圖書在版編目（ＣＩＰ）數據工科數學案例與練習／楊軍主編．２版．南京：南京大學出版社，２０１７．６ＩＳＢＮ９７８７３０５１８８９２３Ⅰ．①工…Ⅱ．①楊…Ⅲ．①高等數學－高等職業教育－教學參考資料Ⅳ．①Ｏ１３中國版本圖書館ＣＩＰ數據核字（２０１７）第１４０６９２號出版發行南京大學出版社社址南京市漢口路２２號郵編２１００９３出版人金鑫榮書名工科數學案例與練習主編楊軍責任編輯蔡文彬編輯熱線０２５８３６８６５３１照排南京南琳圖文製作有限公司印刷南京新洲印刷有限公司開本７８７×１０９２１／１６印張１３．２５字數３１６千版次２０１７年６月第２版２０１７年６月第１次印刷ＩＳＢＮ９７８７３０５１８８９２３定價２８．００元網址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｎｊｕｐｃｏ．ｃｏｍ官方微博：ｈｔｔｐ：／／ｗｅｉｂｏ．ｃｏｍ／ｎｊｕｐｃｏ官方微信號：ｎｊｕｐｒｅｓｓ銷售谘詢熱線：（０２５）８３５９４７５６版權所有，侵權必究凡購買南大版圖書，如有印裝質量問題，請與所購圖書銷售部門聯係調換書前言本書的編寫以高職院校的人才培養目標為依據，針對工科高職學生學習的特點，結合編者多年教學實踐，緊緊圍繞“數學為基，工程為用”的原則進行設計．本書共分為十二個單元，每個單元包括三個部分．一是案例分析，在每個單元前麵，結合工程應用中的實例，講解數學建模的方法，進一步闡明了數學建模和用數學解決幾何、物理和工程等實際問題的方法與技巧．二是隨堂練習，按照教材順序，以“三講一練”配置了適量的隨堂練習題．隨堂練習題的題型有填空題，選擇題，計算題和應用題．選題力求使讀者理解和掌握高等數學的基本理論和常用的計算方法，初步受到用數學方法解決幾何、物理和工程等實際問題的能力訓練．三是自測練習，精選了能反映本單元知識綜合運用的一定數量題目．讀者通過做自測練習，能鞏固本單元所學知識，進一步提高綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力．本書的編寫分工為：陸峰（函數、極限與連續單元，向量代數與空間解析幾何單元，線性代數初步單元），楊軍（一元函數微分學及應用單元，傅裏葉級數與積分變換單元，多元函數微分學及應用單元，多元函數積分學及應用單元），俞金元（常微分方程單元，無窮級數單元），盛秀蘭（一元函數積分學及應用單元，概率論與數理統計初步單元），淩佳（圖論初步單元）．本書由楊軍修改、統稿、定稿．本書的出版得到江蘇開放大學通識教育學院、教務處以及南京大學出版社的大力支持，在此謹表示衷心感謝．限於編者水平，加上時間倉促，書中難免有不當之處，敬請廣大師生和讀者批評指正．編者２０１７年３月目錄第一章函數、極限與連續案例與練習………………………………………………………１函數、極限與連續（練習一）………………………………………………………………８函數、極限與連續（練習二）………………………………………………………………１０函數、極限與連續（練習三）………………………………………………………………１２函數、極限與連續測試題…………………………………………………………………１４第二章一元函數微分學及應用案例與練習………………………………………………１６一元函數微分學及應用（練習一）………………………………………………………２２一元函數微分學及應用（練習二）………………………………………………………２４一元函數微分學及應用（練習三）………………………………………………………２６一元函數微分學及應用（練習四）………………………………………………………２９一元函數微分學及應用（練習五）………………………………………………………３１一元函數微分學及應用測試題（一）……………………………………………………３３一元函數微分學及應用測試題（二）……………………………………………………３５第三章一元函數積分學及應用案例與練習………………………………………………３８一元函數積分學及應用（練習一）………………………………………………………４５一元函數積分學及應用（練習二）………………………………………………………４７一元函數積分學及應用（練習三）………………………………………………………４９一元函數積分學及應用（練習四）………………………………………………………５２一元函數積分學及應用（練習五）………………………………………………………５４一元函數積分學及應用測試題（一）……………………………………………………５６一元函數積分學及應用測試題（二）……………………………………………………５８第四章常微分方程案例與練習……………………………………………………………６０常微分方程（練習一）……………………………………………………………………６７常微分方程（練習二）……………………………………………………………………６９常微分方程測試題………………………………………………………………………７１第五章無窮級數案例與練習………………………………………………………………７３無窮級數（練習一）………………………………………………………………………７７無窮級數（練習二）………………………………………………………………………７９無窮級數測試題…………………………………………………………………………８１第六章傅裏葉級數與積分變換案例與練習………………………………………………８３傅裏葉級數與積分變換（練習一）………………………………………………………８９１傅裏葉級數與積分變換（練習二）………………………………………………………９１傅裏葉級數與積分變換（練習三）………………………………………………………９３傅裏葉級數與積分變換（練習四）………………………………………………………９５傅裏葉級數與積分變換測試題…………………………………………………………９７第七章向量代數與空間解析幾何案例與練習……………………………………………１００向量代數與空間解析幾何（練習一）……………………………………………………１０５向量代數與空間解析幾何（練習二）……………………………………………………１０７向量代數與空間解析幾何測試題………………………………………………………１０９第八章多元函數微分學及應用案例與練習………………………………………………１１１多元函數微分學及應用（練習一）………………………………………………………１１６多元函數微分學及應用（練習二）………………………………………………………１１８多元函數微分學及應用測試題…………………………………………………………１２０第九章多元函數積分學及應用案例與練習………………………………………………１２３多元函數積分學及應用（練習一）………………………………………………………１２７多元函數積分學及應用（練習二）………………………………………………………１２９多元函數積分學及應用測試題…………………………………………………………１３２第十章線性代數初步案例與練習…………………………………………………………１３５線性代數初步（練習一）…………………………………………………………………１４２線性代數初步（練習二）…………………………………………………………………１４５線性代數初步（練習三）…………………………………………………………………１４７線性代數初步（練習四）…………………………………………………………………１５０線性代數初步測試題……………………………………………………………………１５２第十一章概率論與數理統計初步案例與練習……………………………………………１５５概率論與數理統計初步（練習一）………………………………………………………１６３概率論與數理統計初步（練習二）………………………………………………………１６６概率論與數理統計初步（練習三）………………………………………………………１６９概率論與數理統計初步（練習四）………………………………………………………１７２概率論與數理統計初步測試題…………………………………………………………１７５第十二章圖論初步案例與練習……………………………………………………………１７８圖論初步（練習一）………………………………………………………………………１８４圖論初步（練習二）………………………………………………………………………１８６圖論初步測試題…………………………………………………………………………１８８參考答案………………………………………………………………………………………１９１參考文獻………………………………………………………………………………………２０６２第一章函數、極限與連續案例與練習本章的內容主要是函數、極限與連續．函數部分的基本內容：函數概念，基本初等函數，反函數，複合函數，分段表示的函數，初等函數．極限部分的基本內容：數列極限、函數極限、左右極限，無窮小量與無窮大量，無窮小量的性質和無窮小量的比較，極限的四則運算，兩個重要極限．連續部分的基本內容：函數在一點連續，左右連續，連續函數，間斷點及其分類，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質．為了幫助大家更好地理解、掌握和應用這些內容，我們編寫了下麵的案例與練習．案例１．１［水池注水問題］某工廠有一水池，其容積為１００立方米，原有水１０立方米，現在每分鍾注入０．５立方米的水，試將池中的水的體積表示為時間ｔ的函數，並問需多少分鍾水池才能灌滿？
１００－１０解：函數為ｙ＝１０＋０．５ｔ，水池灌滿的時間為ｔ＝＝１８０（分鍾）．０．５案例１．２［河麵上水流速度問題］在寬為２Ｒ的河麵上，任一點處的流速與該點到兩岸距離之積成正比．已知河道中心線處水的流速為ｖ０，求河麵上距河道中心線ｒ處水流的流速ｖ．解：在河麵上距河道中心線ｒ的點處，到兩岸的距離分別為Ｒ－ｒ和Ｒ＋ｒ（如圖１．１），根據題意可知，該點處的流速為ｖ（ｒ）＝ｋ（Ｒ－ｒ）（Ｒ＋ｒ）＝ｋ（Ｒ２－ｒ２）．因為在河道中心線處水的流速為ｖ０，即ｖ（０）＝ｖ０，由此可求得ｖ０ｋ＝．Ｒ２圖１．１代入上式可求得距河道中心線ｒ處水流的流速ｖ為ｒ２ｖ（ｒ）＝ｖ０（１－），－Ｒ≤ｒ≤Ｒ．Ｒ２案例１．３［鋼珠測內徑問題］有一種測量中空工件內徑的方法，就是用半徑為Ｒ的鋼珠放在圓柱形內孔上，隻要測得了鋼珠頂點與工件端麵之間的距離為ｘ，就可以求出工件內孔的半徑ｙ．試求出ｙ與ｘ之間的函數表達式．這裏的工件端麵是指垂直於內孔圓柱麵中心軸的平麵．解：在圖１．２中，可以看出ＯＣ＝ＤＣ－ＤＯ＝ｘ－Ｒ．圖１．２根據勾股定理有１書工科數學案例與練習ｙ＝ＡＣ＝槡ＯＡ２－ＯＣ２＝槡Ｒ２－（ｘ－Ｒ）２＝槡２Ｒｘ－ｘ２．這裏函數的自然定義域是０≤ｘ≤２Ｒ，但是與實際意義不完全相符，所以應該按照實際意義重新確定其實際定義域是０＜ｘ＜２Ｒ．案例１．４［曲柄連杆驅動機構問題］如圖１．３所示是一個曲柄連杆驅動機構，其中曲柄ＯＡ長ｒ，連杆ＡＢ長ｌ（＞２ｒ）．當曲柄ＯＡ繞點Ｏ以勻角速度ω（弧度／秒）旋轉時，使連杆ＡＢ推動滑塊Ｂ沿直線ＰＱ來回滑動，求滑塊Ｂ的運動規律．解：以Ｏ為坐標原點，ＯＰＱ方向為正向建立坐標軸ｘ，則在時刻ｔ，有Ａ＝（ｒｃｏｓωｔ，ｒｓｉｎωｔ）．設Ｎ為點Ａ在ｘ軸上的投影，則ＯＮ＝ｒｃｏｓωｔ，ＡＮ＝ｒｓｉｎωｔ．於是得到滑塊Ｂ的運動規律為圖１．３ｘ＝ＯＮ＋ＮＢ＝ｒｃｏｓωｔ＋槡ｌ２－ｒ２ｓｉｎ２ωｔ．其定義域為ｔ∈［０，＋∞）．案例１．５［儲油罐尺寸問題］某煉油廠要建造一個容積為Ｖ０的圓柱形儲油罐，試建立表麵積和底半徑之間的函數關係．解：易知儲油罐的表麵積等於上下底麵（都是半徑為ｒ的圓）麵積及側麵（長為２πｒ，高為ｈ的矩形）麵積之和：Ｓ＝２πｒ２＋２πｒｈ．２又因為πｒｈ＝Ｖ０，所以我們得到表麵積和底半徑之間的函數關係為２Ｖ０Ｓ＝２πｒ２＋．ｒ其定義域為ｒ∈（０，＋∞）．案例１．６［波形函數］脈衝器產生一個單三角脈衝，其波形如圖１．４所示，電壓Ｕ與時間ｔ（ｔ≥０）的函數關係式為一分段函數，即２Ｅτ烄ｔ，ｔ∈０，，τ［２］Ｕ＝２Ｅτ烅－（ｔ－τ），ｔ∈，τ，τ２（］圖１．４烆０，ｔ∈（τ，＋∞）．案例１．７［話費問題］某市私人電話收費標準如下：月租２４元，如果通話超過６０次，則超過部分每次收費０．１元（假定每次通話時間不超過３分鍾）．（１）寫出月電話費ｙ（元）與通話次數ｘ之間的函數關係式；（２）某用戶兩個月通話次數分別為５０次和８０次，試求這兩個月的電話費．解：（１）當０≤ｘ≤６０時，ｙ＝２４；當ｘ＞６０時，超出部分（ｘ－６０）加收０．１（ｘ－６０）元，即ｙ＝２４＋０．１（ｘ－６０），於是ｙ與ｘ之間的函數關係式為２第一章函數、極限與連續案例與練習２４，０≤ｘ≤６０，ｘ∈Ｎ，ｙ＝｛２４＋０．１（ｘ－６０），ｘ＞６０，ｘ∈Ｎ．（２）當ｘ＝５０時，ｙ＝２４（元）．當ｘ＝８０時，ｙ＝２４＋０．１（８０－６０）＝２６（元）．案例１．８［郵資費用問題］國內信函（外埠）郵資標準如下：首重１００ｇ以內，每重２０ｇ（不足２０ｇ按２０ｇ計算）郵資０．８０元，續重１０１～２０００ｇ，每重１００ｇ（不足１００ｇ按１００ｇ計算）郵資２．００元．試建立郵資和信件重量ｍ之間的函數關係式，並求信件重量為６０ｇ時的郵資．解：ｍｍｍ烄０．８＋ｓｇｎ－，０＜ｍ≤１００，｛［２０］（２０［２０］）｝Ｆ（ｍ）＝烅ｍ－１００ｍ－１００ｍ－１００４＋２．００＋ｓｇｎ－，１００＜ｍ≤２０００．烆｛［１００］（１００［１００］）｝這個函數的定義域是（０，２０００］，值域是｛Ｆ｜０．８，１．６，２．４，３．２，４，６，８，１０，…，４０，４２｝．其，，烄－１ｘ＜０中，符號［ｘ］表示不超過ｘ的最大整數，又稱為取整函數；其中ｓｇｎｘ＝烅０，ｘ＝０，稱為符烆１，ｘ＞０號函數．６０６０６０當信件重量為６０ｇ時，Ｆ（６０）＝０．８＋ｓｇｎ－｛［２０］（２０［２０］）｝６０＝０．８＋０＝０．８（３＋０）＝２．４（元）．｛［２０］｝案例１．９［生產成本問題］已知生產ｘ對汽車擋泥板的成本是Ｃ（ｘ）＝１００＋槡１＋６ｘ２Ｃ（ｘ）（元），則每對的平均成本為．當產品產量很大時，求每對汽車擋泥板的大致成本．ｘ解：當產品產量很大時，每對的大致成本是（）２Ｃｘ１００＋槡１＋６ｘ１００１（／）ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＋２＋６＝槡６元對．ｘ→＋∞ｘｘ→＋∞ｘｘ→＋∞（ｘ槡ｘ）案例１．１０［產品價格預測］設一產品的價格滿足Ｐ（ｔ）＝２０－２０ｅ－０．５ｔ（單位：元），隨著時間的推移，產品價格會隨之變化，請你對該產品的長期價格做一預測．解：下麵通過求產品價格在ｔ→＋∞時的極限來分析該產品的長期價格．ｌｉｍＰ（ｔ）＝ｌｉｍ（２０－２０ｅ－０．５ｔ）＝ｌｉｍ２０－ｌｉｍ２０ｅ－０．５ｔｔ→＋∞ｔ→＋∞ｔ→＋∞ｔ→＋∞＝ｌｉｍ２０－２０ｌｉｍｅ－０．５ｔ＝２０－０＝２０（元）．ｔ→＋∞ｔ→＋∞即該產品的長期價格為２０元．案例１．１１［遊戲銷售］當推出一種新的電子遊戲程序時，在短期內銷售量會迅速增加，２００ｔ然後開始下降，其函數關係為ｓ（ｔ）＝，ｔ為月份．（１）請計算遊戲推出後第６個月、第ｔ２＋１００１２個月和第三年的銷售量．（２）如果要對該產品的長期銷售做出預測，請建立相應的表達式．３工科數學案例與練習２００×６１２００解：（１）ｓ（６）＝＝≈８．８２３５，６２＋１００１３６２００×１２２４００ｓ（１２）＝＝≈９．８３６１，１２２＋１００２４４２００×３６ｓ（３６）＝≈５．１５７６．３６２＋１００（２）從上麵的數據可以看出，隨著時間的推移，該產品的長期銷售應為時間ｔ→＋∞時２００ｔ２００的銷售量，即ｌｉｍ２＝ｌｉｍ＝０．ｔ→＋∞ｔ＋１００ｔ→＋∞１００ｔ＋ｔ上式說明當時間ｔ→＋∞時，銷售量的極限為０，即人們購買此遊戲的數量會越來越少，從而轉向購買新的遊戲．案例１．１２［細菌培養］已知在時刻ｔ（單位：ｍｉｎ），容器中細菌的個數為ｙ＝１０４×２ｋｔ．（１）若經過３０ｍｉｎ，細菌的個數增加一倍，求ｋ值；（２）預測ｔ→＋∞時容器中細菌的個數．解：（１）因為時刻ｔ容器中細菌的個數為ｙ＝１０４×２ｋｔ，所以經過３０分鍾，即ｔ＋３０時細菌的個數為１０４×２ｋ（ｔ＋３０）．由題意知１０４×２ｋ（ｔ＋３０）＝２×１０４×２ｋｔ，１解之，得ｋ＝．３０４１ｔ４１ｔ（２）ｌｉｍ１０×２３０＝１０×ｌｉｍ２３０＝＋∞．ｔ→＋∞ｔ→＋∞由此可知，當時間無限增大時，容器中的細菌個數也無限增大．案例１．１３［獎勵基金問題］建立一項獎勵基金，每年年終發放一次，資金總額為１０萬元．若以年複利率５％計算，試求若獎金發放永遠繼續下去，即獎金發放年數ｎ→＋∞（此時，稱永續性獎金，如諾貝爾獎金），基金Ｐ應為多少？
解：若每年年終獎金為Ａ，則第１年至第ｎ年末獎金Ａ的現值Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ分別為ＡＡＡＡ，，，…，（ｒ為年利率），顯然Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ構成一個公比為（１＋ｒ）（１＋ｒ）２（１＋ｒ）３（１＋ｒ）ｎ１的等比數列，所以前ｎ年獎金的現值之和為１＋ｒＡＡＡＡＰ＝＋＋＋…＋（１＋ｒ）（１＋ｒ）２（１＋ｒ）３（１＋ｒ）ｎ１ｎ１－Ａ１＋ｒ＝·（）１＋ｒ１（）１－１＋ｒＡ１＝·１－．ｒ［（１＋ｒ）ｎ］當獎金的年數永遠繼續，即ｎ→＋∞，上述公式中令ｎ→＋∞，有Ａ１Ａｌｉｍ·１－ｎ＝，ｎ→＋∞ｒ［（１＋ｒ）］ｒ則永續性獎金的現值為Ａ１０Ｐ＝＝＝２００（萬元）．ｒ０．０５４第一章函數、極限與連續案例與練習案例１．１４［矩形波分析］對於如下的矩形波函數：０，－π≤ｘ＜０，ｆ（ｘ）＝其中Ａ≠０．｛Ａ，０≤ｘ＜π，試討論在ｘ＝０處的極限．解：因為ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍ０＝０，ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｌｉｍＡ＝Ａ，ｘ→０－ｘ→０－ｘ→０＋ｘ→０＋所以ｌｉｍｆ（ｘ）＝０≠Ａ＝ｌｉｍｆ（ｘ），ｘ→０－ｘ→０＋所以，此函數在ｘ＝０處的極限不存在．案例１．１５［電流分析］在一個電路中的電荷量Ｑ由下式定義：烄Ｃ，ｔ≤０，Ｑ＝烅－ｔ烆ＣｅＲＣ，ｔ＞０，其中Ｃ、Ｒ為正的常數值．分析電荷量Ｑ在時間ｔ→０時的極限．－ｔ解：因為ｌｉｍＱ＝ｌｉｍＣ＝Ｃ，ｌｉｍＱ＝ｌｉｍＣｅＲＣ＝Ｃ，ｔ→０－ｔ→０－ｔ→０＋ｔ→０＋所以ｌｉｍＱ＝Ｃ＝ｌｉｍＱ，ｔ→０－ｔ→０＋所以ｌｉｍＱ＝Ｃ．ｔ→０案例１．１６［電勢函數］分布於ｙ軸上一點電荷的電勢φ，由以下公式定義：２２烄２πσ（槡ｙ＋ａ－ｙ），ｙ＜０，φ＝烅烆２πσ（槡ｙ２＋ａ２＋ｙ），ｙ≥０，其中σ和ａ都是正的常數．問φ在ｙ＝０處連續嗎？
解：因為ｌｉｍ（ｙ）＝ｌｉｍ２πσ（槡ｙ２＋ａ２－ｙ）＝２πσａ，ｌｉｍ（ｙ）＝ｌｉｍ２πσ（槡ｙ２＋ａ２＋ｙ）＝－φ－＋φ＋ｙ→０ｙ→０ｙ→０ｙ→０２πσａ，φ（０）＝２πσａ．所以ｌｉｍ（ｙ）＝ｌｉｍ（ｙ）＝（０），－φ＋φφｙ→０ｙ→０所以，此函數在ｙ＝０處連續．案例１．１７［運費問題］某運輸公司規定貨物的運費如下：在ａ公裏以內，每噸公裏ｋ元；４超過ａ公裏，超過部分每噸公裏為ｋ元．討論運費ｍ在裏程ａ處的連續性．５解：根據題意可列出分段函數如下：ｋｓ，０ｓａ，烄＜≤ｍ＝４烅ｋａ＋ｋ（ｓ－ａ），ｓ＞ａ．烆５４因為ｌｉｍｍ（ｓ）＝ｌｉｍ（ｋｓ）＝ｋａ，ｌｉｍｍ（ｓ）＝ｌｉｍ［ｋａ＋ｋ（ｓ－ａ）］＝ｋａ，ｍ（ａ）＝ｋａ，－－＋＋ｓ→ａｓ→ａｓ→ａｓ→ａ５所以ｌｉｍｍ（ｓ）＝ｌｉｍｍ（ｓ）＝ｍ（ａ），－＋ｓ→ａｓ→ａ所以，運費ｍ在裏程ａ處是連續的．案例１．１８［停車場收費］一個停車場第一個小時（或不到一小時）收費３元，以後每小時（或不到整時）收費２元，每天最多收費１０元．討論此函數在ｔ時的連續性以及此函數的間斷點，並說明其實際意義．５工科數學案例與練習解：設停車場第ｔ小時的收費為ｙ，則，，烄３０＜ｔ≤１５，１＜ｔ≤２，ｙ＝烅７，２＜ｔ≤３，９，３＜ｔ≤４，烆１０，４＜ｔ≤２４．因為ｌｉｍｙ＝７，ｌｉｍｙ＝５，ｔ→２＋ｔ→２－所以ｌｉｍｙ不存在，即函數在ｔ＝２處不連續．ｔ→２同理，此函數在ｔ＝１，２，３，４處間斷．實際意義：由於超過整時後，收費價格會突然增加，因此，在停車時，為節省費用，應盡量控製在整時之內；由於一天的停車費最高價格不超過１０元，因此，超過４小時後，可以不急於取車．案例１．１９［四腳方椅的穩定問題］眾所周知，三條腿的椅子總是能穩定著地的，但四條腿的椅子，在起伏不平的地麵上能不能也讓它四腳同時著地呢？
解：假設地麵是一個連續的曲麵，即沿任意方向地麵的高度不會出現間斷，即地麵沒有台階或裂口等情況．假定椅子是正方形的，它的四條腿長都相等，並記椅子的四腳分別為Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，正方形ＡＢＣＤ的中心點為Ｏ，以Ｏ為原點建立坐標係如圖１．５所示．當我們將椅子繞Ｏ點轉動時，用對角線ＡＣ與ｘ軸的夾角θ來表示椅子的位置．記Ａ，Ｃ兩腳與地麵距離之和為ｆ（θ），Ｂ，Ｄ兩腳與地麵圖距離之和為ｇ（θ）．容易知道，它的四腳能同時著地的充要條１．５件是ｆ（θ）＝ｇ（θ）．當然此時這個正方形平麵不一定與水平麵平行．另一方麵，根據正方形具有的旋轉對稱性可知，對於任意的θ，有ππθ＋＝（θ），θ＋＝（θ）．ｆ（２）ｇｇ（２）ｆπ作輔助函數（θ）＝（θ）－（θ），則函數（θ）在區間０，上連續，且有φｆｇφ［２］πππ（０）＝［（０）－（０）］－＝［（０）－（０）］［（０）－（０）］φφ（２）ｆｇ［ｆ（２）ｇ（２）］ｆｇｇｆ＝－［ｆ（０）－ｇ（０）］２≤０．π根據閉區間上連續函數的零點定理可知，一定存在∈０，，使得（）＝０，即ｆ（）＝ξ［２］φξξｇ（ξ），這就說明隻要轉動適當的角度，總能使四條腿的椅子穩定地著地．案例１．２０［鐵絲溫度問題］有一圓形鐵絲，上麵有連續變化著的溫度，試證明總存在某條直徑，其兩端點處的溫度相等．解：設該圓的半徑為Ｒ，以該圓的中心Ｏ為坐標原點，建立坐標係如圖１．６所示，得到該圓以圓心角ｔ為參數的參數方程為６第一章函數、極限與連續案例與練習ｘ＝Ｒｃｏｓｔ，ｙ＝Ｒｓｉｎｔ，０≤ｔ≤２π．根據題意條件可知，該圓上Ｐ＝（Ｒｃｏｓｔ，Ｒｓｉｎｔ）點處的溫度ｆ（ｔ）是閉區間［０，２π］上的連續函數，且有ｆ（０）＝ｆ（２π）．由於任一條直徑兩端點所對應的參數正好相差π，所以我們的目標就是要證明：存在一點ξ∈［０，π］，使ｆ（ξ）＝ｆ（ξ＋π）．作輔助函數φ（ｔ）＝ｆ（ｔ）－ｆ（ｔ＋π），顯然函數φ（ｔ）在區間圖［０，π］上連續，且１．６φ（０）φ（π）＝［ｆ（０）－ｆ（π）］［ｆ（π）－ｆ（２π）］＝［ｆ（０）－ｆ（π）］［ｆ（π）－ｆ（０）］＝－［ｆ（０）－ｆ（π）］２≤０．根據閉區間上連續函數的零點定理可知，一定存在ξ∈［０，π］，使得φ（ξ）＝０，即ｆ（ξ）＝ｆ（ξ＋π），這就得到了所需證明的結論．７工科數學案例與練習姓名班級學號函數、極限與連續（練習一）一、填空題（每小題４分，共２０分）１１．函數ｆ（ｘ）＝的定義域是．槡５－ｘ２．設ｆ（ｘ－１）＝ｘ２－２ｘ，則ｆ（ｘ）＝．ｘ＋２３．函數ｙ＝的反函數是．ｘ－２４．曲線ｙ＝ｘｃｏｓｘ關於對稱．ｘ２＋２，ｘ≤０，５．設ｆ（ｘ）＝則ｆ（０）＝．｛ｅｘ，ｘ＞０，二、單選題（每小題４分，共２０分）１．設函數ｙ＝ｘ２ｓｉｎｘ，則該函數是（）．Ａ．奇函數Ｂ．偶函數Ｃ．非奇非偶函數Ｄ．既奇又偶函數２ｘ＋２－ｘ２．函數ｆ（ｘ）＝ｘ的圖形是關於（）對稱．２Ａ．ｙ＝ｘＢ．ｘ軸Ｃ．ｙ軸Ｄ．坐標原點３．設ｆ（ｘ＋１）＝ｘ２－１，則ｆ（ｘ）＝（）．Ａ．ｘ（ｘ＋１）Ｂ．ｘ２Ｃ．ｘ（ｘ－２）Ｄ．（ｘ＋２）（ｘ－１）４．已知ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，ｇ（ｘ）＝ｘ２，則複合函數ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）．Ａ．２ｌｎｘＢ．ｌｎｘ２Ｃ．ｌｎ２ｘＤ．（ｌｎ｜ｘ｜）２５．下列各函數對中，（）中的兩個函數相等．Ａ．ｆ（ｘ）＝（槡ｘ）２，ｇ（ｘ）＝ｘＢ．ｆ（ｘ）＝槡ｘ２，ｇ（ｘ）＝ｘＣ．ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ２，ｇ（ｘ）＝２ｌｎｘＤ．ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ３，ｇ（ｘ）＝３ｌｎｘ三、分解下列各複合函數（每小題５分，共３０分）２１．ｙ＝ｓｉｎ２ｘ．２．ｙ＝ｅ（２ｘ＋１）．８第一章函數、極限與連續案例與練習ｘ２＋１３．ｙ＝槡ｌｎ槡ｘ．４．ｙ＝ｃｏｓ２．槡ｘ－１２５．ｙ＝ｌｎ［ｔａｎ（ｘ２＋１）２］．６．ｙ＝３ｃｏｓｘ．四、應用題（每小題１５分，共３０分）２，，烄ｘ０≤ｘ＜１１．已知函數ｆ（ｘ）＝烅１，１≤ｘ＜２，烆４－ｘ，２≤ｘ≤４．（１）作函數ｆ（ｘ）的圖形，並寫出其定義域；（２）求ｆ（０），ｆ（１．２），ｆ（３），ｆ（４）．２．要設計一個容積為Ｖ＝２０πｍ３的有蓋圓柱形貯油桶，已知桶蓋單位麵積造價是側麵的一半，而側麵單位麵積造價又是底麵的一半．設桶蓋造價為ａ（單位：元／ｍ２），試把貯油桶總造價ｐ表示為貯油桶半徑ｒ的函數．９工科數學案例與練習姓名班級學號函數、極限與連續（練習二）一、填空題（每小題４分，共２０分）（－１）ｎ１．ｌｉｍ４＋２＝．ｎ→＋∞［ｎ］２．ｌｉｍｃｏｓｘ＝，ｌｉｍｃｏｓｘ＝．ｘ→０ｘ→∞ｘ２－ｘ＋ｋ３．已知極限ｌｉｍ＝３，則ｋ＝．ｘ→２ｘ－２１４．ｌｉｍｘｓｉｎ＝．ｘ→∞ｘｋ２ｘ５．若ｌｉｍ１＋＝ｅ，則ｋ＝．ｘ→∞（ｘ）二、單選題（每小題４分，共２０分）１．當ｎ→＋∞時，下列數列極限存在的是（）．ｎ＋１Ａ．（－１）ｎ·ｎＢ．Ｃ．２ｎＤ．ｓｉｎｎｎ｜ｘ｜＋１，ｘ≠０，２．設ｆ（ｘ）＝則ｌｉｍｆ（ｘ）的值為（）．｛２，ｘ＝０，ｘ→０Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．不存在３．ｌｉｍｆ（ｘ）和ｌｉｍｆ（ｘ）都存在是函數ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０有極限的（）．－＋ｘ→ｘ０ｘ→ｘ０Ａ．充分條件Ｂ．必要條件Ｃ．充分必要條件Ｄ．無關條件４．當ｘ→０時，下列變量中為無窮小量的是（）．１ｓｉｎｘｘＡ．Ｂ．Ｃ．ｌｎ（１＋ｘ）Ｄ．ｘｘｘ２５．下列各式中正確的是（）．１ｘ１－ｘＡ．ｌｉｍ１－＝ｅＢ．ｌｉｍ１＋＝ｅｘ→∞（ｘ）ｘ→∞（ｘ）１１Ｃ．ｌｉｍ（１＋ｘ）－ｘ＝ｅＤ．ｌｉｍ（１＋ｘ）ｘ＝ｅｘ→０ｘ→０三、求下列極限（每小題５分，共３０分）ｘ２－３ｘ＋２（３ｘ＋６）７（８ｘ－５）３１．ｌｉｍ２．２．ｌｉｍ１０．ｘ→２ｘ－４ｘ→＋∞（５ｘ－１）１０第一章函數、極限與連續案例與練習ｘ２－６ｘ＋８ｓｉｎ４ｘ３．ｌｉｍ３．４．ｌｉｍ．ｘ→∞ｘ－５ｘ＋６ｘ→０槡ｘ＋４－２ｘ＋１２ｘ５．ｌｉｍ．６．ｌｉｍ（１＋ｃｏｓｘ）２ｓｅｃｘ．ｘ→∞π（ｘ－２）ｘ→２四、解答題（每小題１５分，共３０分）ｅｘ＋１，ｘ＞０，１．設函數ｆ（ｘ）＝要使極限ｌｉｍｆ（ｘ）存在，ｂ應取何值？
｛２ｘ＋ｂ，ｘ≤０，ｘ→０＋２π２．設ｘ→０時，ｓｉｎ槡ｘ和ｃｏｓ（１－ｘ）哪一個與ｘ為同階無窮小？哪一個是比ｘ低π２階的無窮小？是否有ｘ的等價無窮小？
１１工科數學案例與練習姓名班級學號函數、極限與連續（練習三）一、填空題（每小題４分，共２０分）１烄ｘｓｉｎ２，ｘ＞０，ｘ１．設ｆ（ｘ）＝烅在點ｘ＝０處連續，則ａ＝．烆ａ＋ｘ２，ｘ≤０ｘ２－１烄，ｘ≠１，ｘ－１２．設ｆ（ｘ）＝烅在（－∞，＋∞）內連續，則ｂ＝．烆ｂ，ｘ＝１１３．函數ｙ＝的間斷點是．１－ｅｘｘ２－２ｘ－３４．函數ｙ＝的間斷點是．ｘ＋１槡ｘ＋２５．函數ｙ＝的連續區間是．（ｘ＋１）（ｘ－４）二、單選題（每小題４分，共２０分）ｘ２＋１，ｘ≠０，１．當ｋ＝（）時，函數ｆ（ｘ）＝在ｘ＝０處連續．｛ｋ，ｘ＝０Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．－１２．函數ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０處有定義是ｆ（ｘ）在ｘ０處連續的（）．Ａ．充分條件Ｂ．必要條件Ｃ．充分必要條件Ｄ．無關條件１，ｘ≥０，３．函數ｆ（ｘ）＝在ｘ＝０處（）．｛－１，ｘ＜０Ａ．左連續Ｂ．右連續Ｃ．連續Ｄ．左右皆不連續ｘ－３４．函數ｆ（ｘ）＝的間斷點是（）．ｘ２－３ｘ＋２Ａ．ｘ＝１，ｘ＝２Ｂ．ｘ＝３Ｃ．ｘ＝１，ｘ＝２，ｘ＝３Ｄ．無間斷點５．方程ｘ３＋２ｘ２－ｘ－２＝０在（－３，２）內（）．Ａ．恰有一個實根Ｂ．恰有兩個實根Ｃ．至少有一個實根Ｄ．無實根三、求下列極限（每小題６分，共３０分）ｓｉｎｘ１．ｌｉｍ槡ｘ３－３ｘ＋１．２．ｌｉｍｌｎ．ｘ→０ｘ→０ｘ１２第一章函數、極限與連續案例與練習ｘ－４ｔａｎ（ｘ－１）３．ｌｉｍ．４．ｌｉｍ２．ｘ→４槡２ｘ＋１－３ｘ→１ｘ＋ｘ－２ｓｉｎ２ｘｅｘ５．ｌｉｍ＋．ｘ→０（ｘｘ＋１）四、計算題（每小題１５分，共３０分）ａ（１－ｃｏｓｘ）烄，ｘ＜０，ｘ２１．設函數ｆ（ｘ）＝在ｘ＝０處連續，求ａ，ｂ的值．烅１，ｘ＝０，烆ｌｎ（ｂ＋ｘ），ｘ＞０ｘ２－１２．討論函數ｙ＝的連續性，若有間斷點，指出其間斷點的類型．ｘ２－３ｘ＋２１３工科數學案例與練習函數、極限與連續測試題一、填空題（每小題４分，共２０分）１１１．設ｆ１＋＝１＋，則ｆ（ｘ）＝．（ｘ）ｘ２ｘ－１１２．函數ｙ＝ａｒｃｓｉｎ－的定義域是．３槡ｘ＋１１ｘ２ｓｉｎｘ３．極限ｌｉｍ＝．ｘ→０ｓｉｎｘ１（１－ｘ）３ｘ，ｘ≠０，４．已知ｆ（ｘ）＝在點ｘ＝０連續，則ｋ＝．｛ｋ，ｘ＝０１５．函數ｙ＝１＋的間斷點是．１１＋ｘ二、單選題（每小題４分，共２０分）１．ｙ＝ｌｎ（ｘ＋槡ｘ２＋１）在其定義域（－∞，＋∞）內是（）．Ａ．奇函數Ｂ．偶函數Ｃ．非奇非偶函數Ｄ．周期函數２．下列各組函數中，表示同一個函數的是（）．１Ａ．ｙ＝ｌｎｘ２，ｙ＝２ｌｎｘＢ．ｙ＝ｌｎ槡ｘ，ｙ＝ｌｎｘ２１ｘ－１Ｃ．ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝槡１－ｓｉｎ２ｘＤ．ｙ＝，ｙ＝１＋ｘｘ２－１２ｘ３．極限ｌｉｍ＝（）．ｘ→０槡１－ｃｏｓ２ｘＡ．２Ｂ．－２Ｃ．０Ｄ．不存在ｘ（ｘ＋１）４．設ｆ（ｘ）＝，則當（）時ｆ（ｘ）是無窮小量．ｘ２－１Ａ．ｘ→０Ｂ．ｘ→１Ｃ．ｘ→－１Ｄ．ｘ→∞５．下列命題中正確的是（）．Ａ．若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內有定義，則ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內連續Ｂ．若極限ｌｉｍｆ（ｘ）存在，則ｆ（ｘ）在點ｘ０處連續ｘ→ｘ０Ｃ．若ｆ（ｘ）在ｘ０有定義，且ｌｉｍｆ（ｘ）存在，則ｆ（ｘ）在點ｘ０處連續ｘ→ｘ０Ｄ．若ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內每一點都連續，則ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內連續三、求下列極限（每小題６分，共３６分）（２ｘ＋１）１０（３ｘ－２）２０槡１＋ｃｏｓｘ１．ｌｉｍ３０．２．ｌｉｍ．＋ｘ→∞（２ｘ＋３）ｘ→πｓｉｎｘ１４第一章函數、極限與連續案例與練習ｘ３．ｌｉｍ．４．ｌｉｍ（槡ｘ（ｘ＋３）－槡ｘ２－４）．ｘ→０槡１＋ｓｉｎｘ－槡ｃｏｓｘｘ→＋∞－ｘｘ＋１ｘ１５．ｌｉｍ．６．ｌｉｍ槡１－３ｘ－ｘｓｉｎ２．ｘ→∞（ｘ－３）ｘ→０（ｘ）四、計算題（每小題１２分，共２４分）１．假設銀行一年定期的存款利率是２．２５％，利息的稅率是２０％．試建立一年整存整取的儲蓄金額和一年後本息的函數關係式，並給出其定義域．５ｅ２ｘ，ｘ＜０，２．設函數ｆ（ｘ）＝在ｘ＝０處連續，求ａ的值．｛３ｘ＋ａ，ｘ≥０１５第二章一元函數微分學及應用案例與練習本章的內容主要是導數、微分以及導數應用．導數部分的基本內容：導數的定義及幾何意義，函數連續與可導的關係，基本初等函數的導數，導數的四則運算法則，反函數求導法則，複合函數求導法則，隱函數求導法則，對數求導法舉例，用參數表示的函數的求導法則，高階導數．微分部分的基本內容：微分的概念與運算，微分基本公式表，微分法則，一階微分形式的不變性，微分在近似計算中的應用．導數應用部分的基本內容：用洛必達法則求“０”、“∞”型等未定式極限，函數的單調０∞性判別法，函數的極值及其求法，曲線的凹凸性及其判別法，拐點及其求法，水平與垂直漸近線，最大值、最小值問題，弧微分．為了幫助大家更好地理解、掌握和應用這些內容，我們編寫了下麵的案例與練習．ｄｙ案例２．１［導數是研究變化率的數學模型］函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處的導數｜ｘ＝ｘ＝ｄｔ０ｄｓｆ′（ｘ０）表示因變量ｙ在點ｘ０處隨自變量ｘ變化的快慢程度．例如：在力學中，表示物ｄｔｔ＝ｔ０ｄｙ體在ｔ０時刻運動的瞬時速度；在幾何中，表示曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ０處縱坐標ｙ隨橫ｄｘｘ＝ｘ０ｄｑ坐標ｘ變化的快慢程度，即曲線在點（ｘ０，ｆ（ｘ０））處切線的傾斜程度；在電學中，表示ｄｔｔ＝ｔ０電路中某點處的電流ｉ，即通過該點處的電量ｑ關於時間ｔ的瞬時變化率．由此可見，導數是研究變量在某一點或某一時刻的變化率的數學模型．有時說，導數是平均變化率的極限，這是從計算的角度揭示求因變量的瞬時變化率的計算方法問題．案例２．２［微分是解決局部估值問題的數學模型］當函數ｙ＝ｆ（ｘ）在點ｘ處的局部改變量Δｙ可以表示成線性主部ＡΔｘ與高階無窮小ｏ（Δｘ）之和的形式時，即Δｙ＝ＡΔｘ＋ｏ（Δｘ）＝ｄｙ＋ｏ（Δｘ），則Δｙ－ｄｙ＝ｏ（Δｘ），於是Δｙ≈ｄｙ＝ｆ′（ｘ）Δｘ．這表明用ｄｙ＝ｆ′（ｘ）Δｘ來估計Δｙ的值，其誤差不過是關於Δｘ的高階無窮小，可忽略不計．因為對於較複雜的函數，求其差值Δｙ＝ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）不是一件容易的事情，而微分ｄｙ是關於Δｘ的線性函數，比較容易計算．這樣將求函數增量Δｙ的問題化繁為簡，其誤差也很小，通過ｄｙ可以滿意地對局部改變量Δｙ作出估計，所以說微分是解決局部估值問題的數學模型．案例２．３［細菌繁殖速度］據測定，某種細菌的個數ｙ隨時間ｔ（天）的繁殖規律為ｙ＝４００ｅ０．１７ｔ，求：（１）開始時的細菌個數；（２）第５天的繁殖速度．解：（１）由ｙ＝４００ｅ０．１７ｔ可知，當ｔ＝０時，ｙ＝４００，所以開始時的細菌個數為４００個．（２）因為ｙ′＝０．１７×４００×ｅ０．１７ｔ，所以第５天的繁殖速度為１６第二章一元函數微分學及應用案例與練習０．１７×５ｙ′｜ｔ＝５＝０．１７×４００×ｅ≈１５９（個／天）．案例２．４［人口增長率］《全球２０００年報告》指出世界人口在１９７５年為４１億，並以每年ｄＰｄＰｄＰ２％的相對比率增長．若用Ｐ表示自１９７５年以來的人口數，求，，，它們的ｄｔｄｔｔ＝０ｄｔｔ＝１５實際意義分別是什麼？
ｄＰＰ（ｔ＋Δｔ）－Ｐ（ｔ）解：＝ｌｉｍ＝２％Ｐ（ｔ），實際意義是從１９７５年開始，世界人口以每年ｄｔΔｔ→０Δｔ２％的相對比率增長．ｄＰ＝２％Ｐ（０）＝２％×４１＝０．８２，實際意義是１９７６年的世界人口比１９７５年增長ｄｔｔ＝００．８２億．ｄＰ＝２％Ｐ（１５）＝２％×４１×（１＋２％）１５≈１．１０，實際意義是１９９１年的世界人口比ｄｔｔ＝１５１９９０年增長１．１０億．１１案例２．５［並聯電阻］當電流通過兩個並聯電阻ｒ１，ｒ２時，總電阻由下式給出＝＋Ｒｒ１１，求Ｒ對ｒ１的變化率．假定ｒ２是常量．ｒ２１１１ｒ１ｒ２解：由＝＋知，Ｒ＝，所以Ｒ對ｒ１的變化率為Ｒｒ１ｒ２ｒ１＋ｒ２２ｄＲｄｒ１ｒ２ｒ２（ｒ１＋ｒ２）－ｒ１ｒ２ｒ２＝＝２＝２．ｄｒ１ｄｒ１（ｒ１＋ｒ２）（ｒ１＋ｒ２）（ｒ１＋ｒ２）案例２．６［放射物的衰減］放射性元素碳１４（１ｇ）的衰減由下式給出：Ｑ＝ｅ－０．０００１２１ｔ，其中Ｑ是ｔ年後碳１４存餘的數量．問碳１４的衰減速度ｖ是多少？
ｄＱ解：ｖ＝＝（ｅ－０．０００１２１ｔ′）＝ｅ－０．０００１２１ｔ（－０．０００１２１ｔ′）＝－０．０００１２１ｅ－０．０００１２１ｔ．ｄｔ案例２．７［鋼棒長度的變化率］假設某鋼棒的長度Ｌ（單位：ｃｍ）取決於氣溫Ｈ（單位：℃），而氣溫Ｈ又取決於時間ｔ（單位：ｈ），如果氣溫每升高１℃，鋼棒長度增加２ｃｍ，而每隔１小時，氣溫上升３℃，問鋼棒長度關於時間的增加有多快？
ｄＬｄＨ解：由題意得＝２ｃｍ／℃，＝３℃／ｈ，ｄＨｄｔｄＬｄＬｄＨ所以＝·＝２×３＝６ｃｍ／ｈ．ｄｔｄＨｄｔ案例２．８［刹車測試］在測試一汽車的刹車性能時發現，刹車後汽車行駛的距離ｓ（單位：ｍ）與時間ｔ（單位：ｓ）滿足ｓ＝１９．２ｔ－０．４ｔ３．假設汽車做直線運動，求汽車在ｔ＝４ｓ時的速度和加速度．ｄｓｄｖ解：ｖ＝＝（１９．２ｔ－０．４ｔ３）′＝１９．２－１．２ｔ２，ａ＝＝（１９．２－１．２ｔ２）′＝－２．４ｔ．ｄｔｄｔ２－２當ｔ＝４ｓ時，ｖ＝（１９．２－１．２ｔ）｜ｔ＝４＝０，ａ＝－２．４ｔ｜ｔ＝４＝－９．６（ｍ·ｓ）．案例２．９［金屬立體受熱後體積的改變量］某一正立方形金屬體的邊長為２ｍ，當金屬受熱邊長增加０．０１ｍ時，體積的微分是多少？體積的改變量又是多少？
解：ｄＶ＝（ｘ３）′ｄｘ＝３ｘ２ｄｘ＝３ｘ２Δｘ，ｘ＝２．１７工科數學案例與練習２３３３ｄＶ｜ｘ＝２，Δｘ＝０．０１＝３×２×０．０１＝０．１２，ΔＶ｜ｘ＝２，Δｘ＝０．０１＝２．０１－２＝０．０１２００６（ｍ）．所以，ｄＶ｜ｘ＝２，Δｘ＝０．０１≈ΔＶ｜ｘ＝２，Δｘ＝０．０１．案例２．１０［鍾表誤差］一機械掛鍾的鍾擺的周期為１ｓ，在冬季，擺長因熱脹冷縮而縮短ｌ了０．０１ｃｍ．已知單擺的周期為Ｔ＝２π，其中ｇ＝９８０ｃｍ／ｓ２，問這隻鍾每秒大約快還是槡ｇ慢多少？
ｌｇ解：由１＝２π知，ｌ＝．槡ｇ（２π）２ｄＴ１ｇ因為ΔＴ≈ｄＴ＝Δｌ＝πΔｌ，又ｌ＝，ｄｌ槡ｇｌ（２π）２２π２２π２所以ΔＴ≈ｄＴ＝Δｌ＝×（－０．０１）≈－０．０００２（ｓ）．ｇｇ案例２．１１［代數方程根的判別］已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－２）（ｘ－４）（ｘ－６），不求導數，試判定方程ｆ′（ｘ）＝０有幾個實根？各在什麼範圍內？
解：ｆ′（ｘ）＝０是二次方程，至多有兩個實根．又因為ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上連續、可導，且ｆ（２）＝ｆ（４）＝ｆ（６）＝０，對ｆ（ｘ）分別在區間［２，４］和［４，６］上使用羅爾中值定理，得到存在ξ∈（２，４），η∈（４，６），使得ｆ′（ξ）＝０，ｆ′（η）＝０，所以ｆ′（ｘ）＝０有兩個實根，分別在（２，４）和（４，６）內．案例２．１２［用羅必達法則計算極限］求下列極限：ｘ－ａｒｃｔａｎｘｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘ（１）ｌｉｍｘ２；（２）ｌｉｍ２．ｘ→０（ｅ－１）·ｓｉｎｘｘ→０ｘ·ｌｎ（１＋ｘ）解：（１）當ｘ→０時，ｅｘ－１～ｘ，ｓｉｎｘ２～ｘ２，所以ｘ－ａｒｃｔａｎｘｘ－ａｒｃｔａｎｘｘ－ａｒｃｔａｎｘｌｉｍｘ２＝ｌｉｍ２＝ｌｉｍ３ｘ→０（ｅ－１）·ｓｉｎｘｘ→０ｘ·ｘｘ→０ｘ１１－１＋ｘ２１１＝ｌｉｍ２＝ｌｉｍ２＝．ｘ→０３ｘｘ→０３（１＋ｘ）３（２）當ｘ→０時，ｌｎ（１＋ｘ）～ｘ，所以ｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘｅｘ＋ｅ－ｘ－２ｌｉｍ２＝ｌｉｍ２＝ｌｉｍ２ｘ→０ｘ·ｌｎ（１＋ｘ）ｘ→０ｘ·ｘｘ→０３ｘｅｘ－ｅ－ｘｅｘ＋ｅ－ｘ１＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝．ｘ→０６ｘｘ→０６３案例２．１３［血液的壓強］血液從心髒流出，經主動脈後流到毛細血管，再通過靜脈流回心髒．醫生建立了某病人在心髒收縮的一個周期內血壓Ｐ（單位：ｍｍＨｇ）的數學模型Ｐ＝２５ｔ２＋１２３，ｔ表示血液從心髒流出的時間（ｔ的單位：秒）．問在心髒收縮的一個周期裏，血壓ｔ２＋１是單調增加的還是單調減少的？
２５ｔ２＋１２３５０ｔ（ｔ２＋１）－２ｔ（２５ｔ２＋１２３）１９６ｔ解：Ｐ′＝２′＝＝－，ｔ＞０．（ｔ＋１）（ｔ２＋１）２（ｔ２＋１）２１９６ｔ因為Ｐ′＝－＜０，所以血壓是單調減少的．（ｔ２＋１）２案例２．１４［股票曲線］假設Ｐ（ｔ）代表在時刻ｔ某公司的股票價格，請根據以下敘述判定１８第二章一元函數微分學及應用案例與練習Ｐ（ｔ）的一階、二階導數的正、負號．（１）股票價格上升得越來越快；（２）股票價格接近最低點；（３）如圖２．１所示為某種股票某天的價格走勢曲線，請說明該股票當天的走勢．ｄＰｄ２Ｐ解：（１）＞０，＞０．ｄｔｄｔ２ｄＰ（２）＝０．圖２．１ｄｔｄＰ（３）從某股票在某天的價格走勢曲線可以看出，此曲線是單調上升且為凸的，即＞ｄｔｄ２Ｐ０，且＜０，這說明該股票當日的價格上升得越來越慢．ｄｔ２案例２．１５［極值的判別］已知ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ在ｘ＝１處取得極小值－２，試求：（１）常數ａ，ｂ；（２）ｆ（ｘ）的所有極值，並判別是極大值，還是極小值．解：（１）由題意得ｆ′（１）＝０，又知ｆ（１）＝－２，即ｆ′（１）＝３×１２＋２ａ×１＋ｂ＝０，｛ｆ（１）＝１３＋ａ×１２＋ｂ×１＝－２．從而解得ａ＝０，ｂ＝－３．（２）由ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－３＝０，得到駐點ｘ＝±１．又ｆ″（ｘ）＝６ｘ，所以ｆ″（１）＝６＞０，ｆ″（－１）＝－６＜０．故ｆ（１）＝－２為ｆ（ｘ）的極小值，ｆ（－１）＝２為ｆ（ｘ）的極大值．案例２．１６［最佳射擊時間］如圖２．２所示，敵人乘汽車從河的北岸Ａ處以１千米／分鍾的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸Ｂ處向正東追擊，速度為２千米／分鍾．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？
解：（１）建立敵我相距函數關係，設ｔ為我軍從Ｂ處發起追擊至射擊的時間（分），則敵我相距函數為ｓ（ｔ）＝槡（０．５＋ｔ）２＋（４－２ｔ）２．（２）求ｓ＝ｓ（ｔ）最小值點，其導數為５ｔ－７．５ｓ′（ｔ）＝．圖２．２槡（０．５＋ｔ）２＋（４－２ｔ）２令ｓ′（ｔ）＝０，得唯一駐點ｔ＝１．５，故我軍從Ｂ處發起追擊後１．５分鍾射擊最好．案例２．１７［最小二乘原理］對某件物品的長度進行ｎ次測量，得到ｎ個不完全相同的測量數據ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ，試問用什麼樣的數據ｘ來表示該物品的長度，才能使偏差的平方和ｎ２Ｉ（ｘ）＝（ｘｋ－ｘ）為最小？
ｋ∑＝１ｎ２解：由題意得Ｉ′（ｘ）＝－２（ｘｋ－ｘ）＝２［ｎｘ－（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）］．ｋ∑＝１１令Ｉ′（ｘ）＝０，得Ｉ（ｘ）的唯一駐點ｘ＝（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ）．ｎ１９工科數學案例與練習由於恒有Ｉ″（ｘ）＝２ｎ＞０，所以這個駐點就是使偏差的平方和取最小值的點，它恰好為ｎ個測量數據的算術平均值．案例２．１８［容器的設計］要設計一個容積為５００ｍＬ的圓柱形容器，問其底麵半徑與高的比值為多少時容器所耗材料最少？
解：由題意得Ｓ＝２πｒｈ＋２πｒ２．５００因為Ｖ＝５００＝πｒ２ｈ，所以ｈ＝．πｒ２１０００１０００代入Ｓ＝２πｒｈ＋２πｒ２，得Ｓ＝＋２πｒ２，所以Ｓ′＝－＋４πｒ．ｒｒ２１５００３令Ｓ′＝０，得ｒ＝．（２π）１５００３代入５００＝πｒ２ｈ，得ｈ＝．（π）ｒ１故＝．ｈ２案例２．１９［油管鋪設路線的設計］要鋪設一石油管道，將石油從煉油廠輸送到石油罐裝點，如圖２．３所示．煉油廠附近有條寬２．５ｋｍ的河，罐裝點在煉油廠的對岸沿河下遊１０ｋｍ處．如果在水中鋪設管道的費用為６萬元／ｋｍ，在河邊鋪設管道的費用為４萬元／ｋｍ．試在河邊找一點Ｐ，使管道鋪設費最低．解：設點Ｐ距離煉油廠ｘｋｍ，則管道鋪設費為ｙ＝４ｘ＋６槡（１０－ｘ）２＋６．２５，０≤ｘ≤１０．６×（１０－ｘ）′＝４－．ｙ２２槡（１０－ｘ）＋６．２５圖２．３１０令ｙ′＝０，得ｘ＝１０±．槡２０因為０≤ｘ≤１０，所以當ｘ≈７．７６４時，最低管道鋪設費為ｙ≈５１．１８（萬元）．案例２．２０［絕對誤差］設已測得一根圓柱的直徑為４３ｃｍ，並已知在測量中絕對誤差不超過０．２ｃｍ，試用此數據計算圓柱的橫截麵麵積所引起的絕對誤差與相對誤差．（注：若某個量的準確值為ｘ，它的近似值為ｘ，稱｜Δｘ｜＝｜ｘ－ｘ｜為ｘ的絕對誤差；當ｘ≠０時，稱ｘ－ｘ為ｘ的相對誤差．）ｘ解：因為Ｄ＝４３，｜ΔＤ｜≤０．２，１１所以Ａ＝πＤ２＝π×４３２＝４６２．２５π，４４１１ΔＡ≈ｄＡ＝πＤ·ΔＤ＝π×４３×０．２＝４．３π．２２故絕對誤差為｜ΔＡ｜≈｜ｄＡ｜＝４．３π，１πＤ·ΔＤΔＡｄＡ２｜ΔＤ｜０．２相對誤差為≈＝＝２·＝２×≈０．９３％．ＡＡ１Ｄ４３πＤ２４２０第二章一元函數微分學及應用案例與練習案例２．２１［放大電路］某一負反饋放大電路，記其開環電路的放大倍數為Ａ，閉環電路Ａ的放大倍數為Ａ，則它們二者有函數關係Ａ＝．當Ａ＝１０４時，由於受環境溫度ｆｆ１＋０．０１Ａ變化的影響，Ａ變化了１０％，求Ａｆ的變化量是多少？Ａｆ的相對變化量又為多少？
４解：當Ａ＝１０時，Ａｆ≈１００．ΔＡ因為ΔＡｆ≈ｄＡｆ＝（Ａｆ′）ΔＡ＝，（１＋０．０１Ａ）２ΔＡ所以ΔＡｆ｜Ａ＝１０４，ΔＡ＝１０３≈｜Ａ＝１０４，ΔＡ＝１０３＝０．０９８，（１＋０．０１Ａ）２ΔＡｆ０．０９８＝＝９．８×１０－４．Ａｆ１００案例２．２２［曲率的表示與求法］在工程技術中，為了描述曲線的彎曲程度，把曲線弧Ｍ︵Ｎ的切線轉角Δα與該弧長Δｓ之比的絕對值的極限（當Δα→０時）定義為曲線在Ｍ點的曲率，Δα記為Ｋ，即Ｋ＝ｌｉｍ．設函數ｆ（ｘ）具有二階導數，則曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在任意一點Ｍ（ｘ，ｙ）Δα→０Δｓ″處的曲率計算公式為Ｋ＝ｙ．試分別求出直線＝ａｘ＋ｂ，圓ｘ２＋２＝Ｒ２，以及拋物２３ｙｙ（１＋ｙ′）２線ｙ＝ｘ２的曲率．解：對於直線ｙ＝ａｘ＋ｂ，有ｙ′＝ａ，ｙ″＝０，代入曲率計算公式得Ｋ＝０，即直線的曲率為零，這與人們“直線沒有彎曲”的直覺是一致的．ｘＲ２對於圓ｘ２＋ｙ２＝Ｒ２，有ｙ′＝－，ｙ″＝－，代入曲率計算公式得ｙｙ３ｙ″１Ｋ＝３＝，（１＋ｙ′２）２Ｒ即圓周上任一點的曲率相等，其值等於圓的半徑的倒數．對於拋物線ｙ＝ｘ２，有ｙ′＝２ｘ，ｙ″＝２，代入曲率計算公式得ｙ″２Ｋ＝３＝３．（１＋ｙ′２）２（１＋４ｘ２）２２１工科數學案例與練習姓名班級學號一元函數微分學及應用（練習一）一、填空題（每小題４分，共２０分）１烄ｘ２ｓｉｎ，ｘ≠０，ｘ１．設函數ｆ（ｘ）＝烅則ｆ′（０）＝．烆０，ｘ＝０，２．在曲線ｙ＝ｘ２上取兩點（０，０）與（１，１），作過這兩點的割線，則該曲線在點處的切線平行於這條割線．３．曲線ｙ＝槡ｘ＋１在（１，２）處的切線斜率是．π４．曲線ｙ＝ｓｉｎｘ在，１處的切線方程是．（２）５．一物體做變速直線運動，其位移關於時間（單位：ｓ）的函數為ｓ（ｔ）＝ｔ３（單位：ｍ），則其速度函數ｖ（ｔ）＝（單位：ｍ／ｓ），該物體１ｓ時的瞬時速度為．二、單選題（每小題４分，共２０分）ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）１．設ｆ（０）＝０且極限ｌｉｍ存在，則ｌｉｍ＝（）．ｘ→０ｘｘ→０ｘＡ．ｆ（０）Ｂ．ｆ′（０）Ｃ．ｆ′（ｘ）Ｄ．０ｆ（ｘ０－２ｈ）－ｆ（ｘ０）２．設ｆ（ｘ）在ｘ０可導，則ｌｉｍ＝（）．ｈ→０２ｈＡ．－２ｆ′（ｘ０）Ｂ．ｆ′（ｘ０）Ｃ．２ｆ′（ｘ０）Ｄ．－ｆ′（ｘ０）ｘｆ（１＋Δｘ）－ｆ（１）３．設ｆ（ｘ）＝ｅ，則ｌｉｍ＝（）．Δｘ→０Δｘ１１Ａ．ｅＢ．２ｅＣ．ｅＤ．ｅ２４４．設ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－１）（ｘ－２）…（ｘ－９９），則ｆ′（０）＝（）．Ａ．９９Ｂ．－９９Ｃ．９９！Ｄ．－９９！
５．下列結論中正確的是（）．Ａ．若ｆ（ｘ）在點ｘ０有極限，則ｆ（ｘ）在點ｘ０可導Ｂ．若ｆ（ｘ）在點ｘ０連續，則ｆ（ｘ）在點ｘ０可導Ｃ．若ｆ（ｘ）在點ｘ０可導，則ｆ（ｘ）在點ｘ０有極限Ｄ．若ｆ（ｘ）在點ｘ０有極限，則ｆ（ｘ）在點ｘ０連續三、計算題（第１題２４分，第２、３題各６分，共３６分）１．求下列函數的導數ｙ′：（１）ｙ＝（ｘ槡ｘ＋３）ｅｘ．（２）ｙ＝ｃｏｔｘ＋ｘ２ｌｎｘ．２２第二章一元函數微分學及應用案例與練習ｘ２（３）ｙ＝．（４）ｙ＝ｘ４－ｓｉｎｘｌｎｘ．ｌｎｘ１ｄｙ２．設ｙ＝ｘｌｎｘ＋，求．槡ｘｄｘｘ＝１１１３．設ｆ＝ｘ２＋＋１，求ｆ′（１）．（ｘ）ｘ四、應用題（每小題１２分，共２４分）１．求曲線ｙ＝ｌｎｘ在點（ｅ，１）處的切線和法線方程．１２２．以初速ｖ０上拋的物體，其上升高度ｓ與時間ｔ的關係為ｓ＝ｖ０ｔ－ｇｔ，求：（１）該物２體的速度ｖ（ｔ）；（２）該物體達到最高點的時間．２３工科數學案例與練習姓名班級學號一元函數微分學及應用（練習二）一、填空題（每小題４分，共２０分）１１．設ｙ＝ｓｉｎｅｘ，則ｙ′＝．２．設ｙ＝ｘ２ｘ，則ｙ′＝．３．曲線ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝３在點（０，槡３）處的切線方程為．４．設ｙ＝ｅｃｏｓｘ，則ｙ″（０）＝．１１５．設ｙ＝ｓｉｎ＋ｃｏｓ，則ｄｙ＝．ｘｘ二、單選題（每小題４分，共２０分）１．設ｆ（ｘ）＝ｅｓｉｎ２ｘ，則ｆ′（ｘ）＝（）．Ａ．ｅｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘＢ．－ｅｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘＣ．－２ｅｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘＤ．２ｅｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ２．設方程ｘ２ｙ＋２ｙ３＝１確定函數ｙ＝ｙ（ｘ），則ｙ′＝（）．１１Ａ．Ｂ．２ｘ＋６ｙ２２ｘｙ＋６ｙ２２ｘｙ２ｘｙＣ．Ｄ．－ｘ２＋６ｙ２ｘ２＋６ｙ２３．曲線ｙ＝ｘｘ在點（１，１）處的法線方程為（）．Ａ．ｘ＋ｙ－２＝０Ｂ．ｘ＋ｙ＋２＝０Ｃ．ｘ＋ｙ＝０Ｄ．ｘ－ｙ＝０４．設ｆ（ｘ）＝ｌｎｃｏｓｘ，則ｆ″（ｘ）＝（）．Ａ．ｔａｎｘＢ．－ｔａｎｘＣ．ｓｅｃ２ｘＤ．－ｓｅｃ２ｘ５．設ｙ＝ｃｏｓｘ２，則ｄｙ＝（）．Ａ．－２ｘｃｏｓｘ２ｄｘＢ．２ｘｃｏｓｘ２ｄｘＣ．－２ｘｓｉｎｘ２ｄｘＤ．２ｘｓｉｎｘ２ｄｘ三、計算題（每小題１２分，共４８分）１．求下列函數的導數ｙ′：２３（１）ｙ＝ｘｅ＋ｅｘ．（２）ｙ＝槡ｘ＋槡ｘ．２４第二章一元函數微分學及應用案例與練習２．在下列方程中，ｙ＝ｙ（ｘ）是由方程確定的函數，求ｙ′：（１）ｙｃｏｓｘ＝ｅ２ｙ．（２）ｙ＝５ｘ＋２ｙ．３．求下列函數的二階導數：２（１）ｙ＝ｘｌｎｘ．（２）ｙ＝３ｘ．４．求下列函數的微分ｄｙ：（１）ｙ＝ｃｏｔｘ＋ｃｓｃｘ．（２）ｙ＝ｓｉｎ２（ｅｘ）．四、應用題（本題１２分）３一球形細胞的體積以１６μｍ／ｈ（ｈ：小時；μｍ：微米）的速度增長，當它的半徑為１０μｍ時，細胞半徑增長的速度是多少？
２５工科數學案例與練習姓名班級學號一元函數微分學及應用（練習三）一、填空題（每小題４分，共２０分）１．在［π，２π］上，函數ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ滿足羅爾定理中的ξ＝．２．在［０，１］上，函數ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１）滿足拉格朗日中值定理中的ξ＝．３．設ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ－１）（ｘ－２），則方程ｆ′（ｘ）＝０有個實根，分別位於區間內．ｘ２４．ｌｉｍｘ＝．ｘ→＋∞ｘ＋ｅｘ１５．ｌｉｍ－＝．ｘ→＋∞（ｌｎｘｘｌｎｘ）二、單選題（每小題４分，共２０分）ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）１．若函數ｆ（ｘ）滿足條件（），則存在∈（ａ，ｂ），使得ｆ（）＝．ξξｂ－ａＡ．在（ａ，ｂ）內連續Ｂ．在（ａ，ｂ）內可導Ｃ．在（ａ，ｂ）內連續且可導Ｄ．在［ａ，ｂ］上連續，在（ａ，ｂ）內可導２．下列函數中，在區間［－１，１］上滿足羅爾定理條件的是（）．１Ａ．ｙ＝Ｂ．ｙ＝｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝１－ｘ２Ｄ．ｙ＝ｘ－１ｘ３．下列函數中，在區間［１，ｅ］上滿足拉格朗日中值定理條件的是（）．１Ａ．ｙ＝ｌｎ（ｌｎｘ）Ｂ．ｙ＝ｌｎｘＣ．ｙ＝Ｄ．ｙ＝ｌｎ（２－ｘ）ｌｎｘ４．下列求極限問題中能夠使用洛必達法則的是（）．１ｘ２ｓｉｎｘ１－ｘＡ．ｌｉｍＢ．ｌｉｍｘ→０ｓｉｎｘｘ→１π１－ｓｉｎｘ２ｘ－ｓｉｎｘπＣ．ｌｉｍＤ．ｌｉｍｘ－ａｒｃｔａｎｘｘ→∞ｘｓｉｎｘｘ→０（２）ｘ－ｓｉｎｘ５．求極限ｌｉｍ，下列解法正確的是（）．ｘ→∞ｘ＋ｓｉｎｘ１－ｃｏｓｘｓｉｎｘＡ．用洛必達法則，原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝－１ｘ→∞１＋ｃｏｓｘｘ→∞－ｓｉｎｘＢ．該極限不存在ｓｉｎｘ１－ｘ１－１Ｃ．原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝０ｘ→∞ｓｉｎｘｘ→∞２１＋ｘ２６第二章一元函數微分學及應用案例與練習ｓｉｎｘ１－ｘ１－０Ｄ．原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝１ｘ→∞ｓｉｎｘｘ→∞１＋０１＋ｘ三、求下列極限（每小題８分，共４８分）ｘ３－３ｘ＋２ｘ＋１１．ｌｉｍ３２．２．ｌｉｍ２ｘ．ｘ→１ｘ－ｘ－ｘ＋１ｘ→＋∞ｅ１ｌｎ１＋ｓｉｎ３ｘｘ３．ｌｉｍ．４．ｌｉｍ（）．ｘ→πｔａｎ７ｘｘ→＋∞ａｒｃｃｏｔｘ２ｘ－３ｘｅｘ＋ｓｉｎｘ５．ｌｉｍ．６．ｌｉｍｘ．ｘ→０ｓｉｎｘｘ→＋∞ｅ－ｃｏｓｘ２７工科數學案例與練習四、證明題（本題１２分）驗證拉格朗日中值定理對函數ｆ（ｘ）＝３槡ｘ－４ｘ在區間［１，４］上的正確性．２８第二章一元函數微分學及應用案例與練習姓名班級學號一元函數微分學及應用（練習四）一、填空題（每小題４分，共２０分）１．設ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內可導，ｘ０∈（ａ，ｂ），且當ｘ＜ｘ０時，ｆ′（ｘ）＜０；當ｘ＞ｘ０時，ｆ′（ｘ）＞０，則ｘ０是ｆ（ｘ）的點．２．若函數ｆ（ｘ）在點ｘ０可導，且ｘ０是ｆ（ｘ）的極值點，則ｆ′（ｘ０）＝．３．函數ｙ＝ｌｎ（１＋ｘ２）的單調減少區間是．２４．函數ｆ（ｘ）＝ｅｘ的單調增加區間是．５．方程ｘ５＋ｘ－１＝０在實數範圍內有個實根．二、單選題（每小題４分，共２０分）１．函數ｆ（ｘ）＝ｘ２＋４ｘ－１的單調增加區間是（）．Ａ．（－∞，２）Ｂ．（－１，１）Ｃ．（２，＋∞）Ｄ．（－２，＋∞）２．函數ｙ＝ｘ２＋４ｘ－５在區間（－６，６）內滿足（）．Ａ．先單調下降再單調上升Ｂ．單調下降Ｃ．先單調上升再單調下降Ｄ．單調上升３．函數ｆ（ｘ）滿足ｆ′（ｘ）＝０的點，一定是ｆ（ｘ）的（）．Ａ．間斷點Ｂ．極值點Ｃ．駐點Ｄ．零點４．設ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內有連續的二階導數，ｘ０∈（ａ，ｂ），若ｆ（ｘ）滿足（），則ｆ（ｘ）在ｘ０取到極小值．Ａ．ｆ′（ｘ０）＞０，ｆ″（ｘ０）＝０Ｂ．ｆ′（ｘ０）＜０，ｆ″（ｘ０）＝０Ｃ．ｆ′（ｘ０）＝０，ｆ″（ｘ０）＞０Ｄ．ｆ′（ｘ０）＝０，ｆ″（ｘ０）＜０１π５．設函數ｆ（ｘ）＝ａｃｏｓｘ－ｃｏｓ２ｘ在點ｘ＝處取得極值，則ａ＝（）．２３１Ａ．０Ｂ．Ｃ．１Ｄ．２２三、計算題（每小題１４分，共４２分）１．求下列函數的單調區間：ｘ２－１（１）ｙ＝．（２）ｙ＝９ｘ３－ｌｎｘ．ｘ２９工科數學案例與練習２．求下列函數在指定區間內的單調性：１（１）ｙ＝ｌｎｘ在區間（０，＋∞）內．（２）ｙ＝ｘ－２ｓｉｎｘ在區間［０，３］內．ｘ３．求下列函數的極值：４２２（１）ｙ＝－ｘ＋２ｘ．（２）ｙ＝２－（ｘ＋１）３．四、證明題（每小題９分，共１８分）１１．利用單調性證明不等式：當ｘ＞０時，１＋ｘ＞槡１＋ｘ．２２．證明方程ｘ３＋２ｘ－ｓｉｎｘ－１＝０在（０，１）內僅有一個實根．（提示：用零值定理和函數單調性證明．）３０第二章一元函數微分學及應用案例與練習姓名班級學號一元函數微分學及應用（練習五）一、填空題（每小題４分，共２０分）１．若函數ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］內恒有ｆ′（ｘ）＜０，則ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值是．ｘ－１２．函數ｆ（ｘ）＝在區間［０，４］上的最大值為，最小值為．ｘ＋１３．曲線ｙ＝２＋５ｘ－３ｘ３的拐點是．４．若點（１，０）是函數ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋２的拐點，則ａ＝，ｂ＝．ｓｉｎ２ｘ５．曲線ｙ＝的垂直漸近線為．ｘ（２ｘ＋１）二、單選題（每小題４分，共２０分）１１．設ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｘ，則ｘ＝１為ｆ（ｘ）在［－２，２］上的（）．３Ａ．極小值點，但不是最小值點Ｂ．極小值點，也是最小值點Ｃ．極大值點，但不是最大值點Ｄ．極大值點，也是最大值點２．設ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內有連續的二階導數，且ｆ′（ｘ）＜０，ｆ″（ｘ）＜０，則ｆ（ｘ）在此區間內是（）．Ａ．單調減少且是凸的Ｂ．單調減少且是凹的Ｃ．單調增加且是凸的Ｄ．單調增加且是凹的２３．曲線ｙ＝ｅ－ｘ（）．Ａ．沒有拐點Ｂ．有一個拐點Ｃ．有兩個拐點Ｄ．有三個拐點１４．曲線ｙ＝ｘｓｉｎ（）．ｘＡ．僅有水平漸近線Ｂ．既有水平漸近線，又有垂直漸近線Ｃ．僅有垂直漸近線Ｄ．既無水平漸近線，又無垂直漸近線５．下列曲線中既有水平漸近線，又有垂直漸近線是（）．３２ｘ＋ｘｘ＋３ｅ２Ａ．ｙ＝Ｂ．ｙ＝Ｃ．ｙ＝ｌｎ３－Ｄ．ｙ＝ｘｅ－ｘｓｉｎ２ｘｘ－１（ｘ）三、計算題（每小題１０分，共２０分）ｘ２１１．求函數ｙ＝在區間－，１上的最大值和最小值．ｘ＋１［２］３１工科數學案例與練習２．求函數ｙ＝ｘ４（１２ｌｎｘ－７）的凹凸區間和拐點．四、應用題（每小題１０分，共４０分）１．求曲線ｙ２＝２ｘ上的點，使其到點Ａ（２，０）的距離最短．２．圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為Ｌ，問當底麵半徑與高分別為多少時，圓柱體的體積最大？
３．一體積為Ｖ的無蓋圓柱形容器，問底麵半徑與高各為多少時表麵積最小？
４．欲做一個底為正方形，容積為６２．５ｍ３的長方體開口容器，怎樣做可以使用料最省？
３２第二章一元函數微分學及應用案例與練習一元函數微分學及應用測試題（一）一、填空題（每小題４分，共２０分）１１．設ｆ（ｘ）＝ｘ３－１，則ｆ［ｆ′（ｘ）］＝．３ｆ（ｘ０－２Δｘ）－ｆ（ｘ０）２．已知ｆ′（ｘ０）＝３，則ｌｉｍ＝．Δｘ→０Δｘ３．設ｆ（ｘ）＝（ｘ－３）（ｘ－４）（ｘ－５）（ｘ－６），則ｆ′（４）＝．４．在曲線ｙ＝ｘ２＋１上，點處的切線平行於直線４ｘ－２ｙ－１＝０．５．在曲線ｙ＝ｅ－ｘ上，點（０，１）處的法線方程為．二、單選題（每小題４分，共２０分）１．下列命題中正確的是（）．Ａ．若ｆ（ｘ）在點ｘ０處連續，則ｆ（ｘ）在點ｘ０處可導Ｂ．若ｙ＝ｆ（ｘ）在點（ｘ０，ｆ（ｘ０））處有切線，則ｆ（ｘ）在點ｘ０處可導Ｃ．若ｆ（ｘ）在點ｘ０處可導，則ｆ（ｘ）在點ｘ０處可微Ｄ．若ｘ→ｘ０時，ｆ（ｘ）的極限存在，則ｆ（ｘ）在點ｘ０處可導２．若ｆ（ｘ）在點ｘ０處連續，則有（）．Ａ．ｌｉｍｆ（ｘ）＝Ａ≠ｆ（ｘ０）Ｂ．ｆ（ｘ）在點ｘ０處可導ｘ→ｘ０Ｃ．ｌｉｍｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０）Ｄ．ｆ（ｘ）在點ｘ０處可微ｘ→ｘ０１３．設ｆ（ｘ）＝ｘ２（ｘ－１）（ｘ－２）…（ｘ－１００），則ｆ″（０）＝（）．２Ａ．１００Ｂ．１００！Ｃ．－１００Ｄ．－１００！
１１４．已知質點運動方程為ｓ＝ｔ３－ｔ２＋１，則質點在ｔ＝２時的速度ｖ、加速度ａ分別為６２（）．Ａ．ｖ＝０，ａ＝１Ｂ．ｖ＝０，ａ＝－１Ｃ．ｖ＝１，ａ＝１Ｄ．ｖ＝１，ａ＝－１５．設ｙ＝ｆ（ｕ），ｕ＝φ（ｘ）均可導，則ｄｙ＝（）．ｄｙｄｕｄｙｄｕｄｙｄｕＡ．ｄｘＢ．ｄｘＣ．Ｄ．ｄｘｄｕｄｘｄｕｄｘｄｕｄｘ三、計算題（每小題５分，共４５分）ｃｏｓｘ－１－ｘ１．設ｙ＝，求ｄｙ．２．設ｙ＝ｅ·ｌｎ（２－ｘ），求ｙｘ′．ｓｉｎｘ＋１３３工科數學案例與練習２ａｒｃｔａｎ１３．設ｙ＝ｓｉｎ（ｌｎｘ），求ｄｙ．４．設ｙ＝２ｘ，求ｙｘ′．ｘｘ５．設ｆ（ｘ）＝，求ｆ′（１）．６．設ｙ＝（ｓｉｎｘ），求ｙｘ′．１＋槡ｘ（ｘ＋１）（２－３ｘ）－２ｘ７．設ｙ＝，求ｙｘ′．８．設ｆ（ｘ）＝ｘｅ，求ｆ″（ｘ）．槡（５ｘ＋１）３ｘｙ２９．設方程ｅ＋ｘ－ｙ＝０確定函數ｙ＝ｙ（ｘ），求ｙｘ′．四、綜合題（第１題７分，第２題８分，共１５分）１１．設ｘ＝ｓｉｎｘ，分別求′（ｘ）、′［（ｘ）］．ｆ（２）ｆｆｆ２．設方程ｅｙ＋ｘｙ＝ｅ確定函數ｙ＝ｙ（ｘ），求ｆ″（０）．３４第二章一元函數微分學及應用案例與練習一元函數微分學及應用測試題（二）一、填空題（每小題３分，共１８分）１．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］連續，在（ａ，ｂ）可導，則在（ａ，ｂ）內至少有一點ｃ，使得成立．２．函數ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎ（ｘ＋１）的單調減少區間為．３．函數ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ的極小值點為．４．曲線ｙ＝ｘ３－３ｘ２＋３ｘ的拐點的坐標是．２５．曲線ｙ＝ｅ－ｘ的凸區間是．１６．曲線ｙ＝ｅ－ｘ的水平漸近線為，垂直漸近線為．ｘ二、單選題（每小題３分，共２４分）１．函數ｙ＝ｘ－ａｒｃｓｉｎｘ的單調減少區間是（）．Ａ．（－∞，＋∞）Ｂ．（０，＋∞）Ｃ．（－∞，０）Ｄ．（－１，１）２．下列在指定區間是單調增函數的為（）．Ａ．ｙ＝｜ｘ｜，（－１，１）Ｂ．ｙ＝ｓｉｎｘ，（－∞，＋∞）Ｃ．ｙ＝－ｘ２，（－∞，０）Ｄ．ｙ＝３－ｘ，（０，＋∞）３２３．已知ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｘ－ｘ－１在ｘ０＝１處有極小值，則ａ的值為（）．１１Ａ．１Ｂ．Ｃ．０Ｄ．－３３４．曲線ｙ＝ｘ２（ｘ－６）在區間（４，＋∞）是（）．Ａ．單調增加且是凸的Ｂ．單調增加且是凹的Ｃ．單調減少且是凸的Ｄ．單調減少且是凹的５．若ｆ（ｘ）在ｘ０＝ｃ可導且ｆ′（ｃ）＝０，則點ｃ是ｆ（ｘ）的（）．Ａ．駐點Ｂ．極值點Ｃ．拐點Ｄ．最值點６．下列命題中正確的是（）．Ａ．若ｆ′（ｃ）＝０，則ｘ０＝ｃ必是ｆ（ｘ）的極值點Ｂ．若ｘ０＝ｃ是ｆ（ｘ）的極值點，則必有ｆ′（ｃ）＝０Ｃ．函數ｆ（ｘ）的極值點可以不是ｆ（ｘ）的駐點Ｄ．若ｆ（ｘ）滿足ｆ″（ｃ）＝０，則點（ｃ，ｆ（ｃ））是曲線ｆ（ｘ）的拐點１７．曲線＝ｘｌｎ１＋的水平漸近線是（）．ｙ（ｘ）Ａ．ｙ＝０Ｂ．ｙ＝１Ｃ．ｘ＝０Ｄ．ｘ＝１１８．曲線ｙ＝的垂直漸近線是（）．槡１－ｘ２Ａ．ｘ＝±１Ｂ．ｙ＝±１Ｃ．ｘ＝０Ｄ．ｘ＝１３５工科數學案例與練習三、求下列各極限（每小題５分，共３０分）ｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘｌｎｘ１．ｌｉｍ．２．ｌｉｍ．ｘ→０ｘ－ｓｉｎｘｘ→＋∞ｘ＋２槡ｘ１ｘ３．ｌｉｍｘ１００ｌｎｘ．４．ｌｉｍ－．ｘ→０＋ｘ→１（ｘ－１ｌｎｘ）１２２１１５．ｌｉｍｘｅｘ．６．ｌｉｍ－．ｘ→０ｘ→０（ｓｉｎｘｘ）四、綜合題（每小題７分，共１４分）１．設ｙ＝ｘ３－３ｘ２－９ｘ＋１０，求單調區間、凹凸區間、極值與拐點．３２．設ｙ＝（２ｘ－５）·槡ｘ２，求單調區間與極值．３６第二章一元函數微分學及應用案例與練習五、應用題（每小題７分，共１４分）１．在拋物線ｙ＝１－ｘ２與ｘ軸所圍區域中內接一個矩形，求這個矩形的最大麵積．２．過平麵上定點Ｐ（１，１）引一條直線，使它在兩個坐標軸上的截距都是正的，且兩截距之和最小，求這條直線的方程．３７第三章一元函數積分學及應用案例與練習本章的主要內容是不定積分和定積分．不定積分部分的基本內容：原函數與不定積分的概念，不定積分的性質，不定積分的基本公式，不定積分的計算方法（第一類換元積分法，第二類換元積分法和分部積分法）．定積分部分的基本內容：定積分的定義、性質和幾何意義，定積分的計算（牛頓萊布尼茲公式，定積分的換元積分法和分部積分法），定積分的幾何應用（求平麵曲線圍成的圖形麵積以及旋轉體體積）．為了幫助大家更好地理解、掌握和應用這些內容，我們編寫了下麵的案例與練習．１案例３．１［原函數求解］設Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函數，且當ｘ≥０時，ｆ（ｘ）Ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ．已２知Ｆ（０）＝１，Ｆ（ｘ）＞０，試求Ｆ（ｘ）．解：因為Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函數，所以Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），則２Ｆ′（ｘ）Ｆ（ｘ）＝ｘｅｘ，兩邊同時對ｘ積分得Ｆ２（ｘ）＝∫ｘｅｘｄｘ＝ｘｅｘ－ｅｘ＋Ｃ．因為Ｆ（０）＝１，Ｆ（ｘ）＞０，所以Ｆ２（０）＝－１＋Ｃ，得到Ｃ＝２，則Ｆ（ｘ）＝槡ｘｅｘ－ｅｘ＋２（因為Ｆ（ｘ）＞０）．ｄｘ案例３．２［倒代換積分］求．∫ｘ槡ｘ１２－１分析：設ｍ，ｎ分別是被積函數的分子、分母關於（ｘ±ａ）的最高次數，一般當ｎ－ｍ＞１時，用倒代換可望成功．１１解：令ｘ＝，則ｄｘ＝－ｄｔ，則ｔｔ２５ｔ１ｔ１１６原式＝（－２）ｄｔ＝－ｄｔ＝－ｄ（ｔ）∫１ｔ∫槡１ｔ１２６∫槡１（ｔ６）２－１－－槡ｔ１２１１１＝－ａｒｃｓｉｎｔ６＋Ｃ＝＝－ａｒｃｓｉｎ＋Ｃ．６６ｘ６案例３．３［換元積分］已知ｆ（ｘ）二階連續可導，試求∫ｘｆ″（２ｘ－１）ｄｘ．分析：當被積函數為抽象函數且含有中間變量時，一般均應先進行變量代換，化簡後再計算積分．ｕ＋１１解：令ｕ＝２ｘ－１，則ｘ＝，ｄｘ＝ｄｕ，所以２２１１１ｘｆ″（２ｘ－１）ｄｘ＝（ｕ＋１）ｆ″（ｕ）·ｄｕ＝（ｕ＋１）ｆ″（ｕ）ｄｕ∫∫２２４∫３８第三章一元函數積分學及應用案例與練習１１１＝（ｕ＋１）ｄｆ′（ｕ）＝（ｕ＋１）ｆ′（ｕ）－ｆ′（ｕ）ｄｕ４∫４４∫１１＝（ｕ＋１）ｆ′（ｕ）－ｆ（ｕ）＋Ｃ（回代ｕ＝２ｘ－１）４４ｘ１＝ｆ′（２ｘ－１）－ｆ（２ｘ－１）＋Ｃ．２４π３案例［積分估值］估計１的積分值３．４π２ｄｘ．∫４１＋ｓｉｎｘ分析：對於本道題的解答，由定積分中的性質———估值定理可知，首先要求出被積函數１ｆ（ｘ）＝的最大值與最小值．１＋ｓｉｎ２ｘ－２ｓｉｎｘｃｏｓｘππππ解：因為ｆ′（ｘ）＝＜０，ｘ∈，，所以ｆ（ｘ）在ｘ∈，上為單調減（１＋ｓｉｎ２ｘ）２［４３］［４３］１４１２函數，故ｆ（ｘ）在其定義域內的最小值為ｍ＝＝，最大值為Ｍ＝＝．２π７２π３１＋ｓｉｎ１＋ｓｉｎ３４ｂ利用估值定理ｍ（ｂ－ａ）≤ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）知∫ａπ４ππ３１２ππ，－≤π２ｄｘ≤－７（３４）∫４１＋ｓｉｎｘ３（３４）即ππ３１π≤π２ｄｘ≤．２１∫４１＋ｓｉｎｘ１８案例３．５［薄片質心坐標］一密度均勻的薄片，其邊界由拋物線ｙ２＝ａｘ與直線ｘ＝ａ圍成，求此薄片的質心坐標．解：如圖３．１所示，由對稱性知，質心在ｘ軸上，即ｙ＝０，利用質心計算公式，有ａｙ２２２ａ５（）ｄｙ２·－ａａａ５３ｘ＝∫＝＝ａ．ａｙ２２ａ３５ｄｙ·∫－ａａａ３３圖３．１所以，薄片的質心坐標為（ａ，０）．５案例３．６［彈簧做功］一個彈簧，用４Ｎ的力可以把它拉長０．０２ｍ，求把它拉長０．１ｍ所做的功．解：由胡克定理Ｆ＝ｋｘ，得ｘ＝０．０２，把Ｆ＝４代入，得ｋ＝２００，於是Ｆ＝２００ｘ．功微元為ｄｗ＝２００ｘｄｘ，因此所做的功為０．１ｗ＝２００ｘｄｘ＝１（Ｊ）．∫０案例３．７［抽水做功］一個圓柱形的容器，高４米，底麵半徑３米，裝滿水，問：把容器內的水全部抽完需做多少功？
解：本題屬於變距離的做功問題，如圖３．２所示，設水的密度為ρ，則在某一點處的壓強為ｐ＝ｇρｈ，在某一麵上的壓力為３９工科數學案例與練習Ｆ＝ｐＡ＝９πｇρｈ．功的微元為ｄｗ＝Ｆｄｈ＝９πρｈｄｈ．於是所需做的功為４ｈ２４ｗ＝９πρｈｄｈ＝９πρ＝７２πρ（Ｊ）．圖３．２∫０２０案例３．８［最優方案選擇］某單位公布房改政策，規定每個沒享受過福利分房待遇的人，可在下述兩種方案中選擇一個執行：（１）每月領取１２００元住房補貼，共領取１０年；（２）每月領取６００元住房補貼，共領取２５年；假如你是一個沒享受過福利分房待遇的人，請你在這兩個方案中選擇一個，並用計算數據來說明你的選擇理由（假如銀行的購房貸款年利率為５％，且以連續複利計息）．解：研究兩種方案總補貼收入的現值１２０－０．０５ｔ－０．５Ａ１＝１２００ｅ１２ｄｔ＝２８８０００（１－ｅ）≈１１３３１９（元），∫０３０００－０．０５ｔ－１．２５Ａ２＝６００ｅ１２ｄｔ＝１４４０００（１－ｅ）≈１０２７４３（元）．∫０顯然第一方案優於第二方案，所以應該選擇第一方案．案例３．９［廣告策略］某出口公司每月銷售額是１００００００美元，平均利潤是銷售額的１０％．根據公司以往的經驗，廣告宣傳期間月銷售額的變化率近似地服從增長曲線１００００００ｅ０．０２ｔ（ｔ以月為單位），公司現在需要決定是否舉行一次類似的總成本為１３００００美元的廣告活動．按慣例，對於超過１０００００美元的廣告活動，如果新增銷售額產生的利潤超過廣告投資的１０％，則決定做廣告．試問該公司按慣例是否應該做此廣告？
解：１２個月後的總銷售額是當ｔ＝１２時的定積分，即１２１００００００ｅ０．０２ｔ１２銷售額＝１００００００ｅ０．０２ｔｄｔ＝∫００．０２０＝５０００００００（ｅ０．２４－１）≈１３５６００００（美元）．公司的利潤是銷售額的１０％，所以新增銷售額產生的利潤是０．１×（１３５６００００－１２００００００）＝１５６０００（美元）．由於１５６０００美元利潤是花費１３００００美元的廣告費而取得的，因此廣告所產生的實際利潤是１５６０００－１３００００＝２６０００（美元）．這表明贏利大於廣告成本的１０％，公司應該做此廣告．２ｘ０案例３．１０［函數最值］設ｆ（ｘ）為連續函數，且ｘｆ（ｔ）ｄｔ＋２ｔｆ（２ｔ）ｄｔ＝２ｘ３（ｘ－１），∫０∫ｘ求ｆ（ｘ）在［０，２］上的最值．分析：本題要想求出ｆ（ｘ）的最值，首先應該知道函數ｆ（ｘ）．解：原方程的兩端對ｘ求導，則２ｘ２ｘ左端＝ｆ（ｔ）ｄｔ＋２ｘｆ（２ｘ）－２ｘｆ（２ｘ）＝ｆ（ｔ）ｄｔ，∫０∫０右端＝８ｘ３－６ｘ２，所以４０第三章一元函數積分學及應用案例與練習２ｘｆ（ｔ）ｄｔ＝８ｘ３－６ｘ２．∫０兩端再對ｘ求導得２ｆ（２ｘ）＝２４ｘ２－１２ｘ．則ｆ（２ｘ）＝６ｘ（２ｘ－１）＝３·２ｘ（２ｘ－１），即ｆ（ｘ）＝３ｘ（ｘ－１）．根據函數最值的性質可知，函數的最值一般在可疑極值點或是在端點處取得，則ｆ′（ｘ）＝１６ｘ－３，令ｆ′（ｘ）＝０，則駐點為ｘ＝．２１３因為ｆ（０）＝０，ｆ（）＝－，ｆ（２）＝６，所以函數ｆ（ｘ）的最大值與最小值分別為６，２４３－．４ｘｔ２ｄｔ∫０案例３．１１［極限求解］求ｌｉｍｘ．ｘ０→（１－ｃｏｓｔ）ｄｔ∫０分析：求定積分形式的極限時，一般都用羅比達法則．０解：原式為型，因此由羅比達法則知０ｘ２２ｘｓｉｎｘ原式＝ｌｉｍ＝ｌｉｍ＝２重要極限：ｌｉｍ＝１．ｘ→０１－ｃｏｓｘｘ→０ｓｉｎｘ（ｘ→０ｘ）ｙｘ案例３．１２［隱函數求導］求由方程ｅｔｄｔ＋ｃｏｓｔｄｔ＝０所確定的隱函數ｙ＝ｙ（ｘ）的導∫０∫０ｄ數ｙ．ｄｘｄｙ分析：此題要求ｙ＝ｙ（ｘ）的導數，涉及變上限的定積分求導問題，在求解的過程中，ｄｘ一定要記住此時ｙ＝ｙ（ｘ）是一個複合函數，使用公式：ｄφ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ［φ（ｘ）］φ′（ｘ）．ｄｘ∫ａ解：方程的兩端同時對ｘ求導，得ｄｅｙｙ＋ｃｏｓｘ＝０，ｄｘｄｃｏｓｘ所以ｙ＝－．ｄｘｅｙｘ２案例３．１３［函數極值］求函數ｆ（ｘ）＝ｔｅ－ｔｄｔ的極值．∫０分析：求函數極值，首先要知道函數極值點的取得，可能在一階導數為零的點，也可能在一階不可導點處，因此先要對函數進行求導．２解：令ｆ′（ｘ）＝ｘｅ－ｘ＝０，得ｘ＝０（此題不存在一階不可導點），則ｘ（－∞，０）０（０，＋∞）ｆ′（ｘ）－０＋ｆ（ｘ）４１工科數學案例與練習由上表可知，當ｘ＝０時，函數有極小值ｆ（０）＝０．案例３．１４［判斷根的個數］設ｆ（ｘ）在［０，１］上連續，且ｆ（ｘ）＜１，現有Ｆ（ｘ）＝（２ｘ－１）ｘ－ｆ（ｔ）ｄｔ，證明：Ｆ（ｘ）在（０，１）內隻有一個根．∫０分析：證明方程Ｆ（ｘ）＝０的根唯一的問題，一般分兩個步驟：第一步由零點定理證明方程Ｆ（ｘ）＝０至少有一個實根；第二步由單調性證明方程Ｆ（ｘ）＝０隻有唯一的根．１證明：由題意得Ｆ（ｘ）在［０，１］上連續，且Ｆ（０）＝－１，Ｆ（１）＝１－ｆ（ｔ）ｄｔ．∫０１１１由條件ｆ（ｘ）＜１知，ｆ（ｔ）ｄｔ＜１ｄｔ＝１，因此Ｆ（１）＝１－ｆ（ｔ）ｄｔ＞０．∫０∫０∫０由零點定理知，Ｆ（ｘ）＝０在（０，１）上至少有一個實根．又因為Ｆ′（ｘ）＝２－ｆ（ｘ）＞０（因為ｆ（ｘ）＜１），所以Ｆ（ｘ）在（０，１）上是單調增函數，即Ｆ（ｘ）在（０，１）內隻有一個實根．１３ｘ２２案例３．１５［奇偶函數積分］求（４＋ｘ槡１－ｘ＋槡１－ｘ）ｄｘ．∫－１１＋ｘ分析：本題看起來很複雜，但仔細分析之後會發現，隻要知道定積分的一些性質，本題就迎刃而解．大家記住一般隻要遇到上下限互為相反數的時候，我們首先應想到被積函數的奇偶性．設函數ｆ（ｘ）在原點對稱的區間［－ａ，ａ］上可積，則ａａ烄２ｆ（ｘ）ｄｘ，ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］為偶函數，ｆ（ｘ）ｄｘ＝烅∫０∫－ａ烆０，ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］為奇函數．ｘ３解：因為、ｘ槡１－ｘ２在［－１，１］中都為奇函數，而槡１－ｘ２為偶函數，且１＋ｘ４１槡１－ｘ２ｄｘ表示的是半徑為１的四分之一圓的麵積，所以∫０１３１ｘ２２２１４＋ｘ槡１－ｘ＋槡１－ｘｄｘ＝２槡１－ｘｄｘ＝π．∫－１（１＋ｘ）∫０２ｘ２，０≤ｘ＜１，烄４案例３．１６［分段函數積分］設ｆ（ｘ）＝烅１，１≤ｘ＜２，求ｆ（ｘ）ｄｘ．∫０烆４－ｘ，２≤ｘ＜４，分析：本題為分段函數積分問題，因為分段函數在自變量的不同範圍內的函數表達式不同，所以計算時應使用定積分關於積分區間的可加性分別計算．４１２４解：ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｘ２ｄｘ＋ｄｘ＋（４－ｘ）ｄｘ∫０∫０∫１∫２３１２４ｘ２（４－ｘ）１０＝＋ｘ１－＝．３０２２３案例３．１７［判斷函數凹凸性］設ｆ（ｘ）為奇函數，且當ｘ＜０時，ｆ（ｘ）＜０，ｆ′（ｘ）≥０，令１ｘＦ（ｘ）＝ｆ（ｘｔ）ｄｔ＋ｔｆ（ｔ２－ｘ２）ｄｔ，判別Ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上的凹凸性．∫－１∫０分析：由函數凹凸性可知，當Ｆ（ｘ）在定義域內Ｆ″（ｘ）＞０時，函數的圖像是凹的；當Ｆ（ｘ）在定義域內Ｆ″（ｘ）＜０時，函數的圖像是凸的．４２第三章一元函數積分學及應用案例與練習解：先看右邊第一項，令ｕ＝ｘｔ，則１１ｘｆ（ｘｔ）ｄｔ＝ｆ（ｕ）ｄｕ＝０（因為ｆ（ｘ）為奇函數）．∫－１ｘ∫－ｘ１右邊第二項，令ｖ＝ｔ２－ｘ２，則ｔ＝±槡ｖ＋ｘ２，ｄｔ＝±ｄｖ，代入得２槡ｖ＋ｘ２ｘ００２２１１ｔｆ（ｔ－ｘ）ｄｔ＝（±槡ｖ＋ｘ２）·ｆ（ｖ）·（±）ｄｖ＝ｆ（ｖ）ｄｖ．∫０∫－ｘ２２槡ｖ＋ｘ２２∫－ｘ２１０所以Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｖ）ｄｖ，則２∫－ｘ２１Ｆ′（ｘ）＝［－ｆ（－ｘ２）（－２ｘ）］＝ｘｆ（－ｘ２）．２因為ｆ（ｘ）為奇函數，且當ｘ＜０時ｆ（ｘ）＜０，ｆ′（ｘ）≥０，所以ｆ（－ｘ２）＜０，ｆ′（－ｘ２）≥０，則Ｆ″（ｘ）＝ｆ（－ｘ２）－２ｘ２ｆ′（－ｘ２）≤０，所以Ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上是凸的．案例３．１８［平麵圖形麵積１］求曲線ｙ＝ｘ２，ｙ＝（ｘ－２）２與ｘ軸圍成的平麵圖形的麵積．ｙ＝ｘ２，解：如圖３．３所示，由得兩曲線交點（１，１）．｛ｙ＝（ｘ－２）２取ｘ為積分變量，ｘ∈［０，２］，則所求麵積為１２３１３２２２ｘ（ｘ－２）２Ａ＝ｘｄｘ＋（ｘ－２）ｄｘ＝＋＝．∫０∫１３０３１３圖３．３案例３．１９［平麵圖形麵積２］求由曲線ｙ＝ｌｎｘ與直線１ｘ＝，ｘ＝１０，ｙ＝０所圍圖形的麵積．１０解：如圖３．４所示，所求麵積為１０１１０（）Ｓ＝１ｌｎｘｄｘ＝１－ｌｎｘｄｘ＋ｌｎｘｄｘ∫１０∫１０∫１１１０＝－（ｘｌｎｘ－ｘ）１＋（ｘｌｎｘ－ｘ）１０１圖３．４９９８１＝ｌｎ１０－．１０１０案例３．２０［平麵圖形麵積３］求曲線ｙ＝ｃｏｓｘ與ｙ＝ｓｉｎｘ在區間［０，π］上所圍平麵圖形的麵積．解：如圖３．５所示，曲線ｙ＝ｃｏｓｘ與ｙ＝ｓｉｎｘ的交點π槡２坐標為，，選取ｘ作為積分變量，ｘ∈［０，π］，則所（４２）求麵積為圖３．５ππ４（）（）Ａ＝ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘｄｘ＋πｓｉｎｘ－ｃｏｓｘｄｘ∫０∫４π４π＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）＋（－ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ）π＝２槡２．０４４３工科數學案例與練習案例３．２１［旋轉體積１］求圓ｘ２＋（ｙ－２）２＝４繞ｘ軸旋轉一周而成的立體體積．解：如圖３．６所示，ｙ＝２±槡４－ｘ２．２２２Ｖ＝π［（２＋槡４－ｘ２）－（２－槡４－ｘ２）］ｄｘ∫－２２＝１６π槡４－ｘ２ｄｘ∫０圖３．６２＝１６π２．槡４－ｘ２大小為半徑為２的圓麵積的四分之一∫（０）案例３．２２［旋轉體積２］計算由ｙ＝槡ｘ，ｙ＝１，ｙ軸圍成的圖形分別繞ｙ軸及ｘ軸旋轉所生成的立體體積．解：如圖３．７所示，陰影部分為所圍成的圖形．１１５１２４ｙπ（１）繞ｙ軸旋轉：Ｖ＝πｘｄｙ＝πｙｄｙ＝π＝．∫０∫０５０５１１（２）繞ｘ軸旋轉：Ｖ＝π（１２－ｙ２）ｄｘ＝π（１－ｘ）ｄｘ圖３．７∫０∫０１ｘ２π＝πｘ－＝．（２）０２案例３．２３［旋轉體積３］用定積分求由ｙ＝ｘ２＋１，ｙ＝０，ｘ＝１，ｘ＝０所圍平麵圖形繞ｘ軸旋轉一周所得旋轉體的體積．解：如圖３．８所示，所求體積為１１Ｖ＝π（ｘ２＋１）２ｄｘ＝π（ｘ４＋２ｘ２＋１）ｄｘ∫０∫０ｘ５２ｘ３１２８＝π＋＋ｘ＝π．（５３）０１５案例３．２４［產品生產］已知某產品總產量的變化率為ｆ（ｔ）＝４０３＋１２ｔ－ｔ２（件／天），試求從第２天到第１０天生產產品的總量．圖３．８２１０１０３２解：所求的總產量Ｑ＝ｆ（ｔ）ｄｔ＝４０＋１２ｔ－ｔｄｔ∫２∫２（２）１１０＝４０ｔ＋６ｔ２－ｔ３＝４００（件）．［２］２案例３．２５［消費支出］某地區居民購買冰箱的消費支出Ｗ（ｘ）的變化率是居民總收入ｘ１的函數，Ｗ′（ｘ）＝．當居民收入由４億元增加至９億元時，購買冰箱的消費支出增加２００槡ｘ多少？
解：消費支出增加數為９９ｄｘ９Ｗ（９）－Ｗ（４）＝Ｗ′（ｘ）ｄｘ＝＝槡ｘ＝０．０１（億元）．∫４∫４２００槡ｘ１００４４４第三章一元函數積分學及應用案例與練習姓名班級學號一元函數積分學及應用（練習一）一、填空題（每小題４分，共２０分）１．函數ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｃｏｓｘ的全體原函數是．２∫．Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝．ｄ３．ｆ（ｘ）ｄｘ＝．ｄｘ∫［］４∫．ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，則∫ｆ（ｃｏｓｘ）ｓｉｎｘｄｘ＝．５．若∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｘ＋Ｃ，則∫ｆ（１－ｘ）ｄｘ＝．二、單選題（每小題４分，共２０分）１．下列關於不定積分的性質表達錯誤的是（）．Ａ．∫［ｆ（ｘ）ｄｘ］′＝ｆ（ｘ）Ｂ．ｄ∫［ｆ（ｘ）ｄｘ］＝ｆ（ｘ）ｄｘＣ∫．ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ＋∫ｆ（ｘ）ｄｘＤ∫．Ｆ′（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ２．在切線斜率為２ｘ的積分曲線族中，通過點（１，４）的曲線為（）．Ａ．ｙ＝ｘ２＋３Ｂ．ｙ＝ｘ２＋４Ｃ．ｙ＝２ｘ＋２Ｄ．ｙ＝４ｘ３．以下計算正確的是（）．２２ｄｘＡ．ｘｅｘｄｘ＝ｄ（ｅｘ）Ｂ．＝ｄｓｉｎｘ槡１－ｘ２ｄｘ１Ｃ．＝ｄ－Ｄ．槡ｘｄｘ＝ｄ槡ｘｘ２（ｘ）４．以下計算正確的是（）．ｄ３ｘｄｘＡ．３ｘｄｘ＝Ｂ．＝ｄ（１＋ｘ２）ｌｎ３１＋ｘ２ｄｘｌｎｘＣ．＝ｄ槡ｘＤ．ｄｘ＝ｌｎｘｄｘ槡ｘｘ１５．２＋１ｄｓｉｎｘ＝（）．∫（ｓｉｎｘ）１１Ａ．－＋ｓｉｎｘ＋ＣＢ．＋ｓｉｎｘ＋ＣｓｉｎｘｓｉｎｘＣ．－ｃｏｔｘ＋ｓｉｎｘ＋ＣＤ．ｃｏｔｘ＋ｓｉｎｘ＋Ｃ４５工科數學案例與練習三、求下列不定積分（每小題５分，共２０分）１－槡１－θ２ｘ２１．ｄθ．２．２ｄｘ．∫槡１－θ２∫１＋ｘ２ｔ－３ｔ１３．ｄｔ．４．ｅｘ＋ｃｏｓｘｄｘ．∫５ｔ∫（２）四、換元積分法（每小題５分，共４０分）ｃｏｓｘ１．（２ｘ－１）１０ｄｘ．２．ｄｘ．∫∫１＋ｓｉｎｘ１１ｃｏｓ槡ｘｄｘ３．２ｓｉｎｄｘ．４．．∫ｘｘ∫槡ｘ１１５．ｄｘ．６．ｄｘ．∫ｘ２＋３ｘ＋４∫ｘ（ｘ－３）１１７．ｄｘ．８．ｄｘ．∫ｘ４－１∫ｘ２＋４ｘ＋３４６第三章一元函數積分學及應用案例與練習姓名班級學號一元函數積分學及應用（練習二）一、填空題（每小題４分，共２０分）１∫．ｘｅｘｄｘ＝．２∫．ａｒｃｃｏｓｘｄｘ＝．ｘ３．ｄｘ＝．∫ｃｏｓ２ｘ４．設ｓｉｎｘ是ｆ（ｘ）的一個原函數，則∫ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝．５．設ｅｘ是ｆ（ｘ）的一個原函數，則∫ｘ２ｆ（ｘ）ｄｘ＝．二、單選題（每小題４分，共２０分）１．分部積分的公式為（）．Ａ∫．ｕｄｖ＝ｕｖ－∫ｕｄｖＢ∫．ｕｄｖ＝ｕｖ－∫ｖｄｕＣ∫．ｕｖ′ｄｘ＝ｕｖ－∫ｕｖ′ｄｘＤ∫．ｕ′ｖｄｘ＝ｕｖ－∫ｕ′ｖｄｘ２∫．ｘｄ（ｅ－ｘ）＝（）．Ａ．ｘｅ－ｘ＋ＣＢ．ｘｅ－ｘ＋ｅ－ｘ＋ＣＣ．－ｘｅ－ｘ＋ＣＤ．ｘｅ－ｘ－ｅ－ｘ＋Ｃ３∫．ｘｃｏｓ２ｘｄｘ＝（）．１１Ａ．ｘｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋ＣＢ．ｘｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋Ｃ２４１１１１Ｃ．ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋ＣＤ．ｘｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋Ｃ２２２２４∫．ｘｆ″（ｘ）ｄｘ＝（）．Ａ．ｘｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）＋ＣＢ．ｘｆ′（ｘ）＋Ｃ１Ｃ．ｘ２ｆ′（ｘ）＋ＣＤ．（ｘ＋１）ｆ′（ｘ）＋Ｃ２５．下列分部積分中，對ｕ和ｖ′選擇正確的有（）．Ａ∫．ｘ２ｃｏｓｘｄｘ，ｕ＝ｃｏｓｘ，ｖ′＝ｘ２Ｂ∫．（ｘ＋１）ｌｎｘｄｘ，ｕ＝ｘ＋１，ｖ′＝ｌｎｘＣ∫．ｘｅ－ｘｄｘ，ｕ＝ｘ，ｖ′＝ｅ－ｘ４７工科數學案例與練習Ｄ∫．ａｒｃｓｉｎｘｄｘ，ｕ＝１，ｖ′＝ａｒｃｓｉｎｘ三、求下列不定積分（每小題５分，共６０分）ｌｎｘ１．ｌｎｘｄｘ．２．ｄｘ．∫∫ｘ３３∫．ｘｓｉｎｘｄｘ．４∫．ｘｅ２ｘｄｘ．５∫．ａｒｃｓｉｎｘｄｘ．６∫．ｘｔａｎ２ｘｄｘ．７∫．ｅｘｓｉｎｘｄｘ．８∫．ｓｅｃ３ｘｄｘ．３３ｘ９．ｔａｎｘｄｘ．１０．ｄｘ．∫∫１＋ｘ２４８第三章一元函數積分學及應用案例與練習姓名班級學號一元函數積分學及應用（練習三）一、填空題（每小題４分，共２０分）１１２３１．已知Ｉ１＝ｘｄｘ，Ｉ２＝ｘｄｘ，則Ｉ１Ｉ２（填“＞”“＜”“＝”）．∫０∫０１ｘ２．估計Ｉ＝２ｄｘ的值的範圍是．∫０１＋ｘπ２π３．ｓｉｎｘ＋ｄｘ＝．∫０（２）０ｄｔ４．設Φ（ｘ）＝，則Φ′（ｘ）＝．∫ｘ槡１＋ｔ３１５．設（３ｘ２＋ａｘ）ｄｘ＝３，則ａ＝．∫０二、單選題（每小題４分，共２０分）３２２１．設ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）內連續，則ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｄｘ＝（）．∫２∫３∫１Ａ．－２Ｂ．－１Ｃ．０Ｄ．１１２．３ｘ｜ｘ｜ｄｘ＝（）．∫－２７Ａ．－７Ｂ．－Ｃ．２１Ｄ．９３２３．已知ｆ（ｘ）＝槡２＋ｔ２ｄｔ，則ｆ′（１）＝（）．∫ｘＡ．－槡３Ｂ．槡３－槡６Ｃ．槡６－槡３Ｄ．槡３２１４．設Φ（ｘ）＝２ｄｔ，則Φ′（ｘ）＝（）．∫ｓｉｎｘ１＋ｔ１ｃｏｓｘｃｏｓｘ１Ａ．Ｂ．Ｃ．－Ｄ．－１＋ｓｉｎ２ｘ１＋ｓｉｎ２ｘ１＋ｓｉｎ２ｘ１＋ｓｉｎ２ｘｘｃｏｓｔ２ｄｔ５．ｌｉｍ∫０＝（）ｘ→０ｘＡ．∞Ｂ．－１Ｃ．０Ｄ．１三、計算下列定積分（每小題６分，共４２分）２１１．２ｄｘ．∫１ｘ＋ｘ４９工科數學案例與練習ππ４２．槡１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．３．ｔａｎ２θｄθ．∫０∫０π３３１４．ｄｘ．５．２－ｘｄｘ．π２２｜｜∫４ｓｉｎｘｃｏｓｘ∫０π２ｃｏｓｘ６．２ｄｘ．∫０１＋ｓｉｎｘｘ２，ｘ≤１，２７．設ｆ（ｘ）＝求定積分ｆ（ｘ）ｄｘ．｛ｘ－１，ｘ＞１，∫０５０第三章一元函數積分學及應用案例與練習四、綜合題（每小題６分，共１８分）１０ｘ５１．證明：０≤３ｄｘ≤．∫０ｘ＋１６６ｘｌｎ（ｔ＋ｅｔ）ｄｔ２．計算極限ｌｉｍ∫０．ｘ→０＋１－ｃｏｓｘｘ３．求函數ｙ＝（ｔ３－１）ｄｔ的極值．∫０５１工科數學案例與練習姓名班級學號一元函數積分學及應用（練習四）一、填空題（每小題４分，共２０分）１ｘ１．ｄｘ＝．∫－１槡２＋ｘ２π４２．ｃｏｓ２ｘｄｘ＝．π∫－４ａ３．已知ｆ（ｘ）為連續函數，則ｘ２［ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）］ｄｘ＝．∫－ａ２４．設ｆ″（ｘ）在［０，２］上連續，且ｆ（０）＝１，ｆ（２）＝３，ｆ′（２）＝５，則ｘｆ″（ｘ）ｄｘ∫０＝．ｂｆ（ｘ）５．設ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上連續，且ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）≠０，若ｄｘ＝１，則∫ａｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｂｇ（ｘ）ｄｘ＝．∫ａｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）二、單選題（每小題４分，共２０分）１．下列積分不為零的是（）．ππππＡ．ｓｉｎｘｄｘＢ．ｘ２ｓｉｎｘｄｘＣ．ｅｘｄｘＤ．ｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ∫－π∫－π∫－π∫－πｂ２．ｆ′（３ｘ）ｄｘ＝（）．∫ａ１Ａ．ｆ（３ｂ）－ｆ（３ａ）Ｂ．ｆ（３ｂ）－ｆ（３ａ）３［］Ｃ．ｆ（３ｂ）－ｆ（３ａ）Ｄ．ｆ′（３ｂ）－ｆ′（３ａ）ａ３．已知（２ｘ－１＋ｓｉｎｘ）ｄｘ＝－４，則ａ＝（）．∫－ａ３Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．Ｄ．４２ｘ４．已知ｆ（０）＝０，則ｔｆ（ｔ２）ｆ′（ｔ２）ｄｔ＝（）．∫０１１１１Ａ．ｆ２（ｘ）Ｂ．ｆ２（ｘ２）Ｃ．ｆ２（ｘ）Ｄ．ｆ２（ｘ２）２２４４１５．設連續函數ｆ（ｘ）滿足：ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｘ２ｆ（ｘ）ｄｘ，則ｆ（ｘ）＝（）．∫０３３３３Ａ．ｘ＋ｘ２Ｂ．ｘ＋ｘ２Ｃ．ｘ＋ｘ２Ｄ．ｘ＋ｘ２４２２４５２第三章一元函數積分學及應用案例與練習三、計算下列定積分（每小題６分，共４８分）３πｘ２｜ｓｉｎθ｜１．ｄｘ．２．２ｄθ．０π∫槡１＋ｘ∫－２１＋ｃｏｓθ１１２ｘａｒｃｓｉｎｘ３．ｘｅ－ｘｄｘ．４．ｄｘ．０１２∫∫－２槡１－ｘπ１５．５ｅｘｃｏｓ２ｘｄｘ．６．ｘ（１－２ｘ）１０ｄｘ∫０∫０２ｅ１ｅ７．ｄｘ．８．ｌｎｘｄｘ．１｜｜∫１ｘ槡１＋ｌｎｘ∫ｅ四、綜合題（每小題６分，共１２分）１１．已知ｘｅｘ為ｆ（ｘ）的一個原函數，求ｘｆ′（ｘ）ｄｘ．∫０ｘ２．已知［２ｆ（ｔ）－１］ｄｔ＝ｆ（ｘ）－１，求ｆ′（０）．∫０５３工科數學案例與練習姓名班級學號一元函數積分學及應用（練習五）一、填空題（每小題４分，共２０分）＋∞１．無窮限反常積分ｅ－５ｘｄｘ＝．∫０＋∞ｄｘ２．無窮限反常積分ｐ收斂，則ｐ的取值範圍為．∫１ｘ０２３．無窮限反常積分２ｄｘ＝．∫－∞１＋ｘ＋∞２４．廣義積分ｘｅ－ｘｄｘ＝．∫１５．一物體以速度ｖ＝３ｔ２＋２ｔ（米／秒）做直線運動，則它在ｔ＝０到ｔ＝３秒時間內的速度的平均值為米／秒．二、選擇填（每小題４分，共２０分）ａ１．設常數ａ＞０，則槡ａ２－ｘ２ｄｘ＝（）．∫０２π２Ａ．πａＢ．ａＣ．πＤ．ａｒｃｓｉｎａ４２．由兩條拋物線：ｙ２＝ｘ，ｙ＝ｘ２所圍成的圖形的麵積為（）．１１１１Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．２３４５３．由曲線ｙ＝ｌｎｘ，ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ（０＜ａ＜ｂ）及ｘ軸所圍成的曲邊梯形的麵積為（）．ｂｂｂＡ．ｌｎｘｄｘＢ．ｌｎｘｄｘＣ．（ｂ－ａ）ｌｎｘＤ．｜ｌｎｘ｜ｄｘ∫ａ∫ａ∫ａ４．曲線ｙ２＝ｘ，ｙ＝ｘ，ｙ＝槡３所圍圖形的麵積是（）．槡３槡３Ａ．（ｙ２－ｙ）ｄｙＢ．（ｘ－槡ｘ）ｄｘ∫１∫１１槡３Ｃ．（ｙ２－ｙ）ｄｙＤ．（ｙ－ｙ２）ｄｙ∫０∫０５．下列反常積分收斂的是（）．＋∞＋∞＋∞＋∞ｘｘ１Ａ．２ｄｘＢ．ｅｄｘＣ．ｘｄｘＤ．２ｄｘ∫０∫０∫０∫０１＋ｘ三、計算題（每小題１２分，共６０分）１１．計算由曲線ｙ＝ｘ２及ｙ＝ｘ＋４所圍成的平麵圖形的麵積．２５４第三章一元函數積分學及應用案例與練習２．計算由曲線ｙ＝２ｘ與直線ｙ＝ｘ－１，ｙ＝１圍成的平麵圖形的麵積．３．求由曲線ｙ＝ｓｉｎｘ與ｙ＝ｓｉｎ２ｘ所圍成的平麵圖形的麵積，其中ｘ∈［０，π］．４．求拋物線ｙ＝ｘ２與直線ｘ＝２，ｙ＝０所圍平麵圖形分別繞ｘ軸與ｙ軸旋轉一周而成的旋轉體的體積．５．求由曲線ｘｙ＝１與直線ｙ＝２，ｘ＝３所圍成的平麵圖形繞ｘ軸旋轉一周所成的旋轉體的體積．５５工科數學案例與練習一元函數積分學及應用測試題（一）一、填空題（每小題３分，共１５分）１．若∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ，則ｆ（ｘ）＝．（）２∫．ｌｏｇａｘ′ｄｘ＝．３．若∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，則∫ｆ（２ｘ－３）ｄｘ＝．４．已知ｃｏｓｘ是ｆ（ｘ）的一個原函數，則∫ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝．５．已知∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｘ２＋Ｃ，則∫ｘｆ（１－ｘ２）ｄｘ＝．二、單選題（每小題３分，共１５分）１１．下列函數Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）＝的一個原函數的為（）．２ｘ１Ａ．Ｆ（ｘ）＝ｌｎ２ｘＢ．Ｆ（ｘ）＝－２ｘ２１Ｃ．Ｆ（ｘ）＝ｌｎ（２＋ｘ）Ｄ．Ｆ（ｘ）＝ｌｎ３ｘ２２．已知ｅ＝２．７１８…是一個無理數，則∫ｘｅｄｘ＝（）．１Ａ．ｘｅ＋ＣＢ．ｘｅ＋１＋Ｃｅ＋１１Ｃ．ｅｘ＋ＣＤ．ｅｘ＋Ｃｅ＋１ｘ３．ｄｘ＝（）．∫槡１＋ｘ２Ａ．槡１＋ｘ２＋ＣＢ．ｌｎ槡１＋ｘ２＋Ｃ２３１Ｃ．－（１＋ｘ２）－２＋ＣＤ．＋Ｃ３槡１＋ｘ２４．若∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，則∫ｓｉｎｘ·ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｘ＝（）．Ａ．－Ｆ（ｃｏｓｘ）＋ＣＢ．Ｆ（ｃｏｓｘ）＋ＣＣ．－Ｆ（ｓｉｎｘ）＋ＣＤ．Ｆ（ｓｉｎｘ）＋Ｃ５．下列分部積分的計算中，選擇ｕ和ｄｖ不正確的是（）．Ａ∫．ｘ２ｌｎｘｄｘ，ｕ＝ｌｎｘ，ｄｖ＝ｘ２ｄｘＢ∫．（ｘ＋１）ｓｉｎｘｄｘ，ｕ＝ｘ＋１，ｄｖ＝ｓｉｎｘｄｘＣ∫．ｘ２ｅｘｄｘ，ｕ＝ｅｘ，ｄｖ＝ｘ２ｄｘＤ∫．ｘａｒｃｔａｎｘｄｘ，ｕ＝ａｒｃｔａｎｘ，ｄｖ＝ｘｄｘ５６第三章一元函數積分學及應用案例與練習三、求下列各不定積分（每小題４分，共４８分）２·３ｘ－５·２ｘｘ２１．ｄｘ．２．ｄｘ．∫３ｘ∫１＋ｘ３∫．ａｒｃｔａｎｘｄｘ．４∫．ｘ２ｃｏｓｘｄｘ．５∫．ｓｉｎ槡ｘｄｘ．６∫．ｓｉｎ（ｌｎｘ）ｄｘ．１１７．ｘ－ｘｄｘ．８．ｄｘ．∫ｅ＋ｅ∫１－槡２ｘ＋１ｘ２２９∫．（ｘ＋２）ｅ２ｄｘ．１０∫．ｃｏｓｘｓｉｎｘｄｘ．ｘ２１＋ｘ１１．ｄｘ．１２．ｄｘ．∫ｘ６＋４∫（１－ｘ）３四、計算題（每小題５分，共１０分）１３１．若Ｆ′（ｘ）＝，Ｆ（１）＝π，求Ｆ（ｘ）．槡１－ｘ２２２．設Ｆ′（ｅｘ）＝１＋ｘ，求Ｆ（ｘ）．五、補充題（每小題６分，共１２分）求下列各不定積分：３ｃｏｓｘ１．ｘ５ｅｘｄｘ．２．ｄｘ．∫∫３＋ｃｏｓ２ｘ５７工科數學案例與練習一元函數積分學及應用測試題（二）一、填空題（每小題３分，共１５分）ｂ－１ｘ２１．設ａ、ｂ為常數，則ｅ２ｄｘ′ｘ＝．∫（ａ）ｘ２ｓｉｎｔｄｔ∫０２．極限ｌｉｍ２＝．ｘ→０ｘ１２ｘ２ａｒｃｓｉｎｘ３．定積分ｄｘ＝．１２∫－２槡１－ｘ＋∞ｄｘ４．第一類反常積分２＝．∫ｅｘ（ｌｎｘ）－１５．根據定積分的幾何意義計算槡１－ｘ２ｄｘ＝．∫０二、單選題（每小題３分，共１５分）２５５１．已知ｆ（ｘ）ｄｘ＝－２，ｆ（ｘ）ｄｘ＝３，則ｆ（ｘ）ｄｘ＝（）．∫－１∫２∫－１Ａ．－１Ｂ．０Ｃ．１Ｄ．５ａ２２．設ａ＞０，已知（ｘ３＋ｘ２）ｄｘ＝，則常數ａ＝（）．∫－ａ３１Ａ．Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４２３．若Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的一個原函數，則下列等式成立的是（）．ｘｂ′Ａ．Ｆ（ｔ）ｄｔｘ＝ｆ（ｘ）Ｂ．Ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）∫（ａ）∫ａｘｂ′Ｃ．ｆ（ｔ）ｄｔｘ＝Ｆ（ｘ）Ｄ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）∫（ａ）∫ａ４．下列第一類反常積分中收斂的是（）．＋∞＋∞＋∞＋∞ｘｘ１Ａ．ｅ－ｄｘＢ．ｅｄｘＣ．ｄｘＤ．ｓｉｎｘｄｘ∫０∫０∫１ｘ∫０５．設０≤ｘ≤２π，則曲線ｙ＝ｓｉｎｘ與ｘ軸所圍的麵積為（）．２π２πｓｉｎｘｄｘＡ．ｓｉｎｘｄｘＢ．∫０∫０２ππ２πＣ．｜ｓｉｎｘ｜ｄｘＤ．ｓｉｎｘｄｘ－ｓｉｎｘｄｘ∫０∫０∫０三、求下列各定積分（每小題５分，共４０分）４ｌｎ２ｌｎｘｘ１．ｄｘ．２．槡ｅ－１ｄｘ．∫１槡ｘ∫０５８第三章一元函數積分學及應用案例與練習１１ｘｄｘ３．ｘａｒｃｔａｎｘｄｘ．４．２２．∫０∫０（１＋ｘ）０２ｄｘ槡ｘ－１５．２．６．ｅｄｘ．∫－２ｘ＋２ｘ＋２∫１１３７．ｘｌｎ（ｘ＋１）ｄｘ．８．［ｘ２ｌｎ（ｘ＋槡１＋ｘ２）－槡９－ｘ２］ｄｘ．∫０∫－３四、應用題（每小題７分，共１４分）１．求由曲線ｙ＝－ｘ２與ｘ＝ｙ２所圍平麵圖形的麵積．１２．求由曲線ｙ＝ｘ２，ｙ＝與直線ｘ＝４所圍平麵圖形的麵積．ｘ五、補充題（每小題８分，共１６分）ｘ２１．求由曲線ｙ＝２ｘ，ｘｙ＝２，ｙ＝所圍成的平麵圖形的麵積，其中ｘ＞１．４２２．設直線ｙ＝ａｘ（其中０＜ａ＜１）與拋物線ｙ＝ｘ所圍成的平麵圖形的麵積為Ｓ１，它們與直線ｘ＝１所圍成的平麵圖形的麵積為Ｓ２，試確定ａ的值，使Ｓ１＋Ｓ２達到最小，並求出最小值．５９第四章常微分方程案例與練習本章的內容主要是常微分方程的概念，一階、二階微分方程通解的求法．微分方程的概念部分的基本內容：階、解、特解、通解、線性微分方程等基本概念．一階微分方程通解的求法部分的基本內容：一階變量可分離微分方程和一階線性微分方程的求解．二階微分方程通解的求法部分的基本內容：二階常係數齊次微分方程的求解，二階常λｘ係數非齊次微分方程的求解（非齊次項為ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）·ｅ的情形）．為了幫助大家更好地理解、掌握和應用這些內容，我們編寫了下麵的案例與練習．案例４．１［自由落體運動規律］設有一質量為ｍ的物體，從空中某處，不計空氣阻力而隻受重力作用由靜止狀態自由降落．試求物體的運動規律（即物體在自由降落過程中，所經過的路程ｓ與時間ｔ的函數關係）．解：設物體在時刻ｔ所經過的路程為ｓ＝ｓ（ｔ），根據牛頓第二定律可知，作用在物體上的外力ｍｇ（重力）應等於物體的質量ｍ與加速度的乘積，於是得ｄ２ｓｄ２ｓｍ＝ｍｇ，即＝ｇ，其中ｇ是重力加速度．ｄｔ２ｄｔ２ｄｄｓｄｓ將上式改寫為＝ｇ，因此可得ｄ＝ｇｄｔ．ｄｔ（）ｄｔ（）ｄｔ因為物體由靜止狀態自由降落，所以ｓ＝ｓ（ｔ）還應滿足初始條件：ｄｓｓｔ＝０＝０，＝０．ｄｔｔ＝０對方程的兩端積分一次，得ｄｓ＝ｇｄｔ＝ｇｔ＋Ｃ１，ｄｔ∫再對上式兩端積分，得１２ｓ＝（ｇｔ＋Ｃ１）ｄｔ＝ｇｔ＋Ｃ１ｔ＋Ｃ２，∫２其中Ｃ１，Ｃ２是兩個任意常數．代入初始條件，可得Ｃ１＝０，Ｃ２＝０．於是，所求的自由落體的運動規律為１ｓ＝ｇｔ２．２案例４．２［製動問題］列車在平直的線路上以２０米／秒的速度行駛，當製動時列車獲得加速度－０．４米／秒２，問開始製動後多少時間列車才能停住？以及列車在這段時間內行駛了多少路程？
６０第四章常微分方程案例及練習解：設製動後ｔ秒鍾列車行駛ｓ米，則ｓ＝ｓ（ｔ）滿足微分方程：ｄ２ｓ＝－０．４．ｄｔ２ｄｓ初始條件：當ｔ＝０時，ｓ＝０，ｖ＝＝２０．ｄｔ解微分方程得２ｖ＝－０．４ｔ＋Ｃ１，ｓ＝－０．２ｔ＋Ｃ１ｔ＋Ｃ２．代入初始條件知Ｃ１＝２０，Ｃ２＝０，所以ｖ＝－０．４ｔ＋２０，ｓ＝－０．２ｔ２＋２０ｔ．２０所以開始製動到列車完全停住共需ｔ＝＝５０（秒），列車在這段時間內行駛了ｓ＝０．４－０．２×５０２＋２０×５０＝５００（米）．案例４．３［曲線問題］一曲線通過點（１，２），且在該曲線上任一點Ｍ（ｘ，ｙ）處的切線的斜率為２ｘ，求該曲線的方程．解：設所求曲線為ｙ＝ｙ（ｘ），則滿足微分方程：ｄｙ＝２ｘ，其中當ｘ＝１時，ｙ＝２．ｄｘ解微分方程得ｙ＝ｘ２＋Ｃ，代入條件求得Ｃ＝１．所以該曲線的方程為ｙ＝ｘ２＋１．案例４．４［衰變問題］鐳元素的衰變滿足如下規律：其衰變的速度與它的現存量成正比．經驗得知，鐳經過１６００年後，隻剩下原始量的一半，試求鐳現存量與時間ｔ的函數關係．解：設ｔ時刻鐳的現存量Ｍ＝Ｍ（ｔ），由題意知Ｍ（０）＝Ｍ０．由於鐳的衰變速度與現存量成正比，故可列出方程ｄＭ＝－ｋＭ，ｄｔｄＭ其中ｋ（ｋ＞０）為比例係數，式中的負號表示在衰變過程中Ｍ逐漸減小，＜０．ｄｔ－ｋｔ０將方程分離變量得Ｍ＝Ｃｅ，再由初始條件得Ｍ０＝Ｃｅ＝Ｃ，所以－ｋｔＭ＝Ｍ０ｅ．Ｍ０Ｍ０－ｋ·１６００至於參數ｋ，可用另一附加條件Ｍ（１６００）＝求出，即＝Ｍ０ｅ，解之得２２ｌｎ２ｋ＝≈０．０００４３３．１６００所以鐳在衰變中的現存量Ｍ與時間ｔ的關係為－０．０００４３３ｔＭ＝Ｍ０ｅ．案例４．５［小船的航線問題］有一小船從岸邊的Ｏ點出發駛向對岸，假定河流兩岸是互相平行的直線，並設船速為ａ，方向始終垂直於對岸（圖４．１）．又設河寬為２ｌ，河麵上任一點ｖ０處的水速與該點到兩岸距離之積成正比，比例係數為ｋ＝，求小船航行的軌跡方程．ｌ２解：以指向對岸方向為ｘ軸方向，順水方向為ｙ軸方向，建立坐標係如圖４．１所示．根據題意條件可知，在時刻ｔ有６１工科數學案例與練習ｄｘｄｙｖ０ｖｘ＝＝ａ，ｖ＝＝ｋｘ２ｌ－ｘ＝ｘ２ｌ－ｘ，ｄｔｙｄｔ（）ｌ２（）ｄｖ０即ｙ＝ｘ２ｌ－ｘ．ｄｘａｌ２（）這是一個可分離變量方程，分離變量再積分，可得ｖ０ｙ＝Ｃ＋３ｌｘ２－ｘ３．３ａｌ２（）由初始條件（ｘ０，ｙ０）＝（０，０），可得Ｃ＝０，即小船航行的圖４．１軌跡方程為ｖ０ｙ＝３ｌｘ２－ｘ３，０≤ｘ≤２ｌ．３ａｌ２（）案例４．６［容器內溶液的含鹽量問題］一容器內有鹽水１００Ｌ，含鹽量為１００ｇ，現在以５Ｌ／ｍｉｎ的速度注入濃度為１０ｇ／Ｌ的鹽水，同時將均勻混合的鹽水以５Ｌ／ｍｉｎ的速度排出．（１）求２０ｍｉｎ後容器內鹽水的含鹽量；（２）經過多少時間，容器內鹽水的含鹽量超過８００ｇ？
解：（１）設時刻ｔ容器內的含鹽量為ｍ（ｔ），由於鹽水溶液的體積沒有發生改變，所以此ｍ時容器內鹽水的濃度為ｇ／Ｌ．１００在時間段［ｔ，ｔ＋ｄｔ］內，根據物料平衡原理，有容器內含鹽量的改變量＝注入鹽水的含鹽量－排出鹽水的含鹽量，ｍ即ｄｍ＝５×１０×ｄｔ－５××ｄｔ．１００這是一個可分離變量的微分方程，分離變量得ｄｍｄｔ＝－．ｍ－１０００２０ｔｔ方程兩端積分得ｌｎｍ－１０００＝－＋ｌｎＣ，即ｍ＝１０００＋Ｃｅ－２０．（）２０代入初始條件ｍ（０）＝１００，得Ｃ＝－９００，所以在時刻ｔ容器內的含鹽量為ｔｍ＝１０００－９００ｅ－２０．於是可求出２０ｍｉｎ後容器內鹽水的含鹽量為ｍ（２０）＝１０００－９００ｅ－１≈６６８．９（ｇ）．ｔ１０００－８００（２）解不等式１０００－９００ｅ－２０＞８００，得ｔ＞－２０ｌｎ≈３０．１０（ｍｉｎ）．９００所以經過約３０分０６秒後，容器內鹽水的含鹽量超過８００ｇ．案例４．７［半球形漏鬥的漏水問題］有一個半徑為１ｍ的半球形的漏鬥，開始時裏麵盛滿了水，現在水從漏鬥底部一個半徑為１ｃｍ的小圓孔流出，問經過多少時間，容器內的水從小孔全部流完？［已知在液麵高度為ｈ時，水從小孔內流出的（體積）速度為αＡ槡２ｇｈｃｍ３／ｓ，其中Ａ為孔口麵積，α為孔口收縮係數，經測定其值約為０．６２．］解：以底部中心為原點，鉛直向上為ｈ軸正向，建立坐標軸如圖４．２所示．設在時刻ｔ時，液麵高度為ｈ（ｔ），此時液麵圓的半徑為ｒ＝槡１００２－（１００－ｈ）２＝槡２００ｈ－ｈ２．６２第四章常微分方程案例及練習在時間段［ｔ，ｔ＋ｄｔ］內，液麵高度由ｈ變為ｈ＋ｄｈ，可知ｄｈ＜０，根據物料平衡原理，有容器內減少的體積＝底部小孔中流出的體積．注意到ｄｈ＜０的事實，可得－πｒ２ｄｈ＝αＡ槡２ｇｈｄｔ，２００ｈ－ｈ２即－ｄｈ＝０．６２２槡ｇｄｔ．槡ｈ圖４．２這是一個可分離變量方程，分離變量並積分得２５４００３ｈ２－ｈ２＝２７．４５ｔ＋Ｃ．５３２８００００代入初始條件ｈ（０）＝１００，得Ｃ＝－，所以在時刻ｔ的液麵高度ｈ為３５３６ｈ２－２０００ｈ２＝４１１．７５ｔ－１４０００００．令ｈ＝０，即可求出容器內的水從小孔全部流完所需時間約３４００秒．案例４．８［汙水治理問題］某湖泊的水量為Ｖ，每年以均勻的速度排入湖泊內的含汙染ＶＶ物Ａ的汙水量為，而流入湖泊內不含汙染物Ａ的水量也是，同時每年以均勻的速度將６６Ｖ湖水量排出湖泊，以保持湖泊的常年水量為Ｖ．３現在，經測量發現湖水中汙染物Ａ的含量為５ｍ０，即超過了國家標準的４倍．為了治理湖水的汙染問題，規定從明年年初起執行限排標準：排入湖泊中的汙水含Ａｍ０濃度不得超過．Ｖ問在執行這樣的規定後，至多需要經多少年，湖泊內汙染物Ａ的含量會降至不超過ｍ０（這裏假定湖水中含Ａ的濃度始終是均勻的）？
解：以明年年初作為時間坐標軸的原點，設在時刻ｔ湖泊中含汙染物Ａ的量為ｍ＝ｍ（ｔ），則在時間段［ｔ，ｔ＋ｄｔ］內湖水中含汙染物Ａ的量的改變量為ｄｍ．根據湖泊內含Ａ量的改變量＝流入量－排出量的原理，有Ｖｍ０Ｖｍ１ｍ０ｄｍ＝ｄｔ－ｄｔ＝－ｍｄｔ．（６）（Ｖ）（３）（Ｖ）３（２）這是一個一階可分離變量方程，分離變量並積分得ｍ０ｔｍ＝＋Ｃｅ－３．２９由初始條件ｍ（０）＝５ｍ０，可得Ｃ＝ｍ０，從而有２ｍ０ｔｍ＝１＋９ｅ－３．２（）－ｔ解不等式ｍ≤ｍ０，即１＋９ｅ３≤２，可得ｔ≥６ｌｎ３≈６．５９２．即至多經過６．５９２年，湖泊內汙染物Ａ的含量就會降至不超過ｍ０．注：從解的形式ｔ≥６ｌｎ３看，似乎應有“至少需要經過６．５９２年”的結論，但前提條件是所有相關單位都嚴格執行了限排標準，並假定出現的是最壞情況，即各單位剛好達到限排標６３工科數學案例與練習準的上限，所以實際情況要比這個結果好一點，即在不到６．５９２年內就可實現控製目標．案例４．９［冷卻定理與破案問題］問題一在一個冬天的夜晚，警方於２０：２０接到報警，立即於第一時間趕到凶案現場，隨即法醫在晚上２０：３０測得屍體體溫為３３．４℃，一小時後在現場再次測得屍體體溫為３２．２℃，案發現場氣溫始終是２３℃，據死者王某家屬稱，２０：１５回家時發現窗戶就一直是開著的，並設定在２３℃上．警方經過初步排查，認為張某具有較大嫌疑．因為他有作案動機：張某與死者王某生前糾紛不斷、結怨甚深，曾多次對王某有過人身侵犯．現在要確定張某有沒有作案時間，有確鑿的證據說明，１８：００之前的整個下午張某一直在崗位上，但１８：００以後誰也無法作證張某在何處，而張某的崗位到死者遇害地點隻有步行５ｍｉｎ的路程．請你根據牛頓冷卻定理，確定能不能從時間上排除張某的作案嫌疑．解：眾所周知，一個正常的人在一般的溫度環境下，受大腦神經中樞的調節，其體溫能維持為３７℃，但死亡後其體溫調節功能立即喪失，於是逐漸冷卻．以２０：３０作為時間坐標的起始點，記為ｔ＝０，設在時刻ｔ，屍體的體溫為Ｔ（ｔ），根據牛頓冷卻定律可知，冷卻速率與溫差成正比，即在［ｔ，ｔ＋ｄｔ］時段內，體溫的改變量服從等量關係ｄＴ＝－ｋ（Ｔ－２３）ｄｔ．這是一個一階可分離變量方程，分離變量並積分得Ｔ＝２３＋Ｃｅ－ｋｔ．由初始條件Ｔ（０）＝３３．４，可得Ｃ＝１０．４，所以有Ｔ＝２３＋１０．４ｅ－ｋｔ．由Ｔ（１）＝３２．２，可得ｋ＝０．１２２６，即Ｔ＝２３＋１０．４ｅ－０．１２２６ｔ．據此，可確定被害者死亡時間．在上式中令Ｔ＝３７，解得ｔ＝－２．４２５，也就是說被害者是在２．４２５小時前，即在１８：０５遇害的．由此可知，從時間上看暫時還不能排除張某是嫌犯的可能性．問題二在經過深入的調查取證中，發現死者在當天１５：３０曾去醫院就診，病曆卡上記錄：體溫３８．３℃，而根據法醫鑒定，死者體內沒有發現服用過任何退燒藥的跡象．試問據此可排除張某的作案可能性嗎？
解：在上麵已經得到的結論Ｔ＝２３＋１０．４ｅ－０．１２２６ｔ中，代入Ｔ＝３８．３℃，可解得ｔ＝－３．１４８８，即死者遇害時間約為１７：２１，可徹底排除張某作案的可能性．案例４．１０［新技術的推廣問題］某工廠推廣一項新技術，剛開始時候，在２０００人中派出１０個人先出去學習這種新技術，完全掌握後回廠進行傳幫帶，使其他工人也掌握此技術．經一個星期推廣後有４０個人掌握了這種新技術．已知推廣這種新技術的速度，跟已經掌握這種新技術的人數與尚未掌握這種新技術的人數之乘積成正比．試問經過４個星期推廣後，還６４第四章常微分方程案例及練習有多少人沒有掌握這種新技術？再經過４個星期呢？
解：設在時刻ｔ（星期）已掌握的人數為Ｎ（ｔ），則根據元素法，在［ｔ，ｔ＋ｄｔ］時段內掌握新技術人數的增量為ｄＮ＝ｋＮ（２０００－Ｎ）ｄｔ．這是一個一階可分離變量方程，分離變量得１１＋ｄＮ＝２０００ｋｄｔ．（Ｎ２０００－Ｎ）ＮＮ方程兩端積分得ｌｎ＝２０００ｋｔ＋ｌｎＣ，即＝Ｃｅ２０００ｋｔ．２０００－Ｎ２０００－Ｎ１由初始條件Ｎ（０）＝１０，可知Ｃ＝，即１９９Ｎ１＝ｅ２０００ｋｔ．２０００－Ｎ１９９１９９×４０ｌｎ２０００－４０又因為Ｎ（１）＝４０，可確定ｋ＝＝０．０００７００７，即２０００Ｎ１＝ｅ１．４０１４ｔ，２０００－Ｎ１９９２０００由此即可得Ｎ＝．１＋１９９ｅ－１．４０１４ｔ當ｔ＝４時，可解得Ｎ≈１１５５，即尚未掌握這種新技術的人數為２０００－Ｎ≈８４５；當ｔ＝８時，可解得Ｎ≈１９９４．６，即僅有五六個人還沒有掌握這種新技術．案例４．１１［第二宇宙速度問題］要使垂直向上發射的火箭永遠離開地麵，問發射初速度ｖ０至少應該有多大？
解：取地球中心為坐標原點建立ｒ軸如圖４．３所示．若設地球質量為Ｍ，半徑為Ｒ，火箭質量為ｍ，並忽略火箭運動過程中的各種阻力，則當火箭運動到ｒ（＞Ｒ）點的位置時，僅受地球對它引力ＧｍＭＦ（ｒ）＝ｒ２的作用，其中Ｇ為萬有引力常數．由於當ｒ＝Ｒ時，地球的引力就是物體的重力，即ＧｍＭ＝ｍｇ，Ｒ２所以有ＭＧ＝ｇＲ２，於是圖４．３Ｒ２Ｆ（ｒ）＝ｍｇ２．ｒ利用牛頓第二定律，得ｄ２ｒＲ２ｍ２＝－ｍｇ２．ｄｔｒ這是一個不顯含自變量ｔ的特殊的二階微分方程，並有初始條件ｒ（０）＝Ｒ，ｒ′（０）＝ｖ０．ｄｒｄ２ｒｄｖｄｖｄｒｄｖ以ｖ＝為新未知函數，ｒ為新自變量，則＝＝＝ｖ，於是有ｄｔｄｔ２ｄｔｄｒｄｔｄｒ６５工科數學案例與練習ｄｖＲ２ｖ＝－ｇ．ｄｒｒ２這是一個可分離變量方程，分離變量並積分得２２１２２ｇＲ２ｇＲ２（ｖ－ｖ０）＝－ｇＲｖ＝＋ｖ０－２ｇＲ．２ｒ槡ｒ２ｇＲ２為使物體永遠離開地球，ｒ應該能夠趨於離地球無窮遠處，此時有→０，因此必須有ｒ２ｖ０－２ｇＲ≥０．代入數據ｇ＝９８１ｃｍ／ｓ２和Ｒ＝６．３７８×１０８ｃｍ，可得８６ｖ０≥槡２×９８１×６．３７８×１０≈１．１２×１０（ｃｍ／ｓ）＝１１．２（ｋｍ／ｓ）．這就是我們所要求的脫離速度，也就是通常所說的第二宇宙速度．案例４．１２［關閉動力的汽艇還能滑行多遠問題］汽艇以２７ｋｍ／ｈ的速度，在靜止的海麵上行駛，現在突然關閉其動力係統，它就在靜止的海麵上做直線滑行．設已知水對汽艇運動的阻力與汽艇運動的速度成正比，並已知在關閉其動力後２０ｓ汽艇的速度降為１０．８ｋｍ／ｈ．試問它最多能滑行多遠？
解：設汽艇的質量為ｍ（ｋｇ），關閉動力後ｔ（ｓ），汽艇滑行了ｘ（ｍ），根據牛頓第二運動定ｄ２ｘｄｘｋ律，有ｍ＝－ｋ，即ｘ″＋ｘ′＝０，其中＝．ｄｔ２ｄｔμμｍ上述方程是二階常係數線性齊次方程，其通解為－μｔｘ＝Ｃ１＋Ｃ２ｅ．２７０００７．５７．５由初始條件ｘ（０）＝０，ｘ′（０）＝＝７．５，得Ｃ１＝，Ｃ２＝－，即運動方程為３６００μμ７．５ｘ＝（１－ｅ－μｔ）．μ１０８００ｌｎ２．５由條件ｘ′（２０）＝＝３，即３＝７．５ｅ－２０μ，可得＝，即３６００μ２０１５０ｌｎ２．５ｘ＝１－ｅ－２０ｔ．ｌｎ２．５（）ｄｘｌｎ２．５因為＝７．５ｅ－２０ｔ＞０恒成立，所以從理論上說，這艘汽艇是永遠也不會停下來的．ｄｔ１５０１５０但是由於ｌｉｍ（１－ｅ－μｔ）＝≈１６３．７（ｍ），所以最大滑行距離為１６３．７ｍ．ｔ→＋∞ｌｎ２．５ｌｎ２．５６６第四章常微分方程案例及練習姓名班級學號常微分方程（練習一）一、填空題（每小題４分，共２０分）ｄ２ｙｄｙ３１．微分方程＋－２ｘｙ＝１的階是．ｄｘ２（ｄｘ）ｄ３ｙｄｙ４２．微分方程＋－ｙ＝２ｘ的通解中應包含的任意常數的個數ｄｘ３（ｄｘ）是．ｄ１３．微分方程ｙ＝的通解是．ｄｘｘ４．一階可分離變量微分方程的一般形式是．５．一階線性微分方程的一般形式是．二、單選題（每小題４分，共２０分）１．下列微分方程中，（）是一階線性微分方程．Ａ．ｘｙｄｙ＝（ｘ２＋ｙ２）ｄｘＢ．ｙ′＋ｘｙ２＝ｅｘ１ｓｉｎｘＣ．ｙ′＋＝ｃｏｓｘＤ．ｘｄｙ－ｙｄｘ＝０ｘｙ２．下列微分方程中，（）是線性微分方程．Ａ．ｙｘ２＋ｌｎｙ＝ｙ′Ｂ．ｙ′ｙ＋ｘｙ２＝ｅｘＣ．ｙ″＋ｘｙ′＝ｅｙＤ．ｙ″ｓｉｎｘ－ｙ′ｅｘ＝ｙｌｎｘ３．微分方程（ｙ′）２＋ｙ′（ｙ″）３＋ｘｙ４＝０的階是（）．Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１４．微分方程ｙ′＝ｘ２ｙ－２ｘｙ是（）．Ａ．一階非齊次線性微分方程Ｂ．一階齊次微分方程Ｃ．可分離變量的微分方程Ｄ．二階微分方程ｙ４２５．下列函數中，（）是微分方程ｙ′＋＝ｘ的解．ｘ３ｘ２ｘ３１ｘ２ｘ２１Ａ．＋１Ｂ．＋Ｃ．－＋１Ｄ．＋３３ｘ３３ｘ三、計算題（每小題１０分，共５０分）１．求微分方程ｘｙｄｘ＋（ｘ２＋１）ｄｙ＝０的通解．６７工科數學案例與練習ｄ２．求微分方程ｙ＝ｅｘ＋ｙ的通解．ｄｘπ３．求微分方程ｓｉｎｘ·ｃｏｓｙｄｘ＝ｃｏｓｘ·ｓｉｎｙｄｙ滿足初始條件ｙ＝的特解．ｘ＝０４４．求微分方程ｙ′－ｙ＝ｅｘ的通解．５．求微分方程ｙ′＋ｙｔａｎｘ＝ｃｏｓｘ的通解．四、應用題（本小題１０分）已知某平麵曲線經過點（１，１），它的切線在縱軸上的截距等於切點的橫坐標，求曲線方程．６８第四章常微分方程案例及練習姓名班級學號常微分方程（練習二）一、填空題（每小題４分，共２０分）１．微分方程ｙ″＋ｙ′－２ｙ＝０的通解為．２．微分方程ｙ″－４ｙ′＋４ｙ＝０的通解為．３．微分方程２ｙ″＋２ｙ′＋ｙ＝０的通解為．４．微分方程ｙ″＋４ｙ′＋３ｙ＝２ｘ２的一個特解可設為ｙ＝．５．微分方程ｙ″＋ｙ＝２·ｅｘ的一個特解可設為ｙ＝．二、單選題（每小題４分，共２０分）１．微分方程ｙ″－４ｙ′＋３ｙ＝ｅｘ的一個特解可設為ｙ＝（）．Ａ．ｘｅｘＢ．ＡｘｅｘＣ．ｘ＋ｅｘＤ．ｅｘ２．微分方程ｙ″－４ｙ′＋４ｙ＝ｘｅ２ｘ的一個特解可設為ｙ＝（）．Ａ．ｘ２ｅ２ｘＢ．ｘ３ｅ２ｘＣ．ｘ２（Ａｘ＋Ｂ）ｅ２ｘＤ．ｅ２ｘ３．微分方程ｙ″＋ｙ＝２ｘ的一個特解可設為ｙ＝（）．Ａ．２ｘＢ．Ａ·２ｘＣ．ｘ·ＡｘＤ．ｘ２４．微分方程ｙ″＝ｘ２的解是（）．１ｘ３ｘ４ｘ４Ａ．ｙ＝Ｂ．ｙ＝＋ＣＣ．ｙ＝Ｄ．ｙ＝ｘ３１２６５．微分方程ｙ″－２ｙ′＋ｙ＝０的兩個線性無關的解是（）．Ａ．ｅｘ與ｅ－ｘＢ．ｅ２ｘ與ｅ－２ｘＣ．ｅｘ與ｘｅｘＤ．ｅｘ與ｘｅ－ｘ三、計算題（每小題１０分，共５０分）１．求微分方程４ｙ″＋４ｙ′＋ｙ＝０滿足初始條件ｙ（０）＝２，ｙ′（０）＝０的特解．２．求微分方程ｙ″＋ｙ＝－２ｘ的通解．６９工科數學案例與練習３．求微分方程ｙ″－４ｙ＝ｅ２ｘ的通解．４．求微分方程ｙ″－３ｙ′＋２ｙ＝２ｅ２ｘ的通解．５．求微分方程ｙ″＋３ｙ′＋２ｙ＝ｘ·ｅｘ的通解．四、應用題（本題１０分）求滿足方程ｙ″－ｙ＝０的曲線，使其在點（０，０）處與直線ｙ＝ｘ相切．７０第四章常微分方程案例及練習常微分方程測試題一、填空題（每小題４分，共２０分）１．微分方程ｙ３（ｙ″）２＋ｘｙ′＝ｘ２的階數為．２．通過點（１，１）處，且斜率處處為ｘ的曲線方程是．２３．微分方程ｘｙｙ′＝１－ｘ滿足初始條件ｙ｜ｘ＝１＝１的特解為．４．已知ｙ１（ｘ），ｙ２（ｘ）是二階常係數齊次線性微分方程的兩個解，則Ｃ１ｙ１（ｘ）＋Ｃ２ｙ２（ｘ）是該方程通解的充分必要條件是．５．微分方程ｙ″＋２ｙ′＝０的通解是．二、單選題（每小題４分，共２０分）１．下列方程中，（）是一階線性微分方程．ｄｙｘ２＋ｙ２１Ａ．＝Ｂ．ｙ′＋ｙｓｉｎｘ＝ｃｏｓｘｄｘｘｙｘＣ．ｙ″＋２ｙ′＋ｙ＝０Ｄ．ｙ′＋２ｙ２＝０２．下列方程中，（）是可分離變量的微分方程．Ａ．ｙ′＝１＋ｘ＋ｙ２＋ｘｙ２Ｂ．ｙ′＋ｙ＝ｅ－ｘＣ．ｙ′＝１＋ｌｎｘ＋ｌｎｙＤ．ｙｄｘ＝（ｘ－ｙ２）ｄｙ３．二階線性齊次微分方程ｙ″－ｙ′＝０的通解是（）．ｘｘｘＡ．Ｃ１－Ｃ２ｅＢ．Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｘｅ－ｘ－ｘ－ｘＣ．Ｃ１＋Ｃ２ｅＤ．Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｘｅ４．微分方程ｙ″＋ｙ＝ｅｘ的一個特解可設為ｙ＝（）．Ａ．ｅｘＢ．ＡｅｘＣ．ｘＤ．ｘ·Ａｅｘ５．微分方程ｙ″＋ｙ＝０的一個解是ｙ＝（）．Ａ．ｅｘＢ．ｓｉｎ２ｘＣ．ｓｉｎｘＤ．ｅｘ＋ｅ－ｘ三、計算題（每小題１２分，共６０分）２ｘ－ｙ１．求微分方程ｙ′＝ｅ滿足初始條件ｙ｜ｘ＝０＝０的特解．７１工科數學案例與練習ｙ２．求微分方程ｙ′＋＝ｓｉｎｘ的通解．ｘ３．求微分方程ｙ″＋２ｙ′－３ｙ＝２ｅｘ的通解．ｘ４．求微分方程ｙ″－５ｙ′＋６ｙ＝２ｅ滿足初始條件ｙ｜ｘ＝０＝１，ｙ′｜ｘ＝０＝０的特解．－ｘ５．求微分方程ｙ″＋２ｙ′＋２ｙ＝ｘｅ滿足初始條件ｙ｜ｘ＝０＝ｙ′｜ｘ＝０＝０的特解．７２第五章無窮級數案例與練習本章的內容主要是級數收斂、發散的概念，數項級數收斂、發散的判別和冪級數收斂區間的求法．級數收斂、發散的概念部分的基本內容：數項級數收斂、發散的概念和幾何級數的斂散性．數項級數收斂、發散的判別部分的基本內容：正項級數的比較判別法和比值判別法，ｐ級數的斂散性，交錯級數的萊布尼茲判別法，任意項級數的絕對收斂和條件收斂判別．冪級數收斂區間的求法部分的基本內容：冪級數收斂點、收斂區間、收斂域和收斂半徑的概念，求冪級數的收斂區間．為了幫助大家更好地理解、掌握和應用這些內容，我們編寫了下麵的案例與練習．案例５．１［分蘋果］有Ａ、Ｂ、Ｃ三人按以下方法分一個蘋果：先將蘋果分成四份，每人各取一份；然後將剩下的一份又分成四份，每人又各取一份；依此類推，以至無窮．驗證：最終每１人分得蘋果的．３解：根據題意，每人分得的蘋果為１１１１＋＋＋…＋＋…４４２４３４ｎ１它為等比級數，因為＜１，所以此級數收斂，其和為４１４１ｌｉｍｓｎ＝ｌｉｍ＝．ｎ→∞ｎ→∞１３１－４案例５．２［增加投資帶來的消費總增長］假設政府在經濟上投入１億元人民幣以刺激消費．如果每個經營者和每個居民將收入的２５％存入銀行，其餘的７５％被消費掉，從最初的１億元開始，這樣一直下去．問：由政府增加投資而引起的消費總增長為多少？如果每人隻存１０％，結果為多少？
解：根據題意，若每人收入的２５％存入銀行，則引起的消費總增長為３３２３３３ｎ１＋＋＋＋…＋＋…４（４）（４）（４）３它為等比級數，因為＜１，所以此級數收斂，其和為４１ｌｉｍｓｎ＝ｌｉｍ＝４．ｎ→∞ｎ→∞３１－４７３工科數學案例與練習１同理，若每人隻存１０％，則引起的消費總增長為ｌｉｍ＝１０．ｎ→∞９１－１０案例５．３［彈簧的運動總路程］一隻球從１００米的高空落下，每次彈回的高度為上次高２度的，這樣運動下去，求小球運動的總路程．３２２２２ｎ－１解：總路程為１００＋１００××２＋１００××２＋…＋１００××２＋…３（３）（３）２２２２ｎ－１＝１００＋２００×＋２００×＋…＋２００×３（３）（３）２烄２００×烌３＝ｌｉｍ１００＋＝５００（米）．ｎ→∞２１－烆３烎案例５．４［Ｋｏｃｈ雪花］做法：先給定一個正三角形，然後在每條邊上對稱的產生邊長為原邊長的１／３的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了麵積有限而周長無限的圖形———“Ｋｏｃｈ雪花”．槡３解：如圖５．１所示，可以觀察雪花分形過程．設三角形周長為Ｐ１＝３，麵積為Ａ１＝；４４１第一次分叉：周長為Ｐ２＝Ｐ１，麵積為Ａ２＝Ａ１＋３··Ａ１；３９（ａ）原三角形周長為３，麵積為０．４３３（ｂ）第１次分叉周長為４，麵積為０．５７７（ｃ）第２次分叉周長為５．３３，麵積為０．６４２（ｄ）第３次分叉周長為７．１１，麵積為０．６７圖５．１７４第五章無窮級數案例與練習依次類推４ｎ－１第ｎ次分叉：周長為Ｐｎ＝Ｐ１，ｎ＝１，２，…（３）ｎ－１ｎ－２１麵積為Ａｎ＝Ａｎ－１＋３４Ａ１｛［（９）］｝２ｎ－１１１ｎ－２１＝Ａ１＋３·Ａ１＋３·４·Ａ１＋…＋３·４·Ａ１９（９）（９）１１４１４２１４ｎ－２＝Ａ１１＋＋＋＋…＋．｛［３３（９）３（９）３（９）］｝於是有ｌｉｍＰｎ＝∞，ｎ→∞烄１烌３３２槡３ｌｉｍＡｎ＝Ａ１１＋＝Ａ１１＋＝．ｎ→∞４５５１－（）烆９烎結論：雪花的周長是無界的，而麵積有界．案例５．５［近似計算］計算ｌｎ２的近似值（精確到小數後第４位）．解：我們可利用展開式ｘ２ｘ３ｘ４ｘｎｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ－＋－＋…＋（－１）ｎ－１＋…（－１＜ｘ≤１）２３４ｎ１１１１令ｘ＝１，即ｌｎ２＝１－＋－＋…＋（－１）ｎ－１＋…２３４ｎｎ１ｎ＋１１其誤差為Ｒｎ＝ｌｎ２－Ｓｎ＝（－１）＋（－１）＋…ｎ＋１ｎ＋２１１１＝－＋…＜．ｎ＋１ｎ＋２ｎ＋１１故要使精度達到１０－４，需要的項數ｎ應滿足＜１０－４，即ｎ＞１０４－１＝９９９９，亦即ｎｎ＋１應要取到１００００項，這個計算量實在是太大了．是否有計算ｌｎ２更有效的方法呢？
將展開式ｘ２ｘ３ｘ４ｘｎｌｎ（１＋ｘ）＝ｘ－＋－＋…＋（－１）ｎ－１＋…（－１＜ｘ≤１）２３４ｎ中的ｘ換成（－ｘ），得ｘ２ｘ３ｘ４ｘｎｌｎ（１－ｘ）＝－ｘ－－－－…－－…（－１≤ｘ＜１）２３４ｎ兩式相減，得到如下不含有偶次冪的冪級數展開式１＋ｘｘｘ３ｘ５ｘ７ｌｎ＝２＋＋＋＋…（－１＜ｘ＜１）１－ｘ（１３５７）１＋ｘ１在上式中令＝２，可解得ｘ＝，代入上式得１－ｘ３１１１１１１１１ｌｎ２＝２·＋·＋·＋·＋…（１３３３３５３５７３７）１１１１其誤差為Ｒ２ｎ＋１＝ｌｎ２－Ｓ２ｎ－１＝２··＋·＋…２ｎ＋１３２ｎ＋１２ｎ＋３３２ｎ＋３７５工科數學案例與練習１１１１１≤２··１＋＋＋…＜．２ｎ＋１３２ｎ＋１３２３４４（２ｎ＋１）·３２ｎ－１－４用試根的方法可確定當ｎ＝４時滿足誤差Ｒ２ｎ－１＜１０，此時的ｌｎ２≈０．６９３１４．顯然這一計算方法速度大大提高了計算的速度，這種處理手段通常稱作冪級數收斂的加速技術．案例５．６［銀行存款問題］某人在銀行裏存入人民幣Ａ元，一年後取出１元，兩年後取出４元，三年後取出９元……ｎ年後取出ｎ２元．試問：Ａ至少應為多大時，才能使這筆錢按照這種取錢方式永遠也取不完？這裏，設銀行年利率為ｒ，且以複利計息．分別在ｒ＝０．０２和ｒ＝０．０５時，求出期初應存入人民幣Ａ的值．解：記Ａ０＝Ａ，則在一年後，由於取出了１元，所以還餘下Ａ１＝Ａ０（１＋ｒ）－１；在兩年後，由於又取出了４元，所以還餘下２Ａ２＝Ａ１（１＋ｒ）－４＝Ａ０（１＋ｒ）－（１＋ｒ）－４；……在ｎ年後，由於又取出ｎ２元，所以還餘下２Ａｎ＝Ａｎ－１（１＋ｒ）－ｎｎｎ－１ｎ－２ｎ－３２＝Ａ０（１＋ｒ）－［（１＋ｒ）＋４（１＋ｒ）＋９（１＋ｒ）＋…＋ｎ］２ｎ１４９ｎ＝（１＋ｒ）Ａ０－＋＋＋…＋．｛［１＋ｒ（１＋ｒ）２（１＋ｒ）３（１＋ｒ）ｎ］｝根據題意可知，對任一正整數ｎ，都有Ａｎ＞０，即１４９ｎ２Ａ０－＋＋＋…＋＞０．［１＋ｒ（１＋ｒ）２（１＋ｒ）３（１＋ｒ）ｎ］根據ｎ的任意性可知應有∞ｎ２Ａ０≥ｎ．ｎ∑＝１（１＋ｒ）∞構造冪級數ｎ２ｘｎ，容易求得其收斂域為（－１，１），它在收斂域上的和函數為ｎ∑＝１∞∞∞Ｓ（ｘ）＝ｎ２ｘｎ＝ｘ［ｎｘｎ］′＝ｘ［ｘ（ｘｎ）′］′ｎ∑＝１ｎ∑＝１ｎ∑＝１ｘｘ（１＋ｘ）＝ｘｘ′′＝．［（１－ｘ）］（１－ｘ）３１（１＋ｒ）（２＋ｒ）（１＋ｒ）（２＋ｒ）所以Ａ０≥Ｓ＝，即期初至少應存入銀行元．（１＋ｒ）ｒ３ｒ３若ｒ＝０．０２，期初至少應存入２５７５５０元；若ｒ＝０．０５，期初至少應存入１７２２０元．７６第五章無窮級數案例與練習姓名班級學號無窮級數（練習一）一、填空題（每小題４分，共２０分）＋∞１．等比級數（幾何級數）ａｑｎ（ａ≠０），當時發散；當時ｎ∑＝０收斂．＋∞１２．ｐ級數ｐ，當時發散；當時收斂．ｎ∑＝１ｎｎ３．設級數的部分和數列Ｓｎ＝（ｎ＝１，２，…），則級數的通項ｕｎ＝，級２ｎ＋１數的和Ｓ＝．＋∞４．若數項級數ｕｎ收斂，則必有ｌｉｍｕｎ＝．ｎ∑＝１ｎ→＋∞＋∞＋∞＋∞５．若級數ｕｎ和ｖｎ均發散，則（ｕｎ＋ｖｎ）是．ｎ∑＝１ｎ∑＝１ｎ∑＝１二、單選題（每小題４分，共２０分）＋∞１．設數項級數ｕｎ收斂，則（）必收斂．ｎ∑＝１＋∞＋∞＋∞＋∞１ｕｎ１Ａ．∑Ｂ．∑Ｃ．∑ｕｎ＋Ｄ．∑｜ｕｎ｜ｎ＝１ｕｎｎ＝１１００ｎ＝１（１００）ｎ＝１２．下列級數中，收斂的是（）．＋∞１１＋∞１Ａ．∑＋２Ｂ．∑＋１ｎ＝１（ｎｎ）ｎ＝１（ｎ）＋∞＋∞１１（）ｎＣ．∑ｎ－２Ｄ．∑－１ｎ＝１（２ｎ）ｎ＝１１３．設ａｎ＝（ｎ＝１，２，…），則下列級數中收斂的是（）．ｎ＋∞＋∞＋∞∞ｎＡ．ａｎＢ．（－１）ａｎＣ．槡ａｎＤ．（－ａｎ）ｎ∑＝１ｎ∑＝１ｎ∑＝１ｎ∑＝１＋∞ｓｉｎｎａ４．級數２是（）．ｎ∑＝１ｎＡ．發散Ｂ．絕對收斂Ｃ．條件收斂Ｄ．斂散性不能確定＋∞１級數（）ｎ是（）５．∑－１１．ｎ＝１ｎ４Ａ．絕對收斂Ｂ．條件收斂Ｃ．發散Ｄ．斂散性不能確定７７工科數學案例與練習三、計算題（每小題１２分，共６０分）＋∞１．判別級數（槡ｎ＋１－槡ｎ）的斂散性．ｎ∑＝１＋∞ｎ２２．判別級數ｎ的斂散性．ｎ∑＝１４＋∞２ｎｎ！