圖書在版編目()數據搖搖CIP高等數學李代良劉麗萍主編南昌江西高校出搖搖\/,.—:版社,2018.8搖搖ISBN978-7-5493-7372-7高李劉高等數學搖搖玉郾淤…搖域郾淤…於…搖芋郾淤—高等職業教育教材—搖鬱郾淤O13中國版本圖書館數據核字第號搖搖CIP(2018)158384出版發行江西高校出版社社址江西省南昌市洪都北大道號搖搖搖96總編室電話()079188504319銷售電話()079188511423網址搖搖搖www.juacp.com印刷南昌市光華印刷有限責任公司搖搖搖經銷全國新華書店搖搖搖開本搖搖搖787mm伊1092mm搖1\/16印張搖搖搖23.5字數千字搖搖搖580版次年月第版搖搖搖201881年月第次印刷201881書號搖搖搖ISBN978-7-5493-7372-7定價元搖搖搖46.00贛版權登字-07-2018-708版權所有侵權必究搖
圖書若有印裝問題,請隨時向本社印製部(0791-88513257)退換前言高職高專教育是高等教育的重要組成部分，其目的是為國家現代化建設培養技能型、複合型與應用型的高級專業技術人才．隨著國家經濟發展方式的轉變，社會對人才需求結構也隨之發生變化．據教育部最新有關對高等教育發展規劃的思路，對高校擴招後升格的本科院校總數中的一半擬調整為本科職業教育，這也足以說明職業教育發揮著越來越重要的作用．高等數學不僅是高職高專院校的一門重要的基礎課和工具課，也是一門解決實際問題和廣泛應用的基礎科學，它對培養、提高學生的邏輯思維能力發揮著特殊的作用．本書是全國高等職業和高等專科教學高等數學的基礎課教材，是依據教育部頒布的《高職高專教育數學課程教學基本要求》，從高職院校的人才培養目標出發，並結合作者多年來積累的高職高專《高等數學》教學經驗編寫而成的，充分體現了“以應用為目的、以必須夠用為度”的高職教學基本原則．全書共十章，內容包括：極限與連續、導數與微分、導數的應用、不定積分、定積分、微分方程、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分、級數、線性代數；在第一章前麵增加了函數的預備知識，並在本書的最後部分增加三個附錄：初等數學常用公式、常用的曲線與曲麵、數學軟件Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ應用．教師可根據不同的專業特點適當地刪減，學生也可根據自己的愛好進行選擇性的自學．本書具有以下特點：１．針對當前高職學生的知識水平的特點，把每一章節難度係數較大的內容做了適當的刪減，使之比較符合當前高職學生的認知結構與認知水平．２．緩解了目前高職教育中高等數學教學中存在的內容多與課時少的矛盾，恰當地把握了教學內容的廣度與深度，盡可能地顯示微積分的直觀性與應用性，並保持了數學自身的係統性與邏輯性．３．在內容處理上兼顧了對學生抽象概括能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學知識分析問題及解決問題能力的培養．４．注意對有關概念及結果實際情況的解釋，力求表述準確、思路清晰、通俗易懂．５．每一章節後麵都配有習題與自測題，可供學生邊學邊練並及時檢查學習效果．書
·２·高等數學６．書中帶號的內容可選擇性地學習．７．書中的最後增加了三個附錄，附錄Ⅰ與附錄Ⅱ是方便學生學習時查詢使用，附錄Ⅲ是為了緊隨信息時代的步伐而編寫的，教師與學生可選擇使用與學習．本書由江西信息應用職業技術學院李代良任主編、劉麗萍任副主編．其中劉麗萍編寫第一章至第五章，李代良編寫第六章至第十章，江西信息應用職業技術學院李佳麗編寫函數的預備知識與附錄Ⅰ、附錄Ⅱ、附錄Ⅲ．本書在編寫過程中得到了江西信息應用職業技術學院軟件工程係領導與同事的大力支持與指導，在此深表感謝．鑒於我們的研究能力和學術水平有限，書中難免有疏漏之處，懇切期望讀者給予指正，以便我們進一步修改完善．編者２０１８年５月目錄預備知識函數／１第一節函數的概念與性質／１習題１／７第二節初等函數／１０習題２／１５自我檢測／１５第一章極限與連續／２０第一節極限的概念與性質／２０習題１－１／２５第二節函數極限的運算／２５習題１－２／２８第三節兩個重要極限／３０習題１－３／３１第四節無窮小量與無窮大量／３３習題１－４／３６第五節函數的連續性／３７習題１－５／４１自我檢測一／４３書
·２·高等數學第二章導數與微分／４８第一節導數的概念／４８習題２－１／５５第二節導數的運算法則／５６習題２－２／５９第三節複合函數與反函數的導數／６１習題２－３／６５第四節隱函數及參數方程所確定的函數的導數／６６習題２－４／６９第五節高階導數／７０習題２－５／７２第六節微分及其運算／７３習題２－６／７８自我檢測二／７８第三章導數的應用／８３第一節微分中值定理／８３習題３－１／８６第二節洛必達法則／８７習題３－２／９１第三節函數單調性的判別／９２習題３－３／９４第四節函數的極值與最值／９５習題３－４／９９第五節函數圖形的凹凸性與拐點／１００習題３－５／１０４自我檢測三／１０５目錄·３·第四章不定積分／１０９第一節不定積分的概念與性質／１０９習題４－１／１１１第二節不定積分的基本公式和法則／１１２習題４－２／１１５第三節不定積分的積分法／１１６習題４－３／１２９自我檢測四／１３１第五章定積分／１３６第一節定積分的概念與性質／１３６習題５－１／１４３第二節微積分的基本公式／１４４習題５－２／１４７第三節定積分的積分法／１４８習題５－３／１５２第四節定積分的應用／１５３習題５－４／１５９第五節廣義積分／１６０習題５－５／１６４自我檢測五／１６５第六章微分方程／１６９第一節微分方程的基本概念／１６９習題６－１／１７１第二節可分離變量的微分方程／１７２習題６－２／１７５第三節一階線性微分方程／１７６習題６－３／１７９·４·高等數學第四節可降階的高階微分方程／１７９習題６－４／１８２第五節二階常係數齊次線性微分方程／１８２習題６－５／１８６第六節二階常係數非齊次線性微分方程／１８７習題６－６／１９１自我檢測六／１９２第七章向量代數與空間解析幾何／１９３第一節向量及其線性運算／１９３習題７－１／１９８第二節向量的乘法運算／１９８習題７－２／２０２第三節平麵與直線／２０２習題７－３／２１０第四節曲麵與曲線／２１０習題７－４／２１６自我檢測七／２１６第八章多元函數微積分／２１８第一節多元函數／２１８習題８－１／２２２第二節偏導數／２２２習題８－２／２２５第三節全微分／２２６習題８－３／２２９第四節複合函數的求導法則／２３０習題８－４／２３４第五節二重積分／２３５習題８－５／２３７目錄·５·第六節二重積分的計算方法／２３８習題８－６／２４１自我檢測八／２４２第九章級數／２４３第一節常數項級數的概念和性質／２４３習題９－１／２４６第二節正項級數及其審斂法／２４６習題９－２／２５１第三節絕對收斂與條件收斂／２５１習題９－３／２５４第四節冪級數／２５４習題９－４／２５９自我檢測九／２６０第十章線性代數／２６２第一節行列式的定義和性質／２６２習題１０－１／２６９第二節矩陣的概念及其運算／２６９習題１０－２／２７４第三節逆矩陣／２７４習題１０－３／２７９第四節矩陣的初等變換矩陣的秩／２７９習題１０－４／２８２第五節分塊矩陣／２８２習題１０－５／２８６第六節線性方程組／２８７習題１０－６／２９４自我檢測十／２９５·６·高等數學附錄／２９７附錄Ⅰ初等數學常用公式／２９７附錄Ⅱ常用的曲線與曲麵／３０１附錄Ⅲ數學軟件Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ應用／３０９第一節數、變量與數學函數／３０９習題１／３１５第二節Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在方程與圖形中的應用／３１５習題２／３１９第三節Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在微積分中的應用／３１９習題３／３２６第四節Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在線性代數中的應用／３２７習題４／３３２習題參考答案／３３３參考文獻／３６４預備知識函數微積分是數學中的基礎分支，內容主要包括函數、極限、微分學、積分學及其應用．函數是微積分研究的基本對象，極限是微積分的基本概念，微分和積分是特定過程特定形式的極限．本章將在中學數學知識的基礎上，先研究函數的基本知識．第一節函數的概念與性質一、集合集合是現代數學一個最基本的概念，數學的各個分支普遍運用集合的表示方法和符號．在中學階段已經學習過集合的知識，現在把其中部分內容進行回顧．１．集合的概念定義具有某種特定性質的對象的總體稱為集合．如某學校圖書館的藏書，所有的自然數，方程ｘ２＋４ｘ＋３＝０的實數解，等等，都分別構成一個集合．組成集合的各個對象稱為該集合的元素．習慣上，用大寫字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小寫字母ａ，ｂ，ｃ，…表示集合的元素．事物ａ是集合Ａ的元素，記作ａ∈Ａ（讀作ａ屬於Ａ）；事物ａ不是集合Ａ的元素，記作ａＡ（讀作ａ不屬於Ａ）．很顯然，事物ａ與集合Ａ的關係是：要麼ａ∈Ａ，要麼ａＡ．含有有限多個元素的集合稱為有限集；含有無限多個元素的集合稱為無限集；不含有任何元素的集合稱為空集，記作．一般，用Ｎ表示自然數集，Ｚ表示整數集，Ｑ表示有理數集，Ｒ表示實數集．２．集合的表示法通常集合的表示方法用列舉法和描述法．（１）列舉法把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號｛｝內，每個元素隻寫一次，不分次序．集合中的元素具有確定性、互異性和無序性．如小於１０的正偶數構成的集合表示為Ａ＝｛２，４，６，８｝；滿足不等式｜ｘ＋１｜≤２的所有整數構成的集合表示為Ｂ＝｛－３，－２，－１，０，１｝；滿足方程ｘ２＋４ｘ＋３＝０的全體根的集合表示為Ｃ＝｛－１，－３｝．（２）描述法把集合中元素所具有的共同屬性描述出來，寫在大括號｛｝內．如不等式｜ｘ＋１｜≤２的所有實數解構成的集合表示為Ｂ＝｛ｘ｜－３≤ｘ≤１，ｘ∈Ｒ｝．引例Ａ＝｛１，２，３，４，５｝，Ｂ＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝．可以看出Ａ中的每一個元素都是Ｂ中的元素，我們稱Ａ為Ｂ的子集，並記作ＡＢ．設Ａ，Ｂ是兩個集合，如果ＡＢ，ＢＡ，則稱Ａ與Ｂ相等，記作Ａ＝Ｂ．很明顯，兩個集合隻有含相同元素時才相等．書
·２·高等數學設Ａ，Ｂ是兩個集合，由所有屬於Ａ或者屬於Ｂ的元素組成的集合，稱為Ａ與Ｂ的並集（簡稱並），記作Ａ∪Ｂ．例如｛１，２，３｝∪｛１，２，４，５｝＝｛１，２，３，４，５｝．設Ａ，Ｂ是兩個集合，由所有既屬於Ａ又屬於Ｂ的元素組成的集合，稱為Ａ與Ｂ的交集（簡稱交），記作Ａ∩Ｂ．例如｛１，２，３｝∩｛１，２，４，５｝＝｛１，２｝．二、區間區間是高等數學中常用的實數集，分為有限區間和無限區間，具體定義如下．設ａ，ｂ為任意實數，且ａ＜ｂ．１．有限區間開區間：（ａ，ｂ）＝｛ｘ｜ａ＜ｘ＜ｂ，ｘ∈Ｒ｝；閉區間：［ａ，ｂ］＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ｂ，ｘ∈Ｒ｝；半開區間：［ａ，ｂ）＝｛ｘ｜ａ≤ｘ＜ｂ，ｘ∈Ｒ｝；（ａ，ｂ］＝｛ｘ｜ａ＜ｘ≤ｂ，ｘ∈Ｒ｝．ａ，ｂ稱為區間的端點，ｂ－ａ稱為區間的長度．２．無限區間（ａ，＋∞）＝｛ｘ｜ｘ＞ａ，ｘ∈Ｒ｝；［ａ，＋∞）＝｛ｘ｜ｘ≥ａ，ｘ∈Ｒ｝；（－∞，ｂ）＝｛ｘ｜ｘ＜ｂ，ｘ∈Ｒ｝；（－∞，ｂ］＝｛ｘ｜ｘ≤ｂ，ｘ∈Ｒ｝；（－∞，＋∞）＝｛ｘ｜ｘ∈Ｒ｝．三、鄰域設ｘ０∈Ｒ，δ＞０，開區間（ｘ０－δ，ｘ０＋δ）稱為點ｘ０的δ鄰域，記作Ｕ（ｘ０，δ），即Ｕ（ｘ０，δ）＝（ｘ０－δ，ｘ０＋δ）其中ｘ０稱為鄰域中心，δ稱為鄰域半徑．從數軸上看，Ｕ（ｘ０，δ）表示到點ｘ０的距離小於δ的點的集合，如圖１所示．故有Ｕ（ｘ０，δ）＝｛ｘ｜｜ｘ－ｘ０｜＜δ｝＝｛ｘ｜ｘ０－δ＜ｘ＜ｘ０＋δ｝在點ｘ０的δ鄰域中去掉中心點ｘ０的集合，稱為點ｘ０的去心δ鄰域，如圖２所示，記作°
Ｕ（ｘ０，δ），因而有°
Ｕ（ｘ０，δ）＝（ｘ０－δ，ｘ０）∪（ｘ０，ｘ０＋δ）＝｛ｘ｜０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ｝!\"!\"!!!!!!
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圖１圖２°
如Ｕ（１，０．０２）＝（０．９８，１．０２），Ｕ（１，０．０２）＝（０．９８，１）∪（１，１．０２）．ｘ０的左δ鄰域：（ｘ０－δ，ｘ０）；ｘ０的右δ鄰域：（ｘ０，ｘ０＋δ）．預備知識函數·３·四、函數的概念函數的定義通常分為傳統定義和近代定義，函數的兩個定義本質是相同的，隻是敘述概念的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發的，而近代定義是從集合、映射的觀點出發的．１．函數的定義定義設ｘ和ｙ是兩個變量，Ｄ是一給定的非空數集，如果對於任意ｘ∈Ｄ，按照某一確定的對應法則ｆ，總有唯一確定的數值ｙ與之對應，則稱ｙ是ｘ的函數，記作ｙ＝ｆ（ｘ）．數集Ｄ稱為這個函數的定義域，數集Ｍ＝｛ｙ｜ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ｄ｝稱為函數的值域，ｘ稱為自變量，ｙ稱為因變量．２．函數的兩個要素（１）函數的定義域確定函數的要素有兩個，其一是定義域．在實際問題中，函數的定義域是根據問題的實際意義確定的，即能夠使函數表達式有意義的自變量的取值範圍．１
【例１】求ｙ＝槡ｘ＋２＋２的定義域．４－ｘ１
解要使函數ｙ＝槡ｘ＋２＋２有意義，４－ｘｘ＋２≥０，ｘ≥－２，必須有解得{４－ｘ２≠０．{ｘ≠±２．１
所以函數槡ｘ＋２＋２的定義域為（－２，２）∪（２，＋∞）．４－ｘ注求函數定義域時應遵守以下原則：ａ．代數式中分母不能為零．ｂ．偶次根式內表達式非負．ｃ．基本初等函數要滿足各自的定義要求．ｄ．對於表示實際問題的解析式，還應保證符合實際意義．（２）函數的對應法則確定函數的另一個要素是對應法則．函數ｙ＝ｆ（ｘ）中表示對應法則的記號是ｆ，函數ｙ＝ｇ（ｘ）中表示對應法則的記號是ｇ．當同時考察幾個不同的函數時，就需要用不同的函數記號以示區別．由函數定義可知，當函數的定義域和函數的對應法則確定後，這個函數就完全確定了．因此，兩個函數隻有它們的定義域和對應關係完全相同時，這兩個函數才是相同的，而與變２
２ｘ－１量符號無關．如ｙ＝｜ｘ｜與ｚ＝ｖ就是相同的函數，而ｙ＝ｘ＋１與ｙ＝是不同的函數，槡ｘ－１ｘ２－１因為ｙ＝ｘ＋１的定義域為實數集Ｒ，而函數ｙ＝的定義域為｛ｘ｜ｘ≠１｝，因定義域不ｘ－１同，所以是不同的函數．·４·高等數學２
【例２】設ｆ（ｘ）＝２ｘ－３，求ｆ（－１），ｆ（ｘ０）．解ｆ（－１）＝２×（－１）２－３＝－１．２２ｆ（ｘ０）＝２（ｘ０）－３＝２ｘ０－３．３．函數的表示法【例３】去銀行存錢，假設一年定期整存整取的年利率為４．１４％，則存款金額ｘ與一年到期時的利息ｙ之間的對應關係如表１所示．表１存款金額ｘ（元）５００１０００２０００５０００一年到期時的利息ｙ（元）２０．７４１．４８２．８２０７對於本題中的每一個存款金額ｘ，都有唯一確定的存款利息ｙ與之對應．因此，上表給出了一個函數關係．【例４】!!
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#\"%''''%(%$#$(''''&\"%$%$%(圖３圖４符號函數１，ｘ＞０ｙ＝ｓｇｎ（ｘ）＝{０，ｘ＝０－１，ｘ＜０其定義域Ｄ＝Ｒ，值域Ｍ＝｛－１，０，１｝．如圖３所示．取整函數ｙ＝［ｘ］＝ｎ，ｎ≤ｘ＜ｎ＋１，ｎ∈Ｚ［ｘ］表示不超過ｘ的最大整數，ｘ為任意實數．如圖４所示．由此可知［０．２］＝０，［－３．１］＝－４，［５］＝５．分段函數在自變量的不同取值範圍內，其對應關係用不同表達式表示的函數，稱為分段函數，如ｘ＋１，ｘ＜０ｆ（ｘ）＝{ｘ２，０≤ｘ＜２就是一個定義在區間（－∞，５］上的分段函數．ｌｎｘ，２≤ｘ≤５常用的函數表示方法有表格法、圖像法、解析法．預備知識函數·５·（１）將自變量的值與對應的函數值列成表格以表示函數的方法叫作表格法，如三角函數表、對數表及許多的財務報表等．（２）用圖像來表示自變量值與函數值的關係的方法叫作圖像法，它的特點是較直觀．（３）用數學表達式表示自變量和因變量的對應關係的方法叫作解析法，如ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝２ｘ＋１等，它的特點是便於推理與演算．五、函數的性質１．有界性如果對屬於某一定義區間Ｉ的任何ｘ，總有｜ｆ（ｘ）｜≤Ｍ成立，其中Ｍ是一個與ｘ無關的常數，那麼我們稱函數ｆ（ｘ）在區間Ｉ內有界；否則稱為無界．在定義域內有界的函數稱為有界函數，有界函數的圖像夾在直線ｙ＝－Ｍ與ｙ＝Ｍ之間（圖５）．\"\"\"''''*!
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圖５圖６例如，函數ｙ＝ｃｏｓｘ是有界函數，因為在它的定義域（－∞，＋∞）內總有ｃｏｓｘ≤１．而１１ｙ＝在（０，＋∞）內無界，因為ｙ＝在（０，＋∞）內的函數圖形不能夾在任何兩條平行於ｘｘｘ軸的直線之間（圖６）．注考慮函數的有界性時，不但要注意函數本身的特點，還要注意自變量的取值範圍．１
如ｙ＝在（０，＋∞）內無界，在（１，２）內有界．ｘ
２．單調性設ｙ＝ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內有定義，若對任意ｘ１，ｘ２∈（ａ，ｂ），當ｘ１＜ｘ２時，有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２），則稱函數ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內單調增加；當ｘ１＜ｘ２時，總有ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２），則稱函數ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）內單調減少，區間（ａ，ｂ）稱為單調區間．單調增函數的圖形表現為自左至右是上升的（圖７），單調減函數的圖形表現為自左至右是下降的（圖８）．·６·高等數學!!
!$%!\"\"!$%!\"\"%!\"\"\"%!\"!\"%!\"!\"%!\"\"\"#\"!\"\"\"#\"!\"\"\"圖７圖８【例５】判斷ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ在（０，＋∞）上的單調性．解設ｘ１，ｘ２是（０，＋∞）上任意兩點，且不妨設０＜ｘ１＜ｘ２，則ｘ１ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ｌｎｘ１＋ｘ１－（ｌｎｘ２＋ｘ２）＝ｌｎ＋（ｘ１－ｘ２）．ｘ２ｘ１ｘ１因為０＜ｘ１＜ｘ２，所以０＜＜１，ｌｎ＜０，ｘ１－ｘ２＜０．ｘ２ｘ２因為ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜０，即ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２），所以ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上單調遞增．３．奇偶性設函數ｙ＝ｆ（ｘ）定義域Ｄ關於原點對稱，若對任意ｘ∈Ｄ滿足ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），則稱ｆ（ｘ）是Ｄ上的偶函數；如果對任意ｘ∈Ｄ滿足ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ），則稱ｆ（ｘ）是Ｄ上的奇函數．奇函數圖形關於原點對稱（圖９），偶函數圖形關於ｙ軸對稱（圖１０）．既不是奇函數也不是偶函數的函數，稱為非奇非偶函數．!
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!$%!\"\"!$%!\"\"#\"#\"圖９圖１０【例６】判斷下列函數的奇偶性．（１）ｆ（ｘ）＝ｘ４－ｘ２＋８；（２）ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋槡ｘ２＋１）．解（１）因為ｆ（－ｘ）＝（－ｘ）４－（－ｘ）２＋８＝ｘ４－ｘ２＋８＝ｆ（ｘ），即ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）．所以ｆ（ｘ）＝ｘ４－ｘ２＋８是偶函數．（２）因為ｆ（－ｘ）＝ｌｇ（－ｘ＋槡ｘ２＋１），所以ｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｌｇ（－ｘ＋槡ｘ２＋１）＋ｌｇ（ｘ＋槡ｘ２＋１）＝ｌｇ（－ｘ＋槡ｘ２＋１）（ｘ＋槡ｘ２＋１）＝ｌｇ１＝０，即ｆ（－ｘ）＝－ｆ（ｘ）．所以ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋槡ｘ２＋１）是奇函數．預備知識函數·７·４．周期性設ｙ＝ｆ（ｘ）的定義域為Ｄ，如果存在非零常數Ｔ，使對於任意ｘ∈Ｄ，ｘ＋Ｔ∈Ｄ，有ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ），則稱函數ｙ＝ｆ（ｘ）是周期函數，常數Ｔ為函數ｙ＝ｆ（ｘ）的周期．顯然，若Ｔ為函數ｆ（ｘ）的最小正周期，則ｋＴ（ｋ＝±１，±２，±３，…）也是函數ｆ（ｘ）的周期．通常所說的函數的周期指最小正周期．如函數ｓｉｎｘ，ｃｏｓｘ的周期為２π；ｔａｎｘ，ｃｏｔｘ的周期為π．周期函數的圖像在每一個周期內是重複出現的（圖１１）．!
\"$!%\"$%#\"\"&%\"&!%\"圖１１六、反函數定義設函數ｙ＝ｆ（ｘ）是定義在數集Ｄ上的函數，其值域為Ｍ．如果對於數集Ｍ中的每個ｙ，在數集Ｄ中都有唯一確定的ｘ使ｙ＝ｆ（ｘ）成立，則得到一個定義在數集Ｍ上的以ｙ為自變量，ｘ為因變量的函數，記為ｘ＝ｆ－１（ｙ），它叫作函數ｙ＝ｆ（ｘ）的反函數．習慣上用ｘ表示自變量，因此函數ｙ＝ｆ（ｘ）的反函數\"\"#$!\"!!\"可表示為ｙ＝ｆ－１（ｘ），它的圖像與ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像關於直線\"%!
ｙ＝ｘ對稱（圖１２）．這是因為若點Ｐ（ａ，ｂ）是ｙ＝ｆ（ｘ）的函+!)#(\"數圖形上的點，即ｂ＝ｆ（ａ），由反函數定義知，ａ＝ｆ－１（ｂ），因*\"#&!!\"－１此點Ｑ（ｂ，ａ）是ｙ＝ｆ（ｘ）的函數圖形上的點；反之，若點!
Ｑ（ｂ，ａ）是ｙ＝ｆ－１（ｘ）的函數圖形上的點，則Ｐ（ａ，ｂ）是ｙ＝''''!(#)\"ｆ（ｘ）的函數圖形上的點．因點Ｐ（ａ，ｂ）與Ｑ（ｂ，ａ）關於直圖１２線ｙ＝ｘ對稱．求反函數的步驟是從ｙ＝ｆ（ｘ）中解出ｘ，得到ｘ＝ｆ－１（ｙ），再將ｘ和ｙ互換即可．並非任何函數都存在反函數，但單調函數一定存在反函數，且有如下定理．定理如果函數ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ｄ是單調增加（或減少）的，則一定存在反函數ｙ＝ｆ－１（ｘ），ｘ∈Ｍ，且該反函數也是單調增加（或減少）的．【例７】求ｙ＝２ｘ＋１的反函數．ｙ－１ｘ－１解由ｙ＝２ｘ＋１得ｘ＝，互換字母ｘ，ｙ得所求反函數為ｙ＝．２２!\"１１．用集合的描述法表示下列集合．（１）大於５的所有實數集合．·８·高等數學（２）方程ｘ２－７ｘ＋１２＝０的根的集合．（３）圓ｘ２＋ｙ２＝２５內部（不包括圓周）一切點的集合．（４）拋物線ｙ＝ｘ２與直線ｘ－ｙ＝０交點的集合．２．用舉例法表示下列集合．（１）方程ｘ２－７ｘ＋１２＝０的根的集合．（２）拋物線ｙ＝ｘ２與直線ｘ－ｙ＝０交點的集合．（３）集合｛ｘ｜｜ｘ－１｜≤５，ｘ為整數｝．３．寫出Ａ＝｛０，１，２｝的一切子集．４．設Ａ＝｛１，２，３｝，Ｂ＝｛１，３，５｝，Ｃ＝｛２，４，６｝，求：（１）Ａ∪Ｂ；（２）Ａ∩Ｂ；（３）Ａ∪Ｂ∪Ｃ；（４）Ａ∩Ｂ∩Ｃ．５．如果Ａ＝｛ｘ｜３＜ｘ＜５｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＞４｝，求：（１）Ａ∪Ｂ；（２）Ａ∩Ｂ．６．已知Ａ＝｛ａ，２，３，４｝，Ｂ＝｛１，３，５，ｂ｝，若Ａ∩Ｂ＝｛１，２，３｝，求ａ和ｂ．７．解下列不等式．（１）ｘ２＜９；（２）｜ｘ－４｜＜７；２
（３）０＜（ｘ－２）＜４；（４）｜ａｘ－ｘ０｜＜δ（ａ＞０，δ＞０，ｘ０為常數）．８．用區間表示滿足下列不等式的所有ｘ的集合．（１）｜ｘ｜≤３；（２）｜ｘ－２｜≤１；（３）｜ｘ－ａ｜＜ε（ａ為常數，ε＞０）；（４）｜ｘ｜≥５；（５）｜ｘ＋１｜＞２．９．下列給出的關係是不是函數關係？
２（１）ｙ＝槡－ｘ；（２）ｙ＝ｌｇ（－ｘ）；（３）ｙ＝槡－ｘ２－１；（４）ｙ＝槡－ｘ２＋１；（５）ｙ＝ａｒｃｓｉｎ（ｘ２＋２）；（６）ｙ２＝ｘ＋１．１０．下列給出的各對函數是不是相同的函數？
２ｘ－１２（１）ｙ＝與ｙ＝ｘ＋１；（２）ｙ＝ｌｇｘ與ｙ＝２ｌｇｘ；ｘ－１２３３３（３）ｙ＝槡ｘ（１－ｘ）與ｙ＝ｘ槡１－ｘ；（４）ｙ＝槡ｘ（１－ｘ）與ｙ＝ｘ槡１－ｘ；（５）ｙ＝槡ｘ（ｘ－１）與ｙ＝槡ｘ槡ｘ－１；（６）ｙ＝槡ｘ（１－ｘ）與ｙ＝槡ｘ槡１－ｘ．２１１１．已知ｆ（ｘ）＝ｘ－３ｘ＋２，求ｆ（０），ｆ（１），ｆ（２），ｆ（－ｘ），ｆ（ｘ≠０），ｆ（ｘ＋１）．(ｘ)２＋ｘ１２．已知ｆ（ｘ）＝，求ｆ（０），ｆ（１），ｆ（１＋ｘ），ｆ（－ｘ），ｆ１．２－ｘ(ｘ)１３．已知函數１－ｘ，ｘ＜－２，ｆ（ｘ）＝{ｓｉｎｘ，－２＜ｘ＜２，１＋ｘ，ｘ＞２．求ｆ（－４），ｆ（０），ｆ（４）．預備知識函數·９·１４．求下列函數的定義域．２
（１）ｙ＝；（２）ｙ＝３ｘ＋５；２ｘ－１槡（３）ｙ＝ｌｎ（ｘ２－３ｘ＋２）；（４）ｙ＝ｔａｎ２ｘ；１
（５）ｙ＝＋ｘ＋２；（６）ｙ＝２ｔａｎｘ－ｓｉｎ２ｘ；ｘ－１槡２１（７）ｙ＝９－ｘ；（８）ｙ＝２＋槡ｘ＋２；槡１－ｘ－５ｘ－１（９）ｙ＝；（１０）ｙ＝ａｒｃｓｉｎ．ｘ２＋４２１５．如果函數ｆ（ｘ）的定義域為（－１，０），求函數ｆ（ｘ２－１）的定義域．ｘ＋３，ｘ≥１，１６．設ｆ（ｘ）＝求ｆ（０），ｆ（２），ｆ（ｘ－１）．{ｘ２－１，ｘ＜１，ｘ２，０≤ｘ≤１，１７．設φ（ｘ＋１）＝求φ（ｘ）．{２ｘ，１＜ｘ≤２，１８．指出下列函數的奇偶性（其中ａ為常數）．（１）ｙ＝２ｘ４－５ｘ２＋１；（２）ｙ＝ｘｓｉｎｘ；｜ｘ｜（３）ｙ＝ｓｉｎｘ＋ｔａｎｘ；（４）ｆ（ｘ）＝；ｘ
（５）ｆ（ｘ）＝ｘａｘ２；（６）ｆ（ｘ）＝２ｘ；ａｘ＋ａ－ｘａｘ－１（７）ｆ（ｘ）＝；（８）ｆ（ｘ）＝；２ａｘ＋１（９）ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓｘ；（１０）ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｓｉｎｘ．１９．設函數ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）內有定義，ｆ（ｘ）不恒等於１．下列給出的函數中，哪些必為奇函數？哪些必為偶函數？
（１）ｆ（ｘ２）；（２）ｘｆ（ｘ２）；（３）ｘ２ｆ（ｘ）；（４）ｆ２（ｘ）；（５）ｆ（｜ｘ｜）；（６）｜ｆ（ｘ）｜；（７）ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）；（８）ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）．２０．判斷下列函數的單調性．（１）ｙ＝－ｘ＋２；（２）ｙ＝２ｘ２（ｘ≥０）；ｘ
（３）ｙ＝２ｘ＋１；（４）ｙ＝１；(２)２
（５）ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，ａ≠１）；（６）ｙ＝１－３ｘ．２１．已知ｆ（ｘ）為周期函數，那麼下列函數是否都是周期函數？
（１）ｆ２（ｘ）；（２）ｆ（２ｘ）；（３）ｆ（ｘ＋２）；（４）ｆ（ｘ）＋２．２２．求下列函數的反函數．（１）ｙ＝３ｘ＋２；（２）ｙ＝ｅｘ－１；３ｘ＋２（３）ｙ＝ｘ＋１；（４）ｙ＝；ｘ－２ｘ－１（５）ｙ＝１＋ｌｇ（ｘ＋２）；（６）ｙ＝１＋２ｓｉｎ．ｘ＋１·１０·高等數學第二節初等函數在我們日常接觸的函數中，有一類函數尤為重要，接下來要介紹的微積分也將主要圍繞著這一類函數展開，這就是所謂的初等函數．由於初等函數是由基本初等函數構成的，所以我們先介紹基本初等函數．一、基本初等函數常數函數：ｙ＝Ｃ（Ｃ為常數）．冪函數：ｙ＝ｘａ（ａ為常數）．指數函數：ｙ＝ａｘ（ａ＞０，且ａ≠１，ａ為常數）．對數函數：ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，且ａ≠１，ａ為常數）．三角函數：ｙ＝ｓｉｎｘ，ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｔａｎｘ，ｙ＝ｃｏｔｘ，ｙ＝ｓｅｃｘ，ｙ＝ｃｓｃｘ．反三角函數：ｙ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｓｘ，ｙ＝ａｒｃｔａｎｘ，ｙ＝ａｒｃｃｏｔｘ，ｙ＝ａｒｃｓｅｃｘ，ｙ＝ａｒｃｃｓｃｘ．以上六類函數統稱為基本初等函數，為了便於複習，現將它們的定義域、值域、圖像和性質做以下介紹．１．常數函數\"常數函數ｙ＝Ｃ，其中Ｃ為常數．其定義域為（－∞，＋∞）．%\"$%其對應規則是對於任何ｘ∈（－∞，＋∞），ｘ所對應的函數值ｙ恒等於常數Ｃ．其函數圖形為平行於ｘ軸的直線（圖１３）．２．冪函數#!
冪函數ｙ＝ｘａ（ａ為任意常數）的定義域和值域因ａ的不同而不同，但在（０，＋）內都有定義，且圖形經過點（１，１）．∞圖１３圖１４給出了常見的幾個冪函數的圖形．\"\"\"#!#\"%!%\"#!
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!!\"!\"\"圖１４３．指數函數指數函數ｙ＝ａｘ（ａ＞０，ａ≠１）的定義域為（－∞，＋∞），值域為（０，＋∞），圖形都經過點（０，１）．當ａ＞１時，ｙ＝ａｘ單調增加；當０＜ａ＜１時，ｙ＝ａｘ單調減少．指數函數的圖形均預備知識函數·１１·在ｘ軸上方，如圖１５所示．\"\"\"$#$%%!
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圖１５圖１６４．對數函數ｘ
對數函數ｙ＝ｌｏｇａｘ（ａ＞０，ａ≠１）是指數函數ｙ＝ａ的反函數．由直接函數與反函數的關係知，對數函數的定義域為（０，＋∞），值域為（－∞，＋∞），圖形經過點（１，０）．當ａ＞１時，ｙ＝ｌｏｇａｘ單調增加；當０＜ａ＜１時，ｙ＝ｌｏｇａｘ單調減少．對數函數的圖形在ｙ軸的右方，如圖１６所示．當ａ＝ｅ時，ｙ＝ｌｏｇｅｘ簡記為ｙ＝ｌｎｘ，它是常見的對數函數，稱為自然對數．其中ｅ＝２．７１８２８…，為無理數．５．三角函數（１）正弦函數ｙ＝ｓｉｎｘ的定義域為（－∞，＋∞），值域為［－１，１］．以２π為周期，ｙ＝ｓｉｎｘ是奇函數，如圖１７所示．\"
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%$圖１７（２）餘弦函數ｙ＝ｃｏｓｘ的定義域為（－∞，＋∞），值域為［－１，１］．以２π為周期，ｙ＝ｃｏｓｘ是偶函數，如圖１８所示．\"
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%%%%%圖１８·１２·高等數學（３）正切函數π
ｙ＝ｔａｎｘ的定義域是ｘ≠ｋπ＋（ｋ為整數），是以π為周期的周期函數，是奇函數，如２
圖１９所示．（４）餘切函數ｙ＝ｃｏｔｘ的定義域是ｘ≠ｋπ（ｋ為整數），是以π為周期的周期函數，是奇函數，如圖２０所示．\"\"\"#!\"#!\"''''''''(!!