（１）２ｘｄｘ；（２）ｄｘ．∫∫１＋ｘ２解由上述討論可知，隻要求出被積函數的一個原函數之後，再加上一個積分常數Ｃ即可．（１）被積函數ｆ（ｘ）＝２ｘ，因為（ｘ２）′＝２ｘ，ｘ２是２ｘ的一個原函數，即Ｆ（ｘ）＝ｘ２，所以不定積分∫２ｘｄｘ＝ｘ２＋Ｃ（Ｃ為任意常數）．１１１（２）被積函數ｆ（ｘ）＝，因為（ａｒｃｔａｎｘ）′＝或（－ａｒｃｃｏｔｘ）′＝，所以不定１＋ｘ２１＋ｘ２１＋ｘ２積分１
ｄｘ＝ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃ＝－ａｒｃｃｏｔｘ＋Ｃ（Ｃ為任意常數）．∫１＋ｘ２１
【例２】求函數ｆ（ｘ）＝的不定積分．ｘ
１解被積函數ｆ（ｘ）＝的定義域為（－∞，０）∪（０，＋∞），ｘ
１當ｘ＞０時，因為（ｌｎｘ）′＝，ｘ
１所以ｌｎｘ是在（０，＋∞）內的一個原函數．ｘ
因此在（０，＋∞）內１
ｄｘ＝ｌｎｘ＋Ｃ（其中Ｃ為任意常數）；∫ｘ１１當ｘ＜０時，因為［ｌｎ（－ｘ）］′＝－（－１）＝，ｘｘ第四章不定積分·１１１·１
所以ｌｎ（－ｘ）是在（－∞，０）內的一個原函數．ｘ
因此在（－∞，０）內１
ｄｘ＝ｌｎ（－ｘ）＋Ｃ．∫ｘ合並以上兩種情況，當ｘ≠０時，得１
ｄｘ＝ｌｎ｜ｘ｜＋Ｃ（Ｃ為任意常數）．∫ｘ注由於不定積分是被積函數的全體原函數的一般表達式，所以在求不定積分時，不要忘記加積分常數Ｃ．３．不定積分的幾何意義若ｙ＝Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的一個原函數，則稱ｙ＝Ｆ（ｘ）的圖形是ｆ（ｘ）的積分曲線，因為不定積分∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ是ｆ（ｘ）的原函數的一般表達式，所以它對應的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族，積分曲線族ｙ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ有如下特點．（１）積分曲線中任意一條積分曲線都可以由曲線ｙ＝\"\"#$!!\"%&Ｆ（ｘ）沿ｙ軸方向上、下平移得到．（２）由於（Ｆ（ｘ）＋Ｃ）′＝Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），即橫坐標相同點\"''''(!!\"處，所有曲線的切線都是互相平行的，如圖４－１所示．在求原函數的具體問題中，往往先求出原函數的一般表)!!!
達式ｙ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，再從中確定一個滿足條件ｙ＝ｙ０（稱ｘ＝ｘ０圖４－１為初始條件）的原函數．從幾何意義上講，就是從積分曲線族中找出一條通過點（ｘ０，ｙ０）的積分曲線．【例３】已知曲線上任意一點處切線斜率等於該點處橫坐標平方的兩倍，且該曲線經過點（０，３），求曲線方程．解設所求曲線為ｙ＝ｆ（ｘ），由題意ｙ′＝２ｘ２，２２３於是ｙ＝２ｘｄｘ＝ｘ＋Ｃ．∫３又因為曲線過點（０，３），代入上式可得Ｃ＝３，所以，所求曲線的方程為２３ｙ＝ｘ＋３．３
!\"４－１１．判斷下列各式的正確性．３４１２（１）ｘｄｘ＝ｘ＋Ｃ；（２）ｘｄｘ＝ｘ；∫∫２·１１２·高等數學１１（３）ｄｘ＝ｌｎｘ＋Ｃ，（ｘ＞０）；（４）ｄｘ＝ｌｎ（－ｘ）＋Ｃ，（ｘ＜０）；∫ｘ∫ｘ１１１（５）ｄｘ＝－＋Ｃ；（６）ｃｏｓ（２ｘ＋３）ｄｘ＝ｓｉｎ（２ｘ＋３）＋Ｃ．∫ｘ２ｘ∫２２．已知曲線ｙ＝ｆ（ｘ）在任一點ｘ處的切線斜率為ｋ（ｋ為常數），求曲線的方程．３．已知曲線ｙ＝ｆ（ｘ）的導數等於ｘ＋２，且ｘ＝２時ｙ＝５，求這個函數．４．已知某曲線上任意一點（ｘ，ｙ）處切線的斜率為２ｘ，且曲線過點Ｍ（０，１），求此曲線的方程．５．設物體的運動速度為ｖ＝３ｔ２＋ｃｏｓｔ，當ｔ＝π時，物體經過的路程為ｓ＝１０，求物體的運動方程．６．已知質點在時刻ｔ的速度為ｖ＝３ｔ－２，且ｔ＝０時距離ｓ＝５，求此質點的運動方程．７．已知某產品產量的變化率是時間ｔ的函數ｆ（ｔ）＝ａｔ＋ｂ（ａ，ｂ是常數），設此產品ｔ時的產量函數為Ｐ（ｔ），已知Ｐ（０）＝０，求Ｐ（ｔ）．第二節不定積分的基本公式和法則由於積分運算是導數（或微分）運算的逆運算，因此，可以從導數的基本公式得出相應的不定積分的基本公式，現把它們列表對照，如表４－１所示．表４－１序號Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ１（ｘ）′＝１∫ｄｘ＝ｘ＋Ｃａ＋１ａ＋１ｘａｘ２′＝ｘｘａｄｘ＝＋Ｃ（ａ≠－１）(ａ＋１)∫ａ＋１１１３（ｌｎ｜ｘ｜）′＝ｄｘ＝ｌｎ｜ｘ｜＋Ｃ（ｘ≠０）ｘ∫ｘｘｘａｘａ４′＝ａａｘｄｘ＝＋Ｃ（ａ＞０，ａ≠１）(ｌｎａ)∫ｌｎａ５（ｅｘ）′＝ｅｘ∫ｅｘｄｘ＝ｅｘ＋Ｃ６（ｓｉｎｘ）′＝ｃｏｓｘ∫ｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ＋Ｃ７（－ｃｏｓｘ）′＝ｓｉｎｘ∫ｓｉｎｘｄｘ＝－ｃｏｓｘ＋Ｃ８（ｔａｎｘ）′＝ｓｅｃ２ｘ∫ｓｅｃ２ｘｄｘ＝ｔａｎｘ＋Ｃ９（－ｃｏｔｘ）′＝ｃｓｃ２ｘ∫ｃｓｃ２ｘｄｘ＝－ｃｏｔｘ＋Ｃ１０（ｓｅｃｘ）′＝ｓｅｃｘｔａｎｘ∫ｓｅｃｘｔａｎｘｄｘ＝ｓｅｃｘ＋Ｃ第四章不定積分·１１３·續表：序號Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ１１（－ｃｓｃｘ）′＝ｃｓｃｘｃｏｔｘ∫ｃｓｃｘｃｏｔｘｄｘ＝－ｃｓｃｘ＋Ｃ１１１２（ａｒｃｓｉｎｘ）′＝ｄｘ＝ａｒｃｓｉｎｘ＋Ｃ２∫２槡１－ｘ槡１－ｘ１１１３（ａｒｃｔａｎｘ）′＝ｄｘ＝ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃ１＋ｘ２∫１＋ｘ２【例１】求下列不定積分．１ｘ（１）２ｄｘ；（２）ｘ槡ｘｄｘ；（３）２ｄｘ．∫ｘ∫∫－２＋１１－２ｘ１解（１）ｄｘ＝ｘｄｘ＝＋Ｃ＝－＋Ｃ．∫ｘ２∫－２＋１ｘ３
＋１３ｘ２２５（２）ｘｘｄｘ＝ｘ２ｄｘ＝＋Ｃ＝ｘ２＋Ｃ．∫槡∫３５＋１２
ｘ１ｘ（３）２ｄｘ＝２＋Ｃ．∫ｌｎ２一、不定積分的性質性質１不定積分的導數（或微分）等於被積函數（或被積表達式），即[∫ｆ（ｘ）ｄｘ]′＝ｆ（ｘ）或ｄ[∫ｆ（ｘ）ｄｘ]＝ｆ（ｘ）ｄｘ．性質２一個函數的導數（或微分）的不定積分與這個函數相差一個常數，即∫ｆ′（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）＋Ｃ或∫ｄｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋Ｃ．例如：(∫ｓｉｎｘｄｘ)′＝ｓｉｎｘ；(∫ｅｘｄｘ)′＝ｅｘ；∫ｄｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ＋Ｃ；∫ｄｅｘ＝ｅｘ＋Ｃ．因此，“求不定積分”和“求導數”或“求微分”互為逆運算．為了簡便，不定積分也簡稱為積分，求不定積分的運算和方法分別稱為積分運算和積分法．二、積分的基本運算法則法則１兩個函數的代數和的不定積分等於各個函數不定積分的代數和，即［ｆ（ｘ）±ｆ（ｘ）］ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ±ｆ（ｘ）ｄｘ．∫１２∫１∫２法則１可以推廣到有限個函數代數和的情形，即ｎｎ∑ｆｉ（ｘ）ｄｘ＝∑ｆｉ（ｘ）ｄｘ（ｉ＝１，２，…，ｎ）．∫ｉ＝１ｉ＝１∫法則２被積函數中的非零常數因子可以提到積分符號外，即·１１４·高等數學∫ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋ∫ｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ≠０且為常數）．【例２】求下列不定積分．ｘ３ｘ２２２（１）（５ｓｉｎｘ－３＋槡ｘ）ｄｘ；（２）２ｅ－ｓｅｃｘ＋３ｘ－ｄｘ．∫∫(ｘ)１
ｘ３ｘ解（１）∫（５ｓｉｎｘ－３＋槡ｘ）ｄｘ＝∫５ｓｉｎｘｄｘ－∫３ｄｘ＋∫ｘ３ｄｘ４
１ｘ３＝－５ｃｏｓｘ－３＋ｘ３＋Ｃ．ｌｎ３４ｘ２２２ｘ２２２（２）２ｅ－ｓｅｃｘ＋３ｘ－ｄｘ＝２ｅｄｘ－ｓｅｃｘｄｘ＋３ｘｄｘ－ｄｘ∫(ｘ)∫∫∫∫ｘｘ２３１＝２ｅｄｘ－ｓｅｃｘｄｘ＋ｘ－２ｄｘ∫∫∫ｘ＝２ｅｘ－ｔａｎｘ＋ｘ３－２ｌｎ｜ｘ｜＋Ｃ．三、直接積分法用積分基本公式和不定積分的性質，直接求出積分的方法稱為直接積分法．【例３】求不定積分∫（３－槡ｘ）ｘｄｘ．解把被積函數轉化成代數和形式，再積分有∫（３－槡ｘ）ｘｄｘ＝∫（３ｘ－ｘ槡ｘ）ｄｘ３
＝∫３ｘｄｘ－∫ｘ２ｄｘ５
３２２＝ｘ－ｘ２＋Ｃ（Ｃ為任意常數）．２５（ｘ－１）３【例４】求不定積分ｄｘ．∫ｘ２（ｘ－１）３ｘ３－３ｘ２＋３ｘ－１１１解ｄｘ＝ｄｘ＝ｘｄｘ－３ｄｘ＋３ｄｘ－ｄｘ∫ｘ２∫(ｘ２)∫∫∫ｘ∫ｘ２１２１＝ｘ－３ｘ＋３ｌｎ｜ｘ｜＋＋Ｃ．２ｘ【例５】求不定積分∫ｅｘ２ｘｄｘ．解∫ｅｘ２ｘｄｘ＝∫（２ｅ）ｘｄｘ（２ｅ）ｘ＝＋Ｃｌｎ２ｅ２ｘｅｘ＝＋Ｃ．１＋ｌｎ２ｘ２【例６】求不定積分ｄｘ．∫１＋ｘ２第四章不定積分·１１５·ｘ２１＋ｘ２－１１解ｄｘ＝ｄｘ＝１－ｄｘ∫１＋ｘ２∫１＋ｘ２∫(１＋ｘ２)１
＝ｄｘ－ｄｘ＝ｘ－ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃ．∫∫１＋ｘ２２ｘ２＋１【例７】求不定積分ｄｘ．∫ｘ２（１＋ｘ２）２ｘ２＋１ｘ２＋１＋ｘ２１１解ｄｘ＝ｄｘ＝＋ｄｘ∫ｘ２（１＋ｘ２）∫ｘ２（１＋ｘ２）∫(ｘ２１＋ｘ２)１
＝－＋ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃ．ｘ
１【例８】求不定積分ｄｘ．∫ｃｏｓ２ｘｓｉｎ２ｘ１ｓｉｎｘ２＋ｃｏｓｘ２解ｄｘ＝ｄｘ∫ｃｏｓ２ｘｓｉｎ２ｘ∫ｃｏｓ２ｘｓｉｎ２ｘ＝∫ｓｅｃ２ｘｄｘ＋∫ｃｓｃ２ｘｄｘ＝ｔａｎｘ－ｃｏｔｘ＋Ｃ．【例９】求不定積分∫ｔａｎ２ｘｄｘ．解∫ｔａｎ２ｘｄｘ＝∫（ｓｅｃ２ｘ－１）ｄｘ＝∫ｓｅｃ２ｘｄｘ－∫ｄｘ＝ｔａｎｘ－ｘ＋Ｃ．２ｘ【例１０】求不定積分ｃｏｓｄｘ．∫２２ｘ１＋ｃｏｓｘ１１解ｃｏｓｄｘ＝ｄｘ＝ｄｘ＋ｃｏｓｘｄｘ＝（ｘ＋ｓｉｎｘ）＋Ｃ．∫２∫２２(∫∫)２２２ｘ＋ｓｉｎｘ２【例１１】求不定積分ｓｅｃｘｄｘ．∫ｘ２＋１２２２２ｘ＋ｓｉｎｘ２ｘ＋（１－ｃｏｓｘ）解ｓｅｃｘｄｘ＝ｄｘ∫ｘ２＋１∫（ｘ２＋１）ｃｏｓ２ｘ１１＝－ｄｘ∫(ｃｏｓ２ｘ１＋ｘ２)＝ｔａｎｘ－ａｒｃｔａｎｘ＋Ｃ．!\"４－２１．求下列各式的結果．（１）∫（ｘｔａｎｘ）′ｄｘ；（２）(∫（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）ｄｘ)′；（３）∫ｄ（ｅｘａｒｃｓｉｎｘ）．２．求下列不定積分．·１１６·高等數學１１（１）ｄｘ；（２）ｄｘ；∫３∫２ｘｘ槡ｘ２
ｘｘ１（３）（ｅ＋５）ｄｘ；（４）ｘ＋ｄｘ；∫∫(ｘ)２
ｘ＋ｘｘ－３ｘ３（５）∫槡ｄｘ；（６）∫（３＋ｘ）ｄｘ；槡ｘ２２ｘ（７）ｔａｎｘｄｘ；（８）ｓｉｎｄｘ；∫∫２ｓｉｎ２ｘｃｏｓ２ｘ（９）ｄｘ；（１０）ｄｘ；∫ｓｉｎｘ∫ｓｉｎ２ｘｘｘ２（１１）ｓｅｃｘ（ｓｅｃｘ－ｔａｎｘ）ｄｘ；（１２）ｃｏｓ－ｓｉｎｄｘ；∫∫(２２)ｘ４ｘ４＋１（１３）ｄｘ；（１４）ｄｘ；∫１＋ｘ２∫１＋ｘ２ｘ－４（ｘ＋１）２（１５）ｄｘ；（１６）ｄｘ；∫∫２槡ｘ＋２ｘ（ｘ＋１）ｄｘ１＋ｘ１－ｘ（１７）∫；（１８）∫＋ｄｘ．１＋ｃｏｓ２ｘ(槡１－ｘ槡１＋ｘ)第三節不定積分的積分法利用直接積分法求出的不定積分是有限的，求不定積分的基本思想是利用基本積分公式及不定積分性質，但對於比較複雜的積分，則可先設法將其變形，使其成為能利用基本積分公式的形式，再求出其積分．一、第一換元積分法（湊微分法）首先，考察不定積分∫ｃｏｓ２ｘｄｘ．因為被積函數ｃｏｓ２ｘ是一個複合函數，基本積分公式中沒有這樣的公式，所以不能直接應用公式，我們可將原積分進行適當變形，轉化為某個基本積分公式的形式．函數ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ｘ是由ｆ（ｕ）＝ｓｉｎｕ和ｕ＝２ｘ複合成的，所以１湊微分１ｃｏｓ２ｘｄｘ＝ｃｏｓ２ｘ·２ｄｘｃｏｓ２ｘｄ（２ｘ）∫２∫２∫令２ｘ＝ｕ１１ｃｏｓｕｄｕ＝ｓｉｎｕ＋Ｃ２∫２回代ｕ＝２ｘ１ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ．２
一般地，若不定積分可以化為∫ｆ［φ（ｘ）］φ′（ｘ）ｄｘ＝∫ｆ［φ（ｘ）］ｄφ（ｘ）第四章不定積分·１１７·的形式，則可令φ（ｘ）＝ｕ，積分∫ｆ（ｕ）ｄｕ容易求出，那麼可以按下述方法計算積分．湊微分∫ｆ［φ（ｘ）］φ′（ｘ）ｄｘ∫ｆ［φ（ｘ）］ｄφ（ｘ）令φ（ｘ）＝ｕ∫ｆ（ｕ）ｄｕ＝Ｆ（ｕ）＋Ｃ回收ｕ＝φ（ｘ）Ｆ［φ（ｘ）］＋Ｃ這種積分方法稱為第一換元積分法，也稱為湊微分法．應用第一換元法求不定積分的關鍵是將被積公式中φ′（ｘ）ｄｘ湊成某一個函數φ（ｘ）的微分，即φ′（ｘ）ｄｘ＝ｄφ（ｘ）．下麵我們將通過幾個實例介紹湊微分的基本思路．１
１．利用等式ｄｘ＝ｄ（ａｘ＋ｂ），ａ，ｂ均為常數且ａ≠０湊微分ａ
【例１】求∫ｓｉｎ（２ｘ＋１）ｄｘ．１
解令ｕ＝２ｘ＋１，則ｄｕ＝２ｄｘ即ｄｘ＝ｄｕ，２
１故ｓｉｎ（２ｘ＋１）ｄｘ＝ｓｉｎｕｄｕ∫２∫１
＝－ｃｏｓｕ＋Ｃ．２
再將ｕ＝２ｘ＋１代入上式，得１
ｓｉｎ（２ｘ＋１）ｄｘ＝－ｃｏｓ（２ｘ＋１）＋Ｃ．∫２１
【例２】求ｄｘ．∫２ｘ＋４１
解令ｕ＝２ｘ＋４，則ｄｕ＝２ｄｘ，即ｄｘ＝ｄｕ，２
１１１故ｄｘ＝ｄｕ∫２ｘ＋４２∫ｕ１
＝ｌｎ｜ｕ｜＋Ｃ．２
再將ｕ＝２ｘ＋４代入上式，得１１ｄｘ＝ｌｎ２ｘ＋４＋Ｃ．∫２ｘ＋４２熟練之後，可以將設φ（ｘ）＝ｕ這一步省略，直接進行湊微分．【例３】求∫（６ｘ－８）１２ｄｘ．１２１１２解（６ｘ－８）ｄｘ＝（６ｘ－８）ｄ（６ｘ－８）∫６∫１１３＝（６ｘ－８）＋Ｃ．７８ｄｘ【例４】求（ａ＞０，常數）．∫２２槡ａ－ｘ·１１８·高等數學ｄｘｄｘｄｘ(ａ)解＝＝∫２２∫２∫２槡ａ－ｘａ１－ｘ１－ｘ槡(ａ)槡(ａ)ｘ
＝ａｒｃｓｉｎ＋Ｃ．ａ
此題可作為積分公式直接使用ｄｘｘ＝ａｒｃｓｉｎ＋Ｃ．∫２２槡ａ－ｘａ１
【例５】求ｄｘ（ａ＞０，常數）．∫ａ２＋ｘ２１１１解ｄｘ＝ｄｘ∫２２２∫２ａ＋ｘａ１＋ｘ(ａ)１１＝ｄｘａ∫２()１＋ｘａ(ａ)１ｘ＝ａｒｃｔａｎ＋Ｃ．ａａ此題可作為積分公式直接使用１１ｘｄｘ＝ａｒｃｔａｎ＋Ｃ．∫ａ２＋ｘ２ａａ１２２１３１１１１２．利用ｘｄｘ＝ｄ（ｘ＋ａ），ｘｄｘ＝ｄ（ｘ＋ａ），ｄｘ＝ｄｌｎｘ，２ｄｘ＝－ｄ，ｄｘ＝２ｄ槡ｘ，２３ｘｘｘ槡ｘ２２１ｓｉｎｘｄｘ＝－ｄｃｏｓｘ，ｃｏｓｘｄｘ＝ｄｓｉｎｘ，ｓｅｃｘｄｘ＝ｄｔａｎｘ，ｃｓｃｘｄｘ＝－ｄｃｏｔｘ，ｄｘ＝ｄａｒｃｓｉｎｘ，槡１－ｘ２１
ｄｘ＝ｄａｒｃｔａｎｘ等微分公式湊微分１＋ｘ２注當被積函數是兩個函數乘積且含有上式各因子時，嚐試湊成相應微分來解決所求積分．ｌｎｘ【例６】求ｄｘ．∫ｘ１１解被積函數可以看成ｌｎｘ·的被積形式，且被積公式中含有ｄｘ，可將其湊微分，ｘｘ１
即ｄｘ＝ｄｌｎｘ，則ｘ
ｌｎｘ１ｄｘ＝ｌｎｘ·ｄｘ∫ｘ∫ｘ＝∫ｌｎｘｄ（ｌｎｘ）１２＝ｌｎｘ＋Ｃ．２
第四章不定積分·１１９·ｅｘ【例７】求ｄｘ．∫１＋ｅｘｘ
ｅ１ｘ解ｄｘ＝ｄ（１＋ｅ）∫１＋ｅｘ∫１＋ｅｘ＝ｌｎ｜１＋ｅｘ｜＋Ｃ＝ｌｎ（１＋ｅｘ）＋Ｃ．１１【例８】求ｓｉｎｄｘ．∫ｘ２ｘ１１１１解ｓｉｎｄｘ＝－ｓｉｎｄ∫ｘ２ｘ∫ｘｘ１
＝ｃｏｓ＋Ｃ．ｘ
【例９】求∫ｘ槡ｘ２＋１ｄｘ．２１２２解ｘｘ＋１ｄｘ＝ｘ＋１ｄ（ｘ＋１）∫槡２∫槡３
１２＝（ｘ＋１）２＋Ｃ．３
【例１０】求∫ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘｄｘ．解∫ｓｉｎ２ｘｃｏｓｘｄｘ＝∫ｓｉｎ２ｘｄｓｉｎｘ１３＝ｓｉｎｘ＋Ｃ．３
當遇到被積函數是三角函數時，有時還需將被積函數恒等變形後再求積分．３．利用三角恒等式湊微分【例１１】求∫ｔａｎｘｄｘ．ｓｉｎｘ解ｔａｎｘｄｘ＝ｄｘ∫∫ｃｏｓｘ１
＝－ｄｃｏｓｘ∫ｃｏｓｘ＝－ｌｎ｜ｃｏｓｘ｜＋Ｃ．【例１２】求∫ｓｉｎ２ｘｄｘ．２１－ｃｏｓ２ｘ解ｓｉｎｘｄｘ＝ｄｘ∫∫２１
＝ｄｘ－ｃｏｓ２ｘｄｘ２(∫∫)１１＝ｘ－ｃｏｓ２ｘｄ（２ｘ）２(２∫)１１＝ｘ－ｓｉｎ２ｘ＋Ｃ．２４·１２０·高等數學【例１３】求∫ｓｉｎ３ｘｄｘ．解∫ｓｉｎ３ｘｄｘ＝∫ｓｉｎ２ｘｓｉｎｘｄｘ＝－∫ｓｉｎ２ｘｄｃｏｓｘ＝－∫（１－ｃｏｓ２ｘ）ｄｃｏｓｘ１３＝ｃｏｓｘ－ｃｏｓｘ＋Ｃ．３
【例１４】求∫ｓｉｎ５ｘｃｏｓ２ｘｄｘ．１
解ｓｉｎ５ｘｃｏｓ２ｘｄｘ＝（ｓｉｎ７ｘ＋ｓｉｎ３ｘ）ｄｘ∫２∫１１１１＝·ｓｉｎ７ｘｄ（７ｘ）＋·ｓｉｎ３ｘｄ（３ｘ）２７∫２３∫１１＝－ｃｏｓ７ｘ－ｃｏｓ３ｘ＋Ｃ．１４６當遇到被積函數是ｘ的有理式時，有時也常將被積公式通過代數恒等變形後再求積分．ｘ
【例１５】求ｄｘ．∫１＋ｘｘ１＋ｘ－１１解ｄｘ＝ｄｘ＝１－ｄｘ∫１＋ｘ∫１＋ｘ∫１＋ｘ１
＝ｄｘ－ｄ（ｘ＋１）∫∫１＋ｘ＝ｘ－ｌｎ｜１＋ｘ｜＋Ｃ．１
【例１６】求ｄｘ．∫１＋ｅｘｘｘ１１＋ｅ－ｅ１ｘ解ｄｘ＝ｄｘ＝ｄｘ－ｄ（ｅ＋１）∫１＋ｅｘ∫１＋ｅｘ∫∫１＋ｅｘ＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅｘ）＋Ｃ．１
【例１７】求ｄｘ．∫ｘ２＋４ｘ＋５１１ｄ（ｘ＋２）解ｄｘ＝ｄｘ＝∫ｘ２＋４ｘ＋５∫１＋（ｘ＋２）２∫１＋（ｘ＋２）２＝ａｒｃｔａｎ（ｘ＋２）＋Ｃ．ｘ＋１【例１８】求ｄｘ．∫ｘ２＋４ｘ＋５１２（ｘ＋４ｘ＋５）′－１ｘ＋１２解ｄｘ＝ｄｘ∫ｘ２＋４ｘ＋５∫ｘ２＋４ｘ＋５第四章不定積分·１２１·１（ｘ２＋４ｘ＋５）′１＝ｄｘ－ｄｘ２∫ｘ２＋４ｘ＋５∫ｘ２＋４ｘ＋５１２＝ｌｎ（ｘ＋４ｘ＋５）－ａｒｃｔａｎ（ｘ＋２）＋Ｃ．２
由例１８可知，ｆ′（ｘ）ｄｆ（ｘ）ｄｘ＝＝ｌｎ｜ｆ（ｘ）｜＋Ｃ．∫ｆ（ｘ）∫ｆ（ｘ）１
【例１９】求ｄｘ（ａ＞０，且ａ為常數）．∫ａ２－ｘ２１１解ｄｘ＝ｄｘ∫ａ２－ｘ２∫（ａ－ｘ）（ａ＋ｘ）１（ａ－ｘ）＋（ａ＋ｘ）＝ｄｘ２ａ∫（ａ－ｘ）（ａ＋ｘ）１１１＝ｄｘ＋ｄｘ２ａ(∫ａ＋ｘ∫ａ－ｘ)１ｄ（ａ＋ｘ）ｄ（ａ－ｘ）＝－２ａ(∫ａ＋ｘ∫ａ－ｘ)１
＝ｌｎａ＋ｘ＋Ｃ．２ａａ－ｘ此題可作為積分公式直接使用１１ｄｘ＝ｌｎａ＋ｘ＋Ｃ．∫ａ２－ｘ２２ａａ－ｘ【例２０】求∫ｓｅｃｘｄｘ．解法一：１ｃｏｓｘ１ｓｅｃｘｄｘ＝ｄｘ＝ｄｘ＝ｄｓｉｎｘ∫∫ｃｏｓｘ∫ｃｏｓ２ｘ∫１－ｓｉｎ２ｘ１１１＝＋ｄｓｉｎｘ２∫(１－ｓｉｎｘ１＋ｓｉｎｘ)１
＝ｌｎ１＋ｓｉｎｘ＋Ｃ２１－ｓｉｎｘ１（１＋ｓｉｎｘ）２＝ｌｎ＋Ｃ２１－ｓｉｎ２ｘ１（１＋ｓｉｎｘ）２＝ｌｎ＋Ｃ２ｃｏｓ２ｘ＝ｌｎ１＋ｓｉｎｘ＋Ｃｃｏｓｘ＝ｌｎｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ＋Ｃ．解法二：ｓｅｃｘ（ｔａｎｘ＋ｓｅｃｘ）ｓｅｃｘｄｘ＝ｄｘ∫∫ｔａｎｘ＋ｓｅｃｘ·１２２·高等數學（ｔａｎｘ＋ｓｅｃｘ）′＝ｄｘ∫ｔａｎｘ＋ｓｅｃｘ＝ｌｎ｜ｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ｜＋Ｃ．此題可作為積分公式直接使用∫ｓｅｃｘｄｘ＝ｌｎ｜ｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ｜＋Ｃ．類似地有，∫ｃｓｃｘｄｘ＝ｌｎ｜ｃｓｃｘ－ｃｏｔｘ｜＋Ｃ．由上述實例我們可以歸納出常用的湊微分公式．１
（１）ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄｘ＝ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄ（ａｘ＋ｂ）（ａ≠０），ｕ＝ａｘ＋ｂ∫ａ∫ｕｕ－１１ｕｕｕ（２）ｆ（ｘ）ｘｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄ（ｘ）（ｕ≠０），ｕ＝ｘ∫ｕ∫１
（３）ｆ（ｌｎｘ）·ｄｘ＝ｆ（ｌｎｘ）ｄｌｎｘ，ｕ＝ｌｎｘ∫ｘ∫（４）∫ｆ（ｅｘ）·ｅｘｄｘ＝∫ｆ（ｅｘ）ｄｅｘ，ｕ＝ｅｘｘｘ１ｘｘｘ（５）ｆ（ａ）·ａｄｘ＝ｆ（ａ）ｄａ，ｕ＝ａ∫ｌｎａ∫（６）∫ｆ（ｓｉｎｘ）·ｃｏｓｘｄｘ＝∫ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｓｉｎｘ，ｕ＝ｓｉｎｘ（７）∫ｆ（ｃｏｓｘ）·ｓｉｎｘｄｘ＝－∫ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｃｏｓｘ，ｕ＝ｃｏｓｘ（８）∫ｆ（ｔａｎｘ）·ｓｅｃ２ｘｄｘ＝∫ｆ（ｔａｎｘ）ｄｔａｎｘ，ｕ＝ｔａｎｘ（９）∫ｆ（ｃｏｔｘ）·ｃｓｃ２ｘｄｘ＝－∫ｆ（ｃｏｔｘ）ｄｃｏｔｘ，ｕ＝ｃｏｔｘ１
（１０）ｆ（ａｒｃｔａｎｘ）·ｄｘ＝ｆ（ａｒｃｔａｎｘ）ｄ（ａｒｃｔａｎｘ），ｕ＝ａｒｃｔａｎｘ∫１＋ｘ２∫１
（１１）ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）·ｄｘ＝ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）ｄ（ａｒｃｓｉｎｘ），ｕ＝ａｒｃｓｉｎｘ∫２∫槡１－ｘ二、第二換元積分法在第一換元積分法中，是用新變量ｕ替換被積函數中的可微函數φ（ｘ），從而使不定積分容易計算．但對於某些被積函數，例如積分∫槡ａ２－ｘ２ｄｘ，則不能解決問題．若引入新變量ｔ，將積分變量ｘ表示為一個連續函數ｘ＝ａｓｉｎｔ，則可以簡化積分計算，從而求出結果．一般地，如果∫ｆ（ｘ）ｄｘ不易計算，可設ｘ＝φ（ｔ），將∫ｆ（ｘ）ｄｘ化為∫ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）ｄｔ．當這種形式的積分容易計算時，隻要將積分結果中的ｔ換回到ｘ，便可得到所要求的不定第四章不定積分·１２３·積分．這一積分方法稱為第二換元積分法，其步驟如下：令ｘ＝φ（ｔ）∫ｆ（ｘ）ｄｘ∫ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）ｄｔ＝Ｆ（ｔ）＋Ｃ回代ｔ＝φ－１（ｘ）Ｆ［φ－１（ｘ）］＋Ｃ．使用第二換元積分法時應注意：（１）函數ｘ＝φ（ｔ）有連續導數，且φ′（ｔ）≠０；（２）函數ｘ＝φ（ｔ）存在反函數ｔ＝φ－１（ｘ）．１．簡單根式代換１
【例２１】求∫ｄｘ．１＋槡ｘ２
解因為被積函數含有根號，不容易湊微分，為了去掉根號，令槡ｘ＝ｔ，ｘ＝ｔ，則有關係ｄｘ＝２ｔｄｔ，於是有ｄｘ２ｔ（ｔ＋１）－１∫＝∫ｄｔ＝２∫ｄｔ１＋槡ｘ１＋ｔ１＋ｔ１
＝２ｄｔ－ｄｔ(∫∫１＋ｔ)＝２（ｔ－ｌｎ｜１＋ｔ｜）＋Ｃ，將ｔ＝槡ｘ代入上式，得１
∫ｄｘ＝２［槡ｘ－ｌｎ（１＋槡ｘ）］＋Ｃ．１＋槡ｘｘ－１【例２２】求槡ｄｘ．∫ｘ解因為被積函數含有根號，不容易湊微分，為了去掉被積函數中的根號，令槡ｘ－１＝ｔ，ｘ＝ｔ２＋１，則有關係ｄｘ＝２ｔｄｔ，於是，有ｘ－１ｔ２（ｔ２＋１）－１ｄｘ＝２ｄｔ＝２ｄｔ∫ｘ∫１＋ｔ２∫１＋ｔ２１
＝２１－ｄｔ∫(１＋ｔ２)＝２（ｔ－ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ，將槡ｘ－１＝ｔ代入上式得ｘ－１槡ｄｘ＝２（ｘ－１－ａｒｃｔａｎｘ－１）＋Ｃ．∫ｘ槡槡１
【例２３】求ｄｘ．∫４槡ｘ＋槡ｘ４
解被積函數含有根號，由第二換元法，設變量，令槡ｘ＝ｔ找關係，ｘ＝ｔ４，ｄｘ＝４ｔ３ｄｔ·１２４·高等數學１４ｔ３ｔ２求積分，ｄｘ＝ｄｔ＝４ｄｔ∫４∫２∫槡ｘ＋槡ｘｔ＋ｔｔ＋１（ｔ２－１）＋１＝４ｄｔ∫ｔ＋１１
＝４ｔ－１＋ｄｔ∫(１＋ｔ)１２＝４（ｔ－ｔ＋ｌｎ｜ｔ＋１｜）＋Ｃ，２
４代回變量，將槡ｘ＝ｔ代入上式得ｄｘ１２＝４ｔ－ｔ＋ｌｎ｜ｔ＋１｜＋Ｃ∫４()槡ｘ＋槡ｘ２４４＝２槡ｘ－４槡ｘ＋４ｌｎ（槡ｘ＋１）＋Ｃ．ｘ＋１【例２４】求∫ｄｘ．ｘ槡ｘ－１解設變量，令槡ｘ－１＝ｔ，找關係，ｘ＝ｔ２＋１，ｄｘ＝２ｔｄｔ，ｘ＋１ｔ２＋２求積分，ｄｘ＝·２ｔｄｔ∫∫２ｘ槡ｘ－１（ｔ＋１）·ｔｔ２＋１＋１＝２ｄｔ∫ｔ２＋１１
＝２ｄｔ＋ｄｔ(∫∫ｔ２＋１)＝２（ｔ＋ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ，代回變量有ｘ＋１∫ｄｘ＝２（ｔ＋ａｒｃｔａｎｔ）＋Ｃ．ｘ槡ｘ－１＝２（槡ｘ－１＋ａｒｃｔａｎ槡ｘ－１）＋Ｃ．注如果被積函數中含有不同根指數的同一個函數的根式，我們可以取各個不同根指數的最小公倍數作為這個函數的根指數，並以所得根式為新的積分變量，從而消除了被積函數中的這些根式．２．三角代換【例２５】求∫槡ａ２－ｘ２ｄｘ（ａ＞０）．解被積函數含有二次根式，利用三角關係式中平方關係ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１，使其有理化．π
令ｘ＝ａｓｉｎｔ｜ｔ｜＜，則(２)槡ａ２－ｘ２＝ａ槡１－ｓｉｎ２ｔ＝ａｃｏｓｔ，又ｄｘ＝ａｃｏｓｔｄｔ，於是有第四章不定積分·１２５·求積分，∫槡ａ２－ｘ２ｄｘ＝ａ２∫ｃｏｓ２ｔｄｔ\"
ａ２＝（１＋ｃｏｓ２ｔ）ｄｔ!
２∫ａ２１＝（ｔ＋ｓｉｎ２ｔ）＋Ｃ#２２\"!$!!
ａ２＝（ｔ＋ｓｉｎｔ·ｃｏｓｔ）＋Ｃ，圖４－２２
ｘ代回變量，由ｓｉｎｔ＝，畫一個直角三角形如圖４－２所示．ａ
ｘａ２－ｘ２由ｔ＝ａｒｃｓｉｎ，ｃｏｓｔ＝槡ａａ於是有２
２２ａａ－ｘｄｘ＝（ｔ＋ｓｉｎｔ·ｃｏｓｔ）＋Ｃ∫槡２ａ２ｘｘａ２－ｘ２＝（ａｒｃｓｉｎ＋·槡）＋Ｃ２ａａａ２
ａｘｘ２２＝（ａｒｃｓｉｎ＋ａ－ｘ）＋Ｃ２ａａ２槡２
ａｘｘ２２＝ａｒｃｓｉｎ＋ａ－ｘ＋Ｃ．２ａ２槡１
【例２６】求ｄｘ（ａ＞０）．∫２２槡ｘ＋ａ解被積函數中含有二次根式，利用三角關係式中的平方關係１＋ｔａｎ２ｘ＝ｓｅｃ２ｘ，使其有理化．π
設變量，令ｘ＝ａｔａｎｔ，｜ｔ｜＜(２)２!!
找關係，ｄｘ＝ａｓｅｃｔｄｔ\"$!!
１ａｓｅｃ２ｔ求積分，ｄｘ＝ｄｔ∫２２∫槡ｘ＋ａａｓｅｃｔ#\"
＝ｓｅｃｔｄｔ∫圖４－３＝ｌｎｔａｎｔ＋ｓｅｃｔ＋Ｃ１，ｘ
代回變量，根據ｔａｎｔ＝作直角三角形，如圖４－３所示，有ａ
１ｄｘ＝ｌｎｔａｎｔ＋ｓｅｃｔ＋Ｃ１∫２２槡ｘ＋ａｘｘ２＋ａ２＝ｌｎ＋槡＋Ｃ１ａａ＝ｌｎ２２－ｌｎａ＋Ｃｘ＋槡ｘ＋ａ１·１２６·高等數學＝ｌｎｘ＋槡ｘ２＋ａ２＋Ｃ，其中，Ｃ＝Ｃ１－ｌｎａ．１
【例２７】求ｄｘ（ａ＞０）．∫２２槡ｘ－ａ解被積函數中含有二次根式，利用三角關係式中的平方關係ｓｅｃ２ｘ－１＝ｔａｎ２ｘ，使其有理化（示意圖見圖４－４）．設變量，令ｘ＝ａｓｅｃｔ，找關係，ｄｘ＝ａｓｅｃｔ·ｔａｎｔｄｔ，槡ｘ２－ａ２＝槡ａ２ｓｅｃ２ｔ－ａ２＝ａｔａｎｔ，所以１ａｓｅｃｔ·ｔａｎｔ求積分，ｄｘ＝ｄｔ∫２２∫槡ｘ－ａａｔａｎｔ!
＝ｓｅｃｔｄｔ!!$\"!
＝ｌｎ｜ｓｅｃｔ＋ｔａｎｔ｜＋Ｃ１，#
代回變量\"
ｘｘ２－ａ２＝ｌｎ＋槡＋Ｃ１圖４－４ａａ＝ｌｎｘ＋槡ｘ２－ａ２＋Ｃ，其中，Ｃ＝Ｃ１－ｌｎａ．注可利用三角恒等式換元，以消去根號，使被積表達式簡化．２２π當被積分函數含有根式ａ－ｘ時，可令ｘ＝ａｓｉｎｔ｜ｔ｜＜；槡(２)２２π當被積分函數含有根式ａ＋ｘ時，可令ｘ＝ａｔａｎｔ｜ｔ｜＜；槡(２)２２π當被積分函數含有根式ｘ－ａ時，可令ｘ＝ａｓｅｃｔ｜ｔ｜＜．槡(２)表４－１續１４∫ｔａｎｘｄｘ＝－ｌｎ｜ｃｏｓｘ｜＋Ｃ１５∫ｃｏｔｘｄｘ＝ｌｎ｜ｓｉｎｘ｜＋Ｃ１６∫ｓｅｃｘｄｘ＝ｌｎ｜ｓｅｃｘ＋ｔａｎｘ｜＋Ｃ１７∫ｃｓｃｘｄｘ＝ｌｎ｜ｃｓｃｘ－ｃｏｔｘ｜＋Ｃｄｘｘ１８＝ａｒｃｓｉｎ＋Ｃ（ａ＞０）∫２２槡ａ－ｘａｄｘ＝ｌｎ２２＋Ｃ（ａ＞０）１９∫２２槡ｘ±ａ＋ｘ槡ｘ±ａ第四章不定積分·１２７·續表：ｄｘ１ｘ２０＝ａｒｃｔａｎ＋Ｃ（ａ≠０）∫ｘ２＋ａ２ａａｄｘ１ｘ－ａ２１＝ｌｎ＋Ｃ（ａ≠０）∫ｘ２－ａ２２ａｘ＋ａｄｘ１ｘ＋ａ２２＝ｌｎ＋Ｃ（ａ≠０）∫ａ２－ｘ２２ａｘ－ａａ２ｘｘ２３ａ２－ｘ２ｄｘ＝ａｒｃｓｉｎ＋ａ２－ｘ２＋Ｃ（ａ＞０）∫槡２ａ２槡２
２２ｘ２２ａ２４ｘ±ａｄｘ＝ｘ±ａ±ｌｎ２２＋Ｃ（ａ＞０）∫槡２槡２ｘ＋槡ｘ±ａ三、分部積分法換元積分法雖然解決了許多函數的不定積分問題，但仍然有一部分函數的不定積分，例如對於形如∫ｘｅｘｄｘ，∫ｅｘｃｏｓｘｄｘ，∫ｌｎｘｄｘ、∫ａｒｃｓｉｎｘｄｘ等，不能用換元積分法解決．為此，本節將在兩個函數乘積的微分法則的基礎上，推得另一種求積分的基本方法———分部積分法．設函數ｕ＝ｕ（ｘ）及ｖ＝ｖ（ｘ）在區間Ｄ上具有連續導數，根據乘積的微分法則，有ｄ（ｕｖ）＝ｕｄｖ＋ｖｄｕ，移項，得ｕｄｖ＝ｄ（ｕｖ）－ｖｄｕ，兩邊求不定積分，得∫ｕｄｖ＝ｕｖ－∫ｖｄｕ．這個公式被叫作分部積分公式．利用分部積分公式求積分的方法叫作分部積分法．分部積分法常用於被積函數是兩種不同類型函數乘積的積分．如，∫ｘｎ·ｓｉｎαｘｄｘ，∫ｘｎ·ａｘｄｘ，∫ｅｘ·ｃｏｓβｘｄｘ等．利用分部積分公式解題的關鍵是如何恰當地選取ｕ和ｄｖ，選取的原則是：（１）ｖ要容易求出；（２）∫ｖｄｕ要比原積分∫ｕｄｖ容易求得．【例２８】求∫ｘｅｘｄｘ．解被積函數是冪函數與指數函數的乘積，用分部積分法，令ｕ＝ｘ，ｄｖ＝ｅｘｄｘ＝ｄｅｘ（湊微分），則ｄｕ＝ｄｘ，ｖ＝ｅｘ由分部積分公式，得∫ｘｅｘｄｘ＝∫ｘｄｅｘ＝ｘ·ｅｘ－∫ｅｘｄｘ（利用公式，交換ｕ，ｖ位置）＝ｘ·ｅｘ－ｅｘ＋Ｃ（求∫ｖｄｕ，得結果）．·１２８·高等數學【例２９】求∫ｘｃｏｓｘｄｘ．解被積函數是冪函數與三角函數的乘積，用分部積分法，令ｕ＝ｘ，ｄｖ＝ｃｏｓｘｄｘ＝ｄｓｉｎｘ，得∫ｘｃｏｓｘｄｘ＝∫ｘｄｓｉｎｘ＝ｘ·ｓｉｎｘ－∫ｓｉｎｘｄｘ＝ｘ·ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋Ｃ．【例３０】求∫ｘｌｎｘｄｘ．解被積函數是冪函數與對數函數的乘積，用部分積分法，得ｘ２ｘｌｎｘｄｘ＝ｌｎｘｄ∫∫２ｘ２ｘ２＝·ｌｎｘ－ｄｌｎｘ２∫２ｘ２１＝·ｌｎｘ－ｘｄｘ２２∫１２１２＝ｘ·ｌｎｘ－ｘ＋Ｃ．２４【例３１】求∫ｘａｒｃｔａｎｘｄｘ．解被積函數是冪函數與反三角函數的乘積，用分部積分法，得１２ｘａｒｃｔａｎｘｄｘ＝ａｒｃｔａｎｘｄｘ∫２∫１２１２＝ｘａｒｃｔａｎｘ－ｘｄａｒｃｔａｎｘ２２∫２
１２１ｘ＝ｘａｒｃｔａｎｘ－ｄｘ２２∫１＋ｘ２１２１１＝ｘａｒｃｔａｎｘ－１－ｄｘ２２∫(１＋ｘ２)１２１＝ｘａｒｃｔａｎｘ－（ｘ－ａｒｃｔａｎｘ）＋Ｃ．２２１【例３２】求∫ｅｘｓｉｎｘｄｘ．解被積函數是指數函數與三角函數的乘積，用分部積分法，得∫ｅｘｓｉｎｘｄｘ＝∫ｓｉｎｘｄｅｘ＝ｅｘｓｉｎｘ－∫ｅｘｄｓｉｎｘ＝ｅｘｓｉｎｘ－∫ｅｘｃｏｓｘｄｘ＝ｅｘｓｉｎｘ－∫ｃｏｓｘｄｅｘ＝ｅｘｓｉｎｘ－ｅｘｃｏｓｘ－∫ｅｘｓｉｎｘｄｘ，第四章不定積分·１２９·於是有２∫ｅｘｓｉｎｘｄｘ＝ｅｘ（ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）＋Ｃ，ｘ１ｘ即ｅｓｉｎｘｄｘ＝ｅ（ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ）＋Ｃ．∫２由上述幾例可知，當被積函數是兩種不同類型函數的乘積時，可以考慮用分部積分法．選取ｕ，ｄｖ的原則如下：（１）當被積函數是冪函數與指數函數或三角函數乘積時，設冪函數為ｕ，指數函數或三角函數與ｄｘ乘積部分為ｄｖ，如例２８、例２９．（２）當被積函數是冪函數與對數函數或反三角函數乘積時，設對數函數或反三角函數為ｕ，冪函數與ｄｘ乘積部分為ｄｖ，如例３０、例３１．（３）當被積函數是指數函數與三角函數乘積時，選取哪個函數為ｕ均可，但兩次用分部積分法時選取ｕ要一致，如例３２．有些積分在連續使用分部積分公式的過程中，有時會出現原有積分形式，這時要把等式看作以原積分為未知量的方程來求解，如例３２．利用分部積分求積分解題步驟歸納如下：（１）湊微分（是關鍵，原則如上述）．（２）利用公式，交換ｕ，ｖ的位置．（３）求積分，得結果．有些不定積分需綜合應用換元法與分部積分法才可求出，如下例．３
【例３３】求∫ｅ槡ｘｄｘ．解被積函數中含有三次根式，用第二換元法，再用分部積分法．３３２令槡ｘ＝ｔ，ｘ＝ｔ，則ｄｘ＝３ｔｄｔ，於是有３
∫ｅ槡ｘｄｘ＝３∫ｔ２ｄｅｔ＝３ｔ２ｅｔ－６∫ｔｅｔｄｔ＝３ｔ２ｅｔ－６∫ｔｄｅｔ＝３ｔ２ｅｔ－６ｔｅｔ＋６∫ｅｔｄｔ２ｔｔｔ＝３ｔｅ－６ｔｅ＋６ｅ＋Ｃ１，代回變量，得３２３１３３∫ｅ槡ｘｄｘ＝３ｘ３ｅ槡ｘ－６ｘ３ｅ槡ｘ＋６ｅ槡ｘ＋Ｃ２１３＝３（ｘ３－２ｘ３＋２）ｅ槡ｘ＋Ｃ．!\"４－３１．求下列不定積分．ｘ－２ｘ（１）ｓｉｎｄｘ；（２）ｅｄｘ；∫２∫·１３０·高等數學ｘ１９１（３）＋５ｄｘ；（４）ｄｘ；∫(２)∫１－ｘ２ｌｎ（ｘ＋１）（５）槡ｄｘ；（６）ｃｏｔｘｄｘ；∫ｘ＋１∫ｅｘｘ＋３（７）ｄｘ；（８）ｄｘ；∫２ｘ∫２槡１－ｅｘ＋９ｃｏｓｘ１＋ｔａｎｘ（９）ｄｘ；（１０）ｄｘ；∫ｓｉｎ３ｘ∫ｃｏｓ２ｘｔａｎｘ２ｘ－１（１１）槡ｄｘ；（１２）ｄｘ；∫∫２槡ｘｘ－ｘ＋３ｄｘ２（１３）；（１４）ｓｉｎｘｄｘ；∫ｘ２＋４ｘ＋５∫ｄｘ１－ｘ（１５）；（１６）ｄｘ．∫２∫２ｘ槡１－ｌｎｘ槡９－４ｘ２．求下列不定積分．ｄｘ（１）∫ｘ槡ｘ＋１ｄｘ；（２）∫；槡２ｘ－３＋１ｘ１（３）ｄｘ；（４）ｄｘ；∫４∫３槡３ｘ＋１槡ｘ＋槡ｘ２ｘｅ４（５）ｄｘ；（６）ｘ２ｘ＋３ｄｘ；∫４ｘ∫槡槡１＋ｅ１ｘ（７）∫ｄｘ；（８）∫ｄｘ；１＋槡ｘ槡１－ｘ槡ｘ３
１１＋１＋ｘ（９）ｄｘ；（１０）槡ｄｘ；∫３∫槡ｘ＋１＋１槡１＋ｘ１１（１１）ｄｘ；（１２）ｄｘ；∫２２∫２（１＋ｘ）ｘ槡ｘ－１ｘ２１（１３）ｄｘ；（１４）ｄｘ；∫２∫ｘ槡１－ｘｅ－１１＋ｘｄｘ（１５）槡ｄｘ；（１６）；∫∫３１＋槡１＋ｘ槡ｘ＋槡ｘｄｘｄｘ（１７）；（１８）；∫ｘ∫ｘｅ＋１槡１＋ｅｄｘｄｘ（１９）（ａ＞０）；（２０）；∫２２∫２２槡ｘ－ａｘ槡４－ｘｄｘｘ２（２１）；（２２）ｄｘ．∫∫２ｘ槡１＋ｘ槡９－ｘ３．求下列不定積分．（１）∫ｘｅｘｄｘ；（２）∫ｘｓｉｎｘｄｘ；第四章不定積分·１３１·（３）∫ａｒｃｔａｎｘｄｘ；（４）∫ｌｎ（ｘ２＋１）ｄｘ；ｌｎｘｎ（５）ｄｘ；（６）ｘｌｎｘｄｘ（ｎ≠－１）；∫ｘ２∫（７）∫ｘ２ｅ－ｘｄｘ；（８）∫ｅ槡ｘｄｘ；（９）∫ｘｃｏｓ２ｘｄｘ；（１０）∫ｘ２ｅ－２ｘｄｘ；（１１）∫ｘａｒｃｏｔｘｄｘ；（１２）∫ｅ－ｘｓｉｎ２ｘｄｘ；（１３）∫ａｒｃｃｏｓｘｄｘ；（１４）∫ｘａｒｃｓｉｎｘｄｘ；（１５）∫（ａｒｃｓｉｎｘ）２ｄｘ．#$%&*１．填空題．（１）∫ｓｉｎ３ｘｄｘ＝．－ｘｆ′（ｌｎｘ）（２）設ｆ（ｘ）＝ｅ，則ｄｘ＝．∫ｘ（３）設ｆ（ｘ）為連續函數，則∫ｆ２（ｘ）ｄｆ（ｘ）＝．ｆ（ｌｎｘ）（４）已知ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，則ｄｘ＝．∫∫ｘｄｘ（５）＝．∫２ｘ槡１－ｌｎｘ（６）∫ｘｆ（ｘ２）ｆ′（ｘ２）ｄｘ＝．（７）已知∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｘ２ｅ２ｘ＋Ｃ，則ｆ（ｘ）＝．（８）若ｅ－ｘ是ｆ（ｘ）的一個原函數，則∫ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝．２３（９）若∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝槡ｘ＋Ｃ，則∫ｘｆ（１－ｘ）ｄｘ＝．２１（１０）已知ｆ′（ｘ）＝（ｘ＞０），則ｆ（ｘ）＝．ｘ
２．單項選擇題．（１）設ｆ（ｘ）是可導函數，則（∫ｆ（ｘ）ｄｘ）′為（）．Ａ．ｆ（ｘ）Ｂ．ｆ（ｘ）＋ＣＣ．ｆ′（ｘ）Ｄ．ｆ′（ｘ）＋Ｃ（２）已知ｙ′＝２ｘ，且ｘ＝１時ｙ＝２，則ｙ＝（）．Ａ．ｘ２Ｂ．ｘ２＋ＣＣ．ｘ２＋１Ｄ．ｘ２＋２·１３２·高等數學（３）∫ｄａｒｃｓｉｎ槡ｘ＝（）．Ａ．ａｒｃｓｉｎ槡ｘＢ．ａｒｃｓｉｎ槡ｘ＋ＣＣ．ａｒｃｃｏｓ槡ｘＤ．ａｒｃｃｏｓ槡ｘ＋Ｃ２
（４）若ｌｎｃｏｓ２ｘ是ｆ（ｘ）＝ｋｔａｎ２ｘ的一個原函數，則ｋ＝（）．３
２２４４Ａ．Ｂ．－Ｃ．Ｄ．－３３３３（５）設ｆ（ｘ）的導函數為ｓｉｎｘ，則下列選項中是ｆ（ｘ）的原函數的是（）．Ａ．１＋ｓｉｎｘＢ．１－ｓｉｎｘＣ．１＋ｃｏｓｘＤ．１－ｃｏｓｘ１
（６）下列函數中有一個不是ｆ（ｘ）＝的原函數，它是（）．ｘ
Ａ．Ｆ（ｘ）＝ｌｎ｜ｘ｜Ｂ．Ｆ（ｘ）＝ｌｎ｜Ｃｘ｜（Ｃ是不為零且不為１的常數）Ｃ．Ｆ（ｘ）＝Ｃｌｎ｜ｘ｜（Ｃ是不為零且不為１的常數）Ｄ．Ｆ（ｘ）＝ｌｎ｜ｘ｜＋Ｃ（Ｃ是不為零的常數）（７）設ｆ′（ｘ）存在，則[∫ｄｆ（ｘ）]′＝（）．Ａ．ｆ（ｘ）Ｂ．ｆ′（ｘ）Ｃ．ｆ（ｘ）＋ＣＤ．ｆ′（ｘ）＋Ｃ（８）若ｆ（ｘ）為連續函數，且∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，Ｃ為任意常數，則下列各式中正確的是（）．Ａ．∫ｆ（ａｘ＋ｂ）ｄｘ＝Ｆ（ａｘ＋ｂ）＋ＣＢ．∫ｆ（ｘｎ）ｘｎ－１ｄｘ＝Ｆ（ｘｎ）＋Ｃ１
Ｃ．ｆ（ｌｎａｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｌｎａｘ）＋Ｃ（ａ≠０）∫ｘＤ．∫ｆ（ｅ－ｘ）ｅ－ｘｄｘ＝Ｆ（ｅ－ｘ）＋Ｃ（９）設ｆ′（ｌｎｘ）＝１＋ｘ，則ｆ（ｘ）＝（）．ｘｘ１２Ａ．ｘ＋ｅ＋ＣＢ．ｅ＋ｘ＋Ｃ２
１２ｘ１２ｘＣ．ｌｎｘ＋（ｌｎｘ）＋ＣＤ．ｅ＋ｅ＋Ｃ２２（１０）若∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｘ２＋Ｃ，則∫ｘｆ（１－ｘ２）ｄｘ＝（）．Ａ．２（１－ｘ２）２＋ＣＢ．－２（１－ｘ２）２＋Ｃ１２２１２２Ｃ．（１－ｘ）＋ＣＤ．－（１－ｘ）＋Ｃ２２－ｘｆ′（ｌｎｘ）（１１）設ｆ（ｘ）＝ｅ，則ｄｘ＝（）．∫ｘ１１Ａ．－＋ＣＢ．－ｌｎｘ＋ＣＣ．＋ＣＤ．ｌｎｘ＋Ｃｘｘ第四章不定積分·１３３·ｆ（ａｒｃｓｉｎｘ）（１２）設ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｓｉｎｘ＋Ｃ，則ｄｘ＝（）．∫∫２槡１－ｘＡ．ａｒｃｓｉｎｘ＋ＣＢ．ｓｉｎ槡１－ｘ２＋Ｃ１２Ｃ．（ａｒｃｓｉｎｘ）＋ＣＤ．ｘ＋Ｃ２
（１３）∫ｘ（ｘ＋１）１０ｄｘ＝（）．１１１１２１１１Ａ．（ｘ＋１）＋ＣＢ．ｘ＋（ｘ＋１）＋Ｃ１１２１１１１２１１１１１２１１１Ｃ．（ｘ＋１）－（ｘ＋１）＋ＣＤ．（ｘ＋１）＋（ｘ＋１）＋Ｃ１２１１１２１１（１４）∫ｘｆ（ｘ２）ｆ′（ｘ２）ｄｘ＝（）．１２１２２Ａ．ｆ（ｘ）＋ＣＢ．ｆ（ｘ）＋Ｃ２２１２２１２２２Ｃ．ｆ（ｘ）＋ＣＤ．ｘｆ（ｘ）＋Ｃ４４（１５）若ｓｉｎｘ是ｆ（ｘ）的一個原函數，則∫ｘｆ′（ｘ）ｄｘ＝（）．Ａ．ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋ＣＢ．ｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ＣＣ．ｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＋ＣＤ．ｘｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ＋Ｃ１
（１６）＋１ｄ（ｓｉｎｘ）＝（）．∫(ｓｉｎ２ｘ)Ａ．－ｃｏｔｘ＋ｘ＋ＣＢ．－ｃｏｔｘ＋ｓｉｎｘ＋Ｃ－１－１Ｃ．＋ｓｉｎｘ＋ＣＤ．＋ｘ＋Ｃｓｉｎｘｓｉｎｘ（１７）若∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，則∫ｓｉｎｆ（ｃｏｓｘ）ｄｘ等於（）Ａ．Ｆ（ｓｉｎｘ）＋ＣＢ．－Ｆ（ｓｉｎｘ）＋ＣＣ．Ｆ（ｃｏｓｘ）＋ＣＤ．－Ｆ（ｃｏｓｘ）＋Ｃ１１（１８）若∫ｆ（ｘ）ｅ－ｘｄｘ＝－ｅ－ｘ＋Ｃ，則ｆ（ｘ）為（）．１１１１Ａ．－Ｂ．－Ｃ．Ｄ．ｘｘ２ｘｘ２（１９）設Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的一個原函數，則∫ｅ－ｘｆ（ｅ－ｘ）ｄｘ等於（）．Ａ．Ｆ（ｅ－ｘ）＋ＣＢ．－Ｆ（ｅ－ｘ）＋ＣＣ．Ｆ（ｅｘ）＋ＣＤ．－Ｆ（ｅｘ）＋Ｃ３．求下列不定積分．（１）∫（１－３ｘ２）ｄｘ；（２）∫（２ｘ＋ｘ２）ｄｘ；·１３４·高等數學３１ｘ１３４（３）ｘ－ｄｘ；（４）－＋－ｄｘ；∫槡∫(３４)(槡ｘ)２ｘｘｘ（ｔ＋１）３（５）槡ｘ（ｘ－３）ｄｘ；（６）２ｄｔ；∫∫ｔｘ２＋ｘ３＋３ｘ２（７）槡ｄｘ；（８）ｄｘ；∫∫２槡ｘｘ＋１２ｕ２（９）ｓｉｎｄｕ；（１０）ｃｏｔｘｄｘ；∫２∫ｃｏｓ２ｘ（１１）ｄｘ；（１２）ｘｘｘｄｘ；∫ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ∫槡槡槡ｅ２ｔ－１ｄｘ（１３）ｄｔ；（１４）．∫ｅｔ－１∫ｘ２（１＋ｘ２）４．求下列不定積分．５ｄｘ（１）（１－３ｘ）２ｄｘ；（２）；∫∫（２ｘ＋３）２ｘ３ｘ（３）ｄｘ；（４）ａｄｘ；∫１＋ｘ２∫２
（ｌｎｘ）－ｘ（５）ｄｘ；（６）ｅｄｘ；∫ｘ∫１
ｘｅ２（７）ｄｘ；（８）ｕｕ－５ｄｕ；∫ｘ２∫槡ｄｖｘ２（９）；（１０）ｄｘ；∫∫３３２槡１－２ｖ槡（ｘ－５）２ｘ－１ｄｔ（１１）ｄｘ；（１２）；∫ｘ２－ｘ＋３∫ｔｌｎｔｅｘｘ－１（１３）ｄｘ；（１４）ｄｘ；∫ｅｘ＋１∫ｘ２＋１ｄｘｄｘ（１５）；（１６）；∫４＋９ｘ２∫４ｘ２＋４ｘ＋５ｄｘｄｘ（１７）；（１８）；∫２∫２槡４－９ｘ槡５－２ｘ－ｘｄｘｄｘ（１９）；（２０）；∫４－ｘ２∫４－９ｘ２ｄｘ（２１）；（２２）ｓｉｎ３ｘｄｘ；∫ｘ２－ｘ－６∫２２（２３）ｃｏｓｘｄｘ；（２４）ｓｉｎ３ｘｄｘ；∫３∫（２５）∫ｅｓｉｎｘｃｏｓｘｄｘ；（２６）∫ｅｘｃｏｓｅｘｄｘ；５ｄｔ（２７）ｃｏｓｘｄｘ；（２８）；∫∫ｅｔ＋ｅ－ｔ第四章不定積分·１３５·ｄｘｌｎｘ（２９）；（３０）ｄｘ；∫ｘ∫ｅ－１ｘ槡１＋ｌｎｘｘ＋ｌｎｘ２（ａｒｃｔａｎｘ）２（３１）ｄｘ；（３２）ｄｘ；∫ｘ∫１＋ｘ２ｅｘｄｘ（３３）．∫ｘ２ｘａｒｃｓｉｎｅ·槡１－ｅ５．求下列不定積分．（１－ｘ）２ｅ３ｘ＋１（１）ｄｘ；（２）ｄｘ；∫∫ｘ槡ｘｅ＋１ｓｉｎｘ（ｌｎｘ）３（３）∫槡ｄｘ；（４）∫ｄｘ；槡ｘｘ槡ｘ－ｘｘｅ（５）∫５ｅｄｘ；（６）∫ｄｘ；槡ｘ１ｄｘ（７）ｄｘ；（８）；∫２∫ｘ－ｘ槡２ｘ－ｘｅ＋ｅｘ
ｅｄｘ４（９）；（１０）ｓｅｃｘｄｘ；∫ｘ∫槡１＋ｅｄｘ（１１）∫ｘ槡ｘ－２ｄｘ；（１２）∫；槡ｘ（１＋ｘ）３
ｘ３２（１３）ｄｘ；（１４）ｘ１＋ｘｄｘ；∫２∫槡槡１－ｘ－２ｘｘ（１５）（ｘ－１）ｓｉｎ２ｘｄｘ；（１６）ｅｓｉｎｄｘ；∫∫２（１７）∫（ｘ２＋１）ｌｎｘｄｘ．６．已知函數ｆ（ｘ）在ｘ＝１時有極小值，在ｘ＝－１時有極大值４，又知ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ，求ｆ（ｘ）．７．設點Ｍ（２，４）是函數ｆ（ｘ）的圖像上的一個拐點，且在點Ｍ處的切線斜率為－３，又知ｆ″（ｘ）＝６ｘ＋ｍ，求ｆ（ｘ）．８．已知某曲線經過點Ｐ（１，－５），且在每點處的切線斜率等於１－ｘ，求此曲線的方程．９．一質點做直線運動，已知加速度為ａ＝１２ｔ２－３ｓｉｎｔ，如果在初始時刻ｔ＝０時，物體的速度ｖ０＝５，物體的位移ｓ０＝－３，試求：（１）速度ｖ和時間ｔ之間的函數關係；（２）位移ｓ和時間ｔ之間的函數關係．１０．設生產ｘ單位某產品的總成本Ｃ是ｘ的函數Ｃ（ｘ），固定成本（即Ｃ（０））為２０元，邊際成本函數為Ｃ′（ｘ）＝２ｘ＋１０（元／單位），求總成本函數Ｃ（ｘ）．１１．若ｆ′（ｅｘ）＝１＋ｅ２ｘ，且ｆ（０）＝１，求ｆ（ｘ）．第五章定積分定積分是一元函數積分學中的另一個基本概念．定積分的有關理論是從１７世紀開始出現和發展起來的．盡管其中某些問題早在公元前就被古希臘人研究過，但直到１７世紀有了牛頓（Ｎｅｗｔｏｎ）和萊布尼茲（Ｌｅｉｂｎｉｔｚ）的微分思想後，才使這些問題統一到一起，並且與求不定積分的問題聯係起來．下麵我們先從幾何與力學問題出發，引進定積分的定義，然後討論它的性質、計算方法及其應用．第一節定積分的概念與性質一、兩個引例【引例１】求曲邊梯形的麵積．設ｆ（ｘ）為區間［ａ，ｂ］（ａ＜ｂ）上的連續函數，且ｆ（ｘ）≥０．由曲線ｙ＝ｆ（ｘ），直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ以及ｘ軸所圍成的平麵圖形就稱為ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上的曲邊梯形．\"
如圖５－１所示．ＡａｂＢ就是一個曲邊梯形．其中曲線段ＡＢ)\"#$!!\"%稱為曲邊梯形的曲邊，在ｘ軸上位於區間［ａ，ｂ］的線段稱為&曲邊梯形的底邊．怎樣計算曲邊梯形Ａ的麵積呢？（這是求任意平麵圖形'''')(!
麵積的基礎）圖５－１在初等數學裏，麵積是用邊數無限增加的內接正多邊形麵積的極限來定義的．現在我們仍用這種方法來定義曲邊梯形的麵積．首先，不難看出，該曲邊梯形麵積取決於區間［ａ，ｂ］及在這個區間上的函數ｆ（ｘ）．如果ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上是常數ｈ，此時曲邊梯形為矩形，其麵積Ａ＝ｈ（ｂ－ａ）．現在的問題是曲邊梯形的高ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上是變化著的，因此它的麵積不能簡單地利用矩形麵積公式計算．但是，由於ｆ（ｘ）是區間［ａ，ｂ］上的連續函數，當ｘ變化不大時，ｆ（ｘ）變化也不大，因此如果區間［ａ，ｂ］分割成許多小區間，相應地將曲邊梯形分割成許多小曲邊梯形，每個小曲邊梯形麵積可近似地看成小矩形的麵積，所有的小矩形麵積的和就是整個曲邊梯形麵積的近似值．顯然分割愈細，誤差就越小．因此，將區間［ａ，ｂ］無限地細分，使每個小曲邊梯形的底邊長都趨於零時，則小矩形麵積之和的極限就是所要求的曲邊梯形的麵積的精確值了．根據上述分析，曲邊梯形的麵積可按下述步驟來計算．第五章定積分·１３７·１．分割在區間［ａ，ｂ］上任意插入ｎ－１個分點，把它分成ｎ個小區間，其分點是ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ－１，ａ＝ｘ０＜ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｉ－１＜ｘｉ＜…＜ｘｎ＝ｂ．第ｉ個小區間可表示為［ｘｉ－１，ｘｉ］，其長度記為Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１（ｉ＝１，２，…，ｎ）．過各分點作ｘ軸的垂線，把整個曲邊梯形分成ｎ個小曲邊梯形（圖５－２）．記第ｉ個小曲邊梯形的麵積為ΔＡｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）．\"
\"$%!!\"%!!''''\"#&$!!!\"!\"!#!#!''''$\"!''''!''''!($\"!(!($)!
圖５－２２．近似代替在每個小區間［ｘｉ－１，ｘｉ］上任取一點ξｉ（ｘｉ－１≤ξｉ≤ｘｉ），則以ｆ（ξｉ）為高，Δｘｉ為底的小矩形的麵積為ｆ（ξｉ）Δｘｉ，它就是相應的小曲邊梯形麵積ΔＡｉ的近似值，即ΔＡｉ≈ｆ（ξｉ）Δｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）．３．求和把ｎ個小矩形的麵積相加，就得到所求曲邊梯形麵積Ａ的近似值，即ｎｎＡ＝∑ΔＡｉ≈∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ．ｉ＝１ｉ＝１４．取極限ｎ
當分點無限增多，且每個小區間的長度Δｘｉ都趨近於零時，和式∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ的極限就是ｉ＝１Ａ的精確值．若記λ＝ｍａｘ｛Δｘｉ｝，則當λ→０時，就有１≤ｉ≤ｎｎ
Ａ＝ｌｉｍ∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ．λ→０ｉ＝１ｎ
這樣，計算曲邊梯形麵積的問題，就歸結為求“和式∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ的極限”．ｉ＝１【引例２】變速直線運動的路程．設一物體做直線運動，已知速度ｖ＝ｖ（ｔ）是時間ｔ在區間［ａ，ｂ］上的連續函數，且ｖ（ｔ）≥０，計算ａ到ｂ這段時間內該物體經過的路程Ｓ．如果物體做勻速直線運動，即速度ｖ是常數，則路程Ｓ＝ｖ（ｂ－ａ）．而現在速度是變化的，即速度ｖ（ｔ）隨時間ｔ而變化，因此，所求路程Ｓ不能直接用上述公式來計算．但是，已知速度函數是連續的，若把時間區間［ａ，ｂ］分成許多小時間段，則在每個小段時間內，速度變化不大，可以近似地看作是勻速的（圖５－３）．於是，在時間間隔很短的條件下，可以用“勻速”來近似代替“變速”，從而求得每一小段時間內路程的近似值，將各小·１３８·高等數學段上的路程的近似值相加，可得到時間在［ａ，ｂ］區間的路程Ｓ的近似值，最後通過對時間間隔無限細分取極限的過程，就可得到路程Ｓ的精確值．!\"!#$\"\"\"#\"%&\"!%\"%\"''''#(\"圖５－３具體的步驟也可以分為以下四步：１．分割任取分點ａ＝ｔ０＜ｔ１＜ｔ２＜…＜ｔｉ－１＜ｔｉ＜…＜ｔｎ＝ｂ，把時間區間［ａ，ｂ］分成ｎ個小區間（圖５－３），第ｉ個小區間為［ｔｉ－１，ｔｉ］，其長度記為Δｔｉ＝ｔｉ－ｔｉ－１（ｉ＝１，２，…，ｎ）．２．近似代替在小區間［ｔｉ－１，ｔｉ］上，用任一時刻ξｉ的速度ｖ（ξｉ）（ｔｉ－１≤ξｉ≤ｔｉ）來近似代替變化的速度ｖ（ｔ），從而得到物體在第ｉ段時間［ｔｉ－１，ｔｉ］內所經過的路程ΔＳｉ的近似值，即ΔＳｉ≈ｖ（ξｉ）Δｔｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）．３．求和把ｎ段時間上的路程的近似值相加，就是時間區間［ａ，ｂ］上的路程Ｓ的近似值，即ｎｎＳ＝∑ΔＳｉ≈∑ｖ（ξｉ）Δｔｉ．ｉ＝１ｉ＝１４．取極限ｎ
記λ＝ｍａｘ｛Δｔｉ｝，當λ→０時，和式∑ｖ（ξｉ）Δｔｉ的極限就是路程Ｓ的精確值，即１≤ｉ≤ｎｉ＝１ｎ
Ｓ＝ｌｉｍ∑ｖ（ξｉ）Δｔｉ．λ→０ｉ＝１可見，變速直線運動的路程也是一個和式的極限．以上兩個問題分別來自幾何和物理方麵，兩者的實際意義截然不同，但是確定它們的量所使用的數學方法是一樣的，即歸結為對某個量進行“分割、近似代替、求和、取極限”，或者說都轉化為具有特定結構的和式極限問題．二、定積分的概念定義設函數ｙ＝ｆ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上有定義，在（ａ，ｂ）內任意插入ｎ－１個分點，ａ＝ｘ０＜ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｉ－１＜ｘｉ＜…＜ｘｎ＝ｂ．將區間［ａ，ｂ］分成ｎ個小區間［ｘｉ－１，ｘｉ］，其長度為Δｘｉ＝ｘｉ－ｘｉ－１（ｉ＝１，２，…，ｎ）．在每個小區間［ｘｉ－１，ｘｉ］上任取一點ξｉ（ｘｉ－１≤ξｉ≤ｘｉ），作乘積ｆ（ξｉ）Δｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）的和式，即ｎ
∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ（稱為積分和）．ｉ＝１第五章定積分·１３９·記λ＝ｍａｘ｛Δｘｉ｝，如果當λ→０時，和式的極限存在，則稱函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上可１≤ｉ≤ｎｂ
積，稱此極限值為函數ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的定積分，記作ｆ（ｘ）ｄｘ，即∫ａｂｎｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍ∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ．∫ａλ→０ｉ＝１其中ｆ（ｘ）叫作被積函數，ｆ（ｘ）ｄｘ叫作被積表達式，ｘ叫作積分變量，ａ叫作積分下限，ｂ叫作積分上限，區間［ａ，ｂ］叫作積分區間，“∫”叫作積分號．根據定積分的定義，前麵兩個實際問題可以記為：曲邊梯形的麵積ｂ
Ａ＝ｆ（ｘ）ｄｘ．∫ａ變速直線運動的路程ｂ
Ｓ＝ｖ（ｔ）ｄｔ．∫ａｎ
注（１）定義中極限ｌｉｍ∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ存在是指不論對區間［ａ，ｂ］怎麼分法，也不論點λ→＋∞ｉ＝１ｎ
ξｉ在小區間［ｘｉ－１，ｘｉ］上怎樣取法，隻要λ→０，積分和∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ都趨於同一個值．ｉ＝１（２）定積分的結果是一個實數，其值隻與被積函數ｆ和積分區間［ａ，ｂ］有關，而與積分變量所采用的符號無關，即ｂｂｂｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｕ）ｄｕ＝…．∫ａ∫ａ∫ａｂ
（３）在定積分ｆ（ｘ）ｄｘ的定義中，總是假定ａ＜ｂ，為了以後計算方便，給出以下的補充∫ａ規定：①當ａ＞ｂ時，ｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝－ｆ（ｘ）ｄｘ．∫ａ∫ｂ②當ａ＝ｂ時，ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝０．∫ａ（４）定積分的存在性：若函數ｆ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上連續，則ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可積；若函數ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上除有限個間斷點外處處連續，則ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可積；若ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的單調函數，則ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可積．三、定積分的幾何意義ｂ
設函數ｆ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上連續，如果ｆ（ｘ）≥０，那麼定積分ｆ（ｘ）ｄｘ就表示由曲線∫ａｙ＝ｆ（ｘ），直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ與ｘ軸所圍成的曲邊梯形的麵積（圖５－４）．·１４０·高等數學\"\"#%''''!
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%#$!\"()!!\"圖５－４圖５－５如果ｆ（ｘ）≤０，則由曲線ｙ＝ｆ（ｘ），直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ與ｘ軸所圍成的曲邊梯形位於ｘ軸的ｂ
下方（圖５－５），定積分ｆ（ｘ）ｄｘ表示該曲邊梯形麵積的相反數，即∫ａｂ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝－Ａ；∫ａ如果ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］有時為正有時為負，如圖５－６所示，曲線ｙ＝ｆ（ｘ），直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ與ｘ軸所圍成的圖形是由三個曲邊梯形組成，那麼由定積分的定義可得ｂ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ａ１－Ａ２＋Ａ３．∫ａｂ
總之，定積分ｆ（ｘ）ｄｘ在幾何上表示由曲線ｙ＝ｆ（ｘ），直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ與ｘ軸所圍成的各∫ａ曲邊梯形麵積的代數和．\"\"\"#$!!\"((!%\"\")*!!\"&''''!
(#++%&,''''!
圖５－６圖５－７ｂ
因此，定積分的幾何意義為：設ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的定積分為ｆ（ｘ）ｄｘ，其積分值等於曲∫ａ線ｙ＝ｆ（ｘ），直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ和ｙ＝０所圍成的在ｘ軸上方部分與下方部分麵積的代數和（圖５－７）．【例１】用定積分表示下麵兩個圖形陰影部分的\"\"#!
麵積．解在圖５－８中，被積函數ｆ（ｘ）＝ｘ在［ａ，ｂ］（０＜ａ＜ｂ）上連續，且ｆ（ｘ）＞０．根據定積分的幾何意義可得陰影部分的$%!
麵積為&ｂ
Ａ＝ｘｄｘ．∫ａ圖５－８第五章定積分·１４１·在圖５－９中，被積函數ｙ＝ｘ２－２ｘ在［－１，２］上連續，且!
在［－１，０］上ｆ（ｘ）≥０，在［０，２］上ｆ（ｘ）≤０，根據定積分的幾!$\"#%#\"何意義可得陰影部分的麵積為０２２２Ａ＝（ｘ－２ｘ）ｄｘ－（ｘ－２ｘ）ｄｘ．#∫－１∫０!\"#\"１
【例２】利用定義計算定積分ｘ２ｄｘ．∫０圖５－９ｉ
解把區間［０，１］分成ｎ等份，分點為ｘ＝（ｉ＝１，２，…，ｎ－１），ｉｎ１
小區間長度為Δｘ＝（ｉ＝１，２，…，ｎ）ｉｎｉ
取ξ＝（ｉ＝１，２，…，ｎ），作積分和ｉｎｎｎｎ２２１ｆ（）ｘ＝ｘ＝ｉ·∑ξｉΔｉ∑ξｉΔｉ∑()ｉ＝１ｉ＝１ｉ＝１ｎｎｎ
１２１１１＝ｉ＝·ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）＝１１．３∑３(１＋)(２＋)ｎｉ＝１ｎ６６ｎｎ１
因為λ＝，當λ→０時ｎ→∞，ｎ
１ｎ２１１１１所以ｘｄｘ＝ｌｉｍｆ（ξｉ）Δｘｉ＝ｌｉｍ１＋２＋＝．０∑０()()∫０λ→ｉ＝１λ→６ｎｎ３【例３】利用定積分的幾何意義，計算\"１
\"槡１－ｘ２ｄｘ．\"$!%!
∫０解顯然，根據定積分的定義來求解是比較困難的，由定１
２#積分的幾何意義知，槡１－ｘｄｘ就是圖５－１０所示半徑為１!!
∫０的圓在第一象限部分的麵積，所以１圖５－１０２π２π槡１－ｘｄｘ＝·１＝．∫０４４四、定積分的性質性質１函數的和（差）的定積分等於它們的定積分的和（差），即ｂｂｂ［ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ）］ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ±ｇ（ｘ）ｄｘ．∫ａ∫ａ∫ａ性質２被積函數的常數因子可以提到積分號外麵，即ｂｂ\"ｋｆ（ｘ）ｄｘ＝ｋｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ為常數）．!\"∫ａ∫ａ\"''''(!
性質３（積分的區間可加性）設函數ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］，&%!$(!!\"!!!&(!!\"!!
［ａ，ｃ］及［ｃ，ｂ］上都是可積的，則有#!
ｂｃｂ$&%ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｘ）ｄｘ．∫ａ∫ａ∫ｃ圖５－１１·１４２·高等數學注ｃ可以在［ａ，ｂ］之內，也可以在［ａ，ｂ］之外．性質４如果在區間［ａ，ｂ］上，恒有ｆ（ｘ）＝ｋ（ｋ為常數），則ｂ
ｋｄｘ＝ｋ（ｂ－ａ）．∫ａ性質５如果在區間［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）≥０，則ｂ
ｆ（ｘ）ｄｘ≥０．∫ａ推論１如果在區間［ａ，ｂ］上ｆ（ｘ）≥ｇ（ｘ），則ｂｂｆ（ｘ）ｄｘ≥ｇ（ｘ）ｄｘ．∫ａ∫ａ推論２如果ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可積，則｜ｆ（ｘ）｜在［ａ，ｂ］上也可積，則ｂｂｆ（ｘ）ｄｘ≤ｆ（ｘ）ｄｘ（ａ＜ｂ）．∫ａ∫ａ性質６（估值定理）設Ｍ及ｍ分別是函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上的最大值及最小值，則ｂ
ｍ（ｂ－ａ）≤ｆ（ｘ）ｄｘ≤Ｍ（ｂ－ａ）．∫ａ性質７（定積分中值定理）如果函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上連續，那麼在此區間上至少有一點ξ，使得ｂ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａ≤ξ≤ｂ）∫ａ成立．證ｆ（ｘ）在閉區間［ａ，ｂ］上連續，則它在［ａ，ｂ］上必有最大值Ｍ和最小值ｍ，將性質６中不等式除以ｂ－ａ得ｂ
∫ｆ（ｘ）ｄｘｍ≤ａ≤Ｍ，ｂ－ａｂ
∫ｆ（ｘ）ｄｘ設ｃ＝ａ，則ｍ≤ｃ≤Ｍ，ｃ為常數．（ｂ－ａ）由閉區間上連續函數的介值定理，存在ξ∈［ａ，ｂ］，使ｂ
ｆ（ξ）＝ｃ，即ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．∫ａ五、積分中值定理的幾何意義對於區間［ａ，ｂ］上的連續函數ｆ（ｘ）≥０，在區間［ａ，ｂ］上!
至少存在一點ξ，使得以曲線ｙ＝ｆ（ｘ）為曲邊，區間［ａ，ｂ］為底!&''''!\"\"邊的曲邊梯形的麵積等於與之同底而高為ｆ（ξ）的矩形麵積''''!!\"（圖５－１２）．１ｂ其中，ｆ（ｘ）ｄｘ稱為函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上的#$!%\"（ｂ－ａ）∫ａ平均值，這是有限個數平均值的推廣．圖５－１２第五章定積分·１４３·【例４】比較下麵積分值的大小．１１（１）ｘ２ｄｘ與ｘ３ｄｘ；∫０∫０１１（２）ｅｘｄｘ與（ｘ＋１）ｄｘ．∫０∫０１１解（１）由於ｘ∈［０，１］時，ｘ２≥ｘ３，則ｘ２ｄｘ＞ｘ３ｄｘ．∫０∫０（２）設ｆ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－１，ｘ∈［０，１］，則ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－１＞０ｘ∈［０，１］．從而ｆ（ｘ）在［０，１］上單調增加，因此ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，ｘ∈［０，１］，即ｅｘ＞ｘ＋１，ｘ∈（０，１］，１１即ｅｘｄｘ＞（ｘ＋１）ｄｘ．∫０∫０２
【例５】估計積分ｅｘ２－ｘｄｘ的值．∫０解設ｆ（ｘ）＝ｅｘ２－ｘ，則ｆ′（ｘ）＝ｅｘ２－ｘ（２ｘ－１）．１
由ｆ′（０）＝０得ｘ＝，２
１１－２因為ｆ（）＝ｅ４，ｆ（０）＝１，ｆ（２）＝ｅ，２
１所以ｆ（ｘ）在［０，２］上的最大值為ｅ２，最小值為ｅ－４，２
１２因此ｅ－４（２－０）≤ｅｘ－ｘｄｘ≤ｅ２（２－０），∫０２
１２即２ｅ－４≤ｅｘ－ｘｄｘ≤２ｅ２．∫０!\"５－１１．已知某時刻ｔ導線的電流強度Ｉ（ｔ）＝５ｓｉｎωｔ，試用定積分表示在時間間隔［Ｔ１，Ｔ２］內流過導線橫斷麵的電量Ｑ．２．利用定積分的幾何意義和性質，求下列定積分的值．１１（１）ｘｄｘ；（２）｜ｘ｜ｄｘ；∫－１∫－１１２π（３）槡１－ｘ２ｄｘ；（４）ｓｉｎｘｄｘ．∫－１∫０３．當ａ≤ｘ≤ｂ時，有ｆ（ｘ）≤ｇ（ｘ），那麼下麵兩個式子是否都成立，為什麼？
ｂｂ（１）ｆ（ｘ）ｄｘ≤ｇ（ｘ）ｄｘ；（２）ｆ（ｘ）ｄｘ≤ｇ（ｘ）ｄｘ．∫ａ∫ａ∫∫４．不計算積分，試比較下列各組積分值的大小．１１２２（１）ｘｄｘ，ｘ２ｄｘ；（２）ｘｄｘ，ｘ２ｄｘ；∫０∫０∫１∫１·１４４·高等數學ππ２２１１（３）ｘｄｘ，ｓｉｎｘｄｘ；（４）ｅｘｄｘ，ｅｘ２ｄｘ；∫０∫０∫０∫０π
０２（５）ｓｉｎｘｄｘ，ｓｉｎｘｄｘ．∫π∫－２０第二節微積分的基本公式我們已經學習了有關定積分的概念和性質，掌握了用定義或幾何意義來計算定積分的方法．用定義直接計算定積分一般來說是很複雜的．本節將通過討論定積分與不定積分的關係，給出一種計算定積分的簡便而有效的方法，即牛頓－萊布尼茲公式．一、積分上限函數定義設函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上可積，則對［ａ，ｂ］中的每個ｘ，ｆ（ｘ）在［ａ，ｘ］上的定ｘ
積分ｆ（ｔ）ｄｔ都存在，也就是說有唯一確定的積分值與ｘ對應，從而在［ａ，ｂ］上定義了一個新∫ａ的函數，它是上限ｘ的函數，記作Φ（ｘ），即ｘ
Φ（ｘ）＝ｆ（ｔ）ｄｔ，ｘ∈［ａ，ｂ］．∫ａ這個積分通常稱為積分上限函數或變上限積分．ｘ
注積分上限函數ｆ（ｔ）ｄｔ對區間［ａ，ｂ］上每一個取定的ｘ，有一個確定的值，與積分∫ａ變量ｔ無關．對於其他的變限積分函數利用定積分的補充定義或定積分的可加性均可化為積分上限函數．如ｘａｘｘ２ｘｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｆ（ｔ）ｄｔ＝－ｆ（ｔ）ｄｔ＋ｆ（ｔ）ｄｔ．∫ｘ２∫ｘ２∫ａ∫ａ∫ａｘ
定理１設ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上連續，則Φ（ｘ）＝ｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可導，且∫ａｄｄｘ［Φ（ｘ）］＝ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］．ｄｘｄｘ∫ａ也就是說，Φ（ｘ）是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的一個原函數．證ｘ∈［ａ，ｂ］及Δｘ≠０，使ｘ＋Δｘ∈［ａ，ｂ］（圖５－１３）．應用積分對區間的可加性及積分中值定理，有ｘ＋ΔｘΔΦ＝Φ（ｘ＋Δｘ）－Φ（ｘ）＝ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ξ）Δｘ∫ｘ或
ΔΦ＝ｆ（ξ），（ξ介於ｘ與ｘ＋Δｘ之間）．Δｘ因為ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上連續，所以ｌｉｍｆ（ξ）＝ｌｉｍｆ（ξ）＝ｆ（ξ），Δｘ→０ξ→ｘ第五章定積分·１４５·ΔΦ所以ｌｉｍ＝ｆ（ｘ），Δｘ→０Δｘ因此Φ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可導，且Φ′（ｘ）＝ｆ（ｘ）．由ｘ∈［ａ，ｂ］的任意性推知Φ（ｘ）就是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的一個原函數．\"\"\"#$!!\"\"()!!\"!!!\"!!!\"%&!''''!%&!!*!!''''!
圖５－１３本定理回答了我們一直關心的原函數的存在問題．它明確地告訴我們：連續函數必有原函數，並以變上限積分的形式具體地給出了連續函數ｆ（ｘ）的一個原函數．定理２（連續函數原函數存在定理）若函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上連續，則函數ｆ（ｘ）的ｘ
原函數必存在，且函數Φ（ｘ）＝ｆ（ｔ）ｄｔ是函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上的原函數．∫ａ【例１】求下列函數的導數．１
ｘｘ（１）ｙ＝槡ｔ２＋１ｄｔ；（２）ｙ＝３ｔ２ｄｔ．∫０∫０ｘ
ｄ２解（１）ｙ′＝(槡ｔ２＋１ｄｔ)＝槡ｘ＋１．ｄｘ∫０１２ｄｘ１１３（２）ｙ′＝２＝３·－＝－．(３ｔｄｔ)()(２)４ｄｘ∫０ｘｘｘｘ２ｌｎ（１＋ｔ）ｄｔ∫０【例２】求極限ｌｉｍ４．ｘ→０ｘ解利用洛必達法則有ｘ２（ｌｎ（１＋ｔ）ｄｔ）′∫０原式＝ｌｉｍ４ｘ→０（ｘ）′［ｌｎ（１＋ｘ２）］·２ｘ＝ｌｉｍ３ｘ→０４ｘ１ｌｎ（１＋ｘ２）＝ｌｉｍ２２ｘ→０ｘ１
１２＝ｌｉｍｌｎ（１＋ｘ）ｘ２２ｘ→０１
＝ｌｎｅ２
１＝．２
·１４６·高等數學注關於變限積分求導，一般有如下應用：設φ（ｘ），ψ（ｘ）可導，則ｄφ（ｘ）（１）[ｆ（ｔ）ｄｔ]＝ｆ［φ（ｘ）］·φ′（ｘ）．ｄｘ∫ａｄｂ（２）[ｆ（ｔ）ｄｔ]＝－ｆ（ｘ）．ｄｘ∫ｘｄｂ（３）[ｆ（ｔ）ｄｔ]＝－ｆ［ψ（ｘ）］·ψ′（ｘ）．ｄｘ∫ψ（ｘ）ｄφ（ｘ）（４）[ｆ（ｔ）ｄｔ]＝ｆ［φ（ｘ）］·φ′（ｘ）－ｆ［ψ（ｘ）］·ψ′（ｘ）．ｄｘ∫ψ（ｘ）二、牛頓－萊布尼茨公式定理３（微積分基本定理）設函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上連續，Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的任一原函數，即Ｆ′（ｘ）＝ｆ（ｘ），則有ｂ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．∫ａ這個公式被稱為牛頓－萊布尼茲（Ｎｅｗｔｏｎ－Ｌｅｉｂｎｉｚ）公式，也稱為微積分基本公式．ｘ
證明根據ｆ（ｔ）ｄｔ是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的一個原函數．∫ａ因為兩個原函數之差是一個常數，ｘ
所以ｆ（ｔ）ｄｔ＝Ｆ（ｘ）＋Ｃ，ｘ∈［ａ，ｂ］．∫ａ上式中令ｘ＝ａ，得Ｃ＝－Ｆ（ａ），於是ｘ
ｆ（ｔ）ｄｔ＝Ｆ（ｘ）－Ｆ（ａ）．∫ａｂ
再令ｘ＝ｂ，即得ｆ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（ａ）．∫ａ在使用上，公式也常寫作ｂ
ｂｂｆ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）］ａ＝Ｆ（ｘ）．∫ａａ它進一步揭示了定積分與原函數之間的聯係：ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的定積分等於它的任一原函數Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的增量，從而為我們計算定積分開辟了一條新的途徑．它把定積分的計算轉化為求它的被積函數ｆ（ｘ）的任意一個原函數，或者說轉化為求ｆ（ｘ）的不定積分．【例３】計算下列定積分．槡３１－１ｄｘ（１）２ｄｘ；（２）；∫－１１＋ｘ∫－２ｘ２π２（３）｜ｓｉｎｘ｜ｄｘ；（４）ｍａｘ｛ｘ，ｘ３｝ｄｘ．∫０∫０槡３１槡３７解（１）２ｄｘ＝［ａｒｃｔａｎｘ］－１＝π．∫－１１＋ｘ１２－１ｄｘ－１（２）＝［ｌｎ｜ｘ｜］－２＝ｌｎ１－ｌｎ２＝－ｌｎ２．∫－２ｘ第五章定積分·１４７·２ππ２π（３）｜ｓｉｎｘ｜ｄｘ＝ｓｉｎｘｄｘ＋（－ｓｉｎｘ）ｄｘ∫０∫０∫ππ２π＝［－ｃｏｓｘ］０＋［ｃｏｓｘ］π＝４．２１２１２３３１２１４１７（４）∫ｍａｘ｛ｘ，ｘ｝ｄｘ＝∫ｘｄｘ＋∫ｘｄｘ＝[ｘ]＋[ｘ]＝．００１２０４１４ｘ２＋１，０≤ｘ≤１３【例４】設ｆ（ｘ）＝，求ｆ（ｘ）ｄｘ．{３－ｘ，１＜ｘ＜３∫０３１３解ｆ（ｘ）ｄｘ＝（ｘ２＋１）ｄｘ＋（３－ｘ）ｄｘ∫０∫０∫１ｘ３１ｘ２３１＝[＋ｘ]＋[３ｘ－]＝３．３０２１３【例５】汽車以每小時３６ｋｍ的速度行使，到某處需要減速停車，設汽車以等加速度ａ＝－５ｍ／ｓ２刹車，問從開始刹車到停車，汽車需走多少距離？
解ｔ＝０時，汽車勻速運動時的速度為ｖ０＝３６ｋｍ／ｈ＝１０ｍ／ｓ，刹車的速度ｖ（ｔ）＝ｖ０＋ａｔ＝１０－５ｔ，令ｖ（ｔ）＝１０－５ｔ＝０，解得汽車從開始刹車到停下所需的時間為ｔ＝２，再由速度與路程的關係，可得汽車的刹車路程為２２ｓ＝ｖ（ｔ）ｄｔ＝（１０－５ｔ）ｄｔ＝１０（ｍ），∫０∫０即刹車後，汽車需要走１０ｍ才能停住．!\"５－２１．計算下列定積分．６１（１）（ｘ２－１）ｄｘ；（２）（ｘ３－３ｘ２）ｄｘ；∫２∫－１２７３ｄｘ３（３）；（４）（ｘ－１）ｄｘ；∫３∫１槡ｘ－２２
ａ２５ｘ（５）（槡ａ－槡ｘ）ｄｘ（其中ａ為常數）；（６）２ｄｘ；∫０∫０ｘ＋１３ｘ１３ｘｄｘ（７）ｅｄｘ；（８）２；∫ｏ∫０ｘ＋１１
１ｘｄｘ２ｅｘ（９）２２；（１０）２ｄｘ；∫－１（ｘ＋１）∫１ｘ１
π２２ｄｘ（１１）ｃｏｓｘｄｘ；（１２）；１
∫０(２)∫－２２槡１－ｘ３２（１３）（ｘ－１）ｄｘ；（１４）（ｘ２－２ｘ）ｄｘ；∫－１∫０２２槡３１（１５）１ｄｘ；（１６）ｄｘ；ｘ＋１２∫１(ｘ)∫１＋ｘ槡３２２π（１７）｜２ｘ｜ｄｘ；（１８）｜ｓｉｎｘ｜ｄｘ．∫－１∫０·１４８·高等數學ｘ２，ｘ≤１，２２．設ｆ（ｘ）＝求ｆ（ｘ）ｄｘ．{ｘ－１，ｘ＞１，∫０３．求下列函數的導數．ｘ－１－ｔ（１）Ｆ（ｘ）＝槡１＋ｔｄｔ；（２）Ｆ（ｘ）＝ｔｅｄｔ；∫０∫ｘｘ２ｘ２１ｔ（３）Ｆ（ｘ）＝ｄｔ；（４）Ｆ（ｘ）＝ｅｄｔ；∫４∫３０槡１＋ｔｘｘ２（５）Ｆ（ｘ）＝２ｔｄｔ．∫ｓｉｎｘ４．求導數．ｘ１－ｔ２（１）若ｆ（ｘ）＝２ｄｔ，試求ｆ′（ｘ）；∫０１＋ｔ０
（２）若ｆ（ｘ）＝槡１＋ｔ２ｄｔ，試求ｆ′（１）；∫ｘ３ｔｔｄｙ（３）若ｘ＝ｃｏｓｕｄｕ，ｙ＝ｓｉｎｕｄｕ，求．∫０∫０ｄｘ５．求下列極限．ｘｘｃｏｓ２ｔｄｔａｒｃｔａｎｔｄｔ∫０∫０（１）ｌｉｍ；（２）ｌｉｍ２；ｘ→０ｘｘ→０ｘｃｏｓｘ－ｔ２ｅｄｔｘ∫１１２ｔ２－ｘ２（３）ｌｉｍ２；（４）ｌｉｍ（１＋ｔ）ｔｄｔ．ｘ→０ｘｘ→０ｘ∫０第三節定積分的積分法一、定積分的換元法１．第一換元積分法（湊微分法）設∫ｆ（ｕ）ｄｕ＝Ｆ（ｕ）＋Ｃ，ｕ＝φ（ｘ）可導，則ｂｂｂ
ｆ［φ（ｘ）］φ′（ｘ）ｄｘ＝ｆ［φ（ｘ）］ｄφ（ｘ）＝Ｆ［φ（ｘ）］ａ＝Ｆ［φ（ｂ）］－Ｆ［φ（ａ）］．∫ａ∫ａ應用此公式求定積分的方法就叫作第一換元積分法．π
２【例１】求ｓｉｎ３ｘｄｘ．∫０ππ２２π１１２１解ｓｉｎ３ｘｄｘ＝ｓｉｎ３ｘｄ（３ｘ）＝－［ｃｏｓ３ｘ］０＝．∫０３∫０３３２．第二換元積分法設函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上連續，做變換ｘ＝φ（ｔ），φ（ｔ）滿足下列條件：（１）φ（α）＝ａ，φ（β）＝ｂ；第五章定積分·１４９·（２）φ（ｔ）在α與β之間的閉區間上是單調連續函數，且當ｔ在α與β之間變化時，ａ≤φ（ｔ）≤ｂ；（３）φ′（ｔ）在α與β之間的閉區間上連續．則有ｂβｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ［φ（ｔ）］φ′（ｔ）ｄｔ．∫ａ∫α這就是定積分的第二換元積分法注（１）用定積分的換元積分法換元後，積分上、下限也要做相應的變換，即“換元必換限”．在換元換限後，不必像不定積分那樣代回原變量，隻需對新積分變量直接利用牛頓－萊布尼茨公式計算．（２）由φ（α）＝ａ，φ（β）＝ｂ確定的新積分限α，β，可能α＜β，也可能α＞β．但對新變量ｔ的積分來說，一定是α與ａ的位置相對應，β與ｂ的位置相對應．π
２【例２】求ｃｏｓ３ｘｓｉｎｘｄｘ．∫０ππ２２π３３１４２１解法一ｃｏｓｘｓｉｎｘｄｘ＝－ｃｏｓｘｄｃｏｓｘ＝－［ｃｏｓｘ］０＝．∫０∫０４４解法二令ｔ＝ｃｏｓｘ，則有ｄｔ＝－ｓｉｎｘｄｘ，換元前後積分上、下限分別為π
當ｘ＝０時，ｔ＝１；當ｘ＝時，ｔ＝０，於是２
π２０１１３３３１４１∫ｃｏｓｘｓｉｎｘｄｘ＝－∫ｘｄｘ＝∫ｘｄｘ＝[ｘ]＝．０１０４０４３ｘ【例３】計算∫ｄｘ．０槡１＋ｘ２
解令槡１＋ｘ＝ｔ，則ｘ＝ｔ－１，ｄｘ＝２ｔｄｔ，當ｘ＝０時，ｔ＝１；當ｘ＝３時，ｔ＝２，於是３２３２ｘ２ｔ８ｄｘ＝２（ｔ－１）ｄｔ＝２－ｔ＝．∫０∫１[]３槡１＋ｘ３１２
【例４】計算槡４－ｘ２ｄｘ．∫０π
解令ｘ＝２ｓｉｎｔ，則有ｄｘ＝２ｃｏｓｔｄｔ，當ｘ＝０時，ｔ＝０；當ｘ＝２時，ｔ＝，２
於是槡４－ｘ２＝槡４（１－ｓｉｎ２ｔ）＝２｜ｃｏｓｔ｜＝２ｃｏｓｔ，π
２２槡４－ｘ２ｄｘ＝２２ｃｏｓｔ·ｃｏｓｔｄｔ∫０∫０π
２＝２（１＋ｃｏｓ２ｔ）ｄｔ∫０π
１２＝２[ｔ＋ｓｉｎ２ｔ]＝π．２０１
【例５】計算ｘ２槡１－ｘ２ｄｘ．∫０·１５０·高等數學π
解設ｘ＝ｃｏｓｔ，則有ｄｘ＝－ｓｉｎｔｄｔ，當ｘ＝０時，ｔ＝；當ｘ＝１時，ｔ＝０，２
於是１０ｘ２１－ｘ２ｄｘ＝ｃｏｓ２ｔ１－ｃｏｓ２ｔ·（－ｓｉｎｔ）ｄｔ∫槡∫π槡０２０π２２１２２＝－ｃｏｓｔｓｉｎｔｄｔ＝ｓｉｎ２ｔｄｔ∫π∫２４０ππ１２１１２π＝∫（１－ｃｏｓ４ｔ）ｄｔ＝[ｔ－ｓｉｎ４ｔ]＝．８０８４０１６【例６】設ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上連續，證明：ａａｆ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）］ｄｘ∫－ａ∫０ａ
當ｆ（ｘ）為奇函數時，ｆ（ｘ）ｄｘ＝０；∫－ａａａ當ｆ（ｘ）為偶函數時，ｆ（ｘ）ｄｘ＝２ｆ（ｘ）ｄｘ，∫－ａ∫０２｜ｘ｜＋ｘ並由此計算２ｄｘ．∫－２１＋ｘａ０ａ證因為ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｘ）ｄｘ，∫－ａ∫－ａ∫００
在ｆ（ｘ）ｄｘ中，令ｘ＝－ｔ，得∫－ａ００ａｆ（ｘ）ｄｘ＝－ｆ（－ｔ）ｄｔ＝ｆ（－ｘ）ｄｘ，∫－ａ∫ａ∫０ａａ所以ｆ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）］ｄｘ．∫－ａ∫０當ｆ（ｘ）為奇函數時，ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝０，從而有ａ
ｆ（ｘ）ｄｘ＝０．∫－ａ當ｆ（ｘ）為偶函數時，ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝２ｆ（ｘ），從而有ａａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ｆ（ｘ）ｄｘ．∫－ａ∫０２｜ｘ｜＋ｘ２｜ｘ｜２ｘ故２ｄｘ＝２ｄｘ＋２ｄｘ∫－２１＋ｘ∫－２１＋ｘ∫－２１＋ｘ２ｘ＝２２ｄｘ＋０∫０１＋ｘ＝ｌｎ５．【例７】設ｆ（ｘ）為在［０，１］上的連續函數，證明：ππ２２（１）ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｘ；∫０∫０π
π２（２）ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝２ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ；∫０∫０第五章定積分·１５１·πππ（３）ｘｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ．∫０２∫０π
證（１）令ｘ＝－ｔ，則ｄｘ＝－ｄｔ，於是２
ππ２０π０２ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝－ｆ（ｓｉｎ－ｔｄｔ＝ｆ（ｃｏｓｔ）ｄｔ＝ｆ（ｃｏｓｘ）ｄｘ．∫∫π[()]∫π∫０２２２０π
π２π（２）ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＋ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ，∫∫∫π００２π
在ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ中，令ｘ＝π－ｔ，得∫π２
πππ０２２ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝－ｆ［ｓｉｎ（π－ｔ）］ｄｔ＝ｆ（ｓｉｎｔ）ｄｔ＝ｆ（ｓｉｎｔ）ｄｔ，∫π∫π∫∫２２００π
π２即ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝２ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ．∫０∫０（３）令ｘ＝π－ｔ，則π０πｘｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝－（π－ｔ）ｆ［ｓｉｎ（π－ｔ）］ｄｔ＝（π－ｔ）ｆ（ｓｉｎｔ）ｄｔ∫０∫π∫０ππ＝πｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ－ｘｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ，∫０∫０πππ即ｘｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ＝ｆ（ｓｉｎｘ）ｄｘ．∫０２∫０二、定積分的分部積分法設函數ｕ＝ｕ（ｘ），ｖ＝ｖ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上都具有連續導數，根據乘積的微分法則，得ｄ（ｕｖ）＝ｕｄｖ＋ｖｄｕ．分別求該等式兩端在區間［ａ，ｂ］上的定積分，得ｂｂｂｄ（ｕｖ）＝ｕｄｖ＋ｖｄｕ．∫ａ∫ａ∫ａ即
ｂｂｂ
ｕｄｖ＝［ｕｖ］ａ－ｖｄｕ．∫ａ∫ａ這就是定積分的分部積分公式．π
２【例８】計算ｘｃｏｓｘｄｘ．∫０解令ｕ＝ｘ，ｄｖ＝ｃｏｓｘｄｘ，則ｖ＝ｓｉｎｘ，ｄｕ＝ｄｘ，πππ２２π２２
ｘｃｏｓｘｄｘ＝ｘｄ（ｓｉｎｘ）＝［ｘｓｉｎｘ］０－ｓｉｎｘｄｘ∫０∫０∫０πππ＝－［－ｃｏｓｘ］２＝－１．２０２１
【例９】計算ａｒｃｔａｎｘｄｘ．∫０·１５２·高等數學１
解令ｕ＝ａｒｃｔａｎｘ，ｄｖ＝ｄｘ，則ｖ＝ｘ，ｄｕ＝，１＋ｘ２１１１ｘａｒｃｔａｎｘｄｘ＝ｘａｒｃｔａｎｘ－２ｄｘ∫００∫０１＋ｘπ１２１＝－［ｌｎ（１＋ｘ）］４２０π１＝－ｌｎ２．４２１
【例１０】計算ｅ槡ｘｄｘ．∫０解先用換元積分法：２
令槡ｘ＝ｔ，則有ｘ＝ｔ，ｄｘ＝２ｔｄｔ，當ｘ＝０時，ｔ＝０；當ｘ＝１時，ｔ＝１，於是１１１ｅ槡ｘｄｘ＝ｅｔ２ｔｄｔ＝２ｅｔｔｄｔ．∫０∫０∫０再用分部積分法計算：ｕ＝ｔ，ｄｖ＝ｅｔｄｔ，則ｄｕ＝ｄｔ，ｖ＝ｅｔ，１１１ｔｔｔ１ｔｔ１ｅｔｄｔ＝ｔｄｅ＝［ｔｅ］０－ｅｄｔ＝ｅ－［ｅ］０＝１．∫０∫０∫０從而得到１
ｅ槡ｘｄｘ＝２．∫０ｅ
【例１１】計算｜ｌｎｘ｜ｄｘ．∫１ｅ
ｅ１ｅ解｜ｌｎｘ｜ｄｘ＝（－ｌｎｘ）ｄｘ＋ｌｎｘｄｘ∫１∫１∫ｅｅ１１ｅ１ｅ＝［－ｘｌｎｘ］１＋ｄｘ＋［ｘｌｎｘ］－ｄｘ∫１１∫ｅｅ１１
＝２１－．(ｅ)注被積函數中出現絕對值時必須去掉絕對值符號，這就要注意正負號，有時需要分段進行積分．!\"５－３１．計算下列定積分．４ｌｎ２ｄｘｘ（１）∫；（２）∫槡ｅ－１ｄｘ；０１＋槡ｘ０１π１４４（３）∫ｄｘ；（４）∫ｔａｎθｄθ；－１槡５－４ｘ００ｌｎ２ｄｘｘｘ２（５）；（６）ｅ（１＋ｅ）ｄｘ；∫－（ｅ＋１）ｘ＋１∫０５ｕ－１２ｄｘ（７）槡ｄｕ；（８）．∫１ｕ∫０２槡ｘ＋１＋槡（ｘ＋１）第五章定積分·１５３·２．計算下列定積分．π
π２（１）ｘｃｏｓｘｄｘ；（２）ｘ２ｓｉｎｘｄｘ；∫０∫０１１（３）ｘｅ２ｘｄｘ；（４）ｘｅ－ｘｄｘ；∫０∫０槡３ｅ（５）２ｘａｒｃｔａｎｘｄｘ；（６）｜ｌｎｘ｜ｄｘ；∫∫１０ｅ槡３ｅ２（７）ｌｎｘｄｘ；（８）ａｒｃｃｏｓｘｄｘ；∫１∫０π
２槡ｌｎ２（９）ｘｓｉｎｘｄｘ；（１０）ｘ３ｅｘ２ｄｘ；∫０∫０π
２（１１）ｅｘｓｉｎｘｄｘ．∫０１＋ｘ，０≤ｘ≤２，５３．設函數ｆ（ｘ）＝求ｆ（ｘ－２）ｄｘ．{ｘ２－１，２＜ｘ≤４，∫３第四節定積分的應用一、定積分的微元法定積分是求某個不均勻分布的整體量的有力工具．實際中有不少幾何、物理的問題需要用定積分來解決．為了理解和掌握用定積分解決實際問題的方法，回顧一下用定積分解決問題的方法和步驟是很有必要的．以曲邊梯形的麵積為例，總的思路是：所求曲邊梯形的整體麵積Ａ為每個子區間上小曲邊梯形的麵積ΔＡｉ（Ｉ＝１，２，…，ｎ）之和，即ｎ
Ａ＝∑ΔＡｉ．ｉ＝１在局部範圍內（即每個子區間上）“以直（邊）代曲（邊），以常量（ｆ（ξｉ））代變量（ｆ（ｘ））”，取ΔＡｉ的近似值，ΔＡｉ＝ｆ（ξｉ）Δｘｉ，再求和ｎ
Ａ≈∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ，ｉ＝１取極限，得到整體量ｎｂＡ＝ｌｉｍ∑ｆ（ξｉ）Δｘｉ＝ｆ（ｘ）ｄｘ，其中λ＝ｍａｘ｛Δｘ１，Δｘ２，…，Δｘｎ｝．λ→０ｉ＝１∫ａ為了簡便起見，在實際應用中將定積分定義中的四步（分割、近似替代、求和、取極限）突出兩點“細分”“求和”而變成兩步，具體做法是：設函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上連續，具體問題中所求的量為Ｆ．（１）無限細分，化整為零．·１５４·高等數學在區間［ａ，ｂ］內任取小區間［ｘ，ｘ＋Δｘ］，在此微小區間（長度僅為Δｘ＝ｄｘ）上整體量Ｆ對應的部分量ΔＦΔＦ≈ｄＦ＝ｆ（ｘ）ｄｘ．（２）無限求和，積零為整．把部分量的近似值ｄＦ在區間［ａ，ｂ］上積分，即得所求的整體量Ｆ，即ｂｂＦ＝ｄＦ＝ｆ（ｘ）ｄｘ．∫ａ∫ａ其中ｄＦ＝ｆ（ｘ）ｄｘ稱為所求量Ｆ的微分元素，簡稱為Ｆ的微元．這種利用微分元素求定積分的方法稱為微元法（或元素法）．用元素法解決實際問題的一般步驟是：（１）建立坐標係．取方便的積分變量（假設為ｘ），確定所求量Ｆ所在的積分區間［ａ，ｂ］，即積分區間．（２）求微元．在區間［ａ，ｂ］上，任取一小區間［ｘ，ｘ＋Δｘ］，根據實際問題求出在該區間上所求量Ｆ的微元ｄＦ＝ｆ（ｘ）ｄｘ．（３）用定積分表示整體量並計算．以ｄＦ＝ｆ（ｘ）ｄｘ為被積表達式，在閉區間［ａ，ｂ］上做定積分，即得所求量ｂ
Ｆ＝ｆ（ｘ）ｄｘ，∫ａ然後計算出結果．二、定積分在幾何上的應用１．平麵圖形的麵積根據定積分的幾何意義，若ｆ（ｘ）是區間［ａ，ｂ］上的非負連續函數，則ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的ｂ
曲邊梯形的麵積為Ａ＝ｆ（ｘ）ｄｘ．∫ａ一般地，若函數ｆ１（ｘ）和ｆ２（ｘ）在［ａ，ｂ］上連續且總有ｆ１（ｘ）≤ｆ２（ｘ），則由兩條連續曲線ｙ＝ｆ１（ｘ），ｙ＝ｆ２（ｘ）與兩條直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ所圍的平麵圖形（圖５－１４）的麵積元素為ｄＡ＝ｂ
［ｆ２（ｘ）－ｆ１（ｘ）］ｄｘ，即所圍的平麵圖形麵積為Ａ＝［ｆ２（ｘ）－ｆ１（ｘ）］ｄｘ．∫ａ\"\"\"#$!!!\")\"!*!!\"\"\"
+%&!''''!%!
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圖５－１４圖５－１５第五章定積分·１５５·如果連續曲線的方程為ｘ＝φ（ｙ）（φ（ｙ）≥０），則由它與直線ｙ＝ｃ，ｙ＝ｄ（ｃ＜ｄ）及ｙ軸所圍成的平麵圖形（圖５－１５）的麵積元素為ｄＡ＝φ（ｙ）ｄｙ，則，所圍的平麵圖形麵積為ｄ
Ａ＝φ（ｙ）ｄｙ．∫ｃ【例１】求拋物線ｙ＝２－ｘ２與ｙ＝ｘ２所圍成的平麵圖形的麵積．解聯立拋物線的方程ｙ＝ｘ２，求得交點為（－１，１）和（１，１）．{ｙ＝２－ｘ２，取ｘ為積分變量，積分區間為［－１，１］，得１１Ａ＝［（２－ｘ２）－ｘ２］ｄｘ＝（２－２ｘ２）ｄｘ∫－１∫－１１
２３８＝[２ｘ－ｘ]＝．３－１３\"\"\"#!!
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圖５－１６圖５－１７【例２】計算拋物線ｙ２＝２ｘ與直線ｙ＝ｘ－４所圍圖形的麵積Ａ．解聯立直線與拋物線的方程ｙ２＝２ｘ，求得交點為（２，－２）和（８，４）．{ｙ＝ｘ－４，取ｙ為積分變量，積分區間為［－２，４］，得４ｙ２ｙ２ｙ３４Ａ＝∫(ｙ＋４－)ｄｙ＝[＋４ｙ－]＝１８．－２２２６－２２．體積（１）平行截麵麵積為已知的立體的體積對於一般的空間立體體積，如果知道該立體上垂直於一定軸的各個截麵的麵積是已知連續函數，則這個立體的體積也可以用定積分來計算．取定軸為ｘ軸，且設該立體在過點ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ且垂直於ｘ軸的兩個平麵之內，以Ａ（ｘ）表示過點ｘ且垂直於ｘ軸的截麵麵積（圖５－１８）．取ｘ為積分變量，它的變化區間為［ａ，ｂ］．立體中相應於［ａ，ｂ］上任一小區間［ｘ，ｘ＋ｄｘ］·１５６·高等數學的一薄片的體積近似於底麵積為Ａ（ｘ），高為ｄｘ的扁圓柱體的體積，即體積元素為ｄＶ＝ｂ
Ａ（ｘ）ｄｘ．於是，該立體的體積為Ｖ＝Ａ（ｘ）ｄｘ．∫ａ%!!\"()!!
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''''\"#!$!!
圖５－１８圖５－１９【例３】設底麵半徑為Ｒ的圓柱體，被過圓柱底麵直徑且與底麵成角α的平麵所截，求截下的楔形體（圖５－１９）的體積．解取該平麵與底麵圓的交線為ｘ軸，如圖５－１９所示建立直角坐標係，則底麵半圓的方程為ｙ＝槡Ｒ２－ｘ２．在ｘ的變化區間［－Ｒ，Ｒ］內任取一點ｘ，過ｘ作垂直於ｘ軸的截麵，截得一直角三角形，其底長為ｙ＝槡Ｒ２－ｘ２，高為ｙ·ｔａｎα，故其麵積為１
Ａ（ｘ）＝ｙ·ｙ·ｔａｎα２
１２＝ｙ·ｔａｎα２
１２２＝（Ｒ－ｘ）·ｔａｎα，２
體積為Ｒ
Ｖ＝Ａ（ｘ）ｄｘ∫－ＲＲ
１２２＝ｔａｎα（Ｒ－ｘ）ｄｘ∫－Ｒ２Ｒ
１２２＝ｔａｎα（Ｒ－ｘ）ｄｘ２∫－ＲＲ
１２１３＝ｔａｎα[Ｒｘ－ｘ]２３－Ｒ２３＝Ｒｔａｎα．３
注若選積分變量ｙ，同樣可得一個已知截麵，其截麵為矩形．（２）旋轉體的體積旋轉體是一類特殊的已知平行截麵的立體，容易導出它的計算公式．例如，由連續曲線ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈［ａ，ｂ］繞ｘ軸旋轉一周所得的旋轉體如圖５－２０所示．由於過ｘ（ａ≤ｘ≤ｂ），且垂直於ｘ軸的截麵是半徑等於ｆ（ｘ）的圓，其截麵麵積為第五章定積分·１５７·Ａ（ｘ）＝πｆ２（ｘ），所以此旋轉體的體積為ｂ
Ｖ＝πｆ２（ｘ）ｄｘ．∫ａ類似地，由連續曲線ｘ＝φ（ｙ），ｙ∈［ｃ，ｄ］繞ｙ軸旋轉一周所得旋轉體的體積為ｄ
Ｖ＝πφ２（ｙ）ｄｙ．∫ｃ\"
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圖５－２０圖５－２１【例４】求底麵半徑為ｒ，高為ｈ的正圓錐體的體積．ｒ
解此圓錐體可看作由直線ｙ＝ｘ，ｘ∈［０，ｈ］繞ｘ軸旋轉一周而成（圖５－２１）．ｈ
ｒ過ｘ（０≤ｘ≤ｈ），且垂直於ｘ軸的截麵是半徑等於ｙ＝ｘ的圓，其截麵麵積為ｈ
ｒ２Ａ（ｘ）＝πｘ．(ｈ)所以旋轉體的體積為ｈ２２３ｈｒπｒｘπ２Ｖ＝πｘｄｘ＝·＝ｒｈ．∫()２[]０ｈｈ３０３【例５】求曲線ｙ＝ｘ２，直線ｘ＝１與ｘ軸所圍成的平麵圖形繞ｙ軸旋轉所成的旋轉體的體積．解如圖５－２２所示，所求旋轉體的體積是矩形ＯＡＢＣ和曲邊三角形ＯＢＣ分別繞ｙ軸旋轉所得的旋轉體體積之差，它們都可由公式求得．$ｙ＝ｘ２解方程組可得交點Ｂ（１，１），%{ｘ＝１#取ｙ為積分變量，兩個積分的被積函數分別是ｘ＝１和ｘ＝槡ｙ，積分區間為［０，１］，則１１&２２\"!!
Ｖｙ＝π１ｄｙ－π（槡ｙ）ｄｙ∫０∫０１
１２＝π－π·[ｙ]圖５－２２２０π
＝．２
·１５８·高等數學３．平麵曲線的弧長如圖５－２３所示，設平麵曲線弧ＡＢ)的直角坐標方程為ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）．其中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上具有一階連續導數，即曲線弧ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上各點處具有不垂直於ｘ軸的切線，也稱此曲線弧在［ａ，ｂ］上為光滑曲線段．現用微元法來求此光滑曲線段的弧長ｓ．在區間［ａ，ｂ］上任取一小區間［ｘ，ｘ＋ｄｘ］，相應的弧段長Δｓ用弧長微元（即弧微分）ｄｓ近似代替，由弧微分的公式，得Δｓ≈ｄｓ＝槡（ｄｘ）２＋（ｄｙ）２＝槡１＋（ｙ′）２ｄｘ．再將ｄｓ從ａ到ｂ取定積分，即得ｂ
ｓ＝槡１＋（ｙ′）２ｄｘ．∫ａ如果曲線是由參數方程ｘ＝ｘ（ｔ）（ｔ１≤ｔ≤ｔ２）{ｙ＝ｙ（ｔ）給出的，則弧微分為ｄｓ＝槡（ｄｘ）２＋（ｄｙ）２＝槡［ｘ′（ｔ）］２＋［ｙ′（ｔ）］２ｄｔ，ｔ２弧長ｓ＝∫槡［ｘ′（ｔ）］２＋［ｙ′（ｔ）］２ｄｔ．ｔ１\"\"\"#$!!\"%$#\",!%+
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圖５－２３圖５－２４３
【例６】求拋物線ｙ＝ｘ２在ｘ從０到４之間的一段弧ＯＡ（圖５－２４）的長度．解取ｘ為積分變量，積分區間為［０，４］．由於３３１ｙ′＝（ｘ２）′＝ｘ２，２
於是，根據公式得，所求的弧長為４２４３１９ｓ＝∫１＋(ｘ２)ｄｘ＝∫１＋ｘｄｘ０槡２０槡４４１４９２９＝１＋ｘｄ１＋ｘ９∫０(４)(４)第五章定積分·１５９·３
４２９２４８＝×[(１＋ｘ)]＝（１０槡１０－１）．９３４０２７ｘ＝ａ（ｔ－ｓｉｎｔ），【例７】求擺線（ａ＞０）的一拱（０≤ｔ≤２π）的長度．{ｙ＝ａ（１－ｃｏｓｔ）解ｘ′（ｔ）＝ａ（１－ｃｏｓｔ），ｙ′（ｔ）＝ａｓｉｎｔ，由公式得２πＳ＝槡［ｘ′（ｔ）］２＋［ｙ′（ｔ）］２ｄｔ∫０２π＝ａ槡２（１－ｃｏｓｔ）ｄｔ∫０２πｔ＝２ａｓｉｎｄｔ∫０２２πｔ＝２ａｓｉｎｄｔ∫０２ｔ２π＝４ａ[－ｃｏｓ]＝８ａ．２０!\"５－４１．計算由下列各曲線所圍成圖形的麵積．（１）曲線ｙ＝ａ－ｘ２（ａ＞０）與ｘ軸所圍成的圖形；（２）曲線ｙ＝ｘ２＋３在區間［０，１］上的曲邊梯形；（３）曲線ｙ＝ｘ２與ｙ＝２－ｘ２所圍成的圖形；（４）曲線ｙ＝ｘ３與直線ｘ＝０，ｙ＝１所圍成的圖形；π
（５）在區間０，上，曲線ｙ＝ｓｉｎｘ與直線ｘ＝０，ｙ＝１所圍成的圖形；[２]１
（６）曲線ｙ＝與直線ｙ＝ｘ，ｘ＝２所圍成的圖形；ｘ
（７）曲線ｙ＝ｘ２－８與直線２ｘ＋ｙ＋８＝０，ｙ＝－４所圍成的圖形；３３（８）曲線ｙ＝ｘ與ｙ＝槡ｘ所圍成的圖形；２ｘ１２ｘ１（９）拋物線ｙ＝ｘ與直線ｙ＝＋所圍成的圖形及由ｙ＝ｘ，ｙ＝＋與ｙ＝２所２２２２圍成的圖形．２．求下列平麵圖形分別繞ｘ軸，ｙ軸旋轉產生的旋轉體的體積．（１）曲線ｙ＝槡ｘ與直線ｘ＝１，ｘ＝４，ｙ＝０所圍成的圖形；ππ（２）在區間０，上，曲線ｙ＝ｓｉｎｘ與直線ｘ＝，ｙ＝０所圍成的圖形；[２]２（３）曲線ｙ＝ｘ３與直線ｘ＝２，ｙ＝０所圍成的圖形；２２２３（４）曲線ｘ＋ｙ＝１與ｙ＝ｘ所圍成的兩個圖形中較小的一塊；２
（５）曲線ｙ＝ｘ２（０≤ｘ≤２）所圍成的圖形；（６）曲線ｙ＝ｘ２及ｙ２＝８ｘ所圍成的圖形．·１６０·高等數學第五節廣義積分前麵所討論的定積分，其積分區間［ａ，ｂ］都是有限區間，且被積函數ｆ（ｘ）有界．然而，對一些實際問題的研究需要把積分區間推廣為無限區間，把被積函數推廣為無界函數，這樣的積分不是通常意義下的積分（即定積分），所以稱它們為反常積分．相應地，把前麵所討論的積分稱為常義積分．為了區別於前麵的積分，通常把推廣了的積分稱為廣義積分．一、無窮區間的廣義積分先看一個例子．\"１
求曲線ｙ＝，ｘ軸及直線ｘ＝１右邊所圍成的“開口曲邊梯ｘ２!
\"%形”的麵積（圖５－２５）．!\"因為所求圖形不是封閉的曲邊梯形，在ｘ軸的正方向是開口的，這時的積分區間是無限區間［１，＋∞），所以不能用定積#!$!
分來計算它的麵積．如果任取一個大於１的數ｂ，那麼在區間［１，ｂ］上由曲線圖５－２５１
ｙ＝所圍成的曲邊梯形的麵積為ｘ２ｂ１１ｂ１ｄｘ＝－＝１－．∫２[]１ｘｘ１ｂｂ１顯然，當ｂ改變時，定積分２ｄｘ的值也隨之改變．因此，我們把ｂ→＋∞時，曲邊梯形麵∫１ｘ積的極限ｂ１ｌｉｍ２ｄｘｂ→＋∞∫１ｘ理解為所求的“開口曲邊梯形”的麵積，即ｂ１１Ａ＝ｌｉｍ２ｄｘ＝ｌｉｍ１－＝１．ｂ→＋∞∫１ｘｂ→＋∞(ｂ)一般地，對於積分區間是無限的情形，給出下麵定義：定義１設函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，＋∞）上連續，任取ｂ＞ａ，若極限ｂ
ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘｂ→＋∞∫ａ＋∞存在，則稱此極限為函數ｆ（ｘ）在無窮區間［ａ，＋∞）上的廣義積分，記為ｆ（ｘ）ｄｘ，即∫ａ＋∞ｂｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ．∫ａｂ→＋∞∫ａ＋∞＋∞這時也稱廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ收斂；如果極限不存在，則稱廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ發散．∫ａ∫ａ定義２設函數ｆ（ｘ）在區間（－∞，ｂ］上連續，任取ａ＜ｂ，若極限第五章定積分·１６１·ｂ
ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘａ→－∞∫ａｂ
存在，則稱此極限為函數ｆ（ｘ）在無窮區間（－∞，ｂ］上的廣義積分，記為ｆ（ｘ）ｄｘ，即∫－∞ｂｂｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ．∫－∞ａ→－∞∫ａｂｂ這時也稱廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ收斂；如果極限不存在，則稱廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ發散．∫－∞∫－∞同樣地，可以定義（－∞，＋∞）上的廣義積分：＋∞ｂ＋∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｘ）ｄｘ（ｂ為任一實數），∫－∞∫－∞∫ｂ＋∞當且僅當右端的兩個廣義積分都收斂，才稱廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ收斂．∫－∞上述三種廣義積分統稱為無窮區間上的廣義積分．＋∞注（１）廣義積分收斂與定積分存在著類似的幾何意義，以ｆ（ｘ）ｄｘ為例，若ｘ≥ａ∫ａ＋∞時，ｆ（ｘ）≥０，則廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ收斂的幾何意義為：∫ａ曲線ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ軸和直線ｘ＝ａ所圍成的向右無限延伸的平麵區域有有限的麵積，並以ｂ
極限ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ的值作為它的麵積．ｂ→＋∞∫ａ（２）討論廣義積分的斂散性及求值，若能求出原函數，則隻需判斷相應的極限是否存在即可．（３）設Ｆ（ｘ）是ｆ（ｘ）的一個原函數，則無窮區間上的廣義積分的值形式上仍可表示為：＋∞＋∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）］ａ＝Ｆ（＋∞）－Ｆ（ａ），∫ａｂ
ｂｆ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）］－∞＝Ｆ（ｂ）－Ｆ（－∞），∫－∞＋∞＋∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝［Ｆ（ｘ）］－∞＝Ｆ（＋∞）－Ｆ（－∞），∫－∞其中Ｆ（＋∞）＝ｌｉｍＦ（ｘ），Ｆ（－∞）＝ｌｉｍＦ（ｘ）．ｘ→＋∞ｘ→－∞＋∞１１【例１】討論廣義積分ｓｉｎｄｘ的斂散性．∫２２πｘｘ２
解任取ｂ＞，有π
ｂ１１ｂ１Ｆ（ｂ）＝ｓｉｎｄｘ＝－ｓｉｎｄ１∫２２∫２()πｘｘπｘｘ１ｂ１＝ｃｏｓ＝ｃｏｓ，[ｘ]２ｂπ
１因為ｌｉｍＦ（ｂ）＝ｌｉｍｃｏｓ＝１，ｂ→＋∞ｂ→＋∞ｂ所以此廣義積分收斂，且·１６２·高等數學＋∞１１ｓｉｎｄｘ＝１．∫２２πｘｘ類似地，可定義函數ｆ（ｘ）在區間（－∞，ｂ］上的廣義積分為ｂｂｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ．∫－∞ａ→－∞∫ａ對於ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上的廣義積分，定義為＋∞ａ＋∞ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｘ）ｄｘ，∫－∞∫－∞∫ａ其中ａ為任一有限實數．當且僅當右邊的兩個廣義積分皆收斂時才收斂，否則是發散的．根＋∞據積分對區間的可加性，易知ｆ（ｘ）ｄｘ右邊的廣義積分的斂散性及收斂時積分的值都與實∫－∞數ａ的選取無關．【例２】判別下列廣義積分的斂散性．若收斂，求其值．＋∞＋∞＋∞－ｘｄｘｘ（１）ｅｄｘ；（２）２；（３）２ｄｘ．∫０∫－∞１＋ｘ∫－∞１＋ｘ＋∞＋∞－ｘ－ｘ＋∞－ｘ－ｘ解（１）ｅｄｘ＝－［ｅ］０＝－ｌｉｍｅ－（－１）＝１，所以廣義積分ｅｄｘ收斂．∫０ｘ→＋∞∫０＋∞ｄｘ＋∞（２）２＝［ａｒｃｔａｎｘ］－∞∫－∞１＋ｘ＝ｌｉｍａｒｃｔａｎｘ－ｌｉｍａｒｃｔａｎｘｘ→＋∞ｘ→－∞ππ＝＋＝π，２２＋∞ｄｘ所以廣義積分２收斂．∫－∞１＋ｘ＋∞ｘ１＋∞ｄ（１＋ｘ２）（３）２ｄｘ＝２∫－∞１＋ｘ２∫－∞１＋ｘ＋∞１２＝[ｌｎ（１＋ｘ）]２－∞＝０，＋∞ｘ所以廣義積分２ｄｘ收斂．∫－∞１＋ｘ＋∞【例３】計算廣義積分ｔｅ－ｐｔｄｔ（ｐ＞０）．∫０＋∞＋∞＋∞－ｐｔ１－ｐｔ１－ｐｔ＋∞１－ｐｔ解ｔｅｄｔ＝－ｔｄｅ＝－［ｅ］＋ｅｄｔ∫０ｐ∫０ｐ０ｐ∫０＋∞１－ｐｔ１＝－ｅ＝．[２]２ｐ０ｐ＋∞ｄｘ【例４】證明廣義積分ｐ，當ｐ＞１時收斂，當ｐ≤１時發散．∫１ｘ證當ｐ＝１時，＋∞＋∞ｄｘｄｘ＋∞ｐ＝＝［ｌｎ｜ｘ｜］＝＋∞；∫１ｘ∫１ｘ１第五章定積分·１６３·當ｐ≠１時，＋∞１ｄｘ１１－ｐ－∞，ｐ＞１＝ｘ＝ｐ－１，∫ｐ１ｘ１－ｐ１{＋∞，ｐ＜１１
即當ｐ＞１時，此廣義積分收斂，其值為；當ｐ≤１時發散．ｐ－１二、無界函數的廣義積分定義３設函數ｆ（ｘ）在區間（ａ，ｂ］上連續，且ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞（即ｆ（ｘ）在點ａ處無界）．記作ｘ→ａ＋ｂｂｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ（ε＞０），∫ａε→０＋∫ａ＋ε稱它為函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上的廣義積分．若上式右邊的極限存在，則稱廣義積分ｂｂｆ（ｘ）ｄｘ收斂；否則，就稱廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ不存在或發散．這裏ａ稱為函數ｆ（ｘ）的瑕點，也∫ａ∫ａｂ
稱廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ為瑕積分．∫ａ定義４設函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ）上連續，且ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞（即ｆ（ｘ）在點ｂ處無界），記作ｘ→ｂ－ｂｂ－εｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ（ε＞０），∫ａε→０＋∫ａ稱它為函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上的廣義積分，ｂ為瑕點．若右邊的極限存在，則稱廣義積分ｂｂｆ（ｘ）ｄｘ收斂；否則，就稱廣義積分ｆ（ｘ）ｄｘ不存在或發散．∫ａ∫ａ同樣地，可以定義函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上除點ｃ（ａ＜ｃ＜ｂ）外都連續，且ｌｉｍｆ（ｘ）＝∞ｘ→ｃ的廣義積分ｂｃ－εｂｆ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ＋ｌｉｍｆ（ｘ）ｄｘ，ｃ為瑕點．∫ａε→０＋∫ａε→０＋∫ｃ＋ε上述三種廣義積分統稱為無界函數的廣義積分．無界函數的廣義積分與無窮區間上的廣義積分，在計算方法上是相似的．１１【例５】求∫ｄｘ．０槡１－ｘ１１１解因為ｌｉｍ＝＋∞，所以ｄｘ是廣義積分．ｘ１－∫→槡１－ｘ０槡１－ｘ１１１１１ｄｘ＝－ｄ（１－ｘ）＝［－２１－ｘ］∫∫槡００槡１－ｘ０槡１－ｘ＝ｌｉｍ（－２槡１－ｘ）－（－２）ｘ→１－＝２．ａｄｘ【例６】計算廣義積分（ａ＞０）．∫２２０槡ａ－ｘ１
解ｘ＝ａ為函數的瑕點．槡ａ２－ｘ２·１６４·高等數學ａｄｘａ－ξｄｘｘａ－ξ＝ｌｉｍ＝ｌｉｍａｒｃｓｉｎｘ－∫０２２ξ→０＋∫０２２ξ→０＋[ａ]槡ａ－ｘ槡ａ－ｘ０ａ－ξπ＝ｌｉｍａｒｃｓｉｎ＝ａｒｃｓｉｎ１＝．ξ→０＋ａ２１ｄｘ【例７】討論廣義積分２的斂散性．∫－１ｘ１
解ｘ＝０為函數的瑕點．ｘ２１ｄｘ１１１因為ｌｉｍ２＝ｌｉｍ－＝ｌｉｍ－１＋＝＋∞，０＋∫０＋[]０＋()ξ→ξｘξ→ｘξξ→ξ１ｄｘ１ｄｘ所以廣義積分２發散，從而推出廣義積分２發散．∫０ｘ∫－１ｘ注如果我們疏忽了ｘ＝０是瑕點，就會得出錯誤的結果：１ｄｘ１１＝－＝－２．∫２[]－１ｘｘ－１１ｄｘ【例８】證明廣義積分ｑ，當０＜ｑ＜１時收斂，當ｑ≥１時發散．∫０ｘ證當ｑ＝１時，１１ｄｘｄｘ１ｑ＝＝［ｌｎ｜ｘ｜］＝＋∞；∫０ｘ∫０ｘ０當ｑ≠１時，１１１ｄｘ１１－ｑ，０＜ｑ＜１，ｑ＝ｘ＝１－ｑ∫０ｘ[１－ｑ]０{＋∞，ｑ＞１，１
即此廣義積分當０＜ｑ＜１時收斂，其值為；當ｑ≥１時發散．１－ｑ!\"５－５１．判斷下列各廣義積分是否收斂？若收斂，求其值．＋∞＋∞（１）ｅ－ｘｄｘ；（２）ｓｉｎｘｄｘ；∫０∫０＋∞１０２ｘ（３）２ｄｘ（ａ＞１）；（４）２ｄｘ；∫ａｘ－１∫－∞ｘ＋１１ｘ２１（５）ｄｘ；（６）ｄｘ；∫２∫２０槡１－ｘ０（１－ｘ）１－∞ｄｘ（７）ｌｎｘｄｘ；（８）；∫０∫ｅｘｌｎｘ＋∞ｘ２１（９）３ｄｘ；（１０）ｄｘ．∫０（１＋ｘ）∫１ｘｌｎｘ２．判斷下列廣義積分的斂散性．第五章定積分·１６５·＋∞＋∞－ｘｄｘ（１）∫ｅｄｘ；（２）∫；０１槡ｘ＋∞＋∞－ｘｘ（３）ｘｅｄｘ；（４）ｄｘ；∫∫２０－∞槡１＋ｘ１ｄｘ１ｄｘ（５）；（６）．∫∫２０槡１－ｘ－１槡１－ｘ#$%&+１．填空題．ａ
（１）設ｆ（ｘ）為連續函數，則ｘ２［ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）］ｄｘ＝．∫－ａｂ
（２）設ｆ（ｘ）有連續的導數，ｆ（ｂ）＝５，ｆ（ａ）＝３，則ｆ′（ｘ）ｄｘ＝．∫ａｘ
（３）設Ｆ（ｘ）＝ｔｃｏｓ２ｔｄｔ，則Ｆ′π＝．∫０(４)２
ｘ３（４）設ｆ（ｘ）＝ｔ槡１＋ｔ２ｄｔ，則ｆ′（ｘ）＝．∫０＋∞ｋ（５）若反常積分２ｄｘ＝１，則常數ｋ＝．∫－∞１＋ｘｂｆ（ｘ）ｂｇ（ｘ）（６）若ｄｘ＝１，則ｄｘ＝．∫ａｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）∫ａｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）２．單項選擇題．２
（１）設函數ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ，則ｆ（ｘ）ｄｘ＝（）．∫－２２２Ａ．０Ｂ．８Ｃ．ｆ（ｘ）ｄｘＤ．２ｆ（ｘ）ｄｘ∫０∫０ｂｂ（２）設函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上連續，則ｆ（ｘ）ｄｘ－ｆ（ｔ）ｄｔ（）．∫ａ∫ａＡ．小於零Ｂ．等於零Ｃ．大於零Ｄ．不確定１
（３）設ｆ（ｘ）在［０，１］上連續，令ｔ＝２ｘ，則ｆ（２ｘ）ｄｘ＝（）．∫０２１１２１２Ａ．ｆ（ｔ）ｄｔＢ．ｆ（ｔ）ｄｔＣ．２ｆ（ｔ）ｄｔＤ．ｆ（ｔ）ｄｔ∫０２∫０∫０２∫０ａ
（４）設ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上連續，則定積分ｆ（－ｘ）ｄｘ＝（）．∫－ａａａａＡ．０Ｂ．２ｆ（ｘ）ｄｘＣ．－ｆ（ｘ）ｄｘＤ．ｆ（ｘ）ｄｘ∫０∫－ａ∫－ａｎ１１（５）設ｆ（ｘ）為連續函數，則１－ｆｔ＋ｄｔ＝（）．∫１(２)()ｎｔｔ１
Ａ．０Ｂ．１Ｃ．ｎＤ．ｎ
（６）設函數ｆ（ｘ）在區間［ａ，ｂ］上連續，則由曲線ｙ＝ｆ（ｘ）與直線ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ，ｙ＝０所圍·１６６·高等數學平麵圖形的麵積為（）．ｂｂＡ．ｆ（ｘ）ｄｘＢ．ｆ（ｘ）ｄｘ∫ａ∫ａｂ
Ｃ．｜ｆ（ｘ）｜ｄｘＤ．ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ａ＜ξ＜ｂ∫ａｘ
（７）設ｆ（ｔ）ｄｔ＝ａ２ｘ，則ｆ（ｘ）＝（）．∫０Ａ．２ａ２ｘＢ．ａ２ｘｌｎａＣ．２ｘａ２ｘ－１Ｄ．２ａ２ｘｌｎａ（８）下列反常積分中收斂的是（）．＋∞＋∞＋∞＋∞１ｘＡ．ｃｏｓｘｄｘＢ．３ｄｘＣ．ｌｎｘｄｘＤ．ｅｄｘ∫１∫１ｘ∫１∫１（９）下列等式中正確的是（）．ｄ
Ａ．ｆ′（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）Ｂ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）＋ｃ∫ｄｘ∫ｄｂｄｂＣ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｘ）Ｄ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝０ｄｘ∫ａｄｘ∫ａπ
２（１０）｜ｓｉｎｘ｜ｄｘ≠（）．∫π－２π
２Ａ．０Ｂ．２｜ｓｉｎｘ｜ｄｘ∫０π
０２Ｃ．２（－ｓｉｎｘ）ｄｘＤ．２ｓｉｎｘｄｘ∫π∫－２０（１１）根據定積分的幾何意義，下列各式中正確的是（）．ππ３π０２２２Ａ．ｃｏｓｘｄｘ＜ｃｏｓｘｄｘＢ．ｃｏｓｘｄｘ＝ｃｏｓｘｄｘ∫π∫∫π∫π－２０－２２π２πＣ．ｓｉｎｘｄｘ＝０Ｄ．ｓｉｎｘｄｘ＝０∫０∫０２
（１２）使積分ｋｘ（１＋ｘ２）－２ｄｘ＝３２的常數ｋ＝（）．∫０Ａ．４０Ｂ．－４０Ｃ．８０Ｄ．－８０π
２１（１３）－ｓｉｎｘｄｘ＝（）．∫０２ππＡ．－１Ｂ．－４４π
Ｃ．３－－１Ｄ．０槡１２（１４）ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上連續，則下列各式中一定正確的是（）．－ａ－ａａＡ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝０Ｂ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝２ｆ（ｘ）ｄｘ∫ａ∫ａ∫０－ａａ－ａａＣ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）］ｄｘＤ．ｆ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）］ｄｘ∫ａ∫０∫ａ∫０第五章定積分·１６７·ｂ
（１５）ｆ′（２ｘ）ｄｘ＝（）．∫ａＡ．ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｂ．ｆ（２ｂ）－ｆ（２ａ）１
Ｃ．［ｆ（２ｂ）－ｆ（２ａ）］Ｄ．２［ｆ（２ｂ）－ｆ（２ａ）］２
（１６）設ｆ（ｘ）是連續函數，ａ，ｂ為常數，則下列說法中不正確的是（）．ｂｂＡ．ｆ（ｘ）ｄｘ是常數Ｂ．ｘｆ（ｔ）ｄｔ是ｘ的函數∫ａ∫ａｂ
ｘｘＣ．ｆ（ｔ）ｄｔ是ｘ的函數Ｄ．ｘｆ（ｔｘ）ｄｔ是ｘ和ｔ的函數∫ａ∫０ｘ
２ｄｙ（１７）ｙ＝（ｔ－１）（ｔ＋２）ｄｔ，則＝（）．∫０ｄｘｘ＝０Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．－１Ｄ．１ｘ
（１８）設函數ｙ＝（ｔ－１）ｄｔ，則ｙ有（）．∫０１１１１Ａ．極小值Ｂ．極小值－Ｃ．極大值Ｄ．極大值－２２２２－ｘｅ
ｄｘ（１９）設ｆ（ｔ）ｄｔ＝ｅ，則ｆ（ｘ）＝（）．ｄｘ∫０Ａ．ｘ２Ｂ．－ｘ－２Ｃ．ｅ２ｘＤ．－ｅ－２ｘｓｉｎｘ（２０）設ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｔ２ｄｔ，ｇ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ４，當ｘ→０時，ｆ（ｘ）是ｇ（ｘ）的（）．∫０Ａ．等價無窮小量Ｂ．同階但非等價無窮小量Ｃ．高價無窮小量Ｄ．低價無窮小量ｄｘ（２１）ｇ（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ＝（）．ｄｘ∫ａＡ．ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）Ｂ．ｇ′（ｘ）ｆ′（ｘ）ｘ
Ｃ．ｇ′（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｆ′（ｘ）Ｄ．ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｇ′（ｘ）ｆ（ｔ）ｄｔ∫ａπ
（２２）下列圖形中陰影部分的麵積不等於定積分ｃｏｓｘｄｘ的是（）．∫π－２\"\"$$Ａ．\"#!\"#!Ｂ．\"#!\"#!
!
%!$!!%!$!!
%%%%\"\"$%\"#!\"#$!!
Ｃ．\"#!\"#!Ｄ．!
%!$!!%!$!!
%%&&·１６８·高等數學（２３）下列積分中不是廣義積分的是（）．π
ｅｄｘ－１ｄｘ１ｄｘ２ｄｘＡ．Ｂ．Ｃ．ｘＤ．∫１ｘｌｎｘ∫－２ｘ∫０１－ｅ∫０ｃｏｓｘ（２４）下列廣義積分中是發散的為（）．＋∞ｄｘ＋∞ｄｘ＋∞ｄｘ＋∞ｄｘＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．∫∫∫２∫２１ｘ１ｘ槡ｘ１ｘ１ｘ槡ｘ（２５）下列廣義積分中是收斂的為（）．１ｄｘ１ｄｘ１ｄｘ１ｄｘＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．∫∫∫∫２０ｘ０槡ｘ０ｘ槡ｘ０ｘ３．求下列定積分．４ｘ２＋ｘ－６０ｄｘ（１）ｄｘ；（２）２；∫３ｘ－２∫－２ｘ＋２ｘ＋２９πｘ２２ｘ（３）∫槡ｄｘ；（４）∫ｅｃｏｓｘｄｘ．４槡ｘ－１０４．計算由下列各曲線所圍成圖形的麵積：３
（１）曲線ｙ＝ｓｉｎｘ與直線ｘ＝０，ｘ＝π及ｙ＝０所圍成的圖形；２
（２）曲線ｙ２＝ｘ與ｘ２＝ｙ所圍成的圖形；（３）曲線ｙ＝２－ｘ２與直線ｙ＝－ｘ所圍成的圖形；（４）曲線ｙ＝ｌｎｘ與直線ｙ＝ｌｎ２，ｙ＝ｌｎ５及ｘ＝０所圍成的圖形；（５）曲線ｘｙ＝１與直線ｙ＝ｘ及ｙ＝３所圍成的圖形；（６）曲線ｙ２＝２ｘ與直線ｙ＝４－ｘ所圍成的圖形．５．求拋物線ｙ＝－ｘ２＋４ｘ－３及其在點（０，－３）和（３，０）處的切線所圍成的圖形的麵積．６．求下列曲線所圍成的圖形繞ｘ軸旋轉所成旋轉體的體積．（１）ｙ＝ｘ２，ｙ＝０，ｘ＝１，ｘ＝２；（２）ｘｙ＝ａ２；ｙ＝０，ｘ＝ａ，ｘ＝２ａ；（３）ｙ＝ｘ２，ｘ＝ｙ２；（４）ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ；１
（５）ｙ＝，ｙ＝４ｘ，ｙ＝０，ｘ＝２；（６）ｙ＝ｓｉｎｘ（０≤ｘ≤π），ｙ＝０．ｘ
第六章微分方程函數是客觀事物的內部聯係在數量方麵的反應，利用函數關係可以對客觀事物的規律性進行研究．因此如何尋求函數關係，在實踐中具有重要意義．在許多問題中，往往不能直接找出所需的函數關係，但是，根據問題所提供的情況，有時可以找到含有要找的函數及其導數（或微分）的關係式，這樣的關係式就是所謂的微分方程．微分方程建立後，對它進行研究，找出未知函數，這就是解微分方程．本章主要介紹微分方程的一些基本概念與幾種常見的微分方程的解法．第一節微分方程的基本概念下麵通過兩個具體的例子來說明微分方程的基本概念．【例１】一曲線通過原點，且在該曲線上任一點Ｍ（ｘ，ｙ）處的切線的斜率為２ｘ，求該曲線的方程．解設所求曲線的方程為ｙ＝ｆ（ｘ）．根據導數的幾何意義，可知未知函數ｙ＝ｆ（ｘ）應滿足關係式ｄｙ＝２ｘ．（１）ｄｘ此外，未知函數ｙ＝ｆ（ｘ）還應滿足下列條件ｘ＝０時，ｙ＝０，簡記為ｙ＝０．（２）ｘ＝０把（１）式兩端積分，得ｙ＝∫２ｘｄｘ即ｙ＝ｘ２＋Ｃ，（３）其中Ｃ是任意常數．把條件ｙ＝０代入（３）式，得ｘ＝００＝０２＋Ｃ，由此得出Ｃ＝０．把Ｃ＝０代入（３）式，得所求曲線方程ｙ＝ｘ２．（４）【例２】列車在平直線路上以２０ｍ／ｓ（相當於７２ｋｍ／ｈ）的速度行駛，當製動時列車獲得加速度－０．４ｍ／ｓ２．問開始製動後多長時間列車才能停住，以及列車在這段時間裏行駛了多少路程？
解設列車在開始製動後ｔ秒時行駛了ｓ米．根據題意，反映製動階段列車運動規律的·１７０·高等數學函數ｓ＝ｓ（ｔ）應滿足關係式ｄ２ｓ＝－０．４．（５）ｄｔ２此外，未知函數ｓ＝ｓ（ｔ）還應滿足下列條件ｓ＝０ｖ＝ｓ′＝２０，（６）ｔ＝０ｔ＝０ｔ＝０把（５）式兩端積分一次，得ｄｓｖ＝＝－０．４ｔ＋Ｃ，（７）ｄｔ１再積分一次，得２
ｓ＝－０．２ｔ＋Ｃ１ｔ＋Ｃ２，（８）這裏Ｃ１，Ｃ２都是任意常數．把條件ｓ′＝２０代入（７）式，得ｔ＝０２０＝Ｃ１；把條件ｓ＝０代入（８）式得ｔ＝００＝Ｃ２．把Ｃ１，Ｃ２的值代入（７）式及（８）式，得ｖ＝－０．４ｔ＋２０，（９）ｓ＝－０．２ｔ２＋２０ｔ，（１０）在（９）式中令ｖ＝０，得到列車從開始製動到完全停住所需的時間２０ｔ＝＝５０（ｓ）．０．４再把ｔ＝５０代入（９）式，得到列車在製動階段行駛的路程ｓ＝－０．２×５０２＋２０×５０＝５００（ｍ）．上述兩個例子中的關係式（１）和（５）都含有未知函數的導數，它們都是微分方程．一般地，含有未知函數的導數（或微分）的方程，稱為微分方程．未知函數是一元函數的微分方程，稱為常微分方程；未知函數是多元函數的微分方程，稱為偏微分方程．本章我們隻講常微分方程，有時簡稱方程．微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，稱為微分方程的階．例如，方程（１）是一階微分方程，方程（５）是二階微分方程．一般的，ｎ階微分方程的一般形式為Ｆ（ｘ，ｙ，ｙ′，…，ｙ（ｎ））＝０．（１１）這裏必須指出，在方程（１１）中，ｙ（ｎ）必須出現，而ｘ，ｙ，ｙ′，…，ｙ（ｎ－１）等變量可以不出現，例如，ｎ階微分方程ｙ（ｎ）＋１＝０．如果將某個函數及其導數代入微分方程中，使該方程左邊恒等於右邊，則稱此函數為該微分方程的解．例如，例１中函數（３）和（４）都是方程（１）的解；例２中函數（８）和（１０）都是方程（５）的解．第六章微分方程·１７１·如果微分方程的解中所含相互獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同，這樣的解稱為微分方程的通解．例如，例１中函數（３）是方程（１）的通解；例２中函數（８）是方程（５）的通解．在微分方程的通解中給所有任意常數以確定的值後，就得到微分方程的特解．例如，例１中函數（４）是方程（１）的特解；例２中函數（１０）是方程（５）的特解．所謂給所有任意常數以確定的值，其含義是指解必須滿足某種指定的附加條件，稱這種附加條件為初值條件．例如，例１中（２）式是方程（１）的初值條件；例２中（６）式是方程（５）的初值條件．求微分方程滿足給定初值條件的特解這樣的問題稱為初值問題．微分方程解的圖形稱為此方程的積分曲線．由於通解中含有任意常數，所以它的圖形是具有某種共同性質的積分曲線族．積分曲線族中各條曲線的形狀一樣，位置在縱向上有差距，而特解的圖形是積分曲線族中滿足初值條件的一條特定的積分曲線．【例３】設有方程ｙ′－２ｙ＝０，試問：函數（１）ｙ＝ｓｉｎ２ｘ，（２）ｙ＝ｅ２ｘ，（３）ｙ＝３ｅ２ｘ中哪些是方程的解？哪些是滿足初值條件ｙ＝１的特解？
ｘ＝０解（１）ｙ＝ｓｉｎ２ｘ，ｙ′＝２ｃｏｓ２ｘ，把ｙ與ｙ′代入ｙ′－２ｙ＝０，得左邊＝２ｃｏｓ２ｘ－２ｓｉｎ２ｘ≠０＝右邊，所以ｙ＝ｓｉｎ２ｘ不是方程ｙ′－２ｙ＝０的解．（２）ｙ＝ｅ２ｘ，ｙ′＝２ｅ２ｘ，把ｙ與ｙ′代入ｙ′－２ｙ＝０，得左邊＝２ｅ２ｘ－２ｅ２ｘ＝０＝右邊，又將ｘ＝０代入ｙ＝ｅ２ｘ中，得ｙ＝１．ｘ＝０所以ｙ＝ｅ２ｘ是方程ｙ′－２ｙ＝０的解，並且是滿足初值條件ｙ＝１的特解．ｘ＝０（３）ｙ＝３ｅ２ｘ，ｙ′＝６ｅ２ｘ，把ｙ與ｙ′代入ｙ′－２ｙ＝０，得左邊＝６ｅ２ｘ－６ｅ２ｘ＝０＝右邊，而將ｘ＝０代入ｙ＝３ｅ２ｘ中，得ｙ＝３．ｘ＝０所以ｙ＝３ｅ２ｘ是方程ｙ′－２ｙ＝０的解，但不是滿足初值條件ｙ＝１的特解．ｘ＝０!\"６－１１．單項選擇題．２
ｄｙｄｙ３４（１）微分方程＋（）＋２ｘ＝０的階數是（）．ｄｘ２ｄｘＡ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）下列微分方程中，是一階方程的是（）．Ａ．ｙ′＝ｘ２＋２ｙＢ．ｙ″＋（ｙ′）２＋ｅｘ－２ｙ＝０ｄ２ｙｄ３ｙｙＣ．＋ｘｙ＝０Ｄ．＋＝ｘｙｄｘ２ｄｘ３２ｘ３２ｄｙ２ｘｄｙ（３）方程＋ｅ·－ｙ＝ｘ的通解中應包含的任意常數的個數為（）．ｄｘ３ｄｘ２·１７２·高等數學Ａ．１個Ｂ．２個Ｃ．３個Ｄ．４個ｙ
（４）下列函數中，（）是微分方程ｙ′＋＝ｘ的解．ｘ
ｘ２ｘ３１ｘ２ｘ２１Ａ．＋１Ｂ．＋Ｃ．－＋１Ｄ．＋３３ｘ３３ｘ２．驗證下列函數（其中Ｃ為任意常數）是否是相應的微分方程的解，是通解還是特解．（１）ｘｙ′＝２ｙ，ｙ＝Ｃｘ２，ｙ＝ｘ２；（２）ｙ″＝－ｙ，ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝３ｓｉｎｘ－４ｃｏｓｘ；ｄｙｘ２ｘ（３）＝２ｙ，ｙ＝ｅ，ｙ＝Ｃｅ．ｄｘ第二節可分離變量的微分方程本節和下節，我們將討論兩類一階微分方程ｙ′＝ｆ（ｘ，ｙ）的解法．形如ｆ１（ｙ）ｄｙ＝ｆ２（ｘ）ｄｘ（１）的一階微分方程稱為可分離變量方程．方程（１）的特點是左端隻含ｙ的函數乘微分ｄｙ，右端隻含ｘ的函數ｄｘ．設函數ｆ１（ｙ）和ｆ２（ｘ）是連續的，將（１）式兩邊同時積分，便得ｆ（ｙ）ｄｙ＝ｆ（ｘ）ｄｘ，∫１∫２這個方程確定了ｙ的ｘ隱函數，它就是微分方程（１）的解．ｄｙ【例１】求微分方程＝２ｘｄｘ（ｙ≠０）的通解．ｙ
解所給方程是可分離變量方程，將方程兩邊同時積分得ｄｙ＝２ｘｄｘ，∫ｙ∫２
ｌｎ｜ｙ｜＝ｘ＋Ｃ１，取指數函數得２２２｜ｙ｜＝ｅｘ＋Ｃ１＝ｅＣ１ｅｘ，即ｙ＝±ｅＣ１ｅｘ．２
令Ｃ＝±ｅＣ１，便得所給微分方程的通解ｙ＝Ｃｅｘ．如果一階微分方程可變形為形如Ｍ１（ｘ）Ｍ２（ｙ）ｄｘ＋Ｎ１（ｘ）Ｎ２（ｙ）ｄｙ＝０（２）或ｙ′＝ｆ１（ｘ）ｆ２（ｙ）（３）的微分方程，則方程稱為可分離變量的方程．方程（２）的特點是微分的係數可分解為隻依賴於ｘ和隻依賴於ｙ的因子的乘積．當Ｎ１（ｘ）Ｍ２（ｙ）≠０時，用它除方程（２）的兩端，得Ｎ（ｙ）Ｍ（ｘ）２ｄｙ＝－１ｄｘ．Ｍ２（ｙ）Ｎ１（ｘ）同樣，方程（３）可化為第六章微分方程·１７３·ｄｙ＝ｆ１（ｘ）ｄｘ．ｆ２（ｙ）這就是前麵討論過的可分離變量方程．【例２】求（１＋ｙ）ｄｘ－（１－ｘ）ｄｙ＝０滿足ｙ＝０的特解．ｘ＝０解分離變量並積分，依次得到（１＋ｙ）ｄｘ＝（１－ｘ）ｄｙ，１１ｄｘ＝ｄｙ，１－ｘ１＋ｙ兩邊同時求不定積分１１ｄｘ＝ｄｙ，∫１－ｘ∫１＋ｙ得ｌｎ（１＋ｙ）＝－ｌｎ（１－ｘ）＋ｌｎＣ，通解為（１－ｘ）（１＋ｙ）＝Ｃ，由ｙ＝０得ｘ＝０Ｃ＝１．故所求特解為（１－ｘ）（１＋ｙ）＝１．【例３】求（１＋ｅｘ）ｙｙ′＝ｅｘ滿足ｙ＝０的特解．ｘ＝０解分離變量並積分，依次得到ｅｘｙｄｙ＝ｄｘ，１＋ｅｘｅｘｙｄｙ＝ｄｘ，∫∫１＋ｅｘ２
ｙｘ通解為＝ｌｎ（１＋ｅ）＋ｌｎＣ，２
２ｙｘ即＝ｌｎＣ（１＋ｅ）．２
由ｙ＝０得ｘ＝００＝ｌｎ２Ｃ，１
即Ｃ＝．２
ｙ２１＋ｅｘ故所求特解為＝ｌｎ．２２【例４】求（ｅｘ＋ｙ－ｅｘ）ｄｘ＋（ｅｘ＋ｙ＋ｅｙ）ｄｙ＝０滿足ｙ＝１的特解．ｘ＝０解方程變形為ｅｘ（ｅｙ－１）ｄｘ＋（ｅｘ＋１）ｅｙｄｙ＝０，ｅｘｅｙ方程兩邊積分，有ｄｘ＋ｄｙ＝ｌｎＣ，∫ｅｘ＋１∫ｅｙ－１ｌｎ（ｅｘ＋１）＋ｌｎ（ｅｙ－１）＝ｌｎＣ，所以通解為（ｅｘ＋１）（ｅｙ－１）＝Ｃ．·１７４·高等數學再由ｙ＝１，得ｘ＝０（ｅ０＋１）（ｅ１－１）＝２（ｅ－１）＝Ｃ．故所求特解為（ｅｙ－１）（ｅｘ＋１）＝２（ｅ－１）．ｄｙ【例５】求微分方程ｘ＋ｙ＝２ｘｙ的通解．ｄｘ槡解原方程變形為ｄｙｙｙ＝２－，（４）ｄｘ槡ｘｘｙｄｙｄｕ令ｕ＝，則ｙ＝ｘｕ，＝ｕ＋ｘ．把它們代入（４）式，得ｘｄｘｄｘｄｕｕ＋ｘ＝２ｕ－ｕ，ｄｘ槡ｄｕｄｘ即＋＝０．２（ｕ－槡ｕ）ｘ兩端積分得ｄｕ∫＋ｌｎｘ＝ｌｎＣ，２槡ｕ（槡ｕ－１）ｄ（ｕ－１）∫槡＋ｌｎｘ＝ｌｎＣ，（槡ｕ－１）ｌｎ（槡ｕ－１）＋ｌｎｘ＝ｌｎＣ，即
ｘ（槡ｕ－１）＝Ｃ．ｙ
將ｕ＝回代，得原方程的通解為ｘ
槡ｘｙ－ｘ＝Ｃ．【例６】設降落傘從跳傘塔下落後，所受空氣阻力與速度成正比，並設降落傘離開跳傘塔時速度為零，求降落傘下落速度與時間的函數關係．解設降落傘下落速度為ｖ（ｔ），降落傘在空中下落時，同時受到重力與空氣阻力的作用．重力大小為ｍｇ，方向與ｖ一致．阻力大小為ｋｖ（ｋ為比例係數），方向與ｖ相反，從而降落傘所受外力為Ｆ＝ｍｇ－ｋｖ．根據牛頓第二運動定律Ｆ＝ｍａ（ａ為加速度），得函數ｖ（ｔ）應滿足的方程為ｄｖｍ＝ｍｇ－ｋｖ．（５）ｄｔ按題意，初值條件為ｖ＝０．ｔ＝０方程（５）分離變量，得第六章微分方程·１７５·ｄｖｄｔ＝，ｍｇ－ｋｖｍｄｖｄｔ兩邊積分得＝，∫ｍｇ－ｋｖ∫ｍ考慮到ｍｇ－ｋｖ＞０，得１ｔ－ｌｎ（ｍｇ－ｋｖ）＝＋Ｃ，ｋｍ１即
ｋｍｇ－ｋｖ＝ｅ－ｍｔ－ｋＣ１，或
ｋ－ｋＣ１ｍｇ－ｔｅｖ＝＋Ｃｅｍ（Ｃ＝－），ｋｋ這就是方程（５）的通解．將初值條件ｖ＝０代入通解得ｔ＝０ｍｇＣ＝－．ｋ
於是降落傘下落速度與時間的函數關係為ｋ
ｍｇ－ｔｖ＝（１－ｅｍ）．（６）ｋ
ｍｇｍｇ由（６）式可以看出，隨著時間ｔ的增大，速度ｖ逐漸接近於常數，且不會超過，也就ｋｋ是說，跳傘後開始階段是加速運動，但以後逐漸接近於勻速運動．!\"６－２１．求下列微分方程的通解．（１）ｄｙ－槡ｙｄｘ＝０；（２）ｘｌｎｘ·ｙ′－ｙ＝０；（３）ｘ（ｙ２－１）ｄｘ＋ｙ（ｙ２－１）ｄｙ＝０；（４）ｘｙ′－ｙｌｎｙ＝０；ｄｙｙｙ（５）ｙｌｎｘｄｘ＋ｘｌｎｙｄｙ＝０；（６）＝＋ｔａｎ．ｄｘｘｘ２．求下列微分方程滿足所給初值條件的特解．２
（１）ｙ′ｓｉｎｘ＝ｙｌｎｙ，ｙπ＝ｅ；（２）槡１－ｘｙ′＝ｘ，ｙ＝０；ｘ＝２ｘ＝０２２２ｘ－ｙｘ＋ｙ（３）ｙ′＝ｅ，ｙ＝０；（４）ｙ′＝，ｙ＝１．ｘ＝０ｘｙｘ＝１·１７６·高等數學第三節一階線性微分方程形如ｙ′＋Ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ（ｘ）（１）的方程稱為一階線性微分方程，其中Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ）是已知的連續函數．一階線性微分方程的特點是方程中ｙ和ｙ′都是一次的．當Ｑ（ｘ）≡０時，方程（１）變為ｙ′＋Ｐ（ｘ）ｙ＝０，（２）方程（２）稱為一階齊次線性微分方程，而方程（１）則稱為一階非齊次線性微分方程．先求一階齊次線性微分方程的通解．方程（２）是一個可分離變量的方程．分離變量，得ｄｙ＝－Ｐ（ｘ）ｄｘ，ｙ
兩端積分，得ｌｎｙ＝－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ＋ｌｎＣ，故一階齊次線性微分方程（２）的通解為ｙ＝Ｃｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ．（３）現在我們使用常數變易法來求一階非齊次線性微分方程（１）的通解．這種方法是把通解（３）中的常數Ｃ換成ｘ的未知函數Ｃ（ｘ），即ｙ＝Ｃ（ｘ）ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ，（４）於是ｙ′＝Ｃ′（ｘ）ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ－Ｃ（ｘ）Ｐ（ｘ）ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ．（５）將（４）和（５）式代入方程（１）中，得Ｃ′（ｘ）ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ－Ｃ（ｘ）Ｐ（ｘ）ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ＋Ｃ（ｘ）Ｐ（ｘ）ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ＝Ｑ（ｘ），即Ｃ′（ｘ）ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ＝Ｑ（ｘ）或Ｃ′（ｘ）＝Ｑ（ｘ）ｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘ，積分可得Ｃ（ｘ）＝∫Ｑ（ｘ）ｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋Ｃ，將所得的Ｃ（ｘ）代入（４）式中，即得一階非齊次線性微分方程（１）的通解公式ｙ＝ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ［∫Ｑ（ｘ）ｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋Ｃ］．（６）將（６）式改寫成兩項之和ｙ＝Ｃｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ＋ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ∫Ｑ（ｘ）ｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ．上式右端第一項是對應的齊次線性方程（２）的通解，第二項是非齊次線性微分方程（１）的一個特解［在（１）的通解（６）中取Ｃ＝０便得此特解］．由此可知：定理（一階非齊次線性微分方程的解的結構）一階非齊次線性微分方程（１）的通解等第六章微分方程·１７７·於對應的齊次線性方程（２）的通解與一階非齊次線性方程（１）的一個特解之和．ｄｙ【例１】求＋２ｘｙ＝４ｘ的通解．ｄｘ解這是一個一階非齊次線性微分方程方法一公式法把ｐ（ｘ）＝２ｘ，Ｑ（ｘ）＝４ｘ代入公式（６）得ｙ＝ｅ－∫２ｘｄｘ[∫４ｘｅ∫２ｘｄｘｄｘ＋ｃ]２
＝ｅ－ｘ(∫４ｘｅｘ２ｄｘ＋ｃ)＝ｅ－ｘ２（２ｅｘ２＋ｃ）＝２＋ｃｅ－ｘ２．方法二常數變易法ｄｙ先求對應的齊次微分方程＋２ｘｙ＝０的通解．ｄｘ分離變量得ｄｙ＝－２ｘｄｘ，ｙ
兩邊同時求不定積分得２
ｌｎ｜ｙ｜＝－ｘ＋ｃ１．２
即齊次微分方程的通解為ｙ＝ｃｅ－ｘ（ｃ＝±ｅｃ１）．再設ｙ＝ｃ（ｘ）ｅ－ｘ２，代入原方程得ｃ′（ｘ）ｅ－ｘ２－２ｘｅ－ｘ２ｃ（ｘ）＋２ｘｃ（ｘ）ｅ－ｘ２＝４ｘ，ｃ′（ｘ）＝４ｘｅｘ２，兩邊同時求不定積分得ｃ（ｘ）＝∫４ｘｅｘ２ｄｘ＝２ｅｘ２＋ｃ，因此，所求微分方程的通解為ｙ＝（２＋ｃｅ－ｘ２）．ｄｙ２ｙ５【例２】求方程－＝（ｘ＋１）２的通解．ｄｘｘ＋１解這是一個一階非齊次線性方程．方法一常數變易法ｄｙ２ｙ先求對應的齊次線性方程－＝０的通解．ｄｘｘ＋１ｄｙ２ｄｘ分離變量得＝，ｙｘ＋１積分得ｌｎｙ＝２ｌｎ（ｘ＋１）＋ｌｎＣ，齊次線性方程的通解為ｙ＝Ｃ（ｘ＋１）２．令ｙ＝Ｃ（ｘ）（ｘ＋１）２，代入所給非齊次線性方程，得·１７８·高等數學５
２２２Ｃ′（ｘ）（ｘ＋１）＋２Ｃ（ｘ）（ｘ＋１）－Ｃ（ｘ）（ｘ＋１）＝（ｘ＋１）２，ｘ＋１１
Ｃ′（ｘ）＝（ｘ＋１）２，２３兩邊積分得Ｃ（ｘ）＝（ｘ＋１）２＋Ｃ，３
於是得所求方程的通解為２２３ｙ＝（ｘ＋１）（ｘ＋１）２＋Ｃ．[３]方法二公式法２５這裏Ｐ（ｘ）＝－，Ｑ（ｘ）＝（ｘ＋１）２．ｘ＋１由公式（６）得原方程的通解ｙ＝ｅ－∫Ｐ（ｘ）ｄｘ[∫Ｑ（ｘ）ｅ∫Ｐ（ｘ）ｄｘｄｘ＋Ｃ]２
－（－）ｄｘ５２∫ｘ＋１２(－)ｄｘ＝ｅ[∫（ｘ＋１）ｅ∫ｘ＋１ｄｘ＋Ｃ]２２３＝（ｘ＋１）（ｘ＋１）２＋Ｃ．[３]ｄｙｙ【例３】求方程＝的通解．ｄｘｘ＋ｙ３ｄｙ解原方程不是關於ｙ，的線性方程，現改寫為ｄｘｄｘ１２－ｘ＝ｙ，ｄｙｙｄｘ就變成了關於ｘ，的線性方程．ｄｙ用公式法求解．１２因為Ｐ（ｙ）＝－，Ｑ（ｙ）＝ｙ，ｙ
由公式得原方程的通解為１３－Ｐ（ｙ）ｄｙｄｙ１ｙｘ＝ｅ∫Ｑ（ｙ）ｅ∫Ｐ（ｙ）ｄｙｄｙ＋Ｃ＝ｅ∫ｙｙ２ｅ－∫ｙｄｙｄｙ＋Ｃ＝Ｃｙ＋．(∫)(∫)２【例４】設一電路如圖６－１所示，其中電動勢Ｅ、自感Ｌ與電阻Ｒ為常數，若開始時（ｔ＝０）回路電流為ｉ０，求任一時刻ｔ的電流ｉ（ｔ）．解由電學知，總電動勢等於電源的電動勢Ｅ減去自\"
ｄｉ!
感Ｌ產生的電動勢Ｌ；再由歐姆定律知，總電動勢又等於#ｄｔ電阻Ｒ乘以電流ｉ（ｔ），所以得ｄｉｄｉＲＥＥ－Ｌ＝Ｒｉ（ｔ），即＋ｉ＝，圖６－１ｄｔｄｔＬＬ這是非齊次線性方程，利用通解公式得第六章微分方程·１７９·ＲＲＲＲＲ－ｄｔＥｄｔ－ｔＥｔＥ－ｔｉ＝ｅ∫Ｌｅ∫Ｌｄｔ＋Ｃ＝ｅＬｅＬ＋Ｃ＝＋ＣｅＬ．(∫Ｌ)(Ｒ)ＲＥ
由初值條件ｉ＝ｉ，確定Ｃ＝ｉ－，則所求電流為ｔ＝０００ＲＲ
ＥＥ－ｔｉ＝＋ｉ－ｅＬ．Ｒ(０Ｒ)Ｅ
從解中可知，無論初值電流多大，當ｔ→＋!時，ｉ（ｔ）都趨於定值．Ｒ
!\"６－３１．判別下列微分方程屬於何種類型．２ｄｙ３ｔ（１）ｘｄｙ＋ｙｓｉｎｘｄｘ＝０；（２）＋３ｙ＝ｅ；ｄｔｄｘｘ２（３）ｄｙ＝；（４）（ｘ＋１）ｙ′－３ｙ＝ｅ（１＋ｘ）；ｘ＋ｙ２２
ｄｙｙ２（５）＝；（６）（ｘ＋１）ｙ′＋２ｘｙ＝ｃｏｓｘ．ｄｘｘｙ－ｘ２２．求下列微分方程的通解．２２（１）ｙ′＋２ｙ＝１；（２）ｙ′－＝（１＋ｘ）；ｘ＋１２２ｄｙ－ｘ（３）ｘｄｙ＋（２ｘｙ－ｘ）ｄｘ＝０；（４）＋ｙ＝ｅ；ｄｘｄｙ２ｙ２（５）－３ｘｙ＝２ｘ；（６）ｙ′－＝ｘｓｉｎ３ｘ．ｄｘｘ３．求下列微分方程滿足所給初值條件的通解．ｄｙ３（１）（ｘ－２）＝ｙ＋２（ｘ－２），ｙ＝０；ｄｘｘ＝１（２）ｙ′＋ｙｃｏｓｘ＝ｅ－ｓｉｎｘ，ｙ＝０．ｘ＝０第四節可降階的高階微分方程二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程．對於有些高階微分方程，我們可以通過代換將它化成比較低階的方程來求解．下麵介紹三種容易降階的高階微分方程的求解方法．一、ｙ（ｎ）＝ｆ（ｘ）型的微分方程微分方程ｙ（ｎ）＝ｆ（ｘ）（１）的右端僅含有自變量ｘ，容易看出，隻要把ｙ（ｎ－１）作為新的未知函數，那麼（１）式就是新未知函數的一階微分方程．兩邊積分，就得到一個ｎ－１階的微分方程·１８０·高等數學ｙ（ｎ－１）＝ｆ（ｘ）ｄｘ＋Ｃ．∫１（ｎ－２）同理可得ｙ＝ｆ（ｘ）ｄｘ＋Ｃｄｘ＋Ｃ２．∫[∫１]依此法繼續進行，接連積分ｎ次，便得方程（１）的含有ｎ個任意常數的通解．【例１】求微分方程ｙ＝ｅ２ｘ－ｃｏｓｘ的通解．解對所給方程接連積分三次，得１２ｘｙ′′＝ｅ－ｓｉｎｘ＋Ｃ，２
１２ｘｙ′＝ｅ＋ｃｏｓｘ＋Ｃｘ＋Ｃ，４２１２ｘ２Ｃｙ＝ｅ＋ｓｉｎｘ＋Ｃｘ＋Ｃｘ＋ＣＣ＝．８１２３(１２)這就是所求的通解．二、ｙ″＝ｆ（ｘ，ｙ′）型的微分方程微分方程ｙ″＝ｆ（ｘ，ｙ′）（２）ｄｐ的右端不顯含未知函數ｙ，此時令ｙ′＝ｐ，則ｙ″＝＝ｐ′，代入方程（２），得ｄｘｄｐ＝ｆ（ｘ，ｐ）．ｄｘ這是關於變量ｘ和ｐ的一階微分方程，它比原方程降低了一階，設其通解為ｐ＝φ（ｘ，Ｃ１），則方程（２）的通解為ｙ＝（ｘ，Ｃ）ｄｘ＋Ｃ．∫φ１２ｙ′ｘ【例２】求方程ｙ″－＝ｘｅ的通解．ｘ
解原方程是ｙ″＝ｆ（ｘ，ｙ′）型．令ｙ′＝ｐ，ｙ″＝ｐ′，方程化為１ｘｐ′－ｐ＝ｘｅ，ｘ
利用一階非齊次線性微分方程的通解公式，得１
ｄｘ１ｘ１ｘｐ＝ｅ∫ｘｘｅｘｅ－∫ｘｄｘｄｘ＋Ｃ＝ｘｘｅｄｘ＋Ｃ＝ｘｅ＋Ｃｘ，(∫)(∫ｘ)即ｙ′＝ｘｅｘ＋Ｃｘ．所以原方程的通解為ｘｘｘＣ２ｙ＝（ｘｅ＋Ｃｘ）ｄｘ＝ｘｅ－ｅ＋ｘ＋Ｃ∫２２ｘｘ２Ｃ＝ｘｅ－ｅ＋Ｃｘ＋ＣＣ＝．１２(１２)２
【例３】求方程ｙ″－３（ｙ′）＝０滿足初值條件ｙｘ＝０＝０，ｙ′ｘ＝０＝－１的特解．第六章微分方程·１８１·解所給方程中不含未知函數ｙ及自變量ｘ，即原方程是ｙ″＝ｆ（ｘ，ｙ′）．令ｙ′＝ｐ，ｙ″＝ｐ′，代入原方程，得２ｄｐｐ′－３ｐ＝０，即＝３ｄｘ．ｐ２１
所以－＝３ｘ＋Ｃ．ｐ１由ｙ′ｘ＝０＝ｐｘ＝０＝－１，得Ｃ１＝１．１
從而ｙ′＝ｐ＝－，３ｘ＋１１
得ｙ＝－ｌｎ（３ｘ＋１）＋Ｃ．３２又由ｙｘ＝０＝０，得Ｃ２＝０．所以原方程的特解為１
ｙ＝－ｌｎ（３ｘ＋１）．３
三、ｙ″＝ｆ（ｙ，ｙ′）型的微分方程微分方程ｙ″＝ｆ（ｙ，ｙ′）（３）的右端不顯含自變量ｘ，此時令ｙ′＝ｐ，利用複合函數的求導法則，有ｄｐｄｐｄｙｄｐｙ″＝＝·＝ｐ，ｄｘｄｙｄｘｄｙ代入方程（３），得ｄｐｐ＝ｆ（ｙ，ｐ）．ｄｙ這是關於變量ｙ和ｐ的一階微分方程，設它的通解為ｙ′＝ｐ＝φ（ｙ，Ｃ１），分離變量後積分得方程（３）的通解為ｄｙ＝ｘ＋Ｃ．∫２φ（ｙ，Ｃ１）２
【例４】求ｙｙ″－（ｙ′）＝０的通解，並求滿足初值條件ｙｘ＝０＝１，ｙ′ｘ＝０＝２的特解．ｄｐ解原方程不顯含自變量ｘ，設ｙ′＝ｐ，則ｙ″＝ｐ，原方程可化為ｄｙｄｐ２ｙｐ－ｐ＝０．ｄｙ在ｙ≠０，ｐ≠０時，約去ｐ並分離變量，得ｄｐｄｙ＝．ｐｙ兩端積分得·１８２·高等數學ｐ＝Ｃ１ｙ，即ｙ′＝Ｃ１ｙ．再分離變量後積分，得通解為Ｃ１ｘｙ＝Ｃ２ｅ．利用初值條件ｙｘ＝０＝１，ｙ′ｘ＝０＝２，得到Ｃ１＝２，Ｃ２＝１，故所求的特解為ｙ＝ｅ２ｘ．當ｐ＝０時，即ｙ′＝０，從而ｙ＝Ｃ２．這是通解中Ｃ１＝０的情形．!\"６－４１．求下列微分方程的通解．（１）ｙ″＝ｘ＋ｓｉｎｘ；（２）ｙ＝ｘｅｘ；（３）ｙ″＝１＋ｙ′２；（４）ｙ″＝ｙ′＋ｘ；（５）ｘｙ″＋ｙ′＝０；（６）ｙｙ″＋２（ｙ′）２＝０．２．求下列微分方程滿足初值條件的特解．１
２（１）ｙ″＝（ｙ′），ｙｘ＝０＝０，ｙ′ｘ＝０＝１；２
（２）（１－ｘ）ｙ″－ｘｙ′＝３，ｙｘ＝０＝０，ｙ′ｘ＝０＝０；２
（３）ｙ″＋（ｙ′）＝１，ｙｘ＝０＝０，ｙ′ｘ＝０＝０．第五節二階常係數齊次線性微分方程在自然科學及工程技術中，線性微分方程有著十分廣泛的應用．本節主要介紹二階常係數線性微分方程的性質及其解法．形如ｙ″＋Ｐ（ｘ）ｙ′＋Ｑ（ｘ）ｙ＝ｆ（ｘ）（１）的微分方程，稱為二階線性微分方程．當ｆ（ｘ）＝０時，方程（１）為ｙ″＋Ｐ（ｘ）ｙ′＋Ｑ（ｘ）ｙ＝０（２）稱為二階齊次線性微分方程．當ｆ（ｘ）≠０時，方程（１）稱為二階非齊次線性微分方程．當係數Ｐ（ｘ），Ｑ（ｘ）分別為常數ｐ，ｑ時，方程ｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝０（３）稱為二階常係數齊次線性微分方程．類似地，方程ｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝ｆ（ｘ）（ｆ（ｘ）≠０）（４）稱為二階常係數非齊次線性微分方程．為了求解二階常係數線性微分方程，我們先對二階齊次線性微分方程解的性質和通解結構做一些討論．第六章微分方程·１８３·一、二階齊次線性微分方程解的性質和通解結構二階齊次線性微分方程（２）的解，具有下麵的性質．定理１如果函數ｙ１（ｘ）與ｙ２（ｘ）是方程（２）的兩個解，那麼ｙ＝Ｃ１ｙ１（ｘ）＋Ｃ２ｙ２（ｘ）（５）也是（２）的解，其中Ｃ１，Ｃ２是任意常數．證因為ｙ１，ｙ２是方程（２）的兩個解，所以ｙ″１＋＋Ｐ（ｘ）ｙ′１＋Ｑ（ｘ）ｙ１＝０，ｙ″２＋Ｐ（ｘ）ｙ′２＋Ｑ（ｘ）ｙ２＝０，將（５）式代入（２）式左端，得左端＝（Ｃ１ｙ″１＋Ｃ２ｙ″２）＋Ｐ（ｘ）（Ｃ１ｙ′１＋Ｃ２ｙ′２）＋Ｑ（ｘ）（Ｃ１ｙ１＋Ｃ２ｙ２）＝Ｃ１（ｙ″１＋Ｐ（ｘ）ｙ１＋Ｑ（ｘ）ｙ１）＋Ｃ２（Ｑ（ｘ）ｙ″２＋Ｐ（ｘ）ｙ′２＋Ｑ（ｘ）ｙ２）＝Ｃ１·０＋Ｃ２·０＝０＝右端，故ｙ＝Ｃ１ｙ１（ｘ）＋Ｃ２ｙ２（ｘ）是方程（２）的解．－ｘ２ｘ１－ｘ【例１】設ｙ″－ｙ′－２ｙ＝０，驗證ｙ１＝ｅ，ｙ２＝ｅ，ｙ３＝ｅ均為方程的解，並證明－ｘ２ｘ－ｘ１－ｘＣ１ｅ＋Ｃ２ｅ是原方程的通解，而Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｅ是原方程的解但不是通解．證把ｙ１代入方程得－ｘ－ｘ－ｘ左端＝ｙ″１－ｙ′１－２ｙ１＝ｅ－（－ｅ）－２ｅ＝０＝右端，－ｘ所以ｙ１＝ｅ是方程ｙ″－ｙ′－２ｙ＝０的解．同理，把ｙ２，ｙ３分別代入方程，依次得２ｘ２ｘ２ｘ左端＝ｙ″２－ｙ′２－２ｙ２＝４ｅ－２ｅ－２ｅ＝０＝右端，１－ｘ１－ｘ１－ｘ左端＝ｙ″３－ｙ′３－２ｙ３＝ｅ－（－ｅ）－２ｅ＝０＝右端．２ｘ１－ｘ所以ｙ２＝ｅ，ｙ３＝ｅ也是方程ｙ″－ｙ′－２ｙ＝０的解．由定理１可得，Ｃ１ｙ１＋Ｃ２ｙ２（Ｃ１，Ｃ２是任意常數）是原方程的解．又因為兩個任意常數Ｃ１，Ｃ２不可能合並為一個任意常數，且方程是二階的，因此Ｃ１ｙ１＋Ｃ２ｙ２是ｙ″－ｙ′－２ｙ＝０的通解．－ｘ而Ｃ１ｙ１＋Ｃ３ｙ３＝ｅ（Ｃ１＋Ｃ３ｅ）＝Ｃｙ１（其中Ｃ＝Ｃ１＋Ｃ３ｅ）實質上隻含有一個任意常數，所以Ｃ１ｙ１＋Ｃ２ｙ３是原方程的解但不是通解．－ｘｙ１ｅ－３ｘ－ｘ２ｘ由例１可見，＝２ｘ＝ｅ≠常數（稱ｙ１＝ｅ與ｙ２＝ｅ是線性無關的），所以Ｃ１ｙ１＋ｙ２ｅ１－ｘｙ３ｅ－ｘ１－ｘＣ２ｙ２是ｙ″－ｙ′－２ｙ＝０的通解．而＝－ｘ＝ｅ（稱ｙ１＝ｅ與ｙ３＝ｅ是線性相關的），這就ｙ１ｅ使得Ｃ１ｙ１＋Ｃ２ｙ３中的常數可以合並成一個常數，從而它不能作為原方程的通解．定理２（二階齊次線性方程通解的結構定理）如果函數ｙ１（ｘ），ｙ２（ｘ）是二階齊次線性微分方程（２）的兩個線性無關的特解，則方程（２）的通解為ｙ＝Ｃ１ｙ１（ｘ）＋Ｃ２ｙ２（ｘ），其中Ｃ１，Ｃ２是任意常數．二、二階常係數齊次線性微分方程的解法現在我們研究二階常係數齊次線性微分方程（３），即ｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝０的解法．·１８４·高等數學我們知道，指數函數ｙ＝ｅｒｘ（ｒ為常數）的各階導數仍為指數函數ｅｒｘ乘以一個常數，而且方程（３）的係數是常數．因此，要使方程（３）的右端為零，可以設想方程（３）的一個特解為ｙ＝ｅｒｘ，其中ｒ為待定常數．據此，將ｙ＝ｅｒｘ代入方程（３），得（ｅｒｘ）″＋ｐ（ｅｒｘ）′＋ｑｅｒｘ＝０，即ｅｒｘ（ｒ２＋ｐｒ＋ｑ）＝０．由於ｅｒｘ≠０，故得ｒ２＋ｐｒ＋ｑ＝０．（６）這就是說，隻要待定常數ｒ滿足方程（６），所得的函數ｙ＝ｅｒｘ就是方程（３）的解，我們稱一元二次方程（６）是微分方程（３）的特征方程，特征方程（６）的根ｒ稱為方程（３）的特征根．－ｐ±ｐ２－４ｑ由於特征方程（６）是一元二次方程，它的根為ｒ＝槡，所以特征根ｒ，ｒ就１，２２１２有三種不同的情形，分別討論如下：１．特征方程有兩個不相等的實根（ｒ１≠ｒ２）ｒｘｒｘｙ這時方程（３）有兩個特解ｙ＝ｅ１，ｙ＝ｅ２，且ｙ，ｙ線性無關１（ｒ１－ｒ２）ｘ，１２１２(即＝ｅ≠常數)ｙ２則方程（３）的通解為ｒ１ｘｒ２ｘｙ＝Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｅ．【例２】求微分方程ｙ″－５ｙ′＋６ｙ＝０的通解．解特征方程是ｒ２－５ｒ＋６＝０，即（ｒ－２）（ｒ－３）＝０，特征根ｒ２＝２，ｒ２＝３，因為ｒ１≠ｒ２，故所求方程的通解為２ｘ３ｘｙ＝Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｅ．ｐ
２．特征方程有兩個相等的實根ｒ＝ｒ＝－(１２２)ｒ１ｘ這時方程（３）隻有一個特解ｙ１＝ｅ，還需要找出與ｙ１線性無關的另一個特解ｙ２．ｒ１ｘ設ｙ２＝ｕ（ｘ）ｅ是方程（３）的另一個解．ｒ１ｘ對ｙ２＝ｕ（ｘ）ｅ求導，得ｒ１ｘｙ′２＝ｅ（ｕ′＋ｒ１ｕ），ｒ１ｘ２ｙ″２＝ｅ（ｕ″＋２ｒ１ｕ′＋ｒ１ｕ）．將ｙ２，ｙ′２和ｙ″２代入方程（３），得ｒ１ｘ２ｅ［（ｕ″＋２ｒ１ｕ′＋ｒ１ｕ）＋ｐ（ｕ′＋ｒ１ｕ）＋ｑｕ］＝０，整理得２
ｕ″＋（２ｒ１＋ｐ）ｕ′＋（ｒ１＋ｐｒ１＋ｑ）ｕ＝０．因為ｒ１是特征方程（６）的重根，所以２ｐｒ＋ｐｒ＋ｑ＝０且２ｒ＋ｐ＝０因為ｒ＝－，１１１(１２)第六章微分方程·１８５·於是ｕ″＝０．對上式積分兩次，得ｕ＝Ｃ１ｘ＋Ｃ２，其中Ｃ１，Ｃ２是任意常數．令Ｃ１＝１，Ｃ２＝０，得ｕ（ｘ）＝ｘ．於是得到方程（３）的另一個解ｒ１ｘｙ２＝ｘｅ．又因為ｙ１，ｙ２線性無關，所以方程（３）的通解為ｒ１ｘｒ１ｘｙ＝Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｘｅ．【例３】求方程ｙ″＋６ｙ′＋９ｙ＝０的通解．解對應的特征方程為ｒ２＋６ｒ＋９＝０，得特征根為ｒ１＝ｒ２＝－３，－３ｘ故所求方程的通解為ｙ＝（ｃ１＋ｃ２ｘ）ｅ．ｄ２ｓｄｓｄｓ【例４】求微分方程４２－４＋ｓ＝０，滿足初始條件ｓｔ＝０＝１，＝３時的特解．ｄｔｄｔｄｔｔ＝０解特征方程為４ｒ２－４ｒ＋１＝０，即（２ｒ－１）２＝０．１
特征根為ｒ＝ｒ＝，因此，所給方程的通解為１２２１
２ｔｓ＝（Ｃ１＋Ｃ２ｔ）ｅ．將上式求導，得１１ｄｓ１ｔｔ＝（Ｃ＋Ｃｔ）ｅ２＋Ｃｅ２，ｄｔ２１２２ｄｓ將初值條件ｓｔ＝０＝１，＝３代入以上兩式，得ｄｔｔ＝０５
Ｃ＝１，Ｃ＝．１２２於是所求滿足初始條件的特解為１
５ｔｓ＝１＋ｔｅ２．(２)３．特征方程有一對共軛複根（ｒ１＝α＋ｉβ，ｒ２＝α－ｉβ）（α＋ｉβ）ｘ（α－ｉβ）ｘ這時，ｙ１＝ｅ，ｙ２＝ｅ是方程（３）的兩個複值函數的特解，使用起來不方便，為了得出實值函數形式的特解，根據歐拉公式ｅｉβ＝ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ，將ｙ１，ｙ２改寫為（α＋ｉβ）ｘαｘｉβｘαｘｙ１＝ｅ＝ｅｅ＝ｅ（ｃｏｓβｘ＋ｉｓｉｎβｘ），（α－ｉβ）ｘαｘ－ｉβｘαｘｙ２＝ｅ＝ｅｅ＝ｅ（ｃｏｓβｘ－ｉｓｉｎβｘ），·１８６·高等數學取方程（３）的另兩個特解１ｘｙ＝（ｙ＋ｙ）＝ｅαｃｏｓβｘ，１２１２１ｘｙ＝（ｙ－ｙ）＝ｅαｓｉｎβｘ，２２ｉ１２－
ｙ２－＝ｔａｎβｘ≠常數，ｙ１即ｙ１與ｙ２線性無關，從而得到方程（３）的通解為αｘｙ＝ｅ（Ｃ１ｃｏｓβｘ＋Ｃ２ｓｉｎβｘ）．【例５】求微分方程ｙ″＋２ｙ′＋７ｙ＝０的通解．解特征方程ｒ２＋２ｒ＋７＝０，得特征根－２±２２－４×７ｒ＝槡＝－１±ｉ６．１，２２槡這是一對共軛複根（α＝－１，β＝槡６），故所求方程的通解為－ｘｙ＝ｅ（Ｃ１ｃｏｓ槡６ｘ＋Ｃ２ｓｉｎ槡６ｘ）．綜上，求二階常係數齊次線性微分方程（３）的通解步驟如下：（１）寫出特征方程ｒ２＋ｐｒ＋ｑ＝０；（２）求出特征根ｒ１，ｒ２；（３）按下表寫出微分方程的通解．２
特征方程ｒ＋ｐｒ＋ｑ＝０的兩個根ｒ１，ｒ２微分方程ｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝０的通解ｒ１ｘｒ２ｘ兩個不等的實根ｒ１≠ｒ２ｙ＝Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｅｒ１ｘ兩個相等的實根ｒ１＝ｒ２ｙ＝（Ｃ１＋Ｃ２ｘ）ｅαｘ一對共軛複根ｒ１＝α＋ｉβ，ｒ２＝α－ｉβｙ＝ｅ（Ｃ１ｃｏｓβｘ＋Ｃ２ｓｉｎβｘ）!\"６－５１．求下列微分方程的通解．（１）４ｙ″－３ｙ′－４ｙ＝０；（２）ｙ″－４ｙ′＋１３ｙ＝０；（３）ｙ″－５ｙ′＝０；（４）ｙ″＋ｙ＝０；（５）ｙ″－１０ｙ′－１１ｙ＝０．２．求下列微分方程滿足所給初值條件的特解．（１）ｙ″－３ｙ′－４ｙ＝０，ｙｘ＝０＝０，ｙ′ｘ＝０＝－５；（２）ｙ″＋２５ｙ＝０，ｙｘ＝０＝２，ｙ′ｘ＝０＝１５；（３）ｙ″＋４ｙ′＋２９ｙ＝０，ｙｘ＝０＝０，ｙ′ｘ＝０＝１５．第六章微分方程·１８７·第六節二階常係數非齊次線性微分方程一、二階常係數非齊次線性微分方程的性質和通解結構二階常係數非齊次線性微分方程的一般形式是ｙ″＋Ｐ（ｘ）ｙ′＋Ｑ（ｘ）ｙ＝ｆ（ｘ）．（１）現在我們研究方程（１）的性質．定理如果ｙ是非齊次方程（１）的一個特解，Ｙ是方程（１）對應的齊次方程ｙ″＋Ｐ（ｘ）ｙ′＋Ｑ（ｘ）ｙ＝０的通解，則ｙ＝Ｙ＋ｙ（２）就是非齊次方程（１）的通解．證因ｙ是非齊次方程（１）的一個特解，即ｙ″＋Ｐ（ｘ）ｙ′＋Ｑ（ｘ）ｙ＝ｆ（ｘ）．Ｙ是方程（１）對應的齊次方程的通解，即Ｙ″＋Ｐ（ｘ）Ｙ′＋Ｑ（ｘ）Ｙ＝０，所以，把（２）式代入方程（１），得左端＝（Ｙ＋ｙ）″＋Ｐ（ｘ）（Ｙ＋ｙ）′＋Ｑ（ｘ）（Ｙ＋ｙ）＝（Ｙ″＋Ｐ（ｘ）Ｙ′＋Ｑ（ｘ）Ｙ）＋（Ｙ″＋Ｐ（ｘ）ｙ′＋Ｑ（ｘ）ｙ）＝０＋ｆ（ｘ）＝右端，故ｙ＝Ｙ＋ｙ是非齊次方程（１）的通解．又因Ｙ是方程（１）對應的齊次方程的通解，它必含有兩個相互獨立的任意常數，則ｙ＝Ｙ＋ｙ也必含有兩個相互獨立的任意常數，所以它就是二階非齊次線性方程（１）的解．方程（１）的通解結構為ｙ＝Ｙ＋ｙ，其中ｙ是方程（１）的一個特解，Ｙ是方程（１）對應的齊次方程的通解．由於上節已經解決了如何求二階常係數齊次線性方程ｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝０的通解，因此若要求二階常係數非齊次線性方程ｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝ｆ（ｘ）（３）的通解，現在隻需解決如何求方程（３）的一個特解ｙ的問題．下麵隻介紹當方程（３）中的ｆ（ｘ）取兩種常見形式時求特解ｙ的方法．這種方法的特點是不用積分就可以求出ｙ來，通常稱為待定係數法．二、二階常係數非齊次線性微分方程的求解λｘ１．ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）ｅ型λｘ設方程（３）的右端ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）ｅ，其中λ是常數，Ｐｍ（ｘ）是一個已知的ｘ的ｍ次多項式ｍｍ－１Ｐｍ（ｘ）＝ａ０ｘ＋ａ１ｘ＋…＋ａｍ－１ｘ＋ａｍ．·１８８·高等數學這時，方程（３）成為λｘｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝Ｐｍ（ｘ）ｅ．（４）我們知道，方程（４）的特解ｙ是使方程（４）成為恒等式的函數．由於方程（４）的右端是多項式與指數函數ｅλｘ的乘積，而多項式與指數函數乘積的各階導數仍是多項式與指數函數的乘積，根據方程（４）左端各項的係數均為常數的特點，可以設想方程（４）的特解為某個多項式Ｑ（ｘ）與ｅλｘ的乘積．我們設方程（４）的特解為ｙ＝Ｑ（ｘ）ｅλｘ，則
ｙ′＝Ｑ′（ｘ）ｅλｘ＋λＱ（ｘ）ｅλｘ，ｙ″＝Ｑ″（ｘ）ｅλｘ＋２λＱ′（ｘ）ｅλｘ＋λ２Ｑ（ｘ）ｅλｘ，代入方程（４）整理，得２
Ｑ″（ｘ）＋（２λ＋ｐ）Ｑ′（ｘ）＋（λ＋ｐλ＋ｑ）Ｑ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）．（５）下麵分三種情形來討論：（１）若λ不是方程（４）的特征根，則λ２＋ｐλ＋ｑ≠０，而方程（５）的左端的最高次冪項在Ｑ（ｘ）內，要使（５）式兩端恒等，Ｑ（ｘ）必須與Ｐｍ（ｘ）是同次多項式，即Ｑ（ｘ）應為ｍ次多項式，因此可設方程（４）的一個特解為λｘｙ＝Ｑｍ（ｘ）ｅ，ｍｍ－１其中Ｑｍ（ｘ）＝ｂ０ｘ＋ｂ１ｘ＋…＋ｂｍ－１ｘ＋ｂｍ（ｂ０，ｂ１，…，ｂｍ－１，ｂｍ是待定係數）．將ｙ，ｙ′，ｙ″代入方程（４）中，比較等式兩端ｘ的同次冪的係數，即可定出係數ｂ０，
ｂ１，…，ｂｍ－１，ｂｍ，從而得到方程（４）的特解ｙ．（２）若λ是方程（４）的特征單根，則λ２＋ｐλ＋ｑ＝０，而２λ＋ｐ≠０，這時（５）式變成Ｑ″（ｘ）＋（２λ＋ｐ）Ｑ′（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ），要使此式兩端恒等，Ｑ′（ｘ）與Ｐｍ（ｘ）必須是同次多項式，即Ｑ′（ｘ）應為ｍ次多項式，因此，可設方程（４）的一個特解為λｘｙ＝ｘＱｍ（ｘ）ｅ．求出ｙ′和ｙ″後，把它們代入方程（４），經化簡整理後，使用與情形（１）中類似的方法
求出Ｑｍ（ｘ）中的待定係數，即可得到特解ｙ．（３）若λ是方程（４）的特征重根，則有λ２＋ｐλ＋ｑ＝０及２λ＋ｐ＝０，這時（５）式變成Ｑ″（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ），要使此式兩端恒等，Ｑ″（ｘ）與Ｐｍ（ｘ）必須是同次多項式，即Ｑ″（ｘ）應為ｍ次多項式，因此，可設方程（４）的一個特解為２λｘｙ＝ｘＱｍ（ｘ）ｅ．求出ｙ′和ｙ″後，把它們代入方程（４），用類似前麵的方法求出Ｑｍ（ｘ）中的待定係數，即可得到特解ｙ．綜上所述，對於二階常係數非齊次線性微分方程（４），可設特解為ｋλｘｙ＝ｘＱｍ（ｘ）ｅ，（６）其中Ｑｍ（ｘ）與Ｐｍ（ｘ）是同次多項式，而ｋ按λ不是特征根，是特征單根或重根依次取０，１或２．λｘ特別地，當λ＝０時，ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）ｅ化為ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ），可設特解為第六章微分方程·１８９·ｋｙ＝ｘＱｍ（ｘ），（７）其中Ｑｍ（ｘ）與Ｐｍ（ｘ）是同次多項式，ｋ的取法與（６）相同．λｘλｘ當Ｐｍ（ｘ）為常數ａ時，ｆ（ｘ）＝Ｐｍ（ｘ）ｅ化為ｆ（ｘ）＝ａｅ，可設特解為ｙ＝ｂｘｋｅλｘ，（８）其中ｋ的取法與（６）相同．【例１】求微分方程ｙ″－３ｙ′＋２ｙ＝ｘｅ２ｘ的通解．解特征方程為ｒ２－３ｒ＋２＝０，解得特征根ｒ１＝１，ｒ２＝２，所以原方程對應的齊次方程的通解為ｘ２ｘＹ＝Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｅ．２ｘ因為ｆ（ｘ）＝ｘｅ，λ＝２是單特征根，Ｐｍ（ｘ）＝ｘ是一次多項式，由（６）式，設特解為２ｘ２２ｘｙ＝ｘ（ｂ０ｘ＋ｂ１）ｅ＝（ｂ０ｘ＋ｂ１ｘ）ｅ．對ｙ求導，得２２ｘｙ′＝［２ｂ０ｘ＋（２ｂ１＋２ｂ０）ｘ＋ｂ１］ｅ，２２ｘｙ″＝［４ｂ０ｘ＋（８ｂ０＋４ｂ１）ｘ＋（２ｂ０＋４ｂ１）］ｅ，將ｙ，ｙ′，ｙ″代入原方程，化簡後約去ｅ２ｘ，得２ｂｘ＋（２ｂ０＋ｂ１）＝ｘ．分別比較ｘ的係數和常數項，得２ｂ＝１，{０２ｂ０＋ｂ１＝０，１
解得ｂ＝，ｂ＝－１，得特解０２１１２ｘｙ＝ｘｘ－１ｅ．(２)故原方程的通解為ｘ２ｘ１２ｘｙ＝Ｙ＋ｙ＝Ｃｅ＋Ｃｅ＋ｘ（ｘ－１）ｅ．１２２１
【例２】求微分方程ｙ″＋４ｙ＝ｘ滿足ｙ＝０，ｙ′＝０的解．２ｘ＝０ｘ＝０解特征方程為ｒ２＋４＝０，解得特征根ｒ１，２＝±２ｉ，所以對應的齊次方程的通解為Ｙ＝Ｃ１ｃｏｓ２ｘ＋Ｃ２ｓｉｎ２ｘ．因λ＝０不是特征方程的根，故設ｙ＝ａｘ＋ｂ，得·１９０·高等數學ｙ′＝ａ，ｙ″＝０，把ｙ，ｙ′，ｙ″代入原方程，得１
４（ａｘ＋ｂ）＝ｘ，２
１１４ａ＝，ａ＝，１由待定係數法２得８所以ｙ＝ｘ．８
{４ｂ＝０，{ｂ＝０，通解為１
ｙ＝Ｃｃｏｓ２ｘ＋Ｃｓｉｎ２ｘ＋ｘ．１２８１
又由ｙ＝０，得Ｃ＝０，ｙ′＝０，得Ｃ＝－，故特解為ｘ＝０１ｘ＝０２１６１１ｙ＝－ｓｉｎ２ｘ＋ｘ．１６８２．ｆ（ｘ）＝Ａｃｏｓωｘ＋Ｂｓｉｎωｘ型如果二階常係數齊次線性方程（１）得右端為ｆ（ｘ）＝Ａｃｏｓωｘ＋Ｂｓｉｎωｘ，其中Ａ，Ｂ，ω為實數，這時方程（３）成為ｙ″＋ｐｙ′＋ｑｙ＝Ａｃｏｓωｘ＋Ｂｓｉｎωｘ．（９）我們知道，這種類型的三角函數的一階導數、二階導數仍為三角函數．可以證明，方程（９）的特解為ｙ＝ｘｋ（ａｃｏｓωｘ＋ｂｓｉｎωｘ），（１０）其中ａ和ｂ是待定常數，ｋ為整數．（１）當ωｉ不是特征根ｒ時，ｋ＝０；（２）當ωｉ是特征根ｒ時，ｋ＝１．【例３】求微分方程ｙ″＋３ｙ′＋２ｙ＝２ｃｏｓ２ｘ的通解．解所給方程是二階常係數非齊次線性方程，對應的齊次線性方程的特征方程為ｒ２＋３ｒ＋２＝０，即（ｒ＋１）（ｒ＋２）＝０，特征根為ｒ１＝－１，ｒ２＝－２．所以對應的齊次線性方程的通解為－ｘ－２ｘＹ＝Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｅ．因為ωｉ＝２ｉ不是特征方程的根，所以設特解ｙ＝ａｃｏｓ２ｘ＋ｂｓｉｎ２ｘ．求導得ｙ′＝－２ａｓｉｎ２ｘ＋２ｂｃｏｓ２ｘ，ｙ″＝－４ａｃｏｓ２ｘ－４ｂｓｉｎ２ｘ，代入原方程，得（－２ａ＋６ｂ）ｃｏｓ２ｘ＋（－２ｂ－６ａ）ｓｉｎ２ｘ＝２０ｃｏｓ２ｘ，比較兩端同類項的係數，有第六章微分方程·１９１·－２ａ＋６ｂ＝２０，{－２ｂ－６ａ＝０，求得ａ＝－１，{ｂ＝３．於是，所求特解為ｙ＝－ｃｏｓ２ｘ＋３ｓｉｎ２ｘ．故原方程的通解為－ｘ－２ｘｙ＝Ｃ１ｅ＋Ｃ２ｅ－ｃｏｓ２ｘ＋３ｓｉｎ２ｘ．【例４】求微分方程ｙ″＋ｙ＝４ｓｉｎｘ的通解．２
解對應齊次線性方程的特征方程為ｒ＋１＝０，特征根為ｒ１，２＝±ｉ．其通解為Ｙ＝Ｃ１ｃｏｓｘ＋Ｃ２ｓｉｎｘ．因為方程右端ｆ（ｘ）＝４ｓｉｎｘ屬於ｆ（ｘ）＝Ａｃｏｓωｘ＋Ｂｓｉｎωｘ類型，其中ω＝１，Ａ＝０，Ｂ＝４．而ωｉ＝ｉ是特征方程的根，取ｋ＝１，可設特解為ｙ＝ｘ（ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ）．求導得ｙ′＝（ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ）＋ｘ（－ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ），ｙ″＝－２ａｓｉｎｘ＋２ｂｃｏｓｘ－ｘ（ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ），把它們代入原方程，化簡得－２ａｓｉｎｘ＋２ｂｃｏｓｘ＝４ｓｉｎｘ，比較同類項係數，有ａ＝－２，{ｂ＝０，於是，所求特解為ｙ＝－２ｘｃｏｓｘ．故原方程的通解為ｙ＝Ｃ１ｃｏｓｘ＋Ｃ２ｓｉｎｘ－２ｘｃｏｓｘ．!\"６－６１．求下列微分方程的通解．（１）ｙ″＋ｙ′－２ｙ＝２ｅｘ；（２）ｙ″＋２ｙ′＋ｙ＝５ｅ－ｘ；（３）ｙ″－４ｙ′＋４ｙ＝ｅ－２ｘ；（４）ｙ″－ｙ′＝７ｅ－ｘ；（５）ｙ″－ｙ＝４ｓｉｎｘ；（６）ｙ″－２ｙ′＋５＝ｃｏｓ２ｘ．２．求下列微分方程滿足所給初值條件的特解．（１）ｙ″－３ｙ′＋２ｙ＝５，ｙ＝１，ｙ′＝２；ｘ＝０ｘ＝０（２）ｙ″－ｙ＝４ｘｅｘ，ｙ＝０，ｙ′＝０．ｘ＝０ｘ＝０·１９２·高等數學#$%&,１．單項選擇題．（１）微分方程ｙ″＝ｘ２的解是（）．１ｘ３ｘ４ｘ４Ａ．ｙ＝Ｂ．ｙ＝＋ＣＣ．Ｄ．．ｘ３１２６（２）微分方程（ｘ＋ｙ）ｄｘ＋ｘｄｙ＝０的通解是（）．２Ｃ－ｘ２ｘＡ．ｙ＝Ｂ．ｙ＝－＋Ｃ２ｘ２ｘＣ＋ｘ２Ｃ．ｙ＝＋ＣＤ．ｙ＝２２ｘ２
ｄｘ２（３）微分方程＋ωｘ＝０的通解是（）．ｄｔ２Ａ．Ｃ１ｃｏｓωｔ＋Ｃ２ｓｉｎωｔＢ．ｃｏｓωｔＣ．ｓｉｎωｔＤ．ｃｏｓωｔ＋ｓｉｎωｔ（４）微分方程ｙ″－２ｙ′＋ｙ＝０的解是（）．Ａ．ｙ＝ｘ２ｅｘＢ．ｙ＝ｅｘＣ．ｙ＝ｘ３ｅｘＤ．ｙ＝ｅ－ｘ．（５）微分方程（ｘ－２ｙ）ｙ′＝２ｘ－ｙ的通解是（）．Ａ．ｘ２＋ｙ２＝ＣＢ．ｙ＋ｘ＝ＣＣ．ｙ＝ｘ＋１Ｄ．ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝Ｃ２．２．求下列微分方程的通解．ｄｙｄｙｘｘｘ（１）ｘ＋ｙ＝ｘｙ；（２）（１＋２ｅｙ）ｄｘ＋２ｅｙ１－ｄｙ＝０；ｄｘｄｘ(ｙ)ｄｙ２（ｌｎｘ－ｙ）（３）＝；（４）ｙ′＋ｙｔａｎｘ＝ｓｉｎ２ｘ；ｄｘｘ（５）ｘ２ｙ″＋ｘｙ′＝１；（６）ｙ″＋５ｙ′＋４ｙ＝３－２ｘ．３．求下列微分方程滿足所給初值條件的特解．（１）ｄｙ－（３ｘ－２ｙ）ｄｘ＝０，ｙ＝０；ｘ＝０ｄｙ２ｙｘ－１（２）＋＝２，ｙ＝０；ｄｘｘｘｘ＝１（３）４ｙ″＋４ｙ′＋ｙ＝０，ｙ＝２，ｙ′＝０．ｘ＝０ｘ＝０第七章向量代數與空間解析幾何在平麵解析幾何中，通過平麵直角坐標係把平麵上的點與一對有序實數對應起來，平麵圖形與方程對應起來，從而可以用代數方法來研究幾何問題，空間解析幾何也是按照類似的方法建立起來的．正如平麵解析幾何的知識對學習一元函數微積分是不可或缺的一樣，空間解析幾何的知識對學習多元函數微積分也是必不可少的．第一節向量及其線性運算一、空間直角坐標係在空間內取定一點Ｏ，過點Ｏ作三條具有相同長度的長度單位，且兩兩互相垂直的數軸ｘ軸，ｙ軸和ｚ軸，這樣就稱建立了空間直角坐標係Ｏ－ｘｙｚ．點Ｏ稱為坐標原點，ｘ軸、ｙ軸和ｚ軸統稱為坐標軸，又分別稱為橫軸、縱軸和豎軸．通常規定ｘ軸、ｙ軸和ｚ軸的正向要遵循右手π
法則，即以右手握住ｚ軸，當右手的四個手指從ｘ軸正向以角度轉向ｙ軸正向時，大拇指的２
指向就是ｚ軸的正向．由任意兩條坐標軸確定的平麵稱為坐標麵．由ｘ軸和ｙ!
軸，ｙ軸和ｚ軸，ｚ軸和ｘ軸所確定的坐標麵分別稱為ｘＯｙ麵，ｙＯｚ麵和ｚＯｘ麵．設點Ｍ是空間的一點，過點Ｍ分別作與三條坐標$!
軸垂直的平麵，分別交ｘ軸、ｙ軸和ｚ軸與點Ｐ，Ｑ，Ｒ．點Ｐ，Ｑ，Ｒ\"
%稱為點Ｍ在坐標軸上的投影（圖７－１）．設點Ｐ，Ｑ，Ｒ在三條坐&#\"''''
標軸上的坐標依次為ｘ，ｙ，ｚ，於是點Ｍ唯一地確定有序數組ｘ，%ｙ，ｚ．反之，給定有序數組ｘ，ｙ，ｚ總能在三條坐標上找到以它們圖７－１為坐標的點Ｐ，Ｑ，Ｒ．過這三點分別作垂直於三條坐標軸的平麵，三個坐標平麵必然相交於點Ｍ．由此可見，點Ｍ和有序數組ｘ，ｙ，ｚ之間有著一一對應的關係．有序數組ｘ，ｙ，ｚ稱為點Ｍ的坐標，又分別稱為橫坐標、縱坐標和豎坐標．這時點Ｍ可記作Ｍ（ｘ，ｙ，ｚ）．三個坐標麵把空間分隔成八個部分，每一部分稱為一個卦限，依次稱為第一至第八卦限．八個卦限中，點的坐標有如下特點：第一卦限ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０；第二卦限ｘ＜０，ｙ＞０，ｚ＞０；第三卦限ｘ＜０，ｙ＜０，ｚ＞０；第四卦限ｘ＞０，ｙ＜０，ｚ＞０；·１９４·高等數學第五卦限ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＜０；##!
第六卦限ｘ＜０，ｙ＞０，ｚ＜０；$!
第七卦限ｘ＜０，ｙ＜０，ｚ＜０；#
\"$\"第八卦限ｘ＞０，ｙ＜０，ｚ＜０．\"\"\"!
下麵我們來推導空間兩點間的距離公式．設點Ｍ１（ｘ１，!\"%\"ｙ１，ｚ１）和Ｍ２（ｘ２，ｙ２，ｚ２）是空間兩點．過點Ｍ１和Ｍ２分別作!!
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垂直於ｘ，ｙ，ｚ軸的平麵，這六個平麵圍成一個以Ｍ１Ｍ２為對角線的長方體（圖７－２）．從圖７－２容易看到，該長方體的圖７－２各棱長分別為｜ｘ２－ｘ１｜，｜ｙ２－ｙ１｜，｜ｚ２－ｚ１｜．根據立體幾何知識，長方體的對角線長的平方等於三條棱長的平方和，於是有２２２２｜Ｍ１Ｍ２｜＝（ｘ２－ｘ１）＋（ｙ２－ｙ１）＋（ｚ２－ｚ１），所以點Ｍ１和Ｍ２間的距離為｜ＭＭ｜＝（ｘ－ｘ）２＋（ｙ－ｙ）２＋（ｚ－ｚ）２．（１）１２槡２１２１２１二、向量與向量的線性運算１．向量的概念在日常生活中，常會遇到兩種不同類型的量．一類是隻有大小的量，如長度、麵積、體積、質量等，它們稱為數量或標量．另一類是既有大小又有方向的量，如速度、力、位移等，它們稱為向量或矢量．幾何上，常用一條規定了起點和終點的有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向，有向線段的起點和終點又可以→分別稱為向量的起點和終點．以點Ａ為起點，點Ｂ為終點的向量記作ＡＢ．向量也常用一個字母表示，為避免與數量混淆，印刷上常用粗體字表示，如ａ，ｂ，ｉ，Ｆ等；書寫時，常在字母上方→→→→→標上箭頭來表示，如ａ，ｂ，ｉ，Ｆ等．起點在原點Ｏ，終點在點Ｍ的向量ＯＭ稱為點Ｍ的向徑，記作ｒ．由於向量是由大小與方向所確定的，因此，隻要兩個向量ａ和ｂ的大小相同，方向一致，就稱向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ．向量相等的概念，是在不考慮向量的起點在何處的前提下給出的，即一個向量可以在空間任意地平行移動，這種向量稱為自由向量．本書中討論的都是自由向量．向量ａ的大小又稱為向量的模，記作ａ．模為１的向量稱為單位向量．模為零的向量稱為零向量，記作０，規定零向量的方向可以是任意的．若兩個向量ａ與ｂ的方向相同或相反，則稱向量ａ與ｂ平行，記作ａ∥ｂ．由於零向量的方向可以是任意的，因此可以認為零向量與任何向量都平行．由於平行向量經平移後，能放置在同一直線上，所以平行向量又稱為共線向量．設給定兩個非零向量ａ和ｂ，將向量ａ或ｂ平移，使它們的起點重合，它們所在射線之間∧