重要概念、定理、公式、結論
1. 傅裏葉係數與傅裏葉級數:
f(x)~a02+∑∞n=1(ancosnx+bnsinnx)
an=1π∫π-πf(x)cosnxdxn=0,1,2…
bn=1π∫π-πf(x)sinnxdxn=1,2…
2. 狄利克雷收斂定理
設
f(x)
在
[-π,π]
上連續或有有限個第一類間斷點,且隻有有限個極值點,則
f(x)
的傅裏葉級數在
[-π,π]
上處處收斂,且收斂於
1) f(x），當x為f(x)的連續點.
2) f(x-0)+f(x+0)2,當x為f(x)的間斷點.
3) f(-π+0)+f(π-0)2,當x=±π
3. 周期為2π的函數的展開.
(1) [-π,π]上展開.
an=1π∫π-πf(x)cosnxdxn=0,1,2…
bn=1π∫π-πf(x)sinnxdxn=1,2…
(2) [-π,π]上奇偶函數的展開.
1) f(x)為奇函數.
an=0,bn=2π∫π0f(x)sinnxdxn=1,2…
2) f(x)為偶函數.
an=2π∫π0f(x)cosnxdxbn=0n=1,2…
(3) 在[0,π]上展為正弦或展為餘弦.
1) 展為正弦.
an=0,bn=2π∫π0f(x)sinnxdxn=1,2…
2) 展為餘弦.
an=2π∫π0f(x)cosnxdxbn=0n=1,2…
4. 周期為2l的函數的展開.
(1) [-l,l]上展開.
an=1l∫l-lf(x)cosnπxldxn=0,1,2…
bn=1l∫l-lf(x)sinnπxldxn=1,2…
(2) [-l,l]上奇偶函數的展開.
1) f(x)為奇函數.
an=0,bn=2l∫l0f(x)sinnπxldxn=1,2…
2) f(x)為偶函數.
an=2l∫l0f(x)cosnπxldxbn=0n=1,2…
(3) 在[0,l]上展為正弦或展為餘弦.
1) 展為正弦.
an=0,bn=2l∫l0f(x)sinnπxldxn=1,2…
2) 展為餘弦.
an=2l∫l0f(x)cosnπxldxbn=0n=0,1,2…
強化突破題型
【題型六】有關狄利克雷收斂定理的問題
【方法點撥】關鍵是分清x為哪一類點.
【例30】函數f(x)=-1,-π 1,0≤x≤π,在[-π,π]上展開為傅裏葉級數的和函數S(x)=. 【解析】由收斂定理知S(x)=-1,-π 1,0 0,x=0 0,x=±π 【例31】設f(x)=x,0≤x<12 2-2x,12 其中an=2∫10f(x)cosnπxdx,(n=0,1,2,…),則S-52等於(). (A) 12 (B) -12 (C) 34 (D) -34 【解析】由原題設可知,原題是將f(x)在[-1,1]上做偶延拓按周期為2展開,則 S-52=S-12=S12=f12-0+f12+02=12+(2-1)2=34. 故應選(C). 【例32】設f(x)=x-12,bn=2∫10f(x)sinnπxdx,(n=1,2…)令S(x)=∑∞n=1bnsinnπx,則S-94=(). (A) 34 (B) 14 (C) -14 (D) -34 【分析】本題考查傅裏葉級數的收斂定理.根據題設條件，對函數f(x)進行奇延拓後再作周期延拓，展開即為已知的正弦級數. 【解析】對f(x)進行奇延拓如下f(x)=x-12,0 -x+12,-1≤x≤0. 再對上述奇函數作周期為2的延拓，於是S(x)=∑∞n=1bnsinnπx即為f(x)的正弦級數.根據傅裏葉級數收斂定理有S-94=S-94+2=S-14=f-14=-f14=-14.選(C). 故應選(B). 【題型七】將函數展開為傅裏葉級數 【方法點撥】記住公式，理解延拓. 【例33】將f(x)=x2在[0,π]上分別展開為以為π周期的正弦級數和餘弦級數；並求下列數項級數的和 (1) ∑∞n=11n2 (2) ∑∞n=1(-1)n-11n2 (3) ∑∞n=11(2n-1)2 【解析】1) 展為正弦 將f(x)=x2做奇延拓，令F(x)=x2,0≤x≤π -x2,-π≤x<0 an=0,bn=2π∫π0x2sinnxdx=2πn(-1)n-1+4n3π[(-1)n-1] 則x2=2π∑∞n=1(-1)n-1nsinnx-8π∑∞n=11(2n-1)3sin(2n-1)x,x∈(0,π) 2) 展為餘弦 將f(x)=x2做偶延拓，令F(x)=x2(-π≤x≤π) bn=0,a0=2π∫π0x2dx=23π2,an=2π∫π0x2cosnxdx=4n2(-1)n, 所以F(x)：π23+4∑∞n=1(-1)nn2cosnx， 因為f(x)在(-π,π)內連續，F(x)的傅立葉級數的和函數S(x)滿足 S(0)=f(0-0)+f(0+0)2=0=f(0)，S(π)=f(-π+0)+f(π-0)2=π2=f(π) 因此，f(x)=x2=π23+4∑∞n=1(-1)nn2cosnx,x∈(0,π)① 在①式中分別令x=π和x=0，得π2=π23+4∑∞n=11n2，0=π23+4∑∞n=1(-1)nn2 由此得(1) ∑∞n=11n2=π26(2) ∑∞n=1(-1)n-1n2=π212 在將(1)(2)逐項相加得∑∞n=12(2n-1)2=π26+π212=π24，故得(3) ∑∞n=11(2n-1)2=π28 【例34】設x2=∑∞n=0ancosnx(-π≤x≤π)，則a2=. 【解析】將f(x)=x2(-π≤x≤π)展開為餘弦級數 f(x)=x2=∑∞n=0ancosnx(-π≤x≤π)，其中an=2π∫π0f(x)cosnxdx. 所以a2=2π∫π0x2·cos2xdx=1π∫π0x2dsin2x=1π[x2sin2xπ0-∫π0sin2x·2xdx] =1π∫π0xdcos2x=1π[xcos2xπ0-∫π0cos2xdx]=1 強化提高練習 1. 設級數∑∞n=1un 收斂,則必收斂的級數為(). (A) ∑∞n=1(-1)nunn (B) ∑∞n=1u2n (C) ∑∞n=1(u2n-1-u2n) (D) ∑∞n=1(un-un+1) 2. 設{un}是數列，則下列命題正確的是（）. (A) 若∑∞n-1un收斂，則∑∞n-1（u2n-1+u2n)收斂 （B） 若∑∞n-1(u2n-1+u2n)收斂，則∑∞n-1un收斂 （C） 若∑∞n-1un收斂，則∑∞n-1（u2n-1-u2n)收斂 （D） 若∑∞n-1(u2n-1-u2n）收斂，則∑∞n-1un收斂 3. 設an>0,n=1,2,…,若∑∞n=1an發散，∑∞n=1（-1）n-1an收斂，則下列結論正確的是（）. (A) ∑∞n=1a2n-1收斂，∑∞n=1a2n發散 (B) ∑∞n=1a2n收斂，∑∞n=1a2n-1發散 (C) ∑∞n=1(a2n-1+a2n)收斂 (D) ∑∞n=1(a2n-1-a2n)收斂 4. 設∑∞n=1an為正項級數，下列結論中正確的是（）. (A) 若limn→∞nan=0，則級數∑∞n=1an收斂 (B) 若存在非零常數λ，使得limn→∞nan=λ，則級數 ∑∞n=1an發散 (C) 若級數∑∞n=1an收斂，則limn→∞n2an=0 (D) 若級數∑∞n=1an發散，則存在非零常數λ，使得 limn→∞nan=λ 5. 設{an}是正項數列，下列選項正確的是（）. (A) 若an>an+1，則∑∞n=1（-1）n-1an收斂 (B) 若∑∞n=1(-1)n-1an收斂，則an>an+1 (C) 若∑∞n=1an收斂，則存在常數P>1,使 limn→∞npan存在 (D) 若存在常數P>1，使limn→∞npan存在，則 ∑∞n=1an收斂 6. 設0≤an≤1n(n=1,2,…)則下列級數中肯定收斂的是（）. (A) ∑∞n=1an (B) ∑∞n=1(-1)nan (C) ∑∞n=1an (D) ∑∞n=1(-1)na2n 7. 設an=∫π40tannxdx， (1) 求∑∞n=11n(an+an+2)的值； （2） 試證：對任意的常數λ>0，級數∑∞n=1annλ收斂. 8. 設f(x)在點x=0的某一領域內具有二階連續導數，且limx→0f(x)x=0，證明級數∑∞n=1f1n絕對收斂 9 求冪級數∑∞n=112n+1-1x2n在區間（-1，1）內的和函數S（x). 10. 求冪級數∑∞n=1(-1)n-11+1n(2n-1)x2n的收斂區間與和函數f(x). 11. 求級數∑∞n=11n(n+1)(n+2). 12. 求級數∑∞n=11n(n+1)(n+n+1). 13. 將函數f(x)=x2+x-x2展開成x的冪級數 14 將函數f(x)=1(x-1)2展開為x-3冪級數 15 將函數f(x)=14ln1+x1-x+12arctanx-x展開成x的冪級數 16 將函數f(x)=arctan1-2x1+2x展開成x的冪級數，並求級數 ∑∞n=0(-1)n2n+1的和 17 設有兩條拋物線y=nx2+1n和y=(n+1)x2+1n+1，記它們交點的橫坐標的絕對值為an. (1) 求這兩條拋物線所圍成的平麵圖形的麵積Sn; (2) 求級數∑∞n=1Snan的和. 18. 設級數x42·4+x62·4·6+x82·4·6·8+…（-∞ （1） S（x)所滿足的一階微分方程； （2） S（x)的表達式. 19. (數一）設f(x)=10-x,(5≤x≤15)，將f(x)展成以10為周期的傅裏葉級數.