在區間I上是單調增加的或單調減少的函數統稱為區間I上的單調函數。從幾何圖形上看，區間I上單調增加（減少）的函數，其圖像自左向右是上升（下降）的。
3.奇偶性
設D關於原點對稱，任意x∈D，都有f（－x）＝－f（x），則稱函數f（x）為奇函數；任意x∈D，都有f（－x）＝f（x），則稱函數f（x）為偶函數。
奇函數的圖像關於原點對稱；偶函數的圖像關於y軸對稱。
4.周期性
設存在一個不為零的常數T，任意x∈D，有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），則稱函數f（x）為周期函數，T為f（x）的周期。當周期函數存在最小正周期時，通常所說的周期指的是最小正周期。
周期函數若以T（＞0）為周期，則在每個長度為T的區間［nT，（n＋1）T］（n∈Z）上函數的圖像是相同的。
【例1.1.4】討論函數f（x）＝ex－e－xex＋e－x的特性。
解函數f（x）的定義域為R.
（1）任意x∈R，f（x）＝ex－e－xex＋e－x≤ex＋e－xex＋e－x＝1；
（2）任意x∈R，f（－x）＝e－x－exe－x＋ex＝－f（x）；
（3）任意x1，x2∈R，x1＜x2，則f（x2）－f（x1）＝ex2－e－x2ex2＋e－x2－ex1－e－x1ex1＋e－x1＝2（ex2－x1－ex1－x2）（ex2＋e－x2）（ex1＋e－x1）＞0.
因此函數f（x）在R上是有界的、單調增加的奇函數，f（x）不具有周期性。
三、複合函數與初等函數
1.基本初等函數
冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數等五類函數統稱為基本初等函數。為了方便，很多時候把多項式函數也看作基本初等函數。這些函數是我們今後研究其他各種函數的基礎。
先看一個例子。設y＝u2，u＝sinx，則任意x∈R，有u＝sinx∈［－1，1］；又有y＝u2，有y＝sin2x∈［0，1］，即通過中間媒介u，y是x的函數，稱y＝sin2x是y＝u2，u＝sinx的複合函數。必須注意，並不是任意兩個函數都可以複合，如y＝art，t＝x2＋2在實數範圍內就不能複合。
定義12設函數y＝f（u）的定義域為U，而u＝φ（x）的定義域為X，D＝{x1∈X|φ（x）∈U}≠，則任意x∈D，通過u＝φ（x），變量y有確定的值f（u）與之對應，得到一個以x為自變量，y為因變量的函數。該函數稱為y＝f（u）和u＝φ（x）的複合函數，記作y＝［f（φ（x））］，D是它的定義域，u稱為中間變量。
在區間I上是單調增加的或單調減少的函數統稱為區間I上的單調函數。從幾何圖形上看，區間I上單調增加（減少）的函數，其圖像自左向右是上升（下降）的。
3.奇偶性
設D關於原點對稱，任意x∈D，都有f（－x）＝－f（x），則稱函數f（x）為奇函數；任意x∈D，都有f（－x）＝f（x），則稱函數f（x）為偶函數。
奇函數的圖像關於原點對稱；偶函數的圖像關於y軸對稱。
4.周期性
設存在一個不為零的常數T，任意x∈D，有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），則稱函數f（x）為周期函數，T為f（x）的周期。當周期函數存在最小正周期時，通常所說的周期指的是最小正周期。
周期函數若以T（＞0）為周期，則在每個長度為T的區間［nT，（n＋1）T］（n∈Z）上函數的圖像是相同的。
【例1.1.4】討論函數f（x）＝ex－e－xex＋e－x的特性。
解函數f（x）的定義域為R.
（1）任意x∈R，f（x）＝ex－e－xex＋e－x≤ex＋e－xex＋e－x＝1；
（2）任意x∈R，f（－x）＝e－x－exe－x＋ex＝－f（x）；
（3）任意x1，x2∈R，x1＜x2，則f（x2）－f（x1）＝ex2－e－x2ex2＋e－x2－ex1－e－x1ex1＋e－x1＝2（ex2－x1－ex1－x2）（ex2＋e－x2）（ex1＋e－x1）＞0.
因此函數f（x）在R上是有界的、單調增加的奇函數，f（x）不具有周期性。
三、複合函數與初等函數
1.基本初等函數
冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數等五類函數統稱為基本初等函數。為了方便，很多時候把多項式函數也看作基本初等函數。這些函數是我們今後研究其他各種函數的基礎。
先看一個例子。設y＝u2，u＝sinx，則任意x∈R，有u＝sinx∈［－1，1］；又有y＝u2，有y＝sin2x∈［0，1］，即通過中間媒介u，y是x的函數，稱y＝sin2x是y＝u2，u＝sinx的複合函數。必須注意，並不是任意兩個函數都可以複合，如y＝art，t＝x2＋2在實數範圍內就不能複合。