)Δx. 若函數y=f(x)在某區間內每一點都可微，則稱函數y=f(x)在該區間內可微，此時將函數y=f(x)在區間內任一點x處的微分稱為函數y=f(x)的微分，記作dy或df(x)，即 dy=df(x)=f′(x)Δx.(25) 在式（25）中，若令y=f(x)=x，則有dy=dx，f′(x)=(x)′=1，從而 dx=dy=(x)′Δx=Δx， 即自變量x的微分dx等於自變量的增量Δx.這樣，式（25）可改寫成 dy=f′(x)dx，（26） 即函數的微分等於函數的導數與自變量微分的乘積.從而有 dydx=f′(x). 這說明，函數的微分dy與自變量的微分dx的商恰好等於函數的導數f′(x)，因此導數也常稱為微商.這也是為什麼將導數記作dydx的原因. 據式（26)可知，隻要求得函數y=f(x)的導數f′(x)，然後乘以自變量的微分dx，便得到函數的微分dy. 例48求函數y=esinx的微分dy以及dy|x=π2. 解由微分與導數的關係可知，先求導得 y′=esinx(sinx)′=esinxcosx， 於是dy=y′dx=esinxcosxdx， 從而dy|x=0=(esinxcosx)|x=0dx=esin0cos0dx=dx. 圖25 *二、微分的幾何意義 在平麵上取定直角坐標係後，函數y=f(x)的圖形通常是一條曲線(見圖25).在曲線y=f(x)上取點M(x，y)，過點M作曲線y=f(x)的切線MT.由於f′(x)是切線MT的斜率，因此有PQMP=f′(x)，即 PQ=f′(x)MP=f′(x)Δx=dy. 於是，函數f(x)的微分dy是曲線y=f(x)在點M處的切線的縱坐標的增量.這就是函數微分的幾何意義. 三、微分的基本公式與運算法則 根據函數的導數與微分之間的關係，可以得到微分的基本公式與運算法則. 1. 基本初等函數的微分公式 (1) dC=0（C為常數）； (2) d(xα)=αxα－1dx(α∈R)； (3) d(ax)=axlnadx，特別地，d(ex)=exdx； (4） d(logax)=1xlnadx(a>0，a≠1)，特別地，d(lnx)=1xdx； (5） d(sinx)=cosxdx，d(cosx)=－sinxdx， d(tanx)=sec2xdx，d(cotx)=－csc2xdx， *d(secx)=secxtanxdx，*d(cscx)=－cscxcotxdx； (6) d(arcsinx)=11－x2dx，x∈(－1，1)， d(arccosx)=－11－x2dx，x∈(－1，1)， d(arctanx)=11+x2dx，d(arccotx)=－11+x2dx. 2. 微分的四則運算法則 定理7設函數u=u(x)和v=v(x)可微，則： (1) d(u±v)=du±dv； (2) d(uv)=udv+vdu； (3) duv=vdu－udvv2(v≠0). 推論1d(Cu)=Cdu(C為常數). 推論2d1v=－dvv2(v≠0). 3. 複合函數的微分法則 定理8設函數y=f(u)與u=φ(x)均可微，則複合函數y=f[φ(x)]也可微，且 dy=y′dx=f′(u)φ′(x)dx. 由於du=φ′(x)dx，所以上式可寫成 dy=f′(u)du. 上式表示，不論u是自變量還是中間變量，函數y=f(u)的微分形式總是dy=f′(u)du，這個性質叫作一階微分形式的不變性. 例49設函數y=x3sinx+arctanx，求dy|x=0. 解dy=d(x3sinx)+d(arctanx) =x3d(sinx)+sinxd(x3)+11+x2dx =x3cosxdx+3x2sinxdx+11+x2dx =x3cosx+3x2sinx+11+x2dx， 所以dy|x=0=x3cosx+3x2sinx+11+x2x=0dx=dx. 例50設函數y=lnxx，求dy. 解dy=xd(lnx)－lnxdxx2=x·1xdx－lnxdxx2=(1－lnx)dxx2. 例51設函數y=cos(3x+1)，求dy. 解dy=d［cos(3x+1)］=－sin(3x+1)d(3x+1)=－3sin(3x+1)dx. *例52求方程x2+2xy－y2=5所確定的隱函數y=y(x)的微分dy及導數dydx. 解對方程兩端求微分，得 d(x2+2xy－y2)=d5， 應用微分的運算法則，得 2xdx+2(ydx+xdy)－2ydy=0， 化簡，得 (x+y)dx=(y－x)dy. 於是，所求微分為 dy=y+xy－xdx， 所求導數為 dydx=y+xy－x. 四、微分在近似計算中的應用 近似計算是科技工作中常遇到的問題，一般地，對近似公式的要求有兩條，即有足夠好的精度和計算簡便.用微分來作近似計算常常能滿足這些要求. 由前麵的討論可知，當函數f(x)在點x0處的導數f(x0)≠0且|Δx|很小時，有 Δy=f(x0+Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx， 得 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx. 利用上述公式，可以求函數y=f(x)在點x0附近的近似值. 例53求1.003的近似值. 解因為 1.003=1+0.003， 所以，可設f(x)=x，並取x0=1，Δx=0.003.因為f′(x)=12x，所以可利用近似公式得 1.003=f(1+0.003)≈f(1)+f′(1)Δx =1+121×0.003=1.0015. 例54求sin31°的近似值. 解因為 sin31°=sin(30°+1°)=sinπ6+π180， 所以，可設f(x)=sinx，並取x0=π6，Δx=π180.因為f′(x)=cosx，所以可利用近似公式得 sin31°=fπ6+π180≈fπ6+f′π6×π180 =sinπ6+cosπ6×π180=12+32×π180≈0.5151. 例55測量直徑x=20(mm)的小球時，實測直徑為20.05(mm)，即有誤差0.05(mm).問：由測量得到小球的體積會有多大的誤差？ 解球的體積為V=π6x3，其中x為球的直徑.令x=20，則Δx=0.05，因為Δx相對於x較小，所以可以用微分dV近似代替ΔV，得 ΔV≈dV=π6x3′dx=π2x2dx. 當dx=Δx=0.05時，得到所求誤差為 ΔV≈dVx=20 Δx=0.05=π2×(20)2×0.05=31.416(mm3). 特別地，在公式f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx中，如果x0=0，則Δx=x－x0=x.於是，當|x|很小時，有 f(x)≈f(0)+f′(0)x. 利用上述公式，可求函數f(x)在x=0附近的近似值，並可推出以下常用的近似公式： (1) sinx≈x；(2) tanx≈x；(3) ex≈1+x；(4） ln(1+x)≈x. 其中|x|很小，且在(1)、(2) 兩式中，x為弧度數. 利用上述近似計算公式求這些函數在x=0附近的函數值時較方便.例如， e－0.03≈1+(－0.03)=0.97， ln0.98=ln［1+(－0.02)］≈－0.02. 習題24 A組 1. 求函數y=x3－1在自變量x從2變化到2.1的改變量和微分. 2. 將適當的函數填入下列括號內，使等式成立： (1) d()=5xdx；(2) d()=sinωxdx； (3) d()=exdx；(4) d()=1xdx； (5) d()=sec2xdx；(6) d()=11+x2dx. 3. 求下列函數的微分： (1) y=4x3－x4；(2) y=sinxx； (3) y=3lnx；(4) y=(ex+e－x)2； (5) y=x－ln(1+ex)；(6) y=cos2x+sin2x. 4. 已知方程xy+lny=1確定變量y為x的函數，求微分dy. B組 1. 求函數y=1(tanx+1)2,自變量x由π6變化到61π360時在x=π6處的微分. 2. 求下列函數的微分： (1) y=33x－1x；(2) y=xe－x2； (3) y=arcsin1－x2；(4) y=tan2(1+x2)； (5) y=3lncosx；(6) y=sec2(ex2+1). 3. 利用微分計算下列各函數值的近似值： (1) 31000.3；(2) cos29°. 總複習題二 1． 單項選擇題 （1） 設y=f(ex)ef(x)，且f′(x)存在，則y′=（）. A． f′(ex)ef(x)+f(ex)ef(x)B. f′(ex)ef(x)+f′(x) C. f′(ex)ef(x)D. f′(ex)exef(x)+f(ex)ef(x)f′(x) （2） 若f′(x0)=－3，則limΔx→0f(x0+Δx)－f(x0－3Δx)Δx=（）. A． －3B. －6C. －9D. －12 （3） 設y=f(x)自變量x由x0改變到x0+Δx時，相應函數非得該變量Δy=（）. A． f(x0+Δx)B. f′(x0)+Δx C. f(x0+Δx)－f(x0)D. f(x0)Δx （4） 函數f(x)=x－2在x=2出的導數為（）. A． 1B. 0C. －1D. 不存在 （5） 下列函數中，導數不等於12sin2x的函數是（）. A． 12sin2xB. 14cos2xC. －12cos2xD. 1－14cos2x （6） 設ey+xy=ln2確定了y是x的隱函數，則dydx=（）. A． xx+eyB. －xx+eyC. 1－2y2(x+ey)D. －yx+ey （7） 已知y=sinx，則y(10)=（）. A． sinxB. cosxC. －sinxD. －cosx 2. 填空題 （1）設f′(1)=1，則limx→1f(x)－f(1)x2－1=. （2） 設y=xe+ex+lnx+ee,則y′. （3） 設f(x)=ln(3x)，則f′(x)=，f′(2)=. （4） 由方程2y－x=siny確定了y是x的隱函數，則dy=. （5） 設y=xx，則y′=. （6） 設f(x)=ln(1+x2)，則f″(－1)=. 3. 求下列函數的導數 （1） y=x3－3x2+4x－5;（2） y=4x5+7x4－2x+12;（3） y=5x3－2x+3ex; （4） y=2tanx+secx－1;（5） y=lnx－2lgx+3logx2;（6） y=3excosx; （7） y=sinxx;（8） y=exx2+ln3;（9） y=x2lnxcosx; （10） y=(2x+5)4;（11） y=arctanx2;（12） y=(arcsinx)2; （13） y=2tan1x;（14） y=earctanx. 第三章導數的應用 第三章導數的應用 導數在自然科學和工程技術上都有著極其廣泛的應用，本章在介紹微分學中值定理的基礎上，引出求極限的新方法——洛必達法則，並以導數為工具，進一步討論函數的單調性、極值等以及圖形的性態，解決一些常見的求最值應用問題. 第一節微分中值定理 本節我們將介紹羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理，這三個定理統稱為微分中值定理，它們揭示了函數在某區間上的整體性質與函數在該區間內某一點的導數之間的關係.中值定理既是用微分學知識解決應用問題的理論基礎，又是解決微分學自身發展的一種理論性模型，它們在一元函數的微分學的理論及應用中都有十分重要的作用. 一、 羅爾定理 定理1(羅爾定理)如果函數y=f(x)滿足如下三個條件：① 在閉區間［a，b］上連續；② 在開區間(a，b)內可導；③ 在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b). 則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得 圖31 f′(ξ)=0. 對於定理1，這裏不作證明.為了方便理解，可借助於圖形加以說明：一條閉區間［a，b］上的連續曲線y=f(x)，如果其上每一點（端點除外）處都有不垂直於x軸的切線（曲線光滑），並且在曲線的兩個端點處的縱坐標相同，那麼在該曲線上至少有一點處的切線平行於x軸（見圖31）.這就是羅爾定理的幾何意義. 例1驗證函數f(x)=x3+3x2在區間［－3，0］上滿足羅爾定理的條件，並求出羅爾定理結論中的ξ. 解因為f(x)=x3+3x2是初等函數，所以函數f(x)在［－3，0］上連續.又因為f′(x)=3x2+6x，所以f(x)在(－3，0)上可導.而f(－3)=f(0)=0，所以f(x)在［－3，0］上滿足羅爾定理的條件. 令f′(x)=3x2+6x=0，解得x=0，x=－2.因為x=0不在區間(－3，0)內，故舍去.所以取ξ=－2，即在區間(－3，0)內存在一點ξ=－2，使得f′(ξ)=0. 二、拉格朗日中值定理 羅爾定理中，f(a)=f(b)這個條件是相當特殊的，從而限製了定理的應用.拉格朗日在羅爾定理的基礎上做了進一步的研究，取消了羅爾定理中這個條件的限製，得到了微分學中具有重要地位的拉格朗日中值定理. 定理2(拉格朗日中值定理)設函數y=f(x)滿足：① 在閉區間［a，b］上連續；② 在開區間(a，b)內可導.則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得 f′(ξ)=f(b)－f(a)b－a. 上式也可表示成 f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a). 顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形. 圖32 同樣，我們也可以借助於圖形加以理解.由於f(b)－f(a)b－a表示曲線y=f(x)上連接A(a，f(a))與B(b，f(b))兩點的弦的斜率，因此，定理2的幾何意義是：閉區間［a，b］上的連續曲線y=f(x)，若除端點外處處具有不垂直於x軸的切線，則在這曲線弧上至少能找到一點，使曲線在該點的切線平行於弦AB，如圖 32 所示. 例2驗證函數f(x)=lnx在區間［1，e］上滿足拉格朗日中值定理的條件，並求出拉格朗日中值定理結論中的ξ. 解因為f(x)=lnx是初等函數，所以函數f(x)在［1，e］上連續.又因為f′(x)=1x在(1，e)內存在，即f(x)在(1，e)內可導，所以f(x)在［1，e］上滿足拉格朗日中值定理的條件. 又f(1)=0，f(e)=1，令f′(ξ)=f(e)－f(1)e－1，即1ξ=1e－1，解得ξ=e－1.所以拉格朗日中值定理結論中的ξ=e－1. 我們還可以應用拉格朗日定理來證明某些函數不等式. 例3證明：當x>0時，有x1+x 證明為應用拉格朗日中值定理，令f(t)=lnt，則函數f(t)在區間［1，1+x］上滿足拉格朗日中值定理的條件：f(t)在［1，1+x］上連續且在(1，1+x)內可導.因此存在ξ∈(1，1+x)使得 ln(1+x)－ln1=f′(ξ)(1+x－1). 由於f′(t)=1t，因此上式可寫成 ln(1+x)=1ξx. 又由於11+x<1ξ0時，有 x1+x 推論1如果函數y=f(x)在區間(a，b)內恒有f′(x)=0，則函數y=f(x)在(a，b)內是一個常數，即 f(x)=C(C為常數). 證明任取x1，x2∈(a，b)，且x1 f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1). 由定理假設f′(x)=0，x∈(a，b)，因此f′(ξ)=0，從而f(x2)－f(x1)=0，即f(x1)=f(x2).由x1和x2的任意性知，f(x)在區間(a，b)內恒為常數，即 f(x)=C(C為常數). *例4證明arcsinx+arccosx=π2，x∈[－1，1]. 證明當x=－1時， arcsin(－1)+arccos(－1)=－π2+π=π2； 當x=1時， arcsin1+arccos1=π2+0=π2. 因此，當x=±1時，欲證的等式成立.現設x∈(－1，1)，令f(x)=arcsinx+arccosx，則 f′(x)=11－x2－11－x2=0，x∈(－1，1). 據推論1知，f(x)=C，C為常數，x∈(－1，1).取x=0，則 C=f(0)=arcsin0+arccos0=0+π2=π2， 即arcsinx+arccosx=π2. 綜上，有arcsinx+arccosx=π2，x∈[－1，1]. 推論2如果在區間(a，b)內恒有f′(x)=g′(x)，則在區間(a，b)內有 f(x)=g(x)+C(C為常數). 證明令F(x)=f(x)－g(x)，則由f′(x)=g′(x)得F′(x)=f′(x)－g′(x)=0.由推論1知，F(x)=C(C為常數)，即有f(x)=g(x)+C. 三、柯西中值定理 現在，將拉格朗日中值定理加以推廣，得到下麵的柯西中值定理. 定理3(柯西中值定理)設函數f(x)與g(x)滿足下麵條件：① 在閉區間［a，b］上連續；② 在開區間(a，b)內可導；③ 在(a，b)內g′(x)≠0.則在(a，b)內至少存在一點ξ，使得 f(b)－f(a)g(b)－g(a)=f′(ξ)g′(ξ). 習題31 A組 1. 下列函數在給定的區間上是否滿足羅爾定理的條件？如果滿足，求出定理中ξ的值. (1) f(x)=x2－x，［0,1］；(2) f(x)=sinx，［－π,π］. 2. 下列函數在給定的區間上是否滿足拉格朗日中值定理的條件？如果滿足，求出定理中ξ的值. (1) f(x)=x3－3x，［0,3］；(2) f(x)=x，［1,4］. B組 1. 說明f(x)=1x2在[－1,1]上是否滿足羅爾定理. 2. 求函數f(x)=arctanx在區間[0,1]上滿足拉格朗日定理的ξ的值. 3. 證明3arccosx－arccos(3x－4x3)=π，－12≤x≤12. 第二節洛必達法則 在第一章中，我們曾計算過00或∞∞型未定式極限.當時計算未定式極限，往往需要將其經過適當的變形，轉化為可利用極限運算法則或重要極限的形式進行計算.這種變形沒有一般的方法，需就具體問題而定，增加了求極限的難度.本節將用導數這一工具，給出計算未定式極限的一般方法——洛必達（L′Hospital）法則. 一、00型和∞∞型未定式 定理4(洛必達法則)如果函數f(x)與g(x)滿足如下條件： (1) limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=0(或limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=∞)； (2) 在點x0的某去心鄰域內可導，且g′(x)≠0； (3) limx→x0f′(x)g′(x)=A(A為一實數或∞). 則limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A. 這個法則告訴我們，如果limx→x0f(x)g(x)為00或∞∞型未定式極限，那麼在上述條件下limx→x0f(x)g(x)可化為limx→x0f′(x)g′(x). 注：對於x的其他變化趨勢（x→∞，x→+∞，x→－∞，x→x+0，x→x-0），上述定理仍成立. 例5求limx→0ex－1x2－x. 解這是00型未定式，據洛必達法則，得 limx→0ex－1x2－x=limx→0ex2x－1=－1. 例6求limx→+∞xnlnx(n為正整數). 解這是∞∞型未定式，據洛必達法則，得 limx→+∞xnlnx=limx→+∞nxn－11x=limx→+∞nxn=+∞. 例7求limx→+∞π2－arctanx1x. 解這是00型未定式，據洛必達法則，得 limx→+∞π2－arctanx1x=limx→+∞0－11+x2－1x2=limx→+∞x21+x2=1. *例8求limx→0+lncotxlnx. 解這是∞∞型未定式，據洛必達法則，得 limx→0+lncotxlnx=limx→0+1cotx(－csc2x)1x=－limx→0+xsinxcosx=－1. 例9求limx→0x－sinxx3. 解 這是00型未定式.據洛必達法則，得 limx→0x－sinxx3=limx→01－cosx3x2. 上式右端極限仍是00型未定式，再應用洛必達法則，得 limx→0x－sinxx3=limx→0(1－cosx)′(3x2)′=limx→0sinx6x=16. 例10求limx→0ex+e－x－21－cosx. 解這是00型未定式，連續兩次運用洛必達法則，得 limx→0ex+e－x－21－cosx=limx→0ex－e－xsinx=limx→0ex+e－xcosx=2. 注：① 在用洛必達法則求極限過程中，若limx→αf′(x)g′(x)仍是未定式，且f′(x)、g′(x)仍滿足洛必達法則的條件，那麼limx→αf(x)g(x)=limx→αf′(x)g′(x)=limx→αf″(x)g″(x).也就是說，洛必達法則可累次使用下去.如例9、例10. ② 在每次應用洛必達法則之前都必須檢驗極限是否是00或∞∞型，否則會出錯.例如，根據洛必達法則，可以得到limx→0x2sinx00型=limx→02xcosx=0，過程中的limx→02xcosx已不再是未定式了，如果對它繼續應用洛必達法則，就有 limx→0x2sinx=limx→02xcosx=limx→02－sinx=∞. 這就得到了錯誤的結果. ③ 並不是所有的00或∞∞型未定式極限都可用洛必達法則求解的.例如，limx→0x2sin1xsinx是00型未定式，但分子分母分別求導後，將變為limx→02xsin1x－cos1xcosx，這個極限不存在，故洛必達法則失效，不能使用.其實原極限是存在的，正確解法是： limx→0x2sin1xsinx=limx→0xsinx·xsin1x=1·0=0. ④ 每次運用洛必達法則後，要整理簡化極限式，並將存在極限而又不影響未定式的因式分離出來，這樣可以避免過於繁瑣的計算. *二、其他類型的未定式 未定式極限除了00型及∞∞型外，還有0·∞型、∞∞型、1∞型、00型、∞0型等未定式.對於這幾種未定式，可先設法將它們變形後化為00型或∞∞型未定式再用洛必達法則求解. 例11求limx→0+x2lnx. 解這是0·∞型未定式，先將它轉化成∞∞型，再運用洛必達法則，得 limx→0+x2lnx=limx→0+lnxx－2∞∞型=limx→0+1x－2x－3=limx→0+x2－2=0. 例12求limx→01x－1ex－1. 解這是∞－∞型未定式，先通分將其化為00型未定式，再運用洛必達法則，得 limx→01x－1ex－1=limx→0ex－1－xx(ex－1)=limx→0ex－1ex－1+xex =limx→0exex+ex+xex=12. 例13求limx→0+(sinx)x. 解這是00型未定式，先將它變形為 limx→0+(sinx)x=limx→0+exlnsinx=elimx→0+xlnsinx. 因為limx→0+xlnsinx(0·∞型)=limx→0+lnsinxx－1=limx→0+1sinxcosx－x－2=－limx→0+x2cosxsinx=0， 所以limx→0+(sinx)x=e0=1. 注：1∞型和∞0型未定式極限求解時，一般采用與例13同樣的方法,即利用對數恒等變形u(x)v(x)=elnu(x)v(x)=ev(x)lnu(x)，先將原式轉化為求指數極限,此時指數部分為0·∞型的未定式，再將其轉化為00型或∞∞型求解即可. 習題32 A組 1. 用洛必達法則求下列極限： (1) limx→1x2－2x+1x3－1；(2) limx→asinx－sinax－a； (3) limx→0ex－e－xsinx；(4) limx→1x3－1+lnxex－e； (5) limx→0ln(1+5x)x+sinx；(6) limx→0x－arctanxln(1+x3)； (7) limx→+∞exlnx. B組 1. 用洛必達法則求下列極限： (1) limx→1x3－3x+2x3－x2－x+1；(2) limx→1ex－ex(x－1)2； (3) limx→1e2x－2ex+1x2；(4) limx→0x－sinxx3； (5) limx→0cos3x－cosxx2；(6) limx→π2+lnx－π2tanx. (7 )limx→∞x(e1x－1)；(8) limx→1xx－1－1lnx； (9) limx→0+1xtanx；(10) limx→0(1+sinx)1x ； (11) limx→0+lntan7xlntan2x. 2. 驗證極限limx→∞x+sinxx存在，但不能用洛必達法則求出. 第三節函數的單調性與極值 我們已經會用初等數學的方法研究一些函數的單調性，但這些方法使用範圍狹小、技巧性強，不具有一般性.本節將以導數為工具，介紹判定函數單調性和極值的一般方法. 一、函數的單調性 從函數的幾何圖形來看，如果當函數y=f(x)是單調增加的，那麼這條曲線沿x軸正向是上升的，如圖33所示，函數在區間(a，b)內每一點的切線斜率都是正的（即f′(x)>0）；如果當函數y=f(x)在(a，b)內是單調減少的，那麼這條曲線y=f(x)在區間(a，b)內沿x軸正向是下降的，如圖34所示，函數在區間(a，b)內每一點的切線斜率都是負的（即f′(x)<0）. 圖33 圖34 可見，函數的單調性與它的導數的符號有著密切的聯係，反過來，能否用導數的符號來判斷函數的單調性呢？下麵的定理很好地回答了這個問題. 定理5設函數y=f(x)在區間(a，b)內可導，那麼： (1) 如果在(a，b)內恒有f′(x)>0，則函數f(x)在(a，b)內單調增加； (2) 如果在(a，b)內恒有f′(x)<0，則函數f(x)在(a，b)內單調減少. 證明(1) 在區間(a，b)內任取兩點x1、x2，並設x1 f(x2)－f(x1)=f′(ξ)(x2－x1). 由已知條件f′(x)>0，x∈(a，b)，得f′(ξ)>0，因此f(x2)－f(x1)>0，即f(x1) 同理可證(2). 注：① 定理5中的開區間(a，b)若改成閉區間或無限區間，結論同樣成立. ② 若函數在其定義域的某個區間內是單調的，則稱該區間為函數的單調區間. 圖35 ③ 如果函數的導數僅在個別點處為零，而在其餘的點處均滿足定理5的條件，那麼定理5的結論仍然成立.例如，函數y=x3，在x=0處的導數為零，但在(－∞，+∞)內的其他點處的導數均大於零，因此它在區間(－∞，+∞)內仍是單調增加的（見圖35）. 我們知道，所謂研究函數的單調性或單調區間，就是判定函數在哪些區間內遞增？在哪些區間內遞減？所以對可導函數的單調性可以根據其導數的正負情況予以確定. 一般地，確定函數y=f(x)的單調性（單調區間）的步驟是： (1) 確定函數y=f(x)的定義域； (2) 求導數f′(x)，找單調區間的可疑分界點：使f′(x)=0的點（使f′(x)=0的點稱為函數f(x)的駐點）以及f′(x)不存在的點(包括導數為∞的點)，然後用可疑分界點將定義域分成若幹個子區間； (3) 判定f′(x)在各子區間的符號，從而確定出f(x)的單調區間. 例14討論函數f(x)=ex－ex的單調性. 解(1) 函數f(x)的定義域為(－∞，+∞). (2) f′(x)=ex－e.令f′(x)=0，即ex－e=0，得駐點x=1.於是函數f(x)的定義域被分為兩個子區間：(－∞，1)，(1，+∞). (3) 當x∈(－∞，1)時，f′(x)0，因此函數f(x)在(1，+∞)內單調增加. 為簡便直觀起見，我們通常將上例第（3）步歸納為如下的表格： x(－∞，1)1(1，+∞) f′(x)-0+ f(x) 其中箭頭“”“”分別表示函數在指定區間單調減少和單調增加. 例15求函數f(x)=x3－3x的單調區間. 解(1) 函數f(x)的定義域為(－∞，+∞). (2) f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1).令f′(x)=0，得駐點x=－1，x=1. (3) 列表討論： x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，+∞) f′(x)+0-0+ f(x) 所以所求函數的單調增加區間為(－∞，－1)和(1，+∞)，單調減少區間為(－1，1). 例16討論函數f(x)=3x2的單調性. 解(1) 函數f(x)的定義域為(－∞，+∞). (2) f′(x)=233x，顯然f(x)在(－∞，+∞)內沒有駐點.但當x=0時，f′(x)不存在，即x=0為導數不存在的點. (3) 列表討論： x(－∞，0)0(0，+∞) f′(x)-不存在+ f(x) 所以所求函數的單調增加區間為(0，+∞)，單調減少區間為(－∞，0). 例17求函數f(x)=(x－1)3x2的單調區間. 解(1) 函數f(x)的定義域為(－∞，+∞). (2) f′(x)=23x－13(x－1)+x23=5x－23·3x.令f′(x)=0，得駐點x=25；又當x=0時，f′(x)不存在，即x=0是函數f(x)的不可導點. (3) 列表討論： x(－∞，0)00，2525 25，+∞ f′(x)+不存在-0+ f(x) 所以所求函數的單調增加區間為(－∞，0)和25，+∞，單調減少區間為0，25. 另外，利用函數的單調性，還可以證明一些函數不等式. 例18證明x>0時，cosx>1－12x2. 證明令f(x)=cosx－1+12x2，則f(0)=0. 又f′(x)=－sinx+x>0，x∈(0，+∞)，所以函數f(x)=cosx－1+12x2在(0，+∞)內單調增加，從而當x>0時，有f(x)>f(0)=0，即cosx－1+12x2>0.亦即cosx>1－12x2. 二、函數的極值 1. 函數極值的定義 極值是函數的一種局部性態，它能幫助我們進一步掌握函數的變化狀況，為準確描繪函數圖形提供不可缺少的信息，它又是研究函數最大值和最小值問題的關鍵所在.下麵首先給出函數極值的定義. 定義1設函數y=f(x)在點x0的某鄰域內有定義，如果在該鄰域內任取一點x(x≠x0)，恒有 f(x)f(x0))， 則稱f(x0)為函數f(x)的一個極大值(或極小值)，點x0稱為函數f(x)的極大值點(或極小值點). 函數的極大值和極小值統稱為極值，極大值點和極小值點統稱為極值點. 圖36 函數的極值與函數的最值是兩個不同的概念.極值是一種局部性的概念，它隻限於與點x0的某鄰域內的函數值比較；而最值是一個整體性的概念，它是就整個區間的函數值比較來說的.函數的極大值不一定是函數的最大值，函數的極小值也不一定就是函數的最小值.一個函數在某個區間上可能有若幹個極值點，在這些點上，有些極小值可能要大於極大值.我們來觀察圖36中的函數圖形，它有兩個極大值：f(x2)、f(x5)；三個極小值：f(x1)、f(x4)、f(x6)，其中極大值f(x2)比極小值f(x6)還小.對整個區間[a，b]來說，隻有一個極小值f(x1)是最小值，而最大值是f(b)，沒有一個極大值是最大值. 由定義1還可以看出，函數的極值點一定出現在區間內部，區間端點不可能成為極值點. 2. 函數極值的判定方法 從幾何圖形上看，在函數f(x)可導的前提下，取得極值的點處曲線的切線是水平的.但曲線有水平切線的地方，函數不一定取得極值，圖36中的點x3處曲線的切線是水平的，但f(x3)不是極值. 下麵給出函數取得極值的必要條件和充分條件. 定理6（極值存在的必要條件）如果函數f(x)在點x0可導，且在點x0處取得極值，則f′(x0)=0. 定理6又稱為費馬(Fermat)定理，該定理說明了可導函數的極值點一定是駐點，但駐點不一定是函數的極值點.例如函數y=x2、y=x3的駐點都是x=0，但x=0是函數y=x2的極小值點，卻不是函數y=x3的極值點. 此外，連續而不可導的點也可能是極值點.例如，函數f(x)=|x|在x=0處連續而不可導，但x=0是該函數的一個極小值點. 綜上所述，函數可能在其駐點或連續但不可導點處取得極值.那如何判定這些可能的極值點到底是不是極值點呢？由函數極值的定義和函數單調性的判別法可知，函數在其極值的鄰近兩側單調性改變，函數的一階導數的符號改變.據此，不難得到判定函數極值的一個充分條件. 定理7(極值的第一充分條件)設函數f(x)在點x0的某個鄰域內連續，且在點x0的去心鄰域內可導，且f′(x0)=0或f′(x0)不存在，那麼： (1) 如果當x0；當x>x0時，f′(x)<0，則函數f(x)在點x0處取得極大值f(x0)． (2) 如果當x (3) 如果在點x0的兩側f′(x)的符號相同，則點x0不是函數f(x)的極值點，f(x)在x0處沒有極值. 根據定理7，我們可以得到求函數y=f(x)的極值點和極值的一般步驟： (1) 確定函數f(x)的定義域； (2) 求導數f′(x)，令f′(x)=0，得出駐點，並找出使f′(x)不存在的點(包括導數為∞的點)； (3) 用上述點將定義域分成若幹個部分區間，列表考察f′(x)在各個子區間內的符號，判定出函數f(x)在子區間上的單調性，也就確定了函數的極值點，並得到極值. 例19求函數f(x)=x3－3x+1的極值. 解函數f(x)的定義域為(－∞，+∞)，又有f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x+1)，令f′(x)=0，得駐點x=－1，x=1.列表得 x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，+∞) f′(x)+0-0+ f(x)極大值 f(－1)=3極小值 f(1)=－1 由上表可知，函數在x=－1處取得極大值f(－1)=3，在x=1處取得極小值f(1)=－1. 例20求函數f(x)=4x3－x4的極值. 解函數f(x)的定義域為(－∞，+∞),又有f′(x)=12x2－4x3=4x2(3－x)，令f′(x)=0，得駐點x=0，x=3.列表得 x(－∞，0)0(0，3)3(3，+∞) f′(x)+0+0- f(x)非極值極大值 f(3)=27 由上表可知，函數在x=3處取得極大值f(3)=27. 例21求函數f(x)=x－323x2的單調區間與極值. 解函數f(x)的定義域為(－∞，+∞),又有f′(x)=1－13x，令f′(x)=0，得駐點x=1，同時x=0時，f′(x)不存在.列表得 x(－∞，0)0(0，1)1(1，+∞) f′(x)+不存在-0+ f(x)極大值 f(0)=0極小值 f(1)=－12 由上表可知，函數f(x)=x－323x2的單調增加區間為(－∞，0)和(1，+∞)，單調減少區間為(0，1)；極大值為f(0)=0，極小值為f(1)=－12. 當函數在其駐點處的二階導數存在且不為零時，我們還可用下述定理判定函數在其駐點處取得極大值還是極小值. 定理8 (極值的第二充分條件)設函數f(x)在點x0處具有二階導數，且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，那麼： (1) 若f″(x0)<0，則點x0為函數f(x)的極大值點，f(x0)為極大值； (2) 若f″(x0)>0，則點x0為函數f(x)的極小值點，f(x0)為極小值. 例22求函數f(x)=2x3+3x2－12x+1的極值. 解函數f(x)的定義域為(－∞，+∞).由f′(x)=6x2+6x－12=6(x+2)(x－1)，令f′(x)=0，得駐點x=－2，x=1，f(x)沒有導數不存在的點.又由f″(x)=12x+6，得到f″(－2)=－180，所以，由定理8可得，x=－2為極大值點，f(－2)=21為極大值；x=1為極小值點，f(1)=－6為極小值. 注： ① 若f″(x0)=0，則定理8判定極值的方法失效.此時，點x0可能是極值點，也可能不是極值點，這通常需要用極值的第一充分條件進行判別.例如函數f(x)=x3，令f′(x)=3x2=0，得駐點x=0，但f″(0)=0，此時定理8失效.實際上函數f(x)=x3在定義域(－∞，+∞)內單調增加，沒有極值點.又例如，函數f(x)=x4在(－∞，+∞)內有駐點x=0，而f″(0)=12x2|x=0=0，此時也不能用定理8判別極值.但由定理7很容易得到x=0是函數f(x)=x4的極小值點. ② 對於不可導點是否為極值點，隻能用極值的第一充分條件來判定. *例23求函數f(x)=(x2－1)3+1的極值. 解函數f(x)的定義域為(－∞，+∞).由 f′(x)=6x(x2－1)2， 令f′(x)=0，得到駐點：x=－1，x=0，x=1.由於 f″(x)=6(x2－1)2+12x(x2－1)·2x=6(x2－1)(5x2－1)， 因此f″(0)=6>0.據定理8可知，x=0是函數f(x)的極小值點，極小值為f(0)=0.但f″(－1)=0，f″(1)=0，不能應用定理8來判定x=－1和x=1是否為函數f(x)的極值點.我們還是應用定理7，列表得： x(－∞，－1)－1(－1，0)0(0，1)1(1，+∞) f′(x)-0-0+0+ f(x)非極值極小值 f(0)=0非極值 由上表可以看出，x=－1，x=1都不是函數f(x)的極值點；x=0是f(x)的極小值點，極小值為f(0)=0. 習題33 A組 1. 求下列函數的單調區間與極值： (1) f(x)=x5+5x；(2) f(x)=x－ex； (3) f(x)=x2－8lnx；(4) f(x)=3x2－2x3； (5) f(x)=3x4－4x3+1；(6) f(x)=23x－3x2. 2. 證明下列不等式： (1) 當x>0時，1+12x>1+x； (2) 當x≥0時，arctanx－x≤0. B組 1. 求下列函數的單調區間： (1) f(x)=2x2－lnx；(2) f(x)=x+1－x； (3) f(x)=ln(x+1+x2)；(4) f(x)=x－sinx(0≤x≤2π). 2. 求下列函數的極值點與極值： (1) f(x)=x+1－x；(2) f(x)=x－ln(1+x)； (3) f(x)=2ex+e－x；(4) f(x)=arctanx－12ln(1+x2). 3. 證明下列不等式： (1) 當x>0時，sinx>x－16x3； (2) 當x≥0時，(1+x)ln(1+x)≥arctanx. 4. 問a為何值時，函數f(x)=asinx+13sin3x在x=π3處具有極值？它是極大值還是極小值？並求此極值. 第四節函數的最值 由閉區間上連續函數的性質可知，若函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，則f(x)在[a，b]上必取得最大值和最小值.下麵我們將討論怎樣求出這個最大值和最小值. 根據最值和極值的定義易知，在閉區間[a，b]上的最大值和最小值隻能在區間內的極值點和端點處取得.因此，可以求出f(x)在(a，b)內的所有可能的極值點（即駐點或導數不存在的點），然後將f(x)在這些點處的函數值與區間端點處的函數值f(a)，f(b)進行比較大小，其中最大的就是函數f(x)在[a，b]上的最大值，最小的就是函數f(x)在[a，b]上的最小值. 例24求函數f(x)=x4－2x2+5在區間[－2，2]上的最大值和最小值. 解因為f′(x)=4x3－4x=4x(x2－1)，令f′(x)=0，得駐點x=－1，x=0，x=1，無導數不存在的點.由於f(－2)=f(2)=13，f(－1)=f(1)=4，f(0)=5，比較各值，得所求最大值為f(－2)=f(2)=13，最小值為f(－1)=f(1)=4. 如果函數f(x)在一個開區間或無窮區間(－∞，+∞)內可導，且有唯一的極值點x0，而函數確有最大值或最小值，那麼當f(x0)為極大值時，f(x0)就是該區間上的最大值；當f(x0)為極小值時，f(x0)就是該區間上的最小值.如圖37、38所示. 圖37 圖38 例25求函數f(x)=x2－2x+6的最小值. 解函數的定義域為(－∞，+∞).由f′(x)=2x－2，令f′(x)=0，得駐點x=1.又由f″(x)=2得f″(1)=2>0，所以x=1為函數f(x)的極小值點.由於它是函數在(－∞，+∞)內的唯一極小值點，所以該極小值f(1)=5就是所求最小值. 在實際應用中，常常會遇到求最大值和最小值的問題，如用料最省、容量最大、花錢最少、效率最高、利潤最大等.這類問題往往要先根據問題的具體意義建立函數關係式（通常稱為目標函數），並確定函數的定義域，然後再求目標函數的最大值或最小值.一般地，如果函數f(x)在區間(a，b)內隻有一個駐點x0，且從實際問題本身又可以知道f(x)在(a，b)內必有最大值或最小值，那麼f(x0)就是所求的最大值或最小值. 例26假設要造一個體積為V的圓柱形(無蓋)水杯.問：怎樣選它的底半徑r與高h，才能使所用材料最省？ 解要使所用材料最省，就是水杯的表麵積最小.依題意得V=πr2h，則有h=Vπr2，從而得到水杯的表麵積（目標函數）為 S(r)=πr2+2πrh=πr2+2Vr，r∈(0，+∞). 表麵積S對r求導得 S′(r)=2πr－2Vr2. 令S′(r)=0，得唯一駐點r=3Vπ.又S″(r)=2π+4Vr3，S″3Vπ>0，所以r=3Vπ是唯一極小值點，即最小值點.因此當半徑r=3Vπ,高h=Vπr2=3Vπ時，水杯表麵積最小，即所用材料最省.此時，h與r之比為1∶1. 例27某商店買賣某種商品，進貨每件3元.售出每件4元，可銷售400件；若每件每降價0.05元，則可多售出40件.問：進貨多少件且每件售價多少時可獲得最大利潤？ 解設進貨x件，售價p元.依題意，有 x－40040=4－p0.05， 解得x=800(4－p)+400=3600－800p，則所獲利潤為 L(p)=px－3x=(p－3)x=(p－3)(3600－800p)=－800p2+6000p－10800. 利潤L對p求導數，得 L′(p)=－1600p+6000. 令L′(p)=0，得唯一駐點p=3.75，此時x|p=3.75=3600－800×3.75=600，L(3.75)=(3.75－3)×600=450.由於L″(p)=－1600<0，所以p=3.75是唯一極大值點，即最大值點.因此進貨600件且每件售價3.75元時可獲最大利潤450元. 習題34 A組 1. 求下列函數在給定區間上的最大值和最小值： (1) f(x)=12x－x,x∈［0,9］； (2) f(x)=2x3+3x2－12x,x∈［－3,2］. 2. 求下列函數在定義域內的最值： (1) f(x)=e－x2；(2) f(x)=lnx+2x. 3. 欲做一個底為正方形、表麵積為108 m2的長方形開口容器，問長方體開口容器底邊長x與高h各為多少時，才能使得容器容積V最大. 4. 設某產品產量為x(百台)時的成本函數為C(x)=x3－3x2+15x，問當產量為多少時，該產品的平均成本最小？並求最小平均成本. 5. 設某產品產量為x(百台)時的成本函數為C(x)=5x+200(百元)，收益函數為 R(x)=10x－0.01x2(百元)，問當產量為多少時，該產品的利潤做大？最大利潤值是多少？ B組 1. 求下列函數在給定區間上的最大值和最小值： (1) f(x)=sin3x+cos3x,x∈－π4,3π4； (2) f(x)=x23－(x2－1)13,x∈(0,2). 2. 證明3x4+16x2+5>8x3,x∈(－∞,+∞). 第五節曲線的凹凸性與拐點及函數圖形的描繪 一、曲線的凹凸性與拐點 圖39 在本章第三節中，我們研究了函數的單調性，函數的單調性反映了曲線y=f(x)的上升或下降.在研究函數圖形的變化時，了解它的上升或下降規律很有好處，但這不能完全反映它的變化規律.如圖39所示 的函數y=f(x)的圖形在區間(a，b)內雖然一直是上升的，但P點前後圖形有著明顯 的不同.圖中曲線從左向右先是向上彎曲，通過P點後，扭轉了彎曲的方向而向下彎曲.因此研究圖形時，考察它的彎曲方向及扭轉彎曲方向的點是很有必要的.從圖39中明顯看出，曲線向上彎曲的弧段位於該弧段上每一點的切線的上方，曲線向下彎曲的弧段位於該弧段上每一點的切線的下方.據此，我們給出曲線凹凸性的定義. 定義2設函數y=f(x)在開區間(a，b)內可導.若曲線y=f(x)位於其上任意一點切線的上方，則稱曲線y=f(x)在區間(a，b)內是凹的（見圖310），此時區間(a，b)稱為函數y=f(x)的凹區間；若曲線y=f(x)位於其上任意一點切線的下方，則稱曲線y=f(x)在區間(a，b)內是凸的（見圖311），此時區間(a，b)稱為函數y=f(x)的凸區間. 圖310 圖311 從幾何圖形上看，凹曲線上切線的斜率隨著x的增大而變大（即一階導數遞增），如圖310所示；而凸曲線上切線的斜率隨著x的增大而變小（即一階導數遞減），如圖311所示.於是，容易得到下麵判定曲線凹凸性的定理. 定理9設函數y=f(x)在區間(a，b)內具有二階導數，那麼： (1) 若在(a，b)內f″(x)>0，則曲線y=f(x)在(a，b)內是凹的； (2) 若在(a，b)內f″(x)<0，則曲線y=f(x)在(a，b)內是凸的. 某些函數曲線可能在某些部分區間內是凹的而在另一些部分區間內是凸的.當然，我們要考慮曲線由凹變凸或由凸變凹的分界點.下麵給出拐點的定義. 定義3連續曲線上凹與凸的分界點稱為該曲線的拐點. 如何來尋找曲線y=f(x)的拐點呢？ 拐點既然是曲線凹凸的分界點，結合定理9，若函數在該點處左、右附近的二階導數存在，那麼在拐點左右附近f″(x)必然異號.所以，要尋找拐點，隻要找出使f″(x)符號發生變化的分界點即可.如果函數f(x)在區間(a，b)內具有二階連續導數，則在這樣的分界點處必有f″(x)=0；此外，使f(x)的二階導數不存在的點，也可能是使f″(x)符號發生變化的分界點. 綜上所述，求函數曲線y=f(x)的凹凸區間和拐點的一般步驟為 (1) 確定函數f(x)的定義域. (2) 求f″(x)，令f″(x)=0，解出全部實根，並求出所有使f″(x)不存在的點.同時以這些點作為分界點，將定義域劃分為若幹個子區間. (3) 列表判定各部分區間內f″(x)的符號，從而確定曲線的凹凸區間和拐點. 例28求曲線y=x4－2x3+1的凹凸區間和拐點. 解函數的定義域為(－∞，+∞).由 y′=4x3－6x2，y″=12x2－12x, 令y″=0，解得x=0，x=1.列表討論： x(－∞，0)0(0，1)1(1，+∞) y″+0-0+ y∪拐點(0，1)∩拐點(1，0)∪ 其中“∪”“∩”分別表示曲線在指定的區間內是凹的和凸的. 所以，曲線y=x4－2x3+1的凹區間是(－∞，0)和(1，+∞)，凸區間是(0，1)，拐點為(0，1)和(1，0). *例29求曲線y=(x+1)·3x的凹凸區間和拐點. 解函數的定義域為(－∞，+∞).由 y′=43x13+13x－23，y″=49x－23－29x－53=29x－53(2x－1)=29·2x－13x5， 令y″=0，解得x=12，而x=0時y″不存在.列表討論： x(－∞，0)00，121212，+∞ y″+不存在-0+ y∪拐點(0，0)∩拐點 12，32312∪ 所以，曲線y=(x+1)·3x的凹區間是(－∞，0)和12，+∞，凸區間是0，12，拐點為(0，0)和12，32312. 二、函數圖形的描繪 函數的圖形具有直觀明了的特點，因此，研究函數的圖形具有重要的意義和廣泛的應用.這裏先介紹曲線的漸近線，然後完成函數圖形的描繪. 1. 曲線的水平漸近線和垂直漸近線 為了完整地描繪函數的圖形，除了知道其升降、凹凸性、極值和拐點等性態外，還應當了解曲線無限遠離坐標原點時的變化狀況，這就是我們要討論的曲線的漸近線問題. 圖312 定義4若曲線y=f(x)上的動點M(x，y)沿著曲線無限遠離坐標原點時，它與某直線l的距離趨向於零，則稱直線l為該曲線的漸近線（見圖312）. 定義中的漸近線l可以是各種位置的直線，我們下麵討論兩種特殊情況： (1) 水平漸近線若limx→－∞f(x)=A或limx→+∞f(x)=A或limx→∞f(x)=A，則稱直線y=A為曲線y=f(x)的水平漸近線. (2) 垂直漸近線若limx→x-0f(x)=∞或limx→x+0f(x)=∞或limx→x0f(x)=∞，則稱直線x=x0為曲線y=f(x)的垂直漸近線. 例30求下列曲線的水平漸近線和垂直漸近線. (1) y=1x－1；(2) y=arctanx. 解(1) 因為limx→∞1x－1=0，所以直線y=0是該曲線的水平漸近線. 又因為limx→11x－1=∞，所以直線x=1是該曲線的垂直漸近線（見圖313）. 圖313 圖314 (2) 因為limx→－∞arctanx=－π2，limx→+∞arctanx=π2，所以直線y=－π2與y=π2都是該曲線的水平漸近線(見圖314).無垂直漸近線. *2. 函數圖形的描繪 對於一個函數來說，若能作出其圖形，就能從圖形上直觀地了解該函數的變化趨勢.在中學階段，我們曾利用描點法來作函數的圖形，但這種方法常常會遺漏曲線的一些關鍵點，如極值點、拐點等，難以準確把握函數的變化趨勢.本節我們將先利用導數來判定函數的一些重要性態，再描繪函數的圖形，其一般步驟是： (1) 確定函數y=f(x)的定義域，並考察其奇偶性和周期性； (2) 求f′(x)和f″(x)，求出f′(x)=0、f′(x)不存在的點和f″(x)=0、f″(x)不存在的點，並用這些點將函數的定義域劃分成若幹個子區間； (3) 列表討論函數f(x)的單調區間、極值、凹凸區間以及拐點； (4） 求函數圖形的水平漸近線和垂直漸近線； (5） 根據需要補充函數圖形上的若幹點（如與坐標軸的交點等）； (6) 描圖. 例31作函數f(x)=4(x+1)x2－2的圖形. 解(1) 函數的定義域為(－∞，0)∪(0，+∞)，是非奇非偶函數. (2) f′(x)=－4(x+2)x3，f″(x)=8(x+3)x4. 令f′(x)=0，得駐點x=－2；令f″(x)=0，解得x=－3，它們將定義域(－∞，0)∪(0，+∞)分為四個子區間(－∞，－3)，(－3，－2)，(－2，0)，(0，+∞). (3) 列表討論： x(－∞，－3)－3(－3，－2)－2(－2，0)(0，+∞) f′(x)---0+- f″(x)-0++++ f(x)∩拐點 －3，－269∪極小值 f(－2)=－3∪∪ 圖315 (4） 因為limx→∞f(x)=limx→∞4(x+1)x2－2=－2，所以直線y=－2為一條水平漸近線.又limx→0f(x)=limx→04(x+1)x2－2=+∞，所以直線x=0為一條垂直漸近線. (5） 補充作圖點(1－3，0)，(1+3，0)，(－1，－2)，(1，6)，(2，1). (6) 描繪函數f(x)=4(x+1)x2－2的圖像，如圖315所示. 習題35 A組 1. 求下列函數的凹凸區間與拐點： (1) y=x3－6x2+x－1；(2) y=3x4－4x3+1； (3) y=ln(1+x2)；(4) y=x－arctanx. 2. 求下列曲線的水平漸近線和垂直漸近線： (1) y=3x+1x－2；(2) y=x2+3x+2x2－1； (3) y=e1x；(4) y=ex1+x. 3. 研究下列函數的性態並作出其圖形： (1) y=x3－6x2+9x－4；(2) y=x1+x2. B組 1. 求下列函數的凹凸區間與拐點： (1) y=xe－x；(2) y=(x+1)4+ex； (3) y=earctanx；(4) y=x4(12lnx－7). 2. 已知曲線拐點y=x3－ax2－9x+4在x=1處有拐點，試確定係數 a，並求曲線的凹凸區間與拐點. 3. 研究下列函數的性態並作出圖形： （1） y=x3－x;(2） y=x－ln(x+1). 總複習題三 1． 單項選擇題 （1） 已知f(x)=(x－3)(x－4)(x－5)，則f′(x)=0有（）. A． 一個實根B. 兩個實根 C. 三個實根D. 無實根 （2） 下列函數在所給區間滿足羅爾定理條件的是（）. A． f(x)=x2,x∈［0,3］B. f(x)=1x2,x∈［－1,1］ C. f(x)=|x|,x∈［－1,1］D. f(x)=x3－x,x∈［0,3］ （3） 設曲線y=3x－x3則其拐點坐標為（）. A． 0B. (0,1)C. (0,0)D. 1 （4） 若f(x)=alnx+bx2－3x，在x=1,x=2取得極值，則a,b為（）. A． a=12,b=2 B. a=2,b=12 C. a=－12,b=2D. a=－2,b=－12 （5） 下列命題中，正確的是（）. A． 若x0為極值點，則必有f′(x) B. 若f(x)在點x0處可導，且x0為f(x)的極值點，則必有f′(x0)=0 C. 若f(x)在(a,b)有極大值也有極小值，則極大值必大於極小值 D. 若f′(x0)=0，則點x0必有f(x)的極值點 （6） 曲線y=6x－24x2+x4的凸（曲線下凹）區間是（）. A． (－2,2)B. (－∞,0)C. (0,+∞)D. (－∞,+∞) （7） 函數y=x3+1在點x=0處（）. A． 有極小值1 B. 有極大值1C. 有極小值0D. 無極值 （8） 函數y=x3－3x的單調區間是（）. A． (－∞,1］B. ［－1,1］C. ［1,+∞)D. (－∞,+∞) 2. 填空題 （1） f(x)=lnxx的單調增加區間為. （2） f(x)=x－32x23的極小值為. （3） f(x)=1－(x－2)23在［0,3］的最大值為. （4） 曲線y=x2－1x(2x+1)的水平漸近線為. （5） 函數f(x)=xlnx在［1,2］滿足拉格朗日中值定理條件的ξ=. 3. 求下列極限 （1） limx→0arcsinx－xsin3x;（2） limx→0ex－e－x－2xx－sinx; （3） limx→42x+1－3x－2－2; （4） limx→+∞xx2+1+x;（5） limx→π2lnsinxx－π22;（6） limx→∞(x2+1－x2－1). 4. 求下列函數的單調區間與極值 （1） f(x)=2x3－3x2－12x+13;（2） f(x)=x+4x; （3） f(x)=1－(x－2)23; （4） f(x)=3x4－8x3+6x2+5; （5） f(x)=x+lnxx. 第四章不定積分 第四章不定積分 在微分學中，我們已經學過怎樣求已知函數的導數或微分，但在許多實際問題中，常常需要解決與此相反的問題，即已知一個函數的導數或微分求原來的函數.這種已知導數或微分求原來函數的運算稱為不定積分.本章將介紹不定積分的概念及其計算方法. 第一節不定積分的概念與性質 一、原函數的概念 定義1如果在區間I上，可導函數F(x)的導函數為f(x)，即對任意x∈I，有 F′(x)=f(x)(或dF(x)=f(x)dx)， 那麼稱函數F(x)為f(x)（或f(x)dx）在區間I上的一個原函數. 例如：由於(sinx)′=cosx，所以sinx是cosx的一個原函數；(sinx+1)′=cosx，所以sinx+1是cosx的一個原函數. 顯然對任意常數C，都有(sinx+C)′=cosx，所以sinx+C也是cosx的原函數. 注：① 函數f(x)若有一個原函數F(x)，則它必有無窮多個原函數. ② 任意兩個原函數之間隻相差一個常數. 關於原函數，我們首先要問，一個函數具備什麼條件，它的原函數一定存在？對於這個問題，有下麵的定理. 定理1若函數f(x)在區間I內連續，則f(x)在區間I內存在原函數.即連續函數一定有原函數. 定理2若函數f(x)在區間I內有原函數F(x)，則f(x)的所有原函數可表示為 F(x)+C（C為任意常數）. 注：從定理2可知，隻要求出f(x)的一個原函數F(x)，那麼F(x)+C(C為任意常數)就是f(x)的所有原函數. 二、不定積分 定義2若F(x)是f(x)在區間I內的一個原函數，則f(x)的所有原函數F(x)+C(C為任意常數)稱為f(x)在I內的不定積分，記作 ∫f(x)dx, 即∫f(x)dx=F(x)+C. 其中記號∫稱為積分號，f(x)稱為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式，x稱為積分變量. 例1求∫x2dx. 解 由於x33′=x2，所以x33是x2的一個原函數，因此 ∫x2dx=x33+C. 例2求∫1xdx. 解當x>0時，ln|x|=lnx，從而(ln|x|)′=(lnx)′=1x，即lnx是1x的一個原函數.因此， ∫1xdx=lnx+C． 當x<0時，則ln|x|=ln(－x)，從而(ln|x|)′=(ln(－x))′=1x.因此， ∫1xdx=ln(－x)+C． 綜合以上，得∫1xdx=ln|x|+C. 三、積分與導數(微分)的互逆運算性質 由不定積分的定義，我們容易得到下麵的求積分與導數(或微分)的互逆運算性質： (1) ∫f(x)dx′=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)dx; (2) ∫f′(x)dx=f(x)+C或∫df(x)=f(x)+C. 上述性質(1)說明，不定積分的導數等於被積函數，或者說，先積分後微分，則積分符號與導數符號相互抵消了.性質(2)則說明對一個函數的導數(或微分)求不定積分，其結果與該函數相差一個常數. 例如：∫arcsinxdx′=arcsinx，或d∫arcsinxdx=arcsinxdx； ∫arcsinx′dx=arcsinx+C，或∫darcsinx=arcsinx+C． 例3已知∫f(lnx)dx=12x2+C，求∫f(x)dx. 解由條件得 f(lnx)=∫f(lnx)dx′=12x2+C′=x. 令u=lnx，則x=eu.於是f(u)=eu，從而有f(x)=ex．故 ∫f(x)dx=∫exdx=ex+C. 例4已知曲線y=f(x)在任一點x處的切線斜率為2x，且曲線通過點(1，2)，求該曲線的方程. 解根據題意知， f′(x)=2x， 即 f(x)是2x的一個原函數，從而 f(x)=∫2xdx=x2+C． 又知曲線經過點(1，2)，所以2=12+C，即C=1． 故所求曲線方程為f(x)=x2+1. 四、基本積分表 根據原函數的定義，由導數或微分基本公式，我們容易推導得到下麵的基本積分公式： (1) ∫kdx=kx+C (k為常數)； (2) ∫xαdx=1α+1xα+1+C（α≠－1）； (3) ∫1xdx=ln|x|+C； (4) ∫axdx=axlna+C(a>0，a≠1)； (5) ∫exdx=ex+C； (6) ∫cosxdx=sinx+C； (7) ∫sinxdx=－cosx+C； (8) ∫1cos2xdx=∫sec2xdx=tanx+C； (9) ∫1sin2xdx=∫csc2xdx=－cotx+C； (10) ∫secxtanxdx=secx+C； (11) ∫cscxcotxdx=－cscx+C； (12) ∫11+x2dx=arctanx+C=－arccotx+C； (13) ∫11－x2dx=arcsinx+C=－arccosx+C； (14) ∫tanxdx=－ln|cosx|+C； (15) ∫cotxdx=ln|sinx|+C； (16) ∫secxdx=∫1cosxdx=ln|secx+tanx|+C； (17) ∫cscxdx=∫1sinxdx=ln|cscx－cotx|+C； (18) ∫1a2+x2dx=1aarctanxa+C(a>0)； (19) ∫1x2－a2dx=12alnx－ax+a+C(a>0)； (20) ∫1(x+a)(x+b)dx=1b－alnx+ax+b+C(a≠b)； (21) ∫1a2－x2dx=arcsinxa+C(a>0)； (22) ∫a2－x2dx=12xa2－x2+a22arcsinxa+C(a>0). （注：（14）—（22）在後麵章節陸續推導出） 五、不定積分的性質 設函數f(x)與g(x)均在區間I上存在原函數，有以下兩個性質. 性質1f(x)與g(x)的和或差的不定積分等於它們的不定積分的和或差，即 ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx. 注：該性質可以推廣到有限個函數的情形. 性質2被積函數中的非零常數因子可以提到積分號之前，即 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(常數k≠0). 我們將應用不定積分的基本運算法則和基本積分公式來計算不定積分的這種方法稱為直接積分法. 例5求不定積分∫3x2－5ex+11+x2dx. 解∫3x2－5ex+11+x2dx=3∫x2dx－5∫exdx+∫11+x2dx =x3－5ex+arctanx+C. 例6求不定積分∫(x－1)2xdx. 解∫(x－1)2xdx=∫x－2x+1xdx =∫dx－2∫1xdx+∫1xdx =x－4x+ln|x|+C. 例7求不定積分∫(2xex－5sinx)dx. 解∫(2xex－5sinx)dx=∫2xexdx－5∫sinxdx =∫(2e)xdx－5∫sinxdx =(2e)xln2e+5cosx+C. 例8求不定積分∫1－x21+x2dx. 解 ∫1－x21+x2dx=∫2－(1+x2)1+x2dx =2∫11+x2dx－∫dx =2arctanx－x+C. 例9求不定積分∫tan2xdx. 解 ∫tan2xdx=∫(sec2x－1)dx=∫sec2xdx－∫dx=tanx－x+C. 例10求不定積分∫cos2x2dx. 解 ∫cos2x2dx=∫1+cosx2dx=12∫dx+12∫cosxdx=12x+12sinx+C. 例11求不定積分∫1cos2xsin2xdx. 解 ∫1cos2xsin2xdx=∫cos2x+sin2xcos2xsin2xdx=∫1cos2xdx+∫1sin2xdx =tanx－cotx+C. 例12求不定積分∫cos2xcosx+sinxdx. 解∫cos2xcosx+sinxdx=∫cos2x－sin2xcosx+sinxdx=∫(cosx－sinx)(cosx+sinx)cosx+sinxdx =∫(cosx－sinx)dx=sinx+cosx+C. 習題41 A組 1. 填空. （1） ∫[arcsin（sin2x）]′dx=. （2） d（∫1+x2dx）=. （3） ∫dsinxx=. （4） ∫x31+x2dx′=. 2. 求下列不定積分. （1） ∫1x2dx （2） ∫xxdx （3） ∫1xdx （4） ∫（x2-3x+2）dx （5） ∫2x3xdx （6） ∫x-x3ex+x2x3dx （7） ∫x2x2+1dx （8） ∫1+x+x2x2（1+x2）dx 3. 已知函數f（x）的一個原函數是x2lnx，求f（x）. 4. 已知∫f（x）dx=ex2+C，求函數f（x）及f′（x）. 5. 求一條平麵曲線的方程，使得該曲線通過點A（1,0），且曲線上每一點（x,y）處的切線斜率為2x-2. 6. 已知質點在時刻t的加速度a=t2+1，且當t=0時，速度v=1，距離s=0，求此質點的運動方程. B組 1. 計算下列不定積分. （1） ∫x4x2+1dx （2） ∫3x4+3x2+1x2+1dx （3） ∫e2x-1ex+1dx （4） ∫cos2xcos2xdx （5） ∫1+x21-x4dx （6） ∫xdx （7） ∫1+cos2x1+cos2xdx （8） ∫1-sin2xdx0 2. 已知函數xarctanx是f（x）的一個原函數是，求f（x）. 3. 若曲線y=f（x）上點（x,y）處的切線斜率與x3成正比例，並且曲線通過點A（1,6）與B（2,-9），求該曲線方程. 第二節換元積分法 能利用基本積分表和積分的性質計算的不定積分是非常有限的，因此，有必要進一步來研究計算不定積分的方法.本節把複合函數的微分法反過來用於求不定積分，利用中間變量的代換，得到複合函數的積分法，這種求積分的方法稱為換元積分法．按其換元方式的不同，換元積分法通常分為以下兩類. 一、第一類換元積分法（也稱湊微分法） 設f(u)具有原函數F(u)，即F′(u)=f(u)，∫f(u)du=F(u)+C．如果u是中間變量，u=φ(x)且設φ(x)可微，那麼根據複合函數微分法，有 dF［φ(x)］=f［φ(x)］φ′(x)dx． 從而根據不定積分的定義得 ∫f［φ(x)］·φ′(x)dx=F［φ(x)］+C=[∫f(u)du]u=φ(x)． 定理1設f(u)具有原函數，u=φ(x)可導，則有換元公式 ∫f［φ(x)］·φ′(x)dx=[∫f(u)du]u=φ(x)． 隻需驗證右端函數的導數等於左端被積函數即可.證明略． 注：用第一類換元法計算不定積分的具體步驟： （1） 必須把被積函數f(x)分解成兩個因子f［φ(x)］和φ′(x)的乘積. （2） 引入中間變量u=φ(x)，使得f(x)=f［φ(x)］φ′(x)，這樣要求的不定積分∫f(x)dx就變成了已知的不定積分∫f(u)du=F(u)+C. （3） 把u=φ(x)代回到原函數F(u)中，即可得到所求的不定積分. 例13求不定積分∫2cos2xdx. 解設u=2x，則du=2dx.所以∫2cos2xdx=∫cosudu=sinu+C． 再將u=2x代入上式得，∫2cos2xdx=sin2x+C． 例14求不定積分∫13+2xdx. 解設u=3+2x，則du=2dx.所以 ∫13+2xdx=∫1u·12du=12∫1udu=12ln|u|+C=12ln|3+2x|+C． 例15求不定積分∫1a2+x2dx. 解∫1a2+x2dx=∫1a2·11+xa2dx=1a∫11+xa2dxa=1aarctanxa+C． 例16求不定積分∫1a2－x2dx（a>0）． 解∫1a2－x2dx=∫1a·11－xa2dx=∫11－xa2dxa=arcsinxa+C． （注：例15、例16以後可以作為公式來用） 例17求不定積分∫2xex2dx. 解被積函數中，一個因子ex2是複合函數，ex2=eu，u=x2，剩下的因子2x恰好是中間變量u=x2的導數，於是有 ∫2xex2dx=∫ex2dx2=∫eudu=eu+C=ex2+C． 例18求不定積分∫x1－x2dx. 解u=1－x2，則du=－2xdx，即－12du=xdx．於是 ∫x1－x2dx=∫u12·－12du=－13·u32+C=－13(1－x2)32+C． （注：熟練以後中間變量u可以不寫出來） 例19求不定積分∫tanxdx. 解∫tanxdx=∫sinxcosxdx=－∫1cosxdcosx=－ln|cosx|+C． 例20求不定積分∫cosx·sin2xdx. 解∫cosx·sin2xdx=∫sin2xdsinx=13sin3x+C． 例21求不定積分∫lnxxdx. 解∫lnxxdx=∫lnx·1xdx=∫lnxdlnx=12(lnx)2+C． 例22求不定積分∫11+exdx. 解∫11+exdx=∫1+ex－ex(1+ex)dx=∫1－ex1+exdx =x－∫11+exdex=x－∫11+exd(1+ex)=x－ln(1+ex)+C． 例23求不定積分∫e2x1xdx. 解∫e2x1xdx=∫e2xd(2x)=e2x+C. 例24求不定積分∫1x2sin1xdx. 解∫1x2sin1xdx=－∫sin1xd1x=cos1x+C． 為了熟練掌握求不定積分的第一類換元積分法，我們將把應用第一類換元積分法常見的積分類型總結如下： (1) ∫f(ax+b)dx=1a∫f(ax+b)d(ax+b)(a≠0)； (2) ∫f(axk+b)xk－1dx=1ka∫f(axk+b)d(axk+b)(k，a≠0)； (3) ∫f(ex)exdx=∫f(ex)dex； （4） ∫f(lnx)1xdx=∫f(lnx)dlnx； (5) ∫f(x)1xdx=2∫f(x)dx； (6) ∫f(cosx)sinxdx=－∫f(cosx)dcosx; (7) ∫f(sinx)cosxdx=∫f(sinx)dsinx； (8) ∫f(arcsinx)11－x2dx=∫f(arcsinx)darcsinx； (9) ∫f(arctanx)11+x2dx=∫f(arctanx)darctanx. 例25已知函數f(x)有連續導數，求下列不定積分. (1) ∫f′(lnx)xdx；(2) ∫xf(x2)f′(x2)dx. 解(1) ∫f′(lnx)xdx=∫f′(lnx)dlnx=f(lnx)+C. (2) ∫xf(x2)f′(x2)dx=12∫f(x2)f′(x2)dx2 =12∫f(x2)df(x2)=14[f(x2)]2+C. 例26已知F(x)是函數f(x)的一個原函數，求∫F(x)f(x)dx. 解由於F(x)是f(x)的一個原函數，因此有F′(x)=f(x).於是 ∫F(x)f(x)dx=∫F(x)F′(x)dx=∫F(x)dF(x)=12[F(x)]2+C. 二、第二類換元積分法（也稱變量代換法） 以上我們用第一類換元積分法解決了一些積分問題，但對於有些不定積分，如∫11+xdx、∫a2－x2dx等，就難以用湊微分法來求解，我們適當地選擇代換x=φ(t)（其中φ(t)是單調、可導的函數）將積分∫f(x)dx化為積分∫f［φ(t)］φ′(t)dt，這樣，就把比較難求的不定積分變成了易求的不定積分∫g(t)dt，即 ∫f(x)dx=∫f［φ(t)］φ′(t)dt=∫g(t)dt=G(t)+C． 通常稱此方法為第二類換元積分法. 定理2設函數x=φ(t)單調可導，並且φ′(t)≠0，且∫f［φ(t)］φ′(t)dt存在原函數F(t),則有 ∫f(x)dx=∫f［φ(t)］φ′(t)dt=F(t)+C=F［(φ－1(x)］+C. 其中φ-1(x)是x=φ(t)的反函數.上述公式稱為第二類換元積分公式. 例27求不定積分∫x－1xdx. 解設x－1=t，則x=t2+1，dx=2tdt，於是原積分可化為 ∫x－1xdx=∫tt2+1·2tdt=2∫t2t2+1dt=2∫1－1t2+1dt =2t－2arctant+C. 再把x－1=t代入上式得 ∫x－1xdx=2(x－1－arctanx－1)+C. 例28求不定積分∫11+xdx. 解設x=t，則x=t2，dx=2tdt，於是原積分可化為 ∫11+xdx=∫11+t·2tdt=2∫t1+tdt=2∫1－11+tdt =2(t－ln|1+t|)+C. 再把x=t代入上式得 ∫11+xdx=2(x－ln|1+x|)+C. 例29求不定積分∫1x+3xdx. 解設3x=t，則x=t3，dx=3t2dt，於是原積分可化為 ∫1x+3xdx=∫1t3+t·3t2dt=3∫tt2+1dt=32∫11+t2d(t2+1) =32ln(t2+1)+C. 再把3x=t代入上式得 ∫1x+3xdx=32ln(3x2+1)+C. 例30求不定積分∫1(x－3)3+x－3dx. 解令x－3=t，則x=t2+3，dx=2tdt.於是 ∫1(x－3)3+x－3dx=∫1t3+t·2tdt=2∫1t2+1dt =2arctant+C=2arctanx－3+C. 例31求不定積分∫a2－x2dx(a>0). 解令x=asint，t∈－π2，π2，則dx=acostdt.於是 ∫a2－x2dx=∫a2－a2sin2t·acostdt=a2∫cos2tdt =a2∫1+cos2t2dt=a22∫dt+12∫cos2td2t =a22t+12sin2t+C=a22(t+sintcost)+C =a22arcsinxa+x2a2－x2+C. 例32求不定積分∫1x2－a2dx(a>0). 解令x=asect，t∈0，π2，則dx=asecttantdt.於是 ∫1x2－a2dx=∫asecttanta2sec2t－a2dx=∫sectdx=ln|sect+tant|+C1 =lnxa+x2－a2a+C1=ln|x+x2－a2|+C.（C=C1－lna） 例33求不定積分∫1a2+x2dx(a>0). 解令x=atant，t∈－π2，π2，則dx=asec2tdt.於是 ∫1a2+x2dx=∫asec2ta2+a2tan2tdt=∫sectdt=∫sect(sect+tant)sect+tantdt =∫1sect+tantd(sect+tant)=ln|sect+tant|+C1 =lnxa+a2+x2a+C1. 即 ∫1a2+x2dx=ln|x+a2+x2|+C.（C=C1－lna） 一般來說，在處理含有以下根式的被積函數的積分時，常用三角代換，可總結如下： 被積函數含根式變量代換運用的三角公式 a2－x2x=asinta2cos2t=a2－a2sin2t x2+a2x=atanta2tan2t+a2=a2sec2t x2－a2x=asecta2sec2－a2=a2tan2t 習題42 A組 1. 在下列各式等號右端的空白處填入適當的係數，使等式成立. （1） dx=d（ax） （2） dx=d（7x-3） （3） xdx=d（x2） （4） xdx=d（5x2） （5） xdx=d（1-x2） （6） x3dx=d（3x4-2） （7） e2xdx=d（e2x） （8） 1xdx=dlnx （9） 11-x2dx=d（arcsinx） （10） 11+x2dx=d（arctanx） 2. 計算下列不定積分. （1） ∫（3x-2）100dx （2） ∫e5xdx （3） ∫132-3xdx （4） ∫11-2xdx （5） ∫lnxxdx （6） ∫sin（4x-3）dx （7） ∫xex2dx （8） ∫xcos（x2）dx （9） ∫sin4xcosxdx （10） ∫sinxcos3xdx （11） ∫1+tanxcos2xdx （12） ∫x1-3x2dx （13） ∫sinxxdx （14） ∫1xlnxdx （15） ∫x1+x4dx （16） ∫arctanx1+x2dx （17） ∫1x2sin1xdx （18） ∫e2x1+e2xdx （19） ∫1ex+e-xdx （20） ∫arctanxx（1+x）dx 3. 計算下列不定積分. （1） ∫x1-xdx （2） ∫1x（1+x）dx （3） ∫11+2xdx （4） ∫11+3xdx （5） ∫11+x+1dx （6） ∫12-3xdx （7） ∫1x+3xdx （8） ∫x+22x+1dx B組 1. 選擇題. （1） 若∫f（x）dx=x2e2x+C，則f（x）=（）. A. 2xe2x B. 4xe2x C. 2x2e2x D. 2xe2x（1+x） （2） 已知y′=2x，且x=1時y=2，則y=（）. A. x2 B. x2+C C. x2+1 D. x2+2 （3） 設f′（x）存在，則[∫df（x）]′=（）. A. f（x） B. f′（x） C. f（x）+1 D. f′（x）+C （4） 若 f（x）為連續函數，且∫f（x）dx=F（x）+C，C為任意常數，則下列各式中正確的是（）. A. ∫f（ax+b）dx=F（ax+b）+C B. ∫f（xn）xn-1dx=F（xn）+C C. ∫f（lnax）1xdx=F（lnax）+C（a≠0） D. ∫f（e-x）e-xdx=F（e-x）+C （5） ∫x（x+1）10dx=（）. A. 111（x+1）11+C B. 12x2+111（x+1）11+C C. 112（x+1）12-111（x+1）11+C D. 112（x+1）12+111（x+1）11+C （6） 若sinx是f（x）的一個原函數，則∫xf′（x）dx=（）. A. xcosx-sinx+C B. xsinx+cosx+C C. xcosx+sinx+C D. xsinx-cosx+C 2. 計算下列不定積分. （1） ∫（1-3x）52dx （2） ∫12x+3dx （3） ∫uu2-5dx （4） ∫earcsinx1-x2dx （5） ∫1x1-ln2xdx （6） ∫sin（x+1）xdx （7） ∫11+9x2dx （8） ∫11-9x2dx （9） ∫sin2xcos3xdx （10） ∫tanxcos2xdx （11） ∫ex-e-xex+e-xdx （12） ∫ex1-e2xdx （13） ∫x+11+x+1dx （14） ∫1x+4xdx （15） ∫11+exdx （16） ∫11+3x+2dx 第三節分部積分法 除了換元積分法外，還有一個重要的積分方法，即分部積分法.分部積分法是利用兩個函數乘積的求導法則，來推得另一個求積分的基本方法. 設函數u=u(x)及v=v(x)具有連續導數，兩個函數乘積的導數公式為 (uv)′=u′v+uv′, 移項，得uv′=(uv)′－u′v. 對這個等式兩邊求不定積分，得 ∫uv′dx=uv－∫u′vdx,（41） 上式也可寫為 ∫udv=uv－∫vdu.（42） 公式（41）、（42）稱為分部積分公式.如果求∫uv′dx或∫udv有困難，而求∫u′vdx或∫vdu比較容易時，分部積分就可以發揮作用了，下麵的例子就是利用這個公式來求的. 例34求不定積分∫xcosxdx. 解設u=x，dv=cosxdx，則du=dx，v=sinx.於是 ∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx－∫sinxdx=xsinx+cosx+C.(43) 注：熟悉了分部積分公式後，可直接用公式（42），而不必具體寫出u和dv，式(43)可寫成 ∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx－∫sinxdx=xsinx+cosx+C. 在本例中，若取u=cosx，dv=xdx，則du=－sinxdx，v=x22.於是 ∫xcosxdx=∫cosxdx22=cosx·x22+∫x22·sinxdx=x22cosx+12∫x2sinxdx. 顯然，積分∫x2sinxdx比原積分∫xcosxdx還難求，因此，在運用分部積分公式計算不定積分時，恰當地選取u和dv是解決問題的關鍵. 類型一形如∫xnsinxdx、∫xncosxdx、∫xnexdx的積分，其中n為正整數，通常選取u=xn，dv=sinxdx、cosxdx或exdx. 例35求不定積分∫x2cosxdx. 解∫x2cosxdx=∫x2dsinx=x2sinx－∫2xsinxdx=x2sinx－2∫xd(－cosx) =x2sinx+2xcosx－2∫cosxdx=x2sinx+2xcosx－2sinx+C. 例36求不定積分∫xexdx. 解∫xexdx=∫xdex=xex－∫exdx=xex－ex+C. 類型二形如∫xnlnxdx、∫xnarctanxdx、∫xnarcsinxdx的積分，其中n為正整數，通常選取u=lnx、arctanx、arcsinx，dv=xndx. 例37求不定積分∫x2lnxdx. 解∫x2lnxdx=∫lnxd13x3=13x3lnx－∫13x3dlnx=13x3lnx－13∫x3·1xdx =13x3lnx－19x3+C. 例38求不定積分∫arcsinxdx. 解∫arcsinxdx=xarcsinx－∫xdarcsinx=xarcsinx－∫x·11－x2dx =xarcsinx+12∫11－x2d(1－x2)=xarcsinx+1－x2+C. 例39求不定積分∫xarctanxdx. 解∫xarctanxdx=∫arctanxdx22=x22arctanx－∫x22darctanx =x22arctanx－∫x22·11+x2dx=x22arctanx－12∫1－11+x2dx =x22arctanx－12x+12arctanx+C. 類型三形如∫exsinxdx、∫excosxdx的積分，通常選取u=ex、dv=sinxdx或 cosxdx，也可選取u=sinx或cosx，dv=exdx. 例40求不定積分∫exsinxdx. 解不妨取u=ex，dv=sinxdx，那麼du=exdx，v=－cosx.於是 ∫exsinxdx=∫exd(－cosx)=ex(－cosx)－∫(－cosx)exdx =－excosx+∫excosxdx.(44) 對於∫excosxdx，再用一次分部積分法，得