“根據 Poincare對偶定理：Hom(H2(nj)(Xk k， Q`)(n j)， Q`)= H2j (Xk k， Q`)(j)“
時間一點一點的在他的筆下流逝，徐川全神貫注的將自己投入到了最後的突破上。
最終，他手中的筆鋒驀然一轉。
“.基於映射 Tr、限製映射和 Poincare，對偶定理都與 Gal(k/k)的作用相容，所以 Gal(k/k)在 Y定義的上同調類上的作用也平凡。則 Aj (X)是 H2j (Xk k， Q`)(j)中由 X的餘維數為 j的定義在 k上的閉子代數簇的上同調類生成的 Q向量空間”
“當 i≤n/2時， Ai (X)∩ ker(Ln2i+1)上的二次型x→(1)iLr2i(x.x)是正定的。“
“由此，可得，在非奇異複射影代數簇上，任一霍奇類均是代數閉鏈類的有理線性組合。”
“即，霍奇猜想成立！”
手中圓珠筆在潔白的稿紙上點下最後一個圓點，徐川長舒了一口氣，將手中的圓珠筆丟到了一旁，身子往後一躺，靠在了椅背上盯著天花板愣愣的發呆。
當最後一個字符在稿紙上落下的時候，他心裏湧出的並不是興奮，不是高興，也不是滿足感和成就感。
而是帶著一些不可置信的迷茫。
耗去長達四個多月的時間，從米爾紮哈尼教授遺留給他的手稿開始，到‘微分代數簇的不可縮分解’問題的解決，再到代數簇與群映射工具的完善，到最後的霍奇猜想的解決。
在這條路上，他經曆了太多。
盯著天花板良久，徐川終於回過神來，目光落在了身前書桌上的稿紙上。
將所有的稿紙完整的過了一遍，確定這真的是自己的做出來的成果後，他臉上終於露出了璀璨的笑容，明朗如窗外透進來的陽光。
如果沒有意外的話，他，成功了。
成功解決掉了霍奇猜想這個世紀難題。
這是自1924年數學家萊夫謝茨對於(1，1)類的霍奇猜想證明後，和霍奇猜想相關的問題最重要的突破。
盡管他現在還不知道它是否能經得起其他數學家和時間的考驗。
但無論如何，他在數學上再次踏出了一大步。
完成證明霍奇猜想的論文之後，徐川又花費了一些時間，將稿紙上的這些東西再度過了一遍，並完善了一些其他的細節。
處理完成這些後，他開始動手將其整理到筆記本中。
而後準備公開。
對於任何一個數學猜想的證明來說，證明者是沒有資格給予它是否正確的評價的。
唯有全麵公開，且經曆同行評審與時間的考驗，才能確定它是否真的已經成功。
花費了整整一周的時間，徐川總算是將手中近百頁的稿紙全部輸入了電腦中。
這上百頁的證明，其中有超過三分之一以上的篇幅，是針對解決霍奇猜想的代數簇與群映射工具的解釋與論證，還有三分之一的篇幅，是針對霍奇猜想與代數簇與群映射工具搭建的理論框架。
剩下的，才是霍奇猜想的證明過程。
對於這篇論文而言，工具與框架，才是它的核心基礎。
如果他願意，完全可以將工具和理論框架單獨拆分出來作為獨立的論文進行發表。
就如同彼得·舒爾茨的‘p進類完美空間理論’一樣。
這些東西，如果最終被數學界接受，足夠他拿到一次菲爾茲獎的。
這並非是菲爾茲獎的廉價，而是數學工具對於數學的重要性。
一項出色的數學工具，能解決的可不僅僅是一個問題。
就像一把斧頭一樣，它不僅僅能用以砍伐樹木，也可以用做木工的工具，加工物品，還可以用作武器，進行廝殺。
同理，他構設的代數簇與群映射工具，也不僅限於與霍奇猜想。
不少代數簇與微分形式以及多項式方程，甚至是代數拓撲方向的難題，它都可以用來進行嚐試。
比如和霍奇猜想同屬於一類猜想家族的‘布洛赫猜想’、‘代數曲麵的霍奇理論應該確定零循環的Chow群是否是有限維的’問題、還有有限係數的某些動機上同調群同構映射到 &ale上同調問題猜等等。
這些猜想和問題相互支持，數學家不斷地在其中一個或另一個上取得進展，試圖證明它們導致了數論、代數和代數幾何方麵的巨大進步。
代數簇與群映射工具能解決霍奇猜想，那麼它在同類型的猜想上不說能完全適應，但至少也能起到一部分作用。