一條永恒的金帶（【美】道格拉斯·霍夫施塔特）
1 ……………… 怪圈
2 ……………… 同構
3 ……………… 形式係統
4 ……………… 遞歸
5 ……………… 歌德爾定理
6 ……………… 大腦與◇
在《音樂的奉獻》中，用一種特殊的卡農技巧構成了怪圈。它由三個音部組成。當最高音部演奏主題時，其餘兩個音部提供卡農式的協奏。這種卡農最大的特點就是神不知鬼不覺地進行變調，使得結尾最後能很平滑地過渡到開頭。這種首尾相接的變調使聽眾有一種不斷增調的感覺。在轉了幾圈之後，聽眾感到已經離開原來的調很遠了。可是奇妙的是通過這樣的變調又能回到原來的調上。這就是音樂中的怪圈。我們可以體會巴赫的創作意圖，無疑他有這樣一種想法，采用這種方法可以使升調的過程無限地進行下去。因此他在樂譜上專門注上了“陛下的榮耀也隨著變調而增高”。我們不妨把這種卡農稱為“無限升高的卡農”。
如果我們把“無限升高的卡農”與埃舍爾的畫《瀑布》以及《上升與下降》作個比較，就可以發現兩者的相似性是極為明顯的。巴赫和埃舍爾采用不同的藝術形式：音樂和美術，卻表現了同樣的思想：怪圈。
埃舍爾用繪畫表現的怪圈有許多不同的形式，有鬆弛的也有緊湊的。在《上升與下降》中，這種怪圈是比較鬆弛的，僧侶們要經過許多級才能返回原處。而在“瀑布”中怪圈就要緊湊一些，它總共隻有6級。你也許已經想到了，這裏“級”的計算有含糊不清之處。例如我們可以把《上升與下降》的係統算成是45級(按台級算)，也可以算成是4級(按樓梯算)。這種模棱兩可性不僅表現在埃舍爾的畫的怪圈上，也表現在其他形式怪圈的係統中。更緊湊的怪圈可以在《畫畫的雙手》(圖22)這幅畫中看到。而最緊湊的怪圈要數《畫廊》(畫23)了。這幅畫中之畫包含著自身。我們可以說畫廊中的一幅畫包含著它自身，也可以說這個城市包含著它自身。
怪圈的內在含義也是在有限中包含無限的概念。它不僅僅是一個圈，而且是埃舍爾納著名作品《變形》(圖4)中表現得極為明顯。我們從作品的某點出發，隨著畫麵的逐級變化而向前走去，走著走著卻突然回到了原來出發的地方。
1.2 怪圈與悖論
在巴赫和埃舍爾創造的這些怪圈中，存在著無限與有限的矛盾，荒唐與真實的對比，往往會給人以強烈的悖論感。這種直覺表明，在怪圈中包含著深刻的數學原理。事實也確實如此。就在我們生活的這個世紀裏，有一個影響深遠、與之呼應的重大數學發現，這就是哥德爾在數學係統中發現了怪圈。這種怪圈可以說是起源於一個古老的邏輯悖論。它在曆史上被稱為愛皮梅尼特悖論。
愛皮梅尼特是—個克裏特島人。他說：“所有的克裏特島人都撤謊。”假如他說的話對的，那麼作為克裏特島人的愛皮梅尼特就是在撤謊，那麼他的話就是錯的。反之，假設他的話不對，那麼作為克裏特島人的愛皮梅尼特就沒有撒謊，他的話就是對的。無論采用哪一種假設，都是無法自圓其說的。我們也可以把這個悖論表述成更為簡潔的形式。這就是“我說的這句話是錯的”。這是和《畫廊》一樣的單級怪圈。因為這個句子中的“話”可以指這個句子本身。這就是說一個句子在描述這個句子本身。
以後人們又發現了許多其他形式的悖論。尤其是在本世紀初，隨著集合論與數理邏輯的發展，在數學和邏輯中發現了許多悖論。其中最著名的有康托爾悖論和羅素悖論。在這些悖論中好像都有一個共同的“犯罪”，這就是自我相關，或者就是我們所說的“怪圈”。羅素悖論用形象的語言來描述，就是有一位理發師聲稱，他給所有不給自己理發的人理發。那麼這個人是否給自己理發呢？如果他給自己理發，就違背了自己的聲明。如果他不給自己理發，也沒有兌現自己的諾言。用集合論的述語來說，羅索悖論就是定義這樣一個集合A，它由所有不屬於A的元素a組成。那麼A是否屬於它本身呢如果A不屬於A，那麼按照集合A的定義，它就屬於A。如果A屬於A，那麼按照定義它就是不屬於A的元素。顯然在羅素悖論中，最關鍵的地方就是假定一個集可以自己屬於自己。這就是自我相關。因此，要想排除悖論很自然就會想到，要防止自我相關和造成自我相關的條件的出現。
羅索和懷特海就是在這種思想的指導下寫出《數學原理》的。他們竭力想把“怪圈”從邏輯、集合論以及數論中驅除出去。他們的基本思想是把集合分成各種等級。最低一級的集合隻能以那些“對象”而不能以其他集合為元素。較高一級的集合隻能以對象或者更低級的集合為元素。這樣每個集合都被安置在某一個等級上